Luận án Một số lược đồ xấp xỉ cho phương trình vi phân ngẫu nhiên với hệ số không chính qui

Bằng cách kết hợp các công cụ hiện đại trong giải tích ngẫu nhiên và kĩ thuật xấp xỉ của Yamada-Watanabe, luận án đã xây dựng được các lược đồ xấp xỉ phù hợp cho một số lớp phương trình vi phân ngẫu nhiên có hệ số không chính qui như hệ số tăng trên tuyến tính, liên tục Lipschitz địa phương, liên tục Hölder hoặc không liên tục. Luận án không chỉ chứng minh được sự hội tụ của các lược đồ mà còn xác định được tốc độ hội tụ và tính ổn định của chúng. Luận án cũng xây dựng được một số điều kiện đủ cho sự tồn tại và duy nhất nghiệm của một lớp phương trình vi phân với hệ số không Lipschitz. • Những đóng góp mới của luận án: i) Chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình vi phân ngẫu nhiên có hệ số dịch chuyển liên tục Lipschitz địa phương và hệ số khuếch tán liên tục Holder địa phương. Kết quả này mạnh hơn các kết quả cổ điển trước đây. ii) Xây dựng lược đồ xấp xỉ dạng khống chế cho lớp phương trình vi phân ngẫu nhiên có hệ số tăng trên tuyến tính và xác định được tốc độ hội tụ theo nghĩa mạnh của lược đồ đó. iii) Xây dựng lược đồ xấp xỉ bảo toàn tính chất không âm và tính chất ổn định của nghiệm đúng cho một lớp phương trình vi phân ngẫu nhiên ổn định. Lược đồ mới có tốc độ hội tụ bằng các lược đồ cổ điển khác trong khoảng thời gian hữu hạn. iv) Xây dựng lược đồ xấp xỉ Milstein dạng nửa ẩn cho hệ phương trình vi phân ngẫu nhiên biểu diễn hệ điểm không va chạm. Chứng minh lược đồ mới đảm bảo tính không va chạm của nghiệm đúng và hội tụ theo nghĩa mạnh với tốc độ bằng 1.