Luận án Tăng cường phi tuyến kerr chéo dựa trên hiệu ứng trong suốt cảm ứng điện từ

           (2.69) Mặt khác, độ cảm điện toàn phần có thể được khai triển thành các số hạng tuyến tính và phi tuyến như sau [2]: (1) 2 (3)3p p s pE    . (2.70) (1) 2 (3)3s s p sE    . (2.71) Từ đó, chúng tôi rút ra được biểu thức giải tích của độ cảm điện tuyến tính và phi tuyến cho chùm laser dò và chùm laser tín hiệu dưới ảnh hưởng của mở rộng Doppler là:       2 2 (1) 11 330 31 0 1 ( ) / a p p iN d e erf a u c         (2.72)              2 2 1 22 2 (3) 22 33 1 20 31 32 3 0 1 221 1 ( ) 1 ( ) 3 / / a a p s pp s e erf a e erf aiN d d u c u c a ai                 (2.73) 69       2 2 (1) 22 330 32 0 1 ( ) / b s s iN d e erf b u c         (2.66)              2 2 1 22 2 (3) 11 33 1 20 31 32 3 0 1 221 1 ( ) 1 ( ) 3 / / b b s s pp s e erf b e erf biN d d u c u c b bi                 (2.74) Khi đó, hệ số phi tuyến Kerr được tính theo công thức (2.20): (3) 2 2 0 0 3Re( ) 4 n n c    , (2.75) trong đó: (1) 0 1 Re( )n   , (2.76) Từ biểu thức (2.74), chúng tôi nghiên cứu sự ảnh hưởng của nhiệt độ lên phi tuyến Kerr chéo của hệ nguyên tử bốn mức năng lượng. Ngoài các tham số đã được chọn trên đây thì các tham số khác được lấy như sau: mật độ nguyên tử 11 3 0 4,5 10 /N cm  , khối lượng nguyên tử 251,44 10m   Kg và 72 c   MHz. Trước hết, chúng tôi khảo sát sự phụ thuộc vào nhiệt độ của đường cong hấp thụ và tán sắc như trên Hình 2.7. Chúng tôi nhận thấy rằng khi đưa vào hiệu ứng Doppler thì các công tua hấp thụ và tán sắc được mở rộng hàng trăm lần so với khi bỏ qua hiệu ứng Doppler. Hơn nữa, để đạt được độ sâu trong suốt cỡ 100% thì cường độ laser điều khiển phải lớn hơn hàng chục lần so với trường hợp bỏ qua hiệu ứng Doppler. Khi nhiệt độ tăng (từ 100 K đến 300 K) thì độ sâu và độ rộng của cửa sổ EIT giảm, làm cho độ cao của đường cong tán sắc thường tại vị trí cửa sổ EIT cũng giảm theo. Tuy nhiên, trong điều kiện cộng hưởng hai photon, hình dạng của EIT và tán sắc của chùm dò và chùm tín hiệu vẫn tương tự như trường hợp bỏ qua ảnh hưởng của Doppler, do đó, vẫn có sự trùng hợp giữa các vận tốc của chùm dò và chùm tín hiệu và do đó phi tuyến Kerr vẫn được tăng cường. 70 Hình 2.7. Sự biến thiên của p theo độ lệch tần của chùm dò p khi c = s = 0 với hai giá trị của nhiệt độ: T = 100 K (a) và T = 300K (c). Sự biến thiên của s theo độ kệch tần chùm tín hiệu s khi c = p = 0 với hai giá trị của nhiệt độ: T = 100K (b) và T = 300 K (d). Các tham số khác là 1p s     , 40c   . Đường nét gạch và đường liền nét biểu diễn hệ số hấp thụ và tán sắc tương ứng. Trong Hình 2.8, chúng tôi vẽ đồ thị của hệ số phi tuyến Kerr chéo theo độ lệch của chùm laser dò trong hai trường hợp: không có hiệu ứng EIT , c = 0 (đường nét gạch) và có mặt của hiệu ứng EIT, c = 40 (đường nét liền). 71 Các tham số khác được chọn tại p = s = 1, c = s = 0 và T = 300 K. Chúng tôi nhận thấy rằng hệ số phi tuyến Kerr chéo được tăng cường đáng kể xung quanh vùng phổ trong suốt tại p = 0. Cụ thể là sự xuất hiện của một đường cong tán sắc phi tuyến tương ứng với vùng phổ trong suốt, đồng thời xuất hiện một cặp cực đại âm của hệ số phi tuyến Kerr chéo xung quanh giá trị p = 0. Tuy nhiên, biên độ của phi tuyến Kerr trong trường hợp có mở rộng Doppler thì nhỏ hơn so với trường hợp bỏ qua hiệu ứng Doppler. Hơn nữa, để đạt được phi tuyến Kerr lớn thì cường độ chùm laser điều khiển cũng phải lớn hơn cỡ chục lần so với trường hợp bỏ qua mở rộng Doppler. Hình 2.8. Sự phụ thuộc của hệ số phi tuyến Kerr chéo theo độ lệch tần số của chùm laser dò trong hai trường hợp: không có hiệu ứng EIT, c = 0 (đường nét gạch) và có mặt của hiệu ứng EIT, c = 40 (đường nét liền). Các tham số được chọn tại các giá trị p = s = 1, c = s = 0 và T = 300 K. 72 Để xem xét sự ảnh hưởng của mở rộng Doppler lên hệ số phi tuyến Kerr chéo, chúng tôi vẽ đồ thị của n2 theo độ lệch tần của chùm dò tại các giá trị khác nhau của nhiệt độ T = 100 K (đường nét gạch) và T = 300 K (đường nét liền) như Hình 2.9. Các giá trị tham số được chọn như sau: c = 40, p = s = 1 và c = s = 0. Từ đồ thị ta thấy khi nhiệt độ tăng lên, biên độ của hệ số phi tuyến Kerr chéo bị giảm xuống. Nguyên nhân của sự giảm biên độ phi tuyến Kerr khi tăng nhiệt độ là do sự giảm độ kết hợp giữa các trạng thái lượng tử trong nguyên tử khi chuyển động nhiệt của các nguyên tử tăng lên. Sự giảm độ kết hợp giữa các trạng thái lượng tử sẽ dẫn đến giảm giao thoa lượng tử giữa các kênh dịch chuyển, hay nói cách khác là giảm hiệu suất biến đổi EIT. Hình 2.9. Sự phụ thuộc của hệ số phi tuyến Kerr chéo n2 theo độ lệch tần số của chùm dò tại các giá trị khác nhau của nhiệt độ T = 100 K (đường nét gạch) và T = 300 K (đường nét liền). Các giá trị tham số được chọn như sau: c = 40, p = s = 1 và c = s = 0. 73 Cuối cùng, trong Hình 2.10 chúng tôi cố định các tham số của các chùm laser ở các giá trị p = -5, c = s = 0, c = 40 và p = s = 1 tương ứng với một đỉnh dương của hệ số phi tuyến Kerr chéo trên hình 2.8, và vẽ đồ thị của hệ số phi tuyến Kerr chéo vào nhiệt độ. Một lần nữa cho thấy sự giảm biên độ của chiết suất phi tuyến Kerr chéo khi nhiệt độ tăng. Chẳng hạn như trường hợp: tại T = 100 K giá trị của n2 = 2.5510-6 cm2 /W, trong khi đó tại T = 500 K giá trị của n2 = 1.9210-6 cm2 /W. Hình 2.10. Sự phụ thuộc của hệ số phi tuyến Kerr chéo theo nhiệt độ. Các tham số được chọn tại giá trị p = -5, c = s = 0, c = 40 và p = s = 1. 74 Kết luận chương 2 Xuất phát từ phương trình Liouville, chúng tôi rút ra được các phương trình ma trận mật độ cho hệ nguyên tử bốn mức cấu hình Y ngược trong gần đúng sóng quay và lưỡng cực điện. Sử dụng phương pháp nhiễu loạn và gần đúng trường yếu để giải hệ phương trình ma trận mật độ trong trạng thái dừng, chúng tôi tìm được biểu thức cho phần tử ma trận mật độ 31 và 32 tới nhiễu loạn bậc ba khi bỏ qua hiệu ứng Doppler và khi có hiệu ứng Doppler. Từ đó, tìm được biểu thức giải tích cho độ cảm điện bậc ba và hệ số phi tuyến Kerr chéo n2 đối với chùm laser dò và chùm laser tín hiệu của hệ lượng tử bốn mức Y ngược. Chúng tôi đã thu được các kết quả sau: Thứ nhất, khi có mặt của trường laser điều khiển thì hiệu ứng EIT xuất hiện đồng thời cho cả chùm dò và chùm tín hiệu. Hình dạng EIT và công tua tán sắc giống hệt nhau đối với chùm dò và chùm tín hiệu. Điều này dẫn đến sự trùng hợp giữa các vận tốc nhóm của ánh sáng dò và ánh sáng tín hiệu và do đó làm tăng cường phi tuyến Kerr chéo. Tức là xuất hiện một cặp giá trị âm - dương của phi tuyến Kerr xung quanh tần số cộng hưởng nguyên tử. Thứ hai, các đỉnh phi tuyến Kerr được dịch chuyển lại gần hoặc ra xa tần số cộng hưởng nguyên tử bằng cách thay tần số trường laser điều khiển xung quanh tần số cộng hưởng. Biên độ và dấu của phi tuyến Kerr cũng được điều khiển theo cường độ trường laser điều khiển. Thứ ba, kết quả giải tích không chỉ được áp dụng cho môi trường nguyên tử lạnh mà còn được áp dụng cho khí nguyên tử ở nhiệt độ phòng. Ảnh hưởng của nhiệt độ lên phi tuyến Kerr chéo cũng đã được nghiên cứu, nó cho thấy biên độ hệ số phi tuyến Kerr giảm đáng kể khi nhiệt độ môi trường tăng. Đồng thời, để phi tuyến Kerr được tăng cường ở nhiệt độ phòng thì cường độ trường laser điều khiển lớn hơn hàng chục lần so với trường hợp bỏ qua mở rộng Doppler. 75 Chương 3 TĂNG CƯỜNG PHI TUYẾN KERR CHÉO CỦA HỆ NGUYÊN TỬ SÁU MỨC NĂNG LƯỢNG CẤU HÌNH Y NGƯỢC Trong chương trước, chúng tôi đã nghiên cứu sự tăng cường phi tuyến Kerr chéo trong mô hình bốn mức năng lượng Y ngược dưới ảnh hưởng của mở rộng Doppler. Kết quả khảo sát này hoàn toàn phù hợp với quan sát thực nghiệm. Điều này hứa hẹn mang lại nhiều triển vọng cho những nghiên cứu tiếp theo trong cả lý thuyết lẫn thực nghiệm. Tuy nhiên, để phi tuyến Kerr chéo có thể được tăng cường trong nhiều miền phổ khác nhau, chúng tôi sử dụng các mức siêu tinh tế gần nhau được kích thích bởi một chùm laser điều khiển. Dựa trên ý tưởng này, chúng tôi đã đề xuất mô hình sáu mức năng lượng Y ngược với những ưu điểm vượt trội của nó, được trình bày trong chương 3 của luận án. 3.1. Mô hình hệ nguyên tử sáu mức Y ngược Chúng tôi xét hệ nguyên tử có sáu mức năng lượng được kích thích bởi ba trường laser theo cấu hình như trên Hình 3.1. Trường laser dò có cường độ yếu Ep với tần số p kích thích dịch chuyển 1 2 , trường laser tín hiệu có cường độ yếu Es với tần số s kích thích dịch chuyển 6 2 . Trường laser điều khiển có cường độ mạnh Ec với tần số c kích thích dịch chuyển 2 3 . Giả thiết các mức |4 và |5 gần với mức |3 do đó chùm laser điều khiển có thể kích thích đồng thời ba dịch chuyển 2 3 , 2 4 và 2 5 . 76 Hình 3.1. Sơ đồ kích thích hệ nguyên tử sáu mức năng lượng chữ Y ngược. Các tần số Rabi gây bởi trường laser điều khiển, laser dò và trường laser tín hiệu lần lượt là: 32 c c d E   , 21 p p d E   và 62 s s d E   (3.1) với, ij d là mômen lưỡng cực điện dịch chuyển giữa hai trạng thái i và j . Độ lệch tần số của chùm laser điều khiển, laser dò và laser tín hiệu là: 32c c    , 21p p    và 62s s    . (3.2) Ký hiệu khoảng cách (theo đơn vị tần số) giữa các mức 3 4 và 5 3 là 1 3 4     và 2 5 3     . Cường độ tỷ đối của các dịch 2 3 , 2 4 và 2 5 được đặc trưng bởi mômen lưỡng cực tỷ đối: 32 1a  , 42 42 32 /a d d , và 52 52 32/a d d . Như vậy, cường độ liên kết của trường laser điều khiển đối với dịch chuyển 2 3 , 2 4 và 2 5 lần lượt là 32 32 c a   , 42 42 ca   và 52 52 ca   . 77 3.2. Hệ phương trình ma trận mật độ của nguyên tử sáu mức Sự tiến triển theo thời gian của các trạng thái nguyên tử dưới sự kích thích kết hợp của các chùm laser được mô tả thông qua ma trận mật độ bởi phương trình Liouville:  , i H      . (3.3) trong đó  là toán tử mật độ cho hệ sáu mức và được biểu diễn dưới dạng ma trận 6 6: 11 12 13 14 15 16 21 22 23 24 25 26 31 32 33 34 35 36 41 42 43 44 45 46 51 52 53 54 55 56 61 62 63 64 65 66                                                         . (3.4) Haminton toàn phần của hệ và được xác định bởi: 0 IH H H  , (3.5) Với Haminton của nguyên tử tự do có dạng : 0 1 2 3 4 5 61 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6H            , (3.6) và dạng ma trận của nó là : 1 2 3 4 5 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 H                          . (3.7) Hamilton tương tác giữa nguyên tử với các trường laser có dạng ma trận là: 78 32 42 52 32 42 52 0 0 0 0 0 2 0 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 2 p p c c c s c c c s i tp i tp i t i t i t i tc c c s i tc I i tc i tc i ts e e a e a e a e e a e H a e a e e                                                       (3.8) Bằng cách thế phương trình (3.7) và (3.8) vào phương trình (3.5) ta được Hamilton toàn phần của hệ viết dưới dạng ma trận: 1 2 32 42 52 32 3 42 4 52 5 6 0 0 0 0 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 2 p p c c c s c c c s i tp i tp i t i t i t i tc c c s i tc I i tc i tc i ts e e a e a e a e e a e H a e a e e                                                             (3.9) Số hạng mô tả quá trình phân rã của hệ sáu mức chữ Y ngược có dạng [15]: 79                21 21 32 32 42 42 52 52 62 62L L L L L 21 22 21 12 31 13 41 14 51 15 61 16 21 21 21 22 32 33 42 42 52 52 62 52 32 23 42 24 52 25 62 26 31 31 32 32 32 33 43 34 53 35 63 12 41 41 42 42 43 43 42 44 54 45 64 12 51                                                                                51 52 52 53 53 54 54 52 55 65 56 61 61 62 62 63 63 64 64 65 65 62 66                                                  (3.10) ở đây, ij là tốc độ phân rã tự phát từ mức i xuống mức j và    ij 1 1 , 2 2k i l j E E ik E E jl i j          (3.12) Thay các phương trình (3.9), (3.10) vào phương trình (3.3) ta thu được một hệ gồm 36 phương trình. Tuy nhiên, do toán tử ma trận mật độ là toán tử hermite và tính đủ cho các hàm riêng nên ta có thể rút về thành hệ 21 phương trình cho các phần tử ma trận như sau:  66 62 66 62 26 2 s i          , (3.13) 55 52 55 52 52 25 ( ) 2 c i a        , (3.14) 44 42 44 42 42 24 ( ) 2 c i a        , (3.15) 33 32 33 32 32 23 ( ) 2 c i a        , (3.16) 22 21 22 32 33 42 44 52 55 62 66                21 12 32 23 32( ) ( ) 2 2 p c i i a         42 24 42 52 25 52 26 62( ) ( ) ( ) 2 2 2 c c s i i i a a              , (3.17) 11 21 22 12 21 ( ) 2 p i         , (3.18) 21 21 21 22 11 [ ] ( ) 2 p p i i          32 31 42 41 52 51 61 2 2 2 2 c c c s i i i i a a a           , (3.19) 80 31 31 31 32 32 21[ ( ) ] 2 2 c p p c i i i a             , (3.20) 41 1 41 41 42 42 21 [ ( ) ] 2 2 c p p c i i i a               , (3.21) 51 2 51 51 52 52 21 [ ( ) ] 2 2 c p p c i i i a               , (3.22) 61 61 61 62 21 [ ( ) ] 2 2 s p p s i i i            , (3.23) 32 32 32 31 [ ] 2 c p i i        42 34 52 35 32 33 22 36 ( ) 2 2 2 2 c c c s i i i i a a a             , (3.24) 42 1 42 42 41 [ ( ) ] 2 c p i i          32 43 52 45 42 44 22 46 ( ) 2 2 2 2 c c c s i i i i a a a             , (3.25) 52 2 52 52 51 [ ( ) ] 2 c p i i          32 53 42 54 52 55 22 56 ( ) 2 2 2 2 c c c s i i i i a a a             , (3.26) 62 26 62 22 66 61 [ ] ( ) 2 2 s s P i i i             32 63 42 64 52 65 2 2 2 c c c i i i a a a         , (3.27) 43 1 43 43 32 42 42 23 [ ] 2 2 c c i i i a a            , (3.28) 53 2 53 53 32 52 52 23 [ ] 2 2 c c i i i a a            , (3.29) 63 36 63 32 62 23 [ ( ) ] 2 2 s c c s i i i a            , (3.30) 54 1 2 54 54 42 52 52 24 [ ( ) ] 2 2 c c i i i a a              , (3.31) 64 1 46 64 42 62 24 [ ( ) ] 2 2 c s c s i i i a              , (3.32) 65 1 56 65 52 62 25 [ ( ) ] 2 2 c s c s i i i a               , (3.33) 81 3.3. Hệ số phi tuyến Kerr chéo của hệ nguyên tử sáu mức Tương tự như trong chương 2, chúng tôi sử dụng gần đúng trường dò và trường tín hiệu yếu hơn nhiều so với trường điều khiển. Từ các phương trình (3.19) - (3.33), chúng ta viết các phương trình ma trận mật độ bậc một trong trạng thái dừng 0 ij   là: 21 21 22 11 0 [ ] ( ) 2 p p i i          32 31 42 41 52 51 61 2 2 2 2 c c c s i i i i a a a           , (3.34) 31 31 32 32 210 [ ( ) ] 2 2 c p p c i i i a            , (3.35) 1 41 41 42 42 21 0 [ ( ) ] 2 2 c p p c i i i a              , (3.36) 2 51 51 52 52 21 0 [ ( ) ] 2 2 c p p c i i i a              , (3.37) 61 61 62 21 0 [ ( ) ] 2 2 s p p s i i i            , (3.38) 32 32 31 0 [ ] 2 c p i i        42 34 52 35 32 33 22 36 ( ) 2 2 2 2 c c c s i i i i a a a             , (3.39) 1 42 42 41 0 [ ( ) ] 2 c p i i          32 43 52 45 42 44 22 46( ) 2 2 2 2 c c c s i i i i a a a             , (3.40) 2 52 52 51 0 [ ( ) ] 2 c p i i          32 53 42 54 52 55 22 56( ) 2 2 2 2 c c c s i i i i a a a             , (3.41) 26 62 22 66 61 0 [ ] ( ) 2 2 s s P i i i             32 63 42 64 52 65 2 2 2 c c c i i i a a a         , (3.42) 82 43 1 43 43 32 42 42 23 [ ] 2 2 c c i i i a a            , (3.43) 53 2 53 53 32 52 52 23 [ ] 2 2 c c i i i a a            , (3.44) 63 36 63 32 62 23 [ ( ) ] 2 2 s c c s i i i a            , (3.45) 54 1 2 54 54 42 52 52 24 [ ( ) ] 2 2 c c i i i a a              , (3.46) 64 1 46 64 42 62 24 [ ( ) ] 2 2 c s c s i i i a              , (3.47) 65 1 56 65 52 62 25 [ ( ) ] 2 2 c s c s i i i a               , (3.48) Từ đó, chúng ta rút ra được hệ phương trình sau: 31 32 32 21 31 312[ ( ) ] 2[ ( ) ] p c c p c p i i a i i                   , (3.49) 41 42 42 21 1 41 1 41 2[ ( ) ] 2[ ( ) ] p c c p c p i i a i i                       , (3.50) 51 52 52 21 2 51 2 51 2[ ( ) ] 2[ ( ) ] p c c p c p i i a i i                       , (3.51) 61 62 21 61 61 2[ ( ) ] 2[ ( ) ] p s s p s p i i i i                 , (3.52) 32 31 32 2[ ] p c i i         42 34 52 35 32 32 2[ ] 2[ ] c c c c i i a a i i             32 33 22 36 32 32 ( ) 2[ ] 2[ ] c s c c i i a i i               , (3.53) 42 41 1 42 2[ ( ) ] p c i i           32 43 52 45 1 42 1 42 2[ ( ) ] 2[ ( ) ] c c c c i i a a i i                 , 42 44 22 46 1 42 1 42 ( ) 2[ ( ) ] 2[ ( ) ] c s c c i i a i i                   , (3.54) 83 52 51 2 52 2[ ( ) ] p c i i           32 53 42 54 2 52 2 52 2[ ( ) ] 2[ ( ) ] c c c c i i a a i i                 52 55 22 56 2 52 2 52 ( ) 2[ ( ) ] 2[ ( ) ] c s c c i i a i i                   , (3.55) 62 22 66 61 26 26 ( ) 2[ ] 2[ ] s P s s i i i i                32 63 42 64 52 65 26 26 26 2[ ] 2[ ] 2[ ] c c c s s s i i i a a a i i i                   , (3.56) 21 22 11 21 ( ) 2[ ] p p i i           32 31 42 41 52 51 61 21 21 21 21 2[ ] 2[ ] 2[ ] 2[ ] c c c s p p p p i i i i a a a i i i i                         , (3.57) Từ các phương trình từ (3.49) – (3.57), chúng ta tìm được nghiệm cho 21  đối với chùm dò và 26  đối với chùm tín hiệu khi tính đến nhiễu loạn bậc ba như sau:   11 22 221 21 61 ( ) 2 2[ ( ) ] p s p p s i i B i                      2 22 66 61 26 21 ( ) 2[ ( ) ] 2 2 p s p s s p i i i A i B                        (3.58)   66 22 226 26 61 ( ) 2 2[ ( ) ] s p s p s i i N i                      2 11 22 61 21 26 ( ) 2[ ( ) ] 2 2 s p p s p s i i i M i N                       (3.59) trong đó các tham số được đặt như sau: 84 2 2 2 2 2 2 32 42 52 63 1 64 2 65 2[ ( ) ] 2[ ( ) ] 2[ ( ) ] c c c s c s c s c a a a A i i i                         (3.60) 2 2 2 2 2 2 32 42 52 31 1 41 2 51 2[ ( ) ] 2[ ( ) ] 2[ ( ) ] c c c c p c p c p a a a B i i i                         (3.61) 2 2 2 2 2 2 32 42 52 31 1 41 2 51 2[ ( ) ] 2[ ( ) ] 2[ ( ) ] c c c p c p c p c a a a M i i i                         (3.62) 2 2 2 2 2 2 32 42 52 63 1 64 2 65 2[ ( ) ] 2[ ( ) ] 2[ ( ) ] c c c s c s c s c a a a N i i i                         (3.63) Phần tử ma trận mật độ 21  và 26  liên hệ với độ cảm điện theo hệ thức: 21 21 0 2p p Nd E      . (3.64) 26 26 0 2s s Nd E      (3.65) Mặt khác, đối với môi trường đối xứng tâm thì độ cảm điện toàn phần có thể được khai triển thành các số hạng tuyến tính và phi tuyến là [2]: (1) 2 (3)3p p s pE    . (3.66) (1) 2 (3)3s s p sE    . (3.67) Từ các biểu thức (3.34) và (3.35), (3.40) và (3.43), chúng ta rút ra biểu thức cho độ cảm điện tuyến tính và phi tuyến cho chùm dò và chùm tín hiệu là:     2 (1) 11 2221 2 0 21 61 2 2 2[ ( ) ] p s p p s iNd i B i                   , (3.68) 85       2 2 (3) 21 26 0 66 22 61 26 21 2 3 [ ( ) ] 2 2 p p s s p Nd d i i i A i B                           . (3.69)     2 (1) 66 2226 2 0 26 61 2 2[ ( ) ] s p s p s iNd i N i                    , (3.70)       2 2 (3) 21 26 2 0 11 22 61 21 26 3 [ ( ) ] 2 2 s p s p s Nd d i i i M i N                           . (3.71) Biểu thức của hệ số phi tuyến Kerr được biểu diễn như sau: (3) 2 2 0 0 3Re( ) 4 n n c    , (3.72) trong đó: (1) 0 1 Re( )n   , (3.73) 3.4. Điều khiển phi tuyến Kerr chéo của nguyên tử sáu mức Chúng tôi áp dụng các kết quả tính toán giải tích ở trên cho môi trường khí nguyên tử 85Rb sáu mức năng lượng chữ Y ngược như Hình 3.2. Mật độ nguyên tử khoảng 1410N  nguyên tử/ 3m [36]; mômen lưỡng cực điện đối với dịch chuyển của chùm dò và chùm tín hiệu 29 31 32 1 6 10d d , C.m   , các tốc độ phân rã của các trạng thái kích thích 21 62 6MHz    và 32 42 52 0,97 MHz      và tần số của dịch chuyển dò 143,77 10 p Hz   , 32 42 52 : : 1:1,4 : 0,6a a a  [44]. Các đại lượng liên quan đến tần số đều được chuẩn hoá theo  = 1 MHz. 86 Hình 3.2. (a) Sơ đồ hệ nguyên tử sáu mức năng lượng chữ Y ngược, (b) Sơ đồ các mức năng lượng của nguyên tử 85Rb. 3.4.1. Sự tăng cường phi tuyến Kerr chéo đa tần số Trước hết, để thấy được sự xuất hiện đa cửa sổ EIT chúng tôi vẽ đồ thị hệ số hấp thụ và hệ số tán sắc của chùm dò và chùm tín hiệu theo p và s khi cố định tần số của trường laser điều khiển cộng hưởng với dịch chuyển 2 3 tức là c = 0, và các tần số Rabi là 0.1p s     , 10c   như trên Hình 3.3. Trong đó, đường nét liền màu đỏ là đồ thị tán sắc của chùm dò (Hình 3.3.a) và chùm tín hiệu (Hình 3.3.b), còn đường nét đứt màu xanh là đồ thị của hệ số hấp thụ của chùm dò và chùm tín hiệu. Chúng tôi nhận thấy, khi có mặt của chùm laser điều khiển, hiệu ứng trong suốt cảm ứng điện từ xuất hiện đồng thời cho cả chùm dò và chùm tín hiệu với ba cửa sổ trong suốt tại ba vị trí 0 p   , 1 9 p       và 2 7,6 p     trên trục tần số laser dò như trong Hình 3.3.a và tại 0s  , 1 9s       và 2 7,6s     như trong Hình 3.3.b. Chúng ta có thể giải thích sự xuất hiện ba miền phổ trong suốt đối với chùm dò là do trường laser điều khiển cảm ứng đồng thời ba dịch 87 chuyển 2 3 , 2 4 và 2 5 tạo ra được ba cặp kênh giao thoa của biên độ xác suất dịch chuyển giữa nhánh 1 2 với ba nhánh 1 2 3 2   , 1 2 4 2   và 1 2 5 2   . Sự giao thoa này làm triệt tiêu xác suất dịch chuyển 1 2 đối với trường laser dò. Tương tự, sự xuất hiện ba miền phổ trong suốt đối với chùm tín hiệu này là do trường laser điều khiển cảm ứng đồng thời ba dịch chuyển 2 3 , 2 4 và 2 5 tạo ra được ba cặp kênh giao thoa của biên độ xác suất dịch chuyển giữa nhánh 6 2 với ba nhánh 6 2 3 2   , 6 2 4 2   và 6 2 5 2   . Sự giao thoa này đồng thời cũng làm triệt tiêu xác suất dịch chuyển 6 2 đối với trường laser tín hiệu. Tại vị trí ba cửa sổ EIT cũng xuất hiện ba đường cong tán sắc thường, là tính chất có liên hệ chặt chẽ đến vận tốc nhóm ánh sáng lan truyền trong môi trường. Đặc biệt chúng ta thấy, hình dạng của ba cửa sổ EIT và các đường tán sắc đối với chùm dò và chùm tín hiệu giống hệt nhau. Do đó, vận tốc nhóm của chùm tín hiệu và chùm dò sẽ có giá trị như nhau trong ba miền cửa sổ EIT mà chúng tôi khảo sát. Điều này dẫn đến phi tuyến Kerr chéo được tăng cường một cách đồng thời tại ba cửa sổ EIT. Như vậy, ưu điểm vượt trội của mô hình sáu mức chữ Y ngược so với mô hình bốn mức là hệ số phi tuyến Kerr chéo không chỉ tăng cường trong một miền phổ hẹp mà được mở rộng thành ba miền tần số khác nhau. Đồng thời, sự đồng bộ về vận tốc nhóm của chùm dò và chùm điều khiển trong cả ba miền cửa sổ EIT có thể được ứng dụng cho cổng pha lượng tử trong nhiều miền tần số khác nhau. 88 Hình 3.3. Sự biến thiên của p theo p khi c = s = 0 (a). Sự biến thiên của s theo s khi c = p = 0 (b) với các tham số 0.1p s     , 10c   . Đường nét đứt và đường liền nét biểu diễn hệ số hấp thụ và tán sắc tương ứng. Trong Hình 3.4, chúng tôi vẽ đồ thị của hệ số phi tuyến Kerr chéo theo độ lệch của chùm laser dò khi có mặt của hiệu ứng EIT với các tham số được chọn tại các giá trị 0.1p s     , 10c   . Từ hình vẽ chúng tôi nhận thấy rằng hệ số phi tuyến Kerr chéo được tăng cường đáng kể xung quanh các vị trí của cửa sổ EIT. Cụ thể là sự xuất hiện của một đường cong tán sắc phi tuyến tương ứng với vùng phổ trong suốt, đồng thời trong mỗi cửa sổ EIT thì giá trị của hệ số phi tuyến Kerr chéo tách thành hai miền âm và dương xen kẽ nhau. Như vậy, so với trường hợp bốn mức chỉ có một cặp cực trị âm - dương của phi tuyến Kerr thì đối với hệ sáu mức có ba cặp cực trị âm - dương của phi tuyến Kerr được tăng cường xung quanh ba cửa sổ EIT, tức là phi tuyến Kerr được tăng cường tại nhiều tần số khác nhau. Vị trí của các cặp giá trị phi tuyến Kerr cũng như biên độ và dấu của nó cũng được điều khiển theo tần số và cường độ của chùm laser điều khiển (sẽ được khảo sát dưới đây). 89 Hình 3.4. Sự phụ thuộc của hệ số phi tuyến Kerr chéo theo độ lệch của chùm laser dò khi cố định tham số c = 6 , p = s = 0,1 và c = s = 0. Đường nét đứt biểu diễn hệ số hấp thụ. 3.4.2. Điều khiển phi tuyến Kerr chéo của hệ sáu mức theo tần số laser Trong mục này, chúng tôi vẽ đồ thị của hệ số phi tuyến Kerr chéo 2 n theo độ lệch tần của chùm dò tại các giá trị khác nhau của độ lệch tần chùm điều khiển, bằng cách cố định tần số Rabi của chùm điều khiển là 10c   , còn độ lệch tần được chọn tại các giá trị 2.5c    và 2.5c   như trên Hình 3.5. Từ hình vẽ cho thấy khi tăng hoặc giảm tần số laser điều khiển xung quanh tần số cộng hưởng nguyên tử 0c  thì toàn bộ công tua hệ số phi tuyến Kerr chéo 2n sẽ dịch chuyển sang miền tần số cao hoặc thấp, để đảm bảo điều kiện cộng hưởng hai photon trong hiệu ứng EIT giống như trong trường hợp bốn mức năng lượng. Tức là, các đỉnh cực trị âm - dương của phi tuyến Kerr được dịch sang trái hoặc sang phải trên trục p. 90 Hình 3.5. Sự biến thiên của hệ số phi tuyến Kerr chéo 2 n theo độ lệch tần của chùm dò p tại các giá trị khác nhau của độ lệch tần số của trường laser điều khiển 2.5c    (đường chấm chấm), 0c  (đường liền nét) và 2.5c   (đường gạch đứt nét). Cường độ của trường laser điều khiển được cố định tại giá trị của tần số Rabi 10c   . Để thấy được tường minh hơn sự thay đổi của phi tuyến Kerr theo tần số laser điều khiển, chúng tôi cố định tần số laser dò tại 3p   và các tham số khác tại giá trị Ωc = 3γ, c = s = 0 (tương ứng với một cực trị của hệ số phi tuyến Kerr chéo n2), và vẽ đồ thị hệ số phi tuyến Kerr chéo theo độ lệch tần chùm laser điều khiển c như trên Hình 3.6. Từ đồ thị cho thấy, khi tăng hoặc 91 giảm tần số của chùm điều khiển, chúng ta có thể biến đổi từ một đỉnh dương (cực đại dương) sang đỉnh âm (cực tiểu âm) và ngược lại. Như vậy, chúng tôi nhận thấy hệ số phi tuyến Kerr chéo hoàn toàn có thể được điều khiển cả về biên độ và dấu khi tăng hoặc giảm tần số của chùm laser điều khiển xung quanh tần số cộng hưởng nguyên tử. Hình 3.6. Sự phụ thuộc của hệ số phi tuyến Kerr chéo n2 theo độ lệch tần của điều khiển tại các giá trị tại các giá trị Ωc = 3γ, c = s = 0, p = 3γ. 3.4.3. Điều khiển phi tuyến Kerr chéo của hệ sáu mức theo cường độ laser Trong trường hợp này chúng tôi cố định độ lệch tần số của các trường laser tại 3p   và c = s = 0 (tương ứng với một giá trị cực đại của hệ số phi tuyến n2) và khảo sát sự biến đổi của hệ số phi tuyến Kerr chéo n2 theo cường độ trường laser điều khiển c . Chúng tôi nhận thấy khi thay đổi tần số Rabi c một lượng 4c  MHz thì một cực đại dương của n2 được chuyển 92 thành cực tiểu âm và ngược lại. Điều này có nghĩa là sự thay đổi cường độ trường laser điều khiển không chỉ thay đổi được độ lớn mà cả về dấu của hệ số phi tuyến Kerr chéo. Hình 3.7. Sự phụ thuộc của hệ số phi tuyến Kerr chéo n2 theo cường độ chùm điều khiển tại các giá trị p = 3γ, c = s = 0. 3.5. So sánh phi tuyến Kerr chéo giữa các cấu hình bốn mức và sáu mức Cuối cùng, trong Hình 3.8, chúng tôi cố định các tham số của các chùm laser ở các giá trị c = s = 0, c = 6 và p = s = 1 và vẽ đồ thị phi tuyến Kerr chéo trong hai trường hợp sáu mức năng lượng (đường liền nét) và bốn mức năng lượng (đường đứt nét). Từ hình Hình 3.8 chúng ta thấy, công tua hệ số phi tuyến Kerr chéo của hệ sáu mức được trải trên miền phổ rộng hơn so với hệ bốn mức năng lượng. Ngoài ra, hệ sáu có nhiều miền giá trị âm và dương hơn so với các hệ bốn mức năng lượng, mở ra nhiều triển vọng hơn về ứng dụng trong vùng đa tần số chẳng hạn như được sử dụng cho cổng pha lượng tử đa kênh. 93 Hình 3.8. Sự phụ thuộc của hệ số phi tuyến Kerr chéo theo độ lệch tần của chùm dò trong hai trường hợp: hệ nguyên tử sáu mức năng lượng (đường nét liền) và hệ nguyên tử bốn mức năng lượng (đường nét gạch). Các tham số được chọn tại giá trị c = s = 0, c = 6 và p = s = 1. 94 Kết luận chương 3 Trong chương này, chúng tôi đã tìm được hệ 36 phương trình ma trận mật độ cho nguyên tử sáu mức cấu hình Y ngược trong gần đúng sóng quay và lưỡng cực điện. Sử dụng phương pháp nhiễu loạn và gần đúng trường yếu để giải hệ phương trình ma trận mật độ trong trạng thái dừng, chúng tôi tìm được biểu thức cho phần tử ma trận mật độ 21 và 26 tới nhiễu loạn bậc ba. Từ đó, tìm được biểu thức giải tích cho độ cảm điện bậc ba và hệ số phi tuyến Kerr chéo đối với chùm laser dò và chùm laser tín hiệu của hệ nguyên tử sáu mức chữ Y ngược. Kết quả giải tích được áp dụng cho nguyên tử 85Rb như sau: Thứ nhất, khi có mặt của chùm điều khiển thì hiệu ứng trong suốt cảm ứng điện từ xuất hiện đồng thời cho cả chùm dò và chùm tín hiệu với ba cửa sổ trong suốt tại ba vị trí 0 p   , 1 9 p       và 2 7,6 p     . Đồng thời, hình dạng của các cửa sổ EIT và các đường cong tán sắc tại các cửa sổ EIT đối với chùm dò và chùm tín hiệu là giống hệt nhau. Điều này làm cho vận tốc nhóm ánh sáng của hai chùm laser này là đồng bộ, đây là cơ sở để tăng cường phi tuyến Kerr chéo tại các cửa sổ EIT. Thứ hai, sự xuất hiện của ba cửa sổ EIT làm xuất hiện ba đường cong tán sắc phi tuyến, tức là hình thành ba cặp cực trị âm-dương của hệ số phi tuyến Kerr xung quanh tâm của mỗi cửa sổ EIT. Khi tăng hay giảm độ lệch tần số trường laser điều khiển thì toàn bộ công tua của hệ số phi tuyến Kerr chéo cũng dịch chuyển sang trái hoặc sang phải. Ngoài ra, hệ số phi tuyến cũng được điều khiển cả dấu lẫn biên độ khi chúng ta thay đổi cường độ trường điều khiển. Thứ ba, so sánh mô hình nguyên tử sáu mức với mô hình bốn mức cho thấy công tua hệ số phi tuyến Kerr chéo của hệ sáu mức được trải trên miền phổ rộng hơn so với hệ bốn mức năng lượng. Ngoài ra, hệ sáu có nhiều miền 95 giá trị âm và dương hơn so với các hệ bốn mức năng lượng, mở ra nhiều triển vọng hơn cho các thiết bị ứng dụng hoạt động đa tần số chẳng hạn như được sử dụng cho cổng pha lượng tử đa kênh. 96 KẾT LUẬN CHUNG Tăng cường và điều khiển hệ số phi tuyến Kerr chéo của môi trường nguyên tử dựa trên hiệu ứng EIT là lĩnh vực đã được nghiên cứu kéo dài hơn hai thập kỷ và hiện nay vẫn là chủ đề được quan tâm nghiên cứu vì những tiềm năng ứng dụng của nó trong khoa học kỹ thuật. Việc dẫn ra được biểu thức giải tích của hệ số phi tuyến Kerr chéo là rất quan trọng để dễ dàng thấy được sự thay đổi của phi tuyến theo các tham số trường ngoài và dễ dàng áp dụng vào các thiết bị quang tử. Bằng cách sử dụng phương pháp ma trận mật độ kết hợp với lý thuyết nhiễu loạn dừng trong giới hạn gần đúng trường yếu và gần đúng sóng quay, chúng tôi đã dẫn ra được các biểu thức giải tích cho hệ số phi tuyến Kerr chéo của hệ nguyên tử bốn mức và sáu mức chữ Y ngược khi xét đến ảnh hưởng của mở rộng Doppler. Đã khảo sát được ảnh hưởng của mở rộng Doppler lên phi tuyến Kerr chéo của hệ nguyên tử bốn mức năng lượng. Nó cho thấy có sự giảm đáng kể biên độ của phi tuyến Kerr khi nhiệt độ khí nguyên tử tăng. Mô hình là hữu ích cho các ứng dụng trong các thiết bị photonic làm việc ở điều kiện thông thường. Đã khảo sát được sự tăng cường và điều khiển phi tuyến Kerr của hệ nguyên tử sáu mức năng lượng theo các tham số laser. Nó cho thấy, phi tuyến Kerr chéo được tăng cường đồng thời trong ba miền phổ trong suốt. Đồng thời, hệ số phi tuyến Kerr chéo được điều khiển theo độ lệch tần số và cường độ của trường laser điều khiển tại ba miền phổ trong suốt. Do tính đối xứng của cấu hình chữ Y ngược nên, trong điều kiện cộng hưởng Raman, vận tốc nhóm của laser tín hiệu và laser dò có sự đồng bộ tốt nhất, làm tăng thời gian 97 tương tác và do đó phi tuyến Kerr chéo được tăng cường tốt hơn so với các cấu hình khác. Các kết quả nghiên cứu chính của luận án đã được công bố trong 02 bài báo trên các tạp chí quốc tế thuộc danh mục ISI và 01 bài báo trong nước. 98 MỘT SỐ HƯỚNG PHÁT TRIỂN CỦA ĐỀ TÀI: 1. Nghiên cứu ảnh hưởng của mở rộng Doppler và sự phân cực và pha của các trường laser lên phi tuyến Kerr chéo trong hệ nguyên tử sáu mức; 2. Nghiên cứu ảnh hưởng của từ trường ngoài lên phi tuyến Kerr chéo; 3. Nguyên cứu ảnh hưởng của phi tuyến Kerr chéo lên vận tốc nhóm ánh sáng; 4. Nguyên cứu ứng dụng vật liệu phi tuyến Kerr chéo cho cổng logic/chớp lượng tử. 99 CÁC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ ĐÃ CÔNG BỐ A. Bài báo ISI 1. Le Van Doai, Nguyen Le Thuy An , Dinh Xuan Khoa, Vu Ngoc Sau, and Nguyen Huy Bang, “Manipulating giant cross-Kerr nonlinearity at multiple frequencies in an atomic gaseous medium”, Journal of the Optical Society of America B, Vol. 36, No. 10 / October 2019, 2856-2862. 2. Nguyen Huy Bang, Le Van Doai, Nguyen Le Thuy An , Vu Ngoc Sau, and Doan Hoai Son, “Influence of Doppler broadening on cross-Kerr nonlinearity in a four-level inverted-Y system: an analytical approach”, Journal of nonlinear optical physics and materials, Vol. 28, No.3 (2019), 1950031. B. Bài báo trong nước 3. Nguyễn Lê Thủy An, Vũ Ngọc Sáu, Đoàn Hoài Sơn, “Tăng cường phi tuyến Kerr chéo của hệ nguyên tử bốn mức năng lượng cấu hình chữ N dựa trên hiệu ứng trong suốt cảm ứng điện từ”, Tạp chí Khoa học Trường Đại học Vinh, tập 47, số 1A (2018), trang 5-13. C. Hội nghị Quốc tế 4. Nguyen Le Thuy An, Vu Ngoc Sau, Le Van Doai, Doan Hoai Son, and Nguyen Huy Bang, “Influence of Doppler broadening on cross-Kerr nonlinearity of a four-level N-type EIT medium”, The 9th International Conference on Photonics & Applications, Ninh Binh, 6-10 November 2016. 5. Nguyen Le Thuy An, Vu Ngoc Sau, Le Van Doai, and Nguyen Huy Bang, “Controlling cross-Kerr nonlinearity of a six-level inverted Y-type atomic medium”, The 5th Academic Conference on Natural Science for Young Scientists, Masters, and PhD Students from ASEAN Countries, 4-8 October 2018, Da Lat, Viet Nam. 6. Nguyen Le Thuy An, Doan Hoai Son, Vu Ngoc Sau, Dinh Xuan Khoa, Nguyen Huy Bang, and Le Van Doai, “Giant Cross – Kerr Nonlinearity of a four – level N – type atomic gasesous medium under Doppler broadening”, New trends in contemporary optics, 2019, Vinh, Viet Nam. 100 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Guang S. He and Song H. Liu, “Physics of nonlinear optics”, World Scientific, 1999. [2] M.O. Scully and M.S. Zubairy, “Quantum optics”, Cambridge University Press, 1997. [3] R.W. Boyd, “Nonlinear Optics 3rd”, Academic Press, 2008. [4] Michelle Moreno, “Kerr effect,” Instituto de Física de São Carlos, Universidade de São Paulo, 13566-590 São Carlos, SP, Bras,il, June 14, 2018. [5] Gary F. Sinclair “Cross - phase modulation in Rubidium - 87,” A Thesis Submitted for the Degree of PhD at the University of St. Andrews, 2009. [6] J. Weiner and P.T. Ho, “Light-Matter Interaction: Fundamentals and Applications”, John Wiley  Sons, Inc., Hoboken, New Jersay (2003). [7] J.Y. Gao, M. Xiao, and Y. Zhu, “Atomic Coherence and its Potential Applications”, Bentham ebooks (2009). [8] S.E. Harris, J.E. Field and A. Imamoglu, “Nonlinear Optical Processes Using Electromagnetically Induced Transparency”, Phys. Rev. Lett., 64 (1990) 1107 – 1110. [9] K.J. Boller, A. Imamoglu, S.E. Harris, “Observation of electromagnetically induced transparency”, Phys. Rev. Lett., 66 (1991) 2593. [10] M. Fleischhauer, A. Imamoglu and J.P. Marangos, “Electromagnetically induced transparency: Optics in coherent media”, Rev. Mod. Phys., 77 (2005) 633-673. [11] Michael Vernon Pack, “Dynamics of Electromagnetically Induced Transparency Optical Kerr nonlinearities,” Department of Physics and Astronomy, The College Arts and Sciences University of Rochester Rochester, New York 2007. [12] D. McGloin, D.J. Fullton, M.H. Dunn, “Electromagnetically induced transparency in N-level cascade schemes”, Opt. Comm. 190 (2001) 221. [13] H. Wang, D. Goorskey, and M. Xiao, “Dependence of enhanced Kerr nonlinearity on coupling power in a three-level atomic system”, Opt. Lett., Vol. 27 (2002) 258–260. [14] H. Wang, D. Goorskey, and M. Xiao, “Atomic coherence induced Kerr nonlinearity enhancement in Rb vapor”, J. Mod. Opt., vol. 49, No. 3/4 (2002) 335–347. [15] Y. Niu, S. Gong, R. Li, Z. Xu, and X. Liang, “Giant Kerr nonlinearity induced by interacting dark resonances”, Opt. Lett, Vol. 30, No. 24, pp. 3371-3373 (2005). [16] K. Kowalski, V. Cao Long, H. Nguyen Viet, S. Gateva,, M. Głódz and J. Szonert, “Simultaneous coupling of three hfs components in a cascade scheme of EIT in cold 85Rb atoms”, Journal of Non-Crystalline Solids, 355 (2009) 1295-1301. 101 [17] H. R. Hamedi, “Giant Kerr nonlinearity in a four-level atomic medium”, Optik, 124 (2013) 366 – 370. [18] J. Sheng, X. Yang, H. Wu, and M. Xiao, “Modified self-Kerr-nonlinearity in a four-level N-type atomic system”, Phys. Rev. A 84, 053820 (2011). [19] M. Sahrai, S.H. Asadpour, R. Sadighi, “Enhanced Kerr Nonlinearity in a Four- Level EIT Medium”, J. Non. Opt. Phys. Mate., 19 (2010) 503-515. [20] Y. Niu, S. Gong, R. Li, Z. Xu, and X. Liang, “Giant Kerr nonlinearity induced by interacting dark resonances”, Opt. Lett, Vol. 30, No. 24, pp. 3371-3373 (2005). [21] H. Schmidt and A. Imamoglu, “Giant Kerr nonlinearities obtained by electromagnetically induced transparency”, Opt. Lett., 21, 1936 (1996). [22] H. Kang and Y. Zhu, “Observation of large Kerr nonlinearity at low light intensities”, Phys. Rev. Lett., 91, 093601 (2003). [23] H. Chang, Y. Du, J. Yao, C. Xie, and H. Wang, “Observation of cross-phase shift in hot atoms with quantum coherence”, Europhys. Lett., 65, 485 (2004). [24] Liqiang Wang and Xiang’an Yan, “Effective Cross-Kerr Effect in the N-Type Four-Level Atom”, W. Hu (Ed.): Electronics and Signal Processing, LNEE 97 (2011), pp. 421–426. [25] S.E. Harris and L.V. Hau, “Nonlinear Optics at Low Light Levels”, Phys. Rev. Lett., 82 (1999) 4611. [26] Zi-Yu Liu, Yi-Hsin Chen, Yen-Chun Chen, Hsiang-Yu Lo, Pin-Ju Tsai, Ite A. Yu, Ying-Cheng Chen, Yong-Fan Chen “Large Cross-Phase Modulations at the Few-Photon Level”, PRL 117, 203601 (2016). [27] Amitabh Joshi, Min Xiao, “Electromagnetically induced transparency and its dispersion properties in a four-level inverted-Y atomic system”, Physics Letters A 317 (2003) 370–377. [28] Amitabh Joshi and Min Xiao, “Phase gate with a four-level inverted-Y system,” PHYSICAL REVIEW, A72, 062319, 2005. [20] H. Kang, G. Hernandez, J. Zhang and Y. Zhu, “Phase-controlled light switching at low light levels”, Phys. Rev. A 73 (2006) 011802. [30] Kou J, Wan R G, Kang Z H, Wang H H, Jiang L, Zhang X J, Jiang Y, Gao J Y, “EIT-assisted large cross-Kerr nonlinearity in a four-level inverted-Y atomic system”, J. Opt. Soc. Am. B., 27 (2010) 2035. [31] M. Sahrai, H.R. Hamedi, and M. Memarzadeh, “Kerr nonlinearity and optical multi-stability in a four-level Y-type atomic system”, J. Mod. Opt. Vol. 59, No. 11 (2012), pp. 980-987. [32] Z.-B. Wang, K.-P. Marzlin and B.C. Sanders, “Large cross-phase modulation between slow co-propagating weak pulses in 87Rb", Phys. Rev. Lett., 97 (2006) 063901. [33] A. Joshi and M. Xiao, “Controlling nonlinear optical processes in multi-level atomic systems”, Progress in Optics, Ed. E. Wolf, 49 (2006) 97-175. [34] Carlo Ottaviani, Stojan Rebi´c, David Vitali, and Paolo Tombesi , “Cross phase modulation in a five–level atomic medium: Semiclassical theory”, The 102 European Physical Journal D - Atomic, Molecular, Optical and Plasma Physics volume 40 (2006). [35] H.R. Hamedi, A.K. Nasab, and A. Raheli, “Kerr nonlinearity and EIT in a bouble lambda type atomic system”, Opt. Spec. Vol. 115, No. 4, (2013), pp. 544-551. [36] J. Wang, L.B. Kong, X.H. Tu, K.J. Jiang, K. Li, H.W. Xiong, Y. Zhu, M.S. Zhan., “Electromagnetically induced transparency in multi-level cascade scheme of cold rubidium atoms”, Phys. Lett., A328 (2004) 437. [37] Shujing Li, Xudong Yang, Xuemin Cao, Chunhong Zhang, Changde Xie, and Hai Wang, “Enhanced Cross-Phase Modulation Based on a Double Electromagnetically Induced Transparency in a Four-Level Tripod Atomic System”, PRL 101, 073602 (2008). [38] X. Yang, S. Li, C. Zhang, and H. Wang, “Enhanced cross-Kerr nonlinearity via electromagnetically induced transparency in a four-level tripod atomic system”, J. Opt. Soc. Am. B., 26 (2009) 1423. [39] Nguyễn Tuấn Anh, “ Nghiên cứu sự thay đổi vận tốc nhóm của ánh sáng đa tần số khi có mặt phi tuyến Kerr và hiệu ứng Doppler”, luận án tiến sĩ, Trường ĐH Vinh, 2018. [40] L.V. Doai, P.V. Trong, D.X. Khoa, and N. H. Bang “Electronmagnetic induced transparency in five – level cascade scheme of 85Rb atoms: An analytical approach,” Optik, 125, 3666 – 3669 (2014). [41] Lê Văn Đoài, “Điều khiển hệ số phi tuyến Kerr của môi trường khí nguyên tử 85Rb dựa trên hiệu ứng trong suốt cảm ứng điện từ,” luận án tiến sĩ, Trường ĐH Vinh, 2015. [42] D.X. Khoa, L.V. Doai, D.H. Son and N. H. Bang “Enhancement of self – Kerr nonlinearity via electronmagnetic induced transparency in five – level cascade scheme: an analytical approach,” J. Opt. Soc. Am, B., 31,N6, 1330 (2014). [43] Lê Thị Minh Phương, “ Điều khiển đặc trưng lưỡng ổn định quang học của môi trường khí nguyên tử Rb dựa trên hiệu ứng trong suốt cảm ứng điện từ”, luận án tiến sĩ, Trường ĐH Vinh, 2018. [44] Phạm Văn Trọng, “Nghiên cứu hiệu ứng trong suốt cảm ứng điện từ trong hệ nguyên tử năm mức,” luận án tiến sĩ, Trường ĐH Vinh, 2015. [45] Lê Cảnh Trung, “Nghiên cứu phổ hấp thụ và phổ tán sắc của môi trường khí nguyên tử 85Rb khi có mặt hiệu ứng trong suốt cảm ứng điện từ,” luận án tiến sĩ, Trường ĐH Vinh, 2017. 103 PHỤ LỤC Các hệ đơn vị trong quang học phi tuyến Trong quang học phi tuyến, có hai hệ đơn vị thường được sử dụng là hệ đơn vị SI và hệ đơn vị Gaussian. Trong phụ lục này, chúng tôi trình bày về đơn vị của hai hệ này và sự chuyển đối giữa chúng. Bảng P1. Chuyển đổi của các đại lượng giữa các hệ đơn vị SI và Gaussian [2]. Đại lượng Ký hiệu Đơn vị SI Hệ số nhân Đ.vị Gaussian Chiều dài L m 100 cm Khối lượng M kg 1000 g Thời gian T s 1 s Lực F N 105 dyn Năng lượng W J 107 erg Công suất P W 107 erg/s Cường độ dòng điện I A 10c statA Điện tích Q C 10c statC hay esu Hiệu điện thế U V 106/c statV Điện trở R  105/c2 stat Độ tự cảm L H 105/c2 statH Điện dung C F 10-5/c2 cm Điện trường E V/m 104/c statV/cm 104 Bảng 2. Các hằng số vật lí trong hệ đơn vị SI và hệ đơn vị Gaussian [2]. Đại lượng Ký hiệu Giá trị Đơn vị SI Đ.vị Gaussian Vận tốc ánh sáng trong chân không c 2,998 108 m/s 1010 cm/s Độ điện thẩm của chân không 0 8,854 10-12 F/m 1 Độ từ thẩm của chân không 0 1,256 10-6 H/m 1 Hằng số Avogadro NA 6,022 10-23 mol-1 10-23 mol-1 Hằng số Planck h 6,626 10-34 J/s 10-27 erg.s Hằng số Boltzmann kB 1,380 10-23 J/K 10-26 erg/K Điện tích electron e 1,602 4,803 10-19 C 10-10 esu Khối lượng electron me 9,109 10-31 kg 10-28 g Bán kính Bohn a0 5,291 10-11 m 10-9 cm Electron volt 1eV 1,602 10-19 J 10-12 erg Trong hệ đơn vị SI, độ lớn của véctơ phân cực được liên hệ với cường độ trường theo hệ thức: (1) (2) 2 (3) 3 0( ) ( ) ( ) ( ) ,P t E t E t E t         (A1) trong đó: 12 0 8,85 10 /F m   , (A2)   2 C P m  , (A3) 105   V E m  , (A4) 1 1 C F V  , (A5) Do đó, đơn vị của các độ cảm điện là: (1) không có thứ nguyên, (A6) (2) 1 m E V             , (A7) 2 (3) 2 2 1 m E V             . (A8) Trong hệ đơn vị Gaussian, độ lớn của véctơ phân cực được liên hệ với cường độ trường theo hệ thức: (1) (2) 2 (3) 3( ) ( ) ( ) ( ) ,P t E t E t E t      (A9) Tất cả các đại lượng của trường: E, P, D, B, H và M có cùng đơn vị. Đơn vị của P và E là:     1/2 2 3 statvolt statcoulomb erg P E cm cm cm           . (A10) Do đó, đơn vị của các độ cảm điện là: (1) không có thứ nguyên, (A11) 1/2 (2) 3 1 cm erg E statvolt cm                     , (A12) 12 (3) 2 2 3 1 cm erg E statvolt cm                     . (A13) Chuyển đổi giữa các đơn vị: sử dụng các biểu thức (A2) và (A10) và mỗi liên hệ 1 300statvolt V , chúng ta tìm được: 4( ) 3 10 ( )E SI E Gaussian  . (A14) 106 Để tìm được mỗi liên hệ giữa các độ cảm điện tuyến tính trong hệ đơn vị SI và hệ đơn vị Gauss, chúng ta sử dụng các biểu thức của độ điện dịch: (1) 0 0 (1 )D E P E      , trong đơn vị SI, (A15a) (1)4 (1 4 )D E P E     , trong đơn vị Gauss. (A15b) Do đó : (1) (1)( ) 4 ( )SI Gauss  , (A16) Sử dụng các biểu thức (A14) và (A15) chúng ta tìm được: (2) (2) 4 4 ( ) ( ) 3 10 SI Gauss     4 (2)4,189 10 ( )Gauss  , (A17) (3) (3) 4 2 4 ( ) ( ) (3 10 ) SI Gauss     8 (3)1,40 10 ( )Gauss  . (A18) Các hệ đơn vị trong quang học phi tuyến Trong quang học phi tuyến, có hai hệ đơn vị thường được sử dụng là hệ đơn vị SI và hệ đơn vị Gaussian. Trong phụ lục này, chúng tôi trình bày về đơn vị của hai hệ này và sự chuyển đối giữa chúng. Bảng P2. Chuyển đổi của các đại lượng giữa các hệ đơn vị SI và Gauss [2]. Đại lượng Ký hiệu Đơn vị SI Hệ số nhân Đ.vị Gaussian Chiều dài L m 100 cm Khối lượng M kg 1000 g Thời gian T s 1 s Lực F N 105 dyn Năng lượng W J 107 erg 107 Công suất P W 107 erg/s Cường độ dòng điện I A 10c statA Điện tích Q C 10c statC hay esu Hiệu điện thế U V 106/c statV Điện trở R  105/c2 stat Độ tự cảm L H 105/c2 statH Điện dung C F 10-5/c2 cm Điện trường E V/m 104/c statV/cm Bảng P3. Các hằng số vật lí trong hệ đơn vị SI và hệ đơn vị Gaussian [2]. Đại lượng Ký hiệu Giá trị Đơn vị SI Đ.vị Gaussian Vận tốc ánh sáng trong chân không c 2.998 108 m/s 1010 cm/s Độ điện thẩm của chân không 0 8.854 10-12 F/m 1 Độ từ thẩm của chân không 0 1.256 10-6 H/m 1 Hằng số Avogadro NA 6.022 10-23 mol-1 10-23 mol-1 Hằng số Planck h 6.626 10-34 J/s 10-27 erg.s Hằng số Boltzmann kB 1.380 10-23 J/K 10-26 erg/K Điện tích electron e 1.602 4.803 10-19 C 10-10 esu 108 Khối lượng electron me 9.109 10-31 kg 10-28 g Bán kính Bohn a0 5.291 10-11 m 10-9 cm Electron volt 1eV 1.602 10-19 J 10-12 erg