Luận án Phân tích dao động phi tuyến bằng cách tiếp cận trung bình có trọng số

            (4.115) 2 4 6 8 10 12 14 16 8 8 8 8 2 2 2 2 2 2 2 2 5945425920 1516142592 1014806528 192596992 17013120 768000 18256 216 cos ( ) , ( 4) ( 16) ( 36) ( 64)w w s s s s s s s s q t s s s s                     (4.116) 97 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 10 10 10 10 2 2 2 2 2 2 2 2 53508833280000 13076221132800 8994366406656 1872317542400 188571698176 10357551360 330883456 6277280 69336 410 cos ( ) ( 4) ( 16) ( 36) ( 64)w w s s s s s s s s s s q t s s s s                         2 2 , ( 100)s  (4.117) 2 4 6 8 10 12 14 16 18 12 12 12 12 1017095902986240000 238431997683302400 167218684675227648 37005035077435392 4051374602665984 250121702961152 9397253131264 223863706112 3437298304 33774752 cos ( ) w w s s s s s s s s s q t              20 22 24 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 204424 692 , ( 4) ( 16) ( 36) ( 64) ( 100) ( 144) s s s s s s s s s                          (4.118) 2 4 2 2 2 2 2 2 2 8 2 cos ( ) , ( 4)w w s s qq t s             (4.119) 2 4 6 8 3 4 2 4 4 2 2 2 2 2 1536 416 248 28 cos ( ) , ( 4) ( 16)w w s s s s q q t s s                (4.120) 2 4 6 8 10 12 5 6 2 6 6 2 2 2 2 2 2 2 1658880 440064 282496 45712 3168 94 cos ( ) , ( 4) ( 16) ( 36)w w s s s s s s q q t s s s                       (4.121) 2 4 6 8 10 12 14 16 7 8 2 8 8 2 2 2 2 2 2 2 2 2 5945425920 1516142592 1014806528 192596992 17013120 768000 18256 216 cos ( ) , ( 4) ( 16) ( 36) ( 64)w w s s s s s s s s q q t s s s s                           (4.122) 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 9 10 2 10 10 2 2 2 2 2 53508833280000 13076221132800 8994366406656 1872317542400 188571698176 10357551360 330883456 6277280 69336 410 cos ( ) ( 4) ( 16)w w s s s s s s s s s s q q t s s                                 2 2 2 2 2 2 . ( 36) ( 64) ( 100)s s s   (4.123) 98 Thay các giá trị trung bình (4.113) – (4.123) vào phương trình (4.111) và chọn 2s  , ta thu được tần số xấp xỉ của dao động: 2 4 6 8 10 6 7 8 9 10 11 8 6 4 2 5 4 3 2 1 0.72 0.575 0.4836 0.4198 0.3722 . 0.4198 0.4836 0.575 0.72                     Luân án c c c c c c c c c c c (4.124) Và do đó, nghiệm xấp xỉ được cho bởi: 2 4 6 8 10 6 7 8 9 10 11 8 6 4 2 5 4 3 2 1 0.72 0.575 0.4836 0.4198 0.3722 ( ) cos . 0.4198 0.436 0.575 0.72                            Luân án c c c c c c q t t c c c (4.125) 4.2.4. Áp dụng phương pháp biến phân Vì mục đích so sánh, trong phần này ta sử dụng phương pháp biến phân được đề xuất bởi He [33] để tìm nghiệm xấp xỉ của phương trình vi phân phi tuyến (4.96). Theo phương pháp này, một nguyên lý biến phân của phương trình (4.96) được thiết lập:  2 2 4 6 8/4 1 2 3 4 5 2 4 6 8 10 120 6 7 8 9 10 11 1 2 ( ) , 1 1 1 1 1 1 2 4 6 8 10 12 T q c c q c q c q c q J q dt c q c q c q c q c q c q                       (4.126) trong đó, T là chu kỳ của dao động. Nghiệm xấp xỉ của phương trình (4.96) được tìm dưới dạng: ( ) cos( ).q t t  (4.127) với  là tần số xấp xỉ của dao động và là đại lượng cần tìm. Thay (4.127) vào (4.126), ta được:   2 2 4 4 2 1 2 3 6 6 8 8 4 5 2 2 4 4 2 2 6 7 8 8 8 10 10 12 12 9 10 11 cos ( ) cos ( )1 sin( ) 2 cos ( ) cos ( ) 1 1 1 ( , ) cos ( ) cos ( ) cos ( ) 2 4 6 1 1 1 cos ( ) cos ( ) cos ( ) 8 10 12 c c t c t t c t c t J c t c t c t c t c t c t                                                       / 4 0 . T dt     (4.128) Bởi việc giới thiệu biến thời gian mới t  , biến phân (4.128) trở thành: 99 2 2 4 4 1 2 32 2 2 6 6 8 8 4 5 / 2 2 2 4 4 2 2 6 7 8 0 8 8 10 10 12 12 9 10 11 cos ( ) cos ( )1 sin ( ) 2 cos ( ) cos ( ) 1 1 1 1 ( , ) cos ( ) cos ( ) cos ( ) 2 4 6 1 1 1 cos ( ) cos ( ) cos ( ) 8 10 12 c c c c c J c c c c c c                                                             .d (4.129) Từ điều kiện: ( , ) 0, J       (4.130) ta tìm được tần số xấp xỉ của dao động:     / 2 2 2 4 4 6 6 8 10 10 12 12 6 7 8 9 10 11 0 / 2 2 2 4 4 6 6 8 8 2 1 2 3 4 5 0 cos cos cos cos cos cos . 2 cos 3 cos 4 cos 5 cos sin c c c c c c d c c c c c d                                        (4.131) Thực hiện các phép tính tích phân trong phương trình (4.131), tần số xấp xỉ của dao động sử dụng phương pháp biến phân được cho bởi: 2 4 6 8 10 6 7 8 9 10 11 2 4 6 8 1 2 3 4 5 3 5 35 63 231 4 8 64 128 512 . 1 3 5 35 2 8 16 128 VA c c c c c c c c c c c                     (4.132) và nghiệm xấp xỉ của dao động: 2 4 6 8 10 6 7 8 9 10 11 2 4 6 8 1 2 3 4 5 3 5 35 63 231 4 8 64 128 512( ) cos . 1 3 5 35 2 8 16 128 VA c c c c c c q t t c c c c c                             (4.133) 4.2.5. Các kết quả số và thảo luận Để kiểm chứng sự chính xác của nghiệm giải tích gần đúng thu được, các kết quả thu được bởi Luận án sử dụng phương pháp tuyến tính hóa tương đương và trung bình có trọng số được so sánh với nghiệm số sử dụng phương pháp Runge – Kutta và nghiệm gần đúng sử dụng phương pháp biến phân (VA). 100 Bảng 4.8. So sánh các tần số xấp xỉ với tần số chính xác của MEMS α P V Chính xác [79] EBM [78] Luân án VA 0.3 10 0 26.8372 26.3867 26.7577 26.3644 0.3 10 20 16.6486 16.3829 16.5865 16.3556 0.6 10 10 28.5382 26.5324 28.2199 26.1671 0.6 10 20 18.5902 17.5017 18.5507 17.0940 Khi / 0l L   và / 0ea L   , mô hình nghiên cứu trong Luận án trở thành mô hình đã được nghiên cứu bởi Fu và cộng sự [78], Qian và cộng sự [79] dựa trên lý thuyết đàn hồi cổ điển. Các tần số xấp xỉ thu được bởi các phương pháp giải tích khác nhau và tần số chính xác được liệt kê trong Bảng 4.8 với một vài giá trị khác nhau của biên độ ban đầu  , lực nén dọc trục P và điện thế tác dụng V. Ta có thể quan sát được sự chính xác của nghiệm xấp xỉ thu được bởi Luận án Luân án so với nghiệm xấp xỉ thu được bởi phương pháp cân bằng năng lượng EBM và phương pháp biến phân VA . Hình 4.19. Độ võng và quỹ đạo pha của NEMS thu được bởi các phương pháp khác nhau với 0.1  , 0.1  , 10P  , 0.3  , 20  và 10V  101 Hình 4.20. Độ võng và quỹ đạo pha của NEMS thu được bởi các phương pháp khác nhau với 0.2  , 0.2  , 5P  , 0.3  , 30  và 15V  Bảng 4.9 liệt kê các tần số xấp xỉ của dầm nano thu được bởi phương pháp tuyến tính hóa tương đương Luân án và phương pháp biến phân VA với một vài giá trị khác nhau của các tham số của hệ. Ta có thể quan sát thấy một sự nhất quán rất lớn giữa hai tần số xấp xỉ đặc biệt là với giá trị nhỏ của biên độ ban đầu  . Bảng 4.9. Các tần số xấp xỉ của dầm nano  N V     Luân án VA 0.1 10 5 0.2 0.2 0.5 10 25.5769 25.4797 10 10 0.2 0.2 0.5 20 25.6535 25.5796 10 15 0.2 0.2 0.5 30 25.7808 25.7453 0.2 5 5 0.2 0.2 0.5 10 28.0006 27.5600 5 10 0.2 0.2 0.5 20 29.5618 29.1717 5 15 0.2 0.2 0.5 30 31.9951 31.6761 0.4 0 5 0.2 0.2 0.5 10 30.6991 28.5916 0 10 0.2 0.2 0.5 20 36.5117 34.1727 0 15 0.2 0.2 0.5 30 44.5446 41.8521 Nghiệm xấp xỉ thu được bởi Luận án và phương pháp biến phân được so sánh với nghiệm số sử dụng phương pháp Runge – Kutta bậc 4, kết quả được thể hiện trong 102 các Hình 4.19 và 4.20. Ta có thể thấy rằng nghiệm giải tích thu được bởi Luận án (phương pháp tuyến tính hóa tương đương và trung bình có trọng số) chính xác hơn so với nghiệm giải tích thu được bởi phương pháp biến phân (VA). Trong các phần tiếp theo, ảnh hưởng của các tham số khác nhau của hệ như tham số phi cục bộ /ea L  , tham số tỉ lệ chiều dài vật liệu /l L  , tỉ số độ mảnh 2 /AL I  , lực nén dọc trục P và điện thế tác dụng V đến tần số phi tuyến NL và tỉ số tần số /NL L  sẽ được khảo sát, trong đó L là tần số tuyến tính của dầm nano dựa trên lý thuyết đàn hồi cổ điển. Trong các kết quả dưới đây, Luận án sử dụng tần số phi tuyến NL thu được bởi phương pháp tuyến tính hóa tương đương và trung bình có trọng số được cho bởi phương trình (4.124). 4.2.5.1. Ảnh hưởng của tham số phi cục bộ Ảnh hưởng của tham số phi cục bộ ( /ea L  ) đến tần số phi tuyến và tỉ số tần số của dầm nano được thể hiện trong các Hình 4.21 - 4.22 với các giá trị của các tham số được chọn là 0.3  , 5P  , 0.2  , 10V  , 40  . Hình 4.21. Sự thay đổi của tần số phi tuyến (a) và tỉ số tần số (b) theo tham số phi cục bộ với một vài giá trị khác nhau của biên độ ban đầu 103 Hình 4.22. Sự thay đổi của tần số phi tuyến (a) và tỉ số tần số (b) theo biên độ ban đầu với một vài giá trị nhỏ khác nhau của tham số phi cục bộ Từ các Hình 4.21 và 4.22, ta thấy rằng khi tăng giá trị của tham số phi cục bộ  , tần số phi tuyến giảm, trong khi tỉ số tần số lại tăng. Điều này hoàn toàn phù hợp với lý thuyết đàn hồi phi cục bộ [59, 60], vì tham số phi cục bộ làm giảm độ cứng của dầm nano, chính vì vậy tần số phi tuyến giảm khi tăng giá trị của tham số phi cục bộ. Với các giá trị đã cho của tham số phi cục bộ, tần số phi tuyến và tỉ số tần số của dầm nano đầu tiên tăng và sau đó giảm khi tăng giá trị của biên độ ban đầu  như trong các Hình 4.22 và 4.23. Hình 4.23. Sự thay đổi của tần số phi tuyến (a) và tỉ số tần số (b) theo biên độ ban đầu với một vài giá trị khác nhau của tham số phi cục bộ 104 4.2.5.2. Ảnh hưởng của tham số tỉ lệ chiều dài vật liệu Ảnh hưởng của tham số tỉ lệ chiều dài vật liệu ( /l L  ) đến tần số phi tuyến và tỉ số tần số của dầm nano được thể hiện trong các Hình 4.24 và 4.25 tương ứng với hai trường hợp được chọn của các tham số 0.2  , 5P  , 0.2  , 10V  , 60  và 0.4  , 5P  , 0.2  , 10V  , 40  . Từ các Hình 4.24 và 4.25, ta thấy rằng tham số tỉ lệ chiều dài vật liệu ảnh hưởng rất lớn tới đáp ứng dao động phi tuyến của dầm nano. Cụ thể, có thể thấy rằng sự tăng của tham số tỉ lệ chiều dài vật liệu dẫn đến sự tăng của tần số phi tuyến và sự giảm của tỉ số tần số của dầm nano, tần số phi tuyến của dầm nano tăng mạnh khi tham số tỉ lệ chiều dài vật liệu tăng như quan sát trong Hình 4.24(a). Tham số tỉ lệ chiều dài vật liệu có ảnh hưởng làm tăng độ cứng của dầm nano, chính vì vậy, tần số phi tuyến của dầm nano sẽ tăng khi tăng giá trị của tham số tỉ lệ chiều dài vật liệu; điều này phù hợp với lý thuyết độ dốc biến dạng [61-63]. Tốc độ tăng của tần số tuyến tính nhanh hơn so với tốc độ tăng của tần số phi tuyến khi tham số tỉ lệ chiều dài vật liệu tăng, vì vậy, tỉ số tần số của dầm nano giảm. Với mỗi giá trị của tham số tỉ lệ chiều dài vật liệu, cả tần số phi tuyến và tỉ số tần số của dầm nano đều tăng khi biên độ ban đầu tăng như quan sát trong Hình 4.25. Hình 4.24. Sự thay đổi của tần số phi tuyến (a) và tỉ số tần số (b) theo tham số tỉ lệ chiều dài vật liệu với một vài giá trị khác nhau của biên độ ban đầu 105 Hình 4.25. Sự thay đổi của tần số phi tuyến (a) và tỉ số tần số (b) theo biên độ ban đầu với một vài giá trị khác nhau của tham số tỉ lệ chiều dài vật liệu 4.2.5.3. Ảnh hưởng của tỉ số độ mảnh Ảnh hưởng của tỉ số độ mảnh (the slenderness ratio) ( 2 /AL I  ) đến đáp ứng dao động của dầm nano được thể hiện trong các Hình 4.26 và 4.27. Với các giá trị của các tham số được chọn 0.2  , 0.2  , 10P  , 0.1  và 10V  , Hình 4.26 thể hiện sự thay đổi của tần số phi tuyến và tỉ số tần số của dầm nano theo tỉ số độ mảnh với một vài giá trị khác nhau của biên độ ban đầu. Trong khi với các giá trị cố định của các tham số 0.2  , 0.2  , 10P  , 0.1  và 25V  , Hình 4.27 thể hiện sự thay đổi của tần số phi tuyến và tỉ số tần số của dầm nano theo biên độ ban đầu với một vài giá trị khác nhau của tỉ số độ mảnh. Kết quả này hoàn toàn phù hợp với kết quả thu được bởi Şimşek và Reddy [66], Akgöz và Civalek [72]. Từ Hình 4.26, có thể thấy rằng cả tần số phi tuyến và tỉ số tần số của dầm nano đều tăng khi tăng giá trị của tỉ số độ mảnh. Cũng từ Hình 4.26, khi biên độ ban đầu tăng, cả tần số phi tuyến và tỉ số tần số của dầm nano đều giảm với giá trị nhỏ của của tỉ số độ mảnh ( 20  ); nhưng tần số phi tuyến và tỉ số tần số của dầm nano lại tăng với các giá trị lớn hơn của tỉ số độ mảnh ( 20  ). Với 20  tức là tỉ số giữa chiều dài L và độ dày h của dầm nano xấp xỉ bằng 6 ( / 6L h  ) tương ứng với dầm sâu trung bình. 106 Hình 4.26. Sự thay đổi của tần số phi tuyến (a) và tỉ số tần số (b) theo tỉ số độ mảnh với một vài giá trị khác nhau của biên độ ban đầu Từ Hình 4.27, ta có thể quan sát rằng với các giá trị nhỏ của tỉ số độ mảnh 30  , cả tần số phi tuyến và tỉ số tần số của dầm nano tăng khi biên độ ban đầu tăng. Tuy nhiên, với giá trị lớn hơn của tỉ số độ mảnh 30  , chẳng hạn 40  , tần số phi tuyến và tỉ số tần số của dầm nano tăng khi biên độ ban đầu tăng, nhưng sau đó lại giảm nếu biên độ ban đầu tiếp tục tăng. Điều này có thể giải thích là bởi vì khi tỉ số độ mảnh lớn, dầm nano nên dễ mất ổn định hơn khi tỉ số độ mảnh nhỏ. Hình 4.27. Sự thay đổi của tần số phi tuyến (a) và tỉ số tần số (b) theo biên độ ban đầu với một vài giá trị khác nhau của tỉ số độ mảnh 107 4.2.5.4. Ảnh hưởng của lực nén dọc trục Hình 4.28. Sự thay đổi của tần số phi tuyến (a) và tỉ số tần số (b) theo lực nén dọc trục với một vài giá trị khác nhau của biên độ ban đầu Hình 4.29. Sự thay đổi của tần số phi tuyến (a) và tỉ số tần số (b) theo biên độ ban đầu với một vài giá trị khác nhau của lực nén dọc trục Các Hình 4.28 và 4.29 thể hiện ảnh hưởng của lực nén dọc trục P đến đáp ứng dao động của dầm nano. Hình 4.28 thể hiện sự thay đổi của tần số phi tuyến và tỉ số tần số của dầm nano theo lực nén dọc trục với một vài giá trị khác nhau của biên độ ban đầu và các giá trị cố định của các tham số 0.2  , 0.2  , 0.2  , 30  , 15V  . Trong khi Hình 4.29 thể hiện sự thay đổi của tần số phi tuyến và tỉ số tần số của dầm nano theo biên độ ban đầu với một vài giá trị khác nhau của lực nén dọc trục và các giá trị cố định của các tham số 0.2  , 0.2  , 0.2  , 35  , 20V  . Ta 108 thấy rằng khi lực nén dọc trục tăng, tỉ số tần số tăng trong khi tần số phi tuyến lại giảm. Với mỗi giá trị cố định của lực nén dọc trục, tỉ số tần số và tần số phi tuyến của dầm nano tăng khi biên độ ban đầu tăng, nhưng sau đó lại giảm nếu biên độ ban đầu tiếp tục tăng. Đường cong của tần số phi tuyến theo biên độ ban đầu đạt giá trị lớn nhất khi biên độ ban đầu 0.7  . 4.2.5.5. Ảnh hưởng của điện thế tác dụng Ảnh hưởng của điện thế tác V đến đáp ứng dao động của dầm nano được khảo sát. Hình 4.30 thể hiện sự thay đổi của tần số phi tuyến và tỉ số tần số của dầm nano theo điện thế tác dụng với một vài giá trị khác nhau của biên độ ban đầu và các giá trị cố định của các tham số 0.2  , 0.2  , 0.2  , 30  , 20P  . Trong khi với một vài giá trị của điện thế tác dụng và các giá trị cố định của các tham số 0.2  , 0.2  , 0.2  , 40  , 5P  , Hình 4.31 thể hiện sự thay đổi của tần số phi tuyến và tỉ số tần số của dầm nano theo biên độ ban đầu. Ta thấy rằng ảnh hưởng của điện thế tác dụng V đến đáp ứng dao động của dầm nano giống với ảnh hưởng của lực nén dọc trục P. Tỉ số tần số tăng, trong khi tần số phi tuyến giảm khi điện thế tác dụng giữa các bản cực tăng. Và với mỗi giá trị cố định của điện thế tác dụng, cả tần số phi tuyến và tỉ số tần số của dầm nano đều tăng khi biên độ ban đầu tăng; tuy nhiên khi tiếp tục tăng biên độ ban đầu, tần số phi tuyến và tỉ số tần số của dầm nano lại giảm. Hình 4.30. Sự thay đổi của tần số phi tuyến (a) và tỉ số tần số (b) theo điện thế tác dụng với một vài giá trị khác nhau của biên độ ban đầu 109 Hình 4.31. Sự thay đổi của tần số phi tuyến (a) và tỉ số tần số (b) theo biên độ ban đầu với một vài giá trị khác nhau của điện thế tác dụng Ta thấy rằng có một sự thay đổi bất thường khá lớn trong độ dốc của các đường cong (từ tăng tới giảm) như trong các Hình 4.22, 4.23, 4.27, 4.29 và 4.31. Dưới tác dụng của lực nén dọc trục P và điện thế tác dụng giữa các bản cực V, dầm nano sẽ mất ổn định nếu giá trị của hai đại lượng này lớn (vượt qua giá trị tới hạn). Sự mất ổn định xảy ra khi tần số của dầm nano tiến tới không. Biên độ ban đầu cũng có ảnh hưởng đến cấu hình ổn định của dầm nano. Với các giá trị nhất định của lực nén dọc trục và điện thế tác dụng, dầm nano vẫn ổn định nếu biên độ ban đầu nhỏ; và nó có thể sẽ mất ổn định khi biên độ ban đầu đủ lớn. Phân tích ổn định của dầm nano chịu tác động của lực tĩnh điện là một bài toán thú vị, rất cần được nghiên cứu. Kết luận Chương 4 Trong Chương 4, Luận án đã áp dụng phương pháp tuyến tính hóa tương đương và trung bình có trọng số để phân tích bài toán dao động phi tuyến của dầm micro tựa trên nền đàn hồi theo lý thuyết ứng suất cặp sửa đổi và dao động phi tuyến của dầm nano chịu tác dụng của lực tĩnh điện (dao động phi tuyến phát sinh trong các hệ vi cơ điện tử NEMS/MEMS) theo lý thuyết độ dốc biến dạng phi cục bộ. Phương pháp tuyến tính hóa tương đương và trung bình có trọng số đã được áp dụng để tìm nghiệm xấp xỉ của các bài toán này. So sánh nghiệm giải tích thu được với nghiệm 110 giải tích sử dụng các phương pháp khác, nghiệm số và nghiệm chính xác đã cho thấy sự chính xác của kết quả thu được. Ảnh hưởng của tham số tỉ lệ chiều dài vật liệu, tỉ số độ cứng chống uốn và tỉ số độ mảnh đến đáp ứng dao động của dầm micro tựa trên nền đàn hồi đã được khảo sát và thảo luận. Ảnh hưởng của tham số phi cục bộ, tham số tỉ lệ chiều dài vật liệu, tỉ số độ mảnh, lực nén dọc trục và điện thế tác dụng giữa các bản cực đến dao động của dầm nano đã được nghiên cứu. Nội dung của Chương 4 đã được công bố trong các tài liệu [T6], [T7], [T8] và [T9] trong “Danh mục công trình liên quan đến Luận án”. 111 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Với mục tiêu áp dụng phương pháp tuyến tính hóa tương đương kết hợp với trung bình có trọng số trong phân tích đáp ứng của các hệ dao động phi tuyến không cản. Các kết quả mới thu được bởi Luận án bao gồm:  Phát triển được một phương pháp kết hợp phương pháp tuyến tính hóa tương đương và trung bình có trọng số để phân tích dao động phi tuyến tiền định không cản của hệ một bậc tự do.  Áp dụng phương pháp đề xuất để phân tích dao động phi tuyến của một số hệ dao động phi tuyến tự do không cản một bậc tự do và các hệ liên tục (dầm micro và nano). Theo đó, các kết quả chính thu được từ Luận án bao gồm:  Đã làm rõ được những tính chất của trung bình có trọng số, liên hệ của trung bình có trọng số với trung bình cổ điển, liên hệ giữa giá trị trung bình có trọng số với phép biến đổi Laplace và những ưu điểm của trung bình có trọng số so với trung bình cổ điển.  Đã áp dụng phương pháp đề xuất để phân tích đáp ứng của hệ dao động phi tuyến tự do không cản một bậc tự do như dao động phi tuyến Duffing, dao động Duffing-điều hòa, dao động Duffing với thế năng dạng giếng đôi, dao động phi tuyến với số mũ hữu tỉ và dao động phi tuyến với sự không liên tục. Độ chính xác của nghiệm giải tích thu được đã được kiểm chứng với nghiệm số, nghiệm chính xác (nếu có) và nghiệm giải tích sử dụng các phương pháp khác. Kết quả cho thấy phương pháp đề xuất thu được nghiệm chính xác hơn nhiều so với các phương pháp giải tích gần đúng khác chẳng hạn như phương pháp cân bằng năng lượng, phương pháp công thức biên độ - tần số, phương pháp biến phân và phương pháp nhiễu đồng luân. Phương pháp đề xuất không chỉ hiệu quả đối với các hệ phi tuyến yếu và còn hiệu quả đối với các hệ phi tuyến mạnh.  Đã áp dụng phương pháp đề xuất để phân tích dao động phi tuyến của dầm micro tựa trên nền đàn hồi và dầm nano chịu tác dụng của lực tĩnh điện. Sự 112 chính xác của lời giải thu được đối với hai mô hình này đã được kiểm chứng bằng việc so sánh với lời giải thu được bởi các phương pháp giải tích khác, lời giải số. Kết quả cho thấy, kết quả thu được chính xác hơn so với kết quả thu được bởi áp dụng phương pháp biến phân (đối với mô hình dầm micro tựa trên nền đàn hồi), phương pháp cân bằng năng lượng và phương pháp biến phân (đối với mô hình dầm nano chịu tác dụng của lực tĩnh điện). Bên cạnh đó, ảnh hưởng của các tham số khác nhau của hệ đến đáp ứng dao động của dầm micro và nano đã được khảo sát và thảo luận. Hướng nghiên cứu tiếp theo  Điểm đặc biệt của trung bình có trọng số là phụ thuộc vào tham số điều chỉnh s. Dựa trên việc khảo sát một loạt các dạng khác nhau của hệ dao động phi tuyến tự do không cản, tham số điều chỉnh s được chọn bằng 2; với giá trị được chọn này của tham số s, kết quả thu được chính xác hơn nhiều so với kết quả thu được bởi các phương pháp giải tích khác. Tuy nhiên, kết quả nghiên cứu cho thấy giá trị tối ưu của tham số s thay đổi theo từng bài toán khác nhau. Việc lựa chọn tham số tối ưu cho tham số điều chỉnh s là vấn đề mà Luận án này vẫn chưa thực hiện được và cần những nghiên cứu sâu hơn nữa về liên hệ giữa giá trị trung bình có trọng số và một số chuẩn toán học. Đây cũng là hướng nghiên cứu tiếp theo của Luận án.  Phát triển phương pháp đề xuất để phân tích đáp ứng của các hệ dao động phi tuyến không cản nhiều bậc tự do, bài toán dao động phi tuyến cưỡng bức không cản và thậm chí là bài toán dao động phi tuyến có cản. 113 DANH MỤC CÔNG TRÌNH LIÊN QUAN TỚI LUẬN ÁN [T1] N. D. Anh, N. Q. Hai, D. V. Hieu. The Equivalent Linearization Method with a Weighted Averaging for Analyzing of Nonlinear Vibrating Systems. Latin American Journal of Solids and Structures, 2017; 14(9):1723-1740. (SCIE Journal, Q2) [T2] D. V. Hieu, N. Q. Hai, D. T. Hung. The Equivalent Linearization Method with a Weighted Averaging for Solving Undamped Nonlinear Oscillators. Journal of Applied Mathematics, Volume 2018, Article ID 7487851, 15 pages. (SCOPUS Journal, Q4) [T3] D. V. Hieu, N. Q. Hai. Analyzing of Nonlinear Generalized Duffing Oscillators Using the Equivalent Linearization Method with a Weighted Averaging. Asian Research Journal of Mathematics, 2018; 9(1):1-14; Article no.ARJOM.40684. [T4] Dang Van Hieu. A New Approximate Solution for a Generalized Nonlinear Oscillator. International Journal of Applied and Computational Mathematics, 2019; 5:126. (SCOPUS Journal, Q3) [T5] Van Hieu – Dang. An Approximate Solution for a Nonlinear Duffing – Harmonic Oscillator. Asian Research Journal of Mathematics, 2019; 15(4):1-14; Article no.ARJOM.52367. [T6] Dang Van Hieu. Postbuckling and Free Nonlinear Vibration of Microbeams Based on Nonlinear Elastic Foundation. Mathematical Problems in Engineering, Volume 2018, Article ID 1031237, 17 pages. (SCIE Journal, Q2) [T7] Van-Hieu Dang, Dong-Anh Nguyen, Minh-Quy Le, Quang-Hai Ninh. Nonlinear vibration of microbeams based on the nonlinear elastic foundation using the equivalent linearization method with a weighted averaging. Archive of Applied Mechanics, 2020; 90, pages 87–106. (SCIE Journal, Q2) [T8] Dang Van Hieu, Ninh Quang Hai. Analysis of a nonlinear oscillator arising in the Microelectromechanical system. 10th National Conference on Mechanics, Vol. 1, pp.126-133, Hanoi (2017). [T9] Van-Hieu Dang, Dong-Anh Nguyen, Minh-Quy Le, The-Hung Duong. Nonlinear vibration of nanobeams under electrostatic force based on the nonlocal 114 strain gradient theory. International Journal of Mechanics and Materials in Design, 2020, 16:289–308 (SCIE Journal, Q1). 115 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] T. K. Caughey, Equivalent linearization technique, The Journal of the Acoustical Society of America, 1963; 35, 1706–1711. [2] N. D. Anh, Dual approach to averaged values of functions: A form for weighting coefcient, Vietnam Journal of Mechanics, VAST, 2015, 37(2), 145–150 [3] M. Rasekh and S. E. Khadem, Nonlinear vibration and stability analysis of axially loaded embedded carbon nanotubes conveying fluid, Journal of Physics D: Applied Physics, 2009, 42: 135112 (8pp). [4] Nguyễn Văn Đạo, Trần Kim Chi, Nguyễn Dũng, Nhập môn Động lực học phi tuyến và chuyển động hỗn độn, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2005. [5] Nguyễn Văn Khang, Dao động phi tuyến ứng dụng, NXB Bách Khoa Hà Nội, 2016. [6] N. N. Bogoliubov and Yu. A. Mitropolsky, Asymptotic Method in the Theory of Nonlinear Oscillations, Gordon and Breach, London, 1985. [7] A. H. Nayfeh and D. T. Mook, Nonlinear Oscillations, Wiley Classics Library, 1995. [8] N. Krylov, N. Bogoliubov, Introduction to nonlinear mechanics, New York: Princenton University Press, 1943. [9] N. Minorsky, Introduction to Non-Linear Mechanics Part II:Analytical Methods of Nonlinear-Mechanics, The David W. Taylor Model Basin, United States Navy, 1945. [10] J. H. He, Some new approaches to duffing equation with strongly and high order nonlinearity (ii) parametrized perturbation technique, Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 1999, 4(1):81–83. [11] J. H. He, The homotopy perturbation method for nonlinear oscillators with discontinuities, Applied Mathematics and Computation, 2004, 151, 287–292, 116 [12] J. H. He, Iteration perturbation method for strongly nonlinear oscillations, Journal of Vibration and Control, 2001, 7(5), 631. [13] A. Beléndez, C. Pascual, S. Gallego, M. Ortufio, C. Neipp, Application of a modified He’s homotopy perturbation method to obtain higher-order approximations of an x1/3 force nonlinear oscillator, Physica Letters A, 2007, 371, 421–426 [14] R. E. Mickens, A generalization method of harmonic-balance, Journal of Sound and Vibration, 1986, 111, 515–518. [15] R. E. Mickens and D. Semwogerere, Fourier analysis of a rational harmonic balance approximation for periodic solutions, Journal of Sound and Vibration, 1996, 195, 528–530. [16] R. E. Mickens, Oscillations in an x4/3 potential, Journal of Sound and Vibration, 2001, 246(2), 375–378 [17] R. E. Mickens, Analysis of non-linear oscillators having non-polynomial elastic terms, Journal of Sound and Vibration, 2002, 255(4), 789–792. [18] R. E. Mickens, Iteration method solutions for conservative and limit-cycle x1/3 force oscillators, Journal of Sound and Vibration, 2006, 292, 964–968. [19] R. E. Mickens, Harmonic balance and iteration calculations of periodic solutions to 1 0y y  , Journal of Sound and Vibration, 2007, 306, 968–972 [20] H. Hu, J. H. Tang, Solution of a duffing-harmonic oscillator by the method of harmonic balance, Journal of Sound and Vibration, 2006, 294 (3), 637–639 [21] Md. A. Razzak, A simple harmonic balance method for solving strongly nonlinear oscillators, Journal of the Association of Arab Universities for Basic and Applied Sciences, 2016, 21, 68-76. [22] A. Beléndez, A. Hernández, T. Beléndez, M. L. Álvarez, S. Gallego, M. Ortuño, C.Neipp, Application of the harmonic balance method to a nonlinear oscillator typified by a mass attached to a stretched wire, Journal of Sound and Vibration, 2007, 302(4–5), 1018-1029. [23] A. Beléndez, E. Gimeno, M. L. Álvarez , M. S. Yebra & D. I. Méndez, Analytical approximate solutions for conservative nonlinear oscillators by modified rational 117 harmonic balance method, International Journal of Computer Mathematics, 2010, 87(7), 1497–1511. [24] W. S. Stupnicka, The generalized harmonic balance method for determining the combination resonance in the parametric dynamic systems, Journal of Sound and Vibration, 1978, 58(3), 347-361. [25] Md. A. Hosen , M. S. H. Chowdhury, G. M. Ismail & A. Yildirim, A modified harmonic balance method to obtain higher-order approximations to strongly nonlinear oscillators, Journal of Interdisciplinary Mathematics, 2020, https://doi.org/10.1080/09720502.2020.1745385 [26] B. S. Wu, W. P. Sun, C. W. Lim, Analytical approximations to the double-well Duffing oscillator in large amplitude oscillations, Journal of Sound and Vibration, 2007, 307, 953–960. [27] J. H. He, Bookkeeping parameter in perturbation methods, International Journal of Nonlinear Sciences and Numerical Simulation, 2001, 2, 257–264. [28] J. H. He, Modified Lindstedt–Poincare methods for some strongly non-linear oscillations, Part I: expansion of a constant, International Journal of Non-Linear Mechanics, 2002, 37(2), 309-314 [29] J. H. He, Modified Lindstedt–Poincare methods for some strongly non-linear oscillations, Part II: a new transformation, International Journal of Non-Linear Mechanics, 2002, 37(2), 315–320. [30] J. H. He, Modified Lindsted-Poincare methods for some strongly nonlinear oscillations, Part III: double series expansion, International Journal of Nonlinear Sciences and Numerical Simulation, 2001, 2(4), 317-320. [31] T. Ozis, A. Yildirm, Determination of periodic solution for a u1/3 force by He’s modified Lindstedt–Poincare method, Journal of Sound and Vibration, 2007, 301,415–419. [32] J. H. He, Preliminary report on the energy balance for nonlinear oscillations, Mechanics Research Communications, 2002, 29(2-3), 107–111. 118 [33] J. H. He, Variational approach for nonlinear oscillators, Chaos, Solitons & Fractals, 2007, 34(5), 1430–1439. [34] J. H. He, Hamiltonian approach to nonlinear oscillators, Physics Letters A, 2010, 374(23), 2312–2314. [35] D. Younesian, H. Askari, Z. Saadatnia, M. K. Yazdi, Frequency analysis of strongly nonlinear generalized Duffing oscillators using He's frequency-amplitude formulation and He's energy balance method, Computers and Mathematics with Applications, 2010, 59, 3222-3228. [36] M. Momeni, N. Jamshidi, A. Barari & D. D. Ganji, Application of He's energy balance method to Duffing-harmonic oscillators, International Journal of Computer Mathematics, 2010, 88(1), 135-144. [37] Z. Saadatnia, N. Safaie, M. A. Ahmadpour and H. Askari, Higher-order energy balance method for a serious of nonlinear oscillatory systems, Asian-European Journal of Mathematics, 2013, 6(4), 1350054. [38] D. H. Shou, Variational approach for nonlinear oscillators with discontinuities, Computers & Mathematics with Applications, 58(11-12):2416–2419, 2009 [39] A. Yildirim, Z. Saadatnia, and H. Askari. Application of the hamiltonian approach to nonlinear oscillators with rational and irrational elastic terms, Mathematical and Computer Modelling, 2011. [40] A. Yildirim, Z. Saadatnia, H. Askari, Y. Khan, and M. K. Yazdi, Higher order approximate periodic solutions for nonlinear oscillators with the hamiltonian approach, Applied Mathematics Letters, 2011. [41] L. Cveticanin, Vibrations of a coupled two-degree-of-freedom system, Journal of Sound and Vibration, 2001, 247(2), 279– 292. [42] L. Cveticanin, The motion of a two-mass system with non-linear connection, Journal of Sound and Vibration, 2002,252(2), 361–369. [43] M. Bayat, I. Pakar, G. Domairry, Recent developments of some asymptotic methods and their applications for nonlinear vibration equations in engineering 119 problems: A review, Latin American Journal of Solids and Structures, 2012, 9, 145- 234. [44] S. A. Emam, Ali H. Nayfeh, Postbuckling and free vibrations of composite beams, Composite Structures, 2009, 88, 636–642 [45] A. Fallah, M. M. Aghdam, Nonlinear free vibration and post-buckling analysis of functionally graded beams on nonlinear elastic foundation, European Journal of Mechanics A/Solids, 2011, 30, 571-583. [46] A. Fallah, M. M. Aghdam, Thermo-mechanical buckling and nonlinear free vibration analysis of functionally graded beams on nonlinear elastic foundation, Composites: Part B, 2012, 43, 1523–1530. [47] M. Şimşek, Non-linear vibration analysis of a functionally graded Timoshenko beam under action of a moving harmonic load, Compos. Struct., 2010; 92(10), 2532– 2546. [48] J. B. Gunda, R. K. Gupta, G. R. Janardhan, G. V. Rao, Large amplitude vibration analysis of composite beams: simple closed-form solutions, Compos. Struct., 2010, 93, 870-879. [49] L. Azrar, R. Benamar, R. G. White, Semi-analytical approach to the non-linear dynamic response problem of S–S and C–C beams at large vibration amplitudes part i: general theory and application to the single mode approach to free and forced vibration analysis, Journal of Sound and Vibration, 1999, 224(2), 183–207. [50] H. M. Sedighi, A. Reza, The effect of quintic nonlinearity on the investigation of transversely vibrating bulked Euler Bernoulli beams, Journal of Theoretical and Applied Mechanics, 2013, 51(4), 959-968. [51] N. A. Fleck, G. M. Muller, M. F. Ashby, J. W. Hutchinson, Strain gradient plasticity: theory and experiment, Acta Metallurgica et Materialia, 1994, 42(2), 475– 487. [52] J. S. Stolken, A. G. Evans, A microbend test method for measuring the plasticity length scale, Acta Materialia, 1998, 46(14), 5109–5115. 120 [53] A. C. M. Chong, F. Yang, D. C. C. Lam, P. Tong, Torsion and bending of micron-scaled structures, Journal of Materials Research, 2001, 16(04), 1052–1058. [54] R. A. Toupin, Elastic materials with couple stresses, Archive for Rational Mechanics and Analysis, 1962, 11 (1), 385-414. [55] R. D. Mindlin, H. F. Tiersten, Effects of couple-stresses in linear elasticity, Archive for Rational Mechanics and Analysis, 1962, 11(1), 415-448. [56] R. D. Mindlin, Influence of couple-stresses on stress concentrations, Experimental Mechanics, 1963, 3(1), 1–7. [57] W. T. Koiter, Couple-stresses in the theory of elasticity: I and II, Philosophical Transactions of the Royal Society of London B, 1964, 67, 17-44. [58] R. D. Mindlin, Micro-structure in linear elasticity, Archive for Rational Mechanics and Analysis, 1964, 16, 51-78. [59] A. C. Eringen, D. G. B. Edelen, On nonlocal elasticity, International Journal of Engineering Science, 1972, 10(3), 233-248. [60] A. C. Eringen, On differential equations of nonlocal elasticity and solutions of screw dislocation and surface waves, Journal of Applied Physics, 1983, 54, 4703- 4710. [61] F. Yang, A. C. M. Chong, D. C. C. Lam, P. Tong, Couple stress based strain gradient theory for elasticity, International Journal of Solids and Structures, 2002, 39(10), 2731-2743. [62] R. D. Mindlin, Second gradient of strain and surface-tension in linear elasticity, International Journal of Solids and Structures, 1965, 1, 417-438. [63] E. C. Aifantis, On the role of gradients in the localization of deformation and fracture, International Journal of Engineering Science, 1992, 30, 1279–1299. [64] C. W. Lim, G. Zhang, & J. N. Reddy, A higher-order nonlocal elasticity and strain gradient theory and its applications in wave propagation, Journal of the Mechanics and Physics of Solids, 2015, 78, 298–313. 121 [65] M. Şimşek, Nonlinear static and free vibration analysis of microbeams based on the nonlinear elastic foundation using modified couple stress theory and He’s variational method, Composite Structures, 2014, 112(1), 264–272. [66] M. Şimşek and J. N. Reddy, Bending and vibration of functionally graded microbeams using a new higher order beam theory and the modified couple stress theory, International Journal of Engineering Science, 2013, 64, 37–53. [67] H. M. Ma, X. L. Gao, J. N. Reddy, A microstructure-dependent Timoshenko beam model based on a modified couple stress theory, Journal of the Mechanics and Physics of Solids; 2008, 56, 3379–3391. [68] S. Kong, S. Zhou, Z. Nie, K. Wang, The size-dependent natural frequency of Bernoulli–Euler micro-beams, International Journal of Engineering Science, 2008, 46, 427–437. [69] H. M. Ma, X. L. Gao, J. N. Reddy, A nonclassical Reddy–Levinson beam model based on a modified couple stress theory, International Journal for Multiscale Computational Engineering; 2010, 8, 167–180. [70] B. Wang, J. Zhao, S. Zhou, A micro scale Timoshenko beam model based on strain gradient elasticity theory, European Journal of Mechanics - A/Solids; 2010, 29, 591-599. [71] B. Akgöz, Ö. Civalek, Analysis of micro-sized beams for various boundary conditions based on the strain gradient elasticity theory, Archive of Applied Mechanics; 2012, 82, 423–443. [72] B. Akgöz, Ö. Civalek, A size-dependent shear deformation beam model based on the strain gradient elasticity theory, International Journal of Engineering Science; 2013, 70, 1–14. [73] J. A. Ruiz, J. Loya, and J. F. Sáez, Bending vibrations of rotating nonuniform nanocantilevers using the Eringen nonlocal elasticity theory, Composite Structures, 2012, 4(9), 2990–3001. 122 [74] M. Şimşek, Nonlinear free vibration of a functionally graded nanobeam using nonlocal strain gradient theory and a novel Hamiltonian approach, International Journal of Engineering Science, 2016, 105, 12–27. [75] L. Li, Y. Hu. Nonlinear bending and free vibration analyses of nonlocal strain gradient beams made of functionally graded material. International Journal of Engineering Science, 2016, 107, 77–97. [76] L. Lu, X. Guo, J. Zhao, Size-dependent vibration analysis of nanobeams based on the nonlocal strain gradient theory, International Journal of Engineering Science, 2017, 116, 12–24. [77] R. C. Batra, M. Porfiri and D. Spinello, Review of modeling electrostatically actuated microelectromechanical systems, Smart Materials and Structures, 2007, 16(6). [78] Y. Fu, J. Zhang, L. Wan, Application of the energy balance method to a nonlinear oscillator arising in the microelectromechanical system (MEMS), Current Applied Physics, 2011, 11, 482-485. [79] Y. H. Qian, D. X. Ren, S. K. Lai, S. M. Chen, Analytical approximations to nonlinear vibration of an electrostatically actuated microbeam, Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 2012, 17, 1947–1955. [80] S. Sadeghzadeh and A. Kabiri, Application of Higher Order Hamiltonian Approach to the Nonlinear Vibration of Micro Electro Mechanical Systems, Latin American Journal of Solids and Structures, 2016, 13, 478-497. [81] A. C. J. Luo, F. Y. Wang, Chaotic motion in a Micro-Electro-Mechanical System with nonlinearity from capacitors, Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 2002, 7, 31–49. [82] M. I. Younis, E. M. Abdel-Rahman, A. Nayfeh, A reduced-order model for electrically actuated microbeam-based MEMS, Journal of Microelectromechanical Systems, 2003, 12(5), 672–680. 123 [83] S. Chaterjee, G. Pohit, A large deflection model for the pull-in analysis of electrostatically actuated microcantilever beams, Journal of Sound and Vibration, 2009, 322(4–5), 969-986. [84] S. Krylov, Lyapunov exponents as a criterion for the dynamic pull-in instability of electrostatically actuated microstructures, International Journal of Non-Linear Mechanics, 2007, 42(4), 626-642. [85] J. B. Ma, L. Jiang and S. F. Asokanthan, Influence of surface effects on the pull- in instability of NEMS electrostatic switches, Nanotechnology, 2010, 21(50). [86] Y. Fu, J. Zhang, Size-dependent pull-in phenomena in electrically actuated nanobeams incorporating surface energies, Applied Mathematical Modelling, 2011, 35, 941–951. [87] J. S. Duan, R. Rach, A pull-in parameter analysis for the cantilever NEMS actuator model including surface energy, fringing field and Casimir effects, International Journal of Solids and Structures, 2013, 50(22–23), 3511-3518. [88] J. Abdi, A. Koochi, A. S. Kazemi and M. Abadyan, Modeling the effects of size dependence and dispersion forces on the pull-in instability of electrostatic cantilever NEMS using modified couple stress theory, Smart Materials and Structures, 2011, 20:05501, 9pp. [89] E. M. Miandoab, A. Y. Koma & H. N. Pishkenari, Nonlocal and strain gradient based model for electrostatically actuated silicon nanobeams, Microsystem Technologies, 2015, 21, 457-464. [90] H. M. Sedighi, Size-dependent dynamic pull-in instability of vibrating electrically actuated microbeams based on the strain gradient elasticity theory, Acta Astronautica, 2014, 95, 111–123. [91] S. Esfahani, S. E. Khadem, A. E. Mamaghani, Nonlinear Vibration Analysis of an Electrostatic Functionally Graded Nano-Resonator with Surface Effects Based on Nonlocal Strain Gradient Theory, International Journal of Mechanical Sciences, 2019, 151, 508-522. 124 [92] W. D. Iwan and I. M. Yang, Application of statistical linearization techniques to nonlinear multi-degree-of-freedom systems, Journal of Applied Mechanics, 1972, 39(2), 545–550. [93] W. D. Iwan, A generalization of the concept of equivalent linearization, International Journal of Non-Linear Mechanics, 1973, 8(3), 279–287. [94] T. S. Atalik, and S. Utku, Stochastic linearization of multi-degreeof-freedom non-linear systems, Earthquake Engineering and Structural Dynamics, 1976, 4(4), 411–420. [95] Y. J. Park, Y. K. Wen and A. H. Ang, Random vibration of hysteretic systems under bi-directional ground motions, Earthquake Engineering and Structural Dynamics, 1986, 14(4), 543–557. [96] C. Su, H. Huang and H. Ma, Fast Equivalent Linearization Method for Nonlinear Structures under Nonstationary Random Excitations, Journal of Engineering Mechanics, 2016, 142 (8). [97] A. Younespour, H. Ghaffarzadeh and B. F. Azar, An equivalent linearization method for nonlinear Van der Pol oscillator subjected to random vibration using orthogonal functions, Control Theory and Technology, 2018, 16, 49–57. [98] N. D. Anh, M. Di Paola, Some Extensions of Gaussian Equivalent Linearization, International Confernce on Nonlinear Stochastic Dynamics, Hanoi, Vietnam, 1995, 5–16. [99] I. Elishakoff, L. Andriamasy and M. Dolle, Application and extension of the stochastic linearization by Anh and Di Paola, Acta Mechanica, 2009, 204, 89–98. [100] X. Zhang, I. Elishakoff and R. Zhang, A Stochastic Linearization Technique Based on Minimum Mean Square Deviation of Potential Energies, Stochastic Structural Dynamics 1, Springer, Berlin, Heidelberg, 1991 [101] I. Elishakoff and G. Q. Cai, Approximate solution for nonlinear random vibration problems by partial stochastic linearization, Probabilistic Engineering Mechanics, 1993, 8, 233-237. 125 [102] K. Fujimura and A. D. Kiureghian, Tail-equivalent linearization method for nonlinear random vibration, Probabilistic Engineering Mechanics 22 (2007) 63–76. [103] M. Broccardo, U. Alibrandi, Z. Wang, L. Garrè, The Tail Equivalent Linearization Method for Nonlinear Stochastic Processes, Genesis and Developments, In: Gardoni P. (eds) Risk and Reliability Analysis: Theory and Applications. Springer Series in Reliability Engineering. Springer, Cham, 2017. [104] U. Alibrandi and K. M. Mosalam, Equivalent Linearization Methods for Stochastic Dynamic Analysis Using Linear Response Surfaces, Journal of Engineering Mechanics, 2017, Volume 143 Issue 8. [105] N. D. Anh, Duality in the analysis of responses to nonlinear systems, Vietnam Journal of Mechanics, VAST, 2010, 32(4), 263–266. [106] N. D. Anh, N. N. Hieu & N. N. Linh, A dual criterion of equivalent linearization method for nonlinear systems subjected to random excitation, Acta Mechanica, 2012, 223, 645–654. [107] N. D. Anh and N. N. Linh, A weighted dual criterion for stochastic equivalent linearization method using piecewise linear functions, VietNam Journal of Mechanics, VAST, 2014, 36(4), 307-320. [108] N. D. Anh and N. N. Linh, A weighted dual criterion of the equivalent linearization method for nonlinear systems subjected to random excitation, Acta Mechanica, 2018, 229, 1297–1310. [109] Nguyễn Ngọc Linh, Phân tích dao động ngẫu nhiên phi tuyến bằng phương pháp tuyến tính hóa tương đương ngẫu nhiên, Luận án tiến sĩ, Hà Nội, 2016. [110] K. U. Rahman, S. Shang, M. Shahid, Y. Wen, A. J. Khan, Development of a novel Weighted Average Least Squares-based ensemble multi-satellite precipitation dataset and its comprehensive evaluation over Pakistan, Atmospheric Research, 2020, 246, 105133. [111] Y. Wang, X. Hao, C. Wu, Forecasting stock returns: A time-dependent weighted least squares approach, Journal of Financial Markets, Available online 21 May 2020, 100568. 126 [112] L. Tang and Y. Lu, Study of the Grey Verhulst Model based on the Weighted Least Square Method, Physica A: Statistical Mechanics and its Applications, 2020, 545, 123615. [113] A. Momot, Methods of weighted averaging of ECG signals using Bayesian inference and criterion function minimization, Biomedical Signal Processing and Control, 2009, 4, 162–169. [114] X. Liu, J. M. Mendel and D. Wu, Analytical solution methods for the fuzzy weighted average, Information Sciences, 2012, 187, 151–170. [115] P. D’Urso and J. M. Leski, Fuzzy clustering of fuzzy data based on robust loss functions and ordered weighted averaging, Fuzzy Sets and Systems, 2020, 389, 1- 28. [116] N. D. Anh, V. L Zakovorotny, N. N. Hieu, et al., A dual criterion of stochastic linearization method for multi-degree-of-freedom systems subjected to random excitation, Acta Mech., 2012, 223, 2667–2684. [117] N. N. Hieu, N. D. Anh, N. Q. Hai, Vibration analysis of beams subjected to random excitation by the dual criterion of equivalent linearizationVibration analysis of beams subjected to random excitation by the dual criterion of equivalent linearization, Vietnam Journal of Mechanics, VAST, 2016, 38(1), 49 – 62. [118] N. D. Anh, I. Elishakoff, N. N. Hieu, Generalization of Seide’s problem by the regulated stochastic linearization technique, Meccanica, 2017, 52, 1003–1016. [119] N. V. Khang, T. D. Son, B. T. Thuy, Numerical calculating linear vibrations of third order systems involving fractional operators, Vietnam Journal of Mechanics, VAST, Vol.34, No.2 (2012), pp. 91–99 [120] N. V. Khang, B. T. Thuy, T. Q. Chien, Resonance Oscillation of Third-Order Forced van der Pol System With Fractional-Order Derivative, J. Comput. Nonlinear Dynam. Jul 2016, 11(4): 041030 (5 pages). [121] N. V. Khang, T. Q. Chien, Subharmonic Resonance of Duffing Oscillator With Fractional-Order Derivative, J. Comput. Nonlinear Dynam. Sep 2016, 11(5): 051018 (8 pages). 127 [122] Dao Huy Bich, Nguyen Dang Bich, On a class of non-linear differential equations with exact solution, Vietnam Journal of Mechanics, VAST, 2012, Vol.34, No.1, pp. 7 –17 [123] Dao Huy Bich, Nguyen Dang Bich, A coupling successive approximation method for solving Duffing equation and its application, Vietnam Journal of Mechanics, VAST, 2014, Vol. 36, No. 2, pp. 77 – 93 [124] Dao Huy Bich, Nguyen Dang Bich, On the convergence of a coupling successive approximation method for solving Duffing equation, Vietnam Journal of Mechanics, VAST, 2014, Vol.36, No.3, pp. 185–200 [125] Dao Huy Bich, Nguyen Dang Bich, Parametric conditions and exact solution for the Duffing-Van der Pol class of equations, Vietnam Journal of Mechanics, VAST, 2018, Vol. 40, No. 3, pp. 251 – 264 [126] N. T. Chung, L. P. Binh, Nonlinear Dynamic Analysis of Cracked Beam on Elastic Foundation Subjected to Moving Mass, International Journal of Advanced Engineering Research and Science, 2017, 4, iss. 9. [127] Lưu Xuân Hùng, Nghiên cứu ảnh hưởng của kích động ngẫu nhiên lên hệ cơ học bằng phương pháp tuyến tính hóa tương đương, Luận án tiến sĩ, Hà Nội, 2002. [128] Dương Ngọc Hảo, Phân tích dao động phi tuyến trong hệ chịu kích động ngẫu nhiên và tuần hoàn, Luận án tiến sĩ, Hà Nội, 2015. [129] Nguyễn Như Hiếu, Tiêu chuẩn đối ngẫu trong phương pháp tuyến tính hóa tương đương cho hệ phi tuyến nhiều bậc tự do chịu kích động ngẫu nhiên, Luận án tiến sĩ, Hà Nội, 2018. [130] Q. Zhu and M. Ishitoby, Chaos and bifurcations in an on linear vehicle model, Journal of Sound and Vibration, 2004, 275, 1136–1146. [131] L. Cveticanin and M. Zukovic, Melnikov’s criteria and chaos in systems with fractional order deflection, Journal of Sound and Vibration, 2009, 326, 768–779 [132] Jie Fan, He's frequency-amplitude formulation for the Duffing harmonic oscillator, Computers and Mathematics with Applications, 2009, 58, 2473-2476. 128 [133] J. R. Acton, P.T. Squire, Solving Equations with Physical Understanding, Adam Hilger Ltd, Bristol, 1985. [134] R. N. Dean, A. Luque, Applications of Microelectromechanical Systems in Industrial Processes and Services, IEEE Transactions on Industrial Electronics, 2009, 56(4). [135] K. Eom, H. S. Park, D. S. Yoon, T. Kwon, Nanomechanical resonators and their applications in biological/chemical detection: Nanomechanics principles, Physics Reports, 2011, 503(4–5), 115-163. [136] W. C. Chuang, H. L. Lee, P. Z. Chang, Y. C. Hu, Review on the modeling of electrostatic MEMS, Sensors (Basel); 2010, 10(6), 6149-6171. [137] K. W. Oh, C. H. Ahn, A review of microvalves, Journal of Micromechanics and Microengineering, 2006, 16 (5). [138] O. Y. Loh, H. D. Espinosa, Nanoelectromechanical contact switches, Nature Nanotechnology, 2012, 7, 283–295. [139] W. M. Zhang, H. Y., Z. K. Peng. G. Meng, Electrostatic pull-in instability in MEMS/NEMS: A review, Sensors and Actuators A: Physical, 2014, 214, 187–218. [140] L. Li, Y. Hu, Buckling analysis of size-dependent nonlinear beams based on a nonlocal strain gradient theory, International Journal of Engineering Science, 2015, 97, 84–94.