Luận án Tính chất truyền dẫn quang từ và tính chất nhiệt của các bán dẫn họ Dichalcogenides kim loại chuyển tiếp

Luận án nghiên cứu về tính chất truyền dẫn quang-từ và tính chất nhiệt của các bán dẫn họ dichalcogenides kim loại chuyển tiếp khi có mặt từ trường vuông góc với mặt phẳng của lớp vật liệu. Các kết quả chính mà luận án thu được như sau: 1. Hệ số hấp thụ quang-từ và độ rộng vạch phổ đối với quá trình hấp thụ một và hai photon đều phụ thuộc mạnh vào từ trường, các thông số của vật liệu, cơ chế tương tác electron-phonon và loại phonon. 2. Vịtrí của đỉnh hấp thụ quang học được xác định một cách tường minh và được phân chia ra hai vùng có tần số khác nhau: Đối với quá trình dịch chuyển nội vùng, vịtrí đỉnh hấp thụ không phụ thuộc vào chỉ số mức Landau và nằm ở vùng vi sóng đến vùng hồng ngoại gần; trong khi đó đối với quá trình dịch chuyển liên vùng, vịtrí đỉnh hấp thụ phụ thuộc vào chỉ số mức Landau và nằm ở vùng hồng ngoại gần đến vùng khả kiến. Vịtrí đỉnh hấp thụ của cả hai quá trình dịch chuyển đều phụ thuộc mạnh vào định hướng spin, tương tác spin-quỹ đạo, điện trường ngoài và trường Zeeman. 3. Khi có mặt từ trường ngoài, tốc độ mất mát năng lượng của electron dao động với biên độ tăng theo từ trường, phụ thuộc mạnh vào loại vật liệu, cơ chế tương tác và mật độ electron. Ở vùng nhiệt độ thấp hơn nhiệt độ BlochGr¨ uneisen (TBG), tốc độ mất mát năng lượng của electron tăng nhanh theo nhiệt độ theo quy luật hàm số mũ, khi T > TBG, tốc độ mất mát năng lượng tiếp tục tăng theo nhiệt độ nhưng với mức độ giảm dần. 4. Công suất nhiệt-từ gây ra bởi hiệu ứng phonon-kéo dao động với biên độ tăng theo từ trường, phụ thuộc mạnh vào loại vật liệu, cơ chế tương tác và mật độ electron. Luận án đã có phát hiện mới về số mũ trong quy luật mô tả sự phụ 109thuộc của công suất nhiệt-từ vào nhiệt độ: Số mũ không phải là những hằng số như trong trường hợp không có từ trường mà dao động xung quanh các giá trị3 và 5 khi không xét và có xét đến hiệu ứng chắn. 5. Luận án đã phát triển và góp phần hoàn thiện lý thuyết về phương pháp gần đúng ma trận mật độ áp dụng cho hệ đơn lớp hai chiều: đưa ra được công thức cải tiến cho độ cảm quang tuyến tính và phi tuyến bậc ba. Từ đó áp dụng để thu được hệ số hấp thụ quang-từ và độ thay đổi chiết suất tuyến tính và phi tuyến trong các vật liệu TMDC đơn lớp

pdf162 trang | Chia sẻ: huydang97 | Ngày: 27/12/2022 | Lượt xem: 29 | Lượt tải: 0download
Bạn đang xem trước 20 trang tài liệu Luận án Tính chất truyền dẫn quang từ và tính chất nhiệt của các bán dẫn họ Dichalcogenides kim loại chuyển tiếp, để xem tài liệu hoàn chỉnh bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
N. Hieu, and Huynh V. Phuc (2021), “Oscillations of the electron energy loss rate in two-dimensional transition-metal dichalcogenides in the presence of a quantizing magnetic field”, Physical Review B, 103 (23), 235417(1−10). [3] Pham Thi Huong, Do Muoi, Tran N. Bich, Huynh V. Phuc, C. A. Duque, Phu Thuong Nhan Nguyen, Chuong V. Nguyen, Nguyen N. Hieu, Le T. Hoa (2020), “Intra- and inter-band magneto-optical absorption in monolayer WS2”, Physica E, 124, 114315(1−6). [4] Huynh V Phuc, S S Kubakaddi, Le Dinh, Tran N. Bich, and Nguyen N Hieu (2022), “Phonon-drag thermopower and thermoelectric performance of MoS2 monolayer in quantizing magnetic field”, Journal of Physics: Con- densed Matter, 34, 315703(1−13). [5] Tran N. Bich, Huynh V. Phuc, Le Dinh (2021), “Magneto-optical absorp- tion coefficients of monolayer MoSe2”, Hue University Journal of Science: Natural Science, 130 (1B), 21−26. 111 [6] L.V. Tung, N.Q. Bau, T.N. Bich, P.T. Vinh, H.V. Phuc (2021), “Lin- ear and nonlinear magneto-optical absorption coefficients and refractive in- dex changes in WSe2 monolayer”, VNU Journal of Science: Mathematics – Physics, 37 (4), 59−67. [7] Trần Ngọc Bích, Nguyễn Ngọc Hiếu, Tạ Thị Thơ, Lê Thị Ngọc Tú và Huỳnh Vĩnh Phúc (2021), “Độ thay đổi chiết suất tuyến tính và phi tuyến trong MoSe2 đơn lớp”, Dong Thap University Journal of Science, 10 (5), 25−30. [8] Trần Ngọc Bích, Lê Thị Hóa, Huỳnh Vĩnh Phúc (2021), “Hệ số hấp thụ quang-từ của hệ WTe2 đơn lớp”, Kỷ yếu Hội thảo khoa học Quốc gia các nhà nghiên cứu trẻ 2021, Trường Đại học Sư phạm, Đại học Huế, 217−224. [9] Trần Ngọc Bích, Huỳnh Vĩnh Phúc, Lê Đình, “Công suất nhiệt-từ trong hệ WS2 đơn lớp”, đã được nhận đăng ở Tạp chí Khoa học, Trường Đại học Sư phạm, Đại học Huế, số 3(63)/2022. 112 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Castro Neto A. H., Guinea F., Peres N. M. R., et al. (2009). The electronic properties of graphene. Rev. Mod. Phys., 81 (1), 109–162. [2] Liao L., Lin Y.-C., Bao M., et al. (2010). High-speed graphene transistors with a self-aligned nanowire gate. Nature, 467 (7313), 305–308. [3] Schwierz F. (2010). Graphene transistors. Nat. Nanotechnol., 5 (7), 487– 496. [4] Kara A., Enriquez H., Seitsonen A. P., et al. (2012). A review on silicene - New candidate for electronics. Surf. Sci. Rep., 67 (1), 1–18. [5] Sone J., Yamagami T., Aoki Y., et al. (2014). Epitaxial growth of silicene on ultra-thin Ag(111) films. New J. Phys., 16 (9), 095004(1–15). [6] Davila M. E., Xian L., Cahangirov S., et al. (2014). Germanene: a novel two-dimensional germanium allotrope akin to graphene and silicene. New J. Phys., 16 (9), 095002(1–10). [7] Fang H., Chuang S., Chang T. C., et al. (2012). High-performance single layered WSe2 p-FETs with chemically doped contacts. Nano Lett., 12 (7), 3788–3792. [8] Fuhrer M. S. and Hone J. (2013). Measurement of mobility in dual-gated MoS2 transistors. Nat. Nanotechnol., 8 (3), 146–147. [9] Geim A. K. and Grigorieva I. V. (2013). Van der Waals heterostructures. Nature, 499 (7459), 419–425. [10] Li X., Zhang F., and Niu Q. (2013). Unconventional Quantum Hall Ef- fect and Tunable Spin Hall Effect in Dirac Materials: Application to an Isolated MoS2 Trilayer. Phys. Rev. Lett., 110 (6), 066803(1–5). 113 [11] Lu H.-Z., Yao W., Xiao D., et al. (2013). Intervalley Scattering and Lo- calization Behaviors of Spin-Valley Coupled Dirac Fermions. Phys. Rev. Lett., 110 (1), 016806(1–5). [12] Wang H., Yu L., Lee Y.-H., et al. (2012). Integrated circuits based on bilayer MoS2 transistors. Nano Lett., 12 (9), 4674–4680. [13] Xiao D., Liu G.-B., Feng W., et al. (2012). Coupled Spin and Valley Physics in Monolayers of MoS2 and Other Group-VI Dichalcogenides. Phys. Rev. Lett., 108 (19), 196802(1–5). [14] Liu G.-B., Shan W.-Y., Yao Y., et al. (2013). Three-band tight-binding model for monolayers of group-VIB transition metal dichalcogenides. Phys. Rev. B, 88 (8), 085433(1–10). [15] Kuc A., Zibouche N., and Heine T. (2011). Influence of quantum confine- ment on the electronic structure of the transition metal sulfide TS2. Phys. Rev. B, 83 (24), 245213(1–4). [16] Eda G. and Maier S. A. (2013). Two-Dimensional Crystals: Managing Light for Optoelectronics. ACS Nano, 7 (7), 5660–5665. [17] Baugher B. W. H., Churchill H. O. H., Yang Y., et al. (2014). Optoelec- tronic devices based on electrically tunable p-n diodes in a monolayer dichalcogenide. Nat. Nanotechnol., 9 (4), 262–267. [18] Jones A. M., Yu H., Ghimire N. J., et al. (2013). Optical generation of excitonic valley coherence in monolayer WSe2. Nat. Nanotechnol., 8 (9), 634–638. [19] Pospischil A., Furchi M. M., and Mueller T. (2014). Solar-energy conver- sion and light emission in an atomic monolayer p-n diode. Nat. Nanotech- nol., 9 (4), 257–261. [20] Yin Z., Li H., Li H., et al. (2011). Single-layer MoS2 phototransistors. ACS Nano, 6 (1), 74–80. 114 [21] Huffaker D., Park G, Zou Z, et al. (1998). 1.3 μm room-temperature GaAs-based quantum-dot laser. Appl. Phys. Lett., 73 (18), 2564–2566. [22] Pan D., Towe E., and Kennerly S. (1998). Normal-incidence intersubband (In, Ga)As/GaAs quantum dot infrared photodetectors. Appl. Phys. Lett., 73 (14), 1937–1939. [23] Wood T., Burrus C., Miller D., et al. (1984). High-speed optical modula- tion with GaAs/GaAlAs quantum wells in ap-i-n diode structure. Appl. Phys. Lett., 44 (1), 16–18. [24] Radisavljevic B., Radenovic A., Brivio J., et al. (2011). Single-layer MoS2 transistors. Nat. Nanotechnol., 6 (3), 147–150. [25] Splendiani A., Sun L., Zhang Y., et al. (2010). Emerging photolumines- cence in monolayer MoS2. Nano Lett., 10 (4), 1271–1275. [26] Wang Q. H., Kalantar-Zadeh K., Kis A., et al. (2012). Electronics and optoelectronics of two-dimensional transition metal dichalcogenides. Nat. Nanotechnol., 7 (11), 699–712. [27] Liu H., Neal A. T., and Ye P. D. (2012). Channel length scaling of MoS2 MOSFETs. ACS Nano, 6 (10), 8563–8569. [28] Yoon Y., Ganapathi K., and Salahuddin S. (2011). How good can mono- layer MoS2 transistors be? Nano Lett., 11 (9), 3768–3773. [29] Reed J. C., Zhu A. Y., Zhu H., et al. (2015). Wavelength tunable microdisk cavity light source with a chemically enhanced MoS2 emitter. Nano Lett., 15 (3), 1967–1971. [30] Al E. B., Ungan F., Yesilgul U., et al. (2015). Effects of applied electric and magnetic fields on the nonlinear optical properties of asymmetric GaAs/Ga1-xAlxAs double inverse parabolic quantum well. Opt. Mater., 47, 1–6. 115 [31] Karabulut I. and Baskoutas S. (2008). Linear and nonlinear optical ab- sorption coefficients and refractive index changes in spherical quantum dots: Effects of impurities, electric field, size, and optical intensity. J. Appl. Phys., 103 (7), 073512(1–5). [32] U¨nlu¨ S., Karabulut I., and Safak H. (2006). Linear and nonlinear inter- subband optical absorption coefficients and refractive index changes in a quantum box with finite confining potential. Physica E, 33 (2), 319–324. [33] Vali M., Dideban D., and Moezi N. (2015). A scheme for a topological insulator field effect transistor. Physica E, 69, 360–363. [34] Zheng J., Zhang Y., Li L., et al. (2015). An equivalent-stepped-index- coupled DFB semiconductor laser and laser array realized by stepping the duty cycle of the Sampled Bragg grating. Opt. Laser Technol., 67, 38–43. [35] Huant S., Najda S. P., and Etienne B. (1990). Two-dimensional D− cen- ters. Phys. Rev. Lett., 65 (12), 1486–1489. [36] Rajagopal A. K. and Ryan J. C. (1991). Quantum-state representations in a strong quantizing magnetic field: Pairing theory of superconductivity. Phys. Rev. B, 44 (18), 10280–10285. [37] Spector H. N. (1983). Free-carrier absorption in quasi-two-dimensional semiconducting structures. Phys. Rev. B, 28 (2), 971–976. [38] Eseanu N. (2011). Intense laser field effect on the interband absorption in differently shaped near-surface quantum wells. Phys. Lett. A, 375 (6), 1036–1042. [39] Niculescu C. E. and Burileanu M. L. (2010). Nonlinear optical absorption in inverse V-shaped quantum wells modulated by high-frequency laser field. Eur. Phys. J. B, 74 (1), 117–122. 116 [40] Ozturk E., Sari H., and Sokmen I. (2004). The dependence of the inter- subband transitions in square and graded QWs on intense laser fields. Solid State Commun., 132 (7), 497–502. [41] Ozturk E, Sari H, and Sokmen I (2005). Electric field and intense laser field effects on the intersubband optical absorption in a graded quantum well. J. Phys. D: Appl. Phys., 38 (6), 935–941. [42] Ungan F., Yesilgul U., Kasapoglu E., et al. (2012). The effects of hydro- static pressure and intense laser field on the linear and nonlinear optical properties of a square quantum well. Opt. Commun., 285 (3), 373–377. [43] Nguyen C. V., Hieu N. N., Duque C. A., et al. (2017). Linear and nonlinear magneto-optical absorption coefficients and refractive index changes in graphene. Opt. Mater., 69, 328–332. [44] Nguyen C. V., Hieu N. N., Duque C. A., et al. (2017). Linear and nonlinear magneto-optical properties of monolayer phosphorene. J. Appl. Phys., 121 (4), 045107(1–6). [45] Nguyen C. V., Hieu N. N., Muoi D., et al. (2018). Linear and nonlinear magneto-optical properties of monolayer MoS2. J. Appl. Phys., 123 (3), 034301(1–7). [46] Nguyen C. V., Hieu N. N., Poklonski N. A., et al. (2017). Magneto-optical transport properties of monolayer MoS2 on polar substrates. Phys. Rev. B, 96 (12), 125411(1–14). [47] Koperski M., Molas M. R., Arora A., et al. (2019). Orbital, spin and valley contributions to Zeeman splitting of excitonic resonances in MoSe2, WSe2 and WS2 Monolayers. 2D Mater., 6 (1), 015001(1–9). [48] Pham K. D., Tung L. V., Thuan D. V., et al. (2019). Phonon-assisted cyclotron resonance in Po¨schl-Teller quantum well. J. Appl. Phys., 126 (12), 124301(1–9). 117 [49] Hoi B. D., Phuong L. T. T., and Phong T. C. (2018). Magneto-optical absorption and cyclotron-phonon resonance in graphene monolayer. J. Appl. Phys., 123 (9), 094303(1–6). [50] Koshino M. and Ando T. (2008). Magneto-optical properties of multilayer graphene. Phys. Rev. B, 77 (11), 115313(1–8). [51] Santra K. and Sarkar C. K. (1993). Energy-loss rate of hot carriers in semiconductors with nonequilibrium phonon distribution in the extreme quantum limit at low temperatures. Phys. Rev. B, 47 (7), 3598–3602. [52] Tao Z. C., Ting C. S., and Singh M. (1993). Energy loss rate of hot electrons in a semiconductor: The role of anharmonic interactions. Phys. Rev. Lett., 70 (16), 2467–2470. [53] Fletcher R., Pudalov V. M., Feng Y., et al. (1997). Thermoelectric and hot-electron properties of a silicon inversion layer. Phys. Rev. B, 56 (19), 12422–12428. [54] Kubakaddi S. S., Suresha K., and Mulimani B. G. (2002). Hot-electron en- ergy relaxation in GaAs/GaAlAs two-dimensional structures: importance of two-phonon processes. Semicond. Sci. Technol., 17 (6), 557–564. [55] Ma Y., Fletcher R., Zaremba E., et al. (1991). Energy-loss rates of two- dimensional electrons at a GaAs/AlxGa1−xAs interface. Phys. Rev. B, 43 (11), 9033–9044. [56] Bhargavi K. S. and Kubakaddi S. S. (2014). High field transport properties of a bilayer graphene. Physica E, 56, 123–129. [57] Katti V. S. and Kubakaddi S. S. (2013). Effect of chiral property on hot phonon distribution and energy loss rate due to surface polar phonons in a bilayer graphene. J. Appl. Phys., 113 (6), 063705(1–5). [58] Kubakaddi S. S. (2018). The role of vector potential coupling in the hot electron cooling power in bilayer graphene at low temperature. Physica E, 95, 144–148. 118 [59] Kubakaddi S. S. and Phuc H. V. (2020). Power loss of hot Dirac fermions in silicene and its near equivalence with graphene. Semicond. Sci. Tech- nol., 36 (2), 025005(1–11). [60] Kaasbjerg K., Bhargavi K. S., and Kubakaddi S. S. (2014). Hot-electron cooling by acoustic and optical phonons in monolayers of MoS2 and other transition-metal dichalcogenides. Phys. Rev. B, 90 (16), 165436(1–13). [61] Kubakaddi S. S. and Biswas T. (2018). Hot electron cooling in Dirac semimetal Cd3As2 due to polar optical phonons. J. Phys.: Condens. Mat- ter, 30 (26), 265303(1–10). [62] Kubakaddi S. S. (2021). Large power dissipation of hot Dirac fermions in twisted bilayer graphene. J. Phys.: Condens. Matter, 33 (11), 115704(1– 7). [63] Bhat J. S., Kapatkar S. B., Kubakaddi S. S., et al. (1998). Energy Loss Rate of Hot Electrons Due to Confined and Interface Optical Phonons in Semiconductor Quantum Wells in Quantizing Magnetic Field. Phys. Status Solidi B, 209 (1), 37–47. [64] Hollering R. W. J., Berendschot T. T. J. M., Bluyssen H. J. A., et al. (1988). Energy relaxation of lower-dimensional hot carriers studied with picosecond photoluminescence. Phys. Rev. B, 38 (18), 13323–13334. [65] Reinen H. A. J. M., Berendschot T. T. J. M., Kappert R. J. H., et al. (1988). Electron-phonon interaction of a two-dimensional electron gas in a strong magnetic field. Solid State Commun., 65 (12), 1495–1499. [66] Biswas T. and Ghosh T. K. (2013). Phonon-drag magnetothermopower in Rashba spin-split two-dimensional electron systems. J. Phys.: Condens. Matter, 25 (41), 415301(1–7). [67] Cantrell D. G. and Butcher P. N. (1987). A calculation of the phonon- drag contribution to the thermopower of quasi-2D electrons coupled to 119 3D phonons. I. General theory. J. Phys. C: Solid State Phys., 20 (13), 1985–1992. [68] Buscema M., Barkelid M., Zwiller V., et al. (2013). Large and Tunable Photothermoelectric Effect in Single-Layer MoS2. Nano Lett., 13 (2), 358– 363. [69] Hippalgaonkar K., Wang Y., Ye Y., et al. (2017). High thermoelectric power factor in two-dimensional crystals of MoS2. Phys. Rev. B, 95 (11), 115407(1–9). [70] Bhargavi K. S. and Kubakaddi S. S. (2014). Phonon-drag thermopower in a monolayer MoS2. J. Phys.: Condens. Matter, 26 (48), 485013(1–6). [71] Fletcher R (1999). Magnetothermoelectric effects in semiconductor sys- tems. Semicond. Sci. Technol., 14 (4), R1–R15. [72] Fletcher R., Maan J. C., Ploog K., et al. (1986). Thermoelectric properties of GaAs-Ga1−xAlxAs heterojunctions at high magnetic fields. Phys. Rev. B, 33 (10), 7122–7133. [73] Fromhold T. M., Butcher P. N., Qin G., et al. (1993). Phonon-drag magne- tothermopower oscillations in GaAs/AsxGa1−xAs heterojunctions. Phys. Rev. B, 48 (8), 5326–5332. [74] Gibson G. A., Tedrow P. M., and Meservey R. (1989). Tunneling study of Fermi-liquid effects in amorphous gallium. Phys. Rev. B, 40 (1), 137–147. [75] Lyo S. K. (1989). Magnetoquantum oscillations of the phonon-drag ther- moelectric power in heterojunctions. Phys. Rev. B, 40 (9), 6458–6461. [76] Tsaousidou M., Butcher P. N., and Kubakaddi S. S. (1999). Quantitative Interpretation of Thermopower Data for Composite Fermions in a Half- Filled Landau Level. Phys. Rev. Lett., 83 (23), 4820–4823. [77] Kubakaddi S. S., Biswas T., and Kanti Ghosh T. (2017). Phonon-drag magnetoquantum oscillations in graphene. J. Phys.: Condens. Matter, 29 (30), 305301(1–8). 120 [78] Ochoa H. and Roldán R. (2013). Spin-orbit-mediated spin relaxation in monolayer MoS2. Phys. Rev. B, 87 (24), 245421(1–8). [79] Hien N. D., Nguyen C. V., Hieu N. N., et al. (2020). Magneto-optical transport properties of monolayer transition metal dichalcogenides. Phys. Rev. B, 101 (4), 045424(1–13). [80] Li Z. and Carbotte J. P. (2013). Phonon structure in dispersion curves and density of states of massive Dirac fermions. Phys. Rev. B, 88 (4), 045417. [81] Tahir M., Vasilopoulos P., and Peeters F. M. (2016). Quantum magneto- transport properties of a MoS2 monolayer. Phys. Rev. B, 93 (3), 035406(1– 9). [82] Lê Đình (chủ biên), Trần Công Phong (2012), Giáo trình Cơ học lượng tử, Nhà xuất bản Đại học Huế. [83] Wang C. M. and Lei X. L. (2015). Linear magnetotransport in monolayer MoS2. Phys. Rev. B, 92 (12), 125303(1–10). [84] Tabert C. J. and Nicol E. J. (2013). Valley-Spin Polarization in the Magneto-Optical Response of Silicene and Other Similar 2D Crystals. Phys. Rev. Lett., 110 (19), 197402(1–5). [85] Bhargavi K. S., Patil S., and Kubakaddi S. S. (2015). Acoustic phonon assisted free-carrier optical absorption in an n-type monolayer MoS2 and other transition-metal dichalcogenides. J. Appl. Phys., 118 (4), 044308(1– 7). [86] Kaasbjerg K., Thygesen K. S., and Jacobsen K. W. (2012). Phonon- limited mobility in n-type single-layer MoS2 from first principles. Phys. Rev. B, 85 (11), 115317(1–16). [87] Jin Z., Li X., Mullen J. T., et al. (2014). Intrinsic transport properties of electrons and holes in monolayer transition-metal dichalcogenides. Phys. Rev. B, 90 (4), 045422(1–7). 121 [88] Li X., Mullen J. T., Jin Z., et al. (2013). Intrinsic electrical transport properties of monolayer silicene and MoS2 from first principles. Phys. Rev. B, 87 (11), 115418(1–9). [89] Thilagam A. (2016). Ultrafast exciton relaxation in monolayer transition metal dichalcogenides. J. Appl. Phys., 119 (16), 164306(1–8). [90] Kaasbjerg K., Thygesen K. S., and Jauho A.-P. (2013). Acoustic phonon limited mobility in two-dimensional semiconductors: Deformation poten- tial and piezoelectric scattering in monolayer MoS2 from first principles. Phys. Rev. B, 87 (23), 235312(1–15). [91] Nguyen Q. B., Nguyen V. N., and Tran C. P. (2002). Calculations of the absorption coefficient of a weak electromagnetic wave by free carriers in doped superlattices by using the Kubo-Mori method. J. Korean Phys. Soc., 41 (1), 149–154. [92] Nguyen Q. B. and Nguyen V. H. (2013). The quantum acoustoelectric cur- rent in a doped superlattice GaAs:Si/GaAs:Be. Superlattices Microstruct., 63, 121–130. [93] Nguyen Q. B., Nguyen V. H., and Nguyen V. N. (2012). Calculations of the acoustoelectric current in a quantum well by using a quantum kinetic equation. J. Korean Phys. Soc., 61 (12), 2026–2031. [94] Nguyen Q. B. and Bui D. H. (2012). Influence of a strong electromagnetic wave (laser radiation) on the hall effect in quantum wells with a parabolic potential. J. Korean Phys. Soc., 60 (1), 59–64. [95] Nguyen Q. B. and Tran C. P. (1998). Calculations of the absorption coef- ficient of a weak electromagnetic wave by free carriers in quantum wells by the Kubo-Mori method. J. Phys. Soc. Jpn., 67 (11), 3875–3880. [96] Nguyen Q. B., Nguyen V. H., and Nguyen V. N. (2012). The quantum acoustomagnetoelectric field in a quantum well with a parabolic potential. Superlattices Microstruct., 52 (5), 921–930. 122 [97] Nguyen Q. B., Nguyen T. T. N., and Nguyen V. N. (2014). Negative absorption coefficient of a weak electromagnetic wave caused by electrons confined in rectangular quantum wires in the presence of laser radiation. J. Korean Phys. Soc., 64 (4), 572–578. [98] Phong T. C. and Bau N. Q. (2003). Parametric resonance of acoustic and optical phonons in a quantum well. J. Korean Phys. Soc., 42 (5), 647–651. [99] Tran C. P., Vo T. L., and Bui D. H. (2011). Electrophonon resonance in doped semiconductor superlatticesElectrophonon resonance in doped semiconductor superlattices. Mod. Phys. Lett. B, 25 (12n13), 1093–1100. [100] Phuong L. T. T., Phuc H. V., and Phong T. C. (2014). Influence of phonon confinement on the optically-detected electrophonon resonance line-width in cylindrical quantum wires. Physica E, 56, 102 –106. [101] Phong T. C., Phuong L. T. T., Hien N. D., et al. (2015). Influence of phonon confinement on the optically detected magneto-phonon resonance line-width in quantum wells. Physica E, 71, 79–83. [102] Doan Q. K., Le T. T. P., and Bui D. H. (2017). Nonlinear absorption coefficient and optically detected electrophonon resonance in cylindrical GaAs/AlAs quantum wires with different confined phonon models. Su- perlattices Microstruct., 103, 252–261. [103] Ngo V. Q. B., Bui D. H., Doan V. T., et al. (2019). Investigation of cyclotron-phonon resonance in monolayer molybdenum disulfide. J. Phys. Chem. Solids, 125, 74–79. [104] Khoa D. Q., Hieu N. N., Bich T. N., et al. (2018). Magneto-optical ab- sorption in quantum dot via two-photon absorption process. Optik, 173, 263–270. [105] Catarina G., Have J., Fernández-Rossier J., et al. (2019). Optical orien- tation with linearly polarized light in transition metal dichalcogenides. Phys. Rev. B, 99 (12), 125405(1–17). 123 [106] Tahir M. and Vasilopoulos P. (2016). Magneto-optical transport proper- ties of monolayer WSe2. Phys. Rev. B, 94 (4), 045415(1–8). [107] Mitioglu A. A., Plochocka P., Aguila. Granados del, et al. (2015). Optical Investigation of Monolayer and Bulk Tungsten Diselenide (WSe2) in High Magnetic Fields. Nano Lett., 15 (7), 4387–4392. [108] Ovchinnikov D., Allain A., Huang Y.-S., et al. (2014). Electrical Transport Properties of Single-Layer WS2. ACS Nano, 8 (8), 8174–8181. [109] Radisavljevic B. and Kis A. (2013). Mobility engineering and a metal- insulator transition in monolayer MoS2. Nat. Mater., 12 (9), 815–820. [110] Schmidt R., Arora A., Plechinger G., et al. (2016). Magnetic-Field-Induced Rotation of Polarized Light Emission from Monolayer WS2. Phys. Rev. Lett., 117 (7), 077402(1–6). [111] Smolen´ski T., Cotlet O., Popert A., et al. (2019). Interaction-Induced Shubnikov–de Haas Oscillations in Optical Conductivity of Monolayer MoSe2. Phys. Rev. Lett., 123 (9), 097403(1–6). [112] Chakraborty C., Goodfellow K. M., and Nick Vamivakas A. (2016). Lo- calized emission from defects in MoSe2 layers. Opt. Mater. Express, 6 (6), 2081–2087. [113] Yuan H., Bahramy M. S., Morimoto K., et al. (2013). Zeeman-type spin splitting controlled by an electric field. Nat. Phys., 9 (9), 563–569. [114] Shakouri K., Vasilopoulos P., Vargiamidis V., et al. (2014). Spin- and valley-dependent magnetotransport in periodically modulated silicene. Phys. Rev. B, 90 (12), 125444(1–11). [115] Xu W, Lewis R. A., Koenraad P. M., et al. (2004). High-field magneto- transport in a two-dimensional electron gas in quantizing magnetic fields and intense terahertz laser fields. J. Phys.: Condens. Matter, 16 (1), 89– 101. 124 [116] Xu W. (1998). Nonlinear optical absorption and LO-phonon emission in steady-state terahertz-driven three-dimensional electron gases. Phys. Rev. B, 57, 12939–12950. [117] Phuc H. V. and Hieu N. N. (2015). Nonlinear optical absorption in graphene via two-photon absroption process. Opt. Commun., 344, 12–16. [118] Phong T. C., Thu Phuong L. T., Phuc H. V., et al. (2013). Influence of phonon confinement on the optically-detected electrophonon resonance linewidth in rectangular quantum wires. J. Korean Phys. Soc., 62 (2), 305–310. [119] Phuc H. V., Hue L. T. M., Dinh L., et al. (2013). LO-phonon-assisted cy- clotron resonance linewidth via multiphoton absorption process in cylin- drical quantum wire. Superlattices Microstruct., 60, 508–515. [120] Phuc H. V., Hieu N. N., Dinh L., et al. (2015). Nonlinear optical absorp- tion in parabolic quantum well via two-photon absorption process. Opt. Commun., 335, 37–41. [121] Phuc H. V., Dinh L., and Phong T. C. (2013). Phonon-assisted cyclotron resonance in quantum wells via the multiphoton absorption process. Su- perlattices Microstruct., 59, 77–86. [122] Phuc H. V., Khoa D. Q., Hieu N. V., et al. (2016). Linear and nonlinear magneto-optical absorption in parabolic quantum well. Optik, 127 (22), 10519–10526. [123] Duque C. A., Kasapoglu E., S¸akiroglu S., et al. (2011). Intense laser effects on nonlinear optical absorption and optical rectification in single quantum wells under applied electric and magnetic field. Appl. Surf. Sci., 257 (6), 2313–2319. [124] Kubakaddi S. S. (2009). Interaction of massless Dirac electrons with acous- tic phonons in graphene at low temperatures. Phys. Rev. B, 79 (7), 075417(1– 6). 125 [125] Betz A. C., Vialla F., Brunel D., et al. (2012). Hot Electron Cooling by Acoustic Phonons in Graphene. Phys. Rev. Lett., 109 (5), 056805(1–5). [126] Baker A. M. R., Alexander-Webber J. A., Altebaeumer T., et al. (2012). Energy relaxation for hot Dirac fermions in graphene and breakdown of the quantum Hall effect. Phys. Rev. B, 85 (11), 115403(1–6). [127] McKitterick C. B., Prober D. E., and Rooks M. J. (2016). Electron- phonon cooling in large monolayer graphene devices. Phys. Rev. B, 93 (7), 075410(1–7). [128] Scharf B., Perebeinos V., Fabian J., et al. (2013). Effects of optical and surface polar phonons on the optical conductivity of doped graphene. Phys. Rev. B, 87 (3), 035414(1–9). [129] Laitinen A., Oksanen M., Fay A., et al. (2014). Electron–Phonon Coupling in Suspended Graphene: Supercollisions by Ripples. Nano Lett., 14 (6), 3009–3013. [130] Bistritzer R. and MacDonald A. H. (2009). Electronic Cooling in Graphene. Phys. Rev. Lett., 102 (20), 206410(1–4). [131] Tse W.-K. and Das Sarma S. (2009). Energy relaxation of hot Dirac fermions in graphene. Phys. Rev. B, 79 (23), 235406(1–5). [132] Viljas J. K. and Heikkila¨ T. T. (2010). Electron-phonon heat transfer in monolayer and bilayer graphene. Phys. Rev. B, 81 (24), 245404(1–9). [133] Biswas T. and Ghosh T. (2013). Phonon-drag thermopower and hot- electron energy-loss rate in a Rashba spin-orbit coupled two-dimensional electron system. J. Phys.: Condens. Matter, 25 (26), 265301(1–10). [134] Herring C. (1954). Theory of the Thermoelectric Power of Semiconduc- tors. Phys. Rev., 96 (5), 1163–1187. 126 [135] Tsaousidou M., Butcher P. N., and Triberis G. P. (2001). Fundamental relationship between the Herring and Cantrell-Butcher formulas for the phonon-drag thermopower of two-dimensional electron and hole gases. Phys. Rev. B, 64 (16), 165304(1–10). [136] Nguyễn Quang Báu (chủ biên), Đỗ Quốc Hùng, Vũ Văn Hùng, Lê Tuấn (2004), Lý thuyết bán dẫn, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội. [137] Chaubey M. P. and Van Vliet C. M. (1986). Transverse magnetoconduc- tivity of quasi-two-dimensional semiconductor layers in the presence of phonon scattering. Phys. Rev. B, 33 (8), 5617–5622. [138] Wang C. M. and Lei X. L. (2013). Nonlinear magnetotransport in dc current biased graphene. Phys. Rev. B, 87 (23), 235403(1–9). [139] Ding Y., Wang Y., Ni J., et al. (2011). First principles study of structural, vibrational and electronic properties of graphene-like MX2 (M=Mo, Nb, W, Ta; X=S, Se, Te) monolayers. Physica B, 406 (11), 2254–2260. [140] Liu H.-L., Shen C.-C., Su S.-H., et al. (2014). Optical properties of mono- layer transition metal dichalcogenides probed by spectroscopic ellipsome- try. Appl. Phys. Lett., 105 (20), 201905(1–4). [141] Patil S. B., Sankeshwar N. S., and Mulimani B. G. (2017). Role of charged impurities in thermoelectric transport in molybdenum disulfide monolay- ers. J. Phys.: Condens. Matter, 29 (48), 485303(1–39). [142] Jiang Z., Henriksen E. A., Tung L. C., et al. (2007). Infrared Spectroscopy of Landau Levels of Graphene. Phys. Rev. Lett., 98 (19), 197403(1–4). [143] Phuc H. V. and Dinh L. (2015). Surface optical phonon-assisted cyclotron resonance in graphene on polar substrates. Mater. Chem. Phys., 163, 116– 122. [144] Duque C. M., Morales A. L., Mora-Ramos M. E., et al. (2013). Opti- cal nonlinearities associated to applied electric fields in parabolic two- dimensional quantum rings. J. Lumin., 143, 81–88. 127 [145] Ozturk E. and Sokmen I. (2014). Nonlinear intersubband transitions in a parabolic and an inverse parabolic quantum well under applied magnetic field. J. Lumin., 145, 387–392. [146] Gambhir M., Kumar M., Jha P., et al. (2013). Linear and nonlinear op- tical absorption coefficients and refractive index changes associated with intersubband transitions in a quantum disk with flat cylindrical geometry. J. Lumin., 143, 361–367. [147] Morimoto T., Hatsugai Y., and Aoki H. (2009). Optical Hall Conductivity in Ordinary and Graphene Quantum Hall Systems. Phys. Rev. Lett., 103 (11), 116803(1–4). [148] Tabert C. J. and Nicol E. J. (2013). Magneto-optical conductivity of silicene and other buckled honeycomb lattices. Phys. Rev. B, 88 (8), 085434(1–10). [149] Laturia A., Put M. L. Van de, and Vandenberghe W. G. (2018). Dielec- tric properties of hexagonal boron nitride and transition metal dichalco- genides: from monolayer to bulk. NPJ 2D Mater. Appl., 2 (1), 1–7. [150] Cai Y., Lan J., Zhang G., et al. (2014). Lattice vibrational modes and phonon thermal conductivity of monolayer MoS2. Phys. Rev. B, 89 (3), 035438(1–8). [151] Li W., Carrete J., and Mingo N. (2013). Thermal conductivity and phonon linewidths of monolayer MoS2 from first principles. Appl. Phys. Lett., 103 (25), 253103(1–4). [152] Shakouri K., Vasilopoulos P., Vargiamidis V., et al. (2014). Integer and half-integer quantum Hall effect in silicene: Influence of an external elec- tric field and impurities. Phys. Rev. B, 90 (23), 235423(1–9). [153] Greenaway M. T., Krishna Kumar R., Kumaravadivel P., et al. (2019). Magnetophonon spectroscopy of Dirac fermion scattering by transverse 128 and longitudinal acoustic phonons in graphene. Phys. Rev. B, 100 (15), 155120(1–8). [154] Vasilopoulos P., Charbonneau M., and Van Vliet C. M. (1987). Linear and nonlinear electrical conduction in quasi-two-dimensional quantum wells. Phys. Rev. B, 35 (3), 1334–1344. 129 PHỤ LỤC Phụ lục 1. Chứng minh hệ thức giao hoán [a−, a+] = 1. Thật vậy, ta chứng minh [a−, a+] = 1 như sau: [a−, a+] = α2c 22 [πx − iπy, πx + iπy] (PL.1) = α2c 22 {[πx, πx] + i[πx, πy]− i[πy, πx] + [πy, πy]} = α2c 22 2i[πx, πy] Mặt khác, π = p+ eA nên ta có πx = px + eAx = px + e.0 = px, πy = py + eAy = py + e.Bx. Suy ra [πx, πy] = [px, py + eBx] (PL.2) = [px, py] + eB[px, x] = −ieB Vậy [a−, a+] = α2c 22 2i(−ieB) = α 2 ceB  = 1. (PL.3) Phụ lục 2. Chứng minh công thức (1.8). Thật vậy, thay các ma trận Pauly vào (1.2) ta có σx = ⎛ ⎝0 1 1 0 ⎞ ⎠ , σy = ⎛ ⎝0 −i i 0 ⎞ ⎠ , σz = ⎛ ⎝1 0 0 −1 ⎞ ⎠ (PL.4) P1 He = vF ⎧⎨ ⎩τ ⎛ ⎝0 1 1 0 ⎞ ⎠πx + ⎛ ⎝0 −i i 0 ⎞ ⎠πy ⎫⎬ ⎭+ (Δτ,s + dΔz) ⎛ ⎝1 0 0 −1 ⎞ ⎠+ (Oτ,s + sZs − τZv)I = ⎛ ⎝ Δzτ,s vF (τπx − iπy) vF (τπx + iπy) −Δτ,s ⎞ ⎠+ (Oτ,s + sZs − τZv)I. (PL.5) Với vùng K (τ = +1), ta có H+e = ⎛ ⎝ Δz+1,s vF (πx − iπy) vF (πx + iπy) −Δ+1,s ⎞ ⎠+ (O+1,s + sZs − Zv)I. (PL.6) Từ (1.7), ta có (πx + iπy) = √ 2 αc a+, (PL.7) (πx − iπy) = √ 2 αc a−. (PL.8) Vậy ta được H+e = ⎛ ⎝Δz+1,s ωca− ωca+ −Δ+1,s ⎞ ⎠+ (O+1,s + sZs − Zv)I. (PL.9) Tương tự, với vùng K ′ (τ = −1), ta có H−e = ⎛ ⎝ Δz−1,s vF (−πx − iπy) vF (−πx + iπy) −Δ−1,s ⎞ ⎠+ (O−1,s + sZs + Zv)I (PL.10) = ⎛ ⎝ Δz−1,s −ωca+ −ωca− −Δ−1,s ⎞ ⎠+ (O−1,s + sZs − Zv)I. Viết gộp (PL.9) và (PL.10) lại, ta được biểu thức (1.8). Phụ lục 3. Chứng minh các hệ quả (1.17) và (1.18). Thật vậy, ta có a+a−φn = a+(a−φn) = a+( √ nφn−1) (PL.11) = √ na+φn−1 = √ n √ n− 1 + 1φn−1+1 = nφn. P2 a−a+φn = a−(a+φn) = a−( √ n+φn+1) (PL.12) = √ n+ 1a−φn+1 = √ n+ 1 √ n+ 1φn+1−1 = (n+ 1)φn. Phụ lục 4. Tìm hàm sóng và năng lượng của điện tử trong vùng K ′. Đối với vùng K ′, phương trình đặc trưng có dạng det ( HK ′ 0 − IEK ′ 0 ) = 0. (PL.13) Thay biểu thức HK ′ 0 ở (1.8) vào phương trình đặc trưng (PL.13), đồng thời sử dụng hệ thức (1.18), ta thu được (EK ′ 0 ) 2 − (Δz−1,s)2 − (n+ 1)(ωc)2 = 0. (PL.14) Vậy ta có EK ′ 0 = pE −1,z n,s = p √ (n+ 1)(ωc)2 + (Δz−1,s)2. (PL.15) Sử dụng điều kiện ωc Δzτ,s và khai triển số hạng lũy thừa mũ 1/2, ta được EK ′ 0 = pE −1,z n,s = p{(n+ 1)(ωc)2 + (Δz−1,s)2}1/2 ≈ p(n+ 1) (ωc) 2 2Δz−1,s + pΔz−1,s. (PL.16) Thay (PL.16) vào (1.11) ta thu được biểu thức năng lượng của điện tử ở vùng K ′ là E−1,pn,s ≈ p(n+ 1) (ωc) 2 2Δz−1,s + pΔz−1,s +O−1,s + sZs + Zv. (PL.17) Tiếp theo ta tìm biểu thức hàm sóng của điện tử. Phương trình (1.21) tương đương với ⎛ ⎝Δz−1,s − EK′0 −ωca+ −ωca− −Δ−1,s − EK′0 ⎞ ⎠ ⎛ ⎝c3 c4 ⎞ ⎠ = 0 (PL.18) P3 Thực hiện chuyển ma trận về dạng bậc thang và giải hệ phương trình ta thu được c3 = − ωc pE−1,pn,s −Δz−1,s a+c4, (PL.19) với c4 tùy ý. Chọn c4 = φn. Khi đó ta có c3 = ωc Δz−1,s − pE−1,pn,s a+φn = ωc √ n+ 1 Δz−1,s − pE−1,pn,s φn+1. (PL.20) Mặt khác, từ phương trình (PL.15), ta có √ n+ 1ωc = ± √ (pE−1,pn,s )2 − (Δz−1,s)2 = −p √ (pE−1,pn,s )2 − (Δz−1,s)2, (PL.21) ở đây ta chọn dấu trừ trong −p để thuận tiện trong việc chuyển đổi từ vùng K sang vùng K ′. Vậy c3 = √ (pE−1,pn,s )2 − (Δz−1,s)2 Δz−1,s − pE−1,pn,s φn+1 = − √√√√pE−1,pn,s +Δz−1,s pE−1,pn,s −Δz−1,s φn+1. (PL.22) Suy ra ψ(x) ≡ ψ−1,pn,s (x) = D ⎛ ⎜⎜⎜⎝ − √√√√pE−1,pn,s +Δz−1,s pE−1,pn,s −Δz−1,s φn+1 φn ⎞ ⎟⎟⎟⎠ , (PL.23) với D là hệ số chuẩn hóa được tìm từ điều kiện chuẩn hóa. ∫ +∞ −∞ [ψ−1,pn,s (x)] †ψ−1,pn,s (x)dx = 1, (PL.24) với [ψ−1,pn,s (x)] † = D∗ ⎛ ⎝− √√√√pE−1,pn,s +Δz−1,s pE−1,pn,s −Δz−1,s ∗ φ∗n+1 φ∗n ⎞ ⎠ . (PL.25) Suy ra [ψ−1,pn,s (x)] †ψ−1,pn,s (x) = |D|2 { pE−1,pn,s +Δz−1,s pE−1,pn,s −Δz−1,s |φn+1|2 + |φn|2 } . (PL.26) P4 Thay vào điều kiện chuẩn hóa ta được |D|2 { pE−1,pn,s +Δz−1,s pE−1,pn,s −Δz−1,s ∫ +∞ −∞ |φn+1|2 dx+ ∫ +∞ −∞ |φn|2 dx } = 1 (PL.27) Do đó D = √√√√pE−1,pn,s −Δz−1,s 2pE−1,pn,s . (PL.28) Thay vào phương trình (PL.23) ta được biểu thức hàm sóng của điện tử trong vùng K ′. ψ−1,pn,s (x) = ⎛ ⎝−A−1,pn,s φn+1(x− x0) B−1,pn,s φn(x− x0) ⎞ ⎠ , (PL.29) trong đó A−1,pn,s = √√√√pE−1,pn,s +Δz−1,s 2pE−1,pn,s , B−1,pn,s = √√√√pE−1,pn,s −Δz−1,s 2pE−1,pn,s . (PL.30) Ta có thể đặt m = n+1 và sau đó chuyển m → n để thu được biểu thức hàm sóng thống nhất với trường hợp vùng K như sau ψ−1,pn,s (x) = ⎛ ⎝−A−1,pn,s φn(x− x0) B−1,pn,s φn−1(x− x0) ⎞ ⎠ . (PL.31) Phụ lục 5. Chứng minh các phương trình (1.54) và (1.55). Để đơn giản ta tính tích phân I2 trước. Ta có I2 = ∫ +∞ −∞ eiqxxφ∗n′(x− x0)φn(x− x0)dx, (PL.32) trong đó φn(x− x0) là hàm sóng dao động tử điều hòa có dạng φn(x− x0) = 1 ( √ π2nn!αc) 1/2 e − (x− x0)2 2αc2 Hn ( x− x0 αc ) , (PL.33) P5 với Hn(x) là đa thức Hermite bậc n. I2 = 1 (π2n+n′n!n′!)1/2 αc ∫ +∞ −∞ eiqxx0e − (x− x0)2 αc2 Hn ( x− x0 αc ) eHn′ ( x− x0 αc ) dx. (PL.34) Đổi biến số bằng cách đặt X = x− x0 αc ⇒ x = αcX + x0 ⇒ dx = αcdX, ta được I2 = 1 (π2n′+nn′!n!)1/2 ∫ +∞ −∞ e−X 2+iqxαcXHn (X)Hn′ (X) dx. (PL.35) Thực hiện phép biến đổi −X2 + iqxαcX = − [ X2 − iqxαcX + ( iqxαc 2 )2 − ( iqxαc 2 )2] = − [ X − iqxαc 2 ]2 + ( iqxαc 2 )2 = −X12 + ( iqxαc 2 )2 , (PL.36) trong đó ta đã đặt: X1 = X − iqxαc 2 . Từ đó ta có I2 = eiqxx0e−( qxαc 2 ) 2 (π2n+n′n!n′!)1/2 ∫ ∞ −∞ e−X 2 1Hn ( X1 + iqxαc 2 ) Hn′ ( X1 + iqxαc 2 ) dX1. (PL.37) Sử dụng công thức ∫ +∞ −∞ e−x 2 Hm(x+ a)Hn(x+ b)dx = 2 nm! √ πbn−mLn−mm (−2ab), (m  n), với giả thiết n < n′, ta được I2 = √ 2n′ 2n n! n′! eiqxx0e − (qxαc 2 )2 ( iqxαc 2 )n′−n Ln ′−n n ( q2xα 2 c 2 ) . (PL.38) P6 Đặt u = q2xα 2 c 2 ⇒ qxαc 2 = √ u 2 , ta thu được I2 = √ n! n′! eiqxx0e−u/2(i √ u)n ′−nLn ′−n n (u). (PL.39) Tính toán tương tự, ta thu được kết quả cho tích phân I1 như phương trình (1.54). Phụ lục 6. Chứng minh phương trình (1.77). Ta tính 〈α′′|x|α〉 như sau 〈α′′|x|α〉 = 〈⎛⎝Aτ ′′,p′′n′′,s′′φn′′−1(x− xo) Bτ ′′,p′′ n′′,s′′φn′′(x− xo) ⎞ ⎠∣∣∣x∣∣∣ ⎛ ⎝Aτ,pn,sφn−1(x− xo) Bτ,pn,sφn(x− xo) ⎞ ⎠〉 (PL.40) = Aτ ′′,p′′ n′′,s′′A τ,p n,s ∫ +∞ −∞ xφ∗n′′−1(x− xo)φn−1(x− xo)dx +Bτ ′′,p′′ n′′,s′′B τ,p n,s ∫ +∞ −∞ xφ∗n′′(x− xo)φn(x− xo)dx ≡ Aτ ′′,p′′n′′,s′′Aτ,pn,sJ1 +Bτ ′′,p′′ n′′,s′′B τ,p n,sJ2. Để đơn giản ta tính J2 trước. Sử dụng biểu thức dạng hàm sóng dao động tử điều hòa ở (PL.33), ta có J2 = ∫ +∞ −∞ xφ∗n′′(x− x0)φn(x− x0)dx (PL.41) = 1 (π2n′′+nn′′!n!)1/2αc ∫ +∞ −∞ xe − ( x− x0 αc )2 Hn′′ ( x− x0 αc ) Hn ( x− x0 αc ) dx Đổi biến số bằng cách đặt X = x− x0 αc ⇒ x = αcX + x0 ⇒ dx = αcdX, ta được J2 = 1 (π2n′′+nn′′!n!)1/2 ∫ +∞ −∞ (αcX + x0)e −X2Hn′′ (X)Hn (X) dx (PL.42) = αc√ 2 (√ n+ 1δn′′,n+1 + √ nδn′′,n−1 ) + x0δn′′,n. P7 Trong đó, ta đã sử dụng các công thức ∫ +∞ −∞ e−x 2 HN (x)HN ′(x)dx = (2 N+N ′N !N ′!)1/2δN ′,N √ π (PL.43)∫ +∞ −∞ xe−x 2 HN (x)HN ′(x)dx = (2 N+N ′−1N !N ′!)1/2( √ N + 1δN ′,N+1 + √ NδN ′,N−1) √ π. (PL.44) Tính tương tự cho J1, ta thu được J1 = αc√ 2 (√ n+ 1δn′′,n+1 + √ nδn′′,n−1 ) + x0δn′′,n. (PL.45) Thay (PL.45) và (PL.42) vào (PL.40), ta được eBα′′α = e〈α′′|x|α〉 =e ( Aτ ′′,p′′ n′′,s′′A τ,p n,s +B τ ′′,p′′ n′′,s′′B τ,p n,s ) (PL.46) × [ x0δn′′,n + αc√ 2 (√ nδn′′,n−1 + √ n+ 1δn′′,n+1 ) ] . Phụ lục 7. Chứng minh phương trình (1.113). Theo phương trình (1.97) với n = 3 ρ (3) α′,α(t) = ρ (3) α′,α(ω)e −iωt + ρ(3)α′,α(−ω)eiωt (PL.47) Thay vào (1.112) đồng thời sử dụng (1.96) và cân bằng hệ số của e−iωt, ta được (−iω + iωα′,α + γα′,α)ρ(3)α′,α(ω) = 1  E(ω) { [ρ(2)α,α(0)− ρ(2)α′,α′(0)]dα′,α − (dα,α − dα′,α′)ρ(2)α′,α(0) } (PL.48) ⇔ ρ(3)α′,α(ω) = E(ω) Eα′,α − ω − iγα′,α { [ρ(2)α,α(0)− ρ(2)α′,α′(0)]dα′,α − (dα,α − dα′,α′)ρ(2)α′,α(0) } . Phụ lục 8. Chứng minh phương trình (1.118). Tính các số hạng ρ (1) α,α(Ω) và ρ (1) α,α(−Ω). Từ phương trình (1.94) với n = 1, ta có ∂ρ (1) α,α(t) ∂t = −γα,αρ(1)α,α(t)− i  [Hˆint, ρˆ (0)(t)]α,α. (PL.49) Sử dụng phương trình (1.95), giao hoán tử [Hˆint, ρˆ (0)(t)]α,α được tính như sau [Hˆint, ρˆ (0)(t)]α,α = −[dα,α′ρ(0)α′,α(t)− ρ(0)α,α′(t)dα′,α]E(t) = 0. (PL.50) P8 Vì thế, phương trình (PL.49) được viết lại −iΩρ(1)α,α(Ω)e−iΩt + iΩρ(1)α,α(−Ω)eiΩt = −γα,α[ρ(1)α,α(Ω)e−iΩt + ρ(1)α,α(−Ω)eiΩt]. (PL.51) Cân bằng các hệ số của e−iΩt, ta được − iΩρ(1)α,α(Ω) = −γα,αρ(1)α,α(Ω) → ρ(1)α,α(Ω) = 0. (PL.52) Hoàn toàn tương tự, cân bằng hệ số eiΩt, ta thu được iΩρ(1)α,α(−Ω) = −γα,αρ(1)α,α(−Ω) → ρ(1)α,α(−Ω) = 0. (PL.53) Các số hạng ρ (1) α′,α′(Ω) và ρ (1) α′,α′(−Ω) Từ phương trình (1.94) với n = 1, ta có ∂ρ (1) α′,α′(t) ∂t = −γα′,α′)ρ(1)α′,α′(t)− i  [Hˆint, ρˆ (0)(t)]α′,α′ . (PL.54) Sử dụng phương trình (1.95), giao hoán tử [Hˆint, ρˆ (0)(t)]α′,α′ được tính như sau [Hˆint, ρˆ (0)(t)]α′,α′ = −[dα′,αρ(0)α,α′(t)− ρ(0)α′,α(t)dα,α′ ]E(t) = 0. (PL.55) Vì thế, phương trình (PL.54) được viết lại −iΩρ(1)α′,α′(Ω)e−iΩt + iΩρ(1)α′,α′(−Ω)eiΩt = −γα′,α′ [ρ(1)α′,α′(Ω)e−iΩt + ρ(1)α′,α′(−Ω)eiΩt]. (PL.56) Cân bằng các hệ số của e−iΩt, ta được − iΩρ(1)α′,α′(Ω) = −γα′,α′ρ(1)α′,α′(Ω) → ρ(1)α′,α′(Ω) = 0. (PL.57) Hoàn toàn tương tự, cân bằng hệ số eiΩt, ta thu được iΩρ (1) α′,α′(−Ω) = −γα′,α′ρ(1)α′,α′(−Ω) → ρ(1)α′,α′(−Ω) = 0. (PL.58) Thay các phương trình (PL.52), (PL.53), (PL.57), (PL.58), (1.104) và (1.106) vào phương trình (1.117), ta thu được 0 = −(iΩα′,α + γα′,α)ρ(2)α′,α(0)− i  (dα,α − dα′,α′) [ ρ (1) α′,α(Ω) + ρ (1) α′,α(−Ω) ] E(Ω). (PL.59) P9 Bỏ qua số hạng không cộng hưởng ρ (1) α′,α(−Ω), chúng ta viết lại phương trình (PL.59) như sau (iΩα′,α + γα′,α)ρ (2) α′,α(0) = − i  (dα,α − dα′,α′)ρ(1)α′,α(Ω)E(Ω) (PL.60) ⇒ ρ(2)α′,α(0) = (dα′,α′ − dα,α)ρ(1)α′,α(Ω)E(Ω) Eα′,α − iγα′,α = dα′,α(dα′,α′ − dα,α)(ρ(0)α,α − ρ(0)α′,α′)E(Ω)2 (Eα′,α − iγα′,α)(Eα′,α − ω − iγα′,α) . Phụ lục 9. Chứng minh phương trình (1.119). Từ phương trình (1.94) với n = 2, ta có ∂ρ (2) α,α(t) ∂t = −γα,α)ρ(2)α,α(t)− i  [Hˆint, ρˆ (1)(t)]α,α. (PL.61) Sử dụng phương trình (1.95), giao hoán tử [Hˆint, ρˆ (1)(t)]α,α được tính như sau [Hˆint, ρˆ (1)(t)]α,α = −[dα,α′ρ(1)α′,α(t)− ρ(1)α,α′(t)dα′,α]E(t). (PL.62) Thế phương trình (PL.62) vào (PL.61), đồng thời thay thế các số hạng ρ (1) α′,α(t) và ρ (1) α,α′(t) bằng các thành phần không đổi tương ứng của chúng, lưu ý đến ∂ρ (2) α′,α(0)/∂t = 0 và chỉ lấy các thành phần dc của E(t), chúng ta thu được phương trình 0 =− γα,αρ(2)α,α(0) + i  dα,α′ [ ρ (1) α′,α(Ω) + ρ (1) α′,α(−Ω) ] E(Ω) (PL.63) − i  [ ρ (1) α,α′(Ω) + ρ (1) α,α′(−Ω) ] dα′,αE(Ω). Chúng ta cần tìm biểu thức của ρ (1) α,α′(Ω) và ρ (1) α,α′(−Ω). Từ phương trình (1.94), với n = 1, chúng ta có ∂ρ (1) α,α′(t) ∂t = −(iΩα,α′ + γα,α′)ρ(1)α,α′(t)− i  [Hˆint, ρˆ (0)(t)]α,α′ . (PL.64) Sử dụng phương trình (1.95), giao hoán tử [Hˆint, ρˆ (0)(t)]α′,α được tính tương tự (1.102) và kết quả là [Hˆint, ρˆ (0)(t)]α,α′ = −(ρ(0)α′,α′ − ρ(0)α,α)dα,α′E(t). (PL.65) P10 Thế phương trình (1.89) và (PL.65) vào (PL.64) chúng ta thu được −iΩρ(1)α,α′(Ω)e−iΩt + iΩρ(1)α,α′(−Ω)eiΩt = −(iΩα,α′ + γα,α′)[ρ(1)α,α′(Ω)e−iΩt + ρ(1)α,α′(−Ω)eiΩt] (PL.66) + i  (ρ (0) α′,α′ − ρ(0)α,α)dα,α′ [E(Ω)e−iΩt + E(Ω)eiΩt]. Cân bằng các hệ số của e−iΩt, ta có −iΩρ(1)α,α′(Ω) = −(iΩα,α′ + γα,α′)ρ(1)α,α′(ω) + i  (ρ (0) α′,α′ − ρ(0)α,α)dα,α′E(Ω). (PL.67) Vậy ρ (1) α,α′(Ω) = (ρ (0) α,α − ρ(0)α′,α′) dα,α′E(Ω) Eα′,α + ω + iγα,α′ . (PL.68) Cân bằng hệ số của eiΩt, ta được iΩρ (1) α,α′(−Ω) = −(iΩα,α′ + γα,α′)ρ(1)α,α′(−Ω) + i  (ρ (0) α′,α′ − ρ(0)α,α)dα,α′E(Ω) (PL.69) Vậy, biểu thức cho ρ (1) α′,α(−Ω) là ρ (1) α,α′(−Ω) = (ρ(0)α,α − ρ(0)α′,α′) dα,α′E(Ω) Eα′,α − Ω + iγα,α′ . (PL.70) Từ các phương trình (PL.68) và (1.106) chúng ta nhận thấy các số hạng ρ (1) α,α′(Ω) và ρ (1) α′,α(−Ω) là các số hạng không cộng hưởng, vì thế chúng ta có thể bỏ qua các số hạng này trong các tính toán, và phương trình (PL.63) được viết gọn lại thành 0 = −γα,αρ(2)α,α(0) + iE(Ω)  [ dα,α′ρ (1) α′,α(Ω) + ρ (1) α,α′(−Ω)dα′,α ] . (PL.71) Thay (1.104) và (PL.70) vào (PL.71), ta có ρ(2)α,α(0) = − 2E(Ω)2(ρ (0) α,α − ρ(0)α′,α′)(dα′,α)∗dα′,αγα′,α γα,α[(Eα′,α − Ω)2 + (γα′,α)2] . (PL.72) Phụ lục 10. Chứng minh phương trình (1.120). P11 Từ phương trình (1.94) với n = 2, ta có ∂ρ (2) α′,α′(t) ∂t = −γα′,α′)ρ(2)α′,α′(t)− i  [Hˆint, ρˆ (1)(t)]α′,α′ . (PL.73) Sử dụng phương trình (1.95), giao hoán tử [Hˆint, ρˆ (1)(t)]α′,α′ được tính như sau [Hˆint, ρˆ (1)(t)]α′,α′ = −[dα′,αρ(1)α,α′(t)− ρ(1)α′,α(t)dα,α′ ]E(t). (PL.74) Thế phương trình (PL.74) vào (PL.73), đồng thời thay thế các số hạng ρ (1) α′,α(t) và ρ (1) α,α′(t) bằng các thành phần không đổi tương ứng của chúng, lưu ý đến ∂ρ (2) α′,α′(0)/∂t = 0 và chỉ lấy các thành phần dc của E(t), chúng ta thu được phương trình 0 =− γα′,α′ρ(2)α′,α′(0) + i  dα′,α [ ρ (1) α,α′(Ω) + ρ (1) α,α′(−Ω) ] E(Ω) (PL.75) − i  [ ρ (1) α′,α(Ω) + ρ (1) α′,α(−Ω) ] dα,α′E(Ω). Bỏ qua các số hạng không cộng hưởng, ta thu được 0 = −γα′,α′ρ(2)α′,α′(0) + iE(Ω)  [ dα,α′ρ (1) α′,α(Ω) + ρ (1) α,α′(−Ω)dα′,α ] . (PL.76) Thay (1.104) và (PL.70) vào (PL.76), ta có ρ (2) α′,α′(0) = − 2E(Ω)2(ρ (0) α,α − ρ(0)α′,α′)(dα′,α)∗dα′,αγα′,α γα′,α′ [(Eα′,α − Ω)2 + (γα′,α)2] . (PL.77) Phụ lục 11. Chứng minh công thức (2.3) và (2.4). Tính I3: Thực hiện đổi biến tích phân I3 sang biến u u = α2cq 2 2 ⇒ du = α2cqdq ⇒ dq = du α2cq , ta được I3 = ∫ ∞ 0 q3|Jα′,α′′(q)|2dq = 2 α4c ∫ ∞ 0 u|Jα′,α′′(u)|2du (PL.78) Sử dụng biểu thức của thừa số dạng trong trường hợp dịch chuyển nội vùng (τ = τ ′) ở phương P12 trình (1.58), ta có I3 = 2 α4c k! (k + j)! ∫ ∞ 0 uj+1e−u [ Bτ ′,p′ n′,s′B τ ′′,p′′ n′′,s′′L j k(u) +A τ ′,p′ n′,s′A τ ′′,p′′ n′′,s′′ √ k + j k Ljk−1(u) ]2 du (PL.79) = 2 α4c k! (k + j)! {( Bτ ′,p′ n′,s′B τ ′′,p′′ n′′,s′′ )2 ∫ ∞ 0 uj+1e−u [ Ljk(u) ]2 du + 2Bτ ′,p′ n′,s′B τ ′′,p′′ n′′,s′′A τ ′,p′ n′,s′A τ ′′,p′′ n′′,s′′ √ k + j k ∫ ∞ 0 uj+1e−uLjk−1(u)L j k(u)du + k + j k ( Aτ ′,p′ n′,s′A τ ′′,p′′ n′′,s′′ )2 ∫ ∞ 0 uj+1e−u [ Ljk−1(u) ]2 du } . Sử dụng công thức tích phân phụ lục (A.3) trong tài liệu tham khảo [154] ∫ ∞ 0 e−xxm+1[Lmn (x)] 2dx = (2n+m+ 1)(n+m)! n! , (PL.80) ta có ∫ ∞ 0 uj+1e−u [ Ljk(u) ]2 du = (2k + j + 1)(k + j)! k! , (PL.81) ∫ ∞ 0 uj+1e−u [ Ljk−1(u) ]2 du = [2(k − 1) + j + 1](k + j − 1)! (k − 1)! , (PL.82) và sử dụng công thức phụ lục (A.2) trong tài liệu tham khảo [117] m! (m+ j)! √ m+ j m ∫ ∞ 0 uj+1e−uLjm−1(u)L j m(u)du = − √ m(m+ j). (PL.83) Từ đó ta có I3 = 2 α4c {( Bτ ′,p′ n′,s′B τ ′′,p′′ n′′,s′′ )2 (2m+ j + 1)− 2Bτ ′,p′n′,s′Bτ ′′,p′′ n′′,s′′A τ ′,p′ n′,s′A τ ′′,p′′ n′′,s′′ √ k(k + j) (PL.84) + ( Aτ ′,p′ n′,s′A τ ′′,p′′ n′′,s′′ )2 (2m+ j − 1) } . Tiếp theo ta tính I4 I4 = α20 16 ∫ ∞ 0 q5|Jα′,α′′(q)|2dq = α 2 0 4α6c ∫ ∞ 0 u2|Jα′,α′′(u)|2du = α20 4α6c k! (k + j)! {( Bτ ′,p′ n′,s′B τ ′′,p′′ n′′,s′′ )2 ∫ ∞ 0 uj+2e−u [ Ljk(u) ]2 du (PL.85) + 2Bτ ′,p′ n′,s′B τ ′′,p′′ n′′,s′′A τ ′,p′ n′,s′A τ ′′,p′′ n′′,s′′ √ k + j k ∫ ∞ 0 uj+2e−uLjk−1(u)L j k(u)du P13 + k + j k ( Aτ ′,p′ n′,s′A τ ′′,p′′ n′′,s′′ )2 ∫ ∞ 0 uj+2e−u [ Ljk−1(u) ]2 du } . Sử dụng công thức phụ lục (A.3) và (A.4) trong tài liệu tham khảo [117] k! (k + j)! ∫ ∞ 0 uj+2e−u[Ljk(u)] 2du = 2 + 6k(k + 1) + j[j + 3(2k + 1)], (PL.86) k! (k + j)! √ k + j k ∫ ∞ 0 uj+2e−uLjk−1(u)L j k(u)du = −2(j + 2k) √ k(k + j). (PL.87) Từ (PL.86) ta có (k − 1)! (k + j − 1)! ∫ ∞ 0 uj+2e−u[Ljk−1(u)] 2du = 2 + 6(k − 1)(k − 1 + 1) (PL.88) + j{j + 3[2(k − 1) + 1]} = 2 + 6k(k − 1) + j[j + 3(2k − 1)]. Do đó I4 = α20 4α6c {( Bτ ′,p′ n′,s′B τ ′′,p′′ n′′,s′′ )2 [6k2 + 6k + j2 + 3j(2k + 1) + 2] (PL.89) − 4Bτ ′,p′n′,s′Bτ ′′,p′′ n′′,s′′A τ ′,p′ n′,s′A τ ′′,p′′ n′′,s′′(j + 2k) √ k(k + j) + ( Aτ ′,p′ n′,s′A τ ′′,p′′ n′′,s′′ )2 [6k2 − 6k + j2 + 3j(2k − 1) + 2] } . Phụ lục 12. Chứng minh công thức (2.12). Thực hiện đổi biến tích phân sang biến u, ta được ∫ ∞ 0 q|Jα′,α′′(q)|2dq = 1 α2c ∫ ∞ 0 |Jα′,α′′(u)|2du (PL.90) = 1 α2c k! (k + j)! ∫ ∞ 0 uje−u [ Bτ ′,p′ n′,s′B τ ′′,p′′ n′′,s′′L j k(u) +A τ ′,p′ n′,s′A τ ′′,p′′ n′′,s′′ √ k + j k Ljk−1(u) ]2 du = 1 α2c k! (k + j)! {( Bτ ′,p′ n′,s′B τ ′′,p′′ n′′,s′′ )2 ∫ ∞ 0 uje−u [ Ljk(u) ]2 du + 2Bτ ′,p′ n′,s′B τ ′′,p′′ n′′,s′′A τ ′,p′ n′,s′A τ ′′,p′′ n′′,s′′ √ k + j k ∫ ∞ 0 uje−uLjk−1(u)L j k(u)du + k + j k ( Aτ ′,p′ n′,s′A τ ′′,p′′ n′′,s′′ )2 ∫ ∞ 0 uje−u [ Ljk−1(u) ]2 du } P14 Sử dụng tính chất trực giao của đa thức Laguerre, ta thu được ∫ ∞ 0 e−uuj [ Ljk(u) ]2 du = (k + j)! k! , (PL.91)∫ ∞ 0 e−uujLjk(u)L j k−1(u)du = 0, (PL.92)∫ ∞ 0 e−uuj [ Ljk−1(u) ]2 du = (k + j − 1)! (k − 1)! . (PL.93) Vậy ta có ∫ ∞ 0 q|Jα′,α′′(q)|2dq = 1 α2c {( Bτ ′,p′ n′,s′B τ ′′,p′′ n′′,s′′ )2 + ( Aτ ′,p′ n′,s′A τ ′′,p′′ n′′,s′′ )2 } (PL.94) Phụ lục 13. Chứng minh công thức (3.1). Vì Hˆ0 là toán tử Hermite nên ta có 〈α′|[Hˆ0, rˆ]|α〉 = 〈α′|Hˆ0rˆ − rˆHˆ0|α〉 = 〈α′|Hˆ0rˆ|α〉 − 〈α′|rˆHˆ0|α〉 (PL.95) = 〈Hˆ0α′|rˆ|α〉 − 〈α′|rˆ|Hˆ0α〉 = 〈Eα′ |rˆ|α〉 − 〈α′|rˆ|Eα〉 = (Eα′ − Eα)〈α′|rˆ|α〉. Do đó 〈α′|rˆ|α〉 = 〈α ′|[Hˆ0, rˆ]|α〉 Eα′ − Eα . (PL.96) Phụ lục 14. Chứng minh công thức (3.3). [Hˆ0, xˆ] = [vF τσxπx, xˆ] = vF τσx[πx, xˆ], (PL.97) trong đó πx = px + eAx, với A = (0, Bx, 0). Suy ra πx = px. Do đó [Hˆ0, xˆ] = vF τσx[pˆx, xˆ] = −ivF τσx. (PL.98) Phụ lục 15. Chứng minh phương trình (3.12). Ta viết lại biểu thức tenxơ độ cảm phi tuyến bậc ba như sau 0χ (3) ij (ω) = 1 V ∑ α,α′ ( d (i) α′,α )∗ d (j) α′,α(fα − fα′) { − 4(d (j) α′,α) ∗d(j)α′,α (Eα′,α − ω + iγ0)(Eα′,α − ω − iγ0)2 (PL.99) P15 + (d (j) α′,α′ − d(j)α,α)2 (Eα′,α − iγ0)(Eα′,α − ω − iγ0)2 } . Biến đổi biểu thức này ta được 0χ (3) ij (ω) = 1 V ∑ α,α′ ( d (i) α′,α )∗ d (j) α′,α(fα − fα′) (PL.100) × { − 4(d (j) α′,α) ∗d(j)α′,α(Eα′,α − iγ0) + (d(j)α′,α′ − d(j)α,α)2(Eα′,α − ω + iγ0) [(Eα′,α − ω)2 + (γ0)2]2[E2α′,α + (γ0)2] × (Eα′,α − ω + iγ0)(Eα′,α + iγ0) } . Suy ra phần ảo của độ cảm quang phi tuyến bậc ba Im[0χ (3) ij (ω)] = 1 V ∑ α,α′ ( d (i) α′,α )∗ d (j) α′,α(fα − fα′) [(Eα′,α − ω)2 + (γ0)2]2[E2α′,α + (γ0)2] (PL.101) × {[ 4γ0(d (j) α′,α) ∗d(j)α′,α + γ0(d (j) α′,α′ − d(j)α,α)2 ] (E2α′,α − ωEα′,α − 2γ20) + [ − 4(d(j)α′,α)∗d(j)α′,αEα′,α + (d(j)α′,α′ − d(j)α,α)2(Eα′,α − ω) ] (2Eα′,αγ0 − 2ωγ0) } . Tiếp tục biến đổi lượng trong dấu {...} ta thu được Im[0χ (3) ij (ω)] = − 1 V ∑ α,α′ ( d (i) α′,α )∗ d (j) α′,α(fα − fα′)γ0 [(Eα′,α − ω)2 + (γ0)2]2 (PL.102) × { 4(d (j) α′,α) ∗d(j)α′,α − (d (j) α′,α′ − d(j)α,α)2 E2α′,α + (γ0) 2 [ 3E2α′,α − 4Eα′,αω + (ω)2 − (γ0)2 ]} . Từ đó ta thu được biểu thức hệ số hấp thụ phi tuyến bậc ba là α (3) ij (ω, I) = ω √ μ R Im [ 0χ (3) ij (ω)E(ω) 2 ] (PL.103) = −ω V √ μ R I 20nrc ∑ α,α′ ( d (i) α′,α )∗ d (j) α′,α(fα − fα′)γ0 [(Eα′,α − ω)2 + (γ0)2]2 { 4(d (j) α′,α) ∗d(j)α′,α − (d (j) α′,α′ − d(j)α,α)2 (Eα′,α)2 + (γ0)2 [ 3(Eα′,α) 2 − 4Eα′,αω + (ω)2 − (γ0)2 ]} , với I = 20nrcE(ω) 2 là mật độ ánh sáng tới. P16 Phụ lục 16. Chứng minh phương trình (3.14). Để tính độ thay đổi chiết suất phi tuyến bậc ba ta tìm phần thực của độ cảm phi tuyến bậc 3. Từ biểu thức (PL.100) ta có Re[0χ (3) ij (ω)] = 1 V ∑ α,α′ ( d (i) α′,α )∗ d (j) α′,α(fα − fα′) [(Eα′,α − ω)2 + (γ0)2]2[E2α′,α + (γ0)2] (PL.104) × { − 4(d(j)α′,α)∗d(j)α′,αEα′,α(E2α′,α − ωEα′,α − 2γ20) + (d (j) α′,α′ − d(j)α,α)2(Eα′,α − ω)(E2α′,α − ωEα′,α − 2γ20) + [ 4iγ0(d (j) α′,α) ∗d(j)α′,α + iγ0(d (j) α′,α′ − d(j)α,α)2 ] (2iEα′,αγ0 − i2ωγ0) } . Biến đổi lượng trong dấu {...} ta thu được Re[0χ (3) ij (ω)] = − 1 V ∑ α,α′ ( d (i) α′,α )∗ d (j) α′,α(fα − fα′) [(Eα′,α − ω)2 + (γ0)2]2 { 4(d (j) α′,α) ∗d(j)α′,α(Eα′,α − ω) (PL.105) − (d (j) α′,α′ − d(j)α,α)2 (Eα′,α)2 + (γ0)2 [ (Eα′,α − ω)(Eα′,α)2 − Eα′,αω + (γ0)2)− (γ0)2(2Eα′,α − ω) ]} . Từ đó ta thu được biểu thức độ thay đổi chiết suất phi tuyến bậc ba là Δn (3) ij (ω, I) nr = Re [ χ (3) ij (ω)E(ω) 2 2n2r ] (PL.106) = − μcI 4V 0n3r ∑ α,α′ (d (i) α′,α) ∗d(j)α′,α(fα − fα′) [(Eα′,α − ω)2 + (γ0)2]2 { 4(d (j) α′,α) ∗d(j)α′,α(Eα′,α − ω) − (d (j) α′,α′ − d(j)α,α)2 (Eα′,α)2 + (γ0)2 [ (Eα′,α − ω)((Eα′,α)2 − Eα′,αω − (γ0)2) − (γ0)2(2Eα′,α − ω) ]} . P17 P18

Các file đính kèm theo tài liệu này:

  • pdfluan_an_tinh_chat_truyen_dan_quang_tu_va_tinh_chat_nhiet_cua.pdf
  • pdfNhung dong gop moi Tieng Anh TNBich.pdf
  • pdfNhung dong gop moi Tieng Viet TNBich.pdf
  • pdfQĐ NGỌC BÍCH.pdf
  • pdfTom tat tieng Anh-BICH_new.pdf
  • pdfTom tat tieng Viet-BICH_new.pdf
  • pdfTrich yeu luan an TN BICH.pdf
Luận văn liên quan