Luận án Mối liên hệ đại số của các ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh phức

trình bày một số khái niệm và kết quả bổ trợ; mục thứ hai chúng tôi chứng minh định lý về sự suy biến đại số của ánh xạ tích của hai ánh xạ phân hình vào PN(C). 4.1 Một số khái niệm và kết quả bổ trợ Cho f : Cn → PN(C) là ánh xạ phân hình có biểu diễn rút gọn f = (f0 : · · · : fN) và a là siêu phẳng di động có biểu diễn rút gọn a = (a0 : · · · : aN). Đặt ‖a‖ = (|a0|2 + · · ·+ |aN |2)1/2 và (f, a) := a0f0 + · · ·+ aNfN , ta định nghĩa hàm xấp xỉ của f tương ứng với a như sau: m(f,a)(r) = ∫ S(r) log ||f || · ||a|| |(f, a)| σn − ∫ S(1) log ||f || · ||a|| |(f, a)| σn. Nếu (f, a) 6≡ 0 thì Định lý cơ bản thứ nhất cho siêu phẳng di động (xem [21]) được cho như sau T (r, f) + T (r, a) = m(f,a)(r) +N(f,a)(r). Định lý 4.1.1 (xem [32] và [38]). Giả sử f = (f0 : · · · : fN) là một biểu diễn rút gọn của ánh xạ phân hình f từ Cn vào PN(C). Giả sử rằng fN+1 là một hàm chỉnh hình với f0 + · · ·+ fN + fN+1 = 0. Nếu ∑ i∈I fi 6= 0 với mọi I ( {0, . . . , N + 1}, thì || T (r, f) ≤ N+1∑ i=0 N [N ] fi (r) + o(T (r, f)). Định lý 4.1.2 (xem [21] và [11]). Giả sử f là một hàm phân hình khác không trên Cn. Khi đó ∣∣∣∣∣∣∣∣ m(r, Dα(f)f ) = O(log+T (r, f)) (α ∈ Zn+). Định lý 4.1.3 (xem [38]). Cho f : Cn → PN(C) là ánh xạ phân hình và a1, · · · , aq (q ≥ n + 2) là q siêu phẳng di động "chậm" (so với f) từ Cn vào PN(C)∗ ở vị trí tổng 56 quát. Giả sử f không suy biến tuyến tính trên R{ai}qi=1. Khi đó || q N + 2 T (r, f) ≤ q∑ i=1 N [N ] (fi,ai) (r) + o(T (r, f)). Ở đây, ánh xạ phân hình f = (f0 : · · · : fN) được gọi là không suy biến tuyến tính trên R{ai}qi=1 nếu các hàm f0, · · · , fN là độc lập tuyến tính trên R{ai}qi=1. Cho V là một đa tạp con xạ ảnh của PN(C). Lấy một hệ tọa độ thuần nhất (ω0 : · · · : ωN) của PN(C). Cho F là một ánh xạ phân hình từ Cn vào V với biểu diễn rút gọn F = (F0 : · · · : FN). Kí hiệuM là trường tất cả các hàm phân hình trên Cn. Định nghĩa 4.1.4. Ánh xạ phân hình F được gọi là suy biến đại số trên trường con Q củaM nếu tồn tại một đa thức thuần nhất Q ∈ Q[ω0, . . . , ωN ] với biểu diễn Q(z)(ω0, . . . , ωN) = ∑ I∈Id aI(z)ω I , trong đó d là một số nguyên dương, Id = {(i0, . . . , iN) ; 0 ≤ ij ≤ d, ∑N j=0 ij = d}, aI ∈ Q và ωI = ωi00 · · ·ωiNN với I = (i0, . . . , iN), sao cho (i) Q(z)(F0(z), . . . , FN(z)) ≡ 0 trên Cn, (ii) Tồn tại z0 ∈ Cn với Q(z0)(ω0, . . . , ωN) 6≡ 0 trên V . Cho f và g là hai ánh xạ phân hình từ Cn vào PN(C) với biểu diễn f = (f0 : · · · : fN) và g = (g0 : · · · : gN). Ta xét PN(C)×PN(C) như một đa tạp con xạ ảnh của P(N+1)2−1(C) bởi phép nhúng Segre. Khi đó ánh xạ f × g vào PN(C)× PN(C) là suy biến đại số trên một trường con Q củaM nếu tồn tại một đa thức không tầm thường Q(z)(ω0, . . . , ωN , ω ′ 0, . . . , ω ′ N) = ∑ I=(i0,...,iN )∈ZN+1+ i0+···+iN=d ∑ J=(j0,...,jN )∈ZN+1+ j0+···+jN=d′ aIJ(z)ω Iω′J , trong đó d, d′ là các số nguyên dương, aIJ ∈ Q, sao cho Q(z)(f0(z), . . . , fN(z), g0(z), . . . , gN(z)) ≡ 0. Tiếp theo, ta nhắc lại các khái niệm về hàm hữu tỉ với trọng ≤ d có biến là đạo hàm logarit của hàm nào đó được đưa ra bởi H. Fujimoto [11] như sau. 57 Định nghĩa 4.1.5. Một đa thức Q(. . . , Xαj , . . .) của các biến . . . , X α j , . . . , trong đó j = 1, 2, . . . và α = (α1, . . . , αn) với các số nguyên không âm αl, có trọng là d nếu Q˜(t1, t2, . . .) := Q(. . . , t |α| j , . . .) có bậc là d theo các biến t1, t2, . . .. Cho h1, h2, . . . , hp là các hàm phân hình hữu hạn khác không trên Cn. Theo định nghĩa về hàm hữu tỉ có trọng ≤ d theo biến đạo hàm logarit của hàm hj, thì sẽ có một hàm phân hình khác không ϕ trên Cn có biểu diễn là ϕ = P (· · · ,Dαhj/hj, · · · ) Q(· · · ,Dαhj/hj, · · · ) với các đa thức P (· · · , Xα, · · · ) và Q(· · · , Xα, · · · ) theo các biến . . . , Xαj , . . . có trọng ≤ d. Mệnh đề 4.1.6 (xem [11]). Giả sử h1, h2, . . . , hp (p ≥ 2) là hàm phân hình khác không trên Cn với h1 + h2 + · · ·+ hp = 0. Khi đó, tập hợp {1, . . . , p} có sự phân hoạch {1, . . . , p} = J1 ∪ J2 ∪ · · · ∪ Jk, ]Jα ≥ 2 với mọi α, Jα ∩ Jβ = ∅ với α 6= β sao cho với mỗi α, (i) ∑ i∈Jα hi = 0, (ii) hi′/hi (i, i ′ ∈ Jα) là các hàm hữu tỉ theo biến đạo hàm logarit của hàm hj với trọng ≤ D(p), trong đó D(p) là một hằng số phụ thuộc vào p. Cho I = {1, . . . , q}. Với 1 ≤ s ≤ q, ta đặt Iq,s := {(i1, . . . , is); 1 ≤ i1 < i2 < · · · < is ≤ q}. Định nghĩa 4.1.7. Một quan hệ R∼ trên Iq,s được gọi là quan hệ tiền tương đương nếu nó thỏa mãn; (i) I R∼ I với mọi I ∈ Iq,s, (ii) I R∼ J , thì J R∼ I. 58 Ta xét quan hệ tiền tương đương R∼ trên Iq,s. Với I = (i1, . . . , is) và J = (j1, . . . , js) thuộc Iq,s, ta đặt RI,J = δi1 + · · ·+ δis − δj1 − · · · − δjs ∈ Zq, trong đó δi := (0, . . . , 0, i−th 1 , 0 . . . , 0) ∈ Zq (1 ≤ i ≤ q). Ta kí hiệu R là module con của Zq sinh bởi tất cả các phần tử RI,J với I R∼ J . Định nghĩa 4.1.8 (xem [11]). Với hai phần tử I và J trong Iq,s, ta kí hiệu I ∼ J nếu tồn tại một số nguyên dương m sao cho mRI,J ∈ R. Mệnh đề 4.1.9 (xem [11]). Có q số thực p1, p2, . . . , pq thỏa các điều kiện sau: (i) Với i = (i1, . . . , is), J = (j1, . . . , js) ∈ Iq,s, pi1 + · · · + pis = pj1 + · · · + pjs nếu và chỉ nếu I ∼ J , (ii) Với 1 ≤ i < j ≤ q, pi = pj nếu và chỉ nếu có một số nguyên khác không m0 sao cho (0, . . . , 0, i−th m0 , 0, . . . , 0, j−th−m0, 0, . . . , 0) ∈ R. Mệnh đề đại số sau được cho bởi H. Fujimoto trong [11]. Mệnh đề 4.1.10 (xem [11]). Cho G là một nhóm Abel không xoắn. Cho các số thực p1, p2, . . . , pq thỏa các điều kiện của Mệnh đề 4.1.8 và q phần tử g1, . . . , gq của G. Khi đó, nếu pi = pj với i, j nào đó, 1 ≤ i < j ≤ q, thì có số nguyên dương m0 và I1, J1, . . . , Ik0 , Jk0 ∈ Iq,s với Il R∼ Jl (1 ≤ l ≤ k0) sao cho (gi/gj) m0 = k0∏ l=1 GIl/GJl , trong đó GI := gi1 · · · gis với I = (i1, . . . , is) ∈ Iq,s, và số k0 bị chặn bởi hằng số k(q) chỉ phụ thuộc vào q. Ở đây, ta nhắc lại rằng, với (G, .) là một nhóm abel nào đó thì G được gọi là không xoắn nếu phần tử đơn vị là phần tử duy nhất trong G có cấp hữu hạn. 59 4.2 Tính suy biến đại số của cặp ánh xạ phân hình Từ kết quả trên của H.Fujimoto [11], chúng tôi tổng quát và mở rộng trong trường hợp siêu phẳng di động như sau: Định lý 4.2.1. Giả sử f và g là hai ánh xạ phân hình từ Cn vào PN(C) và a1, . . . , a2N+2 là các siêu phẳng di động chậm (tương ứng với f) trong PN(C) ở vị trí tổng quát. Khi đó tồn tại số nguyên dương l0 (chỉ phụ thuộc vào N) sao cho nếu min(ν0(f,ai), l0) = min(ν 0 (g,ai) , l0) (1 ≤ i ≤ 2N + 2) thì ánh xạ f × g vào PN(C)× PN(C) là suy biến đại số trên R{ai}2N+2i=1 . Để chứng minh Định lý 4.2.1, trước hết cần các mệnh đề đại số sau. Cho H1, . . . , H2N+1 là (2N + 1) siêu phẳng của PN(C) ở vị trí tổng quát được cho bởi Hi : xi0ω0 + xi1ω1 + · · ·+ xiNωN = 0 (1 ≤ i ≤ 2N + 1). Ta xét ánh xạ hữu tỉ Φ : PN(C)× PN(C)→ P2N(C) như sau: Với v = (v0 : v1 · · · : vN), w = (w0 : w1 : · · · : wN) ∈ PN(C), ta định nghĩa Φ(v, w) = (u1 : · · · : u2N+1) ∈ P2N(C) bởi ui = xi0v0 + xi1v1 + · · ·+ xiNvN xi0w0 + xi1w1 + · · ·+ xiNwN . Mệnh đề 4.2.2 (xem [11]). Ánh xạ Φ là ánh xạ song hữu tỉ từ PN(C) × PN(C) vào P2N(C). Cho b1, . . . , b2N+1 là (2N + 1) siêu phẳng di động của PN(C) ở vị trí tổng quát với biểu diễn rút gọn bi = (bi0 : bi1 : · · · : biN) (1 ≤ i ≤ 2N + 1). Cho f và g là hai ánh xạ phân hình từ Cn vào PN(C) với các biểu diễn rút gọn là f = (f0 : · · · : fN) và g = (g0 : · · · : gN). Ta định nghĩa hi = (f, bi)/(g, bi) (1 ≤ i ≤ 2N + 1) và hI = ∏ i∈I hi với mỗi tập con I của {1, . . . , 2N + 1}. Đặt I = {I = (i1, . . . , iN) ; 1 ≤ i1 < · · · < iN ≤ 2N + 1}. 60 Cho R{bi}2N+1i=1 là trường con nhỏ nhất của M chứa C và {bil/bis; bis 6≡ 0, 1 ≤ i ≤ 2N + 1, 0 ≤ l, s ≤ N}. Mệnh đề 4.2.3. Nếu tồn tại các hàm AI ∈ R{bi}2N+1i=1 (I ∈ I), không đồng thời bằng không, sao cho ∑ I∈I AIhI ≡ 0, thì ánh xạ f × g vào PN(C)× PN(C) là suy biến đại số trên R{bi}2N+1i=1 . Chứng minh. Bằng cách đổi hệ tọa độ thuần nhất của PN(C), ta có thể giả sử rằng bi0 6≡ 0 (1 ≤ i ≤ 2N + 1). Vì b1, . . . , b2N+1 ở vị trí tổng quát, ta có det(bijk)0≤j,k≤N 6≡ 0 với 1 ≤ i0 < · · · iN ≤ 2N + 1. Do đó, ta đặt S = (⋂ I∈I {z ∈ Cn ; AI(z) = 0} )∪ ⋃ 1≤i0<···<iN≤2N+1 {z ∈ Cn ; det(bijk(z))0≤j,k≤N = 0} là một tập con giải tích thực sự của Cn. Lấy z0 6∈ S và đặt xij = bij(z0). Với v = (v0 : v1 · · · : vN), w = (w0 : w1 : · · · : wN) ∈ PN(C), ta định nghĩa ánh xạ Φ(v, w) = (u1 : · · · : u2N+1) ∈ P2N(C) như trên. Theo Mệnh đề 4.2.2, Φ là song hữu tỉ. Từ đó suy ra hàm ∑ I∈I AI(z0) ∏ i∈I ∑N j=0 bij(z0)vj∑N j=0 bij(z0)wj là hàm hữu tỉ không tầm thường. Từ đó suy ra Q(z)(v0, . . . , vN , w0, . . . , wN) = 1∏2N+1 i=1 bi0 ∑ I∈I AI(z) (∏ i∈I N∑ j=0 bij(z)vj ) × (∏ i∈Ic N∑ j=0 bij(z)wj ) là một đa thức không tầm thường với các hệ số trong R{bi}2N+1i=1 , trong đó Ic = {1, . . . , 2N + 1} \ I. Theo giả thiết, rõ ràng Q(z)(f0(z), . . . , fN(z), g0(z), . . . , gN(z)) ≡ 0. Do vậy f × g là suy biến đại số trên R{bi}2N+1i=1 . 61 Mệnh đề 4.2.4. Giả sử f là một ánh xạ phân hình từ Cn vào PN(C) và cho b1, . . . , bN+1 là các siêu phẳng di động của PN(C) ở vị trí tổng quát với biểu diễn rút gọn f = (f0 : · · · : fN), bi = (bi0 : · · · : biN) (1 ≤ i ≤ N + 1). Khi đó với mỗi điểm chính quy z0 của tập con giải tích ⋃N+1 i=1 {z ; (f, bi)(z) = 0} mà z0 6∈ I(f), ta có min 1≤i≤N+1 ν0(f,bi)(z0) ≤ ν0det Φ(z0), trong đó I(f) là kí hiệu tập không xác định của f và Φ là ma trận (bij; 1 ≤ i ≤ N+1, 0 ≤ j ≤ N). Chứng minh. Vì z0 6∈ I(f), ta có thể giả sử rằng f0(z0) 6= 0. Ta xét hệ phương trình bi0f0 + · · ·+ biNfN = (f, bi) (1 ≤ i ≤ N + 1). Giả hệ phương trình trên, ta được f0 = det Φ′ det Φ , trong đó Φ′ là ma trận có được từ Φ bằng cách thay thế cột đầu tiên của Φ bởi ((f, bi))1≤i≤2N+1. Do đó, ta có ν0det Φ(z0) = ν 0 det Φ′(z0) ≥ min 1≤i≤N+1 ν0(f,bi)(z0). Mệnh đề đã được chứng minh. Chứng minh Định lý 4.2.1 Ta chọn l0 := 2N 3{(N+1)q2(q−1)(q−2)+d(N)(2N+2)} với q = ( 2N+2 N+1 ) , d(N) = k(2N + 2) ·D((2N+2 N+1 ) ), trong đó D( ( 2N+2 N+1 ) ) và k(2N + 2) là các hằng số được cho như trong Mệnh đề 4.1.6 và 4.1.10 một cách tương ứng, và chỉ phụ thuộc vào N . Giả sử rằng f, g, ai có biểu diễn rút gọn f = (f0 : · · · : fN), g = (g0 : · · · : gN), ai = (ai0 : · · · : aiN). Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử rằng f và g là không suy biến tuyến tính trên R{ai}2N+2i=1 , ngược lại ánh xạ f ×g sẽ là suy biến đại số trên R{ai}2N+2i=1 . Theo Định 62 lý 4.1.3, ta có ∣∣∣∣ 2N + 2 N + 2 T (r, f) ≤ 2N+2∑ i=1 N [N ] (f,ai) (r) + o(T (r, f)) ≤ N · 2N+2∑ i=1 N [1] (g,ai) (r) + o(T (r, f)) ≤ N(2N + 2)(T (r, g)) + o(T (r, f)). Do đó, ta có || T (r, f) = O(T (r, g)). Tương tự, ta cũng có || T (r, g) = O(T (r, f)). Bằng cách đổi hệ tọa độ thuần nhất của PN(C) nếu cần thiết, ta có thể giả sử rằng ai0 6≡ 0 với mọi 1 ≤ i ≤ 2N + 2. Ta đặt a˜ij = aij/ai0, a˜i = ( ai0 ai0 , ai1 ai0 , . . . , aiN ai0 ), (f, a˜i) = N∑ j=0 a˜ijfj và (g, a˜i) = N∑ j=0 a˜ijgj. Giả sử ánh xạ f × g là không suy biến đại số trên R{ai}2N+2i=1 . Ta định nghĩa hi = (f, a˜i)/(g, a˜i) (1 ≤ i ≤ 2N + 2), thì hi/hj = ( (f, a˜i) · (g, a˜j) ) / ( (g, a˜i) · (f, a˜j) ) không phụ thuộc vào cách chọn biểu diễn của f và g. Vì N∑ k=0 a˜ikfk − hi · N∑ k=0 a˜ikgk = 0 (1 ≤ i ≤ 2N + 2), nên Φ := det (a˜i0, . . . , a˜iN , a˜i0hi, . . . , a˜iNhi; 1 ≤ i ≤ 2N + 2) ≡ 0. (4.1) Với mỗi tập con I ⊂ {1, 2, . . . , 2N + 2}, đặt hI = ∏ i∈I hi, h˜I = ∏ i∈I hi h1 . Ta kí hiệu I là tập hợp I = {(i1, . . . , iN+1) ; 1 ≤ i1 < · · · < iN+1 ≤ 2N + 2}. Với mỗi I = (i1, . . . , iN+1) ∈ I, ta định nghĩa AI = (−1)(N+1)(N+2)/2+i1+···+iN+1 × det(a˜irl; 1 ≤ r ≤ N + 1, 0 ≤ l ≤ N) × det(a˜jsl; 1 ≤ s ≤ N + 1, 0 ≤ l ≤ N), 63 trong đó J = (j1, . . . , jN+1) ∈ I sao cho I ∪ J = {1, 2, . . . , 2N + 2}. Ta định nghĩa một quan hệ tiền tương đương trên I như sau: I = (i1, . . . , iN+1) R∼ J = (j1, . . . , js) nếu h˜I/h˜J là hàm hữu tỉ theo biến đạo hàm logarit của hàm (hi/h1) với trọng ≤ D((2N+2 N+1 ) ) và với hệ số trong Rf . Lấy các số thực p1, . . . , p2N+2 thỏa điều kiện của Mệnh đề 4.1.9. Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử rằng p1 ≤ p2 ≤ · · · ≤ p2N+2. Từ đẳng thức (4.1) suy ra ∑ I∈I AIhI = 0. Với mỗi I = (i1, . . . iN+1) ∈ I, ta đặt h˜I = ∏N+1 j=1 (hij/h1). Từ đẳng thức trên ta suy ra∑ I∈I AI h˜I = 0. Áp dụng Mệnh đề 4.1.6 cho các ánh xạ phân hình AI h˜I (I ∈ I), ta có một phân hoạch I = I1 ∪ · · · ∪ Ik với Iα 6= ∅ và Iα ∩ Iβ = ∅ với α 6= β sao cho với mỗi α, (i) ∑ I∈Iα AI h˜I ≡ 0, (ii) AI′ h˜I′ AI h˜I (I, I ′ ∈ Iα) là các hàm hữu tỉ theo biến đạo hàm logarit của (AJ h˜J) với trọng ≤ D((2N+2 N+1 ) ). Hơn nữa, ta có thể giả sử rằng Iα là nhỏ nhất, tức là, không có một tập con thực sự nào Jα ( Iα sao cho ∑ I∈Jα AI h˜I ≡ 0. Ta chia thành hai trường hợp sau: Đầu tiên ta chứng minh Định lý trong trường hợp tồn tại một chỉ số i0 sao cho pi0 “ và đổi chỉ số của {h1, . . . , h2N+2}). Giả sử rằng I = (1, 2, . . . , N+1) ∈ I1. Theo khẳng định (ii), với mỗi J = (j1, . . . , jN+1) ∈ I1 (1 ≤ j1 < · · · < jN+1 ≤ 2N + 2), ta có [h˜I ] = [h˜J ]. Từ đó suy ra p1 + · · ·+ pN+1 = pj1 + · · ·+ pjN+1 . 64 Do đó pji = pi (1 ≤ i ≤ N + 1). Giả sử rằng ji0 > i0, thì pi0 < pi0+1 6 pji0 . Điều này mâu thuẫn. Do đó ji0 = i0, và vì vậy j1 = 1, . . . , ji0−1 = i0 − 1. Ta kết luận rằng J = (1, . . . , i0, ji0+1, . . . , jN+1) và i0 ≤ N + 1 với mỗi J ∈ I1. Từ (4.1), ta có ∑ I∈I1 AI h˜I = hi0 h1 ∑ I∈I1 AI h˜I\{i0} ≡ 0. Vậy nên ∑ I∈I1 AI h˜I\{i0} ≡ 0. Từ đó suy ra ∑ I∈I1 AIhI\{i0} ≡ 0. Theo Mệnh đề 4.2.3 suy ra rằng f × g là suy biến đại số trên R{ai}2N+2i=1 . Điều này mâu thuẫn với điều đang giả sử. Bây giờ ta chứng minh tiếp Định lý trong trường hợp p1 = · · · = p2N+2. Ta xét các hàm phân hình (hi/h1), 1 ≤ i ≤ 2N + 2. Theo Mệnh đề 4.1.10, tồn tại các hằng số dương m0 và kij, trong đó kij ≤ k(q), sao cho( hi/h1 hj/h1 )m0 = kij∑ l=1 h˜Il h˜Jl , với Il, Jl ∈ I2N+2,N+1 và Il R∼ Jl. Từ đó suy ra, với mỗi 1 ≤ i, j ≤ 2N + 2, ( hi/h1 hj/h1 )m0 là một hàm hữu tỉ theo biến đạo hàm logarit của (hs/h1) có hệ số trong Rf với trọng bị chặn bởi d(N). Giả sử rằng( hi/h1 hj/h1 )m0 = Pij(. . . ,Dα(hs/h1), . . .) Qij(. . . ,Dα(hs/h1), . . .) , trong đó Pij và Qij là các đa thức theo biến đạo hàm logarit của (hs/h1) có hệ số trong Rf và có trọng bị chặn bởi hằng số d(N). Dễ dàng thấy rằng ν∞Qij(z) ≤ 2N+2∑ i=1 d(N) min{1, ν∞hs/h1(z) + ν0hs/h1(z)}+ Sij(z) ≤ d(N) 2N+2∑ i=1 min{1, ν∞hs(z) + ν0hs(z)}+ Sij(z), trong đó Sij(z) là tổng tất các các bậc cực điểm của mọi hệ số của Qij tại điểm z. Vì 65 vậy, nếu ta xem Sij là một divisor trên Cn, thì || N(r, Sij) = o(T (r, g)). Do vậy || N(r, ν∞Qij) ≤ d(N) 2N+2∑ i=1 (N [1](r, ν∞hs) +N [1](r, ν0hs)) + o(T (r, g)) ≤ d(N) 2N+2∑ i=1 N [1] (g,ai),>l0 (r) ≤ d(N) l0 + 1 2N+2∑ i=1 N(g,ai)(r) + o(T (r, g)) ≤ d(N)(2N + 2) l0 + 1 T (r, g) + o(T (r, g)). Theo Bổ đề đạo hàm logarit (Định lý 4.1.2), ta có∣∣∣∣∣∣∣∣ m(r, hihj ) = 1 m0 m ( r, ( hi/h1 hj/h1 )m0) +O(1) ≤ m(r, Pij) +m ( r, 1 Qij ) ≤ m(r, Pij) + T (r,Qij) +O(1) = m(r, Pij) +m(r,Qij) +N(r, ν ∞ Qij ) +O(1) ≤ d(N)(2N + 2) l0 + 1 T (r, g) + o(T (r, g)). (4.2) Mệnh đề 4.2.5. Với mỗi i0 ∈ {1, . . . , 2N + 2}, ta có || Nhi0 (r) ≤ q2(q − 1)(q − 2)(N + 1) 2(l0 + 1) T (r, g) + o(T (r, g)) và || N1/hi0 (r) ≤ q2(q − 1)(q − 2)(N + 1) 2(l0 + 1) T (r, g) + o(T (r, g)). Để chứng minh mệnh đề trên, ta cố định chỉ số α. Nếu ]Iα = 2, rõ ràng ta có quan hệ đại số không tầm thường (trên R{ai}2N+2i=1 ) trong số f0, . . . , fN , g0, . . . , gN . Từ đó chỉ ra rằng f × g là suy biến đại số trên R{ai}2N+2i=1 . Điều này mâu thuẫn. Do vậy ]Iα > 2. Giả sử Iα = {I0, . . . , It+1}, t ≥ 1. Ta xét ánh xạ phân hình Fα từ Cn vào Pt(C) với biểu diễn rút gọn Fα = (uAI0hI0 : · · · : uAIthIt), trong đó u là một hàm phân hình. Ta thấy rằng mỗi không điểm của uAIihIi (0 ≤ i ≤ t+ 1) phải là không điểm hay cực điểm của AIjhIj (0 ≤ j ≤ t) nào đó. Khi đó theo Định 66 lý 4.1.1, ta có || T (r, Fα) ≤ t+1∑ i=0 N [t] uAIihIi (r) + o(T (r, Fα)) ≤ t+1∑ i=0 (N [t] AIihIi (r) +N [t] 1/AIihIi (r)) + o(T (r, Fα)) ≤ t+1∑ i=0 (N [t] hIi (r) +N [t] 1/hIi (r)) + o(T (r, g)) ≤ t t+1∑ i=0 (N [1] hIi (r) +N [1] 1/hIi (r)) + o(T (r, g)) ≤ t ∑ I∈I (N [1] hI (r) +N [1] 1/hI (r)) + o(T (r, g)) ≤ t ∑ I∈I ∑ i∈I (N [1] hi (r) +N [1] 1/hi (r)) + o(T (r, g)) = tq 2 2N+2∑ i=1 (N [1] hi (r) +N [1] 1/hi (r)) + o(T (r, g)) ≤ tq 2 2N+2∑ i=1 N [1] (g,ai),>l0 (r) + o(T (r, g)) ≤ tq 2(l0 + 1) 2N+2∑ i=1 N(g,ai),>l0(r) + o(T (r, g)) ≤ tq(2N + 2) 2(l0 + 1) T (r, g) + o(T (r, g)) ≤ q(q − 2)(N + 1) l0 + 1 T (r, g) + o(T (r, g)), (4.3) trong đó q = ( 2N+2 N+1 ) . Lấy một điểm chính quy z0 của tập con giải tích 2N+2⋃ i=1 {z ; (f, ai)(z) = 0} với z0 6∈ I(f) ∪ I(g). Ta có thể giả sử rằng ν0h1(z0) ≥ ν0h2(z0) ≥ · · · ≥ ν0h2N+2(z0). Đặt I = (1, . . . , N + 1), thì I ∈ Iα với chỉ số α, 1 ≤ α ≤ k. Dễ dàng thấy rằng nếu 1 ∈ I ′ với mọi I ′ ∈ Iα, thì∑ I′∈Iα AI′hI′\{1} ≡ 0. 67 Do đó, theo Mệnh đề 4.2.3, ta suy ra rằng f×g là suy biến đại số (trên R{ai}2N+2i=1 ). Điều này mâu thuẫn. Vì vậy, tồn tại I ′ ∈ Iα sao cho 1 6∈ I ′. Giả sử rằng I ′ = (j1, . . . , jN+1) với 1 < j1 < · · · < jN+1. Từ Mệnh đề 4.2.4, ta suy ra rằng ν0hjN+1 (z0) ≤ ν 0 det(ajl;j∈I′,0≤l≤N)(z0). Do đó ta có ν0hi0 (z0) ≤ ν 0 h1 (z0) ≤ ν0AIhI/AI′hI′ (z0) + ν0AI′/AI (z0) + ν0hjN+1 (z0) ≤ ν0AIhI/AI′hI′ (z0) + ν0AI′/AI (z0) + ν0det(ajl;j∈I′,0≤l≤N)(z0). Vậy nên ν0hi0 (z0) ≤ k∑ α=1 ∑ I,I′∈Iα (ν0AIhI/AI′hI′ (z0) + ν 0 AI′/AI (z0)) + ∑ 1≤j1<···<jN+1≤2N+2 ν0det(ajil;1≤i≤N+1,0≤l≤N)(z0). Bất đẳng thức trên xảy ra với mọi z0 ngoài một tập con giải tích có đối chiều ít nhất hai. Lấy tích phân hai vế của bất đẳng thức trên, ta được || Nhi0 (r) ≤ k∑ α=1 ∑ I,I′∈Iα (NAIhI/AI′hI′ (r) +NAI′/AI (r)) + o(T (r, g)) ≤ k∑ α=1 ∑ I,I′∈Iα T ( r, AIhI AI′hI′ ) + o(T (r, g)) ≤ k∑ α=1 ∑ I,I′∈Iα T (r, Fα) + o(T (r, g)) ≤ k∑ α=1 ∑ I,I′∈Iα q(q − 2)(2N + 2) l0 + 1 T (r, g) + o(T (r, g)) bởi (4.3), ≤ ∑ I,I′∈I q(q − 2)(N + 1) l0 + 1 T (r, g) + o(T (r, g)) = q2(q − 1)(q − 2)(N + 1) 2(l0 + 1) T (r, g) + o(T (r, g)). Tương tự, ta có || N1/hi0 (r) ≤ q2(q − 1)(q − 2)(N + 1) 2(l0 + 1) T (r, g) + o(T (r, g)). Ta hoàn tất chứng minh Mệnh đề 4.2.5. 68 Bây giờ ta sẽ tiếp tục chứng minh Định lý 4.2.1. Bằng cách đổi hệ tọa độ thuần nhất của PN(C) nếu cần thiết, ta có thể giả sử rằng ai0 6≡ 0 với mọi 1 ≤ i ≤ 2N + 2. Đặt a˜ij = aij ai0 , a˜i = (a˜i0, . . . ., a˜iN), (f, a˜i) = N∑ j=0 a˜ijfj và (g, a˜i) = N∑ j=0 a˜ijgj. Khi đó tồn tại các hàm bij ∈ R{ai}2N+2i=1 (N + 2 ≤ i ≤ 2N + 2, 1 ≤ j ≤ N + 1) sao cho a˜i = N+1∑ j=1 bij a˜j. Bởi (4.1), ta có det (a˜i0, . . . , a˜iN , a˜i0hi, . . . , a˜iNhi; 1 ≤ i ≤ 2N + 2) ≡ 0. Từ đó suy ra det ( a˜i0hi − N+1∑ j=1 bij a˜j0hj, . . . , a˜iNhi − N+1∑ j=1 bij a˜jNhj;N + 2 ≤ i ≤ 2N + 2 ) ≡ 0. Do đó, ma trận Ψ = ( a˜i0hi − N+1∑ j=1 bij a˜j0hj, . . . , a˜iNhi − N+1∑ j=1 bij a˜jNhj;N + 2 ≤ i ≤ 2N + 2 ) có hạng lớn nhất là N . Giả sử rằng rank Ψ < N , ta có định thức của ma trận con vuông( a˜i1hi − N+1∑ j=1 bij a˜j0hj, . . . , a˜iNhi − N+1∑ j=1 bij a˜jNhj;N + 2 ≤ i ≤ 2N + 1 ) đồng thời triệt tiêu. Bởi Mệnh đề 4.2.3, ta suy ra f×g là suy biến đại số trên R{ai}2n+2i=1 . Điều này mâu thuẫn. Vậy rank Ψ = N . Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử rằng định thức của ma trận con vuông( a˜i1hi − N+1∑ j=1 bij a˜j0hj, . . . , a˜iNhi − N+1∑ j=1 bij a˜jNhj;N + 2 ≤ i ≤ 2N + 1 ) của Ψ không đồng thời triệt tiêu. Mặt khác, với N + 2 ≤ i ≤ 2N + 1, ta có( a˜i0hi − N+1∑ j=1 bij a˜j0hj ) g0 + · · ·+ ( a˜iNhi − N+1∑ j=1 bij a˜jNhj ) gN = 0. 69 Vậy nên( a˜i0 hi h1 − N+1∑ j=1 bij a˜j0 hj h1 ) g0 gN + · · ·+ ( a˜iN hi h1 − N+1∑ j=1 bij a˜j(N−1) hj h1 ) gN−1 gN = −a˜iN hi h1 + N+1∑ j=1 bij a˜jN hj h1 (N + 2 ≤ i ≤ 2N + 1). Ta xem các đẳng thức trên như là hệ gồm N phương trình với các biến g0/gN , . . . , gN−1/gNvà giải chúng thì ta được gi/gN (0 ≤ i ≤ N − 1) có dạng gi gN = Pi Qi , trong đó Pi and Qi là các đa thức thuần nhất theo biến hj/h1 (1 ≤ j ≤ 2N + 1) có bậc N với hệ số trong R{aj}2N+2j=1 . Theo Định lý 4.1.1 ta có T (r, g) ≤ N−1∑ i=0 T ( r, gi gN ) = N−1∑ i=0 T ( r, Pi Qi ) ≤ N2 2N+1∑ j=1 T ( r, hj h1 ) + o(T (r, g)). (4.4) Ta chú ý rằng T (r, h1/h1) = 0. Theo đẳng thức (4.2) và Mệnh đề 4.2.5, với mỗi j ∈ {2, . . . , 2N + 1} ta có || T ( r, hj h1 ) = m ( r, hj h1 ) +N(r, ν∞hj/h1) +O(1) ≤ m ( r, hj h1 ) +Nh1(r) +N1/hj(r) +O(1) ≤ q 2(q − 1)(q − 2)(N + 1) + d(N)(2N + 2) (l0 + 1) T (r, g) + o(T (r, g)). (4.5) Kết hợp (4.4) và (4.5), ta đạt được T (r, g) ≤ 2N3 q 2(q − 1)(q − 2)(N + 1) + d(N)(2N + 2) (l0 + 1) T (r, g) + o(T (r, g)). Cho r → +∞, ta được 1 ≤ 2N3 q 2(q − 1)(q − 2)(N + 1) + d(N)(2N + 2) (l0 + 1) . Vậy l0 + 1 ≤ 2N3{(N + 1)q2(q − 1)(q − 2) + d(N)(2N + 2)}. Điều này mâu thuẫn. Vậy, f × g là suy biến đại số trên R{ai}2N+2i=1 . Định lý đã được chứng minh.  70 Chương 5 SỰ PHỤ THUỘC ĐẠI SỐ CỦA CÁC ÁNH XẠ PHÂN HÌNH TRÙNG NHAU TRÊN ẢNH NGƯỢC CỦA HỌ SIÊU PHẲNG DI ĐỘNG KHÔNG TÍNH BỘI Như đã trình bày trong phần tổng quan, trong chương 5 chúng tôi tìm hiểu về sự phụ thuộc đại số của họ các ánh xạ phân hình. Cụ thể, chúng tôi sẽ tổng quát và phát triển kết quả của các tác giả trước đó bằng cách xem xét vấn đề bội chặn và giảm số siêu phẳng. Bởi vì bội giao đã được ngắt bởi 1 (hay nói cách khác là không kể bội) nên chúng tôi xem xét vấn đề xoay quanh việc ta có thể "không quan tâm" đến những không điểm chung với bội kể từ đâu trở đi để cải tiến các kết quả được tốt hơn và giảm được số siêu phẳng di động tham gia. Chương 5 gồm hai mục: mục thứ nhất được dành để trình bày một số khái niệm và kết quả bổ trợ; mục thứ hai chúng tôi chứng minh các định lý về về sự phụ thuộc đại số của họ các ánh xạ phân hình 71 5.1 Một số khái niệm và kết quả bổ trợ Ta nhắc lại lý thuyết suy biến đại số của W. Stoll. Trước hết, ta kí hiệu ΛkCn+1 là tích ngoài k lần của Cn+1 và v1∧v2∧· · ·∧vk ∈ ΛkCn+1 là tích ngoài của k vectơ v1, v2, · · · , vk ∈ Cn+1. Nếu {e0, e1, · · · , en} là cơ sở của Cn+1 thì {ej1 ∧ ej2 ∧ · · · ∧ ejk}0≤j1<j2<···<jk≤n là cơ sở của ΛkCn+1. Dễ thấy với k vectơ vi = ai0e0 + ai1e1 + · · ·+ ainen (1 ≤ i ≤ k), thì v1 ∧ v2 ∧ · · · ∧ vk = ∑ 0≤j1<j2<···<jk≤n det(aijs)1≤i,s≤kej1 ∧ ej2 ∧ · · · ∧ ejk . Ta có định nghĩa sau trong đại số ngoài liên quan đến khái niệm phụ thuộc đại số. Định nghĩa 5.1.1. Cho V là một không gian vectơ phức có chiều N ≥ 1. Các vectơ {v1, · · · , vk} được gọi là ở vị trí tổng quát nếu với mỗi cách chọn các số nguyên 1 ≤ i1 < · · · < ip ≤ k với p ≤ N, thì vi1 ∧ · · · ∧ vip 6= 0. Các vectơ {v1, · · · , vk} được gọi là ở vị trí đặc biệt nếu chúng không ở vị trí tổng quát. Lấy 1 ≤ p ≤ k, nếu với mỗi cách chọn các số nguyên 1 ≤ i1 < · · · < ip ≤ k đều có các vectơ vi1 , · · · , vip ở vị trí đặc biệt thì {v1, · · · , vk} được gọi là ở vị trí p đặc biệt. Chú ý: Khái niệm vị trí tổng quát cho k vectơ cũng áp dụng cho k ánh xạ phân hình vào PN(C) bằng cách lấy biểu diễn thu gọn và coi chúng là hàm vectơ vào CN+1. Khi đó, khái niệm vị trí tổng quát này trùng với khái niệm vị trí tổng quát đã định nghĩa trong Chương 3. Giả sử fi : Cn → PN(C) (1 ≤ i ≤ k) là các ánh xạ phân hình ở vị trí ở vị trí tổng quát. Khi đó, theo W. Stoll [35] tồn tại một ánh xạ phân hình từ Cn vào ΛkCN+1 mà ta kí hiệu là f1 ∧ f2 ∧ · · · ∧ fk sao cho với các biểu diễn thu gọn tương ứng fi = (fi0 : fi1 : · · · : fiN) (1 ≤ i ≤ k) thì (f1 ∧ f2 ∧ · · · ∧ fk)(z) = f1(z) ∧ f2(z) ∧ · · · ∧ fk(z) với mỗi z ∈ Cn ngoài các tập giải tích có đối chiều lớn hơn hoặc bằng 2. Ở đây, ta đã coi fi(z) là một vectơ vào CN+1. Divisor không điểm của f1 ∧ f2 ∧ · · · ∧ fk là một hàm được kí hiệu là µf1∧f2∧···∧fk và được cho bởi µf1∧f2∧···∧fk = min{ν0det(fijl )1≤i,l≤k ; 0 ≤ j1 < j2 < · · · < jk ≤ n}. 72 Gọi Nf1∧···∧fλ(r) là hàm đếm tương ứng với divisor µf1∧···∧fλ . Hàm xấp xỉ của ánh xạ f1 ∧ f2 ∧ · · · ∧ fk được định nghĩa bởi m(r, f1 ∧ f2 ∧ · · · ∧ fk) = ∫ S(r) log ||f1||.||f2||. · · · .||fk|| |f1 ∧ f2 ∧ · · · ∧ fk| σn − ∫ S(1) log ||f1||.||f2||. · · · .||fk|| |f1 ∧ f2 ∧ · · · ∧ fk| σn. Định lý 5.1.2 (Định lý cơ bản thứ nhất cho vị trí tổng quát, xem [35]). Giả sử fi : Cn → PN(C), 1 ≤ i ≤ k là các ánh xạ phân hình ở vị trí tổng quát. Giả sử rằng 1 ≤ k ≤ N. Khi đó Nf1∧···∧fk(r) +m(r, f1 ∧ · · · ∧ fk) ≤ ∑ 1≤i≤k T (r, fi) +O(1). Giả sử A là tập con giải tích chiều thuần túy là (n− 1) của đa tạp phức liên thông n chiều M . Ta định nghĩa divisor rút gọn có giá là A bởi: νA(z) = 1 nếu z ∈ A,0 nếu z ∈M\A. Định lý 5.1.3 (Định lý cơ bản thứ hai cho vị trí tổng quát, xem [35]). Giả sử M là một đa tạp phức liên thông có chiều m. Cho A là một tập con giải tích thuần túy có chiều (m− 1) của M. Cho V là một không gian vectơ phức có chiều n + 1. Cho p và k là các số nguyên với 1 ≤ p ≤ k ≤ n + 1. Cho fj : M → P (V ), 1 ≤ j ≤ k, là các ánh xạ phân hình. Giả sử rằng f1, ..., fk ở vị trí tổng quát. Ta cũng giả sử rằng f1, ..., fk ở vị trí p đặc biệt trên A. Khi đó ta có µf1∧···∧fk ≥ (k − p+ 1)νA. Định lý 5.1.4 (Định lý cơ bản thứ hai cho mục tiêu di động, xem [29]). Giả sử f : Cn → PN(C) là một ánh xạ phân hình và {a1, ..., aq} (q ≥ 2N −m + 2) là các ánh xạ phân hình từ Cn vào PN(C)∗ ở vị trí tổng quát sao cho (f, ai) 6≡ 0 (1 ≤ i ≤ q), trong đó m+ 1 = rankR{ai}f . Khi đó ta có ∣∣∣∣ q 2N −m+ 2T (r, f) ≤ q∑ i=1 N [m] (f,ai) (r) +O ( max 1≤i≤q T (r, ai) ) +o(T (r, f)). 73 Cần chú ý rằng, từ Định lý trên, ta suy ra được ∣∣∣∣ T (r, f) ≤ m(2N −m+ 2) q q∑ i=1 N [1] (f,ai) (r) +O ( max 1≤i≤q T (r, ai) ) +o(T (r, f)) ≤ N(N + 2) q q∑ i=1 N [1] (f,ai) (r) +O ( max 1≤i≤q T (r, ai) ) +o(T (r, f)). 5.2 Sự phụ thuộc đại số của các ánh xạ phân hình Trong phần này, chúng tôi nghiên cứu và chứng minh các định lý về sự phụ thuộc đại số của họ ánh xạ phân hình trùng nhau trên ảnh ngược của các siêu phẳng di động không tính bội, trong đó chúng tôi không quan tâm đến các không điểm với bội lớn hơn hằng số nào đó. Dựa trên các kết quả đó, chúng tôi cũng đưa ra các định lý duy nhất. Cụ thể, kết quả chúng tôi đạt được về vấn đề này như sau. Định lý 5.2.1. Giả sử f1, · · · , fλ : Cn → PN(C) là các ánh xạ phân hình khác hằng và {gj}q−1j=0 là các siêu phẳng di động của PN(C) ở vị trí tổng quát thỏa mãn T (r, gj) = o(max1≤i≤λ T (r, fi)) (0 ≤ j ≤ q− 1). Cho kj (0 ≤ j ≤ q− 1) là các số nguyên dương hay +∞. Giả sử rằng (fi, gj) 6≡ 0 với 1 ≤ i ≤ λ, 0 ≤ j ≤ q − 1 và Aj := Supp ν0(f1,gj),≤kj = · · · = Supp ν0(fλ,gj),≤kj với mỗi 0 ≤ j ≤ q− 1. Kí hiệu A = ⋃q−1 j=0 Aj. Cho l, 2 ≤ l ≤ λ, là một số nguyên sao cho với bất kỳ dãy tăng 1 ≤ i1 < · · · < il ≤ λ, fi1(z)∧ · · ·∧fil(z) = 0 với mỗi điểm z ∈ A. Nếu q−1∑ j=0 1 kj < q N(N + 2) − dλ λ− l + 1 , thì f1 ∧ · · · ∧ fλ ≡ 0. Khi λ = l = 2 và k0 = · · · = kq−1 = +∞, từ Định lý 5.2.1 trên chúng tôi suy ra Định lý duy nhất như sau. Hệ quả 5.2.2. Giả sử f1, f2 : Cn → PN(C) là hai ánh xạ phân hình khác hằng và {gj}q−1j=0 là các siêu phẳng di động ở vị trí tổng quát trong PN(C) thỏa mãn T (r, gj) = o(max1≤i≤2 T (r, fi)) (0 ≤ j ≤ q − 1). Giả sử rằng các điều kiện sau được thỏa mãn i) min{1, ν0(f1,gj)} = min{1, ν0(f2,gj)} với mỗi 0 ≤ j ≤ q − 1, ii) f1(z) = f2(z) với mỗi z ∈ ⋃q−1 j=0 Supp ν 0 (f1,gj) , iii) q > 2dN(N + 2). 74 Khi đó f1 ≡ f2. Nếu d = 1, thì từ Hệ quả trên, ta có Định lý duy nhất cho các ánh xạ phân hình (không có giả thiết không suy biến tuyến tính) trùng nhau trên ảnh ngược của q > 2N2 + 4N siêu phẳng di động ở vị trí tổng quát không kể bội. Chứng minh Định lý 5.2.1 Ta chỉ cần chứng minh trong trường hợp λ ≤ N + 1. Giả sử rằng f1 ∧ · · · ∧ fλ 6≡ 0. Ta chứng minh các mệnh đề sau. Mệnh đề 5.2.3. Với mỗi 1 ≤ i ≤ λ, 0 ≤ j ≤ q − 1 và 1 ≤ m ≤ N ta có N [m](r, ν0(fi,gj),≤kj) ≥ kj + 1 kj + 1−mN [m](r, ν0(fi,gj))− m kj + 1−mT (r, fi). Chứng minh. Thật vậy, ta có N [m](r, ν0(fi,gj),≤kj) = N [m](r, ν0(fi,gj))−N [m](r, ν0(fi,gj),>kj) ≥ N [m](r, ν0(fi,gj))− m kj + 1 N(r, ν0(fi,gj),>kj) = N [m](r, ν0(fi,gj))− m kj + 1 N(r, ν0(fi,gj)) + m kj + 1 N(r, ν0(fi,gj),≤kj) ≥ N [m](r, ν0(fi,gj))− m kj + 1 T (r, fi) + m kj + 1 N [N ](r, ν0(fi,gj),≤kj). Từ đó suy ra N [m](r, ν0(fi,gj),≤kj) ≥ kj + 1 kj + 1−mN [m](r, ν0(fi,gj))− m kj + 1−mT (r, fi).  Mệnh đề 5.2.4. Với mỗi 1 ≤ i ≤ λ, ta có q−1∑ j=0 min{1, ν0(fi,gj),≤kj} ≤ d λ− l + 1µf1∧···∧fλ(z) + q ∑ β µgβ(1)∧···∧gβ(N+1)(z) với mỗi z 6∈ A⋃λi=1 I(fi), trong đó tổng được lấy theo tất cả các đơn ánh β : {1, 2, · · · , N+ 1} → {1, 2, · · · , q} Chứng minh. Thật vậy, với mỗi điểm chính quy z0 ∈ A \ (A ∪ λ⋃ i=1 I(fi) ∪ ⋃ β∈T [N+1,q] {z|gβ(1)(z) ∧ · · · ∧ gβ(N+1)(z) = 0}) 75 và với mỗi dãy tăng 1 ≤ i1 < · · · < il ≤ λ, ta có fi1(z0) ∧ · · · ∧ fil(z0) = 0. Theo Định lý cơ bản thứ hai cho vị trí tổng quát, ta có µf1∧···∧fλ(z0) ≥ λ− (l − 1). Do đó q−1∑ j=0 min{1, ν0(fi,gj),≤kj(z0)} ≤ q−1∑ j=0 min{1, ν0(fi,gj)(z0)} ≤ d ≤ d λ− l + 1µf1∧···∧fλ(z0). Nếu z0 ∈ ⋃ β∈T [N+1,q]{z|gβ(1)(z) ∧ · · · ∧ gβ(N+1)(z) = 0}, thì ta có q−1∑ j=0 min{1, ν0(fi,gj),≤kj(z0)} ≤ q−1∑ j=0 min{1, ν0(fi,gj)(z0)} ≤ q ∑ β∈T [N+1,q] µgβ(1)∧···∧gβ(N+1)(z0). Vậy, với mỗi z 6∈ A ∪⋃λi=1 I(fi), ta có q−1∑ j=0 min{1, ν0(fi,gj),≤kj(z)} ≤ d λ− l + 1µf1∧···∧fλ(z) + q ∑ β∈T [N+1,q] µgβ(1)∧···∧gβ(N+1)(z). Như vậy Mệnh đề 5.2.4 đã được chứng minh.  Từ Mệnh đề 5.2.4, ta suy ra || q−1∑ j=0 N [1](r, ν0(fi,gj)≤kj) ≤ d λ− l + 1Nf1∧···∧fλ(r) + q ∑ β∈T [N+1,q] Ngβ(1)∧···∧gβ(N+1)(r) ≤ d λ− l + 1 λ∑ i=1 T (r, fi) + q ∑ β∈T [N+1,q] N+1∑ i=1 T (r, gβ(i)) = d λ− l + 1T (r) + o( max1≤i≤λT (r, fi)). 76 trong đó T (r) = ∑λ i=1 T (r, fi). Do đó, ta có: || dλ λ− l + 1T (r) ≥ λ∑ i=1 q−1∑ j=0 N [1](r, ν0(fi,gj)≤kj) + o(T (r)) ≥ λ∑ i=1 q−1∑ j=0 ( kj + 1 kj N [1](r, ν0(fi,gj))− 1 kj T (r, fi) ) + o(T (r)) ≥ λ∑ i=1 q−1∑ j=0 N [1](r, ν0(fi,gj))− q−1∑ j=0 1 kj T (r) + o(T (r)) ≥ λ∑ i=1 q N(N + 2) T (r, fi)− q−1∑ j=0 1 kj T (r) + o(T (r)) = ( q N(N + 2) − q−1∑ j=0 1 kj ) T (r) + o(T (r)). Cho r → +∞, ta được q−1∑ j=0 1 kj ≥ q N(N + 2) − dλ λ− l + 1 . Điều này mâu thuẫn. Vậy, họ {f1, · · · , fλ} là phụ thuộc đại số trên C, tức là, f1∧· · ·∧fλ = 0. Định lý đã được chứng minh.  Định lý 5.2.5. Giả sử f1, · · · , fλ : Cn → PN(C) là các ánh xạ phân hình khác hằng và {gj}q−1j=0 là các siêu phẳng di động trong PN(C) ở vị trí tổng quát thỏa mãn T (r, gj) = o(max1≤i≤λ T (r, fi)) (0 ≤ j ≤ q− 1). Cho kj (0 ≤ j ≤ q− 1) là các số nguyên dương hay +∞. Giả sử rằng (fi, gj) 6≡ 0 với 1 ≤ i ≤ λ, 0 ≤ j ≤ q − 1, và các điều kiện sau được thỏa mãn. i) min{1, ν0(f1,gj)≤kj} = · · · = min{1, ν0(fλ,gj)≤kj} với mỗi 0 ≤ j ≤ q − 1, ii) dim f1 −1(gj1) ∩ f1−1(gj2) ≤ n− 2 với mỗi 0 ≤ j1 < j2 ≤ q − 1, iii) tồn tại một số nguyên l, 2 ≤ l ≤ λ, sao cho với bất kỳ dãy tăng 1 ≤ i1 < · · · < il ≤ λ, fi1(z) ∧ · · · ∧ fil(z) = 0 với mỗi điểm z ∈ ⋃q−1 j=0 (f1, gj) −1(0). Giả sử rằng rankR{gj}f1 = · · · = rankR{gj}fλ = m + 1, với m là số nguyên dương. Nếu q−1∑ j=0 1 kj + 1−m < q m(2N −m+ 2) − λq q(λ− l + 1) + λ(m− 1)(∗), thì f1 ∧ · · · ∧ fλ ≡ 0. 77 Nhận xét: i) Với k0 = · · · = kq−1 = +∞ thì điều kiện (*) trở thành q > λ(2Nm−m 2 +m+ 1) λ− l + 1 . Ta thấy rằng bất đẳng thức trên thỏa mãn với q > λ(N2 +N + 1) λ− l + 1 vì vế phải của bất đẳng thức đạt cực đại tại m = N . Do đó, trong trường hợp d = 1 và k0 = · · · = kq−1 = +∞ thì kết quả của Định lý 5.2.5 tốt hơn kết quả của Định lý 5.2.1. ii) Với λ = l = 2 và k0 = · · · = kq−1 = +∞, ta chỉ ra rằng với f1, f2 thỏa mãn các điều kiện (i)− (iii) của Định lý 5.2.5 và q > N(N + 2) thì rankR{gj}f1 = rankR{gj}f2. Thật vậy, giả sử có a0, · · · , aN ∈ Rgj không đồng thời bằng không và thỏa ∑ 0≤i≤N aif1i ≡ 0. Đặt P = ∑ 0≤i≤N aif2i thì P ≡ 0 trên ∪1≤j≤q−1(f1, gj)−1{0}, vì nếu P 6≡ 0 thì Tf2(r) ≥ N(r, ν0P ) + o(Tf2(r)) ≥ q−1∑ j=0 N [1](r, ν0(f1,gj)) + o(Tf2(r)) = q−1∑ j=0 N [1](r, ν0(f2,gj)) + o(Tf2(r)) ≥ q N(N + 2) Tf2(r) + o(Tf2(r)) Cho r → +∞, ta được q ≤ N(N + 2) (mâu thuẫn). Vậy P ≡ 0, do đó rankR{gj}f1 ≥ rankR{gj}f2. Tương tự, ta cũng có rankR{gj}f1 ≤ rankR{gj}f2. Do đó rankR{gj}f1 = rankR{gj}f2. Từ Định lý 5.2.5 và các nhận xét trên, ta có Định lý duy nhất như sau. Hệ quả 5.2.6. Giả sử f1, f2 : Cn → PN(C) là các ánh xạ phân hình khác hằng và {gj}q−1j=0 là các siêu phẳng di động trong PN(C) ở vị trí tổng quát thỏa mãn T (r, gj) = o(max1≤i≤2 T (r, fi)) (0 ≤ j ≤ q−1). Giả sử rằng (fi, gj) 6≡ 0 với 1 ≤ i ≤ 2, 0 ≤ j ≤ q−1, và các điều kiện sau được thỏa mãn. i) min{1, ν0(f1,gj)} = min{1, ν0(f2,gj)} với mỗi 0 ≤ j ≤ q − 1, ii) dim f1 −1(gj1) ∩ f1−1(gj2) ≤ n− 2 với mỗi 0 ≤ j1 < j2 ≤ q − 1, iii) f1 = f2 trên ⋃q−1 j=0 Supp ν 0 (f1,gj) . 78 Nếu q > 2N2 + 2N + 2, thì f1 ≡ f2. Chứng minh Định lý 5.2.5 Ta chỉ cần chứng minh cho trường hợp λ ≤ N + 1. Tương tự trong [8], ta có khẳng định sau. Mệnh đề 5.2.7. Cho hi : Cn → PN(C) (1 ≤ i ≤ p ≤ N + 1) là các ánh xạ phân hình có biểu diễn rút gọn hi := (hi0 : · · · : hiN). Cho ai : Cn → PN(C)∗ (1 ≤ i ≤ N + 1) là các siêu phẳng di động có biểu diễn rút gọn ai := (ai0 : · · · : aiN). Đặt h˜i := ((hi, a1) : · · · : (hi, aN+1)) Giả sử rằng a1, · · · , aN+1 ở vị trí tổng quát sao cho (hi, aj) 6≡ 0 (1 ≤ i ≤ p, 1 ≤ j ≤ N + 1). Cho S là tập con giải tích thuần túy (n − 1) chiều của Cn sao cho S 6⊂ (a1 ∧ · · · ∧ aN+1)−1{0}. Thì h1 ∧ · · · ∧ hp = 0 trên S nếu và chỉ nếu h˜1 ∧ · · · ∧ h˜p = 0 trên S. Chứng minh. (⇒) Giả sử rằng {h˜1∧· · ·∧h˜p} 6≡ 0 trên S, thì tồn tại z0 ∈ S sao cho h˜1(z0)∧· · ·∧h˜p(z0) 6= 0. Điều này có nghĩa là họ {h˜1(z0), · · · , h˜p(z0)} là độc lập tuyến tính trên C, tức là ma trận sau sẽ có hạng là p A =  (h1, a1)(z0) · · · (hp, a1)(z0) ... ... ... (h1, aN+1)(z0) · · · (hp, aN+1)(z0)  =  a10(z0) · · · a1N(z0) ... ... ... aN+10(z0) · · · aN+1N(z0)  ·  h10(z0) · · · hp0(z0) ... ... ... h1N(z0) · · · hpN(z0)  . Do đó ma trận  h10(z0) · · · hp0(z0) ... ... ... h1N(z0) · · · hpN(z0)  có hạng là p, tức là, h1(z0) ∧ · · · ∧ hp(z0) 6= 0. Từ đó suy ra h1 ∧ · · · ∧ hp 6≡ 0 trên S. Điều này mâu thuẫn. 79 (⇐) Ta thấy rằng ma trận sau có hạng ≤ p− 1 với mỗi z ∈ S A =  (h1, a1)(z) · · · (hp, a1)(z) ... ... ... (h1, aN+1)(z) · · · (hp, aN+1)(z)  . Mặt khác, ta có A =  a10(z) · · · a1N(z) ... ... ... aN+10(z) · · · aN+1N(z)  ·  h10(z) · · · hp0(z) ... ... ... h1N(z) · · · hpN(z)  . Do họ {ai} ở vị trí tổng quát và S 6⊂ (a1 ∧ · · · ∧ aN+1)−1{0}, nên suy ra ma trận h10(z) · · · hp0(z) ... ... ... h1N(z) · · · hpN(z)  có hạng ≤ p− 1 với mỗi z ∈ S, tức là h1 ∧ · · · ∧ hp ≡ 0 trên S. Mệnh đề 5.2.7 đã được chứng minh.  Ta tiếp tục chứng minh Định lý 5.2.5. Giả sử rằng f1 ∧ · · · ∧ fλ 6≡ 0. Với λ chỉ số 0 = j0 < j1 < · · · < jλ−1 ≤ N sao cho ma trận  (f1, gj0) · · · (fλ, gj0) (f1, gj1) · · · (fλ, gj1) ... ... ... (f1, gjλ−1) · · · (fλ, gjλ−1)  không suy biến. Đặt J = {j0, · · · , jλ−1}, J c = {0, . . . , q − 1} \ J và BJ =  (f1, gj0) · · · (fλ, gj0) (f1, gj1) · · · (fλ, gj1) ... ... ... (f1, gjλ−1) · · · (fλ, gjλ−1)  . Ta chứng minh mệnh đề sau. 80 Mệnh đề 5.2.8. Nếu BJ là không suy biến, tức là detBJ 6≡ 0 thì∑ j∈J ( min 1≤i≤λ {ν0(fi,gj),≤kj} −min{1, ν0(f1,gj),≤kj}) + q−1∑ j=0 (λ− l + 1) min{1, ν0(f1,gj),≤kj} ≤ µf˜1∧···∧f˜λ trên tập Cn \ (A ∪ ⋃λi=1 I(fi) ∪ (gj0 ∧ · · · ∧ gjλ−1)−1(0)), trong đó f˜i := ((fi, gj0) : · · · : (fi, gjλ−1)) và A = ⋃ 0≤i<j≤q−1 Z(f1,gi) ∩ Z(f1,gj). Chứng minh. Thật vậy, đặt A := ⋃j∈J Z(f1,gj),Ac := ⋃j∈Jc Z(f1,gj). Ta xét hai trường hợp Trường hợp 1. Với z0 ∈ A \ (A ∪ ⋃λ i=1 I(fi) ∪ (gj0 ∧ · · · ∧ gjλ−1)−1(0)) là một điểm chính quy của A, thì z0 là một không điểm của một trong các hàm phân hình {(f1, gj)}j∈J . Không mất tính tổng quát, giả sử rằng z0 là không điểm của (f1, gj0). Cho S là một thành phần bất khả quy của A chứa z0. Giả sử rằng U là một lân cận mở của z0 trong Cn sao cho U ∩ {A \ S} = ∅. Chọn một hàm chỉnh hình h trên một lân cận mở U ′ ⊂ U của z0 sao cho νh(z) = min1≤i≤λ{ν0(fi,gj0 ),≤kj0 (z)} nếu z ∈ S và νh(z) = 0 nếu z 6∈ S. Khi đó (fi, gj0) = aih (1 ≤ i ≤ λ), với ai là các hàm chỉnh hình. Do đó, ma trận  (f1, gj1) · · · (fλ, gj1) ... ... ... (f1, gjλ−1) · · · (fλ, gjλ−1)  có hạng ≤ λ− 1. Vì vậy, tồn tại λ hàm chỉnh hình b1, · · · , bλ không đồng thời bằng không sao cho λ∑ i=1 bi · (fi, gjk) = 0 (1 ≤ k ≤ λ− 1). Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử tập các không điểm chung của {bi}λi=1 là một tập con giải tích có đối chiều ≥ 2. Khi đó tồn tại một chỉ số i1, 1 ≤ i1 ≤ λ, sao cho S 6⊂ b−1i1 {0}. Ta có thể giả sử rằng i1 = λ. Vậy với mỗi z ∈ (U ′ ∪ S) \ b−1λ {0}, ta có f˜1(z) ∧ · · · ∧ f˜λ(z) = f˜1(z) ∧ · · · ∧ f˜λ−1(z) ∧ ( f˜λ(z) + λ−1∑ i=1 bi bλ f˜i(z) ) = f˜1(z) ∧ · · · ∧ f˜λ−1(z) ∧ (V (z)h(z)) = h(z) · (f˜1(z) ∧ · · · ∧ f˜λ−1(z) ∧ V (z)), 81 trong đó V (z) := (aλ + ∑λ−1 i=1 bi bλ ai, 0, · · · , 0). Theo giả thiết và bởi Mệnh đề 5.2.7, với bất kỳ dãy tăng 1 ≤ i1 < · · · < il ≤ λ− 1, ta có f˜i1 ∧ · · · ∧ f˜il = 0 trên S. Từ đó suy ra họ {f˜1, · · · f˜λ−1, V } ở vị trí (l + 1) đặc biệt trên S. Theo Định lý cơ bản thứ hai cho vị trí tổng quát, ta có µf˜1∧···∧f˜λ−1∧V (z) ≥ λ− l,∀z ∈ S. Vì vậy µf˜1∧···∧f˜λ(z) ≥ νh(z) + λ− l = min1≤i≤λ{ν 0 (fi,gj0 ),≤kj0 (z)}+ λ− l, với mọi z ∈ (U ′ ∪ S) \ b−1i1 {0}. Từ đó suy ra∑ j∈J ( min 1≤i≤λ {ν0(fi,gj),≤kj(z0)} −min{1, ν0(f1,gj),≤kj(z0)}) + q−1∑ j=0 (λ− l + 1) min{1, ν0(f1,gj),≤kj(z0)} = min 1≤i≤λ {ν0(fi,gj0 ),≤kj0 (z0)}+ λ− l ≤ µf˜1∧···∧f˜λ(z0). Trường hợp 2. Với z0 ∈ Ac \ (A ∪ ⋃λ i=1 I(fi) ∪ (gj0 ∧ · · · ∧ gjλ−1)−1(0)) là một điểm chính quy của Ac, thì z0 là một không điểm của (f1, gj), j ∈ J c. Bởi giả thiết và theo Mệnh đề 5.2.7, họ {f˜1, · · · , f˜λ} ở vị trí l đặc biệt trên mỗi thành phần bất khả quy của Ac chứa z0. Theo Định lý cơ bản thứ hai cho vị trí tổng quát, ta có µf˜1∧···∧f˜λ(z0) ≥ λ− l + 1. Vì vậy ∑ j∈J ( min 1≤i≤λ {ν0(fi,gj),≤kj(z0)} −min{1, ν0(f1,gj),≤kj(z0)}) + q−1∑ j=0 (λ− l + 1) min{1, ν0(f1,gj),≤kj(z0)} = λ− l + 1 ≤ µf˜1∧···∧f˜λ(z0). Từ hai trường hợp trên, ta có được bất đẳng thức được nêu trong Mệnh đề 5.2.8.  82 Ta tiếp tục chứng minh Định lý 5.2.5. Với mỗi j, 0 ≤ j ≤ q − 1, ta đặt Nj(r) = λ∑ i=1 N [m] (fi,gj),≤kj(r)− ((λ− 1)m+ 1)N [1] (f1,gj),≤kj(r). Với mỗi hoán vị I = (j0, . . . , jq−1) của (0, . . . , q − 1), ta đặt TI = {r ∈ [1,+∞);Nj0(r) ≥ · · · ≥ Njq−1(r)}. Dễ thấy rằng ⋃ I TI = [1,+∞). Do đó, tồn tại một hoán vị, chẳng hạn đó là I0 = (0, . . . , q − 1), sao cho ∫ TI0 dr = +∞. Thì ta có N0(r) ≥ N1(r) ≥ · · · ≥ Nq−1(r) với mọi r ∈ TI0 . Bởi giả sử f1 ∧ · · · ∧ fλ 6≡ 0, nên tồn tại tập chỉ số J = {j0, · · · , jλ−1} với 0 = j0 < j1 < · · · < jλ−1 ≤ N sao cho detBJ 6≡ 0. Khi đó, ta có: N0(r) = Nj0(r) ≥ Nj1(r) ≥ · · · ≥ Njλ−1(r) ≥ NN(r), với mỗi r ∈ TI0 . Ta thấy rằng min1≤i≤λ ai ≥ ∑λ i=1 min{m, ai} − (λ − 1)m, với mỗi λ các số nguyên không âm a1, . . . , aλ. Từ Mệnh đề 5.2.8 suy ra∑ j∈J ( λ∑ i=1 min{m, ν0(fi,gj),≤kj} − ((λ− 1)m+ 1) min{1, ν0(f1,gj),≤kj} ) + q−1∑ j=0 (λ− l + 1) min{1, ν0(f1,gj),≤kj} ≤ µf˜1∧···∧f˜λ . trên tập Cn \ (A ∪⋃λi=1 I(fi) ∪ (gj0 ∧ · · · ∧ gjλ−1)−1(0)). Do vậy∑ j∈J ( λ∑ i=1 N [m](r, ν0(fi,gj),≤kj)− ((λ− 1)m+ 1)N [1](r, ν0(f1,gj),≤kj) ) + q−1∑ j=0 (λ− l + 1)N [1](r, ν0(f1,gj),≤kj) ≤ Nf˜1∧···∧f˜λ(r) = NdetBJ (r). (5.1) Theo công thức Jensen và áp dụng Định lý 5.1.2, ta có: NdetBJ (r) ≤ ∫ S(r) log| detBJ |σn +O(1) ≤ λ∑ i=1 T (r, fi) + o( max 1≤i≤λ T (r, fi)). (5.2) 83 Đặt T (r) = ∑λ i=1 T (r, fi). Kết hợp (5.1) và (5.2) và Định lý 5.1.4, thì với mọi r ∈ I0, ta có: || T (r) ≥ λ−1∑ i=0 Nji(r) + q−1∑ j=0 (λ− l + 1)N [1](r, ν0(f1,gj),≤kj) + o(T (r)) ≥ λ q q−1∑ j=0 Nj(r) + q−1∑ j=0 (λ− l + 1)N [1](r, ν0(f1,gj),≤kj) + o(T (r)) = q−1∑ j=0 λ q λ∑ i=1 N [m](r, ν0(fi,gj),≤kj) + q−1∑ j=0 ( λ− l + 1− λ((λ− 1)m+ 1) q ) ×N [1](r, ν0(f1,gj),≤kj) + o(T (r)) ≥ λ∑ i=1 q−1∑ j=0 ( λ q + λ− l + 1 λm − (λ− 1)m+ 1 mq ) N [m](r, ν0(fi,gj),≤kj) + o(T (r)) ≥ λ∑ i=1 q−1∑ j=0 q(λ− l + 1) + λ(m− 1) λmq ( N [m](r, ν0(fi,gj)) − m kj + 1−mT (r, fi) ) + o(T (r)) ≥ q(λ− l + 1) + λ(m− 1) λmq ( λ∑ i=1 q−1∑ j=0 N [m](r, ν0(fi,gj)) − q−1∑ j=0 m kj + 1−mT (r) ) + o(T (r)) ≥ q(λ− l + 1) + λ(m− 1) λmq ( q 2N −m+ 2 − q−1∑ j=0 m kj + 1−m ) T (r) + o(T (r)). Cho r −→ +∞, ta có 1 ≥ q(λ− l + 1) + λ(m− 1) λmq ( q (2N −m+ 2) − q−1∑ j=0 m kj + 1−m ) . Do đó q−1∑ j=0 1 kj + 1−m ≥ q m(2N −m+ 2) − λq q(λ− l + 1) + λ(m− 1) . Điều này là mâu thuẫn. Vậy, ta có f1 ∧ · · · ∧ fλ ≡ 0.  84 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Kết luận Luận án đã đạt được một số kết quả sau: 1. Các Định lý về sự phụ thuộc tựa phân tuyến tính của hai hàm phân hình có chung ảnh ngược đối với các cặp hàm nhỏ. 2. Các Định lý về sự phụ thuộc đại số của ba ánh xạ phân hình trùng nhau trên ảnh ngược của họ siêu phẳng cố định với bội bị ngắt trong trường hợp số siêu phẳng là ít và tập đồng nhất được thu nhỏ. 3. Định lý về sự suy biến đại số của ánh xạ tích của hai ánh xạ phân hình có chung ảnh ngược đối với (2N + 2) siêu phẳng di động với bội bị ngắt. 4. Các Định lý về sự phụ thuộc đại số của họ các ánh xạ phân hình trùng nhau trên ảnh ngược của họ siêu phẳng di động ở vị trí tổng quát không tính bội. Kiến nghị Từ quá trình nghiên cứu các vấn đề trong luận án, chúng tôi vẫn có những suy nghĩ về các hướng nghiên cứu tiếp theo như sau: • Nghiên cứu về vấn đề hữu hạn và suy biến tựa phân tuyến tính của hai hàm phân hình có chung ảnh ngược đối với bốn hàm phân hình nhỏ tương ứng hoặc có chung ảnh ngược đối với năm cặp hàm nhỏ tương ứng trong trường hợp giảm số bội chặn. • Cải tiến kết quả định lý cơ bản thứ hai và cải tiến kỹ thuật chứng minh để giảm số các siêu phẳng cố định hay các siêu phẳng di động tham gia trong các định lý suy biến cho các ánh xạ phân hình. Từ đó tiếp tục nghiên cứu và đưa ra những kết quả tốt hơn cho vấn đề hữu hạn và duy nhất của ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh phức. Với các vấn đề đặt ra như trên, chúng tôi chưa thu được nhiều kết quả và hi vọng rằng sẽ tiếp tục giải quyết được trong thời gian tới. 85 NHỮNG CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN [1] Si Duc Quang and Le Ngoc Quynh (2014), “Two meromorphic functions sharing some pairs of small functions regardless of multiplicities”, Inter. J. Math., 25(2), 1450014. [2] Si Duc Quang and Le Ngoc Quynh (2015), “Algebraic dependences of meromorphic mappings sharing few hyperplanes counting truncated multiplicity”, Kodai. Math. J., 38, p.97-118. [3] Si Duc Quang and Le Ngoc Quynh (2016), “Meromorphic mappings having the same inverse images of moving hyperplanes with truncated multiplicities”, Complex Var. El- liptic Equat., 61, p.1554-1565; arXiv:1302.1325v3 [math.CV]. [4] Le Ngoc Quynh (2015), “Algebraic dependences of meromorphic mappings sharing moving hyperplanes without counting multiplicity”, arXiv:1602.00191 [math.CV], đang gửi đăng. 86 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Y. Aihara (1998), “Finiteness theorem for meromorphic mappings”, Osaka J. Math., 35, p.593-616. [2] Z. Chen and Y. Li and Q. Yan (2007), “Uniqueness problem with truncated multi- plicities of meromorphic mappings for moving targets”, Acta Math. Sci. Ser. B Engl. Ed., 27, p.625-634. [3] Z. Chen and Q. Yan (2009), “Uniqueness theorem of meromorphic mappings into PN(C) sharing 2N + 3 hyperplanes regardless of multiplicities”, Internat. J. Math., 20, p.717-726. [4] T. Czubiak and G. Gundersen (1997), “Meromorphic functions that share pairs of values”, Complex Var. Elliptic Equ., 34, p.35-46. [5] G. Dethloff and S. D. Quang and T. V. Tan (2012), “A uniqueness theorem for meromorphic mappings with two families of hyperplanes”, Proc. Amer. Math. Soc, 140, p.189-197. [6] G. Dethloff and T. V. Tan (2006), “Uniqueness problem for meromorphic mappings with truncated multiplicities and moving targets”, Nagoya J. Math., 181, p.75-101. [7] G. Dethloff and T. V. Tan (2009), “Uniqueness theorems for meromorphic mappings with few hyperplanes”, Bulletin des Sciences Mathématiques, 133, p.501-514. [8] P. V. Duc and P. D. Thoan (2010), “Algebraic dependences of meromorphic mappings in several complex variables”, Ukrain. Math. J., 62, p.923-936. 87 [9] H. Fujimoto (1975), “The uniqueness problem of meromorphic maps into the complex projective space”, Nagoya Math. J., 58, p.1-23. [10] H. Fujimoto (1998), “Uniqueness problem with truncated multiplicities in value distribution theory”, Nagoya Math. J., 152, p.131-152. [11] H. Fujimoto (1999), “Uniqueness problem with truncated multiplicities in value distribution theory,II”, Nagoya Math. J., 155, p.161-188. [12] H. H. Giang (2016), “Multiple values and finiteness problem of meromorphic map- pings sharing different families of moving hyperplanes”, Bull. Math. Soc. Sci. Math. Roumanie, 59(107), p.245-257. [13] H. H. Giang and L. N. Quynh and S. D. Quang (2012), “Uniqueness theorems for meromorphic mappings sharing few hyperplanes”, J. Math. Anal. Appl., 393, p.445- 456. [14] G. Gundersen (1979), “Meromorphic functions that share three or four values”, J. London Math. Soc., 20, p.457-466. [15] P. H. Ha and S. D. Quang and D. D. Thai (2010), “Unicity theorems with truncated multiplicities of meromorphic mappings in several complex variables sharing small identical sets for moving target”, Internat. J. Math., 21, p.1095-1120. [16] P. C. Hu and P. Li and C. C. Yang (2003), “Unicity of meromorphic mappings”, Springer - Science + Business Media, B. V. [17] P. Li and C. C. Yang(1997), “On two meromorphic functions that share pairs of small functions”, Complex Var. Elliptic Equ., 32, p.177-190. [18] P. Li and C. C. Yang (2009), “Meromorphic functions that share some pair of small functions”, Kodai Math. J., 32, p.130-145. [19] R. Nevanlinna (1926), “Einige Eideutigkeitssa¨tze in der Theorie der meromorphen Funktionen”, Acta. Math., 48, p.367-391. [20] J. Noguchi (2005), “A note on entire pseudo holomorphic curves and the proof of Cartan-Nochka’s theorem”, Kodai Math. J., 28, p.336-346. 88 [21] J. Noguchi and T. Ochiai (1990), “Introduction to Geometric Function Theory in Several Complex Variables”, Trans. Math. Monogr. 80, Amer. Math. Soc., Providence, Rhode Island. [22] J. Noguchi and J. Winkelman (2014), “Nevanlinna theory in Several Complex Vari- ables and Diophantine Approximation”, Springer. [23] S. D. Quang (2011), “Unicity of meromorphic mappings sharing few hyperplanes”, Ann. Polon. Math., 102(3), p.255-270. [24] S. D. Quang (2012), “A finteness theorem for meromorphic mappings sharing few hyperplanes”, Kodai J. Math., 35, p.463-484. [25] S. D. Quang (2012), “Unicity of meromorphic functions sharing some small functions regardless of multiplicities”, Intern. J. Math., 23(9), 1250088, 18p. [26] S. D. Quang (2013), “Two mermorphic functions share some pairs of small func- tions”, Compl. Anal. Oper. Th., 7, p.1357-1370. [27] S. D. Quang (2013), “Algebraic dependences of meromorphic mappings sharing few moving hyperplanes”, Ann. Polon. Math., 108, p.61-73. [28] S. D. Quang and L. N. Quynh (2014), “Two meromorphic mappings sharing 2n+ 2 hyperplanes regardless of multiplicity”, J. Math. Anal. Appl., 410, p.771-782. [29] S. D. Quang (2016) , “Second main theorem for meromorphic mappings intersecting moving hyperplanes with truncated counting functions and unicity problem”, Abh. Math. Semin. Univ. Hambg., 86, p.1-18. [30] M. Ru (2001), “A uniqueness theorem with moving targets without counting mul- tiplicity”, Proc. Amer. Math. Soc., 129, p.2701-2707. [31] M. Ru and W. Stoll (1991), “The Second Main Theorem for moving targets”, J. Geom. Anal., p.99-138. [32] M. Ru and J. Wang (2004), “Truncated second main theorem with moving targets”, Trans. Amer. Math. Soc., 356, p.557-571. 89 [33] M. Shirosaki (1991), “Another proof of the defect relation for moving targets”, To- hoku Math. J, 43, p.355-360. [34] L. Smiley (1983), “Geometric conditions for unicity of holomorphic curves”, Con- temp. Math., 25, p.149-154. [35] W. Stoll (1989), “On the propagation of dependences”, Pacific J. Math., 139, p.311- 337. [36] D. D. Thai and S. D. Quang (2005), “Uniqueness problem with truncated multi- plicities of meromorphic mappings in several complex variables for moving target”, Internat. J. Math., 16, p.903-939. [37] D. D. Thai and S. D. Quang (2006), “Uniqueness problem with truncated multiplic- ities of meromorphic mappings in several complex variables”, Internat. J. Math., 17, p.1223-1257. [38] D. D. Thai and S. D. Quang (2008), “Second main theorem with truncated counting function in several complex variables for moving targets”, Forum Mathematicum, 20, p.145-179. [39] P. D. Thoan and P. V. Duc and S. D. Quang (2013), “Algebraic dependence and unicity problem with a truncation level to 1 of meromorphic mappings sharing moving targets”, Bull. Math. Soc. Sci. Math. Roumanie, 56(104), p.513-526 [40] B. K. Trinh and S. D. Quang and T. V. Tan (2008), “A uniqueness theorem for meromorphic mappings with small set of identity”, Kodai Math. J., 31, p.404-413. [41] Z. H. Tu (2002), “Uniqueness problem of meromorphic mappings in several complex variables for moving targets”, Tohoku Math. J., 54, p.567-579. [42] K. Yamamoi (2004), “The second main theorem for small functions and related problems”, Acta Math., 192, p.225-294. 90