Luận án Chẩn đoán vết nứt trong kết cấu thanh, dầm dựa trên phương trình tần số

của phƣơng trình (4.27) có dạng                 0 0 0 0 0 0 0 , , , , , , x x x H x s Q s x ds x Q H x x                    (4.30) trong đ hàm H(x,) có dạng 72       3 0, khi 0 ( , ) ; , / 2 . , khi 0 x H x h x sinh x sin x h x x            (4.31) Nhƣ đã biết, nếu 1 2( , ), ( , )L x L x  là hai nghiệm của phƣơng trình thuần nhất (4.1) thỏa mãn điều kiện biên ở đầu trái của dầm (x = 0), Bảng 4.3, thì 0 1 2( , ) ( , ) ( , )x C x D x       , (4.32) trong đ 1 1 1 1 2 2 2 1 ( , ) ( , ) ( , ) ; ( , ) ( , ) ( , ) n j j j n j j j x L x K x e x L x K x e                   (4.33) với các véc tơ tham số 1 11 1 2 21 2( ,..., ) , ( ,..., ) T T n n       đƣợc xác định từ hệ thức truy hồi 1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 [ ( , ) ( , ) ]; [ ( , ) ( , ) ] j j j j k j k k j j j j k j k k L e S e e L e S e e                       (4.34) và 0, 0 ( , ) ; ( , ) [sinh sin ] / 2 ( , ), 0 x K x S x x x S x x            . (4.35) Bây giờ, giả sử điều kiện biên của dầm ở đầu phải có dạng ( ) ( )(1, ) (1, ) 0p q    , trong đ p,q là cấp các đạo hàm của hàm số theo biến x, các phƣơng trình này cùng với (4.29) và (4.31) sẽ cho hệ phƣơng trình để xác định các hằng số tích phân ,C D nhƣ sau ( ) ( ) ( ) 0 01 2 ( ) ( ) ( ) 0 01 2 (1, ) (1, ) ( ) (1 , ); (1, ) (1, ) ( ) (1 , ). p p p q q q C D Q h x C D Q h x                       (4.36) trong đ p, q c giá trị nhƣ trong bảng 4.3. Phƣơng trình xác định C và D là 0 1 0 0 1 0( ) ( ) / ( ); ( ) ( ) / ( )C Q C x D D Q D x D     (4.37) với 1 2 1 2( ) (1) (1) (1) (1) p q q pD      (4.38) 73 và 2 0 0 0 ( ) ( ) 1 0 2 2 ( ) ( 0 ) 1 0 2 ( ) (1 (1) (1 (1) ; ( ) (1 (1) (1 (1) . ) ) ) ) q p p q p q q p C x h h D x x x xx h h                  (4.39) Bảng 4.3. Điều kiện iên và các đạo hàm STT Điều kiện biên L1(x,) L2(x,) p q 1 Dầm hai đầu ngàm sinhλx–sinλx coshλx–cosλx 0 1 2 Dầm hai dầu tự do sinhλx+sinλx coshλx+cosλx 2 3 3 Dầm tựa đơn sinhλx sinλx 0 2 4 Dầm công xôn sinhλx–sinλx coshλx–cosλx 2 3 Do đ nghiệm của phƣơng trình (4.29) có dạng  0 0 1 0 1 1 0 2 0( , , ) ( ) / ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x x Q D C x x D x x D H x x        , hàm đáp ứng tần số của dầm có nhiều vết nứt là   0 0 0 1 0 1 1 0 2 0 ( , , ) ( , , ) / ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) / ( ) FRF x x x x Q C x x D x x D H x x D              (4.40) 4.2.2. Phương trình tần số phản cộng hưởng của dầm có vết nứt Theo định nghĩa, tần số phản cộng hƣởng là tần số làm cho hàm đáp ứng tần số bằng không, tức 0 1 0 1 1 0 2 0( , , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0A x x C x x D x x D H x x      . (4.41) Tần số cộng hƣởng và tần số phản cộng hƣởng đều liên hệ với tham số tần số 2 44 /FL EI   . Do đ nghiệm của phƣơng trình (4.41) đƣợc gọi là tần số phản cộng hƣởng. Trong khi tần số cộng hƣởng ch phụ thuộc vào điều kiện biên thì tần số phản cộng hƣởng còn phụ thuộc vào cả điều kiện biên lẫn vị trí đo đáp ứng (x) và vị trí đặt lực tác dụng (x0). Không phải bất cứ vị trí đặt tải trọng cƣỡng bức nào cũng đo đƣợc tần số phản cộng hƣởng. Do đ để đơn giản trong phƣơng trình tần số cộng hƣởng giả thiết vị trí điểm đo trùng với vị trí đặt lực kích động x = x0. Vì vậy phƣơng trình tần số phản cộng hƣởng có dạng : 1 1 1 2( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) 0A x C x x D x x      hay 74 ( ) ( )1 1( , ) (1 ) ( , ) (1 ) ( , ) 0 q p p qA x h x A x h x A x      (4.42) trong đ ( ) ( )1 1 1 22 1 ( ) ( )1 1 1 22 1 ( , ) (1) ( ) (1) ( ) ; ( , ) (1) ( ) (1) ( ) ; p p p q q q A x x x A x x x                    Sử dụng phƣơng trình (4.33), các hàm số ( , )pA x  , ( , )qA x  có thể viết dƣới dạng 1 20 2 1 1 1 2 1 1 20 2 1 , 1 ; ( , ) ( , ) ( , , ) ( , , ) ( , , , ) ( , ) ( , ) ( , , ) ( , , ) n j n j j k n j p p p p j j j j p j k j k q q q q j j j A x A x A x e A x e SK x e e A x A x A x e A x e                                   1 2 , 1 , ( , , )q j k n k k j j SK x e e       (4.43) trong đó , ( , ) ( , ) 1 20 2 1 , ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) , ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ); ( , , ) ( ) ( ) (1 ), 1,2; ( , , , ) ( ) (1 ) ( ) (1 ). ( ) p q p q p q p q p q p q i j i j j p q p q p q j k k i j k j L x A x L L x L L x A x e L K x e S e i SK x e e K x e S e K x e S e                   Thay (4.43) vào (4.42) nhận đƣợc phƣơng trình: 0 2 1 1 2 1 1 2 , 1 , ( , ) ( , ) ( , , ) ( , , ) ( , , , ) 0 j j j j j k j j n k k n j A x A x A x e A x e SK x e e                      (4.44) trong đ ( ) ( )1 1 1 1 0 0 0 ( ) ( ), 1 1 11 0 ( , ) (1 ) ( , ) (1 ) ( , ); ( , , ) (1 ) ( , , ) (1 ) ( , , ), 1,2; q p p q q p qpp q i j i j j A x h x A x h x A x A x e h x A x e h x A x e i               (4.45) ( ) ( )1 1 1 1 ( , , , ) (1 ) ( , , , ) (1 ) ( , , , ) q p j k p j k q j kSK x e e h x SK x e e h x SK x e e      . Dễ dàng nhận thấy 1 ( , , , ) 0q j kK x e e  và tần số phản cộng hƣởng của dầm c dạng 2 , 0 2 1 1 2 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 0j n n j j j j j jk j k k R R R Q                 , (4.46) 75 trong đ 0 0 1 1 2 2 ( ) ( , ); ( ) ( , , ); ( ) ( , , ); ( ) ( , , , ). j j j j jk j k R A x R A x e R A x e Q SK x e e             (4.47) Các tham số vết nứt xác định trong công thức (4.34) có thể viết cụ thể dƣới dạng 11 1 1 1 12 2 1 2 1 2 2 1 1 1 21 1 2 1 22 2 2 2 1 2 2 1 2 1 3 3 3 3 2 3 2 2 3 1 3 1 1 3 2 1 3 2 ( ); ( ) ( ) ( ); ( ); ( ) ( ) ( ); ( ) ( ) ( ( ( ) ( ) ) ) i i i i L e L e S e e L e L e L e S e e L e L e S e e L e S e e L e S e e S                                                   1 1 2 1 1 2 1 ( ) ( ); 1,2; ............................................................................... .............. .... [ ( ) ) ( ) ( + i ij j i j k j k i k j k k k e e L e i L e S e e L e                  11 1 11 2 1 11 1 2 1 2 3 1 2 3 1 1 1 2 2 2 1 2 3 1 1 2 2 3 3 3 2 1 1 ... ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ..... ( ) ( j k k k i k k k k j k k k k i k k k k j k k kj k k k jj j j jj S e e S e e L e S e e S e e S e e L e S e e S e                                            2 1 12)... ( ) ( )] 1,2; 1,2,..., . ije S e e L e i j n       (4.48) Thay (4.48) vào (4.46) có 2 1 1 0 1 0 21 1 3 1 1 3 1 + . . ) .. . ( ) ( , ( , , ) ( , , , ) ( , , ,.... ... k j j j k j k j j j k r j jn n k kjn k j k r r n n n R R e R e e R e e e R e e                                 1 1 1, ) .... 0,n ne     (4.49) trong đ          '' ''1 2 1 1 2, ;j j j j jR e R L e R L e              2 2 1 1 2 1 2 1 2 ( , , ) ( )[ ( ) ( ) ( ) ( )] ; j k j k k k k k jk j k k j R e e S e e R L e R L e Q L e L e L e L e                   76                                   3 2 1 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 , , , [ ] ; ...................................................... j k r j k r r r r j r r k k r jk k r r j j r R e e e S e e R L e R L e S e e L e L e L e L e Q S e e L e L e L e L e                                                    1 1 1 1 2 1 21 1 1 11 2 1 ............................................ , , , , = [ ]. n n n n n n n R e e e S e e S e e S e e R L e R L e                 Phƣơng trình (4.9) là phƣơng trình tần số phản cộng hƣởng dao động uốn của dầm dạng tƣờng minh theo các tham số vết nứt. Trong trƣờng hợp dầm c một, hai hoặc ba vết nứt thì phƣơng trình (4.49) là:  Trường hợp dầm có một vết nứt:    0 1 , 0;R R e    (4.51)  Trường hợp dầm có hai nứt:        0 1 1 1 2 1 2 2 1 2 2 1, , , , 0;R R e R e R e e           (4.52)  Trường hợp dầm có ba nứt:                 0 1 1 1 2 1 2 3 1 3 3 2 2 3 2 2 1 2 2 1 3 1 2 3 1 3 2 1 3 3 2 1 , , , , , , , , , , , , 0 R R e R e R e R e e R e e R e e R e e e                              (4.53) với các hệ số      1 1 2 2 1 3 3 2 1, , , , , , , ,R e R e e R e e e   đƣợc xác định từ phƣơng trình (4.50). Trong trƣờng hợp các vết nứt với độ lớn nhỏ, phƣơng trình xấp x bậc nhất và bậc hai là:    0 1 1 , , , 0; n j j j R x R x e      (4.54)      10 1 21 1 2 , , , , , , 0. n n j j j j k j kk j j R x R x e R x e e             (4.55) Với mục đích sử dụng phƣơng trình (4.55) để chẩn đoán vết nứt bằng tần số phản cộng hƣởng viết lại các hàm số      21 2 1 3 2 10 1, , , , , , , ,R e R e e R e e e   nhƣ sau: 77                                                                         1 11 0 1 22 1 1 11 2 11 2 '' ''1 1 1 22 1 1 1 '' ''1 2 1 1 2 1 , 1 1 ; , , 1 1 1 p pq q qp p p j j j q j p j j j j p R x h x L L x L L x h x L L x L L x K x e L L e L L e R x e h x S e L e L x L e L x K x e L h x                                                                                                   '' ''1 1 2 11 2 '' ''1 1 2 2 1 2 1 1 2 '' '' '' '' 1 2 2 1 ; 1 , , , , , , , 1 , , , , q q j j q j j j j k p j k k k k k j k k j j k j k L e L L e S e L e L x L e L x R x e e S e e M x e K x e M x e S e N x e K x e N x e K x e L e L e L e L e                                                (4.56) với                                             1 11 1 1 22 1 (( ) 111 11 2 1 2 1 2 2 1 2 ) 1 , , 1 (1 )[ ( )( ) ]; , , 1 1 [ p pq k k k qp k q k k k p q k M x e h x L L e L L e h x L e L L e M x e h x L x L e L x L e h x L x                                                   1 2 1 1 1 1 1 ]; , , 1 1 1 1 . k k q p p q L e L x L e N x e h x S e h x S e         (4.57) 4.2.3. Ảnh hưởng của vết nứt đến tần số phản cộng hưởng của dầm đàn hồi Bây giờ nghiên cứu chi tiết sự thay đổi của tần số phản cộng hƣởng của dầm với các điều kiện biên khác nhau phụ thuộc vào vị trí, chiều sâu vết nứt và sau đ tính toán tần số phản cộng hƣởng phụ thuộc vào vị trí điểm đo tần số phản cộng hƣởng (là điểm đo đáp ứng trùng với điểm đặt lực). Kết quả giải phƣơng trình tần số phản cộng hƣởng (4.51) phụ thuộc vào vị trí và chiều vết nứt đƣợc trình bày trong các Hình 4.4 – 4.7. Các đồ thị trong các hình biểu diễn tỷ số tần số phản cộng hƣởng của dầm bị nứt trên tần số phản cộng hƣởng của dầm không nứt ( 0 /  , gọi tắt là tỷ số tần số) là hàm của vị trí vết nứt tƣơng ứng với các chiều sâu khác nhau. Các tần số phản cộng hƣởng của dầm công xôn (Hình 4.4−4.6) đƣợc đo tại đầu tự 78 do và tần số phản cộng hƣởng của dầm tựa đơn (Hình 4.7) đƣợc đo tại điểm giữa dầm. Hình 4.5. Sự phụ thuộc của tỷ số tần số phản cộng hưởng thứ nhất tính toán cho dầm công xôn vào vị trí và chiều sâu vết nứt (điểm đo tại đầu tự do) Hình 4.6. Sự phụ thuộc của tỷ số tần số phản cộng hưởng thứ hai tính toán cho dầm công xôn vào vị trí và chiều sâu vết nứt (điểm đo tại đầu tự do) 79 Hình 4.7. Sự phụ thuộc của tỷ số tần số phản cộng hưởng thứ ba tính toán cho dầm công xôn vào vị trí và chiều sâu vết nứt (điểm đo tại đầu tự do) Hình 4.8. Tỷ số tần số cộng hưởng và phản cộng hưởng thứ nhất tính toán cho dầm tựa đơn phụ thuộc vào vị trí và chiều sâu vết nứt (điểm đo tại giữa dầm) 80 Hình 4.9. Sự thay đổi của tỷ số tần số phản cộng hưởng thứ nhất do vết nứt phụ thuộc vào vị trí đ t lực khi vị trí vết nứt khác nhau tính toán cho dầm công xôn với chiều sâu vết nứt 40%. Khảo sát đồ thị cho trong các hình vẽ thấy sự thay đổi tần số phản cộng hƣởng theo vị trí và chiều sâu vết nứt tƣơng tự nhƣ tần số cộng hƣởng. Điều khác biệt quan trọng so với tần số cộng hƣởng ch là tần số phản cộng hƣởng c nhiều hơn một điểm nút. Cụ thể, nếu tần số cộng hƣởng thứ nhất của dầm không c điểm nút thì tần số phản cộng hƣởng thứ nhất c một điểm nút hay tần số cộng hƣởng thứ hai c một điểm nút thì tần số phản cộng hƣởng thứ hai c hai điểm nút. Tần số phản cộng hƣởng thứ nhất của dầm c một, hai và ba vết nứt đƣợc tính từ các phƣơng trình xấp x bậc nhất và bậc hai phụ thuộc vào vị trí đo hàm đáp ứng đƣợc trình bày trong các Bảng 4.4 – 4.6. Kết quả tính toán đƣợc so sánh với tần số phản cộng hƣởng theo phƣơng trình chính xác nhằm đánh giá khả năng sử dụng các phƣơng trình xấp x để nghiên cứu và chẩn đoán vết nứt bằng tần số phản cộng hƣởng. 81 Bảng 4.4. Tần số phản cộng hưởng thứ nhất của dầm tựa đơn Vị trí vết nứt Vị trí đặt lực, x 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 Một vết nứt với a/h = 0.4 0.25 4.0459 4.3697 4.9132 5.5918 5.8422 5.2865 4.7410 4.3180 3.9912 – 0.5 5.6063 5.1937 5.3612 5.8069 6.2832 5.7800 5.0608 4.4792 4.0545 – 0.75 4.2638 4.5419 4.8497 5.1363 5.4813 5.3950 4.8152 4.4572 4.1906 – Hai vết nứt với a/h = 0.4 0.25–0.5 4.5533 4.8006 4.9016 4.9028 4.9428 4.9683 4.9043 4.6353 4.2153 – 0.25–0.75 3.8681 4.0130 4.1103 4.1830 4.2701 4.3731 4.4881 4.4304 4.1046 0.5–0.75 4.2292 4.4742 4.7430 5.0035 5.3045 5.6294 5.0165 4.7342 5.4074 – Ba vết nứt có vị trí (0.2; 0.5; 0.75) với các chiều sâu a/h = 0.4 0.2 0.5 0.75 EX 3.8545 3.9964 4.0938 4.1711 4.2636 4.3326 4.3884 4.2657 3.9511 – A2 3.8538 3.9955 4.0931 4.1704 4.2624 4.3303 4.3845 4.2627 3.9500 A1 4.2879 4.5368 4.7290 4.8378 4.9965 5.2234 4.6298 4.2329 3.9275 a/h = 0.3 0.25 0.5 0.75 EX 4.1154 4.3144 4.4612 4.5629 4.6650 4.7625 4.8756 4.7855 4.3716 – A2 4.1150 4.3138 4.4607 4.5625 4.6643 4.7610 4.8729 4.7832 4.3709 A1 4.5010 4.8578 5.1713 5.2830 5.4565 5.3820 4.7800 4.3550 4.0307 a/h = 0.2 0.20. 5 0.75 EX 4.4387 4.7547 4.9777 5.0751 5.1575 5.3357 5.1894 4.6385 4.4313 – A2 4.4385 4.7544 4.9774 5.0750 5.1572 5.3350 5.1902 4.6386 4.4314 A1 4.7528 5.3700 5.7306 6.0375 6.1116 5.5563 4.9386 4.4773 4.1259 a/h = 0.1 0.25 0.5 0.75 EX 4.9526 4.8838 5.3378 6.0485 5.7991 5.7825 5.0899 4.5879 4.2153 A2 4.9527 4.8838 5.3378 6.0486 5.7991 5.7826 5.0899 4.5879 4.2153 A1 4.7470 4.8332 5.2663 5.8508 6.2282 5.7117 5.0730 4.5763 4.1974 a/h = 0 (không có vết nứt) 0.25-0.5- 0.75 4.2264 4.6183 5.1318 5.7826 6.2832 5.7826 5.1318 4.6183 4.2264 Lƣu ý: EX – Phƣơng trình chính xác; A2 –xấp x bậc hai; A1 – xấp x bậc nhất 82 Bảng 4.5. Tần số phản cộng hưởng thứ nhất của dầm hai đầu ngàm Vị trí vết nứt Vị trí đặt lực, x 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 Một vết nứt a/h = 0.4 0.3 5.2058 5.4726 5.9770 6.9441 7.4069 6.6894 6.0080 5.4708 5.0371 – 0.5 7.7053 6.9407 6.7904 7.2324 7.8532 7.1305 6.1353 5.3930 4.8767 – 0.7 5.4897 5.7393 6.1137 6.5252 7.0038 6.7182 5.9770 5.5969 5.1262 – Hai vết nứt a/h = 0.4 0.3 – 0.5 5.4386 5.6143 5.8218 5.9382 6.0333 5.9959 5.8122 5.4422 4.5699 – 0.3 – 0.7 5.0999 5.1811 5.2869 5.3647 5.4445 5.4582 5.4057 5.2335 5.0602 0.5 – 0.7 5.3669 5.5630 5.8354 6.1544 6.5452 7.1475 6.3643 6.8946 5.8087 – Ba vết nứt có vị trí (0.3; 0.5; 0.7) với các chiều sâu: a/h = 0.4 0.3 0.5 0.7 EX 5.0999 5.1811 5.2869 5.3647 5.4445 5.4582 5.4057 5.2335 5.0602 – A2 5.0994 5.1803 5.2858 5.3637 5.4432 5.4565 5.4039 5.2324 5.0597 A1 5.5890 5.8824 6.3009 6.5906 6.9944 6.5889 5.8239 5.3504 4.8880 a/h = 0.3 0.3 0.5 0.7 EX 5.2564 5.3750 5.5332 5.6609 5.7714 5.8014 5.7468 5.5278 5.2652 – A2 5.2562 5.3746 5.5327 5.6605 5.7708 5.8005 5.7458 5.5272 5.2650 A1 5.6816 6.0364 6.5651 6.8828 7.5523 6.7368 5.9527 5.4402 4.9687 a/h = 0.2 0.3 0.5 0.7 EX 5.4461 5.6591 5.9243 6.1192 6.2523 6.3228 6.3199 6.0536 5.6077 – A2 5.4459 5.6590 5.9241 6.1190 6.2521 6.3224 6.3194 6.0533 5.6076 A1 5.8004 6.3104 7.4263 7.5617 7.4865 6.9097 6.1012 5.5322 5.0458 a/h = 0.1 0.25 0.5 0.75 EX 5.8050 6.4030 7.0549 7.1095 7.0413 7.4390 6.2920 5.6362 5.1311 A2 5.8050 6.4029 7.0549 7.1095 7.0413 7.4391 6.2920 5.6362 5.1311 A1 6.0605 6.0129 6.5015 7.2592 7.7938 7.0726 6.2382 5.6076 5.1052 a/h = 0 (không có vết nứt) 0.3 -0.5 - 0.7 5.1296 5.6399 6.3015 7.1494 7.8532 7.1494 6.3015 5.6399 5.1296 Lƣu ý: EX – Phƣơng trình chính xác; A2 –xấp x bậc hai; A1 – xấp x bậc nhất 83 Bảng 4.6. Tần số phản cộng hưởng thứ nhất của dầm xông xôn Vị trí vết nứt Điểm đặt lực, x 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 Một vết nứt a/h =0 .4 0.3 2.8176 1.8623 2.1441 2.5948 3.0666 3.6402 4.3296 4.6185 4.3154 3.9190 0.5 2.6316 1.8443 2.1045 2.3950 2.7547 3.3905 4.0964 4.3626 4.0846 3.7437 0.8 2.3773 2.0489 2.2926 2.5805 2.9479 3.4435 4.1211 4.6202 4.2714 3.7811 Hai vết nứt a/h = 0.4 0.3–0.5 2.6318 2.3695 1.9411 2.3542 2.7930 3.4969 4.2356 3.9214 4.0506 3.6756 0.3–0.8 2.5796 2.4101 1.8897 2.2592 2.6605 3.2596 3.9400 3.7127 3.9065 3.6748 0.5–0.8 2.5849 2.3488 2.0292 2.3093 2.6520 3.2511 3.9931 3.8732 4.0459 3.6482 Ba vết nứt với các chiều sâu a/h = 0.4 0.3 0.5 0.8 EX 2.6776 2.4611 1.8911 2.3044 2.7614 3.7039 3.5696 3.5878 3.8007 3.6067 A2 2.6782 2.4615 1.8911 2.3044 2.7614 3.7045 3.5697 3.5881 3.8011 3.6065 A1 2.5796 2.4101 1.8897 2.2592 2.6605 3.2596 3.9400 3.7127 3.9065 3.6748 a/h = 0.3 0.3 0.5 0.8 EX 2.6772 1.8102 2.0777 2.4490 2.8685 3.5271 3.9972 3.9167 4.2079 3.7459 A2 2.6773 1.8102 2.0777 2.4490 2.8685 3.5272 3.9971 3.9167 4.2080 3.7459 A1 2.6263 1.8098 2.0767 2.4307 2.8303 3.4151 4.1057 4.0303 4.1660 3.7696 a/h = 0.2 0.3 0.5 0.8 EX 2.5997 1.9905 2.2513 2.5888 2.9921 3.5747 4.3255 4.2655 4.2686 3.8443 A2 2.5997 1.9905 2.2513 2.5888 2.9921 3.5747 4.3255 4.2655 4.2686 3.8443 A1 2.5822 1.9904 2.2509 2.5839 2.9822 3.5492 4.2438 4.3602 4.2582 3.8495 a/h = 0.1 0.3 0.5 0.8 EX 1.9188 2.1453 2.3892 2.6994 3.0964 3.6472 4.3439 4.6594 4.3228 3.9047 A2 1.9188 2.1453 2.3892 2.6994 3.0964 3.6472 4.3439 4.6594 4.3228 3.9047 A1 1.9188 2.1453 2.3891 2.6989 3.0955 3.6452 4.3379 4.6527 4.3219 3.9051 a/h = 0 (không có vết nứt) 0.0 2.0291 2.2160 2.4484 2.7462 3.1416 3.6830 4.3737 4.6826 4.3465 3.9266 Lƣu ý: EX – Phƣơng trình chính xác; A2 –xấp x bậc hai; A1 – xấp x bậc nhất 84 Kết quả tính toán đƣa ra trong Bảng 4.4 – 4.6 cho thấy rằng đối với dầm c điều kiện biên đối xứng c một vết nứt ở giữa dầm thì tần số phản cộng hƣởng không thay đổi so với dầm nguyên vẹn khi đo tại vị trí giữa dầm. Tuy nhiên, các vết nứt đối xứng tạo ra những thay đổi khác nhau về tần số phản cộng hƣởng đƣợc đo tại vị trí bất kỳ. Hơn nữa, phƣơng trình tần số phản cộng hƣởng xấp x bậc hai (4.15) cho một nghiệm gần giống với nghiệm của phƣơng trình chính xác ngay cả khi chiều sâu vết nứt lên tới 40% chiều dày dầm. Điều này cho phép sử dụng phƣơng trình tần số phản cộng hƣởng gần đúng thứ hai để xác định nhiều vết nứt trong dầm bằng các tần số phản cộng hƣởng đo đƣợc. 4.3. Chẩn đoán vết nứt trong dầm bằng tần số phản cộng hƣởng 4.3.1. Thuật toán chẩn đoán Giả thiết dầm đàn hồi có m tần số phản cộng hƣởng 1( ), , m  đƣợc xác định tại các vị trí 1 )( , , mx x . Bài toán đặt ra là cần xác định vị trí và chiều sâu vết nứt. Rõ ràng tần số phản cộng hƣởng đã biết có thể xác định đƣợc tham số tần số 2 44 / , 1, ,k k FL EI k m     (4.58) Nguyên lý chẩn đoán vết nứt như au: một vết nứt giả định tại vị trí e đƣợc xác nhận là thực sự tồn tại nếu chiều sâu a của n đƣợc dự đoán chắc chắn lớn hơn 0. Dựa trên nguyên lý này trong công trình [19] đã xây dựng đƣợc một quy trình chẩn đoán vết nứt bằng phƣơng pháp quét để xác định vết nứt trong kết cấu dầm sau đây: Bƣớc 1: Giả thiết các vết nứt tại các vị trí đã biết trong lƣới chia (e1,...,en) với chiều sâu chƣa biết (a1,...,an) để thiết lập mối quan hệ giữa các thông số vết nứt với tần số phản cộng hƣởng thông qua phƣơng trình tần số phản cộng hƣởng. Bƣớc 2: Sử dụng hệ phƣơng trình tần số phản cộng hƣởng đã thiết lập ở trên, véc tơ chiều sâu vết nứt  1, , T na a a tƣơng ứng với các vị trí vết nứt đã chọn đƣợc tính toán dựa trên các tần số phản cộng hƣởng đã cho. Bƣớc 3: Loại bỏ các vị trí vết nứt trong lƣới chia tƣơng ứng với các chiều sâu nhận đƣợc ở bƣớc 2 nhỏ hơn hoặc bằng không, đƣợc một lƣới chia mới  1 ', , ; 'ne e n n   tƣơng ứng với chiều sâu vết nứt đƣợc dự đoán lớn hơn không. 85 Bƣớc 4: Sử dụng lƣới chia mới, thiết lập mô hình mới nhƣ trong bƣớc 1 và bƣớc 2 để phỏng đoán một vectơ chiều sâu vết nứt mới và quá trình này đƣợc lặp lại cho đến khi không c đƣợc lƣới chia vết nứt mới ở bƣớc 3. Bƣớc 5. Lƣới vị trí vết nứt thu đƣợc cuối cùng và véc tơ độ lớn vết nứt đƣợc dự đoán tƣơng ứng cho vị trí và chiều sâu vết nứt cần tìm. Hình 4.10. Sơ đồ thuật toán chẩn đoán vết nứt trong dầm bằng phương trình tần số phản cộng hưởng Lƣu ý, nhiệm vụ quan trọng nhất trong quy trình đƣợc cung cấp là ƣớc tính chiều sâu vết nứt từ các tần số phản cộng hƣởng đã cho, đặc biệt, khi lƣới vị trí vết nứt phải đủ dầy hay số lƣợng vết nứt phải đủ lớn so với số lƣợng tần số phản cộng hƣởng nhất định thƣờng bị giới hạn (m < n). Do vậy bài toán thƣờng là thiếu số liệu phải cần đến các phƣơng pháp điều ch nh. 86 Xét phƣơng trình (4.15) tần số phản cộng hƣởng c thể viết lại dạng      γ   A γ b (4.59) trong đ [A] là ma trận m × n với các phần tử    11 21, , , , , , 1, , ; 1, ,jkj k k j k k j r rra R x e R x e e k m j n        (4.60) và vec tơ          1 1 0, , , , , , ,, , 1 , T T n m k k kb b b R x k m       γ b   (4.61) C thể giải phƣơng trình (4.19) bằng phƣơng pháp lặp:       1 ii A γ b (4.62) với     1 01 0; 1,2,3,....,i i   A A γ γi và quá trình lặp sẽ dừng lại khi sai số cho phép     1 tolerance   γ γ i i (4.63) Vì lƣới quét vết nứt lớn nên hệ phƣơng trình (4.62) thƣờng không đƣợc xác định, do đ hệ phƣơng trình này cần giải bằng phƣơng pháp điều ch nh (xem Phụ lục). Nghiệm điều ch nh của phƣơng trình (4.62) c dạng:   2 1 TNR i r r r r r         γ    u b v (4.64) trong đ , , , 1,2, .,,r r rNR r   u v là hạng, giá trị kỳ dị và các véc tơ kỳ dị phải và trái của ma trận , hệ số điều ch nh  đƣợc xác định từ phƣơng trình     2 2 2 1 1 TNR n Tr r r r NRr                  u b u b (4.65) với là mức nhiễu trong vế phải phƣơng trình (4.59). Sau khi xác định đƣợc thông số độ lớn vết nứt, chiều sâu của các vết nứt xác định đƣợc tính từ phƣơng trình       2 0 2 2 3 4 5 6 7 8 6 1 ( / ) / (0.6272 1.04533 4.5948 9.9736 20.2948 33.0351 47.1063 40.7556 19.6 ). j c c h L f a h f z z z z z z z z z z               (4.66) 87 4.3.2. Kết quả thử nghiệm số Để kiểm chứng thuật toán đƣợc đề xuất ở trên, thử nghiệm chẩn đoán một và ba vết nứt trong dầm công xôn bằng các tần số phản cộng hƣởng đƣợc xác định tại các vị trí khác nhau. Kết quả chẩn đoán với số lƣợng điểm đo và số lƣợng vị trí vết nứt giả thiết khác nhau đƣợc trình bày trên các Hình 4.6 – 4.9. Đầu vào là số liệu tính toán đƣợc coi là số liệu đo đạc không có nhiễu. + Trường hợp1 : Chẩn đoán một vết nứt trong dầm công xông tại vị trí 0.2, chiều sâu 10% Hình 4.11. Chẩn đoán một vết nứt trong dầm công xông bằng các tần số phản cộng hưởng với số lượng điểm đo ằng 10 và số lượng vết nứt giả thiết là 15. Hình 4.12. Chẩn đoán một vết nứt trong dầm công xông bằng các tần số phản cộng hưởng với số lượng điểm đo ằng 13 và số lượng vết nứt giả thiết là 15. 88 Hình 4.13. Chẩn đoán một vết nứt trong dầm công xông bằng các tần số phản cộng hưởng với số lượng điểm đo ằng 14 và số lượng vết nứt giả thiết là 15. Hình 4.14. Kết quả chẩn đoán một vết nứt trong dầm công xôn bằng các tần số phản cộng hưởng với số lượng điểm đo bằng 15 và số lượng vết nứt giả thiết là 15. Vết nứt thực tại e = 0.2 có chiều sâu a/h=10%. 89 + Trường hợp 2: Chẩn đoán một vết nứt trong dầm công xôn tại vị trí e = 0.5, chiều sâu 30%. Hình 4.15. Chẩn đoán một vết nứt trong dầm công xôn bằng các tần số phản cộng hưởng với số lượng điểm đo ằng 10 và số lượng vết nứt giả thiết là 20. Hình 4.16. Chẩn đoán một vết nứt trong dầm công xôn bằng các tần số phản cộng hưởng với số lượng điểm đo ằng 16 và số lượng vết nứt giả thiết là 20. 90 Hình 4.17. Chẩn đoán một vết nứt trong dầm công xôn bằng các tần số phản cộng hưởng với số lượng điểm đo ằng 18 và số lượng vết nứt giả thiết là 20. Hình 4.18. Kết quả chẩn đoán một vết nứt trong dầm công xôn bằng các tần số phản cộng hưởng với số lượng điểm đo ằng 20 và số lượng vết nứt giả thiết là 20. Vết nứt thực tại e =0.5 có chiều sâu a/h=30%. 91 + Trường hợp 3: Chẩn đoán ba vết nứt trong dầm công xôn tại ba vị trí khác nhau là e = 0.2 ; 0.5 ; 0.9 và có cùng chiều sâu 10%. Hình 4.19. Chẩn đoán a vết nứt trong dầm công xôn bằng các tần số phản cộng hưởng với số lượng điểm đo ằng 10 và số lượng vết nứt giả thiết là 20. Hình 4.20. Chẩn đoán a vết nứt trong dầm công xôn bằng các tần số phản cộng hưởng với số lượng điểm đo ằng 16 và số lượng vết nứt giả thiết là 20. 92 Hình 4.21. Chẩn đoán a vết nứt trong dầm công xôn bằng các tần số phản cộng hưởng với số lượng điểm đo ằng 18 và số lượng vết nứt giả thiết là 20. Hình 4.22. Kết quả chẩn đoán a vết nứt trong dầm công xôn bằng các tần số phản cộng hưởng với số lượng điểm đo ằng 20 và số lượng vết nứt giả thiết là 20. Vết nứt thực tại e = 0.2;0.5; 0.9 có cùng chiều sâu a/h=10% 93 + Trường hợp 4: Chẩn đoán ba vết nứt trong dầm công xôn tại các vị trí khác nhau e = 0.2 ; 0.5 ; 0.9 có các chiều sâu tương ứng là a/h = 20% ; 30%; 50%. Hình 4.23. Chẩn đoán a vết nứt trong dầm công xôn bằng các tần số phản cộng hưởng với số lượng điểm đo ằng 10 và số lượng vết nứt giả thiết là 20. Hình 4.24. Chẩn đoán a vết nứt trong dầm công xôn bằng các tần số phản cộng hưởng với số lượng điểm đo ằng 16 và số lượng vết nứt giả thiết là 20. 94 Hình 4.25. Chẩn đoán a vết nứttrong dầm công xôn bằng các tần số phản cộng hưởng với số lượng điểm đo ằng 18 và số lượng vết nứt giả thiết là 20. Hình 4.26. Kết quả chẩn đoán a vết nứt trong dầm công xôn bằng các tần số phản cộng hưởng với số lượng điểm đo ằng 20 và số lượng vết nứt giả thiết là 20. Vết nứt thực tại các vị trí e = 0.2;0.5; 0.9 có chiều sâu tương ứng là a/h=30%;20%;50%. Khảo sát các hình vẽ cho thấy: vết nứt đơn c chiều sâu 10% luôn đƣợc chẩn đoán chính xác bằng tần số phản cộng hƣởng đo đạc đƣợc ở 10 vị trí khác nhau, nhƣng n ch đƣợc chẩn đoán một cách duy nhất bằng tần số phản cộng hƣởng đo đƣợc ở 15 vị trí (Hình 4.6). Tuy nhiên, để chẩn đoán chính xác và duy nhất vết nứt 95 đơn c chiều sâu 30% thì cần đến số lƣợng tần số phản cộng hƣởng ở 18 điểm và lƣới chia gồm 20 điểm (Hình 4.16). Việc chẩn đoán ba vết nứt đƣợc thực hiện với hai kịch bản: cả ba vết nứt có cùng chiều sâu (Hình 4.21) và ba vết nứt có các chiều sâu khác nhau (Hình 4.25). Trong kịch bản thứ nhất, ba vết nứt đƣợc chẩn đoán chính xác và ổn định bằng 10 tần số phản cộng hƣởng và lƣới chia 20 điểm. Trong kịch bản thứ hai cả ba vết nứt đƣợc chẩn đoán chính xác với 20 điểm đo tần số phản cộng hƣởng. Rõ ràng là để chẩn đoán càng chính xác một số lƣợng vết nứt nào đ cần số lƣợng tần số phản cộng hƣởng càng nhiều và số lƣợng điểm chia trong lƣới dò tìm vết nứt cần xấp x số lƣợng tần số phản cộng hƣởng. KẾT LUẬN CHƢƠNG 4 Nhƣ vậy, trong Chƣơng này: 1. Đã thiết lập đƣợc phƣơng trình đặc trƣng để tính toán tần số cộng hƣởng và phản cộng hƣởng trong dao động uốn của dầm có nhiều vết nứt ở dạng tƣờng minh đối với tham số vết nứt và đã ch ra các xấp x tiệm cận và khả năng ứng dụng trong tính toán tần số công hƣởng và phản cộng hƣởng của dầm. 2. Đã nghiên cứu sự thay đổi của tần số phản cộng hƣởng phụ thuộc vào vết nứt và vị trí đo đạc tần số phản cộng hƣởng và ch ra rằng sự thay đổi tần số phản cộng hƣởng do vết nứt tƣơng tự nhƣ sự thay đổi của tần số phản cộng hƣởng, nhƣng số lƣợng điểm nút của tần số phản cộng hƣởng nhiều hơn tần số phản cộng hƣởng. Đồng thời cũng ch ra sự phụ thuộc của tần số phản cộng hƣởng của dầm có vết nứt cũng phụ thuộc đáng kể vào vị trí đo đạc các tần số phản cộng hƣởng này. Đây là một dấu hiệu rất hữu ích để chẩn đoán vết nứt bằng tần số phản cộng hƣởng. 3. Đã thử nghiệm giải bài toán chẩn đoán một và ba vết nứt trong dầm công xôn bằng tần số phản cộng hƣởng. Kết quả chẩn đoán minh chứng cho tính hiệu dụng cao của tần số phản cộng hƣởng so với tần số cộng hƣởng. 96 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Kết quả chính của luận án là: 1. Đã thiết lập đƣợc các phƣơng trình đặc trƣng tƣờng minh cho tần số cộng hƣởng và tần số phản cộng hƣởng trong dao động dọc trục và dao động uốn của kết cấu một chiều (thanh, dầm) có nhiều vết nứt [Công bố số 1 và số 2]. 2. Đã xây dựng đƣợc công thức Rayleigh mở rộng và các xấp x bậc nhất, bậc hai biểu diễn mối liên hệ tƣờng minh dạng đa thức giữa tần số dao động dọc trục với các tham số vết nứt, phục vụ việc tính toán và chẩn đoán vết nứt trong thanh [Công bố số 3]. 3. Sử dụng các phƣơng trình đã đƣợc thiết lập trong luận án này, đã nghiên cứu chi tiết ảnh hƣởng của tham số vết nứt đến tần số cộng hƣởng và tần số phản cộng hƣởng của kết cấu thanh, dầm có vết nứt [Công bố số 4]. 4. Đã giải bài toán chẩn đoán vết nứt trong thanh, dầm bằng tần số phản cộng hƣởng và khẳng định tính ƣu việt của tần số phản cộng hƣởng so với tần số cộng hƣởng (tần số riêng) [Công bố số 1 và số 5]. Những đóng góp mới của luận án là: 1. Phƣơng trình tần số cộng hƣởng và phƣơng trình tần số phản cộng hƣởng dạng tƣờng minh lần đầu tiên đƣợc xây dựng, cung cấp một công cụ mới để chẩn đoán vết nứt trong thanh, dầm bằng tần số cộng hƣởng và phản cộng hƣởng. 2. Công thức Rayleigh, một biểu thức tƣờng minh của tần số dao động dọc trục trong thanh thông qua tham số vết nứt lần đầu tiên đƣợc xây dựng trong luận án này. Kết quả này góp phần đ ng g p một công cụ mới khác phục vụ việc chẩn đoán vết nứt trong thanh bằng các tần số riêng. 3. Đã nghiên cứu bài bản ảnh hƣởng của vết nứt đến tần số phản cộng hƣởng của thanh, dầm và khẳng định rằng tần số phản cộng hƣởng là một đặc trƣng số dễ dàng đo đƣợc nhƣ tần số riêng, nhƣng lại chứa các thông tin cục bộ nhƣ dạng dao động riêng. Vì vậy, tần số phản cộng hƣởng là một ch số hữu hiệu hơn tần số riêng trong việc để chẩn đoán vết nứt trong kết cấu thanh, dầm. Hƣớng nghiên cứu tiếp theo là nghiên cứu thực nghiệm để kiểm chứng các kết quả lý thuyết đã đạt đƣợc, làm cơ sở để ứng dụng các kết quả nghiên cứu vào thực tế. 97 DANH MỤC CÁC CÔNG BỐ KHOA HỌC 1. Tran Thanh Hai, Nguyen Tien Khiem, Pham Thi Ba Lien, Characteristic equation for antiresonant frequencies of multiple cracked bars and application for crack detection, Nondestructive Testing and Evaluation, 2019, VOL. 34, NO. 3, 299–323. DOI:10.1080/10589759.2019.1605604 (ISI) 2. Phạm Thị Ba Liên, Nguyễn Tiến Khiêm, Phƣơng trình đặc trƣng chính xác của dầm Euler–Bernoulli c nhiều vết nứt và ứng dụng, Tuyển tập báo cáo Hội nghị Cơ học kỹ thuật toàn quốc 9/04/2019, pp.149–156. 3. Nguyen Tien Khiem, Nguyen Minh Tuan, Pham Thi Ba Lien, Rayleigh quotient for longitudinal vibration of multiple cracks bar and application./ Modern Mechanics and Applications, N.T. Khiem et al. (Eds) Select Proceedings of ICOMMA 2020, pp. 13–25. DOI: 10.1007/978–981–16– 3239–6_2. (SCOPUS) 4. Pham Thi Ba Lien, Nguyen Tien Khiem, Resonant and antiresonant frequencies of multiple cracked bar. Vietnam Journal of Mechanics, VAST, Vol. 41, No. 2 (2019), pp. 157 – 170. DOI: 10.15625/0866–7136/13092 5. Nguyen Tien Khiem, Nguyen Minh Tuan, Pham Thi Ba Lien, Crack Identification in Beams by Antiresonant Frequencies. Vietnam Journal of Mechanics, 2021, Vol. 43, No 4, pp. 389–405. DOI: 10.15625/0866– 7136/16710. 98 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] S.W. Doebling, C.R Farrar, M.B. Prime, D.W. Shevitz, Damage Identification and Health Monitoring of Structural and Mechanical Systems from Changes in Their Vibration Characteristics: A Literature Review. Report LA–13070–MS, Los Alamos National Laboratory, 1996, New Mexico. [2] H. Sohn, C.R. Farrar, F.M. Hemez, D.D. Shunk, D.W. Stinemates, B.R. Nadler, J.J. Czarnecki, A Review of Health Monitoring Literature 1996–2001. Report No LA–13976–MS, Los Alamos National Laboratory, 2004, New Mexico. [3] W. Fan and P.Z. Qiao, Vibration–based Damage Identification Methods: A Review and Comparative Study. Structural Health Monitoring, 10 (1) (2011) 83–111. [4] R. Hou and Y. Xia, Review on the new development of vibration–based damage identification for civil engineering structures: 2010–2019. Journal of Sound and Vibration, Vol. 491, 20 January 2021, 115741. DOI: 10.1016/j.jsv.2020.115741. [5] R.D. Adams, P. Cawley, C.J. Pye, B.J. Stone, A vibration technique for non– destructively assessing the integrity of structures. Journal of Mechanical Engineering Science, 20 (1978) 93–100. [6] T. G. Chondros, A.D. Dimarogonas, J. Yao. Longitudinal vibration of a continuous cracked rod. Engineering Fracture Mechanics, 61 (1998) 593–606. [7] R. Ruotolo, C. Surace. Natural frequencies of a rod with multiple cracks. Journal of Sound and Vibration 272 (2004) 301–316. [8] Y. Narkis, Identification of crack location in vibrating simply supported beams. Journal of Sound and Vibration, 172 (1994) 549–558. [9] R.Y. Liang, J. Hu and F. Choy, Theoretical Study of Crack–Induced Eigenfrequency Change on Beam Structures, Journal of Engineering Mechanics 118 (2) (1992) 384–395. [10] R.Y. Liang, J. Hu and F. Choy, Quantitive NDE Technique for Assessing Damages in Beam Structures, Journal of Engineering Mechanics 118 (7) (1992) 1468–1487. 99 [11] A. Morassi, Crack–Induced Changes in Eigenparameters of Beam Structures, Journal of Engineering Mechanics 119(9) (1993) 1798–1803. [12] Nguyen Tien Khiem and Dao Nhu Mai. Natural Frequency Analysis of Cracked Beam. Vietnam Journal of Mechanics, Vol 19(2), 1997, pp. 28–38. [13] T. G. Chondros, , A. D. Dimarogonas and J. Yao. A continuous cracked beam vibration theory. Journal of Sound and Vibration, Vol 215, 1998, pp. 17–34. [14] E.I. Shifrin and R. Ruotolo, Natural frequencies of a beam with an arbitrary number of cracks, Journal of Sound and Vibration 222(3) (1999) 409–423. [15] N.T. Khiem and T.V. Lien, A simplified method for natural frequency analysis of multiple cracked beam, Journal of Sound and Vibration 245(4) (2001) 737– 751. [16] K. Aydin, Vibratory Characteristics of Euler–Bernoulli Beams with an Arbitrary Number of Cracks Subjected to Axial Load, Journal of Vibration and Control 14(4) (2008) 485–510. [17] J. Fernandez–Saez, L. Rubio, C. Navarro. Approximate calculation of the fundamenl frequency for bending vibration of cracked beams. Journal of Sound and Vibration 225(2) (1999) 345–352. [18] Nguyen Tien Khiem and Tran Thanh Hai, The Rayleigh quotient for multiple cracked beam and application. Vietnam Journal of Mechanics, 33(1) (2011) 1– 12. [19] N.T. Khiem, L.K. Toan. A novel method for crack detection in beam–like structures by measurements of natural frequencies. Journal of Sound and Vibration 333 (2014) 4084–4103. [20] N.T. Khiem, H.T. Tran, V.T.A. Ninh. A closed–form solution to the problem of crack identification for a multistep beam base on Rayleigh quotient. International Journal of Solids and Structures 150 (2018) 154–165. [21] A. Morassi. Identification of a crack in a rod based on changes in a pair of natural frequencies. Journal of Sound and Vibration, 242(4) (2001) 577–596. [22] M. Dilena, A. Morassi, Detecting cracks in a longitudinal vibrating beam with dissipative boundary conditions. Journal of Sound and Vibration 267 (2003) 87–103. 100 [23] L. Rubio, J. Fernandez–Saez, A. Morassi, Identification of two cracks in rod. Journal of Sound and Vibration 339 (2015) 99–111. [24] L. Rubio, J. Fernandez–Saez, A. Morassi. Crack identification in non–uniform rods by two frequency data. International Journal of Solids and Structures 75– 76 (2015) 61–80. [25] L. Rubio, J. Fernandez–Saez, A. Morassi, The full nonlinear crack detection problem in uniform vibrating rods. Journal of Sound and Vibration 339 (2015) 99–111. [26] E.J. Shifrin, Inverse spectral problem for a rod with multiple cracks. Mechanical Systems and Signal Processing 56–57 (2015) 181–196. [27] E.I. Shifrin. Identification of a finite number of small cracks in a rod using natural frequencies. Mechanical Systems and Signal Processing 70–71 (2016) 613–624. [28] A. Morassi, Identification of two cracks in a simply supported beam from minimal frequency measurements, Journal of Vibration and Control 7 (2001) 729–739. [29] D.P. Patil, S.K. Maiti, Detection of multiple cracks using frequency measurements”, Engineering Fracture Mechanics. 70 (2003) 1553 – 1572. [30] N.T. Khiem and T.V. Lien, Multi–crack detection for beam by the natural frequencies. Journal of Sound and Vibration 273 (2004) 175–184. [31] J. Lee, Identification of multiple cracks in beam using natural frequencies. Journal of Sound and Vibration 320 (2009) 482–490. [32] L. Rubio, An Efficient Method for Crack Identification in Simply Supported Euler–Bernoulli Beams, Journal of Vibration and Acoustics, 131 (2009) 051001(1–6). [33] M. Attar, A transfer matrix method for free vibration analysis and crack identification of stepped beams with multiple edge cracks and different boundary conditions. International Journal of Mechanical Sciences. 57 (2012) 19–33. [34] Trần Văn Liên, Bài toán ngƣợc của cơ học và một số ứng dụng. Luận án tiến sỹ kỹ thuật, Trƣờng Đại học Xây dựng Hà Nội, 2003. 101 [35] Đào Nhƣ Mai, Độ nhạy cảm của các đặc trƣng động lực học và ứng dụng trong chẩn đoán kỹ thuật công trình. Luận án tiến sỹ cơ học, Viện Cơ học, 2004. [36] Trần Thanh Hải, Chẩn đoán vết nứt trong dầm đàn hồi bằng phƣơng pháp đo dao động. Luận án tiến sỹ cơ học, Viện Cơ học, 2012. [37] Phí Thị Hằng, Phƣơng pháp phổ tần số trong nghiên cứu dao động của dầm đàn hồi có nhiều vết nứt chịu tải trọng di động. Luận án tiến sỹ cơ kỹ thuật, Viện Cơ học, 2016. [38] Nguyễn Ngọc Huyên, Phân tích dao động và chẩn đoán vết nứt trong dầm FGM. Luận án tiến sỹ, Viện Cơ học, 2017. [39] Vũ Thị An Ninh, Dao động và chẩn đoán dầm bậc có vết nứt. Luận án tiến sỹ, Viện Cơ học, 2018. [40] Lê Khánh Toàn, Chẩn đoán vết nứt trong kết cấu thanh, dầm bằng hàm đáp ứng tần số. Luận án Tiến sỹ kỹ thuật cơ khí và Cơ kỹ thuật, Học Viện Khoa học và Công nghệ, Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam, Hà Nội, 2019. [41] Đặng Xuân Trọng, Chẩn đoán vết nứt trong cần cẩu tháp bằng phƣơng pháp thử nghiệm động. Luận án tiến sỹ kỹ thuật, Học Viện Khoa học và Công nghệ Việt Nam. Hà Nội, 2021. [42] Lƣu Quỳnh Hƣờng, ứng dụng vật liệu áp điện trong đánh giá trạng thái kỹ thuật công trình. Luận án tiến sỹ kỹ thuật. Học Viện Khoa học và Công nghệ Việt Nam. Hà Nội, 2021. [43] Nguyễn Tiến Khiêm, Nhập môn Chẩn đoán kỹ thuật công trình. NXB KHTN&CN, Hà Nội, 2008. [44] Trần Văn Liên, Nguyễn Tiến Khiêm, Phƣơng pháp độ cứng động lực trong phân tích và chẩn đoán kết cấu, NXB Xây dựng, Hà Nội 2017. ISBN: 978– 604–82–2163–8. [45] Nguyễn Tiến Khiêm, Trần Thanh Hải. Dao động trong kỹ thuật. NXB ĐHQGHN, Hà Nội, 2020. 102 [46] J.E. Monttershead, On the zeros of Structural Frequency Response Functions and Their Sensitivities. Mechanical Systems and Signal Processing 12(5) (1998) 591–597. [47] J.E. Mottershead, Y.M. Ram, Inverse eigenvalue problems in vibration absorption: passive modification and active control, Mech. Syst. Signal Process. 20 (2006) 5–44. doi: 10.1016/j.ymssp.2005.05.006. [48] J.E. Mottershead, M.G. Tehrani, S. James, Y.M. Ram, Active vibration suppression by pole–zero placement using measured recepnces, J. Sound Vib. 311 (2008) 1391–1408, doi: 10.1016/j.jsv.2007.10.024. [49] D. Richiedei, I. mellin, Active control of linear vibrating systems for antiresonance assignment with regional pole placement. Journal of Sound and Vibration 494 (2021) 115858. doi: 10.1016/j.jsv.2020.115858. [50] J.E. Monttershead, On the zeros of Structural Frequency Response Functions and Their Sensitivities. Mechanical Systems and Signal Processing 12(5) (1998) 591−597. [51] W. D’Ambrogio, A. Fregolent, The use of antiresonance for robust model updating. Journal of Sound and Vibration 236 (2000) 237–243. [52] K. John and J. Turcotte, Finite element model updating using antiresonant frequencies. Journal of Sound and Vibration 252 (2002) 717–727. [53] V. Meruane, Model updating using antiresonant frequencies identified from transmissibility functions. Journal of Sound and Vibration 332(4) (2013) 807– 820. [54] F. Wahl, G. Schmitt and L. Forrai. On the significance of antiresonance frequencies in experimenl structure analysis. Journal of Sound and Vibration 219(3)(1999) 379−394. [55] D. Hanson et al., The role of antiresonance frequencies from operational modal analysis in finite element model updating. Mechanical Systems and Signal Processing 21 (2007) 74–97. [56] T. Inada, Y. Shimamura, A. Todoroki and H. Kobayashi, Development of Two–step Delamination Identification by Resonant and Antiresonant 103 Frequency Changes. Key Engineering Material, Vols 270–273 (2004) 1852– 1858. [57] N. Dharmaraju and J.K. Sinha, Some comments on use of antiresonance for crack identification in beams. Journal of Sound and Vibration 286 (2005) 669–671. [58] F.Q. Wang, X.L. Han and Y.Z. Guo. Analysis of the Characteristics of Pseudo−Resonance and Anti−Resonance. Journal of Vibration and Acoustics Vol. 118(4) (1996) 663−667. [59] Y. Bamnios, E. Douka, A. Trochidis, Crack Identification in Beam Structures Using Mechanical Impedance. Journal of Sound and Vibration 256(2) (2002) 287–297. [60] D.S. Wang and H.P. Zhu. Wave Propagation Based Multi–Crack Identification in Beam Structures Through Anti–Resonance Information. Key Engineering Material, Vols 293–294 (2005) 557–564. [61] D.S. Wang, H.P. Zhu, C.Y. Chen and Y. Xia, An impedance analysis for crack detection in Timoshenko beam based on the anti–resonance technique. Ac Mechanica Solida Sinica 20(3) (2007) 228–235. [62] M. Dilena, A. Morassi, Detecting cracks in a longitudinal vibrating beam with dissipative boundary conditions. Journal of Sound and Vibration 267 (2003) 87–103. [63] M. Dilena and A. Morassi, The use of antiresonance for crack detection in beams. Journal of Sound and Vibration 276 (2004) 195–214. [64] M. Dilena, A. Morassi. Structural Health Monitoring of Rods Based on Natural Frequency and Antiresonant Frequency. Structural Health Monitoring 8(2) (2009) 149–173. [65] M. Delina and A. Morassi, Reconstruction Method for Damage Detection in Beams Based on Natural Frequency and Antiresonant Frequency Measurements. ASCE Journal of Engineering Mechanics 136(4) (2010) 329– 344. 104 [66] Fernandez−Saez, J., L. Rubio, C. Navarro. Approximate calculation of the fundamenl frequency for bending vibration of cracked beams. Journal of Sound and Vibration 225(2) (1999) 345−352. [67] L. Rubio, J. Fernandez–Saez, A. Morassi. Identification of two cracks in a rod by minimal resonant and anti–resonant frequency da. Mechanical System and Signal processing 60–61 (2015) 1–13. [68] V. Meruane and W. Heylen, Structural damage assessment with antiresonanes versus mode shapes. Structural Control and Health Monitoring 18 (2011) 825–839. [69] Chondros, T. G., Dimarogonas, A. D. and Yao, J. “A continuous cracked beam vibration theory”. Journal of Sound and Vibration, Vol 215, 1998, pp. 17−34. [70] Nguyen Tien Khiem, Hai Thanh Tran, A procedure for multiple crack Identification in beam–like structures from natural vibration mode. Journal of Vibration and Control, Vol. 20 No. 19 (2014) 1417–1427. 105 PHỤ LỤC KHAI TRIỂN KỲ DỊ MA TRẬN VÀ ỨNG DỤNG Trƣớc hết xét một ma trận hằng A c kích thƣớc m × n. Ma trận A đƣợc một khai triển ở dạng: T A = U Σ V , trong đ ,U V là các ma trận trực giao cấp m và n: ,T Tm n U U I V V I và Σ là ma trận có cùng kích cỡ nhƣ A và ch có phần tử đƣờng chéo là khác 0 và không âm, ký hiệu là 1( ) { ,...., }, min( , )qm n diag q m n  Σ   . Các số 1,...., r  đƣợc gọi là là giá trị kỳ dị của ma trận A và biểu diễn nêu trên đƣợc gọi là khai triển kỳ dị của ma trận A. Ngoài ra còn có thể chứng minh đƣợc rằng 2 2, , , , 1,...,T T Tk k k k k k k k k k k k k r    Av v A u v AA u u A Av v    . Tức các véc tơ cột , , 1,...,k k k ru v của các ma trận U, V là các véc tơ riêng và bình phƣơng các giá trị kỳ dị của ma trận A chính là các trị riêng của các ma trận T AA , T A A .Nếu ma trận A đối xứng thì U = V. Khi đ c thể viết lại biểu thức của khai triển kỳ dị nêu trên ở dạng 1 , r T k k k k r rank   A u v A . Hơn nữa, ma trận nghịch đảo suy rộng, hay còn gọi là ma trận nghịch đảo Moore-Penzoe của ma trận A sẽ có khai triển kỳ dị 1( )T T T   A A A A VΣ U , trong đ ma trận  nhận đƣợc từ ma trận  bằng cách thay các giá trị khác 0 bằng giá trị nghịch đảo, còn các giá trị 0 vẫn giữ nguyên và sau đ đổi hàng thành cột (chuyển vị). Bây giờ xét phƣơng trình Ax = 0 trong trƣờng hợp A vuông (m = n) nhƣng c định thức bằng 0, tức có giá trị kỳ dị bằng 0. Giả sử các giá trị kỳ dị của ma trận A khác 0 là 1,...., ,r r n  , tức 0, 1,...,k k r n   . Khi đ 1 1 ( ) 0, 1,..., r r T T k k k k k k k k k k k k r n           Av u v v v v u  . 106 Nhƣ vậy, nghiệm khác 0 của phƣơng trình thuần nhất nêu trên chính là (n-r) véc tơ kỳ dị phải của ma trận A tƣơng ứng với các giá trị kỳ dị bằng 0. Chúng tạo thành không gian Null của ma trận A. Không gian Null có số chiều (dimension) là (n-r) với cơ sở trực giao là các véc tơ , 1,...,kv k r n    . Điều này c nghĩa là một nghiệm bất kỳ của phƣơng trình thuần nhất Ax = 0 luôn có thể biểu diễn bằng 1 n r nul k r k k x c v      với các hằng số kc bất kỳ. Trong trƣờng hợp ma trận A không vuông, giải sử rankA r m n  , thì không gian Null của ma trận A cũng sẽ là các véc tơ , 1,...,k k r n   v . Xét phƣơng trình không thuần nhất Ax = 0, khi đ có 1 1 ( ) ( ) / , 1,..., r r T T T T k k k k k k k k k k k k x k r          Ax u v x v x u b v x u b   . Nhƣ vậy, một nghiệm riêng của phƣơng trình không thuần nhất bằng 1 Tr k k k k    u b x v  và nghiệm tổng quát của nó sẽ là 1 n r k r k r k c        x x v x V c , trong đ Vr là ma trận tạo thành từ n-r véc tơ cột và c là véc tơ các hằng số tùy ý { , 1,..., }jc j n r  . Nếu chọn các hằng số c bằng một ràng buộc nào đ , ví dụ 0( ) minx x L với L là một ma trận trọng số đã chọn và x là một thông tin cho trƣớc về nghiệm của phƣơng đã cho (nếu không có thông tin gì cho 0x =0), sẽ đƣợc một nghiệm riêng khác của phƣơng trình không thuần nhất. Trong trƣờng hợp cuối sẽ đƣợc ( ) ( ' ) ( ) ( )r r r r r r             x x V LV L x x V LV Lx I V LV L x Thực chất đây là nghiệm của bài toán bình phƣơng tối thiểu có ràng buộc dạng phƣơng trình 0min{ ( ) : }x xL Ax = b , nhƣng đồng thời là nghiệm đúng của phƣơng trình không thuần nhất. Tìm nghiệm đã điều ch nh của phƣơng trình không thuần nhất tổng quát : 107 2 2 0( )T Tx  A A I A b x  với λ là tham số điều ch nh Tikhonov. Sử dụng các khai triển 2 1 1 , r n T T T k k k k k k k    A A v v I v v có 2 2 2 2 2 0 2 2 0 1 1 1 ( ) ( ) r n r T T T T T k k k k k k k k k r k x x              A A I v v x v v A b x u bv x       . Do đ 22 0 02 2 2 2 , 1,..., ; , 1,..., T T Tk k k k k k kk k v k r k r n          u b x x v x x      hay 2 0 0 ' '2 2 1 ' 1 Tr n k k k k k k k k rk           x u b x v x v     Đây là biểu thức tổng quát của nghiệm đa đƣợc điều ch nh theo Tikhonov. Nếu 0 0x , thì nghiệm này bằng 2 2 1 ˆ Tr k k k k k         u b x v    , đƣợc xác định ngay cả khi giá trị kỳ dị rất nhỏ. Từ công thức tổng quát nêu trên cho thấy nếu tham số điều ch nh chọn quá lớn, nghiệm điều ch nh tiến đến thông tin cho trƣớc x , lúc này vế phải đ ng vai trò rất nhỏ. Ngƣợc lại nếu tham số điều ch nh chọn quá nhỏ so với giá trị kỳ dị bé nhất thì sẽ nhận đƣợc nghiệm chƣa điều ch nh x. Vấn đề chọn tham số điều ch nh làm sao để cân bằng giữa hai trƣờng hợp tới hạn này, nghĩa là không quá lớn nhƣng cũng không quá nhỏ. Độ lớn của tham số điều ch nh sẽ đƣợc quyết định bởi sai số của đầu vào b.