Luận án Một số định lí cơ bản thứ hai và sự phụ thuộc đại số của ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh phức với mục tiêu di động

hứ hai cho các mục tiêu cố định [37]). Cho (M, τ) là một đa tạp parabolic chấp nhận được m-chiều. Cho f :M → Pn(C) là một ánh xạ phân hình không suy biến tuyến tính trên C và {Hj}qj=1 là một họ các siêu phẳng của Pn(C) ở vị trí tổng quát. Khi đó, với r > s0 > 0, ta có∣∣∣∣∣∣(q−n−1)Tf (r, s0) ≤ q∑ j=1 N [n] Hj(f) (r)+c[log+Tf (r, s0)+Ricτ (r, s0)+log +Y (r)+log+r]. Định lí 3.1.5 (Định lí cơ bản thứ nhất cho vị trí tổng quát [39]). Cho fi : M → Pn(C), 1 ≤ i ≤ k là các ánh xạ phân hình ở vị trí tổng quát. Giả sử rằng 1 ≤ k ≤ n. Khi đó Nµf1∧···∧fλ (r) +m(r, f1 ∧ · · · ∧ fλ) ≤ ∑ 1≤i≤λ Tfi(r, s0) +O(1). 61 Ở đây, µf1∧···∧fλ là kí hiệu divisor liên kết với f1 ∧ · · · ∧ fλ. Định lí 3.1.6 (Định lí cơ bản thứ hai cho vị trí tổng quát [39, Định lí 2.1, trang 320]). Cho M là một đa tạp phức m-chiều liên thông. Cho A là một tập con giải tích thực sự (m− 1)-chiều của M. Cho V là một không gian véc tơ phức có số chiều là n+ 1 > 1. Lấy p và k là các số nguyên với 1 ≤ p ≤ k ≤ n+ 1. Cho fi :M → P (V ), 1 ≤ i ≤ k, là các ánh xạ phân hình. Giả sử rằng f1, . . . , fk ở vị trí tổng quát. Ta cũng giả sử f1, . . . , fk ở vị trí p-đặc biệt trên A. Khi đó, ta có µf1∧···∧fk ≥ (k − p+ 1)νA. 3.2 Định lí cơ bản thứ hai cho ánh xạ phân hình trên đa tạp parabolic giao với các siêu phẳng di động Trong mục này, với mỗi ánh xạ phân hình f từ một đa tạp parabolic chấp nhận được M vào không gian xạ ảnh Pn(C), ta cố định một phủ mở {Uλ}λ∈Λ của M và với mỗi λ ∈ Λ, cố định một biểu diễn rút gọn fλ = (f0λ, . . . , fnλ). Khi đó, tồn tại hàm chỉnh hình khác không hλµ trên Uλ ∩ Uµ ̸= ∅ sao cho fλ = hλµfµ. Ta thấy rằng họ hλµ thỏa mãn điều kiện đối chu trình, do đó nó xác định một phân thớ đường thẳng chỉnh hình Hf với một họ tầm thường hóa địa phương Uλ, sλ thỏa mãn sλ = hµλsµ trên Uλ ∩ Uµ ̸= ∅. Cho g : M → Pn(C)∗ là một ánh xạ phân hình với biểu diễn rút gọn gλ = ( g0λ, . . . ,gnλ). Cũng như trên, g xác định một phân thớ đường thẳng chỉnh hình Hg với một họ tầm thường hóa địa phương Uλ, vλ. Ta thấy (fλ,gλ)(sλ ⊗ vλ) = (fµ,gµ)(sµ ⊗ vµ). Ta kí hiệu (f, g) là lát cắt phân hình của Hf ⊗Hg trên M cho bởi (f, g)|Uλ = (fλ,gλ)(sλ ⊗ vλ). 62 Ta kí hiệu ν(f,g) là divisor của lát cắt (f, g) và kí hiệu hàm đếm của nó là N [L] (f,g) (r), trong đó L là một số nguyên dương hoặc bằng +∞. Tương tự, ta định nghĩa lát cắt phân hình (f, g˜) của Hf trên M bởi (f, g˜)|Uλ = (fλ, g˜|Uλ)(sλ). Với các kí hiệu và định nghĩa ở trên, ta có bổ đề sau đây. Bổ đề 3.2.1. Cho (M, τ) là một đa tạp parabolic m-chiều chấp nhận được với một hàm trội Y (r). Cho f : M → Pn(C) là một ánh xạ phân hình khác hằng sao cho Ricτ = o(Tf (r, s0)) và logY (r) = o(Tf (r, s0)) khi r → ∞. Cho {gi}q−1i=0 (q ≥ n + 1) là q ánh xạ phân hình của M vào Pn(C)∗ ở vị trí tổng quát, Ai = Supp νf,gi. Giả sử rằng dim(Ai ∩ Aj) ≤ m − 2 với i ̸= j. Giả sử tồn tại một phân hoạch {0, . . . , q − 1} = I1 ∪ I2 · · · ∪ Il thỏa mãn: (i) {(f, g˜i)}i∈I1 là phụ thuộc tối tiểu trên R, và {(f, g˜i)}i∈It là độc lập tuyến tính trên R (2 ≤ t ≤ l), (ii) Với mọi 2 ≤ i ≤ l, j ∈ Ii, tồn tại các hàm phân hình cj ∈ R \ {0} sao cho ∑ j∈Ii cj(f, g˜j) ∈ ( i−1⋃ k=1 ⋃ j∈Ik (f, g˜j) ) R . Khi đó, ta có Tf (r, s0) ≤ q−1∑ i=0 N [n0] (f,gi) (r) + o(Tf (r, s0)) +O( max 0≤i≤q−1 Tgi(r, s0)), trong đó n0 = max{n1, . . . , nt} với n1 = ♯I1 − 2 và nt = ♯It − 1 với t = 2, ..., l. Chứng minh. Không mất tính tổng quát, ta giả sử rằng Ii = {ti−1+1, . . . , ti} (1 ≤ i ≤ l), với t0 = −1. Theo tính phụ thuộc tối tiểu trên R của các tập {(f, g˜i)}i∈I1, thì tồn tại các hàm ci ∈ R \ {0} (1 ≤ i ≤ t1) sao cho (f, g˜0) = t1∑ i=1 ci(f, g˜i). Nếu ♯I1 > 2, ta xét ánh xạ phân hình F 1 : M → P♯I1−2(C) cho bởi các biểu diễn rút gọn địa phương F1λ = (h 1 λc1(fλ, g˜1), . . . , h 1 λct1(fλ, g˜t1)) 63 trên Uλ, trong đó hiλ là các hàm phân hình khác không trên Uλ. Dễ thấy rằng F 1 là không suy biến tuyến tính trên C. Lấy gλi = (gλi0, . . . , gλin), (1 ≤ i ≤ q) là biểu diễn rút gọn địa phương của gi trên Uλ. Theo giả thiết dim(Ai∩Aj) ≤ m− 2 với mọi i ̸= j, ν0h1λ ≤ t1∑ i=1 ν0gλi0 + t1∑ i=1 ν∞ci và ν ∞ h1λ ≤ t1∑ i=1 ν0ci . (3.1) Kí hiệu H1j là dạng tuyến tính của các biến x0, . . . , xt1−1 cho bởi H 1 j = xj−1 và kí hiệu H10 là dạng tuyến tính cho bởi H 1 0 = x1 + · · ·+ xt1. Rõ ràng, H10 , H11 , . . . , H1t1 là ở vị trí tổng quát. Theo Định lí cơ bản thứ hai cho mục tiêu cố định (Định lí 3.1.4), ta có TF 1(r, s0) ≤ t1∑ j=1 N [t1−1] H1j (F 1) (r) +N [t1−1] H10 (F 1) (r) + C1[log +TF 1(r, s0) +Ricτ (r, s0) + log +Y (r) + log+r], (3.2) trong đó C1 là một hằng số độc lập với f và có thể chọn chung cho mọi F i. Nếu ♯I1 = 2, ta xét ánh xạ phân hình F 1 : M → P1(C) cho bởi biểu diễn rút gọn địa phương F1λ = (h 1 λ(f, g˜1), h 1 λc1(f, g˜2)) trên Uλ, với h1λ là một hàm phân hình khác không trên Uλ. Như vậy, F 1 là một ánh xạ hằng. Định nghĩa H10 , H 1 1 và H 1 2 như ở trên. Ta có TF 1(r, s0) = 0 ≤ N [1]H10 (F 1)(r) +N [1] H11 (F 1) (r) +N [1] H12 (F 1) (r). (3.3) Từ (3.2) và (3.3), ta có TF 1(r, s0) ≤ t1∑ i=1 N [n0] H1i (F 1) (r) +N [n0] H10 (F 1) (r) + C1[log +TF 1(r, s0) +Ricτ (r, s0) + log +Y (r) + log+r], (3.4) trong đó, t1− 1 ≤ n0. Với mỗi i (2 ≤ i ≤ l), theo giả thiết (ii), tồn tại một lát cắt Pi ∈ (⋃ti−1 j=1(f, g˜j) ) R sao cho Pi = ti∑ j=ti−1+1 cj(f, g˜j). 64 Ta xét ánh xạ phân hình F i :M → P♯Ii−1 với biểu diễn rút gọn địa phương trên Uλ Fiλ = (h i λcti−1+1(fλ, g˜ti−1+1), . . . , h i λcti(fλ, g˜ti)) nếu ♯Ii > 1, và Fiλ = (h i λPi, h i λcti(f, g˜ti)) nếu ♯Ii = 1 trong đó hiλ là một hàm phân hình trên Uλ. Tương tự như trên, ta có các ước lượng tương tự (3.1) và (3.2) như sau ν0hiλ ≤ ti∑ j=ti−1+1 ν0gλj0 + ti∑ j=ti−1+1 ν∞cij and ν ∞ hiλ ≤ ti∑ j=ti−1+1 ν0cij , (3.5) và TF i(r, s0) ≤ ti∑ j=ti−1+1 N [n0] H1i (F 1) (r) +N [n0] Hi0(F 1) (r) + C1[log +TF i(r, s0) +Ricτ (r, s0) + log +Y (r) + log+r]. Áp dụng Định lí cơ bản thứ nhất cho các siêu phẳng cố định (Định lí 3.1.3), từ bất đẳng thức trên, ta có mF i(r,H i 0) ≤ ti∑ j=ti−1+1 N [n0] Hij(F 1) (r) + C1[max 1≤i≤l log+TF i(r, s0) +Ricτ (r, s0) + log +Y (r) + log+r]. (3.6) Từ (3.4) và (3.6), ta được TF 1(r, s0) + l∑ i=2 mF i(r,H i 0) ≤ N [n0]H10 (F 1) + tl∑ i=1 ti∑ j=ti−1+1 N [n0] Hij(F 1) (r) + lC1[max 1≤i≤l log+TF i(r, s0) +Ricτ (r, s0) + log +Y (r) + log+r]. (3.7) Với mỗi 1 ≤ i ≤ l, j ∈ Ii, Từ (3.1) và (3.5), ta suy ra N [n0] Hij(F i) (r) ≤ N [n0] (f,gj) (r) +O( max 0≤j≤q−1 Tgj(r, s0)), (3.8) trong đó số hạng cuối không phụ thuộc vào f . Khi đó, Từ (3.3) và (3.8), ta được max 1≤i≤l TF i(r, s0) ≤ C2[Tf (r, s0) +Ricτ (r, s0) + log+Y (r) + log+r], (3.9) 65 ở đó C2 là một hằng số dương không phụ thuộc vào f . Xét ánh xạ phân hình F :M → Ptl(C) với biểu diễn rút gọn Fλ = (F0λ, . . . ,Ftlλ) trên mỗi Uλ với Fjλ = hλcj(fλ, g˜j) (0 ≤ j ≤ tl), trong đó hλ là một hàm phân hình trên Uλ và c0 = 1 với ν0hλ ≤ tl∑ i=1 ν0gλi0 + l∑ j=0 ν∞cj . Ta chứng minh bất đẳng thức sau. TF 1(r, s0) + l∑ i=2 mF i(r,H i 0) ≥ TF (r, s0) +O( max 0≤j≤q−1 Tgj(r, s0)). (3.10) Thật vậy, với mỗi i (2 ≤ i ≤ l), tồn tại một hàm bi ∈ R sao cho ∥Hi0(Fλ)∥2 ≤ bi · ti∑ j=0 |hiλcj(fλ, g˜j)|2. Từ đó, theo tính chất của log+, ta có l∑ i=2 log ∥Fiλ∥ · ∥Hi0∥ |Hi0(Fλ)| = l∑ i=2 log+ ∥Fiλ∥ |Hi0(Fλ)| +O(1) ≥ 1 2 l∑ i=2 log+ ∥Fiλ∥2 bi · ∑ti j=0 |hiλcj(fλ, g˜j)|2 +O(1) ≥ 1 2 l∑ i=2 log+ ∥Fiλ∥2∑ti j=0 |hiλcj(fλ, g˜j)|2 − 1 2 l∑ i=2 log+ 1 bi +O(1) = 1 2 l∑ i=2 log ( 1 + ∥Fiλ∥2∑ti j=0 |hiλcj(fλ, g˜j)|2 ) − 1 2 k∑ i=2 log+ 1 bi +O(1) = 1 2 l∑ i=2 log (∑ti+1 j=0 |cj(fλ, g˜j)|2∑ti j=0 |cj(fλ, g˜j)|2 ) − 1 2 l∑ i=2 log+ 1 bi +O(1) = 1 2 log (∑tl j=0 |cj(fλ, g˜j)|2∑t1 j=0 |cj(fλ, g˜j)|2 ) − 1 2 l∑ i=2 log+ 1 bi +O(1) = log ∥Fλ∥/|hλ| ∥F1λ∥/|h1λ| − 1 2 l∑ i=2 log+ 1 bi +O(1), ở đây O(1) chỉ phụ thuộc vào t1, . . . , tl. 66 Từ bất đẳng thức trên, suy ra k∑ i=2 mF i(r,H i 0) ≥ ∫ M⟨r⟩ log ∥Fλ∥/|hλ| ∥F1λ∥/|h1λ| +O( max 0≤j≤q−1 Tgj(r, s0)). (3.11) Ta đặt ΓF 1 = ∥F1λ∥ · ∥sλ∥κ |h1λ| trên Uλ, trong đó ∥.∥κ là một metric Hermit trên các thớ của Hf . Như thế ΓF 1 được xác định. Ta có phương trình ddclogΓF 1 = dd clog∥F1λ∥+ ddclog∥sλ∥κ − νh1λ = (F 1)∗ΩFS − c1(Hf , κ)− νh1λ , trong đó Ω là dạng Fubini-Study, c1(Hf , κ) là dạng Chern của phân thớ đường thẳng Hermit (Hf , κ). Ở đây, ta thấy rằng các hàm {h1λ} xác định một divisor trên M , kí hiệu là νh1. Từ đây, theo công thức Green (xem trong [37]), ta có TF 1(r, s0) = r∫ s0 dt t2m−1 ∫ M [t] c1(Hf , κ) ∧ vm−1 + ∫ M⟨r⟩ logΓF 0σ − ∫ M(s0) logΓF 0σ −N(r, νh1). Từ (3.1) ta có N(r, νh1) = O( max 0≤i≤q−1 Tgi(r, s0)). Đặt T (Hf , r, s0) = r∫ s0 dt t2m−1 ∫ M [t] c1(Hf , κ) ∧ vm−1, ta được TF 1(r, s0) = T (Hf , r, s0) + ∫ M⟨r⟩ logΓF 0σ +O( max 0≤i≤q−1 Tgi(r, s0)). (3.12) Đặt ΓF = ∥Fλ∥ · ∥sλ∥κ |hλ| , lập luận tương tự như ở trên, ta có TF (r, s0) = T (Hf , r, s0) + ∫ M⟨r⟩ logΓFσ +O( max 0≤i≤q−1 Tgi(r, s0)). (3.13) Kết hợp (3.11), (3.12) và (3.13), ta thu được bất đẳng thức (3.10). 67 Từ (3.7), (3.9) và (3.10), ta có∣∣∣∣∣∣Tf (r, s0) ≤ tl∑ j=0 N [n0] (f,gj) (r) + C2[log +Tf (r, s0) +Ricτ (r, s0) + log+Y (r) + log+r + max 0≤j≤q−1 Tgj(r, s0)], (3.14) trong đó C2 là một hằng số dương không phụ thuộc vào f . Bây giờ ta so sánh TF (r, s0) với Tf (r, s0). Đặt Γf = ∥fλ∥ · ∥sλ∥κ. Tương tự như ở trên, ta có Tf (r, s0) = T (Hf , r, s0) + ∫ M⟨r⟩ logΓfσ +O(1). Từ giả thiết, ta thấy {g˜j}tlj=0 là ở vị trí tổng quát và tl ≥ n. Do đó, tồn tại một hàm khác không C3 ∈ R, không phụ thuộc vào f , thỏa mãn c3∥fλ∥ ≤ ∥Fλ∥/|hλ| với mọi λ ∈ Λ. Do đó∫ M⟨r⟩ logΓFσ − ∫ M⟨r⟩ logΓfσ ≥ ∫ M⟨r⟩ logC3σ. Từ đây, ta suy ra TF (r, s0) ≥ Tf (r, s0) +O( max 0≤j≤q−1 Tgj(r, s0)), trong đó số hạng cuối không phụ thuộc vào f . Kết hợp đánh giá này và (3.14), ta thấy rằng, tồn tại một hằng số dương C không phụ thuộc vào f sao cho∣∣∣∣∣∣Tf (r, s0) ≤ tl∑ i=0 N [n0] (f,gi) (r) + C[log+Tf (r, s0) +Ricτ (r, s0) + log+Y (r) + log+r + max 0≤j≤q−1 Tgj(r, s0)]. Do đó, ta có∣∣∣∣∣∣Tf (r, s0) ≤ q−1∑ i=0 N [n0] (f,gi) (r) + o(Tf (r, s0)) +O( max 0≤j≤q−1 Tgj(r, s0)). Bổ đề được chứng minh. Áp dụng bổ đề trên, chúng tôi chứng minh được Định lí cơ bản thứ hai sau đây cho ánh xạ phân hình trên đa tạp parabolic. 68 Định lí 3.2.2. Cho M là một đa tạp parabolic chấp nhận được m-chiều với hàm vét cạn parabolic τ và hàm trội Y (r). Cho s0 là số dương cố định. Cho f : M → Pn(C) là một ánh xạ phân hình khác hằng sao cho Ricτ (r, s0) = o(Tf (r, s0)) và logY (r) = o(Tf (r, s0)) khi r →∞. Cho g1, . . . , gq :M → Pn(C)∗ là các ánh xạ phân hình ở vị trí tổng quát với q ≥ 2n− k + 2, trong đó rankR{gj}(f) = k + 1. Giả sử rằng (f, gj) ̸≡ 0 với mọi 1 ≤ j ≤ q và dim(Supp ν0(f,gi) ∩ Supp ν0(f,gj)) ≤ m − 2 với 1 ≤ i < j ≤ q. Khi đó, các khẳng định sau là đúng: (a) ∣∣∣∣∣∣ q − (n− k) n+ 2 Tf (r, s0) ≤ q∑ i=1 N [k] (f,gi) (r, s0)+ o(Tf (r, s0))+O( max 1≤i≤q Tgi(r, s0)), (b) ∣∣∣∣∣∣ q − 2(n− k) k(k + 2) Tf (r, s0) ≤ q∑ i=1 N [1] (f,gi) (r, s0)+o(Tf (r, s0))+O( max 1≤i≤q Tgi(r, s0)). Chứng minh. Kí hiệu I là tập hợp tất cả các hoán vị của (1, . . . , q). Với mỗi phần tử I = (i1, . . . , iq) ∈ I, ta đặt NI = {r ∈ R+;N [k](f,gi1)(r) ≤ · · · ≤ N [k] (f,giq ) (r)}, MI = {r ∈ R+;N [1](f,gi1)(r) ≤ · · · ≤ N [1] (f,giq ) (r)}. Ta xét một phần tử I = (i1, . . . , iq) của I. Ta sẽ xây dựng các tập con It của tập A1 = {1, . . . , 2n− k + 2} như sau. Chọn một tập con tối tiểu I1 của A thỏa mãn {(f, g˜ij)}j∈I1 là phụ thuộc tối tiểu trên R. Nếu rankR{(f, g˜ij)}j∈I1 = k+1 thì quá trình dừng lại. Mặt khác, đặt I ′1 = {i; (f, g˜i) ∈ ({(f, g˜ij)}j∈I1)} và A2 = A1\(I1∪I ′1). Ta có ♯I1 ∪ I ′1 ≤ n+ 1. Xét hai trường hợp sau đây: Trường hợp 1 : ♯A2 ≥ n+ 1. Từ {g˜ij}j∈A2 là ở vị trí tổng quát,( (f, g˜ij); j ∈ A2 ) R = (f0, . . . , fn)R ⊃ ( (f, g˜ij); j ∈ I1 ) R ̸≡ 0. Trường hợp 2 : ♯A2 < n+ 1. Khi đó, ta có dimR ( (f, g˜ij); j ∈ I1 ) R ≥ k + 1− (n+ 1− ♯I1 ∪ I ′1) = k − n+ ♯I1 ∪ I ′1 và dimR ( (f, g˜ij); j ∈ A2 ) R ≥ k + 1− (n+ 1− ♯A2) = k − n+ ♯A2. 69 Ta thấy ♯I1 ∪ I ′1 + ♯A2 = 2n− k + 2. Từ hai bất đẳng thức trên, suy ra dimR (( (f, g˜ij); j ∈ I1 ) R∩ ( (f, g˜ij); j ∈ A2 ) R ) ≥ dimR ( (f, g˜ij); j ∈ I1 ∪ I ′1 ) R + dimR ( (f, g˜ij); j ∈ A2 ) R − (k + 1) = k − n+ ♯I1 ∪ I ′1 + k − n+ ♯A2 − (k + 1) = 1. Do đó, từ hai trường hợp trên, ta có( (f, g˜ij); j ∈ I1 ) R∩ ( (f, g˜ij); j ∈ A2 ) R ̸= {0}. Từ đó, ta có thể chọn một tập con tối tiểu I2 ⊂ A2 thỏa mãn rằng tồn tại các hàm chỉnh hình khác không ci ∈ R (i ∈ I2),∑ i∈I2 ci(f, g˜i) ∈ (⋃ i∈I1 (f, g˜i) ) R . Ta thấy rằng ♯I2 ≥ 2. Theo tính tối tiểu của tập I2, họ {(f, g˜ij)}j∈I2 là độc lập tuyến tính trên R. Do đó, ♯I2 ≤ k + 1 và ♯(I2 ∪ I2) ≤ min{2n− k + 2, n+ k + 1}. Đến đây, ta sẽ chứng minh rằng dim (( (f, g˜ij); j ∈ I1 ) R∩ ( (f, g˜ij); j ∈ A2 ) R ) = 1. Thật vậy, nếu tồn tại hai vector độc lập tuyến tính x, y ∈ ((f, g˜ij); j ∈ I1)R∩((f, g˜ij); j ∈ I2)R, với x = ∑ i∈I2 xi(f, g˜i) ∈ ( (f, g˜ij); j ∈ I1 ) R, y = ∑ i∈I2 yi(f, g˜i) ∈ ( (f, g˜ij); j ∈ I1 ) R, trong đó xi, yi ∈ R, thì từ tính tối tiểu của tập I2, các hàm xi, yi là khác không. Khi đó, cố định i0 ∈ I2, ta có∑ i∈I2 i ̸=i0 (y0xi − x0yi)(f, g˜i) ∈ ( (f, g˜ij); j ∈ I1 ) R. 70 Do x, y là độc lập tuyến tính nên vế trái của khẳng định trên là khác không. Điều này mâu thuẫn với tính cực tiểu của I2. Do đó dim (( (f, g˜ij); j ∈ I1 ) R∩ ( (f, g˜ij); j ∈ I2 ) R ) = 1. Mặt khác, ta sẽ chỉ ra rằng ♯I1 ∪ I2 ≤ n+2. Nếu rankR{(f, g˜ij)}j∈I1∪I2 = k+1 thì quá trình dừng lại. Ngược lại, bằng cách lặp lại chứng minh trên, ta có một tập con I ′2 = {i; (f, g˜i) ∈ ({(f, g˜ij)}j∈I1∪I2)}, một tập con I3 của A3 = A1 \ (I1∪ I2∪ I ′2), thỏa mãn các khẳng định sau: • tồn tại các hàm phân hình khác không ci ∈ R (i ∈ I3) sao cho∑ i∈I3 ci(f, g˜i) ∈ ( ⋃ i∈I1∪I2 (f, g˜i) ) R , • {(f, g˜ij)}j∈I3 là độc lập tuyến tính trên R, • 2 ≤ ♯I3 ≤ k + 1 và ♯(I1 ∪ · · · ∪ I3) ≤ min{2n− k + 2, n+ k + 1}, • dim (( (f, g˜ij); j ∈ I1 ∪ I2 ) R∩ ( (f, g˜ij); j ∈ I3 ) R ) = 1. Bằng phương pháp này, ta có thể xây dựng các tập con I1, . . . , Il thỏa mãn: (1) {(f, g˜ij)}j∈I1 là phụ thuộc tối tiểu trên R, ♯It ≥ 2 và {(f, g˜ij)}j∈It là độc lập tuyến tính trên R (2 ≤ t ≤ l), (2) với mọi 2 ≤ t ≤ l, j ∈ It, tồn tại các hàm phân hình cj ∈ R \ {0} sao cho ∑ j∈It cj(f, g˜ij) ∈ (t−1⋃ s=1 ⋃ j∈Is (f, g˜ij) ) R , và dim (( (f, g˜ij); j ∈ I1 ∪ · · · ∪ It−1 ) R∩ ( (f, g˜ij); j ∈ It ) R ) = 1, (3) rankR{(f, g˜ij)}j∈I1∪···∪Il = k + 1. Nếu ♯I1 = 2 thì ta sẽ bỏ đi một phần tử từ I1 và kết hợp phần tử còn lại với I2 để được một tập I1 mới. Như vậy, ta có thể giả sử rằng ♯I1 ≥ 3, ♯It ≥ 2 (2 ≤ t ≤ l). 71 Đặt n1 = ♯I1 − 2, ns = ♯Is − 1 (2 ≤ s ≤ l), n0 = max1≤s≤l ns, J = I1 ∪ · · · ∪ Il và d+ 2 = ♯J . Dễ thấy rằng (n1 + 2) + (n2 + 1) + · · ·+ (nl + 1) = d+ 2, (n1 + 1) + n2 + · · ·+ nl = k + 1. Từ việc hạng của tập hợp bất kỳ n+ 1 hàm (f, g˜i) là bằng k + 1, ta có (n+ 1)− ♯(I1 ∪ · · · ∪ Il−1) ≥ (k + 1)− rank{(f, g˜i); i ∈ I1 ∪ · · · ∪ Il−1}, tức là, (n+1)−(n1+2)−(n2+1)−· · ·−(nl−1+1) ≥ (k+1)−(n1+1)−n2−· · ·−nl−1. Từ đó, suy ra d+ 2 ≤ n+ 2. Mặt khác, ta thấy k + 1 + l = d+ 2, do vậy ns = k − l∑ i=1 i ̸=s ni ≤ k − (l − 1) ≤ k(k + 2) k + l + 1 = k(k + 2) d+ 2 . Do đó n0 ≤ k(k + 2) d+ 2 . Họ các tập con I1, . . . , Il thỏa mãn các giả thiết của Bổ đề 3.2.1. Như vậy, ta có∣∣∣∣∣∣Tf (r, s0) ≤ ∑ j∈J N [n0] (f,gj) + o(Tf (r, s0)) +O( max 1≤i≤q Tgi(r, s0)). (3.15) (a) Với mọi r ∈ NI , từ (3.15), ta có∣∣∣∣∣∣Tf (r, s0) ≤ ∑ j∈J N [k] (f,gj) (r) + o(Tf (r, s0)) +O( max 1≤i≤q Tgi(r, s0)) ≤ ♯J q − (2n− k + 2) + ♯J (∑ j∈J N [k] (f,gij ) (r) + q∑ j=2n−k+3 N [k] (f,gij ) (r) ) + o(Tf (r, s0)) +O( max 1≤i≤q Tgi(r, s0)). Do ♯J = d+ 2 ≤ n+ 2, từ bất đẳng thức trên, ta suy ra rằng với r ∈ NI ta có∣∣∣∣∣∣Tf (r, s0) ≤ n+ 2 q − (n− k) q∑ i=1 N [k] (f,gi) (r) + o(Tf (r, s0)) +O( max 1≤i≤q Tgi(r, s0)). (3.16) 72 Ta thấy ⋃ I∈I NI = R+ và bất đẳng thức (3.16) đúng với mọi r ∈ NI , I ∈ I. Từ đây, ta suy ra∣∣∣∣∣∣Tf (r, s0) ≤ n+ 2 q − (n− k) q∑ i=1 N [k] (f,gi) (r) + o(Tf (r, s0)) +O( max 1≤i≤q Tgi(r, s0)), tức là,∣∣∣∣∣∣q − (n− k) n+ 2 Tf (r, s0) ≤ q∑ i=1 N [k] (f,gi) (r) + o(Tf (r, s0)) +O( max 1≤i≤q Tgi(r, s0)). Khẳng định (a) của định lí được chứng minh. (b) Ta lặp lại chứng minh tương tự như trong chứng minh của khẳng định (a) ở trên. Với mọi r ∈MI , ta có ∣∣∣∣∣∣Tf (r, s0) ≤ ∑ j∈J N [n0] (f,gj) + o(Tf (r, s0)) +O( max 1≤i≤q Tgi(r, s0)) ≤ ∑ j∈J n0N [1] (f,gj) + o(Tf (r, s0)) +O( max 1≤i≤q Tgi(r, s0)) ≤ n0 · d+ 2 q − (2n− k + 2) + d+ 2 (∑ j∈J N [1] (f,gij ) (r) + q∑ j=2n−k+3 N [1] (f,gij ) (r) ) + o(Tf (r, s0)) +O( max 1≤i≤q Tgi(r, s0)) ≤ k(k + 2) q − (2n− k + 2) + d+ 2 q∑ i=1 N [1] (f,gi) (r) + o(Tf (r, s0)) +O( max 1≤i≤q Tgi(r, s0)) ≤ k(k + 2) q − 2(n− k) q∑ i=1 N [1] (f,gi) (r) + o(Tf (r, s0)) +O( max 1≤i≤q Tgi(r, s0)). Ta thấy bất đẳng thức trên đúng với mọi r ∈ R+ nằm ngoài một tập có độ đo Borel hữu hạn. Như vậy khẳng định (b) của Định lí 3.2.2 được chứng minh. 3.3 Sự phụ thuộc đại số của các ánh xạ phân hình trên đa tạp parabolic có chung ảnh ngược của các siêu phẳng di động Trong mục này, chúng tôi sẽ chứng minh định lí về sự phụ thuộc đại số của các ánh xạ phân hình từ đa tạp parabolic có chung ảnh ngược của các siêu phẳng 73 di động ở vị trí tổng quát không đếm bội. Định lí 3.3.1. Cho M là một đa tạp parabolic chấp nhận được m-chiều với hàm vét cạn parabolic τ và hàm trội Y (r). Cho f1, . . . , fλ : M → Pn(C) là các ánh xạ phân hình khác hằng với Ricτ (r, s) = o(Tft(r, s0)) và logY (r) = o(Tft(r, s)) khi r → ∞, 1 ≤ t ≤ λ. Cho g1, . . . , gq : M → Pn(C)∗ là các ánh xạ phân hình ở vị trí tổng quát thỏa mãn Tgj(r, s0) = o(max1≤t≤λ Tft(r, s0)) và (ft, gj) ̸≡ 0 với 1 ≤ j ≤ q, 1 ≤ t ≤ λ. Giả sử Aj = (f1, gj)−1(0) = (f2, gj)−1(0) = · · · = (fλ, gj)−1(0) với mỗi j = 1, . . . , q, và dim(Ai ∩Aj) ≤ m− 2 với 1 ≤ i ≤ j ≤ q. Đặt A = ⋃q j=1Aj . Giả sử f1, . . . , fλ ở vị trí l−đặc biệt trên A, trong đó l là một số nguyên với 2 ≤ l ≤ λ. Khi đó, nếu q > n(n+ 2)λ λ− l + 1 thì f1, . . . , fλ ở vị trí đặc biệt, tức là f1 ∧ · · · ∧ fλ ≡ 0 trên M . Chứng minh. Ta xét với λ ≤ n+1. Giả sử rằng f1 ∧ · · · ∧ fλ ̸≡ 0. Kí hiệu νf1∧···∧fλ là divisor liên kết với f1 ∧ · · · ∧ fλ và Nf1∧···∧fλ(r) là hàm đếm của divisor này. Với mọi 1 ≤ t ≤ λ, ta sẽ chứng minh khẳng định sau. q∑ j=1 (λ− l + 1)min{1, ν(ft,gj)} ≤ dνf1∧···∧fλ + q(λ− 1) ∑ β νgβ(1)∧···∧gβ(n+1) (3.17) với mỗi z ̸∈ A⋃⋃λi=1 I(fi), trong đó tổng trên được lấy trên tất cả các phép chiếu β : {1, . . . , n+ 1} → {1, . . . , q}. Thật vậy, tập A = ⋃qj=1(ft, gj)−1({0}). Kí hiệu P [n + 1, q] là tập hợp tất cả các phép chiếu từ {1, . . . , n + 1} đến {1, . . . , q}. Khi đó, với mỗi điểm chính quy z0 ∈ A \ ( ⋃λ i=1 I(fi) ∪ ⋃ β∈P [n+1,q]{z|gβ(1) ∧ · · · ∧ gβ(n+1)(z) = 0}) và với mỗi dãy tăng 1 ≤ j1 < · · · < jl ≤ λ, ta có fj1(z0) ∧ · · · ∧ fjl(z0) = 0. Theo Định lí 3.1.6, ta có νf1∧···∧fλ(z0) ≥ λ− (l − 1). Do đó, q∑ j=1 min{1, ν(ft,gj)(z0)} ≤ q∑ j=1 min{1, ν(ft,gj)(z0)} ≤ 1 ≤ 1 λ− l + 1νf1∧···∧fλ(z0). 74 Từ đây, ta suy ra q∑ j=1 (λ− l + 1)min{1, ν(ft,gj)(z0)} ≤ νf1∧···∧fλ(z0). Nếu z0 ∈ ⋃ β∈T [n+1,q]{z|gβ(1) ∧ · · · ∧ gβ(n+1)(z) = 0} thì (λ− l + 1) q∑ j=1 min{1, ν(ft,gj)(z0)} ≤ (λ− 1)q ∑ β∈T [n+1,q] gβ(1) ∧ · · · ∧ νgβ(n+1)(z0). Như vậy, với mỗi z ̸∈ ⋃λj=1 I(fj), ta có q∑ j=1 (λ− l + 1)min{1, ν(ft,gj)} ≤ dνf1∧···∧fλ + q(λ− 1) ∑ β∈T [n+1,q] νgβ(1)∧···∧gβ(n+1) . Do đó, bất đẳng thức (3.17) được chứng minh. Từ (3.17), ta có q∑ j=1 (λ− l + 1)N [1] (ft,gj) (r) ≤ Nνf1∧···∧fλ + q(λ− 1) ∑ β∈T [n+1,q] Nνgβ(1)∧···∧gβ(n+1) (r) ≤ λ∑ i=1 Tfi(r, s0) + q(λ− 1) ∑ β∈T [n+1,q] n∑ i=1 Tgβ(i)(r, s0). = λ∑ i=1 Tfi(r, s0) + o( max 1≤i≤λ Tfi(r, s0)). Lấy tổng hai vế của các bất đẳng thức này theo t = 1, . . . , λ, ta được λ∑ t=1 q∑ j=1 N [1] (ft,gj) (r) ≤ λ λ− l + 1 λ∑ i=1 Tfi(r, s0) + o( max 1≤i≤λ Tfi(r, s0)). (3.18) Tiếp theo, từ Định lí 3.2.2 (b), với mọi 1 ≤ t ≤ λ, đặt kt = rankR(ft) ta có∣∣∣∣∣∣ q∑ j=1 N [1] (ft,gj) (r) ≥ q − 2(n− kt) kt(kt + 2) Tft(r, s0) + o(Tft(r, s0)) +O( max 1≤i≤q Tgi(r, s0)) ≥ q n(n+ 2) Tft(r, s0) + o(Tft(r, s0)) +O( max 1≤i≤q Tgi(r, s0)), Kết hợp bất đẳng thức này với (3.17) và cho r tiến tới ∞, ta được q ≤ n(n+ 2)λ λ− l + 1 . Điều này là mâu thuẫn. Do đó, f1 ∧ · · · ∧ fλ ≡ 0 trên M , tức là họ {f1, . . . , fλ} là phụ thuộc đại số qua C. Định lí 3.3.1 được chứng minh. 75 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Kết luận Các kết quả chính của luận án: • Chúng tôi đã chứng minh được hai định lí về sự liên kết bởi một phép biến đổi tựa Mo¨bius của hai hàm phân hình trên mặt phẳng phức nếu chúng có chung ảnh ngược của bốn cặp hàm nhỏ phân biệt với bội được ngắt ở mức 4 và không xét đến các không điểm với bội lớn hơn 865. • Chúng tôi đã chứng minh được một định lí cơ bản thứ hai cho các ánh xạ phân hình từ Cm vào không gian xạ ảnh phức Pn(C) và mục tiêu di động với hàm đếm có trọng. Đồng thời, chúng tôi đã sử dụng định lí này để chứng minh được một định lí về sự phụ thuộc đại số của các ánh xạ phân hình đó có chung ảnh ngược không cần đếm bội của các siêu phẳng di động. • Chúng tôi đã chứng minh được một định lí cơ bản thứ hai cho các ánh xạ phân hình từ một đa tạp parabolic chấp nhận được vào không gian xạ ảnh phức Pn(C) với mục tiêu di động. Bằng cách áp dụng định lí này, chúng tôi cũng chứng minh được một định lí về sự phụ thuộc đại số của các ánh xạ phân hình đó có chung ảnh ngược không cần đếm bội của các siêu phẳng di động ở vị trí tổng quát. 76 Kiến nghị về những nghiên cứu tiếp theo Chúng tôi có suy nghĩ về một số hướng nghiên cứu tiếp theo như sau: • Nghiên cứu về sự liên kết bởi phép biến đổi tựa Mo¨bius của hai hàm phân hình trên mặt phẳng phức khi chúng có chung ảnh ngược của một số cặp hàm nhỏ trong trường hợp giảm số bội chặn. • Nghiên cứu cải tiến Định lí cơ bản thứ hai cho ánh xạ phân hình từ Cm vào không gian xạ ảnh phức Pn(C) và mục tiêu di động với hàm đếm có trọng với số siêu phẳng tham gia nhỏ hơn. • Nghiên cứu tổng quát hóa Định lí cơ bản thứ hai cho ánh xạ phân hình từ đa tạp parabolic vào không gian xạ ảnh phức với mục tiêu di động trong đó các điều kiện ban đầu tổng quát hơn. 77 CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN [1] Van An Nguyen and Duc Quang Si (2017), Two meromorphic functions shar- ing four pairs of small functions, Bull. Korean Math. Soc. 54, No. 4, pp. 1159 - 1171. [2] Pham Duc Thoan, Nguyen Hai Nam and Nguyen Van An (2019), Second main theorems with weighted counting functions and its applications, Indian J. Pure Appl. Math., 50(4), 849 - 861. [3] S. D. Quang, N. V. An and P. D. Thoan (2023), Second main theorems and algebraic dependence of meromorphic mappings on parabolic manifolds with moving targets, Kyushu J. Math., Vol. 77, No.2, 203 - 220. 78 Tài liệu tham khảo [1] Sĩ Đức Quang (2019), Lí thuyết phân bố giá trị cho ánh xạ phân hình và một số vấn đề liên quan, Nhà xuất bản Đại học Sư phạm, Hà Nội. [2] Trần Văn Tấn (2017), Lí thuyết phân bố giá trị đối với đường cong nguyên trong không gian xạ ảnh, Nhà xuất bản Đại học Sư phạm, Hà Nội. [3] T. T. H. An and J. Wang (2002), Uniqueness polynomials for complex mero- morphic functions, Internat. J. Math. 13, no. 10, 1095-1115. [4] G. Ashline (1999), The defect relation of meromorphic maps on parabolic manifolds, Mem. Amer. Math. Soc. 139, no. 665, x+78 pp. [5] H. Z. Cao and T. B. Cao (2014), Two meromorphic functions share some pairs of small functions with truncated multiplicities, Acta Math. Sci. 34, 1854-1864. [6] H. Cartan (1933), Sur les zéroes des combinaisons linéaries de p fonctions holomorphes données, Mathematica 7, 80-103. [7] T. Czubiak and G. Gundersen (1997), Meromorphic functions that share pairs of values, Complex Var. Elliptic Equ. 34, 35-46. [8] G. Dethloff and T. V. Tan (2009), Uniqeness theorems for meromorphic mappings with few hyperplanes, Bull. Sci. Math. 133, 501-514. [9] G. Dethloff, S. D. Quang and T. V. Tan (2012), A uniqeness theorems for meromorphic mappings with two families of hyperplanes, Proc. Amer. Math. Soc. 140, 189-197. [10] H. Fujimoto (2008), Uniqueness problem with truncated multiplicities in value distribution theory, Nagoya Math. J. 152, 131-152. 79 [11] H. H. Giang (2016), Multiple values and finiteness problem of meromorphic mappings sharing different families of moving hyperplanes, Bull. Math. Soc. Sci. Math. Roumanie Vol. 59 (107), No. 3, 233-245. [12] P. C. Hu, P. Li, C. C. Yang (2003), Unicity of meromorphic mappings, Advances in Complex Analysis and its Application, Vol. 1, Springer B. V. [13] H. H. Khoái (1983), On p-adic meromorphic functions, Duke Math. J. 50, 695-711. [14] P. Li and C. C. Yang (1997), On two meromorphic functions that share pairs of small functions, Complex Var. Elliptic Equ. 32, 177-190. [15] P. Li and C. C. Yang (2009), Meromorphic functions that share some pair of small functions, Kodai Math. J. 32, 130-145. [16] Y. Liu (2008), On the problem of integer solutions to decomposable form inequalities, Int. J. Number Theory 4, 859-872. [17] Y. Liu and M. Ru (2005), A defect relation for meromorphic maps on parabolic manifolds intersecting hypersurfaces, Illinois J. Math. 49, 237-257. [18] R. Nevanlinna (1926), Einige Eideutigkeitssa¨tze in der Theorie der mero- morphen Funktionen, Acta. Math. 48, 367-391. [19] I. Nochka (1983), On the theory of meromorphic functions, Sov. Math. Dokl. 27, 377-381. [20] J. Noguchi (2005), A note on entire pseudo holomorphic curves and the proof of Cartan-Nochka’s theorem, Kodai Math. J. 28, 336-346. [21] J. Noguchi and T. Ochiai (1990), Introduction to Geometric Function The- ory in Several Complex Variables, Trans. Math. Monogr. 80, Amer. Math. Soc., Providence, Rhode Island. [22] S. D. Quang (2013), Two mermorphic functions share some pairs of small functions, Compl. Anal. Oper. Th. 7, 1357-1370. [23] S. D. Quang (2013), Algebraic dependences of meromorphic mappings shar- ing few moving hyperplanes, Ann. Polon. Math. 108, 61-73. 80 [24] S. D. Quang (2016), Second main theorems with weighted counting func- tions and algebraic dependence of meromorphic mappings, Proc. Amer. Soc. Math. 144, 4329-4340. [25] S. D. Quang (2016), Second main theorems for meromorphic mappings in- tersecting moving hyperplanes with truncated counting functions and unicity problem, Abh. Math. Semin. Univ. Hambg. 86, 1-18. [26] S. D. Quang (2019), Second main theorems for meromorphic mappings and moving hyperplanes with truncated counting functions, Proc. Amer. Math. Soc. 147, no. 4, 1657-1669. [27] S. D. Quang and D. P. An (2013), Unicity of meromorphic mappings sharing few moving hyperplanes, Vietnam Math. J. 41, 383-398. [28] S. D. Quang and L. N. Quynh (2014), Two meromorphic functions sharing some pairs of small functions regardless of multiplicities, Internat. J. Math. 25, 1450014 (16 pages). [29] L. N. Quynh (2017), Algebraic dependences and uniqueness problem of mero- morphic mappings sharing moving hyperplanes without counting multiplic- ities, Asian-European J. Math. Vol. 10, No. 1, 1750040 (15 pages). [30] M. Ru (2001), A uniqueness theorem with moving targets without counting multiplicity, Proc. Amer. Math. Soc. 129, 2701-2707. [31] M. Ru (1997), The second theorem with moving targets on parabolic mani- folds, Indiana Univ. Math. J. 46, 299-318. [32] M. Ru and W. Stoll (1991), The second main theorem for moving targets, Journal of Geom. Anal. 1, No. 2, 99-138. [33] M. Ru and J. T-Y. Wang (2004), Truncated second main theorem with mov- ing targets, Trans. Amer. Math. Soc. 356, 557-571. [34] B. Shiffman (1983), Introduction to the Carlson - Griffiths equidistribution theory, Lecture Notes in Math. 981, 44-89. 81 [35] M. Shirosaki (1991), Another proof of the defect relation for moving target, Tohoku Math. J., 43, 355-360. [36] M. Shirosaki (1990), On defect relations of moving hyperplanes, Nagoya Math. J., 120, 103-112. [37] W. Stoll (1981), The Ahlfors-Weyl theory of meromorphic maps on parabolic manifolds, Lecture Notes in Math. 981, 101-219. [38] W. Stoll (1977), Value distribution on parabolic spaces, Lecture Notes in Math., 600, Springer-Verlag, New York. [39] W. Stoll (1989), On the propagation of dependences, Pacific J. Math., 139, 311-337. [40] D. D. Thai and S. D. Quang (2005), Uniqueness problem with truncated mul- tiplicities of meromorphic mappings in several complex variables for moving targets, Internat. J. Math. 16, 903-939. [41] D. D. Thai and S. D. Quang (2008), Second main theorem with truncated counting function in several complex variables for moving targets, Forum Math. 20, 163-179. [42] P. D. Thoan and P. V. Duc (2010), Algebraic dependences of meromorphic mappings in several complex variables, Ukrain. Math. J. 62, 923-936. [43] P. D. Thoan, P. V. Duc and S. D. Quang (2013), Algebraic dependence and unicity theorem with a truncation level to 1 of meromorphic mappings sharing moving targets, Bull. Math. Soc. Sci. Math. Roumanie, 56 (104) No. 4, 513-526. [44] P. M. Wong, W. Stoll (1994), Second main theorem of Nevanlinna theory for nonequidimensional meromorphic maps, Amer. J. Math. 116, 1031-1071. [45] K. Yamanoi (2004), The second main theorem for small functions and re- lated problems, Acta Math. 192, 225-294. [46] Q. Yan (2015), Second main theorem and uniqueness theorem with moving targets on parabolic manifolds, J. Math. Anal. Appl. 422, 456-477. 82 [47] J. Zhang and L. Yang (2015), Meromorphic functions sharing pairs of small functions, Math. Slovaca 65, 93-102. 83