Luận án Tính ổn định và ổn định hóa của một số lớp hệ phương trình vi phân phi tuyến có trễ và ứng dụng

ij) ∈ Rn×m, B = (bij) ∈ Rn×m, C = (cji) ∈ Rm×n, D = (dji) ∈ Rm×n và các vectơ I = (Ii) ∈ Rn, J = (Jj) ∈ Rm. Khi đó, hệ (4.1)-(4.2) được viết lại ở dạng vectơ sau đâyx ′(t) = −DαΦ(x(t)) + Af(y(t)) +Bf(y(t− σ(t))) + I, y′(t) = −DβΨ(y(t)) + Cg(x(t)) +Dg(x(t− τ(t))) + J, (4.5) ở đó, các hàm tốc độ phân rã và các hàm kích hoạt có dạng vectơ sau đây Φ(x(t)) = vec (ϕi(xi(t))) , Ψ(y(t)) = vec (ψj(yj(t))) , f(y(t)) = vec (fj(yj(t))) , f(y(t− σ(t))) = vec (fj(yj(t− σj(t)))) , g(x(t)) = vec (gi(xi(t))) , g(x(t− τ(t))) = vec (gi(xi(t− τi(t)))) . 91 4.1.1. Sự tồn tại duy nhất nghiệm Kí hiệu D là tập các hàm liên tục ϕ : R→ R thỏa mãn ϕ(0) = 0 và tồn tại các số dương lϕ, l˜ϕ sao cho điều kiện sau đây lϕ ≤ ϕ(a)− ϕ(b) a− b ≤ l˜ϕ, (4.6) thỏa mãn với mọi a, b ∈ R, a 6= b. Rõ ràng lớp hàm D chứa các hàm tuyến tính ϕ(a) = γϕa, ở đó γϕ là một số dương. Trong chương này, chúng tôi xét các giả thiết sau. (A4.1) Các hàm tốc độ phân rã ϕi, ψj, i ∈ [n], j ∈ [m], thuộc lớp D. (A4.2) Các hàm kích hoạt nơron fj(.), gi(.), i ∈ [n], j ∈ [m], liên tục, fj(0) = 0, gi(0) = 0, và tồn tại các hằng số dương Lfj , L g i sao cho (xem [17,31]) 0 ≤ fj(a)− fj(b) a− b ≤ L f j , 0 ≤ gi(a)− gi(b) a− b ≤ L g i , a 6= b. (4.7) Nhận xét 4.1.1. Nếu các hàm ϕi và ψj liên tục Lipschitz và có đạo hàm bị chặn dưới γi = inf a∈R ϕ′i(a) > 0, µj = inf a∈R ψ′j(a) > 0, thì điều kiện (4.6) rõ ràng được thỏa mãn, ở đó lϕi = γi và lψj = µj. Mặt khác, từ (4.6), một hàm bất kì ϕ thuộc D cũng là một hàm liên tục và tăng ngặt. Do đó, tồn tại hàm số ngược liên tục ϕ−1 của ϕ. Hơn nữa, ϕ−1 cũng thuộc D với lϕ−1 = l˜ −1 ϕ và l˜ϕ−1 = l−1ϕ . Vì vậy, giả thiết (A4.1) cải tiến điều kiện (R2) trong [17] và điều kiện (S0) trong [93]. Sự tồn tại duy nhất nghiệm của hệ (4.5) được cho bởi mệnh đề sau. Mệnh đề 4.1.1. Giả sử các giả thiết (A4.1) và (A4.2) được thỏa mãn. Khi đó, với bất kì hàm ban đầu x0 ∈ C([−τ , 0],Rn), y0 ∈ C([−σ, 0],Rm) cho bởi (4.4), tồn tại duy nhất một nghiệm vec(x(t), y(t)) của hệ (4.5) xác định trên khoảng [t0,∞). Chứng minh. Kí hiệu χ(t) = x(t) y(t)  là vectơ trạng thái tăng cường và không 92 gian hàm ban đầu Cd = φ = x0 y0  : x0 ∈ C([−τ , 0],Rn), y0 ∈ C([−σ, 0],Rm)  . Chúng tôi định nghĩa hàm Fˆ : [t0,∞)× Cd → Rn+m như sau Fˆ (t, φ) = −DαΦ(x0(0)) + Avec (fj(y0j (0)))+Bvec (fj(y0j (−σj(t))))+ I −DβΨ(y0(0)) + Cvec ( gi(x 0 i (0)) ) +Dvec ( gi(x 0 i (−τi(t))) ) + J  . Khi đó, hệ (4.4)-(4.5) được viết ở dạng phương trình vi phân hàm [6] χ′(t) = Fˆ (t, χt) , t ≥ t0, χt0 = x0 y0  , (4.8) ở đó, χt = xt yt  ∈ Cd và xt ∈ C([−τ , 0],Rn), yt ∈ C([−σ, 0],Rm) xác định bởi xt(ξ) = x(t + ξ), ξ ∈ [−τ , 0] và yt(θ) = y(t+ θ), θ ∈ [−σ, 0]. Từ giả thiết (A4.1) và (A4.2), hàm Fˆ (t, φ) liên tục và thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo biến φ. Do đó, bài toán (4.8) có nghiệm duy nhất χ(t) xác định trên khoảng cực đại [t0, tf ). Ta sẽ chứng minh tf = ∞. Phản chứng, giả sử ngược lại rằng tf <∞. Khi đó, lim supt→tf ‖χ(t)‖ =∞. Hơn nữa, từ (4.8), ta có χ(t) = χ(t0) + ∫ t t0 Fˆ (s, χs)ds, t ∈ [t0, tf ). (4.9) Bằng các tính toán trực tiếp từ biểu thức của hàm Fˆ (t, φ) có thể kiểm chứng được rằng tồn tại các số dương ǫ1, ǫ2 sao cho ‖Fˆ (t, χt)‖ ≤ ǫ1 + ǫ2 (xˆ(t) + yˆ(t)) , ở đó, xˆ(t) = sup−τ≤ξ≤0 ‖x(t+ ξ)‖ và yˆ(t) = sup−σ≤θ≤0 ‖y(t+ θ)‖. Do đó, theo (4.9), ta có ‖χ(t)‖ ≤ ‖χ(t0)‖+ ǫ1(t− t0) + ǫ2 ∫ t t0 ̺(s)ds, với ̺(t) = xˆ(t) + yˆ(t). Điều này dẫn đến ̺(t) ≤ 2‖χ(t0)‖+ 2ǫ1(t− t0) + 2ǫ2 ∫ t t0 ̺(s)ds. (4.10) 93 Áp dụng bất đẳng thức Gronwall vào (4.10) ta thu được ̺(t) ≤ ǫ1 ǫ2 ( e2ǫ2(t−t0) − 1 ) + 2‖χ(t0)‖e2ǫ2(t−t0), t ∈ [t0, tf ). Do đó, lim sup t→tf ‖χ(t)‖ ≤ ǫ1 ǫ2 ( e2ǫ2(tf−t0) − 1 ) + 2‖χ(t0)‖e2ǫ2(tf−t0) <∞. Kết quả này mâu thuẫn với giả thiết về tf . Mâu thuẫn đó chứng tỏ tf = ∞. Mệnh đề được chứng minh. 4.1.2. Nghiệm dương và điểm cân bằng Phần này trình bày các khái niệm về nghiệm dương, điểm cân bằng dương ổn định mũ cùng một số kết quả bổ trợ dùng để thiết lập các điều kiện ổn định đối với hệ dương (4.5). Cho χ(t) = vec(x(t), y(t)) là một nghiệm của hệ (4.5). Nếu quỹ đạo của χ(t) được giới hạn trong nón dương, tức là χ(t) ∈ Rn+m+ với mọi t ≥ t0, thì χ(t) được gọi là một nghiệm dương của hệ (4.5). Tập chấp nhận được các điều kiện đầu của hệ (4.5) được xác định bởi A = { φ = x0 y0  ∈C([−τ , 0],Rn)× C([−σ, 0],Rm) : x0(ξ)  0, ∀ξ ∈ [−τ , 0], y0(θ)  0, ∀θ ∈ [−σ, 0] } . (4.11) Định nghĩa 4.1.1. Hệ (4.5) được gọi là hệ dương nếu với bất kì điều kiện đầu φ ∈ A và vectơ đầu vào không âm vec(I, J) ∈ Rn+m+ , nghiệm tương ứng χ(t) = vec(x(t), y(t)) của hệ (4.5) là nghiệm dương. Định nghĩa 4.1.2. Cho trước vectơ đầu vào J = vec(I, J) ∈ Rn+m, một vectơ χ∗ = vec(x∗, y∗), x∗ ∈ Rn, y∗ ∈ Rm, được gọi là một điểm cân bằng của hệ (4.5) nếu nó thỏa mãn hệ phương trình đại số sau đây−DαΦ(x ∗) + (A+B) f(y∗) + I = 0 −DβΨ(y∗) + (C +D) g(x∗) + J = 0. (4.12) 94 χ∗ là điểm cân bằng dương nếu nó là một điểm cân bằng và χ∗  0. Định nghĩa 4.1.3. Một điểm cân bằng dương χ∗ = vec(x∗, y∗) của hệ (4.5) được gọi là ổn định mũ toàn cục (GES) nếu tồn tại các số dương κ, γ sao cho nghiệm bất kì χ(t) = vec(x(t), y(t)) của (4.5) với điều kiện đầu (4.4) thỏa mãn bất đẳng thức sau đây ‖x(t)− x∗‖+ ‖y(t)− y∗‖ ≤ κ (‖x0 − x∗‖∞ + ‖y0 − y∗‖∞) e−γ(t−t0), t ≥ t0. Để kết thúc mục này chúng tôi nhắc lại một kết quả từ Mệnh đề 1.2.1 trong Chương 1. Nếu K = (kij) ∈ Rn×n là ma trận không âm với bán kính phổ ρ(K) < 1 thì (En−K)−1  0 và tồn tại vectơ dương ζ = (ζi) sao cho (En−K)ζ ≻ 0. Do đó, n∑ j=1 kijζj < ζi, i ∈ [n]. 4.2. Nghiệm dương của mô hình mạng BAM với trễ biến thiên Phần này đưa ra các điều kiện và chứng minh tính dương của hệ (4.5) với điều kiện đầu trong A. Định lí 4.2.1. Với các giả thiết (A4.1)-(A4.2), nếu các ma trận trọng số kết nối A, B, C, và D không âm (tương đương M∗ =  A B C⊤ D⊤   0) thì hệ (4.5) là hệ dương với bất kì trễ bị chặn (4.3). Để chứng minh Định lí 4.2.1, chúng tôi cần một số kết quả bổ trợ sau đây. Bổ đề 4.2.1. Cho ϕ là một hàm số thuộc lớp D và q(t) là hàm liên tục không âm trên [0,∞). Khi đó, nghiệm bất kì của bài toán giá trị đầu x′(t) = −ϕ(x(t)) + q(t), t ≥ t0, x(t0) = x0 ≥ 0, (4.13) thỏa mãn x(t) ≥ 0 với t ≥ t0. 95 Chứng minh. Không mất tính tổng quát, ta giả sử x0 > 0. Ta sẽ chỉ ra x(t) > 0 với mọi t ≥ t0. Giả sử điều này không đúng, khi đó tồn tại t∗ > t0 sao cho x(t∗) = 0 và x(t) > 0 với t ∈ [t0, t∗). Từ điều kiện (4.6) của hàm ϕ, ta có lϕ ≤ ϕ(x(t)) x(t) ≤ l˜ϕ, t ∈ [t0, t∗). Kết hợp với (4.13) ta được x′(t) ≥ −l˜ϕx(t) + q(t), t ∈ [t0, t∗). (4.14) Tích phân hai vế bất đẳng thức vi phân (4.14), ta thu được x(t) ≥ e−l˜ϕ(t−t0) ( x0 + ∫ t t0 el˜ϕ(s−t0)q(s)ds ) ≥ e−l˜ϕ(t−t0)x0, t ∈ [t0, t∗). (4.15) Cho t ↑ t∗, từ (4.15) suy ra 0 < x0e −l˜ϕ(t∗−t0) ≤ x(t∗) = 0. Mâu thuẫn đó chứng tỏ x(t) > 0 với mọi t ∈ [t0,∞). Mệnh đề được chứng minh. Nhận xét 4.2.1. Vì lớp hàm D bất biến đối với phép nhân các số dương, kết luận của Bổ đề 4.2.1 vẫn đúng với hàm số ϕα(x) = αϕ(x), ở đó α là một số dương. Dưới đây là chứng minh của Định lí 4.2.1. Chứng minh. Với mỗi φ ∈ A và vectơ đầu vào không âm J = vec(I, J) ∈ Rn+m+ , theo Mệnh đề 4.1.1, tồn tại duy nhất nghiệm χ(t) = vec(x(t), y(t)) của hệ (4.5) xác định trên khoảng [t0,∞). Ta chỉ cần chứng minh χ(t) là nghiệm dương. Theo giả thiết (A4.2), các trường vectơ Af(y) và Bf(y) bảo toàn thứ tự trên Rm+ [75]. Do đó, nếu y(t) ≻ 0, t ∈ [−σ, t1), với t1 nào đó thỏa mãn t1 > t0 thì ta có qi(t) , m∑ j=1 aijfj(yj(t)) + m∑ j=1 bijfj(yj(t− σj(t))) + Ii ≥ 0, t ∈ [t0, t1), i ∈ [n]. Theo Bổ đề 4.2.1, xi(t) ≥ 0 với mọi t ∈ [t0, t1), i ∈ [n], và do đó χ(t)  0, t ∈ [t0, t1). 96 Với ǫ > 0 cố định, gọi χǫ(t) = vec(xǫ(t), yǫ(t)) là nghiệm của hệ (4.5) với điều kiện đầu φǫ = φ + ǫ1n+m, ở đó 1n+m là vectơ trong Rn+m với các thành phần bằng 1. Do tính liên tục theo điều kiện đầu [6], tồn tại t1 > t0 sao cho χǫ(t) ≻ 0 với t ∈ [t0, t1). Ta sẽ chứng minh yǫ(t) ≻ 0, ∀t ≥ t0. Phản chứng, giả sử tồn tại t˜ > t0 và một chỉ số j ∈ [m] sao cho yjǫ(t˜) = 0, yjǫ(t) > 0, t ∈ [t0, t˜), (4.16) và yǫ(t)  0 với t ∈ [t0, t˜]. Khi đó, theo Bổ đề 4.2.1 và giả thiết (A4.2), xǫ(t)  0 với mọi t ∈ [−τ , t˜]. Do đó, q˜j(t) , n∑ i=1 cjigi(xiǫ(t)) + n∑ i=1 djigi(xiǫ(t− τi(t))) + Jj ≥ 0, t ∈ [t0, t˜]. Tương tự cách chứng minh Bổ đề 4.2.1, ta cũng có yjǫ(t) = e −βj l˜ψj (t−t0) ( y0j (0) + ǫ+ ∫ t t0 e βj l˜ψj (s−t0)q˜j(s)ds ) ≥ ǫe−βj l˜ψj (t−t0), t ∈ [t0, t˜). (4.17) Cho t ↑ t˜ trong (4.17), ta dễ dàng thu được yjǫ(t˜) ≥ ǫe−βj l˜ψj (t˜−t0) > 0. Điều này mâu thuẫn với (4.16). Do vậy yǫ(t) ≻ 0 và xǫ(t)  0 với mọi t ≥ t0. Cho ǫ → 0 ta được χ(t) = limǫ→0 χǫ(t)  0 với t ∈ [t0,∞). Định lí được chứng minh. 4.3. Sự tồn tại của điểm cân bằng Trong mục này, dựa trên định lí điểm bất động Brouwer, chúng tôi đưa ra các điều kiện và chứng minh hệ (4.5) có ít nhất một điểm cân bằng dương. Trước hết, từ hệ (4.12), với một vectơ đầu vào J = vec(I, J) ∈ Rn+m, vectơ χ∗ = vec(x∗, y∗) ∈ Rn+m là một điểm cân bằng của hệ (4.5) nếu và chỉ nếu nó 97 thỏa mãn hệ đại số sau đâyD −1 α ((A +B)f(y ∗) + I) = Φ(x∗) D−1 β ((C +D)g(x∗) + J) = Ψ(y∗). (4.18) Dựa vào (4.18), chúng tôi định nghĩa ánh xạ H : Rn+m → Rn+m bởi công thức H(χ) =  Φ−1 (D−1α ((A+B)f(y) + I)) Ψ−1 ( D−1 β ((C +D)g(x) + J) ) , (4.19) ở đó χ = vec(x, y), x ∈ Rn và y ∈ Rm. Cụ thể hơn, ánh xạ H(χ) được định nghĩa trong (4.19) có thể viết như sau H(χ) = [ h1(y) · · · hn(y) h˜1(x) · · · h˜m(x) ]⊤ , với hi(y) = ϕ −1 i ( 1 αi ( m∑ j=1 (aij + bij) fj(yj) + Ii )) , i ∈ [n], h˜j(x) = ψ −1 j ( 1 βj ( n∑ i=1 (cji + dji) gi(xi) + Jj )) , j ∈ [m], và ϕ−1i (.), ψ −1 j (.) tương ứng là các hàm nghịch đảo của ϕi(.) và ψj(.). Ta thấy rằng, từ (4.18) và (4.19), vectơ χ∗ ∈ Rn+m là một điểm cân bằng của hệ (4.5) nếu và chỉ nếu nó là một điểm bất động của ánh xạ H(χ), tức là, H(χ∗) = χ∗. Dựa trên định lí điểm bất động Brouwer, chúng tôi có kết quả sau đây. Định lí 4.3.1. Với các giả thiết (A4.1) và (A4.2), giả sử rằng ρ 0n×n K1 K2 0m×m  < 1, (4.20) ở đó K1 = (k1ij) ∈ Rn×m, K2 = (k2ji) ∈ Rm×n và k1ij = 1 αi l−1ϕi (|aij |+ |bij |)Lfj , k2ji = 1 βj l−1 ψj (|cji|+ |dji|)Lgi . Khi đó, hệ (4.5) có ít nhất một điểm cân bằng. 98 Chứng minh. Với các vectơ đầu vào I, J , ta kí hiệu các vectơ θ1 = (θ1i ) ∈ Rn và θ2 = (θ 2 j ) ∈ Rm với θ1i = 1 αi l−1ϕi |Ii|, i ∈ [n], θ2j = 1 βj l−1 ψj |Jj|, j ∈ [m]. Theo Mệnh đề 1.2.1, từ (4.20) ta có En+m − K là M-ma trận không suy biến, ở đó K = 0n×n K1 K2 0m×m . Do đó, tồn tại ma trận nghịch đảo (En+m −K)−1  0. Hơn nữa, tồn tại vectơ η ∈ Rn+m, η ≻ 0, sao cho (En+m − K)η ≻ 0. Bây giờ ta định nghĩa các vectơ sau đâyδ ̺  = (En+m −K)−1 θ1 θ2 + η1 η2  ︸ ︷︷ ︸ η . (4.21) Rõ ràng δ ≻ 0 và ̺ ≻ 0. Hơn nữa, do (4.21), ta cóδ ̺  = K δ ̺ + θ1 θ2 + (En+m −K) η. (4.22) Dựa trên phương trình (4.22) chúng tôi định nghĩa tập con lồi compact B ⊂ Rn+m như sau B = χ ∈ Rn+m ∣∣∣ |χ|  δ ̺   . Với bất kì χ = vec(x, y) ∈ B, x ∈ Rn, y ∈ Rm, ta có |x|  δ và |y|  ̺. Do đó, |xi| ≤ δi, i ∈ [n], |yj| ≤ ̺j , j ∈ [m]. Mặt khác, vì ϕi, ψj ∈ D, theo Nhận xét 4.1.1∣∣ϕ−1i (a)∣∣ ≤ l−1ϕi |a|, ∣∣ψ−1j (a)∣∣ ≤ l−1ψj |a|, a ∈ R. 99 Kết hợp với giả thiết (A4.2), ta có |hi(y)| = ∣∣∣∣∣ϕ−1i ( 1 αi ( m∑ j=1 (aij + bij) fj(yj) + Ii ))∣∣∣∣∣ ≤ 1 αi l−1ϕi ∣∣∣∣∣ m∑ j=1 (aij + bij) fj(yj) + Ii ∣∣∣∣∣ ≤ 1 αi l−1ϕi ( m∑ j=1 (|aij |+ |bij |) |fj(yj)|+ |Ii| ) ≤ 1 αi l−1ϕi ( m∑ j=1 (|aij |+ |bij |)Lfj |yj|+ |Ii| ) ≤ m∑ j=1 k1ij̺j + θ 1 i , i ∈ [n]. (4.23) Tương tự, ta cũng có |h˜j(x)| = ∣∣∣∣∣ψ−1j ( 1 βj ( n∑ i=1 (cji + dji) gi(xi) + Jj ))∣∣∣∣∣ ≤ 1 βj l−1 ψj ( n∑ i=1 (|cji|+ |dji|)Lgi |xi|+ |Jj| ) ≤ n∑ i=1 k2jiδi + θ 2 j , j ∈ [m]. (4.24) Từ (4.19) và các bất đẳng thức (4.23)-(4.24), ta có |H(χ)|  K1̺ K2δ + θ1 θ2  = K δ ̺ + θ1 θ2  . (4.25) Do đó, từ phương trình (4.22) và (4.25) ta dễ dàng có được |H(χ)| ≺ δ ̺  với bất kì χ ∈ B. Nói cách khác, H(B) ⊂ B. Điều này chứng tỏ rằng ánh xạ liên tục H(χ) xác định bởi (4.19) biến một tập con lồi compact B ⊂ Rn+m vào chính 100 nó. Theo định lí điểm bất động Brouwer (xem [96, Mục 2.3]), ánh xạ H có ít nhất một điểm bất động χ∗ ∈ B, tức là, H(χ∗) = χ∗. Điểm bất động đó chính là điểm cân bằng của hệ (4.5). Định lí được chứng minh. Nhận xét 4.3.1. Trong chứng minh của Định lí 4.3.1, nếu các ma trận trọng số kết nối A, B, C, D, và các vectơ đầu vào I, J không âm thì ui , 1 αi ( m∑ j=1 (aij + bij) fj(yj) + Ii ) ≥ 0, i ∈ [n], và vj , 1 βj ( n∑ i=1 (cji + dji) gi(xi) + Jj ) ≥ 0, j ∈ [m], với mọi x  0 và y  0. Vì vậy, hi(y) = ϕ−1(ui) ≥ 0 và h˜j(x) = ψ−1j (vj) ≥ 0 với mọi i ∈ [n], j ∈ [m], và χ = vec(x, y)  0. Do đó, H (Rn+m+ ) ⊂ Rn+m+ . Điều này chứng tỏ H : B+ 7→ B+, ở đó B+ = B ∩Rn+m+ . Hơn nữa, vì B+ = χ ∈ Rn+m ∣∣∣ 0  χ  δ ̺   cũng là một tập con lồi compact của Rn+m, theo định lí điểm bất động Brouwer, ánh xạ liên tục H có ít nhất một điểm bất động χ∗+ ∈ B+ là điểm cân bằng dương của hệ (4.5). Chúng tôi tóm tắt kết quả này trong hệ quả sau đây. Hệ quả 4.3.1. Với các giả thiết của Định lí 4.3.1, nếu các ma trận trọng số kết nối A, B, C và D không âm thì với vectơ đầu vào không âm bất kì J = vec(I, J), hệ (4.5) có ít nhất một điểm cân bằng dương χ∗ ∈ Rn+m+ . Nhận xét 4.3.2. Cho Ω˜ là một ma trận cấp (n+m)× (n+m) dạng Ω˜ =  U˜ V˜ W˜ Z˜  ở đó U˜ ∈ Rn×n, V˜ ∈ Rn×m, W˜ ∈ Rm×n và Z˜ ∈ Rm×m. Nếu Z˜ là ma trận không suy biến thì ta cóU˜ − V˜ Z˜−1W˜ V˜ 0m×n Z˜  =  U˜ V˜ W˜ Z˜  En 0n×m −Z˜−1W˜ Em  . 101 Do đó, det(Ω˜) = det(U˜ − V˜ Z˜−1W˜ ) det(Z˜). (4.26) Bằng cách sử dụng đẳng thức (4.26), với bất kì λ 6= 0, ta có det(λEn+m −K) = det λEn −K1 −K2 λEm  = λm det ( λEn − 1 λ K1K2 ) = λm−n det(λ2En −K1K2). Đồng nhất thức này chứng tỏ λ ∈ σ(K)\{0} nếu và chỉ nếu µ = λ2 ∈ σ(K1K2)\{0}. Do đó, ρ(K) < 1⇐⇒ ρ(K1K2) < 1. Dựa trên Nhận xét 4.3.2, chúng tôi có kết quả sau. Mệnh đề 4.3.1. Điều kiện (4.20) được thỏa mãn nếu và chỉ nếu một trong hai điều kiện sau đây được thỏa mãn ρ (( 1 αi l−1ϕi m∑ j=1 1 βj l−1 ψj (|aij |+ |bij |) (|cjk|+ |djk|)LfjLgk) n×n ) < 1, (4.27) ρ (( 1 βj l−1 ψj n∑ i=1 1 αi l−1ϕi (|cji|+ |dji|) (|aik|+ |bik|)L f k Lgi ) m×m ) < 1. (4.28) Trong phần còn lại của mục này, chúng tôi trình bày kết quả tổng hợp về sự tồn tại của điểm cân bằng dương của hệ (4.5) trong hệ quả sau đây. Hệ quả 4.3.2. Với các giả thiết (A4.1)-(A4.2), giả sử rằng các ma trận trọng số kết nối không âm và một trong ba điều kiện (4.20), (4.27) hoặc (4.28) được thỏa mãn. Khi đó, với vectơ đầu vào không âm J = vec(I, J) ∈ Rn+m+ , hệ (4.5) có ít nhất một điểm cân bằng dương χ∗ ∈ Rn+m+ . 102 4.4. Tính ổn định mũ của điểm cân bằng Mục này chỉ ra rằng, dưới các giả thiết của Định lí 4.2.1 và Định lí 4.3.1, hệ (4.5) có duy nhất một điểm cân bằng dương χ∗ ổn định mũ. Định lí 4.4.1. Với các giả thiết (A4.1) và (A4.2), giả sử các ma trận trọng số kết nối không âm và một trong ba điều kiện (4.20), (4.27), hoặc (4.28) được thỏa mãn. Khi đó, với mỗi vectơ đầu vào J = vec(I, J) ∈ Rn+m+ , hệ (4.5) có duy nhất một điểm cân bằng dương χ∗ ∈ Rn+m+ ổn định mũ toàn cục với bất kì hàm trễ τi(t) ∈ [0, τ ] và σj(t) ∈ [0, σ]. Chứng minh. Để thuận lợi cho việc trình bày kĩ thuật chứng minh của định lí này, chúng tôi chia chứng minh thành các bước sau đây. Bước 1: Điểm cân bằng dương Theo Định lí 4.3.1, với vectơ đầu vào bất kì J = vec(I, J) ∈ Rn+m+ , tồn tại một điểm cân bằng dương χ∗ = vec(x∗, y∗), x∗ = (x∗i ) ∈ Rn+, y∗ = (y∗j ) ∈ Rm+ , của hệ (4.5) thỏa mãn −DαΦ(x ∗) + (A+B)f(y∗) + I = 0 −DβΨ(y∗) + (C +D)g(x∗) + J = 0. (4.29) Bước 2: Hệ chuyển dịch Cho χ∗ là một điểm cân bằng cố định của hệ (4.5). Ta sẽ chứng minh tính hút mũ toàn cục của χ∗. Chú ý rằng các điều kiện (4.20), (4.27) và (4.28) tương đương với điều kiện En+m−K là M-ma trận không suy biến. Theo Mệnh đề 1.2.1 (xem [70]), tồn tại vectơ dương ξ = vec(ξ1, ξ2) ∈ Rn+m, ở đó ξ1 = (ξ1i ) ∈ Rn và ξ2 = (ξ2j ) ∈ Rm, sao cho (En+m −K) ξ ≻ 0. Do đó, tồn tại ǫ > 0 sao cho −αilϕiξ1i + m∑ j=1 (aij + bij)L f j ξ 2 j < −ǫ, i ∈ [n], (4.30) −βj lψjξ2j + n∑ i=1 (cji + dji)L g i ξ 1 i < −ǫ, j ∈ [m]. (4.31) 103 Cho χ(t) = vec(x(t), y(t)) là một nghiệm bất kì của hệ (4.5). Khi đó, từ phương trình (4.5) và (4.29), ta có (x(t)− x∗)′ = −Dα (Φ(x(t))− Φ(x∗)) + A(f(y(t))− f(y∗)) +B(f(y(t− σ(t)))− f(y∗)) (y(t)− y∗)′ = −Dβ (Ψ(y(t))−Ψ(y∗)) + C(g(x(t))− g(x∗)) +D(g(x(t− τ(t)))− g(x∗)). (4.32) Hệ (4.32) được viết lại chi tiết như sau (xi(t)− x∗i )′ = −αi (ϕi(xi(t))− ϕi(x∗i )) + m∑ j=1 aij ( fj(yj(t))− fj(y∗j ) ) + m∑ j=1 bij ( fj(yj(t− σj(t)))− fj(y∗j ) ) , i ∈ [n], (4.33) và (yj(t)− y∗j )′ = −βj ( ψj(yj(t))− ψj(y∗j ) ) + n∑ i=1 cji (gi(xi(t))− gi(x∗i )) + n∑ i=1 dji (gi(xi(t− τi(t)))− gi(x∗i )) , j ∈ [m]. (4.34) Bước 3: Bất đẳng thức vi phân tuyến tính hóa Tiếp theo, chúng tôi định nghĩa các hàm ζi(t) = |xi(t)− x∗i |, i ∈ [n], ηj(t) = |yj(t)− y∗j |, j ∈ [m], t ≥ t0. Từ (4.33), ta có D+ζi(t) = −αi sgn(xi(t)− x∗i ) (ϕi(xi(t))− ϕi(x∗i )) + m∑ j=1 aij sgn(xi(t)− x∗i ) ( fj(yj(t))− fj(y∗j ) ) + m∑ j=1 bij sgn(xi(t)− x∗i ) ( fj(yj(t− σj(t)))− fj(y∗j ) ) ≤ −αilϕiζi(t) + m∑ j=1 Lfj (aijηj(t) + bijηj(t− σj(t))) , i ∈ [n], (4.35) 104 ở đó D+ kí hiệu là đạo hàm Dini phía trên bên phải. Tương tự, từ (4.34), ta cũng có D+ηj(t) ≤ −βjlψjηj(t) + n∑ i=1 Lgi (cjiζi(t) + djiζi(t− τi(t))) , j ∈ [m]. (4.36) Bước 4: Tính hút mũ của điểm cân bằng dương Với mỗi i ∈ [n], ta xét hàm số ~i(λ) = (λ− αilϕi)ξ1i + m∑ j=1 Lfj ( aij + bije λσ ) ξ2j , λ ∈ [0,∞). Rõ ràng ~i(λ) là hàm liên tục và tăng ngặt trên [0,∞), ~i(0) < −ǫ, ~i(λ) → ∞ khi λ → ∞. Do đó, tồn tại số dương duy nhất λi sao cho ~i(λi) = 0 và ~(λ) < 0 với mọi λ ∈ [0, λi). Lập luận tương tự, với mỗi j ∈ [m], tồn tại duy nhất số dương λˆj sao cho ~ˆj(λˆj) = 0, ở đó ~ˆj(λ) = (λ− βjlψj )ξ2j + n∑ i=1 Lgi ( cji + djie λτ ) ξ1i , λ ∈ [0,∞). Đặt λ0 = mini,j { λi, λˆj } , khi đó λ0 > 0 và ~i(λ0) ≤ 0, ~ˆj(λ0) ≤ 0 với mọi i ∈ [n], j ∈ [m]. Vì vậy, −αilϕiξ1i + m∑ j=1 Lfj ( aij + bije λσ ) ξ2j ≤ −λξ1i , i ∈ [n], (4.37) −βjlψjξ2j + n∑ i=1 Lgi ( cji + djie λτ ) ξ1i ≤ −λξ2j , j ∈ [m], (4.38) với bất kì λ ∈ (0, λ0]. Gợi ý bởi các bất đẳng thức (4.37) và (4.38), ta kí hiệu C(ξ) = 1/mini,j { ξ1i , ξ 2 j } và xét các hàm so sánh sau đây ζˆ(t) = C(ξ)‖φ∗‖∞e−λ(t−t0)ξ1, ηˆ(t) = C(ξ)‖φ∗‖∞e−λ(t−t0)ξ2, t ≥ t0, (4.39) ở đó, ‖φ∗‖∞ = ‖x0 − x∗‖∞ + ‖y0 − y∗‖∞ và λ là hằng số trong khoảng (0, λ0]. Kí hiệu υ(t) = ζ(t) η(t)  , υˆ(t) = ζˆ(t) ηˆ(t)  = C(ξ)‖φ∗‖∞e−λ(t−t0)ξ. 105 Khi đó, với bất kì t ≥ t0, D+υˆ(t) = −λυˆ(t) và υˆd(t) ,  ζˆi(t− τi(t)) ηˆj(t− σj(t))   eλτ ζˆi(t) eλσηˆj(t)  . (4.40) Bây giờ, ta sẽ chứng minh υ(t)  υˆ(t) với mọi t ≥ t0. Thật vậy, với t ≤ t0, ta có υ(t)  C(ξ)‖φ∗‖∞ξ với C(ξ)ξ  1n+m. Do đó, với θ > 1 cố định, υ(t0) ≺ θυˆ(t0). Giả sử rằng υ(t) ≺ θυˆ(t) không đúng với mọi t > t0. Khi đó, tồn tại t¯ > t0 và một chỉ số k ∈ [n+m] sao cho υk(t¯) = θυˆk(t¯), υk(t) < θυˆk(t), t ∈ [t0, t¯), υ(t)  θυˆ(t), t ∈ [t0, t¯]. (4.41) Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử k ∈ [n]. Khi đó, từ phương trình (4.35), (4.37) và (4.40), ta có D+υk(t) ≤ −αklϕkυk(t) + m∑ j=1 Lfj ( akjηj(t) + bkjηj(t− σj(t)) ) ≤ −αklϕkυk(t) + m∑ j=1 θLfj ( akj ηˆj(t) + bkj ηˆj(t− σj(t)) ) ≤ −αklϕkυk(t) + θC(ξ)‖φ∗‖∞ ( m∑ j=1 Lfj ( akj + bkje λσ ) ξ2j ) e−λ(t−t0) ≤ −αklϕkυk(t) + θC(ξ)‖φ∗‖∞ (−λ + αklϕk) ξ1ke−λ(t−t0) = −αklϕk (υk(t)− θυˆk(t))− λθυˆk(t), t ∈ [t0, t¯). (4.42) Bất đẳng thức (4.42) cho D+ (υk(t)− θυˆk(t)) ≤ −αklϕk (υk(t)− θυˆk(t)) , t ∈ [t0, t¯), và do đó υk(t)− θυˆk(t) ≤ (υk(t0)− θυˆk(t0)) e−αklϕk (t−t0), t ∈ [t0, t¯). (4.43) Vì v(t0) ≺ θvˆ(t0), cho t ↑ t¯ trong (4.43) ta thu được 0 = υk(t¯)− θυˆk(t¯) ≤ (υk(t0)− θυˆk(t0)) e−αklϕk (t¯−t0) < 0. 106 Mâu thuẫn này chứng tỏ υ(t) ≺ θυˆ(t) với mọi t ≥ t0. Cho θ ↓ 1 ta được υ(t)  υˆ(t). Vì 1n+m  C(ξ)ξ  C(ξ)maxi,j { ξ1i , ξ 2 j } 1n+m nên ta có ‖υ(t)‖ ≤ C(ξ)max i,j { ξ1i , ξ 2 j } ‖φ∗‖∞e−λ(t−t0), t ≥ t0, λ ∈ (0, λ0] và do đó ‖x(t) − x∗‖ + ‖y(t) − y∗‖ ≤ 2‖υ(t)‖ ≤ κ‖φ∗‖∞e−λ(t−t0), t ≥ t0, với κ = 2C(ξ)maxi,j { ξ1i , ξ 2 j } . Điều này chỉ ra tính hút mũ của điểm cân bằng χ∗. Bước 5: Tính duy nhất của điểm cân bằng dương Giả sử χ¯∗ = vec(x¯∗, y¯∗) cũng là một điểm cân bằng dương của hệ (4.5). Khi đó, χ¯∗ có thể xem như một nghiệm ổn định của hệ (4.5) với điều kiện đầu hằng số φ = χ¯∗. Áp dụng kết quả trong Bước 4, ta có (‖x¯∗ − x∗‖+ ‖y¯∗ − y∗‖) ( 1− κe−λ(t−t0) ) ≤ 0. Cho t→∞ ta được χ¯∗ = χ∗. Tức là điểm cân bằng dương χ∗ là duy nhất. Định lí được chứng minh. Nhận xét 4.4.1. Theo các giả thiết của Định lí 4.4.1, ánh xạ F(y) = (A+B)f(y) và G(x) = (C +D)g(x) là các trường vectơ bảo toàn thứ tự. Do đó, với các vectơ đầu vào I ∈ Rn+, J ∈ Rm+ sao cho I và J không đồng thời bằng không, điểm cân bằng dương duy nhất χ∗ của hệ (4.5) thỏa mãn χ∗   Φ−1 (D−1α I) Ψ−1 ( D−1 β J ) và do đó, χ∗ ∈ Rn+m+ \ {0}. Hơn nữa, nếu I ≻ 0 và J ≻ 0 thì χ∗ là vectơ dương (tức là, χ∗ ≻ 0). Nhận xét 4.4.2. Kết quả của Định lí 4.4.1 cũng đảm bảo rằng, với các vectơ đầu vào dương I ≻ 0, J ≻ 0, mọi quỹ đạo trạng thái của hệ (4.5) dương chung cuộc. Cụ thể hơn, cho χ(t) = vec(x(t), y(t)) là một nghiệm bất kì của hệ (4.5) (với điều kiện đầu φ không nhất thiết dương). Vì χ(t) hội tụ mũ đến điểm cân bằng duy nhất χ∗ dương ngặt nên tồn tại tf > t0 sao cho χ(t) ≻ 0 với mọi t ∈ [tf ,∞). 107 Nhận xét 4.4.3. Khi hai lớp X và Y giống nhau, mô hình (4.1)-(4.2) quy về mạng nơron kiểu Hopfield với hàm tốc độ tự phản hồi phi tuyến ϕi(xi). Như một trường hợp đặc biệt, nếu cho ϕi(xi) = xi, từ Định lí 4.4.1 chúng tôi thu được kết quả của [31, Định lí 1]. 4.5. Mạng nơron BAM dương với đa trễ tỉ lệ Trong mục này chúng tôi mở rộng kết quả của Định lí 4.4.1 cho mạng BAM với trễ tỉ lệ x′i(t) = −αiϕi(xi(t)) + m∑ j=1 aijfj(yj(t)) + m∑ j=1 bijfj(yj(qijt)) + Ii, (4.44) y′j(t) = −βjψj(yj(t)) + n∑ i=1 cjigi(xi(t)) + n∑ i=1 djigi(xi(pjit)) + Jj , (4.45) với t ≥ t0 > 0, ở đó 0 < pji < 1, 0 < qij < 1, i ∈ [n], j ∈ [m], là các hệ số trễ tỉ lệ. Các hệ số và các hàm số khác trong mô hình (4.44)-(4.45) được mô tả tương tự hệ (4.1)-(4.2). Điều kiện đầu của hệ (4.44)-(4.45) được xác định bởi xi(ξ) = x 0 i (ξ), ξ ∈ [p∗t0, t0], yj(θ) = y0j (θ), θ ∈ [q∗t0, t0], (4.46) ở đó p∗ = mini,j pji, q∗ = mini,j qij và x0i ∈ C([p∗t0, t0],R), y0j ∈ C([q∗t0, t0],R). Tương tự Mệnh đề 4.1.1, dưới các giả thiết (A4.1) và (A4.2), hệ (4.44)-(4.46) có nghiệm duy nhất χ(t) = vec(x(t), y(t)) xác định trên [t0,∞). Hơn nữa, nếu các ma trận trọng số kết nối A, B, C, D không âm và x0(ξ) = (x0i (ξ))  0, y0(θ) = (y0j (θ))  0 với mọi ξ ∈ [p∗t0, t0], θ ∈ [q∗t0, t0] thì χ(t)  0 với mọi t ≥ t0. Định lí 4.5.1. Dưới các giả thiết của Định lí 4.4.1, với vectơ đầu vào bất kì J = vec(I, J) ∈ Rn+m+ , hệ (4.44)-(4.46) có điểm cân bằng dương duy nhất χ∗ ∈ Rn+m+ ổn định mũ toàn cục suy rộng. Cụ thể hơn, tồn tại các số dương κ và ̟ sao cho nghiệm bất kì χ(t) = vec(x(t), y(t)) của hệ (4.44)-(4.45) thỏa mãn đánh giá ‖x(t)−x∗‖+‖y(t)−y∗‖ ≤ κ (‖x0 − x∗‖∞ + ‖y0 − y∗‖∞) e−̟ ln( 1+t1+t0 ), t ≥ t0. (4.47) Chứng minh. Sự tồn tại của điểm cân bằng dương của hệ (4.44)-(4.45) có thể suy 108 trực tiếp từ Hệ quả 4.3.2. Bây giờ, ta chứng minh sự hội tụ mũ suy rộng của điểm cân bằng dương χ∗. Thật vậy, tương tự phương pháp chứng minh trong [35,36], chúng tôi sử dụng các kĩ thuật so sánh trình bày trong chứng minh Định lí 4.4.1 với hàm C(ξ)‖φ∗‖∞e−̟ ln ( 1+t 1+t0 ) ξ, ở đó ̟ là số dương thỏa mãn − αilϕiξ1i + m∑ j=1 Lfj ( aij + bijq −̟ ij ) ξ2j ≤ −̟ξ1i , i ∈ [n], − βjlψjξ2j + n∑ i=1 Lgi ( cji + djip −̟ ji ) ξ1i ≤ −̟ξ2j , j ∈ [m], (4.48) và các hằng số khác được xác định như trong chứng minh Định lí 4.4.1. Tương tự cách chứng minh của Định lí 4.4.1 và sử dụng tính chất [36]( 1 + t 1 + qijt )̟ ≤ q−̟ij , ( 1 + t 1 + pjit )̟ ≤ p−̟ji với mọi t ≥ t0, từ bất đẳng thức (4.48) ta thu được kết quả sau ‖x(t)− x∗‖+ ‖y(t)− y∗‖ ≤ κ‖φ∗‖∞e−̟ ln ( 1+t 1+t0 ) , t ≥ t0. Điều này chỉ ra tính ổn định mũ suy rộng toàn cục của mô hình mạng nơron (4.44)-(4.45). Định lí được chứng minh. Nhận xét 4.5.1. Một trường hợp đặc biệt khác của hệ (4.44)-(4.45), ta xét mô hình mạng nơron hồi quy (RNNs) với trễ tỉ lệ đã được nghiên cứu trong [93] x′i(t) = −αiϕi(xi(t)) + m∑ j=1 aijfj(yj(t)) + m∑ j=1 bijgj(yj(qijt)) + Ii, t ≥ t0 > 0. (4.49) Với A = (aij)  0 và B = (bij)  0, các điều kiện (4.20), (4.27) và (4.28) được quy về điều kiện ρ (( 1 αi l−1ϕi n∑ j=1 ( aijL f j + bijL g j )) n×n ) < 1. (4.50) Tương tự Định lí 4.5.1, nếu các giả thiết (A4.1), (A4.2) và điều kiện (4.50) được thỏa mãn thì với vectơ đầu vào bất kì I = (Ii)  0, mô hình (4.49) có duy nhất một điểm cân bằng dương χ∗ ∈ Rn+ ổn định mũ toàn cục suy rộng. Hơn nữa, nếu I ≻ 0 thì χ∗ ≻ 0. Kết quả này mở rộng [93, Định lí 3.1 và Định lí 3.2]. 109 4.6. Ví dụ minh họa State-10 -5 5 10 N eu ro n ac tiv at io n fu nc tio ns -1 -0.5 0 0.5 1 fj(yj) g i(xi) Hình 4.1: Dáng điệu của các hàm kích hoạt Time0 10 20 30 x 1(t ) 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 (a) x1(t) Time0 10 20 30 x 2(t ) 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 (b) x2(t) Time0 10 20 30 y 1 (t) 0 0.5 1 1.5 2 (c) y1(t) Time0 10 20 30 y 2 (t) 0 0.5 1 1.5 2 (d) y2(t) Hình 4.2: Sự hội tụ của các quỹ đạo trạng thái đến điểm cân bằng χ∗ với J = (1.0, 1.5, 1.8, 2.1)⊤ và τi(t) = 1 + 3| sin(10pit)|, σj(t) = 4| cos(5pit)| Xét mô hình mạng nơron BAM dạng (4.1)-(4.2) với các hàm kích hoạt 110 x11 1.2 1.4 1.6 1.8 2 x 2 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 (a) x1 và x2 y11 1.2 1.4 1.6 1.8 2 y 2 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 (b) y1 và y2 Hình 4.3: Sự hội tụ của các nghiệm đến điểm cân bằng χ∗ trong không gian pha Sigmoid-Boltzmann [31] fj(yj) = 1− exp (− yj θ f j ) 1 + exp (− yj θ f j ) , gi(xi) = 1− exp (− xi θ g i ) 1 + exp (− xi θ g i ) , i, j = 1, 2, (4.51) ở đó θfj > 0 và θ g i > 0 là các trọng số. Các hàm tốc độ phân rã cho bởi ϕi(x) = 2x+ sin 2(0.25x), ψj(y) = 2y − sin2(0.25y), i, j = 1, 2. (4.52) Rõ ràng các hàm tốc độ phân rã cho ở (4.52) thuộc lớp D với lϕi = lψj = 1.75 và l˜ϕi = l˜ψj = 2.25 (i, j = 1, 2). Do đó, giả thiết (A4.1) được thỏa mãn. Hơn nữa, từ công thức hàm kích hoạt, dễ thấy giả thiết (A4.2) được thỏa mãn với Lfj = 12θfj và Lgi = 12θgi . Cho các tham số θ f j , θ g i và các ma trận trọng số kết nối như sau θfj = 1.6, θ g i = 1.2, i, j = 1, 2, Dα = Dβ = diag{1, 1}, A = 2.25 1.18 0.95 1.26  , B = 0.54 1.16 1.46 0.94  , C = 0.64 1.48 1.16 0.37  , D = 1.25 0.56 0.54 1.42  . 111 Khi đó, ta có K1 = 0.4982 0.4179 0.4304 0.3929 , K2 =  0.45 0.4857 0.4048 0.4262  và vì vậy E4 −K =  1.0 0 −0.4982 −0.4179 0 1.0 −0.4304 −0.3929 −0.45 −0.4857 1.0 0 −0.4048 −0.4262 0 1.0  là một M-ma trận không suy biến. Theo Định lí 4.4.1, với vectơ đầu vào bất kì J = vec(I, J) ∈ R4+, mô hình mạng BAM đang xét có duy nhất một điểm cân bằng dương χ∗ ổn định mũ. Để minh họa cho kết quả, chúng tôi lấy J = (1.0, 1.5, 1.8, 2.1)⊤ ∈ R4+. Giải hệ (4.12) dùng Matlab Symbolic Toolbox ta được χ∗ = (1.5704, 1.2328, 1.4916, 1.5861)⊤. Hình 4.1 mô phỏng dáng điệu của các hàm kích hoạt fj(yj) và gi(xi). Các kết quả mô phỏng đưa ra trong Hình 4.2(a)- (d) được lấy với 20 quỹ đạo trạng thái với hàm trễ τi(t) = 1 + 3| sin(10πt)|, σj(t) = 4| cos(5πt)| và các điều kiện ban đầu biến thiên trong đoạn [0, 2]. Các quỹ đạo trạng thái tương ứng được cho trên Hình 4.3(a)-(b). Rõ ràng các quỹ đạo trạng thái của hệ là dương và hội tụ đến một điểm cân bằng dương χ∗ như đã chỉ ra bởi kết quả phân tích lý thuyết. 4.7. Kết luận chương 4 Chương này nghiên cứu về nghiệm dương và tính ổn định mũ toàn cục của điểm cân bằng dương đối với mô hình mạng BAM đa trễ biến thiên với tốc độ phân rã phi tuyến bằng phương pháp so sánh kết hợp với định lí điểm bất động Brouwer. Các kết quả đạt được bao gồm: 1. Đưa ra điều kiện và chứng minh được tính dương của hệ (Định lí 4.2.1). 2. Thiết lập được điều kiện cho sự tồn tại của điểm cân bằng dương ổn định mũ (Định lí 4.3.1 và 4.4.1) và một mở rộng cho mô hình mạng BAM với trễ tỉ lệ (Định lí 4.5.1). 112 Bình luận cuối chương Các kết quả trình bày trong chương này là những kết quả đầu tiên nghiên cứu cho mô hình mạng BAM dương có trễ và có thể xem là phần phát triển tự nhiên vấn đề nghiên cứu từ Chương 3. Mặc dù các ý tưởng so sánh lấy cảm hứng từ Chương 3, do cấu trúc tác động chéo dạng “hai chiều”, các kĩ thuật so sánh đó được phát triển một cách tinh tế qua hàm vectơ (hệ bất đẳng thức vi phân). Đồng thời, phương pháp đồng phôi sử dụng trong chứng minh sự tồn tại của điểm cân bằng như đã trình bày ở Chương 1 và Chương 3 không còn phù hợp với mô hình mạng BAM, thay vào đó việc vận dụng các định lí điểm bất động đòi hỏi những cải biên thích hợp để đảm bảo tính nhất quán đối với các điều kiện tồn tại và ổn định của điểm cân bằng. Bên cạnh đó, câu hỏi về việc phát triển các kết quả trong chương này cho mô hình không ô-tô-nôm cũng là một vấn đề có nhiều thách thức, cần được tiếp tục nghiên cứu và mở rộng. 113 KẾT LUẬN CHUNG Luận án nghiên cứu tính ổn định của một số lớp hệ phương trình vi phân phi tuyến có trễ trong một số mô hình mạng nơron. Cụ thể, luận án nghiên cứu bốn vấn đề sau: (1) Tính ổn định mũ toàn cục của lớp hệ phương trình vi phân mô tả mạng nơron Hopfield không ô-tô-nôm với trễ biến thiên dưới tác động của xung bất ổn định; (2) Bài toán ổn định hóa mô hình mạng nơron Hopfield chứa trễ tỉ lệ với xung ổn định và xung bất ổn định phân phối kiểu tuần hoàn; (3) Nghiệm dương và tính ổn định mũ toàn cục của điểm cân bằng dương đối với mô hình mạng nơron quán tính chứa trễ biến thiên; và (4) Nghiệm dương và sự tồn tại của điểm cân bằng dương ổn định mũ đối với mô hình mạng BAM với trễ biến thiên không đồng nhất. Phương pháp chính được sử dụng xuyên suốt luận án là các kĩ thuật so sánh bằng các bất đẳng thức vi phân dựa trên cách tiếp cận bằng lý thuyết M-ma trận. Các kết quả đạt được 1. Thiết lập được các điều kiện thông qua tính chất phổ của M-ma trận đảm bảo tính ổn định mũ toàn cục của mạng nơron Hopfield không ô-tô-nôm với trễ biến thiên dưới tác động của xung bất ổn định (Định lí 2.3.1). 2. Đưa ra một đánh giá mũ suy rộng (dạng lũy thừa) đối với mạng nơron Hopfield chứa trễ tỉ lệ với tác động đồng thời của xung ổn định và xung bất ổn định phân phối kiểu tuần hoàn (Định lí 2.4.1). 3. Chứng minh tính dương và đưa ra điều kiện cho sự tồn tại của điểm cân bằng dương ổn định mũ đối với mạng nơron quán tính đa trễ biến thiên (Định lí 3.2.1-3.4.1). 114 4. Thiết lập được các điều kiện cho sự tồn tại của điểm cân bằng dương ổn định mũ của một lớp hệ dương phi tuyến trong mô hình mạng BAM với trễ biến thiên không đồng nhất (Định lí 4.2.1-4.5.1). Một số vấn đề nghiên cứu tiếp theo Bên cạnh các kết quả đạt được trong luận án, một số vấn đề liên quan cần được tiếp tục nghiên cứu • Tính ổn định/đồng bộ của mạng nơron không ô-tô-nôm với dãy xung hỗn hợp hoặc phân phối tuần hoàn. Đối với mô hình này, các phương pháp truyền thống dựa trên hàm Lyapunov hay Razumikhin nói chung không còn khả dụng. Hơn nữa, ý tưởng sử dụng tốc độ biến thiên của các tham số mô hình để đưa ra các điều kiện ổn định là một vấn đề thú vị và đầy thách thức. • Nghiên cứu một số bài toán quan trọng trong lý thuyết điều khiển hệ thống đối với các mô hình mạng nơron dương có trễ hoặc các tham số mô hình trong một khoảng. 115 DANH MỤC CÔNG TRÌNH CÔNG BỐ CỦA LUẬN ÁN [CT1] L.D. Hai An, L.V. Hien, T.T. Loan, Exponential stability of non-autonomous neural networks with heterogeneous time-varying delays and destabilizing impulses,Vietnam Journal of Mathematics 45 (2017) 425–440 (ESCI/Scopus) [CT2] L.D. Hai-An, L.V. Hien, T.T. Loan, On exponential stability of neural net- works with proportional delays and periodic distribution impulsive effects, Differential Equations and Dynamical Systems (2019). DOI: 10.1007/s12591- 019-00459-x (ESCI/Scopus) [CT3] L.V. Hien, L.D. Hai-An, Positive solutions and exponential stability of pos- itive equilibrium of inertial neural networks with multiple time-varying de- lays, Neural Computing and Applications 31 (2019) 6933–6943 (SCIE) [CT4] L.V. Hien, L.D. Hai-An, Exponential stability of positive neural networks in bidirectional associative memory model with delays, Mathematical Methods in the Applied Sciences 42 (2019) 6339–6357 (SCIE) 116 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Lê Văn Hiện (2010), Tính ổn định của một số lớp hệ phương trình vi phân và điều khiển, Luận án tiến sĩ Toán học, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội. [2] Vũ Ngọc Phát (2001), Nhập môn Lý thuyết Điều khiển Toán học, NXB ĐHQG Hà Nội. [3] Đoàn Thái Sơn (2019), Tính ổn định của một số lớp hệ vi phân có trễ và ứng dụng trong các mô hình sinh thái, Luận án tiến sĩ Toán học, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội. [4] T.T. Anh, L.V. Hien, V.N. Phat (2011), Stability analysis for linear non- autonomous systems with continuously distributed multiple time-varying delays and applications, Acta Math. Vietnam, 36, 129–143. [5] T.T. Anh, T.V. Nhung, L.V. Hien (2016), On the existence and exponential attractivity of a unique positive almost periodic solution to an impulsive hematopoiesis model with delays, Acta Math. Vietnam, 41, 337–354. [6] O. Arino, M.L. Hbid, E. Ait Dads (2002), Delay Differential Equations and Applications, Springer, Dordrecht. [7] S. Arik (2014), An improved robust stability result for uncertain neural networks with multiple time delays, Neural Netw., 54, 1–10. [8] C. Aouiti, E.A. Assali (2019), Stability analysis for a class of impulsive bidirectional associative memory (BAM) neural networks with distributed delays and leakage time-varying delays, Neural Process. Lett., 50, 851–885. [9] K.L. Babcock, R.M. Westervelt (1986), Stability and dynamic of simple electronic neural networks with added inertia, Phys. D: Nonlin. Phenom., 23, 464–469. [10] P. Baldi, A.F. Atiya (1994), How delays affect neural dynamics and learning, IEEE Trans. Neural Netw., 5, 612–621. 117 [11] A. Berman, R.J. Plemmons (1994), Nonnegative Matrices in the Mathemat- ical Sciences, SIAM, Philadelphia. [12] S. Boyd, L. Ghaoui, E. Feron, V. Balakrishnan (1994), Linear Matrix In- equalities in Systems and Control Theory, Philadelphia, SIAM. [13] F. Cacace, L. Farina, R. Setola, A. Germani (2017), Positive Systems: The- ory and Applications, Springer, Switzerland. [14] J. Cao, R. Manivannan, K.T. Chong, L.X. Xiao (2019), Enhanced L2- L∞ state estimation design for delayed neural networks including leakage term via quadratic-type generalized free-matrix-based integral inequality, J. Frank. Inst., 356, 7371–7392. [15] A. Chen, J. Cao, L. Huang (2004), Exponential stabilityof BAM neural networks with transmission delays, Neurocomputing, 57, 435–454. [16] T. Chen, K. Chen, L. Wang (2007), Trends in Neural Computation, Springer-Verlag, Berlin. [17] A. Chen, L. Huang, Z. Liu, J. Cao (2006), Periodic bidirectional associative memory neural networks with distributed delays, J. Math. Anal. Appl., 317, 80–102. [18] A. Cichocki, R. Unbehauen (1993), Neural Networks for Optimization and Signal Processing, Wiley, Chichester. [19] N. Cui, H. Jiang, C. Hu, A. Abdurahman (2018), Global asymptotic and robust stability of inertial neural networks with proportional delays, Neu- rocomputing, 272, 326–333. [20] T. Erneux (2009), Applied Delay Diferential Equations, Springer, Berlin. [21] R. Fantacci, M. Forti, M. Marini, L. Pancani (1999), Cellular neural network approach to a class of communication problems, IEEE Trans. Circuit Syst.- I: Reg. Paper., 46, 1457–1467. [22] L. Farina and S. Rinaldi (2000), Positive Linear Systems: Theory and Ap- plications, New York: Wiley. [23] H.R. Feyzmahdavian, T. Charalambous, M. Johanson (2014), Exponential stability of homogeneous positive systems of degree one with time-varying delays, IEEE Trans. Autom. Control, 59, 1594–1599. 118 [24] M. Forti, A. Tesi (1995), New conditions for global stability of neural net- works with application to linear and quadratic programming problems, IEEE Trans Circuits Syst-I, 42, 354–366. [25] E. Fridman (2014), Introduction to Time-Delay Systems: Analysis and Con- trol, Birkha¨user. [26] K. Gu, V.L. Kharitonov and J. Chen (2003), Stability of Time-delay Sys- tems, Birkha¨user. [27] S. Haykin (1999), Neural Networks: A Comprehensive Foundation, Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ. [28] R.L. Harvey (1994), Neural Network Principles, Prentice-Hall Inc., New Jersey. [29] D.O. Hebb (1949), The Organization of Behavior, John Wiley & Sons, New York. [30] Y. He, M.D. Ji, C.K. Zhang, M. Wu (2016), Global exponential stability of neural networks with time-varying delay based on free-matrix-based integral inequality, Neural Netw., 77, 80–86. [31] L.V. Hien (2017), On global exponential stability of positive neural networks with time-varying delay, Neural Netw., 87, 22–26. [32] L.V. Hien, T.T. Loan, B.T. Huyen-Trang, H. Trinh (2014), Existence and global asymptotic stability of positive periodic solution of delayed Cohen– Grossberg neural networks, Appl. Math. Comput., 240, 200–212. [33] L.V. Hien, V. N. Phat (2009), Exponential stability and stabilization of a class of uncertain linear time-varying delay systems, J. Frank. Inst., 346, 611–625. [34] L.V. Hien, V.N. Phat, H. Trinh (2015), New generalized Halanay inequali- ties with applications to stability of nonlinear non-autonomous time-delay systems, Nonlinear Dyn., 82, 563–575. [35] L.V. Hien, D.T. Son (2015), Finite-time stability of a class of non- autonomous neural networks with heterogeneous proportional delays, Appl. Math. Comput., 251, 14–23. 119 [36] L.V. Hien, D.T. Son, H. Trinh (2018), On global dissipativity of nonau- tonomous neural networks with multiple proportional delays, IEEE Trans Neural Netw. Learn. Syst., 19, 225–231. [37] L.V. Hien, H. Trinh (2015), Refined Jensen-based inequality approach to stability analysis of time-delay systems, IET Control Theory Appl., 9, 2188– 2194. [38] J. Hopfield (1982), Neural networks and physical systems with emergent collective computational abilities, In: Proc. National Acad. Sci. USA, 79, 2554–2558. [39] J. Hopfield (1984), Neurons with graded response have collective computa- tional properties like those of two-state neurons, In: Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 81, 3088–3092. [40] T. Insperger, T. Ersal, G. Orosz (Eds.) (2017), Time Delay Systems: Theory, Numerics, Applications, and Experiments, Springer, Switzerland. [41] S. Jia, C. Hu, J. Yu, H. Jiang (2018), Asymptotical and adaptive synchro- nization of Cohen–Grossberg neural networks with heterogeneous propor- tional delays, Neurocomputing, 275, 1449–1455. [42] Y. Ke, C. Miao (2013), Stability analysis of inertial Cohen-Grossberg-type neural networks with time delays, Neurocomputing, 117, 196–205. [43] C.T. Kinh, L.V. Hien, T.D. Ke (2018), Power-rate synchronization of fractional-order nonautonomous,neural networks with heterogeneous pro- portional delays, Neural Process Lett., 47, 139–151. [44] C. Koch (1984), Cable theory in neurons with active linearized membrane, Biol. Cybern, 50, 15–33. [45] V. Kolmanovskii, A. Myshkis (1992), Applied Theory of Functional Differ- ential Equations, Academic Publisher, New York. [46] B. Kosko (1987), Adaptive bi-directional associative memories, Appl. Opt., 26, 4947–60. [47] B. Kosko (1988), Bi-directional associative memories, IEEE Trans Syst Man Cybern, SMC-18, 49-60. 120 [48] Y.C. Lai, A. Chang, J. Liang (2007), Provision of proportional delay differ- entiation in wireless LAN using,a cross-layer fine-tuning scheduling scheme, IET Commun., 1, 880–886. [49] V. Lakshmikantham, S. Leela, A.A. Martynyuk (1989), Stability Analysis of Nonlinear Systems, Marcel Dekker, New York. [50] T.H. Lee, J.H. Park (2017), A novel Lyapunov functional for stability of time-varying delay systems via matrix-refined-function, Automatica, 80, 239–242. [51] T.H. Lee, J.H. Park (2018), Improved stability conditions of time-varying delay systems based on new Lyapunov functionals, J. Frankl. Inst., 355, 1176–1191. [52] T.H. Lee, H. Trinh, J.H. Park (2018), Stability analysis of neural networks with time-varying delay by constructing novel Lyapunov functionals, IEEE Trans. Neural Netw. Learn. Syst., 29, 4238–4247. [53] L. Li, Y.Q. Yang, G. Lin (2016), The stabilization of BAM neural networks with time-varying delays in the leakage terms via sampled-data control, Neural Comput. Applic., 27, 447–457. [54] X. Liao, L. Wang, P. Yu (2007), Stability of Dynamical Systems, Elservier, New York. [55] B. Liu (2016), Global exponential convergence of non-autonomous cellular neural networks with multi-proportional delays, Neurocomputing, 191, 352– 355. [56] B. Liu (2017), Global exponential convergence of non-autonomous SICNNs with multi-proportional delays, Neural Comput. Appl., 28, 1927–1931. [57] B. Liu, L. Huang (2008), Positive almost periodic solutions for recurrent neural networks, Nonlinear Anal.: Real World Appl., 9, 830–841. [58] C. Liu, W. Liu, Z. Yang, X. Liu, C. Li, G. Zhang (2016), Stability of neu- ral networks with delay and variable-time impulses, Neurocomputing, 171, 1644–1654. 121 [59] B. Liu, W. Lu, T. Chen (2012), Stability analysis of some delay differential inequalities with small time delays and its applications, Neural Netw., 33, 1–6. [60] S. Long, D. Xu (2013), Global exponential stability of non-autonomous cellular neural networks with impulses and time-varying delays, Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simulat., 18, 1463–1472. [61] J. Lu, D.W.C. Ho, J. Cao (2010), A unified synchronization criterion for impulsive dynamical networks, Automatica, 46, 1215–1221. [62] W. Lu, T. Chen (2007), Rn+-global stability of a Cohen–Grossberg neural network system with nonnegative equilibria, Neural Netw., 20, 714–722. [63] A.M. Lyapunov (1992), The General Problem of the Stability of Motion (Translated from Russian Edition), CRC Press. [64] G.J. Ma, S. Wu, G.Q. Cai (2013), Neural networks control of the Ni-MH power battery positive mill thickness, Appl. Mech. Material, 411-414, 1855– 1858. [65] K. Mathiyalagan, J.H. Park, R. Sakthivel (2015), Synchronization for de- layed memristive BAM neural networks using impulsive control with random nonlinearities, Appl. Math. Comput., 259, 967–979. [66] A. Michalas, M. Louta, P. Fafali, G. Karetsos, Y. Loumos (2004), Propor- tional delay differentiation provision by bandwidth adaptation of class-based queue scheduling, Int. J. Commun. Syst., 17, 743–761. [67] J. Mózaryn, J.E. Kurek (2010), Design of a neural network for an identifi- cation of a robot model with a positive definite inertia matrix, In: Artifical Intelligence and Soft Computing, Springer-Verlag, Berlin. [68] P.H.A. Ngoc (2013), Stability of positive differential systems with delay, IEEE Trans Autom Control, 58, 203–209. [69] T.N. Pham, H. Trinh, L.V. Hien, K.P. Wong (2016), Integration of electric vehicles for load frequency output feedback H∞ control of smart grids, IET Gener. Trans. Distrib., 10, 3341–3352. [70] R.J. Plemmons (1977), M-matrix characterizations. I–Nonsingular M- matrices, Linear Alg. Appl., 18, 175–188. 122 [71] M. Sader, A. Abdurahman, H. Jiang (2018), General decay synchronization of delayed BAM neural networks via nonlinear feedback control, Appl. Math. Comput., 337, 302–314. [72] A.M. Samoilenko, N.A. Perestyuk (1995), Impulsive Differential Equations, World Scientific, Singapore. [73] A. Seuret, F. Gouaisbaut (2013), Wirtinger-based integral inequality: Ap- plication to time-delay systems, Automatica, 49, 2860–2866. [74] R. Sipahi, S.-I. Niculescu, C.T. Abdallah, W. Michiels and K. Gu (2011), Stability and stabilization of systems with time delay, IEEE Control Syst., 31, 38–65. [75] H. Smith (2008), Monotone Dynamical Systems: An Introduction to the Theory of Competitive and Cooperative Systems, AMS, Providence, USA. [76] H. Smith (2011), An Introduction to Delay Differential Equations with Ap- plications to the Life Sciences, Springer-Verlag, New York. [77] I.M. Stamov (2009), Stability Analysis of Impulsive Functional Differential Equations, Walter de Gruyter, Berlin. [78] Y. Tang (2018), Pseudo almost periodic shunting inhibitory cellular neural networks with multi-proportional delays, Neural Comput. Applic., 48, 167– 177. [79] J. Thipcha, P. Niamsup (2018), New exponential passivity of BAM neural networks with time-varying delays, Neural Comput. Applic., 29, 1593–1600. [80] Z. Tu, J. Cao, A. Alsaedi, F. Alsaadi (2017), Global dissipativity of memristor-based neutral type inertial neural networks, Neural Netw., 88, 125–133. [81] Z. Tu, J. Cao, T. Hayat (2016), Matrix measure based dissipativity analysis for inertial delayed uncertain neural networks, Neural Netw, 75, 47–55. [82] Z. Tu, J. Cao, T. Hayat (2016), Global exponential stability in Lagrange sense for inertial neural networks with time-varying delays, Neurocomputing, 171, 524–531. [83] P. Wan, J. Jian (2017), Global convergence analysis of impulsive inertial neural networks with time-varying delays, Neurocomputing, 245, 68–76. 123 [84] J. Wang, L. Tian (2017), Global Lagrange stability for inertial neural net- works with mixed time-varying delays, Neurocomputing, 235, 140–146. [85] Y.W. Wang, J.S. Zhang, M. Liu (2014), Exponential stability of impulsive positive systems with mixed time-varying delays, IET Control Theory Appl., 8, 1537–1542. [86] L. Wang, X.F. Zou (2002), Harmless delays in Cohen-Grossberg neural net- works, Physica D: Nonlinear Phenom., 170, 162–173. [87] D.W. Wheeler, W.C. Schieve (1997), Stability and chaos in an inertial two neuron system, Phys D: Nonlin Phenom, 105, 267–284. [88] E. Witrant, E. Fridman, O. Sename, L. Dugard (Eds.) (2016), Recent Results on Time-Delay Systems: Analysis and Control, Springer, Basel. [89] J. Wu (2001), Introduction to Neural Dynamics and Signal Transmission Delay, Walter de Gruyter, Berlin. [90] D. Xu, Z. Yang (2005), Impulsive delay differential inequality and stability of neural networks, J. Math. Anal. Appl., 305, 107–120. [91] Y. Xue, K. Chen, K. Nahrstedt (2004), Achieving proportional delay differ- entiation in wireless LAN via cross-layer scheduling, Wirel. Commun. Mob. Comput., 4, 849–866. [92] S. Xueli, Z. Pan, X. Zhiwei, P. Jigen (2016), Global asymptotic stability of CNNs with impulses and multi-proportional delays,Math. Meth. Appl. Sci., 39, 722–733. [93] G. Yang (2019), Exponential stability of positive recurrent neural networks with multi-proportional delays, Neural Process Lett., 49, 67–78. [94] Z. Yang, D. Xu (2007), Stability analysis and design of impulsive control systems with delay, IEEE Trans. Autom. Control, 52, 1448–1454. [95] S.S. Young, P.D. Scott, N.M. Nasrabadi (1997), Object recognition using multilayer Hopfield neural network, IEEE Trans. Image Process., 6, 357– 372. [96] E. Zeidler (1986), Nonlinear Functional Analysis and its Applications-I: Fixed-Point Theorems, New York, Springer-Verlag. 124 [97] Z. Zhang, Z. Quan (2015), Global exponential stability via inequality tech- nique for inertial BAM neural networks with time delays, Neurocomputing, 151, 1316–1326. [98] W. Zhang, Y. Tang, J.A. Fang, X. Wu (2012), Stability of delayed neural networks with time-varying impulses, Neural Netw., 36, 59–63. [99] W. Zhang, Y. Tang, Q. Miao, W. Du (2013), Exponential synchronization of coupled switched neural networks with mode-dependent impulsive effects, IEEE Trans. Neural Netw. Learn. Syst., 24, 1316–1326. [100] W. Zhang, Y. Tang, X. Wu, J.A. Fang (2014), Synchronization of nonlin- ear dynamical networks with heterogeneous impulses, IEEE Trans. Circuits Syst.-I: Reg. Paper, 61, 1220–1228. [101] H. Zhang, Z. Wang, D. Liu (2014), A comprehensive review of stability analysis of continuous-time recurrent neural networks, IEEE Trans. Neural Netw. Learn. Syst., 25, 1229–1262. [102] G. Zhang, Z. Zeng, J. Hu (2018), New results on global exponential dis- sipativity analysis of memristive inertial neural networks with distributed time-varying delays, Neural Netw., 97, 183–191. [103] R. Zhang, D. Zeng, J.H. Park, S. Zhong, Y. Liu, X. Zhou (2019), New approaches to stability analysis for time-varying delay systems, J. Frankl. Inst., 356, 4174–4189. [104] L. Zhou (2013), Delay-dependent exponential stability of cellular neural networks with multi-proportional delays, Neural Process. Lett., 38, 347–359. [105] L. Zhou (2015), Delay-dependent exponential synchronization of recurrent neural networks with multiple proportional delays, Neural Process Lett., 42, 619–632. [106] L. Zhou (2018), Delay-dependent and delay-independent passivity of a class of recurrent neural networks with impulse and multi-proportional delays, Neurocomputing, 308, 235–244. [107] L. Zhou, X. Chen, Y. Yang (2014), Asymptotic stability of cellular neural networks with multiple proportional delays, Appl. Math. Comput., 229, 457– 466. 125 [108] L. Zhou, Y. Zhang (2016), Global exponential stability of a class of im- pulsive recurrent neural networks with proportional delays via fixed point theory, J. Frankl. Inst., 353, 561–575. [109] L. Zhou, Z. Zhao (2016), Exponential stability of a class of competitive neural networks with multi-proportional delays, Neural Process Lett., 44, 651–663. 126