Luận văn Hàm vectơ và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG NGUYỄN THỊ PHƢƠNG THẢO HÀM VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp Mã số: 60.46.01.13 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng - Năm 2016 Công trình được hoàn thành tại ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS. LÊ VĂN DŨNG Phản biện 1: TS. PHAN ĐỨC TUẤN Phản biện 2: GS.TS. LÊ VĂN THUYẾT Luận văn được bảo vệ tại Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ khoa học họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày 13 tháng 8 năm 2016. Có thể tìm Luận văn tại: - Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng - Thư viện trường Đại học sư phạm, Đại học Đà Nẵng 1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Vectơ là một khái niệm trừu tượng. Để nắm được các kiến thức về vectơ đòi hỏi người học phải có tư duy logic, khả năng sáng tạo biết vận dụng liên hệ với thực tế. Trong chương trình phổ thông, kiến thức về vectơ được đề cập xuyên suốt ba năm cấp ba với số tiết chiếm một nửa tổng số tiết hình học của ba năm cấp ba. Kiến thức về vectơ ở phổ thông là các định nghĩa, các phép toán cơ bản để vận dụng giải quyết một số bài toán cơ bản của vectơ trong không gian, phương pháp tọa độ trong không gian. Đây chỉ là một phần về kiến thức vectơ và ứng dụng hình học của vectơ. Ngoài các ứng dụng trong hình học, vectơ còn có các ứng dụng trong vật lí, trong đạo hàm và tích phân. Hàm vectơ là sự mở rộng khái niệm vectơ bằng cách đặt tương ứng mỗi giá trị t R một vectơ, khi đó mỗi vectơ có thể xem là một hàm vectơ hằng. Ứng dụng của hàm vectơ được vận dụng để giải quyết các bài toán trong Vật lí, chẳng hạn ta có thể viết phương trình vận tốc của chuyển động 0 . ,tv v a t  trong đó a là vectơ gia tốc và t là thời gian. Khi chuyển động thẳng đều thì độ lớn của tv là 0 .tv v at  Là giáo viên dạy toán ở trường phổ thông với mong muốn được tìm hiểu sâu sắc hơn về hàm vectơ và các ứng dụng của hàm vectơ nhằm có cái nhìn toàn diện hơn từ đó đưa ra cách truyền đạt để học sinh có thể nắm bắt và tiếp cận kiến thức về vectơ một cách dễ dàng, tôi quyết định chọn đề tài: “Hàm vectơ và ứng dụng” 2. Mục đích nghiên cứu - Hệ thống lại các kiến thức cơ bản về vectơ. 2 - Phát biểu khái niệm hàm vectơ và các kiến thức liên quan đến hàm vectơ như: đạo hàm, tích phân, vectơ tiếp tuyến - Hệ thống và phân loại một số bài toán có thể giải được bằng cách sử dụng kiến thức về hàm vectơ. 3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu - Các kiến thức cơ bản về vectơ. - Các kiến thức về hàm vectơ và các ứng dụng của hàm vectơ. - Các bài toán có thể giải được bằng cách sử dụng kiến thức về hàm vectơ. 4. Phƣơng pháp nghiên cứu Với đề tài: “Hàm vectơ và ứng dụng” tôi đã sử dụng các phương pháp nghiên cứu sau: + Thu thập, tổng hợp, hệ thống các tài liệu liên quan đến nội dung đề tài luận văn. + Phân tích, nghiên cứu các tài liệu để thực hiện đề tài luận văn. + Trao đổi, thảo luận, tham khảo ý kiến của người hướng dẫn, của các chuyên gia và của các đồng nghiệp. 5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài - Hệ thống được kiến thức cơ bản về vectơ, khái niệm về hàm vectơ và một số kiến thức liên quan về hàm vectơ nhằm phục vụ cho đề tài. - Đề tài có giá trị về mặt lý thuyết.Có thể sử dụng luận văn như là tài liệu tham khảo cho sinh viên ngành toán,giáo viên phổ thông và các đối tượng quan tâm đến các kiến thức về vectơ. 6. Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu và kết luận,tài liệu tham khảo, nội dung chính của luận văn được chia thành hai chương. Chƣơng 1: Kiến thức cơ bản về vectơ Chƣơng 2: Hàm vectơ và ứng dụng 3 CHƢƠNG 1 KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ VECTƠ 1.1. CÁC ĐỊNH NGHĨA VỀ VECTƠ Định nghĩa 1.1.1 Đại lượng có hướng được gọi là đại lượng vectơ (hay gọi tắt là vectơ) Các đại lượng vật lí như khối lượng, thể tích, công và năng lượng là vô hướng; trong khi độ dời, vận tốc, gia tốc và lực là các vectơ. Định nghĩa 1.1.2. Các vectơ có độ lớn bằng 1 được gọi là vectơ đơn vị. Trong luận văn này vectơ đơn vị được phân biệt với vectơ khác bằng một dấu mũ; ví dụ aˆ là đại diện cho một vectơ đơn vị theo hướng của vectơ a . Rõ ràng, a = a aˆ . Trong hệ trục tọa độ Descartes vuông góc ,OXYZ các vectơ đơn vị trên trục OX , OY , OZ lần lượt được kí hiệu là , ,i j k . Định nghĩa 1.1.3. Vectơ - không là vectơ có độ lớn bằng không và không có hướng, được ký hiệu 0 . Định nghĩa 1.1.4. Vectơ đối của vectơ a , được kí hiệu là – a , là một vectơ có modul bằng vectơ a nhưng ngược hướng với vectơ a . Định nghĩa 1.1.5. Các vectơ được gọi là bằng nhau nếu chúng có cùng modul và cùng hướng. 1.2. CÁC PHÉP TOÁN CƠ BẢN VỀ VECTƠ Định nghĩa 1.2.1 (Phép cộng hai vectơ) Cho hai vectơ ,a b được biểu diễn lần lượt bởi PQ , QR (Hình (a)). Khi đó vectơ biểu diễn bởi PR được định nghĩa là tổng của a và b , được viết: a b và được gọi là quy tắc 3 điểm của phép cộng vectơ. Định nghĩa 1.2.2 (Phép trừ hai vectơ) 4 Hiệu giữa hai vectơ ,a b được viết là a b và theo quy tắc của đại số vô hướng nó được viết thành tổng a + (- b ). Biễu diễn ,a b bởi các vectơ PQ , QR như trước, khi đó 'QR sẽ đại diện cho - b , với QR' = QR (hình vẽ). Nên a b hoặc a + (- b ) được biểu diễn bởi 'PR hoặc SQ Định nghĩa 1.2.3 (Tổng của nhiều vectơ) Giả sử có n vectơ 1 2, ,..., na a a . Cho 1a được biểu diễn bởi 1OA , 2a được đại diện bởi 1 2A A , , na được biểu diễn bởi 1n nA A . Vậy thì 2 1 1 2 1 2a aOA OA A A    ; 3 2 2 3 1 2 3a a aOA OA A A     ; 4 3 3 4 1 2 3 4a a a aOA OA A A      ; 1 1 1 2 3a a a ... an n n n nOA OA A A        . Định nghĩa 1.2.4 (Phép nhân một vectơ với một số) Nếu m là một số thực dương, khi đó m a được định nghĩa như một vectơ cùng hướng a có độ lớn bằng ma. Định lý 1.2.5 Nếu các vectơ a , b được biểu diễn lần lượt bởi ,OP OQ và m, n là các hằng số dương, khi đó m a +n b = (m+n) c , với c được biểu diễn bởi vectơ OR , R là một điểm trên PQ sao cho mPR nRQ . Định nghĩa 1.2.6 (Thành phần của vectơ trong các hƣớng vuông góc với nhau) Giả sử OP đại diện cho vectơ r (Hình vẽ). Qua điểm O vẽ các đường thẳng vuông góc OX, OY, OZ theo quy tắc đinh ốc xoay bên phải từ OY tới OZ dọc theo OX và cứ tiếp tục tuần hoàn theo các r 5 chữ cái X, Y, Z. Vẽ lần lượt các đường vuông góc PQ, PR, PS xuống mp(YOZ), (ZOX), (XOY) và ta có hình hộp chữ nhật OASBCRPQ. Đặt OA= x, OB = y , OC = z và gọi các vectơ đơn vị theo các hướng OX, ,OY OZ là i , j , k suy ra: ; ;OA xi OB y j OC zk   Vì OP OA AS SP OA OB OC      . Nên r = x i + y j + z k . Các vectơ x i , y j , z k được gọi là các thành phần của r trong hệ trục tọa độ. Các thành phần của r theo từng hướng là duy nhất, giống như chỉ vẽ được 1 hình hộp như ở trên. Do đó nếu 2 vectơ bằng nhau thì các thành phần tương ứng của chúng cũng bằng nhau. Trong không gian 2 chiều, nếu r nằm trên mp(XOY), kết quả trên trở thành: r = x i + y j . Định nghĩa 1.2.7 (Modun và cosin theo hƣớng của một vectơ theo các thành phần của nó) Từ hình vẽ trên, dễ thấy rằng : 2 2 2 2OP OA OB OC   . Vì vậy modun r của vectơ r được cho bởi: 2 2 2 2r x y z   , với x, y, z là các modul của thành phần của r 2 2 2r x y z   Hướng của vectơ r hay OP được xác định bởi cosin của góc tạo tạo bởi OP với các trục OX, ,OY OZ . Nếu góc này lần lượt là , ,   thì: ; ; OA x OB y OC z cos cos cos OP r OP r OP r         , ,cos cos cos   được gọi là cosin theo hướng của OP ; chúng phụ thuộc hệ thức: 6 2 2 2 2 2 2 2 cos cos cos 1 x y z r          Trong không gian hai chiều, nếu r nằm trên mp(XOY), chúng ta có kết quả tương tự: 2 2 ; ; x y r x y cos cos r r      với 2 2cos cos 1   Định nghĩa 1.2.8 (Tổng và hiệu các vectơ theo thành phần) Giả sử các vectơ 1 2 3, ,r r r , được biểu diễn theo các thành phần của chúng trong các trục vuông góc OX, ,OY OZ 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 1 2 3 1 1 1 2 2 2 3 3 3 1 2 3 1 2 3 1 2 ................................ .... ( ) ( ) ( ) ... ( ...) ( ...) ( r x i y j z k r x i y j z k r x i y j z k r r r x i y j z k x i y j z k x i y j z k x x x i y y y j z z z                                  3 ...)k Kết quả cho thấy phép cộng các vectơ thực hiện bằng cách cộng các thành phần của chúng. Hoàn toàn tương tự khi trừ các vectơ. 1.3. TÍCH CỦA CÁC VECTƠ Định nghĩa 1.3.1 (Tích vô hƣớng) Tích vô hướng của hai vectơ a và b tạo với nhau một góc  được định nghĩa là đại lượng vô hướng a.b.cos và được ký hiệu là a . b Rõ ràng, phép nhân vô hướng của các vectơ là có tính giao hoán vì: a . b = ab.cos =ba.cos = b . a Định nghĩa 1.3.2 (Tích có hƣớng) Tích có hướng của 2 vectơ a , b tạo với nhau một góc  được định nghĩa như một vectơ (gọi là vectơ tích) có độ lớn là ab.sin và có hướng vuông góc với hướng của cả 2 vectơ a và b theo đường đinh ốc xoắn về phía phải từ hướng của 7 vectơ a đến hướng của vectơ b di chuyển theo hướng của vectơ tích. Vectơ tích của 2 vectơ a và b được ký hiệu là a  b hoặc a x b . Định nghĩa 1.3.3 (Tích hỗn tạp) Giá trị  a b c là kết quả tích a và b c , nó được gọi là tích hỗn tạp và có thể được thể hiện dưới dạng b và c (bằng b và c ) Đại diện cho tích hỗn tạp là v , sao đó là v vuông góc với b c nó có thể được coi như là trong mặt phẳng của b và c và do đó nó có thể được thể hiện như là v = bp + qc trong đó p,q là vô hướng Lấy hình chữ nhật có vectơ đơn vị , ,i j k với ,j k trong mặt phẳng b,c và j song song với mặt phẳng b. Khi đó : b =b j ; c = 2c j + 3c k ; a = 1 2 3a i a j a k  v = ( 1 2 3a i a j a k  ) [b j  ( 2c j + 3c k )] = ( 1 2 3a i a j a k  ) (bc 3 j ) = - 2 3 3 3a bc k a bc j =- 2 2 3 3( )a b c c j a c b  =- 2 2 2 3 3a bc a c b a c b  =( 2 2 3 3a c a c )b- 2a bc Nhưng 2 2 3 3a c a c =ac và 2a b =ab  a b c ac b ab c          Chú ý rằng  a b c  khác với  a b c  hoặc  c a b   nên tích hỗn tạp không có tính chất giao hoán. 8 CHƢƠNG 2 HÀM VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG 2.1 VECTƠ CHỨA BIẾN SỐ VÀ ĐỊNH NGHĨA HÀM VECTƠ Định nghĩa 2.1.1 (Các hàm số vectơ của biến số vô hƣớng) Cho  , R   . Hàm vectơ là phép đặt mỗi  ,t   tương ứng duy nhất với một vectơ kí hiệu là  a t . Định nghĩa 2.1.2 (Định nghĩa hàm vectơ trong hệ trục tọa độ Descartes) Một hàm có dạng      r t f t i g t j  hoặc        r t f t i g t j h t k   là một hàm vectơ, trong đó hàm thành phần f, g và h là các hàm giá trị thực sự của tham số t. Các hàm giá trị vectơ đôi khi được biểu thị như      ,r t f t g t hoặc        , ,r t f t g t h t . 2.2 ĐẠO HÀM CỦA HÀM VECTƠ Định nghĩa 2.2.1 (Định nghĩa đạo hàm của một hàm vectơ) Cho hàm vectơ  r t với ( ; ).t a b . Đạo hàm của một hàm của vectơ  r t được định nghĩa bởi       0 ' lim t r t t r t r t t       nếu giới hạn trên tồn tại. Kí hiệu  'r t hoặc  tD r t   Nếu  'r t tồn tại thì r được gọi là khả vi tại t. Nếu  'r t tồn tại cho tất cả t trong khoảng mở I thì r là khả vi trên khoảng I. Sự khả vi của hàm vectơ có thể được mở rộng cho khoảng đóng bằng cách xem xét giới hạn một bên như sau. 9 Định nghĩa 2.2.2 (Định nghĩa đạo hàm một bên của hàm vectơ) Cho hàm vectơ  r t với 0[ ; ).t t b Giới hạn bên phải nếu có của tỉ số     0 lim t r t t r t t      khi t dần đến t0 được gọi là đạo hàm bên phải của hàm vectơ tại điểm t0 kí hiệu  0'r t       0 0 0 0 ' lim t t r t r t r t t t      Đạo hàm bên trái của hàm vectơ  r t với 0( ; ]t a t , kí hiệu là  0'r t cũng được định nghĩa tương tự.       0 0 0 0 ' lim t t r t r t r t t t      Định nghĩa 2.2.3 (Định nghĩa đạo hàm trên một đoạn của hàm vectơ) Cho hàm vectơ  r t với [ ; ].t a b Hàm vectơ  r t gọi là có đạo hàm trên đoạn [a; b] nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm thuộc khoảng (a; b) và có đạo hàm bên phải tại a và đạo hàm bên trái tại b. Định lí 2.2.4 (Tính chất của đạo hàm) Có ( )r r t và ( )u u t là hai hàm vectơ khác nhau có đạo hàm theo t và c là một đại lượng vô hướng. 1.    'tD cr t cr t    2.        ' 'tD r t u t r t u t     3.            w w ' w'tD t r t t r t t r t     4.            . . ' ' .tD r t u t r t u t r t u t     5.            ' 'tD r t u t r t u t r t u t       10 6.        w ' w w'tD r t r t t    7. Nếu    .r t r t c thì    . ' 0r t r t  Định lí 2.2.5 (Đạo hàm của các hàm vectơ theo tọa độ) 1. Nếu      r t f t i g t j  nơi f và g là các hàm khả vi của t, thì      ' ' 'r t f t i g t j  2. Nếu        r t f t i g t j h t k   nơi f, g và h là các hàm khả vi của t, thì        ' ' ' 'r t f t i g t j h t k   Trong định lí sau đây, a , b là các hàm vectơ và u là hàm vô hướng của biến số vô hướng t; c là một vectơ bất biến, là hằng số trong cường độ và hướng, và c là một hằng số vô hướng. Trong kết quả (iii), hàm của quy tắc hàm số, s một biến số vô hướng thứ hai là một hàm của t. Định lí 2.2.6 (i) 0 ; dc dt  (ii)   ;d daca c dt dt  (iii)   ;d da dba b dt dt dt    . ; da da ds dt ds dt  (iv)       ; . . . ; d du d a d d a db ua a u a b b a dt dt dt dt dt dt d d a db a b b a dt dt dt          Nhận xét 2.2.7 (Đạo hàm của một hàm vectơ có độ lớn bất biến) 11 Giả sử ( )a a t là hàm vectơ có mudule là hằng số nhưng có hướng thay đổi với t. Thì 2 a = hằng số, điều này dẫn đến đạo hàm của 2 a đối với t bằng 0. Vì vậy 2 . 0 da a dt  hay . 0 da a dt  Do đó a và đạo hàm của nó d a /dt là các vectơ vuông góc. Định lí 2.2.8. ( )a a t (t) là hàm vectơ có mudule là hằng số nhưng có hướng thay đổi với t thì a và đạo hàm của nó d a /dt là các vectơ vuông góc. 2.3. TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH CỦA HÀM VECTƠ Định nghĩa 2.3.1 Tích phân bất định (hoặc nguyên hàm) của hàm vectơ đã cho ( )a t là hàm vectơ A (t) sao cho d A a dt  . Khi đó kết quả được viết là ( ) ( ).a t dt A t Nếu c là một vectơ hằng, ta cũng có   / ( ).d A c dt a t  , nên tích phân bất định tổng quát của ( )a t là ∫ ( )a t dt = A + c , trong đó c là vectơ hằng. Nhận xét 2.3.2 (Nguyên hàm của tích các vectơ) Với a , b là các hàm vectơ của t , khi đó a .b là một hàm thực theo t và a b là một hàm vectơ theo t . Khi đó ∫ a .b dt , ∫ a b dt là các nguyên hàm của tích các vectơ cũng hoàn toàn được xác định. Định nghĩa 2.3.3 (Tích phân xác định của hàm vectơ) Nếu A (t) là một nguyên hàm của hàm vectơ ( )a t thì tích phân xác định của ( )a t từ a đến b được xác định bởi 12 ( ) ( ) ( ) : ( ) | b a b aa t dt A b A a A t   . Định nghĩa 2.3.4 (Tích phân của hàm vectơ theo tọa độ) 1. Nếu      r t f t i g t j  , trong đó f và g là liên tục trên đoạn [a, b], thì tích phân bất định của vectơ r là      r t dt f t dt i g t dt j          và nó cũng có tích phân xác định trên đoạn a t b  là       b b b a a a r t dt f t dt i g t dt j                 2. Nếu        r t f t i g t j h t k   , trong đó f, g và k là liên tục trên đoạn [a, b] thì tích phân bất định của vectơ r là        r t dt f t dt i g t dt j h t dt k                và nó cũng có tích phân xác định trên đoạn a t b  là         b b b b a a a a r t dt f t dt i g t dt j h t dt k                         2.4 VECTƠ TIẾP TUYẾN Định nghĩa 2.4.1 (Định nghĩa vectơ tiếp tuyến đơn vị) Cho C một đường cong phẳng đại diện bởi vectơ r trên một khoảng mở I. Vectơ tiếp tuyến đơn vị  T t tại t được định nghĩa như sau:         ' , ' 0. ' r t T t r t r t   Định nghĩa 2.4.2 (Định nghĩa vectơ pháp tuyến đơn vị) 13 Cho C một đường cong phẳng đại diện bởi vectơ r trên một khoảng mở I. Nếu  ' 0T t  , thì vectơ pháp tuyến đơn vị tại t được định nghĩa như sau:       ' ' T t N t T t  Định nghĩa 2.4.3 (Định nghĩa vận tốc và gia tốc) Nếu x và y là hai hàm khác nhau của t, và r là một hàm vectơ được cho bởi      r t x t i y t j  thì vectơ vận tốc, vectơ gia tốc và tốc độ được viết như sau: Vectơ vận tốc:        ' ' 'v t r t x t i y t j   Vận tốc:       2 2 ' 'v t x t y t         Vectơ gia tốc:        " " "a t r t x t i y t j   Gia tốc:       2 2 ' " "r t x t y t         Định lí 2.4.4 ( Hàm vị trí cho một vật phóng) Bỏ qua sức cản không khí, con đường của vật phóng từ chiều cao ban đầu h với tốc độ ban đầu 0v và góc nâng  được mô tả bởi hàm vectơ       20 0 1 cos sin 2 r t v t i h v t gt j           trong đó g là gia tốc do trọng lực. Định lí 2.4.5 (Vectơ gia tốc) Nếu  r t là vectơ vị trí của đường cong phẳng C và tồn tại vectơ pháp tuyến đơn vị  N t , thì vectơ gia tốc  a t nằm trên mặt phẳng xác định bởi vectơ tiếp tuyến đơn vị  T t và vectơ pháp tuyến đơn vị  N t . 14 Định lí 2.4.6 (Thành phần tiếp tuyến và pháp tuyến của gia tốc) Nếu  r t là vectơ vị trí của đường cong phẳng C sao cho tồn tại vectơ pháp tuyến đơn vị  N t , thì hợp thành tiếp tuyến và pháp tuyến của gia tốc được viết như sau: 2 2 . . ' . tT N T v a a D v a T v v a a v T a N a a v             Chú ý rằng 0 N a  . Pháp tuyến hợp thành của gia tốc cũng được gọi là gia tốc hướng tâm. 2.5 ĐỘ DÀI CỦA ĐƢỜNG CONG Định lí 2.5.1 Độ dài của đƣờng cong không gian Nếu C là một đường cong phẳng được cho bởi        r t x t i y t j z t k   với [ ; ],t a b thì đường cong của C có độ dài là         2 2 2 ' ' ' ' b b a a s x t y t z t dt r t dt                Định nghĩa 2.5.2 (Hàm độ dài của đƣờng cong) Cho C là một đường cong phẳng được cho bởi  r t xác định trên khoảng đóng [a; b]. Với a t b  , hàm độ dài của đường cong được cho bởi           2 2 2 ' ' ' 's t r u du x u y u z u du                Độ dài s được gọi là độ dài tham số. 15 Định nghĩa 2.5.3 (Định nghĩa độ cong) Cho C là một đường cong phẳng (trong mặt phẳng hoặc trong không gian) được cho bới  r s , trong đó s là tham số độ dài. Độ cong K tại s được cho bởi:  ' dT K T s ds   Định lí 2.5.4 ( Công thức đo độ cong) Nếu C là một đường cong phẳng được cho bởi  r t , thì độ cong K của C tại t được cho bởi            3 ' ' " ' ' T t r t r t K r t r t    Định lí 2.5.5 Nếu  s t là hàm độ dài của đường cong phẳng C, thì vectơ gia tốc được cho bởi:   22 2 d s ds a t T K N dt dt         Trong đó K là độ cong của C và ds dt là tốc độ. 2.6 ỨNG DỤNG CỦA HÀM VECTƠ 2.6.1 Ứng dụng của hàm vectơ giải một số bài toán về đƣờng cong Bài toán 1: Tìm hàm vectơ vị trí của điểm P có quỹ đạo là parabol được cho bởi 2 1y x  . Lời giải Mặc dù có nhiều cách để chọn tham số t, cách đơn giản nhất là lấy x = t. Sau đó thay 2 1y t  và ta có    2 1r t ti t j   . 16 Bài toán 2: Tìm hàm vectơ vị trí của điểm P có quỹ đạo là đường cong C xác định bởi giao tuyến của của elip 2 2 2 1 , 0 12 24 4 x y z z    và parabol hình trụ 2y x , Sau đó, tìm một hàm vectơ để đại diện cho đồ thị. Lời giải Trong bài toán này,ta chọn tham số đơn giản nhất là x = t. Với cách chọn này, ta có thể thay công thức 2y x bởi công thức 2y t , Sau đó , ta có được   2 22 2 2 2 4 2 4 6 424 2 1 1 . 4 12 24 12 24 24 24 t tz x y t t t t            Vì vậy ta có thể chọn   2 2 2 6 4 , , 6 t t x t y t z      Kết quả hàm vectơ là     2 2 2 6 4 , 2 2 6 t t r t ti t j k t         2.6.2. Ứng dụng đạo hàm của hàm vectơ Bài toán 1: Một hàm vectơ được cho bởi    2 2r t ti t j   . Tìm  'r t . Sau đó phác họa quỹ đạo điểm P xác định bởi  OP r t và vẽ minh họa các vect ơ  1r và  ' 1r . Lời giải Đạo hàm theo thành phần tọa độ ta được  ' 2r t i t j  17 Từ vị trí của vectơ  r t ta có thể viết phương trình tham số x = t và 2 2y t  . Phương trình sau khi được thay thế là 2 2y x  . Khi t = 1,  1 3r i j  và  ' 1 2 .r i j  Bài toán 2: Tìm quỹ đạo điểm P trong hệ trục tọa độ Descartes Oxy xác định bởi vectơ vị trí      5cos os5t 5sin sin5t , 0 2OP r t t c i t j t        . Lời giải Đạo hàm của vectơ r là      ' 5sint 5sin5t 5cos5 5cos5r t i t t j     Trong khoảng thời gian  0,2 , chỉ có các giá trị của t mà  ' 0 0r t i j  là 3 0, , , 2 2 t    và 2 . Ngoài ra, ta có thể kết luận rằng C là bằng phẳng trên các khoảng thời gian 3 0, , , , , 2 2 2                        và 3 ,2 2         2.6.3 . Ứng dụng tích phân của hàm vectơ Bài toán 1: Xác định vị trí bằng tích phân Một vật ban đầu đứng yên tại điểm P(1, 2, 0) và di chuyến với một gia tốc   2a t j k  với  a t được đo chính xác đến từng giây. Tìm vị trí của vật sau 2 giây. Lời giải Từ sự mô tả chuyển động của đối tượng, ta có thể suy luận điều kiện lúc đầu. Bởi vì lúc đầu vật đứng yên, ta có 18  0 0v  Hơn thế nữa, bởi vì vật bắt đầu tại điểm (x, y, z) = (1, 2, 0), ta có        0 0 0 0 1 2 0 2 r x i y j z k i j k i j         Để tìm hàm vị trí, ta nên lấy tích phân hai lần, mỗi lần sử dụng một điều kiện ban đầu để giải cho hằng số tích phân. Vectơ vận tốc là      2 2v t a t dt j k dt t j tk C       nơi 1 2 3C C i C j C k   . Lấy t = 0 và áp đặt điều kiện ban đầu  0 0v  , ta được   1 2 3 1 2 30 0 0v C i C j C k C C C        Vì vậy, vận tốc tại thời điểm t là   2v t t j tk  Tích phân lần nữa kết quả là       2 2 2 2 r t v t dt t j tk dt t j t k C         Nơi 4 5 6C C i C j C k   . Lấy t = 0 và áp đặt điều kiện ban đầu  0 2r i j  , ta có   4 5 6 4 5 60 2 1, 2, 0r C i C j C k i j C C C         Vì thế vectơ vị trí là   2 22 2 t r t i j t k          Vị trí của vật sau thời gian t = 2 giây được cho bởi hàm  2 4 4r i j k   19 Bài toán 2: Tìm hàm vectơ vị trí của vật phóng Một vật có khối lượng m được phóng đi từ vị trí ban đầu 0r với vận tốc ban đầu 0v . Tìm vectơ vị trí theo thời gian. Lời giải Bắt đầu với gia tốc  a t g j  và lấy tích phân hai lần           1 2 21 1 1 2 v t a t dt g jdt gt j C r t v t dt gt j C dt gt j C t C                   Ta có thể sử dụng thực tế rằng   00v v và   00r r để giải với các hằng số vectơ 1C và 2C Việc làm này được kết quả 01 0 2,C v C r  . Vì thế, vectơ vị trí là   2 00 1 2 r t gt j tv r   2.6.4 . Ứng dụng tiếp tuyến của hàm vectơ Bài toán 1: Tìm đƣờng tiếp tuyến tại một điểm trên đƣờng cong Tìm  T t và sau đó tìm bộ phương trình tham số cho đường tiếp tuyến tuyến của đường xoắn ốc được cho bởi   2cos 2sinr t ti t j tk   tại điểm 2 , 2 , 4       Lời giải Đạo hàm của  r t là  ' 2sin 2cosr t ti t j k    nghĩa là   2 2' 4sin 4cos 1 5r t t t    . Vì thế, vectơ tiếp tuyến đơn vị là 20         ' 1 2sin 2cos 5' r t T t ti t j k r t      Tại điểm 2, 2 , 4       , 4 t   và vectơ tiếp tuyến đơn vị là  1 2 2 12 2 2 2 4 2 25 5 T i j k i j k                    Dùng số chỉ phương 2 , 2a b   và 1c  và điểm  1 1 1, , 2 , 2, 4 x y z        , ta có thể đạt được phương trình tham số sau 1 1 1 2 2 2 2 4 x x a s s y y b s s z z c s s              Bài toán 2: Tìm vectơ pháp tuyến Tìm  N t và  1N của đường cong đại diện bởi   23 2r t ti t j  Lời giải Bằng cách đạo hàm, ta được  ' 2 4r t i t j  và   2' 9 16r t t  Thay vào vectơ tiếp tuyến đơn vị là         2 ' 1 3 4 ' 9 16 r t T t i t j r t t     Sử dụng tính chất đạo hàm, đạo hàm vectơ  T t theo biến t, ta được 21             3/22 2 3/2 2 1 16 ' 4 3 4 9 16 9 16 12 4 3 9 16 t T t j i t j t t ti j t              2 3 2 2 9 16 12 ' 12 9 169 16 t T t tt     Vì thế, vectơ pháp tuyến đơn vị là         2 ' 1 4 3 ' 9 16 T t N t ti j T t t      Khi t = 1, vectơ pháp tuyến đơn vị là    11 4 3 5 N i j   2.6.5. Ứng dụng vật lí của hàm vectơ Bài toán 1: Tìm vận tốc và gia tốc dọc theo một đƣờng cong không gian Tìm vectơ vận tốc, tốc độ và vectơ gia tốc của một hạt di chuyển dọc theo đường cong không gian C được mô tả bởi   2sin 2cos 2 2 t t r t i j  Lời giải Vectơ vận tốc là    ' cos sin 2 2 t t v t r t i j   Tốc độ là   2 2' cos sin 1 2 2 t t r t    Vectơ gia tốc là     1 1 " sin cos 2 2 2 2 t t a t r t i j    22 Phương trình tham số của đường cong là 2sin 2 t x  và 2cos 2 t y  Bằng cách khử tham số t, ta được phương trình đại số 2 2 4x y  Bài toán 2: Mô tả đƣờng đi của bóng chày Một quả bóng chày được đánh ba bước chân so với mặt đất sẽ bay cấp độ mỗi giây là 100 feet và tạo một góc 450 so với điểm ban đầu đến mặt đất. Tìm chiều cao đạt tối đa của bóng chày. Bóng chày có vượt qua được hàng rào cao 10 foot đượt đặt ở vị trí cách điểm ban đầu 300 feet? Lời giải. Ta có h = 3, v0 = 100, và 045  . Vì thế, dùng g = 32 (feet/ giây2) trên mỗi kết quả             2 2 100cos 3 100sin 16 4 4 50 2 3 50 2 16 ' 50 2 50 2 32 r t ti t t j t i t t j v t r t i t j                            Chiều cao tối đa xảy ra khi „ hay 25 2 2.21 16 t   giây Vì thế chiều cao tối đa đạt được của bóng chày là 2 25 2 25 2 649 3 50 2 16 81 16 16 8 y                    feet Bóng chày có 300 feet từ nơi nó bị đánh khi  300 50 2x t t  23 Giải phương trình này theo t với kết quả 3 2 4.24t   giây. Tại thời điểm này, chiều cao của bóng chày đạt đượclà     2 3 50 2 3 2 16 3 2 303 288 15y       feet Vì thế, bóng chày dễ dàng vượt qua được chiều cao 10-foot của hàng rào cách vị trí ban đầu 300 feet. Bài toán 3: Ứng dụng lực ma sát Một chiếc xe đua nặng 360 kg được lái với tốc độ 60 km/h trên đường đua vòng tròn bán kính 12m, được biểu diễn hình vẽ. Để giữ cho xe không bị trượt ra khỏi đường đua thì phải tác động lực ma sát bao nhiêu lên bề mặt lốp xe ? Lời giải Khi xe chuyển động sẽ tạo ra 1 lực 22 2 T N d s ds F ma m T mK N ma T ma N dt dt                Để giữ cho xe không bị trượt ra khỏi đường đua thì phải tác động lực ma sát bằng m.aN. Với đường cong này ta biết rằng sự uốn cong là 1 12 K  Vì thế, lực ma sát là      22 2 1 60,000 360 12 3600sec 8333 / sec . N ds m ma mK kg dt m kg m                   24 KẾT LUẬN Luận văn “Hàm vectơ và ứng dụng” đã thực hiện được một số vấn đề sau đây: 1. Hệ thống lại kiến thức cơ bản về vectơ. 2. Phát biểu và trình bày một số định nghĩa, định lí liên quan đến khái niệm hàm vectơ như: đạo hàm, tích phân, vectơ tiếp tuyến, ... 3. Tìm hiểu, phân loại, tổng hợp và trình bày các ứng dụng của hàm vectơ trong đạo hàm, tích phân có lồng ghép một số kiến thức về vật lí. 4. Trình bày một số ứng dụng tiếp tuyến của hàm vectơ thông qua việc giải một số bài toán về đường cong trong không gian. 5. Trình bày ứng dụng vật lí của hàm vectơ qua một số bài toán về tìm vận tốc, gia tốc, lực ma sát. Mặc dù đã hết sức cố gắng nhưng do năng lực và thời gian có hạn nên luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót. Mong nhận được sự góp ý xây dựng của quý thầy cô và các bạn đồng nghiệp. Tôi xin gởi lời cảm ơn chân thành đến thầy TS.Lê Văn Dũng đã tận tình hướng dẫn để tôi hoàn thành luận văn này.