Hệ thống điều khiển cánh tay robot

1.1 TẬP HỢP RÕ VÀ TẬP HỢP MỜ : 1.1.1 TẬP HỢP RÕ ( CRISP SET ): Khái niệm tập tập hợp : Để làm sáng tỏ nguyên lý cơ bản về logic mờ , chúng ta nhìn lại nguyên lý cơ bản của lý thuyết tập hợp rõ và logic cổ điển của nó . Theo lý thuyết tập rõ thì tập hợp là một khái niệm nguyên thủy của toán học và không định nghĩa được . Một tập hợp rõ sẽ được xác định bằng cách xác định những phần tử nào là thành viên của tập hợp và những phần tử nào không phải là thành viên của tập hợp . Cho A là một tập hợp trong không gian U , x là phần tử trong không gian U thì ta ký hiệu xÎA nếu x là một thành viên của tập hợp rõ A và ký hiệu xÏA nếu x không phải là thành viên của tập hợp A . Tập hợp rõ A có thể được biểu diễn bằng giản đồ Venn của nó : giản đồ Venn của một tập hợp rõ là một đường cong kín , trong đó phần nằm bên trong đường cong sẽ đại hiện cho những phần tử là thành viên của tập hợp A và phần bên ngoài đường cong sẽ đại hiện cho những phần tử không phải là thành viên của tập hợp A Tập hợp rỗng ( null set ) và tập hợp toàn bộ ( whole set ) : Tập hợp rỗng ( null set ) là tập hợp rõ không chứa bất kỳ một phần tử nào cả và được ký hiệu là F . Khi đó ta có : x Ï F , "x Î U Tập hợp toàn bộ ( whole set) là tập hợp rõ chứa tất cả các phần tử trong không gian U và được ký hiệu là X . Khi đó ta có : x Î X , "x Î U Tập hợp con của tập hợp : Cho hai tập hợp rõ A và B xác định trong không gian U thì A sẽ được gọi là tập hợp con của tập hợp B ( ký hiệu là A Ì B ) nếu mọi phần tử là thành viên của tập hợp A đều là thành viên của tập hợp B . Cho hai tập hợp rõ A và B xác định trong không gian U thì A sẽ được cho là bằng tập hợp B ( ký hiệu là A = B ) nếu mọi phần tử là thành viên của tập hợp A đều là thành viên của tập hợp B và ngược lại mọi phần tử là thành viên của tập hợp B cũng là thành viên của tập hợp A , hay nói cách khác A là tập hợp con của tập hợp B và ngược lại B cũng là tập hợp con của tập hợp A . Các phép toán trên tập hợp rõ : -Phép toán hợp của tập hợp rõ ( Union ) : cho hai tập hợp rõ A và B xác định trong không gian U . Hợp của hai tập hợp A và B là một tập hợp rõ xác định trong không gian U và được ký hiệu là AÈB . Trong đó AÈB được xác định bởi công thức sau : AÈB = { x | xÎA hoặc xÎB } Nghĩa là các thành viên của tập hợp AÈB sẽ là thành viên viên của tập hợp A hoặc sẽ là thành viên của tập hợp B . -Phép toán giao của tập hợp rõ ( Intersection ) : cho hai tập hợp rõ A và B xác định trong không gian U . Giao của hai tập hợp A và B là một tập hợp rõ xác định trong không gian U và được ký hiệu là AÇB . Trong đó AÇB được xác định bởi công thức sau : AÇB = { x | xÎA và xÎB } Nghĩa là các thành viên của tập hợp AÇB phải là thành viên viên của cả hai tập hợp A và B . -Phép toán phủ định của tập hợp rõ ( Complement ) : cho tập hợp rõ A xác định trong không gian U . Phủ định của hai tập hợp A là một tập hợp rõ xác định trong không gian U và được ký hiệu là , được gọi là bù của tập hợp A . Trong đó được xác định bởi công thức sau : = { x | xÏA } Nghĩa là các thành viên của tập hợp sẽ không phải là thành viên của tập hợp A . -Phép toán hiệu của tập hợp rõ ( Difference ) : cho hai tập hợp rõ A và B xác định trong không gian U . Hiệu của hai tập hợp A và B là một tập hợp rõ xác định trong không gian U và được ký hiệu là A|B . Trong đó A|B được xác định bởi công thức sau : A|B = { x | xÎA và xÏB } Nghĩa là các thành viên của tập hợp A|B sẽ là thành viên viên của tập hợp A và không phải là thành viên của tập hợp B . Tính chất của các phép toán trên tập hợp rõ: -Tính giao hoán ( Commutativity ) : AÇB = BÇA AÈB = BÈA -Tính kết hợp ( Associativity ) : AÇ ( BÇC ) = ( AÇB )ÇC AÈ ( BÈC ) = ( AÈB )ÈC -Tính phân phối ( Distributivity ) : AÈ( BÇC ) = ( AÈB ) Ç ( AÈC ) AÇ( BÈC ) = ( AÇB ) È ( AÇC ) -Tính đồng nhất ( Idempotency ) : A Ç A = A A È A = A -Tính nhận dạng ( Identity ) : A Ç F = F A Ç X = A A È F = A A È X = X -Tính bắc cầu ( Transitivity ) : Nếu A Í B Í C Thì A Í C -Tính xoắn ốc ( Involution ) : Cho là phủ định của tập hợp rõ A thì phủ định của sẽ chính là tập hợp A . Biểu diễn dưới dạng biểu thức toán học ta có : = A -Định luật bù nhau ( Law of the excluded middle ) : hai tập hợp rõ A và hoàn toàn bù lắp cho nhau . Hợp của hai tập hợp A và sẽ cho ta tập hợp toàn bộ ( whole set ) A È = X -Định luật bác bỏ nhau ( Law of the contradiction ) : hai tập hợp rõ A và hoàn toàn bác bỏ nhau . Hợp của hai tập hợp A và sẽ cho ta tập hợp rỗng A Ç = F -Định lý De Morgan : Biểu diễn tập hợp rõ bằng hàm đặc tính ( charateristic function ) của tập hợp : Ngoài cách biểu diễn tập hợp rõ bằng biểu đồ Venn , ta còn có thể biểu diễn tập hợp rõ thông qua hàm đằc tính của nó . Cho A là một tập hợp rõ xác định trong không gian U , hàm đặc tính của tập hợp A được ký hiệu là cA(x) , trong đó cA(x) được xác định bởi công thức Như vậy , ta có hàm đặc tính của tập hợp rỗng và tập hợp toàn bộ (whole set) là : cF (x) = 0 , "x Î U cX (x) = 1 , "x Î U Kết hợp hàm đặc tính của tập hợp rõ với phép toán trên tập hợp rõ : -Hàm đặc tính của giao hai tập hợp : cho hai tập hợp rõ A và B xác định trong không gian U có hàm đặc tính là cA (x) và cB (x) . Hàm đặc tính của tập hợp AÇB được xác định theo công thức cAÇB (x) = cA (x) ÙcB (x) = min [cA (x) , cB (x) ] Trong đó Ù là toán tử lấy giá trị nhỏ nhất . -Hàm đặc tính của hợp hai tập hợp : cho hai tập hợp rõ A và B xác định trong không gian U có hàm đặc tính là cA (x) và cB (x) . Hàm đặc tính của tập hợp AÈB được xác định theo công thức cAÇÈB (x) = cA (x) Ú cB (x) = max [cA (x) , cB (x) ] Trong đó Ú là toán tử lấy giá trị lớn nhất . -Hàm đặc tính của phủ định của tập hợp : cho tập hợp rõ A xác định trong không gian U có hàm đặc tính là cA (x) . Hàm đặc tính của tập hợp được xác định theo công thức (x) = 1 - cA (x) -Cho A và B là hai tập hợp rõ xác định trong không gian U , nếu A là tập hợp con của tập hợp B ( A Í B ) thì ta có cA (x) £ cB (x) 1.1.2 TẬP MỜ : Ta thấy rằng lý thuyết tập hợp rõ mô hình hoá các sự việc chỉ ở hai giá trị 0 và 1 , “đúng” và “sai” cho nên lý thuyết tập rõ có ưu điểm là có sự phân loại rất rõ ràng . Chính vì vậy lý thuyết tập hợp rõ sở hữu những suy diễn chính xác . Ưu điểm này của lý thuyết tập hợp rõ đã được ứng dụng trong thực tế và đã tỏ ra rất hữu hiệu trong nhiều lĩnh vực. Tuy nhiên khi mô tả những mô tả của con người về thế giới thực lý thuyết tập hợp rõ lại xuất hiện khuyết điểm . Khi mô tả về thế giới thực , bộ não con người không có sự phân loại chính xác như cách phân loại của lý thuyết tập hợp rõ mà con người sử dụng khả năng suy diễn sắp xỉ của mình đẻ mô tả thế giới thực . Trong nhiều trường hợp thông tin về một sự kiện không đầy đủ hoặc không chắc chắn thì không thể mô hình hóa sự kiện bằng các tập hợp rõ . Do đó để có thể mô tả được những mô tả của con người về thế giới thực , người ta phát triển từ lý thuyết tập hợp rõ một loại tập hợp mới mà độ phụ thuộc của các phần tử vào tập hợp không chỉ gồm hai giá trị 0 hoặc 1 mà là một giá trị bất kỳ nằm trong khoảng từ 0 cho đến 1. Những tập hợp như vậy được gọi là những tập mờ . Tùy theo xác suất hay khả năng mà một phần tử có thể là thành viên của một tập hợp , người ta sẽ gán cho phần tử đó một giá trị nằm trong khoảng giá trị [0,1] gọi là độ phụ thuộc của phần tử đó vào tập hợp . Do đó biểu đồ Venn của những tập mờ sẽ là đường biên không rõ ràng , phần nằm trong đường biên đại diện cho những phần tử chắc chắn thuộc tập mờ phần nằm ngoài đường biên đại diện cho những phần tử chắc chắn không thuộc tập mờ , phần nằm trên đường biên của giản đồ Venn đại diện cho những phần tử chưa chắc chắn thuộc hay không thuộc tập mờ . Hàm liên thuộc của tập mờ ( membership function ) : Do các phần tử có độ phụ thuộc vào tập mờ là giá trị trong khoảng [0,1] nên hàm đặc tính không thể xác định độ phụ của phần tử vào tập mờ . Để xác định độ phụ thuộc của phần tử xÎU vào tập mờ A xác định trong không gian U , người ta sử dụng hàm số mA(x) gọi là hàm liên thuộc của tập mờ A , trong đó 0 £ mA(x) £ 1 . Biểu diễn tập mờ bằng hàm liên thuộc của nó : Từ định nghĩa hàm liên thuộc của tập mờ , ta thấy rằng có thể sử dụng hàm liên thuộc của tập mờ để biểu diễn tập mờ : -Nếu U là không gian liên tục thì tập mờ F trong không gian U được biểu diễn dưới dạng  trong đó ò không phải là toán tử lấy tích phân mà nó chỉ là ký hiệu cho biết không gian U là một không gian liên tục . Dấu phân số không phải là phép toán chia mà là một toán tử kết nối một phần tử x với giá trị liên thuộc mF(x) , trong đó mF(x) cho biết độ phụ thuộc của x vào tập mờ F . -Nếu U là không gian chứa các phần tử rời rạc thì tập mờ F trong không gian U được biểu diễn dưới dạng  trong đó å không phải là toán tử tổng mà nó chỉ cho biết không gian U là một không gian rời rạc . Dấu phân số không phải là phép toán chia mà là một toán tử kết nối một phần tử x với giá trị liên thuộc mF(x) , trong đó mF(x) cho biết độ phụ thuộc của x vào tập mờ F . Mặt khác trong không gian rời rạc U , tập mờ F còn được viết dưới dạng  trong đó + không phải là toán tử cộng mà là toán tử hợp thì đúng hơn. Tập mờ con của tập mờ : Cho hai tập mờ A và B xác định trong không không gian U có hàm liên thuộc là mA(x) và mB(x) . Tập mờ A được gọi là tập con của tập mờ B nếu : mA(x) £ mB(x) , "x Î U Sự bằng nhau của hai tập mờ : Cho hai tập mờ A và B xác định trong không không gian U có hàm liên thuộc là mA(x) và mB(x) . Hai tập mờ A và B được gọi là bằng nhau nếu : mA(x) = mB(x) , "x Î U Độ cao của tập mờ : cho tập mờ A có hàm liên thuộc là mA(x) . Giá trị lớn nhất của mA(x) được gọi là độ cao của tập mờ . Tập mờ chính tắc và tập mờ không chính tắc : một tập mờ được gọi là tập mờ chính tắc nếu độ cao của tập mờ bằng 1 và một tập mờ sẽ được gọi là tập mờ không chính tắc nếu độ cao của tập mờ nhỏ hơn 1. Ở hình vẽ trên , ta thấy tập A là tập mờ chính tắc ( normal set ) , tập mờ B là tập mờ không chính tắc ( subnormal set ) . Tập mờ lồi và tập mờ không lồi : Cho tập mờ A xác định trong không gian X có hàm liên thuộc là mA(x) . Khi đó tập mờ A được gọi là tập mờ lồi nếu hàm liên thuộc của tập mờ có dạng lồi hay nói cách khác tập mờ sẽ là tập mờ lồi nếu với mọi điểm x1 , x2 , x3 thuộc không gian X sao cho x1 < x2 < x3 , ta luôn có : mA(x2) ³ min [ mA(x1) , mA(x3) ] Ngược lại , tập mờ A sẽ được gọi là tập mờ không lồi nếu tồn tại 3 điểm x1 , x2 , x3 thuộc không gian X sao cho x1 < x2 < x3 và mA(x2) < min [ mA(x1) , mA(x3) ] Nhân , biên và tập hỗ trợ của hàm liên thuộc : Cho tập mờ A có hàm liên thuộc là mA(x) : - Nhân của mA(x) ( core of mA(x) ) là tập hợp các giá trị rõ sao cho độ liên thuộc của nó đối với tập mờ A bằng 1, hay viết dưới dạng đại số ta có : Core[ mA(x) ] = Core(A) = { x | mA(x) = 1 } -Biên của mA(x) ( boudary of mA(x) ) là tập hợp các giá trị rõ sao cho độ liên thuộc của nó đối với tập mờ A lớn hơn 0 và nhỏ hơn 1 Boundary [ mA(x) ] = Boundary(A) = { x | 0 < mA(x) < 1} -Tập hỗ trợ của mA(x) ( Support of mA(x) ) là tập hợp các giá trị rõ sao cho độ liên thuộc của nó đối với tập mờ A lớn hơn 0 Support [ mA(x) ] = Support(A) = { x | mA(x) > 0 } 1.2 CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP MỜ : -Phép toán hợp của tập mờ ( Union ) : cho hai tập mờ A và B xác định trong không gian U có hàm liên thuộc là mA(x) và mB(x) . Hợp của hai tập mờ A và B là một tập mờ xác định trong không gian U và được ký hiệu là AÈB . Trong đó hàm liên thuộc của AÈB được xác định bởi công thức sau : mAÈB (x) = mA(x) Ú mB(x) = max [ mA(x) , mB(x) ] trong đó Ú là phép toán lấy giá trị lớn nhất . -Phép toán giao của tập mờ ( Intersection ) : cho hai tập mờ A và B xác định trong không gian U có hàm liên thuộc là mA(x) và mB(x) . Giao của hai tập mờ A và B là một tập mờ xác định trong không gian U và được ký hiệu là AÇB . Trong đó hàm liên thuộc của AÇB được xác định bởi công thức sau : mAÇB (x) = mA(x) Ù mB(x) = max [ mA(x) , mB(x) ] trong đó Ù là phép toán lấy giá trị nhỏ nhất . -Phép toán phủ định của tập mờ ( Complement ) : cho tập mờ A xác định trong không gian U . Phủ định của tập mờ A là một tập mờ xác định trong không gian U và được ký hiệu là , được gọi là bù của tập hợp A . Trong đó được xác định bởi công thức sau : Tính chất của các phép toán trên tập mờ: -Tính giao hoán ( Commutativity ) : AÇB = BÇA AÈB = BÈA -Tính kết hợp ( Associativity ) : AÇ ( BÇC ) = ( AÇB )ÇC AÈ ( BÈC ) = ( AÈB )ÈC -Tính phân phối ( Distributivity ) : AÈ( BÇC ) = ( AÈB ) Ç ( AÈC ) AÇ( BÈC ) = ( AÇB ) È ( AÇC ) -Tính đồng nhất ( Idempotency ) : A Ç A = A A È A = A -Tính nhận biết ( Identity ) : A Ç F = F A Ç X = A A È F = A A È X = X -Tính bắc cầu ( Transitivity ) : Nếu A Í B Í C Thì A Í C -Tính xoắn ốc ( Involution ) : Cho là phủ định của tập mờ A thì phủ định của sẽ chính là tập mờ A . Biểu diễn dưới dạng biểu thức toán học ta có : = A -Định luật bù nhau ( Law of the excluded middle ) : hai tập hợp mờ A và có thể không hoàn toàn bù lắp cho nhau . Nghĩa là A È có thể không bằng X -Định luật bác bỏ nhau ( Law of the contradiction ) : hai tập hợp mờ A và có thể không hoàn toàn bác bỏ nhau . Nghĩa là A Ç có thể không bằng F -Định lý De Morgan : Các phép toán khác trên tập mờ : -Phép toán chính tắc (Normalization) : phép toán chính tắc dùng để cải tiến tập mờ thành tập mờ chính tắc bằng cách biến đổi nó thành tập mờ có độ cao bằng 1. Điều này có nghĩa là thực hiện phép toán sau với xÎU -Phép toán tập trung ( Concentration ) : thực hiện phép toán tập trung trên tập mờ A sẽ cải tiến hàm liên thuộc của tập mờ A theo xu hướng làm cho dạng của hàm liên thuộc bị co lại , độ liên thuộc của các phần tử trong tập mờ A sẽ bị giảm -Phép toán phân tán ( Dilation ) : phép toán phân tán có tác dụng ngược với phép toán tập trung . Thực hiện phép toán tập trung trên tập mờ A sẽ làm cho dạng của hàm liên thuộc tập mờ A bị giãn ra , độ liên thuộc của các phần tử trong tập mờ A sẽ tăng lên -Phép toán làm rõ(Intensification) : là phép toán gia tăng độ phụ thuộc của các phần tử có độ phụ thuộc lớn hơn 0.5 , giảm độ phụ thuộc của những phần tử có độ phụ thuộc nhỏ hơn 0.5 . Để làm điều này , người ta thực hiện phép tóan sau -Tích Cartesian(Cartesian product):cho A1,A2,…,An là các tập mờ trong không gian U1,U2,…,Un .Tích Cartesian của các tập mờ A1,A2,…,An là một tập mờ xác định trong không gian tích U1´ U2 ´…´Un với hàm lien thuộc được định nghĩa bằng công thức sau  với x1 ÎU1 , x2 ÎU2 , …, xn ÎUn -Tích đại số(Algebraic product):tích đại số của hai tập mờ A và B là một tập mờ có hàm liên thuộc được ký hiệu là và được định nghĩa bởi biểu thức với xÎU -Tổng đại số(Algebraic sum): tổng đại số của hai tập mờ A và B là một tập mờ có hàm liên thuộc được ký hiệu là và được định nghĩa bởi biểu thức với xÎU -Tổng biên(Bounded sum): tổng biên của hai tập mờ A và B là một tập mờ có hàm liên thuộc được ký hiệu là và được định nghĩa bởi biểu thức với xÎU -Hiệu biên(Bounded difference): hiệu biên của hai tập mờ A và B là một tập mờ có hàm liên thuộc được ký hiệu là và được định nghĩa bởi biểu thức với xÎU -Tích biên(Bounded product): tích biên của hai tập mờ A và B là một tập mờ có hàm liên thuộc được ký hiệu là và được định nghĩa bởi biểu thức với xÎU -Tích drastic(Drastic product): tích drastic của hai tập mờ A và B là một tập mờ có hàm liên thuộc được ký hiệu là và được định nghĩa bởi biểu thức với xÎU 1.3 QUAN HỆ RÕ VÀ QUAN HỆ MỜ : 1.3.1 QUAN HỆ RÕ : Cho hai không gian X và Y , tích Cartesian giữa không gian X và không gian Y sẽ tạo ra một không gian tích X´Y trong đó mỗi phần tử của X´Y là một cặp giá trị (x,y) với xÎX và yÎY . Như vậy X´Y có thể được bằng biểu thức đại số như sau : X´Y = { (x,y) | xÎX , yÎY } Một tập hợp R xác định trong không gian X´Y sẽ được gọi là quan hệ từ không gian X đến không gian Y . Với các phần tử xÎX và yÎY , x và y được cho là quan hệ hoàn chỉnh với nhau ( complete relationship ) bởi quan hệ R nếu (x,y)ÎR , x và y được cho là không quan hệ với nhau ( no relationship ) bởi quan hệ R nếu (x,y)Ï R . Để đặc trưng cho mối quan hệ giữa các phần tử x trong không gian X với các phần tử y trong không gian Y thông qua quan hệ R , người ta sử dụng sử dụng một hàm số cR(x,y) gọi là hàm đặc tính của quan hệ R trong đó cR(x,y) được định nghĩa như sau : Ngoài ra nếu không gian X bao gồm các phần tử x1 , x2 , x3 , ... , xn và không gian Y bao gồm các phần tử y1 , y2 , y3 , ... , ym thì quan hệ R xác định trong không gian X´Y có thể được biểu diễn bằng ma trận n´m và ma trận đó được gọi là ma trận quan hệ Trong đó rij = 1 nếu ( xi , yj ) Î R rij = 0 nếu ( xi , yj ) Ï R Cho hai quan hệ rõ R và S xác định trong không gian X´Y có hàm đặc tính là cR(x,y) và cS(x,y) , nếu cho hai quan hệ rõ R và S xác định trong không gian X´Y có hàm đặc tính là cR(x,y) £ cS(x,y) với mọi phần tử xÎX và yÎY thì quan hệ S sẽ bao hàm quan hệ R và ta ký hiệu là R Ì S . Cho R là quan hệ rõ xác định trong không gian X´X có hàm đặc tính là cR(x,x), khi đó : -Quan hệ R sẽ có tính phản xạ ( Reflesivity ) nếu : (xi,xi) ÎR hay cR(xi,xi)=1 -Quan hệ R sẽ có tính đối xứng ( Symmetry ) nếu : If (xi,xj) ÎR Then (xj,xi) Î R hay cR(xi,xj) = cR(xj,xi) -Quan hệ R có tính bắc cầu ( Transitivity ) nếu : If (xi,xj) ÎR and (xj,xk) ÎR Then (xi,xk) ÎR hay If cR(xi,xj) =1 and cR(xj,xk) =1 Then cR(xi,xk) =1 Nếu quan hệ rõ R có tính phản xạ và tính đối xứng thì quan hệ rõ R được gọi là quan hệ rõ Tolerance ( Crisp Tolerance Relation ) . Nếu quan hệ rõ R có tính phản xạ , tính đối xứng và tính bắc cầu thì quan hệ rõ R được gọi là quan hệ rõ tương đương ( Crisp Equivalence Relation ) . Các phép toán trên quan hệ rõ : -Phép toán hợp của các quan hệ rõ ( Union ) : cho hai quan hệ rõ R và S xác định trong không gian X´Y có hàm đặc tính là cho hai quan hệ rõ R và S xác định trong không gian X´Y có hàm đặc tính là cR(x,y) và cS(x,y), hợp của hai quan hệ rõ R và S là một quan hệ rõ xác định trong không gian X´Y và được ký hiệu là RÈS , trong đó hàm đặc tính của RÈS được xác định bởi công thức cRÈS(x,y) = cR(x,y) Ú cS(x,y) = max [cR(x,y) , cS(x,y) ] Trong đó Ú là phép toán lấy giá trị lớn nhất . -Phép toán giao của các quan hệ rõ ( Intersection ) : cho hai quan hệ rõ R và S xác định trong không gian X´Y có hàm đặc tính là cR(x,y) và cS(x,y) , giao của hai quan hệ rõ R và S là một quan hệ rõ xác định trong không gian X´Y và được ký hiệu là RÇS , trong đó hàm đặc tính của RÇS được xác định bởi công thức cRÇS(x,y) = cR(x,y) Ù cS(x,y) = min [cR(x,y) , cS(x,y) ] Trong đó Ù là phép toán lấy giá trị nhỏ nhất . -Phép toán phủ định của quan hệ rõ ( Union ) : cho quan hệ rõ R xác định trong không gian X´Y có hàm đặc tính là cR(x,y) , phủ định của hai quan hệ rõ R là một quan hệ rõ xác định trong không gian X´Y và được ký hiệu là , trong đó hàm đặc tính của được xác định bởi công thức -Phép toán hợp thành giữa các quan hệ rõ ( Composition ) : giả sử ta có R là quan hệ rõ trong không gian X´Y , S là quan hệ rõ trong không gian Y´Z . Vấn đề đặt ra là làm thế nào xác định quan hệ rõ T trong không gian X´Z khi đã biết R và S . Để làm được điều này ta phải sử dụng một phép toán đặc biệt gọi là phép toán hợp thành ký hiệu là . Có 2 loại toán tử hợp thành thông dụng là max-min và max-product . +Toán tử hợp thành max-min : cho R là quan hệ trong không gian X´Y có hàm đặc tính là , S là quan hệ rõ trong không gian Y´Z có hàm đặc tính là , là quan hệ rõ trong không gian X´Z. Nếu sử dụng toán tử hợp thành max-min thì T sẽ có hàm đặc tính là:  +Toán tử hợp thành max-product:cho R là quan hệ rõ trong không gian X´Y có hàm đặc tính là , S là quan hệ rõ trong không gian Y´Z có hàm đặc tính là , là quan hệ rõ trong không gian X´Z. Nếu sử dụng toán tử hợp thành max-product thì T sẽ có hàm đặc tính là: 1.3.2 QUAN HỆ MỜ : Cũng giống như ký thuyết tập mờ được phát triển từ lý thuyết tập hợp rõ , để mô tả những quan hệ mà trong đó ta không chắc chắn các cặp phần tử (x,y) có quan hệ với nhau hay không , ta không thể sử dụng hàm đặc tính cR(x,y) để mô tả cường độ quan hệ của các cặp phàn tử (x,y) . Để làm được điều này , người ta phát triển từ lý thuyết quan hệ rõ một loại quan hệ mới mà cường độ quan hệ giữa các cặp phần tử (x,y) là một giá trị bất kỳ nằm trong khoảng [0,1] bằng cách sử dụng hàm số mR(x,y) được gọi là hàm liên thuộc của quan hệ mờ , trong đó 0 £ mR(x,y) £ 1 Cho R là quan hệ mờ xác định trong không gian X´X có hàm liên thuộc là mR(x,x) , khi đó : -Quan hệ mờ R sẽ có tính phản xạ ( Reflesivity ) nếu : mR(xi,xi)=1 -Quan hệ mờ R sẽ có tính đối xứng ( Symmetry ) nếu : mR(xi,xj)=mR(xj,xi) -Quan hệ mờ R có tính bắc cầu ( Transitivity ) nếu : If mR(xi,xj)=l1 and mR(xj,xk)=l2 Then mR(xi,xk)=l với l ³ min[l1 , l2 ] Nếu quan hệ mờ R có tính phản xạ và tính đối xứng thì quan hệ mờ R được gọi là quan hệ mờ Tolerance ( Fuzzy Tolerance Relation ) . Nếu quan hệ mờ R có tính phản xạ , tính đối xứng và tính bắc cầu thì quan hệ mờ R được gọi là quan hệ mờ tương đương ( Fuzzy Equivalence Relation ) . Các phép toán trên quan hệ mờ : -Phép toán phủ định của quan hệ mờ ( Complement ) : cho R là một quan hệ mờ xác định trong không gian X´Y có hàm liên thuộc là . Phủ định của quan hệ mờ R là một quan hệ mờ cũng được xác định trong không gian X´Y và được ký hiệu là . Trong đó được định nghĩa bằng hàm liên thuộc sau -Phép toán hợp của quan hệ mờ ( Union ) : cho R và S là hai quan hệ mờ xác dịnh trong không gian X´Y và có hàm liên thuộc lần lượt là và thì hợp của hai quan hệ mờ R và S là một quan hệ mờ xác định trong không gian X´Y ký hiệu là , được định nghĩa bằng hàm liên thuộc  -Phép toán giao của quan hệ mờ ( Intersection ) : cho R và S là hai quan hệ mờ xác dịnh trong không gian X´Y và có hàm liên thuộc lần lượt là và thì giao của hai quan hệ mờ R và S là một quan hệ mờ xác định trong không gian X´Y ký hiệu là , được xác định bằng hàm liên thuộc  -Phép toán hợp thành ( Composition ) : đây là phép toán quan trọng nhất của các quan hệ mờ . Giả sử ta có R là quan hệ mờ trong không gian X´Y ,S là quan hệ mờ trong không gian Y´Z . Chúng ta cần phải xác định quan hệ mờ T trong không gian X´Z khi đã biết R và S . Để làm được điều này ta phải sử dụng một phép toán đặc biệt gọi là phép toán hợp thành ký hiệu là .Có 2 loại toán tử hợp thành thông dụng là max-min và max-product . +Toán tử hợp thành max-min : cho R là quan hệ mờ trong không gian X´Y có hàm liên thuộc là , S là quan hệ mờ trong không gian Y´Z có hàm liên thuộc là , là quan hệ mờ trong không gian X´Z . Nếu sử dụng toán tử hợp thành max-min thì T sẽ có hàm liên thuộc là:  +Toán tử hợp thành max-product:cho R là quan hệ mờ trong không gian X´Y có hàm liên thuộc là , S là quan hệ mờ trong không gian Y´Z có hàm liên thuộc là , là quan hệ mờ trong không gian X´Z. Nếu sử dụng toán tử hợp thành max-product thì T sẽ có hàm liên thuộc là: -Sử dụng phép toán tích Cartesian ( Cartesian product ) để xác đinh quan hệ mờ : Cho A là tập mờ xác định trong khôn gian X , B là tập mờ xác định trong không gian Y , R là quan hệ mờ xác định trong không gian X´Y biểu diễn mối quan hệ giữa các phần tử xÎA với các phần tử yÎY . Khi đó nếu biểu diễn quan hệ mờ R bằng một ma trận quan hệ thì ma trận đó có thể được xác định như sau : Trong đó : x1 , x2 , x3 , ... , xn là những phần tử của tập hợp A y1 , y2 , y3 , ... , yn là những phần tử của tập hợp B rij = mA(xi) Ù mB(yj) = min [ mA(xi) , mB(yj) ] 1.4 CÁC PHƯƠNG PHÁP HÓA MỜ VÀ GIẢI MỜ : 1.4.1 CÁC PHƯƠNG PHÁP HÓA MỜ: Biến ngôn ngữ : biến ngôn ngữ là những biến được đặt bằng từ ngữ của ngôn ngữ tự nhiên của con người , mỗi biến ngôn ngữ sẽ mang một ý nghĩa đại diện cho một miền giá trị nào đó. Để xác định giá trị của biến ngôn ngữ , người ta sẽ gán cho biến ngôn ngữ một tập mờ và định nghĩa hàm liên thuộc của tập mờ đó. Như vậy mỗi biến ngôn ngữ sẽ được đặc trưng bởi một hàm liên thuộc của một tập mờ . Sự hóa mờ ( fuzzification ) : Hóa mờ là quá trình biến đổi một đại lượng rõ thành một đại lượng mờ . Để hóa mờ một đại lượng rõ , trước hết chúng ta sử dụng các biến ngôn ngữ đại diện cho từng miền giá trị của các giá trị rõ . Sau đó , ta định nghĩa các tập mờ sẽ được gán cho các biến ngôn ngữ và xác định hàm liên thuộc của các tập mờ đó . Từ hàm liên thuộc của các tập mờ , ta có để xác định độ liên thuộc của một giá trị rõ đối với các tập mờ hay nói cách khác ta đã chuyển một giá trị rõ thành giá trị mờ . Như vậy quá trình hóa mờ chính là quá trình gán giá trị liên thuộc của đại lượng rõ cho các tập mờ . Có rất nhiều phương pháp gán giá trị liên thuộc cho các tập mờ . Trong đó , phương pháp hóa mờ bằng trực giác và phương pháp hóa mờ bằng suy diễn là hai phương pháp hóa mờ đơn giản và điển hình nhất . +Phương pháp hóa mờ bằng trực giác:phương pháp hóa mờ bằng trực giác là phương pháp sử dụng kinh nghiệm của con người để phát triển hàm liên thuộc của các tập mờ thông qua trí tuệ bẩm sinh và sự hiểu biết của con người . Giả sử dựa vào cảm nhận về nhiệt độ một cách tự nhiên và mang tính trực giác , ngườ ta mô tả nhiệt độ bởi các biến ngôn ngữ lạnh , mát , ấm , nóng . Nhưng để xác định mối liên hệ giữa nhiệt độ ( là một giá trị rõ ) với các biến ngôn ngữ lạnh , mát , nóng , ấm chúng ta cần phải định nghĩa các tập mờ L , M , A , N . Trong đó : -L đại diện cho các biến ngôn ngữ lạnh -M đại diện cho các biến ngôn ngữ mát -A đại diện cho các biến ngôn ngữ ấm -N đại diện cho các biến ngôn ngữ nóng Sau đó , dựa vào kinh nhiệm , ta có thể xác định hàm lĩên thuộc của các tập mờ L ,M ,A ,N như ở hình vẽ sau đây : +Phươngpháp hóa mờ bằng suy diễn:phương pháp hóa mờ bằng suy diễn là phương pháp xác định hàm liên thuộc của các tập mờ thông qua các qui luật suy diễn . Tri thức của con người cho phép suy diễn ra các sự kiện mới từ những sự kiện có sẵn . Giả sử cho A , B , C là ba góc của tam giác , trong đó 0°< C £ B £ A < 180° và cho U là không gian chứa các tam giác  U={(A,B,C) | 0°< C £ B £ A < 180°}Các loại tam giác được phân loại bởi các biến mờ sau : ·I : xấp xỉ tam giác cân  ·R : xấp xỉ tam giác vuông  ·IR : xấp xỉ tam giác vuông cân ·E : xấp xỉ tam giác đều ·T : tam giác bình thường hay các loại tam giác khác Nhờ sở hữu tri thức hình học , ta có thể suy diễn ra hàm liên thuộc cho tất cả các tập mờ I , R , IR , E , T . -Hàm liên thuộc cho tập mờ I : ta biết rằng tam giác cân là tam giác có hai góc bất kỳ bằng nhau . Do A là góc lớn nhất và C là góc nhỏ nhất nên nếu có hai góc bằng nhau thì hai góc đó phải là A=B hoặc B=C . Vậy ta có thể định nghĩa hàm liên thuộc của tập mờ I theo công thức  mI(A,B,C) = 1 – (1/60°).min (A-B,B-C) Ta thấy nếu A=B hoặc B=C thì mI(A,B,C)=1. -Hàm liên thuộc cho tập mờ R : ta biết rằng tam giác vuông là tam giác có một góc bằng 90° . Do A là góc lớn nhất nên nếu tam giác là tam giác vuông thì nó phải vuông tại A . Vậy ta có thể định nghĩa hàm liên thuộc của tập mờ I theo công thức  mR(A,B,C) = 1 – (1/90°).|A-90°| Ta thấy nếu A=90° thì mR(A,B,C)=1. -Hàm liên thuộc cho tập mờ IR : ta biết rằng tam giác vuông cân vừa là tam giác vuông vừa là tam giác cân nên hàm liên thuộc của IR là giao các hàm liên thuộc của tập I và tập R . Vậy ta có thể định nghĩa hàm liên thuộc của tập mờ I theo công thức  mIR(A,B,C) = mI(A,B,C) Ç mR(A,B,C) =min[mI(A,B,C) , mR(A,B,C) ] = 1 – max[(1/60°).min (A-B,B-C) , (1/90°)|A-90°| ]Ta thấy nếu B=C và A=90° thì mIR(A,B,C)=1 -Hàm liên thuộc cho tập mờ E : ta biết rằng tam giác đều là tam giác có ba góc bằng nhau A=B=C . Nhưng do A là góc lớn nhất và C là góc nhỏ nhất nên điều kiện cần và đủ để tam giác là tam giác đều là A=C . Vậy ta có thể định nghĩa hàm liên thuộc của tập mờ E theo công thức  mE(A,B,C) = 1 – (1/180°).(A-C) Ta thấy nếu A=C thì mE(A,B,C) = 1. -Hàm liên thuộc cho tập mờ T : tam giác thường T không phải là những tam giác kể trên  T=(not I)Ç(not R)Ç(not IR)Ç(not E) =(not I)Ç(not R)Ç(not E) nên hàm liên thuộc của tập mờ T có thể được định nghĩa theo công thức  mT(A,B,C) = min [1-mI(A,B,C) , 1-mR(A,B,C) , 1-mE(A,B,C) ] =(1/180°).min [ 3.(A-B) , 3.(B-C) , 2.|A-90°| , (A-C) ] 1.4.2 CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỜ : Giải mờ là phương pháp biến đổi các giá trị ở dạng mờ sang giá trị ở dạng rõ (crisp value) . Đầu ra của một quá trình suy diễn mờ có thể là hợp của là một tập mờ do nhiều tập mờ riêng rẽ hợp với nhau . Chẳng hạn tập mờ C là hợp của hai tập mờ C1 có hàm liên thuộc dạng hình thang và tập mờ C2 có hàm liên thuộc dạng tam giác . Như vậy , kết quả từ quá trình suy diễn của một hệ thống mờ có mờ có thể là hợp của nhiều tập mờ thành phần . Sau khi có được kết quả mờ , chúng ta cần phải chuyển đổi giá trị này thành các giá trị rõ , quá trình chuyển đổi này được gọi là quá trình giải mờ . Sau đây là một số phương pháp giải mờ thông dụng : +Phương pháp giải mờ cực đại ( Max-membership principle ) : Phương pháp giải mờ cực đại còn được gọi là phương pháp giải mờ độ cao ( high method ) . Kết quả của phương pháp giải mờ cực đại là giá trị rõ tại điểm mà hàm liên thuộc của tập mờ đầu ra đạt cực đại .Biểu thức đại số của phương pháp giải mờ cực đại : với zÎZTrong đó z là biến ngôn ngữ trong không gian Z  C là tập mờ đầu ra của hệ thống mờ z* là kết quả của quá trình giải mờ Ta thấy rằng phương pháp giải mờ độ cao chỉ quan tâm và lựa chọn điểm có giá trị liên thuộc cực đại nên phương pháp giải mờ độ cao rất thích hợp với những tập mờ đầu ra có một đỉnh nhọn . Ngoài ra , phương pháp này có phép tính cần thực hiện ít nên tốc độ cao . Tuy nhiên phương pháp giải mờ độ cao có độ chính xác không cao . +Phương pháp giải mờ điểm trọng tâm ( Centroid Method ) : Phương pháp giải mờ điểm trong lấy giá trị rõ tại điểm trọng tâm của tập mờ đầu ra (trọng tâm vùng hợp nhau của nhiều tập mờ đầu ra) làm kết quả của quá trình giải mờ .Biểu thức đại số của phương pháp giải mờ cực đại : với zÎZTrong đó ò là ký hiệu của toán tử tích phân z là biến ngôn ngữ trong không gian Z  C là tập mờ đầu ra của hệ thống mờ z* là kết quả của quá trình giải mờ   Ta thấy rằng phương pháp giải mờ trọng tâm có độ chính xác cao vì nó xem xét và tổng hợp giá trị liên thuộc của tất cả các điểm trong không gian Z . Tuy nhiên phương pháp giải mờ trọng tâm đòi hỏi phải thực hiện nhiều phép tính nên nó có tốc dộ chậm . +Phương pháp giải mờ quân bình trọng lượng (Weight average method): Phương pháp giải mờ quân bình trọng lượng chỉ được phép sử dụng khi tập mờ đầu ra là hợp của các tập mờ có dạng đối xứng . Kết quả của phương pháp giải mờ quân bình trọng lượng là quân bình trọng số của các tập mờ và được tính theo công thức Biểu thức đại số của phương pháp giải mờ cực đại : với zÎZ , i=1,2,3...Trong đó S là ký hiệu của phép toán tổng z là biến ngôn ngữ trong không gian Z  C là tập mờ đầu ra , là hợp của C1,C2,C3,... Ci là những tập mờ có dạng đối xứng  zi là điểm giữa tập mờ thứ i  z* là kết quả của quá trình giải mờ  Ap dụng phương pháp giải mờ quân bình trọng lượng , ta có :  +Phương pháp liên thuộc bình quân cực đại (Mean_max membership) : Phương pháp liên thuộc bình quân cực đại là phương pháp giải mờ thích hợp với những tập mờ đầu ra đạt giá trị cực đại trong một đoạn giá trị [a,b] nào đó . Kết quả rõ có được từ phương pháp giải mờ liên thuộc bình quân cực đại là trung điểm của [a,b] . Biểu thức đại số của phương pháp liên thuộc bình quân cực đại : Trong đó : với a £ z £ b z là biến ngôn ngữ trong không gian Z  C là tập mờ đầu ra  h là độ cao của tập mờ đầu ra C z* là kết quả của quá trình giải mờ  Ta thấy rằng phương pháp giải mờ liên thuộc bình quân cực đại là phương pháp mở rộng của phương pháp giải mờ độ cao để giải mờ những giải mờ nững tập mờ đầu ra đạt cực đại tại một khoảng [a,b] thay vì chỉ tại một điểm như phương pháp giải mờ độ cao . +Phương pháp cực đại đầu tiên ( First of maxima ) : Phương pháp cực đại đầu tiên là phương pháp giải mờ thích hợp với những tập mờ đầu ra đạt giá trị cực đại trong một đoạn giá trị [a,b] nào đó . Kết quả rõ có được từ phương pháp giải mờ cực đại đầu tiên là giá trị nhỏ nhất của đoạn [a,b] .Biểu thức đại số của phương pháp liên thuộc bình quân cực đại : z*=aTrong đó : z là biến ngôn ngữ trong không gian Z  C là tập mờ đầu ra  h là độ cao của tập mờ đầu ra C z* là kết quả của quá trình giải mờ +Phương pháp giải mờ cực đại sau cùng:phương pháp cực đại sau cùng là phương pháp giải mờ thích hợp với những tập mờ đầu ra đạt giá trị cực đại trong một đoạn giá trị [a,b] nào đó . Kết quả rõ có được từ phương pháp giải mờ cực đại là giá trị lớn nhất của [a,b] .Biểu thức đại số của phương pháp liên thuộc bình quân cực đại : z*=b Trong đó : z là biến ngôn ngữ trong không gian Z  C là tập mờ đầu ra  h là độ cao của tập mờ đầu ra C z* là kết quả của quá trình giải mờ