Hướng dẫn học sinh giải phương trình không mẫu mực

Së Gi¸o dôc - ®µo t¹o hµ Néi Phßng gi¸o dôc - ®µo t¹o thanh oai ---------- * * * ----------- › & š §Ò tµi s¸ng kiÕn kinh nghiÖm Tªn ®Ò tµi H­íng dÉn häc sinh gi¶i ph­¬ng tr×nh "kh«ng mÉu mùc" ------------ Hä tªn: NguyÔn ThÞ BÝch HuÖ Gi¸o viªn: Tr­êng THCS Thanh Cao Thanh Oai - Hµ Néi N¨m häc 2009 - 2010 Céng hoµ x· héi chñ nghÜa viÖt nam §éc lËp – Tù do – H¹nh phóc -----***----- §Ò tµi s¸ng kiÕn kinh nghiÖm s¬ yÕu lÝ lÞch Hä vµ tªn : NguyÔn ThÞ BÝch HuÖ Ngµy th¸ng n¨m sinh : 25/05/1973 N¨m vµo ngµnh :1996 Chøc vô vµ ®¬n vÞ c«ng t¸c : Gi¸o viªn Tr­êng THCS Thanh Cao Thanh Oai - Hµ Néi Tr×nh ®é chuyªn m«n : §¹i häc to¸n HÖ ®µo t¹o : Tõ xa Bé m«n gi¶ng d¹y : To¸n 9 Khen th­ëng : Gi¸o viªn giái c¬ së . C¸c ®Ò tµi s¸ng kiÕn kinh nghiÖm ®· ®­îc c«ng nhËn 1 . C¸c ph­¬ng ph¸p ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö 2 . Mét sè ph­¬ng ph¸p chøng minh bÊt ®¼ng thøc. 3. Ph¸t triÓn t­ duy l«gic qua mét sè bµi to¸n suy luËn. (®¹t cÊp tØnh) Lêi c¶m ¬n T«i xin bµy tá lßng biÕt ¬n ch©n thµnh ®Õn ban gi¸m hiÖu vµ c¸c thÇy c« gi¸o d¹y to¸n, c¸c em häc sinh tr­êng THCS Thanh Cao - huyÖn Thanh Oai - TP Hµ Néi cïng c¸c b¹n bÌ, ®ång nghiÖp ®· cung cÊp cho t«i nhiÒu tµi liÖu quý b¸u ®Ó t«i hoµn thµnh ®Ò tµi. §Ó hoµn thµnh néi dung nghiªn cøu t«i ®· tham kh¶o, sö dông trong ®Ò tµi rÊt nhiÒu ý kiÕn ®¸nh gi¸, tµi liÖu nghiªn cøu cña c¸c chuyªn gia gi¸o dôc, c¸c nhµ nghiªn cøu trªn nhiÒu lÜnh vùc. Ng­êi viÕt xin ®­îc v« cïng c¶m ¬n. Xin ch©n thµnh c¶m ¬n héi ®ång khoa häc c¸c cÊp ®· dµnh thêi gian ®äc, ®¸nh gi¸ ®Ò tµi. RÊt mong nhËn ®­îc ý kiÕn ®ãng gãp cho ®Ò tµi ®­îc hoµn thiÖn h¬n. Xin ®­îc ch©n thµnh c¶m ¬n! Hµ Néi, ngµy 12 th¸ng 4 n¨m 2010 Ng­êi viÕt NguyÔn ThÞ BÝch HuÖ Môc lôc STT Néi dung trang 1 A. Më ®Çu 1 2 Tªn ®Ò tµi 1 3 B.Qu¸ tr×nh thùc hiÖn ®Ò tµi 3 4 I. kh¶o s¸t thùc tÕ 3 5 II. Nh÷ng biÖn ph¸p thùc hiÖn 3 6 III.Néi dung chñ yÕu cña ®Ò tµi 4 7 1. Ph­¬ng ph¸p ®­a vÒ ph­¬ng tr×nh tÝch 4 8 2. Ph­¬ng ph¸p ¸p dông B§T 14 9 3. Ph­¬ng ph¸p chøng minh nghiÖm duy nhÊt 20 10 4. Ph­¬ng ph¸p ®­a vÒ hÖ ph­¬ng tr×nh 25 11 Mét sè bµi tËp tù luyÖn 33 12 C. KÕt qu¶ thùc hiÖn cã so s¸nh ®èi chøng 34 13 D. Tµi liÖu tham kh¶o 35 14 E. Nh÷ng kiÕn nghÞ sau khi thùc hiÖn ®Ò tµi 36 Ch÷ viÕt t¾t dïng trong ®Ò tµi: 1. B§T: BÊt ®¼ng thøc 2. §K: §iÒu kiÖn 3. GPT: Gi¶i ph­¬ng tr×nh. 4. PT: Ph­¬ng tr×nh 5. SGK: S¸ch gi¸o khoa. 6. TX§: TËp x¸c ®Þnh. 7. TM: Tho¶ m·n 8. THCS: Trung häc c¬ së 9. VP: VÕ ph¶i 10. VT: vÕ tr¸i PhÇn A: Më ®Çu 1. Tªn ®Ò tµi: H­íng dÉn häc sinh gi¶i ph­¬ng tr×nh "kh«ng mÉu mùc" 2. LÝ do chän ®Ò tµi: a) C¬ së lý luËn: + Quan ®iÓm vÒ ®æi míi ph­¬ng ph¸p d¹y häc vµ ph­¬ng ph¸p d¹y häc tÝch cùc. + Quan ®iÓm ®æi míi ph­¬ng ph¸p d¹y häc: LuËt gi¸o dôc quy ®Þnh "Ph­¬ng ph¸p gi¸o dôc ph¶i ph¸t huy tÝnh tÝch cùc, tù gi¸c chñ ®éng, t­ duy s¸ng t¹o cña ng­êi häc, båi d­ìng cho ng­êi häc n¨ng lùc tù häc, kh¶ n¨ng thùc hµnh, lßng say mª häc tËp vµ ý chÝ v­¬n lªn". Víi môc tiªu gi¸o dôc lµ "Gióp häc sinh ph¸t triÓn toµn diÖn vÒ ®¹o ®øc, trÝ tuÖ, thÓ chÊt, thÈm mü vµ c¸c kü n¨ng c¬ b¶n, ph¸t triÓn n¨ng lùc c¸ nh©n, tÝnh n¨ng ®éng vµ s¸ng t¹o, h×nh thµnh nh©n c¸ch con ng­êi ViÖt Nam x· héi chñ nghÜa, x©y dùng tÝnh c¸ch vµ tr¸ch nhiÖm c«ng d©n, chuÈn bÞ cho häc sinh tiÕp tôc häc lªn hoÆc ®i vµo cuéc sèng lao ®éng, tham gia x©y dùng vµ b¶o vÖ Tæ quèc". + Ph­¬ng ph¸p d¹y häc tÝch cùc: Gióp häc sinh ph¸t huy tÝnh tÝch cùc tù gi¸c chñ ®éng s¸ng t¹o rÌn luyÖn thãi quen vµ kh¶ n¨ng tù häc, tinh thÇn hîp t¸c kü n¨ng vËn dông kiÕn thøc vµo nh÷ng t×nh huèng kh¸c nhau trong häc tËp vµ trong thùc tiÔn t¹o niÒm tin, niÒm vui høng thó trong häc tËp. b) C¬ së thùc tiÔn: To¸n häc lµ mét m«n khoa häc nãi chung nh­ng l¹i gi÷ mét vai trß rÊt chñ ®¹o trong nhµ tr­êng còng nh­ ®èi víi c¸c ngµnh khoa häc kh¸c. Lµ mét gi¸o viªn gi¶ng d¹y bé m«n to¸n t«i nhËn thÊy cÇn thiÕt ph¶i c¶i tiÕn ph­¬ng ph¸p nh»m n©ng cao chÊt l­îng d¹y häc. Mét trong nh÷ng vÊn ®Ò rÊt c¬ b¶n cña ®¹i sè khèi THCS lµ viÖc n¾m ®­îc c¸c ph­¬ng tr×nh s¬ cÊp ®¬n gi¶n vµ c¸ch gi¶i nh÷ng ph­¬ng tr×nh ®ã ®èi víi nh÷ng ®èi t­îng lµ häc sinh ®¹i trµ. Ngoµi ra më réng c¸c ph­¬ng tr×nh khã h¬n, phøc t¹p h¬n ®èi víi ®èi t­îng häc sinh kh¸ giái. - Víi rÊt nhiÒu nh÷ng chuyªn ®Ò ®­îc ®Ò cËp ®Õn khi d¹y §¹i sè cÊp 2 vµ ph­¬ng tr×nh ®¹i sè t«i m¹nh d¹n tËp trung suy nghÜ s©u vÒ ph­¬ng tr×nh kh«ng mÉu mùc. - Bëi v× trong qu¸ tr×nh häc to¸n c¸c häc sinh cã thÓ gÆp ®©u ®ã nh÷ng bµi to¸n mµ ®Çu ®Ò cã vÎ "l¹" kh«ng b×nh th­êng, nh÷ng bµi to¸n kh«ng thÓ gi¶i b»ng c¸ch ¸p dông trùc tiÕp c¸c quy t¾c, c¸c ph­¬ng ph¸p quen thuéc. Nh÷ng bµi to¸n nh­ vËy ®­îc gäi lµ "Kh«ng mÉu mùc" cã t¸c dông kh«ng nhá trong viÖc rÌn luyÖn t­ duy to¸n häc vµ th­êng lµ sù thö th¸ch ®èi víi c¸c häc sinh trong c¸c kú thi häc sinh giái, thi vµo c¸c líp chuyªn to¸n... §­¬ng nhiªn quen thuéc hay "Kh«ng mÉu mùc" chØ lµ t­¬ng ®èi, phô thuéc vµo tr×nh ®é cña ng­êi gi¶i to¸n, cã bµi to¸n lµ "kh«ng mÉu mùc" víi ng­êi nµy nh­ng l¹i lµ quen thuéc ®èi víi ng­êi kh¸c. Chuyªn ®Ò "Ph­¬ng tr×nh kh«ng mÉu mùc" gióp häc sinh luyÖn tËp ®­îc nhiÒu bµi to¸n gi¶i ph­¬ng tr×nh "kh«ng mÉu mùc" vµ mét sè ph­¬ng ph¸p gi¶i lo¹i ph­¬ng tr×nh ®ã. 3. Ph¹m vi vµ thêi gian thùc hiÖn - §Ò tµi nµy cña t«i ®­îc thùc hiÖn trong qu¸ gi¶ng d¹y vµ båi d­ìng häc sinh giái líp 9 còng nh­ «n luyÖn vµo líp 10 n¨m häc 2009-2010. - Thêi gian: 14 tiÕt trong ®ã cã 2 tiÕt kiÓm tra. 4. Ph­¬ng ph¸p nghiªn cøu: + Ph­¬ng ph¸p nghiªn cøu lý thuyÕt: §äc s¸ch tham kh¶o tµi liÖu. + Ph­¬ng ph¸p nghiªn cøu thùc tiÔn: - Quan s¸t trùc tiÕp c¸c ®èi t­îng häc sinh ®Ó ph¸t hiÖn ra nh÷ng vÊn ®Ò mµ häc sinh thÊy lóng tóng khã kh¨n. - KiÓm tra häc sinh, ®Ó t×m hiÓu tr×nh ®é vµ nhËn thøc cña häc sinh. - D¹y häc thùc tiÔn trªn líp ®Ó rót ra kinh nghiÖm B. Qu¸ tr×nh thùc hiÖn ®Ò tµi I. Kh¶o s¸t thùc tÕ 1. T×nh tr¹ng thùc tÕ tr­íc khi thùc hiÖn ®Ò tµi. Tr­íc khi thùc hiÖn ®Ò tµi nµy c¸c em häc sinh ®· ®­îc trang bÞ nh÷ng kiÕn thøc c¬ b¶n t­¬ng ®èi ®Çy ®ñ cña ch­¬ng tr×nh bé m«n To¸n trong nhµ tr­êng phæ th«ng THCS. Qu¸ tr×nh nhËn thøc cña c¸c em ë møc kh¸ cã thÓ hoµn thµnh c¸c bµi to¸n b¾t buéc trong SGK vµ cã kh¶ n¨ng gi¶i ®­îc mét sè bµi cã tÝnh n©ng cao. MÆc dï vËy khi ®øng tr­íc nh÷ng bµi to¸n khã, nh÷ng bµi to¸n "Kh«ng mÉu mùc" th× viÖc t×m ra ®­êng lèi gi¶i gÆp ph¶i lóng tóng vµ bÕ t¾c. 2. Sè liÖu kh¶o s¸t tr­íc khi thùc hiÖn ®Ò tµi: Kh¶o s¸t vÒ viÖc gi¶i ph­¬ng tr×nh kh«ng mÉu mùc ®èi víi 30 häc sinh ®­îc kÕt qu¶ nh­ sau: Tr­íc khi thùc hiÖn ®Ò tµi Sè l­îng TØ lÖ % Giái 1 3,3% Kh¸ 3 10% TB 11 36,7% D­íi TB 15 50% Víi b¶ng sè liÖu trªn viÖc gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh kh«ng mÉu mùc ®èi víi häc sinh lµ vÊn ®Ò khã kh¨n, sè häc sinh ®¹t ®iÓm kh¸, giái ®¹t tØ lÖ rÊt thÊp, tØ lÖ häc sinh ®¹t ®iÓm d­íi trung b×nh rÊt cao. II. Nh÷ng biÖn ph¸p thùc hiÖn Qua kinh nghiÖm gi¶ng d¹y mét sè n¨m båi d­ìng häc sinh giái vµ th«ng qua mét sè tµi liÖu tham kh¶o t«i muèn tæng hîp ph©n lo¹i tõ nh÷ng bµi to¸n gi¶i ph­¬ng tr×nh cô thÓ nh»m ®­a ra mét sè ph­¬ng ph¸p gi¶i ®èi víi nh÷ng ph­¬ng tr×nh "Kh«ng mÉu mùc" nh»m biÕn nã trë thµnh quen thuéc qua ®ã biÕt c¸ch suy nghÜ tr­íc nh÷ng ph­¬ng tr×nh "Kh«ng mÉu mùc" kh¸c. C¸c ph­¬ng ph¸p gi¶i ph­¬ng tr×nh kh«ng mÉu mùc: 1- Ph­¬ng ph¸p ®­a vÒ ph­¬ng tr×nh tÝch. 2- Ph­¬ng ph¸p ¸p dông bÊt ®¼ng thøc. 3- Ph­¬ng ph¸p chøng minh nghiÖm duy nhÊt. 4- Ph­¬ng ph¸p ®­a vÒ hÖ ph­¬ng tr×nh. III. Néi dung chñ yÕu cña ®Ò tµi 1. Ph­¬ng ph¸p: §­a vÒ ph­¬ng tr×nh tÝch * C¸c b­íc: - T×m TX§ cña ph­¬ng tr×nh. - Dïng c¸c phÐp biÕn ®æi ®¹i sè, ®­a ph­¬ng tr×nh vÒ d¹ng: f(x); g(x);......... h(x) = 0 lµ ph­¬ng tr×nh quen thuéc. NghiÖm cña ph­¬ng tr×nh lµ tËp hîp c¸c nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh: f(x) = 0; g(x) = 0; ........h(x) = 0 thuéc tËp x¸c ®Þnh. §«i khi dïng Èn phô thay thÕ cho mét biÓu thøc chøa Èn, ®­a vÒ d¹ng tÝnh (víi Èn phô). Gi¶i ph­¬ng tr×nh víi Èn phô, tõ ®ã t×m nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh ®· cho. Dïng c¸ch nhãm c¸c sè h¹ng hoÆc t¸ch c¸c sè h¹ng,.... ®Ó ®­a ph­¬ng tr×nh vÒ d¹ng quen thuéc mµ ta ®· biÕt c¸ch gi¶i: * VÝ dô: Bµi 1: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: (2x2 - 3x - 1)3 - (x2 - 2)3 - (x2 - 3x + 1)3 = 0 (1) Gi¶i: ¸p dông hÖ ®¼ng thøc: (a + b)3 - (a3 + b3) = 3ab (a+ b) (1) Û Û (2x2 - 3x - 1)3 - [(x2 - 2)3 + (x2 - 3x + 1)3] = 0 Û 3(x2 - 2)(x2 - 3x + 1) (2x2 - 3x - 1) = 0 Û x2 - 2 = 0 (1.1) x2 - 3x + 1 = 0 (1.2) 2x2 - 3x - 1 = 0 (1.3) Gi¶i (1.1) cã nghiÖm: x1 = ; x2 = - Gi¶i (1.2) cã nghiÖm: x1 = ; x2 = Gi¶i (1.3) cã nghiÖm: x1 = ; x2 = VËy ph­¬ng tr×nh (1) cã 6 nghiÖm: x1 = ; x2 = -; x3 = ; x4 = ; x5 = ; x6 = Bµi 2: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: (x2 - 3x + 2)3 = x6 - (3x - 2)3 (2) Gi¶i: t­¬ng tù vÝ dô 1 (2) Û [x2 +(-3x + 2)]2 - [(x2)3 + (- 3x + 2)3] = 0 Û 3x2 (- 3x + 2)(x2 - 3x + 2) = 0 Û x2 = 0 Û x = 0 -3x+21 = 0 Û x = x2 - 3x +2 = 0 ph­¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm: x1 = 1; x2 = 2 VËy ph­¬ng tr×nh (2) cã 4 nghiÖm: x1 = 0 ; x2 = ; x3 = 1; x4 = 2 Bµi 3: Gi¶i ph­¬ng tr×nh (x2 - 4x + 1)3 = (x2 - x - 1) - (3x - 2)3 (3) Gi¶i: ¸p dông h»ng ®¼ng thøc: (a-b)3 - (a3 - b3) = -3ab(a- b) (3) Û [x2 - x - 1) - (3x - 2]3 - [(x2 - x - 1)3 - (3x - 2)3] = 0 Û - 3(x2 - x - 1)(3x - 2) (x2 - 4x + 1) = 0 Ph­¬ng tr×nh (3) cã 5 nghiÖm: x1 = ; x2 = ; x3 = ; x4 = 2+ ; x5 = Bµi 4: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: (x2 - 3x + 2)3 + (-x2 + x + 1)3 + (-x2 + x + 1)3 + (2x - 3)3 = 0 (4) Gi¶i: ¸p dông h»ng ®»ng thøc: (a - b)3 + (b - c)3 + (c - a)3 = 3(a - b)(b-c)(c-a) (4) Û [(x2 - x + 1) - (2x - 3)]3 + [(2x- 3) - (x2 + x - 4)]3 + [(x2 + x - 4) - (x2 - 3x + 2)]3 = 0 Û3(x2 - 3x + 2)(-x2 + x + 1)(2x - 3) = 0 VËy ph­¬ng tr×nh (4) cã 5 nghiÖm: x1 = 1; x2 = 2; x3= ; x4 = ; x5 = ; Bµi 5: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: (5) Gi¶i: (5) Û Û + Û Û 18 (x + 7) - 18(x+ 4) = (x+ 4)(x + 7) Û x2 + 11x - 26 = 0 Û (x + 13)(x-2) = 0 Ph­¬ng tr×nh (5) cã 2 nghiÖm: x1 = 13; x2 = 2 Bµi 6: Gi¶i ph­¬ng tr×nh (6) Û Û -) = Û ) = Û 13(x+13) - 13 (x + 1) = 12(x + 1) (x + 13) Û x(x+14) = 0 Ph­¬ng tr×nh (6) cã 2 nghiÖm: x1 = 0; x2 = -14 Bµi 7: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: (7) Gi¶i: (7)Û+1)+ () Û (x + 95) Û x + 95 = 0 v× < 0 VËy (7) cã 1 nghiÖm: x = -95 Bµi 8: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: (8) Gi¶i:(8) Û) + () Û (x - 60) Û x - 60 = 0 v× < 0 VËy (8) cã 1 nghiÖm: x = 60 Bµi 9: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: (9) Gi¶i: (9)Û+1)+ ( Û (x +100) Û x +100 = 0 v× > 0 VËy (9) cã 1 nghiÖm: x = -100 Bµi 10: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: (10) Gi¶i:(10) Û)) = 0 Û (x - 100) Û x - 100 = 0 v× > 0 VËy (10) cã 1 nghiÖm: x = 100 Bµi 11: Gi¶i ph­¬ng tr×nh; (11) Gi¶i: (11) Û Û (4 - x2) Û (4 - x2) = 0 Do > 0 víi "x VËy (11) cã 2 nghiÖm: x1 = -2; x2 = 2 Bµi 12: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: (12) Gi¶i: (12) Û (v× ) VËy (12) cã 2 nghiÖm : x1 = ; x2 = Bµi 13: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: (3x2 - 11x + 13)(-x2 - x + 9) + (3x2 - 8x + 8)(x2 - 2x - 4) = - (2x2 - 7x + 11)(x + 1) (13) Gi¶i: (13) Û [(x2 - 6x + 11)2 - (2x2 - 5x + 2)2] + [(2x2 - 5x + 2)2 - (x2 - 3x + 6)2] + [(x2 - 3x + 6)2 - (x2 - 4x + 5)2] = 0 Û (x2 - 6x + 11)2 - (x2 - 4x + 5)2 = 0 Û (2x2 - 10x + 16)(-2x + 6) = 0 Û - 4 (x2 - 5x + 8)(x - 3) = 0 Û x - 3 = 0 do x2 - 5x + 8 = (x - 2 + > 0 "x V©y (13) cã 1 nghiÖm: x = 3 Bµi 14: Gi¶i ph­¬ng tr×nh (x2 - 2x + 6)(x2 - 8x + 4) + (5x + 1)(x +1)(x2 - 3x - 3) Gi¶i: (14) Û [(x2 - 5x + 5)2 - (3x + 1)2] + [(3x + 1)2 - (2x)2] - [(x2 - x - 3)2 - (- 2x)2] = 0 Û (x2 - 5x + 5)2 - (x2 - x + 3)2 = 0 Û (2x2 - 6x + 2)(-4x + 8) = 0 Û - 4 (x2 - 3x + 1)(x - 2) = 0 Ph­¬ng tr×nh (14) cã 3 nghiÖm: x1 = ; x2 = ; x3=2 Bµi 15: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: (x - 2)(x-4)(x+6)(x+8) = -36 (15) Gi¶i: (15) Û [(x - 2) (x + 6)] - [(x - 4)(x + 8)] = - 36 Û (x2+ 4x - 12)(x2 + 4x - 32) = -36 (*) §Æt x2 + 4x - 32 = t t = 8 Û x2 + 4x - 22 = 8 t = - 8 x2 + 4x - 22 = -8 (*) Û (t + 10) (t - 10) = - 36 Û t2 - 64 = 0 Û Û x2 + 4x - 30 = 0 x2 + 4x - 14 = 0 Ph­¬ng tr×nh (15) cã 4 nghiÖm: x1 = -2 + ; x2 = -2 -; x3 = -2 + ; x4 = -2 - ; Bµi 16: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: = 3 + 2 (16) Gi¶i: §K: x ≥ -3 (16) Û - 3 - 2 = 0 Û ( - 3) = 0 Û = 2 Û x + 3 = 4 Û x = 1 (TM) x = 3 x + 7 = 9 Û x = 2 (TM) VËy (16) cã 2 nghiÖm: x1 = 1; x2 = 2 Bµi 17: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: x (x + 5) = 2 - 2 (17) Gi¶i: §Æt = y Þ x2 + 5x = y3 + 2 (17) Û y3 + 2 - 2y + 2 = 0 Û y3 - 2y + 4 = 0 Û (y + 2(y2 - 2y + 2) = 0 Û y + 2 = 0 do y2 - 2y + 2 = (y - 1)2 + 1 > 0 "y Û y = -2 Víi y = -2 ta cã x2 + 5x = -6 Û x2 + 5x + 6 = 0 Û (x + 2)(x+3) = 0 VËy (17) cã 2 nghiÖm: x1 = -2; x2 = -3 Bµi 18: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: + = 1 (18) Gi¶i: §K: x ≥ -2 §Æt = t ≥ 0 Û x = t2 - 2 (18) Û + t = 1 Û = 1 - t Û 3 - t2 = 1 - 3t + 3t2 - t3 Û = 2 Û (TM) Û x = 2 t = 1 + (TM) x = 1 + t = 1 - (lo¹i) Û t3 - 4t2 + 3t + 2 = 0 Û (t - 2)(t2 - 2t - 1) = 0 VËy (18) cã 2 nghiÖm: x1 = 2; x2 = 1 + Bµi 19: Gpt (19) Gi¶i : §Æt (*) ( §K: y) (19) do y = 2x -1 (**) Tõ (*) & (**) §K hoÆc x = 0 (lo¹i), x = 4/3 (tho¶ m·n). Bµi 20: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: (20) Gi¶i: §Æt: (x + 1) = y (20) 2y4 + 12y2 - 80 = 0 (*) do y2 + 10 > 0 víi mäi y y = 2 hoÆc y = -2 x + 1 = 2 x = 1 hoÆc x + 1 = -2 x = -3 VËy (20) cã 2 nghiÖm x1 = 1; x2 = -3. Chó ý: cã thÓ më réng bµi to¸n Gi¶i ph­¬ng tr×nh: (*) (a,b,c lµ h»ng sè ) §Æt Èn phô: th× ph­¬ng tr×nh (*) ®­îc ®­a vÒ d¹ng dy4 + ey2 +g = 0 (d,e,g lµ h»ng sè ) lµ ph­¬ng tr×nh trïng ph­¬ng. Bµi 21: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: (21) Gi¶i: (21) VËy (21) cã 4 nghiÖm: Bµi 22: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: (22) Gi¶i (22) Gi¶i pt (*) NhËn thÊy x =1 kh«ng ph¶i lµ nghiÖm cña (*) x -1 nh©n 2 vÕ cña (*) víi (x - 1) pt (*) (x -1) (x4+x3+x2+x+1) = 0 x5 - 1 = 0 x5 = 1 x = 1 (Lo¹i v× x = 1 kh«ng lµ nghiÖm cña pt) Bµi 23 : Gpt (23) a lµ h»ng sè Gi¶i : §Æt x2 +9x + a = y ( §K y 0) (23) xy - x2 = y2 + xy x2+y2 = 0 x2 = y2 = 0 x = y = 0 ( kh«ng TM; lo¹i) VËy (23) v« nghiÖm. 2. Ph­¬ng ph¸p ¸p dông bÊt ®¼ng thøc: * C¸c b­íc: BiÕn ®æi ph­¬ng tr×nh vÒ d¹ng f(x) = g(x) vµ f(x) a; g(x) a. ( a lµ h»ng sè ) NghiÖm cña ph­¬ng tr×nh lµ c¸c gi¸ trÞ cña x tho¶ m·n ®ång thêi: f(x) = g(x) = a. - BiÕn ®æi ph­¬ng tr×nh vÒ d¹ng h(x) = m (m lµ h»ng sè) mµ ta lu«n cã h(x) m hoÆc h(x) m , th× nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh lµ c¸c gi¸ trÞ cña x lµm cho dÊu "=" x¶y ra. - ¸p dông c¸c bÊt ®¼ng thøc Bunhia, C«si.... vµ bÊt ®¼ng thøc: a,b>0; a + b = DÊu "=" x¶y ra khi a = b. VÝ dô: Bµi 1: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: (1) Gi¶i: (1) Do x = -1 VËy (1) cã 1 nghiÖm x = -1. Bµi 2: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: (2) Gi¶i: §K: x (2) x = -1 (TM) VËy ph­¬ng tr×nh (2) cã 1 nghiÖm lµ x = -1 Bµi 3: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: (3) Gi¶i: §k x (3) x = 2 (TM) VËy (3) cã 1 nghiÖm lµ x = 2. Bµi 4: Gi¶i ph­¬ng tr×nh (4) Gi¶i: (4) (§K x) Ta cã VT ; VP 5 DÊu "=" x¶y ra VËy (4) cã 1 nghiÖm lµ x = -1. BÇi 5: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: Gi¶i: (5) Ta cã VT ; VP DÊu "=" x¶y ra VËy (5) cã nghiÖm lµ x = -1. Bµi 6: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: (6) Gi¶i: (6) Ta cã VT ; VP DÊu "=" x¶y ra VËy (6) cã 1 nghiÖm x = 3. Bµi 7: (7) Gi¶i: (7)Û VT + = VP = dÊu "=" x¶y ra Û ®iÒu nµy kh«ng thÓ x¶y ra. VËy (7) v« nghiÖm. Bµi 8: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: (8) Gi¶i: §K ¸p dông B§T CoSi cho 2 sè kh«ng ©m ta cã: VT = Nªn ta cã: VËy (8) cã 1 nghiÖm lµ x = 2. Bµi 9: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: (9) Gi¶i: §K: do ¸p dông B§T Cosi cho 2 sè kh«ng ©m (2x+1) vµ (x2-x+1) Ta cã: VT = DÊu "=" x¶y ra VËy (9) cã 2 nghiÖm lµ x1=0 vµ x2=3 Bµi 10: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: (10) Ta cã: x2 - 2x + 2 = (x-1)2 +1 > 0 víi mäi x ¸p dông B§T Cosi cho 2 sè d­¬ng ta cã: VP = DÊu "=" x¶y ra VËy (10) cã 1 nghiÖm lµ x = 1,5. Bµi 11: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: (11) Gi¶i: §K Víi a,b >0 ta cã DÊu "=" x¶y ra Do ®ã VT = VP = DÊu "=" x¶y ra vËy (11) cã nghiÖm lµ x = 6. Bµi 12: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: (12) Gi¶i: §K ¸p dông : víi mäi a,b > 0 ta cã Nªn VT = VP = DÊu "=" x¶y ra VËy (12) cã 1 nghiÖm lµ x = 3. Bµi 13: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: (13) Gi¶i: (13) §K + NÕu 1 - 2x > 0 VT > VP PT v« nghiÖm. + NÕu 1 - 2x < 0 VT< VP PT v« nghiÖm. + NÕu 1 - 2x = 0 khi ®ã VT = VP VËy (13) cã 1 nghiÖm lµ . Bµi 14: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: (14) Gi¶i: §K (14) Û Û ¸p dông B§T dÊu "=" x¶y ra Û a.b Ta cã VT = DÊu "=" x¶y ra Û VËy (14) cã nghiÖm mäi x sao cho Bµi 15: Gi¶i ph­¬ng tr×nh : (15) Gi¶i: §K ; y ¸p dông bÊt ®¼ng thøc c« si cho 2 sè kh«ng ©m ta cã: VT DÊu "=" x¶y ra VËy ph­¬ng tr×nh (15) cã 1 cÆp nghiÖm (x,y) = (2;2). Bµi 16: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: (16) Gi¶i: ¸p dông B§T Bunhiacopxki cho 4 sè ta cã: DÊu "= " x¶y ra ad = bc Víi a = 2; b = 3; c = x2 - 3x +6; d = x2 - 2x +7 . Ta cã (22 + 32) DÊu "= " x¶y ra 3(x2-3x+6) = 2(x2-2x+7) x2-5x+4 = 0 x = 1 hoÆc x = 4 VËy (16) cã hai nghiÖm x1 =1; x2 = 4 Bµi 17: Gi¶i ph¬ng tr×nh: (17) Gi¶i : T­¬ng tù bµi 16. Víi a = 1; b = 3; c = x2 +2; d = x3 + 3x - 3 Ta cã: (12 + 32) DÊu "=" x¶y ra x-1 = 2 x = 3 VËy (17) cã nghiÖm x = 3. 3. Ph­¬ng ph¸p chøng minh nghiÖm duy nhÊt: * C¸c b­íc: ë mét sè ph­¬ng tr×nh ta cã thÓ thö trùc tiÕp ®Ó thÊy nghiÖm cña chóng, råi t×m c¸ch chøng minh r»ng ngoµi nghiÖm nµy ra kh«ng cßn nghiÖm nµo kh¸c n÷a. * VÝ dô: Bµi 1: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: (1) Gi¶i: + NhËn thÊy x = 0 lµ nghiÖm cña (1) v× 23 + 30 = 9 + NÕu x > 0 ta cã Do ®ã x 0 kh«ng thÓ lµ nghiÖm cña (1). VËy (1) cã 1 nghiÖm lµ x = 0. Bµi 2: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: víi x > 0 . (2). Gi¶i: +) NhËn thÊy x = 1 lµ nghiÖm cña (*) +) XÐt x > 1 ta cã > 1x = 1 vµ x2 > x nªn x - x2 < 0 do ®ã VËy x >1 kh«ng lµ nghiÖm cña (2) + )XÐt 0 < x < 1 ta cã nªn > > 0< x <1 kh«ng lµ nghiÖm cña (2) VËy (2) cã 1 nghiÖm x =1 Bµi 3 : Gpt (3) Gi¶i : §K + NhËn thÊy x = 1 lµ 1 nghiÖm cña pt v× 1 + + XÐt x >1 Ta cã pt kh«ng cã nghiÖm x > 1 + XÐt 0<x < 1 Ta cã pt kh«ng cã nhiÖm 0 <x <1 VËy (3) cã 1 nghiÖm x = 1 Bµi 4 : Gpt : (4) Gi¶i : §K x +) NhËn thÊy : x = 2 lµ nghiÖm cña (4) v× : + +) XÐt x > 2 > + pt kh«ng cã nghiÖm x >2 +) XÐt < + pt kh«ng cã nghiÖm VËy (4) kh«ng cã nghiÖm x = 2 Bµi 5 : Gi¶i pt (5) Gi¶i (5) (*) + NhËn thÊy x = 2 lµ nghiÖm cña (*) v× + XÐt x >2 ta cã VP = < =1 pt kh«ng cã nghiÖm x > 2 + XÐt x =1 pt kh«ng cã nghiÖm x <2 VËy pt (5) cã nghiÖm x =2 Bµi 6 : Gi¶i pt 3x + 4x = 5 x (6) Gi¸i (6) (*) + NhËn thÊy x = 2 lµ nghiÖm cña (*) v× + XÐt x >2 ta cã VT = < = 1 kh«ng lµ nghiÖm cña pt VËy (6) cã nghiÖm x = 2 Bµi 7 : Gi¶i pt 3x (1 - 4x) = 4x (7) Gi¶i (7) (*) + NhËn thÊy x = -1 lµ nghiÖm cña (*) V× + XÐt x > -1 ta cã : kh«ng lµ nghiÖm cña pt + XÐt x <-1 ta cã kh«ng lµ nghiÖm cña pt VËy (7) cã 1 nghiÖm x =1 Bµi 8 : Gi¶i pt 2x+3x +5x-1 = 21-x +31-x+51-x (8) Gi¶i (8) +)NhËn thÊy lµ nghiÖm cña (8) +) XÐt 22x -1 > 1 33x-1>1 52x-1>1 VT > 0 pt kh«ng cã nghiÖm x > +) XÐt x < 22x -1 < 1 33x-1 <1 52x-1 <1 VT < 0 pt kh«ng cã nghiÖm x < Bµi 9 : Gi¶i pt (9) Gi¶i (9) +) NhËn thÊy x =3 hoÆc x =4 lµ nghiÖm cña pt (*) +) XÐt x 1 VT >1 pt kh«ng cã nghiÖm sao cho x <3 +) XÐt 3 <x <4 0 < x -3 < 1 0 < 4 - x <1 0 < x - 3 <1 0 < 4 - x < 1 0<( 4 - x)1995 <1 Do ®ã (x - 3)1994 < x -3 (4 - x)1995 < 4 - x < x -3 + 4 -x = 1 pt kh«ng cã nghiÖm sao cho 3 < x <4 +) XÐt x > 4 x -3 > 1 >1 pt kh«ng cã nghiÖm x > 4 VËy (9) cã 2 nghiÖm x1 = 3 vµ x2 = 4 Bµi 10 : Gi¶i pt (10) Gi¶i (10) +) NhËn thÊy x =2; x =3 lµ nghiÖm cña (10) +) XÐt x 1 pt kh«ng cã nghiÖm x sao cho x <2 +) xÐt 2 < x < 3 ta cã 0 < x -2 < 1 0 < 3 -x <1 (x -2)2000 < x -2 (3 -x) 2001 < 3 - x pt kh«ng cã nghiÖm sao cho 2 < x <3 VËy (10) cã 2 nghiÖm x1 = 2; x2 = 3 4. Ph­¬ng ph¸p ®­a vÒ hÖ ph­¬ng tr×nh * C¸c b­íc : - T×m ®k tån t¹i cña pt - BiÕn ®æi pt ®ã xuÊt hiÖn nh©n tö chung - §Æt Èn phô thÝch hîp ®Ó ®­a viÖc gi¶i ph­¬ng tr×nh vÒ viÖc gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh quen thuéc. * VÝ dô : Bµi 1 : Gi¶i pt (1) Gi¶i : §K x +10 Ta cã : §Æt u 0 0 Ta cã : u2 - v2 = 2x += 2x + = 2 u + v = 2+1 VËy (1) trë thµnh u2 - v2 = 2 u + v = 2 u, v 0 Ta cã hÖ = x +1 (x+1) - - 2 = 0 x+1 = 4 x =3 (tháa m·n) lo¹i VËy (1) cã 1 nghiÖm x = 3 Bµi 2 : Gpt (2) Gi¶i : §K §Æt = >0 Ta cã hÖ pt (TM) ( lo¹i) VËy pt (2) cã nghiÖm Bµi 3 : Gi¶i pt 2 - x2 = (3) Gi¶i : §K - §Æt y = x = 2 - y2 Ta cã hÖ pt y2 - x2 = y - x (y - x) (y+x -1) = 0 (y - x) (y+x -1) = 0 + Thay y = x vµo (1) ta cã 2 - x2 = y x2 +x -2 = 0 (TM) (Lo¹i) + Thay y = 1 +x vµo (1) ta cã 2 - x2 = 1+x x2 - x -1 = 0 ; (Lo¹i) (TM) VËy (3) cã 2 nghiÖm x1 = 1; Bài 4: Gi¶i ph­¬ng tr×nh (4) §K: hoÆc Gi¶i: §Æt 5 - x = t2 x = 5- t2. Ta cã hÖ ph­¬ng tr×nh: (2) (1) x2 - t2 = t + x *) Thay -x = t vµo (1) ta cã x2 - 5 = -x vµ x < 0 (lo¹i) (TM) *) Thay t = x - 1 vµo (1) ta cã x2 - 5 = x - 1 vµ x > 1 (TM) (lo¹i) VËy PT (4) cã 2 nghiÖm lµ: Bµi 5: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: (5) Gi¶i: §Æt Ta cã hÖ ph­¬ng tr×nh: (1) (2) Do x - t = 0 x = t Thay x = t vµo (1) ta cã ph­¬ng tr×nh x3 + 1 = 2x x3 - 2x +1 = 0 (x - 1) (x2 + x - 1) = 0. VËy (5) cã 3 nghiÖm lµ: x1 = 1; Bµi 6: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: (7) Gi¶i: §Æt ; Ta cã hÖ ph­¬ng tr×nh: Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh ta ®­îc: ; ; VËy ph­¬ng tr×nh (6) cã hai nghiÖm lµ : x1 = 2 ; x2 = -2 Bµi 7: Gi¶i ph­¬ng tr×nh (7) Gi¶i: §Æt ; Ta cã hÖ ph­¬ng tr×nh: (2) (1) thay vµo (1): Do ®ã: Ta cã: VËy (7) cã 1 nghiÖm lµ x = 0. Chó ý: §èi víi ph­¬ng tr×nh cã d¹ng Ta th­êng ®Æt ; khi ®ã ta cã hÖ : Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh nµy ta ®­îc U vµ V tõ ®ã ta t×m ®­îc x. Bµi 8: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: (8) Gi¶i: §K §Æt: ; Ta cã hÖ ph­¬ng tr×nh: Bµi 9: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: (9) Gi¶i: §Æt ; Ta cã hÖ ph­¬ng tr×nh: lµ nghiÖm cña PT : ; *) NÕu PT v« nghiÖm *) NÕu do ®ã: *) NÕu khi ®ã Bµi 10: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: (10) Gi¶i: §Æt ; ta cã hÖ ph­¬ng tr×nh: Ta cã: VËy PT (10) cã hai nghiÖm x1 = -61; x2 = 30. *- Mét sè bµi tËp tù luyÖn: Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh sau: 1) x3 - 7x - 6 = 0 2) x3 - 6x2 +11x - 6 = 0. 3) 4) 6x + 72 = 8. 3x + 9. 2x 5) 64x3 = (x - 2)3 + (3x + 2)3 6) 7) 8) 16x +7.4x +5 =3.2x+2 9) 10) 2x3 + 5x + 1960 = 11) víi n N; n 2. 12) 36(x2 + 11x + 30) ( x2 + 11x +31 ) = (x2 + 11x + 12) (x2 + 9x + 20) (x2 + 13x +42) 13) x4 - 8x -7 = 0 14) (ac - a)2(xc - x +1)3 = (ac - a +1)3 (xc - x)2 a lµ mét sè cho tr­íc tuú ý 15) 16) 17) 18) 19) 20) 21) 22) 23) 24) 25) 26) 27) 28) 29) 30) C. KÕt qu¶ thùc hiÖn cã so s¸ch ®èi chøng: §· tiÕn hµnh kiÓm tra víi hai ®èi t­îng häc sinh tr­íc khi thùc hiÖn ®Ò tµi nµy lµ häc sinh giái líp 9 Tr­íc khi thùc hiÖn ®Ò tµi Sau khi thùc hiÖn ®Ò tµi Sè l­îng TØ lÖ % Sè l­îng TØ lÖ % Giái 1 3,3% 10 33,3% Kh¸ 3 10% 14 46,7% TB 11 36,7% 6 20% D­íi TB 15 50% 0 Nh­ vËy sau khi thùc hiÖn ®Ò tµi kÕt qu¶ häc sinh n¾m ®­îc ph­¬ng ph¸p gi¶i ph­¬ng tr×nh kh«ng mÉu mùc vµ ¸p dông lµm rÊt tèt bµi kiÓm tra. D. Tµi liÖu tham kh¶o: 1. S¸ch gi¸o khoa §¹i sè 8, 9. 2. S¸ch bµi tËp ®¹i sè 8,9. 3.S¸ch ph¸t triÓn vµ n©ng cao 8,9. 4. S¸ch n©ng cao c¸c chuyªn ®Ò líp 8,9. 5. Chuyªn ®Ò vÒ ph­¬ng tr×nh vµ hÖ ph­¬ng tr×nh kh«ng mÉu mùc. 6. Chuyªn ®Ò bÊt ®¼ng thøc vµ øng dông trong ®¹i sè... ----------------------------------------- E. Nh÷ng kiÕn nghÞ sau qu¸ tr×nh thùc hiÖn ®Ò tµi: Lµ gi¸o viªn trÎ, kinh nghiÖm gi¶ng d¹y vµ kiÕn thøc tÝch luü ch­a ®­îc nhiÒu, tµi liÖu tham kh¶o cßn h¹n chÕ, mong Héi ®ång khoa häc ®ãng gãp ý kiÕn bæ sung cho ®Ò tµi ®­îc tèt h¬n. Xin ch©n thµnh c¶m ¬n ! Thanh Cao, Ngµy 15 th¸ng 4 n¨m 2010 T¸c gi¶ NguyÔn ThÞ BÝch HuÖ ý kiÕn cña héi ®ång khoa häc nhµ tr­êng HiÖu tr­ëng Bïi ThÞ Kim Anh