Luận văn Mô hình thời gian rời rạc nhiều chu kỳ trong thị trường chứng khoán

Cho φ là một chiến lược kinh doanh tuỳ ý, thì quá trình giá mà ta có là: 0 1 0 1 1( ) ( ) 6. ( )V ω φ ω φ ω= + { } { } 0 1 1 1 1 2 1 0 1 1 1 3 4 (1 ) ( ) 9 ( ), , ( ) (1 ) ( ) 9 ( ), , r V r φ ω φ ω ω ω ω ω φ ω φ ω ω ω ω  + + ==  + + = 2 0 1 2 2 1 2 0 1 2 2 2 2 3 2 0 1 2 2 4 (1 ) ( ) 10 ( ), ( ) (1 ) ( ) 7 ( ), , (1 ) ( ) ( ), r V r r φ ω φ ω ω ω ω φ ω φ ω ω ω ω φ ω φ ω ω ω  + + =  = + + =  + + = - Chiến lược kinh doanh là đoán được (predictable) vì thế 1 ( )nφ ω là hằng số với mọi ω , và 2 1 2 2 1 2( ) ( ) ( , )n n nφ ω φ ω φ ω ω= = (như đã nói) và 2 3 2 4 3 4( ) ( ) ( , )n n nφ ω φ ω φ ω ω= = (như đã nói). - Quá trình lời: 0 1 1 1 1 2 1 0 1 1 1 3 4 3 , , ( ) 3 , , r G r φ φ ω ω ω ω φ φ ω ω ω  + ==  − = - Để đơn giản ta viết ntφ để thay cho ( )ntφ ω : 0 1 0 1 1 1 2 2 1 0 1 0 1 1 1 2 2 2 2 0 1 0 1 1 1 2 2 3 0 1 0 1 1 1 2 2 4 3 (1 ) , 3 (1 ) 2 , ( ) 3 (1 ) 4 , 3 (1 ) 2 , r r r r r r G r r r r r r φ φ φ φ ω ω φ φ φ φ ω ω ω φ φ φ φ ω ω φ φ φ φ ω ω  + + + + =  + + + − ==  − + + + =  − + + − = - Với chiến lược kinh doanh φ là tự tài trợ (self-financing), tại thời gian 1,t = trạng thái 1 2,ω ω ω= : 0 1 0 1 1 1 1 2 2(1 ) 9 (1 ) 9V r rφ φ φ φ= + + = + + HV: ĐINH NHẬT MINH GVHD: TS.NGUYỄN CHÍ LONG 41 Trạng thái 3 4,ω ω ω= : 0 1 0 1 1 1 1 2 2(1 ) 3 (1 ) 3V r rφ φ φ φ= + + = + + - Bây giờ ta trình bày 2 cách tính một độ đo martingale tương đương (xác suất trung tính rủi ro). Cách 1: Đầu tiên ta viết lại điều kiện ii. của định nghĩa 2.5.6: | , , 0 n n t s t Q t t s t S S E t s B B + +   = ∀ ≥     Đặt ({ }), 1, 2,3, 4i iq Q iω= = . Ngoài phương trình 1 2 3 4 1q q q q+ + + = , từ biểu thức trên, ta có thêm các phương trình sau: - Tại 0, 1t s= = , ta có: 0 1 2 3 41 0 1 2 3 4 1 0 9( ) 3( ) | 6 6(1 ) 9( ) 3( ) (1 ) nn Q S q q q qSE r q q q q B B r   + + + = ⇔ = ⇔ + = + + +  +   - Tại 0, 2t s= = , ta có: 20 1 2 3 42 0 1 2 3 42 2 0 10 7 7 | 6 6(1 ) 10 7 7 (1 ) nn Q S q q q qSE r q q q q B B r   + + + = ⇔ = ⇔ + = + + +  +   - Tại 1, 1t s= = , ta có: 2 1 1 2 1 1 2 1 | | (1 ) n n n n Q Q S SE E S r S B B    = ⇔ = +        Nếu 1 2,ω ω ω= , thì 1 2 2 1 1 2 1 1 2 10 7 | (1 ) | 9 9(1 ) 9(1 )n n nQ Q q qE S r S E S S r r q q +    = + ⇔ = = + ⇔ = +    +  Nếu 3 4,ω ω ω= , thì 3 4 2 1 1 2 1 3 4 7 | (1 ) | 3 3(1 ) 3(1 )n n nQ Q q q E S r S E S S r r q q +    = + ⇔ = = + ⇔ = +    +  . HV: ĐINH NHẬT MINH GVHD: TS.NGUYỄN CHÍ LONG 42 Vậy ta được hệ gồm 5 phương trình. Giải hệ đó ta tìm được ({ }), 1, 2,3, 4i iq Q iω= = . Cách 2: Ta viết lại biểu thức  1( , ) 0 n tQ t AE S + ∆ =   hay 1( , ) ( , ) 1 n n t t Q t A Q t A t t S S E E B B + +     =        (*) Tại 0t = , lấy 0A A∈ ⇒ = Ω . Đặt 1 (0, ) 1( 9)p Q SΩ= = , từ biểu thức trên ta có: 1 19 3(1 ) 6(1 )p p r+ − = + . Suy ra (0, ) 1 1 (0, ) 1 1 1 2 1 2( 9) ; ( 3) 1 2 2 r rQ S p Q S pΩ Ω + − = = = = = − = Tại 1t = , lấy 1 21 3 4 { , } { , } A A A ω ω ω ω = ∈ ⇒  =  . Ta chia ra hai trường hợp: TH1: 1 2{ , }A ω ω= . Đặt 2 (1, ) 2( 10)Ap Q S= = . Từ biểu thức (*), ta có: 2 210 7(1 ) 9(1 )p p r+ − = + . Suy ra (1, ) 2 2 (1, ) 2 2 2 9 1 9( 10) ; ( 7) 1 3 3A A r rQ S p Q S p+ −= = = = = − = TH2: { }3 4,A ω ω= . Đặt '2 (1, ) 2( 7)Ap Q S= = . Từ biểu thức (*), ta có: ' ' 2 27 7(1 ) 3(1 )p p r+ − = + . Suy ra ' ' (1, ) 2 2 (1, ) 2 2 2 3 4 3( 7) ; ( 1) 1 6 6A A r rQ S p Q S p+ −= = = = = − = . - Bằng cách nhân các xác suất có điều kiện dọc cách đường dẫn tới 4 trạng thái trong Ω , ta được: 1 1({ }) (1 2 )(2 9 ) 6 Q r rω = + + 2 1({ }) (1 2 )(1 9 ) 6 Q r rω = + − 3 1({ }) (1 2 )(2 3 ) 12 Q r rω = − + 4 1({ }) (1 2 )(4 3 ) 12 Q r rω = − − HV: ĐINH NHẬT MINH GVHD: TS.NGUYỄN CHÍ LONG 43 Trong đó do các xác suất dương nên 1 9 r < , do đó 10 9 r≤ < . 2.6 Mô hình nhị thức Xét một mô hình nhị thức mô tả giá chứng khoán trong thời gian rời rạc, T chu kỳ. Thời điểm t=0 là thời điểm hiện tại, bắt đầu giao dịch và thời điểm t=T là thời điểm đáo hạn, kết thúc giao dịch. Nhà đầu tư có thể giao dịch tại mọi thời điểm { }0,1,...,t T= . Mỗi chu kỳ, thị trường tài chính chỉ xảy ra một trong hai kịch bản, hoặc tốt, hoặc xấu; giống như việc tung đồng xu hai mặt (một mặt ký hiệu là ℋ, mặt kia ký hiệu là 𝒯). Nghĩa là: trong mỗi chu kỳ, không gian các kịch bản tài chính có dạng { }: ;Ω =   , trong đó ℋ xuất hiện với xác suất ( ) ,0 1P p p= < < và 𝒯 xuất hiện với xác suất ( ) 1P p= − . Do đó thị trường với T chu kỳ, có thể xem như phép thử lặp T lần. Khi đó ta có không gian kịch bản tài chính (không gian mẫu) ký hiệu là tập tất cả các kịch bản có thể có sau T lần tung đồng xu là: { }, 1, 2,..., 2Ti iωΩ = = Trong đó với mỗi ω∈Ω có dạng: 1 2( , ,..., )TA A Aω = với jA =  hoặc jA =  ( 1, 2,...,j T= ). Nó xuất hiện với xác suất 0 ( ) 1P ω< < . Cho trước hai hằng số dương u, d. Giả sử trong mỗi chu kỳ, giá chứng khoán hoặc tăng một thừa số u, hoặc giảm một thừa số d, tuỳ theo vào một trong hai kịch bản tài chính xảy ra; cũng giống như việc tung đồng xu, mặt  xuất hiện hay mặt  xuất hiện, nghĩa là giá chứng khoán tS của chứng khoán S tại thời điểm t được cho bởi: 1 1 1 , 0,1,..., 1 , t t t t t uS A S t T dS A + + + = = = − =   Khi đó với mỗi ω∈Ω thì ( ) (1 )n T nP p pω −= − , trong đó ω∈Ω là trạng thái có n thành phần  và (N-n) thành phần  . Vì thế mô hình nhị thức liên qua đến quá trình tN đại diện cho số lần xuất hiện mặt  sau t lần tung đồng xu. HV: ĐINH NHẬT MINH GVHD: TS.NGUYỄN CHÍ LONG 44 Định nghĩa 2.6.1: Khi t=1,2,,T, xét ánh xạ :tX RΩ→ xác định bởi: 1, ( ) 0, t t t A X A ω = =  =   thì { }, 1, 2,...,tX t T= được gọi là quá trình ngẫu nhiên Bernoulli với tham số p. Khi đó ( 1) ( )tP X P p= = = và ( 0) ( ) 1tP X P p= = = − Ta nên hiểu { =1}tX có nghĩa là kết quả của tung đồng xu lần t xuất hiện mặt  . Định nghĩa 2.6.2: Với mọi ω∈Ω . Quá trình đếm Becnoulli { }: 1, 2,...,tN t T= được định nghĩa: 1 2( ) ( ) ( ) ... ( )t tN X X Xω ω ω ω= + + + Dùng quá trình đếm Becnoulli thì quá trình giá chứng khoán trong mô hình nhị thức được xác định thông qua giá chứng khoán ban đầu 0S là: 𝑆𝑡(𝜔) = 𝑆𝑡𝑢𝑁𝑡(𝜔)𝑑𝑡−𝑁𝑡(𝜔) với mỗi 1, 2,..., ;t T ω= ∈Ω . Vì [ ]tE X p= và var( ) (1 )tX p p= − nên [ ]tE N tp= và var( ) (1 )tN tp p= − . Sự xây dựng quá trình Becnoulli có ý tưởng là: tại thời điểm t, giá chứng khoán tăng nếu ( ) 1tX ω = và giảm nếu ( ) 0tX ω = . Quá trình đếm tN chỉ số lần giá chứng khoán tăng cho đến thời điểm t và tt N− chỉ số lần giá chứng khoán giảm cho đến thời điểm t. Sở dĩ mô hình tài chính đang xét được gọi là mô hình nhị thức, vì với mỗi t, biến ngẫu nhiên tN là biến ngẫu nhiên nhị thức với tham số p, t. Nghĩa là Với mọi 1, 2,...k t= thì: ( ) (1 )n n t nt tP N n C p p −= = − Trong đó ! !( )! n t tC n t n = − Phân phối giá chứng khoán tại thời điểm t, khi n=1,2,,t được xác định bởi: 0( ) (1 ) n t n n n t n t tP S S u d C p p − −= = − HV: ĐINH NHẬT MINH GVHD: TS.NGUYỄN CHÍ LONG 45 Giả sử trong thị trường chỉ có một chứng khoán S và một tài khoản tín dụng (trái phiếu không rủi ro) B. Trái phiếu không rủi ro với lãi suất không đổi trong mỗi chu kỳ là r. Tại thời điểm t=0, NĐT có vốn ban đầu là 0x V= , mua 11φ đơn vị cổ phiếu chứng khoán S, với giá cổ phiếu là 0S . Vậy số tiền của NĐT ở chứng khoán là 11 0Sφ ; số tiền còn lại sau khi mua chứng khoán S là 0 1 11 1 0 0 1 0: x S V Sφ φ φ= − = − sẽ được gửi vào tài khoản tín dụng để hưởng lãi suất không rủi ro r. Tại thời điểm t=1, giá cổ phiếu có thể thay đổi tuỳ thuộc vào kịch bản tài chính nào xảy ra, giả sử giá cổ phiếu là 1S thì nhà đầu tư có một số tiền ở chứng khoán là 1 1 1Sφ và trong tài khoản tín dụng là 10 1 0( )(1 )V S rφ− + . Vậy tại thời điểm t=1, nhà đầu tư có tổng số tiền là: 1 1 1 0 1 0 1 1( )(1 )V V S r Sφ φ= − + + Tại thời điểm này, nhà đầu tư mua 12φ đơn vị cổ phiếu chứng khoán S, với giá cổ phiếu là 1S . Vậy số tiền mà nhà đầu tư ở chứng khoán là 12 1Sφ ; số tiền còn lại sau khi mua chứng khoán S là 11 2 1V Sφ− sẽ được gửi vào tài khoản tín dụng để hưởng lãi suất không rủi ro r. Tại thời điểm t=2, giá cổ phiếu là 2S thì nhà đầu tư có một số tiền ở chứng khoán là 12 2Sφ và trong tài khoản tính dụng là 11 2 1( )(1 )V S rφ− + . Vậy tại thời điểm t=2, nhà đầu tư có tổng số tiền là: 1 1 2 1 2 1 2 2( )(1 )V V S r Sφ φ= − + + Tiếp tục quá trình trên ta có công thức truy hồi của quá trình giá của chiến lược đầu tư với 0V là tổng tài sản ban đầu là: 1 1 1 1 1 1( )(1 ) , 0,1,..., 1t t t t t tV V S r S t Tφ φ+ + + += − + + = − Hay 0 1 1 1 1 1(1 ) , 0,1,..., 1t t t tV r S t Tφ φ+ + + += + + = − Vậy ta nói nhà đầu tư đã thực hiện một phương án đầu tư ( , )x φ , trong đó x là tổng số vốn ban đầu và 0 1( ; ) : 1, 2,...,t t t Tφ φ φ= = ; trong đó 0tφ là số tiền trong tài HV: ĐINH NHẬT MINH GVHD: TS.NGUYỄN CHÍ LONG 46 khoản tín dụng và 1tφ là số đơn vị cổ phiếu chứng khoán được giữ từ thời điểm t-1 tới thời điểm t. Định nghĩa 2.6.3: - Quá trình giá tương ứng với phương án đầu tư ( , )x φ với 0 1( ; ) : 1, 2,...,t t t Tφ φ φ= = là quá trình ngẫu nhiên ( )tV φ được xác định bởi: 0 1( ) (1 )t t t tV r Sφ φ φ= + + - Quá trình giá chứng khoán đã chiết khấu là  tt t S S B = và quá trình giá của phương án đầu tư đã chiết khấu là:  ( )( ) tt t V V B φ φ = Định nghĩa 2.6.4: Một phương án đầu tư 0 1( ; ) : 1, 2,...,t t t Tφ φ φ= = được gọi là phương án tự tài trợ nếu NĐT điều chỉnh phương án đầu tư bằng cách thay đổi số đơn vị tài sản mà không là thay đổi vốn đầu tư, không bỏ thêm tiền đầu tư và cũng không rút bớt vốn ra khỏi phương án. Gọi  là tập hợp tất cả các phương án tài trợ và thích nghi với lọc thông tin { }: 0,1,...,t t T= . Định nghĩa 2.6.5: - Một quyền tài chính là một biến ngẫu nhiên X xác định trên Ω biểu diễn một thu hoạch một thu hoạch tại thời điểm đáo hạn t=T. - Một phương án đầu tư ( , )x φ trong  bảo hộ cho quyền tài chính X là phương án mà giá của nó tại thời điểm đáo hạn bằng thu hoạch của quyền tài chính, nghĩa là ( , )TV x Xφ = . Định nghĩa 2.6.6: Thị trường tài chính được gọi là đầy đủ nếu mọi quyền tài chính X, đều tồn tại một phương án thuộc  , bảo hộ cho X. Định nghĩa 2.6.7: HV: ĐINH NHẬT MINH GVHD: TS.NGUYỄN CHÍ LONG 47 Cho không gian xác suất ( , , )PΩ  và lọc thông tin { }: 0,1,...,t t T= sao cho: 1 , 0,1,..., 1t t t T+⊂ ⊂ ∀ = −   . Quá trình ngẫu nhiên { }: 0,1,...,tS t T= thích nghi với lọc { }: 0,1,...,t t T= , được gọi là một quá trình Markov nếu 1 1( | ) ( | )t t t tP S B P S B S+ +∈ = ∈ , với mọi 0,1,..., 1t T= − ; và mọi tập Borel B. Bây giờ ta xác định giá mô hình chứng khoán nhị thức. Mô hình này đặc trưng với 4 tham số: 0, , ,p u d S . Trong đó 00 1,0 1 , 0p d u S . Khi đó giá của chứng khoán tại thời điểm t là tS và một tài khoản tín dụng B, mà số tiền trong tài khoản tại thời điểm t là 0 1tφ + . Lọc thông tin được giả sử là lọc { }: 0,1,...,St t t T≡ =  sinh ra bởi { }: 0,1,...,tS t T= và  là tập hợp tất cả các phương án đầu tư tự tài trợ, thích nghi với lọc thông tin. Mệnh đề 2.6.8: Trong mô hình nhị thức tham số p, u, d và T chu kỳ, dưới giả thiết 1d r u< + < , thì một độ đo xác suất Q xác định trên ( , , )PΩ  là một độ đo xác suất trung hoà rủi ro nếu và chỉ nếu ba điều sau đây thoả mãn: i. 1 2, ,..., TX X X là độc lập với nhau theo độ đo Q. ii. 0 : ( 1) 1, 0tq Q X t T< = = < ∀ ≤ ≤ iii. 1 1(1 ) 0 1 1 u r d rq q r r − − − −   + − =   + +    Trong đó { }: 0,...,tX t T= là quá trình Bernoulli tương ứng trong mô hình. Chứng minh: Điều kiện (i) và (ii) của mệnh đề đảm bảo Q là độ đo xác suất thông thường theo yêu cầu của phép thử Bernoulli. Để chứng minh Q là độ đo martingale, ta cần chứng minh nó thoả điều kiện   1 |t tQ tE S S+  =  với 1, 2,..., 1t T= − . Xét i tω ∈ là phân hoạch của Ω tương ứng với t có dạng: 1 2( , ,..., )i tA A Aω = với jA =  hoặc jA =  với 1, 2,...,j t= thì HV: ĐINH NHẬT MINH GVHD: TS.NGUYỄN CHÍ LONG 48  1 1 1 | ( ) ( )ttQ t i Q i t S E S F E B ω ω++ +    ≡      [ ]1 1 2 1 1 21 1 ( , ,..., , ) (1 ) ( , ,..., , ) (1 ) t t t tt qS A A A q S A A A r + ++ = + − +   [ ]1 2 1 2 1 1. ( , ,..., ) (1 ) ( , ,..., ) 1(1 ) t t t tt quS A A A q dS A A A rr = + − ++ 1 2( , ,..., ) (1 ). 1(1 ) t t t S A A A qu q d rr + − = ++ ( ) ( )t ti i t S S B ω ω= ≡ (do điều kiện (iii) suy ra (1 ) 1 1 qu q d r + − = + ) Vậy  1 |t ttE S S+  =  với 1, 2,..., 1t T= − . Nhận xét 1: Từ cách chứng minh trên, rõ ràng quá trình giá chứng khoán đã chiết khấu { }: 1, 2,...,tS t T= ; cùng với lọc thông tin { }: 0t t T≤ ≤ ; là martingale dưới độ đo xác suất trung tính rủi ro 𝑄(𝜔) = 𝑞𝑁𝑇(𝜔)(1− 𝑞)𝑇−𝑁𝑇(𝜔) với 1 , ( 1 )r dq d r u u d + − = < + < − , suy ra từ điều kiện iii. của mệnh đề trên. Phân phối giá chứng khoán tại thời điểm t, khi n=1,2,,t được xác định bởi: 𝑄�𝑆𝑡 = 𝑆0𝑢𝑁𝑡(𝜔)𝑑𝑡−𝑁𝑡(𝜔)� = 𝐶𝑡𝑁𝑡(𝜔)𝑞𝑁𝑡(𝜔)(1− 𝑞)𝑡−𝑁𝑡(𝜔) Mệnh đề 2.6.9: Trong mô hình nhị thức tham số , ,p u d và T chu kỳ, dưới giả thiết 1d r u< + < , thì quá trình giá chứng khoán { }: 1, 2,...,tS t T= ; cùng với bộ lọc thông tin { }: 0,1,...,t t T= là một quá trình Markov dưới độ đo gốc P. Chứng minh: Lấy 1 2 1( , ,..., , )i t tA A A Aω += với jA =  hoặc jA =  ; 1, 2,..., 1j t= + . HV: ĐINH NHẬT MINH GVHD: TS.NGUYỄN CHÍ LONG 49 Ta có: 1 2 11 1 2 1 ( , ,..., ); ( ) ( , ,..., ); t t t t i t t t uS A A A A S dS A A A A ω ++ + = =  =   Do đó [ ]1 1 2 1 2 1 2( ) ( , ,..., ) ( ( , ,..., )) (1 ) ( ( , ,..., ))t t t t t tE f S A A A pf uS A A A p f dS A A A+ = + − Có vế phải chỉ phụ thuộc vào 1 2( , ,..., )tA A A qua giá trị 1 2( , ,..., )t tS A A A Nên [ ]1( ) ( )t tE f S g S+ = với ( ) ( ) (1 ) ( )g x pf ux p f dx= + − . Vậy ta có điều phải chứng minh. Mệnh đề 2.6.10: Quá trình giá đã chiết khấu  tt t V V B = của một phương án đầu tư nào đó là một martingale theo độ đo Q. Chứng minh. Ta sẽ chứng minh  tV là t − đo được và 1 1 | , 0,1,..., 1t tQ t t t V V E t T B B + +   = ∀ = −     Theo công thức truy hồi của { }: 0,1,...,tV t T= , ta có: 1 11 1 1 1( )(1 )t t t t t tV V S r Sφ φ+ + + += − + + 1 11 1 1 1 1 1 ( (1 ) )tt t t tt t t t t t t V V S S B r B B B B φ φ+ ++ + + + ⇒ = + − = + 11 1 1 1 1 t t t t t t t t t V V S S B B B B φ+ ++ + +   ⇒ = + −    Do 1 1, ,t t tS Vφ + là t − đo được và t t S B là Q-martingale nên t t V B cũng là Q-martingale. Ta có điều phải chứng minh. Định lý 2.6.11: Mô hình định giá tài sản nhị thức là đầy đủ HV: ĐINH NHẬT MINH GVHD: TS.NGUYỄN CHÍ LONG 50 Chứng minh: Điều cần chứng minh là: nếu X là một quyền tài chính, thì tồn tại hằng số 0V và một chiến lược đầu tư tφ sao cho quá trình giá tV của chiến lược thoả mãn: ( )TV Xφ = . Nói cách khác, bắt đầu với 0V đơn vị tiền tệ, ta có thể giao dịch cổ phiếu chứng khoán để đáp ứng chính xác kết quả cuối cùng của quyền phái sinh bất kỳ X. Đặt (1 ) | (1 ) t t Q tT XX r E r   = +  +   Do tính chất. nên (1 ) t t X r+ là một Q-martingale. Nếu 1( ,..., )TA Aω = , trong đó jA là  hoặc  , đặt 1 1 2 1 1 2 1 1 1 2 1 1 2 ( ,..., , , ,..., ) ( ,..., , , ,..., ) ( ) ( ,..., , , ,..., ) ( ,..., , , ,..., ) t t t T t t t T t t t t T t t t T V A A A A V A A A A S A A A A S A A A A φ ω + + + ++ + + + + − = −     Đặt 0 0V X= , và ta sẽ chứng minh t tV X= . Đầu tiên, ta sẽ chứng minh 1tφ + là t − đo được. Cả 1tS + và 1tV + đều không phụ thuộc vào 2 ,...,t TA A+ . Vì thế 1tφ + chỉ phụ thuộc vào 1,..., tA A , vì thế 1tφ + là t − đo được. Bây giờ 2 ,...,t TA A+ không có vai trò trong phần còn lại của chứng minh, và ta cho 1,..., tA A cố định. Để làm gọn ký hiệu, ta viết 1 ( )tV +  để viết tắt cho 1 1 2( ,..., , , ,..., )t t t TV A A A A+ + . Tương tự ta viết 1 ( )tV +  để viết tắt cho 1 1 2( ,..., , , ,..., )t t t TV A A A A+ + Ta biết (1 ) t t X r+ là một martingale theo độ đo Q, nghĩa là: [ ]1 1 1 1| ( ) (1 ) ( ) 1 1 t t Q t t t X X E qX q X r r + + +  = = + − + +     Trong đó (1 )r dq u d + − = − . Bây giờ ta giả sử t tV X= . Ta sẽ chứng minh 1 1( ) ( )t tV X+ +=  và 1 1( ) ( )t tV X+ +=  , thì ta được T TV X X= = theo yêu cầu. HV: ĐINH NHẬT MINH GVHD: TS.NGUYỄN CHÍ LONG 51 Ta có ( )1 1 1 1( ) ( ) (1 )t t t t t tV S r V Sφ φ+ + + += + + −  1 1(1 ) (1 )t t t t tuS r V r Sφ φ+ += + + − + [ ]1 (1 ) (1 ) ( )t t t t t tuS r S r X X Vφ += − + + + = [ ]1 1 1 1 ( ) ( ) (1 ) ( ) (1 ) ( ) ( ) t t t t t t X X S u r qX q X u d S + + + + − = − + + + − −     1 ( )tX +=  Tương tự ta cũng có 1 1( ) ( )t tV X+ +=  . Vậy ta có điều phải chứng minh. Nhận xét 3: Từ chứng minh định lý trên cho ta kết quả là: Giá quyền phái sinh X cũng chính là giá của phương án đầu tư φ đáp ứng cho X và được xác định theo công thức: ( ) (1 ) | (1 ) t t t Q tT XV X r E r φ   = = +  +   Hơn nữa: 0 | , 1, 2,...,tQ t t X X E t T B   = =     HV: ĐINH NHẬT MINH GVHD: TS.NGUYỄN CHÍ LONG 52 CHƯƠNG 3: QUYỀN CHỌN VÀ HỢP ĐỒNG KÝ KẾT TRƯỚC Các khái niệm và kết quả của chương này được trích từ tài liệu [6], [9], [10] 3.1 Quyền phái sinh Định nghĩa 3.1.1: Quyền phái sinh (hay quyền tài chính) là một biến ngẫu nhiên X xác định trên không gian xác suất ( , , )F PΩ biểu diễn thu hoạch tại thời điểm đáo hạn t=T. Định nghĩa 3.1.2: Quyền phái sinh X được gọi là đạt được (attainable) hay mua bán được (marketable) nếu tồn tại một chiến lược chấp nhận được sao cho hàm giá trị ứng với chiến lược kinh doanh đó tại thời điểm T là: ( )TV Xφ = . Trong trường hợp này, ta cũng có thể nói φ bảo hộ (generates) cho X và φ được gọi là phương án đáp ứng ( replicating portfolio). Mệnh đề 3.1.3: (Nguyên tắc xác định giá trị trung tính rủi ro) Cho X là một quyền tài chính đạt được và Q là độ đo xác suất rủi ro trung tính xác định trên Ω thì giá tại thời điểm t của X là tV chính là giá tại thời điểm t của phương án đáp ứng cho X và có thể được xác định bởi công thức:  | , 0,1,...,tt Q t t T V XV E F t T B B   = = =    Chứng minh: Gọi φ là chiến lược kinh doanh đáp ứng cho X, nghĩa là: ( )TV Xφ = HV: ĐINH NHẬT MINH GVHD: TS.NGUYỄN CHÍ LONG 53 - Cho Q là một độ đo martingale tuỳ ý, thì với mọi t T< ta có:   |t TQ tV E V F =   (vì  tV là một martingale) - Hơn nữa, vì TV là giá chiết khấu của danh mục đầu tư đáp ứng cho X nên ta có:  T T XV B = . Suy ra:  | |TQ t Q t T XE V F E F B    =      . - Do đó  |t Q t T XV E F B   =     Vậy mệnh đề đã được chứng minh. - Câu hỏi tiếp theo là làm sao tính chiến lược kinh doanh bảo hộ φ . - Nếu chúng ta biết quá trình giá V với phương án đáp ứng, ta chứng minh với chiến lược kinh doanh φ sử dụng trong phương trình tuyến tính trong định nghĩa quá trình giá. 0 1 ( ) ( ) N n n t i t t t t i n V B Sω φ φ ω = = +∑ với mỗi i. Lưu ý là φ là đoán được. - Nếu ta chỉ biết X, để tính được V và φ , làm theo các bước lùi theo thời gian như sau: Vì TV X= , nên 0 1 ( ) ( ) N n n i T T T T i n X B Sω φ φ ω = = +∑ Vì φ là tự tài trợ, nên ta được: 01 1 1 1 ( ) N n n T T T T T i n V B Sφ φ ω− − − = = +∑ HV: ĐINH NHẬT MINH GVHD: TS.NGUYỄN CHÍ LONG 54 Vậy ta biết 1TV − . Do đó bước tiếp, ta có: 01 1 1 1 1 1 ( ) N n n T T T T T i n V B Sφ φ ω− − − − − = = +∑ Tính được các 1nTφ − từ hệ phương trình trên, thì ta sẽ tính được 2TV − và cứ tiếp tục quá trình như thế. Ví dụ 3.13: (tiếp) - Xem một quyền mua kiểu Châu âu với giá thực thi 5K = . - Quyền phái sinh tương ứng là: 1 2 2 3 4 5, ( 5) 2, , 0, X S ω ω ω ω ω ω ω + = = − = =  = - Giả sử 0r = thì 1 1 1 1, , , 3 6 6 3 Q  =     . - Tại 0t = , ta có: [ ]0 1 1 1 1 75. 2. 2. 0. 3 6 6 3 3Q V E X= = + + + = - Tại 1t = , ta có: [ ]1 1|QV E X F= . Khi { }1 2,ω ω ω∈ , ta có: [ ]1 2 1 1.5 .2 3 6( ) | 9 4 1 2 QV E X Sω + = = = = . Khi { }3 4,ω ω ω∈ , ta có: HV: ĐINH NHẬT MINH GVHD: TS.NGUYỄN CHÍ LONG 55 [ ]1 2 1 1.2 .0 26 3( ) | 3 1 3 2 QV E X Sω + = = = = - Tại 2t = , thì như đã nói, ta có: 2V X= . - Để tìm một danh mục đầu tư, ta bắt đầu tại thời gian 2t = và thấy: 0 1 2 1 2 1 2 2 1 2( ) 5 ( , ).1 ( , ).10V ω φ ω ω φ ω ω= = + 0 1 2 2 2 1 2 2 1 2( ) 2 ( , ).1 ( , ).7V ω φ ω ω φ ω ω= = + Giải hệ 2 phương trình trên ta được: 0 12 1 2 2 1 2( , ) 5; ( , ) 1φ ω ω φ ω ω= − = Tương tự, ta cũng có: 0 1 2 3 2 3 4 2 3 4( ) 2 ( , ).1 ( , ).7V ω φ ω ω φ ω ω= = + 0 1 2 4 2 3 4 2 3 4( ) 0 ( , ).1 ( , ).1V ω φ ω ω φ ω ω= = + Suy ra: 0 12 3 4 2 3 4 1 1( , ) ; ( , ) 3 3 φ ω ω φ ω ω= − = Bây giờ ta có 2 phương pháp để làm tiếp Phương pháp 1: Vì ta đã tính giá của quyền chọn tại thời điểm t=1, nên ta có thể tiến hành trong chu kỳ thứ 2. 0 1 1 4( ,..., )φ ω ω và 11 1 4( ,..., )φ ω ω lần lượt được viết tắt là 01φ và 11φ . Ta có: 0 1 1 1 1 1 2( ) 4 .1 .9, ,V ω φ φ ω ω ω= = + = 0 1 1 1 1 3 4 2( ) .1 .3, , 3 V ω φ φ ω ω ω= = + = Giải hệ hai phương trình, hai ẩn trên ta được: 01 1φ = − và 11 5 9 φ = . Phương pháp 2: HV: ĐINH NHẬT MINH GVHD: TS.NGUYỄN CHÍ LONG 56 Ta sử dụng tính chất φ là chiến lược kinh doanh tự tài trợ, ta tính giá của danh mục đầu tư tại thời điểm t=1. Ta giả sử đã tính xong 02φ và 12φ . Thì: 0 11 2 2 1 2( ) .1 .9 5.1 1.9 4, ,V ω φ φ ω ω ω= + = − + = = Tương tự, 0 11 2 2 3 4 1 1 2( ) .1 .9 .1 .3 , , 3 3 3 V ω φ φ ω ω ω= + = − + = = Tiến hành như trên, ta được: 01 1φ = − và 11 5 9 φ = . 3.2 Quyền chọn kiểu châu Âu dưới mô hình nhị thức Xét mô hình nhị thức với T chu kỳ. Định nghĩa 3.2.1: (quyền chọn kiểu châu Âu với thời điểm thực thi là là thời điểm đáo hạn T ) Cho biến ngẫu nhiên 0X ≥ , T − đo được, X có thể coi là thu hoạch khi thực thi quyền chọn mua hay bán trên một chứng khoán (thứ nhất chẳng hạn) với giá thực thi (hay quy định) là K. Ta có 1( )TX S K += − cho quyền chọn mua và 1( )TX K S += − cho quyền chọn bán. Trong hai ví dụ trên X chỉ là hàm của NS . Ta nhắc lại mô hình nhị thức: Giá của chứng khoán rủi ro tại thời điểm t là: 0 , 1, 2,...,t t N t N tS S u d t N −= = Trong đó 0 1d u< < < và { }: 1, 2,...,tN N t N= = là một quá trình đếm Becnoulli với tham số ,0 1p p< < . Giả sử tỷ suất lợi nhuận r là một hằng số với 1d r u< + < , thì có một độ đo martingale Q, với: ( ) ( ) 1( ) (1 ) ,T TN T N r dQ q q q u d ω ωω − + −= − = − HV: ĐINH NHẬT MINH GVHD: TS.NGUYỄN CHÍ LONG 57 Hay 1( ) (1 ) ,n T n r dQ q q q u d ω − + −= − = − Trong đó n là số lần xuất hiện mặt ℋ của ω . Định lý 3.2.2: (công thức định giá quyền chọn kiểu châu Âu) Trong mô hình tài chính nhị thức lành mạnh, tham số 1 , ,u r T d = chu kỳ, thì giá quyền chọn kiểu châu Âu ( ) max(0; )T TX S K S K+= − = − với K là giá thực thi, tại thời điểm t=0 được xác định bởi: 0 0 0 0 0 0( ) (1 ) (1 )(1 ) T T n n T n n n T n T TT n n n n KV S C q q C q q r − − = = = − − − +∑ ∑ . Trong đó 1 r dq u d + − = − và 0 1 quq r = + và 0n là số nguyên nhỏ nhất thoả: 0 0 ln ln T K S d n u d      >       Chứng minh: Đối với quyền chọn kiểu châu Âu, ( ) ( )T TX g S S K += = − , thì theo mệnh đề trên, giá của quyền chọn này tại thời điểm t=0 được xác định bởi: 0 0 0 1 (1 ) max(0; - ) (1 ) (1 ) T n n T n n T n Q TT T n XV E C q q S u d K r r − − =   = = − + +  ∑ và 0 0 0 0 ln - 0 ln ln ln n T n T n T T K S du K u KS u d K n n ud dS d S d d −           > ⇔ > ⇔ > ⇔ >                Gọi 0n là số nguyên nhỏ nhất trong các số nguyên thoả mãn bất đẳng thức sau cùng ở trên, thì nếu số bước tăng ít hơn 0n thì sẽ không có cơ hội thực thi. Do đó: HV: ĐINH NHẬT MINH GVHD: TS.NGUYỄN CHÍ LONG 58 0 0 0 1 (1 ) max(0; - ) (1 ) T n n T n n T n TT n V C q q S u d K r − − = = − + ∑ 0 0 1 0 0 1 1(1 ) .0 (1 ) ( - ) (1 ) (1 ) n T n n T n n n T n n T n T TT T n n n C q q C q q S u d K r r − − − − = = = − + − + +∑ ∑ 0 0 0 (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) T T n n T n n T n n n T n T TT T n n n n S KC q q u d C q q r r − − − = = = − − − + +∑ ∑ 0 0 0 (1 ) (1 ) 1 1 (1 ) n T nT T n n n T n T TT n n n n qu q d KS C C q q r r r − − = = −   = − −   + + +    ∑ ∑ ( ) ( ) 0 0 0 0 01 (1 )(1 ) T T n T nn n n T n T TT n n n n KS C q q C q q r − − = = = − − − +∑ ∑ . Vậy ta có điều phải chứng minh. 3.3 Thị trường đầy đủ và không đầy đủ Định nghĩa 3.3.1: Mô hình thị trường được gọi là đầy đủ nếu mọi quyền phái sinh là đạt được. Ngược lại ta gọi mô hình không đầy đủ. Mệnh đề 3.3.2: Mô hình thị trường nhiều chu kỳ là đầy đủ khi và chỉ khi mọi mô hình một chu kỳ cơ bản là đầy đủ. Chứng minh: ( ) :⇒ Giả sử mô hình nhiều chu kỳ là đầy đủ. Cho một quyền phái sinh X bất kỳ thì ta luôn tính được chiến lược kinh doanh φ bảo hộ cho X theo thời gian lùi dần (mục 3.1). Khi đó, tất cả các ma trận A của mỗi mô hình một chu kỳ cơ bản có số cột độc lập cần thiết. Suy ra tất cả các mô hình một chu kỳ cơ bản là đầy đủ. ( ) :⇐ Giả sử mọi mô hình một chu kỳ cơ bản là đầy đủ. Lấy X là một quyền phái sinh bất kỳ. Ta chứng minh X là đạt được. HV: ĐINH NHẬT MINH GVHD: TS.NGUYỄN CHÍ LONG 59 Giả sử X là không đạt được. Khi đó, ta tính chiến lược kinh doanh φ sao cho: ( )TV Xφ = . Do X không đạt được nên việc tính chiến lược kinh doanh theo thời gian lùi dần sẽ bị “phá vỡ” tại một mô hình một chu kỳ cơ bản nào đó. Nghĩa là mô hình một chu kỳ cơ bản đó là không đầy đủ. Điều này trái với giả thiết. Do đó X là đạt được hay mô hình nhiều chu kỳ là đầy đủ. Định lý 3.3.3: Mô hình nhiều chu kỳ đầy đủ khi và chỉ khi độ đo xác suất rủi ro trung tính là duy nhất. Chứng minh: Áp dụng mệnh đề trên ta có: Mô hình nhiều chu kỳ đầy đủ khi và chỉ khi mỗi mô hình một chu kỳ cơ bản có một độ đo xác suất rủi ro trung tính duy nhất. Quan sát cách xây dựng và phát triển trong mục 2.5 của độ đo xác suất rủi ro trung tính với mô hình nhiều chu kỳ thì tính duy nhất của độ đo martingale Q tương đương với tính duy nhất của các độ đo martingale của các mô hình chu kỳ đơn cơ bản. Ta có điều phải chứng minh. Định lý 3.3.4: Quyền phái sinh X là đạt được nếu và chỉ nếu Q T XE B       mang cùng một giá trị với mọi MQ∈ . Chứng minh: Ở đây ta xét mô hình không đầy đủ. ( )⇒ : Giả sử quyền phái sinh X là đạt được, thì khi đó tồn tại chiến lược kinh doanh đáp ứng cho X, và giá của nó tại thời gian 0t = là 0 Q T XV E B   =     . Vì 0 Q T XV E B   =     với mọi độ đo xác suất rủi ro trung tính Q nên khi X là quyền phái sinh đạt được thì Q T XE B       là một hằng số với mọi MQ∈ . HV: ĐINH NHẬT MINH GVHD: TS.NGUYỄN CHÍ LONG 60 ( )⇐ : Để chứng minh chiều ngược lại, ta sẽ chứng minh bằng phản chứng. Giả sử quyền phái sinh X không đạt được, ta sẽ chứng minh Q T XE B       mang nhiều giá trị với mọi MQ∈ . Giả sử ta thử tính chiến lược kinh doanh đáp ứng cho X theo thời gian lùi dần. Do quyền phái sinh X không đạt được nên việc tính chiến lược kinh doanh này sẽ bị “phá vỡ” tại một mô hình một chu kỳ cơ bản nào đó. Giả sử mô hình một chu kỳ cơ bản này tương ứng với thời gian t T< , tA P∈ . Khi đó tồn tại ít nhất hai độ đo xác suất điều kiện rủi ro trung tính ( , )A tQ và  ( , )A tQ sao cho: ( , ) ( , ) 1 1 1 1 A t A t t t Q Q V V E E B B + +   ≠         ( , ) ( , )A t A t Q t Q tQ Q T T X XE B E E B E B B        ⇔ ≠              Q Q T T X XE E B B     ⇔ ≠        Trong đó Q và Q là các độ đo rủi ro trung tính của mô hình nhiều chu kỳ tương ứng với ( , )A tQ và  ( , )A tQ . Vậy ta có điều phải chứng minh. 3.4 Quyền chọn kiểu Mỹ: Mục tiêu của chương này là việc định giá và xây dựng chiến lược đảm bảo quyền tài chính quyền chọn châu Mỹ. Để thực hiện điều đó ta cần có khái niệm về dừng tối ưu mà nó cho phép xác định chiến lược thực thi của quyền chọn kiểu Mỹ. Ta cũng cần có khái niệm về bao hình Snell mà nó là chìa khoá để giải quyết bài toán dừng tối ưu. 3.4.1. Thời gian dừng (stopping time) Xét không gian xác suất ( , , )F PΩ với bộ lọc { }: 0,1,...,tF t T= . HV: ĐINH NHẬT MINH GVHD: TS.NGUYỄN CHÍ LONG 61 Định nghĩa 3.4.1: Giả sử { } { }: 0,1,...,Tτ Ω → ∪ ∞ là biến ngẫu nhiên. Ta nói rằng τ là thời điểm dừng đối với bộ lọc { }: 0,1,...,tF t T= , nếu (i) { }: ( ) , 0,1,...,tt F t Tω τ ω = ∈ ∀ = và (ii) ( ) 1P τ < ∞ = Nhận xét 1: - Điều kiện (i) trong định nghĩa tương đương với điều kiện { }: ( ) ,tt F tω τ ω ≤ ∈ ∀ . Thật vậy, chứng minh suy ra từ các đẳng thức sau: { } { } 0 : ( ) : ( ) t t k t k Fω τ ω ω τ ω = ≤ = = ∈  { } { } { }: ( ) : ( ) \ : ( ) 1 tt t t Fω τ ω ω τ ω ω τ ω= = ≤ ≤ − ∈ - Định nghĩa cho phép quyết định xem liệu biến cố { }tτ ≤ xuất hiện hay không bằng cách kiểm tra thông tin có sẵn tại thời gian t. - Giá trị ∞ cho phép biến cố không bao giờ xảy ra. - Chỉ sẽ được cho phép sử dụng luật giao dịch dựa vào thời gian dừng. Định lý 3.4.2: - Cho τ là một thời gian dừng ràng buộc và { }: 0,1,...,tX X t T= = là một martingale, thì [ ] [ ]0E X E Xτ = - Nếu τ là một thời gian dừng ràng buộc và X là một supermartingale, thì [ ] [ ]0E X E Xτ ≤ Chứng minh: Giả sử Tτ ≤ và viết { }( ) ( ) 0 ( ) ( )1 T t t t X Xτ ω τ ωω ω = = = ∑ , thì HV: ĐINH NHẬT MINH GVHD: TS.NGUYỄN CHÍ LONG 62 [ ] { } [ ] { } 0 0 1 | 1 T T t T tt t t t E X E X E E X Fτ τ τ= = = =    = =   ∑ ∑ { } 0 1 | T T tt t E X Fτ = =  =  ∑ (*) { } { } [ ] 0 0 1 | 1 T T T t T Tt t t t E X F E X E Xτ τ= = = =   = = =     ∑ ∑ [ ]0E X= (*) có được do τ là thời gian dừng, { }tτ = là tF −đo được, vì thế [ ] { } { }| 1 1 |T t T tt tE X F E X Fτ τ= = =   3.4.2. Quyền chọn kiểu Mỹ. Với quyền chọn kiều châu Âu , đó là quyền phái sinh X biểu diễn thanh toán chỉ xuất hiện tại thời gian đáo hạn T. Quyền chọn kiểu Mỹ cũng tương tự, thanh toán chỉ xuất hiện tại một thời điểm τ nào đó trước hoặc tại thời gian đáo hạn T. Quyền chọn kiểu châu Mỹ như là một hợp đồng giữa hai bên, bên mua và bên bán. Dữ kiện được xác định là một quá trình ngẫu nhiên thích nghi, không âm { }: 0,1,...,tY Y t T= = . Nếu họ ký một thoả thuận tại thời gian t, thì tại thời gian đó người mua phải trả cho người bán một lượng tW bằng với giá của quyền chọn tại thời gian t. Sau đó người mua phải thực thi quyền chọn tại một thời gian τ nào đó, trong đó t Tτ≤ ≤ Nếu quyền chọn thực thi tại thời gian τ thì người bán phải trả Yτ cho người mua. Một quyền chọn kiểu châu Mỹ chỉ được thực thi một lần. Đương nhiên vấn đề ở đây là ta phải đi xác định giá của quyền chọn. Đó là quá trình giá { }: 0,1,...,tW W t T= = của quyền chọn kiểu Mỹ Y . Với sự mô tả quyền chọn kiểu Mỹ như trên, ta có một số định nghĩa sau: Định nghĩa 3.4.3: Cho quyền phái sinh X, một quá trình ngẫu nhiên { }: 0,1,...,tY t T= mô tả thu hoạch của X nếu thực thi tại thời điểm t thì được gọi là quá trình thu hoạch của quyền phái sinh X. HV: ĐINH NHẬT MINH GVHD: TS.NGUYỄN CHÍ LONG 63 Định nghĩa 3.4.4: Thời gian dừng τ đại diện cho thời điểm thực thi thì được gọi là chiến lược thực thi. Định nghĩa 3.4.5: Quyền phái sinh Yτ cùng với quá trình thu hoạch { }: 0,1,...,tY t T= và chiến lược thực thi thì được gọi là quyền phái sinh kiểu Mỹ. Định nghĩa 3.4.6: - Một quyền chọn kiểu Mỹ được gọi là đạt được khi tồn tại một chiến lược kinh doanh tự tài trợ sao cho giá danh mục đầu tư tương ứng thoả mãn: ( )V Yτ τφ = . - Một quá trình thanh toán kiểu Mỹ { }: 0,1,...,tY t T= được gọi là đạt được nếu với mọi thời gian dừng τ , thì quyền chọn kiểu Mỹ Yτ là đạt được. Định lý 3.4.7: Nếu mô hình là đầy đủ thì mọi quyền chọn kiểu châu Mỹ đều đạt được. Chứng minh: Cho quá trình thanh toán { }: 0,1,...,tY t T= và chiến lược thực thi τ . Ta phải tìm một chiến lược kinh doanh tự tài trợ sao cho V Yτ τ= . Ta xem một chiến lược kinh doanh, viết là φ , bắt đầu tại thời gian τ với giá  ( )V Yτ τφ = . Tất cả lượng tài sản này được đầu tư vào trong tài khoản ngân hàng cho tới thời gian T. Với chiến lược này, sẽ có TY B B τ τ tại thời điểm T. Trong khi đó, vì mô hình là đầy đủ, nên có một chiến lược kinh doanh đáp ứng φ bắt đầu từ thời gian 0t = sao cho ( ) TT Y B V B τ τ φ = . Vì tại thời điểm t T= , giá của hai danh mục đầu tư là trùng nhau nêngiá của hai danh mục đầu tư trên tại thời điểm t τ= phải trùng nhau. Tức là  ( ) ( )V V Yττ τφ φ= = . (ĐPCM) Nếu thị trường không đầy đủ, thì một quyền chọn kiểu Mỹ bất kỳ có thể đạt được hoặc không đạt được. HV: ĐINH NHẬT MINH GVHD: TS.NGUYỄN CHÍ LONG 64 Định lý 3.4.8: Quyền chọn kiểu Mỹ Y là đạt được nếu và chỉ nếu với mỗi thời gian dừng τ thì Q Y E B τ τ       mang cùng giá trị với mọi MQ∈ . Điều kiện này không dễ kiểm tra trong nhiều trường hợp riêng lẻ. Định nghĩa 3.4.9: Với một quá trình ngẫu nhiên cho trước { }, 0,1,...,tX t T= . Bao hình Snell của X là quá trình ngẫu nhiên { }, 0,1,...,tZ t T= được định nghĩa bởi: [ ]{ }1 , max , | , T t t t t X t T Z X E Z F t T+ ==  < Định lý 3.4.10: Bao hình Snell Z của X là supermatingale nhỏ nhất của X và thoả mãn: ,t tZ X t≥ ∀ Chứng minh: Đầu tiên, theo định nghĩa của tZ , rõ ràng ta có ,t tZ X t≥ ∀ . Hơn nữa [ ]1 |t t tZ E Z F+≥ , do đó Z là một supermatingale. Tiếp theo, đặt { }: 0,1,...,tU U t T= = là một supermatingale khác và ,t tU X t≥ ∀ . Vì ,t tU X t≥ ∀ và T TZ X= nên T TU Z≥ . Ta sử dụng bước lùi thời gian. Giả sử quy nạp rằng t tU Z≥ . Khi đó, vì U là một supermatingale nên [ ] [ ]1 1 1| |t t t t tU E U F E Z F− − −≥ ≥ Mặt khác, vì 1 1t tU X− −≥ nên ta được [ ]{ }1 1 1 1max , |t t t t tU X E Z F Z− − − −≥ = . Do đó ,t tU Z t≥ ∀ . Định lý 3.4.11: HV: ĐINH NHẬT MINH GVHD: TS.NGUYỄN CHÍ LONG 65 Cho { }, 0,1,...,tX t T= là một quá trình ngẫu nhiên thích nghi với bộ lọc { }: 0,1,...,tF t T= và cho tZ là bao hình Snell của { }tX . Với 0,1,...,t T= ta định nghĩa một thời gian dừng sau: { }( ) min : s st s t X Zτ = ≥ = . Thì khi đó, ta có: [ ]{ }( ) | max | : ( , )t t t tZ E X F E X F t Tτ τ τ ς = = ∈  với mọi 0,1,...,t T= (3.2) Trong đó ( , )t Tς là tập hợp các thời gian dừng mang giá trị trong đoạn [ ],t T . Mặt khác, [ ]{ }0 (0) max : (0, )Z E X E X Tτ τ τ ς = = ∈  Chứng minh: - Ta sẽ chứng minh với thời gian lùi dần. - Nhận xét là đúng với t T= vì theo định nghĩa T TZ X= và do đó thời gian dừng ( )Tτ dừng tại T. - Giả sử (3.2) đúng với t T< . Đặt ( 1, )t Tτ ς∈ − . Ta định nghĩa thêm thời gian dừng khác: { }max , tτ τ= , thì [ ] { } { }1 1 11| 1 1 |t t tt tE X F E X X Fτ ττ τ− − −= − ≥ = +  { } { }1 111 1 |t tt tE X X Fτ τ τ− −= − ≥ = +  (vì tτ τ τ≥ ⇒ =  ) { } { }1 111 1 |t tt tX E X Fτ τ τ− −= − ≥  = +   { } { }1 111 1 | |t t tt tX E E X F Fτ τ τ− −= − ≥   = +    Ta có: ( , )t Tτ ς∈ . Theo điều giả sử thì ta được | t tE X F Zτ  ≤  . - Theo định nghĩa của 1tZ − : [ ]{ }1 1 1 1 1max , |t t t t t tZ X E Z F X Z− − − − −= ⇒ ≤ . Do đó: [ ] { } { } [ ]1 1 11| 1 1 |t t t tt tE X F X E Z Fτ τ τ− − −= − ≥≤ + { } { } [ ] [ ]1 1 1 1 111 1 | |t t t t t tt tZ E Z F E Z F Zτ τ− − − − −= − ≥≤ + ≤ = HV: ĐINH NHẬT MINH GVHD: TS.NGUYỄN CHÍ LONG 66 - Trong trường hợp này, ta có: 1 1 1 1 1, ( 1) ( ), t t t t t Z X t t Z X τ τ − − − − − = − =  > Do đó: { } { }1 1 1 1( 1) 1 1 ( ) 1 | 1 1 | t t t tt t t t tZ X Z X E X F X E X Fτ τ− − − −− − − −= >   = +    { } { }1 1 1 11 ( ) 1 1 1 | | t t t tt t t tZ X Z X X E E X F Fτ− − − −− −= >   = +    { } { } [ ]1 1 1 11 11 1 |t t t tt t tZ X Z XZ E Z F− − − −− −= >= + (do giả thiết quy nạp ( ) |t t tE X F Zτ  =  ) 1tZ −= . Vậy (3.2) đúng với thời gian t-1. Mệnh đề 3.4.12: Xem một thị trường tài chính với một độ đo xác suất trung tính rủi ro Q và quá trình thu hoạch kiểu Mỹ { }tY mà nó được bảo hộ. Thì bao hình Snell Z của quá trình thu hoạch chiết khấu Y B là quá trình giá chiết khấu của Y. Chứng minh: Z là bao hình Snell của Y B nên 1 , max , [ | ] , T T t t t t t Y t T B Z Y E Z F t T B +  = =    <    Theo định lý 3.22 thì ( ) ( ) | max | : ( , )tt t t t Y Y Z E F E F t T B B τ τ τ τ τ ς      = = ∈            với mọi 0,1,...,t T= Trong đó ( , )t Tς là tập hợp các thời gian dừng mang giá trị trong đoạn [ , ]t T Gọi { }: 0,1,...,tW W t T= = là quá trình giá của Y. Ta sẽ chứng minh WZ B = . HV: ĐINH NHẬT MINH GVHD: TS.NGUYỄN CHÍ LONG 67 - Tại thời điểm T, giá chiết khấu của quá trình thu hoạch kiểu châu Mỹ bằng T T T T W Y B B = (do định nghĩa quyền chọn kiểu Mỹ). Suy ra TT T WZ B = - Giả sử ta đã chứng minh được ss s W Z B = với mọi 0s t≥ > . - Ta sẽ chứng minh 11 1 t t t W Z B − − − = . - Nếu ( 1) 1t tτ − = − thì ta thực thi quyền chọn ngay lập tức và 1 11 1 1 t t t t t Y W Z B B − − − − − = = . - Nếu ( 1) 1t tτ − > − thì ta thực thi quyền chọn tại thời gian ( 1)tτ − . Ta xem quá trình Y bắt đầu tại thời gian t-1, thực thi tại thời gian ( 1)tτ − . Do quá trình thu hoạch kiểu châu Mỹ Y là thực thi nên với thời gian dừng ( 1)tτ − thì quyền ( 1)tYτ − là thực thi. Do đó tồn tại một chiến lược kinh doanh tự tài trợ sao cho giá của danh mục đầu tư tương ứng có giá ( 1) ( 1)t tW Yτ τ− −= . Khi đó giá chiết khấu của của danh mục đầu tư bảo hộ tại thời gian t-1 là: ( 1)1 1 1 1 ( 1) |tt t t t t YW E F Z B B τ τ −− − − − −   = =     (Theo nguyên tắc xác định giá trung tính rủi ro). Ví dụ: Ta xét một mô hình với N=1 chứng khoán trên T=2 chu kỳ và k=4 trạng thái có thể xảy ra. Để đơn giản ta thay đổi ký hiệu của quá trình giá nS thay cho ntS . Quá trình trên được cho bởi bảng sau: kω 0t = 1t = 2t = 1ω 0 6S = 1 9S = 2 10S = 2ω 0 6S = 1 9S = 2 7S = 3ω 0 6S = 1 3S = 2 7S = 4ω 0 6S = 1 3S = 2 1S = HV: ĐINH NHẬT MINH GVHD: TS.NGUYỄN CHÍ LONG 68 Trong trường hợp 0r = , ta có 1 1 1 1; ; ; 3 6 6 3 Q  =     . Ta xem một quyền chọn kiểu châu Mỹ với giá thực thi 5K = . Quá trình thu hoạch là: kω 0t = 1t = 2t = 1ω 0 1Y = 1 4Y = 2 5Y = 2ω 0 1Y = 1 4Y = 2 2Y = 3ω 0 1Y = 1 0Y = 2 2Y = 4ω 0 1Y = 1 0Y = 2 0Y = Tại thời gian 2t = , ta có 2 2Z Y= . Tại thời gian 1t = . Trong các trạng thái 1ω và 2ω thì giá [ ]{ } { }1 1 2 1 2 1max ; | max 4;5. 2. max 4;4 43 3QZ Y E Z F  = = + = =    Rõ ràng 1 1 2 1 1 2( , ) ( , )Z Vω ω ω ω= là giá của quyền chọn kiểu châu Âu ở ví dụ trước. Trong các trạng thái 3ω và 4ω thì giá . [ ]{ }1 1 2 1 1 1 2 2max ; | max 0;2. 0. max 0;3 3 3 3QZ Y E Z F    = = + = =        Tương tự 1 3 4 1 3 4( , ) ( , )Z Vω ω ω ω= . Tại thời gian 0t = thì giá [ ]{ }0 0 1 0 1 2 1 7 7max ; | max 1;4. . max 1;2 3 2 3 3QZ Y E Z F    = = + = =        ( 0 0Z V= ). Bây giờ ta xem một quyền chọn kiểu châu Mỹ khác với quá trình thu hoạch được thay đổi bởi 1 1 1 2( ) ( ) 5Y Yω ω= = . Quá trình thu hoạch là: kω 0t = 1t = 2t = 1ω 0 1Y = 1 5Y = 2 5Y = 2ω 0 1Y = 1 5Y = 2 2Y = HV: ĐINH NHẬT MINH GVHD: TS.NGUYỄN CHÍ LONG 69 3ω 0 1Y = 1 0Y = 2 2Y = 4ω 0 1Y = 1 0Y = 2 0Y = Tại thời gian 2t = , ta có 2 2Z Y= . Tại thời gian 1t = . Trong các trạng thái 1ω và 2ω thì giá [ ]{ } { }1 1 2 1 2 1max ; | max 5;6. 3. max 4;5 53 3QZ Y E Z F  = = + = =    . Trong các trạng thái 3ω và 4ω thì giá [ ]{ }1 1 2 1 1 2 2 2max ; | max 0;2. 0. max 0;3 3 3 3QZ Y E Z F    = = + = =        Tại thời gian 0t = thì giá [ ]{ }0 0 1 0 1 2 1 17 17max ; | max 1;5. . max 1;2 3 2 6 6QZ Y E Z F    = = + = =        - Chiến lược thự thi tối ưu là: 1 2 3 4 1, , (0)( ) (1)( ) 2, , ω ω ω τ ω τ ω ω ω ω = = =  = Và (2)( ) 2,τ ω ω= ∀ ∈Ω 3.4.3. Mối quan hệ của quyền chọn kiểu Mỹ và quyền chọn kiểu châu Âu. Ta biết giá chiết khấu của một quyền chọn kiểu châu Âu là một martingale theo độ đo Q và của châu Mỹ là một supermartingale theo độ đo Q. Bây giờ ta có một số kết quả so sánh hai loại quyền chọn này. Mệnh đề 3.4.13: Xem { }: 0,1,...,tY Y t T= = là một quyền chọn kiểu Mỹ và quyền chọn kiểu châu Âu tương ứng với thu hoạch tại thời gian T là TX Y= . Ký hiệu tV là giá tại thời điểm t HV: ĐINH NHẬT MINH GVHD: TS.NGUYỄN CHÍ LONG 70 của quyền chọn kiểu châu Âu. Khi đó nếu , ,t tV Y t ω≥ ∀ thì , ,t tV W t ω= ∀ . Trong đó tW là giá của quyền chọn kiều châu Mỹ tại thời điểm t. Chứng minh: Vì  tW là một supermartingale theo độ đo Q, ta có:    | |t T T tQ t Q tW E W F E V F V   ≥ = =    t tW V⇒ ≥ Nếu ta có , ,t tV Y t ω≥ ∀ . Vì  tV là martingale theo độ đo Q nên nó cũng là supermatingale vượt trội  tY nên ta có  t tV W≥ (vì  tW là supermartingale nhỏ nhất vượt trội  tY ). Từ đó suy ra t tV W≥ . Vậy , ,t tV W t ω= ∀ . (đpcm). Nhận xét: Bất đẳng thức t tW V≥ là lẽ tự nhiên vì quyền chọn kiểu châu Mỹ cho nhiều lựa chọn hơn so với quyền chọn kiểu châu Âu. Ví dụ: Cho một thị trường với một tài sản rủi ro với giá là ; 0,1,...,tS t T= và một tài khoản ngân hàng với lãi suất là 0r ≥ và (1 )ttB r= + . Với các ký hiệu tương tự mệnh đề trên. Quyền chọn kiểu Mỹ được mô tả bởi dãy ( )t tY S K += − trên một đơn vị của tài sản rủi ro, thì , 0,1,...,t tV W t T= ∀ = . Thật vậy, khi đó ta có:  ( ) ( ) ( ) ( )1 1| | 1 1 t Q T t Q T tT TV E S K F E S K Fr r + = − ≥ −   + +  ( )  ( )  ( ) | 1 1 1 T t tQ tT T t K K KE S F S S r r r      = − = − ≥ −   + + +   t tV S K⇒ ≥ − . Mặt khác, ta có: 0tV ≥ , suy ra ( )max ;0t t tV S K Y≥ − = . Vậy t tV W= . HV: ĐINH NHẬT MINH GVHD: TS.NGUYỄN CHÍ LONG 71 Mệnh đề 3.4.14: Nếu Y là một quyền chọn kiểu châu Mỹ và Y B là một submartingale theo độ đo Q thì Tτ = luôn là một chiến lược thực thi tối ưu, và giá của quyền chọn kiểu châu Mỹ trùng với giá của quyền chọn kiểu châu Âu TX Y= . Chứng minh: Theo định lý mẫu tối ưu: Nếu Y B là một submartingale theo độ đo Q, thì T Q Q T Y YE E B B τ τ     ≤       với mọi thời gian dừng Tτ ≤ . Do đó Tτ = luôn là một chiến lược thực thi tối ưu. Mặt khác theo định lý ta được: 0 TQ T YW E B   =     , suy ra 0 0W V= là giá của quyền chọn kiểu châu Âu TX Y= . Nhận xét: Tính chất trên là điều kiện mà đôi khi nó tiện cho việc kiểm tra giá của hai quyền chọn có trùng nhau hay không. Ví dụ Trong không gian của lãi suất không âm và không có cổ tức, một hợp đồng mua trước kiểu Mỹ được viết trên một tài sản rủi ro riêng sẽ không được thực thi sớm. Thật vậy: Ta cần chứng minh ( )t t t t t S K S K B B B ++  − = −    là submartingale. Tức là kiểm tra: Với , 0s t ≥ : |t t sQ t t t t s t s S SK KE F B B B B + + + + +       − ≤ −          Thật vậy, ta có | |t s t sQ t Q t t s t s t s t s S SK KE F E F B B B B + + + + + + +         − ≥ −            HV: ĐINH NHẬT MINH GVHD: TS.NGUYỄN CHÍ LONG 72 1| |t sQ t Q t t s t s S E F KE F B B + + +     = −        1 |t Q t t t s S KE F B B +   = −     (do t t S B là Q-martingale) Vì 1 1t s t t s t B B B B+ + ≥ ⇒ ≤ nên 1| |t s t tQ t Q t t s t s t t t t S S SK KE F KE F B B B B B B + + + +       − ≥ − = −          Mặt khác, vì | 0t sQ t t s t s S KE F B B + + + +     − ≥      nên | max ;0t s tQ t t s t s t t S SK KE F B B B B + + + +       − ≥ −         . Vậy đi đến điều phải chứng minh. 3.5 Giá hợp đồng ký kết trước (forward contract) Định nghĩa 3.5.1: Đó là loại hợp đồng ký kết trước giữa hai bên đối tác A và B (thường là các công ty tài chính hay các nhà môi giới đầu tư, hay các nhà đầu tư tài chính) tại thời điểm ký hợp đồng là t với các quy ước sau: i. Đến thời điểm đáo hạn Tτ ≤ của hợp đồng, bên A phải giao cho bên B một khối lượng sản phẩm tài chính (cổ phiếu, ngoại tệ,) hoặc mọt khối lượng hàng hoá đặc biệt nào đó (dầu mỏ, lúa,) có giá trị thị trường là X tại thời điểm τ . ii. Đến thời điểm đáo hạn τ đó, bên B phải trả cho bên A một khoản tiền tO (O bắt nguồn từ fOrward) định trước từ lý ký kết (thời điểm t) iii. Không có bất kỳ một chi phí giao dịch nào trước thời điểm τ . iv. Đến thời điểm τ , hai bên bắt buộc phải thực thi các quy ước đó, theo một số điều khoản cụ thể. Vấn đề của ta bây giờ là đi xác định giá của hợp đồng ký kết trước tO . Đầu tiên ta có kết quả sau, trong trường hợp S là chứng khoán không trả cổ tức. HV: ĐINH NHẬT MINH GVHD: TS.NGUYỄN CHÍ LONG 73 Mệnh đề 3.5.2: Giá ký kết trước của chứng khoán không trả cổ tức S tại thời gian t là tO được nhận và trả tại thời gian tτ > là: | t t t Q t S O B E F Bτ =       Chứng minh: Ý tưởng của việc giữ hợp đồng ký kết trước và trả tO $ tại thời điểm τ giống với việc giữ một đơn vị chứng khoán S tại cùng thời điểm t và bán chứng khoán đó với giá tại thời điểm t τ= là tO . Ta có thể xem đó là quyền phái sinh. Khi đó giá của danh mục đầu tư đáp ứng cho quyền phái sinh đó tại thời điểm t là: | |t tQ t t t Q t B B E O O E B Bτ τ     =          Giá của chứng khoán S đó tại thời điểm t là tS , nên: |tt t Q t B S O E Bτ   =      . Điều này dẫn đến kết quả trên. Tuy nhiên trong trường hợp S là chứng khoán trả cổ tức thì kết quả trên không còn đúng. Ta xét chứng khoán S mà người mua nó tại thời điểm t sẽ được nhận 1,...,tD Dτ+∆ ∆ đơn vị tiền tệ lần lượt tại các thời điểm 1,...,t τ+ . Khi đó ta có kết quả sau: Mệnh đề 3.5.3: Giá ký kết trước của chứng khoán trả cổ tức S tại thời gian t là tO được nhận và trả tại thời gian tτ > là: 1 1 | | s t t t Q t s t st Q t D B O S E BB E B τ τ = +   ∆ = −           ∑   HV: ĐINH NHẬT MINH GVHD: TS.NGUYỄN CHÍ LONG 74 Chứng minh: Khi ta giữ hợp đồng ký kết trước và trả tO $ tại thời điểm τ , thì tương tự như trên, giá của quyền phái sinh thời gian τ đó tại thời điểm t là: |tt Q t B O E Bτ        Công việc trên cũng giống như việc ta mua chứng khoán S tại thời điểm t bằng cách trả tS , mà: - Tại thời điểm t+1, ta nhận một lượng tiền là 1tD +∆ , đây thực ra quyền phái sinh thời gian t+1, do đó giá của danh mục đầu tư đáp ứng cho nó tại thời điểm t là: 1 1 |t tQ t t D B E B + +  ∆      - Tại thời điểm t+2, ta nhận một lượng tiền là 2tD +∆ , đây thực ra quyền phái sinh thời gian t+2, do đó giá của danh mục đầu tư đáp ứng cho nó tại thời điểm t là: 2 2 |t tQ t t D B E B + +  ∆      .. - Tại thời điểm τ , ta nhận một lượng tiền là Dτ∆ , đây thực ra quyền phái sinh thời gian τ , do đó giá của danh mục đầu tư đáp ứng cho nó tại thời điểm t là: |tQ t D B E B τ τ  ∆      Vậy giá của danh mục đầu tư tại thời gian t (lượng tiền phải trả) là: 1 |s tt Q t s t s D B S E B τ = +  ∆ −     ∑  Do đó ta được: 1 | |s t tt Q t t Q t s t s D B B S E O E B B τ τ= +    ∆ − =        ∑   HV: ĐINH NHẬT MINH GVHD: TS.NGUYỄN CHÍ LONG 75 Hay 1 1 | | s t t t Q t s t st Q t D B O S E BB E B τ τ = +   ∆ = −           ∑   Vậy ta có điều phải chứng minh. HV: ĐINH NHẬT MINH GVHD: TS.NGUYỄN CHÍ LONG 76 KẾT LUẬN Mặc dù nội dung nghiên cứu của đề tài không có nhiều mới mẻ, nhưng tôi cảm thấy kiến thức của mình được củng cố và mở rộng hơn nhiều, cảm thấy tâm huyết mình bỏ ra trong thời gian qua thật sự xứng đáng. Tuy vậy cũng sẽ khó tránh những sai sót mà tôi không nhận ra, rất mong quí thầy cô tận tình góp ý để tôi có thể chỉnh sửa cho luận văn của mình hoàn chỉnh hơn. Xin chân thành cám ơn quí thầy cô rất nhiều. HV: ĐINH NHẬT MINH GVHD: TS.NGUYỄN CHÍ LONG 77 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Văn Hữu, Vương Quân Hoàng (2007), Các phương pháp toán học trong tài chính, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội [2] Nguyễn Chí Long (2008), Xác suất thống kê và quá trình ngẫu nhiên, NXB Đại học Quốc gia TPHCM. [3] Nguyễn Chí Long (2010), "Nguyên lý căn bản định giá tài sản trong thị trường tài chính", Tạp chí khoa học ĐHSP TPHCM, 21(55), tr.38-51 [4] Nguyễn Chí Long (2011), "Bổ đề Fakas và áp dụng trong thị trường tài chính", Tạp chí khoa học ĐHSP TPHCM, 27(61), tr.41-53 [5] Nguyễn Chí Long (2011), "Mô hình định giá tài sản tư bản", Tạp chí khoa học ĐHSP TPHCM, 30(64), tr.25-41 [6] Nguyễn Chí Long (2011), “Định giá tài sản trong mô hình nhị thức”, Số chuyên đề của ĐHSG: Hội thảo Quốc tế Giải tích và Toán ứng dụng, ĐHSG TPHCM, tr 513-525 [7] Trần Hùng Thao (2004), Nhập môn toán học Tài chính, NXB Khoa học kỹ thuật Hà Nội. [8] Trần Trọng Nguyên (2009), Cơ sở Toán tài chính, NXB Khoa học kỹ thuật Hà Nội. [9] Stanley R. Pliska (1997), Introduction to Mathematical Finance (Discrete Time Models), Blackwell Publishers Inc. [10] Nick Whiteley (2011), Financial Maths, University of Bristol.