Luận án K - Lý thuyết đối với không gian lá của một lớp các MD5 - phân lá

Ta thường đồng nhất C với chính phân bố khả tích F và dùng cùng một ký hiệu F để chỉ họ C. Ta cũng bảo họ C (các đa tạp con như trên của V) lập thành một phân lá trên V. Sau đây là 2 kiểu phân lá điển hình mà ta thường gặp trong luận án. Nếu có một phân thớ (với thớ liên thông) sao cho mỗi thớ của nó là và chỉ là một lá của phân lá thì ta bảo rằng phân lá được cho bởi phân thớ . Tương tự nếu có nhóm Lie G tác động (liên tục) trên V sao cho mỗi quỹ đạo của G là và chỉ là một lá của phân lá thì ta cũng bảo được cho bởi tác động của nhóm G (lên đa tạp phân lá V). Tôpô phân lá Theo kết quả trực tiếp của Mệnh đề 2.1.4, tất cả các phân lá cùng chiều trên cùng một đa tạp vi phân đều có cùng cấu trúc địa phương. Tuy nhiên nếu xét trên quan điểm toàn cục thì có thể rất khác nhau. Bởi thế, vấn đề của “tôpô phân lá” là nghiên cứu trên quan điểm tôpô về các vấn đề toàn cục của phân lá. Chẳng hạn sự tồn tại lá compact, lá trù mật, điều kiện đồng phôi của các lá, 2.2.1 Không gian các lá của phân lá Một vấn đề toàn cục khác của tôpô phân lá là việc xét không gian các lá của một phân lá. Không gian các lá (hay vắn tắt là không gian lá) của một phân lá là không gian thương của không gian tôpô V khi thu mỗi lá về một điểm. Nếu phân lá được cho bởi phân thớ thì không gian lá chính là đáy B của phân thớ xác định phân lá. Còn khi được cho bởi tác động của nhóm Lie G thì lại là không gian các G-quỹ đạo. 2.2.2 Kiểu tôpô của các phân lá Hai phân lá và được gọi là tương đương (tôpô) hay cùng kiểu tôpô (phân lá) nếu có một đồng phôi sao cho h chuyển mỗi lá của thành mỗi lá của . Theo quan điểm của tôpô phân lá, ta không phân biệt hai phân lá cùng kiểu tôpô (cả về mặt địa phương lẫn toàn cục). Phân lá đo được Có những ví dụ cho thấy, mặc dù đa tạp phân lá là compact nhưng bản thân các lá có thể compact hoặc không. Do đó, khó có thể nói gì về các tính chất toàn cục của lá không compact L từ những thông tin địa phương được cho bởi phân bố xác định phân lá. Trong khi đó, nếu lá L compact, nhiều kết quả của hình học vi phân cho phép chuyển thông tin địa phương của phân thớ tiếp xúc sang các bất biến toàn cục của L (xem [8, p. 523]). Vì vậy, khi nghiên cứu tôpô phân lá, một trong những điều người ta quan tâm là tìm cách “đếm số lượng” các lá compact, không compact trong không gian phân lá. Để làm được điều này thì cần phải trang bị cho không gian các lá một độ đo thích hợp. Năm 1982, A. Connes đã đưa ra khái niệm độ đo hoành ([8]) đặc biệt thích hợp với không gian các lá của phân lá mà ngay sau đây ta sẽ giới thiệu. Đa tạp con hoành – tập hoành Borel Giả sử là một phân lá. Đa tạp con N của V được gọi là hoành nếu chẻ ra thành tổng trực tiếp . Khi đó hiển nhiên . Hơn nữa, có thể chọn một bản đồ phân lá quanh mỗi điểm sao cho các tấm của U tương ứng 1 – 1 với các điểm của , tức là mỗi tấm trong U cắt N tại một điểm duy nhất. Tập con Borel B của đa tạp phân lá V được gọi là tập hoành Borel nếu đếm được, với mỗi lá L của phân lá. Một chú ý quan trọng là mỗi tập hoành Borel đều là hợp đếm được của các tập hoành Borel B có kiểu như sau: tồn tại đơn ánh  từ B vào đa tạp con hoành N nào đó sao cho thuộc cùng lá chứa x, với mỗi . Độ đo hoành đối với phân lá – Phân lá đo được Một độ đo hoành đối với phân lá là một ánh xạ -cộng tính từ họ các tập con hoành Borel của V đến sao cho các tiên đề sau đây thỏa mãn: () Nếu là song ánh Borel và thuộc lá chứa x thì (tính đẳng biến Borel). () nếu K là tập con compact của một đa tạp con hoành. Phân lá đã trang bị một độ đo hoành được gọi là phân lá đo được. Phân loại tôpô các MD(5,4) – phân lá liên kết với các MD(5,4) – nhóm Trong mục này, ta sẽ chỉ ra sự hình thành của lớp các MD(5,4)-phân lá, đồng thời cho ra một sự phân loại tôpô trên lớp các MD(5,4)-phân lá được xét. Các MD(5,4) – phân lá liên kết với các MD(5,4) – nhóm Nhắc lại rằng, các MD-nhóm (không giao hoán) về phương diện phân tầng các K-quỹ đạo là khá đơn giản. Theo số chiều, mỗi nhóm chỉ gồm hai tầng các K-quỹ đạo: tầng các K-quỹ đạo 0-chiều và tầng các K-quỹ đạo chiều cực đại. Xét riêng tầng các K-quỹ đạo chiều cực đại của một nhóm liên thông ta thấy: các quỹ đạo là các đa tạp liên thông, đôi một rời nhau và có cùng số chiều. Điều này gợi cho ta nghĩ đến một phân lá. Trong [2], L. A. Vũ đã chứng minh được rằng, đối với các MD4-nhóm liên thông, đơn liên, bất khả phân thì họ các K-quỹ đạo chiều cực đại luôn tạo thành một phân lá đo được. Trong [25], một khẳng định tương tự cũng được các tác giả chứng minh cho các MD5-nhóm liên thông, đơn liên với ideal dẫn xuất giao hoán 3 chiều. Phép chứng minh các khẳng định này được tiến hành bởi những tính toán cụ thể theo 2 bước sau đây: Bước 1 : Chỉ ra phân bố khả tích trên ( là hợp của tất cả các K-quỹ đạo chiều cực đại của G) sao cho mỗi K-quỹ đạo là một đa tạp liên thông tối đại của nó. Bước 2 : Trang bị cho một độ đo hoành. Đối với các MD(5,4)-nhóm, bằng phương pháp chứng minh hoàn toàn tương tự, ta có mệnh đề dưới đây. Mệnh đề 2.4.1. Giả sử G là một MD(5,4)-nhóm bất kỳ, là họ các K-quỹ đạo chiều cực đại của nó và . Khi đó,  là một phân lá đo được. Phân lá này được gọi là một MD(5,4)-phân lá liên kết với G. Như vậy, ta cũng nhận được 14 họ các MD(5,4)-phân lá tương ứng với 14 họ các MD(5,4)-nhóm đã được chỉ ra trong Chương 1. Từ Định lí 1.3.1, dễ thấy rằng, tất cả các đa tạp phân lá của các MD(5,4)-phân lá đều vi phôi với nhau đồng thời vi phôi với đa tạp con mở của . Do đó, để thuận tiện về mặt ký hiệu, các MD(5,4)-phân lá liên kết với các MD(5,4)-nhóm sẽ được ký hiệu tương ứng là thay cho . Ví dụ, là một MD(5,4)-phân lá được tạo thành từ họ các K-quỹ đạo chiều cực đại của MD(5,4)-nhóm . Phân loại tôpô các MD(5,4) – phân lá đã xét Sau đây, ta sẽ trình bày chi tiết định lí phân loại tôpô trên 14 họ các MD(5,4)-phân lá đã xét, đồng thời đưa ra một mô tả chi tiết không gian các lá cho từng kiểu tôpô. Định lí 2.4.2. (Phân loại tôpô và mô tả không gian lá của các MD(5,4)-phân lá) 1. Có đúng 3 kiểu tôpô trên 14 họ các MD(5,4)-phân lá được xét, mỗi kiểu gồm các MD(5,4)-phân lá thuộc một và chỉ một trong các tập hợp F1, F2 , F3 được liệt kê dưới đây: . . Ta sẽ ký hiệu các kiểu này lần lượt bởi chính các ký hiệu F1, F2 , F3. 2.(i) Các MD(5,4)-phân lá thuộc kiểu F1 đều được cho bởi phân thớ với thớ liên thông trên mặt cầu đơn vị . (ii) Các MD(5,4)-phân lá thuộc kiểu F2 và F3 đều là các phân lá được cho bởi các tác động của trên đa tạp phân lá . Chứng minh. 1. Để chứng minh phần đầu của Định lí 2.4.2, ta cần chỉ ra các đồng phôi của đa tạp phân lá V, chuyển lá thành lá, cho tất cả các phân lá trong cùng một tập hợp F1, F2 , F3 đã liệt kê ở mục 1 của định lí. Cụ thể, Ta xét các ánh xạ đi từ vào được định nghĩa như sau: , trong đó , trong đó ; Kiểm tra trực tiếp ta được (tương ứng ) là đồng phôi của V chuyển mỗi lá của phân lá (tương ứng của ) thành mỗi lá của phân lá . Do đó các phân lá thuộc F1 là cùng kiểu tôpô. Tương tự, để chứng minh sự tương đương tôpô của các phân lá trong cùng tập F2, ta xét các đồng phôi đi từ vào chính nó được định nghĩa như sau: Các ánh xạ (tương ứng ) là đồng phôi chuyển mỗi lá của phân lá (tương ứng của ) thành mỗi lá của phân lá . Do vậy, các phân lá thuộc F2 là cùng kiểu tôpô. Hoàn toàn tương tự cho các phân lá trong cùng tập F3, ta có các ánh xạ: là đồng phôi chuyển mỗi lá của phân lá thành mỗi lá của phân lá . Do vậy các phân lá thuộc F3 là cùng kiểu tôpô. Dựa vào bức tranh các K-quỹ đạo của các MD(5,4)-nhóm, sự không tương đương tôpô của các phân lá kiểu F1, F2, F3 là rõ ràng. Do vậy, phần đầu của định lí được chứng minh. 2. Sau đây, ta chứng minh phần 2 của định lí bằng cách chỉ ra tường minh các phân thớ hoặc các tác động mà từ đó chúng cảm sinh ra các phân lá thuộc kiểu F1, F2 và F3. Cụ thể, (i) Xét toàn ánh Rõ ràng, phân thớ cảm sinh ra phân lá . Hơn nữa các thớ của nó là liên thông. Do đó là phân lá được cho bởi phân thớ. Từ đây ta suy ra các phân lá thuộc kiểu F1 cũng là các phân lá được cho bởi phân thớ với thớ liên thông trên mặt cầu đơn vị S3. (ii) Xét các tác động của trên V xác định như dưới đây. trong đó . trong đó . Dễ dàng thấy rằng các tác động , (tương ứng ) cảm sinh ra phân lá , (tương ứng). Do đó, tất cả các MD(5,4)-phân lá thuộc kiểu F2 và F3 đều là các phân lá được cho bởi các tác động của trên đa tạp phân lá . Định lí được chứng minh hoàn toàn. ∎ Nhận xét 2.4.3. Các kết quả của Định lí 2.4.2 sẽ rất có ích trong việc mô tả giải tích cấu trúc các C*-đại số Connes liên kết với các MD(5,4)-phân lá, cũng như trong việc đặc trưng các C*-đại số này bằng phương pháp K-hàm tử trong chương cuối cùng của luận án. Chương 3 K-lý thuyết đối với các MD(5,4)-phân lá Kết quả chính của chương này là Định lí 3.4.3 và Định lí 3.4.4 ở Mục 3.4 về nghiên cứu K-lý thuyết đối với không gian lá của các MD(5,4)-phân lá và đặc trưng C*-đại số Connes liên kết với các MD(5,4)-phân lá này bằng phương pháp K-hàm tử. Các kết quả này được công bố trong các bài báo [27] và [28]. Trước khi đi vào các kết quả chính, phần đầu của chương sẽ dành cho việc trình bày tóm tắt lại một số kiến thức có liên quan về C*-đại số Connes liên kết với một phân lá, K-lý thuyết đối với phân lá, đồng thời điểm lại những ý tưởng cơ bản của phương pháp K-hàm tử. Một trình bày đầy đủ và chi tiết hơn có thể tìm thấy trong các tài liệu kham thảo, mà chủ yếu là [2], [8], [10] và [22]. C*-đại số Connes liên kết với phân lá Trong mục này, ta nêu lại các bước xây dựng C*-đại số Connes liên kết với một phân lá được A. Connes đưa ra trong [8], cùng với các tính chất quan trọng của nó được A. M. Torpe chỉ ra trong [22]. Đặc biệt, ta quan tâm đến trường hợp phân lá được cho bởi phân thớ cũng như phân lá cho được bởi tác động của nhóm Lie. 3.1.1 Holonomy của lá Giả sử là một phân lá, . Xét một lá L tuỳ ý và hai điểm nào đó trên L. Giả sử là một đường trơn trên L nối x và y, tức là . Khi đó luôn tồn tại một họ các bản đồ phân lá có các tính chất sau ([20]): (1) , ; (2) ; (3) , tồn tại họ các tấm của cùng một lá (chứa ) nào đó sao cho: (i) (ii) (iii) Nếu thì và . Gọi là phép chiếu lên q thành phần sau xác định bởi . Vì được phủ bởi các tấm , , nên nhờ ánh xạ pr ta có thể xác định được ánh xạ sao cho: . Kiểm chứng được rằng f là vi phôi trơn địa phương tại 0 với Điều quan trọng là mầm vi phôi trơn địa phương xác định bởi f chỉ phụ thuộc vào lớp đồng luân của đường trong lá L. Ta gọi mầm đó là ánh xạ holonomy cảm sinh bởi . Đặc biệt khi , tương ứng cho ta một đồng cấu nhóm từ nhóm cơ bản của (tại ) đến nhóm các mầm vi phôi trơn địa phương tại 0 của . Nhóm con trong gọi là nhóm holonomy của lá L. Điều đáng lưu ý là nếu phân lá được cho bởi phân thớ thì nhóm holonomy của mỗi lá bất kì của nó đều tầm thường: chỉ gồm phần tử đơn vị. Tương tự, nếu lá L nào đó đơn liên (tức là ) thì nhóm holonomy của L cũng tầm thường. Lá có nhóm holonomy tầm thường còn được gọi là lá không có holonomy. 3.1.2 Phỏng nhóm Holonomy của phân lá Giả sử là một phân lá, ta sẽ xây dựng một đa tạp H (không nhất thiết Hausdorff), có số chiều mà được gọi là phỏng nhóm holonomy của phân lá đã cho. Phép xây dựng H được đưa ra bởi Winkelnkemper (xem [8, Mục 5]). Một phần tử của H được cho bởi hai điểm trong và một lớp tương đương của các đường trơn tiếp xúc với phân thớ (tức là , điều này suy ra thuộc cùng một lá) bởi quan hệ tương đương sau: tương đương với nếu là phép đồng nhất. Trong H có phép nhân tự nhiên như sau: với thì có nghĩa khi . Với phép toán này thì H là một phỏng nhóm, do đó H còn được gọi là phỏng nhóm holonomy hay đồ thị của phân lá . Cấu trúc đa tạp trên V cho ta một tôpô trên H mà tiền cơ sở của nó là các tập có dạng: , ở đó là các bản đồ phân lá của V, và là các phép ngập lên tập hoành . Họ các tập như trên cũng xác định một atlat trên H, và do đó H trở thành một đa tạp khả vi -chiều. Khi đó các ánh xạ từ H vào là các phép ngập, và ánh xạ là một phép dìm có ảnh là tập . Nói về tính Hausdorff của H, ta có mệnh đề sau. Mệnh đề 3.1.1. Đồ thị H của phân lá là Hausdorff nếu và chỉ nếu: với mọi cặp điểm thuộc cùng một lá L nào đó, và với mọi cặp đường trơn trên L nối với , các ánh xạ holonomy sẽ trùng nhau nếu chúng đồng nhất trên một tập con mở (của miền xác định) mà có bao đóng chứa . 3.1.3 Không gian các nửa mật độ Cho là phân lá k - chiều định hướng được, với mỗi ta định nghĩa: . Ở đây, là không gian véctơ thực một chiều các dạng tuyến tính đan dấu trên (tức là với một bản đồ địa phương của tại thì có cơ sở là ). Ta thấy ngay cùng với phép toán thông thường trên các hàm là một không gian véctơ phức một chiều. Hơn nữa, họ là một phân thớ vectơ phức một chiều. Ta gọi là phân thớ các nửa mật độ trên . Với mỗi , giả sử , , ta đặt , thì là không gian véctơ phức một chiều. Bây giờ ta xây dựng không gian các nửa mật độ cho trường hợp H Hausdorff. Cụ thể, ta đặt: f trơn và là không gian các nửa mật độ trơn có giá compact trên H. Vì định hướng nên là phân thớ tầm thường trên , do đó cũng là một phân thớ tầm thường. Ta chọn một tầm thường hoá , tức là cố định một cơ sở cho mỗi , do đó cũng cố định cơ sở cho mỗi . Khi đó ta có thể đồng nhất hàm (không gian các hàm trơn trên H có giá compact và nhận giá trị phức) với hàm theo cách như sau: Với , , trong đó là một cơ sở cố định qua của , nên khi đó . Xét trường hợp H không Hausdorff. Ta dùng cấu trúc đa tạp của H để định nghĩa như sau: Với mỗi bản đồ địa phương của đa tạp H ta xét các hàm thực , , ta có . Vì Hausdorff nên có thể đồng nhất với như trong trường hợp trên. Do đó, nếu ta định nghĩa là tập các tổ hợp tuyến tính hữu hạn của các như thế, thì ta hoàn toàn có thể đồng nhất với là tập các tổ hợp tuyến tính hữu hạn của các . Như vậy là ta đã định nghĩa được cho cả hai trường hợp Hausdorff và không Hausdorff của H. là một không gian véctơ và được gọi là không gian các nửa mật độ trơn trên H. 3.1.4 C*-đại số Connes liên kết với một phân lá Trước hết, ta trang bị tích chập và phép đối hợp trên không gian véctơ . Cụ thể, với mọi ta định nghĩa . Với hai phép toán này, trở thành một đại số. Với mỗi là phủ holonomy của lá chứa , ta có một biểu diễn tự nhiên của trên (không gian các nửa mật độ trên bình phương khả tích) như sau: Khi đó, ta xác định được một chuẩn trên bởi hệ thức . Định nghĩa 3.1.2. C*-đại số Connes liên kết với phân lá , hay vắn tắt là C*-đại số của phân lá , ký hiệu , là C*-đại số bổ sung đầy đủ của đại số với chuẩn . Sau đây ta cũng giới thiệu lại dạng tích xiên của C*-đại số được A. Connes đưa ra trong [9]. Các C*-đại số Connes liên kết với các MD(5,4)-phân lá được xét trong luận án thường có dạng tích xiên này. 3.1.5 Tích xiên Cho là một C*-đại số, G là nhóm Lie compact địa phương và là một tác động liên tục của G lên . Khi đó, với mỗi , là một tự đẳng cấu của , còn với mỗi , ánh xạ liên tục theo chuẩn. Ta xác định một C*-đại số gọi là tích xiên của với G bởi tác động theo cách dưới đây. * Xét không gian véctơ (các ánh xạ liên tục có giá compact từ G vào ) với phép nhân và phép đối hợp như sau: , , , . ở đây, là độ đo Haar trái trên G, là đồng cấu được xác định bởi hệ thức . Khi đó trở thành một đại số. * Ta sẽ xây dựng một chuẩn trên . Một biểu diễn hiệp biến của là một cặp gồm một biểu diễn unita của và một biểu diễn unita của G trên một không gian Hilbert sao cho: . Với mỗi ta định nghĩa một biểu diễn đối hợp của như sau: Ta định nghĩa là C*-đại số bổ sung đầy đủ của đại số bởi chuẩn (với là biểu diễn hiệp biến của ). * Tính chất của tích xiên: Mỗi đồng cấu đẳng biến của các C*-đại số đều cảm sinh một đồng cấu đối ngẫu xác định bởi công thức: . 3.1.6 Các tính chất cơ bản của Mục này sẽ nhắc lại các tính chất quan trọng của , cần thiết cho các tính toán sau này. Mệnh đề 3.1.3 ([22, Section 2]). Khi , C*-đại số có tính ổn định, tức là ta có đẳng cấu , ở đây, là ký hiệu để chỉ C*-đại số các toán tử compact trên một không gian Hilbert vô hạn chiều tách được. Mệnh đề 3.1.4 ([22, Proposition 2.1.4]). Nếu phân lá cùng kiểu tôpô thì các C*-đại số Connes liên kết với chúng đẳng cấu nhau, tức là . Mệnh đề 3.1.5 ([7, Bổ đề I.1]). Giả sử là một dãy khớp G-đẳng biến các C*-đại số. Khi đó dãy của các tích xiên bởi G cũng khớp. Hơn nữa, nếu dãy đầu chẻ ra đẳng biến thì dãy thứ hai cũng chẻ ra. Mệnh đề 3.1.6 ([22, Proposition 2.1.5]). Giả sử phân lá được cho bởi tác động của nhóm Lie G lên trên đa tạp phân lá V sao cho đồ thị . Khi đó , ở đó tích xiên lấy theo tác động tự nhiên của G lên cảm sinh từ tác động của G lên V. Mệnh đề 3.1.7 ([22, Proposition 2.1.6]). Giả sử phân lá được cho bởi phân thớ (với thớ liên thông) . Khi đó không có holonomy và đồ thị là đa tạp con của , đặc biệt . Mệnh đề 3.1.8 ([22, Proposition 2.1.7]). Cho phân lá . Nếu là một đa tạp con mở của đa tạp phân lá V và là hạn chế của F lên thì đồ thị của là tập con mở của đồ thị H của . Hơn nữa phép bao lồng được mở rộng tới một đồng cấu (bảo toàn chuẩn) giữa các C*-đại số . Xét là tập con mở bảo hòa của phân lá . Khi đó là một ideal của . Hơn nữa đồ thị của là một tập con mở trong , khi đó đóng trong . Nói chung không phải là đồ thị của phân lá . Tuy nhiên ta vẫn có thể xác định biểu diễn của đại số trong . Bổ sung đầy đủ theo chuẩn tương tự như trong phép xây dựng , ta thu được một C*-đại số, và ký hiệu là . Phép bao lồng cho ta một đồng cấu bằng cách lấy thu hẹp của các hàm. Vì chuẩn được định nghĩa theo từng lá nên mở rộng được thành đồng cấu . Rõ ràng , và vì mỗi phần tử bất kì của đều mở rộng được thành một hàm của nên là toàn cấu. Do đó ta có dãy nửa khớp: . Mệnh đề 3.1.9 ([22, Lemma 2.2.1]). Nếu được cho bởi tác động của một nhóm Lie trung bình hóa G (các nhóm Lie là trung bình hóa), sao cho thì dãy nửa khớp trên là khớp. Nhận xét 3.1.10. Các mệnh đề trên rất có ích trong việc mô tả giải tích các C*-đại số Connes liên kết với các MD(5,4)-phân lá, cũng như trong việc đặc trưng các C*-đại số này bằng phương pháp K-hàm tử. Cụ thể: Mệnh đề 3.1.6 và Mệnh đề 3.1.7 cho phép ta mô tả giải tích các C*-đại số Connes liên kết với các MD(5,4)-phân lá. Các Mệnh đề 3.1.8 và Mệnh đề 3.1.9 gợi ý cho ta cách xây dựng mở rộng của các C*-đại số bằng các phức C*-đại số ứng với tập con mở bão hòa. Còn các Mệnh đề 3.1.3 và Mệnh đề 3.1.5 là các tính chất cần thiết cho việc tính toán các K-nhóm trong dãy khớp K-lý thuyết liên kết với các mở rộng đã dựng. Phép đặc trưng các C*-đại số bằng phương pháp K-hàm tử Trong mục này, ta sẽ nhắc lại những ý tưởng cơ bản của phép đặc trưng các C*-đại số bằng phương pháp K-hàm tử được khởi xướng lần đầu tiên bởi Đ. N. Diệp ([11]) và được phát triển bởi J. Rosenberg ([18], [19]), G. G. Kasparov ([14]), H. H. Việt ([35]),... 3.2.1 K-lý thuyết và mở rộng các C*-đại số Thông thường, để đặc trưng một C*-đại số A nào đó (đặc biệt là bằng phương pháp K-hàm tử), ta sẽ tìm cách nhúng A vào một mở rộng dạng (3.1) với J là một ideal (đã biết) đóng trong A, còn cũng là một C*-đại số đã biết. Các mở rộng dạng (3.1) có liên quan mật thiết với K-lý thuyết. K-lý thuyết đại số là một lý thuyết đồng điều suy rộng. Giả sử A là một C*-đại số có đơn vị. Khi đó được định nghĩa là bao nhóm Grothendieck của vị nhóm các lớp đẳng cấu các A-môđun xạ ảnh hữu hạn sinh. Trường hợp A không có đơn vị ta đặt , trong đó là đại số thu được từ A bằng cách thêm phần tử đơn vị. Khi , ta đặt . Các K-nhóm có tính ổn định: ( vẫn là ký hiệu chỉ C*-đại số các toán tử compact). Đồng thời chúng cũng có tính tuần hoàn Bott: . Bởi vậy, thực chất ta chỉ cần xét hai nhóm . Hơn nữa còn là các hàm tử đồng điều suy rộng. Mở rộng (3.1) sinh ra một dãy khớp tuần hoàn 6 thành phần (còn gọi là dãy khớp K-lý thuyết) của các K-nhóm: (3.2) Các mũi tên thẳng đứng gọi là các đồng cấu nối của (3.2). Việc xác định cặp cho phép ta tính các nhóm và . Thật ra, ta còn thu được nhiều thông tin hơn trong phép tính cặp , cụ thể là cặp này xác định cho ta cái gọi là “kiểu ổn định” ([22]) của các C*-đại số được xét, một khái niệm mà ta sẽ làm rõ ngay dưới đây. Mọi việc bắt đầu từ sự kiện là: dãy khớp (3.1) xác định một phần tử trong KK-nhóm của Kasparov ([14]). 3.2.2 KK-nhóm Kasparov Giả sử J, B là các C*-đại số cho trước, J có đơn vị xấp xỉ, còn B là hạch và tách được. Xét các mở rộng C*-đại số dạng (3.3) Lưu ý rằng có một song ánh giữa các mở rộng (3.1) và (3.3). Mỗi mở rộng (3.3) lại tương ứng 1 – 1 với một đồng cấu: từ B vào đại số đa nhân tử ngoài trên mà được gọi là bất biến Busby của mở rộng (3.3) ([19, Section 2]). Ta sẽ đồng nhất mở rộng (3.3) với A cũng như với bất biến Busby của nó. Hai mở rộng dạng (3.3) gọi là tương đương unita nếu có một toán tử unita (đại số đa nhân tử trên ) sao cho với mỗi : với . Tổng của các mở rộng dạng (3.3) được định nghĩa như tổng trực tiếp. Ta ký hiệu: * : tập các lớp tương đương unita của các mở rộng dạng (3.3) * : tập các lớp tương đương unita của các mở rộng chẻ ra dạng (3.3). Cả hai tập này lập thành nhóm với phép cộng và là chuẩn tắc trong . Khi đó KK-nhóm của Kasparov được định nghĩa bởi . Như vậy mỗi mở rộng (3.3) (hoặc (3.1)) luôn xác định một phần tử duy nhất trong KK-nhóm . Mở rộng gọi là hấp thụ nếu nó tương đương unita với tất cả các mở rộng dạng , ở đó là một mở rộng chẻ ra bất kì. Ký hiệu là tập các lớp tương đương unita các mở rộng hấp thụ. Mặc dù mỗi mở rộng xác định một phần tử duy nhất của , nhưng chiều ngược lại là không đúng. Mỗi phần tử của không đủ xác định một mở rộng mà chỉ xác định duy nhất một lớp tương đương unita các mở rộng hấp thụ, tức là một phần tử của . Nói rõ hơn, ta có: . Tuy nhiên, với mỗi mở rộng (dạng (3.3) hoặc (3.1)), có duy nhất một mở rộng hấp thụ sao cho lại hấp thụ. Bởi vậy, một phần tử của KK-nhóm chỉ xác định cái gọi là “kiểu ổn định” của mở rộng . 3.2.3. Bất biến chỉ số của C*-đại số Trở lại xét mở rộng (3.1): Như đã nói ở trên, (3.1) xác định một phần tử nào đó (duy nhất) của . Định nghĩa 3.2.1 ([2, Định nghĩa 2.4.1]). Phần tử được gọi là bất biến chỉ số của C*-đại số A và được ký hiệu là . Như vậy, xác định “kiểu ổn định” của (mở rộng) A. Nhắc lại rằng, mỗi mở rộng A (dạng (3.1)) sinh ra dãy khớp K-lý thuyết dạng (3.2) Theo Định lí hệ số phổ dụng của Rosenberg và Schochet ([17]), ta có dãy khớp (3.4) trong dãy khớp này, đồng cấu chuyển thành cặp của (3.2). Còn là hàm tử mở rộng thông thường (trong đại số đồng điều). Nhận xét 3.2.2. Đồng cấu trong dãy khớp (3.4) được gọi là ánh xạ chỉ số ([19]). Khi mở rộng (3.1) có là các nhóm abel tự do (mà điều này luôn thỏa mãn đối với các mở rộng được xét trong các nghiên cứu sau này của ta), các nhóm . Nhờ (3.4) ta có đẳng cấu , trong đó . Bởi vậy, nhờ đẳng cấu , ta có thể đồng nhất với cặp các đồng cấu nối của dãy khớp K-lý thuyết (3.2) liên kết với mở rộng (3.1). Nói cách khác, chính cặp xác định kiểu ổn định của C*-đại số A (như là một mở rộng của B bởi J). Đặc biệt, khi mở rộng (3.1) là hấp thụ, chính sẽ đặc trưng duy nhất A (sai kém một tương đương unita). 3.2.4. Đẳng cấu Thom-Connes và tính tự nhiên của nó Một trong những công cụ cơ bản của ta trong phép tính các K-nhóm và các đồng cấu nối là các đẳng cấu Thom-Connes và tính tự nhiên của chúng được A. Connes đưa ra trong [7]. Mệnh đề 3.2.3. Giả sử nhóm Lie giao hoán tác động liên tục lên C*-đại số A bởi . Khi đó tồn tại đẳng cấu tự nhiên , trong đó ; còn phép cộng là cộng modulo 2. Nhắc lại rằng, với mỗi mở rộng dạng (3.1) và giả sử tác động liên tục lên các C*-đại số J, A, B sao cho (3.1) trở thành dãy khớp đẳng biến. Ký hiệu tương ứng là các tích xiên của J, A, B bởi . Khi đó ta có dãy khớp đối ngẫu của (3.1) như sau (3.5) Mệnh đề 3.2.4 ([22, Lemma 3.4.3]). Các dãy khớp K-lý thuyết liên kết với các mở rộng (3.1) và (3.5) được liên hệ nhờ các đẳng cấu Thom-Connes trong biểu đồ giao hoán sau đây: (3.6) trong đó n xem như n (mod 2), n+1 xem như n+1 (mod 2). 3.2.5. Hệ bất biến chỉ số của C*-đại số Ngoài việc sử dụng các đẳng cấu Thom-Connes và tính chất tự nhiên của chúng, kĩ thuật tính thường khá thích hợp với các mở rộng (3.1) mà trong đó cả J lẫn B đều là các C*-đại số dạng: , với X là một không gian compact địa phương nào đó. Trong nhiều trường hợp phức tạp, nếu không thể nhúng C*-đại số cần đặc trưng A vào một mở rộng (3.1) với J, B có dạng như thế. Khi đó, cần phải dùng tới các mở rộng lặp có dạng sau đây: (3.7) trong đó các C*-đại số và đều có dạng . Bấy giờ tất cả các phần tử trong các KK-nhóm tương ứng với các mở rộng trong (3.7) mới đủ xác định kiểu ổn định của C*-đại số cần đặc trưng A như là một phần tử của . Dựa trên ý tưởng đó, H. H. Việt [35] đưa ra định nghĩa dưới đây. Định nghĩa 3.2.5. Tập hợp gọi là hệ bất biến chỉ số (chính tắc) của C*-đại số A, ký hiệu Index A. Như vậy là, trong trường hợp này, Index A sẽ được đồng nhất với phần tử trong nhóm , ở đó là cặp đồng cấu nối của dãy khớp K-lý thuyết liên kết với các mở rộng trong (3.7). Trên đây là tóm tắt các ý tưởng cơ bản của phép đặc trưng các C*-đại số bằng phương pháp K-hàm tử. Và đây cũng chính là cơ sở lý thuyết cho các kết quả chính của chương 3 sẽ được giới thiệu trong mục 3.4. Klý thuyết đối với phân lá Mục này sẽ giới thiệu sơ bộ về K-lý thuyết đối với phân lá được A. Connes đưa ra trong [8]. K-lý thuyết hình học là một lý thuyết đối đồng điều suy rộng với giá compact. Nó đặc biệt thích hợp với các cấu trúc đại số mà ở đó không gian Hausdorff, compact địa phương X được thay thế bởi C*-đại số các hàm trên X nhận giá trị phức và triệt tiêu ở vô cùng. Cụ thể, ta định nghĩa . Đối với phân lá, đáng tiếc là không gian các lá thường có tôpô không Hausdorff, do đó ta không thể định nghĩa được K-lý thuyết trên không gian các lá (theo nghĩa thông thường). Đây là một trở ngại lớn trong nghiên cứu tôpô phân lá. Để khắc phục hạn chế này, năm 1982, A. Connes ([8]) đã đề ra ý tưởng là thay bởi , mà từ đó Connes định nghĩa: . Như vậy, để nghiên cứu lý thuyết của một phân lá, thông thường ta cần phải đặc trưng C*-đại số Connes liên kết với phân lá đó bằng phương pháp hàm tử. Bởi thế, đôi khi ta đồng nhất hai việc nghiên cứu này. Khi phân lá được cho bởi phân thớ thì thật sự trùng với nhóm hình học thông thường của không gian các lá . Trong trường hợp tổng quát, nói chung nhóm hoàn toàn không dễ tính. Tuy nhiên, nếu phân lá được cho bởi tác động của nhóm Lie giao hoán , việc tính có thể được thực hiện dễ dàng hơn nhờ các đẳng cấu Thom-Connes. Mệnh đề 3.3.1 ([8, Section 5]). Giả sử phân lá được cho bởi tác động nào đó của nhóm Lie giao hoán sao cho phỏng nhóm holonomy (đồ thị) G của nó được cho bởi . Khi đó: . Nhờ Mệnh đề 3.3.1, ta có đẳng cấu tự nhiên Thom-Connes sau đây ; trong đó tổng được tính theo modulo 2. Trong mục kế tiếp, ta sẽ nghiên cứu K-lý thuyết đối với không gian lá của các MD(5,4)-phân lá, đồng thời đặc trưng các C*-đại số Connes liên kết với các phân lá này bằng phương pháp K-hàm tử. Chú ý rằng, theo Mệnh đề 3.1.4, các C*-đại số Connes liên kết với các phân lá cùng kiểu tôpô là đẳng cấu nhau. Do vậy, ta sẽ dùng ký hiệu để chỉ chung các C*-đại số Connes liên kết với các MD(5,4)-phân lá tương ứng thuộc kiểu F1, F2 và F3. K-lý thuyết đối với các MD(5,4)-phân lá 3.4.1 Mô tả giải tích cấu trúc các C*-đại số Connes liên kết với các MD(5,4)-phân lá Theo kết quả của Định lí 2.4.2 về phân loại tôpô trên lớp các MD(5,4)-phân lá, ta có tất cả là 3 kiểu tôpô F1, F2, F3 trên 14 họ các MD(5,4)-phân lá được xét. Trong đó các MD(5,4)-phân lá thuộc kiểu F1 được cho bởi phân thớ với thớ liên thông trên không gian đáy . Còn các MD(5,4)-phân lá kiểu F2, F3 được cho bởi các tác động (liên tục) của trên các đa tạp phân lá Do vậy, áp dụng Mệnh đề 3.1.6 và Mệnh đề 3.1.7, ta có ngay mô tả giải tích cấu trúc các C*-đại số Connes liên kết với các MD(5,4)-phân lá trong khẳng định sau đây. Mệnh đề 3.4.1. (Mô tả giải tích cấu trúc C*-đại số của các MD(5,4)-phân lá) , trong đó P4,12, P4,14 vẫn là ký hiệu để chỉ tác động của lên C0(V) cảm sinh tự nhiên từ tác động của lên V. Nhận xét 3.4.2. Các MD(5,4)-phân lá kiểu F1 đều là các phân lá được sinh bởi phân thớ với thớ liên thông trên không gian đáy , do đó K-lý thuyết đối với không gian lá của các phân lá này chính là các K-nhóm hình học thông thường trên không gian các lá . Tức là: . Do vậy, ta chỉ cần đặc trưng C*-đại số Connes liên kết với các MD(5,4)-phân lá thuộc kiểu F2 và F3 mà thôi. 3.4.2. Đặc trưng C*-đại số Connes liên kết với các MD(5,4)-phân lá kiểu F2 và F3 Nhắc lại rằng, để đặc trưng C*-đại số Connes liên kết với một phân lá nào đó, thông thường ta trải qua 2 bước chính như sau: (1). Nhúng vào một mở rộng dạng (3.1) với các C*-đại số J, B ở hai đầu đều có dạng tích tensor , hoặc vào các mở rộng lặp dạng (3.7). (2). Sau đó tính (hệ) bất biến chỉ số để đặc trưng kiểu ổn định của trong (các) KK-nhóm tương ứng. Tính thật ra là tính các cặp đồng cấu nối trong các dãy khớp K-lý thuyết liên kết với các mở rộng đã dựng. Công cụ chính của ta trong tính toán là các đẳng cấu Bott, đẳng cấu Thom-Connes và tính chất tự nhiên của chúng,... Sau đây là kết quả đặc trưng các C*-đại số Connes liên kết với các MD(5,4)-phân lá kiểu F2 và F3 theo 2 bước đã chỉ ra ở trên. Định lí 3.4.3. (Mở rộng của các C*-đại số Connes liên kết với các MD(5,4)-phân lá kiểu F2 và F3) được nhúng vào mở rộng lặp sau đây: được nhúng vào mở rộng (đơn) sau đây: trong đó, , , , , . , , . ở đây, ta vẫn dùng ký hiệu để chỉ tác động của lên (tương ứng ) được cảm sinh tự nhiên từ tác động của lên đa tạp V (tương ứng ). Chứng minh. Theo Mệnh đề 3.1.4, các C*-đại số Connes liên kết với các phân lá cùng kiểu tôpô là đẳng cấu nhau. Do vậy, để chứng minh Định lí 3.4.3, ta chỉ cần chọn ra trong từng kiểu tôpô F2, F3 một đại diện đơn giản nhất để đặc trưng C*-đại số Connes liên kết với nó. Trong trường hợp của kiểu F2 (tương ứng F3), ta chọn phân lá (tương ứng ) làm đại diện. Trước tiên, để chỉ ra các mở rộng chính tắc của các C*-đại số Connes liên kết với và . Ta xét các đa tạp con của như sau: , , , . Dễ dàng thấy rằng tác động (tương ứng ) (trong chứng minh Định lí 2.4.2) bảo toàn các tập con (tương ứng ). Hơn nữa, từ bức tranh K-quỹ đạo, ta thấy () là các tập con mở (đóng) bảo hòa trong V. Do đó, ta có thể xét hạn chế của phân lá (tương ứng ) xuống các tập (tương ứng ), mà ta ký hiệu lần lượt là các phân lá , (tương ứng , ). Một lần nữa, từ bức tranh K-quỹ đạo, ta nhận thấy , , và là các phân lá sinh bởi phân thớ: . ; Theo Mệnh đề 3.1.7 ta có ngay: . , . Vì vậy các phân lá , và không có holonomy. Còn đối với phân lá , mỗi lá của nó đều đơn liên nên cũng không có holonomy. Bởi vậy, dễ dàng kiểm chứng được rằng, tất cả các phỏng nhóm holonomy của các phân lá kể trên đều là tích trực tiếp của với các đa tạp phân lá tương ứng. Do đó chúng thỏa mãn giả thiết của Mệnh đề 3.1.6. Bởi thế ta có: ⋊, ⋊, ⋊, ⋊, Tiếp theo, để ý rằng tất cả các lá của (tương ứng ) đều hoặc là lá của (tương ứng ) hoặc là lá của (tương ứng ) nên chúng cũng đều không có holonomy và hiển nhiên thỏa mãn giả thiết của Mệnh đề 3.1.6. Nghĩa là ta lại có: ⋊, ⋊. Mặt khác, rõ ràng việc giả thiết của Mệnh đề 3.1.6 được thỏa mãn đối với tất cả các phân lá vừa nêu trên trong phép chứng minh này cũng chính là việc giả thiết của Mệnh đề 3.1.9 được thỏa mãn. Từ đó ta có các mở rộng: ⋊; . Chú ý rằng, ⋊ vốn đã được xét trong [2] (chính là ) và nó được đặc trưng bởi dãy: ⋊, ở đó , . Như vậy, định lí được chứng minh hoàn toàn. n Định lí 3.4.4. ((Hệ) Bất biến chỉ số của các C*-đại số Connes liên kết với các MD(5,4)-phân lá kiểu F2 và F3) 1. Dãy khớp K-lý thuyết liên kết với các mở rộng và như sau: Do vậy, , trong đó trong KK-nhóm , trong KK-nhóm . 2. Dãy khớp K-lý thuyết liên kết với mở rộng như sau: Do vậy, , trong đó trong KK-nhóm . Để chứng minh Định lí 3.4.4, ta cần một số nhận xét, bổ đề và mệnh đề sau đây. Nhận xét 3.4.5. Giả sử là các phép nhúng tự nhiên: , ; ở đó mỗi hàm trên được mở rộng thành hàm trên bằng cách lấy giá trị bằng 0 trên phần bù. Còn là các phép hạn chế: ; . Từ đó, ta có các dãy khớp: (3.8.1) (3.8.2) Hơn nữa, theo công thức về tác động (tương ứng ) của lên đa tạp phân lá V và tác động cảm sinh lên các đa tạp con (tương ứng ), dễ dàng thấy rằng các dãy khớp trên đều -đẳng biến tương ứng với các tác động nêu trên. Nói cụ thể hơn, dãy (3.8.1) (tương ứng dãy (3.8.2)) là -đẳng biến đối với tác động (tương ứng ). Từ đó, theo Mệnh đề 3.1.5 ta thu được các dãy khớp: ⋊⋊⋊ (3.9.1) ⋊⋊⋊ (3.9.2) Lưu ý rằng ta hoàn toàn có thể đồng nhất mở rộng với mở rộng (3.9.1); và mở rộng với mở rộng (3.9.2). Nhận xét 3.4.6. Nhắc lại rằng , , , , . Dùng tọa độ trụ, ta có các vi phôi tự nhiên sau: . Từ đó, ta có các đẳng cấu tự nhiên dưới đây: , (3.10.1) , (3.10.2) , (3.10.3) , (3.10.4) . (3.10.5) Nhận xét 3.4.7 Từ các đẳng cấu tự nhiên (3.10.1) – (3.10.5), dễ dàng thấy rằng hai dãy khớp (3.8.1) và (3.8.2) có thể được đồng nhất với hai dãy khớp sau: (3.11.1) (3.11.2) ở đó . Như là một hệ quả của Mệnh đề 3.2.4 và các Nhận xét 3.4.5, ta có ngay bổ đề dưới đây về mối liên hệ giữa các dãy khớp K-lý thuyết liên kết với các mở rộng (3.8.1) và ; (3.8.2) và . Bổ đề 3.4.8. Các biểu đồ dưới đây giao hoán: 1. trong đó, là các đẳng cấu Thom-Connes. 2. trong đó, là các đẳng cấu Thom-Connes; còn các tập được xác định như trong Định lí 3.4.3. Nhớ lại rằng, trong K-lý thuyết, ta có một định lí đóng vai trò trung tâm: Định lí tuần hoàn Bott. Cụ thể là, đối với một C*-đại số A tùy ý, ta luôn có các đẳng cấu tự nhiên sau: , , ở đó ; là phép cộng modulo 2; gọi là các đẳng cấu Bott. Dựa vào các đẳng cấu Bott và các Nhận xét 3.4.6, 3.4.7, bổ đề dưới đây là hiển nhiên. Bổ đề 3.4.9. Các biểu đồ sau đây giao hoán: 1. ở đó, là đẳng cấu Bott, . 2. ở đó, là đẳng cấu Bott, . Hai Bổ đề 3.4.8 và 3.4.9 ngay lập tức cho ta nhận xét sau. Nhận xét 3.4.10 Dãy khớp K-lý thuyết liên kết với mở rộng có thể đồng nhất với dãy khớp sau: ở đó . Dãy khớp K-lý thuyết liên kết với mở rộng có thể đồng nhất với dãy khớp sau: ở đó . Từ Nhận xét 3.4.10, ta thu được kết quả sau đây về việc tính các K-nhóm và xác định phần tử sinh của các K-nhóm trong các dãy khớp K-lý thuyết liên kết với mở rộng và được chi ra trong 2 mệnh đề sau. Mệnh đề 3.4.11 ([17, p. 234-235]). i) . ii) . iii) . Mệnh đề 3.4.12 i) . ii) với 2 phần tử sinh là ⊠⊠; ở đây [b] là phần tử Bott; là lớp đồng luân của các hàm ; ⊠ là ký hiệu chỉ tích tenxơ ngoài. iii) , với 2 phần tử sinh là và ; ở đây, 1 là phần tử đơn vị của , , , , D là hình tròn đơn vị, còn là đường tròn đơn vị. Chứng minh. i) và ii) được chứng minh chi tiết trong [2, Bổ đề 3.3.6]. Do vậy, ta chỉ cần chứng minh iii). Theo [17, p. 234-235], ta được , . Để hoàn thành chứng minh, ta chỉ cần chỉ ra 2 phần tử sinh của . Trong ([17, p. 206]) ta có biểu thức  , trong đó . Mặt khác trong ([17, p. 48,54,56]; [21, p. 162]) đã chỉ ra rằng ánh xạ là một toàn cấu có , ker(dim) và phần tử không tầm thường trong ker(dim) có dạng với p và nêu trên. Từ đó ta được điều cần chứng minh. ■ Nhận xét 3.4.13 1. Từ Nhận xét 3.4.10 và các Mệnh đề 3.4.11, 3.4.12, thì về cơ bản, ta đã hoàn thành việc tính toán các K-nhóm và xác định các phần tử sinh của các K-nhóm cần thiết cho việc tính toán các cặp đồng cấu nối (δ0,δ1) trong các dãy khớp K-lý thuyết liên kết với mở rộng và . Còn đối với , dãy khớp K-lý thuyết liên kết với nó đã được chỉ ra tường minh trong [2] như sau: 2. Giả sử là C*-đại số thu được từ bằng cách thêm vào phần tử đơn vị. Ta ký hiệu: , trong đó 1 là phần tử đơn vị của ; , trong đó là ma trận đơn vị cấp n của , . Gọi là hàm vết thông thường trên các ma trận. Khi đó Tr xác định một hàm cộng tính sau ([21, Section 9]): . Nhớ rằng mỗi phần tử (tương ứng ) có thể được biểu diễn như là hàm ([21, Section 5]) , (tương ứng ), sao cho (tương ứng ). Hơn nữa ⊠ (tương ứng ⊠) với là số vòng quay (winding number) của f mà được xác định bởi công thức: (3.12) Công thức (3.12) sẽ được dùng để tính đồng cấu nối trong dãy khớp K-lý thuyết liên kết với mở rộng trong phép chứng minh Định lí 3.4.4 ngay sau đây. Chứng minh Định lí 3.4.4. Từ Nhận xét 3.4.10, Mệnh đề 3.4.11 và Mệnh đề 3.4.12 ta có ngay các khẳng định sau đây: Dãy khớp K-lý thuyết liên kết với mở rộng có thể đồng nhất với dãy khớp: Dãy khớp K-lý thuyết liên kết với mở rộng có thể đồng nhất với dãy khớp: Kết hợp 2 khẳng định trên với Nhận xét 3.4.13, dễ dàng thấy rằng: , trong đó có thể xem là đồng nhất với đồng cấu nối (vì ), còn có thể xem là đồng nhất với đồng cấu nối (vì ). , với được đồng nhất với cặp . Như vậy, định lí sẽ hoàn toàn được chứng minh nếu ta tính xong các đồng cấu nối được chỉ ra ở trên. 1. Phép tính Vì có 2 phần tử sinh là và nên ta chỉ cần tính và . Nhớ rằng, theo định nghĩa thông thường của , với và là phần tử chiếu, tức là thì , ở đó sao cho hạn chế của lên là . Lấy , với (xem Mệnh đề 3.4.12), ta chọn: Gọi lần lượt là hạn chế của trên và . Khi đó: . ⊠⊠⊠⊠ Trong đó (công thức (3.12)). Tương tự ta được , . Từ hai điều trên ta suy ra: . 2. Phép tính Bằng cách sử dụng tính khớp, dãy khớp K-lý thuyết liên kết với mở rộng ắt phải được đồng nhất với chỉ một trong hai dạng sau: hoặc Để tính đồng cấu nối trong trường hợp này, ta chọn và lấy . Lúc đó . Ta chọn nghịch ảnh của trong như sau: , ở đó, . Ta được . Đặt ( là ma trận đơn vị và ma trận không cấp 1); . Khi đó ta có . Theo định nghĩa của đồng cấu , ta được: . Vậy dãy khớp K-lý thuyết liên kết với mở rộng là: Định lí được chứng minh hoàn toàn. ∎ Nhận xét 3.4.14 (i) Như vậy, ta đã giải quyết xong bài toán đặc trưng cấu trúc các C*-đại số Connes liên kết với các MD(5,4)-phân lá. Cụ thể, C*-đại số Connes liên kết với các MD(5,4)-phân lá kiểu được mô tả tường minh giải tích; C*-đại số Connes liên kết với các MD(5,4)-phân lá kiểu được đặc trưng bởi hệ bất biến chỉ số ; còn C*-đại số Connes liên kết với các MD(5,4)-phân lá kiểu được đặc trưng bởi bất biến chỉ số . (ii) Thông qua việc giải quyết bài toán trên, có thể thấy rằng, kỹ thuật đặc trưng các C*-đại số bằng cách sử dụng các đẳng cấu Bott, đẳng cấu Thom-Connes, xây dựng các mở rộng nhờ vào phức các C*-đại số ứng với tập con mở bão hòa,... là khá thích hợp với các C*-đại số Connes liên kết với các MD-phân lá mà được cho bởi phân thớ hoặc cho bởi tác động của nhóm Lie – vốn là các đối tượng quen thuộc của lớp MD-phân lá. Do vậy, chúng tôi hy vọng có thể áp dụng các kỹ thuật này đối với các C*-đại số Connes liên kết với các MD5-phân lá còn lại. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 1. Trong luận án, ta đã giải quyết xong bài toán nghiên cứu K-lý thuyết đối với không gian lá của các MD(5,4)-phân lá, đồng thời đặc trưng cấu trúc các C*-đại số Connes liên kết với các phân lá này bằng phương pháp K-hàm tử. Chúng tôi hy vọng rằng, trên cơ sở những kết quả ban đầu này, ta có thể cải tiến để giải quyết trọn vẹn bài toán tương tự trên toàn bộ lớp MD5. Hơn nữa, chúng tôi cũng hy vọng rằng các kỹ thuật đã dùng trong việc nghiên cứu trên lớp con MD(5,4) không chỉ có ích cho các trường hợp MD5 còn lại mà còn hữu dụng cho trường hợp MDn tổng quát, đương nhiên là với những cải tiến thích hợp. 2. Một điều quan trọng nữa là, các kết quả chính của luận án được chỉ ra trong các Định lí 1.3.1, 2.4.2, 3.4.3, 3.4.4 vẫn còn đúng đối với tất cả các MD(5,4)-nhóm liên thông (không nhất thiết đơn liên) bất khả phân. Cụ thể, nếu G là một MD(5,4)-nhóm liên thông bất khả phân thì bức tranh các K-quỹ đạo của G hoàn toàn trùng khớp với bức tranh các K-quỹ đạo của phủ đơn liên của nó (do các Bổ đề 1.2.1, 1.2.3 và Mệnh đề 1.2.2 vẫn còn đúng đối với các MD(5,4)-nhóm liên thông, hơn nữa việc tính toán chỉ phụ thuộc vào đại số Lie chung của G và ). Tiếp theo, họ các K-quỹ đạo chiều cực đại của G cũng lập thành cùng một MD(5,4)-phân lá như phủ đơn liên của nó. Do đó, các kết quả tiếp theo liên quan đến MD(5,4)-phân lá cũng như C*-đại số Connes liên kết với chúng đều không thay đổi. 3. Từ các kết quả đạt được trong luận án, một cách tự nhiên, chúng gợi ý cho ta các hướng mở cần nghiên cứu sau: Nghiên cứu bài toán tương tự trên toàn bộ lớp MD5 và xa hơn nữa là lớp MDn với số chiều n tuỳ ý. Xây dựng lượng tử hóa biến dạng trên các K-quỹ đạo của tất cả các MD(5,4)-nhóm đã xét. Thay đổi hướng tiếp cận bài toán phân loại lớp các MD-đại số và MD-nhóm tương ứng. Cụ thể, thay vì phân loại chúng dựa theo số chiều của đại số Lie (như đã thấy trong luận án, Mệnh đề 1.1.5), có thể mô phỏng kỹ thuật và phương pháp của Arnal, Cahen và Ludwig ([4]), cố định số chiều cực đại của K-quỹ đạo để phân loại. 4. Do những hạn chế về trình độ, thời gian và về nhiều mặt khác, luận án đã dừng lại trong những khuôn khổ nhất định. Chúng tôi cũng nhận thức được rằng, chắc chắn còn nhiều vấn đề rất đáng quan tâm khác mà chúng tôi chưa nhìn thấy được. Rất mong được quý độc giả quan tâm chỉ dẫn. Sau cùng, mặc dù có nhiều cố gắng trong việc soạn thảo, nhưng những sai sót là không thể tránh khỏi, tác giả xin chân thành lắng nghe và cảm ơn quý độc giả đã, đang và sẽ đóng góp ý kiến cho quyển luận án này. Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 02 năm 2014 Tác giả Danh mục các công trình đã công bố của tác giả A. Các công trình công bố các kết quả của luận án Lê Anh Vũ, Dương Quang Hòa (2007), “Bức tranh hình học các K-quỹ đạo của các MD5-nhóm liên thông đơn liên mà các MD5-đại số tương ứng có Ideal dẫn xuất giao hoán bốn chiều”, Tạp chí Khoa học Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, N0 12 (46), 16 – 28. Vu L.A., Hoa D.Q. (2009), “The topology of foliations formed by the generic K-orbits of a subclass of the indecomposable MD5-groups”, Science in China, series A: Mathemmatics, 52 (2), 351 – 360. Vu L.A., Hoa D.Q. (2010), “K-theory of the leaf space of foliations formed by the generic K-orbits of some indecomposable MD5-groups”, Vietnam Journal of Mathematics, 38 (2), 249 – 259. Vu L.A., Hoa D.Q. (2011), “The structure of Connes’ C* Algebras associated to a Subclass of MD5-Groups”, Scientific Journal of University of Pedagogy of Ho Chi Minh City, N0 27(61), 15 – 23. Vu L.A., Hoa D.Q., Tuan N.A. (2013), “K-theory for the Leaf Space of Foliations Formed by the Generic K-orbits of a Class of Solvable Real Lie Groups”, (submitted). B. Các công trình liên quan đến luận án Lê Anh Vũ, Nguyễn Anh Tuấn, Dương Quang Hoà (2013), “Phân loại tôpô các phân lá liên kết với các MD5-đại số có Ideal dẫn xuất giao hoán 3-chiều”, Tạp chí Khoa học Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, N0 43(77), 50 – 57. Tài liệu tham khảo Tiếng Việt Đào Văn Trà (1984), Báo cáo tại hội thảo khoa học Viện toán lần thứ 12, 29.11.1984 – 1.12.1984, Hà Nội. Lê Anh Vũ (1990), Không gian phân lá tạo bởi các quĩ đạo chiều cực đại của lớp nhóm Lie , Luận án Tiến sĩ Toán học, Viện Toán học Việt Nam. Lê Anh Vũ, Dương Quang Hoà (2007), “Bức tranh hình học các K-quỹ đạo của các MD5-nhóm liên thông đơn liên mà các MD5-đại số tương ứng có Ideal dẫn xuất giao hoán bốn chiều”, Tạp chí Khoa học Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, N0 12(46), 16-28. Tiếng Anh Arnal D., Cahen M., Ludwig J. (1995), “Lie Groups whose Coadjoint orbits are of Dimension Smaller or Equal to Two”, Kluwer Academic Publishers, Netherlands, 33, 183 – 186. Atiyah M.F. (1976), K-theory, Benjamin, New York. Brown L.G., Douglas R.G., Fillmore P.A. (1977), “Extension of C*-algebra and K-homology”, Ann. of Math, 105, 265 – 324. Connes A. (1981), “An Analogue of the Thom Isomorphism for Crossed Products of a C*–algebra by an Action of ”, Adv. In Math., 39, 31 – 55. Connes A. (1982), “A Survey of Foliations and Operator Algebras”, Proc. Sympos. Pure Mathematics, 38, 521 – 628. Connes A. (1994), Noncommutative Geometry, Published by Academic Press Limited, London. Diep D.N. (1999), Method of Noncommutative Geometry for Group C*-algebras. Reseach Notes in Mathematics Series, Vol. 416. Cambridge: Chapman and Hall-CRC Press. Diep D.N. (1975), “Structure of the group C*-algebra of the group of affine transformations of the line”, Funktsional. Anal. I Prilozhen, 9 (1), 63 – 64 (in Russian). Diep D.N. (1978), “The structure of C*-algebras of type I”, Vestnik Moskov. Uni., No 2, 81 – 87. Gelfand I., Naimark A. (1943), “On the imbedding of normed rings into the ring of operators in Hilbert space”, Mat. sb., 12, 197 – 213. Kasparov G.G. (1980), “The operator K-functor and extensions of C*-algebras”. Izv.Akad. Nauk SSSR, Ser. Mat. 44, 571 – 636 (in Russian). Kirillov A.A. (1976), Elements of the Theory of Representations, Springer – Verlag Pub., Berlin – Heidenberg – New York. Rordam M., Larsen F., Laustsen N. (2000), An Introduction to –Theory for C*–Algebras, Cambridge University Press, United Kingdom. Rosenberg J and Schochet C. (1981), “The classification of extensions of C*-algebras”, Bull. A.M.S, Vol 4, 105 – 110. Rosenberg J. (1976), “The C*-algebras of some real p-adic solvable groups”, Pacific J. Math, 65 (1), 175 – 192. Rosenberg J. (1982), “Homological invariants of extension of C*-algebras”, Proc. Sympos. Pure Math., 38, AMS Providence R.I., 35 – 75. Tamura I. (2006), Topology of foliations: An Introduction, American Mathematical Society, Volume 97. Taylor J.L. (1975), "Banach Algebras and Topology", Academic Press in Algebras and Analysis, New York, 118 – 186. Torpe A.M. (1985), “K-theory for the Leaf Space of Foliations by Reeb Component”, J. Func. Anal, 61, 15 – 71. Vu L.A. (1990), "On the structure of the C*-Algebra of the Foliation formed by the K-Orbits of maximal dimendion of the Real Diamond Group", Journal of Operator theory, 24, 227 – 238. Vu L.A., Shum K.P. (2008), “Classification of 5-dimensional MD-algebra having commutative derived ideals”, Advances in Algebra and Combinatorics, Singapore: World Scientific co, 353 – 371. Vu L.A., Thanh D.M. (2006), “The Geometry of K-orbits of a Subclass of MD5-Groups and Foliations Formed by Their Generic K-orbits”, Contributions in Mathematics and Applications (Proceedings of the International Conference in Mathematics and Applications, December 2005, Bangkok, Thailand), pp. 1 – 16, Bangkok, Thailand. Vu L.A., Hoa D.Q. (2009), “The topology of foliations formed by the generic K-orbits of a subclass of the indecomposable MD5-groups”, Science in China, series A: Mathemmatics, 52 (2), 351 – 360. Vu L.A., Hoa D.Q. (2010), “K-theory of the leaf space of foliations formed by the generic K-orbits of some indecomposable MD5-groups”, Vietnam Journal of Mathematics, 38 (2), 249 – 259. Vu L.A., Hoa D.Q. (2011), “The structure of Connes’ C*–Algebras associated to a Subclass of MD5-Groups”, Scientific Journal of University of Pedagogy of Ho Chi Minh City, N0 27 (61), 15 – 23. Vu L.A., Hoa D.Q., Tuan N.A. (2013), “K-theory for the Leaf Space of Foliations Formed by the Generic K-orbits of a Class of Solvable Real Lie Groups”, (submitted). Vu L.A., Hieu H.V., Nghia T.T.H. (2011), “Classification of 5-Dimensional MD-algebras Having Non-commutative Derived Ideals”, East-West Journal of Mathematics, Volume 13, No 2, pp. 115 – 129. Tiếng Pháp Bourbaki N. (1972), Groupes et Algébres de Lie, Ch.I-III, Hermann, 156, Boulevard Saint-Germain, Paris VI. Dixmier J. (1969), Les C*-algèbres et leurs reprénsentations, Gauthier-Villars, Paris. Reeb G. (1952), Sur certains propriétés topologiques de variétés feuilletées, Actualité Sci.Indust.1183, Hermann, Paris. Saito M. (1957), “Sur certains groupes de Lie resolubles”, Sci. Papers of the College of General Education, Univ. of Tokyo, 7, 1–11, 157 – 168. Son V.M., Viet H.H. (1984), “Sur la structure des C*-algebres d’une classe de groupes de Lie”, J. Operator Theory, 11, 77 – 90. Phụ lục Chứng minh Định lí 1.3.1 Trong phần này, chúng tôi trình bày chi tiết chứng minh Định lí 1.3.1 về mô tả bức tranh các K-quỹ đạo của các MD(5,4)-nhóm. Theo Nhận xét 1.2.4, trước tiên ta sẽ mô tả với mỗi , trong từng trường hợp của các MD(5,4)-nhóm kể trên. Nhớ rằng: với xác định bởi . Như vậy, để xác định , ta cần phải xác định , tức là tính ma trận biểu diễn của trong cơ sở . Khi đó, được cho bởi , với ; ; ; ; . Dưới đây là những kết quả nhận được bằng tính toán trực tiếp với trong từng trường hợp cụ thể. Với : . . . . . Suy ra ma trận biểu diễn của ánh xạ là: và chỉ có các giá trị riêng thực là 0, . Từ đó, ta được: Do vậy, toạ độ như sau: Suy ra Lập luận tương tự với các nhóm còn lại, ta có kết quả dưới đây. Với : và chỉ có các giá trị riêng thực là 0, (bội 2). Do đó, toạ độ như sau: Suy ra Với : , và chỉ có các giá trị riêng thực là 0, (bội 2), (bội 2). Do đó, toạ độ như sau: Suy ra Với : , và chỉ có các giá trị riêng thực là 0, (bội 3). Do đó, toạ độ như sau: Suy ra Với : , và chỉ có các giá trị riêng thực là 0, (bội 4). Do đó, toạ độ như sau: Suy ra Với : , và chỉ có các giá trị riêng thực là 0, (bội 2). Do đó, toạ độ như sau: Suy ra Với : , và chỉ có các giá trị riêng thực là 0, (bội 2), (bội 2). Do đó, toạ độ như sau: Suy ra Với : , và chỉ có các giá trị riêng thực là 0, (bội 2), (bội 2). Do đó, toạ độ như sau: Suy ra Với : , và chỉ có các giá trị riêng thực là 0, , (bội 3). Do đó, toạ độ như sau: Suy ra Với : , và chỉ có các giá trị riêng thực là 0, (bội 4). Do đó, toạ độ như sau: Suy ra như sau Với : , và như sau Do đó, toạ độ xác định bởi: Đồng nhất với ; với ; với , ta có thể viết gọn lại như sau: Với : , và như sau Do đó, toạ độ xác định bởi: Đồng nhất với ; với ; với , ta có thể viết gọn lại như sau: Với : , và như sau Do đó, toạ độ xác định bởi: Đồng nhất với ; với ; với , ta có thể viết gọn lại như sau: Với : , và như sau Do đó, toạ độ xác định bởi: Đồng nhất với ; với ; với , ta có thể viết gọn lại như sau: Như vậy, ta đã mô tả xong của tất cả các MD(5,4)-nhóm. Từ đó, dựa vào Bổ đề 1.2.1 và Bổ đề 1.2.3 ta được: Đối với 10 họ đầu tiên của các MD(5,4)-nhóm, do các có các giá trị riêng không thuần ảo, nên ta luôn có đẳng thức . Đối với 4 họ cuối của các MD(5,4)-nhóm, ta nhận thấy lập thành một phân hoạch của . Hơn nữa: Nếu thì nó đóng trong . Do đó cũng đóng trong và (quỹ đạo 0-chiều). Nếu thì nó cũng là các mặt 2 chiều đóng trong . Do đó cũng đóng trong và (quỹ đạo 2-chiều). Định lí được chứng minh hoàn toàn. ∎