Luận án Về một dạng định lí cơ bản thứ hai cho đường cong nguyên và định lí không gian con Schmidt đối với siêu mặt di động

là nhúng phức. +) Nếu v là không Archimedes. Khi đó v là một mở rộng của một định giá p-adic |.|p trên Q, ứng với số nguyên tố p nào đó. Kí hiệu Qp là bao đầy của Q ứng với định giá p - adic |.|p. Với x ∈ k, xét tự đồng cấu tuyến tính µx của Qp-không gian véc tơ kv, cho bởi µx(y) = xy. Định thức Nkv/Qp(x) của tự đồng cấu tuyến tính này là một phần tử thuộc Qp và được gọi là chuẩn của x. Khi đó, mở rộng bậc dv = [kv : Qp] của v cho bởi |x|v := |Nkv/Qp(x)| 1 dv p và v được chuẩn hóa bởi ∥x∥v := |x| dv d v = |Nkv/Qp(x)| 1 d p . Định lí 3.1.7. Dạng chuẩn ∥.∥v của v thỏa mãn các tính chất sau. (i) ∥x∥v ≥ 0, dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = 0; (ii) ∥xy∥v = ∥x∥v · ∥y∥v, với mọi x, y ∈ k; (iii) ∥x1+ · · ·+ xn∥v ≤ Bnvv ·max{∥x1∥v; . . . ; ∥xn∥v} với mọi x1; . . . ;xn ∈ k, n ∈ N, trong đó nv = dv/d , Bv = 1 nếu v là không Archimedes và Bv = n nếu v là Archimedes. Lưu ý rằng trong trường hợp k = Q, doMQ = {p > 1, p là số nguyên tố}∪{∞} và do định nghĩa |.|p, |.|∞ ta có công thức sau gọi là công thức tích.∏ v∈MQ |x|v = 1, x ∈ Q∗. Mở rộng sang trường số k bất kỳ với định giá được chuẩn hóa như trên ta cũng có công thức tích sau. ∏ v∈Mk ∥x∥v = 1 với mỗi x ∈ k \ {0}. 3.1.3 Độ cao Logarit và các hàm cơ bản Với v ∈Mk, ta cũng mở rộng định giá ∥.∥v tới bao đóng đại số kv của k. 41 Với x ∈ k \ {0}, độ cao Logarit của x được định nghĩa bởi h(x) := ∑ v∈Mk log+∥x∥v, trong đó log+∥x∥v = logmax{∥x∥v, 1}. Với mỗi x = [x0 : · · · : xM ] ∈ PM (k) là một điểm trong không gian xạ ảnh trên trường k, ta đặt ∥x∥v := max0≤i≤M ∥xi∥v. Hàm độ cao Logarit của x được định nghĩa bởi h(x) := ∑ v∈Mk log∥x∥v. (3.1) Do công thức tích, biểu thức trên không phụ thuộc vào cách chọn tọa độ thuần nhất của x ∈ PM (k) và khái niệm này tương ứng với khái niệm hàm đặc trưng trong Lí thuyết Nevanlinna. Với mỗi số nguyên dương d, đặt Td := { (i0, . . . , iM ) ∈ NM+1 : i0 + · · ·+ iM = d } . Giả sử Q là một đa thức thuần nhất bậc d trong k[x0, . . . , xM ] có biểu diễn Q = ∑ I∈Td aIx I , trong đó xI = xi00 . . . x iM M với x = (x0, . . . , xM ) và I = (i0, . . . , iM ). Đặt ∥Q∥v := maxI ∥aI∥v. Độ cao Logarit của Q được định nghĩa bởi h(Q) := ∑ v∈Mk log∥Q∥v. Với mỗi v ∈ Mk, hàm Weil ứng với đa thức Q, kí hiệu λQ,v được định nghĩa bởi λQ,v(x) := log ∥x∥dv · ∥Q∥v ∥Q(x)∥v , x ∈ P M (k) sao cho Q(x) ̸= 0. Trong định nghĩa trên, hàm λQ,v cũng không phụ thuộc vào cách chọn tọa độ thuần nhất của x ∈ PM (k). Với S ⊂Mk là một tập hữu hạn, chứa tất cả các lớp định giá Archimedes. Ta gọi là hàm xấp xỉ và hàm đếm ứng với đa thức thuần nhất Q, lần lượt kí hiệu mS(Q, x), NS(Q, x) và được định nghĩa bởi mS(Q, x) := ∑ v∈S λQ,v(x), NS(Q, x) := ∑ v ̸∈S λQ,v(x), x ∈ PM (k) sao cho Q(x) ̸= 0. 42 Hàm xấp xỉ và hàm đếm định nghĩa như trên tương ứng với khái niệm hàm xấp xỉ và hàm đếm trong Lí thuyết Nevanlinna. Từ công thức tích và các định nghĩa trên, ta có công thức sau, tương ứng với Định lí cơ bản thứ nhất trong Lí thuyết Nevanlinna d.h(x) = mS(Q, x) +NS(Q, x) +O(1), với mọi x ∈ PM (k) sao cho Q(x) ̸= 0 3.1.4 Họ siêu phẳng, siêu mặt di động trên một tập chỉ số Giả sử Λ là một tập các chỉ số gồm vô hạn phần tử. Ta gọi mỗi ánh xạ x : Λ −→ PM (k) là một họ các điểm di động x(α) trong PM (k) với α ∈ Λ. Ta gọi mỗi ánh xạ H : Λ −→ (PM (k))∗ (không gian đối ngẫu) là một siêu phẳng di động trên Λ, hay nói cách khác mỗi siêu phẳng di động H trên Λ chính là một họ các siêu phẳng H(α) trong PM (k), α ∈ Λ. Ta gọi mỗi họ đa thức thuần nhất {Q(α)}α∈Λ bậc d trong k[x0, . . . , xM ] là một siêu mặt di động Q trong PM (k) có bậc d, được đánh chỉ số trên Λ. Mỗi siêu mặt di động Q có thể viết dưới dạng Q = ∑ I∈Td aIx I với các hệ số aI là hàm trên Λ nhận giá trị trong k và không có không điểm chung. Xét họ Q := {Q1, . . . , Qq} các siêu mặt di động trong PM (k), được đánh chỉ số trên Λ. Ta biểu diễn Qj = ∑ I∈Tdj aj,Ix I (j = 1, . . . , q) với dj = degQj . Định nghĩa 3.1.8. Với mỗi j ∈ {1, . . . , q}, ta viết Tdj = {Ij,1, . . . , Ij,Mdj }, ở đó Mdj := ( dj+M M ) . Một tập con gồm vô hạn phần tử A ⊂ Λ được gọi là nhất quán đối với họ Q nếu với mọi đa thức P ∈ k[x1,1, . . . , x1,Md1 , . . . , xq,1, . . . , xq,Mdq ] thuần nhất đối với mỗi bộ các biến xj,1, . . . , xj,Mdj (với j ∈ {1, . . . , q}), thì P (a1,I1,1(α), . . . , a1,I1,Md1 (α), . . . , aq,Iq,1(α), . . . , aq,Iq,Mdq (α)) hoặc triệt tiêu tại mọi α ∈ A hoặc triệt tiêu tại hữu hạn α ∈ A. Ta có kết quả sau mà cách chứng minh hoàn toàn tương tự cách chứng minh của Bổ đề 1.1 trong [34]. 43 Bổ đề 3.1.9. Tồn tại tập con vô hạn A ⊂ Λ nhất quán đối với họ Q. Cho A ⊂ Λ là một tập chỉ số vô hạn. Với mỗi tập con C ⊂ A có phần bù hữu hạn trong A ta kí hiệu ánh xạ a : C −→ k bởi cặp (C, a). Với C1, C2 ⊂ A là các tập con của A có phần bù hữu hạn, hai cặp (C1, a1) và (C2, a2) được gọi là tương đương nếu tồn tại tập con C ⊂ C1 ∩ C2 có phần bù hữu hạn trong A và a1|C = a2|C . Kí hiệu R0A là tập các lớp tương đương của các cặp (C, a) với quan hệ tương đương trên. Ta thấy R0A có cấu trúc tự nhiên của một vành. Hơn nữa, có thể nhúng k vào R0A bằng cách coi mỗi phần tử của k là một hàm hằng. Giả sử A ⊂ Λ là một tập nhất quán đối với họ siêu mặt di động Q. Với mỗi j ∈ {1, . . . , q}, ta cố định một chỉ số Ij ∈ Tdj sao cho aj,Ij ̸≡ 0 (theo nghĩa aj,Ij(α) ̸= 0 với mọi α ∈ A, ngoài một tập con hữu hạn), khi đó aj,I aj,Ij xác định một phần tử thuộc R0A với mọi I ∈ Tdj , đó là {α ∈ A : aj,Ij(α) ̸= 0} −→ k, α 7→ aj,I(α) aj,Ij(α) . Do tính nhất quán của A nên vành con của R0A sinh ra trên k bởi các phần tử nói trên là một miền nguyên (xem p.3, [22]). Gọi RA,Q là trường các thương của miền nguyên này. Ta có nhận xét sau. Nhận xét 3.1.10. Giả sử B ⊂ A ⊂ Λ là hai tập con vô hạn các chỉ số. Khi đó, nếu A nhất quán đối với họ các siêu mặt Q thì B cũng nhất quán đối với họ siêu mặt đó, và RB,Q ⊂ RA,Q Gọi A là tập các hàm {α ∈ A : aj,Ij(α) ̸= 0} −→ k, α 7→ aj,I(α) aj,Ij(α) và kQ là tập các tổng hình thức có dạng ∑s m=1 tm ∏s i=1 c ni i , trong đó tm ∈ k, ci ∈ A, ni ∈ N. Với mỗi cặp (̂b, ĉ) ∈ k2Q mà ĉ(α) ̸= 0 với mọi α ∈ A, ngoài một tập con hữu hạn, ta xác định hàm b̂ ĉ : {α : ĉ(α) ̸= 0} −→ k, α 7→ b̂ ĉ (α) := b̂(α) ĉ(α) . Gọi R̂A,Q là tập tất cả các hàm như vậy. Khi đó, mỗi phần tử a ∈ RA,Q là lớp của một hàm â thuộc R̂A,Q. Ta gọi â là một đại diện đặc biệt của a. Rõ ràng, với hai đại diện đặc biệt bất kỳ â1, â2 của cùng một phần tử a ∈ RA,Q, ta có â1(α) = â2(α) với mọi α ∈ A, ngoài một tập con hữu hạn. Với đa thức thuần nhất P := ∑ I aIx I ∈ RA,Q[x0, . . . , xM ], và với mỗi I giả sử âI là một đại diện đặc biệt của aI , khi đó P̂ := ∑ I âIx I được gọi là một đại diện đặc biệt của P. Với mỗi α ∈ A sao cho tất cả các hàm âI 44 xác định tại α, đặt P̂ (α) := ∑ I âI(α)x I ∈ k[x0, . . . , xM ] và nói rằng P̂ xác định tại α. Lưu ý rằng mỗi đại diện đặc biệt P̂ của P được xác định với mọi α ∈ A, ngoài một tập con hữu hạn, và nếu P̂1, P̂2 cùng là đại diện đặc biệt của P thì P̂1(α) = P̂2(α) với mọi α ∈ A, ngoài một tập con hữu hạn. Cho V ⊂ PM (k) là một đa tạp đại số xạ ảnh n chiều sinh bởi ideal thuần nhất I(V ). Định nghĩa 3.1.11. Một điểm di động x = [x0 : · · · : xM ] : Λ −→ V được gọi là V -không suy biến đại số ứng với Q (hay còn gọi là không suy biến đại số trên V ) nếu với mỗi tập nhất quán A ⊂ Λ ứng với Q, không tồn tại đa thức thuần nhất P ∈ RA,Q[x0, . . . , xM ] \ IA,Q(V ) sao cho P̂ (α)(x0(α), . . . , xM (α)) = 0 với mọi α ∈ A, ngoài một tập con hữu hạn, với một (và cũng là với mọi) đại diện đặc biệt P̂ của P, trong đó IA,Q(V ) là ideal của RA,Q[x0, . . . , xM ] sinh bởi I(V ). Định nghĩa 3.1.12. Họ các siêu mặt di động Q = {Qj}qj=1, (q ≥ n+1) được gọi là ở vị trí tổng quát trên V (hay còn gọi là V -chấp nhận được) nếu với mỗi bộ 1 ≤ j0 < · · · < jn ≤ q, hệ phương trình Qji(α)(x0, . . . , xM ) = 0, 0 ≤ i ≤ n, không có nghiệm (x0, . . . , xM ) thỏa mãn (x0 : · · · : xM ) ∈ V (k) với mọi α ∈ Λ, ngoài một tập con hữu hạn, trong đó k là bao đóng đại số của k. 3.2 Định lí không gian con Schmidt đối với siêu mặt di động giao đa tạp đại số xạ ảnh Mục này trình bày kết quả chính sau của Chương 3. Định lí 3.2.1 (N.T.Son-T.V.Tan-N.V.Thin [40], 2018). Cho k là một trường số và S ⊂ Mk là một tập con hữu hạn chứa tất cả các định giá Archimedes. Cho x = [x0 : · · · : xM ] : Λ −→ V là một điểm di động. Giả sử (i) Họ các siêu mặt Q ở vị trí tổng quát trên V , và x là V -không suy biến đại số ứng với Q; (ii) h(Qj(α)) = o(h(x(α))) với mọi α ∈ Λ và j = 1, . . . , q (nghĩa là với mọi δ > 0, h(Qj(α)) ≤ δh(x(α)) với mọi α ∈ Λ, ngoài một tập con hữu hạn). 45 Khi đó, với mỗi ε > 0, tồn tại tập con vô hạn chỉ số A ⊂ Λ sao cho ∑ v∈S q∑ j=1 1 dj λQj(α),v(x(α)) ≤ (n+ 1 + ε)h(x(α)) (3.2) đúng với mọi α ∈ A. Nhận xét 3.2.2. (i) Bằng cách thay Qj bởi Q d dj j , với d = BCNN{d1, . . . , dq}, trong giả thiết của Định lí 3.2.1 có thể giả sử thêm Q1, . . . , Qq có cùng bậc d. (ii) Bằng cách thay Qj = ∑ I∈Td aj,Ix I bởi Q′j = ∑ I∈Td ajI ajIj xI , trong giả thiết của Định lí 3.2.1 cũng có thể giả sử thêm Qj ∈ RA,Q[x0, . . . , xM ]. (iii) Bất đẳng thức (3.2) còn có thể viết dưới dạng (q − n− 1− ε)h(x(α)) ≤ q∑ j=1 1 dj NS (Qj(α), x(α)) . Để chứng minh định lí trên, chúng tôi dành mục sau cho việc chuẩn bị các bổ đề bổ trợ. 3.2.1 Một số bổ đề Theo nhận xét 3.2.2 (i), ta có thể giả sử Qj = ∑ I∈Td ajIx I , (j = 1, . . . , q). Gọi A ⊂ Λ là một tập vô hạn nhất quán ứng với Q. Với mỗi j ∈ {1, . . . , q}, ta cố định một chỉ số Ij ∈ Td sao cho aj,Ij ̸≡ 0 (theo nghĩa aj,Ij(α) ̸= 0 với mọi α ∈ A, ngoài một tập con hữu hạn), khi đó ajI ajIj xác định một phần tử của R0A với mỗi I ∈ Td. Đặt Q′j = ∑ I∈Td ajI ajIj xI , j = 1, . . . , q. Xét t = (. . . , tjI , . . . ) là một họ các biến, đặt Q˜j = ∑ I∈Td tjIx I ∈ k[t, x]. Ta có Q˜j(. . . , ajI ajIj (α), . . . , x0, . . . , xM ) = Q ′ j(α)(x0, . . . , xM ) với mọi α ∈ A, ngoài một tập con hữu hạn. 46 Giả sử ideal I(V ) xác định V được sinh bởi các đa thức P1, . . . , Pm. Do Q ở vị trí tổng quát trên V nên với mỗi J := {j0, . . . , jn} ⊂ {1, . . . , q} tồn tại tập con AJ ⊂ A với phần bù hữu hạn sao cho với mỗi α ∈ AJ ta có: ajIj(α) ̸= 0 với mọi j ∈ J ; các đa thức P1, . . . , Pm, Q′j0(α), . . . , Q′jn(α) ∈ k[x0, . . . , xM ] không có nghiệm chung khác tầm thường trong k M+1 . Kí hiệu k[t](P1, . . . , Pm, Q˜j0 , . . . , Q˜jn) là ideal trong vành đa thức với các biến x0, . . . , xM và hệ số trong k[t] sinh bởi các đa thức P1, . . . , Pm, Q˜j0 , . . . , Q˜jn . Ta gọi đa thức R˜ trong k[t] là dạng khởi đầu của các đa thức P1, . . . , Pm, Q˜j0 , . . . , Q˜jn nếu tính chất sau được thỏa mãn: Tồn tại số tự nhiên s để với mọi i = 0, . . . ,M thì xsi · R˜ ∈ k[t](P1, . . . , Pm, Q˜j0 , . . . , Q˜jn) (xem [45]). Rõ ràng tập các dạng khởi đầu I của các đa thức P1, . . . , Pm, Q˜j0 , . . . , Q˜jn là một ideal trong k[t]. Như đã biết, (m+ n+ 1) đa thức thuần nhất Pi(x0, . . . , xM ), Q˜j(. . . , tjI , . . . , x0, . . . , xM ), i ∈ {1, . . . ,m}, j ∈ J không có nghiệm chung khác tầm thường đối với các biến x0, . . . , xM tại một giá trị đặc biệt t0jI của tjI nếu và chỉ nếu tồn tại một dạng khởi đầu R˜ t0jI J sao cho R˜ t0jI J (. . . , t 0 jI , . . . ) ̸= 0 (xem [45], trang 254). Với mỗi α ∈ AJ , chọn R˜αJ ∈ I là một dạng khởi đầu như vậy tương ứng với giá trị tαjI := ajI ajIj (α). Đặt RαJ := R˜αJ (. . . , ajI ajIj , . . . ), khi đó RαJ là một đại diện đặc biệt của một phần tử RA,Q. Do cách định nghĩa, ta có RαJ (α) ̸= 0 với mọi α ∈ AJ (3.3) (và vì vậy cũng thỏa mãn điều kiện đúng với mọi α ∈ A, ngoài một tập con hữu hạn). Do k[t] là vành Noether nên I được sinh bởi hữu hạn phần tử là các đa thức R˜J1 , . . . , R˜Jν . Với mỗi α, ta viết R˜ α J = ∑s ℓ=1 G˜ α ℓ R˜Jℓ , G˜ α ℓ ∈ k[t]. Ta có Gαℓ := G˜αℓ (. . . , ajI ajIj , . . . ) và RJℓ := R˜Jℓ(. . . , ajI ajIj , . . . ) là những đại diện đặc biệt của các phần tử thuộc RA,Q. Rõ ràng RαJ = ∑s ℓ=1G α ℓRJℓ trên AJ . Vì vậy, từ (3.3) ta có 0 ̸= RαJ (α) = s∑ ℓ=1 Gαℓ (α)RJℓ(α) 47 với mọi α ∈ AJ . Do đó, tồn tại ℓ0 ∈ {1, . . . , s} và một tập con vô hạn A′ ⊂ AJ sao cho RJℓ0 (α) ̸= 0 với mọi α ∈ A′, ngoài một tập con hữu hạn. (3.4) Bằng cách thay A′ bởi các tập con vô hạn của nó, sau một số hữu hạn bước, ta có thể chọn được một tập con vô hạn A′ ⊂ A chung cho mọi tập con J ⊂ {1, . . . , q},#J = n + 1. Vì ta có thể thu hẹp A nên có thể giả sử điều trên đúng với mọi α ∈ A. Từ định nghĩa dạng khởi đầu, tồn tại số tự nhiên s và các đa thức thuần nhất bijk , biℓ ∈ RA,Q[x0, . . . , xM ] hoặc bằng không, hoặc có bậc deg bijk = s − d, deg biℓ = s− degPℓ sao cho RJℓ0 · xsi = n∑ k=0 bijk ·Q′jk + m∑ ℓ=1 biℓ · Pℓ, (3.5) với mọi 0 ≤ i ≤M . Định nghĩa 3.2.3. Cho x : Λ −→ V ⊂ PM (k) là một điểm di động. Phần tử (C, a) ∈ R0A được gọi là nhỏ so với x nếu và chỉ nếu h(a(α)) = o(h(x(α))), theo nghĩa, với mỗi ε > 0, tồn tại một tập con Cε ⊂ C với phần bù hữu hạn sao cho h(a(α)) ≤ εh(x(α)) với mọi α ∈ Cε. Kí hiệu Kx là tập tất cả các phần tử nhỏ so với x. Khi đó Kx là một vành con của R0A. Vành này không phải là một miền nguyên nhưng với mỗi (C, a) ∈ Kx mà a(α) ̸= 0 với mọi α ∈ C, ngoài một tập con hữu hạn, thì ta có (C \ {α : a(α) = 0}, 1 a ) ∈ Kx. Gọi Cx là tập tất cả các hàm thực g nhận giá trị dương, xác định trên một tập con của Λ với phần bù hữu hạn sao cho log+(g(α)) = o(h(x(α))). Khi đó Cx là một vành. Hơn nữa, nếu (C, a) ∈ Kx \ {0}, thì với mọi v ∈ Mk, hàm ∥a∥v : C −→ R+ cho bởi α 7→ ∥a(α)∥v thuộc Cx. Ngoài ra, nếu (C, a) ∈ Kx và a(α) ̸= 0 với mọi α ∈ C, ngoài một tập con hữu hạn, thì hàm g : {α | a(α) ̸= 0} 7→ 1∥a(α)∥v cũng thuộc Cx. Với các giả thiết như của Định lí 3.2.1 kết hợp với Nhận xét 3.2.2, từ (3.4), (3.5) ta có kết quả sau mà cách chứng minh tương tự như chứng minh của Bổ đề 2.2 trong [18]. 48 Bổ đề 3.2.4. Cho A ⊂ Λ là một tập con nhất quán ứng với Q. Khi đó, tồn tại tập con gồm vô hạn phần tử A′ của A sao cho với mỗi J ⊂ {1, . . . , q}, #J = n+1, tồn tại các hàm ℓ1,v, ℓ2,v ∈ Cx thỏa mãn ℓ2,v(α)∥x(α)∥dv ≤ max j∈J ∥Qj(α)(x(α))∥v ≤ ℓ1,v(α)∥x(α)∥dv, với mọi α ∈ A′ và mọi v ∈ S. Chứng minh. Theo trên ta thấy, với mỗi tập con nhất quán A ⊂ Λ bất kì luôn tồn tại một tập con vô hạn (mà ta vẫn kí hiệu là A) sao cho (3.4) và (3.5) đạt được. Khi đó, với mỗi j ∈ J = {j0, . . . , jn}, áp dụng Định lí 3.1.7 ta có ∥Qj(x(α))∥v = ∥ ∑ I∈Td aj,I(α)x I(α)∥v ≤ c1max I∈Td ∥aj,I(α)(xI(α))∥v ≤ c1 ∑ I∈Td ∥aj,I(α)∥v∥(x(α))∥dv với mọi α ∈ A, ngoài một tập con hữu hạn, trong đó c1 là một hằng số dương, không phụ thuộc vào α. Đặt ℓ1,v là hàm xác định trên tập con của A với phần bù hữu hạn cho bởi ℓ1,v(α) = c1 ∑ I∈Td ∥aj,I(α)∥v ta nhận được bất đẳng thức thứ hai của Bổ đề. Theo (3.5), tồn tại số nguyên dương s và các đa thức thuần nhất bijk , biℓ ∈ RA,Q[x0, . . . , xM ] hoặc bằng không, hoặc có bậc deg bijk = s−d, deg biℓ = s−degPℓ sao cho RJℓ0 · xsi = n∑ k=0 bijk ·Qjk + m∑ ℓ=1 biℓ · Pℓ, với mọi 0 ≤ i ≤M . Lấy b̂ijk là một đại diện đặc biệt của bijk . Khi đó, theo Định lí 3.1.7, tồn tại hằng số dương c2 để với mọi i = 0, 1, . . . , n, ta có ∥RJℓ0 · xsi∥v ≤ c2 maxk=0,...,n ∥Qjk(α)∥v n∑ k=0 ∥̂bijk(x(α))∥v 49 với mọi α ∈ A, ngoài một tập con hữu hạn. Ở đây, lưu ý rằng x(α) ∈ V. Ta biểu diễn bijk dưới dạng bijk = ∑ I∈Ts−d γ I ijk xI , với γIijk ∈ RA,Q. Gọi γ̂Iijk là một đại diện đặc biệt của γ I ijk . Khi đó, với mọi i = 0, 1, . . . , n, ta có ∥RJℓ0 (α)∥v · ∥xsi (α)∥v ≤ c2 maxk=0,...,n ∥Qjk(α)∥v ∑ k,I ∥γ̂Iijk∥v∥(x(α))∥s−dv với mọi α ∈ A, ngoài một tập con hữu hạn. Do đó, với mọi i = 0, 1, . . . , n, ta có ∥xi(α)∥sv ∥(x(α))∥s−dv ≤ c2 max k=0,...,n ∥Qjk(α)∥v ∑ i,k,I ∥γ̂Iijk∥v ∥RJℓ0 (α)∥v với mọi α ∈ A, ngoài một tập con hữu hạn. Do ∥(x(α))∥v = max{∥(x0(α))∥v, . . . , ∥(xn(α))∥v}, ta suy ra tồn tại i ∈ {0, . . . , n} thỏa mãn ∥(x(α))∥v = ∥(xi(α))∥v. Từ đó ∥x(α)∥dv ≤ c2 max k=0,...,n ∥Qjk(α)∥v ∑ i,k,I ∥γ̂Iijk∥v ∥RJℓ0 (α)∥v với mọi α ∈ A, ngoài một tập con hữu hạn. Đặt ℓ2,v là hàm xác định trên một tập con của A với phần bù hữu hạn cho bởi ℓ2,v(α) = 1 c2 ∑ i,k,I ∥γ̂Iijk∥v ∥RJℓ0 (α)∥v . ta nhận được bất đẳng thức còn lại của Bổ đề. Với mỗi số nguyên dương ℓ và mỗi không gian vectơ con W của k[x0, . . . , xM ] (hay của RA,Q[x0, . . . , xM ]), kí hiệu Wℓ là không gian vectơ con gồm các đa thức thuần nhất thuộc W với bậc ℓ (bao gồm cả đa thức không). Định nghĩa 3.2.5. Cho W là một không gian vectơ con của RA,Q[x0, . . . , xM ]. Với mỗi phần tử α ∈ A, đặt W (α) := ⋃ P∈W {P̂ (α) : P̂ là một đại diện đặc biệt nào đó của P, xác định tại α}. Rõ ràng W (α) là một không gian vectơ con của k[x0, . . . , xM ]. 50 Bổ đề 3.2.6. Cho W là một không gian vectơ con của RA,Q[x0, . . . , xM ]N . Khi đó, (i) Tồn tại γj ∈ RA,Q[x0, . . . , xM ]N , j = 1, . . . , H sao cho γj(α), . . . , γH(α) lập thành một cơ sở của W (α), với mọi α ∈ A, ngoài một tập con hữu hạn (có nghĩa là với mỗi đại diện đặc biệt γ̂j của γj, thì {γ̂j(α), . . . , γ̂H(α)} là một cơ sở của W (α), với mọi, trừ một tập gồm hữu hạn các α ∈ A)). Đặc biệt, số chiều của W (α) không phụ thuộc vào α ∈ A, ngoài một tập con hữu hạn. (ii) Giả sử {hj}Kj=1 là một cơ sở của W. Khi đó, {hj(α)}Kj=1 là một cơ sở của W (α), với mọi α ∈ A, ngoài một tập con hữu hạn (có nghĩa là với mỗi đại diện ĥj của hj, thì {ĥj(α)}Kj=1 tạo nên một cơ sở của W (α), với mọi, trừ một tập con hữu hạn các α ∈ A). Đặc biệt, dimRA,QW = dimkW (α) với mọi α ∈ A, ngoài một tập con hữu hạn. Chứng minh. Đặt H := maxα∈A dimW (α) và lấy α0 ∈ A sao cho dimW (α0) = H. Khi đó, tồn tại các phần tử γj ∈ RA,Q[x0, . . . , xM ]N (j = 1, . . . , H) và các đại diện đặc biệt γ̂j tương ứng của γj (j = 1, . . . , H) sao cho {γ̂1(α0), . . . , γ̂H(α0)} là một cơ sở của W (α0). Gọi B là ma trận các hệ số của {γ̂j}Hj=1. Khi đó, B(α0) có hạng H. Vì vậy, tồn tại ma trận vuông con B1 của B với cấp H sao cho detB1(α0) ̸= 0. Do tính nhất quán của A nên tồn tại tập con A1 của A với phần bù là tập gồm hữu hạn phần tử, sao cho detB(α) ̸= 0 và các hệ số γ̂j xác định tại α, với mọi α ∈ A1. Khi đó, {γ̂1(α), . . . , γ̂H(α)} độc lập tuyến tính, với mọi α ∈ A1. Mặt khác, dimW (α) ≤ H. Vì vậy, {γ̂1(α), . . . , γ̂H(α)} là một cơ sở của W (α) với mọi α ∈ A1. Mặt khác, với mỗi đại diện đặc biệt γ̂′j của γj (j = 1, . . . , H), ta có γ̂ ′ j(α) = γ̂j(α) với mọi, trừ một tập gồm hữu hạn các α ∈ A. Do đó, γ̂′1(α), . . . , γ̂′H(α) cũng tạo nên một cơ sở của W (α) với mọi, trừ một tập con gồm hữu hạn các α ∈ A. Như vậy kết luận (i) đúng. Gọi (cij) là ma trận các hệ số của {hj}Kj=1. Do {hj}Kj=1 là độc lập tuyến tính, nên tồn tại ma trận vuông con C của (cij) với bậc K mà detC ̸≡ 0. Gọi ĉij là một đại diện đặc biệt của cij . Kí hiệu Ĉ là ma trận được tạo nên từ C bằng cách thay cij bởi ĉij . Khi đó, det Ĉ là một đại diện đặc biệt của detC, và vì thế det Ĉ ̸≡ 0. Do tính nhất quán của A, det Ĉ(α) ̸= 0 và tất cả hệ số của ĥj xác định tại mọi α ∈ A, ngoài một tập con hữu hạn. Từ kết luận (i), tồn tại γj ∈ RA,Q[x0, . . . , xM ]N , j = 1, . . . , H sao cho {γ̂1(α), . . . , γ̂H(α)} là một cơ sở của 51 W (α) với mọi, trừ một tập con hữu hạn các α ∈ A, ở đây γ̂j là một đại diện đặc biệt của γj. Ta viết γs = ∑K j=1 tsjhj với tsj ∈ RA,Q. Gọi t̂sj là một đại diện đặc biệt của tsj (s ∈ {1, . . . , H}, j ∈ {1, . . . , K}). Lấy đại diện ĥj bất kì của hj. Khi đó∑K j=1 t̂sj ĥj là một đại diện đặc biệt của γs. Do đó γ̂s(α) = K∑ j=1 t̂sj(α)ĥj(α) (s = 1, . . . , H) với mọi, trừ một tập con gồm hữu hạn α ∈ A. Kết hợp với (i), ta có {ĥj(α)}Kj=1 là một hệ sinh của W (α) với mọi, trừ một tập con gồm hữu hạn α ∈ A. Mặt khác, do det Ĉ(α) ̸= 0 và do các phần tử ĥij xác định tại mọi α, trừ một tập con hữu hạn, nên hệ {ĥ1(α), . . . , ĥK(α)} là độc lập tuyến tính, tại mọi, trừ một tập gồm hữu hạn các α ∈ A. Từ đó, {ĥ1(α), . . . , ĥK(α)} là một cơ sở của W (α), với mọi, trừ một tập gồm hữu hạn các α ∈ A. Gọi IA,Q(V ) là ideal thuần nhất trong RA,Q[x0, . . . , xM ] được sinh bởi I(V ). Rõ ràng IA,Q(V ) cũng là không gian vectơ con được sinh bởi I(V ) trong không gian RA,Q[x0, . . . , xM ]. Sử dụng thứ tự từ điển trên Nn và với mỗi I = (i1, . . . , in) ta đặt ∥I∥ := i1 + · · ·+ in. Định nghĩa 3.2.7. Với mỗi I = (i1, · · · , in) ∈ Nn và N ∈ N thỏa mãn N ≥ d∥I∥, kí hiệu LIN là tập các đa thức γ ∈ RA,Q[x0, . . . , xM ]N−d∥I∥ sao cho ta có thể biểu diễn Qi11 · · ·Qinn γ − ∑ E=(e1,...,en)>I Qe11 · · ·Qenn γE ∈ IA,Q(V )N với γE ∈ RA,Q[x0, . . . , xM ]N−d∥E∥ nào đó. Gọi LI là ideal thuần nhất trong RA,Q[x0, . . . , xM ] được sinh bởi ⋃ N≥d∥I∥ LIN . Nhận xét 3.2.8. i) LIN là một RA,Q- không gian vectơ con của RA,Q[x0, . . . , xM ]N−d∥I∥, và (I(V ), Q1, . . . , Qn)N−d∥I∥ ⊂ LIN , với (I(V ), Q1, . . . , Qn) là ideal trong vành đa thức RA,Q[x0, . . . , xM ] sinh bởi I(V ) ∪ {Q1, . . . , Qn}. ii) Với mỗi γ ∈ LIN và P ∈ RA,Q[x0, . . . , xM ]k, ta có γ · P ∈ LIN+k. 52 iii) LI ∩RA,Q[x0, . . . , xM ]N−d∥I∥ = LIN . iv) RA,Q[x0, . . . , xM ] LI là một mô-đun phân bậc trên vành phân bậc RA,Q[x0, . . . , xM ]. Với định nghĩa và các nhận xét trên, ta có Bổ đề sau. Bổ đề 3.2.9. Tập {LI : I ∈ Nn} gồm hữu hạn ideal. Chứng minh. Giả sử #{LI : I ∈ Nn} = ∞. Khi đó tồn tại một dãy vô hạn {LIk}∞k=1 gồm các ideal đôi một phân biệt. Viết các bộ đa chỉ số dưới dạng Ik = (ik1, . . . , ikn). Do các thành phần ikℓ là các số nguyên dương, nên tồn tại dãy tăng các chỉ số p1 < p2 < p3 < · · · sao cho ip1ℓ ≤ ip2ℓ ≤ ip3ℓ ≤ · · · , với mọi ℓ = 1, . . . , n. Thật vậy, để có được dãy trên, trước tiên lấy dãy con iq11 ≤ iq21 ≤ iq31 ≤ · · · của {ik1}∞k=1, tiếp theo, lấy dãy con ir12 ≤ ir22 ≤ ir32 ≤ · · · của dãy {iqk2}∞k=1. Ta tiếp tục quá trình này cho tới khi đạt được dãy ip1n ≤ ip2n ≤ ip3n ≤ · · · . Ta có LIp1 ⊂ LIp2 ⊂ LIp3 ⊂ · · · ⊂ RA,Q[x0, . . . , xM ]. (3.6) Thật vậy, với N, k thỏa mãn N − ∥Ipk∥ ≥ 0 và với mỗi γ ∈ LIpkN , ta có Q ipk1 1 · · ·Q ipkn n γ − ∑ E=(e1,...,en)>Ipk Qe11 · · ·Qenn γE ∈ IRA,Q(V )N , với γE ∈ RA,Q[x0, . . . , xM ]N−d∥E∥ nào đó. Khi đó, do ipk+11 − ipk1, . . . , ipk+1n − ipkn là các số nguyên không âm nên Q ipk+11 1 · · ·Q ipk+1n n γ − ∑ E=(e1,...,en)>Ipk Q e1+(ipk+11−ipk1) 1 · · ·Q en+(ipk+1n−ipkn) n γE ∈ IRA,Q(V )N . Mặt khác, từ E = (e1, . . . , en) > Ipk ta có (e1+ ipk+11− ipk1, . . . , en+ ipk+1n− ipkn) > Ipk+1 . Vì vậy, γ ∈ L Ipk+1 N−d∥Ipk∥+d∥Ipk+1∥. Do đó, L Ipk N ⊂ L Ipk+1 N−d∥Ipk∥+d∥Ipk+1∥ với mọi k,N. Vậy, LIpk ⊂ LIpk+1 với mọi k, nghĩa là (3.6) đúng. Ta lại có, do RA,Q[x0, . . . , xM ] là vành Noether nên dãy lồng nhau các ideal (3.6) phải dừng (từ một chỉ số nào đó), điều này trái với giả thiết ban đầu. Vậy, tập {LI : I ∈ Nn} hữu hạn. Đặt mIN := dimRA,Q RA,Q[x0, . . . , xM ]N−d∥I∥ LIN . Với mỗi số nguyên dương N, gọi τN là tập tất cả các I := (i0, . . . , in) ∈ Nn thỏa mãn N − d∥I∥ ≥ 0. Xét 53 γI1, . . . , γImIN ∈ RA,Q[x0, . . . , xM ]N−d∥I∥ sao cho chúng lập thành một cơ sở của RA,Q-không gian vectơ RA,Q[x0, . . . , xM ]N−d∥I∥ LIN . Bổ đề 3.2.10. {[Qi11 · · ·Qinn · γI1], . . . , [Qi11 · · ·Qinn · γImIN ], I = (i1, . . . , in) ∈ τN} là một cơ sở của RA,Q-không gian vectơ RA,Q[x0, . . . , xM ]N IA,Q(V )N . Chứng minh. Trước tiên ta chứng minh hệ các vectơ {[Qi11 · · ·Qinn · γI1], . . . , [Qi11 · · ·Qinn · γImIN ], I = (i1, . . . , in) ∈ τN} (3.7) là độc lập tuyến tính. Thật vậy, giả sử với mỗi tIℓ ∈ RA,Q, (I = (i1, . . . , in) ∈ τN , ℓ ∈ {1, . . . ,mIN}) sao cho ∑ I∈τN ( tI1[Q i1 1 · · ·Qinn · γI1] + · · ·+ tImIN [Q i1 1 · · ·Qinn · γImIN ] ) = 0. Khi đó ∑ I∈τN Qi11 · · ·Qinn ( tI1γI1 + · · ·+ tImINγImIN ) ∈ IA,Q(V )N . (3.8) Từ định nghĩa của họ LIN , và từ (3.8), ta có tI∗1γI∗1 + · · · + tI∗mI∗N γI∗mI∗N ∈ LI ∗ N , trong đó I∗ là phần tử nhỏ nhất của τN . Mặt khác, do {γI∗1, . . . , γI∗mI∗N } là một cơ sở của RA,Q[x0, . . . , xM ]N−d∥I∗∥ LI∗N nên ta có tI∗1 = · · · = tI∗mI∗N = 0. (3.9) Vậy, từ (3.8) suy ra∑ I∈τN\{I∗} Qi11 · · ·Qinn ( tI1γI1 + · · ·+ tImINγImIN ) ∈ IA,Q(V )N . Tương tự (3.9), ta có tI˜1 = · · · = tI˜mI˜N = 0, với I˜ là phần tử nhỏ nhất của τN \ {I∗}. Tiếp tục quá trình trên, ta được tIℓ = 0 với mọi I ∈ τN và ℓ ∈ {1, . . . ,mIN}, và do đó ta nhận được (3.7). Gọi L là không gian vectơ con của RA,Q[x0, . . . , xM ]N được sinh bởi {Qi11 · · ·Qinn · γI1, . . . , Qi11 · · ·Qinn · γImIN , I = (i1, . . . , in) ∈ τN}. 54 Ta sẽ chứng minh, với mỗi I = (i1, . . . , in) ∈ τN thì Qi11 · · ·Qinn · γI ∈ L+ IA,Q(V )N , (3.10) với mọi γI ∈ RA,Q[x0, . . . , xM ]N−d∥I∥. Thật vậy, đặt I ′ = (i′1, . . . , i′n) := max{I : I ∈ τN}. Do γI ′1, . . . , γI ′mI′N lập thành một cơ sở của RA,Q[x0, . . . , xM ]N−d∥I∥ LI ′N nên với mỗi γI ′ ∈ RA,Q[x0, . . . , xM ]N−d∥I ′∥ ta có γI ′ = mI ′ N∑ ℓ=1 tI ′ℓ · γI ′ℓ + hI ′ℓ, trong đó hI ′ℓ ∈ LI ′ N và tI ′ℓ ∈ RA,Q. (3.11) Mặt khác, từ định nghĩa LI ′N ta có Qi ′ 1 1 · · ·Qi ′ n n · hI ′ℓ ∈ IA,Q(V )N (để ý rằng I ′ = max{I : I ∈ τN}). Do đó, Qi ′ 1 1 · · ·Qi ′ n n · γI ′ = mI ′ N∑ ℓ=1 tI ′ℓQ i′1 1 · · ·Qi ′ n n · γI ′ℓ +Qi ′ 1 1 · · ·Qi ′ n n · hI ′ℓ ∈ L+ IA,Q(V )N . Vậy (3.10) đúng cho trường hợp I = I ′. Giả sử (3.10) đúng với mọi I > I∗ = (i∗1, . . . , i ∗ n). Ta chứng minh (3.10) cũng đúng với I = I∗. Thật vậy, tương tự (3.11), với mỗi γI∗ ∈ RA,Q[x0, . . . , xM ]N−d∥I∗∥, ta có γI∗ = mI ∗ N∑ ℓ=1 tI∗ℓ · γI∗ℓ + hI∗ℓ, trong đó hI∗ℓ ∈ LI ∗ N và tI∗ℓ ∈ RA,Q. Khi đó, Qi ∗ 1 1 · · ·Qi ∗ n n · γI∗ = mI ∗ N∑ ℓ=1 tIsℓQ i∗1 1 · · ·Qi ∗ n n · γI∗ℓ +Qi ∗ 1 1 · · ·Qi ∗ n n · hI∗ℓ. (3.12) Do hI∗ℓ ∈ LI∗N , nên Qi ∗ 1 1 · · ·Qi ∗ n n · hI∗ℓ = ∑ E=(e1,...,en)>I∗ Qe11 · · ·Qenn · gE , với gE ∈ RA,Q[x0, . . . , xM ]N−d·∥E∥ nào đó. Theo giả thiết quy nạp, ta có Qi ∗ 1 1 · · ·Qi ∗ n n · hI∗ℓ ∈ L+ IA,Q(V )N . 55 Vậy, từ (3.12), ta suy ra Qi ∗ 1 1 · · ·Qi ∗ n n · γI∗ ∈ L+ IA,Q(V )N , tức là (3.10) đúng với I = I∗. Theo nguyên lý quy nạp ta có (3.10) đúng. Với mỗi Q ∈ RA,Q[x0, . . . , xM ]N , ta biểu diễn Q = Q01 · · ·Q0n · Q, Khi đó, theo (3.10), ta có Q ∈ L+ IA,Q(V )N , và như vậy, {[Qi11 · · ·Qinn · γI1], . . . , [Qi11 · · ·Qinn · γImIN ], I = (i1, . . . , in) ∈ τN} là một hệ sinh của RA,Q[x0, . . . , xM ]N IA,Q(V )N . Kết hợp với (3.7), Bổ đề 3.2.10 được chứng minh. Định lí Hilbert - Serre về đa thức Hilbert (xem [21], Định lí 7.5) khẳng định rằng với mọi số nguyên dương N đủ lớn ta có HV (N) := dimk k[x0, . . . , xM ]N I(V )N = dimk k[x0, . . . , xM ]N I(V (k))N = deg V. Nn n! +O(Nn−1). Trong đó, I(V (k)) là ideal trong k[x0, . . . , xM ] xác định đa tạp V (k) và I(V (k))N := k[x0, ..., xM ]N∩I(V (k)) với k[x0, ..., xM ]N là k - không gian vectơ các đa thức thuần nhất bậc N (gồm cả đa thức 0) trong k[x0, ..., xM ]N . Từ Bổ đề 3.2.6 và kết quả trên cùng với Bổ đề 3.2.9, ta thu được kết quả sau. Bổ đề 3.2.11. Tồn tại các số tự nhiên n0, c và c′ sao cho: i) dimRA,Q RA,Q[x0, . . . , xM ]N−d∥I∥ (I(V ), Q1, . . . , Qn)N−d∥I∥ = c với mọi I ∈ Nn, N ∈ N thỏa mãn N − d∥I∥ ≥ n0. ii) Với mỗi I ∈ Nn tồn tại số tự nhiên mI sao cho mI = mIN với mọi N ∈ N thỏa mãn N − d∥I∥ ≥ n0. iii) mIN ≤ c′, với mọi I ∈ Nn và N ∈ N thỏa mãn N − d∥I∥ ≥ 0. Chứng minh. Gọi (I(V ), Q1, . . . , Qn) là ideal trongRA,Q[x0, . . . , xM ] sinh bởi I(V )∪ {Q1, . . . , Qn}. Với mỗi α thuộc A sao cho các hệ số của các đa thức Qi đều xác định tại α, ta kí hiệu (I(V ), Q1(α), . . . , Qn(α)) là ideal trong k[x0, . . . , xM ] được sinh bởi I(V ) ∪ {Q1(α), . . . , Qn(α)}. 56 Ta có (I(V ), Q1(α), . . . , Qn(α)) ⊂ (I(V ), Q1, . . . , Qn)(α). (3.13) Thật vậy, với mỗi P ∈ (I(V ), Q1(α), . . . , Qn(α)), ta viết P = G+Q1(α) ·P1+ · · ·+ Qn(α) · Pn, ở đó G ∈ I(V ), và Pi ∈ k[x0, . . . , xM ]. Lấy P ′ ∈ (I(V ), Q1, . . . , Qn) là phần tử nhận P̂ ′ := G+Q1 · P1 + · · ·+Qn · Pn là một đại diện đặc biệt. Rõ ràng P = P̂ ′(α) ∈ (I(V ), Q1, . . . , Qn)(α). Vậy (3.13) đúng. Giả sử I là một phần tử bất kì trong τN . Lấy {hk := n∑ i=1 Qi ·Rik + mk∑ j=1 gjk · γjk}Kk=1, là một cơ sở của (I(V ), Q1, . . . , Qn)N−d∥I∥, trong đó gjk ∈ I(V ) và Rik, γjk,∈ RA,Q[x0, . . . , xM ] thỏa mãn deg(Qi · Rik) = deg(γjk · gjk) = N − d∥I∥. Gọi R̂ik và γ̂jk lần lượt là những đại diện đặc biệt nào đó của Rik và γjk. Khi đó ĥk := n∑ i=1 Qi · R̂ik + mk∑ j=1 gjk · γ̂jk là một đại diện đặc biệt của hk. Từ Bổ đề 3.2.6 và do Q ở vị trí tổng quát trên V nên tồn tại α ∈ A sao cho a) {ĥk(α)}Kk=1 là một cơ sở của (I(V ), Q1, . . . , Qn)N−d∥I∥(α), b) tất cả các hệ số của Qj , R̂jk, γ̂jk, gjk đều xác định tại α, c) các đa thức thuần nhất Q0(α), . . . , Qn(α) ∈ k[x0, . . . , xM ] không có không điểm chung trong V (k). Mặt khác, ĥk(α) ∈ (I(V ), Q1(α), . . . , Qn(α)), với mọi k = 1, . . . , K. Do đó, từ (3.13) và a), ta có (I(V ), Q1(α), . . . , Qn(α))N−d∥I∥ = (I(V ), Q1, . . . , Qn)N−d∥I∥(α). Khi đó, dimRA,Q(I(V ), Q1, . . . , Qn)N−d∥I∥ = dimk(I(V ), Q1, . . . , Qn)N−d∥I∥(α) = dimk(I(V ), Q1(α), . . . , Qn(α))N−d∥I∥. 57 Suy ra, dimRA,Q RA,Q[x0, . . . , xM ]N−d∥I∥ (I(V ), Q1, . . . , Qn)N−d∥I∥ = dimk k[x0, . . . , xM ]N−d∥I∥ (I(V ), Q1(α), . . . , Qn(α))N−d∥I∥ = dimk k[x0, . . . , xM ]N−d∥I∥ (I(V (k)), Q1(α), . . . , Qn(α))N−d∥I∥ . (3.14) Mặt khác, theo Định lí Hilbert-Serre (Định lí 7.5, [21]), tồn tại các số nguyên dương n1, c sao cho dimk k[x0, . . . , xM ]N−d∥I∥ (I(V (k)), Q1(α), . . . , Qn(α))N−d∥I∥ = c, với mọi I ∈ Nn và N ∈ N thỏa mãn N − d∥I∥ ≥ n1. Kết hợp với (3.14), ta được dimRA,Q RA,Q[x0, . . . , xM ]N−d∥I∥ (I(V ), Q1, . . . , Qn)N−d∥I∥ = c, (3.15) với mọi I ∈ Nn và N ∈ N thỏa mãn N − d∥I∥ ≥ n1. Gọi hI và h lần lượt là các hàm Hilbert của RA,Q[x0,...,xM ]LI và RA,Q[x0,...,xM ] (I(V ),Q1,...,Qn) . Do (I(V ), Q1, . . . , Qn) ⊂ LI , nên ta có hI ≤ h. Mặt khác, theo kết quả quen thuộc về hàm Hilbert (chẳng hạn, xem Matsumura [23], Định lí 14) thì hI(k) là đa thức biến k với k đủ lớn từ một lúc nào đó, trong khi theo (3.14), ta có h(k) = c với mọi k ≥ n1. Do đó, hI cũng là hàm hằng đối với k khi k đủ lớn, nghĩa là tồn tại các hằng số mI , n2 sao cho hI(k) = mI với mọi k ≥ n2. Vậy mIN = hI(N − d∥I∥) = mI với mọi N ∈ N thỏa mãn N − d∥I∥ ≥ n2. Theo Bổ đề 3.2.9, ta có thể chọn n2 chung cho tất cả các I. Lấy n0 := max{n1, n2}, ta được các kết luận i) và ii) của Bổ đề 3.2.11. Ta có mIN = h I(N − d∥I∥) ≤ h(N − d∥I∥) ≤ max{c, h(k) : k = 0, . . . , n0}. Vì vậy, lấy c′ := max{c, h(k) : k = 0, . . . , n0}, ta được kết luận iii) của Bổ đề 3.2.11. Đặt m := minI∈Nn mI . Ta cố định I0 = (i01, . . . , i0n) ∈ Nn và N0 ∈ N sao cho N0 − d∥I0∥ ≥ n0 và mI0N0 = m. Với mỗi số nguyên dương N chia hết cho d, gọi τ0N là tập tất cả các bộ I = (i1, . . . , in) ∈ τN thỏa mãn N − d∥I∥ ≥ n0 và 58 ik ≥ max{i01, . . . , i0n} với mọi k ∈ {1, . . . , n}. Ta có #τN = ( N d + n n ) = 1 dn · N n n! +O(Nn−1), #{I ∈ τN : N − d∥I∥ ≤ n0} = O(Nn−1), #{I = (i1, . . . , in) ∈ τN : ik < max 1≤ℓ≤n i0ℓ, với k nào đó } = O(Nn−1), #τ0N = 1 dn · N n n! +O(Nn−1). (3.16) Từ các Bổ đề 3.2.10, Bổ đề 3.2.11 và (3.16), ta có bổ đề sau. Bổ đề 3.2.12. mIN = deg V · dn, với mọi số nguyên dương N đủ lớn, chia hết cho d và I ∈ τ0N . Chứng minh. Với mỗi γ ∈ LI0N0 , ta có T := Qi011 · · ·Qi0nn γ − ∑ E=(e1,...,en)>I0 Qe11 · · ·Qenn γE ∈ IA,Q(V )N0 với γE ∈ RA,Q[x0, . . . , xM ]N−d∥E∥ nào đó. Khi đó, với mỗi I = (i1, . . . , in) ∈ τ0N , ta có Qi11 · · ·Qinn γ − ∑ E=(e1,...,en)>I0 Qe1+i1−i011 · · ·Qen+in−i0nn γE = Qi1−i011 · · ·Qin−i0nn · T ∈ IA,Q(V )N0 . (3.17) Mặt khác, với I ∈ τ0N và E > I0 ta có (e1 + i1 − i01, . . . , en + in − i0n) > I. Nên từ (3.17) ta có γ ∈ LIN0+d∥I∥−d∥I0∥. Điều này đẫn đến LI0N0 ⊂ LIN0+d∥I∥−d∥I0∥. Khi đó, m = mI0N0 = dimRA,Q RA,Q[x0, . . . , xM ]N0−d∥I0∥ LI0N0 ≥ dimRA,Q RA,Q[x0, . . . , xM ]N0+d∥I∥−d∥I0∥ LI N0+d∥I∥−d∥I0∥ = mIN0+d∥I∥−d∥I0∥. (3.18) 59 Mặt khác, do (N0 + d∥I∥ − d∥I0∥)− d∥I∥ = N0 − d∥I0∥ ≥ n0, và N − ∥I∥ ≥ n0 (để ý rằng I ∈ τ0N), nên theo Bổ đề 3.2.11, ta có mI = mIN0+d∥I∥−d∥I0∥ = m I N . Do đó, từ (3.18) ta có m ≥ mI = mIN . Bởi tính nhỏ nhất của m, ta thu được mIN = m với mọi I ∈ τ0N . (3.19) Bây giờ ta chứng minh dimRA,Q IA,Q(V )N = dimk I(V )N . (3.20) Thật vậy, lấy {P1, . . . , Ps} là một cơ sở của k - không gian vectơ I(V )N . Rõ ràng IRA,Q(V )N là một không gian vectơ trên RA,Q được sinh bởi I(V )N . Do đó, {P1, . . . , Ps} cũng là một hệ sinh của IA,Q(V )N . Vì vậy, để có (3.20) ta chỉ cần chứng minh, nếu t1, . . . , ts ∈ RA,Q thỏa mãn t1 · P1 + · · ·+ ts · Ps ≡ 0, (3.21) thì t1 = · · · = ts ≡ 0. Ta viết (3.21) dưới dạng C ·  t1 · · · ts  =  0 · · · 0  , ở đó C ∈Mat((M+NN )× s,RA,Q). Nếu hệ trên có nghiệm không tầm thường thì rankRA,QC < s. Khi đó, rank kC(α) < s với mọi α ∈ A, ngoài một tập con hữu hạn. Lấy a ∈ A sao cho rank kC(a) < s. Khi đó, hệ phương trình tuyến tính C(a) ·  t1 · · · ts  =  0 · · · 0  , 60 có nghiệm không tầm thường (t1, . . . , ts) = (α1, . . . , αs) ∈ ks \ {0}. Vậy α1 · P1 + · · ·+ αs · Ps ≡ 0. Điều này không thể xảy ra do {P1, . . . , Ps} là một cơ sở của k - không gian vectơ I(V )N . Vì vậy ta có (3.20). Theo Bổ đề 3.2.10 và (3.20), ta có∑ I∈τN mIN = dimRA,Q RA,Q[x0, . . . , xM ]N IA,Q(V )N = dimk k[x0, . . . , xM ]N I(V )N = dimk k[x0, . . . , xM ]N I(V (k))N = deg V · N n n! +O(Nn−1), (3.22) với mọi N đủ lớn. Kết hợp với (3.19), ta có m ·#τ0N + ∑ I∈τN\τ0N mIN = deg V · Nn n! +O(Nn−1). (3.23) Mặt khác, theo Bổ đề 3.2.11, với mọi I ∈ τN \ τ0N , ta có mIN ≤ c′. Do đó, từ (3.16) ta có m = deg V · dn. Kết hợp với (3.19), ta được mIN = deg V · dn với mọi I ∈ τ0N . Từ Bổ đề 3.2.12, ta có bổ đề sau. Bổ đề 3.2.13. Với mỗi s ∈ {1, . . . , n} và với mọi số nguyên dương N đủ lớn, chia hết cho d, ta có∑ I=(i1,...,in)∈τN mIN · is ≥ deg V d · (n+ 1)!N n+1 −O(Nn). Chứng minh. Trước tiên ta thấy, nếu I = (i1, . . . , in) ∈ τ0N thì một hoán vị bất kì I ′ = (iσ(1), . . . , iσ(n)) của I cũng thuộc τ0N . Mặt khác, từ Bổ đề 3.2.12, ta có mIN = deg V · dn với mọi I ∈ τ0N . Vì vậy, từ (3.16) ta có 61 ∑ I=(i1,...,in)∈τ0N mIN · i1 = · · · = ∑ I=(i1,...,in)∈τ0N mIN · in = deg V · dn · ∑ I∈τ0N ∥I∥ n = deg V · dn · ∑ I∈τN ∥I∥ n − ∑ I∈τN\τ0N ∥I∥ n  ≥ deg V · dn  Nd∑ k=0 k n · ( k + n− 1 n− 1 ) − (#τN −#τ0N) · Nnd  = deg V · dn  Nd∑ k=0 k n · ( k + n− 1 n− 1 ) −O(Nn−1) · N nd  = deg V · dn N d∑ k=1 ( k + n− 1 n ) −O(Nn) = deg V · dn ( N d + n n+ 1 ) −O(Nn) ≥ deg V d · (n+ 1)!N n+1 −O(Nn). Do đó, với mỗi s ∈ {1, . . . , n}, ta có∑ I=(i1,...,in)∈τN mIN · is ≥ ∑ I=(i1,...,in)∈τ0N mIN · is ≥ deg V d · (n+ 1)!N n+1 −O(Nn). Nhắc lại rằng, theo (3.22), với số nguyên dương N đủ lớn ta có dimRA,Q RA,Q[x0, . . . , xM ]N IA,Q(V )N = HV (N) = deg V · Nn n! +O(Nn−1). Kết hợp Bổ đề 3.2.10 và Bổ đề 3.2.13 ta có bổ đề sau. Bổ đề 3.2.14. Với mọi số nguyên dương N đủ lớn, chia hết cho d, tồn tại các đa thức thuần nhất φ1, . . . , φHV (N) trong RA,Q[x0, . . . , xM ]N sao cho chúng lập nên 62 một cơ sở của RA,Q-không gian vectơ RA,Q[x0, . . . , xM ]N IA,Q(V )N , và HV (N)∏ j=1 φj − (Q1 · · ·Qn) deg V ·Nn+1 d·(n+1)! −u(N) · P ∈ IA,Q(V )N , trong đó u(N) là một hàm thỏa mãn u(N) ≤ O(Nn) và P ∈ RA,Q[x0, . . . , xM ] là một đa thức thuần nhất có bậc bằng N ·HV (N)− n · deg V ·N n+1 (n+ 1)! + u(N) = deg V ·Nn+1 (n+ 1)! +O(Nn). 3.2.2 Chứng minh Định lí 3.2.1 Chứng minh. Theo Bổ đề 3.1.9, tồn tại một tập chỉ số vô hạn A ⊂ Λ nhất quán ứng với họ siêu mặt Q. Theo Nhận xét 3.2.2, ta có thể giả sử các đa thức Qj có cùng bậc d ≥ 1 và hệ số của chúng thuộc trường RA,Q. Theo Nhận xét 3.1.10, nếu B là một tập con của A thì B cũng nhất quán ứng với Q và RB,Q ⊂ RA,Q, vì vậy trong chứng minh ta có thể chuyển từ tập A sang một tập con chứa vô hạn phần tử nhưng vẫn dùng kí hiệu là A. Từ giả thiết, với mỗi a ∈ RA,Q và v ∈Mk ta có log∥a(α)∥v ≤ ∑ v∈Mk log+∥a(α)∥v = h(a(α)) ≤ o(h(x(α))). (3.24) với mọi α ∈ A. Theo Bổ đề 3.2.4, tồn tại tập con vô hạn của A mà ta vẫn kí hiệu bởi A, sao cho với mỗi tập con I ⊂ {1, . . . , q}, #I = n+1 tồn tại các hàm ℓ1,v, ℓ2,v ∈ Cx thỏa mãn ℓ2,v(α)∥x(α)∥dv ≤ max j∈I ∥Qj(α)(x(α))∥v ≤ ℓ1,v(α)∥x(α)∥dv, với mọi v ∈ S và mọi α ∈ A. Đặt ∼ hv = ∏ (1 + ℓ2,v) với ℓ2,v chạy khắp các sự lựa chọn ℓ2,v trong Bổ đề 3.2.4 ứng với các tập J(v, α). Do ℓ2,v ∈ Cx, nên ta có∼ hv ∈ Cx. Với mỗi v ∈ S và α ∈ A, tồn tại tập con J(v, α) = {j1(v, α), . . . , jn(v, α)} ⊂ 63 {1, . . . , q} sao cho 0 < ∥Qj1(v,α)(α)(x(α))∥v ≤ . . . ≤ ∥Qjn(v,α)(α)(x(α))∥v ≤ min j /∈{j1(v,α),...,jn(v,α)} ∥Qj(α)(x(α))∥v. Khi đó, ta có log q∏ j=1 ∥Qj(α)(x(α))∥v = log ∏ j ̸∈J(v,α) ∥Qj(α)(x(α))∥v + log n∏ i=1 ∥Qji(v,α)(α)(x(α))∥v ≥ (q − n)dlog∥x(α)∥v − log ∼ hv(α) + log n∏ i=1 ∥Qji(v,α)(α)(x(α))∥v. (3.25) Theo Bổ đề 3.2.14, tồn tại các đa thức thuần nhất φJ(v,α)1 , . . . , φ J(v,α) HV (N) (phụ thuộc vào J(v, α)) trong RA,Q[x0, . . . , xM ]N và các hàm u(N), v(N) (có thể chọn chung cho tất cả J(v, α)) sao cho {φJ(v,α)i } lập thành một cơ sở của RA,Q-không gian vectơ RA,Q[x0, . . . , xM ]N IA,Q(V )N và HV (N)∏ ℓ=1 φ J(v,α) ℓ − (Qj1(v,α) . . . Qjn(v,α)) deg V ·Nn+1 d(n+1)! −u(N)PJ(v,α) ∈ IA,Q(V )N , ở đó PJ(v,α) ∈ RA,Q[x0, . . . , xM ] là một đa thức thuần nhất bậc deg V ·N n+1 (n+1)! + v(N). Vì vậy, với mọi x(α) ∈ V (k), ta có HV (N)∏ ℓ=1 φ J(v,α) ℓ (α)(x(α)) = ( n∏ i=1 Qji(v,α)(α)(x(α)) )deg V ·Nn+1 d(n+1)! −u(N) PJ(v,α)(α)(x(α)). Mặt khác, dễ thấy tồn tại các hàm hJ(v,α) ∈ Cx sao cho ∥PJ(v,α)(α)(x(α))∥v ≤ ∥(x(α))∥degPJ(v,α)v hJ(v,α)(α) = ∥(x(α))∥ deg V ·Nn+1 (n+1)! +v(N) v hJ(v,α)(α). 64 Vì vậy, log HN (V )∏ ℓ=1 ∥φJ(v,α)ℓ (α)(x(α))∥v ≤ ( deg V.Nn+1 d(n+ 1)! − u(N) ) · log∥ n∏ i=1 Qji(v,α)(α)(x(α))∥v + log+hJ(v,α)(α) + ( deg V.Nn+1 (n+ 1)! + v(N) ) log∥x(α))∥v Suy ra, tồn tại các hàm ω1(N), ω2(N) ≤ O( 1N ) sao cho log∥ n∏ i=1 Qji(v,α)(α)(x(α))∥v ≥ ( d(n+ 1)! deg V.Nn+1 − ω1(N) Nn+1 ) · log HN (V )∏ ℓ=1 ∥φJ(v,α)ℓ (α)(x(α))∥v − log+ ∼ hJ(v,α)(α)− (d+ ω2(N))log∥x(α))∥v, (3.26) với ∼ hJ(v,α) ∈ Cx nào đó. Từ (3.25) và (3.26), ta có log q∏ j=1 ∥Qj(α)(x(α))∥v ≥ (q − n− 1)dlog∥x(α)∥v − log+ ∼ hv(x(α)) + ( d(n+ 1)! deg V.Nn+1 − ω1(N) Nn+1 ) · log HN (V )∏ ℓ=1 ∥φJ(v,α)ℓ (α)(x(α))∥v − log+ ∼ hJ(v,α)(α)− ω2(N)log∥x(α))∥v. (3.27) Ta cố định các đa thức thuần nhất Φ1, . . . ,ΦHN (V ) ∈ RA,Q[x0, . . . , xM ]N sao cho chúng tạo nên một cơ sở của RA,Q-không gian vectơ RA,Q[x0, . . . , xM ]N IA,Q(V )N . Khi đó, tồn tại các đa thức thuần nhất bậc nhất L J(v,α) 1 , . . . , L J(v,α) HN (V ) ∈ RA,Q[y1, . . . , yHV (N)] sao cho chúng độc lập tuyến tính trên RA,Q và φ J(v,α) ℓ − L J(v,α) ℓ (Φ1, . . . ,ΦHN (V )) ∈ IA,Q(V )N , với mọi ℓ = 1, . . . , HV (N). Rõ ràng lúc này ta có h(L J(v,α) ℓ (β)) = o(h(x(β))) với mọi β ∈ A và A là nhất quán ứng với {Lℓ}HN (V )ℓ=1 . Ta có, HV (N)∏ ℓ=1 ∥φJ(v,α)ℓ (α)(x(α))∥v = HN (V )∏ ℓ=1 ∥LJ(v,α)ℓ (Φ1, . . . ,ΦHV (N))(α)(x(α))∥v. (3.28) 65 Ta viết L J(v,α) ℓ (y1, . . . , yHV (N)) = HV (N)∑ s=1 gℓsys, gℓs ∈ RA,Q. Do LJ(v,α)1 , . . . , L J(v,α) HN (V ) độc lập tuyến tính trên RA,Q nên ta có det(gℓs) ̸= 0 ∈ RA,Q. Vì vậy, từ tính nhất quán của A, ta có det(gℓs)(β) ̸= 0 với mọi β ∈ A, ngoài một tập con hữu hạn của A. Bằng cách chuyển qua một tập con vô hạn nếu cần thiết, ta có thể giả sử LJ(v,α)1 (β), . . . , L J(v,α) HN (V ) (β) độc lập tuyến tính trên k với mọi β ∈ A. Xét điểm di động F (α) = [Φ1(x(α)), . . . ,ΦHN (V )(x(α))] từ A vào PHV (N)−1(k) và các siêu phẳng di động L := {LJ(v,α)1 , . . . , LJ(v,α)HN (V )} trong PHV (N)−1(k), được đánh chỉ số trên A. Ta có F không suy biến tuyến tính ứng với L. Thật vậy, giả sử trái lại, khi đó tồn tại dạng tuyến tính L ∈ RB,L[y1, . . . , yHN (V )] với tập con vô hạn B ⊂ A nhất quán ứng với họ L sao cho L(F )|B ≡ 0. Điều này không thể xảy ra vì x không suy biến đại số ứng với Q. Theo Định lí 1.2.2, với mỗi ϵ > 0, tồn tại một tập con gồm vô hạn phần tử A (chung cho mọi J(v, α)), cũng kí hiệu là A, sao cho ∑ v∈S log HV (N)∏ ℓ=1 ∥F (α)∥v∥LJ(v,α)ℓ (α)∥v ∥LJ(v,α)ℓ (α)(F (α))∥v ≤ (HV (N) + ε)h(F (α)), (3.29) với mọi α ∈ A. Kết hợp với (3.27) và (3.28) ta có ∑ v∈S q∑ j=1 log ∥x(α)∥dv ∥Qj(α)(x(α))∥v ≤ (n+ 1)d ∑ v∈S log∥x(α)∥v + ω2(N) ∑ v∈S log∥x(α))∥v + ( d(n+ 1)! deg V ·Nn+1 − ω1(N) Nn+1 )∑ v∈S log HN (V )∏ ℓ=1 ∥F (α)∥v∥LJ(v,α)ℓ (α)∥v ∥LJ(v,α)ℓ (α)(x(α))∥v −HV (N) ( d(n+ 1)! deg V ·Nn+1 − ω1(N) Nn+1 )∑ v∈S log∥F (α)∥v + o(h(x(α))). (3.30) Do bất đẳng thức trên không phụ thuộc vào việc chọn các tọa độ (xạ ảnh) của x(α) nên ta có thể chọn sao cho các thành phần tọa độ của nó là S-nguyên. Khi 66 đó, ∑ v∈S log∥x(α)∥v = h(x(α)),và∑ v∈S log∥F (α)∥v = h(F (α)) ≤ Nh(x(α)) + o(h(x(α))). (3.31) Kết hợp (3.31) với (3.30) và (3.29), ta được ∑ v∈S q∑ j=1 log ∥x(α)∥dv ∥Qj(α)(x(α))∥v ≤ (n+ 1)dh(x(α)) + ω2(N)h(x(α)) + ( d(n+ 1)! deg V ·Nn+1 − ω1(N) Nn+1 ) (HV (N) + ε)h(F (α)) −HV (N) ( d(n+ 1)! deg V ·Nn+1 − ω1(N) Nn+1 ) h(F (α)) + o(h(x(α)). Vì vậy ∑ v∈S q∑ j=1 log ∥x(α)∥dv∥Qj(α)∥v ∥Qj(α)(x(α))∥v ≤ (n+ 1)dh(x(α)) + ω2(N)h(x(α)) + ϵ ( d(n+ 1)! deg V.Nn+1 − ω1(N) Nn+1 ) h(F (α)) + o(h(x(α))). (3.32) Ở đây lưu ý rằng h(Qj(α)) = o(h(x(α))). Kết hợp với (3.31) và cách chọn ω1, ω2 với N đủ lớn, chia hết cho d, ta được∑ v∈S q∑ j=1 log ∥x(α)∥dv∥Qj(α)∥v ∥Qj(α)(x(α))∥v ≤ (n+ 1 + ε)dh(x(α)), với mọi α ∈ A. Định lí 3.2.1 được chứng minh. 67 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Kết luận Luận án nghiên cứu về Định lí cơ bản thứ hai và Định lí không gian con Schmidt cho trường hợp siêu mặt và đạt được một số kết quả chính sau đây: ˆ Định lí cơ bản thứ hai và Định lí Picard tương ứng đối với đường cong nguyên trong không gian xạ ảnh, có đạo hàm cầu triệt tiêu trên tập tạo ảnh của các siêu mặt mục tiêu (Định lí 2.2.4 và Định lí 2.2.5 ). ˆ Định lí chỉ ra tính bị chặn của đạo hàm cầu của đường cong nguyên trên toàn cục được rút ra từ tính bị chặn trên tập tạo ảnh của một hợp đủ nhiều các siêu mặt ở vị trí tổng quát (Định lí 2.2.8) ˆ Định lí không gian con Schmidt đối với siêu mặt di động giao đa tạp đại số xạ ảnh (Định lí 3.2.1). 68 Kiến nghị Trong quá trình nghiên cứu các vấn đề của luận án, chúng tôi suy nghĩ về một số hướng nghiên cứu tiếp theo như sau. ˆ Cho tới nay, các kết quả về Định lí cơ bản thứ hai cho trường hợp đường cong nguyên khác hằng giao các siêu mặt di động còn yếu (hoặc không chặn được bội, hoặc chặn trên của tổng các số khuyết còn lớn). Việc cải tiến các Định lí cơ bản thứ hai trong trường hợp này là một vấn đề thực sự có ý nghĩa. ˆ Thông qua ánh xạ Gauss, tiêu chuẩn cho đường cong Brody đã được thiết lập trong luận án có sự tương tự nào tới điều kiện bị chặn cho độ cong Gauss của siêu mặt cực tiểu. 69 DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH Đà CÔNG BỐ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN [1] N. T. Son, T. V. Tan, and N. V. Thin (2018), Schmidt’s subspace theorem for moving hypersurface targets, J. Number Theory 186, 346–369. [2] N. T. T. Hang, N. T. Son, and V. V. Truong (2020), A second main theorem for entire curves in a projective variety whose derivatives vanish on inverse image of hypersurface targets, HNUE journal of science, Natural Science, 65, 31–40. [3] N. T. Son, T. V. Tan (2022), A property of the spherical derivative of an entire curve in complex projective space, Complex Anal. Synerg. 8, (https://doi.org/10.1007/s40627-021-00090-z). 70 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Sĩ Đức Quang (2019), Lí thuyết phân bố giá trị cho ánh xạ phân hình và một số vấn đề liên quan, NXB Đại học Sư phạm. [2] Trần Văn Tấn (2017), Lí thuyết phân bố giá trị đối với đường cong nguyên trong không gian xạ ảnh, NXB Đại học Sư phạm. [3] Trần Văn Tấn (2020), Ánh xạ chỉnh hình vào không gian xạ ảnh dưới điều kiện về tạo ảnh của một mục tiêu, NXB Đại học Sư phạm. [4] L. V. Ahlfors (1941), The theory of meromorphic curves, Acta Soc. Sci. Fen- nicae, Nova Ser. A, 3, 3–31. [5] G. Aladro and S. G. Krantz (1991), A criterion for normality in Cn, J. Math. Anal. Appl., 161, 1-8. [6] A. Bloch (1926), Sur les système de fonctions uniformes satisfaisant à l’équantion d’une variétés algébrique dont l’irrégularité dépasse la dimension, J. Math. Pures Appl. 5, 19–66. [7] H. Cartan (1933), Sur les zéroes des combinaisons linéaires de p funtions holomorphes données, Mathematica. 7, 80–103. [8] Z. Chen, M. Ru, Q.Yan (2012), The degenerated second main theorem and Schmidt’s subspace theorem, Science China, 7, 1367–1380. [9] Z. Chen, M. Ru, Q.Yan (2015), Schmidt’s subspace theorem with moving hypersurfaces, Int. Math. Res. Notices 15, 6305–6329.. [10] P. Corvaja and U. Zannier (2004), On the general Thue’s equation, Amer. J. Math, 126, 1033–1055. 71 [11] G. Dethloff and T.V. Tan (2011), A second main theorem for moving hy- persurface targets, Houston. J. Math, 37, 79–111. [12] G. Dethloff and T. V. Tan (2020), Holomorphic curves into alge- braic varieties intersecting moving hypersurface targets, Acta Math Vietnam. https://doi.org/10.1007/s40306-019-00336-3. [13] G. Dethloff and T.V. Tan and D. D. Thai (2011), An extension of the Cartan-Nochka second main theorem for hypersurfaces, Internat. J. Math, 22, 863–885. [14] A. Eremenko (2010), Brody curves omitting hyperplanes, Ann. Acad. Sci. Fenn. Math. 35, 565-570. [15] J. H. Evertse and R. G. Ferretti (2002), Diophantine inequalities on projec- tive varieties, Internat. Math. Res. Notices 25, 1295–1330. [16] J. H. Evertse and R. G. Ferretti (2008), A generalization of the subspace theorem with polynomials of higher degree, Developments in Mathematics 16, 175–198, Springer-Verlag, NewYork. [17] H. Fujimoto (1993), Value distribution theory of the Gauss map of minimal surfaces in Rm, Vieweg-Verlag, Braunschweig. [18] L. Giang (2015), Schmidt’s subspace theorem for moving hypersurface tar- gets, International Journal of Number Theory. Vol 11. No 1, 139–158. [19] L. Giang (2016), An explicit estimate on multiplicity truncation in the de- generated second main theorem, Houston J. Math. 42, 447-462. [20] N. T. T. Hang, N. T. Son, and V. V. Truong (2020), A second main theorem for entire curves in a projective variety whose derivatives vanish on inverse image of hypersurface targets, HNUE journal of science, Natural Science, Vol- ume 65, Issue 6, pp. 31-40. [21] R. Hartshorne (1977), Algebraic Geometry, Grad. Texts in Math. vol 52, Springer-Verlag, New York. 72 [22] A. Levin (2014), On the Schmidt subspace theorem for algebraic points, Duke Math. J. Vol 163.No 15, 2841-2885. [23] H. Matsumura (1980), Commutative Algebra, Benjamin/Cummings Publi- cation Company, Massachusetts. [24] R. Nevanlinna (1925), Zur theorie der meromorphen funktionen, Acta. Math. 46, 1–99. [25] E. I. Nochka (1983), On the theory of meromorphic functions, Sov Math Dokl, 27: 377–81. [26] J. Noguchi and Winkelmann (2014). Nevanlinna Theory in Several Complex Variables and Diophantine Approximation, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 350, Springer Japan. [27] C. F. Osgood (1981), A number theoretic-differential equations approach to generalizing Nevanlinna theory, India J. Math. 23, 1–15. [28] S. D. Quang (2019), Schmidt’s subspace theorem for moving hypersurfaces in subgeneral position, Int. J. Number Theory, https://doi.org/10.1142/S1793042118500082. [29] S. D. Quang (2019), Degeneracy second main theorems for meromorphic mappings into projective varieties with hypersurfaces, Trans. Amer. Math. Soc., 371, 2431-2453. [30] S. D. Quang and D. P. An (2017), Second main theorem and unicity of meromorphic mappings for hypersurfaces in projective varieties, Acta Math. Vietnam., 42, 455-470. [31] M. Ru (2004), A defect relation for holomorphic curves intersecting hyper- surfaces, Amer. J. Math, 126, 215–226. [32] M. Ru (2009), Holomorphic curves into algebraic varieties, Ann. Math. 169, 255–267. [33] M. Ru and W. Stoll (1991), The second main theorem for moving targets, J. Geom. Anal. 1, 99–138. 73 [34] M. Ru and P. Vojta (1997), Schmidt’s subspace theorem for moving targets, Inventiones Mathematicae. 127, 51–65. [35] M. Ru and P-M. Wong (1991), Integral points of Pn − {2n+ 1} hyperplanes in general position, Invent. Math. 106, 195–216. [36] W. M. Schmidt (1975), Simultaneous approximation to algebraic numbers by elements of a number fiel, Monatsh. of Math. 79, 55–66. [37] W. Stoll (1953), Die beiden Hauptsatze der Wertverteilungstheorie bei Punk- tionen mehrerer komplexen Veranderlichen, I,, Acta Math. 90, 1–15. [38] W. Stoll (1954), Die beiden Hauptsatze der Wertverteilungstheorie bei Punk- tionen mehrerer komplexen Veranderlichen, II,, Acta Math. 92, 55–169. [39] N. T. Son, T. V. Tan (2022), A property of the spherical derivative of an entire curve in complex projective space, Complex Anal. Synerg. 8, https://doi.org/10.1007/s40627-021-00090-z [40] N. T. Son, T. V. Tan, and N. V. Thin (2018), Schmidt’s subspace theorem for moving hypersurface targets, J. Number Theory. 186, 346–369. [41] T. V. Tan (2021), Higher dimensional generalizations of some theorems on normality of meromorphic functions, to appear in Michigan. Math. J, DOI: 10.1307/mmj/20195842. [42] T. V. Tan (2021), A normality criterion for families of holomorphic map- pings under a condition of uniform boundedness of their tangent mappings, Bull. Sci. Math. 170, https://doi.org/10.1016/j.bulsci.2021.102994. [43] P. Vojta (1987), Diophantine Approximations and Value Distribution The- ory, Lecture Notes in Math. 1239, Springer-Verlag. [44] H. Weyl and J. Weyl (1938),Meromorphic curves, Ann. Math. 39, 516–538. [45] O. Zariski (1937), Generalized weight properties of the resultant of n + 1 polynomials in n indeterminates, Trans. AMS, 41, 249-265. 74