Luận văn Áp dụng thuật toán Runge – Kutta để khảo sát sự ion hóa kép không liên tục của nguyên tử argon dưới tác dụng của laser phân cực thẳng

NG PHÁT TRIỂN ................................................................... 33 TÀI LIỆU THAM KHẢO .......................................................................................... 34 PHỤ LỤC................................................................................................................... 37 Phụ lục 1. Phương pháp Runge – Kutta bậc 2 .......................................................... 37 Phụ lục 2. Phương pháp Runge – Kutta bậc 4 .......................................................... 39 i Danh mục ký hiệu và chữ viết tắt Các ký hiệu: E : cường độ điện trường 1r : khoảng cách từ electron thứ nhất tới hạt nhân 2r : khoảng cách từ electron thứ hai tới hạt nhân r : khoảng cách giữa hai electron  xE t : điện trường theo phương x của xung laser  yE t : điện trường theo phương y của xung laser v : vận tốc của các electron ,a b : các thông số của trường laser Các chữ viết tắt: Chữ viết tắt Tiếng Việt Tiếng Anh DI Quá trình ion hóa kép Double Ionization NSDI Quá trình ion hóa kép không liên tục Nonsequential Double Ionization TDSE Phương trình Schrödinger phụ thuộc thời gian Time Dependent Schrödinger Equation CTEMD Sự phân bố động lượng tương quan hai electron Correlated Two – Electron Momentum Distribution ii Danh mục hình vẽ, đồ thị Danh mục hình vẽ Hình 1.1. Sự ion hóa đa photon.. .7 Hình 1.2a. Cơ chế ion hóa xuyên ngầm.......7 Hình 1.2b. Cơ chế ion hóa vượt rào.....7 Hình 1.3. Ví dụ về quá trình ion hóa kép liên tục....9 Hình 1.4. Mô hình ba bước của NSDI10 Hình 3.3. Điện trường của xung laser 800nm với xung (2, 6, 2) ..27 Hình 3.4. Phổ động lượng tương quan hai electron dọc theo trục phân cực của laser với bước sóng 800nm ứng với độ dài xung (N1, N2, N3) = (2, 2, 2) (a), (2, 4, 2) (b), (2, 6, 2) (c) ..28 Hình 3.5. Phổ động lượng tương quan hai electron dọc theo trục phân cực của laser với bước sóng 800nm ứng với độ dài xung (2,1) (a), (2,2) (b), (2,3) (c), (2,4) (d), (2,5) (e), (2,6) (f) ...30 Hình 3.6. Phổ động lượng tương quan hai electron dọc theo trục phân cực của laser với bước sóng 800nm với độ dài xung (2, 4, 2) mang cường độ 11014 W/cm2 (a), 21014 W/cm2 (b), 31014 W/cm2 (c) .31 Danh mục đồ thị Hình 3.1. Đồ thị dao động tắt dần kiểm chứng sự khác biệt giữa thuật toán Runge-Kutta và phương pháp giải tích trong khoảng thời gian 0-10xét tại N=50 (a) và tại N = 500 (b) .. 25 Hình 3.2. Đồ thị biểu diễn sai số tỉ đối giữa thuật toán Runge-Kutta và phương pháp giải tích trong khoảng thời gian 0-10 xét tại N = 50 (a), N = 100 (b), N = 500 (c) và N = 1000 (d) ..26 1 MỞ ĐẦU Những nghiên cứu liên quan Ngày nay, vật lý nguyên phân tử đã và đang là một trong những ngành thu hút sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà khoa học, bởi nó cung cấp nhiều thông tin về cấu trúc của vật chất, đặc biệt là các quá trình tương tác giữa vật chất với điện trường bên ngoài. Khi laser phân cực thẳng tương tác với nguyên tử, phân tử thì có nhiều hiệu ứng phi tuyến xảy ra như quá trình phát xạ sóng điều hòa bậc cao, quá trình ion hóa kép nguyên tử, phân tử,.. Trong đó quá trình ion hóa kép (DI – Double Ionization) của nguyên tử, phân tử đáng được xét đến. Quá trình ion hóa kép không liên tục cung cấp thông tin thuần khiết về tương tác giữa hai electron trong lớp vỏ nguyên tử, phân tử. Vì vậy, sự khảo sát quá trình ion hóa kép không liên tục của các nguyên tử có nhiều điện tử dưới tác dụng của laser phân cực thẳng là một đề tài hấp dẫn, thu hút sự quan tâm của các nhà nghiên cứu trên thế giới, ví dụ như ngày càng nhiều kết quả thực nghiệm liên quan đến đề tài này được công bố [1], [5], [12]. Ngoài ra, việc khảo sát quá trình ion hóa kép không liên tục của nguyên tử Heli đã được một nhóm nghiên cứu tại trường Đại học Sư phạm TP.HCM phân tích và cũng đạt được một số kết quả như sau:  Bằng việc sử dụng mô hình tập hợp ba chiều cổ điển cho bài toán khảo sát quá trình ion hóa kép không liên tục (NSDI – Nonsequential Double Ionization), đây là mô hình tập hợp được đưa ra vào năm 2011 bởi S. L. Haan, nhóm tác giả đã mô phỏng lại thành công cấu trúc chữ V trong sự phân bố động lượng tương quan hai electron (CTEMD – Correlated Two Electron Momentum Distribution) của nguyên tử Heli dưới tác dụng của trường laser cường độ cao. Kết quả phân tích cho thấy rằng cả tương tác hạt nhân và lực đẩy giữa electron – electron (e – e) [5] sau khi bị ion hóa đều không phải là nguồn gốc tạo nên cấu trúc chữ V trong 2 CTEMD của nguyên tử mà nguồn gốc của cấu trúc chữ V này là do sự phân bố năng lượng bất đối xứng giữa hai electron khi xảy ra quá trình tái va chạm [6].  Bằng phép phân tích quỹ đạo, nhóm tác giả đã giải thích thành công cấu trúc chữ V trong phân bố động lượng tương quan electron đối với quá trình ion hóa kép không liên tục của Heli. Trong trường hợp trường laser có cường độ yếu tương tác hạt nhân và lực đẩy của hai electron sau khi bị ion hóa đóng vai trò nổi bật trong việc hình thành nên cấu trúc chữ V. Trong trường hợp trường laser có cường độ mạnh, kết quả cho thấy rằng sự khác nhau trong phân bố động lượng vuông góc của electron tái va chạm và electron liên kết là do sự phân bố năng lượng bất đối xứng. Khi xảy ra quá trình tương tác, electron liên kết rời khỏi nguyên tử với động lượng ban đầu rất nhỏ nghĩa là động lượng vuông góc của nó đã bị mất rất nhiều trong quá trình tương tác với hạt nhân. Cùng lúc đó electron tái va chạm rời khỏi nguyên tử với động lượng rất lớn, nghĩa là tương tác hạt nhân không ảnh hưởng đến động lượng vuông góc của nó. Sự khác nhau trong phân bố động lượng vuông góc của electron tái va chạm và electron liên kết không chỉ đóng vai trò như dấu hiệu nhận biết quá trình này mà còn cung cấp cái nhìn sâu hơn về quá trình tương tác ba vật thể trong khung thời gian 10-18 giây [7].  Bằng phép phân tích quỹ đạo, nhóm tác giả đã chỉ ra rằng thời điểm ion hóa kép và lực đẩy giữa hai electron ion hóa chính là nguyên nhân gây ra sự thay đổi mạnh trong phổ động lượng tương quan của hai electron đó theo phương song song với trục phân cực của trường laser 800nm khi pha tương đối của laser thay đổi [2]. Hay như việc khảo sát quá trình ion hóa kép không liên tục đối với nguyên tử Argon vẫn còn là một thách thức đối với các nhà nghiên cứu. Năm 2015, nhóm nghiên cứu của Yueming Zhou và cộng sự đã thực hiện thành công khảo sát phổ động lượng tương quan của hai eletron dọc theo trục phân cực laser đối với quá trình NSDI của Argon dưới tác dụng của trường laser mang ba cường độ khác nhau. Kết quả cho thấy CTEMD của 3 nguyên tử Ar phụ thuộc mạnh vào cường độ trường laser. Ở cường độ 0.81014 W/cm2, phổ động lượng hai electron có dạng bất đối xứng, ở cường độ cao hơn 1.31014 W/cm2, phổ động lượng có dạng gần giống như hai đường thẳng song song nằm trên đường chéo chính ở góc phần tư thứ nhất và thứ ba. Ở cường độ cao của xung laser 2.31014 W/cm2, phổ động lượng hai electron tồn tại cấu trúc chữ thập [10]. Từ những kết quả nghiên cứu trong và ngoài nước đã nêu trên, tác giả mong muốn được tham gia vào nghiên cứu vấn đề này, vì vậy tác giả chọn đề tài “ÁP DỤNG THUẬT TOÁN RUNGE – KUTTA ĐỂ KHẢO SÁT SỰ ION HÓA KÉP KHÔNG LIÊN TỤC CỦA NGUYÊN TỬ ARGON DƯỚI TÁC DỤNG CỦA LASER PHÂN CỰC THẲNG” làm đề tài luận văn tốt nghiệp. Mục đích của luận văn Tìm hiểu thuật toán Runge – Kutta để lập trình giải phương trình vi phân cấp cao. Áp dụng mô hình tập hợp ba chiều cổ điển dựa trên nền thuật toán Runge – Kutta để khảo sát quá trình ion hóa kép không liên tục của nguyên tử Argon dưới tác dụng của laser phân cực thẳng. Phương pháp nghiên cứu Phương pháp giải số: sử dụng thuật toán Runge – Kutta cho bài toán cổ điển Newton để thu được các thông số về vị trí, vận tốc của hai electron trước và sau khi xảy ra hiện tượng ion hóa kép không liên tục. Trong phương pháp giải số này, tác giả sử dụng phần mềm Fortran để lập trình tính toán, xử lý số liệu và mô tả sự phân bố động lượng tương quan của hai electron bằng hình vẽ. 4 Nội dung nghiên cứu Tìm hiểu cơ sở toán học của thuật toán Runge – Kutta. Lập trình để giải phương trình vi phân cấp cao bằng phương pháp Runge – Kutta. Kiểm chứng độ tin cậy và tính chính xác của chương trình. Ứng dụng chương trình tính toán để khảo sát 2 vấn đề sau:  Khảo sát sự phụ thuộc vào độ dài xung của quá trình NSDI của nguyên tử Ar.  Khảo sát sự phụ thuộc vào cường độ trường laser của quá trình NSDI của nguyên tử Ar. Đối tượng nghiên cứu: Bài luận văn này tiến hành khảo sát trên hàng triệu nguyên tử Argon dưới tác dụng của trường laser phân cực thẳng mang các thông số về cường độ trường laser, độ dài xung laser khác nhau. Nội dung của luận văn bao gồm: Chương 1. Tổng quan. Trình bày về tương tác giữa laser với vật chất, trong đó nhấn mạnh vào quá trình ion hóa của nguyên tử, phân tử thông qua ba cơ chế là ion hóa đa photon, ion hóa xuyên ngầm và ion hóa vượt rào. Ngoài ra trong chương này còn đi sâu tìm hiểu về quá trình ion hóa kép không liên tục của nguyên tử, phân tử. Chương 2. Cơ sở lý thuyết và phương pháp tính. Trình bày về mô hình tập hợp ba chiều cổ điển [3]. Đây là một công cụ toán học hiệu quả để khảo sát các quá trình vật lý xảy ra khi vật chất chịu tác dụng của trường laser. Ngoài ra trong chương này tác giả còn đề cập đến thuật toán Runge – Kutta để giải quyết bài toán Cauchy cơ bản nhất, từ đó mở rộng khảo sát cho phương trình vi phân cấp cao. Ngoài ra trong chương này còn cho thấy mức độ tin cậy cao của thuật toán Runge – Kutta so với phương pháp giải tích phương trình vi phân cấp hai trong bài toán cổ điển Newton. 5 Chương 3. Kết quả nghiên cứu. Kiểm chứng tính chính xác của chương trình tính toán thông qua việc khảo sát cho hệ dao động tắt dần. Đồng thời trong chương này còn trình bày kết quả khảo sát sự ion hóa kép không liên tục của nguyên tử Argon dưới tác dụng của trường laser khi thay đổi độ dài xung và cường độ điện trường. 6 CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN 1.1. Quá trình tương tác giữa laser và nguyên tử, phân tử Hiện nay, quá trình tương tác giữa trường laser với nguyên tử, phân tử là một trong những đề tài hấp dẫn thu hút nhiều sự quan tâm của các nhà khoa học bởi nó có nhiều ứng dụng trong khoa học công nghệ và trong cuộc sống. Theo lý thuyết lượng tử, trường laser được xem như là những dòng hạt photon có năng lượng, động lượng và spin xác định. Vì vậy khi tương tác với nguyên tử phân tử, laser sẽ làm cho các trạng thái nguyên tử bị thay đổi. Khi đó nhiều hiệu ứng phi tuyến được xảy ra như quá trình ion hóa, phát xạ sóng điều hòa bậc cao, quá trình ion hóa kép không liên tục... Tùy thuộc vào cường độ của trường laser mà cơ chế tương tác giữa laser với nguyên tử, phân tử sẽ khác nhau. 1.2. Quá trình ion hóa Khi cường độ trường laser yếu hơn nhiều so với thế ion hóa của nguyên tử, trường laser chỉ có tác dụng gây ra sự nhiễu loạn các trạng thái electron của nguyên tử. Trong trường hợp này, các mức năng lượng của nguyên tử bị thay đổi tỉ lệ với bình phương cường độ của trường laser, hiện tượng này gọi là sự dịch chuyển Stark. Do đó, vùng này được gọi là vùng nhiễu loạn của quang học phi tuyến. Trong vùng này, sự ion hóa chủ yếu diễn ra theo cơ chế đa photon, nghĩa là nguyên tử hấp thụ liên tiếp nhiều photon làm cho năng lượng của nó tăng dần đến khi lớn hơn năng lượng liên kết thì electron được chuyển sang trạng thái tự do. Như vậy, khi cường độ trường laser yếu hơn nhiều so với trường Coulomb của nguyên tử thì nguyên tử chỉ hấp thụ một cách tự phát N photon và xảy ra sự ion hóa đa photon. Trong trường hợp ion hóa đa photon thế của nguyên từ không bị biến dạng do điện trường không đủ mạnh. 7 Hình 1.1. Sự ion hóa đa photon [13] Khi cường độ trường laser lớn hơn so với trường Coulomb của nguyên tử. Khi đó thế của nguyên tử sẽ bị biến dạng. Lúc đó các electron liên kết yếu với hạt nhân và sẽ thoát khỏi nguyên tử hoặc phân tử thông qua một rào thế xác định bởi cơ chế xuyên ngầm. Rào thế này trở nên thấp và mỏng hơn khi cường độ trường laser tăng lên. Trong hình 1.2a, đường mảnh ứng với thế của điện trường, đường cong dày ứng với thế năng hiệu dụng và đường nằm ngang đặc trưng cho năng lượng liên kết của nguyên tử khi không có trường laser. Hình 1.2. Cơ chế ion hóa: xuyên ngầm (a), vượt rào (b) [4] 8 Khi điện trường tiếp tục tăng rào thế sẽ bị hẹp lại và hạ thấp xuống, đến khi nó hạ xuống thấp hơn năng lượng liên kết của electron thì electron sẽ đi từ trạng thái liên kết sang trạng thái tự do. Sự ion hóa lúc này diễn ra theo cơ chế vượt rào (hình 1.2b). Cường độ trường laser tới hạn Fc xác định giao điểm giữa vùng ion hóa xuyên ngầm và vùng ion hóa vượt rào. Giá trị Fc này có thể được ước lượng bằng cách cho thế năng hiệu dụng cực đại bằng với thế năng ion hóa của electron liên kết. 1.3. Quá trình ion hóa kép Như chúng ta đã biết, khi chiếu một chùm laser vào trong nguyên tử thì các electron trong nguyên tử có thể bị ion hóa theo các cơ chế như ion hóa đa photon, xuyên ngầm hay vượt rào tùy thuộc vào cường độ của chùm laser. Trong đó khi các electron trong nguyên tử bị ion hóa xuyên ngầm qua rào thế tạo bởi thế ion hóa của nguyên tử và cường độ chùm laser sẽ có nhiều hiện tượng phi tuyến xảy ra. Khi đó electron tự do bứt ra khỏi ion mẹ được gia tốc trong trường laser, nó quay lại va chạm với ion mẹ khi trường laser đổi chiều. Quá trình ion hóa kép là quá trình hai electron bị bứt ra khỏi ion mẹ dưới tác dụng của trường laser khi bức xạ của trường laser tác dụng vào nguyên tử hay phân tử trung hòa. Quá trình ion hóa kép được chia thành hai cơ chế khác nhau: quá trình ion hóa kép liên tục và quá trình ion hóa kép không liên tục. 1.3.1 . Quá trình ion hóa kép liên tục Trong đó quá trình ion hóa kép liên tục được hiểu là cả hai electron trong nguyên tử bứt ra cùng một thời điểm dưới tác dụng của trường laser hoặc sau một thời gian electron thứ nhất bứt ra thì electron thứ hai cũng bứt ra khỏi ion mẹ. Trong quá trình ion hóa kép liên tục không xảy ra sự tái va chạm của electron và ion mẹ. 9 Hình 1.3. Ví dụ về quá trình ion hóa kép liên tục [14] 1.3.2. Quá trình ion hóa kép không liên tục Còn quá trình ion hóa kép không liên tục có cơ chế khác hoàn toàn, được hiểu đó là quá trình electron thứ nhất bứt khỏi ion mẹ, sau một thời gian khi trường laser đổi chiều, nó quay lại va chạm với ion mẹ, khi đó electron thứ hai mới được giải phóng. Khi đó động năng cực đại để electron quay lại va chạm với ion mẹ được tính là 3.17 pE U , do đó năng lượng của photon là: 3.17p pI U   trong đó pI là thế ion hóa của nguyên tử, pU là thế truyền động trong trường laser được xác định theo công thức 2/ 4pU I  (trong đó I ,  là cường độ và tần số của trường laser). Hiện tượng ion hóa kép không liên tục được phát hiện bằng thực nghiệm bởi Suran và Zapesochny cho nguyên tử kiềm thổ vào đầu năm 1975. Mặc dù được nghiên cứu sâu (1.1) 10 rộng nhưng chi tiết về quá trình ion hóa kép của nguyên tử kiềm thổ này vẫn chưa được tìm hiểu kỹ. Quá trình ion hóa kép trong trường hợp này được thực hiện bởi sự chuyển mức của cả hai electron thông qua phổ trạng thái nguyên tử, nằm giữa thế của electron thứ nhất và thứ hai. Đối với các nguyên tử khí hiếm, quá trình ion hóa kép không liên tục đầu tiên được quan sát bởi L’Huillier. Hiện tượng này nhanh chóng thu hút sự quan tâm của các nhà nghiên cứu sau khi nó được tìm thấy trong trường hồng ngoại và đối với cường độ cao hơn. Cơ chế của quá trình ion hóa kép không liên tục của các nguyên tử khí hiếm khác với các nguyên tử kiềm thổ. Sau khi electron thứ nhất bị ion hóa, electron được giải phóng có thể quay lại va chạm với ion mẹ. Electron này đóng vai trò như một “atomic antenna”, hấp thụ năng lượng từ trường laser giữa quá trình ion hóa và quá trình tái va chạm, cơ chế này được gọi là mô hình ba bước của quá trình ion hóa kép không liên tục [5]. Hình 1.4. Mô hình ba bước của NSDI [15] 11 Trong tương tác giữa nguyên tử với laser, quá trình ion hóa kép không liên tục thu hút nhiều sự quan tâm của các nhà khoa học bởi những tín hiệu ghi nhận được từ phổ động lượng tương quan của hai electron cung cấp rất nhiều thông tin về sự tương tác giữa laser với vật chất cũng như sự tương quan giữa electron – electron trong nguyên tử khi electron thứ nhất quay lại va chạm với electron thứ hai thông qua va chạm không đàn hồi. 12 CHƯƠNG 2. CƠ SỞ LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP TÍNH 2.1. Mô hình tập hợp ba chiều cổ điển Trong tương tác giữa nguyên tử, phân tử với trường laser, quá trình ion hóa kép không liên tục thu hút nhiều sự quan tâm của các nhà khoa học bởi những tín hiệu ghi nhận được từ phổ động lượng tương quan của hai electron cung cấp rất nhiều thông tin về sự tương tác giữa laser với vật chất cũng như sự tương quan giữa electron – electron trong nguyên tử khi trải qua quá trình ion hóa kép. Hiện nay có hai cách phổ biến để tiếp cận bài toán NSDI. Cách thứ nhất là dựa theo nền tảng của cơ học lượng tử, trong đó những tính chất của các electron ion hóa được thu nhận từ việc sử dụng phương pháp giải chính xác nghiệm phương trình Schrödinger phụ thuộc thời gian (TDSE – Time Dependent Schrödinger Equation) với sự góp mặt của trường laser. Trong phương pháp giải số, đây là phương pháp cho kết quả chính xác. Tuy nhiên, với phương pháp này việc lập trình khá phức tạp và chỉ cho kết quả cuối cùng mà không cung cấp các thông tin về quá trình động lực học vật lý của các electron diễn ra trong suốt quá trình tương tác với laser. Vì vậy phương pháp này không được sử dụng phổ biến để khảo sát bài toán NSDI. Cách tiếp cận thứ hai là sử dụng mô hình tập hợp ba chiều cổ điển thông qua việc giải phương trình Newton cho từng electron chịu sự tác dụng của trường laser và trường tương tác hạt nhân của nguyên tử. Từ khi được giới thiệu vào năm 2001 [3], mô hình tập hợp ba chiều này được xem là một công cụ hiệu quả để nghiên cứu quá trình DI trong trường mạnh. Với phương pháp này, vai trò của lực đẩy electron – electron và lực hút electron – ion trong việc quan sát phổ electron của quá trình ion hóa kép không liên tục cũng được xác định một cách thành công và năng lượng bất đối xứng trong quá trình tái va chạm cũng được phát hiện. Mô hình cổ điển này cũng đạt được thành công trong việc tiên đoán các hiện tượng mới trong quá trình ion hóa kép trường mạnh. Ngoài ra, mô hình này cũng có một ưu thế quan trọng là nó cung cấp một hình ảnh trực quan của quá 13 trình đang khảo sát. Phương pháp cổ điển này có những ưu điểm so với phương pháp TDSE như sau: thời gian tính toán nhanh, có thể khảo sát và phân tích được trạng thái của electron tại một thời điểm bất kỳ trong suốt quá trình nguyên tử tương tác với trường laser. Trong mô hình tập hợp ba chiều cổ điển, sự phát triển của hệ hai electron được xác định bởi phương trình chuyển động của Newton (đơn vị nguyên tử được sử dụng trong toàn bộ quá trình tính toán).   2 1 22 ( ) ( , ) ( )i ne i ee d r V r V r r E t dt     với chỉ số i kí hiệu cho hai electron và ( )E t là trường điện của laser. ( )ne iV r là thế hút giữa ion – electron được xác định bằng: 2 2 2 ( )ne i i V r r a    1 2( , )eeV r r là thế tương tác đẩy giữa electron – electron có dạng: 1 2 2 2 1 2 1 ( , ) ( ) eeV r r r r b    Trong quá trình tính toán, thế Coulomb hạt nhân làm cho việc tính toán trở nên phức tạp hơn vì mô hình này không ổn định và không thể kiểm soát được sự tự ion hóa của các electron. Vì vậy để tránh xảy ra hiện tượng tự ion hóa và giải quyết sự kì dị của thế Coulomb, các thông số làm mềm thế Coulomb được chọn là 2 1.5a  a.u. và 2 0.05b  a.u.. Lúc đầu, cả hai electron của mô hình nằm tại trạng thái có năng lượng -1.5911 a.u. là tổng thế ion hóa của hai electron của nguyên tử Ar. Vị trí ban đầu của hai electron được gán là (0.85, 0) và (-0.85, 0). Động năng khả dĩ của hai electron được phân bố ngẫu nhiên giữa chúng trong không gian động lượng. Sau đó, hệ thống các phân tử được cho (2.2) (2.3) (2.1) 14 chuyển động tự do trong một khoảng thời gian đủ dài (200 a.u.) khi chưa có sự góp mặt của trường laser để thu được phân bố tọa độ và động lượng ổn định của cả hai electron. Đó là điều kiện ban đầu của hệ electron. Sau khi xác định được điều kiện ban đầu của hệ electron, chúng tôi giải phương trình (2.1) cho từng electron một cách độc lập khi có sự tồn tại của trường laser bằng phương pháp Runge – Kutta, được trình bày chi tiết trong mục 2.2. Để giải các phương trình trên, chúng tôi sử dụng thuật toán Runge – Kutta. Và năng lượng của hệ hai electron trong đoạn cuối của xung được xác định như sau: 22 2 11 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) yx z vv v E x y z a x x y y z z b               2 2 2 2 22 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) yx z vv v E x y z a x x y y z z b               với , ,i i ix y z và , ,xi yi ziv v v tương ứng là vị trí và vận tốc của electron i trong hệ tọa độ Descartes. Vào cuối quá trình tương tác, năng lượng của hai electron được phân tích, khi này nguyên tử được xem là đã bị ion hóa kép nếu năng lượng của cả hai electron ở cuối quá trình đều mang giá trị dương. Điều đáng lưu ý trong phương pháp cổ điển này là cả hai electron đều bị ion hóa bởi cơ chế ion hóa vượt rào, sự ion hóa xuyên ngầm không được xét đến do đây là quá trình hoàn toàn cổ điển. Trong bài nghiên cứu này, trường laser được sử dụng có cường độ đủ lớn để làm biến đổi mạnh thế ion hóa nên nguyên tử có thể chuyển sang trạng thái có mức năng lượng dương theo cơ chế vượt rào. Để tạo ra kết quả ổn định với sai số thống kê nhỏ, chúng tôi đã sử dụng tập hợp nguyên tử có kích thước hai triệu hạt. (2.4) (2.5) 15 2.2. Các phương pháp giải số 2.2.1. Bài toán Cauchy Một phương trình vi phân bậc một có thể được viết dưới dạng     ' ,y x f x y x mà ta có thể tìm được hàm  y x từ đạo hàm của nó. Trong thực tế có vô số nghiệm thỏa mãn phương trình trên, mỗi nghiệm phụ thuộc vào một hằng số tùy ý cho trước. Khi cho trước giá trị ban đầu 0y của hàm  y x tại 0x ta sẽ nhận được một nghiệm riêng của phương trình. Bài toán tìm hàm  y x khi biết giá trị ban đầu trên được gọi là bài toán Cauchy. Bài toán Cauchy còn được gọi là bài toán giá trị ban đầu và được mô tả như sau:        0 ' ,y x f x y x y a y      a x b  với  y y x là hàm cần tìm, khả vi trên đoạn [a,b], 0y là giá trị ban đầu cho trước của  y x tại 0x a . Đối với bài toán (2.6) ta chỉ có thể tìm nghiệm gần đúng của một số phương trình có dạng đơn giản, còn đối với phương trình   ,f x y x có dạng phức tạp thì phương pháp giải rất phức tạp. Vì vậy việc tìm các phương pháp để giải bài toán Cauchy trên có ý nghĩa quan trọng trong tính toán. Để tìm nghiệm gần đúng của bài toán (2.6) ta chia đoạn [a,b] thành n đoạn nhỏ bằng nhau với bước nhảy b ah n   . Khi đó các điểm chia là 0 ,x a 0 .kx x k h  với 0,1,2... , .nk n x b  Giá trị gần đúng cần tìm của hàm tại điểm kx được ký hiệu là ky . (2.6) 16 2.2.2. Phương pháp Euler Khai triển Taylor trên đoạn 1,k kx x   đối với bài toán Cauchy ta được:         21 1'k k k k kxy y x y x x x x     Mà 1k kx x h   và    ' ,k k ky x f x y nên ta có:      1 ,k k k ky x y x hf x y   trong đó 0,1,2,...,n 1k   Công thức (2.8) trên được gọi là công thức Euler. Công thức này cho phép ta tính giá trị của  1kxy  khi đã biết  ky x mà không cần phải giải một phương trình nào. Trong thực tế, phương pháp trên chỉ sử dụng đến khai triển Taylor bậc nhất, vì vậy sẽ không khỏi mắc phải sai số rất lớn. Để hạn chế được sai số trên, người ta đã sử dụng phương pháp Euler cải tiến để hạn chế tối đa sai số mắc phải. 2.2.3. Phương pháp Euler cải tiến Ta có         21 1'k k k k kxy y x y x x x x     Theo định lý Lagrange: giả sử  f x là một hàm liên tục trong  ,a b và khả vi trong  ,a b thì có ít nhất một điểm  ,c a b để:      f b f a f c b a     Theo định lý Lagrange ta có:       1 ,k k k ky x y x hf c y c   Như vậy ta có:       1 1 1 , , , 2 k k k k k kf c y c f x y f x y     Từ đó ta có công thức Euler cải tiến như sau: (2.7) (2.8) 17        1 1 1, , 2 k k k k k k h y x y x f x y f x y       Trong công thức này giá trị  1ky x  chưa biết. Do đó khi biết  ky x ta phải tìm  1ky x  bằng phương trình (2.8) sau đó dùng (2.9) để tính  1 n k y  cụ thể là:    01 ,k k k ky y hf x y         11 1 1, , 2 n n k k k k k k h y y f x y f x y           2.2.4. Phương pháp tích phân liên tiếp Xét bài toán Cauchy (2.6)        0 ' ,y x f x y x y a y      a x b  Lấy tích phân bài toán trở thành      0 0 , x x y x y f t y t dt   Xác định một dãy các hàm như sau:             0 0 0 1 0 0 2 0 1 0 1 , , ... , x x x x x k k x y x y f t y dt y x y f t y dt y x y f t y dt                   Từ đó ta có thể tính được  1y x từ 0y và  ,f x y ;  2y x từ 1y và  ,f x y Từ đó ta có được công thức của phương pháp Picard như sau:     0 0 1, x k k x y x y f t y dt   (2.9) (2.11) (2.10) (2.12) 18 2.2.5. Phương pháp Runge – Kutta bậc 2 Chi tiết về phương pháp Runge – Kutta bậc 2 sẽ được trình bày ở phần phụ lục. 2.2.6. Phương pháp Runge – Kutta bậc 4 Chi tiết về phương pháp Runge – Kutta bậc 4 sẽ được trình bày ở phần phụ lục. 2.2.7. Phương trình vi phân cấp cao Xét phương trình vi phân bậc n sau:       1, , ',..., ,n ny x f x y y y a x b   Có các điều kiện đầu như sau:       1 2 ( 1) ... n n y a a y a a y a a         Đặt 1 2 3 ( 1) ... n n y y y y y y y y            Lúc này phương trình vi phân bậc n được chuyển về n phương trình vi phân bậc nhất như sau: 1 2 3 ( 1) ... n n y y y y y y y y            (2.13) 19 Ta thực hiện các bước tính toán như trên phương pháp Runge – Kutta sẽ tìm được nghiệm của phương trình vi phân bậc n trên. Trong các phương pháp số đã trình bày ở trên, phương pháp Euler là đơn giản nhất, nhưng sai số lớn và không ổn định cao. Phương pháp Euler cải tiến cũng sử dụng đơn giản nhưng sai số của phương pháp này nhỏ hơn so với phương pháp Euler. Nhược điểm của phương pháp Euler cải tiến là bậc của độ chính xác giảm dần. Muốn có độ chính xác cao đòi hỏi h phải nhỏ, trong phương pháp Runge – Kutta bậc của độ chính xác được tăng lên, do đó phương pháp Runge – Kutta có sai số rất thấp. Ngoài ra trong phương pháp Runge – Kutta không đòi hỏi thay thế lặp lại như phương pháp biến đổi Euler hay tích phân liên tiếp như phương pháp của Picard. Vì vậy trong bài luận văn này, chúng tôi đã sử dụng phương pháp Runge – Kutta để giải phương trình vi phân cấp cao. 20 CHƯƠNG 3. KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU 3.1. Kiểm chứng tính chính xác của thuật toán Trước khi đưa vào giải cho bài toán ion hóa kép không liên tục của nguyên tử dưới tác dụng của trường laser phân cực thẳng dựa vào mô hình tập hợp ba chiều cổ điển. Chương trình tính toán sử dụng thuật toán Runge – Kutta cần phải được kiểm chứng độ tin cậy thông qua việc giải một vấn đề cụ thể, đơn giản và có nghiệm giải tích để so sánh. Tác giả chọn hệ dao động tắt dần cho mục đích này. 3.1.1. Bài toán dao động tắt dần a) Định nghĩa Dao động tắt dần là dao động có biên độ giảm theo thời gian. Nguyên nhân gây nên sự tắt dần của vật là do các phần tử môi trường đã tác dụng lực cản lên vật (lực ma sát nhớt) khi vật dao động trong môi trường. Lực ma sát nhớt này làm cho cơ năng của vật dao động chuyển thành nhiệt. b) Nghiệm giải tích của bài toán Xét một con lắc lò xo gồm một vật nặng khối lượng m gắn vào một đầu lò xo có độ cứng k, đầu kia cố định. Giả thiết rằng con lắc lò xo nằm ngang và có hệ số ma sát trượt là  . Hệ số ma sát này phụ thuộc vào hình dạng, kích thước của vật và độ nhớt của môi trường. Lúc này vật chịu tác dụng của hai lực:  Lực đàn hồi của lò xo bằng kx .  Lực ma sát nhớt (lực cản) của môi trường, lực này tỉ lệ với vận tốc và ngược chiều chuyển động v . Áp dụng định luật II Newton cho cơ hệ, ta được: 21 F kx v ma    Hay ta có ' ''kx x mx   . Đặt 0 2 m k m          thay vào phương trình trên ta được: 2 0'' 2 ' 0x x x    Đây được xem là phương trình vi phân chuyển động của vật với tần số dao động 0 k m   và hệ số tắt dần là 2m    . Nếu coi hệ dao động gồm con lắc lò xo và môi trường nhớt xung quanh thì lực tác dụng của môi trường là nội lực. Dao động của hệ là dao động tắt dần. Để khảo sát quá trình này, ta tìm nghiệm của phương trình vi phân: 2 0'' 2 ' 0x x x    Phương trình đặc trưng 2 2 02 0k k    ta có biệt thức: 2 2 0'     - 2 2 0 0' 0 0          (ma sát lớn, hệ số ma sát  lớn) - 2 2 0 0' 0 0          (ma sát nhỏ, hệ số ma sát  nhỏ) - 2 2 0 0' 0 0           Trường hợp ma sát lớn. '' ' 0 k x x x m m     (3.1) (3.3) (3.2) 22 Do ' 0  nên phương trình có hai nghiệm phân biệt: 2 2 1 0 2 2 2 0 k k                 Nghiệm tổng quát của phương trình khi này là: 1 2 1 2 k t k t x C e C e  2 2 2 2 0 0 2 2 2 2 0 0 1 2 1 2( ) t t t tt C e C e e C e C e                                  Với C1, C2 là các hằng số bất kỳ, phụ thuộc vào điều kiện ban đầu.  Trường hợp ma sát nhỏ. Do ' 0  nên phương trình có hai nghiệm phức: 2 2 1 0 2 2 2 0 k i k i                   Khi đó phương trình có 2 nghiệm độc lập là: 1 1 2 2 cos sin t t x e k t x e k t         Nghiệm tổng quát của phương trình: 1 1 2 2x C x C x   2 2 2 21 0 2 0cos sinte C t C t         Trường hợp giới hạn. (3.4) (3.5) 23 Do ' 0  nên phương trình có nghiệm kép: 1 2k k    Khi đó phương trình có 2 nghiệm: 1 2 . t t x e x x e         Nghiệm tổng quát của phương trình là: 1 1 2 2x C x C x  1 2( ) te C C x  3.1.2. Tính chính xác của thuật toán Ta xét vật dao động tắt dần trong trường hợp ma sát nhỏ. Phương trình dao động tắt dần có dạng: '' ' 0 k x x x m m     2 0'' 2 ' 0x x x    Ta xét vật đặt trong các điều kiện ban đầu như sau: 0 0 1 0.1 1 5 0 m k x v          Khi đó ta dễ dàng tính được: (3.6) 24 0 2 2 0 0.05 1 ' 0             Khi ' 0  phương trình vi phân trên có nghiệm:     2 2 2 21 0 2 0cos sintx e C t C t        Từ đó ta tính được:           2 2 2 2 1 0 2 0 2 2 2 2 2 2 2 2 1 0 0 2 0 0 ' . cos sin . .sin . .cos t t x v e C t C t e C t C t                               Sử dụng 2 điều kiện ban đầu: 0 0 5 0 x v    Ta tính được: 1 2 2 2 0 5 5 C C           Từ đây ta có phương trình dao động tắt dần của vật trong trường hợp này là:    2 2 2 20 055cos sin 399 tx e t t              Phương trình (3.7) là nghiệm giải tích chính xác của bài toán với các thông số ban đầu được cho phía trên. Chúng tôi sử dụng chương trình tính toán dựa trên thuật toán Runge – Kutta bậc 4 để giải số cho phương trình dao động tắt dần của hệ vật khi xét bước nhảy thời gian có các (3.7) 25 giá trị khác nhau: N = 50, 100, 500, 1000. Từ đó so sánh với nghiệm chính xác từ phương trình (3.7) để đánh giá độ tin cậy của phương pháp giải số được đề xuất trong luận văn này. Hình 3.1. Đồ thị dao động tắt dần kiểm chứng sự khác biệt giữa thuật toán Runge-Kutta và phương pháp giải tích trong khoảng thời gian 0-10xét tại N=50 (a) và tại N = 500 (b). Trong đồ thị trên đường màu xanh ứng với kết quả theo phương pháp giải tích, dấu chữ thập màu đỏ ứng với kết quả theo phương pháp giải số. Từ đồ thị trên nhận thấy được rằng kết quả theo phương pháp giải số hoàn toàn phù hợp với kết quả giải tích. Khi tổng số bước nhảy là 500 thì đồ thị có dạng mượt hơn so với khi xét tổng số bước nhảy là 50. Tuy nhiên nếu nhìn vào đồ thị này vẫn chưa thể đánh giá được sai số của phương pháp giải số so với phương pháp giải tích, vì vậy chúng tôi tiến hành đánh giá sai số dựa trên công thức a n a x x x    . Trong đó ax tọa độ chúng tôi đang xét theo phương pháp giải tích, nx tọa độ của vật xét theo phương pháp giải số. 26 Hình 3.2. Đồ thị biểu diễn sai số tỉ đối giữa thuật toán Runge-Kutta và phương pháp giải tích trong khoảng thời gian 0-10 xét tại N = 50 (a), N = 100 (b), N = 500 (c) và N = 1000 (d). Trong hình 3.2 ta thấy sai số tìm ra hầu như nhỏ,khi tổng số bước nhảy là 50, sai số của phép toán lên đến khoảng 20%, khi tổng số bước nhảy là 100 thì sai số của phương pháp giải số khi này chỉ còn khoảng 3%, đặc biệt khi xét N = 1000 thì sai số này có độ tin cậy khá cao với sai số khoảng 0,01%, từ đó cho thấy phương pháp số đang sử dụng có độ tin cậy cao, có thể dùng để tính toán và giải quyết các bài toán vi mô. 27 3.2. Khảo sát quá trình ion hóa kép không liên tục của nguyên tử Argon bằng mô hình tập hợp ba chiều cổ điển. 3.2.1. Khảo sát sự phụ thuộc vào độ dài xung của quá trình NSDI của nguyên tử Argon. Trong phần này, chúng tôi sẽ trình bày kết quả khảo sát quá trình ion hóa kép không liên tục của nguyên tử Ar với cường độ 21014W/cm2 khi thay đổi độ dài xung laser. Trong bài luận văn này, chúng tôi đã sử dụng xung laser với bước sóng 800nm với hình bao là hình thang trong đó gồm N1 chu kì bật laser, N2 chu kì ổn định và N3 chu kì tắt laser. Xung laser được mô tả trong hình 3.3 với (N1, N2, N3) = (2, 6, 2). Số lượng hạt đưa vào tương tác là hai triệu hạt. Hình 3.3. Điện trường của xung laser 800nm với xung (2, 6, 2) Động lượng của hai electron được xét dọc theo trục Ox trùng với phương phân cực của laser. Khi này động lượng của hai electron có sự chênh lệch đáng kể, khi một electron 28 có có giá trị động lượng gần 0 a.u. thì electron còn lại sẽ mang giá trị động lượng nằm trong khoảng từ -1.5 a.u. đến 1.5 a.u. và ngược lại. Kết quả ghi nhận được phổ động lượng trong trường hợp này phù hợp với kết quả thực nghiệm [1]. Kết quả cho thấy phổ động lượng tương quan của hai electron phụ thuộc mạnh vào độ dài xung của laser. Trong trường hợp laser có độ dài càng dài, số lượng ion hóa càng nhiều, phổ động lượng tập trung chủ yếu ở góc phần tư thứ nhất và thứ ba đối với cường độ laser là 21014W/cm2. Tiếp theo, chúng tôi khảo sát phổ động lượng tương quan hai electron ion hóa phụ thuộc vào độ dài xung bằng cách thay đổi độ dài N2 khi laser dùng trong chế độ ổn định, N2 được chọn có các giá trị 2, 4, 6. Kết quả được cho trong hình 3.4. 29 Hình 3.4. Phổ động lượng tương quan hai electron dọc theo trục phân cực của laser với bước sóng 800nm ứng với độ dài xung (N1, N2, N3) = (2, 2, 2) (a), (2, 4, 2) (b), (2, 6, 2) (c). Trong trường hợp laser có độ dài xung (2, 2, 2) thì phổ chỉ tập trung trong góc phần tư thứ ba, ngoài ra phổ không tập trung trên đường chéo chính, điều này cho thấy hai eletron bay ra có vận tốc cuối cùng ngược chiều dương quy định (chiều của cường độ điện trường) và sự khác biệt về động lượng tương quan giữa chúng là tương đối lớn. Khi laser có độ dài (2, 4, 2) phổ động lượng tương quan của hai electron không chỉ tập trung ở góc phần tư thứ ba mà còn tập trung ở góc phần tư thứ nhất, điều này cho thấy sau khi xảy ra sự ion hóa, hai electron bay ra với vận tốc cuối cùng ngược chiều hoặc cùng chiều dương quy định. Khi độ dài xung là (2, 6, 2) phổ động lượng tương quan của hai electron không thay đổi nhiều so với trường hợp (2, 4, 2), phần lớn tập trung ở góc phần tư thứ nhất và thứ ba. Điều này chứng tỏ khi độ dài xung laser tăng lên thì phổ động lượng tương quan của hai electron là ổn định và không có thay đổi nhiều. Hiện tượng này có thể được giải thích dựa trên sự bão hòa của quá trình ion hóa kép. Tất cả các sự kiện ion hóa kép đều được diễn ra trong vài chu kỳ đầu khi cường độ laser là ổn định. Để khẳng định giả thiết này, tác giả sử dụng xung (2, 6, 2) và khảo sát phổ động lượng của hai electron trong các trường hợp độ dài xung ở chế độ ổn định lần lượt thay đổi từ một đến sáu chu kỳ. 30 Hình 3.5. Phổ động lượng tương quan hai electron dọc theo trục phân cực của laser với bước sóng 800nm ứng với độ dài xung (2,1) (a), (2,2) (b), (2,3) (c), (2,4) (d), (2,5) (e), (2,6) (f). Trong hình vẽ 3.5 chúng tôi đã tiến hành khảo sát trường laser có cường độ 21014 W/cm2 với xung laser hình thang có độ dài khác nhau. Kết quả trên cho thấy trong 2 chu kì đầu của xung laser, số lượng nguyên tử ion hóa kép không đáng kể. Các nguyên tử Ar chủ yếu bị ion hóa nhiều trong giai đoạn các chu kì ổn định của xung laser. Ở hình (a), số lượng nguyên tử bị ion hóa kép tương đối ít, ở hình (b), (c), (d), (e), (f), số lượng ion hóa kép thay đổi đáng kể và bắt đầu ổn định, qua đó cho thấy được sự kiện ion hóa kép không liên tục của nguyên tử Argon hầu như xảy ra trong giai đoạn chu kì thứ ba của xung laser hình thang. Điều này chứng tỏ sự ion hóa kép không liên tục của nguyên tử Ar chỉ xảy ra đối với laser có độ dài xung ngắn. Trong trường hợp xung laser càng dài, sự kiện ion hóa kép xảy ra rất ít, hoàn toàn phù hợp với giả thiết đã nêu ở trên. 31 3.2.2. Khảo sát sự phụ thuộc vào cường độ laser của NSDI của nguyên tử Argon. Trong phần này, chúng tôi sẽ trình bày kết quả khảo sát quá trình ion hóa kép không liên tục của nguyên tử Ar bởi xung laser hình thang khi thay đổi thông số cường độ của trường laser. Động lượng của hai electron được xét dọc theo trục Ox trùng với phương phân cực của laser. Hình 3.6. Phổ động lượng tương quan hai electron dọc theo trục phân cực của laser với bước sóng 800nm với độ dài xung (2, 4, 2) mang cường độ 11014 W/cm2 (a), 21014 W/cm2 (b), 31014 W/cm2 (c). Kết quả cho thấy phổ động lượng tương quan của hai electron phụ thuộc mạnh vào cường độ của trường laser. Trong trường hợp xung laser có cường độ yếu 11014 W/cm2 (hình 3.5a), phổ động lượng tương quan hai electron ion hóa phân bố đều ở bốn góc phần 32 tư, tập trung trên đường chéo chính và đường chéo phụ. Điều này cho thấy hai electron bay ra với vận tốc gần bằng nhau về độ lớn. Khi này sự khác biệt trong phân bố động lượng tương quan giữa hai electron là không đáng kể. Điều này có thể giải thích là do cường độ trường laser nhỏ nên electron tái va chạm khi quay về tương tác với hạt nhân mẹ có vận tốc nhỏ, do đó thời gian tương tác giữa e – e đủ dài để electron tái va chạm chuyển một phần năng lượng của nó cho electron liên kết thông qua tương tác e – e. Đây được gọi là sự chia sẻ năng lượng đối xứng (SES – Symmetric Energy Sharing) [6] giữa hai electron sau khi tái va chạm. Khi cường độ xung laser đủ lớn 21014 W/cm2 (hình 3.5b), phổ động lượng tương quan hai electron tập trung chủ yếu ở góc phần tư thứ ba. Khi này, do cường độ trường laser lớn nên electron liên kết mang vận tốc lớn khi quay lại va chạm với hạt nhân mẹ, do đó thời gian tương tác e – e giữa electron tái va chạm và hạt nhân mẹ ngắn nên năng lượng mà nó truyền cho electron liên kết là rất ít. Vì vậy động lượng tương quan của hai electron sau quá trình ion hóa kép có sự khác biệt đáng kể. Đây được gọi là sự chia sẻ năng lượng bất đối xứng (AES – Asymmetric Energy Sharing) [6] của hai electron thể hiện qua cấu trúc chữ V trong phân bố động lượng tương quan của chúng. Trong trường hợp cường độ xung laser tăng lên 31014 W/cm2 (hình 3.5c), sự bất đối xứng trong phân bố động lượng tương quan của hai electron càng được thể hiện rõ, bằng chứng là trong phổ xuất hiện thêm hai đường chéo nằm gần trùng với trục tọa độ. Điều này chứng tỏ rằng sự chênh lệch năng lượng giữa hai electron là đáng kể. 33 KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN Trong bài luận văn này, tác giả đã kiểm chứng lại tính chính xác của thuật toán Runge – Kutta cho bài toán laser sử dụng mô hình tập hợp ba chiều cổ điển. Kết quả cho thấy thuật toán Runge – Kutta mà tác giả sử dụng là hoàn toàn đáng tin cậy với độ chính xác cao, sai số của phương pháp giải số so với kết quả giải tích có thể được kiểm soát dưới 1% khi số liệu đầu vào đủ lớn. Ngoài ra bằng cách sử dụng mô hình tập hợp ba chiều cổ điển để khảo sát quá trình tương tác của nguyên tử Ar với trường laser, tác giả đã mô phỏng lại sự phân bố động lượng tương quan của hai electron ion hóa dưới tác dụng của trường laser mang các thông số khác nhau. Kết quả cho thấy sự kiện ion hóa kép hầu như diễn ra trong giai đoạn xung ổn định trong toàn bộ chu kì, nghĩa là diễn ra trong vài chu kỳ đầu khi cường độ laser là ổn định. Ngoài ra, tác giả còn tiến hành khảo sát sự phụ thuộc vào cường độ trường laser của quá trình ion hóa kép không liên tục của nguyên tử Ar. Từ kết quả thu nhận được, tác giả nhận thấy phổ động lượng tương quan của hai electron ion hóa phụ thuộc rất nhiều vào độ dài xung và cường độ trường laser. Trong trường hợp cường độ trường laser yếu (11014 W/cm2), phổ động lượng tương quan hai electron ion hóa có sự đối xứng, phổ động lượng tương quan tập trung trên đường chéo chính và đường chéo phụ, nguyên nhân là do khi này electron tái va chạm đã chuyển một phần năng lượng của nó cho electron liên kết khi xảy ra quá trình tương tác hạt nhân. Còn trong trường hợp laser có cường độ mạnh, thời gian va chạm giữa electron tái va chạm và hạt nhân là rất ngắn nên electron tái va chạm chuyển rất ít năng lượng cho electron liên kết. Từ các kết quả thu nhận được tác giả nhận thấy rằng việc khảo sát quá trình ion hóa kép không liên tục của nguyên tử Ar dưới tác dụng của laser phân cực thẳng bằng mô hình tập hợp ba chiều cổ điển là một đề tài hấp dẫn. Tuy nhiên do hạn chế về thời gian và một số khó khăn nhất định, việc đi sâu khảo sát về các vần đề liên quan đến đề tài này vẫn còn nhiều hạn chế. Vì vậy đề tài này mở ra nhiều hướng phát triển mới cho vấn đề như khảo sát cấu trúc chữ thập trong phân bố động lượng tương quan của hai electron khi nguyên tử chịu tác dụng của trường laser phân cực thẳng có độ dài gần một chu kỳ quang học. Ngoài ra còn mở rộng việc tính toán cho trường hợp phân tử ví dụ như H2, N2, 34 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tài liệu Tiếng Anh [1] Bergues B., Kübel M., Johnson Nora G., Fischer B., Camus N., Betsch Kelsie J., Herrwerth O., Senftleben A., Sayler A. M., Rathje T., Pfeifer T., Ben-Itzhak I., Jones Robert R., Paulus Gerhard G., Krausz F., Moshammer R., Ullrich J. & Kling Matthias F. (2012), “Attosecond tracing of correlated electron-emission in non-sequential double ionization”, Nature Communications, 16, 033008. [2] Huynh Son V., Truong Thu D. H., Tran Yen H. H., Vo Lam T., and Pham Vinh N. T. (2016), “Dependence of two-electron correlated dynamics on the relative phase of two-color orthogonal laser pulse”, Journal of Science of Ho Chi Minh University of Education 3(81), 34. [3] Panfili R., Eberly J. H. and Haan S. L. (2001), “Comparing classical and quantum dynamics of strong-field double ionization”, Optics Express, 8, 431. [4] Pham Vinh N. T. (2015), “Investigating the ionization process of noble gas atoms by a static electric field using Seigert state method”, Journal of Science of Ho Chi Minh University of Education 2(67), 39. [5] Rudenko A., De Jesus V. L. B., Ergler Th., Zrost K., Feuerstein B., Schröter C. D., Moshammer R., and Ullrich J. (2007), “Correlated two-electron momentum spectra for strong-field nonsequential double ionization of He at 800 nm”, Physical Review Letter, 99, 263003. [6] Truong Thu D. H., Huynh Son V., Pham Vinh N. T. (2015), “V-like structure in the correlated electron momentum distribution for nonsequential double ionization of Helium” , Journal of Science of Ho Chi Minh University of Education 5(70), 26. [7] Truong Thu D. H., Pham Vinh N. T. (2015), “Trajectory analysis for explanation of the V-like structure in the correlated electron momentum distribution for nonsequential 35 double ionization of Helium”, Journal of Science of Ho Chi Minh University of Education 9(75), 5. [8] William H. P, Teukolsky A., Vetterling W. T., and Flannery B. P. (1992), “Numerical Recipes in FORTRAN”, Cambrigde University Press, Cambridge. [9] Ye D. F., Liu X., and Liu J. (2008), “Classical trajectory diagnosis of a fingerlike pattern in the correlated electron momentum distribution in strong field double ionization of Helium”, Physical Review Letter, 101, 233003. [10] Yinbo Chen, Zhou Yueming, Yang Li, Min Li, Pengfei Lan and Peixiang Lu (2016), “The Contribution of the delayed ionization in strong-field nonsequential double ionization”, The Journal of Chemical Physics, 144, 024304. [11] Yuquan Liu, Sebastian Tschuch, Martin Dürr, Artem Rudenko, Robert Moshammer, Joachim Ullrich, Martin Siegel, Uwe Morgner (2007), “Towards non – sequential dounble ionization of Ne and Ar using a femtosecond laser oscillator”, Optics Express, 26, 18103 – 18110. [12] Zhou Yueming, Liao Qing and Lu Peixiang (2010), “Asymmetric electron energy sharing in strong-field double ionization of helium”, Physical Review A, 82, 053402. Website: [13] https://www.google.com/search?q=multiphoton+ionization+of+atom&biw=1455&bih =726&source=lnms&tbm=isch&sa=X&ved=0ahUKEwiut6qIsNHMAhUCFZQKHVM bC-YQ_AUIBig#imgrc=gB9dWI8DHZfOM%3A [14] https://www.google.com/search?q=multiphoton+ionization+of+atom&biw=1455&bih =726&source=lnms&tbm=isch&sa=X&ved=0ahUKEwiut6qIsNHMAhUCFZQKHVM bC- 36 YQ_AUIBigB#tbm=isch&q=nonsequential+double+ionization+of+atom&imgrc=i7Sl mkLNZJUJdM%3A [15] https://www.google.com/search?q=multiphoton+ionization+of+atom&biw=1455&bih =726&source=lnms&tbm=isch&sa=X&ved=0ahUKEwiut6qIsNHMAhUCFZQKHVM bC- YQ_AUIBigB#tbm=isch&q=nonsequential+double+ionization+of+atom&imgrc=IaN XbmJy8kPn_M%3A 37 PHỤ LỤC Phụ lục 1. Phương pháp Runge – Kutta bậc 2 Ta dùng khai triển Taylor bậc hai trên đoạn 1,k kx x   ta được:            2 31 1 1 1 ' '' 2! k k k k k k k ky x y x y x x x y x x x x                2 31 1 , '' 2! k k k k k ky x f x y h y x x x x     Thay             1 ' , '' ' , ' , . , k k k k k k x k k y k k k k x x h y x f x y y x f x y f x y f x y          ta có:              2 31 1 , , , , 2! k k k k x k k y k k k ky x y x f x y h f x y f x y f x y h x         Runge và Kutta đã tránh việc tính 2 đạo hàm  ,x k kf x y và    , ,y k k k kf x y f x y nên đã làm như sau: Đặt    1 1 1 2 2k ky x y x a K a K    Với      1 2 1 2 1 , , k k k k K f x y x h K f x b h y b K h       Khai triển K2.        2 1 2, , , ,k k x k k k k y k kK f x y b hf x y b hf x y f x y h      (1) (3) (2) 38 Thay vào phương trình (2.15) ta được:               1 1 2 1 2, , , , ,k k k k x k k k k y k ky x y x a f x y x h a f x y b hf x y b hf x y f x y h         Hay              1 1 2 2 1 2, , , ,k k k k x k k k k y k ky x y x a a f x y h a b hf x y b hf x y f x y h                      2 21 1 2 2 1 2 2, , , ,k k k k x k k k k y k ky x y x a a f x y h a b h f x y a b h f x y f x y       Đồng nhất thức 2 phương trình ta được hệ phương trình sau: 1 2 2 1 2 2 1 0.5 0.5 a a a b a b       Ta thấy hệ phương trình trên có 4 ẩn nhưng chỉ có 3 phương trình nên ta phải gán một giá trị bất kỳ. Ta chọn 1 0.5a  . Từ đó ta tính được các hệ số như sau: 1 2 1 2 0.5 0.5 1 1 a a b b        Từ đó ta có công thức Runge – Kutta bậc hai như sau:    1 1 2 1 1 2 2 k ky x y x K K    Với     1 2 1 , , k k k k K f x y h K f x h y K h       (5) (6) (4) (7) 39 Phụ lục 2. Phương pháp Runge – Kutta bậc 4 Tương tự như phương pháp Runge – Kutta bậc 2 ta đặt:    1 1 1 2 2 3 3 4 4k ky x y x a K a K a K a K      Với         1 2 1 2 1 3 3 4 2 4 5 6 3 , , , , k k k k k k k k K f x y h K f x b h y b K h K f x b h y b K h K f x b h y b K h               Ta khai triển và đồng nhất thức tương tự như phương pháp Runge – Kutta bậc 2 ta thu được các hệ số như sau: 1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 2 1 3 3 4 5 2 2 2 2 1 3 3 4 5 3 3 3 2 1 3 3 4 5 3 1 4 4 3 6 2 2 3 1 4 4 3 6 3 1 3 4 4 1 4 6 1 0.5 1/ 3 1/ 4 1/ 6 1/12 1/ 24 1/ 24 a a a a b b b b b b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b b a b b a b b a b b a b b b a b b b                                   Giải hệ phương trình trên ta thu được các hệ số như sau: 1 4 2 3 1 2 3 4 5 6 1/ 6 2 / 6 0.5 1 a a a a b b b b b b              (8) 40 Vậy ta có công thức Runge – Kutta bậc 4 như sau:      1 1 2 3 4 1 2 2 6 k ky x y x K K K K              1 2 1 3 2 4 3 , 0.5 , 0.5 0.5 , 0.5 , k k k k k k k k K f x y h K f x h y K h K f x h y K h K f x h y K h               (9) Với