Luận văn Một nghiên cứu Didactic về khái niệm bất đẳng thức trong chương trình phổ thông

hai vế của bất đẳng thức cho cùng một số khác 0 thì sao? 3. Tính chất bắc cầu Với ba số a, b và c ta thấy rằng nếu a < b và b < c thì a < c. Tính chất này gọi là tính chất bắc cầu: Tương tự, các thứ tự (>), nhỏ hơn hoặc bằng (≤ ), lớn hơn hoặc bằng cũng có tính chất bắc cầu. (SGK8 – tập 2, tr.37, 38, 39) Có thể thấy SGK8 xây dựng các tính chất, phát biểu tính chất, đưa ra ví dụ và hoạt động củng cố các tính chất của bất đẳng thức chứa chữ, tuy nhiên chữ ở đây giữ vai trò được gán giá trị cụ thể . (-2).(-2) -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 3.(-2) 4 4 a b c 28 * Các tổ chức toán học: TĐS: “Kiểm tra tính đúng, sai của một bất đẳng thức” Để có thể phân biệt một cách rõ ràng các kỹ thuật giải quyết kiểu nhiệm vụ này, chúng ta có dựa vào đặc trưng của các đối tượng trong bất đẳng thức. * Bất đẳng thức chứa số cụ thể Ví dụ 1 (SGK8 – tập 2, Bài 1/ tr.37) Mỗi khẳng định sau đúng hay sai? Vì sao? a) (-2) + 3 ≥ 2 b) – 6 ≤ 2.(-3) c) 4 + (-8) < 15 + (-8) d) x2 + 1 ≥ 1 Giải (SGV8, tr.44) a) Sai b), đúng c), đúng d), đúng. b) Khẳng định câu b) đúng vì vế trái là – 6, vế phải là 2.(-3) cũng là – 6 và ta có -6 ≤6 c) Câu c) có 2 cách giải thích: Cách 1: Đúng vì ta có 4 < 15 và cộng cả hai vế của nó với (-8). Cách 2: Đúng vì vế trái là – 4, vế phải là 7, rõ ràng – 4 < 7. d) Từ kết quả x2 ≥ 0, ta cộng hai vế với 1, được x2 + 1 > 1. + Kỹ thuật τĐS.1: - Tính giá trị từng vế của bất đẳng thức. - So sánh giá trị hai vế. - Kết luận. + Công nghệ θĐS.1: - Các phép toán, thứ tự trên tập số thực. * Bất đẳng thức chứa chữ Ví dụ 2 (SGK8 – tập 2, Bài 1/ tr.37) Mỗi khẳng định sau đúng hay sai? Vì sao? d) x2 + 1 ≥ 1 Đặc trưng của kiểu nhiệm vụ TĐS chưa chữ trong SGK8 luôn cho đáp số là “bất đẳng thức đúng”. Như vậy để thực hiện kiểu nhiệm vụ TĐS_Chữ thực ra là đi chứng 29 minh bất đẳng thức. Hơn nữa, việc chứng minh các bất đẳng thức trong kiểu nhiệm vụ này đều xuất phát từ bất đẳng thức x2 ≥ 0 với mọi số thực x. + Kỹ thuật τ ĐS.2: - Xuất phát từ bất đẳng đúng. - Thực hiện cộng hoặc nhân với số thích hợp. - Kết luận. + Công nghệ θ ĐS.2: - Liên hệ giữa thứ tự với phép cộng và phép nhân. * Bất đẳng thức trong hình học Ví dụ 3 (SGK8 – tập 2, Bài 9/ tr.40) Cho tam giác ABC. Các khẳng định sau đây đúng hay sai? Vì sao? a)    0180A B C+ + > ` b)   0180A B+ < c)   0180B C+ ≤ d)   0180A B+ ≥ SGV8 chỉ đưa ra đáp số là b) đúng, c) đúng và không giải thích thêm. Nhận xét - Bất đẳng thức được hiểu là mệnh đề dạng a b, ). Mệnh đề toán học thì phải hoặc đúng, hoặc sai. SGK thể hiện ý này qua kiểu nhiệm vụ TĐS với yêu cầu bài toán: “khẳng định sau đây đúng hay sai”. Với mức độ THCS, chưa giới thiệu kĩ về mệnh đề nên SGK lựa chọn cách nói có mức độ. - Khi thực hiện kiểu nhiệm vụ này trên số cụ thể HS có thể sử dụng cả hai kĩ thuật τĐS.1, τĐS.2. Trong đó, công nghệ để giải thích cho kĩ thuật τĐS.1 là quy tắc so sánh hai số cụ thể, công nghệ để giải thích cho τĐS.2 là sử dụng các tính chất của bất đẳng thức để so sánh hai số. Tuy nhiên, kĩ thuật τĐS.1 dễ hiểu và quen thuộc đối với HS. - Trong ví dụ 3. Chúng tôi nhận thấy: Đối với 1d) x2 + 1 ≥1 dấu “=” xẩy ra khi x = 1 Đối với 9c)   0180B C+ ≤ dấu “=” không thể xẩy ra. 30 Như vậy, trong thể chế dạy học toán lớp 8 xuất hiện cách viết bất đẳng thức không nghiêm ngặt đúng nhưng dấu “=” không xẩy ra. Chúng tôi tự hỏi thể chế có ưu tiên cách viết này hay không? Để tìm câu trả lời cho câu hỏi trên, chúng tôi tham khảo thêm SBT8 và quan tâm đến bài tập sau đây: Bài 19 (SBT8, tr.52) Cho a là số bất kì, hãy đặt dấu “, ≤ , ≥ ” vào ô vuông cho đúng: a) a2  0; b) – a2  0; c) a2 + 1  0; d) – a2 – 2 0. Câu c) điền dấu > hoăc ≥ đều đúng tuy nhiên SBT8 đưa ra đáp án là >; câu e điền dấu < hoặc ≤ đều đúng tuy nhiên SBT8 đưa ra đáp án là <. Vậy có thể thấy rằng thể chế SGK8 xuất hiện hai cách viết bất đẳng thức không nghiêm ngặt: bất đẳng thức không nghiêm ngặt mà dấu bằng xẩy ra và bất đẳng thức không nghiêm ngặt mà dấu bằng không xẩy ra. Tuy nhiên, thể chế không ưu tiên cách viết bất đẳng thức không nghiêm ngặt mà dấu “=” không xẩy ra.  Kiểu nhiệm vụ TSS: “So sánh” Ngoài kiểu nhiệm vụ TSS_So , TSS_BT có các kiểu nhiệm vụ con sau đây: • Kiểu nhiệm vụTSS_BTĐK: “So sánh giá trị hai biểu thức chứa các chữ thỏa điều kiện cho trước” Ví dụ (SGK8- tập 2, Bài 2/ tr.37) Cho a < b, hãy so sánh: a) a + 1 và b + 1; b) a – 2 và b – 2 Giải (Trích SGV8): a) Ta có a + 1 < b + 1 (vì từ a < b, cộng hai vế với 1). b) Ta có a – 2 < b – 2 (vì từ a < b, cộng hai vế với -2). + Kỹ thuật τ SS_BTĐK: - Xuất phát từ bất đẳng thức ở giả thiết, nhân và cộng hai vế của bất đẳng thức với một số thích hợp. + Công nghệ θ SS_BTĐK: - Liên hệ giữa thứ tự với phép cộng và phép nhân. 31 • Kiểu nhiệm vụ TSS_ĐK : “So sánh hai số thỏa bất đẳng thức cho trước” Ví dụ (SGK8 – tập 2, bài 13a/ tr.40) So sánh a và b nếu: a + 5 < b + 5. Giải (Trích SGV8) Cách 1: Thực hiện cộng, nhân với số thích hợp. Từ a + 5 < b + 5, cộng hai vế với -5, suy ra a < b (Có thể nói là trừ hai vế cho cùng một số). Cách 2: Trong các khả năng so sánh a và b, ta loại một số khả năng để kết luận khả năng còn lại. Ta loại a = b (vì khi đố a + 5 = b + 5) và loại a > b (vì khi đó có a + 5 > b + 5). Vậy chỉ còn a < b. + Kỹ thuật τ SS_ĐK1: - Cộng, nhân hai vế của bất đẳng thức với số thích hợp. + Kỹ thuật τ SS_ĐK2: - Trong các khả năng so sánh a và b, ta loại một số khả năng để kết luận khả năng còn lại. - Kết luận. + Công nghệ θ SS_ĐK: - Liên hệ giữa thứ tự với phép cộng và phép nhân.  Kiểu nhiệm vụ TCM: “Chứng minh bất đẳng thức” Trong SGK lớp 8 kiểu nhiệm vụ TCM có các kiểu nhiệm vụ con sau đây: • Kiểu nhiệm vụ TCM_So “Chứng minh bất đẳng thức số” Ví dụ (SGK8 – tập 2, Bài 12a/ tr.40) Chứng minh: 4.(-2) + 14 < 4.(-1) + 14. Giải: Cách 1: Ta có VT = 6, VP = 10 và 6 < 10 nên 4.(-2) + 14 < 4.(-1) + 14. Cách 2: 32 Ta có -2 < -1, nhân 2 vế của bất đẳng thức -2 < 1 với 4 rồi cộng với 14 ta được bất đẳng thức 4.(-2) + 14 < 4.(-1) + 14. + Kỹ thuật τ CM_So1: - Tính giá trị từng vế của bất đẳng thức. - So sánh giá trị hai vế. - Kết luận. + Kỹ thuật τ CM_So2: - Xuất phát từ bất đẳng thức đúng. - Thực hiện nhân và cộng với số thích hợp. - Kết luận. + Công nghệ θ CM_So: - Liên hệ giữa thứ tự với phép cộng và phép nhân. • TCM_Chu “Chứng minh bất đẳng thức chữ” Ví dụ (SGK8 – tập 2, Bài 11a/ tr.40) Cho a < b, chứng minh: 3a + 1 < 3b + 1. Giải (Trích SGV8): Từ a < b suy ra 3a < 3b (nhân hai vế với 3), sau đó có 3a + 1 < 3b + 1 (do cộng 1 vào cả hai vế của bất đẳng thức). + Kỹ thuật τ CM_Chu: - Xuất phát từ bất đẳng thức đúng. - Thực hiện nhân và cộng với số (biểu thức) thích hợp. - Kết luận. + Công nghệ θ CM_Chu: Liên hệ giữa thứ tự với phép cộng và phép nhân.  Kiểu nhiệm vụ TLapBĐT: “Lập bất đẳng thức từ bài toán có lời văn” Ví dụ (SGK8- tập 2, bài 4/ tr. 37) Đố. Một biển báo giao thông với nền trắng, số 20 màu đen, viền đỏ cho biết vận tốc tối đa mà các phương tiện giao thông được đi trên quãng đường có biển quy định là 20km/h. Nếu một ôtô đi trên đường đó có vận 33 tốc là a (km/h) thì a phải thỏa mãn điều kiện nào trong các điều kiện sau đây: a > 20; a < 20; a ≤ 20; a ≥ 20. Giải (SGV8, tr.45) a≤ 20 (GV nêu thêm ý nghĩa về an toàn giao thông). Nhận xét - Trong thể chế SGK8 xuất hiện hai cách viết bất đẳng thức không nghiêm ngặt: bất đẳng thức không nghiêm ngặt mà dấu bằng xẩy ra và bất đẳng thức không nghiêm ngặt mà dấu bằng không xẩy ra. Tuy nhiên, thể chế không ưu tiên cách viết bất đẳng thức không nghiêm ngặt mà dấu “=” không xẩy ra. - Công nghệ giải thích cho các kĩ thuật để giải quyết kiểu nhiệm vụ TSS_BTĐK,TSS_ĐK, TCM là: tính chất về mối liên hệ giữa thứ tự với phép cộng và phép nhân. Tuy nhiên, việc áp dụng tính chất nhân hai vế của bất đẳng thức với c trong các kiểu nhiệm vụ này thì c luôn đóng vai trò là số cụ thể. Hơn nữa, các kiểu nhiệm vụ xuất hiện ở lớp 8 với số lượng bài tập lớn (62 bài). Mặt khác, khi nghiên cứu đặc trưng khoa học luận và sư phạm của khái niệm chữ và số âm, tác giả Nguyễn Thiện Chí (2010) đã kết luận: “Đối với học sinh (-a) là số âm với mọi a khác 0” ([], tr.78).Từ đó, chúng tôi đưa ra giả thuyết sau: Giả thuyết H1: Tồn tại ở HS quy tắc hành động sau: R1: a < b ⇒a.c < b.c a b.(-c) 1.3.2 SGK lớp 9 SGK9 xây dựng tính chất của căn bậc hai trong bài “Căn bậc hai” như sau: Ta đã biết: Với hai số a và b không âm, nếu a < b thì a < b . Ta có thể chứng minh được: Với hai số a và b không âm, nếu a < b thì a < b. Như vậy, ta có định lý sau đây. 34 ĐỊNH LÝ Với hai số a và b không âm, ta có a < b ⇔ a < b . (SGK9, tr.5) Tính chất về mối liên hệ giữa phép khai phương với quan hệ thứ tự được phát triển trên kết quả so sánh căn bậc hai của các số thực dương ở lớp 7. Tính chất này không chỉ là cơ sở cho giải toán so sánh các số thông qua so sánh căn bậc hai số học của chúng (và ngược lại) mà còn là cơ sở cho giải toán về bất đẳng thức, bất phương trình chứa căn bậc hai. Tiếp đó trong bài “Căn bậc ba”, SGK9 đưa ra tính chất về mối liên hệ giữa thứ tự với căn bậc ba: “ 3 3a b a b< ⇔ < ” (SGK9 – tập 1, tr.35). * Các tổ chức toán học SGK9 có các kiểu nhiệm vụ chính sau:  Kiểu nhiệm vụ TSS_So: “So sánh hai số” * Đặc trưng: So sánh a và b (a, b > 0) Ví dụ 1 (Ví dụ 2, SGK9/ tr.5) So sánh a) 1 và 2 b) 2 và 5 Giải a) 1 < 2 nên 1 2< . Vậy 1 < 2 . b) 4 < 5 nên 4 5< . Vậy 2 < 5 . + Kĩ thuật τ SS_So.12: a và b (a, b không âm) - So sánh a2 và b - Kết luận + Công nghệ θ SS_So.12: Định lý về so sánh căn bậc hai số học. * So sánh –a và - b (a, b >0) Ví dụ 2 (SGK9 – tập 1, bài 27b/ tr.16) So sánh - 5 và – 2. Giải 35 Đưa về so sánh 5 và 2, ta được kết quả 5 2> . Nhân 2 vế của 5 2> với -1, ta được - 5 <– 2. + Kĩ thuật τ SS_So.13: a và b (a, b không âm) - So sánh a2 và b - Nhân 2 vế của bất đẳng thức với -1 - Kết luận + Công nghệ θ SS_So.13: Định lý về so sánh căn bậc hai số học, tính chất mối liên hệ giữa thứ tự với phép nhân.  Kiểu nhiệm vụ TSS_BT: “So sánh giá trị của hai biểu thức” Ví dụ 3 (SGK9- tập 1, Bài 26/ tr.16) Với a > 0, b > 0 chứng minh a b a b+ < + . Giải (Trích SGV9, tr.26) Ta đưa về so sánh a + b với ( ( )2a b+ hay với a + b + 2 ab . Từ đó suy ra a b a b+ < + ( do a và b đều dương) Đây là cách so sánh hai số bằng cách đưa về so sánh hai bình phương của chúng (sau khi đã xác định đó là hai số không âm). Cách này trên thực tế được sử dụng khi so sánh một số (hoặc một tổng hai căn) với tổng hai căn. + Kĩ thuật τ SS_BT.4: - Bình phương hai vế. - So sánh hai vế sau khi bình phương. - Kết luận + Công nghệ θ SS_BT.4: Với a, b không âm thì a2 < b2⇒ a < b. Nhận xét Do các bài tập thuộc kiểu nhiệm vụ này đều cho a, b không âm. Nên đối với kĩ thuật để so sánh hai biểu thức chứa căn bậc hai quy về so sánh hai bình phương của chúng rồi kết luận: biểu thức nào có bình phương lớn hơn thì lớn hơn.. Từ đó, chúng tôi dự đoán tồn tại ở HS quy tắc hành động sau:R3’: a2 < b2 ⇒ a < b. 36  Kiểu nhiệm vụ TTtmx: “Tìm x thỏa bất đẳng thức cho trước” Ví dụ (SGK9 – tập 1,Ví dụ 3/ tr.6) Tìm số x không âm, biết: a) x > 2; b) x < 1. Giải a) 2 = 4 , nên 2x > có nghĩa là 4x > . Vì x ≥ 0 nên 4x > ⇔ x > 4. Vậy x > 4. b) 1 = 1 , nên 1x < có nghĩa là 1x < . Vì x ≥ 0 nên 1x < ⇔ x < 1. Vậy 0 1.x≤ < + Kĩ thuật τ Timx: tìm x thỏa bất đẳng thức x > a - Viết về dạng x > 2a - Kết luận x > a2 + Công nghệ θ Timx: Định lý về so sánh căn bậc hai số học, phép khai phương. 1.3.3 Bất đẳng thức trong SGK10 Định nghĩa và tính chất của bất đẳng thức chính thức được đưa vào từ lớp 8. SGK10NC định nghĩa lại dưới dạng mệnh đề toán học, đồng thời ôn tập và bổ sung các tính chất của bất đẳng thức. Trong SGK10NC, khái niệm bất đẳng thức được trình bày trong bài 1 “Bất đẳng thức và chứng minh bất đẳng thức” của chương 4 “Bất đẳng thức và bất phương trình SGK10 đưa ra định nghĩa và tính chất của bất đẳng thức như sau: 1. Ôn tập và bổ sung tính chất của bất đẳng thức Giả sử a, b là hai số thực. Các mệnh đề “a > b”, “a < b”, “a ≥ b”, “a ≤ b” được gọi là những bất đẳng thức. Cũng như các mệnh đề lôgic khác, một bất đẳng thức có thể đúng hoặc sai. Chứng minh bất đẳng thức là chứng minh bất đẳng thức đó đúng. Dưới đây là một số tính chất đã biết của bất đẳng thức. 37 a > b và b > c ⇒ a > c a > b ⇔ a + c > b + c Nếu c > 0 thì a > b ⇔ ac > bc. Nếu c b ⇔ ac < bc. Từ đó ta có các hệ quả sau: a > b và c > d ⇒ a + c > b + d; a + c > b ⇔ a > b – c; a > b ≥ 0 và n *∈ ⇒ an > bn; a > b ≥ 0 ⇔ a b> ; a > b ⇔ 3 3a b> . Nếu A, B là những biểu thức chứa biến thì “A > B” là một mệnh đề chứa biến. Chứng minh bất đẳng thức A > B (với điều kiện nào đó của biến nghĩa là chứng minh mệnh đề chứa biến A > B đúng với tất cả các giá trị của các biến (thỏa mãn điều kiện đó). Từ nay, ta quy ước: Khi nói bất đẳng thức A > B (trong đó A, B là những biểu thức chứa biến) mà không nêu điều kiện gì đối với các biến thì ta hiểu rằng baats đẳng thức đó xảy ra với mọi giá trị của biến thuộc R. (SGK10, tr.104) Định nghĩa bất đẳng thức trong SGK10 về cơ bản giống định nghĩa trong SGK8. Tuy nhiên, SGK10 khẳng định thêm bất đẳng thức là một mệnh đề chứa số, hoặc mệnh đề chứa biến. Ở lớp 10, chữ có vai trò: đại diện cho số, biến được định nghĩa tường minh. SGK10 chỉ trình bày các tính chất của các bất đẳng thức nghiêm ngặt. Các tính chất này được phát biểu dưới dạng mệnh đề “kéo theo”, “tương đương”. Đồng thời SGK10 giới thiệu bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối: 2. Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối Từ định nghĩa giá trị tuyệt đối, ta suy ra các tính chất sau đây. a a a− ≤ ≤ với mọi a ∈ . x a a x a 0). x a x a> ⇔ (với a > 0). 38 Sau đây là hai bất đẳng thức kép quan trọng khác về giá trị tuyệt đối (viết dưới dạng bất đẳng thức kép). a b a b a b− ≤ + ≤ + (với mọi a, b ∈ ). (SGK10, tr.106) SGK10NC giới thiệu và chứng minh bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân cho 2 số không âm, cho 3 số không âm. 3. Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân a) Đối với hai số không âm Ta biết 2 a b+ là trung bình cộng của hai số a và b. Khi a và b không âm thì ab gọi là trung bình nhân của chúng. Ta có định lý sau đây. ĐỊNH LÝ Với mọi 0, 0a b≥ ≥ ta có 2 a b ab+ ≥ . Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a = b. Nói cách khác, trung bình cộng của hai số không âm lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của chúng. Trung bình cộng của hai số không âm bằng trung bình nhân của chúng khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau. b) Đối với ba số không âm Ta đã biết 3 a b c+ + là trung bình cộng của ba số a, b, c. Ta gọi 3 abc là trung bình nhân của ba số đó. Người ta cũng chứng minh được kết quả định lý trên cho trường hợp ba số không âm. Với mọi 0a ≥ , 0b ≥ , 0c ≥ , ta có: 3 3 a b c abc+ + ≥ . Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a = b = c. Nói cách khác, trung bình cộng của ba số không âm lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của chúng khi và chỉ khi ba số đó bằng nhau. (SGK10, tr.107, 108) 39 Việc đưa vào bất đẳng thức Cô – si nhằm mục đích để chứng minh một số bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức (hàm số).  Kiểu nhiệm vụ TSS_BT: “So sánh giá trị của hai biểu thức” Ví dụ (SGK10NC, VD1/ tr.104) Không dùng bảng số hoặc máy tính, hãy so sánh hai số 2 3+ và 3. Giải (Trích SGK10, tr.104) Giả sử 2 3 3+ ≤ . Do hai vế của bất đẳng thức đó đều dương nên ( )22 3 3 2 3 9 5 2 6 9 2 6 4 6 2 6 4 (Vô lý) + ≤ ⇔ + ≤ ⇔ + ≤ ⇔ ≤ ⇔ ≤ ⇔ ≤ Vậy 2 3+ > 3 Đặc trưng của TSS_BT ở lớp 10 là có 2: So sánh hai biểu thức A và B (trong đó A, B chứa căn bậc) và không được sử dụng máy tính. + Kỹ thuật τ SS_BT.5: - Giả sử A ≥ B (1). - Biến đổi (1) ⇔ A2 ≥ B2 ⇔ (*). - Xét tính đúng, sai của (*) và kết luận. + Công nghệ θ SS_BT.5: Tính chất a > b ≥ 0 ⇔ a2 ≥ b2. Nhận xét - Kỹ thuậtτ SS_BT.5 được đưa ra ngầm ẩn thông qua lời giải các bài toán, không nêu ra một cách tường minh. Hơn nữa theo cách trình bày ở ví dụ 1: “Do hai vế của bất đẳng thức đều dương nên ( )22 3 3 2 3+ ≤ ⇔ + ≤ 9”. Ở đây chỉ đưa ra phép biến đổi chứ không nêu cụ thể áp dụng tính chất nào. Như vậy yếu tố công nghệ a > b ≥ 0 ⇔ a2 ≥ b2 là ngầm ẩn..Mặt khác theo thống kê trên thì học sinh thường xuyên gặp phải tình huống điều kiện của a, b cho sẵn không âm. Câu hỏi đặt ra: Liệu học sinh ứng xử thế nào trong trường hợp chưa cho điều kiện của a, b. Tồn tại ở học sinh qui tắc hành động sau: R3: a < b ⇔ a2 < b2. Quy tắc R3 là mở rộng của quy tắc R’3.. 40  Kiểu nhiệm vụ TCM: “Chứng minh bất đẳng thức” Ví dụ 1 (SGK10NC, VD1/ tr.105) Chứng minh rằng x2 > 2(x – 1) Giải x2 > 2(x – 1) ⇔ x2 > 2x – 2 ⇔ x2 – 2x + 2 > 0 ⇔ x2 – 2x + 1 + 1 > 0 ⇔ (x – 1)2 + 1 > 0. Hiển nhiên (x – 1)2 + 1 > 0 với mọi x nên ta có bất đẳng thức cần chứng minh. Ví dụ 2 (SGK10NC, Bài 3/ tr.109) Chứng minh rằng a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca với mọi số thực a, b, c. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a = b = c. Giải a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca ⇔ a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca≥ 0 ⇔ 2a2 + 2b2 + 2c2 - 2ab -2bc - 2ca≥ 0 ⇔ (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2≥ 0 Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi a – b = b – c = c – a = 0, tức là a = b = c. Ví dụ.3 (SGK10NC, Bài 5/ tr.110) Chứng minh rằng, nếu a > 0 và b > 0 thì 1 1 4 a b a b + ≥ + Giải Với a > 0, b > 0 ta có 21 1 4 4 ( ) 4a b a b ab a b a b ab a b + + ≥ ⇔ ≥ ⇔ + ≥ + + 2 2 22 4 ( ) 0a ab b ab a b⇔ + + ≥ ⇔ − ≥ (đúng) Ví dụ 4 (SGK10NC, Bài 6/ tr.110) Chứng minh rằng, nếu a ≥ 0 và b ≥ 0 thì a3 + b3 ≥ ab(a + b). Đẳng thức xẩy ra khi nào? Giải Ta có a3 + b3 ≥ ab(a + b)⇔ (a + b)(a2 – ab + b2) – ab(a + b) ≥ 0 ⇔ (a + b)(a2 – 2ab + b2) ≥ 0 41 ⇔ (a + b)(a – b)2 ≥ 0 Vì (a – b)2 ≥ 0 nên với a≥0 và b≥0 thì (1) là bất đẳng thức đúng và do đó a3 + b3 ≥ ab(a + b) cũng là bất đẳng thức đúng. Dấu “=” xẩy ra ⇔ a = b. Ví dụ 5 (SGK10NC, Bài 7/ tr.110) a) Chứng minh rằng a2 + ab + b2 ≥0 với mọi số thực a, b. b) Chứng minh rằng với hai số thực a, b tùy ý, ta có a4 + b4 ≥ a3b + ab3. Giải a) a2 + ab + b2 = (a + 2 b )2 + 3 4 b2 ≥ 0 (Đúng). b) a4 + b4 ≥ a3b + ab3 ⇔ a4 – a3b + b4 – ab3 ≥ 0 ⇔ a3(a – b) – b3(a – b) ≥ 0 (a – b)(a3 – b3) ≥ 0 ⇔ (a – b)2(a2 + ab + b2) ≥ 0 (Đúng) Ví dụ 6 (SGK10NC, Bài 9/ tr.110) Chứng minh rằng, nếu a≥0 và b≥0 thì 2 2 3 3 2 2 2 a b a b a b+ + + × ≤ 2 2 3 3 2 2 2 a b a b a b+ + + × ≤ ⇔ a3 + ab2 + a2b + b3 ≤ 2a3 + 2b3 ⇔ a3 – ab2 - a2b + b3 ≥ 0 ⇔ (a – b)(a2 – b2) ≥ 0 ⇔ (a – b)2(a + b) ≥ 0. Đặc trưng của các ví dụ này là sau một vài bước biến đổi tương đương đưa được về tổng các bình phương hoặc bất đẳng thức đơn giản hơn. + Kỹ thuật τ CM1: Để chứng minh A > B. - Chuyển về dạng A – B > 0. - Nhóm thành các tổng bình phương, rút gọn đưa về (*). - Chứng minh bất đẳng thức (*) đúng. + Công nghệ θ CM.1: Tính chất bất đẳng thức. Ví dụ 7 (SGK10NC /tr.107) Chứng minh rằng nếu a, b, c là ba số dương bất kì thì: 42 6a b b c c a c a b + + + + + ≥ Giải: Ta có 2 . 2 . 2 . 6 a b b c c a a b b c c a c a b c c a a b b a b b c c a b a c b a c a b b c c a b a c b a c + + + + + = + + + + +      = + + + + +            ≥ + + = Ví dụ 8 (SGK10NC, bài 11/ tr.110) Chứng minh rằng: a) Nếu a, b là hai số cùng dấu thì 2a b b a + ≥ b) Nếu a, b là hai số trái dấu thì 2.a b b a + ≤ − Giải a) Nếu a, b là hai số cùng dấu thì a b và b a là hai số dương nên 2 . 2a b a b b a b a + ≥ = b) Nếu a, b là hai số trái dấu thì 2a b b a  − + − ≥    và vì vậy 2.a b b a + ≤ − + Kỹ thuật τ CM.2: - Biến đổi vế phải thành tổng của biểu thức không âm và nghịch đảo của nó. - Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho từng tổng đó. - Kết luận. + Công nghệ θ CM.2: Tính chất bất đẳng thức. Ví dụ 9 (SGK10NC,VD1/ tr.105) Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác thì (b + c – a)(c + a – b)(a + b – c) ≤ abc. Giải. Ta có các bất đẳng thức hiển nhiên sau: 43 a2 ≥ a2 – (b – c)2 = (a – b + c)(a + b – c) b2 ≥ b2 – (c – a)2 = (b – c + a)(b + c – a) c2 ≥ c2 – (a – b)2 = (c – a + b)(c + a – b) Do a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên tất cả các vế của các bất đẳng thức trên đều dương. Nhân các vế tương ứng của ba bất đẳng thức trên ta được a2b2c2 ≥ (b + c – a)2(c + a – b)2(a + b – c)2 Lấy căn bậc hai của hai vế, ta được bất đẳng thức cần chứng minh. Ví dụ 10 (SGK10NC,Bài 1/ tr.109) Chứng minh rằng, nếu a > b và ab > 0 thì 1 1 a b < . Giải Nếu a > b và ab > 0 thì b < a và 1 ab > 0 nên 1 1 1 1. .b a a ab ab b = ≤ = Ví dụ 11 (SGK10NC, Bài 2/ Tr.109) Chứng minh rằng nửa chu vi của một tam giác lớn hơn độ dài mỗi cạnh của tam giác đó. Giải Gọi a, b, c là ba cạnh của một tam giác thì nửa chu vi của tam giác đó là p= 2 a b c+ + . Ta có p – a = 2 2 2 a b c a b c a+ + − + − = . Vì b + c > a nên p > a. Ví dụ 12 (SGK10NC, Bài 8/ tr.110) Chứng minh rằng, nếu a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác thì a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca). Giải Nếu a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác thì do vai trò của a, b, c như nhau nên ta có thể giả thiết thêm rằng a ≥ b ≥ c. Khi đó, 0 ≤ a – b < c nên ( a – b)2 < c2, suy ra a2 + b2 < c2 + 2ab; 44 0 ≤ b - c < a nên ( b – c)2 < a2, suy ra b2 + c2 < a2 + 2bc; 0 ≤ a – b < c nên ( a – c)2 < b2, suy ra a2 + c2 < b2 + 2ac. Từ đó, ta có 2(a2 + b2 + c2) < a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) và vì vậy a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca). + Kỹ thuật τ CM.2: - Từ giả thiết bài toán hoặc xuất phát từ bất đẳng thức đúng. - Dùng tính chất của bất đẳng thức biến đổi về bất đẳng thức cần chứng minh. - Kết luận. + Công nghệ θ CM.2: Tính chất bất đẳng thức. Ví dụ 10 (SGK10NC,Bài 10/ tr.110) a) Chứng minh rằng, nếu x ≥ y ≥ 0 thì 1 1 x y x y ≥ + + . b) Chứng minh rằng đối với hai số tùy ý a, b, ta có: 1 1 1 a b a b a b a b − ≤ + + − + + . Giải a) Với x ≥ y ≥ 0 ta có (1 ) (1 ) 1 1 x y x y y x x xy y xy x y x y ≥ ⇔ + ≥ + ⇔ + ≥ + ⇔ ≥ + + (Đúng). b) Vì 1 1 1 1 1 1 a b a b a b a b a b a b a b a b a b − + ≤ = + ≤ + + − + + + + + + + + + Kỹ thuật τ CM.3: Để chứng minh A < B ta làm trội A < C rồi chứng minh C ≤ B (biểu thức C đóng vai trò trung gian để so sánh A và B) + Công nghệ θ CM.3: Tính chất bất đẳng thức. Nhận xét - Các kĩ thuật chứng minh bất đẳng thức không được SGK10 trình bày tường minh thông qua các ví dụ, bài tập mẫu. 45 - Chúng tôi nhận thấy, đối với kiểu nhiệm vụ TCM trong trường hợp bất đẳng thức không nghiêm ngặt, luôn có giá trị của biến để dấu “=” trong bất đẳng thức xẩy ra. Tuy nhiên, trong lời giải mà SGK đưa ra không yêu cầu trình bày tìm điều kiện của biến để dấu “=” xẩy ra. Hơn nữa, trong phân tích thể chế ở lớp 8 chúng tôi nhận thấy thể chế không ưu tiên viết các bất đẳng thức không nghiêm ngặt mà dấu “=” không xẩy ra. Từ nhận xét trên, chúng tôi dự đoán quy tắc hợp đồng tồn tại ở HS là: R1: Khi chứng minh bất đẳng thức không nghiêm ngặt, HS không có trách nhiệm kiểm tra dấu “=” có xẩy ra hay không. - Tuy không được trình bày trong phần lý thuyết, nhưng trong các kĩ thuật chứng minh bất đẳng thức, SGK có đưa ra tính chất cộng và nhân vế theo vế theo vế hai bất đẳng thức cùng chiều: a < b và c < d ⇒ a + c < b + d 0 < a < b và 0 < c < d ⇒ ac < bd Từ đó, chúng tôi dự đoán tồn tại ở HS quy tắc hành động sau: R4: a < b và c < d ⇒a – c < b – d R5: 0 <a < b và 0 < c < d ⇒ a c < b d  Kiểu nhiệm vụ TGTLN: “Tìm giá trị lớn nhất” Ví dụ (SGK 10NC, bài 12 /tr.110) Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f(x) = (x + 3)(5 – x) với 3 5x− ≤ ≤ . Giải: Vì 3 5x− ≤ ≤ nên x + 3 và 5 – x là hai số không âm có tổng bằng 8 và do đó tích của chúng lớn nhất khi hai số đó bằng nhau. Do x + 3 = 5 – x khi và chỉ khi x = 1 nên giá trị lớn nhất của f(x) = (x + 3)(5 – x) là f(1) = 16. + Kỹ thuật τ GTLN: (Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) xác định trên tập D. - Chứng minh f(x) ≤ M với mọi x ∈ D. - Chỉ ra một (không cần tất cả) giá trị x = x0 ∈D sao cho f(x0) = M. - Kết luận + Công nghệ θ GTLN: 46 - Định nghĩa giá trị lớn nhất của hàm số. - Định nghĩa, tính chất của bất đẳng thức.  Kiểu nhiệm vụ TGTNN: “Tìm giá trị nhỏ nhất” Ví dụ (SGK10, bài 12 /tr.110) Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f(x) = (x + 3)(5 – x) với 3 5x− ≤ ≤ . Giải: Vì 3 5x− ≤ ≤ nên x + 3 và 5 – x là hai số không âm có tổng bằng 8 và do đó tích của chúng lớn nhất khi hai số đó bằng nhau. Do x + 3 = 5 – x khi và chỉ khi x = 1 nên giá trị lớn nhất của f(x) = (x + 3)(5 – x) là f(1) = 16. + Kỹ thuật τ GTLN: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) xác định trên tập D. - Chứng minh f(x) ≤ M với mọi x ∈ D. - Chỉ ra một (không cần tất cả) giá trị x = x0 ∈D sao cho f(x0) = M. - Kết luận + Công nghệ θ GTLN: - Định nghĩa giá trị lớn nhất của hàm số. - Định nghĩa, tính chất của bất đẳng thức. Nhận xét - Bất đẳng thức được định nghĩa ở lớp 8 dựa trên quan hệ thứ tự của hai số thực. Đến lớp 10 bất đẳng thức được định nghĩa theo ngôn ngữ mệnh đề. - Các tổ chức toán học liên quan đến đối tượng bất đẳng thức trong chương trình lớp 8 đến lớp 10: + TĐS: “Xét tính đúng, sai của bất đẳng thức” + TSS_So: “So sánh hai số” + TSS_BT: “So sánh giá trị của hai biểu thức” + TCM: “Chứng minh bất đẳng thức” + TGTLN: “Tìm GTLN của hàm số” + TGTNN: “Tìm GTNN của hàm số” 47 Kết luận Qua phân tích thể chế với đối tượng bất đẳng thức ở các lớp tiểu học, trung học cơ sở và lớp 10 chúng tôi thu được các kết quả sau: - Về định nghĩa: Từ lớp 1 đến lớp 7, bất đẳng thức chưa được định nghĩa và gọi tên mà thể hiện ngầm ẩn qua quan hệ thứ tự của hai số. Đến lớp 8, bất đẳng thức được định nghĩa dựa vào quan hệ thứ tự của hai số thực. Đặc biệt ở lớp 10, bất đẳng thức được định nghĩa theo ngôn ngữ mệnh đề. - Về tính chất: Từ lớp 1 đến lớp 7, tính chất của bất đẳng thức chưa được đưa vào một cách tường minh mà ngầm ẩn thông qua kĩ thuật so sánh hai biểu thức số. Đến lớp 8, SGK đưa vào tính chất về mối liên hệ giữa thứ tự với phép cộng và phép nhân. Sang lớp 9, SGK giới thiệu tính chất về mối liên hệ giữa thứ tự và căn bậc hai. Đặc biệt ở lớp 10 ôn tập và bổ sung tính chất của bất đẳng thức, phát biểu bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm, cho ba số không âm. - Các tổ chức toán học liên quan đến đối tượng bất đẳng thức: Kiểu nhiệm vụ TSS: “So sánh” xuất hiện ở tất cả các tiểu học, THCS và lớp 10. Để thuận lợi trong việc thống kê, chúng tôi nhóm các kỹ thuật đã nêu ở phần phân tích thể chế để giải quyết kiểu nhiệm vụ này bằng các ký hiệu sau đây: τ QT: Kỹ thuật dựa trên quy tắc so sánh hai số trên tập số cụ thể. τ TC: Kỹ thuật dựa vào tính chất bất đẳng thức. Tổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ TSS “So sánh” được nhìn rõ hơn qua bảng 1.2 sau đây: Bảng 1.2. Thống kê tổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ TSS Kỹ thuật Công nghệ Lý thuyết τ QT - Quy tắc so sánh trên các tập số cụ thể: + So sánh hai số tự nhiên. + So sánh hai phân số. + So sánh hai số nguyên. + So sánh hai số hữu tỉ. - Quan hệ thứ tự trên các tập số. - Tính chất về quan hệ thứ tự đối với các phép toán. 48 + So sánh hai số thập phân. + So sánh hai số vô tỉ τ TC Tính chất đã biết của bất đẳng thức. a > b và b > c ⇒a > c a > b ⇔ a + c > b + c Nếu c > 0 thì a > b ⇔ ac > bc. Nếu c b ⇔ ac < bc. Hệ quả: a > b và c > d ⇒a + c > b + d; a + c > b ⇔ a > b – c; a > b ≥ 0 và n *∈ ⇒an > bn; a > b ≥0 ⇔ a b> ; a > b ⇔ 3 3a b> . Các kiểu nhiệm con của kiểu nhiệm vụ “So sánh” : TSS_So: So sánh hai số. TSS_BT: So sánh giá trị của hai biểu thức. Sự tiến triển của các kiểu nhiệm vụ con của kiểu nhiệm vụ: “So sánh” trong suốt chương trình từ tiểu học, trung học cơ sở đến lớp 10: Từ lớp 1 đến lớp 7: So sánh trên tập số cụ thể , kĩ thuật ưu tiên τ QT Từ lớp 8 đến lớp 10: So sánh trên các biểu thức chứa số, biểu thức chứa chữ, kĩ thuật ưu tiên τ TC. Qua phân tích mối quan hệ thể chế với đối tượng bất đẳng thức, chúng tôi còn rút ra những câu hỏi và giả thuyết sau: Giả thuyết H1: Giả thuyết về sự tồn tại của quy tắc hợp đồng sau : R1: Khi chứng minh bất đẳng thức không nghiêm ngặt, HS không có trách nhiệm kiểm tra dấu “=” có xẩy ra hay không. Giả thuyết H2: Tồn tại ở học sinh 4 qui tắc hành động sau: R2: a < b ⇒a.c < b.c 49 a b.(-c) R3: a < b ⇔ a2 < b2 R4: a < b và c < d ⇒a – c < b – d R5: 0 < a < b và 0 < c < d ⇒ a c < b d Việc nghiên cứu thực nghiệm kiểm chứng hai giả thuyết trên được chúng tôi tiến hành ở chương 2. 50 Chương 2 NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM 2.1. Mục tiêu của thực nghiệm Chương này sẽ tìm câu trả lời cho câu hỏi sau : CH2. Những ràng buộc của thể chế ảnh hưởng như thế nào đến mối quan hệ cá nhân HS với đối tượng bất đẳng thức? Khi giải quyết kiểu nhiệm vụ so sánh và chứng minh bất đẳng thức học sinh mắc phải những sai lầm nào? Trọng tâm nghiên cứu của chương 2 là đưa vào kiểm chứng các giả thuyết nghiên cứu sau đây : Giả thuyết H1: Giả thuyết về sự tồn tại của quy tắc hợp đồng sau : R1: Khi chứng minh bất đẳng thức không nghiêm ngặt, HS không có trách nhiệm kiểm tra dấu “=” có xẩy ra hay không. Giả thuyết H2: Tồn tại ở học sinh 4 qui tắc hành động sau: R2: a < b ⇒a.c < b.c a b.(-c) R3: a < b ⇔ a2 < b2 R4: a < b và c < d ⇒a – c < b – d R5:0 < a < b và 0 < c < d ⇒ a c < b d Việc kiểm chứng tính thỏa đáng của các giả thuyết nêu trên được tiến hành thông qua một thực nghiệm đối với học sinh. 2.2. Đối tượng và hình thức thực nghiệm Để tiến hành nghiên cứu, chúng tôi tổ chức trên đối tượng học sinh ở khối lớp 8 và lớp 10 (theo chương trình Nâng Cao). Đối tượng thực nghiệm là học sinh lớp 6, ngay sau khi học xong lý thuyết và bài tập chương 4: “Bất phương trình bậc nhất một ẩn”. Đối với học sinh lớp 10, sau khi học xong lý thuyết và bài tập chương 4: “Bất đẳng thức và bất phương trình”. 51 Học sinh sẽ được phát giấy làm bài trên đó có in đề cho mỗi khối lớp. + Lớp 8: Phiếu thực nghiệm số 1 gồm 1 bài toán 2. + Lớp 10: Phiếu thực nghiệm số 2, 3, 4. Mỗi phiếu thực nghiệm gồm 1 bài toán.1, 3, 4. Mỗi phiếu thực hiện trên 2 lớp. + HS sẽ làm việc cá nhân trong thời gian 15 phút. 2.3. Phân tích tiên nghiệm (a priori) 2.3.1 Các bài toán thực nghiệm Bài 1. a) Cho a, b > 0. Chứng minh rằng: ( ) 1 14 8a b a b       + + ≥ . b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = ( ) 1 14a b a b       + + Bài 2. a) So sánh: c và 3.c? b) Cho m < n. So sánh m(-a)+ 3 và n(-a) + 3? Bài 3. Chứng minh rằng nếu x ≥ y > 1 thì x - x ≥ y - y. Bài 4. Chứng minh rằng với mọi số thực x ≠ 0, ta có 4 1 2 1 x x x + ≥ + . 2.3.2 Phân tích chi tiết các bài toán Bài 1: a) Cho a, b > 0. Chứng minh rằng: ( ) 1 14 8a b a b       + + ≥ . b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = ( ) 1 14a b a b       + + . • Mục đích: - Kiểm chứng R1: Khi chứng minh bất đẳng thức không nghiêm ngặt, HS không có trách nhiệm kiểm tra điều kiện của biến để dấu “=” xẩy ra. 52 • Các biến didactic và giá trị của nó: V1: Điều kiện để dấu “=” xẩy ra của bất đẳng thức ngặt Hai giá trị của biến: + Có + Không có V2: Bất đẳng thức f(x) ≥ m Hai giá trị của biến: + Có + Không có • Các chiến lược: Các chiến lược có thể đối với câu a) S1a: Chiến lược “Biến đổi tương đương – Bất đẳng thức Cô - si”. HS biến đổi bất đẳng thức ban đầu về bất đẳng thức đúng. S2a: Chiến lược “Dùng bất đẳng thức Cô – si”. HS dùng bất đẳng thức Cô – si cho từng cặp số không âm, sau đó nhân vế theo vế 2 bất đẳng thức. Các chiến lược có thể đối với câu b): S1b: Chiến lược “Sử dụng kết quả câu a)”. HS sử dụng kết quả câu a) và kết luận về giá trị nhỏ nhất. Nghĩa là HS tin tưởng luôn có giá trị của x để f(x) = m, do ảnh hưởng của R2. Chiến lược này chỉ cho kết quả đúng khi trong câu a) có điều kiện của biến để dấu “=” trong bất đẳng thức không ngặt xẩy ra. S2b : Chiến lược “Làm mới”. HS không sử dụng kết quả câu a) mà đánh giá f(x) ≥ n và chỉ ra giá trị của x0 để f(x0) = n, từ đó kết luận GTNN. • Cái có thể quan sát: Cái có thể quan sát cho câu a Câu trả lời tương ứng với chiến lược S1 : Ta có: ( ) 1 14 8 45 8(*) a b a b a b b a       + + ≥ ⇔ + + ≥ 53 Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai số dương 4a b và b a , ta có: 4 44 5 9a b a bb a b a+ ≥ ⇒ + + ≥ nên (*) đúng. Vậy ( ) 1 14 8a b a b       + + ≥ Câu trả lời tương ứng với chiến lược S2: Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai số dương 4a và b, ta có: 4 4a b ab+ ≥ (1) Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai số dương 1 a và 1 b , ta có: 1 1 2 a b ab + ≥ (2) Do 2 vế của (1) và (2) không âm nên nhân vế theo vế (1) và (2) ta có ( ) 1 14 8a b a b       + + ≥ Cái có thể quan sát cho câu b Câu trả lời tương ứng với chiến lược S1: Theo câu a) ta có: A ≥ 8 nên GTNN của A là 8. Câu trả lời tương ứng với chiến lược S2 : ( ) 1 14 8 45 8(*) a b a b a b b a       + + ≥ ⇔ + + ≥ Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai số dương 4a b và b a , ta có: 4 44 5 9a b a bb a b a+ ≥ ⇒ + + ≥ nên (*) đúng. Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi: b2 = 4a2 ⇔ b = 2a (vì a, b > 0) Vậy GTNN của A = 9. 54 • Sự lựa chọn giá trị của biến ảnh hưởng đến các chiến lược: Như đã phân tích ở chương 1, trong thể chế tồn tại cách viết bất đẳng thức không ngặt mà không có giá trị của biến để dấu bằng xẩy ra. Tuy nhiên thể chế không ưu tiên cách viết này. Trong câu a) bài toán này chúng tôi lựa chọn giá trị của biến V1: không có điều kiện của biến để dấu “=” xẩy ra trong bất đẳng thức không ngặt, câu b) V2: đã có bất đẳng thức f(x) ≥ m. Với cách chọn này nhằn kiểm tra giả thuyết về sự tồn tại của quy tắc hợp đồng sau : R1: Khi chứng minh bất đẳng thức không nghiêm ngặt, HS không có trách nhiệm kiểm tra điều kiện của biến để dấu “=” xẩy ra Từ quy tắc hợp đồng này thể hiện qua sai lầm trong câu b. Bài 2 : a) So sánh: c và 3.c? b) Cho m < n. So sánh m(-a)+ 3 và n(-a) + 3? • Mục đích: - Kiểm tra sự tồn tại của quy tắc hành động : R2: a < b ⇒a.c < b.c a b.(-c) Phạm vi hợp thức của R2: c > 0 • Các biến didactic và giá trị của nó: V1: Vai trò của chữ trong bất đẳng thức Hai giá trị của biến + Biến + Đại diện cho số cụ thể + Ẩn V2: Hệ số Hai giá trị của biến + Giống nhau + Khác nhau 55 • Các chiến lược: S1 : Chiến lược “Không chia trường hợp của biến”. HS xem a là số dương và - a là số âm và áp dụng tính chất mối liên hệ thứ tự với phép nhân. Chiến lược này luôn cho kết quả sai. S2 : Chiến lược “Chia trường hợp của biến”. HS chia hai trường hợp: c > 0, c < 0 và áp dụng tính chất về mối liên hệ giữa thứ tự với phép nhân. Chiến lược này luôn cho kết quả đúng. S3 : Chiến lược “So sánh bằng định nghĩa”. Để so sánh A và B, HS chuyển về so sánh hiệu A – B với 0. • Cái có thể quan sát: - Câu trả lời tương ứng với chiến lược S1: a) Ta có 1 < 3 ⇒ c < 3.c. b) Ta có m n(-a) ⇒m(-a) + 3 > n(-a) + 3. - Câu trả lời tương ứng với chiến lược S2 : a) TH: c > 0 Ta có 1 < 3 ⇒ c < 3.c. TH: c < 0. Ta có: 1 3.c. b) TH: a > 0 Ta có m n(-a) ⇒m(-a) + 3 > n(-a) + 3. TH: a < 0 m < n ⇒ .m(-a) < n(-a) ⇒m(-a) + 3 < n(-a) + 3. - Câu trả lời tương ứng với chiến lược S3 : a) Ta có: 3c – c = 2c 2c > 0 ⇔ c > 0: Khi đó 3c > c. 2c < 0 ⇔ c < 0: Khi đó 3c < c. b) Ta có: [m(-a)+ 3] – [n(-a) + 3] = (m – n)(-a) = (n – m).a Vì n – m < 0 nên: (n – m)a > 0 ⇔ a n(-a) + 3 56 (n – m)a 0: Khi đó m(-a) + 3 < n(-a) + 3. • Sự lựa chọn giá trị của biến ảnh hưởng đến các chiến lược: Trong bài toán này chúng tôi lựa chọn giá trị của biến V1: vai trò của chữ là biến. V2: Có hệ số giống nhau. Với cách chọn này chiến lược S2, S3 là chiến lược tối ưu, còn chiến lược S1 luôn cho kết quả sai. Từ đó chúng tôi kiểm chứng được sự tồn tại của quy tắc hành động R2. Bài 3 : Chứng minh rằng nếu x ≥ y > 1 thì x - x ≥ y - y. • Mục đích: - Kiểm tra sự tồn tại của quy tắc hành động : R3: a < b ⇔ a2 < b2 R4: a < b và c < d ⇒a – c < b – d • Các biến didactic và giá trị của nó: V1: Tính “đối xứng” của bất đẳng thức (đối xứng ở đây có nghĩa là: nếu thay x bởi y vào biểu thức vế trái thì vế trái giống vế phải và ngược lại). Hai giá trị của biến + Có + Không V2: Căn bậc hai trong 2 vế của bất đẳng thức Hai giá trị của biến + Có + Không V3: Dấu hai biểu thức cần so sánh Hai giá trị của biến + Không âm + Âm 57 • Các chiến lược: S1: Chiến lược “Bình phương”. HS quan sát thấy 2 vế của bất đẳng thức có chứa căn nên thường nghĩ tới phương án bình phương 2 vế của bất đẳng thức và đưa về bất đẳng thức đúng. Chiến lược này luôn cho kết quả đúng. S2: Chiến lược “Trừ vế theo vế”. Nhận xét thấy tính chất đối xứng của bất đẳng thức và trừ vế theo vế hai bất đẳng thức cùng chiều. Chiến lược này luôn cho kết quả sai. S3: Chiến lược “Dùng hằng đẳng thức”. Dùng hằng đẳng thức biến đổi bất đẳng thức tương đương với bất đẳng thức đúng. Chiến lược này luôn cho kết quả đúng. S4: Chiến lược “Đánh giá trực tiếp”. Từ giả thiết biến đổi về bất đẳng thức cần chứng minh. • Cái có thể quan sát: - Câu trả tương ứng với chiến lược S1 : x - x ≥ y - y ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 0 2 0 1 2 0(*) x y y x x y y x x x y y y y x x x y xy x y x y x y x y x y xy x y x y x y x y xy ⇔ + ≥ + ⇔ + ≥ + ⇔ + + ≥ + + ⇔ − + − − − ≥  ⇔ − + + + − + ≥   ⇔ − + + − + ≥  Vì x ≥ y > 1 nên (*) đúng. Vậy x - x ≥ y - y - Câu trả tương ứng với chiến lược S2 : Vì x ≥ y > 1 nên x y≥ Ta có: x ≥ y Và x y≥ Suy ra: x - x ≥ y - y 58 - Câu trả tương ứng với chiến lược S3 : x - x ≥ y - y ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) 0 0 1 0(*) x y x y x y x y x y x y x y ⇔ − − − ≥ ⇔ + − − − ≥ ⇔ − + − ≥ Vì x ≥ y > 1 nên (*) đúng. Vậy x - x ≥ y - y - Câu trả tương ứng với chiến lược S4 : Ta có x ≥ y >1 1 1 0x y⇒ − ≥ − > Và x y≥ > 0 ( 1) ( 1)x x y y x x y y ⇒ − ≥ − ⇒ − ≥ − • Sự lựa chọn giá trị của biến ảnh hưởng đến các chiến lược: Trong bài toán này, chúng tôi lựa chọn biến V1 với giá trị “Bất đẳng thức có tính đối xứng” và V2 với giá trị “Hai vế của bất đẳng thức có chứa căn”. Với cách chọn này, thì việc bình phương, hoặc khai triển hằng đẳng thức để biến đổi bất đẳng thức ban đầu về bất đẳng thức đúng hoặc đánh giá trực tiếp là quen thuộc và dễ dàng đối với HS. Chiến lược S1, S3, S4 tỏ ra tối ưu. Tuy nhiên, chúng tôi dự đoán có thể xẩy ra chiến lược S2. Từ đó giúp chúng tôi tìm hiểu HS có sử dụng quy tắc trừ vế theo vế hai bất đẳng thức cùng chiều hay không? Đồng thời, chúng tôi lựa chọn V3 với giá trị “Hai vế của bất đẳng thức cùng âm”. Cách chọn này giúp chúng tôi kiểm chứng sự tồn tại của R3: a <b ⇔ a2 < b2 Bài 4 : Chứng minh rằng với mọi số thực x ≠ 0, ta có 4 1 2 1 x x x + ≥ + . • Mục đích: - Kiểm tra sự tồn tại của quy tắc hành động : 59 R5: 0 < a < b và 0 < c < d ⇒ a c < b d • Các biến didactic và giá trị của nó: V1: Số mũ Hai giá trị của biến + Cao + Thấp V2: Dấu biểu thức ở mẫu Hai giá trị của biến + Dương + Âm • Các chiến lược: S1: Chiến lược “Biến đổi tương đương”. Biến đổi bất đẳng thức tương đương với bất đẳng thức đúng. Chiến lược này luôn cho kết quả đúng. S2: Chiến lược “Chia vế theo vế”. Sau khi dùng bất đẳng thức Cô – si cho tử thức và mẫu thức, thấy nếu chia vế theo vế hai bất đẳng thức này thì được bất đẳng thức cần chứng minh. Chiến lược này cho kết quả sai. • Cái có thể quan sát: - Câu trả tương ứng với chiến lược S1 : ( ) ( ) 4 1 2 1 4 31 4 3 ( 1) 0 2 21 ( 1) 0(*) x x x x x x x x x x x x + ≥ + ⇔ + ≥ + ⇔ − − − ≥ ⇔ − + + ≥ Vì (*) đúng nên 4 1 2 1 x x x + ≥ + . - Câu trả tương ứng với chiến lược S2 : Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai số không âm x4 và 1 ta có: 60 4 21 2.x x+ ≥ (1) Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai số không âm x6 và 1 ta có: 2 1 2x x+ ≥ (2) Các vế của (1) và (2) đều dương nên chia theo từng vế ta được: 4 1 22 1 x x x + ≥ + > 2x. • Sự lựa chọn giá trị của biến ảnh hưởng đến các chiến lược: Trong bài này, chúng tôi chọn biến V1: Số mũ của biến thấp, V2: Dấu của biểu thức ở mẫu dương. Với cách chọn này, việc thực hiện biến đổi bất đẳng thức ban đầu tương đương với bất đẳng thức đúng là dễ dàng đối với học sinh. Chiến lược S1 tỏ ra tối ưu. Tuy nhiên, chúng tôi dự đoán vẫn xuất hiện chiến lược S2, từ đó hợp thức R5. 2.4. Phân tích hậu nghiệm (a posteriori) : Bài 1 Chúng tôi làm thực nghiệm trên 82 học sinh lớp 10 (2 lớp) ở trường THPT Lê Hồng Phong – Di Linh – Lâm Đồng. Bảng 2.1. Thống kê các câu trả lời bài 1b) của học sinh Chiến lược quan sát được Số lượng Tỷ lệ S1: Chiến lược “sử dụng kết quả câu a)” 50 60,97% S2: Chiến lược “làm mới” 25 30,48% S2:Chiến lược khác 7 8,53% Tổng cộng 82 100% Có 60,97% học sinh sử dụng kết quả câu a) để kết luận giá trị nhỏ nhất của biểu thức là 8. Trong đó, có 15 HS thực hiện chiến lược S1 “Biến đổi tương đương – Bất đẳng thức Cô - si” đối với câu a). Khi thực hiện chiến lược S1 đối với câu a) có thể dễ dàng nhận thấy giá trị nhỏ nhất của A là 9. Tuy nhiên, trong bài làm của 15 HS vẫn kết luận giá trị nhỏ nhất của A = 8. Rõ ràng HS luôn tin tưởng rằng tồn tại giá trị của biến để dấu “=” trong bất đẳng thức không nghiêm ngặt mà đề bài nêu xẩy ra, HS không có trách nhiệm kiểm tra điều này. Như vậy phần nào kiểm chứng 61 được giả thuyết H1. Bài 2 Chúng tôi làm thực nghiệm trên 85 học sinh lớp 8 (2 lớp) ở trường THCS Quảng Hiệp – Đức Trọng – Lâm Đồng Bảng 2.2 Thống kê các câu trả lời bài 2a của học sinh Chiến lược quan sát được Số lượng Tỷ lệ S1a: Chiến lược “không chia trường hợp của biến” 57 67,06% S2a: Chiến lược “chia trường hợp của biến” 20 23,53% Chiến lược khác 8 9.41% Tổng cộng 85 100% Có 60,06% HS không chia trường hợp của biến khi so sánh và xem c là số dương dẫn đến sai lầm. Trong số đó, có 11 HS thử c với những giá trị cụ thể, chẳng hạn: HSa) c = 1: 3c > c c = - 1: 3c < c Ta có 3 > 1⇒ 3c > c (Nhân 2 vế với c) Mặc dù, HS đã thử c với những giá trị cụ thể thì cho kết quả so sánh khác nhau. Tuy nhiên, kết luận cuối cùng vẫn là 3c > c. Như chúng tôi đã phân tích trong chương 1, do HS thường xuyên áp dụng tính chất về mối liên hệ giữa thứ tự với phép cộng và phép nhân trên những số cụ thể nên HS cho rằng c là số dương. Từ đó, gây khó khăn cho HS khi c đóng vai trò là biến. HS đã áp dụng tính chất a < b ⇒ a.c < b.c ngoài phạm vi hợp thức. Như vậy tồn tại quy tắc R2. Bảng 2.3. Thống kê các câu trả lời bài 2b của học sinh Chiến lược quan sát được Số lượng Tỷ lệ S1b: Chiến lược “không chia trường hợp của biến” 55 64,71% S2b: Chiến lược “chia trường hợp của biến” 15 16,65% Chiến lược khác 15 16,65% Tổng cộng 85 100% 62 Có 64,71% HS không chia trường hợp của biến khi so sánh và xem - c là số dương dẫn đến sai lầm. HS áp dụng tính chất a b.(-c) ngoài phạm vi hợp thức. Như vậy có tồn tại quy tắc R3. Bài 3 Chúng tôi làm thực nghiệm trên 82 học sinh lớp 10 (2 lớp) ở trường THPT Lê Hồng Phong – Di Linh – Lâm Đồng Bảng 4.1. Thống kê các câu trả lời bài 3 của học sinh Chiến lược quan sát được Số lượng Tỷ lệ S1: Chiến lược “bình phương” 27 32,93% S2: Chiến lược “trừ vế theo vế” 30 36,59% S3: Chiến lược “dùng hằng đẳng thức” 13 15,85% S4: Chiến lược “đánh giá trực tiếp” 2 2,44% Chiến lược khác 10 12,20% Tổng cộng 82 100% Trong bài này, bất đẳng thức có chứa căn bậc hai, và việc bình phương 2 vế hoặc dùng hằng đẳng thức A2 – B2 = (A – B)(A + B) là dễ dàng và quen thuộc đối với HS. Tuy nhiên, chiến lược S2 lại chiếm đến 36,59%. HS đã trừ vế theo vế hai bất đẳng thức cùng chiều. Từ đó chúng tôi khẳng định tồn tại quy tắc hành động R4. Trong chiến lược “bình phương” : có 17/27 HS bình phương khi 2 vế bất đẳng thức âm mà không đổi chiều bất đẳng thức, chẳng hạn: HSb) ( ) ( )2 2 ...(!) x x y y x x y y − ≥ − ⇔ − ≥ − ⇔ Như phân tích ở chương 1, mặc dù điều kiện hai vế không âm khi bình phương hai vế của một bất đẳng thức được SGK nêu rõ ràng, nhưng các bài tập thuộc kiểu nhiệm vụ TCM, TSS trong SGK đều cho sẵn điều kiện đó nên nhiệm vụ HS chỉ là bình phương. Do đó, HS mắc phải sai lầm này. Như vậy, tồn tại quy tắc hành động R3. 63 Bài 4 Chúng tôi làm thực nghiệm trên 82 học sinh lớp 10 (2 lớp) ở trường THPT Lê Hồng Phong – Di Linh – Lâm Đồng Bảng 4.1. Thống kê các câu trả lời bài 4 của học sinh Chiến lược quan sát được Số lượng Tỷ lệ S1: Chiến lược “biến đổi tương đương” 15 18,07% S2: Chiến lược “chia vế theo vế” 63 75,9% Chiến lược khác 5 6,02% Tổng cộng 83 100% Đây là một bài toán chứng minh bất đẳng thức đơn giản. Bất đẳng thức chỉ gồm có 1 biến, số mũ của x trong bất đẳng thức thấp, biểu thức ở mẫu của vế trái không âm. Với những đặc trưng như vậy, việc quy đồng biến đổi bất đẳng thức ban đầu về bất đẳng thức đúng là dễ dàng đối với HS, chiến lược S1 tỏ ra tối ưu. Tuy nhiên, Chiến lược S2 chiếm đến 75,9%. Ở đây, HS đã chia vế theo vế hai bất đẳng thức cùng chiều. Như vậy, tồn tại quy tắc hành động R5. 64 KẾT LUẬN Qua phân tích thể chế với đối tượng bất đẳng thức ở các lớp tiểu học, trung học cơ sở và lớp 10 chúng tôi thu được các kết quả sau: - Về định nghĩa: Từ lớp 1 đến lớp 7, bất đẳng thức chưa được định nghĩa và gọi tên mà thể hiện ngầm ẩn qua quan hệ thứ tự của hai số. Đến lớp 8, bất đẳng thức được định nghĩa dựa vào quan hệ thứ tự của hai số thực. Đặc biệt ở lớp 10, bất đẳng thức được định nghĩa theo ngôn ngữ mệnh đề. - Về tính chất: Từ lớp 1 đến lớp 7, tính chất của bất đẳng thức chưa được đưa vào một cách tường minh mà ngầm ẩn thông qua kĩ thuật so sánh hai biểu thức số. Đến lớp 8, SGK đưa vào tính chất về mối liên hệ giữa thứ tự với phép cộng và phép nhân. Sang lớp 9, SGK giới thiệu tính chất về mối liên hệ giữa thứ tự và căn bậc hai. Đặc biệt ở lớp 10 ôn tập và bổ sung tính chất của bất đẳng thức, phát biểu bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm, cho ba số không âm. Đối với kiểu nhiệm vụ “so sánh” và “chứng minh bất đẳng thức” nghiên cứu của chúng tôi đã chỉ ra sự gắn kết giữa những câu trả lời sai của học sinh lớp 8 và học sinh lớp 10 với các quy tắc hành động : R2: a < b ⇒a.c < b.c a b.(-c) R3: a < b ⇔ a2 < b2 R4: a < b và c < d ⇒a – c < b – d R5:0< a < b và 0<c < d ⇒ a c < b d Nghiên cứu của chúng tôi cũng chỉ ra sự tồn tại quy tắc hợp đồng: R1: Khi chứng minh bất đẳng thức không nghiêm ngặt, HS không có trách nhiệm kiểm tra dấu “=” có xẩy ra hay không. 65 * Hướng nghiên cứu mở ra từ luận văn : Do hạn chế về thời gian nên chúng tôi chỉ nghiên cứu bất đẳng thức trên phương diện đối tượng, chưa xét vai trò công cụ của bất đẳng thức trong việc giải phương trình, bất phương trình, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất Mặt khác chúng tôi cũng chưa đi sâu vào một số quan niệm sai lầm của học sinh đã được nêu ra ở chương 1. Chúng tôi sẽ tiếp tục nghiên cứu các vấn đề này. 66 TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Bộ giáo dục và đào tạo (2006), “Chương trình giáo dục phổ thông môn toán”, NXB Giáo dục. 2. Dương Hữu Tòng (2008), “Khái niệm số tự nhiên trong dạy học toán ở bậc tiểu học”, Luận văn thạc sĩ. 3. Đoàn Quỳnh (2010), Đại số 10 Nâng Cao, NXB Giáo dục. 4. Đoàn Quỳnh (2010), SGV Đại số 10 Nâng Cao, NXB Giáo dục. 5. Đoàn Quỳnh (2010), Bài tập Đại số 10 Nâng Cao, NXB Giáo dục. 6. Đoàn Quỳnh (2006), Tài liệu giáo khoa chuyên toán đại số 10, NXB Giáo dục. 7. Đỗ Đình Hoan (2007), Toán 1, NXB Giáo dục. 8. Đỗ Đình Hoan (2011), Toán 2, NXB Giáo dục. 9. Đỗ Đình Hoan (2007), Toán 3, NXB Giáo dục. 10. Đỗ Đình Hoan (2010), Toán 4, NXB Giáo dục. 11. Đỗ Đình Hoan (2011), Toán 5, NXB Giáo dục. 12. Nguyễn Thiện Chí (2010), “Khái niệm giá trị tuyệt đối trong dạy học Toán ở trường phổ thông”. 13. Phan Đức Chính, Tôn Thân (2002), Toán 6 Tập 1, NXB Giáo dục. 14. Phan Đức Chính, Tôn Thân (2002), SGV Toán 6 Tập 1, NXB Giáo dục. 15. Phan Đức Chính, Tôn Thân (2003), Toán 7 Tập 1, NXB Giáo dục. 16. Phan Đức Chính, Tôn Thân (2003), SGV Toán 7 Tập 1, NXB Giáo dục. 17. Phan Đức Chính, Tôn Thân (2004), Toán 8 Tập 2, NXB Giáo dục. 18. Phan Đức Chính, Tôn Thân (2004), SGV Toán 8 Tập 2, NXB Giáo dục. 19. Phan Đức Chính, Tôn Thân (2005), Toán 9 Tập 1, NXB Giáo dục. 20. Phan Đức Chính, Tôn Thân (2005), SGV Toán 9 Tập 1, NXB Giáo dục. 21. Trần Văn Hạo (2010), Đại số 10 Cơ Bản, NXB Giáo dục. 22. Trần Văn Hạo (2010), Bài tập Đại số 10 Cơ Bản, NXB Giáo dục. 23. Trần Văn Hạo (2010), SGV Đại số 10 Cơ Bản, NXB Giáo dục. 24. Tôn Thân (2003), Bài tập Toán 6 Tập 1, NXB Giáo dục. 25. Tôn Thân (2003), Bài tập Toán 7 Tập 1, NXB Giáo dục. 67 26. Tôn Thân (2004), Bài tập Toán 8 Tập 2, NXB Giáo dục. 27. Tôn Thân (2005), Bài tập Toán 9 Tập 1, NXB Giáo dục.