Luận văn Các phương pháp tính tích phân và những vấn đề liên quan khi dạy học tích phân

1 1 u a b c d u u uu u u u            3 2( ) ( 1) (2 2 ) 0,b d u a b c d u a bu c d a b c d u                 76 1 4 0 1 1 4 2 2 0 1 40 1 4 a b d b a b c d a b c d c a b c d d                                   1 2 2 2 0 1 1 1 1 1 4 1 11 1             I duu uu u 1 2 0 1 1 1 ln 1 ln 1 4 1 1 u u u u              1 4 ln 3 . 4 3        3.4.16. Dạng: tan( ) tan( ) , , .     x a x b dx a b k k Z Phƣơng pháp giải. Ta biến đổi         sin sin tan( ) tan( ) cos cos x a x b x a x b dx dx x a x b                 sin sin 1 cos cos x a x b dx dx x a x b                   1 cos . cos cos      a b dx x x a x b Ví dụ 3.4.16. Tính 0 4 tan tan . 3 4                I x x dx    Giải: 0 4 sin sin 3 4 1 1 cos cos 3 4 x x I dx x x                                        Thang Long University Library 77 0 0 4 4 sin sin cos cos 3 4 3 4 cos cos 3 4 x x x x dx dx x x                                                      0 0 4 4 cos 3 4 ; cos cos 3 4                        dx x x x       Tính 0 0 4 4 cos 6 23 4 4 cos cos cos cos 3 4 3 4 dx A dx x x x x                                                   3 1 3 12 6 4 ln 2 3 ln 4 2 26 2       (Theo kết quả Ví dụ 3.4.14); Tính 0 4 ; 4 x   Vậy    3 1 2 3 ln . 2 4    I  3.4.17. Sử dụng phép đặt không làm thay đổi cận tích phân. Ví dụ 3.4.17.1. Tính 2 0 sin . 1 cos   x x I dx x  Giải: Đặt: ,   x u dx du 0x u   , 0.  x u         2 2 0 0 sin sin 1 cos 1 cos          u u u u I du du u u      2 2 0 0 sin sin 1 cos 1 cos u u u du du u u         2 0 cos 1 cos d u I u       2 0 cos 2 ; 1 cos     d u I u   78 Đặt  2cos tan cos 1 tan ,   u t d u t dt 0 4 u t    , . 4    u t    2 2 24 4 4 2 4 4 4 1 tan 2 . 1 tan 2 4             t dt I dt t I t            Nhân xét: Bằng phép đặt nhƣ trên ta thấy cận của tích phân không đổi và nhƣ vậy ta đã tách đƣợc tích phân cần tính về dạng   b a f u du kI trong đó   b a f u du dễ dàng tính đƣợc. Ví dụ 3.4.17.2. Tính   4 0 ln 1 tan . I x dx  Giải: Đặt , 4     x u dx du  0 4   x u  , 0. 4   x u  4 4 4 0 0 0 1 tan 2 ln 1 tan ln 1 ln 4 1 tan 1 tan                                u I u du du du u u         4 4 4 4 0 0 0 0 ln 2 ln 1 tan ln 2 ln 1 tan ln 2u du du u du u I                ln 2 4 I   2 ln 2 ln 2. 4 8    I I   Ví dụ 3.4.17.3. Tính 42 4 4 0 sin . sin cos   x I dx x x  Giải: Thang Long University Library 79 Đặt , 2     x u dx du  0 2 x u    , 0. 2   x u  4 4 42 2 2 4 4 4 4 4 40 0 0 sin cos cos2 cos sin cos sin sin cos 2 2 u u x I du du dx u u x x u u                                4 4 4 42 2 2 2 4 4 4 4 4 4 0 0 0 0 sin cos sin cos 2 sin cos cos sin cos sin x x x x I dx dx dx dx x x x x x x                 2 0 2 x    . 4  I  Nhận xét: Trong bài này sau khi đổi biến thì I bằng một tích phân mới mà việc tính tổng của tích phân đó với I dễ dàng. 3.4.18. Sử dụng tổng hợp các công thức biến đổi lƣợng giác. Ví dụ 3.4.18.1. Tính 2 0 cos cos2 cos3 . I x x xdx  Nhận xét: Vì hàm số dƣới dấu tích phân là tích cos cos2 cos3x x x nên ta sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng để biến đổi. Giải:   2 2 2 0 0 cos3 cos 1 cos3 cos 3 cos cos3 2 2 x x I xdx x x x dx               2 2 0 0 1 1 sin6 sin 4 sin 2 1 cos6 cos4 cos2 . 4 4 6 4 2 8                x x x x x x dx x    Ví dụ 3.4.18.2. Tính 32 0 sin . 1 cos   x I dx x  Giải: 80     222 2 2 0 0 0 1 cos sin 1 cos 1 cos sinsin sin 1 cos 1 cos 1 cos x x x x xx x I dx dx dx x x x                 2 0 1 cos sinx xdx     2 0 sin sin cosx x x dx   2 0 sin 2 sin 2 x x dx          2 0 cos2 cos 4 x x          1 1 1 1 . 4 4 2            Ví dụ 3.4.18.3. Tính   3 6 tan cot cot 2 . I x x xdx   Giải: 2 23 3 3 6 6 6 sin cos cos2 sin cos cos2 2 cos2 cos sin sin 2 sin cos sin 2 sin 2 sin 2 x x x x x x x I dx dx dx x x x x x x x x                   3 3 2 6 6 1 1 2 2 sin 2 0. sin 2 sin 2 3 3        d xx x     3.5. DẠNG 5. TÍCH PHÂN CỦA HÀM SỐ VÔ TỈ 3.5.1. Dạng:   2 1 ( ) n mmn dx ax b cx d     . Với    *m,n N ,n 2,ac 0. Phƣơng pháp giải. Đặt m n ax b u cx d        ta sẽ đƣa về tính tích phân đơn giản hơn. Ví dụ 3.5.1. Tính I = 1 3 0 . (3 1) (5 4)   dx x x Giải: Ta thấy 2;3  nm nên đặt u = 3 45 13         x x 3 2 3 1 5 4 x u x         Thang Long University Library 81 2 2 3 1 7 2 3 5 4 (5 4) x dx udu x x          2 3 2 , (5 4) 21    dx du x u 1 0 8 x u   , 8 1 . 27   x u Vậy ta có: I =   1 0 3 )45()13( xx dx =             1 0 3 2 45 13 45 x x x dx = 8 27 3 1 8 2 21 . du u u  = 8 27 43 1 8 2 1 21 du u  = 8 27 3 1 8 2 7 u  = 1 . 7 3.5.2. Dạng: .   ax b dx cx d Phƣơng pháp giải. Đặt . u cx d Ví dụ 3.5.2. Tính I = 1 0 1 . 3   x dx x Giải: Đặt 23 3u x x u     2 , dx udu 0 3x u   , 1 2.  x u 3 32 2 2 2 4 2 2 4 ;      u I udu u u Đặt 2sin ; 2cos , 2 2              u y y du ydy   2 4 u y    , 3 . 3   u y  82 3 3 3 2 2 2 4 4 4 4 4 4sin cos 4 4cos cos 8 cosI y ydy y ydy ydy              3 4 4 1 cos2y dy    3 4 sin 2 3 1 4 4 4 3 2. 2 3 4 4 2 3                        y y      3.5.3. Dạng: ( , ( ), ( )) , n mR x u x u x dx với m,n là các số nguyên lớn hơn hoặc bằng 2. Phƣơng pháp giải. Đặt kt u với k là bội chung nhỏ nhất của m và n. Ví dụ 3.5.3. Tính 1 3 0 1 1 . 1 1       x I dx x Nhận xét : Bội chung nhỏ nhất của 2 và 3 là 6 nên ta đặt 6 1 . t x Giải: Đặt 6 1t x  6 51 6 ,     x t dx t dt 0 1x t   , 1 0.  x t 1 13 5 6 4 3 2 2 2 2 0 0 1 1 6 6 1 1 1 1 t t I t dt t t t t t dt t t t                       1 1 1 6 4 3 2 2 2 0 0 0 1 6 1 6 6 ; 1 1             t t t t t t dt dt dt t t Tính   1 1 7 5 4 3 2 6 4 3 2 0 0 409 6 1 6 ; 7 5 4 3 2 70                     t t t t t A t t t t t dt t Tính   1 1 1 2 2 2 2 0 0 0 1 6 3 3ln 1 3ln 2; 1 1         t B dt dt t t t Tính 1 2 0 1 6 ; 1   C dt t Thang Long University Library 83 Đặt  2tan ; 1 tan , 2 2               t y y dt y dy   0 0t y   , 1 . 4   t y    4 4 2 4 2 0 0 0 1 3 6 1 tan 6 6 ; 1 tan 2         C y dy dy y y     Vậy 409 3 3ln 2 . 70 2       I A B C  3.5.4. Dạng: Sử dụng phép thế phân tuyến tính . 1    m nt x t Ví dụ 3.5.4. Tính   0 2 2 2 . 1 1       dx I x x x x Nhận xét: Dùng phép thế đã nêu ta có,          2 2 2 2 1 1 1 ; 1           m nt t m nt t x x t          2 2 2 2 1 1 1 . 1           m nt t m nt t x x t Ta đi xác định m, n sao cho các hệ số ứng với t ở tử bằng không. Tức là: 2 1 12 2 0 2 2 0 2 2 0 1 1 m nm nmn m n mn m n n m n                          Giải: Đặt   2 1 2 , 1 1        t x dx dt t t 2 3,    x t 0 1.  x t 84   2 2 2 3 1 1 1 t x x t      ; 2 2 31 . 1      t x x t         1 1 1 2 2 2 2 2 2 0 0 0 1 2 2 2 3 1 3 3 1 3 3 1 3 t dt tdt dt I t t t t t t              Tính   1 2 2 0 2 ; 3 1 3     tdt A t t Đặt 2 2 23 3 ,      t y t y tdt ydy 0 3,  t y 1 2.  t t      2 2 2 22 3 3 3 2 2 2 3 83 8 3 2 2 3 2 2 ydy dy dy A yy y y y          2 2 3 3 1 1 1 1 3 2 2 ln 2 2 3 2 2 3 2 2 2 6 3 2 2 y dy y y y                1 1 1 3 2ln 3 2 ln 3 2 2 ln ; 6 6 6 3 2 2        Tính   1 2 2 0 2 ; 3 1 3     dt B t t Đặt     2 2 2 2 222 2 2 3 3 3 1 , 13 1 1             t u udu u u t tdt dt du ut u u 0 0,  t u 1 1 . 2   t u 1 2 2 0 1 2 ; 8 1   B du u Đặt  22 2 tan ; 2 2 1 tan , 2 2               u z z du z dz   Thang Long University Library 85 0 0,  u z 1 arctan 2. 2   u z   arctan 2 arctan 2 arctan 2 2 2 0 0 0 1 1 1 tan 1 tan 12 2 2 z B z dz dz z       1 arctan 2; 2  Vậy 1 3 2 1 ln arctan 2. 6 3 2 2 2       I A B 3.5.5. Dạng: ( ) , r p qx a bx dx (p, q, r là các số hữu tỉ). a) Nếu q nguyên đặt sx t với s là bội chung nhỏ nhất của mẫu số của phân số r và p; b) Nếu 1r p  nguyên đặt sp tbxa  với s là mẫu số của phân số q; c) Nếu 1r p  +q nguyên đặt sp tbax  với s là mẫu số của phân số q. Ví dụ 3.5.5.1. Tính: 16 34 1 . ( 1) dx I x x    Nhận xét: Viết tích phân dạng   316 11 42 1 1x x dx         ta thấy q = 3 là số nguyên nên ta sử dụng cách đặt a. Giải: Đặt  4 30 4 ,   x t t dx t dt 1 1,  x t 16 2.  x t         2 2 23 3 3 3 32 1 1 1 4 4 1 1 4 1 1 1 1                 t dt tdt t I dt t t t t t     2 2 3 1 1 1 4 1 1 dt t t             2 2 1 1 1 1 1 1 1 7 4 4 4 . 1 3 18 2 8 182 1                           t t Lƣu ý: Khi đặt 4x t ta phải có điều kiện t > 0 để khi đổi cận mỗi một giá trị của x ta chỉ tìm đƣợc một giá trị của t. Ví dụ 3.5.5.2. Tính 1 3 2 0 1 .I x x dx  86 Nhận xét: Viết tích phân dạng   1 1 3 2 2 0 1x x ta thấy 1 2 q  và 1 2 r p   là số nguyên nên ta đặt 2 21 .x t  Giải: Đặt  2 2 2 21 0 1 ,       x t t x t xdx tdt 0 1x t   , 1 2x t         2 2 2 4 2 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . 4 2 4 2 4 t t I t tdt t t dt                        Lƣu ý: Khi đặt 2 21 x t  ta phải có điều kiện t > 0 để khi đổi cận mỗi một giá trị của x ta chỉ tìm đƣợc một giá trị của t. Ví dụ 3.5.5.3. Tính 3 2 1 3 1 .I x dx  Nhận xét: Viết tích phân dạng   3 1 2 2 1 3 1 x ta thấy 1 2 q  và 1 1 r q p    là số nguyên nên ta đặt 2 21 .x t  Giải: Đặt     2 2 2 22 2 1 1 1 , 1 1           t x t t x xdx dt t t 1 2 3 x t   , 2 3 . 3   x t     2 3 23 2 2 22 2 2 1 22 3 3 1 1 1 1 t t I x dx t dt dt x t t                 2 2 22 2 2 222 2 2 2 2 2 3 3 3 1 1 1 1 ; 11 1 1                 t dt dt dt tt t t Tính    2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 A dt dt dt t t t t t                   2 2 3 1 1 1 ln ln3 7 4 3 ; 2 1 2           t t Thang Long University Library 87 Tính      2 22 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1 4 1 11 B dt dt dt t t t tt                             2 2 2 2 3 1 1 2 1 4 1 11 1 dt t tt t                    2 2 2 2 2 2 3 3 1 1 1 1 1 4 2 1 11 1 dt dt t tt t                2 2 3 1 1 1 1 1 3 ln3 7 4 3 ; 4 1 1 2 3 4                A t t  1 13 ln3 7 4 3 . 3 4        I A B 3.5.6. Dạng: Phƣơng pháp lƣợng giác hoá. Phƣơng pháp giải. + Nếu tích phân có dạng  2 2,f x a x dx thì đặt sinx a t với ; . 2 2 t         + Nếu tích phân có dạng  2 2,f x x a dx thì đặt sin a x t  với 3 0; ; . 2 2 t                + Nếu tích phân có dạng  2 2,f x x a dx thì đặt tanx a t với ; . 2 2 t         + Nếu tích phân có dạng , a x f x dx a x        thì đặt cos2x a t với 0; .2 t       88 + Nếu tích phân có dạng    ,x x a b x  thì đặt   2sinx a b a t   với 0; . 2 t       Nhận xét: Khi sử dụng phƣơng pháp lƣợng giác hoá ta cần phải đặt điều kiện cho biến t bởi vì: +) Khi đổi cận tích phân ứng mỗi giá trị x ta chỉ xác định duy nhất một giá trị t; +) Với ; 2 2 t          thì 2cos cos ; 1 sin 1       t t t +) Với 3 0; ; 2 2 t                thì 2cot cot ; 1 sin 1;sin 0        t t t t +) Với ; 2 2 t          thì 2cos cos ; cos 0     t t t +) Với 0; 2 t        thì 2 2cos cos ; sin sin ; 1 cos2 1        t t t t t +) Với 0; 2 t        thì 2 2 2 cos cos ; sin sin . 0 sin 1       t t t t t Ví dụ 3.5.6.1. Tính 2 2 2 1 4 . x I dx x    Giải: Đặt 2sinx t với ;0 0; 2 2 t                2cos , dx tdt 1 6 x t    , 2 2 x t    Thang Long University Library 89 2 22 2 2 2 2 2 6 6 6 4 4sin 4cos 2cos 2cos 2cos 2cos 4sin 4sin 4sin       t t t I tdt tdt tdt t t t       22 2 2 2 2 2 6 6 6 cos 1 cot 1 sin sin t dt tdt dt t t                      2 6 cot 3 3 . 2 6 3        t t      Nhận xét: Ta có thể đặt 2cosx t với 0; ; . 2 2             t    Ví dụ 3.5.6.2. Tính 0 2 2 1 3 2 .   I x x xdx Giải: Ta có   0 2 2 1 3 1 1I x x     Đặt 1 1 sin x t   với 3 0; ; 2 2 t                2 cos , sin    t dx dt t 2 1 33 x t     , 0 2 x t    22 2 2 2 2 2 3 3 1 1 cos 1 1 sin cos 1 1 1 sin sin sin sin sin sin t t t I dt dt t t t t t t                         22 2 2 3 1 cos cos 1 sin sin sin t t dt t t t            2 2 3 1 cos cos 1 sin sin sin t t dt t t t            2 22 2 4 3 3 3 cos cos ; sin sin     t t dt dt t t     90 Tính 2 22 2 4 2 2 3 3 cos cos 1 sin sin sin t t A dt dt t t t          32 2 2 33 cot 1 cot cot ; 3 9 3     t td t    Tính 22 3 3 cos 1 4 ln3 sin 4 3 t B dt t            (Theo kết quả Ví dụ 3.4.15.3); 1 1 4 ln3 . 4 39 3             I A B Nhận xét: Ta có thể đặt 1 1 cos x t   với 3 0; ; . 2 2             t    Ví dụ 3.5.6.3. Tính 2 3 2 4 2 4 .    x I dx x Giải: Đặt 2tanx t với ; 2 2 t          2 2 , cos  dx dt t 2 4 x t    , 2 3 3 x t    2 23 3 44 2 2 44 3 4 4tan 2 1 1 tan 1 sin16tan cos 4 cos cos t t I dt dt tt t t t          2 23 3 3 2 4 4 4 4 4 4 1 1 cos 1 1 cos 1 cos 4 cos sin 4 cos sin 4 sin t t t dt dt dt t t t t t            3 3 4 3 4 4 1 sin 1 1 2 3 2 . 4 sin 4 3sin 27 6      d t t t     Nhận xét: Ta có thể đặt 2cotx t với  0; .t  Thang Long University Library 91 Ví dụ 3.5.6.4. Tính 0 1 1 . 1 x I x dx x     Giải: Đặt cos2x t với 0; 2 t        2sin2 , dx tdt 1 2 x t     , 0 4 x t    22 2 2 4 4 1 cos2 2cos 2 cos2 sin 2 2 cos2 sin 2 1 cos2 2sin t t I t tdt t tdt t t            2 2 2 2 4 4 4 cos 2 cos2 2sin cos 4 cos2 cos 2 cos2 1 cos2 sin t t t tdt t tdt t t dt t                 2 2 2 2 4 4 4 1 cos4 2 cos2 cos 2 2 cos2 2cos2 1 cos4 2 t t t dt t dt t t dt                      2 4 sin 4 sin 2 1 1. 4 2 4 4                    t t t      Ví dụ 3.5.6.5. Tính    3 2 5 4 1 . 1 2 x I dx x x      Giải: Đặt 21 sinx t  với 0; 2 t        2sin cos , dx t tdt 5 4 6 x t    , 3 2 4 x t    92   2 24 4 2 22 2 6 6 sin 2 sin 2 2sin cos 2sin cos sin cossin 1 sin t t I t tdt t tdt t tt t                24 4 4 2 6 6 6 sin 2 2sin cos 2sin 4 1 cos2 4 sin cos t t tdt t dt t dt t t                  4 4 66 sin 2 5 1 5 3 5 3 2 5 cos2 5 . 2 4 2 6 4 12 4                            t t dt t       Nhận xét: +) Trong Ví dụ này 0; 2 t        vì khi 0 2 t t       thì thì hàm số dƣới dấu tích phân không có nghĩa; +) Ta có thể đặt 21 cosx t  với 0; . 2 t       3.6. DẠNG 6. TÍCH PHÂN CỦA HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Phƣơng pháp giải. Giả sử cần tính tích phân   b a I f x dx  , ta thực hiện các bƣớc sau Bƣớc 1. Lập bảng xét dấu của hàm số f(x) trên đoạn [a; b], giả sử f(x) có bảng xét dấu x a 1x 2x b  f x f(a)  0  0  f(b) Bƣớc 2. Tính 1 2 1 2 b x x b a a x x I f ( x ) dx f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx       . Ví dụ 3.6. 1. Tính tích phân 2 2 3 3 2 .    I x x dx Giải: Thang Long University Library 93 Bảng xét dấu x 3 1 2 2 3 2x x  20  0  0     1 2 2 2 3 1 3 2 3 2        I x x dx x x dx 1 2 3 2 3 2 3 1 3 3 2 2 3 2 3 2 x x x x x x                   5 57 2 5 59 . 6 2 3 6 2       Ví dụ 3.6.2. Tính tích phân 2 2 0 5 4cos 4sin . π I x xdx   Giải: 2 2 2 0 0 4sin 4sin 1 2sin 1 π π I x x dx x dx      ; Bảng xét dấu x 0 6  2  sin2 x 1 1  0  1     6 2 0 6 2sin 1 2sin 1     I x dx x dx        26 0 6 2cos 2cos    x x x x   3 2 3 2 3 2 . 6 2 6 6                          Ví dụ 3.6.3. Tính 2 0 1 sin 2 . I xdx  Giải:   2 2 2 0 0 sin cos sin cos ;    I x x dx x xdx   Bảng xét dấu: x 0 4  2  sin cosx x 1  0 + 1 94     4 2 0 4 sin cos sin cosI x x dx x x dx             24 0 4 cos sin sin cosx x x x      0. 3.7. DẠNG 7. MỘT SỐ TÍCH PHÂN CỦA HÀM ĐẶC BIỆT Ví dụ 3.7.1. Tính 1 4 2 1 sin . 1     x x I dx x Giải: 1 14 2 2 1 1 sin ; 1 1        x x I dx dx x x Ta có 1 2 1 sin 0 1 x dx x    do hàm số   2 sin 1 x f x x   lẻ và liên tục trên đoạn  1;1 (Áp dụng bổ đề 1.2.3). 1 1 14 4 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x x I dx dx x dx x x x                        1 1 2 2 1 1 1 1 ; 1        x dx dx x Tính   1 1 3 2 1 1 4 1 ; 3 3               x C x dx x Tính 1 2 1 1 ; 1    D dx x Đặt tanx t với ; 2 2 t           21 tan ,  dx t dt 1 4 x t      , 1 . 4 x t     Thang Long University Library 95   4 4 2 4 2 4 4 4 1 1 tan ; tan 1 2          D t dt dt t t        Vậy 4 . 3 2     I C D  Ví dụ 3.7.2. Tính 4sin . 5 1    x x I dx   Giải: Hàm số   4sinf x x chẵn và liên tục trên đoạn  ;  nên theo bổ đề 1.2.2 ta có,    24 2 0 0 0 1 1 sin 1 cos2 1 2cos2 cos 2 4 4 I xdx x dx x x dx             0 0 1 1 cos4 1 1 2cos2 3 4cos2 cos4 4 2 8 x x dx x x dx                0 1 sin 4 3 3 2sin 2 . 8 4 8          x x x   Ví dụ 3.7.3. Tính       2015 20164 4 0 sin cos3 . 1 cos3    x x I dx x  Giải: Đặt         2015 2016 4 sin cos3 , 1 cos3   x x f x x Vì  f x xác định, liên tục trên R và    2f x f x  nên theo bổ đề 1.2.4 ta có:         2 4 2 2 2 0 2 0 2        I f x dx f x dx f x dx f x dx            2 2 0 0 f x dx f x dx       2 0 2 f x dx       2 2 2 ;f x dx f x dx             96 Do  f x lẻ trên đoạn  ;  nên theo bổ đề 1.2.3 ta có   0 0.     f x dx I   Ví dụ 3.7.4. Tính 4 0 sin . I x xdx  Giải: Đặt    4sin ; 0; , f x x x  hàm số  f x liên tục trên đoạn  0; và        4 40 sin sin , 0;f x x x f x x          nên theo bổ đề 1.2.4 ta có,       24 0 0 0 0 sin 1 cos2 2 2 8 I xf x dx f x xdx x dx                2 0 1 2cos2 cos 2 8 x x dx     0 1 cos4 1 2cos2 8 2 x x dx              2 0 0 sin 4 3 3 4cos2 cos4 3 2sin 2 . 16 16 4 16 x x x dx x x                 3.8. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG 3.8.1. Dạng 1: Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đƣờng ( ), , y f x x a x b   và trục hoành. Phƣơng pháp giải. Bƣớc 1. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đƣờng ( ), , y f x x a x b   và trục hoành là ( ) ; b a S f x dx  Bƣớc 2. Lập bảng xét dấu hàm số f(x) trên đoạn [a; b]; Bƣớc 3. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân ( ) . b a f x dx Thang Long University Library 97 Ví dụ 3.8.1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đƣờng 1 ln , , 2 y x x x x e   và trục 0 .x Giải: Diện tích cần tính là 1 2 ln ;  e S x xdx Bảng xét dấu x 1 2 1 e lnx x 1 ln 2 2   0 + e 1 1 1 2 ln ln ;    e S x xdx x xdx Tính 1 1 2 ln ; A x xdx Đặt 2 1 ln 2 du dx u x x dv xdx x v          1 1 112 2 2 1 1 11 2 2 22 ln 2 3 ln ln ; 2 2 2 4 8 16       x x x x A x dx x Tính 1 ln ;  e B x xdx 98 Đặt 2 1 ln 2 du dx u x x dv xdx x v          Vậy 2 7 ln 2 . 4 16 8 e S A B      3.8.2. Dạng 2: Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đƣờng ( ), ( ), , .y f x y g x x a x b    Phƣơng pháp giải: Bƣớc 1. Diện tích cần tính là:     ;  b a S f x g x dx Bƣớc 2. Xét dấu hàm số    ;f x g x Bƣớc 3. Từ bảng xét dấu tính S. Ví dụ 3.8.2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đƣờng 2 3 2 , 2,y x x y x     0, 3.x x  Giải: Diện tích cần tính là: 3 2 0 3 2 2 ;    S x x x dx Bảng xét dấu: x 0 1 2 3 2 3 2x x  2 + 0  0 + 2       1 2 3 2 2 2 0 1 2 1 2 3 2 2 2 0 1 2 4 2 4 4 4 2 4 4 S x xdx x x dx x x dx x x dx x x dx x x dx                      2 2 2 2 11 1 1 1 ln ln ; 2 2 2 4 4 4       e e ee x x x x e B x dx x Thang Long University Library 99 1 2 3 3 3 3 2 2 2 0 1 2 2 4 2 2. 3 3 3 x x x x x x x                          3.8.3. Dạng 3: Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đƣờng ( ), ( ).y f x y g x  Phƣơng pháp giải. Bƣớc 1. Giải phƣơng trình    f x g x , giả sử có các nghiệm trên đoạn [a; b] theo thứ tự từ bé đến lớn là 1 2, ,..., nx x x ; Bƣớc 2. Diện tích cần tính là:     1 ;  nx x S f x g x dx Bƣớc 3. Tính         32 1 2 ... xx x x S f x g x dx f x g x dx          1 .    n n x x f x g x dx Nhận xét: Do trên từng đoạn      1 2 2 3 1; , ; ,..., ;n nx x x x x x thì    f x g x không đổi dấu nên                32 1 2 1 ... .           n n x xx x x x S f x g x dx f x g x dx f x g x dx Ví dụ 3.8.3. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đƣờng 3y x và 24 3 . y x x Giải: Phƣơng trình hoành độ giao điểm:  3 2 2 0 4 3 4 3 0 1 3 x x x x x x x x x             100 Diện tích cần tính là 3 3 2 0 4 3S x x xdx   1 3 3 2 3 2 0 1 4 3 4 3x x xdx x x xdx       1 3 4 3 2 4 3 2 0 1 4 3 4 3 9 . 4 3 2 4 3 2 4                   x x x x x x 3.8.4. Dạng 4. Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của ba hàm số trở lên. Phƣơng pháp giải: Bƣớc 1. Vẽ đồ thị các hàm số trên cùng một hệ trục toạ độ; Bƣớc 2. Từ đồ thị suy ra diện tích hình phẳng cần tính. Ví dụ 3.8.4. Trên mặt phẳng tọa độ chuẩn0xy , D là miền đƣợc giới hạn bởi các đƣờng có phƣơng trình 2 227; ; 27 x y y y x x    . Tính diện tích của D, (Đại Học Mỏ - Địa Chất KA-98). Giải: Diện tích cần tìm là: 3 92 2 2 0 3 27 27 27 x x S x dx dx x                  3 9 3 3 9 3 0 3 26 1 27ln 27ln3. 27 3 27 3 x x x    -10 -5 5 10 15 10 8 6 4 2 3 9 93 Thang Long University Library 101 3.9. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH THỂ TÍCH KHỐI TRÕN XOAY 3.9.1. Dạng 1. Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đƣờng       , 0, ;y f x f x x a b    , y 0 , x a và  ,x b b a  quay quanh trục 0 .x Phƣơng pháp giải: Thể tích cần tính là:  2 .  b a V f x dx Ví dụ 3.9.1. Tính thể tích của khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đƣờng 2sin ; ; 4 2 y x x x     và trục 0x quay quanh trục 0x . Giải: Thể tích cần tính là:     22 2 2 2 4 4 4 4sin 2 1 cos2 2 sin 2 . 2 V xdx x dx x x                   3.9.2. Dạng 2. Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đƣờng       , 0, ;x f y f y y a b    , y = a, y = b (b>a) và trục 0y quay quanh trục 0y. Phƣơng pháp giải: Thể tích cần tính là:  2 .  b a V f y dy Ví dụ 3.9.2. Tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đƣờng 2 ; 0; 1 2 x y y y   và trục 0y quay quanh trục 0y. Giải: Ta có 2 2 2 2 x y x y   Thể tích cần tính là: 1 1 2 0 0 2 1.V ydy y   3.9.3. Dạng 3. Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đƣờng  ;y f x  ; ;y g x x a x b   (với      , 0, 0 ;b a f x g x x a b     ) quay quanh trục 0 .x Phƣơng pháp giải: 102 Thể tích cần tính là:    2 2 .  b a V f x g x dx Ví dụ 3.9.3. Tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đƣờng 4 2; ; 1; 1y x y x x x     quay quanh trục 0x . Giải: Thể tích cần tính là     1 0 1 8 8 8 1 1 0 V x x dx x x dx x x dx             0 1 9 2 2 9 1 0 11 7 . 9 2 2 9 18 18 x x x x                         3.9.4. Dạng 4. Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đƣờng  ;x f y  ; ;x g y y a y b   (với      , 0, 0 ;b a f y g y y a b     ) quay quanh trục 0 .y Phƣơng pháp giải. Thể tích cần tính là:    2 2 .  b a V f y g y dy Ví dụ 3.9.4. Tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đƣờng 2 ( )xy e . ; 1; 2y x y y   quay quanh trục 0y Giải: Ta có, 2 2( ) lnxy e x y   Thể tích cần tính là   2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 ln ln ln ;        V y y dy y y dy y dy ydy    Tính 22 3 2 1 1 7 ; 3 3    y A y dy    Tính 2 1 ln ; B ydy Đặt 1 ln du dyu y y dv dx v y         2 2 2 1 1 1 ln 2ln 2 2ln 2 1;      B y y dy y Thang Long University Library 103 Vậy 10 2 ln 2. 3 V A B       3.9.5. Dạng 5. Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đƣờng  ;y f x  y g x [với  f x và  g x cùng không âm (hoặc cùng không dƣơng)  1; ,i ix x x   trong đó 1;i ix x  là 2 nghiệm liền nhau của phƣơng trình    f x g x ] quay quanh trục 0 .x Phƣơng pháp giải. Bƣớc 1. Giải phƣơng trình    f x g x , giả sử phƣơng trình có các nghiệm 1 2, ,..., nx x x (với 1 2 ... nx x x   ); Bƣớc 2. Thể tích cần tính là:     1 2 2 .  nx x V f x g x dx Ví dụ 3.9.5. Tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đƣờng 4 2 2; 1y x x y x    quay quanh trục 0 .x Giải. Phƣơng trình hoành độ giao điểm 4 2 2 4 1 1 1 1           x x x x x x Thể tích cần tính là     1 1 2 2 4 2 2 8 6 2 1 1 1 2 2 1V x x x dx x x x dx               1 1 3 9 7 2 8 6 1 1 2 2 160 2 1 2 . 3 9 7 63 x x x x x x dx x                     3.9.6. Dạng 6. Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đƣờng  ;x f y  x g y [với  f y và  g y cùng không âm (hoặc cùng không dƣơng)  1;i iy y y   trong đó 1;i iy y  là các nghiệm của phƣơng trình    f y g y ] quay quanh trục 0 .y Phƣơng pháp giải. Bƣớc 1. Giải phƣơng trình    f y g y , giả sử phƣơng trình có các nghiệm 1 2, ,..., ny y y (với 1 2 ... ny y y   ); 104 Bƣớc 2. Thể tích cần tính là:     1 2 2 .  ny y V f y g y dy Ví dụ 3.9.6. Tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đƣờng 3;y x y x  quay quanh trục 0y. Giải: Ta có, 3 3 ;  y x x y Phƣơng trình tung độ giao điểm: 33 1 0 1 y y y y y y y           Thể tích cần tính là   1 1 2 2 2 23 3 1 1 V y y dy y y dy         1 5 33 1 3 8 . 5 3 15 y y              3.10. MỘT SỐ SAI LẦM THƢỜNG GẶP KHI GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN Trong quá trình dạy học tích phân, tôi thấy học sinh thƣờng mắc một số sai lầm cơ bản. Trong luận văn này tôi xin trình bày một số sai lầm mà tôi thƣờng gặp. Ví dụ 3.10.1. Tính tích phân: 3 3 2 0 . 4 x A dx x    Lời giải sai: Đặt 24 x = t(với t 0) 2 24 , tdt x t xdx tdt dx x          0 2x t   , 3 1.x t   A = 2 32 3 2 2 1 1 1 4 5 (4 ) (4 ) . 3 3 t t tdt t dt t t        Nguyên nhân sai lầm là: khi 0x  thì 1 x không xác định. Lời giải đúng: Đặt 24 x = t(với t 0) 2 24 ,x t xdx tdt      Thang Long University Library 105 0 2,x t   3 1.x t   A = 2 32 3 2 2 1 1 1 4 5 (4 ) (4 ) . 3 3 t t tdt t dt t t        Ví dụ 3.10.2. Tính I = 1 2 1 . 1 1 dx x x     Cách giải sai 1: Đặt 2 2 2 21 1 1 2 1x ux x u x ux          2 2 2 , 1 1 u x dx du u u        x = -1  u = 2 1  , x = 1 u = 2 1.   2 1 2 2 2 1 1 2 2 2 1 1 1 I du u u u u u              2 1 2 1 . 1 1 du du u u u        Nguyên nhân sai lầm là:  1;0;1 2 1; 2 1       mà khi u = 0 hoặc u = -1 hoặc u = 1 thì hàm số dƣới dấu tích phân không có nghĩa. Cách giải sai 2: 1 2 1 1 x x 1 I dx. 2x       Nguyên nhân sai lầm là:  0 1;1  mà khi x = 0 thì hàm số dƣới dấu tích phân không có nghĩa. Lời giải đúng: Ví dụ 3.2.13.1. Ví dụ 3.10.3. Tính 2 2 0 4 .I x dx  Lời giải sai: Đặt 2sin 2cos ,x t dx tdt   0 0x t   , 2 . 2 x t    106 2 2 0 4 4sin 2cos .I t tdt   Nguyên nhân sai lầm là: Khi đổi biến không đặt điều kiện cho biến t vì vậy ứng với mỗi giá trị của x thì có nhiều giá trị của t. Lời giải đúng: Đặt 2sin ; 2cos , 2 2 x t t dx tdt                0 0x t   , 2 . 2 x t    2 2 0 4 4sin 2cosI t tdt   =   2 2 2 0 0 4cos 2 1 cos2tdt t dt     2 0 sin 2 2 . 2 t t           Ví dụ 3.10.4. Tính   2 2 1 1 . 3 2 I dx x    Lời giải sai: Đặt 1 3 2 . 3 x t dx dt    22 2 11 1 1 1 1 . 3 3 6 I dt t t     Nguyên nhân sai lầm là: Đổi biến nhƣng không đổi cận. Lời giải đúng: Đặt 1 3 2 , 3 x t dx dt    1 5x t   , 2 8.x t   88 2 55 1 1 1 1 . 3 3 40 I dt t t     Ví dụ 3.10.5. Tính   2 3 1 . 2 1 x I dx x    Lời giải sai: Thang Long University Library 107 Đặt 1 2 1 , 2 t x t x      1 3x t   , 2 5x t   55 5 3 2 3 2 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1 11 . 2 2 2 2 225 t I dt dt t t t t t                      Nguyên nhân sai lầm là: Đổi biến nhƣng không tính vi phân dt. Lời giải đúng: Đặt 1 1 2 1 , 2 2 t x t x dx dt        1 3x t   , 2 5.x t   55 5 3 2 3 2 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1 1 11 . 2 2 4 4 2 450 t I dt dt t t t t t                      Ví dụ 3.10.6. Tính 3 2 2 6 1 1 4 . sin cos I dx x x            Lời giải sai:       3 3 3 22 2 6 6 6 3 6 tan cot 2 tan cot tan cot 4 ln cos ln sin ln 3 I x x dx x x dx x x dx x x                       Nguyên nhân sai lầm là: Khi khai căn không lấy dấu giá trị tuyệt đối. Lời giải đúng: 108   3 3 3 22 2 6 6 6 tan cot 2 tan cot tan cotI x x dx x x dx x x dx                    34 6 4 cot tan tan cotx x dx x x dx            4 3 6 4 4 ln sin ln cos ln cos ln sin ln . 3 x x x x          3.11. GIẢI BÀI TOÁN TÍCH PHÂN BẰNG NHIỀU CÁCH KHÁC NHAU Ví dụ 3.11.1. Tính tích phân I =   1 3 0 2 1 .x xdx Giải: Cách 1: I =     1 1 3 2 4 3 2 0 0 8 12 6 1 8 12 6x x x xdx x x x x dx        1 5 2 4 3 0 8 1 3 2 . 5 2 10 x x x x           Cách 2: Đặt 1 1 2 1 , 2 2 y y x x dx dy        0 1x y    , 1 1.x y   1 1 1 5 4 3 4 3 1 1 1 1 1 1 1 ( ) 2 2 4 4 5 4 y y y I y dy y y dy                1 . 10  Cách 3. Đặt     4 3 2 1 2 1 8 du dx u x x dv x dx v                  1 1 4 4 51 0 0 0 2 1 2 1 2 11 1 1 1 1 . 8 8 8 80 8 80 80 10 x x x I x dx             Tổng quát ta có dạng toán: Tính:   . b k n a I cx d x dx  Thang Long University Library 109 +) Nếu k nhỏ thì việc giải theo cách 1 sẽ đơn giản hơn. +) Nếu k rất lớn và n nhỏ thì giải theo cách 1 sẽ phức tạp hơn. Khi đó lựa chọn cách 2 hoặc cách 3 hợp lý hơn. +) Nếu k và n cùng lớn thi nên giải theo cách 1 hoặc cách 3.Trong trƣờng hợp này nếu lựa chọn cách 3 thì ta phải tính tích phân từng phần n lần (nếu n < k) hoặc k lần (nếu k < n). Ví dụ 3.11.2. Tính 2 0 sin . cos sin x I dx x x    Giải: Cách 1: Đặt , 2 x t dx dt      0 2 x t    , 0. 2 x t    2 2 2 0 0 0 sin cos cos2 sin cos sin cos cos sin 2 2 t t x I dt dt dx t t x x t t                                2 2 2 0 0 0 sin cos sin cos 2 cos sin sin cos sin cos x x x x I dx dx dx x x x x x x              2 2 0 0 . 2 4 dx x I         Cách 2: Đặt 2 0 cos . cos sin x J dx x x    Ta có 2 2 2 0 0 0 sin cos ; sin cos 2 x x I J dx dx x x x             và     2 2 2 0 0 0 sin cossin cos ln sin cos 0; sin cos sin cos d x xx x I J dx x x x x x x                110 2 . 2 4 I I      Cách 3: 2 0 1 sin 2 sin 4 x I dx x           Đặt , 4 t x dx dt     0 4 x t    , 3 . 2 4 x t     3 3 4 4 4 4 sin 1 1 sin cos4 sin 2 sin2 t t t I dt dt t t                 3 3 4 4 4 4 1 cos 1 1 3 1 1 1 1 lnsin ln ln . 2 sin 2 2 4 2 4 42 2 t dt x x t                                  Cách 4: Đặt 2 2 1 2 tan , 2 1 2cos 2 x dt t dt dx dx x t       0 0x t   , 1 2 x t    Ta có, 2 2 sin 1 t x t   và 2 2 1 cos ; 1 t x t       1 1 2 2 2 2 2 0 0 2 2 2 2 21 4 ; 1 2 1 2 1 1 1 1 t ttI dt dt t t t t t t t t               Ta tìm 4 số a, b, c, d sao cho     2 22 2 4 , 1 2;1 2 2 1 12 1 1 t at b ct d t t t tt t t                Thang Long University Library 111 3 2 3 2 24 2 2 ,t at b at bt ct ct ct dt dt d t            0 1 2 0 1 2 4 1 0 1 a c a b c d b a c d c b d d                         1 1 1 1 2 2 2 2 2 0 0 0 0 1 1 1 2 2 1 2 1 ; 2 1 1 2 2 1 2 1 1 t t t t I dt dt dt dt t t t t t t t                         Tính  2 11 1 2 2 2 00 0 2 11 2 2 1 1 1 ln 2 1 ln 2; 2 2 1 2 2 1 2 2 d t tt A dt t t t t t t                     Tính     2 11 1 2 2 2 00 0 11 2 1 1 1 ln 1 ln 2; 2 1 2 1 2 2 d tt B dt t t t          Tính 1 2 0 1 1 4 C dt t     (Theo kết quả Ví dụ 3.5.3); Vậy . 4 I A B C     Cách 5:    2 2 2 0 0 0 sin cos cos sin1 1 1 cos sin 2 sin cos 2 2 sin cos x x x x x x I dx dx dx x x x x                   2 22 0 0 0 sin cos1 1 1 ln sin cos . 2 2 sin cos 4 2 4 d x x x x x x x             Ví dụ 3.11.3. Tính 1 2 0 2 . 1 x I dx x x     Giải: 112 Cách 1:       2 11 1 1 1 3 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 2 1 2 2 1 2 1 1 31 x x x x I dx x x dx x dx x d x x x                  1 3 2 0 2 1 2 4 2 4 . 3 3 3 x     Cách 2: Đặt   2 22 2 2 1 1 1 1 1 , 2 2 2 t t x x x t x x dx dt t t                   0 1x t   , 1 1 2.x t    1 2 1 2 1 22 2 2 2 2 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 t I dt dt dt t t t t t                                     1 2 33 1 1 1 1 1 2 4 2 4 1 2 . 2 3 2 3 33 1 2 t t                      Cách 3: Đặt tanx t [ với ; 2 2 t          ] 2 1 , cos dx dt t   0 0x t   , 1 . 4 x t    4 4 2 22 0 0 2 2tan 1 2tan 1 cos cos1tan 1 tan tan cos t t I dt dt t tt t t t          4 2 0 2tan 1 1 cos tan cos t dt t t t       4 2 0 2sin cos sin 1 t dt t t    Thang Long University Library 113 4 2 20 2sin cos cos sin 2 2 t dt t t t          4 2 20 sin cos cos 4 2 t dt t t           4 4 2 2 2 20 0 cos2 14 2 cot 2 ; 4 2 sin 2 cos cos 4 2 4 2 4 2 t t dt dt t t t                                       Đặt 2 1 tan 2 , 4 2 cos 4 2 t u dt du t                  0 1t u   , 2 1. 4 t u     Ta có, 2 2 2 1 2 cos2 ;sin 2 . 4 2 1 4 2 1 t u t u u u                     2 22 1 1 14 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 2 4 2 2 u u u I du du u du u u u                    1 3 2 1 1 1 4 2 4 . 2 3 3 u u            3.12. BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 3.12.1. Tính các tích phân sau: 1) 1 5 0 (3 2) ; x dx 2) 21 2 3 0 ; 2 x dx x        3) 1 2 3 0 2 ; 1  x dx x 4) 3 1 2 1 ;xx e dx   5) 1 2 ln ;   e x dx x 6) 2 ; 1 ln  e e dx x x 7) 3 3 0 sin ; cos x dx x  8) 3 cos 0 sin ; xxe dx  9) 2 0 2 1 cos sin ; x xdx  114 10) tan4 2 0 ; cos xe dx x  11) 3 6 ; sin 2 dx x   12) 2 3 0 cos sin ; x xdx  13) 2 1 3 0 ;xx e dx 14) 3 3 0 sin ; 1 cos  x dx x  15) 2 1 (1 ln ) ;   e x dx x 16) 3 1 6 2ln ;   e x dx x 17) 34 2 0 sin ; cos x dx x  18) 3 2 0 tan ; sin x xdx  19) 4 1 ln ; x dx x  20) 1 2 2 3 ; 4 dx x x  21. 1 0 ; 1 x dx x 22) 4 3 2 4 ; 4 x dx x   23) 0 sin ;xe xdx   24) 3 2 2 3 3 ; (2 ) dx x x  25) 1 2 2 3 0 ; (1 ) x dx x 26) 4 3 4 0 tan ; cos π x dx x 27) /3 4 /6 ; sin cos π π dx x x 28) 4 0 1 ; cos 2 cos2 4 dx x x         29) 2 0 cos ;   x xdx 30) 6 0 tan tan ; 3 4 π π π x x dx               31) 1 3 0 ;xxe dx 32) 2 2 0 sin ;x xdx   33) 2 1 (2 1)ln ;x xdx 34) 2 2 4 ; xdx sin x    35) 6 2 0 ; cos xdx x   36) 1 4 6 0 1 ; 1 x dx x   37) 3 2 1 ln(3 ) ; x x dx 38) 2 2 1 ( 1) ; xx e dx 39) 3 2 0 sin tan ; x xdx  Thang Long University Library 115 40) 5 2 2 ln( 1) ; x x dx 41) 2 2 3 1 ; 2  x dx x 42. ; 3 5 3 2 0 x 2x dx x 1    43) 2 2 3 1 2 ; x x dx 44) 2 2 2 0 sin 2 ; (1 cos ) xdx x  45) 34 2 0 sin ; cos x dx x  46) 2 0 sin3 ; x xdx  47) 2 2 1 ln(1 ) ; x x dx 48) 6 0 cos ; 1 2sin  xdx x  49) /2 3 0 4cos 3sin ; (cos sin ) π x x dx x x   50) 1 15 8 0 1 ; x x dx 51) 3 2 0 sin tan ; x xdx  52) 1 0 ( 1) ; xx e dx 53) 1 3 0 ( 3 1) ;  x x dx 54) 0 sin ; x xdx  55) 4 0 ; 1 2 1   x dx x 56) 2 3 1 ln ; x dx x 57) 33 4 0 sin ; cos x dx x  58) 2 0 sin ; 1 3cos x dx x  59) 2 2 3 0 sin cos ;x xdx  60) /2 2 0 ( 1)sin ; π x xdx 61) /2 0 2sin cos 2 ; sin 2cos 3 x x dx x x       62) 2 5 0 cos ; xdx  63) 2 6 0 sin ; 3 x dx  64)   2 2 3 1 ; 1 dx x x   65) 2 2 3 0 ; 1 x dx x   66) /2 2 0 sin cos 2 ; π x xdx 67) /4 6 6 /4 sin cos ; 4 1 π x π x x dx    68) 1 2 2 0 3 10 ; 2 9 x x dx x x     69) 1/ 3 2 2 0 ; (2 1) 1 dx x x   116 70) 2 1 ln ; (ln 1) e xdx x x 74) 2 1 1 ln ; e x dx x   75) ln 2 2 2 0 3 ; 3 2 x x x x e e dx e e    76. 1 3 2 0 1 x dx x  (Đại Học Dự bị_02); 77)   ln 2 3 0 1 x x e dx e   (Đại Học Dự bị_02); 78)   0 2 3 1 1xx e x dx    (Đại Học Dự bị_02); 79) /2 3 56 0 1 cos sin cos π x x xdx (Đại Học Dự bị_02); 80) ln8 2 ln 3 1x xe e dx (Dự bị_04); 81) 3 2 1 ln ln 1 e x dx x x (Dự bị_05); 82) 2 0 sin π x xdx (Dự bị_05); 83) 10 5 2 1 dx x x  (Dự bị_06); 84) ln 5 ln 3 2 3x x dx dx e e  (Dự bị_06). Bài 3.12.2. Tính các tích phân: 1) 1 2 2 0 ( 3 2) dx x x  ; 2) 1 2 0 3 2 3 x x dx x    (Đại Học Ngoại Thƣơng_99). Bài 3.12.3. Tính các tích phân: 1) 3 2 4 2 1 1 ; 1 x dx x x    2) 2 5 1 ( 1) dx x x  (Đại Học Thuỷ Lợi_99). Thang Long University Library 117 Bài 3.12.4. Tính các tích phân: /6 2 0 sin ; sin 3cos π x I dx x x   /6 2 0 cos ; sin 3cos π x J dx x x   Từ đó suy ra 5 /3 3 /2 cos2 cos 3sin π π x dx x x (Đại Học Quốc Gia Hồ Chí Minh_01A). Bài 3.12.5. Cho f(x) liên tục trên R : ( ) ( ) 2 2cos2 ;f x f x x x R      Tính 3 /2 3 /2 ( ) . π π f x dx   (Đại Học Sƣ phạm Hà Nội 2_98) Bài 3.12.6. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đƣờng: 1) 2 3sin cos ; 0; 0; 2 y x x y x x     (Đại Học Bách Khoa 2000); 2) 2 4 3 ; 3y x x y x     (Đại Học Kiến Trúc 94); 3) 2;y x y x  (Đại Học Mỹ Thuật Công Nghiệp HN 98); 4) 2 8 7 7 ; 3 3 3 3 x x x y y x        (Học Viện Bƣu Chính Viến Thông 98); 5) 2 3 12 1 2sin ; 1 ; 2 2 x x y y x       (Học Viện Bƣu Chính Viến Thông 2000); 6) 2 1; 0; 0; 1y x x y x x     (Học Viện Ngân Hàng HCM 99); 7) ; 0; 0; 1xy xe y x x    (Đại Học Kinh Tế Quốc Dân 94); 8) 2 2;y x x y   (Đại Học Thƣơng Mại 96); 9) ; ; 1x xy e y e x   (Đại Học Tài Chính Kế Toán 2000); 10) sin ;y x y x   (Đại Học Mở 2000); 11) 2 2 1 1 ; ; ; sin cos 6 3 y y x x x x       (Học Viện Kỹ Thuật Quân Sự 2000); 12)   3 2 cos sin ; 0; ; 2 2 y x x y x x       (Đại Học Công Đoàn 98); 13) 2 2 8; ; 8 x y x y y x    (Đại Học Công Đoàn 99); 14) ; 2 0; 0x y x y y     (Đại Học Công Đoàn 2000); 118 15)  ln 0 ; 0; 1; 2 k y k y x x x      (Đại Học Nông Nghiệp I 95); 16) 3 24 6; 0y x x x y     (Đại Học Nông Nghiệp I 98B); 17) 2 2 1 ; 1 2 x y y x    (Đại Học Nông Nghiệp I 99A); 18) 3 23 2; 0; 0; 2y x x y x x      (Đại Học Nông Nghiệp I 99B); 19) 30; 1 0; 1 0y x y x y       (Đại Học Nông Nghiệp I 2000A); 20) 2 1; 5y x y x    (Đại Học Sƣ Phạm I 2000A); 21) 2 4 3 ; 3y x x y    (Đại Học Sƣ Phạm I 2000B); 22) 1 ln ; 0; ; 10 10 y x y x x    (Đại Học Quốc Gia Hà Nội 93); 23) 3 2;y x y x   (Đại Học Quốc gia 97A); 24)   2 1 ; 0; sin ;0 1y x y x y y      (Cao Đẳng Kiểm Sát 2000); 25) 2 24 ; 3 0y x x y     (Đại Học Bách Khoa 2001); 26) . ; 0; 1; 2xy x e y x x     (Học Viện Công nghệ bƣu chính viễn thông 2001); 27) 25 ; 0; 0; 3xy y x y x     (Đại Học Y Thái Bình 2001); 28) 4 1 0; ; ; 0 2 1 x x x y y x      (Học Viện Cảnh Sát Nhân Dân 2001); 29) 2 2 4 ; 4 2 x x y y x    (Đại Học Khối B 2002); 30) 3 1 ; 0; 0 1 x y x y x       (Đại Học Khối D 2002); 31)    1 ; 1 xy e x y e x    (Đại Học Khối A 2007); 32) (P) : 24y x x  và hai tiếp tuyến của (P) qua  3;6 ;M 33)   2 2 2 4 4 2 3 ; 0 1 1 x ax a a ax y y a a a         Tìm giá trị lớn nhất của diện tích đó. Bài 3.12.5. Tìm b sao cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đƣờng sau bằng 2  : 2 2 ; ; 0; 1 2 x y y b x x x       (Đại Học Bách Khoa 93). Bài 3.12.7. Cho miền D giới hạn bởi hai đƣờng : 2x + x - 5 = 0 ; x + y - 3 = 0 Thang Long University Library 119 Tính thể tích khối tròn xoay đƣợc tạo nên do D quay quanh trục Ox. Bài 3.12.8. Cho miền D giới hạn bởi các đƣờng : ; 2 ; 0y x y x y    Tính thể tích khối tròn xoay đƣợc tạo nên do D quay quanh trục Oy. Bài 3.12.9. Cho miền D giới hạn bởi hai đƣờng : 2( 2)y x  và y = 4 Tính thể tích khối tròn xoay đƣợc tạo nên do D quay quanh: a) Trục Ox; b) Trục Oy. Bài 3.12.10. Cho miền D giới hạn bởi hai đƣờng :    2 24 ; 2y x y x . Tính thể tích khối tròn xoay đƣợc tạo nên do D quay quanh trục Ox. Bài 3.12.11. Cho miền D giới hạn bởi các đƣờng :    2 2 1 ; 21 x y y x Tính thể tích khối tròn xoay đƣợc tạo nên do D quay quanh trục Ox. 120 KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 1. Kết luận Luận văn đã đạt đƣợc một số kết quả sau: + Trình bày khái quát về phép tính tích phân hàm một biến + Phân dạng phép tính tích phân hàm một biến với nhiều dạng toán khác nhau thƣờng gặp trong các đề thi Tốt nghiệp trung học phổ thông, Đại Học – Cao đẳng, Trung học phổ thông Quốc gia, Với nhiều Ví dụ và bài tập áp dụng. + Đƣa ra một số sai lầm thƣờng gặp khi giải toán tích phân. + Đƣa ra một số bài tập tích phân với nhiều cách giải khác nhau với mục đích giúp học sinh có nhiều định hƣớng khi giải bài tập tích phân. Mặc dù rất cố gắng nhƣng luận văn vẫn không thể tránh thiếu sót.Rất mong nhận đƣợc những ý kiến đóng góp để hiệu chỉnh luận văn tốt hơn của quý thầy cô, bạn bè và đồng nghiệp. 2. Khuyến nghị Hi vọng luận văn sẽ là một tài liệu bổ ích giúp học sinh tiếp cận bài toán tích phân đƣợc dễ dàng hơn. Luận văn có thể làm tài liệu bồi dƣỡng học sinh thi trung học phổ thông Quốc Gia, học sinh giỏi toán ở trƣờng trung học phổ thông. Thang Long University Library 121 DANH MỤC SÁCH THAM KHẢO [1]. Trần Tuấn Anh, (2013), Giải nhanh bài toán nguyên hàm và tích phân, Nhà xuất bản Đại Học Quốc Gia, Thành Phố Hồ Chi Minh. [2]. Lê Thị Hƣơng, Nguyễn Kiếm, Hồ Xuân Thắng, (2011), Phân loại và phương pháp giải toán tích phân, Nhà xuất bản Đại Học Quốc Gia, Hà Nội. [3]. Nguyễn Văn Lộc, Nguyễn Dƣơng Hoàng, Hoàng Ngọc Cảnh, Nguyễn Ngọc Giang, (2009), Các phương pháp điển hình giải toán nguyên hàm tích phân và ứng dụng, Nhà xuất bản Đại Học Quốc Gia, Hà Nội. [4]. Gia Đình Lovebook, (2015), Chinh phục tích phân lượng giác trong đề thi Quốc Gia thpt, Nhà xuất bản Đại Học Quốc Gia, Hà Nội. [5]. Bùi quý Mƣời, (2015), Bí quyết tiếp cận hiệu quả kỳ thi THPT Quốc Gia tích phân số phức, Nhà xuất bản Đại Học Quốc Gia, Hà Nội. [6]. Lê Hoàng Phó, (2008), 1234 bài toán tự luận điển hình Đại số Giải tích, Nhà xuất bản Đại Học Quốc Gia, Hà Nội. [7]. Trần Phƣơng, (2014), Tuyển tập các chuyên đề & kỹ thuật tính tích phân, Nhà xuất bản Đại Học Quốc Gia, Hà Nội. [8]. Nguyễn Thanh Tùng, (2014), 10 trọng điểm hay gặp trong các kỳ thi Quốc Gia tích phân, Nhà xuất bản Đại Học Quốc Gia, Hà Nội. [9]. YYLIASKO, ACBOIATRUC,IAGGAI, GPGOLOBAC, (1978),Giải tích toán học các Ví dụ và các bài toán, Nhà xuất bản Đại Học và trung học chuyên nghiệp,Hà Nội.