Luận án Phương trình khuếch tán không cổ điển

n kUn(tn; )xnk2L2(BcK ) <  4 ; 8n  N; (3.50) vîiBcK = fx 2 RN : jxj > Kg. M°t kh¡c, bði M»nh · 3.1, d¢y fUn(tn; )xng bà ch°n trong H1(Bk ). Do ph²p nhóng H 1(BK ) ,! L2(BK ) l  compact n¶n fUn(tn; )xng ÷ñc phõ bði húu h¤n c¡c h¼nh c¦u câ b¡n k½nh nhä hìn 4 trong L2(BK ). Tø k¸t qu£ tr¶n v  (3.50), tçn t¤i mët hå húu h¤n c¡c h¼nh c¦u vîi b¡n k½nh  phõ fUn(tn; )xng. Tø ¥y, ta nhªn sü tçn t¤i cõa mët tªp (H1(RN )\ Lp(RN ); L2(RN ))-hót ·u A2. C§u tróc cõa tªp hót ·u A2 ÷ñc suy ra tø ành l½ 1.1. 3.3.2. Sü tçn t¤i cõa tªp H1(RN ) \ Lp(RN ); Lp(RN )
-hót ·u º chùng minh sü tçn t¤i cõa tªp H1(RN ) \ Lp(RN ); Lp(RN )
- v  (H1(RN )\ Lp(RN );H1(RN ) \ Lp(RN ))-hót ·u, ta c¦n gi£ thi¸t h m ngo¤i lüc g thäa m¢n i·u ki»n m¤nh hìn nh÷ sau. (G2) g 2 L1(R;L2(RN )); @tg 2 L2b(R;L2(RN )) v  lim k!+1 sup t2R Z t+1 t Z jxjk jg(s; x)j2dxds = 0: D¹ th§y n¸u g 2 L1(R;L2(RN )) th¼ g 2 L2b R;L2(RN )
. V¼ vªy, måi ¡nh gi¡ trong ph¦n tr÷îc v¨n óng khi g thäa m¢n (G2). Tø ¥y, ta th§y r¬ng  2 L1 R;L2(RN )
vîi måi  2 Hw(g): (3.51) Tø b¥y gií, º ng­n gån ta s³ sû döng k½ hi»u () = fx 2 RN :  l  óng g; vîi  l  mët i·u ki»n logic; v  kk1 = kkL1(R;L2(RN )) vîi måi  2 Hw(g): 75 Bê · 3.4. Vîi b§t k¼  2 R, b§t k¼ tªp bà ch°n B  H1(RN ) \ Lp(RN ) v   > 0, tçn t¤i T v  M0 sao cho mes( (jU(t; )u j M))  ; vîi måi t > T;M > M0; u 2 B v   2 Hw(g); (3.52) vîi mes(G) l  ë o Lebesgue cõa tªp G trong RN . Chùng minh. Tø (3.33) ta th§y r¬ng, vîi b§t k¼ t  T1, u 2 B v   2 Hw(g), ta câ 0  Z RN jU(t; )u j2  Z (jU(t;)u jM) jU(t; )u j2 M2mes( (jU(t; )u j M)): Do â ta thu ÷ñc (3.52) khi chån T = T1 v  M0 =  0  1=2 . Bê · 3.5. Vîi b§t k¼  2 R, b§t k¼ tªp bà ch°n B  H1(RN ) \ Lp(RN ) v   > 0, tçn t¤i T >  v  M0 > 0 sao choZ (jujM) (juM j2+"jruj2)  ; vîi måi t > T; u 2 B;M M0 v   2 Hw(g): Chùng minh. K½ hi»u (uM)+ = 8<:uM n¸u u M0 n¸u u M; v  M = (u  M). Nh¥n (3.1) vîi (u M)+ v  l§y t½ch ph¥n tr¶n RN , ta ÷ñc 1 2 d dt Z M (juM j2 + "jruj2) + Z M jruj2 + Z M f(x; u)(uM) +  Z M u(uM) = Z M (t)(uM): (3.53) 76 Sû döng gi£ thi¸t (3.2)-(3.3), u M trong M v  b§t ¯ng thùc Young, ta câZ M f(x; u)(uM)dx = Z M f(x; u)udx Z M f(x; u)Mdx  Z M [1u p 1(x)]M Z M  2u p1 + 2(x)   Z M [1u p 1(x)]M Z M 2u p1 Z M 2(x)u  1 2 Z M up Z M 1(x) C1 Z M 2(x) p0 C2mes( M ): (3.54) Tø b§t ¯ng thùc Cauchy v  gi£ thi¸t (3.51), ta ÷ñcZ M (t)(uM)  kk 2 1 2 mes ( M )) +  2 Z M juM j2: (3.55) Tø nhúng ¡nh gi¡ (3.53)-(3.55) v  R M u(u M)  R M ju M j2, ta nhªn ÷ñc d dt Z M (juM j2 + "jruj2) +  Z M (juM j2 + "jruj2)  C  mes ( M ) + Z M 1(x) + Z M 2(x) p0  : V¼ vªy, ¡p döng b§t ¯ng thùc Gronwall ta thu ÷ñcZ M (ju(t)M j2 + "jru(t)j2) e(t)(ku Mk2 + "kruk2) + C  mes ( M ) + Z M 1(x) + Z M 2(x) p0  : Sû döng Bê · 3.4, gi£ thi¸t 1 2 L1(RN ), 2 2 Lp0(RN ) v  u thuëc tªp bà ch°n B, ta ÷ñcZ M (juM j2 + "jruj2)  ; khi t v  M õ lîn: (3.56) L°p l¤i nhúng bi¸n êi nh÷ tr¶n v  thay (uM)+ bði (u+M), vîi (u+M) = 8<:u+M n¸u u  M0 n¸u u  M; ta ÷ñc Z (uM) ((u+M)2 + "jruj2)  ; (3.57) 77 khi t v  M õ lîn. K¸t hñp (3.56) v  (3.57) ta thu ÷ñc i·u ph£i chùng minh. º chùng minh sü tçn t¤i tªp hót ·u trong Lp( ), ta s³ sû döng k¸t qu£ sau. Bê · 3.6. [33] Gi£ sû p  2 v  fU(t; )g2Hw(g) l  mët hå qu¡ tr¼nh thäa m¢n c¡c i·u ki»n sau: (i) fU(t;)g2Hw(g) câ mët tªp (H1(RN ) \ Lp(RN ); L2(RN ))-hót ·u; (ii) fU(t; )g2Hw(g) câ mët tªp (H1(RN )\Lp(RN ); Lp(RN ))-h§p thö ·u; (iii) vîi b§t k¼  > 0 v  b§t k¼ tªp bà ch°n B  H1(RN )\Lp(RN ), tçn t¤i M v  T sao choZ (jU(t;)u jM) jU(t; )u jp  C vîi måi u 2 B; t  T v   2 Hw(g); vîi C l  h¬ng sè ëc lªp vîi ; u ; t v  . Khi â hå qu¡ tr¼nh fU(t; )g2Hw(g) câ mët tªp (H1(RN )\Lp(RN ); Lp(RN ))- hót ·u. ành l½ 3.3. Gi£ sû r¬ng f thäa m¢n gi£ thi¸t (F2) v  g thäa m¢n gi£ thi¸t (G2). Khi â, hå c¡c qu¡ tr¼nh fU(t; )g2Hw(g) cõa b i to¡n (3.1) câ mët tªp (H1(RN ) \ Lp(RN ); Lp(RN ))-hót ·u Ap, v  Ap = [ 2Hw(g) K(s); vîi måi s 2 R: Chùng minh. Tø M»nh · 3.1, ành l½ 3.2 v  Bê · 3.6, ta ch¿ c¦n chùng minh cho, vîi b§t k¼  > 0 v  b§t k¼ tªp bà ch°n B  H1(RN ) \ Lp(RN ), tçn t¤i M > 0 v  T   sao cho Z (ju(t)jM) ju(t)jp  C; (3.58) vîi måi t  T; u 2 B v   2 Hw(g). Trong â, vîi b§t k¼  2 Hw(g), ta coi (uM)+ nh÷ mët h m thû v  nh¥n v o ph÷ìng tr¼nh (3.1), ta câ Z M ut(uM)+" Z M rutru+ Z M jruj2+ Z M f(x; u)(uM) = Z M (t)(uM): 78 Sû döng ¡nh gi¡ (3.54) ta ÷ñc 1 2 Z (uM) ju(t)jp  Z M jutjjuM j+ " Z M jrutjjruj+ Z M j(t)jjuM j + Z M 1(x) + C1 Z M 2(x) p0 + C2mes( M )  kut(t)k Z M juM j2 1=2 + "krut(t)k Z M jruj2 1=2 + kk1 Z M juM j2 1=2 + Z M 1(x) + C1 Z M 2(x) p0 + C2mes( M ): Tø Bê · 3.2 ta suy ra r¬ngZ (uM) ju(t)jp C Z M juM j2 1=2 + Z M jruj2 1=2 + Z M 1(x) + Z M 2(x) p0 +mes( M )  khi t õ lîn. Do 1 2 L1(RN ) v  2 2 Lp0(RN ), ta câZ M 1(x) + Z M 2(x) p0 <  n¸u M õ lîn. Tø Bê · 3.4 v  Bê · 3.5, suy ra, tçn t¤i T0 v  M0 sao choZ (u(t)M) ju(t)jp  C vîi måi t  T0; u 2 B;  2 Hw(g) v M M0. Thay (uM)+ b¬ng (u+M), sau â ¡nh gi¡ v  bi¸n êi t÷ìng tü nh÷ tr¶n, ta công nhªn ÷ñc k¸t qu£Z (u(t)M) ju(t)jp  C: Khi â ta ÷ñc (3.58) v  ành l½ ÷ñc chùng minh. 3.3.3. Sü tçn t¤i cõa tªp (H1(RN ) \ Lp(RN );H1(RN ) \ Lp(RN ))-hót ·u º chùng minh t½nh compact ti»m cªn ·u cõa hå qu¡ tr¼nh fU(t; )g2Hw(g), ta sû döng Bê · 2.4 v  bê · sau. 79 Bê · 3.7. Gi£ sû r¬ng 2  q <1 v  fU(t; )g2 câ mët tªp (H1(RN ) \ Lp(RN ); Lq(RN ))-hót ·u. Khi â, vîi b§t k¼  > 0,  2 R v  b§t k¼ tªp bà ch°n B  H1(RN ) \ Lp(RN ), tçn t¤i T   v  m0 2 N sao choZ RN j(I Pm)U(t; )u jq  C; vîi b§t k¼ t  T; u 2 B;m  m0;  2 ; trong â Pm l  ph²p chi¸u ch½nh t­c tø Lq(RN ) v o khæng gian con mchi·u. Chùng minh. Gi£ sû A l  tªp (H1(RN )\Lp(RN ); Lq(RN ))-hót ·u cõa hå c¡c qu¡ tr¼nh fU(t; )g2. Khi â, vîi b§t k¼  > 0,  2 R v  b§t k¼ tªp bà ch°n B  H1(RN ) \ Lp(RN ), tçn t¤i T0 sao cho[ tT0 [ 2 U(t; )B  NLq (A; ); vîi NLq (A; ) l  mët -l¥n cªn cõa A trong Lq(RN ). Do A l  tªp compact trong Lq(RN ), tçn t¤i n 2 N v  vi 2 Lq(RN ); i = 1; : : : ; n, sao cho[ tT0 [ 2 U(t; )B  n[ i=1 NLq (vi; ): Vîi méi vi câ mët mi sao choZ RN j(I Pm)vijq   vîi måi m  mi: L§y m0 = maxfm1; : : : ;mng. K½ hi»u Qm0 = I Pm0 , ¡nh gi¡ t÷ìng tü nh÷ (2.3.3.) trong Bê · 2.5, ta thu ÷ñc Vîi b§t k¼ t  T0, u 2 B, v  b§t k¼  2 Hw(g) tçn t¤i vi sao choZ RN jQm0U(t; )u jq  2q(Cq + 1); vîi Cq ch¿ phö thuëc q. Bê · ÷ñc chùng minh. B¥y gií, ta s³ chùng minh k¸t qu£ ch½nh cõa ph¦n n y. ành l½ 3.4. Gi£ sû c¡c i·u ki»n (F2) v  (G2) ÷ñc thäa m¢n. Khi â, hå c¡c qu¡ tr¼nh fU(t; )g2Hw(g) li¶n k¸t b i to¡n (3.1) câ tªp (H1(RN ) \ Lp(RN );H1(RN ) \ Lp(RN ))-hót ·u AHw(g). Hìn núa, AHw(g) = [ 2Hw(g) K(s);8s 2 R: 80 Chùng minh. Do H1(RN ) l  t¡ch ÷ñc, ta câ thº chån tªp fw1; w2; : : :g l  mët cì sð trüc giao trong c£ hai khæng gian L2(RN ) v  H1(RN ). Gi£ sû Hm = spanfw1; w2; : : : ; wmg, Pm l  ph²p chi¸u ch½nh t­c tr¶n Hm v  I l  ¡nh x¤ çng nh§t. Khi â, vîi b§t k¼ u 2 H1(RN ), u tçn t¤i duy nh§t mët c¡ch t¡ch: u = u1 + u2, vîi u1 = Pmu 2 Hm v  u2 = (I Pm)u. Gi£ sû  l  h¬ng sè d÷ìng tòy þ, ta coi u2 nh÷ mët h m thû, nh¥n u2 vîi (3.1), ta ÷ñc 1 2 d dt ku2k2 + "kru2k2
+ kru2k2 + Z RN f(x; u)u2 + ku2k2 = Z RN (t)u2; v¼ vªy, d dt ku2k2 + "kru2k2
+ 2kru2k2 + 2ku2k2  2kf(x; u)kLp0 (RN )ku2kLp(RN ) + 2k(t)kku2k: (3.59) Sû döng gi£ thi¸t (3.3), ta ÷ñc jf(x; u)jp0  C(jujp+2(x)p0), khi â tø M»nh · 3.1 suy ra kf(
; u)kLp0 (RN ) bà ch°n vîi t õ lîn. Vªy fU(t; )g2 câ tªp (H1(RN ) \ Lp(RN ); L2(RN )) v  (H1(RN ) \ Lp(RN ); Lp(RN ))-hót ·u. Theo Bê · 3.7 ta ÷ñc m sao cho ku2k <  v  ku2kLp( ) < ; vîi måi m  m: (3.60) Tø (3.59) v  (3.60) ta ÷ñc d dt ku2k2 + "kru2k2
+  ku2k2 + "kru2k2
 C + kk1; n¶n ku2k2 + "kru2k2  e(tT ) ku(T )k2 + "kru(T )k2
+ C + kk1: V¼ vªy, ta x¡c ành ÷ñc t  ;m0 2 N, sao cho ku2k2 + "kru2k2  C; vîi b§t k¼ t  t; u 2 B v  m  m0. i·u tr¶n câ ngh¾a, fU(t; )g2 thäa m¢n i·u ki»n (ii) trong Bê · 2.4. i·u ki»n (i) hiºn nhi¶n thäa m¢n khi S 2 S tt U(t; )B l  bà ch°n v  Pm l  ph²p chi¸u bà ch°n vîi b§t k¼ m. Khi â, vîi Bê · 2.4, ta th§y r¬ng fU(t; )g2Hw(g) l  (H1(RN ) \ Lp(RN );H1(RN )) -compact ti»m cªn ·u. Tø nhúng i·u tr¶n còng vîi sü tçn t¤i cõa tªp (H1(RN ) \ Lp(RN ); Lp(RN ))-hót ·u, ta thu ÷ñc sü tçn t¤i cõa tªp (H1(RN )\Lp(RN );H1(RN )\Lp(RN ))-hót ·u AHw(g). C§u tróc cõa tªp AHw(g) ÷ñc suy ra trüc ti¸p tø ành l½ 1.1. 81 3.4. TNH NÛA LI–N TÖC TR–N CÕA TŠP HÓT —U T„I " = 0 Tr÷îc h¸t chó þ r¬ng sü tçn t¤i tªp hót ·u trong khæng gianH1(RN )\Lp(RN ) cõa ph÷ìng tr¼nh ph£n ùng-khu¸ch t¡n cê iºn, tùc l  ph÷ìng tr¼nh (3.1) khi " = 0, ÷ñc chùng minh g¦n ¥y bði T.Q. Bao trong [6]. Trong ph¦n n y, chóng ta k½ hi»u fU"(t; )g l  hå c¡c qu¡ tr¼nh cõa b i to¡n (3.1) ùng vîi sè h¤ng "
ut v  ngo¤i lüc . Bê · 3.8. Gi£ sû f'ng l  d¢y bà ch°n trong H1(RN ) \ Lp(RN ), fng  Hw(g), v  f"ng  [0; 1] thäa m¢n 'n * ' trong H1(RN ) \ Lp(RN ); (3.61) n *  trong Hw(g); (3.62) v  "n ! 0 khi n ! +1. Khi â, vîi måi t   , tçn t¤i d¢y con fjg cõa fng sao cho U"jj (t; )'j ! U0(t; )' trong L2(RN ): (3.63) Chùng minh. K½ hi»u un(t) = Un(t; )'n, ta ÷ñc @tun "n
@tun
un + f(x; un) + un = n(t): (3.64) Nh¥n ph÷ìng tr¼nh (3.64) vîi un + @tun, l§y t½ch ph¥n tr¶n RN , ¡p döng b§t ¯ng thùc Holder v  b§t ¯ng thùc Cauchy, ta ÷ñc d dt  (+ 1)kunk2 + ("n + 1)krunk2 + 2 Z RN F (x; un)dx  + 2krunk2 + 2kunk2 + k@tunk2 + 2"kr@tunk2 + 2 Z RN f(x; un)undx   1 + 1   kn(t)k2: (3.65) L§y t½ch ph¥n tø  tîi t hai v¸ cõa (3.65), sau â sû döng gi£ thi¸t (3.2), (3.5) 82 v  un() = 'n, ta câ (+ 1)kun(t)k2 + krun(t)k2 + 3kun(t)kpLp(RN ) + 2 Z t  krunk2 +  Z t  kunk2 + 2"n Z t  kr@tunk2  (+ 1)k'nk2 + 2kr'nk2 + 24k'nkpLp(RN ) + 2k4kL1(RN ) + 2(t )k1kL1(RN ) +  1 + 1  Z t  kn(s)k2: (3.66) Tø (3.61) v  (3.62) suy ra v¸ ph£i cõa (3.66) bà ch°n bði mët h¬ng sè C khæng phö thuëc v o n. V¼ vªy, tø (3.66) ta ÷ñc fun(t)g bà ch°n trong H1(RN ) \ Lp(RN ): V¼ vªy, tçn t¤i mët h m v0 2 L2(RN ) sao cho un(t) * v0 y¸u trong L2(RN ) (theo d¢y con). Vîi méi m > 0, ta k½ hi»u Bm l  h¼nh c¦u câ t¥m l  gèc tåa ë vîi b¡n k½nh m. L§y b§t k¼ 2 L2(Bm), ta °t  (x) = (x) vîi måi x 2 Bm v   (x) = 0 vîi måi x > m. Tø ¥y, d¹ d ng th§y r¬ng  2 L2(RN ) v  (un(t); )L2(Bm) = (un(t);  )L2(RN ) ! (v0;  )L2(RN ) = (v0; )L2(Bm): Tø â suy ra un(t) * v0 trong L2(Bm) vîi måi m > 0. M°t kh¡c, vîi m > 0, fun(t)g l  bà ch°n trong H1(Bm), khi â H1(Bm) ,! L2(Bm) l  nhóng compact, ta th§y r¬ng fun(t)g l  compact t÷ìng èi trong L2(Bm). Vªy, ta câ thº chån d¢y con fjg cõa fng sao cho uj(t) ! vm l  hëi tö m¤nh trong L2(Bm), vîi vm 2 L2(Bm). Tø t½nh duy nh§t cõa giîi h¤n y¸u, ta thu ÷ñc k¸t luªn uj(t)! v0 l  hëi tö m¤nh trong L2(Bm) vîi måi m > 0: (3.67) Ta s³ chùng minh cho uj(t)! v0 trong L2(RN ). Trong â, ta câZ RN juj(t) v0j2  Z Bm juj(t) v0j2 + 2 Z Bcm juj(t)j2 + 2 Z Bcm jv0j2; (3.68) vîi Bcm = fx 2 RN : jxj > mg. B¥y gií ta s³ ¡nh gi¡ cho tøng sè h¤ng ð v¸ ph£i cõa (3.68). ¦u ti¶n, tø (3.67) ta câ Z Bm juj(t) v0j2 ! 0 khi n! +1: 83 Ti¸p theo, sû döng ¡nh gi¡ trong Bê · 3.3, ta d¹ d ng thu ÷ñcZ Bcm juj(t)j2  e(t) Z Bcm (j'j j2 + jr'j j2) + C Z t  Z Bcm jj(s)j2 + C Z Bcm j1(x)j+ C m Z t  kuj(s)k2 + kruj(s)k2 + "2jkr@tujk2
: (3.69) p döng (3.61), (3.62) v  (3.66) trong (3.69), ta thu ÷ñcZ Bcm juj(t)j2 ! 0 khi n;m! +1: (3.70) V¼ v0 2 L2(RN ), Z Bcm jv0j2 ! 0 khi m! +1: (3.71) Tø (3.68)-(3.71), suy ra uj(t)! v0 trong L2(RN ) khi n! +1: (3.72) M°t kh¡c, ¡nh gi¡ nh÷ trong Bê · 3.1, ta câ U"jj (t; )'j * U 0 (t; )' trong H 1(RN ) \ Lp(RN ): (3.73) Tø (3.72) v  (3.73) ta thu ÷ñc (3.63). ành l½ 3.5. Gi£ sû f thäa m¢n gi£ thi¸t (F2) v  g thäa m¢n gi£ thi¸t (G2). Khi â, hå c¡c tªp hót ·u fA"g"2[0;1] l  nûa li¶n töc tr¶n trong L2(RN ) t¤i " = 0, tùc l , lim "!0+ distL2(RN ) (A";A0) = 0: Chùng minh. Gi£ sû r¬ng distL2(RN )(A";A0) 6! 0 khi " ! 0. Khi â, tçn t¤i  > 0 sao cho lim sup "!0 distL2(RN )(A";A0)  : Tø t½nh ch§t, A" l  tªp compact vîi b§t k¼ " 2 [0; 1], ta câ thº chån mët d¢y "n; "n ! 0 khi n! +1 v  n 2 A"n thäa m¢n distL2(RN ) ( n;A0)   vîi måi n  1: (3.74) 84 Tø M»nh · 3.1 v  ành l½ 1.1 ta th§y r¬ng tªp A = S "2(0;1]A" l  bà ch°n v  khi â, vîi t½nh ch§t hót ·u cõa A0, chóng ta câ thº chån t õ lîn sao cho distL2(RN ) U0(t; 0)A;A0
  2 ; vîi måi  2 Hw(g): (3.75) Tø ành l½ 3.2, ta câ A"n = [ 2Hw(g) K"n (t); v¼ vªy, do n 2 A"n , tçn t¤i n 2 Hw(g) sao cho n 2 K"nn(t). Tø ành ngh¾a cõa K"nn , ta thu ÷ñc 'n 2 K"nn(0) thäa m¢n n = U"nn (t; 0)'n. Do f'ng  S n1K"nn(0) bà ch°n trong H1(RN )\Lp(RN ), Hw(g) l  compact y¸u v  limn!+1 "n = 0, n¶n ta thu ÷ñc mët d¢y con fmg  fng sao cho 'm * ' trong H1(RN ) \ Lp(RN ); m * 0 trong L2(; t;L2(RN )); v  "m ! 0 khi m! +1. Tø ¥y, ¡p döng Bê · 3.8, suy ra m ! U00(t; 0)' 2 U00(t; 0)A: Do â (3.74) v  (3.75) m¥u thu¨n vîi nhau. ành l½ ÷ñc chùng minh. K˜T LUŠN CH×ÌNG 3 Trong ch÷ìng n y, chóng tæi nghi¶n cùu b i to¡n Cauchy èi vîi ph÷ìng tr¼nh khu¸ch t¡n khæng cê iºn trong mi·n khæng bà ch°n RN , vîi sè h¤ng phi tuy¸n thäa m¢n i·u ki»n t«ng tr÷ðng v  ti¶u hao kiºu a thùc. C¡c k¸t qu£ ch½nh ¤t ÷ñc l : 1) Chùng minh ÷ñc sü tçn t¤i duy nh§t cõa nghi»m y¸u (ành l½ 3.1). 2) Chùng minh ÷ñc sü tçn t¤i tªp hót ·u A" trong khæng gian H1(RN )\ Lp(RN ) (ành l½ 3.4). 3) Chùng minh ÷ñc t½nh nûa li¶n töc tr¶n cõa tªp hót ·u t¤i " = 0 (ành l½ 3.5). Chó þ r¬ng c¡c k¸t qu£ trong ch÷ìng n y v¨n óng n¸u ta thay RN b¬ng mi·n tòy þ trong RN (vîi i·u ki»n bi¶n Dirichlet thu¦n nh§t tr¶n @ ). Ch÷ìng 4 PH×ÌNG TRœNH KHU˜CH TN KHÆNG CÊ IšN TRONG MI—N KHÆNG TRÖ VÎI SÈ H„NG PHI TUY˜N T‹NG TR×ÐNG V€ TI–U HAO KIšU SOBOLEV Trong ch÷ìng n y, chóng tæi nghi¶n cùu sü tçn t¤i v  d¡ng i»u ti»m cªn nghi»m cõa b i to¡n bi¶n ban ¦u èi vîi ph÷ìng tr¼nh khu¸ch t¡n khæng cê iºn trong mi·n khæng trö vîi sè h¤ng phi tuy¸n thäa m¢n i·u ki»n t«ng tr÷ðng v  ti¶u hao kiºu Sobolev, ngo¤i lüc câ thº phö thuëc v o thíi gian. Sü tçn t¤i v  duy nh§t nghi»m bi¸n ph¥n cõa b i to¡n ÷ñc chùng minh b¬ng ph÷ìng ph¡p penalty cõa J.L. Lions [25]. Sau â, sû döng ph÷ìng ph¡p ¡nh gi¡ ti¶n nghi»m k¸t hñp vîi ph²p nhóng compact, chóng tæi chùng minh sü tçn t¤i tªp hót lòi cõa qu¡ tr¼nh sinh bði b i to¡n. Chó þ r¬ng do c¡c thi¸t di»n t thay êi theo thíi gian t, b i to¡n l  khæng ætænæm ngay c£ khi ngo¤i lüc khæng phö thuëc v o thíi gian v  c¡c khæng gian h m chùa gi¡ trà cõa nghi»m t¤i thíi iºm t s³ thay êi theo t. ¥y công ch½nh l  kh¡c bi»t cì b£n khi x²t b i to¡n trong mi·n trö v  mi·n khæng trö, v  i·u n y d¨n ¸n nhúng khâ kh«n lîn khi nghi¶n cùu. Nâi ri¶ng, º nghi¶n cùu d¡ng i»u ti»m cªn nghi»m cõa b i to¡n, chóng tæi ph£i sû döng l½ thuy¸t tªp hót lòi trong [20], chù khæng dòng ÷ñc l½ thuy¸t tªp hót ·u nh÷ trong c¡c ch÷ìng tr÷îc. Nëi dung cõa ch÷ìng n y düa tr¶n c¡c b i b¡o [4] trong Danh möc cæng tr¼nh khoa håc cõa t¡c gi£ li¶n quan ¸n luªn ¡n. 4.1. T B€I TON Cho f tgt2R l  hå nhúng tªp con mð bà ch°n cõa RN sao cho s < t) s  t: 85 86 K½ hi»u Q;T := [ t2(;T ) t  ftg; Q := [ t2(;1) t  ftg; ;T := [ t2(;T ) @ t  ftg;  := [ t2(;1) @ t  ftg: Trong ch÷ìng n y, chóng tæi nghi¶n cùu sü tçn t¤i v  d¡ng i»u ti»m cªn nghi»m cõa b i to¡n sau ¥y:8>>>>>>>: ut
ut
u+ f(u) = g(t; x) trong Q ; u = 0 tr¶n  ; ujt= = u tr¶n  ; (4.1) vîi u 2 H10 (  ) cho tr÷îc, h m phi tuy¸n f v  ngo¤i lüc g thäa m¢n c¡c gi£ thi¸t sau: (F3) f 2 C1(R;R) thäa m¢n f 0(u)  `; (4.2) jf (u)j  C (1 + juj) ; (4.3) lim inf juj!1 uf (u) F (u) u2  0; (4.4) lim inf juj!1 F (u) u2  0; (4.5) vîi 0 <   N+2N2 , ` v   l  hai h¬ng sè d÷ìng v  F (u) = R u 0 f (s)ds l  mët nguy¶n h m cõa f ; (G3) g 2 L2loc(RN+1). Trong ch÷ìng n y, º ng­n gån, ta sû döng c¡c k½ hi»u d÷îi ¥y:  Hr := L2( r), câ t½ch væ h÷îng (:; :)r v  chu©n j:jr, ùng vîi méi r 2 R.  Vr := H10 ( r), câ t½ch væ h÷îng ((:; :))r v  chu©n k:kr, ùng vîi méi r 2 R. Tø gi£ thi¸t cõa f tgt2R l  mi·n khæng gi£m, suy ra Vs  Vt khi s < t; v  fVtgt2[;T ] câ thº coi l  hå c¡c khæng gian con âng cõa khæng gian VT vîi méi T >  . 87  Hr l  èi ng¨u cõa Hr. Khæng gian Vr ÷ñc xem nh÷ khæng gian con cõa Hr , vîi méi v 2 Vr x¡c ành mët ph¦n tû fv 2 Hr ành ngh¾a bði fv(h) = (v; h)r; h 2 Hr:  V r l  èi ng¨u cõa Vr v  h:; :i k½ hi»u l  t½ch èi ng¨u cõa hai khæng gian n y. 4.2. SÜ TÇN T„I V€ DUY NH‡T NGHI›M BI˜N PH…N Trong ph¦n n y, sû döng ph÷ìng ph¡p penalty cõa J.L Lions, chóng ta s³ chùng minh sü tçn t¤i v  duy nh§t nghi»m bi¸n ph¥n cõa b i to¡n (4.1). Ph÷ìng ph¡p penalty. º nghi¶n cùu b i to¡n (4.1), vîi méi T >  , chóng ta x²t b i to¡n phö sau: ut
ut
u+ f(u) = g(t; x) trong Q;T ; u = 0 tr¶n ;T ; ujt= = u (x); x 2  ; (4.6) vîi  2 R; u :  ! R v  g : Q ! R l  h m cho tr÷îc. Cè ành T >  v  vîi méi t 2 [; T ] k½ hi»u V ?t := fv 2 VT : ((v; w))T = 0;8w 2 Vtg l  khæng gian con trüc giao cõa Vt, vîi t½ch væ h÷îng trong VT v  vîi P (t) 2 L(VT ) l  to¡n tû chi¸u trüc giao, i tø khæng gian VT v o V ?t , ÷ñc ành ngh¾a P (t)v 2 V ?t ; v P (t)v 2 Vt; vîi méi v 2 VT . Cuèi còng, k½ hi»u P (t) = P (T ) vîi måi t > T v  P (T ) l  ph¦n tû khæng cõa L(VT ). 88 B¥y gií ta s³ x§p x¿ P (t) b¬ng nhúng to¡n tû ch½nh quy hìn theo thíi gian. X²t hå p(t; :; :) c¡c ¡nh x¤ song tuy¸n t½nh èi xùng tr¶n VT ÷ñc ành ngh¾a nh÷ sau: p(t; v; w) := ((P (t)v; w))T ; 8v; w 2 VT ;8t  : Ta chùng minh ÷ñc r¬ng t 7! p(t; v; w) 2 R l  o ÷ñc vîi måi v; w 2 VT . Hìn núa, jp(t; v; w)j  kvkT kwkT . Vîi méi k  1 v  t   , ta ành ngh¾a pk(t; v; w) := k Z 1=k 0 p(t+ r; v; w)dr; 8v; w 2 VT ; 8t  ; v  k½ hi»u Pk(t) 2 L(VT ) l  to¡n tû li¶n k¸t ÷ñc ành ngh¾a bði ((Pk(t)v; w)) := pk(t; v; w); 8v; w 2 VT ; 8t  : Bê · 4.1. [7, 20] Cho b§t k¼ sè nguy¶n 1  h  k, t   , v  vîi måi v; w 2 VT ;, ta câ pk(t; v; w) = pk(t;w; v); 0  ph(t; v; v)  pk(t; v; v)  p(t; v; v) = kP (t)vk2T  kvk2T ; p0k(t; v; v) := d dt pk(t; v; v)  k(p(t+ 1=k; v; v) p(t; v; v))  0; ((Pk(t)v; z))T = 0; 8z 2 Vt: Hìn núa, vîi måi d¢y fvkg  L2(; T ;VT ) hëi tö y¸u tîi v trong L2(; T ;VT ), lim inf k!+1 Z T  pk(t; vk(t); vk(t))dt  Z T  p(t; v(t); v(t))dt: Gi£ sû J : VT ! V T l  ¯ng c§u Riesz, ÷ñc ành ngh¾a nh÷ sau hJv;wiT := ((v; w))T ; 8v; w 2 VT ; v  méi sè nguy¶n k  1 v  méi t 2 [; T ], k½ hi»u Ak(t) :=
+ kJPk(t): Khi â, Ak(t) 2 L(VT ; V T ); t 2 [; T ], l  mët hå c¡c to¡n tû tuy¸n t½nh èi xùng sao cho ¡nh x¤ t 2 [; T ] ! Ak(t) 2 L(VT ; V T ) l  o ÷ñc, bà ch°n v  thäa m¢n hAk(t)v; viT  kvk2T 8v 2 VT ; 8t 2 [; T ]: 89 Gi£ sû u 2 VT l  cho tr÷îc v  vîi méi k  1, ta x²t b i to¡n (u0k(t); v)T + hAk(t)uk(t); viT + hAk(t)u0k(t); viT + (f(uk(t)); v)T = (g(t); v)T ; 8v 2 VT ; ((uk(); v))T = ((u ; v))T : (4.7) Þ t÷ðng cõa ph÷ìng ph¡p penalty nh÷ sau: Vîi méi k  1, sû döng ph÷ìng ph¡p Galerkin, chùng minh b i to¡n (4.7) (b i to¡n trong mi·n trö) câ nghi»m uk. Sau â, ta chùng minh d¢y uk hëi tö ¸n mët nghi»m cõa b i to¡n (4.6) (b i to¡n trong mi·n khæng trö). Tø ¥y, ta thu ÷ñc k¸t qu£ v· sü tçn t¤i nghi»m cõa b i to¡n (4.1). Ta s³ tr¼nh b y chùng minh chi ti¸t ð ph¦n ti¸p theo. Tr÷îc khi chùng minh sü tçn t¤i duy nh§t nghi»m cõa b i to¡n (4.1), ta ành ngh¾a kh¡i ni»m nghi»m bi¸n ph¥n cõa b i to¡n (4.1). Vîi méi T >  , k½ hi»u eQ;T := T  (; T ); U;T := f 2 L1(; T ;VT );0 2 L2(; T ;VT );() = (T ) = 0; (t) 2 Vt h¦u kh­p nìi trong (; T )g: ành ngh¾a 4.1. Mët nghi»m bi¸n ph¥n cõa (4.6) l  mët h m u thäa m¢n (C1) u 2 L1(; T ;VT ); u0 2 L2(; T ;VT ); (C2) vîi måi  2 U;T , ta câZ T  [(u(t);0(t))T + ((u(t);(t)))T + ((u0(t);(t)))T + (f(u);(t))T ]dt = Z T  (g(t);(t))T dt; (C3) u(t) 2 Vt h¦u kh­p nìi trong (; T ), (C4) lim t# (t )1 R t  ju(r) u j2T dr = 0: 90 D¹ d ng th§y r¬ng n¸u T2 > T1 >  v  u l  mët nghi»m bi¸n ph¥n cõa (4.6) vîi T = T2, th¼ h¤n ch¸ cõa u trong mi·n eQ;T1 công l  mët nghi»m bi¸n ph¥n (4.6) vîi T = T1. K½ hi»u eQ := S T> eQ(;T ). ành ngh¾a 4.2. Mët nghi»m bi¸n ph¥n cõa (4.1) l  mët h m u : eQ ! R sao cho vîi méi T >  , h¤n ch¸ cõa nâ trong mi·n eQ;T l  mët nghi»m bi¸n ph¥n cõa (4.6). Möc ½ch cõa möc n y l  t¼m mët nghi»m bi¸n ph¥n cõa (4.6) thäa m¢n ju(t)j2T + ku(t)k2T + 2 Z t  ku(r)k2T dr + 2 Z t  (f(u(r)); u(r))T dr = ju j2T + kuk2T + 2 Z t  (g(r); u(r))T dr: (4.8) Ta nâi r¬ng, u thäa m¢n ph÷ìng tr¼nh n«ng l÷ñng trong (; T ) n¸u (4.8) ÷ñc thäa m¢n h¦u kh­p nìi trong (; T ). T÷ìng tü, n¸u u l  mët nghi»m bi¸n ph¥n cõa b i to¡n (4.1), ta nâi r¬ng u thäa m¢n ph÷ìng tr¼nh n«ng l÷ñng h¦u kh­p nìi trong (;+1) n¸u vîi méi T >  , h¤n ch¸ cõa u tr¶n mi·n eQ;T thäa m¢n ph÷ìng tr¼nh n«ng l÷ñng (4.8) h¦u kh­p nìi trong (; T ). Vîi b§t k¼ h m v 2 L2(; T ;HT ) v  b§t k¼ t 2 (; T ], ta °t v;T (t) := lim sup h#0 h1 Z th  jv(r + h) v(r)j2T dr: Nh÷ trong [5, 20], ta câ thº chùng minh r¬ng nghi»m bi¸n ph¥n u cõa (4.1) thäa m¢n ph÷ìng tr¼nh n«ng l÷ñng h¦u kh­p nìi trong (; T ) khi v  ch¿ khi u;T (t) = 0 vîi h¦u kh­p nìi trong (; T ). Ti¸p theo, ta x²t i·u ki»n õ º u thäa m¢n ph÷ìng tr¼nh n«ng l÷ñng h¦u kh­p nìi trong (; T ). Bê · 4.2. [5] Gi£ sû u l  mët nghi»m bi¸n ph¥n cõa (4.6) v  gi£ sû tçn t¤i 91 mët d¢y ftng  (; T ) c¡c iºm Lebesgue cõa juj2T sao cho tn ! T v  lim sup n!+1  ju(tn)j2T + ku(tn)k2T   ju j2T + kuk2T + 2 Z t  [(g(r); u(r))T ku(r)k2T (f(u(r)); u(r))T ]dr: Khi â u thäa m¢n ph÷ìng tr¼nh n«ng l÷ñng h¦u kh­p nìi trong (; T ). B¥y gií, chóng ta s³ sû döng ph÷ìng ph¡p penalty º chùng minh sü tçn t¤i v  duy nh§t nghi»m bi¸n ph¥n cõa b i to¡n (4.6) thäa m¢n ph÷ìng tr¼nh n«ng l÷ñng h¦u kh­p nìi trong (; T ). Nh÷ mët h» qu£ trüc ti¸p, chóng ta chùng minh sü tçn t¤i v  duy nh§t nghi»m bi¸n ph¥n cõa b i to¡n (4.1) thäa m¢n ph÷ìng tr¼nh n«ng l÷ñng h¦u kh­p nìi trong (;+1). ành l½ 4.1. Gi£ sû c¡c i·u ki»n (F3)-(G3) thäa m¢n v  u 2 V cho tr÷îc. Khi â, vîi b§t k¼ T >  , b i to¡n (4.6) câ duy nh§t nghi»m bi¸n ph¥n thäa m¢n ph÷ìng tr¼nh n«ng l÷ñng h¦u kh­p nìi trong (; T ). Chùng minh. Chóng ta chia chùng minh ành l½ th nh 3 b÷îc. B÷îc 1. Chùng minh sü tçn t¤i nghi»m y¸u cõa b i to¡n (4.7). º chùng minh sü tçn t¤i nghi»m y¸u cõa b i to¡n, ta sû döng ph÷ìng ph¡p compact cõa J.L Lions trong [25]. Cho fejg1j=1 l  mët cì sð trüc giao cõa HT h¼nh th nh bði ph¦n tû trong VT sao cho khæng gian vectì sinh bði fejg1j=1 l  trò mªt trong VT . Khi â, câ mët d¢y fumg hëi tö tîi u trong VT , vîi fumg trong khæng gian vectì sinh bði fe1; e2; : : : ; emg. Vîi méi sè nguy¶n d÷ìng m  1, ta x²t x§p x¿ uk;m(t) = Pm j=1 km;j(t)ej , ÷ñc x¡c ành nh÷ nghi»m cõa8>>>: (u0k;m(t); ej)T + hAk(t)uk;m(t); ejiT + hAk(t)u0k;m(t); ejiT + (f(uk;m(t)); ej)T = (g(t); ej)T ; ((uk;m(); ej))T = ((um ; ej))T ; j = 1; : : : ;m: (4.9) Nh¥n (4.9) vîi 0km;j(t) v  l§y têng tø j = 1 ¸n m, ta câ (u0k;m(t); u 0 k;m(t))T + hAk(t)uk;m(t); u0k;m(t)iT + hAk(t)u0k;m(t); u0k;m(t)iT + (f(uk;m(t)); u0k;m(t))T = (g(t); u0k;m(t))T ; 92 hay ju0km(t)j2T + 1 2 d dt kuk;m(t)k2T + ku0k;m(t)k2T + k((Pk(t)uk;m(t); u0k;m(t)))T + k((Pk(t)u 0 k;m(t); u 0 k;m(t)))T + (f(uk;m(t)); u 0 k;m(t))T = (g(t); u 0 k;m(t))T : (4.10) Do â (g(t); u0k;m(t))T  ju0k;m(t)j2T + ku0k;m(t)k2T + 1 2 d dt [kuk;m(t)k2T + k((Pk(t)uk;m(t); uk;m(t)))T ] + k((Pk(t)u 0 k;m(t); u 0 k;m(t)))T + (f(uk;m(t)); u 0 k;m(t)) = ju0k;m(t)j2T + ku0k;m(t)k2T + k((Pk(t)u0k;m(t); u0k;m(t)))T + 1 2 d dt  kuk;m(t)k2T + k((Pk(t)uk;m(t); uk;m(t)))T + 2 Z T F (uk;m(t))dx  : Do (g(t); u0k;m(t))T  1 2 (jg(t)j2T + ju0k;m(t)j2T ); n¶n, jg(t)j2T  d dt  kuk;m(t)k2T + k((Pk(t)uk;m(t); uk;m(t)))T + 2 Z T F (uk;m(t))dx  + 2ku0k;m(t)k2T + 2k((Pk(t)u0k;m(t); u0k;m(t)))T + ju0k;m(t)j2T : (4.11) L§y t½ch ph¥n hai v¸ cõa (4.11) tr¶n o¤n [; t];   t  T , ta ÷ñc 2 Z t  ku0k;m(t)k2T dr + 2k Z t  ((Pk(r)u 0 k;m(r); u 0 k;m(r)))T dr + Z t  ju0k;m(r)j2T dr + kuk;m(t)k2T + k((Pk(t)uk;m(t); uk;m(t)))T + 2 Z T F (uk;m(t))dx  Z t  jg(r)j2T dr + kuk;m()k2T + k((Pk()uk;m(); uk;m()))T + 2 Z T F (uk;m())dx: Tø (4.5), vîi méi  > 0, tçn t¤i mët h¬ng sè d÷ìng C thäa m¢nZ T F (uk;m(t))dx+ juk;m(t)j2 + C  0: 93 Do kuk2T  1;T juj2T v  chån  = 1;T4 , ta câZ T F (uk;m(t))dx+ 1 4 kuk;m(t)k2T + C  0: (4.12) Tø gi£ thi¸t (4.3) v  ph²p nhóng VT ,! L 2NN2 ( T ), ta câZ T F (uk;m())dx  C Z T (1 + jum j+1)dx  Cj T j+ Ckumk 2N N2 T : (4.13) Tø (4.12) v  (4.13), suy ra 2 Z t  ku0k;m(t)k2T dr + 2k Z t  ((Pk(r)u 0 k;m(r); u 0 k;m(r)))T dr + Z t  ju0k;m(r)j2T dr + 1 2 kuk;m(t)k2T + k((Pk(t)uk;m(t); uk;m(t)))T  Z t  jg(r)j2T dr + kuk;m()k2T + k((Pk()uk;m(); uk;m()))T + C + Cj T j+ Ckumk 2N N2 T : (4.14) Do â fuk;mg bà ch°n trong L1(; T ;VT ); uk;m * uk trong L1(; T ;VT ); fu0k;mg bà ch°n trong L2(; T ;VT ); u0k;m * u 0 k trong L 2(; T ;VT ): Do d¢y fuk;mg l  bà ch°n trong khæng gian L1(; T ;VT ), sû döng gi£ thi¸t (4.3), ta câ thº th§y r¬ng ff(uk;m)g l  bà ch°n trong khæng gian Lq(; T ;Lq( T )) vîi q = 2NN+2 , khi â f(uk;m) *  trong khæng gian L q(; T ;Lq( T )). B¥y gií, ta s³ chùng minh  = f(uk). Thªt vªy, ta câ VT  HT  V T ; fuk;mg bà ch°n trong L1(; T ;VT ); fu0k;mg bà ch°n trong L2(; T ;VT ): Theo Bê · Aubin-Lions (Bê · 1.2, Ch÷ìng 1), fuk;mg l  compact t÷ìng èi trong L2(; T ;HT ). Do â, ta câ thº gi£ sû r¬ng uk;m ! uk h¦u kh­p nìi trongeQ;T . Tø gi£ thi¸t f l  li¶n töc, suy ra f(uk;m) ! f(uk) h¦u kh­p nìi eQ;T . p döng Bê · 1.4 trong Ch÷ìng 1, ta câ f(uk;m) * f(uk) trong Lq(; T ;Lq( T )): 94 i·u n y cho th§y uk l  nghi»m y¸u cõa b i to¡n (4.7). B÷îc 2. Chùng minh sü tçn t¤i nghi»m bi¸n ph¥n cõa b i to¡n (4.6) thäa m¢n ph÷ìng tr¼nh n«ng l÷ñng. Tø (4.14) v  8t 2 [; T ], ta câ k Z t  ((Pk(r)uk;m(r); uk;m(r)))T dr  (T ) Z t  jg(r)j2T dr + kuk;m()k2T + k((Pk()uk;m(); uk;m()))T + C + Cj T j+ Ckumk 2N N2 T  : X²t h m sè  : L2(; T ;VT )! R x¡c ành bði (v) = Z T  ((Pk(t)v(t); v(t)))T dt; v 2 L2(; T ;VT ): D¹ d ng th§y  l  h m sè li¶n töc v  lçi. Do â R T  ((Pk(t)uk;m(t); uk;m(t)))T dt l  nûa li¶n töc d÷îi y¸u trong L2(; T ;VT ). Hìn núa, uk;m * uk trong L2(; T ;VT ), do vªy k Z T  ((Pk(t)uk(t); uk(t)))T dt  k lim inf m!1 Z T  ((Pk(t)uk;m(t); uk;m(t)))T dt   (T ) Z T  jg(r)j2T dr + kuk()k2T + k((Pk()uk(); uk()))T + (T )  C + Cj T j+ Ckuk 2N N2 T  : Do u0k;m * u 0 k trong L 2(; T ;VT ), lªp luªn nh÷ tr¶n ta câ 2k Z T  ((Pk(t)u 0 k(t); u 0 k(t)))T dt  2k lim inf m!1 Z T  ((Pk(t)u 0 k;m(t); u 0 k;m(t)))T dt  Z T  jg(r)j2T dr + kuk()k2T + k((Pk()uk(); uk()))T + C + Cj T j+ Ckuk 2N N2 T : Tø k¸t qu£ uk;m * uk trong L1(; T ;VT ) v  t½nh nûa li¶n töc d÷îi y¸u cõa 95 chu©n, ta suy ra 2 Z T  ku0k(t)k2T dr + 2k Z T  ((Pk(r)u 0 k(r); u 0 k(r)))T dr + Z T  ju0k(r)j2T dr + 1 2 kuk(t)k2T + k Z T  ((Pk(t)uk(t); uk(t)))T dt  (4 + T ) Z T  jg(r)j2T dr + kuk()k2T + k((Pk()uk(); uk()))T + C + Cj T j+ Ckuk 2N N2 T   C: (4.15) Tø u 2 V ; ((Pk()u ; u ))T = 0 vîi måi k  1 v  (4.15), ta ÷ñc fukg bà ch°n trong L1(; T ;VT ); fu0kg bà ch°n trong L2(; T ;VT ); uk *  u trong L1(; T ;VT ); u0k * u 0 trong L2(; T ;VT ): Tø Bê · 4.1, ta câZ t  kP (t)u(t)k2T dt  lim inf k!1 Z T  ((Pk()uk(); uk()))T dt  lim inf k!1 C k = 0; tùc l , P (t)u(t) = 0 h¦u kh­p nìi trong (; T ) hay u(t) 2 Vt h¦u kh­p nìi trong (; T ), v Z t  kP (t)u0(t)k2T dt  lim inf k!1 Z T  ((Pk()u 0 k(); u 0 k()))T dt  lim inf k!1 C k = 0; tùc l , P (t)u0(t) = 0 h¦u kh­p nìi trong (; T ). Hìn núa, tø (4.15) v  ¯ng thùc uk(t) uk(s) = Z t s u0k(r)dr; 8s; t 2 [; T ]; 8k  1 ta ÷ñc juk(t) uk(s)jT  C 12 jt sj 12 ; 8s; t 2 [; T ]; 8k  1: (4.16) Công tø (4.15) ta câ kuk(t)kT  C vîi måi t 2 [; T ] v  vîi méi k  1. Do ph²p nhóng VT v o HT l  compact, n¶n tªp fv 2 VT : kvk2T  Cg l  compact trong HT . Vªy, tø (4.16) v  ành l½ Arzela-Ascoli, tçn t¤i mët d¢y con, v¨n k½ hi»u l  fukg, sao cho uk ! u trong C([; T ];HT ) khi k ! +1: 96 V¼ vªy, i·u ki»n (C4) ÷ñc thäa m¢n. M°t kh¡c, do fukg l  bà ch°n trong L1(; T ;VT ) v  fu0kg bà ch°n trong L2(; T ;VT ), ¡p döng bê · Aubin-Lions v  Bê · 1.3 trong [25, Ch÷ìng 1], n¶n ta ÷ñc f(uk) * f(u) trong Lq(; T ;Lq( T )): Do uk l  nghi»m y¸u cõa b i to¡n (u0k(t); v)T + hAk(t)uk(t); viT + hAk(t)u0k(t); viT + (f(uk(t)); v)T = (g(t); v)T ; ((uk(); v))T = ((u ; v))T ; 8v 2 VT ; chuyºn qua giîi h¤n khi k ! 1 v  sû döng P (t)u(t) = 0, P (t)u0(t) = 0 h¦u kh­p nìi trong (; T ), ta câ thº k¸t luªn r¬ng u l  nghi»m cõa b i to¡n (4.6). B¥y gií chóng ta s³ chùng minh u thäa m¢n ph÷ìng tr¼nh n«ng l÷ñng trong (; T ). Nh¥n ph÷ìng tr¼nh (4.9) vîi km;j v  l§y têng tø j = 1 ¸n m, ta câ (u0k;m(t); uk;m(t))T + hAkm(t)uk;m(t); uk;m(t)iT + hAkm(t)u0k;m(t); uk(t)iT + (f(uk;m(t)); uk;m(t))T = (g(t); uk;m(t))T : Khi â, ta câ 1 2 d dt juk;m(t)j2T + kuk;m(t)k2T + k((Pk(t)uk;m(t); uk;m(t)))T + 1 2 d dt kuk;m(t)k2T + k((Pk(t)u0k;m(t); uk;m(t)))T + (f(uk;m(t)); uk;m(t)) = (g(t); uk;m(t))T ; (4.17) hay juk;m(t)j2T + 2 Z t  kuk;m(r)k2T dr + 2k Z t  ((Pk(r)uk;m(r); uk;m(r)))T dr + kuk;m(t)k2T + 2k Z t  ((Pk(r)u 0 k;m(r); uk;m(r)))T dr + 2 Z t  (f(uk;m(r)); uk;m(r))dr = 2 Z t  (g(r); uk;m(r))T dr + jum j2T + kumk2T : Tø ((Pk(t)u 0 k;m(t); uk;m(t)))T  1 2 d dt ((Pk(t)uk;m(t); uk;m(t)))T ; ((Pk(t)uk;m(t); uk;m(t)))T  0; 97 juk;m(t)j2T + 2 Z t  kuk;m(r)k2T dr + kuk;m(t)k2T + 2 Z t  (f(uk;m(r)); uk;m(r))T dr  2 Z t  (g(r); uk;m(r))T dr + jum j2T + kumk2T + k((Pk()uk;m(); uk;m()))T ; cho m!1, ta thu ÷ñc juk(t)j2T + 2 Z t  kuk(r)k2T dr + kuk(t)k2T + 2 Z t  (f(uk(r)); uk(r))T dr  2 Z t  (g(r); uk(r))T dr + ju j2T + kuk2T : (4.18) Ta câZ T  (f(uk(r)); uk(r))T dr = Z T  (f(uk(r)) f(u(r)); uk(r) u(r))T dr + Z T  (f(uk(r)); u(r))T dr + Z T  (f(u(r)); uk(r))T dr Z T  (f(u(r)); u(r))T dr  ` Z T  juk(r) u(r)j2T dr + Z T  (f(uk(r)); u(r))T dr + Z T  (f(u(r)); uk(r))T dr Z T  (f(u(r)); u(r))T dr: Tø b§t ¯ng thùc tr¶n v  (4.18), ta ÷ñc juk(T )j2T + 2 Z T  kuk(r)k2T dr + kuk(T )k2T  2 Z T  (g(r); uk(r))T dr + ju j2T + kuk2T + 2` Z T  juk(r) u(r)j2T dr 2 Z T  (f(uk(r)); u(r))T dr 2 Z T  (f(u(r)); uk(r))T dr + 2 Z T  (f(u(r)); u(r))T dr: Do uk * u hëi tö y¸u trong L2(; T ;VT ), ta ÷ñc juk(T )j2T + kuk(T )k2T ju j2T + kuk2T 2 Z T  (f(u(r)); u(r))T dr 2 Z T  ku(r)k2T + 2 Z t  (g(r); u(r))T dr: 98 p döng Bê · 4.2 khi tn = T vîi måi n, ta thu ÷ñc, u thäa m¢n ph÷ìng tr¼nh n«ng l÷ñng tr¶n (; T ). B÷îc 3. Chùng minh t½nh duy nh§t v  phö thuëc li¶n töc cõa nghi»m thäa m¢n ph÷ìng tr¼nh n«ng l÷ñng. Cho u; u l  hai nghi»m bi¸n ph¥n cõa (4.6) ùng vîi c¡c gi¡ trà ban ¦u u ; u 2 V , thäa m¢n ph÷ìng tr¼nh n«ng l÷ñng h¦u kh­p nìi trong (; T ). Khi â, u;T (t) = u;T (t) = 0 vîi måi t 2 (; T ) v  ju(t) u(t)j2T + ku(t) u(t)k2T + 2 Z t  ku(r) u(r)k2T dr + 2 Z t  (f(u(r)) f(u(r)); u(r) u(r))T dr  ju(t) u(t)j2T + ku(t) u(t)k2T lim sup h#0 h1 Z th  (u(r + h) u(r); u(r + h) u(r))T dr: L¤i câh1 Z th  (u(r + h) u(r); u(r + h) u(r))T dr 2   h1 Z th  ju(r + h) u(r)j2dr  h1 Z th  ju(r + h) u(r)j2dr  ; n¶n lim h#0 h1 Z th  (u(r + h) u(r); u(r + h) u(r))T dr = 0: Thay ¡nh gi¡ tr¶n v  gi£ thi¸t (4.2) v o (4.8), ta thu ÷ñc ju(t) u(t)j2T + ku(t) u(t)k2T + 2 Z t  ku(r) u(r)k2T dr  ju u j2T + ku uk2T 2 Z t  (f(u(r)) f(u(r)); u(r) u(r))T dr  ju u j2T + ku uk2T + 2` Z t  ju(r) u(r)j2T dr: p döng b§t ¯ng thùc Gronwall, ta câ ju(t) u(t)j2T + ku(t) u(t)k2T + 2 Z t  ku(r) u(r)k2T dr  e2`(t)  ju u j2T + ku uk2T ) h¦u kh­p nìi t 2 (; T ): 99 Do â, ta câ i·u c¦n chùng minh. 4.3. SÜ TÇN T„I CÕA TŠP D-HÓT LÒI Theo ành l½ 4.1, vîi méi  2 R v  u 2 V , s³ tçn t¤i duy nh§t mët nghi»m bi¸n ph¥n u(
; ; u ) cõa b i to¡n (4.1) thäa m¢n ph÷ìng tr¼nh n«ng l÷ñng h¦u kh­p nìi trong (; T ) vîi måi T >  . ành ngh¾a U(t; )u := u(t; ; u ); 1 <   t < +1; u 2 V : D¹ d ng kiºm tra hå ¡nh x¤ fU(t; ) : t  g l  mët qu¡ tr¼nh. Möc ½ch cõa ph¦n n y l  chùng minh sü tçn t¤i cõa tªp hót lòi trong khæng gian HT èi vîi qu¡ tr¼nh U(t; ) b¬ng c¡ch chùng minh sü tçn t¤i cõa tªp h§p thö lòi bà ch°n trong VT v  sû döng t½nh compact cõa ph²p nhóng VT ,! HT . Chóng ta s³ sû döng bê · sau. Bê · 4.3. [31] Cho X  Y l  khæng gian Banach, X l  khæng gian ph£n x¤ v  ph²p nhóng X v o Y l  compact. Gi£ sû fvng l  mët d¢y bà ch°n trong L1(t0; T ;X) sao cho vn * v hëi tö y¸u trong Lp(t0; T ;X) vîi p 2 [1;+1) v  v 2 C0([t0; T ];Y ). Khi â, v(t) 2 X vîi måi t 2 [t0; T ] v  kv(t)kX  lim inf n!+1 kvnkL1(t0;T ;X); 8t 2 [t0; T ]: M»nh · 4.1. Gi£ sû c¡c gi£ thi¸t cõa ành l½ 4.1 ÷ñc thäa m¢n v  g 2 L2loc(RN+1) vîi Cg;T = sup tT Z t t1 jg(r)j2T < +1: Khi â, vîi méi u 2 V cho tr÷îc, nghi»m bi¸n ph¥n u ùng vîi b i to¡n (4.1) thäa m¢n ph÷ìng tr¼nh n«ng l÷ñng trong (; T ), çng thíi u công thäa m¢n ku(t)k2T  C  eT (t)ku()k 2N N2 T + 1 + 1 1 eT Cg;T  ; 8t 2 [ + 1; T ]; (4.19) vîi 0 0 l  gi¡ trà ri¶ng ¦u ti¶n cõa to¡n tû
trong T vîi i·u ki»n bi¶n Dirichlet thu¦n nh§t, v  h¬ng sè C ëc lªp vîi t;  . 100 Chùng minh. Gi£ sû uk;m l  x§p x¿ Galerkin cõa uk x¡c ành bði b i to¡n (4.7). Tø (4.17) v  (4.10), ta câ 1 2 d dt juk;m(t)j2T + 2kuk;m(t)k2T
+ u0k;m(t)2T + kuk;m(t)k2T + ku0k;m(t)k2T + 2k((Pk(t)u 0 k;m(t); uk;m(t)))T + k((Pk(t)uk;m(t); uk;m(t)))T + k((Pk(t)u 0 k;m(t); u 0 k;m(t)))T + f(uk;m(t)); u 0 k;m(t) + uk;m(t)
T = (g(t); uk;m(t))T + g(t); u0k;m(t)
T : Do ((Pk(t)u 0 k;m(t); uk;m(t)))T  1 2 d dt ((Pk(t)uk;m(t); uk;m(t)))T ; f(uk;m(t)); u 0 k;m(t)
T = d dt Z T F (uk;m(t))dx; (g(t); uk;m(t))T  1 41 jg(t)j2T + 1juk;mj2T ; 81 > 0; g(t); u0k;m(t)
T  1 42 jg(t)j2T + 2ju0km j2T ; 82 > 0; ta câ 1 2 d dt juk;m(t)j2T + 2kuk;m(t)k2T + 2k((Pk(t)uk;m(t); uk;m(t)))T + 2Z T F (uk;m(t))dx
+ ju0k;m(t)j2T + kuk;m(t)k2T + ku0k;m(t)k2T + k((Pk(t)u0k;m(t); uk;m(t)))T + k((Pk(t)uk;m(t); uk;m(t)))T + (f(uk;m(t)); uk;m(t))T  1 41 jg(t)j2T + 1juk;m(t)j2T + 1 42 jg(t)j2T + 2ju0km(t)j2T ; 82; 1 > 0: Tø gi£ thi¸t (4.5), vîi méi  > 0, tçn t¤i h¬ng sè d÷ìng C thäa m¢nZ T F (uk;m(t))dx+ juk;m(t)j2T + C  0: (4.20) Do kuk;m(t)k2T  1;T juk;m(t)j2T v  chån  = 1;T =4, ta ÷ñcZ T F (uk;m(t))dx+ 1 4 kuk;m(t)k2T + C  0: Tø gi£ thi¸t (4.4), vîi méi  > 0, tçn t¤i C > 0 sao cho (f(uk;m(t)); uk;m(t))T = Z T f(uk;m(t))uk;m(t)dx   Z T F (uk;m(t))dx juk;m(t)j2T C: 101 Tø nhúng ¡nh gi¡ tr¶n ta ÷ñc 1 2 d dt juk;m(t)j2T + 2kuk;m(t)k2T + 2k((Pk(t)uk;m(t); uk;m(t)))T + 2 Z T F (uk;m(t))dx+ 2C
+ (1 2)ju0k;m(t)j2T + 1 2 kuk;m(t)k2T + ( 1;T 2 1 )juk;m(t)j2T + ku0k;m(t)k2T +  Z T F (uk;m(t))dx + k((Pk(t)u 0 k;m(t); uk;m(t)))T + k((Pk(t)uk;m(t); uk;m(t)))T + 2C  ( 1 41 + 1 42 )jg(t)j2T + Cj T j; 82; 1 > 0: K½ hi»u yk;m(t) = juk;m(t)j2T + 2kuk;m(t)k2T + 2k((Pk(t)uk;m(t); uk;m(t)))T + 2 Z T F (uk;m(t))dx+ 2C: Chån 2 < 1 v  ; 1 õ nhä sao cho T < minf1=2; 1;T 21 2; 2g, ta câ d dt yk;m(t) + T yk;m(t)  C(1 + jg(t)j2T ): p döng b§t ¯ng thùc Gronwall, ta câ yk;m(t)  eT (t)yk;m() + C(1 + eT t Z t  eT sjg(t)j2T ds): (4.21) Sû döng (4.20), ta th§y r¬ng yk;m(t)  kuk;m(t)k2T : (4.22) Tø (4.3) v  ph²p nhóng VT  L 2NN2 ( T ), ta thu ÷ñc yk;m() = jum j2T + 2kumk2T + 2k((Pk()um ; um))T + 2 Z T F (um)dx  ( 1 1;T + 2)kumk2T + 2k((Pk()um ; um))T + C Z T (1 + jum j+1)dx+ 2C  Ckumk2T + Ckumk 2N N2 T + 2k((Pk()um ; um))T + C  C(kumk 2N N2 T + 1) + 2k((Pk()um ; um))T : (4.23) 102 Vªy, tø (4.21)-(4.23), ta câ kuk;m(t)k2T  C eT (t)(kumk 2N N2 T + 1) + 1 + e T t Z t  eT sjg(t)j2T ds
+ 2eT (t)k((Pk()um ; um))T ; (4.24) vîi C l  khæng phö thuëc v o t;  v  k. Do uk;m * uk *-y¸u trong L1(; T ;VT ) khi m! +1 n¶n tø (4.24) v  Bê · 4.3, ta k¸t luªn kuk(t)k2T  C eT (t)(kuk 2N N2 T + 1) + 1 + e T t Z t  eT sjg(t)j2T ds
+ 2eT (t)k((Pk()u ; u ))T : Cuèi còng, do uk * u trong L2(; T ;VT ) khi k ! +1 v  ¡nh gi¡Z t  eT (ts)jg(t)j2T ds  Z t t1 eT (ts)jg(t)j2T ds+ Z t1 t2 eT (ts)jg(t)j2T ds+ :::  (1 + eT + e2T + :::)Cg;T = 1 1 eT Cg;T ; ta thu ÷ñc b§t ¯ng thùc (4.19), ku(t)k2T  C eT (t)(kuk 2N N2 T + 1) + 1 + e T t Z t  eT sjg(t)j2T ds
 CeT (t)kuk 2NN2T + 1 + 11 eT Cg;T
: Gi£ sû R l  tªp hñp t§t c£ r(t) sao cho lim t!1 e ttkr(t)k2t = 0: K½ hi»u D l  lîp t§t c£ c¡c hå bD = fD(t) : D(t) 2 Vt; D(t) 6= ;; t 2 Rg sao cho D(t)  B(r(t)) vîi r(t) 2 R. Vîi méi t 2 R, ành ngh¾a r20(t) = 2C(1 + 1 1 et Cg;t); v  x²t hå nhúng h¼nh c¦u âng bB = fB(t) : t 2 Rg, vîi B(t) = fv 2 Vt : kvkt  r0(t)g; t 2 R: 103 Sau â, sû döng b§t ¯ng thùc (4.19), ta câ thº kiºm tra bB l  tªp D-h§p thö lòi èi vîi qu¡ tr¼nh U(:; :). Hìn núa, ph²p nhóng Vt v o Ht l  compact n¶n B(t) l  tªp compact trong Ht vîi b§t k¼ t 2 R. Khi â, tø ành l½ 1.2 suy ra ành l½ 4.2. Gi£ sû c¡c i·u ki»n (F3) v  (G3) ÷ñc thäa m¢n. Khi â, qu¡ tr¼nh U(:; :) li¶n k¸t b i to¡n (4.1) câ mët tªp D-hót lòi bA = fA(t) : t 2 Rg trong hå c¡c khæng gian fHtg. Chó þ. K¸t qu£ cõa ch÷ìng n y l  sü ph¡t triºn c¡c k¸t qu£ trong [20, 21] èi vîi ph÷ìng tr¼nh ph£n ùng-khu¸ch t¡n cê iºn, v  k¸t qu£ trong [5] èi vîi ph÷ìng tr¼nh khu¸ch t¡n khæng cê iºn vîi sè h¤ng phi tuy¸n t«ng tr÷ðng v  ti¶u hao kiºu a thùc. K˜T LUŠN CH×ÌNG 4 Ch÷ìng n y nghi¶n cùu ph÷ìng tr¼nh khu¸ch t¡n khæng cê iºn trong mi·n khæng trö vîi sè h¤ng phi tuy¸n t«ng tr÷ðng v  ti¶u hao kiºu Sobolev. C¡c k¸t qu£ ¤t ÷ñc bao gçm: 1) Chùng minh ÷ñc sü tçn t¤i v  duy nh§t cõa nghi»m bi¸n ph¥n cõa b i to¡n (ành l½ 4.1). 2) Chùng minh ÷ñc sü tçn t¤i tªp D-hót lòi bA trong hå khæng gian fHtg cõa qu¡ tr¼nh sinh bði b i to¡n (ành l½ 4.2). K˜T LUŠN 1. K˜T QUƒ „T ×ÑC Trong luªn ¡n n y chóng tæi nghi¶n cùu lîp ph÷ìng tr¼nh khu¸ch t¡n khæng cê iºn trong mi·n khæng bà ch°n v  mi·n khæng trö trong tr÷íng hñp khæng ætænæm, tùc l  khi ngo¤i lüc g phö thuëc v o c£ bi¸n khæng gian v  thíi gian. Luªn ¡n ¢ ¤t ÷ñc c¡c k¸t qu£ sau: 1. Chùng minh ÷ñc sü tçn t¤i v  t½nh duy nh§t cõa nghi»m y¸u, sü tçn t¤i cõa tªp hót ·u, t½nh nûa li¶n töc tr¶n cõa tªp hót ·u t¤i " = 0 èi vîi ph÷ìng tr¼nh khu¸ch t¡n khæng cê iºn trong mi·n khæng bà ch°n RN , trong c£ hai tr÷íng hñp l  sè h¤ng phi tuy¸n t«ng tr÷ðng v  ti¶u hao kiºu Sobolev, v  sè h¤ng phi tuy¸n t«ng tr÷ðng v  ti¶u hao kiºu a thùc. 2. Chùng minh ÷ñc t½nh bà ch°n ·u v  sü hëi tö cõa tªp hót ·u cõa ph÷ìng tr¼nh khu¸ch t¡n khæng cê iºn vîi sè h¤ng phi tuy¸n t«ng tr÷ðng v  ti¶u hao kiºu Sobolev v  ngo¤i lüc dao ëng k¼ dà. 3. Chùng minh ÷ñc sü tçn t¤i duy nh§t nghi»m bi¸n ph¥n v  sü tçn t¤i tªp hót lòi cõa ph÷ìng tr¼nh khu¸ch t¡n khæng cê iºn trong mi·n khæng trö khi sè h¤ng phi tuy¸n thäa m¢n i·u ki»n t«ng tr÷ðng v  ti¶u hao kiºu Sobolev. 2. — XU‡T MËT SÈ V‡N — NGHI–N CÙU TI˜P THEO B¶n c¤nh nhúng k¸t qu£ ¢ ¤t ÷ñc trong luªn ¡n, mët sè v§n · kh¡c c¦n ÷ñc ti¸p töc nghi¶n cùu: 104 105  Nghi¶n cùu t½nh trìn v  ¡nh gi¡ sè chi·u fractal/Hausdorff cõa tªp hót ·u v  tªp hót lòi nhªn ÷ñc trong luªn ¡n.  Nghi¶n cùu t½nh °t óng v  d¡ng i»u ti»m cªn nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh khu¸ch t¡n khæng cê iºn vîi sè h¤ng chùa nhî trong mi·n khæng bà ch°n. Mët v i k¸t qu£ trong mi·n bà ch°n nhªn ÷ñc g¦n ¥y trong [44, 46, 47].  Nghi¶n cùu t½nh °t óng v  d¡ng i»u ti»m cªn nghi»m cõa b i to¡n vîi ph÷ìng tr¼nh khu¸ch t¡n khæng cê iºn vîi tr¹ væ h¤n. Mët v i k¸t qu£ trong tr÷íng hñp tr¹ húu h¤n nhªn ÷ñc g¦n ¥y trong [9, 19]. DANH MÖC CÆNG TRœNH KHOA HÅC CÕA TC GIƒ LI–N QUAN ˜N LUŠN N 1. C.T. Anh and N.D. Toan, Existence and upper semicontinuity of uni- form attractors in H1(RN ) for non-autonomous nonclassical diffusion equations, Annales Polonici Mathematici 113 (2014), no. 3, 271-295. 2. C.T. Anh and N.D. Toan, Nonclassical diffusion equations on RN with singular oscillating external forces,Applied Mathematics Letters 38 (2014), 20-26. 3. C.T. Anh and N.D. Toan, Uniform attractors for non-autonomous non- classical diffusion equations on RN , Bulletin of the Korean Mathematical Society 51 (2014), no. 5, 1299-1324. 4. N.D. Toan, Existence and long-time behavior of variational solutions to a class of nonclassical diffusion equations in non-cylindrical domains, Acta Mathematica Vietnamica (2015), (DOI) 10.1007/s40306-015-0120-5. 106 T i li»u tham kh£o [1] E.C. Aifantis (1980), On the problem of diffusion in solids, Acta Mech. 37, 265-296. [2] E.C. Aifantis (2011), Gradient nanomechanics: applications to deforma- tion, fracture, and diffusion in nanopolycrystals, Metallurgical and Mate- rials Transactions A, vol. 42, no. 10, 2985-2998, [3] C.T. Anh and T.Q. Bao (2010), Pullback attractors for a class of non- autonomous nonclassical diffusion equations, Nonlinear Anal. 73, 399-412. [4] C.T. Anh and T.Q. Bao (2012), Dynamics of non-autonomous nonclassical diffusion equations on RN , Comm. Pure Appl. Anal. 11, 1231-1252. [5] C.T. Anh and N.D. Toan (2012), Pullback attractors for nonclassical dif- fusion equations in non-cylindrical domains, Int. J. Math. Math. Sci., Article ID 875913, 30 p. [6] T.Q. Bao (2012), Existence and upper semi-continuity of uniform attrac- tors for non-autonomous reaction diffusion equations on RN , Electron. J. Differential Equations 2012, no. 203, 18 pp. [7] M.L. Bernardi, G.A. Pozzi and G. Savar² (2001), Variational equations of Schrodinger-type in a non-cylindrical domain, J. Differential Equations 171, 63-87. [8] T. Caraballo, G. Lukasiewicz and J. Real (2006), Pullback attractors for asymptotically compact non-autonomous dynamical systems, Nonlinear Anal. 64, 484-498. 107 108 [9] T. Caraballo and A.M. M¡rquez-Dur¡n, Existence, uniqueness and asymptotic behavior of solutions for a nonclassical diffusion equation with delay, Dyn. Partial Differ. Equ. 10 (2013), 267-281. [10] A. Carvalho, J.A. Langa and J.C. Robinson (2013), Attractors for Infinite- Dimensional Non-Autonomous Dynamical Systems, Appl. Math. Sci. 182. Berlin: Springer, 409 p. [11] D.N. Cheban, P.E. Kloeden and B. Schmalfu, The relationship between pullback, forward and global attractors of nonautonomous dynamical sys- tems, Nonlinear Dyn. Syst. Theory 2 (2002), 125-144. [12] G. Chen and C.K. Zhong (2008), Uniform attractors for non-autonomous p-Laplacian equation, Nonlinear Anal. 68, 3349-3363. [13] V.V. Chepyzhov (2013), Uniform attractors of dynamical processes and non-autonomous equations of mathematical physics, Russ. Math. Surv. 68, 349-382. [14] V.V. Chepyzhov and M.I. Vishik (1994), Attractors for non-autonomous dynamical systems and their dimension, J. Math. Pures Appl. 73, 279 - 333. [15] V.V. Chepyzhov and M.I. Vishik (2002), Attractors for Equations of Math- ematical Physics, Amer. Math. Soc. Colloq. Publ., Vol. 49, Amer. Math. Soc., Providence, RI. [16] V.V. Chepyzhov, V. Pata and M.I. Vishik (2009), Averaging of 2D Navier- Stokes equations with singularly oscillating force, Nonlinearity 22, 351- 370. [17] M. Conti, E.M. Marchini and V. Pata (2014), Nonclassical diffusion with memory, Math. Meth. Appl. Sci. doi: 10.1002/mma.3120. 109 [18] M. Conti, V. Pata and R. Temam (2013), Attractors for processes on time-dependent spaces. Applications to wave equations, J. Differential Equations 255, 1254-1277. [19] Z. Hu and Y. Wang (2012), Pullback attractors for a nonautonomous nonclassical diffusion equation with variable delay, J. Math. Phys. 53, 072702. [20] P.E. Kloeden, P. Marin-Rubio and J. Real (2008), Pullback attractors for a semilinear heat equation in a non-cylindrical domain, J. Differential Equations 244, 2062-2090. [21] P.E. Kloeden, J. Real and C. Sun (2009), Pullback attractors for a semi- linear heat equation in time-varying domains, J. Differential Equations 246, 4702-4720. [22] K. Kuttler and E. C. Aifantis (1987), Existence and uniqueness in non- classical diffusion, Quart. Appl. Math. 45, 549-560. [23] K. Kuttler and E. Aifantis (1988), Quasilinear evolution equations in non- classical diffusion, SIAM J. Math. Anal. 19, 110-120. [24] D. Li, Z. X. Wang and Z. Wang (1998), Global existence, uniqueness and long-time behaviour for a class of nonclassical diffusion equations, Acta Math. Appl. Sinica 21, 267-276. [25] J.L. Lions, Quelques M²thodes de R²solution des Probl±mes aux Limites non Lin²aires, Dunod, Paris, 1969. [26] Y. Liu (2014), Time-dependent global attractors for the nonclassi- cal diffusion equations, Applicable Analysis: An International Journal 110 [27] Y. Liu and Q. Ma (2009), Exponential attractors for a nonclassical diffu- sion equation, Electron. J. Differ. Equa. Vol. 2009, No. 9, 1-7. [28] Q. Ma, Y. Liu and F. Zhang (2012), Global attractors in H1(RN ) for nonclassical diffusion equations, Discrete Dyn. Nat. Soc. 2012, Art. ID 672762, 16 pp. [29] J.C. Peter and M.E. Gurtin (1968), On a theory of heat conduction in- volving two temperatures, Z. Angew. Math. Phys. 19, 614-627. [30] F. Rivero (2013), Time dependent perturbation in a non-autonomous non- classical parabolic equation, Discrete Contin. Dyn. Syst. Ser. B 18, 209-221. [31] J.C. Robinson (2001), Infinite-Dimensional Dynamical Systems, Cam- bridge University Press. [32] H. Song, S. Ma and C.K. Zhong (2009), Attractors of non-autonomous reaction-diffusion equations, Nonlinearity 22, 667-682. [33] H. Song and C.K. Zhong (2008), Attractors of non-autonomous reaction- diffusion equations in Lp, Nonlinear Anal. 68, 1890-1897. [34] C. Sun, S. Wang and C. Zhong (2007), Global attractors for a nonclassical diffusion equation, Acta Math. Appl. Sin. Engl. Ser. 23, 1271-1280. [35] C. Sun and M. Yang (2009), Dynamics of the nonclassical diffusion equa- tions, Asymptotic Anal. 59, 51-81. [36] R. Temam (1995), Navier-Stokes Equations and Nonlinear Functional Analysis, 2nd edition, Philadelphia. [37] R. Temam (1997), Infinite Dimensional Dynamical Systems in Mechanics and Physics, 2nd edition, Springer-Verlag, New York. 111 [38] T.W. Ting (1963), Certain non-steady flows of second-order fluids, Arch. Ration. Mech. Anal 14, 1-26. [39] C. Truesdell and W. Noll (1995), The Nonlinear Field Theories of Me- chanics, in: Encyclopedia of Physics, Springer, Berlin. [40] B. Wang (1999), Attractors for reaction-diffusion equations in unbounded domains, Physica D 179, 41-52. [41] Y. Wang (2013), On the upper semicontinuity of pullback attractors for multi-valued processes, Quart. Appl. Math. 71, 369-399. [42] S. Wang, D. Li and C. Zhong (2006), On the dynamic of a class of non- classical parabolic equations, J. Math. Anal. Appl. 317, 565-582. [43] Y. Wang and Y. Qin (2010), Upper semicontinuity of pullback attractors for nonclassical diffusion equations, J. Math. Phys. 51, 022701, 12 p. [44] Y. Wang and L. Wang (2013), Trajectory attractors for nonclassical dif- fusion equations with fading memory, Acta Math. Sci. Ser. B Engl. Ed. 33, 721-737. [45] L. Wang, Y. Wang and Y. Qin (2014), Upper semicontinuity of attractors for nonclassical diffusion equations in H1(R3), Appl. Math. Comp. 240, 51-61. [46] X. Wang, L. Yang and C.K. Zhong (2010), Attractors for the nonclassical diffusion equations with fading memory, J. Math. Anal. Appl. 362, 327- 337. [47] X. Wang and C.K. Zhong (2009), Attractors for the non-autonomous nonclassical diffusion equations with fading memory, Nonlinear Anal. 71, 5733-5746. 112 [48] H. Wu and Z. Zhang (2011), Asymptotic regularity for the nonclassical diffusion equation with lower regular forcing term, Dyn. Syst. 26, 391-400. [49] Y. Xiao (2002), Attractors for a nonclassical diffusion equation, Acta Math. Appl. Sin. Engl. Ser 18, 273-276. [50] F. Zhang (2014), Time-dependent global attractor for a class of nonclas- sical parabolic equations, J. Appl. Math., Vol. 2014, 6 p. [51] Y.J. Zhang and Q.Z. Ma (2014), Exponential attractors of the nonclas- sical diffusion equations with lower regular forcing term, Int. J. Modern Nonlinear Theory and Appl. 3, 15-22. [52] F. Zhang and Y. Liu (2014), Pullback attractors in H1(RN ) for non- autonomous nonclassical diffusion equations, Dyn. Syst. 29, 106-118.