Khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên

LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên tôi xin gởi đến Thầy – TS DƯƠNG TÔN ĐẢM lòng biết ơn sâu sắc về sự hướng dẫn và giúp đỡ của Thầy đối với tôi trong suốt thời gian học tập cũng như trong việc hoàn thành luận văn này. Thầy đã truyền đạt cho tôi những ý tưởng, cảm hứng về đề tài này. Thầy không những giúp đỡ tôi về chuyên môn mà còn giúp tôi về tinh thần trong những lúc tôi gặp khó khăn. Tôi cũng chân thành cảm ơn : * Các thầy cô trong bộ môn Xác Suất Thống Kê đặc biệt các Thầy PGS. TS NGUYỄN BÁC VĂN, TS TÔ ANH DŨNG, GS. TSKH NGUYỄN VĂN THU đã giảng dạy và truyền đạt cho tôi những kiến thức trong những năm học cao học.. * Quý Thầy Cô thuộc Khoa Toán - Tin trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên TPHCM đã tận tình hướng dẫn cung cấp tài liệu, trang bị nhiều kiến thức cần thiết cho tôi trong suốt thời gian học lớp cao học. * Tất cả các thầy trong hội đồng chấm luận văn đã dành cho tôi thời gian quý báu và những nhận xét cho buổi bảo vệ luận văn. * Các bạn học viên cao học Khóa 16 đã hổ trợ rất nhiều cho tôi về mọi mặt trong thời gian qua. Cuối cùng tôi xin chân thành cảm ơn gia đình và các bạn bè đã động viên, giúp đỡ và hỗ trợ tinh thần cho tôi trong suốt thời gian qua. TP Hồ Chí Minh, tháng 05 năm 2009 TRẦN THỊ VÂN ANH LỜI MỞ ĐẦU Xác Suất Thống Kê là lĩnh vực Toán học ứng dụng, nó đòi hỏi một cơ sở toán học sâu sắc. Ngày nay các mô hình Xác Suất đã thực sự được ứng dụng rộng rãi trong Khoa Học Tự Nhiên cũng như Khoa Học Xã Hội. Trong luận văn này, nghiên cứu về khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên. Về mặt lý thuyết chúng có nhiều tính chất thú vị liên hệ với các quá trình ngẫu nhiên khác. Về mặt ứng dụng chúng trở thành công cụ toán học có hiệu lực cho nhiều vấn đề trong các lĩnh vực khác nhau như toán học, vật lý, sinh học, cơ học, khoa học trái đất, kinh tế … Luận văn này gồm 3 chương : Chương 1 : “MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN “ Trong chương này nghiên cứu và nhắc lại kiến thức cơ bản cần cho luận văn này, cần đọc kỹ các khái niệm và nắm vững các kết quả như được mở đầu bằng việc giới thiệu không gian Hilbert gồm các biến ngẫu nhiên bình phương khả tích với vô hướng là hiệp phương sai của hai biến ngẫu nhiên, dùng phép chiếu trực giao để xây dựng phép xấp xỉ tuyến tính và lập phương trình dự đoán, tiếp theo nêu khái niệm kỳ vọng có điều kiện và chứng tỏ rằng kỳ vọng có điều kiện là dự đoán tốt nhất. Khai triển chính tắc của quá trình ngẫu nhiên cũng được nghiên cứu trong chương này. Ngoài ra còn nghiên cứu quá trình Wiener và tích phân Ito là hai khái niệm quan trọng khi nghiên cứu về quá trình ngẫu nhiên. Đây là những khái niệm cơ bản và là cơ sở để nghiên cứu những vấn đề tiếp theo. Chương 2 : “ ĐA THỨC HERMITE VÀ KHAI TRIỂN FOURIER – HERMITE “ Chương này nghiên cứu các định nghĩa, các tính chất và bổ đề của đa thức Hermite và tính chất của khai triển Fourier – Hermite. Một vài bổ đề ứng dụng được chứng minh trong chương này là công cụ chính để ta sử dụng tiếp cho chương sau. Chương 3 : “ QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN DẠNG HERMITE ” Chương này mở rộng đa thức Hermite của chương 2 đó là nghiên cứu quá trình ngẫu nhiên dạng Hermite. Bắt đầu khái niệm về quá trình ngẫu nhiên dạng Hermite. Sau đó mở rộng khái niệm là xác định hàm Hermite chuẩn suy rộng, sử dụng chúng để thu được tập trực chuẩn đầy đủ trong và . Cuối cùng nghiên cứu và nêu được một số đặc tính của vi phân ngẫu nhiên đối với quá trình ngẫu nhiên dạng Hermite. MỤC LỤC Trang Lời cảm ơn ………………………………………………………………. 1 Lời nói đầu ………………………………………………………………. 2 Mục lục …………………………………………………………………... 4 CHƯƠNG I MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN………………………. 7 §1.1 Không gian …………………………………….. 7 1.1.1 Biến ngẫu nhiên ……………………………………… 7 1.1.2 Định nghĩa …………………………………………… 7 1.1.3 Định nghĩa ………………………………………….... 8 1.1.4 Tính chất ……………………………………………… 9 1.1.5 Định lý (Định lý về phép chiếu trong không gian Hilbert) 9 1.1.6 Tính chất của phép chiếu ………………………………... 12 1.1.7 Phép xấp xỉ tuyến tính trong L2………………………… 12 1.1.8 Phương trình dự đoán ………………………………… . 13 1.1.9 Kỳ vọng có điều kiện và dự đoán tốt nhất trong L2……… 14 §1.2 Khai triển chính tắc của quá trình ngẫu nhiên ………………….16 1.2.1 Quá trình ngẫu nhiên biểu diễn dưới dạng tổng các hàm ngẫu nhiên cơ bản……………………………………………… 16 1.2.2 Khai triển chính tắc quá trình ngẫu nhiên ……………… 18 1.2.3 Đưa quá trình ngẫu nhiên về dạng chính tắc…………… 20 1.2.4 Mốt số khai triển chính tắc đặc biệt…………………… 22 §1.3 Cơ sở trực giao và trực chuẩn trong không gian Hilbert………… 25 1.3.1 Định nghĩa (Trực giao và trực chuẩn) ………………25 1.3.2 Định nghĩa ( Cơ sở ) …………………………………… 25 1.3.3 Định nghĩa ( Cơ sở trực giao và trực chuẩn ) ………… 26 1.3.4 Định nghĩa ( Phép chiếu trực giao ) ………………………26 §1.4 Quá trình Wiener ……………………………………… 27 1.4.1 Định nghĩa ( Quá trình Wiener )………………………… 27 1.4.2 Các tính chất quá trình Wiener và độ đo …………………27 1.4.3 Quá trình Wiener n - chiều ……………………………… 37 §1.5 Tích phân Ito … ……………………………………………… 39 1.5.1 Định nghĩa ……………………………………………….. 39 1.5.2 Các tính chất cơ bản của tích phân Ito …………………… 40 1.5.3 Tích phân Ito nhiều chiều ……………………………… 43 1.5.4 Vi phân ngẫu nhiên của hàm hợp, công thức Ito …......... 44 CHƯƠNG 2 ĐA THỨC HERMITE VÀ KHAI TRIỂN FOURIER – HERMITE §2.1 Đa thức Hermite …………………………………………………..48 Định nghĩa ………………………………………………..48 Liên hệ giữa đa thức trực giao và đa thức Hermite ………49 Đạo hàm của đa thức Hermite ……………………………50 Các bổ đề của đa thức Hermite ………………………… 53 §2.2 Khai triển Fourier – Hermite của hàm biến ngẫu nhiên Gauss 57 2.2.1 Khai triển Fourier – Hermite …………………………57 2.2.2 Tính chất ……………………………………………… 58 CHƯƠNG 3 QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN DẠNG HERMITE… 60 §3.1 Khái niệm về quá trình ngẫu nhiên dạng Hermite……………… 60 Định nghĩa ………………………………………………..60 Các ví dụ ………………………………………………… 60 §3.2 Tập trực chuẩn đầy đủ trong và …………… ... 62 Định nghĩa ……………………………………………… 62 Các tính chất …………………………………………… 62 Định nghĩa ………………………………………………. 64 Tính chất ………………………………………………… 65 §3.3 Một số đặc tính của vi phân ngẫu nhiên ………………………… 66 Định nghĩa ………………………………………………..66 Định lý ……………………………………………………67 Bổ đề …………………………………………………… 67 Hệ quả …………………………………………………… 69 Các tính chất của quá trình dạng Hermite……………… 70 KẾT LUẬN …………………………………………………… 74 TÀI LIỆU THAM KHẢO…………………………………….. 75 CHƯƠNG 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN §1.1 KHÔNG GIAN Phần này giới thiệu không gian các biến ngẫu nhiên bình phương khả tích L2() 1.1.1 BIẾN NGẪU NHIÊN Biến ngẫu nhiên là đại lượng mà giá trị của nó phụ thuộc vào kết quả của thí nghiệm . Ta định nghĩa chính xác biến ngẫu nhiên là : Xét phép thử ngẫu nhiên với tập và - đại số F các biến cố Biến ngẫu nhiên là ánh xạ sao cho: hoặc : B với B là tập các tập Borel trong R . Ta chỉ xét những tập B sao cho là biến cố, tức F, khi đó lớp tất cả các biến cố là lớp biến cố cảm sinh bởi biến số ngẫu nhiên . 1.1.2 ĐỊNH NGHĨA Ta xét không gian xác suất và lớp các biến ngẫu nhiên bình phương khả tích được định nghĩa trên và thỏa mãn điều kiện : Khi đó, ta có : Mặt khác: Nên , ta cũng có : Kí hiệu là không gian Hilbert các đại lượng ngẫu nhiên X sao cho . Với hai phần tử ta định nghĩa tích vô hướng trong là . (1.1) Không gian là tập các lớp tương đương với tích vô hướng được định nghĩa theo công thức (1.1), mặt khác vì mỗi lớp tương đương được xác định duy nhất bằng cách lấy một phần tử bất kì nào đó của lớp làm đại diện nên ta vẫn dùng kí hiệu X, Y để chỉ các phần tử của , ta có thể dùng ngắn gọn và vẫn gọi đó là những biến ngẫu nhiên bình phương khả tích và ta chú ý rằng nếu chỉ có X thì hiểu rằng X là đại diện cho cả một lớp các biến ngẫu nhiên tương đương với X. 1.1.3 ĐỊNH NGHĨA Sự hội tụ trong L2 là sự hội tụ bình phương trung bình viết là nghĩa là, dãy các phần tử , được gọi là hội tụ đến X nếu và chỉ nếu : khi Để xây dựng tính đầy của L2 là không gian Hilbert ta còn phải xây dựng tính đầy của L2 nghĩa là nếu khi thì tồn tại sao cho: Ta xét tính chất : 1.1.4 TÍNH CHẤT Nếu và ; n = 1, 2, 3… thì tồn tại một biến ngẫu nhiên X trên sao cho . Chứng minh: Chọn = 0 Đặt Xn : = , khi đó theo bất đẳng thức Cauchy – Schward, ta có : E ( ) = Từ đó, suy ra tồn tại và giới hạn đó hữu hạn. Như thế tồn tại. 1.1.5 ĐỊNH LÝ (Định lý về phép chiếu trong không gian Hilbert) Nếu A là một không gian con đóng của không gian Hilbert H và thì: a) Tồn tại duy nhất một phần tử sao cho b)và nếu và chỉ nếu và x’ được gọi là chiếu (trực giao) của x lên A, viết là Định lý này được gọi là định lý về phép chiếu trực giao. Chứng minh: a) Nếu thì tồn tại một dãy , sao cho . Hơn nữa, với k, l bất kì thuộc không gian Hilbert, theo quy tắc đường chéo hình bình hành ta có : Do đó, xét Ta có: tức là: Mặt khác, vì: khi Từ đó theo tiêu chuẩn Cauchy, sao cho và vì A đóng nên và vì tính liên tục của tích vô hướng nên : Để chứng minh tính duy nhất của x’ ta giả sử có sao cho: khi đó dùng tính chất hình bình hành ta có : b) Nếu và thì x’ là phần tử duy nhất của A được định nghĩa trong a) vì với bất kỳ có : dấu “ = “ đạt được khi và chỉ khi . Ngược lại, nếu và thì x không là phần tử của A và có phần tử x’’ : với x’’ gần x’ hơn x, với y là phần tử bất kỳ của A sao cho: và Thật vậy, 1.1.6 TÍNH CHẤT CỦA PHÉP CHIẾU i) . ii) trong đó I là phép đồng nhất. iii) tồn tại duy nhất một biểu diễn: ; iv) khi và chỉ khi v) khi và chỉ khi . vi) nếu và chỉ nếu . vii) nếu và chỉ nếu . 1.1.7 PHÉP XẤP XỈ TUYẾN TÍNH TRONG L2 Giả sử X1, X2 và Y là những biến ngẫu nhiên trong L2, nếu chỉ có thể quan sát được X1, X2 mà ta ước lượng giá trị của Y bằng cách dùng tổ hợp tuyến tính: , sao cho sai sót M dưới đây có trung bình bình phương đạt giá trị nhỏ nhất, nghĩa là sao cho: min Ta có thể viết : . Lấy đạo hàm riêng của M lần lượt đối với ,, dẫn đến hệ phương trình cho nghiệm tối ưu (1.4) Ngoài ra, ta có thể dùng định lý hình chiếu trong không gian Hilbert L2 . Ta đặt vấn đề tìm phần tử Y’ trong tập đóng A : với , sao cho : với . Như vậy, theo định lí chiếu trong không gian Hilbert và Y’ thỏa điều kiện trên khi và chỉ khi và và do đó , tức là : Áp dụng tính chất của tích vô hướng đã định nghĩa ở trên ta suy ra (1.4). 1.1.8 PHƯƠNG TRÌNH DỰ ĐOÁN Cho không gian Hilbert , một tập con đóng và một phần tử , định lý chiếu trong không gian Hilbert khẳng định rằng tồn tại duy nhất một phần tử sao cho: (1.5) Phương trình (1.5 ) gọi là phương trình dự đoán và phần tử là dự đoán tốt nhất của X trong A. Hay ta có thể nói dự đoán tốt nhất của X trong A là chiếu của X trong A. 1.1.9 KỲ VỌNG CÓ ĐIỀU KIỆN VÀ DỰ ĐOÁN TỐT NHẤT TRONG L2 Như ta đã nói ở trên, nếu , thì khi và chỉ khi: khi Một số tính chất của sự hội tụ theo nghĩa bình phương trung bình Nếu thì khi i) ii) iii) Định nghĩa 1: ( Dự đoán bình phương trung bình tốt nhất của Y) Nếu A là một không gian con đóng của thì dự đoán bình phương tốt nhất của Y trong A được định nghĩa là phần tử sao cho : Định nghĩa 2: ( Kỳ vọng có điều kiện ) Nếu A là một không gian con đóng trong L2 và chứa các hàm hằng, nếu thì ta định nghĩa kỳ vọng có điều kiện của X với A cho trước là phép chiếu Mặt khác, vì toán tử là toán tử chiếu trên L2 nên có các tính chất phép chiếu : i) ii) nếu iii) nếu §1.2 KHAI TRIỂN CHÍNH TẮC CỦA QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN 1.2.1 QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN BIỄU DIỄN DƯỚI DẠNG TỔNG CÁC HÀM NGẪU NHIÊN CƠ BẢN Định nghĩa ( Hàm ngẫu nhiên cơ bản ) Hàm ngẫu nhiên cơ bản là hàm có dạng : (1.6) trong đó : C là một đại lượng ngẫu nhiên là hàm không ngẫu nhiên của biến số Các đặc trưng của hàm ngẫu nhiên cơ bản Kỳ vọng : trong đó : là kỳ vọng của đại lượng ngẫu nhiên C * Nếu thì * Khi xét các hàm ngẫu nhiên cơ bản có kỳ vọng bằng không , ta kí hiệu là => Hàm tự tương quan của hàm ngẫu nhiên cơ bản : trong đó : là phương sai của đại lượng ngẫu nhiên C Đối với các hàm ngẫu nhiên cơ bản, ta có các phép biến đổi tuyến tính + Phép toán đạo hàm : + Phép toán tích phân xác định : Nếu G là một toán tử tuyến tính , ta có : Định nghĩa ( Quá trình ngẫu nhiên theo các hàm cơ bản) Cho quá trình ngẫu nhiên : (1.7) trong đó : là các đại lượng ngẫu nhiên có kỳ vọng bằng 0, là kỳ vọng của . Biểu thức (1.7) được gọi là khai triển của quá trình ngẫu nhiên theo các hàm cơ bản. với : + các đại lượng ngẫu nhiên , được gọi là hệ số khai triển. + các hàm không ngẫu nhiên , được gọi là các hàm tọa độ. Đặc trưng của quá trình ngẫu nhiên theo các hàm cơ bản Giả sử biểu diễn được dưới dạng (1.7) , khi đó : Xét một toán tử tuyến tính G tác động lên , ta sẽ có : ` Đặt và Khi đó : Ta thu được theo các hàm cơ bản với các hệ số . Như vậy, nếu quá trình ngẫu nhiên khai triển dưới dạng tổng các hàm cơ bản, qua phép biến đổi tuyến tính G thì các hệ số khai triển không thay đổi, còn kỳ vọng và các hàm tọa độ bị tác động theo phép biến đổi tuyến tính. 1.2.2 KHAI TRIỂN CHÍNH TẮC CỦA QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN Giả sử quá trình ngẫu nhiên khai triển dưới dạng : , trong đó : là các đại lượng ngẫu nhiên có kỳ vọng bằng 0 và ma trận tương quan . Xét hàm tự tương quan và phương sai của trong đó : Khi đó : với : ( được gọi là phương sai của ) Như vậy : (1.8) Đặt t = t’ ta có phương sai của : (1.9) * Chú ý : Nếu các hệ số không tương quan với nhau , nghĩa là = 0 () . Khi đó ta nói (1.7) là khai triển chính tắc của hàm ngẫu nhiên Nhận xét * Khai triển chính tắc của quá trình ngẫu nhiên là khai triển có dạng : trong đó : là kỳ vọng của quá trình ngẫu nhiên là các hàm tọa độ là các đại lượng ngẫu nhiên không tương quan với nhau và đều có kỳ vọng bằng 0 * Nếu có khai triển chính tắc thì hàm tự tương quan của nó có dạng là * Nếu có khai triển chính tắc thì phương sai của có dạng là : 1.2.3 ĐƯA QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN VỀ DẠNG CHÍNH TẮC Cho quá trình ngẫu nhiên biểu diễn dưới dạng : (1.10) trong đó : là các hàm không ngẫu nhiên là các đại lượng ngẫu nhiên tương quan có ma trận tương quan : với : và Biểu thức dạng (1.10) của chưa phải là dạng chính tắc , do đó ta cần đưa nó về dạng chính tắc. Ta viết biểu thức(1.10) dưới dạng : Đặt : , , Khi đó: Biểu thức trên còn có thể viết dưới dạng : (1.11) với : và là các ma trận cột và T biểu diễn phép chuyển vị của ma trận Ma trận tương quan được viết dưới dạng : Chọn ma trận A sao cho vectơ : có các thành phần , là các đại lượng ngẫu nhiên không tương quan (1.12) với : là ma trận đường chéo mà các phần tử trên đường chéo là phương sai của , Biểu thức ( 1.12) ta thấy ma trận A đã chuyển ma trận tương quan về dạng đường chéo Ma trận là đối xứng và thực , vì vậy tồn tại ma trận trực giao A thỏa : Ta có : với : (do A là ma trận trực giao nên ) Như vậy ta có quá trình ngẫu nhiên được đưa về dạng chính tắc : MỘT SỐ KHAI TRIỂN CHÍNH TẮC ĐẶC BIỆT Khai triển Karhunen – Loéve Quá trình Wiener khai triển theo công thức : trong đó : là các đại lượng ngẫu nhiên độc lập có phân phối chuẩn : , là các hàm không ngẫu nhiên xác định bởi : * Dãy hàm có thể xem như một hệ trực chuẩn đầy đủ trong với : , * Mặt khác, dãy hàm có thể xem như hàm riêng của toán tử B được xác định bởi công thức: với Các giá trị riêng của toán tử B là : , i = 0, 1, 2 …. Khai triển theo các hàm Schauder Xác định các hàm Haar bởi các biểu thức sau : ………………………. Các hàm Haar tạo nên một hệ trực chuẩn đầy đủ trong . Tích phân các hàm Haar ta được các hàm Schauder Cho là dãy các đại lượng ngẫu nhiên độc lập có cùng phân phối chuẩn . Khi đó quá trình ngẫu nhiên xác định bởi sẽ là một chuyển động Brown tiêu chuẩn với §1.3 CƠ SỞ TRỰC GIAO VÀ TRỰC CHUẨN TRONG KHÔNG GIAN HILBERT 1.3.1 ĐỊNH NGHĨA ( Trực giao, trực chuẩn ) Hai phần tử x, y của không gian Hilbert được gọi là trực giao, nếu: . Cho tập hợp ta viết nếu mọi , . Phần bù trực giao cho tập S trong H, kí hiệu , là tập tất cả sao cho . Tích vô hướng trên không gian Hilbert H được xác định: Tập hợp hàm trong không gian H là tập trực giao nếu mọi phần tử là trực giao. Chẳng hạn, Nếu hàm đã được chuẩn hóa sao cho khi đó tập hợp được gọi là tập trực chuẩn. 1.3.2 ĐỊNH NGHĨA (Cơ sở) Nếu tập hợp bao gồm các hàm độc lập tuyến tính trong H được gọi là cơ sở của H. Số những phần tử cơ sở được gọi là chiều của H. Cho cơ sở của không gian Hilbert H, tồn tại với bất kì một tập duy nhất hệ số sao cho : (1.13) Hệ số này được gọi là hệ số khai triển của x đối với cơ sở B. Từ (1.13 ) viết đơn giản là: (1.14) 1.3.3 ĐỊNH NGHĨA (Cơ sở trực giao và trực chuẩn) Cơ sở trực giao của không gian Hilbert H là tập trực giao trong H. Nếu trong hàm cộng tính là chuẩn, chẳng hạn , khi đó nó là cơ sở trực chuẩn. Tính chất của cơ sở trực chuẩn là khai triển hệ số bởi tích vô hướng của x với hàm cơ sở trực chuẩn : (1.15) Bất kì tập hợp của hàm độc lập trong không gian Hilbert H có thể biến đổi thành tập trực chuẩn. Hiển nhiên bất kì tập trực giao có thể thành trực chuẩn do được chuẩn hóa đơn giản. Do đó, hầu như ta xét trực chuẩn hơn tập trực giao và cơ sở không mất tính tổng quát. Xét không gian con S của không gian Hilbert H. Khi đó ta xác định phép chiếu trực giao trên S như sau: 1.3.4 ĐỊNH NGHĨA ( Phép chiếu trực giao ) Xét cơ sở trực chuẩn của không gian con S của H. Phép chiếu trực giao của trên S, kí hiệu: , được cho: §1.4 QUÁ TRÌNH WIENER Quá trình Wiener là một ví dụ rất quan trọng đối với lý thuyết xác suất thống kê. Qua thí nghiệm của Brown quá trình ngẫu nhiên này được dùng làm mô hình chuyển động của hạt dưới tác động va chạm hỗn loạn của các phần tử . 1.4.1 ĐỊNH NGHĨA ( Quá trình Wiener ) Ta gọi quá trình là quá trình Wiener thỏa mãn các điều kiện sau: i) ( h.c ) ii) Với mọi các đại lượng ngẫu nhiên là đại lượng độc lập iii) W(t) có phân phối chuẩn với kỳ vọng bằng 0 và phương sai t iv) là quá trình liên tục, tức hầu hết các quỹ đạo của là hàm liên tục. * Một quá trình Wiener với tham số phương sai bằng 1 được gọi là quá trình Wiener tiêu chuẩn ( hay chuyển động Brown tiêu chuẩn ). * Nếu ta thay bởi ta sẽ có quá trình Wiener xuất phát từ x 1.4.2 CÁC TÍNH CHẤT QUÁ TRÌNH WIENER VÀ ĐỘ ĐO WIENER Tính chất 1: Nếu là quá trình Wiener khi đó : trong đó : Chứng minh: Giả sử, , ta sẽ có : Do có phân phối chuẩn và là độc lập với . □ Tính chất 2 : Cho và , trong đó và xác định : Khi đó : trong đó : là độ đo Lebesgue Chứng minh: Không mất tính tổng quát, giả sử với , khi đó: (1.16) Ta có: = Khi đó theo tính chất 1 ta có : Kết hợp (1.16) ta có : □ Tính chất 3: Với và , trong đó j = 1, 2, …, n : Chứng minh : Không mất tính tổng quát giả sử với Ta chứng minh tính chất này bằng phép quy nạp trên n. Với trường hợp , ta thấy rằng : (1.17) Thật vậy ,vế trái (1.17) = Đặt Khi đó vế trái (1.17) = = Vậy (1.17) thỏa mãn. Bằng phương pháp quy nạp ta giả thiết : (1.18) với mọi số k, ta chỉ ra rằng tính chất này đúng với Ta xét : trong đó: với và . Như vậy: = Do tính chất số gia độc lập của , khi ta có độc lập với mọi với Bởi vậy : = = do giả thiết (1.18). Khi có cùng phân phối với Ta có : = = từ cơ sở trên ta có công thức (1.17) Như vậy ta có: = (1.19) mà : = = (1.20) thay (1.20) vào (1.19) ta có: = . Bằng phép quy nạp ta suy ra điều phải chứng minh. Độ đo Wiener : Cho và xác định : . trong đó : là tập hợp Borel của đường thẳng thực với Khi đó : Chứng minh : Ta có: . Hơn nữa, có cùng phân phối với . Như vậy : kí hiệu là quá trình Wiener tại x, khi đó : Khi đó, do tính chất của số gia độc lập, ta có : Như vậy : Tính chất 4 : Tổng bình phương các gia số của quá trình Wiener ứng với phân hoạch của đoạn từ a đến b hội tụ đến b – a theo bình phương trung bình khi làm mịn phân hoạch : Chứng minh: Ta có : Do tính độc lập của ( i = 0,1,…, n – 1 ) Vậy : khi thì Từ đó : khi hay khi làm mịn phân hoạch Tính chất 5: Cho W(t) là quá trình Wiener tiêu chuẩn, khi đó quá trình : cũng sẽ là quá trình Wiener tiêu chuẩn. Chứng minh: Để chứng minh tính chất này ta dùng phương pháp hàm đặc trưng Khi t > u ta xét : = = = (1.21) Như vậy có phân phối chuẩn N (0, t -u ). Tính độc lập của các số gia của quá trình K(u) , được suy ra từ hệ thức sau: = = = u – u = 0 (1.22) Từ (1.21) và (1.22) ta suy ra K(u) là một quá trình Wiener tiêu chuẩn. Tính chất 6 Các quỹ đạo của quá trình Wiener hầu hết không đâu khả vi, cho dù chúng liên tục hầu chắc chắn : P { là khả vi } = 0 Tính chất 7 : Hầu chắc chắn hàm không có biến phân bị chặn trên bất kỳ khoảng hữu hạn nào : Tính chất 8: W(t) tuân theo luật lôga lặp, nghĩa là : Luật lôga lặp địa phương của quá trình Wiener : Tính chất 9: là một Mactingan đối với Tính chất 10 : (Đặc trưng Levy của quá trình Wiener ) là quá trình Wiener khi và chỉ khi : + là một mactingan , hầu chắc chắn. + là một mactingan ( đối với ) 1.4.3 QUÁ TRÌNH WIENER n - CHIỀU Một quá trình Wiener n - chiều là vectơ sao cho : trong đó: là quá trình Wiener một chiều và, với , quá trình và độc lập. Tính chất 1: Nếu là quá trình Wiener n - chiều : Chứng minh : Rõ ràng nếu khi đó ) và độc lập và bởi vậy : Hơn nữa, nếu ta dễ dàng có tính chất 1. Tính chất 2 : Với và trong đó : Chứng minh : Theo tính chất 3 ở trên , khi sử dụng tính độc lập của thành phần quá trình Wiener ta có : = §1.5 TÍCH PHÂN ITO 1.5.1 ĐỊNH NGHĨA Giả sử trên không gian đã cho họ hàm tăng các - đại số , và quá trình Wiener , , với quỹ đạo liên tục tương thích với họ sao cho số gia sau thời điểm t độc lập với - đại số . Cho T là một số không âm , ta xét là lớp các hàm ngẫu nhiên thỏa các điều kiện sau : i) ii) f( t ) là hàm đo được iii) ft là tương thích đối với , nghĩa là là đo được Để xây dựng khái niệm tích phân Ito của hàm ngẫu nhiên thuộc lớp trước hết ta xét các hàm sơ cấp, nghĩa là hàm có dạng : (1.23) trong đó : là một phân hoạch của , f (tk) là các biến ngẫu nhiên đo được đối với , với k = 0, 1, 2, …, n ; I là hàm chỉ tiêu Với các hàm sơ cấp có dạng (1.23) ta xác định tích phân Ito của hàm ngẫu nhiên cơ bản bởi : Với sẽ tồn tại dãy hàm sơ cấp bị chặn sao cho : Từ đó ta định nghĩa tích phân Ito cho hàm ngẫu nhiên thuộc lớp theo hệ thức sau 1.5.2 CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA TÍCH PHÂN ITO Tính chất 1: ( tuyến tính ) , trong đó : : là những hằng số Chứng minh: Ta giả sử : Do định nghĩa = = = Tính chất 2: Chứng minh: và độc lập với nhau Bởi vậy: = Khi đó theo định nghĩa : = = = 0 Tính chất 3: (Đẳng cự Ito ) Khi ta sẽ có : Chứng minh: Do định nghĩa = Nếu i < k khi đó do tính chất độc lập Ta có : = = 0 Như vậy, = = = = = Tính chất 4 : là hàm đo được đối với Chứng minh: Khi Và do định nghĩa và đo được đối với , nên: đo được đối với Tính chất 5 là một martingale đối với Chứng minh : Với , do tính chất 2 , tính chất 4 và tính chất số gia độc lập Ta có : Tính chất 6 : Với Tính chất 7: . trong đó: f là biến ngẫu nhiên tùy ý đo được đối với và bình phương khả tích 1.5.3 TÍCH PHÂN ITO NHIỀU CHIỀU Vectơ ngẫu nhiên được gọi là quá trình Wiener n - chiều nếu : + Mỗi thành phần là quá trình Wiener 1 chiều + Các thành phần là những quá trình ngẫu nhiên độc lập Giả sử là ma trận sao cho mỗi thuộc . Khi đó ta định nghĩa : là ma trận ( hay vectơ cột m - chiều ) mà thành phần thứ i của nó là : 1.5.4 VI PHÂN NGẪU NHIÊN CỦA HÀM HỢP, CÔNG THỨC ITO Trong phép tính vi phân thông thường có vi phân của đạo hàm hợp như sau : Giả sử là hàm khả vi sao cho : Giả sử g (t, x) là hàm hai biến khả vi. Khi đó công thức tính vi phân của hàm số hợp dạng : Ta xét vi phân ngẫu nhiên Ito , ta có : Công thức Ito 1- chiều : Định nghĩa: Tích phân ngẫu nhiên Ito hay quá trình Ito (1chiều ) là quá trình ngẫu nhiên liên tục trong có dạng : nếu: trong đó : và là các quá trình ngẫu nhiên tương thích đối với đo được sao cho : Công thức Ito : Nếu X(t) là quá trình Ito dạng : và là một hàm một lần khả vi liên tục theo t, hai lần khả vi liên tục theo x. Khi đó quá trình ngẫu nhiên có vi phân tính theo công thức sau : hay có thể viết cách khác : + Công thức Ito nhiều chiều : Giả sử là quá trình Wiener nhiều chiều, tức là, các thành phần của nó độc lập với nhau, và mỗi thành phần của nó : là một quá trình Wiener một chiều ( i = 1,…,n) Định nghĩa: Tích phân ngẫu nhiên Ito hay quá trình Ito n - chiều là quá trình ngẫu nhiên vectơ liên tục sao cho mỗi thành phần của nó là quá trình Ito: trong đó: và là các quá trình ngẫu nhiên tương thích đối với sao cho : Trong trường hợp như thế ta nói có vi phân ngẫu nhiên và ta viết : Công thức Ito nhiều chiều: Cho quá trình ngẫu nhiên Wiener n - chiều Và một quá trình ngẫu nhiên k - chiều Có vi phân ngẫu nhiên: (1.24) trong đó A(t) là hàm vectơ và là ma trận các hàm đo được Ta có thể viết dưới dạng tọa độ như sau : Công thức vi phân Ito mở rộng có dạng : Với quá trình ngẫu nhiên k- chiều , có vi phân ngẫu nhiên (1.21) và Y(t) là hàm khả vi liên tục một lần theo t , hai lần theo xi và xj đồng thời các đạo hàm riêng bị chặn Ta có: CHƯƠNG 2 ĐA THỨC HERMITE VÀ KHAI TRIỂN FOURIER – HERMITE §2.1 ĐA THỨC HERMITE Trên trục thực với độ đo Gauss : , (2.1) trong đó . 2.1.1 ĐỊNH NGHĨA Ta định nghĩa không gian các hàm bình phương khả tích với độ đo Gauss là : Tích vô hướng trong không gian này được xác định là : Giả sử, là biến ngẫu nhiên Gauss chuẩn với phân phối ,khi đó: với là toán tử kỳ vọng Ta kí hiệu không gian Hilbert trong định nghĩa trên là 2.1.2 LIÊN HỆ GIỮA ĐA THỨC TRỰC GIAO VÀ ĐA THỨC HERMITE Đa thức Hermite được xác định là: (2.2) là đa thức trực giao đối với độ đo Gauss = Do đó đa thức Hermite chuẩn hóa được xác định : (2.3) là cơ sở trực chuẩn trong không gian Hilbert . Khi , ta có: nếu n 0 (2.4) Bởi vậy đa thức Hermite của biến ngẫu nhiên Gauss chuẩn có kỳ vọng bằng 0 Cũng như hầu hết những đa thức trực giao, đa thức Hermite có hàm sinh (2.5) Khai triển thành chuỗi Taylor của biến z ( x được xem như một tham số) Ta có: Mặt khác, = (2.6) Bởi vậy hệ số khai triển Taylor là đa thức Hermite (2.7) Hàm sinh (2.5) là hàm lũy thừa trong tính chất của đa thức Hermite 2.1.3 ĐẠO HÀM CỦA ĐA THỨC HERMITE Đạo hàm 2 vế công thức (2.2) đối với x ta có : => (2.8) Mặt khác, đạo hàm 2 vế (2.6) đối với x ta có : Sự chuyển lấy chỉ số tích phân trong So sánh hệ số ta có : (2.9) Hệ thức đệ quy của đa thức Hermite : Ta có thể sử dụng hệ thức đệ quy đạo hàm phép toán Hermite Kết hợp công thức (2.8) và (2.9) ở trên Ta suy ra được : Hay Từ công thức (2.8) ta có : (2.10) Đạo hàm đối với x ta có : hay (2.11) Đây là phép toán đa thức Hermite Sử dụng hệ thức đệ quy (2.10) với Ta có thể dễ dàng có các đa thức Hermite là : Hệ thức đệ quy của đa thức Hermite chuẩn: Ta có : Đạo hàm 2 vế ta có : (2.12) Sự chuyển lấy chỉ số tích phân và so sánh hệ số zn ta có : (2.13) Với đa thức Hermite chuẩn, kết hợp (2.12) và (2.13) hệ thức đệ quy trở thành (2.14) với Vậy theo quy tắc đạo hàm ta có 2.1.4 CÁC BỔ ĐỀ CỦA ĐA THỨC HERMITE Bổ đề 1 : , (2.15) trong đó là mật độ Gauss (2.1) Chứng minh : Do phép tích phân và hệ thức đệ quy (2.14) ta có: Theo công thức (2.13) : nên : = = do công thức (2.14) Chia 2 vế cho , ta có (2.15) Bổ đề 2: Với bất kì số nguyên k và l không âm , kí hiệu Ta có: (2.16) trong đó: (2.17) Chứng minh: Từ công thức (2.6) ta có : (2.18) Mặt khác: = = = = Cho khi thì tương đương . Công thức trên có thể viết: kí hiệu Khi , ta có Thay đổi tổng trên ta có: Bởi vậy , ta có: (2.19) So sánh công thức trên với (2.18) ta có: (2.20) mà nên : . Bổ đề 3: Giả sử Hn(x) là đa thức Hermite chuẩn và là biến ngẫu nhiên Gauss chuẩn. Khi đó: trong đó : a là hằng số tùy ý. Chứng minh: Từ hàm sinh (2.6) ta có: Mặt khác: So sánh 2 công thức trên ta có: Lấy kỳ vọng 2 vế : => = với i = n *** Chú ý: E[ Pk() ] = = Như vậy ,ta có : = = §2.2 KHAI TRIỂN FOURIER - HERMITE CỦA HÀM BIẾN NGẪU NHIÊN GAUSS 2.2.1 KHAI TRIỂN FOURIER - HERMITE Khi đa thức Hermite là cơ sở trực giao trong , với bất kỳ hàm tồn tại khai triển Fourier - Hermite trong đó Mặt khác, ta xem như một hàm của biến ngẫu nhiên đơn vị Gauss với . Bởi vậy hàm ngẫu nhiên có khai triển Fourier - Hermite : (2.21) Điều này nhất quán với khai triển Fourier – Hermite (2.21) vì rằng : , với n > 0 Từ định lí Parseval, ta có: E[f2()]= (2.22) Thông thường khai triển Fourier - Hermite là công thức cho hàm tất định trong không gian đều L2(R) với độ đo Lebesgue. Xác định hàm Hermite là: trong đó là phân phối Gauss (2.1) Dạng hàm Hermite là cơ sở trực chuẩn trong L2(R). Với bất kì hàm , có khai triển: (2.23) (2.24) Liên quan khai triển (2.21) đến (2.24) , với bất kì hàm , ta có Khi đó khai triển (2.21) là tương đương 2.2.2 TÍNH CHẤT Giả sử , khi đó hệ số Fourier - Hermite là: (2.25) trong đó: là kỳ vọng đối với độ đo Gauss đơn vị . Chứng minh: Dựa vào công thức (2.15) ta có = = do phép quy nạp ta dễ dàng có công thức (2.25) Khai triển Fourier – Hermite (2.21) có thể mở rộng thành đa chiều. Với chỉ số hữu hạn với thành phần số nguyên không âm, xác định đa thức Hermite nhiều biến bằng tích vô hướng Khi đó là cơ sở trực giao trong không gian Hilbert , trong đó là độ đo Gauss d – chiều trên . Kí hiệu là vectơ ngẫu nhiên với những thành phần độc lập. Giả sử là hàm của biến ngẫu nhiên với khi đó và tồn tại khai triển Fourier Hermite : với Mặt khác, ta có : , Khai triển phù hợp với không gian hữu hạn chiều với CHƯƠNG 3 QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN DẠNG HERMITE Từ khái niệm về quá trình ngẫu nhiên Wiener kết hợp với các đa thức Hermite ta sẽ xây dựng được quá trình ngẫu nhiên dạng Hermite . Chúng sẽ trở thành cơ sở trực giao của không gian các quá trình ngẫu nhiên. Vì vậy trong chương này ta tập trung nghiên cứu và nêu được một số đặc tính của vi ngẫu nhiên đối với quá trình ngẫu nhiên dạng Hermite. Về mặt lý thuyết chúng có những tính chất lý thú và cũng có nhiều ứng dụng quan trọng. Từ đa thức Hermite một biến ở chương 2 ta mở rộng đa thức Hermite hai biến ở chương 3. Ta bắt đầu khái niệm về quá trình ngẫu nhiên dạng Hermite § 3.1 KHÁI NIỆM VỀ QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN DẠNG HERMITE 3.1.1 ĐỊNH NGHĨA Đa thức Hermite bậc n là đa thức xác định bởi : (3.1) 3.1.2 CÁC VÍ DỤ Theo định nghĩa trên, ta có : Khi n = 0 : Khi n = 1 : Khi n = 2 : Khi n = 3: Khi n = 4 : ………………………….. § 3.2 TẬP TRỰC CHUẨN ĐẦY ĐỦ TRONG VÀ Trong phần này ta xác định hàm Hermite chuẩn suy rộng. 3.2.1 ĐỊNH NGHĨA Với m = 0, 1, 2,… và , ta xác định đa thức Hermite suy rộng trong bậc m là (3.2) Công thức (3.2) được gọi là đa thức Hermite suy rộng với hai biến (v, t) Theo định nghĩa từ (3.2) ta sẽ thu được Khi m = 0 : Khi m = 1 : Khi m = 2: 3.2.2 CÁC TÍNH CHẤT Tính chất 1: (3.3) Chú ý: Với m = 0, 1,… và Đạo hàm 2 vế biểu thức (3.2) theo biến v ta có : (3.3’) Với m = 1,2……, và từ (3.3) và ( 3.3’) Ta có Tính chất 2: Với bất kì số nguyên m và k không âm , (3.4) Chứng minh : Giả sử với Cho Khi đó: Sử dụng công thức trên thay vào công thức (3.4) ta có : Áp dụng công thức tính tích phân từng phần ta có : Tiếp tục cách này ta có Ta xét 2 trường hợp : + Trường hợp 1: Nếu m < k thì I = 0 +Trương hợp 2: Nếu m = k , sử dụng công thức (3.3) trên = Vậy tính chất 2 đã chứng minh xong. 3.2.3 ĐỊNH NGHĨA Với m = 0,1….. và ta xác định hàm Hermite suy rộng bậc m là : Và ta xác định hàm Hermite chuẩn suy rộng bậc m là (3.5) 3.2.4 TÍNH CHẤT Tập hợp hàm xác định bởi (3.16) là tập hợp cơ sở trực giao Chứng minh: Sử dụng công thức (3. 5) trên với mọi số nguyên k và m không âm § 3.3 MỘT SỐ ĐẶC TÍNH CỦA VI PHÂN NGẪU NHIÊN ĐỐI VỚI QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN DẠNG HERMITE 3.3.1 ĐỊNH NGHĨA Cho là quá trình Wiener tiêu chuẩn một chiều (chuyển động Brown ), khi đó ta xác đinh công thức Hermite bởi công thức truy hồi sau : ----------------------------------------- Hoặc ta có thể xác định cách khác bởi công thức truy hồi sau : Vậy là quá trình ngẫu nhiên và ta gọi chúng là quá trình ngẫu nhiên dạng Hermite. 3.3.2 ĐỊNH LÝ Cho là quá trình ngẫu nhiên dạng Hermite. Khi đó với m nguyên và lớn hơn 1 ta sẽ có vi phân ngẫu nhiên (3.6) Để chứng minh định lý trên ta cần chứng minh bổ đề sau 3.3.3 BỔ ĐỀ : Đối với quá trình ngẫu nhiên dạng Hermite ta sẽ có (3.7) Chứng minh: Trước hết ta nhận xét : suy ra : (***) Mà theo (3.1) => Thay vào (***) ta có : Vậy theo khai triển Taylor đối với hàm tại = 0 ta sẽ có : Mặt khác , nếu ta áp dụng công thức Itô cho hàm (3.8) Ta sẽ có lại là nghiệm của phương trình vi phân ngẫu nhiên Từ đó, ta có: (3.9) Vậy Vậy bổ đề đã chứng minh xong. * Chứng minh định lý 3.3.2 Áp dụng công thức Itô cho hàm với m nguyên , lớn hơn 1 và Từ công thức Ito Và (3.7) ta suy ra được (3.6) Vậy định lý 3.3.2 đã chứng minh xong. Ví dụ : Với m = 2 từ công thức (3.6) ta có : (3.10) Chú ý: Công thức (3.8) còn có thể thu được từ nhận xét sau: Giả sử và có vi phân ngẫu nhiên tương ứng là: Khi đó : Với Sử dụng công thức (3.7) ta có được công thức (3.10) 3.3.4 HỆ QUẢ: Cho là các quá trình ngẫu nhiên dạng Hermite, ta sẽ có : (3.11) Thật vậy khi sử dụng công thức (3.8) với = 1 ta sẽ có được (3.11) CÁC TÍNH CHẤT CỦA QUÁ TRÌNH DẠNG HERMITE Cho là các quá trình ngẫu nhiên dạng Hermite , ta sẽ có: a) . (3.12) b) . (3.13) c) . (3.14) d) . (3.15) e) (3.16) Chứng minh: Chứng minh tính chất (a) và (b) Ta có : và từ (3.7) ta có : (3.17) Ta chứng minh (a) và (b) đối với các hàm bước nhảy, và giả sử rằng khi ; là F- đo được và Fđộc lập với - trường sinh bởi chuyển động Brown trong tương lai sau thời điểm Lấy kỳ vọng 2 vế (3.17) do và độc lập với nhau Vậy => Với j < k khi đó độc lập với Ta có : (do ) Do đó : Vậy Chứng minh (c ) Từ hệ thức (3.10) ta có : Lấy kì vọng 2 vế => Theo tính chất (b) nên Vậy Vậy tính chất (c) chứng minh xong Chứng minh tính chất (d) : đẳng thức (3.15) chính là đẳng thức (3.7) mà ta đã chứng minh Chứng minh tính chất (e) : dựa vào tính đẳng cự Ito của tích phân ngẫu nhiên. KẾT LUẬN Khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên có nhiều vấn đề hấp dẫn, thú vị cũng như những ứng dụng thực tế của chúng trong cuộc sống của chúng ta. Tôi rất muốn nghiên cứu thêm và đưa ứng dụng thực tế của chúng vào luận văn này để có được những kết quả tốt đẹp về mặt lý thuyết cũng như ứng dụng vào thực tiễn. Khi nghiên cứu về những vấn đề về luận văn chúng ta đã nêu được mối liên hệ giữa đa thức Hermite, quá trình ngẫu nhiên dạng Hermite, đa thức Hermite suy rộng bậc m và một số đặc tính vi phân ngẫu nhiên đối với quá trình ngẫu nhiên dạng Hermite. Hướng phát triển tiếp theo sẽ nghiên cứu sâu về hệ số Fourier – Hermite suy rộng và hàm Fourier – Hermite suy rộng. Khi đó có được tập trực chuẩn đầy đủ trong . Ngoài ra cũng có thể nghiên cứu tiếp phép biến đổi không gian hàm Fourier – Wiener suy rộng. TÀI LIỆU THAM KHẢO TIẾNG VIỆT [1] A .D. VENTXEL Giáo Trình Lý Thuyết Quá Trình Ngẫu Nhiên NXB “ Mir “ Maxcova, 1987 ( Bản dịch từ tiếng Nga sang tiếng Việt của Nguyễn Viết Phú và Nguyễn Duy Tiến) [2] DƯƠNG TÔN ĐẢM Quá Trình Ngẫu Nhiên Phần Mở Đầu NXB Đại Học Quốc Gia Thành Phố Hồ Chí Minh, 2006 [3] DƯƠNG TÔN ĐẢM Quá Trình Ngẫu Nhiên Phần I : Tích Phân và Phương Trình Vi Phân Ngẫu Nhiên NXB Đại Học Quốc Gia Thành Phố Hồ Chí Minh, 2007 [4] ĐINH VĂN GẮNG Lý Thuyết Xác Suất Và Thống Kê NXB Giáo Dục, 2000 [5] NGUYỄN BÁC VĂN Xác Suất Và Xử Lý Số Liệu Thống Kê NXB Giáo Dục, 2000 [6] NGUYỄN DUY TIẾN, ĐẶNG HÙNG THẮNG Các Mô Hình Xác Suất Và Ứng Dụng Phần I : - Xích Markov Và Ứng Dụng Phần II: - Quá Trình Dừng Và Ứng Dụng Phần III: - Giải Tích Ngẫu Nhiên NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội, 2000 – 2001 [7] NGUYỄN DUY TIẾN, NGUYỄN VIẾT PHÚ Cơ Sở Lý Thuyết Xác Suất NXB Đại Học Và Trung Học Chuyên Nghiệp Hà Nội, 1983 [8] NGUYỄN DUY TIẾN, NGUYỄN VIẾT PHÚ Lý Thuyết Xác Suất NXB Giáo Dục Hà Nội, 2000 [9] NGUYỄN HỒ QUỲNH Chuỗi Thời Gian : Phân Tích Và Nhận Dạng NXB Khoa Học Và Kỹ Thuật Hà Nội, 2004 [10] TRẦN HÙNG THAO Tích Phân Ngẫu Nhiên Và Phương Trình Vi Phân Ngẫu Nhiên NXB Khoa Học Kỹ Thuật Hà Nội, 2000 TIẾNG ANH [1] A. J. CHORIN Hermite Expansion In Monte – Carlo Simulations J. Comput Phys, 8 : 472 – 482, 1971 [2] BERNT OKSENDAL Stochastic Differential Equation – An Introduction With Application 6th edition, Springer, 2005 [3] DEBNATH. L AND MIKUSINSKI Introduction To Hilbert Spaces With Application Academic Press ,1990 [4] F. H. MALTZ AND D . L . HITZL Variance Reduction In Monte Carls Computations Using Multi – Dimensional Hermite Polynimals. J. Comput Phys, 32 : 345 – 376, 1979 [5] R . H. CAMERON The Orthogonal Development Of Non – Linear Functionals In Series Of Fourier – Hermite Functionals. Ann Of Math, 48 (1947), 385 – 392, [6] R . H. CAMERON Some Examples Of Fourier – Wiener Transforms Of Analytic Functionals. Duke Math. J. 12 (1945), 485 – 488 [7] R . H . CAMERON AND W. T. MARTIN Fourier – Wiener Transforms Of Analytic Functionals Duke Math. J. 12 (1945), 489 – 507 [8] SEUNG JUN CHANG AND HYUN SOO CHUNG Generalized Fourier – Wiener Function Space Transforms J. Korean Math. Soc. 46 (2009), No 2, 327 – 345 [9] WUAN LUO Wiener Chaos Expansion And Numerical Solutions Of Stochastic Partial Differential Equations Californial Institute Of Technology Pasadena , California Defended May 2, 2006