Luận án Tính chất cơ lý của vật liệu sắt điện ở kích thước nano mét

6a2c, 8a2c, 10a2c, và theo phương z là: 2a10c và 2a16c. Các kết quả thu được cho thấy khi kích thước vết nứt ở tâm phát triển theo phương x làm xuất hiện thêm xoáy phân cực. Với vết nứt ở kích thước nhỏ, bằng 10% chiều dài mẫu (2a/20a) xoáy phân cực hầu như không bị ảnh hưởng, hình 4.6.(b). Sự hình thành thêm xoáy bắt đầu khi kích thước vết nứt bằng 20% chiều dài mẫu và các xoáy trở nên rõ rệt khi kích thước vết nứt bằng 50% chiều dài của mẫu (10a/20a), các hình 4.6.(d), (e) và (f). Các xoáy này đối xứng nhau và cùng chiều với xoáy chính, hình 4.6.(f). Sự hình thành thêm xoáy này có thể là do các nguyên tử gần vết nứt mất liên kết, khi kích thước đủ lớn tạo nên hai miền phân cực 180o phía trên và dưới vết nứt. Sự xuất hiện thêm xoáy này sẽ gây khó khăn cho việc đọc và ghi dữ liệu trong FRAM. x z 20c 3c 20a 3c 3a 3a 180o DW Chân không -P +P ` 82 Hình 4.6. Mô hình vết nứt tại tâm phát triển theo phương x và kết quả phân bố phân cực với các kích thước vết nứt khác nhau: (a) Mô hình vết nứt ở tâm; (b) 2a×2c; (c) 4a×2c; (d) 6a×2c; (e) 8a×2c; (f) 10a×2c. x z 3c 20a 3c 3a 3a 180o DW 20c z x -P +P (a) (b) Vết nứt 2a×2c (c) Vết nứt 4a×2c (d) Vết nứt 6a×2c z x z x (e) Vết nứt 8a×2c (f) Vết nứt 10a×2c ` 83 Kết quả phân bố phân cực khi vết nứt ở tâm phát triển theo phương z (dọc theo 180o DW) thu được cho thấy, hình dạng xoáy phân cực đơn bị ảnh hưởng không nhiều do vết nứt chỉ làm giảm kích thước 180o DW mà không ảnh hưởng tới cấu trúc của miền phân cực 180o ban đầu, tuy nhiên các phân cực thành phần giảm. Cụ thể, khi vết nứt bằng 20% (4c/20c) và 50% chiều dài 180o DW (10c/20c), xoáy phân cực vẫn hầu như không đổi, hình 4.7.(a), (b). Thậm chí, vết nứt đạt đến 80% chiều dài 180o DW, hình dạng xoáy gần như giữ nguyên, trong đó các véc tơ phân cực thành phần bị suy giảm về độ lớn khá rõ, hình 4.7.(c). Hình 4.7. Kết quả phân bố phân cực khi vết nứt ở tâm phát triển theo phương z với các kích thước khác nhau: (a) 2a4c; (b) 2a10c và (c) 2a16c. 4.3.2 Ảnh hưởng của vết nứt tại các cạnh biên 4.3.2.1 Vết nứt ở vị trí cạnh biên phát triển theo phương x không đối xứng Mô hình khảo sát với các kích thước vết nứt (theo kích thước ô đơn vị) lần lượt là: 2a2c, 4a2c, 6a2c và kết quả phân bố phân cực được mô tả trên hình 4.8. x z x z (a) Vết nứt 2a×4c (b) Vết nứt 2a×10c (c) Vết nứt 2a×16c ` 84 Hình 4.8. Mô hình vết nứt tại cạnh biên phát triển theo phương x không đối xứng và kết quả phân bố phân cực với các kích thước vết nứt khác nhau: (a) Mô hình vết nứt; (b) đến (d) Kích thước vết nứt: 2a2c, 4a2c và 6a2c. Các kết quả thu được cho thấy, kích thước của vết nứt tăng ảnh hưởng đến xoáy phân cực đơn. Cụ thể, khi chiều dài vết nứt ≤ 10% chiều dài của mẫu (2a/20a) tuy có xuất hiện thêm các miền phân cực 90o tại khu vực vết nứt nhưng xoáy phân cực đơn không bị ảnh hưởng nhiều, hình 4.8.(b). Khi chiều dài vết nứt ≥ 20% chiều dài của mẫu (4a/20a) xoáy phân cực đơn bị biến dạng và số lượng các miền phân cực 90o tăng lên đáng kể xung quanh vết nứt, hình 4.8.(c). Còn khi chiều dài vết nứt ≥ 30%, xoáy phân cực đơn bị biến dạng đồng thời hình thành thêm hai xoáy phân cực ở hai phía (trên và dưới) của vết nứt và ngược chiều với xoáy phân cực chính, hình 4.8(d). Do vết nứt làm liên kết của miền phân cực 180o ban đầu không còn liên tục nên các dòng phân cực đổi hướng tác động lên xoáy. Khi kích thước vết nứt đủ lớn sẽ tạo ra các miền 180o riêng và các dòng xoáy phân cực được hình thành trên những miền mới [172]. (a) (b) Vết nứt 2a×2c x z (d) Vết nứt 4a×2c (e) Vết nứt 6a×2c x z 20c 3c 20a 3c 3a 3a 180o DW z x -P +P ` 85 4.3.2.2 Vết nứt ở vị trí cạnh biên phát triển theo phương z không đối xứng Mô hình khảo sát với các kích thước vết nứt (theo kích thước ô đơn vị) lần lượt là: 2a2c, 2a4c, 2a6c, 2a8c và kết quả phân bố phân cực được mô tả trên hình 4.9. Hình 4.9. Mô hình vết nứt tại cạnh biên phát triển theo phương z không đối xứng và kết quả phân bố phân cực với các kích thước vết nứt khác nhau: (a) Mô hình vết nứt; (b) đến (e) Kích thước vết nứt: 2a×2c, 2a×4c, 2a×6c và 2a×8c. Kết quả khảo sát được mô tả trên hình 4.9, các trường hợp vết nứt trên cạnh biên tại vị trí 180o DW không đối xứng theo phương z cho thấy, khi kích thước vết nứt ở 10%, 20% thì ảnh hưởng là không đáng kể đến xoáy phân cực đơn và xoáy chỉ bị thu hẹp lại, hình 4.9.(b), (c). Khi chiều dài vết nứt chiếm tỉ lệ > 40% chiều dài mẫu (8c/20c), xoáy phân cực đơn bị biến dạng nhỏ vừa bị thu hẹp về phần có vách miền (a) x z 20c 3c 20a 3c 3a 3a 180o DW z x -P +P (b) Vết nứt 2a×2c (c) Vết nứt 2a×4c (d) Vết nứt 2a×6c (f) Vết nứt 2a×8c x z x z ` 86 còn lại, vừa xuất hiện thêm các dòng xoáy khác hình 4.9.(d, e) và các thành phần phân cực của xoáy cũng bị giảm về độ lớn. Xoáy phân cực đơn chỉ hình thành trên phần 180o DW liên tục. 4.3.2.3 Vết nứt ở vị trí cạnh biên phát triển theo phương x đối xứng Mô hình khảo sát với các kích thước vết nứt lần lượt là: 2a2c, 4a2c, 8a2c và kết quả phân bố phân cực được mô tả trên hình 4.10. Hình 4.10. Mô hình vết nứt tại cạnh biên phát triển theo phương x đối xứng và kết quả phân bố phân cực với các kích thước vết nứt khác nhau:(a) Mô hình vết nứt; (b) đến (d) Kích thước vết nứt: 2a×2c, 4a×2c và 8a×2c. Kết quả chỉ ra rằng, với kích thước vết nứt bằng 10% chiều dài mẫu (2a/20a) xoáy phân cực đơn hầu như không bị ảnh hưởng, hình 4.10.(b). Tuy nhiên, khi kích thước vết nứt ≥ 20% chiều dài mẫu thì xoáy phân cực đơn bị phá vỡ hoàn toàn, hình 4.10.(c, d). Hiện tượng này là do vết nứt có kích thước đủ lớn phá vỡ tính liên tục ở hai miền x z 20c 3c 20a 3c 3a 3a 180o DW z x x z (a) (b) Vết nứt 2a×2c (c) Vết nứt 4a×2c (d) Vết nứt 8a×2c -P x x z z +P ` 87 phân cực 180o ban đầu, làm tăng trường khử cực tại các mặt biên, tạo thành các vùng có miền phân cực khác nhau như: miền 180o, 45o xen kẽ và miền 90o, làm mất xoáy phân cực. Khi kích thước vết nứt tăng lên 40% tổng chiều dài mẫu, số miền 45o giảm, miền 90o gần như không còn và thay vào đó là miền 180o, hình 4.10.(d). 4.3.2.4 Vết nứt ở vị trí cạnh biên phát triển theo phương z đối xứng Mô hình khảo sát với các kích thước vết nứt lần lượt là: 4a×2c, 8a×2c, 10a×2c và kết quả phân bố phân cực được mô tả trên hình 4.11. Hình 4.11. Mô hình vết nứt tại cạnh biên phát triển theo phương z đối xứng và kết quả phân bố phân cực với các kích thước vết nứt khác nhau: (a) Mô hình vết nứt; (b) đến (d) Kích thước vết nứt: 4a×2c, 8a×2c và 10a×2c. Với trường hợp các vết nứt trên cạnh biên tại vị trí 180o DW và đối xứng theo phương z, ảnh hưởng của nó đến xoáy là đáng kể. Xoáy phân cực bị biến dạng và thu hẹp về tâm (phần vách miền còn lại). Khi vết nứt có tổng chiều dài bằng 50% chiều dài mẫu (10c/20c) xuất hiện thêm các xoáy phân cực mới cùng chiều với xoáy phân cực chính, hình 4.11.(d). Vết nứt dạng này làm các phần miền phân cực 180o không còn vách miền tạo thêm các xoáy phân cực. (a) (b) Vếtt nứt 4a×2c (c) Vết nứt 8a×2c (d) Vết nứt 10a×2c 20c 3c 20a 3c 3a 3a 180o DW x z z x -P +P x z ` 88 4.3.3 Ảnh hưởng của khuyết tật lệch tường miền phân cực 180o Mô hình khảo sát và kết quả phân bố phân cực của khuyết tật do lệch tường miền phân cực 180o (180o DW) ở các vị trí 1, 2, 3, 4 được mô tả trên hình 4.12. Hình 4.12. Ảnh hưởng của sai lệch 180o DW đến xoáy phân cực đơn: (a) Mô hình khuyết tật sai lệch 180o DW; (b) đến (e) phân bố phân cực của các vị trí 180o DW: 1; 2; 3 và 4, tương ứng. (a) -10-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20c 3c 20a 3c 3a 180o DW 3a -P +P x z (b) 180o DW ở vị trí 1 (c) 180o DW ở vị trí 2 -10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 910 -10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 1 x z -10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 910 (d) 180o DW ở vị trí 3 -10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 910 (e) 180o DW ở vị trí 4 2 1 ` 89 Kết quả cho thấy, xoáy phân cực đơn có thể bị thu hẹp và hình thành thêm các xoáy mới tùy thuộc vào vị trí sai lệch của 180o DW. Các sai lệch ở vị trí 1 và 2, tâm xoáy phân cực đơn bị lệch về phía có miền phân cực 180o ít hơn, hình 4.12.(b), (c). Sai lệch ở vị trí số 3 (nghĩa là tăng 30% miền 180o+P), phân bố phân cực được chia làm hai vùng: vùng 1 là một xoáy đơn với các dòng xoáy đối xứng (7x7); Vùng 2 là các dòng xoáy xen kẽ theo chu kỳ 3x3 (dòng phân cực), hình 4.12.(d). Tương tự, khi 180o DW sai lệch ở vị trí số 4 (tăng 40% miền 180o+P) gồm: vùng 1 là một xoáy đơn 6x6 ô đơn vị và vùng 2 là các dòng xoáy, hình 4.12.(e). Bản chất của hiện tượng này là do mất cân bằng về số lượng dòng phân cực trên mỗi miền phân cực 180o ban đầu. Tuy nhiên, xoáy phân cực đơn vẫn được hình thành từ cặp miền phân cực 180o ngược chiều ban đầu. Phần dư của miền phân cực 180o có thể hình thành các dòng xoáy phân cực xen kẽ. Tương tự, khi 180o DW ở các vị trí -1, -2, -3, -4 kết quả cho tương ứng với các vị trí 1, 2, 3, 4, do tính chất đối xứng. Vì vậy, để xoáy phân cực đơn ổn định thì cần phải đảm bảo tính đối xứng của cặp miền phân cực 180o ban đầu. 4.4 Kết luận Trong chương này, sự phân bố các phân cực thành phần trong quá trình hình thành xoáy và các ảnh hưởng của biến dạng, khuyết tật (vết nứt, lệch tường miền phân cực 180o) đến xoáy phân cực đơn trong sợi nano PbTiO3 đã được nghiên cứu. Các kết quả có thể tóm tắt như sau: - Sự hình thành xoáy phân cực đơn trong sợi nano PbTiO3 được cho là từ các miền phân cực 180o và 90o xen kẽ nhau. Quy luật phân bố của các véc tơ phân cực thành phần trong xoáy đơn cũng cho thấy phù hợp với các tài liệu đã công bố và đều giải thích được trên cơ sở lý thuyết về xoáy phân cực; - Dưới biến dạng đơn trục theo phương Oz, hình dạng xoáy phân cực đơn hầu như không đổi, tuy nhiên độ lớn của các phân cực thành phần tăng khi chịu kéo và giảm khi chịu nén. Dưới biến dạng nén ≥ -10%, xoáy phân cực đơn bị phá vỡ; - Xoáy phân cực đơn bị ảnh hưởng không lớn khi vết nứt ở tâm theo phương z. Khi kích thước vết nứt lên đến 50% chiều dài 180o DW, xoáy gần như không thay đổi. Trường hợp vết nứt trên cạnh biên tại vị trí 180o DW theo phương z (không đối xứng), xoáy phân cực bị thu hẹp về phần có vách miền liên tục còn lại. Trường hợp vết nứt ở tâm theo phương x với kích thước bằng 50% chiều dài mẫu (10a/20a), vết nứt trên cạnh biên tại vị trí 180o DW theo phương z đối xứng với kích thước bằng 50% tổng chiều dài mẫu (10c/20c) và vết nứt ở cạnh biên theo phương x không đối xứng với kích thước bằng 25% chiều dài mẫu (5a/20a), đều xuất hiện thêm các xoáy phân cực. Trường hợp vết nứt ở cạnh bên đối xứng theo phương x, khi kích thước vết nứt bằng 20% chiều dài mẫu (4a/20a), xoáy phân cực đơn bị triệt tiêu; - Sai lệch vị trí của 180o DW làm xoáy phân cực đơn co lại nhưng có thể hình thành thêm các xoáy khác. Phần dư của miền 180o càng nhiều thì các dòng xoáy phân cực xen kẽ càng lớn. ` 90 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Trong luận án này, bằng phương pháp mô phỏng nguyên tử sử dụng mô hình vỏ - lõi để nghiên cứu, phân tích các tính chất cơ lý đối với vật liệu sắt điện PbTiO3 ở kích thước khối và kích thước nano mét. Trong đó, các hàm thế năng tương tác giữa các nguyên tử được xác định bằng phương pháp thử và làm cho đúng (fitting) dựa trên các thuộc tính cơ học từ kết quả của tính toán nguyên lý đầu. Phương pháp mô phỏng nguyên tử sử dụng mô hình vỏ - lõi cho phép mô hình nghiên cứu ở kích thước thực (hàng chục nghìn nguyên tử) với nhiệt độ thay đổi (> 0 K), thời gian tính toán nhanh, cấu hình thiết bị không đòi hỏi quá cao và phù hợp với các tính toán về tính chất sắt điện của vật liệu PbTiO3. Hoàn thành các nghiên cứu trong luận án, tác giả có thể kết luận về vật liệu này như sau: 1. Đã xây dựng được bộ thông số A, ρ, C, k2, k4 của các hàm thế năng vỏ - lõi cho vật liệu PbTiO3 bằng phương pháp mô phỏng đảm bảo độ tin cậy để sử dụng khảo sát các yếu tố biến dạng cơ học, nhiệt, điện trường ảnh hưởng đến tính phân cực và đường cong điện trễ của vật liệu sắt điện PbTiO3; 2. Đã xây dựng và hoàn thiện đường cong điện trễ của vật liệu sắt điện PbTiO3 cho thấy chiều của phân cực hưởng ứng theo chiều của điện trường, độ lớn của phân cực tăng khi điện trường tăng và ngược lại, mang tính đối xứng. Tuy nhiên, phân cực rất nhạy khi điện trường tăng gần ngưỡng điện trường (trường điện kháng - Ec) và phân cực đổi chiều khi điện trường đạt giá trị  0,115 eV/Å, tại đây phân cực đạt giá trị bão hòa, Ps = 101,21 C/cm2 và khi ngắt điện trường (E = 0) độ phân cực tồn tại với giá trị, Pr =  86,8 C/cm2. 3. Nhiệt độ tăng làm đường cong điện trễ của PbTiO3 bị thu hẹp và suy biến thành một đường cong đơn ở nhiệt độ chuyển pha (Tc = 605 K). Nhiệt độ tăng làm giảm trường điện kháng Ec giúp giảm mức điện năng tiêu thụ nhưng đồng thời độ phân cực dư Pr ảnh hưởng đến độ nhạy của thiết bị. Khi nhiệt độ đạt khoảng 605 K pha sắt điện chuyển sang pha thuận điện (P = 0). Sự chuyển pha có thể xảy ra ở nhiệt độ thấp hơn Tc khi có thêm ảnh hưởng của biến biến dạng nén đơn trục theo phương z và sự phân cực cũng có thể tồn tại ở nhiệt độ cao hơn Tc khi chịu biến dạng kéo đơn trục theo phương z; 4. Dưới tác động biến dạng tính phân cực và đường cong điện trễ của vật liệu thay đổi khác nhau đối với từng loại biến dạng: dưới biến dạng nén đơn trục theo phương z (zz) vừa làm đường cong điện trễ co lại vừa làm tăng ứng suất σzz. Ngược lại, dưới biến dạng nén đồng thời theo phương x và y (xx = yy) làm mở rộng đường cong điện trễ nhưng làm giảm ứng suất σzz. Biến dạng cắt theo phương x, y (xy) hầu như không ảnh hưởng nhiều đến đường cong điện trễ và ứng suất σzz. Biến dạng đồng thời thời theo phương x và y (xx = yy) ảnh hưởng đến độ phân cực dư Pr và trường điện kháng Ec là lớn nhất; 5. Khi kích thước vật liệu PbTiO3 thu nhỏ đến cỡ vài chục nano mét (< 100 nano), xuất hiện các xoáy phân cực đối xứng và ngược chiều nhau. Độ phân cực bị triệt tiêu trong trường hợp này; ` 91 6. Đã xây dựng được quy trình tạo xoáy phân cực đơn trong sợi nano, hạt nano từ cặp miền phân cực 180o ngược chiều nhau. Quá trình điều khiển xoáy phân cực đơn thực hiện bằng điện trường ngoài cũng được hoàn thiện. Việc ứng dụng xoáy phân cực đơn vào việc lưu trữ dữ liệu giúp giảm kích kích thước thiết bị và tăng dung lượng cho bộ nhớ FRAM là một giải pháp có tính khả thi cao; 7. Dưới biến dạng theo phương z (zz), độ lớn phân cực thành phần trong xoáy phân cực đơn tăng khi chịu kéo và giảm khi chịu nén. Đặc biệt, dưới biến dạng nén ≥ -10%, xoáy phân cực đơn bị triệt tiêu. Vết nứt xuất hiện ở các vị trí khác nhau đều làm biến dạng xoáy phân cực đơn (thu nhỏ xoáy) và xuất hiện thêm các dòng xoáy khác, thậm chí xuất hiện thêm các xoáy phân cực khi kích thước vết nứt phát triển đủ lớn gây gián đoạn miền phân cực định hướng ban đầu. Đặc biệt, vết nứt ở cạnh bên đối xứng theo phương x, vết nứt có thể làm xoáy phân cực đơn bị triệt tiêu. Sai lệch vị trí của 180o DW làm xoáy phân cực đơn co lại nhưng có thể hình thành thêm các xoáy khác. Phần dư của miền phân cực 180o ban đầu càng nhiều thì các dòng xoáy phân cực xen kẽ càng lớn. Trong luận án, tác giả đã đề xuất một phương pháp mới dựa trên xoáy phân cực đơn để lưu trữ một bít dữ liệu trong sợi nano sắt điện hoặc hạt nano sắt điện PbTiO3. Cụ thể, xoáy phân cực theo chiều kim đồng hồ được quy ước là bít dữ liệu 0 và ngược chiều được quy ước là bít dữ liệu 1. Với kiểu lưu trữ dữ liệu mới, kích thước vật lý của ô nhớ FRAM có thể bị thu nhỏ đáng kể khi thay thế màng sắt điện trong FRAM truyền thống. Khi đó số lượng ô nhớ trên cùng một đơn vị diện tích có thể tăng hàng trăm lần, do đó kỳ vọng dung lượng bộ nhớ sẽ tăng đáng kể trong thế hệ FRAM tiếp theo. Quy trình thiết lập xoáy phân cực đơn trong sợi nano, hạt nano đã được thực hiện thành công bằng phương pháp mô phỏng nguyên tử sử dụng mô hình vỏ - lõi. Việc điều khiển chiều của xoáy phân cực được thực hiện bằng điện trường ngoài cho thấy khả năng ứng dụng thực tiễn là hoàn toàn khả thi. Trong quá trình tạo xoáy phân cực đơn trong sợi PbTiO3 các yếu tố có thể làm ảnh hưởng đến chất lượng xoáy phân cực như biến dạng, khuyết tật hình học (vết nứt) và sai lệch vị trí 180o DW cũng đã được khảo sát, phân tích và đánh giá. Ứng dụng xoáy phân cực đơn vào quá trình đọc và ghi dữ liệu giúp tăng hiệu suất làm việc, hạn chế tối đa tình trạng làm việc bất ổn định, giải quyết trở ngại khi giảm kích thước đồng thời tăng khả năng lưu trữ của bộ nhớ, ... Do vật liệu có những tính năng nổi trội, có thể áp dụng được vào thực tiễn sản xuất nên cần có thêm các nghiên cứu tiếp cận một cách chi tiết. Hướng phát triển tiếp theo của nghiên cứu về vật liệu như: - Thực nghiệm việc xây dựng mô hình, tạo và điều khiển xoáy phân cực đơn; - Thực nghiệm các ảnh hưởng của biến dạng, nhiệt, khuyết tật, điện trường đến xoáy phân cực đơn. ` 92 DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ CỦA LUẬN ÁN [1]. Trần Ngọc Giang, Trần Thế Quang, Vương Văn Thanh, Đỗ Văn Trường, (2018), "Ảnh hưởng của kích thước lỗ đến độ lệch phân cực của vật liệu sắt điện PbTiO3 ở kích thước nano mét", Tuyển tập công trình khoa học Hội nghị Cơ học toàn quốc lần thứ X, NXB Khoa học tự nhiên và Công nghệ, Tập. 3(1), tr. 322-328. [2]. Trần Ngọc Giang, Trần Thế Quang, Vương Văn Thanh, Đỗ Văn Trường, (2019), "Nghiên cứu sự hình thành xoáy phân cực của vật liệu PbTiO3 ở kích thước nanomet", Tuyển tập công trình Hội nghị khoa học toàn quốc cơ học vật rắn lần thứ XIV, NXB Khoa học tự nhiên và Công nghệ, tr. 198-205. [3]. Trần Thế Quang, Trần Ngọc Giang, Vương Văn Thanh, Đỗ Văn Trường (2019), "Khảo sát sự hình thành xoáy phân cực của vật liệu sắt điện ở kích thước nano mét, sử dụng mô hình core-shell", Tuyển tập công trình khoa học Hội nghị cơ học kỹ thuật toàn quốc, NXB Khoa học tự nhiên và Công nghệ, Tập 1, tr. 313-319. [4]. Do Van Truong, Tran The Quang, Nguyen Hoang Linh, Nguyen Van Hoi, Vuong Van Thanh (2020), "Strain effect on hysteresis loop of PbTiO3 bulk", Proceedings of the International Conference on Engineering Research and Applications, ICERA 2019, Springer Nature Switzerland AG, LNNS 104, pp. 679–685. SCOPUS. [5]. Do Van Truong, Ngoc Giang Tran, Vuong Van Thanh, Tran The Quang (2020), "Deterministic control of toroidal moment in ferroelectric nanostructures by direct electrical field", Mater. Res. Bull., Vol. 131, pp. 110981(6). ISI-Q1. [6]. Trần Thế Quang, Nguyễn Văn Hội, Nguyễn Hoàng Linh, Vương Văn Thanh, Đỗ Văn Trường (2021), "Xác định hàm thế năng của mô hình vỏ - lõi cho vật liệu sắt điện PbTiO3 và ứng dụng trong tính toán độ phân cực", Tạp chí Khoa học và Công nghệ các trường đại học kỹ thuật., Vol. 31, Issue 2, tr. 72-78. [7]. Trần Thế Quang, Nguyễn Hoàng Linh, Nguyễn Văn Hội, Vương Văn Thanh, Đỗ Văn Trường (2021), "Khảo sát ảnh hưởng của biến dạng và khuyết tật hình học đến xoáy phân cực đơn trong sợi nano PbTiO3", Tạp chí Khoa học và Công nghệ các trường đại học kỹ thuật., Vol. 31, Issue 2, tr. 108-114. ` 93 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] J. Valasek (1921), "Piezo-Electric and Allied Phenomena in Rochelle Salt", Phys. Rev., vol.17, no.4, pp. 475–481. [2] J. Valasek (1922), "Piezo-electric activity of Rochelle Salt under various conditions", Phys. Rev., vol.19, no.5, pp. 478–491. [3] K. Wasa, Y. Haneda, T. Sato, H. Adachi, and K. Setsune (1998), "Crystal growth of epitaxially grown PbTiO3 thin films on miscut SrTiO3 substrate", Vacuum, vol.51, no.4, pp. 591–594. [4] H. Nonomura, M. Nagata, H. Fujisawa, M. Shimizu, H. Niu, and K. Honda (2005), "Structural control of self-assembled PbTiO3 nanoislands fabricated by metalorganic chemical vapor deposition", Appl. Phys. Lett., vol.86, no.16, pp. 1–3. [5] H. Gu, Y. Hu, J. You, Z. Hu, Y. Yuan, and T. Zhang (2007), "Characterization of single-crystalline PbTiO3 nanowire growth via surfactant-free hydrothermal method", J. Appl. Phys., vol.101, no.2, p. 024319(7). [6] W. S. Yun, J. J. Urban, Q. Gu, and H. Park (2002), "Ferroelectric Properties of Individual Barium Titanate Nanowires Investigated by Scanned Probe Microscopy", Nano Lett, vol.2, no.5, pp. 447–450. [7] W. Wang, O. K. Varghese, M. Paulose, C. A. Grimes, Q. Wang, and E. C. Dickey (2004), "A study on the growth and structure of titania nanotubes", J. Mater. Res., vol.19, no.2, pp. 417–422. [8] M. W. Chu et al. (2004), "Impact of misfit dislocation on the polarization instability of epitaxial nanostructured ferroelectric perovskites", Nat. Mater., vol.3, no.2, pp. 87–90. [9] J. F. Scott and C. A. Paz De Araujo (1989), "Ferroelectric memories", Science (80-. )., vol.246, no.4936, pp. 1400–1405. [10] L. E. Cross (1995), "Ferroelectric Materials for Electromechanical Transducer Applications", Jpn. J. Appl. Phys., vol.34, no.Part 1, No. 5B, pp. 2525–2532. [11] S. Zhang, F. Li, X. Jiang, J. Kim, J. Luo, and X. Geng (2015), "Advantages and challenges of relaxor-PbTiO3 ferroelectric crystals for electroacoustic transducers - A review", Prog. Mater. Sci., vol.68, pp. 1–66. [12] P. P. Khirade, S. D. Birajdar, A. V Raut, and K. M. Jadhav (2016), "Multiferroic iron doped BaTiO3 nanoceramics synthesized by sol-gel auto combustion: Influence of iron on physical properties", Ceram. Int., pp. 1–11. [13] J. S. Murday (2002), "The Coming Revolution: Science and Technology of Nanoscale Structures,", AMPTIAC Newsl., vol.6, no.1, pp. 5–10. [14] M. Islam, S. C. Ur, and M. S. Yoon (2015), "Improved performance of porous LiFePO4/C as lithium battery cathode processed by high energy milling comparison with conventional ball milling", Curr. Appl. Phys., vol.15, no.4, pp. 541–546. [15] L. M. Liz-Marzán (2004), "Nanometals: formation and color", Mater. today, ` 94 vol.7, no.2, pp. 26–31. [16] T. Shimada, S. Tomoda, and T. Kitamura (2010), "First-principles study on ferroelectricity at PbTiO3 surface steps", J. Phys. Condens. Matter, vol.22, no.35, p. 355901(8). [17] S. Prosandeev and L. Bellaiche (2007), "Influence of crystallographic steps on properties of ferroelectric ultrathin films: An ab initio study", Appl. Phys. Lett., vol.91, no.7, pp. 23–26. [18] Q. Yang, J. X. Cao, Y. Ma, Y. C. Zhou, X. J. Lou, and J. Yang (2013), "Interface effect on the magnitude and stability of ferroelectric polarization in ultrathin PbTiO3 films from first-principles study", J. Appl. Phys., vol.114, no.3, pp. 1–6. [19] B. K. Lai, I. Ponomareva, I. Kornev, L. Bellaiche, and G. Salamo (2007), "Thickness dependency of 180° stripe domains in ferroelectric ultrathin films: A first-principles-based study", Appl. Phys. Lett., vol.91, no.15, p. 152909(3). [20] I. Ponomareva, I. I. Naumov, and L. Bellaiche (2005), "Low-dimensional ferroelectrics under different electrical and mechanical boundary conditions: Atomistic simulations", Phys. Rev. B - Condens. Matter Mater. Phys., vol.72, no.21, p. 214118(5). [21] Y. Su and J. N. Du (2009), "Existence conditions for single-vertex structure of polarization in ferroelectric nanoparticles", Appl. Phys. Lett., vol.95, no.1, pp. 20–23. [22] Y. Su and J. N. Du (2010), "Effect of intrinsic surface stress on single-vertex structure of polarization in ferroelectric nanoparticles", Appl. Phys. Lett., vol.96, no.16, p. 192605(3). [23] Y. Su, H. Chen, J. J. Li, A. K. Soh, and G. J. Weng (2011), "Effects of surface tension on the size-dependent ferroelectric characteristics of free-standing BaTiO3 nano-thin films", J. Appl. Phys., vol.110, no.8, p. 084108(6). [24] Y. C. Song, Y. Ni, and J. Q. Zhang (2013), "Phase field model of polarization evolution in a finite ferroelectric body with free surfaces", in Acta Mechanica, 2013, pp. 1309-1313. [25] J. F. Scott (2005), "[3D] nano-scale ferroelectric devices for memory applications", Ferroelectrics, vol.314, no.January 2015, pp. 207–222. [26] H. Fu and L. Bellaiche (2003), "Ferroelectricity in Barium Titanate Quantum Dots and Wires", Phys. Rev. Lett., vol.91, no.25, p. 257601(4). [27] Z. Wu, N. Huang, Z. Liu, J. Wu, W. Duan, and B.-L. Gu (2007), "Unusual vortex structure in ultrathin Pb(Zr0.5Ti0.5)O3 films", J. Appl. Phys., vol.101, no.1, p. 014112(5). [28] W. Känzig (1957), "Ferroelectrics and antiferroelectrics". New York: Academic Press, 1957. [29] M. E. Lines and A. M. Glass (2001), "Principles and Applications of Ferroelectrics and Related Materials". Oxford University Press, 2001. [30] K. M. Rabe, C. H. Ahn, and J.-M. Triscone (2007), "Physics of Ferroelectrics", vol.105. Berlin: Springer, 2007. ` 95 [31] R. A. Serway and J. W. Jewett (2008), "Physics for Scientists and Engineers with Modern Physic, 7 ed". United States of America: David Harris, 2008. [32] D. Damjanovic (1998), "Ferroelectric, dielectric and piezoelectric properties of ferroelectric thin films and ceramics", Reports Prog. Phys., vol.61, no.9, pp. 1267–1324. [33] Y.Xu (1991), "Ferroelectric Materials and Their Applications". Amsterdam: North-Holland Elsevier Sci. Publ., 1991. [34] G. Arlt (1990), "Twinning in Ferroelectric and Ferroelastic Ceramics: Stress Relief", J. Mater. Sci., vol.25, pp. 2655–2666. [35] A. G. W. T. J.C. Burfoot (1979), "Polar dielectrics and their applications", Macmillan, vol.91, no.2, pp. 498–501. [36] A. J. Moulson and J. M. Herbert (2003), "Electroceramics: Materials, Properties, Applications, 2nd Edition". Wiley, 2003. [37] Vũ Ngọc Hùng (2017), "MEMS áp điện Vật liệu và linh kiện", Nhà xuất bản Bách Khoa Hà Nội. [38] Ngô Đức Quân (2016), "Nghiên cứu các tính chất của vật liệu sắt điện không chứa chì nền Bi0,5(NaK)0,5TiO3 (BNKT) pha tạp Li dạng khối và BNKT20 dạng màng", Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội, p. Luận án tiến sĩ. [39] D. A. Hall and P. J. Stevenson (1999), "High field dielectric behaviour of ferroelectric ceramics", Ferroelectrics, vol.228, no.1–4, pp. 139–158. [40] A. Peláiz-Barranco, I. González-Carmenate, and F. Calderón-Piñar (2012), "Relaxor behaviour in PZN-PT-BT ferroelectric ceramics", Solid State Commun., vol.134, no.8, pp. 519–522. [41] F. Li, S. Zhang, D. Damjanovic, L. Q. Chen, and T. R. Shrout (2018), "Local Structural Heterogeneity and Electromechanical Responses of Ferroelectrics: Learning from Relaxor Ferroelectrics", Adv. Funct. Mater., vol.28, no.37. [42] I. Chilibon and J. N. Marat-Mendes (2012), "Ferroelectric ceramics by sol-gel methods and applications: A review", J. Sol-Gel Sci. Technol., vol.64, no.3, pp. 571-611 (576). [43] R. Whatmore (2017), "Ferroelectric Materials", Springer Handb. Electron. Photonic Mater., pp. 589–614. [44] N. Izyumskaya, Y. I. Alivov, S. J. Cho, H. Morkoç, H. Lee, and Y. S. Kang (2007), "Processing, structure, properties, and applications of PZT thin films", Crit. Rev. Solid State Mater. Sci., vol.32, no.3–4, pp. 111–202. [45] J. H. Y. and J. C. Lin Zhu (2016), "Effects of Defect on Ferroelectric Stability in PbTiO3 Thin Films", Mater. Res. Soc., no.Md, pp. 363–368. [46] J. Y. Lee, A. K. Soh, H. T. Chen, and L. Hong (2015), "Phase-field modeling of the influence of domain structures on the electrocaloric effects in PbTiO3 thin films", J. Mater. Sci., vol.50, no.3, pp. 1382–1393. [47] H. D. Megaw (1957), "Ferroelectricity in Crystals". London: Methuen. [48] G. S. F. Jona (1962), "Ferroelectric Crystals, Pergamon". Oxford, New York, Pergamon Press. [49] R. E. Nettleton (1971), "Ferroelectric phase transitions: A review of theory ` 96 and experiment: Part—specific Heat", Ferroelectrics, vol.2, pp. 5–9. [50] A. Safari, R. K. Panda, and V. F. Janas (1996), "Ferroelectricity: Materials, Characteristics & Applications", Key Eng. Mater., vol.122–124, pp. 35– 70. [51] D. W. Richerson (1992), "Modern Ceramic Engineering", Internet Arch.. [52] J. H. Haeni et al. (2004), "Room-temperature ferroelectricity in strained SrTiO3", Nature, vol.430, no.7001, pp. 758–761. [53] R. Herchig, C. M. Chang, B. K. Mani, and I. Ponomareva (2015), "Electrocaloric effect in ferroelectric nanowires from atomistic simulations", Sci. Rep., vol.5, pp. 1–6. [54] H. Fang, Y. Wang, S. Shang, and Z. K. Liu (2015), "Nature of ferroelectric- paraelectric phase transition and origin of negative thermal expansion in PbTiO3", Phys. Rev. B - Condens. Matter Mater. Phys., vol.91, no.2, pp. 1–6. [55] V. Y. Shur et al. (2017), "Temperature effect on the stability of the polarized state created by local electric fields in strontium barium niobate single crystals", Sci. Rep., vol.7, no.1, pp. 1–7. [56] Z. Lv, J. Wei, T. Yang, Z. Sun, and Z. Xu (2020), "Manipulation of Curie temperature and ferroelectric polarization for large electrocaloric strength in BaTiO3-based ceramics", Ceram. Int., vol.46, no.10, pp. 14978–14984. [57] G. H. Haertling and T. Gilbert (1997), "Rainbow actuators and sensors : a new smart technology", Smart Struct. Mater. San Diego, Calif., vol.3040, pp. 81– 92. [58] O. Gindele, A. Kimmel, M. G. Cain, and D. Duffy (2015), "Shell Model force field for Lead Zirconate Titanate Pb(Zr1-xTix)O3", J. Phys. Chem. C, vol.119, no.31, pp. 17784–17789. [59] V. G. Bhide, K. G. Deshmukh, and M. S. Hegde (1962), "Ferroelectric properties of PbTiO3", Physica, vol.28, no.9, pp. 871–876. [60] R. K. Behera (2009), "Effect of surfaces, domain walls and grain boundaries on ferroelectricity in lead titanate using atomic scale simulations", Univ. florida, pp. 1–193. [61] J. Wang, Y. Xia, L. Q. Chen, and S. Q. Shi (2011), "Effect of strain and deadlayer on the polarization switching of ferroelectric thin film", J. Appl. Phys., vol.110, no.11. [62] Y. Zhang, J. Hong, B. Liu, and D. Fang (2010), "Strain effect on ferroelectric behaviors of BaTiO3 nanowires: A molecular dynamics study", Nanotechnology, vol.21, no.1. [63] Y. L. Li and L. Q. Chen (2006), "Temperature-strain phase diagram for BaTiO3 thin films", Appl. Phys. Lett., vol.88, no.7, pp. 86–89. [64] E. D. Specht, H. M. Christen, D. P. Norton, and H. M. Christen (1998), "X-Ray diffraction measurement of the effect of layer thickness on the ferroelectric transition in epitaxial KTaO3/KNbO3 multilayers", Phys. Rev. Lett., vol.80, no.19, pp. 4317–4320. [65] D. D. Fong et al. (2004), "Ferroelectricity in ultrathin perovskite films", ` 97 Science (80-. )., vol.304, no.5677, pp. 1650–1653. [66] S. K. Streiffer et al. (2002), "Observation of Nanoscale [Formula presented] Stripe Domains in Ferroelectric [Formula presented] Thin Films", Phys. Rev. Lett., vol.89, no.6, pp. 1–4. [67] B. S. Kwak, A. Erbil, J. D. Budai, M. F. Chisholm, L. A. Boatner, and B. J. Wilkens (1994), "Domain formation and strain relaxation in epitaxial ferroelectric heterostructures", Phys. Rev. B, vol.49, no.21, pp. 14865–14879. [68] G. R. Bai, H. L. M. Chang, C. M. Foster, Z. Shen, and D. J. Lam (1994), "The Relationship between the MOCVD Parameters and the Crystallinity, Epitaxy, and Domain Structure of PbTiO3 Films", J. Mater. Res., vol.9, no.1, pp. 156– 163. [69] H. N. Lee, S. M. Nakhmanson, M. F. Chisholm, H. M. Christen, K. M. Rabe, and D. Vanderbilt (2007), "Suppressed dependence of polarization on epitaxial strain in highly polar ferroelectrics", Phys. Rev. Lett., vol.98, no.21, pp. 98– 101. [70] T. Shimada, X. Wang, S. Tomoda, P. Marton, C. Elsässer, and T. Kitamura (2011), "Coexistence of rectilinear and vortex polarizations at twist boundaries in ferroelectric PbTiO3 from first principles", Phys. Rev. B - Condens. Matter Mater. Phys., vol.83, no.9, pp. 1–9. [71] P. Marton, T. Shimada, T. Kitamura, and C. Elsässer (2011), "First-principles study of the interplay between grain boundaries and domain walls in ferroelectric PbTiO3", Phys. Rev. B - Condens. Matter Mater. Phys., vol.83, no.6, pp. 1–8. [72] X. Wang, S. Tomoda, T. Shimada, and T. Kitamura (2012), "Local suppression of ferroelectricity at PbTiO 3 surface steps: A density functional theory study", J. Phys. Condens. Matter, vol.24, no.4. [73] W. K. Simon, E. K. Akdogan, and A. Safari (2005), "Anisotropic strain relaxation in (Ba 0.6 Sr 0.4) TiO 3 epitaxial thin films", J. Appl. Phys., vol.97, no.10, pp. 0–9. [74] W. S. Yan et al. (2009), "Impact of effective shear strain on the equilibrium phases and polarization states of PbTiO3 thin film", Appl. Phys. Lett., vol.95, no.22, pp. 3–6. [75] V. G. Gavrilyachenko, R. I. Spinko, M. A. Martynenko, and and E. G. Fesenko (1970), "Spontaneous Polarization and Coercive Field of Lead Titanate", Sov. PhyS-Solid State, vol.12, pp. 1203–1204. [76] W. C. Simmons, A. Aksay, and D. R. Huston (1997), "Smart Materials Technologies", vol.3040. San Diego, California, USA: The International Society for Optical Engineering, 1997. [77] M. Ahmed et al. (2007), "Effects of leptin and tumor necrosis factor-α on degranulation and superoxide production of polymorphonuclear neutrophils from Holstein cows", J. Vet. Med. Sci., vol.69, no.2, pp. 125–131. [78] N. Nikulin (1988), "Fundamentals of electrical materials". Moscow: Mir Publishers, 1988. [79] E. Y. Tsymbal and H. Kohlstedt (2006), "Tunneling across a ferroelectric", ` 98 Science (80-. )., vol.313, no.5784, pp. 181–183. [80] J. P. Velev, J. D. Burton, M. Y. Zhuravlev, and E. Y. Tsymbal (2016), "Predictive modelling of ferroelectric tunnel junctions", npj Comput. Mater., vol.2, p. 16009(12). [81] M. Choi, F. Oba, and I. Tanaka (2009), "Role of Ti antisitelike defects in SrTiO3", Phys. Rev. Lett., vol.103, no.18, p. 185502(4). [82] V. Y. Shur (1996), "Fast Polarization Reversal Process: Evolution of Ferroelectric Domain Structure in Thin Films", Gordon Breach Sci. Publ., Amsterdam, vol.10, no.Ch.6, pp. 153–192. [83] J. F. Scott, G. W. Taylor, G. W. Scott, J. F. J. Floyd, and P. De Araujo (1996), "Ferroelectric thin films : synthesis and basic properties". Amsterdam, 1996. [84] W. J. Merz (1954), "Domain Formation and Domain Wall Motions in Ferroelectric BaTiO3 Single Crystals", Phys. Rev., vol.95, no.3, pp. 690–698. [85] D. Segal (1989), "Chemical Synthesis of Advanced Ceramic Materials". Cambridge University Press, 1989. [86] D. Dimos and C. H. Mueller (1998), "Perovskite thin films for high-frequency capacitor applications", Annu. Rev. Mater. Sci., vol.28, no.1, pp. 397–419. [87] D. L. Polla and L. F. Francis (1998), "Processing and characterization of piezoelectric materials and integration into microelectromechanical systems", Annu. Rev. Mater. Sci., vol.28, no.1, pp. 563–597. [88] J. F. Scott (1998), "High-dielectric constant thin films for dynamic random access memories (DRAM)", Annu. Rev. Mater. Sci., vol.28, no.1, pp. 79–100. [89] K. Uchino (2018), "Ferroelectric Devices". New York: Marcel Dekker, 2018. [90] H. Ishiwara, M. Okuyama, and Y. Arimoto (2004), "Ferroelectric random access memories : fundamentals and applications", Springer, vol.93, p. 290. [91] O. For (2003), "Rf and Ams Technologies for Wireless Communications", Int. Technol. Roadmap Semicond., pp. 1–40. [92] Y. Arimoto and H. Ishiwara (2004), "Current Status of Ferroelectric Random- Access Memory", MRS Bull., vol.29, no.11, pp. 823–828. [93] Y. Wang, X. Hao, J. Yang, J. Xu, and D. Zhao (2012), "Fabrication and energy-storage performance of (Pb,La)(Zr,Ti)O3 antiferroelectric thick films derived from polyvinylpyrrolidone-modified chemical solution", J. Appl. Phys., vol.112, no.3, p. 034105(6). [94] W. J. Chen, Y. Zheng, and B. Wang (2012), "Vortex domain structure in ferroelectric nanoplatelets and control of its transformation by mechanical load", Sci. Rep., vol.2, pp. 1–8. [95] Y. L. Tang et al. (2015), "Observation of a periodic array of flux-closure quadrants in strained ferroelectric PbTiO3 films", Science (80-. )., vol.348, no.6234, pp. 547–551. [96] T. Shimada, S. Tomoda, and T. Kitamura (2010), "Ab initio study of ferroelectric closure domains in ultrathin PbTiO3 films", Phys. Rev. B - Condens. Matter Mater. Phys., vol.81, no.14, pp. 144116–6. [97] Y. Li et al. (2017), "Rewritable ferroelectric vortex pairs in BiFeO3", npj ` 99 Quantum Mater., vol.2, no.1, pp. 1–6. [98] S. V. Kalinin et al. (2002), "Atomic Polarization and Local Reactivity on Ferroelectric Surfaces:  A New Route toward Complex Nanostructures", Nano Lett., vol.2, no.6, pp. 589–593. [99] J. L. Giocondi and G. S. Rohrer (2001), "Spatially Selective Photochemical Reduction of Silver on the Surface of Ferroelectric Barium Titanate", Chem. Mater., vol.13, no.2, pp. 241–242. [100] T. Shimada, K. Wakahara, Y. Umeno, and T. Kitamura (2008), "Shell model potential for PbTiO3 and its applicability to surfaces and domain walls", J. Phys. Condens. Matter, vol.20, no.32, p. 325225 (11). [101] S. Piskunov, E. Heifets, R. I. Eglitis, and G. Borstel (2004), "Bulk properties and electronic structure of SrTiO3, BaTiO3, PbTiO3 perovskites: An ab initio HF/DFT study", Comput. Mater. Sci., vol.29, no.2, pp. 165–178. [102] S. Piskunov, E. A. Kotomin, E. Heifets, J. Maier, R. I. Eglitis, and G. Borstel (2005), "Hybrid DFT calculations of the atomic and electronic structure for ABO3perovskite (0 0 1) surfaces", Surf. Sci., vol.575, no.1–2, pp. 75–88. [103] M. Dawber, K. M. Rabe, and J. F. Scott (2005), "Physics of thin-film ferroelectric oxides", Rev. Mod. Phys., vol.77, no.4, pp. 1083–1130. [104] R. E. Cohen and H. Krakauer (1990), "Lattice dynamics and origin of ferroelectricity in BaTiO3: Linearized-augmented-plane-wave total-energy calculations", Phys. Rev. B, vol.42, no.10, pp. 6416–6423. [105] R. E. Cohen and H. Krakauer (1992), "Electronic structure studies of the differences in ferroelectric behavior of BaTiO3 and PbTiO3", Ferroelectrics, vol.136, no.1, pp. 65–83. [106] R. E. Cohen (2000), "Theory of ferroelectrics: a vision for the next decade and beyond", J. Phys. Chem. Solids, vol.61, no.2, pp. 139–146. [107] S. Tinte and M. G. Stachiotti (2001), "Surface effects and ferroelectric phase transitions in (formula presented) ultrathin films", Phys. Rev. B - Condens. Matter Mater. Phys., vol.64, no.23, p. 235403(7). [108] S. Tinte, M. G. Stachiotti, M. Sepliarsky, R. L. Migoni, and C. O. Rodriguez (1999), "Atomistic modelling of BaTiO3 based on first-principles calculations", J. Phys. Condens. Matter, vol.11, no.48, pp. 9679–9690. [109] M. Sepliarsky, Z. Wu, A. Asthagiri, and R. E. Cohen (2004), "Atomistic Model Potential for PbTiO3 and PMN by Fitting First Principles Results", Ferroelectrics, vol.301, no.1, pp. 55–59. [110] M. Sepliarsky, S. R. Phillpot, D. Wolf, M. G. Stachiotti, and R. L. Migoni (2000), "Atomic-level simulation of ferroelectricity in perovskite solid solutions", Appl. Phys. Lett., vol.76, no.26, pp. 3986–3988. [111] M. Sepliarsky, S. R. Phillpot, D. Wolf, M. G. Stachiotti, and R. L. Migoni (2001), "Ferroelectric properties of KNbO3/KTaO3 superlattices by atomic- level simulation", J. Appl. Phys., vol.90, no.9, pp. 4509–4519. [112] M. Sepliarsky, M. G. Stachiotti, and R. L. Migoni (2006), "Interface effects in ferroelectric PbTiO3 ultrathin films on a paraelectric substrate", Phys. Rev. ` 100 Lett., vol.96, no.13, p. 137603(4). [113] M. Sepliarsky, M. G. Stachiotti, and R. L. Migoni (2005), "Surface reconstruction and ferroelectricity in PbTiO3 thin films", Phys. Rev. B - Condens. Matter Mater. Phys., vol.72, no.1, p. 014110(6). [114] M. G. Stachiotti (2004), "Ferroelectricity in BaTiO3 nanoscopic structures", Appl. Phys. Lett., vol.84, no.2, pp. 251–253. [115] R. Martin (2004), "Electronic Structure : Basic Theory and Practical Methods". Cambridge University Press, 2004. [116] P. Hohenberg and W. Kohn (1964), "Inhomogeneous Electron Gas", Phys. Rev., vol.136, no.3B, pp. B864–B871. [117] W. Kohn and L. J. Sham (1965), "Self-Consistent Equations Including Exchange and Correlation Effects", Phys. Rev., vol.140, no.4A, pp. A1133– A1138. [118] J. P. Perdew (1985), "Accurate Density Functional for the Energy: Real-Space Cutoff of the Gradient Expansion for the Exchange Hole", Phys. Rev. Lett., vol.55, no.16, pp. 1665–1668. [119] R. Fletcher (1970), "A new appproach to variable metric algorithms", Comput. J., vol.13, no.3, pp. 317–322. [120] H. J. Mang and H. A. Weidenmuller (1968), "Shell-Model Theory of the Nucleus", Annu. Rev. Nucl. Sci., vol.18, no.1, pp. 1–26. [121] B. G. Dick and A. W. Overhauser (1958), "Theory of the Dielectric Constants of Alkali Halide Crystals", Phys. Rev., vol.112, no.1, pp. 90–103. [122] D. Wolf, P. Keblinski, S. R. Phillpot, and J. Eggebrecht (1999), "Exact method for the simulation of Coulombic systems by spherically truncated, pairwise r-1 summation", J. Chem. Phys., vol.110, no.17, pp. 8254–8282. [123] R. A. Buckingham (1938), "The classical equation of state of gaseous helium, neon and argon", Proc. R. Soc. London. Ser. A. Math. Phys. Sci., vol.168, no.933, pp. 264–283. [124] E. B. Tadmor and R. E. Miller (2011), "Modeling Materials". Cambridge: Cambridge University Press, 2011. [125] Y. Zhang, R. Xu, B. Liu, and D. Fang (2012), "An electromechanical atomic- scale finite element method for simulating evolutions of ferroelectric nanodomains", J. Mech. Phys. Solids, vol.60, no.8, pp. 1383–1399. [126] D. G. Luenberger and Y. Ye. (2008), "Linear and Nonlinear Programming", Third Edit. New York, USA: Springer Science+Business Media, LLC, 2008. [127] J. Raphson (1697), "Analysis aequationum universalis (in Latin)", 2nd ed. London: Braddyll, 1697. [128] M. Sepliarsky and R. E. Cohen (2011), "First-principles based atomistic modeling of phase stability in PMNxPT", J. Phys. Condens. Matter, vol.23, no.43, p. 435902(11). [129] P. Giannozzi et al. (2009), "QUANTUM ESPRESSO: a modular and open- source software project for quantum simulations of materials", J. Phys. Condens. Matter, vol.21, no.39, p. 395502(19). ` 101 [130] P. Giannozzi et al. (2017), "Advanced capabilities for materials modelling with Quantum ESPRESSO", J. Phys. Condens. Matter, vol.29, no.46, p. 465901(30). [131] J. D. Gale and A. L. Rohl (2003), "The General Utility Lattice Program (GULP)", Mol. Simul., vol.29, no.5, pp. 291–341. [132] M. T. Dove (2011), "Introduction to the theory of lattice dynamics", École thématique la Société Française la Neutron., vol.12, pp. 123–159. [133] K. Parlinski (2005), "Lattice Dynamics: Vibrational Modes", Encycl. Condens. Matter Phys., pp. 98–102. [134] A. Hinchliffe (2003), "Molecular Modelling for Beginners". Manchester, UK: John Wiley & Sons, 2003. [135] G. Sàghi-Szabó, R. E. Cohen, and H. Krakauer (1998), "First-principles study of piezoelectricity in PbTiO3", Phys. Rev. Lett., vol.80, no.19, pp. 4321–4324. [136] B. Meyer, J. Padilla, D. Vanderbilt, and R. April (1999), "Theory of PbTiO , BaTiO , and SrTiO surfaces", Faraday Discuss, no.114, pp. 395–405. [137] C. Bungaro and K. M. Rabe (2005), "Coexistence of antiferrodistortive and ferroelectric distortions at the PbTiO3 ( 001 ) surface", Phys. Rev. B, vol.71, no.3, p. 035420(9). [138] M. Sepliarsky et al. (2011), "First-principles based atomistic modeling of phase stability in PMNxPT", J. Phys. Condens. Matter, vol.23, no.43, p. 435902(11). [139] M. Sepliarsky and R. E. Cohen (2002), "Development of a Shell Model Potential for Molecular Dynamics for PbTiO3 by Fitting First Principles Results", Am. Inst. Phvsics, vol.36, pp. 36–44. [140] Frenkel Daan and Smit Berend. (2002), "Understanding Molecular Simulation: From Algorithms to Applications". San Diego, California, USA: Academic Press, 2002. [141] R. E. Cohen (1992), "Origin of ferroelectricity in perovskite oxides", Nature, vol.358, pp. 136–138. [142] O. H. Nielsen and R. M. Martin (1983), "First-Principles Calculation of Stress", Phys. Rev. Lett., vol.50, no.9, pp. 697–700. [143] B. Meyer and D. Vanderbilt (2002), "Ab initio study of ferroelectric domain walls in PbTiO3", Phys. Rev. B, vol.65, no.10, p. 104111(11). [144] M. Morales, R. Clay, C. Pierleoni, and D. Ceperley (2013), "First Principles Methods: A Perspective from Quantum Monte Carlo", Entropy, vol.16, no.1, pp. 287–321. [145] J. P. Perdew and A. Zunger (1981), "Self-interaction correction to density- functional approximations for many-electron systems", Phys. Rev. B, vol.23, no.10, pp. 5048–5079. [146] D. Vanderbilt (1990), "Soft self-consistent pseudopotentials in a generalized eigenvalue formalism", Phys. Rev. B, vol.41, no.11, pp. 7892–7895. [147] H. J. Monkhorst and J. D. Pack (1976), "Special points for Brillouin-zone integrations", Phys. Rev. B, vol.13, no.12, pp. 5188–5192. [148] Elliott (1998), "The Physics and Chemistry of solids.". New York, USA: John ` 102 Wiley & Sons Inc, 1998. [149] C. Kittel (1996), "Introduction to Solid State Physics", 7th Editio. USA: Wiley, 1996. [150] J. F. Nye (1985), "Physical properties of crystals: their representation by tensors and matrices". New York, USA: Oxford University Press, 1985. [151] Y. Le Page and P. Saxe (2002), "Symmetry-general least-squares extraction of elastic data for strained materials from ab initio calculations of stress", Phys. Rev. B, vol.65, no.10, p. 104104. [152] T. Shimada, S. Tomoda, and T. Kitamura (2009), "Ab initio study of ferroelectricity in edged PbTiO3 nanowires under axial tension", Phys. Rev. B - Condens. Matter Mater. Phys., vol.79, no.2, p. 024102(7). [153] G. Shirane, R. Pepinsky, and B. C. Frazer (1956), "X-ray and neutron diffraction study of ferroelectric PbTiO 2", Acta Crystallogr., vol.9, no.2, pp. 131–140. [154] R. Resta (2000), "Manifestations of Berry’s phase in molecules and condensed matter", J. Phys. Condens. Matter, vol.12, no.9, pp. R107–R143. [155] M. Posternak, R. Resta, and A. Baldereschi (1994), "Role of covalent bonding in the polarization of perovskite oxides: The case of KNbO3", Phys. Rev. B, vol.50, no.12, pp. 8911–8914. [156] C. He, Z. Wang, X. Li, X. Yang, X. Long, and Z. G. Ye (2017), "Self-polarized high piezoelectricity and its memory effect in ferroelectric single crystals", Acta Mater., vol.125, no.October 2018, pp. 498–505. [157] E. Khestanova et al. (2016), "Untangling Electrostatic and Strain Effects on the Polarization of Ferroelectric Superlattices", Adv. Funct. Mater., vol.26, no.35, pp. 6446–6453. [158] D. Cao et al. (2013), "Strain driven enhancement of ferroelectricity and magnetoelectric effect in multiferroic tunnel junction", Phys. Chem. Chem. Phys., vol.15, no.35, pp. 14770–14776. [159] D. Pesquera et al. (2020), "Beyond Substrates: Strain Engineering of Ferroelectric Membranes", Adv. Mater., vol.32, no.43, pp. 1–9. [160] I. I. Naumov, L. Bellaiche, and H. Fu (2004), "Unusual phase transitions in ferroelectric nanodisks and nanorods", Nature, vol.432, no.7018, pp. 737–740. [161] O. Auciello, J. F. Scott, and R. Ramesh (1998), "The physics of ferroelectric memories", Phys. Today, vol.51, no.7, pp. 22–27. [162] H. Mehta and H. Kaur (2016), "Modeling and simulation study of novel Double Gate Ferroelectric Junctionless (DGFJL) transistor", Superlattices Microstruct., vol.97, pp. 536–547. [163] Q. Zhang et al. (2017), "Lead-free perovskite ferroelectric thin films with narrow direct band gap suitable for solar cell applications", Mater. Res. Bull., vol.95, pp. 56–60. [164] C. Kittel (1946), "Theory of the structure of ferromagnetic domains in films and small particles", Phys. Rev., vol.70, no.11–12, pp. 965–971. [165] A. K. Yadav et al. (2016), "Observation of polar vortices in oxide ` 103 superlattices", Nature, vol.530, no.7589, pp. 198–201. [166] I. I. Naumov and H. Fu (2008), "Cooperative response of Pb(ZrTi)O3 nanoparticles to curled electric fields", Phys. Rev. Lett., vol.101, no.19, pp. 1– 4. [167] J. Wang (2010), "Switching mechanism of polarization vortex in single-crystal ferroelectric nanodots", Appl. Phys. Lett., vol.97, no.19, pp. 95–98. [168] L. Van Lich, T. Shimada, J. Wang, and T. Kitamura (2016), "Instability criterion for ferroelectrics under mechanical/electric multi-fields: Ginzburg- Landau theory based modeling", Acta Mater., vol.112, pp. 1–10. [169] W. J. Chen and Y. Zheng (2015), "Vortex switching in ferroelectric nanodots and its feasibility by a homogeneous electric field: Effects of substrate, dislocations and local clamping force", Acta Mater., vol.88, pp. 41–54. [170] D. Van Truong, N. T. Hung, T. Shimada, and T. Kitamura (2012), "Ab initio study of shear strain effects on ferroelectricity at PbTiO3 thin films", Surf. Sci., vol.606, no.15–16, pp. 1331–1339. [171] L. Van Lich, T. Shimada, J. Wang, V. H. Dinh, T. Q. Bui, and T. Kitamura (2017), "Switching the chirality of a ferroelectric vortex in designed nanostructures by a homogeneous electric field", Phys. Rev. B, vol.96, no.13, pp. 1–11. [172] S. Prosandeev, I. Ponomareva, I. Kornev, I. Naumov, and L. Bellaiche (2006), "Controlling toroidal moment by means of an inhomogeneous static field: An Ab initio study", Phys. Rev. Lett., vol.96, no.23, p. 237601(4). [173] R. J. Harrison, R. E. Dunin-Borkowski, and A. Putnis (2002), "Direct imaging of nanoscale magnetic interactions in minerals", Proc. Natl. Acad. Sci., vol.99, no.26, pp. 16556–16561. [174] J. Wang and M. Kamlah (2008), "Domain control in ferroelectric nanodots through surface charges", Appl. Phys. Lett., vol.93, no.26, p. 262904(3).