Kinh nghiệm sử dụng phân số, tỉ số trong giải toán rèn khả năng suy luận

KINH NGHIEÄM SÖÛ DUÏNG PHAÂN SOÁ, TÆ SOÁ TRONG GIAÛI TOAÙN REØN KHAÛ NAÊNG SUY LUAÄN PHAÀN I: MÔÛ ÑAÀU Lyù do: Keå töø naêm hoïc 1995 – 1996 caùc vaán ñeà phaân soá, tæ soá ñaõ ñöôïc chính thöùc ñöa vaøo chöông trình Toaùn ôû baäc Tieåu hoïc vaø trôû thaønh moät chuû ñeà quan troïng trong chöông trình toaùn lôùp 4 vaø lôùp 5. Trong ñoù daïng toaùn coù lieân quan ñeán “ Phaân soá, tæ soá” chieám moät soá löôïng ñaùng keå trong caùc baøi toaùn coù lôøi vaên. Loaïi toaùn naøy coù nhieàu öùng duïng trong thöïc teá. Song khi giaûi caùc baøi toaùn naøy hoïc sinh coøn gaëp nhieàu luùng tuùng, mô hoà vaø sai laàm; khoâng tìm ra höôùng giaûi quyeát vaø thöôøng bò nhaàm laãn töø daïng naøy sang daïng khaùc; hoïc sinh giaûi toaùn thieáu suy luaän, khoâng mang tính toaùn hoïc, thieáu maïch laïc, laøm cho vieäc giaûi toaùn trôû neân phöùc taïp. Vôùi tö caùch laø giaùo vieân daïy hoïc ôû lôùp 4, 5 vaø boài döôõng hoïc sinh gioûi cuûa tröôøng nhieàu naêm. Toâi choïn nghieân cöùu “ Söû duïng phaân soá, tæ soá trong giaûi toaùn ” nhaèm reøn khaû naêng suy luaän cho hoïc sinh. 2. Nhieäm vuï: Trong khuoân khoå cuûa ñeà taøi naøy, nhieäm vuï chính laø giuùp cho hoïc sinh söû duïng toát hôn khaùi nieäm veà phaân soá, giaûi thaønh thaïo caùc baøi toaùn coù lieân quan ñeán phaân soá - tæ soá, khaéc phuïc nhöõng sai laàm cuûa hoïc sinh. Ñoàng thôøi cuõng neâu leân moät soá thuû thuaät giaûi toaùn theo kinh nghieäm cuûa baûn thaân trong vieäc boài döôõng hoïc sinh gioûi vaø phöông phaùp giaûi caùc baøi toaùn ôû daïng naâng cao. 3. Phöông phaùp tieán haønh: - Söû duïng phöông phaùp giaûi trình, thoáng keâ, moâ taû laø chuû yeáu. - Tieán haønh kieåm tra vieäc naém khaùi nieäm, giaûi toaùn cuûa hoïc sinh ñeå bieát söï nhaàm laãn, thieáu suy luaän, qua ñoù phaân loaïi, phaùt hieän hoïc sinh coù naêng khieáu veà toaùn ñeå boài döôõng. - Höôùng daãn hoïc sinh laøm caùc baøi toaùn coù lôøi vaên coù lieân quan ñeán phaân soá, tæ soá - So saùnh thuû thuaät giaûi caùc baøi toaùn ruùt ra keát luaän caàn ghi nhôù. - Vieäc giuùp cho hoïc sinh giaûi ñöôïc nhieàu baøi toaùn trôû neân maïch laïc, mang tính toaùn hoïc coù taùc duïng khoâng nhoû ñoái vôùi vieäc reøn khaû naêng suy luaän cho hoïc sinh. 4. Cô sôû vaø thôøi gian tieán haønh: Ñeà taøi naøy ñöôïc ruùt ra treân cô sôû ñuùc ruùt kinh nghieäm cuûa nhieàu naêm daïy lôùp naêm vaø keát quaû ñaõ ñaït ñöôïc cuûa töøng naêm. Ñeà taøi ñöôïc thöïc hieän ôû lôùp khoaûng 3 naêm trôû laïi ñaây. PHAÀN II. KEÁT QUAÛ. 1/ Moâ taû thöïc traïng: - Vaán ñeà phaân soá, tæ soá luoân xuaát hieän trong caùc kyø thi hoïc sinh gioûi Toaùn Tieåu hoïc maø hoïc sinh thöôøng hay giaûi toaùn moät caùch maùy moùc, phöông phaùp khoâng roõ raøng, hay nhaàm laãn. Vaäy laøm theá naøo ñeå giuùp hoïc sinh giaûi caùc baøi toaùn trôû neân maïch laïc, ñeå naâng cao chaát löôïng daïy hoïc vaø vieäc boài döôõng hoïc sinh gioûi mang laïi hieäu quaû cao ñaùp öùng vôùi söï phaùt trieån cuûa xaõ hoäi, nhöõng hoïc sinh coù naêng khieáu veà toaùn ñöôïc phaùt trieån. - Ñeå reøn khaû naêng suy luaän, giuùp hoïc sinh giaûi nhieàu baøi toaùn roõ raøng mang tính toaùn hoïc, khaéc saâu ñöôïc kieán thöùc. Caàn coù caùch hieåu, nhôù vaø vaän duïng phöông phaùp giaûi veà “phaân soá, tæ soá” – Goùp phaàn reøn khaû naêng suy luaän cho hoïc sinh Tieåu hoïc. 2/ Moâ taû noäi dung vaø giaûi phaùp môùi: Vaán ñeà phaân soá, tæ soá laø moät noäi dung quan troïng chöông trình, noù luoân xuaát hieän trong caùc kyø thi hoïc sinh gioûi, ñoøi hoûi hoïc sinh bieát caùch giaûi baøi toaùn roõ raøng, maïch laïc, suy luaän loâ gic, mang tính toaùn hoïc. Vaäy giaùo vieân caàn höôùng daãn hoïc sinh naém vöõng khaùi nieäm kieán thöùc vaø giaûi moät soá baøi toaùn veà phaân soá, tæ soá sau: a) Kieán thöùc caàn naém veà phaân soá: - Phaân soá laø soá do moät hay nhieàu phaàn baèng nhau cuûa ñôn vò taïo thaønh. + Caùch vieát. + Caùch ñoïc: Ví duï: * ñoïc laø “ ba phaàn tö” * ñoïc laø “ a treân b” * ñoïc laø “ x treân 2 ” - Phaân soá laø thöông ñuùng cuûa pheùp chia moät soá töï nhieân cho moät soá töï nhieân (khaùc 0). Ví duï: 5 : 8 = ; 11 : 7 = ,……….. - Caùc phaân soá lôùn hôn ñôn vò coøn ñöôïc vieát döôùi daïng hoãn soá nhö sau: = 1 . ñoïc laø “ Moät ba phaàn tö” - Caùc tính chaát cô baûn: + Khi theâm vaøo töû soá cuûa moät phaân soá moät soá baèng maãu soá cuûa phaân soá ñoù ( maãu soá > 0) vaø giöõ nguyeân maãu soá thì giaù trò cuûa phaân soá ñoù taêng theâm 1 ñôn vò. Toång quaùt: vaø thì = + = + 1 ( b > 0 ) + Khi phaân soá lôùn hôn ñôn vò ( a > b > 0 ). Neáu bôùt ôû töû soá moät soá moät soá baèng maãu soá cuûa phaân soá vaø giöõ nguyeân maãu soá thì giaù trò cuûa phaân soá ñoù giaûm ñi 1 ñôn vò. Toång quaùt: vaø thì = - = - 1 ( b > 0 ) + Khi theâm vaøo töû soá cuûa moät phaân soá moät soá baèng töû soá vaø giöõ nguyeân maãu soá thì phaân soá tìm ñöôïc gaáp 2 laàn phaân soá ñoù. Toång quaùt: vaø thì = = x 2 b) Giaûi toaùn reøn khaû naêng suy luaän: Ñeå giuùp hoïc sinh vôùi pheùp suy luaän. Giaùo vieân höôùng daãn hoïc sinh giaûi caùc baøi toaùn sau: Baøi 1: Ba taám vaûi daøi 105 m. Neáu caét 1/9 taám vaûi thöù nhaát, 3/7 taám vaûi thöù hai vaø 1/3 taám vaûi thöù ba thì phaàn coøn laïi cuûa 3 taám vaûi daøi baèng nhau. Hoûi moãi taám vaûi daøi bao nhieâu meùt ? Baøi giaûi: Caùch 1: ( Qui ñoàng töû soá ) Phaân soá chæ soá vaûi coøn laïi cuûa taám thöù nhaát: 1 – 1/9 = 8/9 ( taám thöù nhaát ) Phaân soá chæ soá vaûi coøn laïi cuûa taám thöù hai: 1 – 3/7 = 4/7 = 8/14 ( taám thöù hai ) Phaân soá chæ soá vaûi coøn laïi cuûa taám thöù ba: 1 – 1/3 = 2/3 = 8/12 ( taám thöù ba ) Vaäy 8/9 taám thöù nhaát = 8/14 taám thöù hai = 8/12 taám thöù ba Toång soá phaàn baèng nhau: 9 + 14 + 12 = 35 (phaàn) Chieàu daøi taám thöù nhaát daøi laø: 105 : 35 x 9 = 27 (m) Chieàu daøi taám thöù hai daøi laø: 105 : 35 x 14 = 42 (m) Chieàu daøi taám thöù ba daøi laø: 105 : 35 x 12 = 36 (m) ÑS: Taám thöù nhaát: 27 meùt Taám thöù hai: 42 meùt Taám thöù ba: 36 meùt Baøi 2: Toång chieàu daøi cuûa ba taám vaûi laø 112 m. Sau khi baùn bôùt 3/7 taám vaûi xanh, 1/5 taám vaûi ñoû vaø 2/5 taám vaûi traéng thì phaàn coøn laïi cuûa ba taám vaûi daøi baèng nhau. Hoûi chieàu daøi cuûa moãi taám vaûi ? Baøi giaûi: Caùch 2: ( Tìm tæ soá ) Phaân soá chæ soá vaûi coøn laïi ôû: - Taám vaûi xanh laø: 1 – 3/7 = 4/7 ( taám vaûi xanh ) - Taám vaûi ñoû laø: 1 – 1/5 = 4/5( taám vaûi ñoû ) - Taám vaûi traéng laø: 1 – 2/5 = 3/5( taám vaûi traéng ) Vaäy: 4/7 taám vaûi xanh = 4/5 taám vaûi ñoû = 3/5 taám vaûi traéng. Do ñoù: Taám vaûi ñoû = 4/7 : 4/5 = 4/7 x 5/4 = 5/7 ( taám vaûi xanh ) ( caû hai taám vaûi cuøng nhaân vôùi 5/4 ) Taám vaûi traéng = 4/7 : 3/5 = 4/7 x 5/3 = 20/21 ( taám vaûi xanh ) ( caû hai taám vaûi cuøng nhaân vôùi 5/3 ) Phaân soá chæ 112 m vaûi laø: 1 + 5/7 + 20/21 = 56/21( taám vaûi xanh ) Taám vaûi xanh daøi laø: 112 : 56 x 21 = 42 (m) Taám vaûi ñoû daøi laø: 42 : 7 x 5 = 30 (m) Taám vaûi traéng daøi laø: 42 : 21 x 20 = 40 (m) ÑS: Taám vaûi xanh: 42 meùt Taám vaûi ñoû: 30 meùt Taám vaûi traêng: 40 meùt Baøi 3: Ñoaøn vaän ñoäng vieân döï thi hoäi kheûo Phuø Ñoång cuûa huyeän coù soá nöõ baèng 1/3 soá nam. Sau ñoù theo yeâu caàu cuûa phoøng giaùo duïc huyeän neân nhaø tröôøng ñaõ thay theá 6 vaän ñoäng vieân nam baèng 6 vaän ñoäng vieân nöõ. Vì theá soá hoïc sinh nöõ laïi baèng 2/3 soá nam. Hoûi coù bao nhieâu vaän ñoäng vieân ? Baøi giaûi: ( duøng tæ soá ) Soá ngöôøi caû ñoaøn khoâng thay ñoåi. Vì luùc ñaàu soá nöõ baèng 1/3 soá nam. Neân soá nöõ baèng = 1/4 soá ngöôøi caû ñoaøn. Thay theá 6 vaän ñoäng vieân nam baèng 6 vaän doäng vieân nöõ thì soá ngöôøi toaøn ñoaøn khoâng thay ñoåi. Luùc naøy soá nöõ baèng 2/3 soá nam. Vaäy nöõ baèng: = 2/5 soá ngöôøi caû ñoaøn. Hieäu soá nöõ luùc sau vaø luùc ñaàu baèng: 2/5 – 1/4 = 3/20 (soá ngöôøi caû ñoaøn) 3/20 soá ngöôøi toaøn ñoaøn chính laø 6 ngöôøi. Vaäy soá ngöôøi toaøn ñoaøn laø: 6 : 3 x 20 = 40 (ngöôøi) ÑS: 40 ngöôøi Baøi 4: Ñaàu naêm hoïc, lôùp 5A coù soá hoïc sinh nam baèng 4/9 soá hoïc sinh caû lôùp, sang ñeán hoïc kyø II lôùp 5A coù 2 hoïc sinh nam môùi chuyeån ñeán neân soá hoïc sinh nam baèng 9/10 soá hoïc sinh nöõ. Hoûi ñaàu naêm lôùp 5A coù taát caû bao nhieâu hoïc sinh ? Baøi giaûi: ( duøng tæ soá ) Soá hoïc sinh nöõ khoâng thay ñoåi. Vì soá hoïc sinh nam = 4/9 soá hoïc sinh caû lôùp. Neân soá hoïc sinh nam = = 4/5 soá hoïc sinh nöõ Phaân soá chæ 2 hoïc sinh laø: 9/10 – 4/5 = 1/10 ( soá hoïc sinh nöõ ) Soá hoïc sinh nöõ laø: 2 : 1/10 = 20 (HS) Soá hoïc sinh nam laø: 20 : 5 x 4 = 16 (HS) Soá hoïc sinh caû lôùp: 20 + 16 = 36 (HS) ÑS: 36 HS Baøi 5: Ñoäi tuyeån hoïc sinh gioûi cuûa tröôøng coù 35 em. Trong ñoù 1/2 soá hoïc sinh nam baèng 2/3 soá hoïc sinh nöõ. Hoûi coù bao nhieâu hoïc sinh nam, hoïc sinh nöõ noùi treân ? Baøi giaûi: ( duøng tæ soá ) Theo ñeà ta coù: 1/2 soá hoïc sinh nam = 2/3 soá hoïc sinh nöõ. Vaäy soá hoïc sinh nam so vôùi soá hoïc sinh nöõ laø: 2/3 : 1/2 = 4/3 Soá hoïc sinh nam laø: 35 : ( 4 + 3 ) x 4 = 20 (HS) Soá hoïc sinh nöõ laø: 35 – 20 = 15 (HS) ÑS: Nam : 20 HS Nöõ : 15 HS Baøi 6: Moät ngöôøi phaûi ñi töø A ñeán B trong khoaûng thôøi gian xaùc ñònh. Ngöôøi ñoù nhaän thaáy raèng, neáu ñi vôùi vaän toác 50 km/giôø thì ñeán B chaäm maát 12 phuùt so vôùi thôøi gian qui ñònh, coøn neáu ñi vôùi vaän toác 60 km/giôø thì ñeán B sôùm hôn 40 phuùt so vôùi thôøi gian qui ñònh. Tính: a) Quaõng ñöôøng AB. b) Vaän toác caàn thieát ñeå ñeán B ñuùng giôø qui ñònh. Baøi giaûi: ( duøng tæ soá ) Ñi vôùi vaän toác 60 km/giôø thì thôøi gian ñi ít hôn so vôùi vaän toác 50 km/giôø laø: 12 + 40 = 52 (phuùt) Tæ soá giöõa hai vaän toác: 50/60 = 5/6 Ta thaáy, quaõng ñöôøng khoâng thay ñoåi neân thôøi gian ñi tæ leä nghòch vôùi vaän toác. Nghóa laø neáu ñi vôùi vaän toác 50 km/giôø thôøi gian chia laøm 6 phaàn thì ñi vôùi vaän toác 60 km/giôø chæ ñi baèng 5 phaàn nhö theá. ( Tæ soá thôøi gian laø 6/5 ) Soá phaàn thôøi gian giaûm ñi laø: 6 – 5 = 1 (phaàn) Vaäy 1 phaàn chính laø 52 phuùt. Vaäy vaän toác 50 km/giôø thì seõ ñi heát thôøi gian: 52 x 6 = 312 (phuùt) Quaõng ñöôøng AB daøi: 50 x 312 : 60 = 260 (km) Thôøi gian qui ñònh: 312 – 12 = 300 (phuùt)= 5 (giôø) Vaän toác phaûi ñi ñeå ñeán nôi ñuùng giôø qui ñònh: 260 : 5 = 52 (km/giôø) ÑS: a) 260 km b) 52 km/giôø. Baøi 7: Cho hình chöõ nhaät ABCD, laáy ñieåm M vaø K treân AB vaø CD sao cho MB = DK. Goïi P laø moät ñieåm treân caïnh AD. Ñoaïn thaúng KM caét BP vaø CP laàn löôït ôû E vaø F. Haõy chöùng toû raèng dieän tích töù giaùc EBCF baèng toång dieän tích cuûa töù giaùc AMEP vaø töù giaùc PFKD. Baøi giaûi: A M B E P F D K C Ta coù: S.BPC = 1/2 S.ABCD ( Tam giaùc coù ñaùy laø chieàu roäng, ñöôøng cao laø chieàu daøi cuûa hình chöõ nhaät) (1) S.AMKD = 1/2 S.ABCD ( Hình thang coù toång hai ñaùy baèng chieàu daøi, ñöôøng cao laø chieàu roäng cuûa hình chöõ nhaät ABCD) (2) Töø (1) vaø (2) Suy ra : S.BPC = S.AMKD Maø: S.BPC = S.PEF + S.EBCF (3) S.AMKD = S.AMEP + S.PEF + S.PFKD (4) Töø (3) vaø (4) Suy ra : S.PEF + S.EBCF = S.AMEP + S.PEF + S.PFKD Bôùt moãi veá S.PEF ta ñöôïc S.EBCF = S.AMEP + S.PFKD Vaäy baøi toaùn ñaõ ñöôïc chöùng minh xong. * Toùm laïi: Nhö vaäy qua caùc baøi taäp ôû nhöõng daïng khaùc nhau, Cuøng vôùi thao taùc hoùa hoaït ñoäng baèng tay trong giaûi toaùn, giuùp hoïc sinh ruùt ra ñöôïc thuû thuaät giaûi toaùn veà phaân soá, tæ soá. Giuùp caùc em khaéc saâu hôn, naém vöõng chaéc hôn, haïn cheá ñöôïc söï nhaàm laãn. Giuùp caùc em giaûi ñöôïc nhieàu baøi toaùn mang tính toaùn hoïc, coù taùc dung ñoái vôùi vieäc reøn khaû naêng suy luaän, phaân tích. Nhaát laø ñoái vôùi hoïc sinh gioûi. PHAÀN III: KEÁT LUAÄN 1/ Khaùi quaùt caùc keát luaän cuïc boä ñeå tìm caâu traû lôøi ñeà taøi: - Hoïc sinh ñöôïc giaùo vieân höôùng daãn luyeän taäp vôùi caùc daïng toaùn khaùc nhau, ñöôïc reøn khaû naêng suy luaän, phaân tích, giuùp caùc em laøm quen vôùi khaùi nieäm môùi, giaûi toaùn mang tính toaùn hoïc, caùc em seõ giaûi thaønh thaïo caùc baøi toaùn veà phaân soá, tæ soá, bieát phaùt hieän , ñeà xuaát vaø giaûi baøi toaùn môùi. - Thuû thuaät giaûi toaùn veà “phaân soá, tæ soá” coù taùc duïng khoâng nhoû ñeán vieäc reøn luyeän caùc thao taùc: Tö duy loâ gic, laäp luaän coù caên cöù vaø söû duïng caùc pheùp suy luaän ñôn giaûn trong giaûi toaùn. Reøn luyeän tính linh hoaït: nhìn baøi toaùn döôùi nhieàu khía caïnh khaùc nhau, töø ñoù coù theå tìm ra nhieàu caùch giaûi quyeát baøi toaùn. Bieán ñoåi hình veõ ñeå ñöa baøi toaùn ñaõ cho veà baøi toaùn quen thuoäc ñaõ bieát caùch giaûi. - Cuûng coá caùc moái quan heä, khaùi nieäm. + Caùch tìm tæ soá cuûa hai soá. + Vaän duïng tæ soá trong giaûi toaùn chuyeån ñoäng, toaùn hôïp, hình hoïc…. 2/ Lôïi ích vaø khaû naêng vaän duïng: - Thuû thuaät giaûi toaùn mang tính toaùn hoïc veà phaân soá, tæ soá ôû Tieåu hoïc, giuùp cho vieäc giaûi nhieàu baøi toaùn theo moät trình töï nhaát ñònh, , ñöa baøi toaùn ñaõ cho veà baøi toaùn maãu ñaõ bieát caùch giaûi. Giuùp cho caùc em naém vöõng tính chaát cuûa phaân soá, moái quan heä tæ leä nghòch giöõ vaän toác vaø thôøi gian khi quaõng ñöôøng khoâng thay ñoåi, moái quan heä veà dieän tích, daùy, chieàu cao trong tam giaùc nhö: Dieän tích khoâng thay ñoåi thì ñaùy tæ leä nghòch vôùi chieàu cao (hoaëc ngöôïc laïi) - Sau nhieàu naêm daïy toâi ruùt ra moät soá kinh nghieâm treân, toâi thaáy sau khi aùp duïng phöông phaùp naøy, haàu heát hoïc sinh giaûi ñöôïc moät soá daïng toaùn veà phaân soá, tæ soá . Trong nhieàu naêm lieàn, toâi ñaõ aùp duïng ñeà taøi naøy trong vieäc boài döôõng hoïc sinh gioûi. Ñaõ coù nhieàu hoïc sinh cuûa tröôøng ñaït thaønh tích cao trong caùc kì thi hoïc sinh gioûi 3 caáp vaø thi choïn hoïc boãng cuûa huyeän. Cuï theå: NAÊM HOÏC KEÁT QUAÛ ÑAÏT ÑÖÔÏC. TÆNH. HUYEÄN. TRÖÔØNG. B.BOÅNG T.BOÅNG 2002-2003 1 2 2003-2004 1 2 2004-2005 5 1 1 1 - Naêm hoïc 2005-2006 rieâng lôùp toâi (5A) hoïc kyø I coù 10 em ñaït loaïi gioûi, 09 em ñaït loaïi khaù, 05 em trung bình. - Vôùi ñeà taøi naøy khaû naêng vaän duïng vaøo daïy hoïc laø thöïc teá, maø baát cöù giaùo vieân naøo cuõng thöïc hieän ñöôïc cho hoïc sinh lôùp mình, coù theå aùp duïng roäng raõi ñeå giaûi nhieàu baøi toaùn khoù, coù theå aùp duïng cho nhieàu khoái lôùp, nhaát laø vieäc boài döôõng hoïc sinh gioûi lôùp 4,5. 3. Ñeà xuaát, kieán nghò: Vôùi ñeà taøi naøy toâi ñaõ aùp duïng vaø ñaõ ñaït nhieàu keát quaû toát, vaäy mong Hoäi ñoàng khoa hoïc xem xeùt. Neáu coù theå ñöôïc cho vaän duïng vaøo caùc tröôøng hay cho giaùo vieân tham khaûo ñeå thöïc hieän nhaèm goùp phaàn naâng cao chaát löôïng cho hoïc sinh.