Luận án Một số nghiệm soliton của các phương trình Yang - Mills và ứng dụng

tọa độ suy rộng và vận tốc tuyệt đối của hạt. Phương trình Euler-Lagrange đối với trường hợp này có dạng { ( ̇ ) ( ̇ ) (3.57) Từ (3.55) và (3.56) ta có thể viết đạo hàm của Lagrange theo các thông số nhóm và ̇ trong phương trình (3.57)-(b) như sau ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ (3.58) trong đó ta đặt (3.59) và thực tế trong biểu thức của chỉ có phụ thuộc vào thông số nhóm. Với sự tham số hóa thông số nhóm (3.37), biểu thức của có dạng sau ̇ ̇ (3.60) trong đó là hàm ma trận của { }. Dạng tường minh của được sử dụng từ tài liệu [66]. Từ các phương trình (3.58)-(3.60) ta rút ra được phương trình sau 71 ̇ ̇ (3.61) và (3.62) Từ giá trị của trong (3.59) và (3.62), ta đồng nhất chúng với moment nội tại. Bởi vì ma trận đường chéo của trong (3.53) và từ định nghĩa (3.59) ta thấy rằng là những thành phần của một 3-vector phức { ̅ } mà nó đóng vai trò tương tự như một vector isospin (thực) trong phương trình Wong [60]. Bây giờ ta hãy tính toán thành phần đạo hàm của Lagrangian theo biến , ̇ (3.63) Đối với giá trị của trong , ta có phương trình nhóm như sau ( ) ( ) { [ ]} (3.64) trong đó ta đặt . Giao hoán tử trong (3.64) tính toán như sau [ ] [ ] [ ] (3.65) Từ (3.64) và (3.65) ta suy ra đạo hàm của thành phần trong (3.63), { } (3.66) Thay (3.66) vào (3.63) và sử dụng định nghĩa (3.59) của , và nhớ rằng trong biểu thức của chỉ có phụ thuộc vào thông số nhóm, ta thu được { } (3.67) Các phương trình (3.61) và (3.67) cho phép ta biến đổi (3.57)-(b) thành dạng 72 ̇ ̇ { } ̇ (3.68) Ta sẽ chỉ ra rằng những số hạng giữa ở vế trái của (3.68) có thể bỏ qua. Thật vậy, từ phương trình nhóm sau: ̇ ̇ ̇( ) [ ] (3.69) Do đó, [ ] (3.70) suy ra Vì vậy, phương trình (3.57)-(b) được biến đổi thành dạng sau ̇ ̇ (3.71) Bây giờ ta tiếp tục xét đến phương trình (3.57)-(a). Đối với Lagrangian (3.56), những thành phần của xung lượng ở vế trái của (3.57)-(a) là ̇ ̇ ̇ (3.72) trong đó ta đặt (3.73) đại lượng là những thành phần của xung lượng nội tại được xác định bằng biểu thức (3.59). Giá trị của được xác định bởi (3.73) là một tích phân chuyển động. Điều này có thể thấy được từ những phương trình sau ̇ ( ) ( ) [ ( )] 73 trong đó ta đã dùng tính chất (3.54) của ma trận . Ta gán cho là khối với khối lượng của hạt. Phương trình (3.57)-(a) trở thành ( ̇ ̇ ) ( ) ̇ từ đó, dẫn đến ( ̇ ̇ ) ̇ (3.74) trong đó có biểu thức như sau ( ) . (3.75) Tensor có thể đồng nhất với cường độ trường gauge với các thành phần như sau { ̅ } (3.76) trong đó ( ) , (3.77) ̅ ( ̅ ̅ ) ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ . (3.78) Do đó, các phương trình Euler-Lagrange (3.57) cho hệ hạt và trường gauge đã được biến đổi thành các phương trình (3.71) và (3.74). Giá trị của các số hạng phức trong ba chiều của hệ này được viết lại như sau ( ̇ ̇ ) ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ (3.79) 74 các phương trình này được coi như phương trình Wong suy rộng, trong đó vế phải của (3.79)-(a), ký hiệu là số hạng liên hợp phức của số hạng đầu tiên và các chỉ số lấy các giá trị . Cũng chú ý thêm rằng, mặc dù ta đã thêm vào trường gauge phức và vector isospin phức, nhưng vế phải của (3.79)-(a) là đại lượng thực. Như vậy với cấu hình trường gauge đã đưa ra thì chuyển động của hạt ở trường ngoài này đã hoàn toàn được xác định. 3.3 Đối xứng Lorentz địa phương và bài toán hạt trong trường hấp dẫn Ta đã biết rằng lý thuyết gauge Yang-Mills đã mô tả hoàn hảo các tương tác điện từ, yếu và mạnh. Còn tương tác hấp dẫn được mô tả bởi thuyết tương đối tổng quát của Einstein với nghiệm nổi tiếng Schwarzschild có ý nghĩa vật lý là “Lỗ đen”. Trong xu hướng đi xây dựng một lý thuyết để thống nhất các tương tác, đã có nhiều mô hình vật lý được nghiên cứu chẳng hạn như lý thuyết dây “string”. Trong phạm vi luận án này, chúng tôi tìm cách mô tả tương tác hấp dẫn bằng lý thuyết gauge, coi như đây là cách tiếp cận Yang-Mills cho trường hấp dẫn bằng cách xét sự bất biến gauge đối với nhóm Lorentz và phương trình mô tả chuyển động của hạt là phương trình Wong suy rộng. Nhắc lại, trong mô hình tương tác của trường gauge với một tam tuyến vô hướng không khối lượng. Lagrangian của hệ được cho bởi (3.80) trong đó (3.81) và (3.82) 75 Selington đã tìm được nghiệm chính xác tựa Schwarzschild (Schwarzschild-like) cho trường hợp này vào năm 1995 [69] bằng cách sử dụng các ansatz sau [ ] (3.83) trong đó (3.84) là những hằng số, với và thỏa mãn , hằng số tùy ý và nó xác định tính kỳ dị của trường. Chú ý rằng không có thứ nguyên, còn có thứ nguyên (1/độ dài). Từ (3.83) và (3.84) ta thấy rằng cả trường gauge và trường vô hướng có thể trở nên vô cùng tại bán kính . Trong trường hợp thuần gauge, chẳng hạn khi không có trường vô hướng, suy ra , thì sẽ dẫn tới các nghiệm sau (3.85) Nếu chỉ xét trong giới hạn lý thuyết Yang-Mills thì nghiệm này có vẻ bất thường vì nó xuất hiện nghiệm thế gauge phức. Nhưng ở đây ta sẽ xét vấn đề theo con đường khác, từ một trường gauge phức đối với nhóm , ta có thể xây dựng một thế gauge đối với nhóm [70] (và cũng là đối với nhóm ) [71]. Theo đó, ta chuyển nghiệm với thế gauge phức được cho bởi (3.83) và (3.85) thành một nguồn của trường gauge Lorentz tĩnh. Cường độ “điện trường” tương ứng là [ ] (3.86) 76 dấu trong (3.86) tương ứng với dấu trong (3.85). Từ trường được tính từ công thức , do đó (3.87) nó biểu thị tính tự đối ngẫu của nghiệm trường gauge. Chương 4 tiếp theo, chúng tôi sẽ nghiên cứu chuyển động của hạt trong trường gauge được xác định bởi các thế và cường độ trường như trong các phương trình (3.83), (3.85)-(3.87). 3.4 Kết luận chương 3 Chương này chúng tôi đã nghiên cứu về cách mô tả chuyển động của hạt màu trong trường chuẩn và trường gauge Lorentz. Nó đem đến một bức tranh khá tổng quát về vật lý hạt cơ bản đó là chuyển động của hạt cổ điển trong trường Yang-Mills (kể cả hạt mang điện trong trường điện từ cổ điển) được mô tả bởi phương trình Wong, coi tương tác của hạt tích màu với trường gauge thông qua vector isospin mô tả các bậc tự do nội tại của hạt. Không chỉ dừng lại ở đó, chương này còn chỉ cho ta thấy rằng lý thuyết gauge Yang-Mills có thể là ứng viên cho sự thống nhất các tương tác. Đó là mở rộng nhóm đối xứng cho trường gauge sang nhóm đối xứng không-thời gian của nhóm đối xứng Lorentz bằng cách tham số hóa vector đối với nhóm Lorentz và phức hóa vector này, đồng thời sử dụng ngôn ngữ toán học bó thớ để từ đó xây dựng phương trình mô tả chuyển động của hạt trong trường gauge Lorentz được coi như sự mở rộng phương trình Wong cho trường chuẩn (cũng là ). Điều đặc biệt là trường gauge Lorentz này có thể coi như trường hấp dẫn (vấn đề này ta sẽ nghiên cứu kỹ hơn ở chương sau trong mục: Chuyển động của hạt trong trường hấp dẫn với tiếp cận Yang-Mills). 77 Chương 4 4 THẾ HIỆU DỤNG VÀ QUỸ ĐẠO HẠT TRONG TRƯỜNG CHUẨN Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu chuyển động của hạt trong cấu hình trường gauge Lorentz bằng cách dựa vào phương trình Wong tổng quát. Từ đó tìm hiểu động lực học về chuyển động của hạt trong trường này. Nghiên cứu chi tiết thế hiệu dụng và quỹ đạo chuyển động của hạt trong trường đồng thời so sánh với thế hiệu dụng của trường hấp dẫn Newton và thuyết tương đối rộng của Einstein. Các kết quả nghiên cứu của chúng tôi được trình bày trong chương này đã được công bố trong các bài báo [II, V] 4.1 Hạt trong trường Wu-Yang Việc biết được chuyển động của hạt trong một số cấu hình trường đơn giản cho ta cơ sở vật lý về nghiệm của những bài toán phức tạp. Điều này đúng cho cả điện động lực học cổ điển và động lực học cổ điển của một hạt màu (hoặc spin đồng vị) trong những trường ngoài phi Abel. Ta đã biết rằng phương trình mô tả chuyển động của một hạt màu trong trường Yang-Mills là phương trình Wong ̇ (4.1) ̇ (4.2) trong đó thế vector và trường tensor được cho bởi (2.2) nó xác định một trường màu ngoài, mà hạt màu có khối lượng chuyển động trong đó, 78 với các biến động lực như bán kính 4-vector , vận tốc bốn chiều , và tích màu được xác định bởi vector trong không gian màu; là thời gian riêng của hạt; dấu “ ̇ ” trong các phương trình (4.1), (4.2) chỉ việc lấy đạo hàm theo thông số này. Phương trình (4.2) có thể coi như “sự bảo toàn hiệp biến” [72] của dòng màu ∫ ( ) của hạt. Phương trình (4.1) có dạng hoàn toàn tương tự với phương trình trong điện động lực cổ điển, mặc dù sự có mặt của các bậc tự do màu có thể ảnh hưởng đến thuộc tính chuyển động của hạt. Khi khảo sát bài toán chuyển động của hạt trong trường thì cấu hình trường coi như đã cho trước. Các trường cho trước này được lấy từ các nghiệm riêng của các phương trình chuyển động. Sau đây ta xét bài toán chuyển động của hạt trong trong cấu hình trường là một trong những nghiệm riêng như vậy, đó là trường Wu-Yang (hay các thế Wu-Yang) [ ] (4.3) trong đó là vector bán bính đơn vị, . Hàm và phải thỏa mãn phương trình chuyển động của trường. Viết lại phương trình chuyển động, phương trình Wong (4.1) và (4.2) trong hệ quy chiếu phòng thí nghiệm ( √ ) (4.4) ( √ ) (4.5) ̇ [ ] (4.6) dấu chấm ký hiệu việc lấy đạo hàm theo thời gian phòng thí nghiệm, cường độ điện trường và từ trường cảm ứng trong (4.4) và (4.5) được xác định bằng các hệ thức sau 79 (4.7) (4.8) Từ (4.6) và (4.7) ta suy ra [ ] (4.9) So sánh (4.9) với (4.5), ta có ( √ ) [ ] (4.10) Vì thế, chuyển động của hạt màu trong thế màu là không phụ thuộc tường minh vào thời gian và chúng ta có định luật bảo toàn năng lượng √ (4.11) Trong đó số hạng là thế năng. Từ (4.3) với giả sử khi đó (4.7) và (4.8) trở thành [( ) ] (4.12) [ ] (4.13) và lúc đó, tích của trường vector màu trong phương trình chuyển động (4.4) có thể được viết lại là 80 {( ) [ ]} (4.14) { [ ]} (4.15) Tiến động của vector với cấu hình trường (4.3) được mô tả như sau ̇ [ ] (4.16) Bài toán đặt ra là tìm “Lực” ở vế phải của (4.4) phụ thuộc tường minh vào vector màu và thỏa mãn phương trình (4.14) và (4.15). Điều này có thể tiến hành bằng cách tìm định luật bảo toàn moment xung lượng. Nhân (4.4) với và sử dụng (4.14), (4.15) ta thu được [ ̇ ̇ ̇ ] (4.17) trong đó ̇ , và là mô men xung lượng quỹ đạo √ . Từ ̇ ̇ , ta thu được từ (4.16) hệ thức sau ̇ (4.18) Từ (4.18), ta rút gọn (4.17) thành ( ) [ ] (4.19) Đưa vào vector , chúng ta có thể viết định luật bảo toàn đối với moment xung lượng tổng cộng thành dạng: 81 (4.20) Chúng ta đã thu được phương trình (4.20) đối với chuyển động của hạt màu trong một thế tùy ý có dạng (4.3) với hàm không phụ thuộc tường minh vào thời gian. Chú ý rằng đối với một hạt spin đồng vị trong trường monopole phi Abel ( ), định luật bảo toàn (4.20) đối với momen xung lượng tổng cộng cũng đã tìm thấy. Từ (4.20) ta có thể kết luận rằng và do đó có thể viết (4.20) lại thành (4.21) cho phép biểu diễn vector màu theo tọa độ và vận tốc của hạt. Lực tác dụng lên hạt màu có thể biểu diễn dựa vào (4.14), (4.15) và (4.21) như sau (4.22) ( ) (4.23) ( ) (4.24) (4.25) phương trình (4.24) và (4.25) chứa khối lượng tương đối tính √ (4.26) Chúng ta có thể miêu tả điện trường hiệu dụng (4.23) như gradient của thế và định luật bảo toàn năng lượng có dạng (4.27) 82 Đối với nghiệm của phương trình chuyển động, phép lấy tích phân chuyển động cho ta hệ thức (4.28) Như vậy bài toán chuyển động của một tích màu trong một trường màu được xác định bởi thế vector (4.3) và bằng những trường (4.12) và (4.13) đã rút gọn thành bài toán chuyển động của hạt dưới tác dụng của lực (4.21), nghĩa là rút gọn thành bài toán chuyển động của điện tích đơn vị trong trường điện từ hiệu dụng được cho bởi (4.23) và (4.24) với giả thuyết là lực thêm vào có dạng . Bằng sự thêm vào (4.22)-(4.25) chúng ta có hai tích phân chuyển động (4.27) và (4.28). Nếu thì không có trường sắc điện động lực học và cũng không có trường điện từ hiệu dụng. Trong khi đó, nếu thì và mặc dù không có trường sắc điện động chúng ta vẫn có điện từ hiệu dụng. Việc tìm quy luật chuyển động của hạt, có thể tiến hành bằng cách xác định tiến trình của vector màu trong (4.21). Chẳng hạn sau đây, chúng ta xét trường hợp trường sắc từ dạng điểm, , với hàm tùy ý, trong trường hợp này, cường độ trường màu (4.12) và (4.13) là ( ) (4.29) (4.30) Đối với , cấu hình trường (4.29) và (4.30) tương ứng với đơn cực sắc từ "thuần" và ứng với một dyon. Có thể thấy từ (4.18), cho , chúng ta có , và (4.20) thành (4.31) khi đó . Vì thế, định luật bảo toàn momen xung lượng tổng cộng cho phép kết luận rằng hạt chuyển động trên 83 một bề mặt nón có trục và hợp với trục một góc , với . Từ (4.4), (4.14) và (4.15), chúng ta tìm ra biểu thức của lực là [( ) ] và chúng ta có thể xem chuyển động của hạt màu như chuyển động của một hạt tích điện với điện tích trong sự chồng chập của trường (của một monopole) và điện trường trung tâm . Khi điện trường hiệu dụng không có mặt. Và chuyển động của hạt trong một đơn sắc từ "thuần" có thể được mô tả như chuyển động của một hạt mang điện trong trường monopole. Nếu thì chuyển động riêng rẽ của hạt màu phức tạp hơn. Tiếp theo, chúng ta hãy khảo sát bán kính quỹ đạo chuyển động của hạt. Từ phương trình ̇ bảo toàn, chúng ta có thể sử dụng định luật bảo toàn năng lượng, xác định bán kính chuyển động. Trong phép gần đúng phi tương đối tính ̇ đối với ̇ , chúng ta có: ∫ √ ( ) (4.32) (4.33) Do vậy, bán kính chuyển động trong cấu hình trường (4.29) và(4.30) là chuyển động một chiều trong thế (4.33). Nếu thế này đạt mức tối thiểu tại thì có thể có chuyển động tròn đều với , đó là phần bên trong của mặt nón đã mô tả ở trên và một mặt cầu bán kính . Tóm lại, trong phần này chúng ta đã xem xét chuyển động của một hạt thử màu trong trường ngoài phi Abel được xác định bởi thế vector Wu-Yang (4.3) và trường (4.12), (4.13) trong trường gauge của nhóm . Từ hệ 84 thức của lực phụ thuộc tường minh vào vector màu, chúng ta đã rút gọn thành bài toán chuyển động của một hạt tích điện trong một trường điện từ hiệu dụng. Những phương trình (4.22)-(4.25) cho ta hệ thức về lực tác dụng lên hạt. Điện trường hiệu dụng là gradient của thế . Có hai trường hợp cần chú ý với các thế là:  Trước hết, nó phù hợp với tổng momen xung lượng là tích phân của chuyển động và là một đặc trưng chuyển động của tích màu;  Thứ hai, thế phải phụ thuộc góc. Chú ý rằng sự vắng mặt của trường sức điện không phải là hoàn toàn có nghĩa là không có từ trường hiệu dụng. Hàm và xác định cấu hình trường của những trường ngoài, vì vậy chúng phải là những nghiệm của bài toán chuyển động. Cần lưu ý là đối với cấu hình trường , chúng ta đã chỉ ra rằng hạt chuyển động trên một mặt nón, đồng thời chúng ta cũng đã tìm thấy bán kính chuyển động (4.32), (4.33) và chứng minh về tính xác định của chuyển động. 4.2 Hạt trong trường đơn cực 'tHooft-Polyakov và trường soliton BPS 4.2.1 Hạt trong trường gauge 'tHooft Với bài toán chuyển động của hạt trong trường gauge ’t Hooft, chúng ta nghiên cứu chuyển động cổ điển của hạt thử Yang-Mills trong trường ngoài được cho bởi nghiệm monopole của ’t Hooft. Chúng ta sẽ nghiên cứu xem không gian chuyển động của hạt với những khoảng cách lớn ra sao? và kết quả đó đối với khoảng cách bé như thế nào ? ’t Hooft đã chứng minh rằng hệ trường gauge kết hợp với tam tuyến vô hướng có monopole giống những nghiệm tĩnh cổ điển [73, 74]. Mật độ Lagrangian được cho bởi biểu thức 85 ( ) (4.34) trong đó ( ) (4.35) với ansatz tổng quát (ansatz của Wu-Yang [20], Julia-Zee [21]) ̂ [ ] ̂ ̂ (4.36) trong đó và là những hàm xác định bán kính . Để thảo luận ý nghĩa vật lý của nghiệm (4.36) ’t Hooft đã định nghĩa một tensor bất biến gauge như sau ( ̂ ) ( ̂ ) ̂ ̂ ̂ (4.37) trong đó ̂ ̂ Đối với trường hợp , thay (4.36) vào (4.37), ta thấy chỉ số hạng thứ hai của (4.37) nhận được đóng góp. Đóng góp này không phụ thuộc vào và có dạng monopole ̂ . Vì vậy, một hạt thử tích điện kết hợp với một thế vector Abel tương ứng với sẽ chuyển động như một hạt màu trong trường đơn cực thuần nhất. Khi nghiên cứu lý thuyết Yang-Mills, một câu hỏi đặt ra là hạt thử Yang- Mills sẽ chuyển động như thế nào trong hệ trường (4.36), xem như đó là trường ngoài cổ điển? 86 Trong công trình của Wong [60], bằng cách lấy trung bình cổ điển phương trình Dirac của hạt tương tác với trường gauge, Wong đã tìm được hệ phương trình sau ̈ ̇ (4.38) ̇ ̇ (4.39) ở đây dấu chấm ̇ ký hiệu phép lấy đạo hàm theo thời gian riêng. Để đơn giản ở đây ta sẽ xét trường hợp chuyển động phi tương đối tính với là vector spin đồng vị cổ điển. Những trường trong vế phải của (4.38) và (4.39) được suy ra từ (4.36) (với ). Chúng ta sẽ kiểm tra kết quả chuyển động của hạt trong không gian và xác định trong không gian chuyển động có hay không một hạt thử chuyển động theo một cách giống như một điện tích trong trường monopole thuần nhất? Trước hết, xét khai triển của vector spin đồng vị theo thời gian xuất hiện trong (4.38) (chú ý, từ (4.39) ta có tích là hằng số theo thời gian) xác định tại mỗi điểm dọc theo quỹ đạo của hạt, tập hợp các vector trực giao ̇ Từ đó ta có thể viết dưới dạng ̂ ̂ ̂ (4.40) Các hệ số thỏa mãn hệ thức (4.41) Thay (4.40) và (4.36) vào (4.39) ta tìm được ba phương trình của như sau ̇ (4.42) 87 ̇ ̇ (4.43) ̇ ̇ (4.44) trong đó và Thay (4.40) và (4.36) vào (4.38), ta được phương trình chuyển động như sau ̇ { [ ] } [ ̂ ̂ ̂ ] (4.45) trong phương trình (4.45), dấu ( ) ký hiệu phép lấy đạo hàm theo . Bây giờ, ta hãy xét những phương trình trên với lớn: cũng xét với trường hợp thì không phải là hàm mũ theo , vì thế ta có thể đặt . Khi đó phương trình (4.42) trở thành và (4.45) trở thành ̇ (4.46) Phương trình (4.46) trùng với phương trình chuyển động của điện tích chuyển động trong một trường monopole thuần nhất. Tiếp theo, ta hãy xét những phương trình chuyển động trên với tùy ý (và ). Dĩ nhiên là phương trình chuyển động không phải là phương trình (4.46). Ta thử giả sử rằng phương trình chuyển động vẫn là (4.46) và ta sẽ chỉ ra điều này không đúng. Thật vậy, để vế phải của (4.45) không chứa những số hạng không trực giao với , ta phải có . 88 Từ (4.43) ta có , và từ (4.44) ta có . Thay vào (4.45) ta có phương trình chuyển động ̇ (4.47) kết quả này mâu thuẫn với giả thuyết. Do đó với những khoảng cách bé, chuyển động của hạt sẽ khác với những khoảng cách lớn. Với kết quả trên đây, chúng ta có thể khẳng định rằng hạt thử Yang- Mills chuyển động theo cách giống như một điện tích trong trường đơn cực ở những khoảng cách lớn; còn tại những khoảng cách bé, chuyển động của chúng là khác nhau. Điều này tương tự với quan niệm của Wu-Yang về một thế gauge mà có thể phù hợp với nhiều trường vật lý khác nhau với điều kiện từ cực (net manegtic-pole) là xác định. 4.2.2 Hạt trong trường soliton BPS Tương tác giữa một hạt và một trường vô hướng khi cả hai có một không gian nội tại phi Abel vẫn là vấn để mở đang cần làm sáng tỏ. Một trong những nghiên cứu đầu tiên của mình. Wong đề xuất một biểu thức suy ra từ phương trình Dirac, đối với tương tác cổ điển giữa một hạt với nhóm đối xứng nội tại và một trường vector là trường gauge Yang-Mills. Tuy nhiên, không xét đến trường vô hướng. Fehér đã mở rộng phương pháp của Wong cho trường hợp năm chiều với mong muốn tìm được sự tồn tại của một trường vô hướng, nhưng Azizi [75] đã chỉ ra rằng sự mở rộng này dường như không khả thi. Trong nghiên cứu của mình, Azizi dùng chiều động lực thứ năm để mở rộng lại phương pháp của Wong, mặc dù biểu thức mà ông thu được với tứ lực phù hợp trong giới hạn Newton nhưng nó không phù hợp với hệ thống tương đối tính vì nó không trực giao với 4-vector của hạt. Vì thế, Fernandes và Letelier [76] đã tìm ra cách thống nhất để đưa ra một biểu thức của 4-lực mô tả tương tác của một hạt với một trường vô hướng, từ đó khảo sát sự tiến động theo thời gian của vector nội tại bằng 89 cách xét sự mở rộng về bản chất của phương trình Wong. Sau đây, chúng ta tìm hiểu phương trình chuyển của hạt màu trong trường soliton trong hệ quan sát viên và khảo sát giới hạn Newton của chúng. Sau đó, đưa ra biểu thức của cấu hình trường soliton của mẫu phi tuyến . Để xây dựng tứ lực, trước hết chúng ta phải quan tâm đến tính chất tương đối tính cơ bản, đó là tứ gia tốc (gia tốc bốn chiều – 4-gia tốc) phải trực giao với tứ vận tốc, khi . Thêm vào đó, nếu hoán vị liên kết tối thiểu giữa vector nội tại của một hạt và một trường vô hướng thì ta có thể kết luận rằng có hai dạng cơ bản của tứ lực: (i) Dạng thứ nhất thu được bằng cách sử dụng tensor phản xứng hoàn toàn , đó là ̂ (4.48) trong đó là hằng số liên kết, là trường vô hướng (tương tự trong ), là vector nội tại của hạt, là đường trắc địa của hạt với là thời gian riêng của hạt; (ii) Dạng thứ hai của tứ lực được viết theo tensor thông thường để chỉ vector bất kỳ trong không gian con trực giao với tứ vận tốc ( ) (4.49) trong đó là metric Minkowski. Như vậy, bài toán khảo sát chuyển động của hạt màu trong trường soliton của mẫu phi tuyến , tức là tương tác của hạt vô hướng với trường cũng tương tự như bài toán khảo sát chuyển động của hạt màu tương đối tính trong trường gauge và . Điểm khác là phương trình chuyển động phải được xây dựng từ sự tiến động của vector nội tại. Xét không gian nội tại của hạt là nhóm đối xứng (trong trường 90 hợp đó thì gọi là vector spin đồng vị của hạt – vector Isospin) và thay thế trường vector bằng , ta có: (4.50) Xét trong hệ quan sát viên có liên hệ với hệ hạt bằng đồng nhất thức . Giả sử rằng trường không phụ thuộc vào thời gian một cách tường minh, ta có hệ thức sau ̇ ̇ ̇ ( ) (4.51) trong đó dấu chấm ký hiệu việc lấy đạo hàm theo thời gian. Với hệ động lực (4.51) có tính chất mà ta cần chú ý là, nếu đại lượng thứ ba không phụ thuộc vào một hệ tọa độ cố định thì sẽ không có sự gia tốc theo hướng tương ứng. Chúng ta cũng cần chú ý rằng ở đây module của spin đồng vị là hằng số chuyển động ( ) (4.52) trong đó là tổng động năng tương đối tính của hạt. Rõ ràng, nguồn gốc của sự tiêu tán trong hệ liên quan đến spin đồng vị, mà nói chung là biến thiên theo thời gian. Tuy nhiên, nếu có một trường hợp đặc biệt mà trong đó nó là hằng số theo thời gian thì năng lượng được bảo toàn. Ta thấy rằng trường hợp đó chỉ có thể xảy ra nếu spin đồng vị là tương đương với đạo hàm theo thời gian của trường trong không gian nội tại. Để thấy điều này, ta viết lại phương trình (4.50) trong hệ quan sát viên, ̇, từ đó ta có kết luận rằng, nếu vector nội tại là hằng số thì đạo hàm theo thời gian của trường và chính trường đó sau một khoảng thời gian cố định phải định hướng theo một hướng giống nhau trong không gian nội tại. Vì thế, nếu xét cấu hình loại 91 soliton của trường thì điều kiện này phải được thỏa mãn bởi những soliton có tích topo bằng không. Một nhận xét quan trọng khi phân tích (4.49) và (4.50) là những trường vô hướng với Lagrangian bất biến gauge (như những trường Higgs trong Lagrangian Yang-Mills), có thể làm cho biểu thức bất biến bằng cách thay đạo hàm thường bằng đạo hàm hiệp biến. Sau đây, ta áp dụng hình thức luận về tứ lực và phương trình chuyển động đã nêu trên vào việc phân tích những đặc tính cơ bản của hệ. Ta chọn một trường vô hướng nhân với đối xứng phi gauge bằng cách lấy một cấu hình trường soliton của mẫu phi tuyến mà Lagrangian mô tả mẫu ba chiều này được cho bởi (4.53) tuân theo hệ thức . Phương trình chuyển động thu được thỏa mãn nghiệm tĩnh, tức là cấu hình trường tĩnh với năng lượng hằng số và định xứ , trong đó là tích topo của nó. Trong hệ tọa độ cực, những soliton này được cho bởi (4.54) Xét sự chuyển động của hạt màu trong sự hiện diện của trường tĩnh ở trên với tích topo đơn vị . Áp dụng cấu hình trường này với phương trình (4.50), ta có hệ động lực học sau: 92 ̇ ̇ ̇ ( ) [ √ ] ̇ ( ) [ √ ] ̇ { [ √ ] [ √ ]} ̇ { [ √ ] [ √ ]} (4.55) Trong đó , có từ sự chọn lựa hệ tọa độ Cartes ( ) để mô tả không gian nội tại, √ . Vì thế sự lựa chọn này kéo theo, không gian nội tại là một mặt cầu unita được chia thành hai bán cầu, đó là bán cầu với và . Từ kết luận này, ta có quyền hy vọng rằng hệ tọa độ cầu sẽ mô tả không gian này tốt hơn tọa độ Cartesian. Tuy nhiên, những phương trình suy ra từ sự thay thế hệ tọa độ cầu biểu thị sự phân kỳ trong những cực của mặt cầu nội tại và rất khó khăn khi tính số. 93 4.3 Chuyển động của hạt trong trường hấp dẫn với tiếp cận Yang-Mills 4.3.1 Thế hiệu dụng trong chuyển động của hạt [V] Thế các cường độ trường và các thế gauge (3.83), (3.85)-(3.87) vào phương trình (3.79)-(a) ta được phương trình sau [ √ ] (4.56) trong đó [ ] [ ] với , vector là phần thực và phần ảo của isospin phức ; là những thành phần lực mà phụ thuộc tường minh vào vị trí và vận tốc tương ứng. Các phương trình (3.79)-(a) và (3.79)-(b) được viết theo các thành phần và như sau ̇ ( ) [ ] ̇ ( ) [ ] (4.57) Biểu thức của năng lượng và moment xung lượng là tích phân chuyển động, được suy ra từ các phương trình chuyển động (4.56), (4.57) √ (4.58) 94 ( ) (4.59) trong đó √ (4.60) là momet quỹ đạo của hạt. Từ những biểu thức này ta nhận thấy rằng và cũng là những tích phân chuyển động. Những phương trình (4.56) và (4.57) cho thấy hạt chuyển động phẳng. Chúng nhận các điều kiện sau: xung lượng ban đầu vuông góc với mặt phẳng spin xác định bởi vị trí đầu và vận tốc đầu , vector cũng trong mặt phẳng này. Vector liên quan đến sự bảo toàn moment xung lượng toàn phần trong phương trình (4.59). Từ (4.59) ta có . Sử dụng hệ tọa độ mà sự bảo toàn moment xung lượng dọc theo hướng trục ta thấy tại điểm ban đầu cả và đều định hướng dọc theo trục này và chuyển động trong mặt phẳng . Phương trình (4.57)-(a) chỉ ra rằng ̇ trực giao với mặt phẳng của chuyển động, có nghĩa là ̇ và hướng của không thay đổi. Vì là hằng số của chuyển động, đối với trường hợp này được bảo toàn và vuông góc với mặt phẳng chuyển động. Cũng bởi và là những hằng số của chuyển động, nên vector isospin thứ hai là cũng bảo toàn trong mặt phẳng chuyển động. Với hai vector Isospin đó ta thấy rằng vector lực (số hạng ở vế phải của (4.56)) không có thành phần theo trục , tức là chuyển động chính chỉ nằm trong mặt phẳng . Ta xét chuyển động của hạt trong giới hạn phi tương đối tính trong một vùng ở xa điểm kỳ dị , dẫn đến các phương trình (4.56), (4.57) trở thành dạng sau ̇ (4.61) 95 trong đó ta đặt , vector tuân theo công thức , vector nằm trong mặt phẳng và vuông góc với . Trong tọa độ cực , phương trình (4.61) trở thành hệ sau ̈ ̇ ̇ ̈ ̇ ̇ ̇ (4.62) Khử ̇ trong (4.62) ta rút gọn thành một phương trình cho một chiều ̈ (4.63) với [( ) ] [ ] (4.64) Trong phương trình này việc chọn dấu được lấy từ các phương trình (3.85), (3.86). Nếu ta lấy dấu thì đối với khoảng cách bất kỳ ngoài vùng kỳ dị , ta có khi đó tất cả các số hạng trong (4.64) đều tương ứng với lực đẩy và như thế sẽ không có khả năng về giới hạn của quỹ đạo. Còn trường hợp lấy dấu trừ cho phép cả khả năng cả chuyển động giới hạn và vô hạn, nó phụ thuộc vào điều kiện ban đầu đối với chuyển động của hạt. Do đó, ta sẽ loại bỏ trường hợp ứng với dấu trong phương trình (4.64). Phương trình này xác định một thế hiệu dụng như là một hàm của và phụ thuộc vào các tham số: (1) là tham số nghiệm của trường gauge; (2) là những moment quỹ đạo của bậc tự do "nội tại" của hạt; (3) là tổng moment quỹ đạo toàn phần bảo toàn của hạt, như là điều kiện ban đầu của chuyển động. Khảo sát thế hiệu dụng (4.64) cho ta biết thông tin định tính về chuyển động của hạt. Xét đạo hàm của theo và coi đạo hàm đó như một biểu thức bậc hai của , 96 [ ][ ] √ (4.65) trong đó, ta đã đặt , . Ta thấy rằng đối với thì cả trong (4.65) là những hàm thực và (tương ứng với dấu trước căn thức) có giá trị âm. Do đó, chỉ triệt tiêu nếu thừa số [ ] trong (4.65) triệt tiêu. Vì tăng một cách đơn điệu và sẽ tiệm cận đến (√ ) khi , thế nên phương trình sẽ có nghiệm đơn trị nếu √ và nằm trong khoảng √ . Tình huống này được minh họa trong hình 4.1, ở đó chúng tôi vẽ cho trường hợp và lấy một thí dụ cho thỏa mãn √ . Đường cắt đường cong tại điểm , khoảng cách mà tại đó thế hiệu dụng đạt cực tiểu. Hình 4.1. Đường biểu diễn tổng moment quỹ đạo toàn phần theo Với cùng các giá trị của các thông số này chúng tôi vẽ đường biểu diễn thế hiệu dụng theo trong hình 4.2. Từ đó chúng tôi đã nhận ra sự khác nhau một cách định lượng những kiểu quỹ đạo chuyển động của hạt. 97 Hình 4.2. Đường biểu diễn thế hiệu dụng Schwarzschild-like theo Nếu năng lượng tổng cộng của hạt lớn hơn ( trên hình 4.2) chuyển động của hạt sẽ tiến ra vô cực, trái lại nếu năng lượng nằm trong khoảng ( trên hình 4.2) chuyển động sẽ bị giam giữ. Hình vẽ 4.2 giống như thế hiệu dụng trong trường lực hấp dẫn. Để có sự so sánh giữa các thế hiệu dụng (4.64) với các thế tương ứng trong lý thuyết hấp dẫn của Newton và Einstein ta sử dụng hệ đơn vị và các ký hiệu theo như trong sách tài liệu [77]. Theo đó , khối lượng, năng lượng và moment quỹ đạo chuyển thành độ dài. Dưới đây chúng tôi minh họa việc so sánh thế hiệu dụng của hạt trong không thời gian Schwarzschild của thuyết tương đối rộng (GR): [( )( )] (4.66) trong giới hạn Newton (4.67) thông số được chọn là . Trong hình 4.3 chúng tôi vẽ đường cong của thế Yang-Mills tựa Schwarzschild theo phương trình (4.64), các thông số cho hạt thử đối với thế này được chọn là với , , , , , đơn vị trên trục hoành là . 98 Hình 4.3. Đường cong thế hiệu dụng Yang-Mills tựa Schwarzschild, thế hiệu dụng trong giới hạn Newton và thế hiệu dụng trong lý thuyết tổng quát của Einstein theo Hình vẽ cho thấy hầu hết phần đuôi của đoạn tiệm cận của các thế là như nhau. Ngoài ra còn có điều thú vị là, với vùng , chẳng hạn , thì sự khác nhau của các thế là đáng kể, song tại khoảng cách thì các thế hoàn toàn tương tự. Đường (chấm đứt) cho thế hiệu dụng của hạt trong không thời gian Schwarzschild; đường nét đứt cho thế trong giới hạn Newton; đường nét liền cho thế hiệu dụng Yang-Mills tựa Schwarzschild. 4.3.2 Quỹ đạo chuyển động của hạt [II, V] Để tìm quỹ đạo chuyển động của hạt, ta phải tìm nghiệm của phương trình (4.62). Các thông số của phương trình (4.62) được coi là các thông số tự do của lý thuyết mà nó được đưa vào để làm tăng tính tổng quát cho mô hình lý thuyết. Cho các giá trị khác nhau và sử dụng chương trình Mathematica 7.0 với gói phần mềm đối với phương pháp Runge-Kutta cùng với điều kiện ban đầu ̇ . Chúng tôi đã vẽ được quỹ đạo chuyển động của hạt (không đưa ra hình 99 vẽ ở đây), nó có dạng tựa như tiến động của các hành tinh của định luật Kepler và gọi quỹ đạo này là Kepler-like. 4.4 Kết luận chương 4 Những kết quả thu được ở chương này cho thấy đối xứng gauge Lorentz được coi như cách mô tả tương tác hấp dẫn kiểu Yang-Mills nó đóng góp cho việc nghiên cứu và phát triển những lý thuyết để thống nhất các tương tác cơ bản trong tự nhiên. Trong chương này chúng tôi đã tìm ra cách mở rộng đối xứng địa phương unitary cho đối xứng không-thời gian một cách khả dĩ. Phương pháp của chúng tôi là dựa trên phương trình Wong tương tự như các điện tích chuyển động trong trường điện từ. Đối với lý thuyết này, trường hấp dẫn đã được coi như trường gauge Lorentz, một thành phần của trường đó là phần tự đối ngẫu liên quan tới spin [78, 79, 80, 81, 82, 83]. Cách tiếp cận của chúng tôi như đã trình bày có thể đưa đến gần đúng bài toán chuyển động của hạt trong trường hấp dẫn ở miền gần điểm kỳ dị, còn ở ngoài miền này thì nó đã khá phù hợp với các lý thuyết hấp dẫn riêng phần khác. Nhiệm vụ tiếp theo để nghiên cứu lý thuyết hấp dẫn theo hướng này coi như vấn đề còn để ngỏ, đó là phải tìm cách để tiến gần đến điểm kỳ dị. Chúng tôi coi đây là hướng tiếp cận bài toán về chuyển động của hạt trong trường hấp dẫn bên cạnh nhiều hướng nghiên cứu khác. Tuy nhiên, để có được kết luận đầy đủ về hướng nghiên cứu này thì cần phải có nhiều nghiên cứu tỉ mỉ và công phu hơn. 100 KẾT LUẬN Trong luận án này, chúng tôi đã trình bày những nghiên cứu lý thuyết về các mô hình trường chứa nghiệm soliton của lý thuyết phi tuyến Yang-Mills và Yang-Mills-Higgs bằng cách xây dựng các chương trình tìm nghiệm, mô phỏng kết quả và tìm hiểu ý nghĩa vật lý của nghiệm. Để từ đó làm sáng tỏ một số vấn đề động lực học của tương tác của các hạt cơ bản. Đồng thời mở rộng phạm vi nghiên cứu về tương tác gauge cho nhóm đối xứng không thời gian (nhóm Lorentz) như là một cách tiếp cận với bài toán hạt trong trường hấp dẫn. Các kết quả cụ thể thu được như sau: 1. Chúng tôi đã xây dựng được thuật toán và lập chương trình giải số để tìm nghiệm của hệ các phương trình phi tuyến được rút ra từ tương tác của trường Yang-Mills với nguồn ngoài bằng cách sử dụng tính chất đối xứng của hệ vật lý và các ansatz tìm nghiệm. Chương trình cho phép tìm được nghiệm với chỉ số topo tùy ý. Với các nghiệm tìm được, đã tính toán và vẽ tường minh điện trường, từ trường phi Abel cũng như mật độ năng lượng với các chỉ số topo khác nhau. Qua đó chúng tôi tìm thấy một số tính chất vật lý của hệ tương tác này, đó là những thay đổi về sự phân bố không gian của: Mật độ năng lượng trường; của trường Yang-Mills; của điện từ trường phi Abel, theo chỉ số topo. Một trong những kết quả thú vị đó là hiện tượng che chắn tích và rẽ nhánh năng lượng của trường khi chỉ số topo cao và tích màu có giá trị lớn. 2. Từ chương trình giải số đối với bài toán nguồn ngoài là hai tích màu, chúng tôi đã mở rộng số nguồn ngoài lên và đặc biệt chúng tôi đã khảo sát trường hợp cho các điểm nguồn ngoài nằm ở tất cả các nút lưới trên một trục với cùng một giá trị. Lúc đó nguồn ngoài có thể coi gần đúng như sợi dây vô hạn. Kết quả nghiệm mà chúng tôi thu được đúng như dự đoán, đó là đặc tính của trường chỉ còn phụ thuộc vào khoảng cách tới "dây". Chúng tôi đã mô phỏng các kết quả này và 101 tìm hiểu sự thay đổi về phân bố không gian của mật độ năng lượng, của trường Yang-Mills vào chỉ số topo. Ngoài ra, chúng tôi đã tìm được lớp nghiệm giải tích dạng vortex cho nguồn ngoài dạng dây này. Với trường hợp nghiệm tĩnh đã chứng minh được hiện tượng rẽ nhánh của đồ thị năng lượng phụ thuộc độ lớn tích màu, còn nghiệm phụ thuộc thời gian có dạng sóng trụ và mang các đặc điểm như: có sự truyền tải năng xung lượng, nhưng không phát xạ màu, do đó tích màu tổng cộng của nguồn không đổi theo thời gian. Những kết quả nghiên cứu này của chúng tôi đã được đăng trong các bài báo [III, IV, VI]. 3. Từ việc nghiên cứu nghiệm của các phương trình trường chuẩn nói trên, chúng tôi đã mở rộng mô hình cho tương tác hấp dẫn bằng cách sử dụng các phương pháp mô tả tương tác từ các nhóm unita sang nhóm đối xứng không-thời gian - nhóm Lorentz, kết hợp với việc dùng ngôn ngữ toán học bó thớ, phép tham số hóa vector, phức hóa vector. Chúng tôi đã tìm được hệ phương trình Wong mở rộng cho trường hợp hạt chuyển động trong trường Yang-Mills của các nhóm và . 4. Chúng tôi cũng đã tìm được nghiệm của hệ phương trình Wong mở rộng trong trường hợp phi tương đối tính cho chuyển động của hạt màu trong thế hiệu dụng Yang-Mills (khi không có trường Higgs) có dạng tương tự thế Schwarzschild trong lý thuyết hấp dẫn, qua đó tìm được cách mô tả tương tác của hạt trong trường hấp dẫn và thế hiệu dụng cho tương tác của hạt. So sánh kết quả với những cách mô tả hấp dẫn đã biết, đó là lý thuyết hấp dẫn của Newton, lý thuyết tương đối tổng quát của Einstein. Kết quả khá thú vị là quỹ đạo của hạt có dạng tựa Kepler, còn thế hiệu dụng có dạng tựa Schwarzschild. Tại vùng không xa điểm kỳ dị lắm đã tìm thấy sự thống nhất các tương tác trong tự nhiên, còn trong miền có sự khác nhau giữa các thế và chuyển động của hạt màu bị giam giữ trong miền này. Mặc dù để mô tả các tương tác đơn lẻ, đã có những lý thuyết riêng phần khá chính xác, song việc tìm một lý thuyết đầy đủ để mô tả tất cả các tương tác vẫn là bài toán thách thức các nhà vật lý. Vì vậy với cách 102 tiếp cận tương tác hấp dẫn kiểu Yang-Mills của chúng tôi trong phần này, chúng tôi hy vọng có đóng góp vào hướng nghiên cứu của bài toán lớn đó. Những kết quả nghiên cứu này của chúng tôi đã được đăng trong các bài báo [II, V] và báo cáo tại Hội nghị Vật lý Quốc tế [I]. Các kết quả trên góp phần làm phong phú hơn các hiểu biết về cấu trúc lý thuyết Yang-Mills, mà hiện nay đang được thừa nhận là lý thuyết đóng vai trò nền tảng để xây dựng các mô hình lý thuyết mô tả các tương tác cơ bản của tự nhiên. 103 Danh mục các công trình khoa học của tác giả có liên quan đến luận án [I] Nguyen Vien Tho and Nguyen Quoc Hoan (2009) A Test for the Local Intrinsic Lorentz Symmetry. The 5th International Conference on Flavor Physics, Hanoi, September 24-30, 2009. [II] Nguyen Vien Tho and Nguyen Quoc Hoan (2010), On the Yang-Mills gravity. Communications in Physics, Vol 20, №3, (2010) pp. 271. [III] Nguyen Vien Tho, To Ba Ha and Nguyen Quoc Hoan (2010) Solutions for Yang-Mills field with singular source terms and higher topological indices. Proc. Natl. Conf. Theor. Phys., 35 (2010), pp. 80-85. [IV] Nguyen Quoc Hoan (2012) Properties of Yang-Mills Field with Axially Symmetric External Color Charge Sources. Proc. Natl. Conf. Theor. Phys. 37 (2012), pp. 187-192. [V] Nguyen Vien Tho and Nguyen Quoc Hoan (2012) A Test for the Local Intrinsic Lorentz Symmetry. Journal of Physical Science and Application. 2 (8) (2012), pp. 328-334. [VI] Nguyen Vien Tho, To Ba Ha and Nguyen Quoc Hoan (2013) Vortex Solutions of the Yang-Mills Field Equations with External Sources. Journal of Physical Science and Application. 4 (1) (2014), pp. 50-59. 104 Tài liệu tham khảo [1] C. N. Yang and R. L. Mills (1954) Conservation of isotopic spin and isotopic gauge invariance. Phys. Rev. 96, pp. 191-195. [2] S. L. Glashow (1961) Partial-Symmetries of weak interaction. Nucl. Phys. 22, pp. 579-588. [3] A. Abada, A. J. R. Figueiredo, J. C. Romao and A. M. Teixeira (2011) Probing the supersymmetric type III seesaw: LFV at low-energies and at the LHC. arXiv: 1104.3962 [hep-ph]. [4] J. Abdallah (2005), Photon events with missing energy in collision at √ Eur. Phys. J. C 38, 395 [arXiv: hep- ex/0406019]. [5] F. Englert, R. Brout (1964) Broken Symmetry and the Mass of Gauge Vector Mesons. Phys. Rev. Lett. 13, pp. 321-323. [6] P. W. Higgs (1964), Broken Symmetries and the Masses of Gauge Bosons. Phys. Rev. Lett. 13, pp. 508-509. [7] G. S. Guralnic, C. R. Hagen and T. W. B. Kibble (1964) Global Conservation Laws and Massless Particles. Phys. Rev. Lett. 13, pp. 585- 587. [8] F. J. Hasert (1973) Search for elastic muon-neutrion electron scattering. Phys. Lett. B 46, pp. 212. [9] F. J. Hasert (1973) Observation of neutrino-like intractions without muon or electron in the gargameelle neutrino experiment. Phys. Lett. B 46, pp. 138. [10] F. J. Hasert (1974) Observation of neutrino-like intractions without muon or electron in the Gargamelle neutrino experiment. Nucl. Phys. B 73, pp. 1. [11] E. B. Bogomolny (1976) The stability of classical solutions. Sov. J. Nucl. Phys. 24, pp. 499-454. [12] A. A. Abrikosov (1957) On the magnetic Properties of Superconductors of the Second Group. Sov. Phys. JETP. 5, pp. 1174. 105 [13] W. J. Zakrzewski (1989) Low Dimentional Sigma Models. Bristol, Institute of Physics Publishing. [14] A. M. Polyakov (1974) Particle spectrum in quantum field theory. JETP Lett. 20, pp. 194-195. [15] G. ’t Hooft (1974) Magnetic monopoles in unified gauge theories. Nucl. Phys. B 79, pp. 276-284. [16] T. H. R. Skyrme (1961) A nonlinear field theory. Proc. R. Soc. Lond. A260, pp.127. [17] T. H. R. Skyrme (1962) A unified field theory of mesons and baryons. Nucl. Phys. 31, pp. 556. [18] A. A. Belavin, A. M. Polyakov, A. S. Schwartz and Y. S. Tyupkin (1975) Pseudoparticle solution of the Yang-Mills equations. Phys. Lett. B 59, pp. 85-88. [19] S. Coleman (1977) Non-Abelian plane waves. Phys. Lett. 70B, pp. 59-60. [20] T. T. Wu and C. N. Yang (1968) Properties of Matter Under Unusual Conditions. edited by H. Mark and S. Fernbach (Intercience, New York) [21] B. Julia and A. Zee (1975) Poles with both magnetic and electric charges in non-Abelian gauge theory. Phys. Rev. D 11, pp. 2227-2232. [22] J. P. Hsu and E. Mac (1977) Symmetry and exact dyon solutions for classical Yang–Mills field equations. J. Math. Phys. 18, pp. 100. [23] A. M. Polyakov (1975) Isomeric states of quantum fields. Sov. Phys. JETP 41, pp. 988-995. [24] A. M. Polyakov (1975) Compact gauge fields and the infrared catastrophe, Phys. Lett. B 59, pp. 82-84. [25] E. B. Bogomolny and M. S. Marinov (1976), Calculation of the monopole mass in gauge theory. Sov. J. Nucl. Phys. 23, pp. 355. [26] M. K. Prasad and C. M. Sommerfield (1975) Exact Classical Solution for the 't Hooft Monopole and the Julia-Zee Dyon. Phys. Rev. Lett. 35, p 760- 762. [27] B. Kleihaus, J. Kunz (1999) Monopole-antimonopole solution of the SU(2) Yang-Mills-Higgs model. Phys. Rev. D 61, 025003. 106 [28] J. Jersák (1995) Numerical simulations in quantum field theory of elementary particles. Journal of Computational and Applied Mathematics. 63, pp. 49-56. [29] F. Karsch and E. Laermann (1993) Numerical simulations in particle physics. Rep. Prog. Phys. 56. Printed in the UK, pp. 1347-1395. [30] D. F. Litim, M. C. Mastaler, F. Synatschke-Czerwonka, and A. Wipf (2011) Critical behavior of supersymmetric O(N) models in the large-N limit. Phys. Rev. D 84, 125009. [31] C. Wozar, A. Wipf (2011) Supersymmetry Breaking in Low Dimensional Models. Annals Phys. 327, arXiv:1107. 3324 [hep-lat]. [32] H. Gies, F. Synatschke, A. Wipf (2009) Supersymmetry breaking as a quantum phase transition Phys. Rev. D80: 101701. [33] V. De Alfaro, S. Fubini, G. Furlan (1976) A new classical solution of the Yang-Mills field equations. Phys. Lett. B 65, pp. 163-166. [34] C. Rebbi, P. Rossi (1980) Multimonopole solutions in the Prasad- Sommerfield limit. Phys. Rev. D 22, pp. 2010-2017. [35] B. Kleihaus, J. Kunz, Y. Shnir (2003) Monopoles, antimonopoles, and vortex rings. Phys. Rev. D 68 (2003) 101701(R). [36] R. Jackiw, L. Jacobs and C. Rebbi (1979) Static Yang-Mills field with sources. Phys. Rev. D 20, pp. 474-486. [37] M. P. Isidro Filho, A. K. Kerman and H. D. Trottire (1989) Topologically nontrivial solutions to Yang-Mills equations with axisymmetric external sources. Phys. Rev. D 40, pp. 4142-4150. [38] P. Sikivie and N. Weiss (1978) Screening Solutions to Classical Yang- Mills Theory. Phys. Rev. Lett. 40, pp. 1411-1413; P. Sikivie and N. Weiss (1978) Classical Yang-Mills theory in the presence of external sources. Phys. Rev. D 18, pp. 3809. [39] J. E. Mandula (1977) Total charge screening. Phys. Lett. B 69, pp. 495- 498. [40] C. H. Oh (1993) Analytic solutions of the Yang-Mills field equations with external sources of higher topological indices. Phys. Rev. D 47, pp. 1652- 1655. 107 [41] H. B. Nielsen and P. Olesen (1973) Vortex-line models for dual string. Nucl. Phys. B 61, pp. 45-61. [42] S. Mandelstam (1976) Vortices and quark confinement in non-Abelian gauge theories. Phys. Rept. 23, pp. 245-349. [43] A. J. Niemi, K. Palo and S. Virtanen (2000) (Meta) stable closed vortices in 3+1 dimensional gauge theories with an extended Higgs sector. Phys. Rev. D 61, 085020. [44] A. Achucarro and T. Vachaspati (2000) Semilocal and electroweak strings. Phys. Rept. 327, pp. 347-426. [45] P. Forgács, S. Reuilon and M. S. Volkov (2006) Superconducting Vortices in Semilocal Models. Phys. Rev. Lett. 96, 041601; P. Forgács, S. Reuilon and M. S. Volkov (2006) Twisted superconducting semilocal strings. Nucl. Phys. B 751, pp. 390-418. [46] H. J. de Vega and F. A. Schaposnik (1986) Vortices and electrically charged vortices in non-Abelian gauge theories. Phys. Rev. D 34, pp. 3206-3213. [47] F. A. Schaposnik and P. Suranyi (2000) New vortex solution in SU(3) gauge-Higgs theory. Phys. Rev. D 62, 125002. [48] M. Shifman and A. Yung (2007) Supersymmetric solitons. Rev. Mod. Phys. 79, pp. 1139-1196. [49] J. E. Mandula (1976) Classical Yang-Mills potential. Phys. Rev. D 14, pp. 3497-3507. [50] H. J. de Vega and F. A. Schaposnik (1976) Classical vortex solution of the Abelian Higgs model. Phys. Rev. D 14, pp. 1100. [51] E. J. Weinberg (1979) Multivortex solution of the Ginzburg-Landau equations. Phys. Rev. D 19, pp. 3008-3012. [52] C. H. Oh and R. R. Parwani (1987) Bifurcation in the Yang-Mills field equations with static sources. Phys. Rev. D. 36, pp. 2527-2531. [53] E. Rothwell and M. Cloud (2001) Electromagnetics. CRC Press, 2001 Chap. 2. [54] C. H. Oh, C. H. Lai and R. The (1987) Color radiation in the classical Yang-Mills theory. Phys. Rev. D. 36, pp. 2527-2531. 108 [55] S. G. Matinyan, E. B. Prokhorenko, and G. K. Savvidy (1986) Stochastic nature of spherically symmetric solutions of the time-dependent Yang- Mills equations, JETP. Lett. 44, pp. 138-141. [56] M. Alford, K. Rajagopal and F. Wilczek (1998) QCD at finite baryon density: nucleon droplets and color superconductivity, Phys. Lett. B 422, pp. 247-256; [57] R. Rapp, T. Scha efer, E. V. Shutyak and M. Velkovsky (1998) Diquark Bose Condensates in High Density Matter and Instantons. Phys. Rev. Lett. 81, pp. 53-56. [58] M. Alford, K. Rajagopal and F. Wilczek (1999) Color-Flavor Locking and Chiral Symmetry Breaking in High Density QCD. Nucl. Phys. B 537, pp. 443-488. [59] R. Rapp, T. Scha efer, E. V. Shutyak and M. Velkovsky (2000) High- Density QCD and Instantons. Ann. Phys. (N.Y.) 280, pp. 35-99. [60] S. K. Wong (1970), Fiels and particle equations for the classical Yang- Mills field and particle with isotopic spin. Nuovo Cim. 65A, pp. 689. [61] L. S. Brown, W. I. Weinberg (1979) Vacuum polarization in uniform non- Abelian gauge field. Nucl. Phys, B157, pp. 285-326. [62] S. Kobayashi, K. Nomizu (1969) Foundations of differential geometry. Vol. 1, (Ed.) Wiley, NewYork. [63] M. Daniel, C.M. Viallet (1980) The geometrical settings of gauge theory of the Yang-Mills type. Rev. Mod. Phys. 52, pp. 175-197. [64] A. Duriryak (2000) Classical mechanics of Relativistic Particle. Proceeding of Institude of Mathematics of NAS of Ukraine, pp. 473 [65] N. V. Tho (2008) Interaction of imaginary-charge-carrying dyon with particles. Journal of Mathematical Physics 49 (2008) 062301-1-10. [66] V. I. Kuvshinov and N. V. Tho (1994) Local vector parameters of group, Cartan forms, and application to theories of gauge and chiral field. Phys. Part. Nucl. 25(3), pp. 253-271. [67] F. I. Fedorov (1979) Lorentz Group. (Nauka, Moscow 1979); (Editorial USSR, Moscow, 2003). 109 [68] V. I. Kuvshinov, N. V. Tho (1993) A new method for calculating the Cartan forms and applications to gauge and chiral field theories. J. Math. Phys. A 26 (1993) 631-645. [69] D. Singleton (1995) Exact Schwarzschild-like solutions for Yang-Mills theories. Phys. Rev. D 51, pp. 5911-5914. [70] A. H. Chamseddine (2004) SL(2,C) gravity with complex vierbein and its noncommutative extension. Phys. Rev. D 69 (2004) 024015. [71] T. T. Wu, C. N. Yang (1976) Static sourceless gauge field. Phys. Rev. D 13, pp. 3233-3236. [72] A. I. Alekseev and B. A. Arbuzov (1985) Interaction of color charges. Teoret. Mat. Fiz., 65, pp. 202–211. [73] R. M. Fernandes, P. S. Letelier (2005) Motion of a particle with Isospin in the Presence of a Monopole. arXiv: hep-th/0508219, vl. [74] J. Schechter (1976), Yang-Mills particle in ’t Hooft’s gauge Field. Phys. Rev. D 14(2), pp. 524-527. [75] A. Azizi (2002), Planar trajectories in a monopole field. J. Math. Phys. 43, pp. 299 [76] R. M. Fernandes, P. S. Letelier (2004) Motion of coloured particles in soliton of the O(3) non-linear model. Proceeding of Science. [77] C. W. Misner, K. S. Thorn, J. A. Wheeler (1973) Gravitation. (Ed.) W. H. Freedman and Company, San Francisco, pp. 25. [78] F. W. Held, P. Von de Heyde, D. Kerlick, J. Nester (1976) General relativity with spin and torsion: Foundations and prospects. Rev. Mod. Phys. 48, pp. 393-416. [79] A. Ashtekar (1986) New variables for classical and quantum gravity. Phys. Rev. Lett. 57, 18, pp. 2244-2247. [80] A. Ashtekar (1987) New Hamiltonian formalism of general relativity. Phys. Rev. D 36, pp. 1587-1602. [81] G. ’t Hooft (1991) A chiral alternative to the vierbein fiel in general relativity. Nucl. Phys. B 357 (1991), pp. 211-221. 110 [82] R. K. Kaul (2006) Gauge theory of gravity and supergravity. Phys. Rev. D 73, (2006) 065027-1-13. [83] A. H. Chamseddine (2006) Applications of the gauge principle to gravitational interactions. International Journal of Geometric Methods in Modern Physics 03 (2006), pp. 149-176.