Luận văn Một nghiên cứu về cấp số nhân trong dạy toán ở trung học phổ thông

phát biểu bằng lời trong M2. Sau khi nêu định nghĩa cấp số nhân, M3 đưa ra cấp số nhân có số hạng đầu 1 0u = : Khi 1 0u = thì với mọi q, cấp số nhân có dạng 0, 0, 0, ..., 0, ... (M3, tr. 99) M2 không đề cập đến cấp số nhân này. Sau đó, M3 trình bày các vấn đề: số hạng tổng quát, tính chất các số hạng, tổng n số hạng đầu của cấp số nhân và tổng của cấp số nhân lùi vô hạn. Khác với M2, trước khi trình bày ba vấn đề: số hạng tổng quát, tính chất các số hạng, tổng n số hạng đầu của cấp số nhân, M3 luôn đưa ra một hoạt động dành cho học sinh. Kết luận: Hoạt động 1 gắn liền với bài toán cổ Ấn Độ có mục đích dẫn dắt học sinh đến định nghĩa cấp số nhân. Cấp số nhân hoạt động dưới dạng đối tượng khi M3 lần lượt trình bày: định nghĩa cấp số nhân; số hạng tổng quát của cấp số nhân; tính chất các số hạng của cấp số nhân; tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân; tổng của cấp số nhân lùi vô hạn. 2.2.2.2. Các tổ chức toán học Các tổ chức toán học được xây dựng quanh đối tượng cấp số nhân và các kiểu nhiệm vụ gắn liền với đối tượng này Ở phần này, đối với các tổ chức toán học đã có trong bộ sách Nâng Cao, chúng tôi chỉ nhắc lại. A) Các tổ chức toán học được xây dựng quanh đối tượng cấp số nhân và các kiểu nhiệm vụ gắn liền với đối tượng này đã có trong bộ sách Nâng Cao  Kiểu nhiệm vụ T1: “Nhận diện cấp số nhân” Có 9 câu ứng với kiểu nhiệm vụ T1 (4 câu trong M3 và 5 câu trong E3), trong đó có 2 câu sử dụng 1a và 7 câu sử dụng 1b. 58  Kiểu nhiệm vụ T4: “Tìm cấp số nhân có hữu hạn số hạng” Có 3 câu ứng với kiểu nhiệm vụ T4 (đều trong M3). Cả 3 câu này đều sử dụng 4b.  Kiểu nhiệm vụ T5: “Tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân” Có 3 câu ứng với kiểu nhiệm vụ T5 (đều trong M3)  Kiểu nhiệm vụ T6: “Tính tổng tất cả các số hạng của một cấp số nhân có hữu hạn số hạng” Có 1 câu ứng với kiểu nhiệm vụ T6 (trong E3) Nhận xét: Ứng với 3 câu thuộc kiểu nhiệm vụ T5 và 1 câu thuộc kiểu nhiệm vụ T6, bộ sách Cơ Bản luôn chọn những cấp số nhân có công bội là một số cụ thể khác 1. Đồng thời, trong lời giải mong đợi ở 4 câu này, bộ sách Cơ Bản không đề cập đến điều kiện công bội 1q ≠ khi sử dụng công thức 1(1 ) 1 n n u qS q − = − . Liên quan đến đối tượng cấp số nhân, từ ghi nhận nêu trên, chúng tôi dự đoán tồn tại ở học sinh một qui tắc sau đây của hợp đồng didactic: R: Khi sử dụng công thức 1(1 ) 1 n n u qS q − = − (với 1q ≠ ) để tính tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân, học sinh không có trách nhiệm kiểm tra điều kiện công bội 1q ≠ .  Kiểu nhiệm vụ T7: “Giải bài toán liên quan đến cấp số nhân ở môn học khác, trong thực tế cuộc sống” Có 4 câu ứng với kiểu nhiệm vụ T7 (đều trong M3)  Kiểu nhiệm vụ T8: “Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn” Có 3 câu ứng với kiểu nhiệm vụ T8 (đều trong M3) 59  Kiểu nhiệm vụ T9: “Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn dưới dạng phân số” Có 1 ứng với kiểu nhiệm vụ T9 (trong M3) B) Các tổ chức toán học được xây dựng quanh đối tượng cấp số nhân và các kiểu nhiệm vụ gắn liền với đối tượng này không có trong bộ sách Nâng Cao  Kiểu nhiệm vụ T3/: “Cho trước số hạng đầu u1 và công bội q của cấp số nhân (un). Hãy tính uk” - Kĩ thuật 3/: Tính 11. k ku u q −= - Công nghệ θ3/: Định lí 1.  Nhận xét: + Kiểu nhiệm vụ T3/ được phát biểu trong M3 + Có 1 câu ứng với kiểu nhiệm vụ T3/ (trong M3) Ví dụ: Ví dụ 2 (M3, tr. 100) Cho cấp số nhân ( )nu với 1 3u = , 1 2 q = − . a) Tính 7u Lời giải mong đợi a) Áp dụng công thức (2), ta có 6 6 7 1 1 3. 3. 2 64 u u q  = = − =    (M3, tr. 100) Kiểu nhiệm vụ T3 /: “Cho trước số hạng đầu u1 và công bội q của cấp số nhân (un). Hãy tính uk” là một trường hợp của kiểu nhiệm vụ T12000: “Tìm số hạng uk (hay số hạng thứ k) của cấp số nhân”. Kĩ thuật 3 / ít hơn một bước so với kĩ thuật 1 2000. 60  Kiểu nhiệm vụ T11: “Cho trước số hạng đầu u1 và công bội q của cấp số nhân (un). Hãy cho biết thứ tự của số hạng a” - Kĩ thuật 11: + Có 11. n nu u q a −= = + Giải tìm n + Kết luận a là số hạng thứ n. - Công nghệ θ11: + Qui ước về thứ tự của số hạng un trong dãy số. + Định lí 1.  Nhận xét: Có 4 câu ứng với kiểu nhiệm vụ T11 (2 câu trong M3 và 2 câu trong E3) Ví dụ: Ví dụ 2 (M3, tr. 100) Cho cấp số nhân ( )nu với 1 3u = , 1 2 q = − . b) Hỏi 3 256 là số hạng thứ mấy? Lời giải mong đợi Theo công thức (2), ta có 1 1 81 3 1 1 13. 2 256 2 256 2 n n nu − −      = − = ⇔ − = = −            Suy ra 1 8n − = hay 9n = Vậy số 3 256 là số hạng thứ chín. (M3, tr. 100) Kiểu nhiệm vụ T11: “Cho trước số hạng đầu u1 và công bội q của cấp số nhân (un). Hãy cho biết thứ tự của số hạng a” không có trong sách toán lớp 11 chỉnh lí 61 hợp nhất năm 2000. Chúng tôi nhận thấy đây là một kiểu nhiệm vụ mới lạ so với các kiểu nhiệm vụ trong sách toán lớp 11 chỉnh lí hợp nhất năm 2000.  Kiểu nhiệm vụ T12: “Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân khi biết các hệ thức có chứa các số hạng của cấp số nhân đó” - Kĩ thuật 12: + Sử dụng công thức 11 n nu u q −= để lập hệ phương trình hai ẩn 1u và q + Giải hệ phương trình tìm số hạng đầu 1u và công bội q - Công nghệ θ12: + Định nghĩa cấp số nhân. + Định lí 1.  Nhận xét: + Kiểu nhiệm vụ T12 được nêu trong M3 và E3 + Có 7 câu ứng với kiểu nhiệm vụ T12 (3 câu trong M3 và 4 câu trong E3) Ví dụ: bài tập 9 (M3, tr. 107) Tìm số hạng đầu 1u và công bội q của cấp số nhân ( )nu , biết: b) 4 2 5 3 72 144 u u u u − =  − = Lời giải mong đợi Giải hệ 3 1 1 4 2 1 1 . . 72 . . 144 u q u q u q u q  − =  − = hay 2 1 2 2 1 . ( 1) 72 (1) . ( 1) 144 (2) u q q u q q  − =  − = Chia các vế tương ứng của (2) cho (1), ta có 2q = , từ đó tìm được 1 12u = (G3, tr.114) Kiểu nhiệm vụ T12: “Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân khi biết các hệ thức có chứa các số hạng của cấp số nhân đó” tương ứng với kiểu nhiệm vụ 62 T32000: “Tính số hạng đầu và công bội của cấp số nhân khi biết các hệ thức có chứa các số hạng của cấp số nhân đó”. Ứng với kiểu nhiệm vụ T12, kĩ thuật 12 được hình thành thông qua lời giải mong đợi của các bài tập. Trong khi đó, ứng với kiểu nhiệm vụ T3 2000, kĩ thuật 3 2000 do chúng tôi đưa ra bởi vì E1 không trình bày lời giải tất cả các câu thuộc kiểu nhiệm vụ này mà chỉ đưa ra đáp số.  Kiểu nhiệm vụ T13: “Viết k số xen giữa các số a và b để được một cấp số nhân có (k + 2) số hạng” - Kĩ thuật 13: + Có 1u a= và 2ku b+ = + Có 1. kb a q += + Giải tìm q + Tính 11. n nu u q −= , với 2, 3,..., 1n k= + - Công nghệ θ13: + Định nghĩa dãy số hữu hạn + Định lí 1.  Nhận xét: + Kiểu nhiệm vụ T13 được nêu trong E3 + Có 3 câu ứng với kiểu nhiệm vụ T13 (đều trong E3) Ví dụ: Ví dụ 2 (E3, tr. 115) a) Viết năm số xen giữa các số 1 và 729 để được một cấp số nhân có bảy số hạng. Lời giải mong đợi Ta có 1 12u = , 7 729u = Vì 67 1.u u q= nên 6 67 1 729 3uq u = = = , suy ra 3q = ± Năm số cần viết là 3, 9, 27, 81, 243 hoặc −3, 9, −27, 81, −243 (E3, tr.115) 63 Kiểu nhiệm vụ T13: “Viết k số xen giữa các số a và b để được một cấp số nhân có (k + 2) số hạng” không có trong sách toán lớp 11 chỉnh lí hợp nhất năm 2000. Chúng tôi nhận thấy T13 là một kiểu nhiệm vụ mới lạ so với các kiểu nhiệm vụ trong sách toán lớp 11 chỉnh lí hợp nhất năm 2000.  Kiểu nhiệm vụ T14: “Chứng minh đẳng thức có chứa các bộ 3 số hạng liên tiếp của một cấp số nhân” - Kĩ thuật 14: Sử dụng tính chất “Nếu a , b , c là ba số hạng liên tiếp của cấp số nhân thì 2 .b a c= ” để chứng minh đẳng thức đã cho. - Công nghệ θ14: Định lí 2.  Nhận xét: Có 4 câu ứng với kiểu nhiệm vụ T14 (đều trong E3) Ví dụ: Ví dụ 4 (E3, tr. 117) Cho cấp số nhân a, b, c, d. Chứng minh rằng a) 2 2 2 2( ) ( ) ( ) ( )b c c a d b a d− + − + − = − Lời giải mong đợi Ta có 2b ac= , 2c bd= , ad bc= a) Biến đổi vế trái 2 2 2 2 2 2 2 2 2( ) ( ) ( ) 2 2 2b c c a d b b c bc c ac a d bd b− + − + − = + − + − + + − + 2 2 22 ( )a ad d a d= − + = − (E3, tr. 117) Kiểu nhiệm vụ T14: “Chứng minh đẳng thức có chứa các bộ 3 số hạng liên tiếp của một cấp số nhân” không có trong sách toán lớp 11 chỉnh lí hợp nhất năm 2000. Tuy nhiên, liên quan đến bộ 3 số hạng liên tiếp của cấp số nhân, E1 có đưa ra kiểu nhiệm vụ T7 2000: “Tính giá trị biểu thức có chứa các bộ 3 số hạng liên tiếp của một cấp số nhân”. C) Nhận xét 64 Các kiểu nhiệm vụ T2, T3, T10 có trong bộ sách Nâng Cao nhưng không có trong bộ sách Cơ Bản. 2.2.2.3. Kết luận - Đối tượng cấp số nhân được đưa vào M3 theo tiến trình “Đối tượng  Công cụ”. Cấp số nhân hoạt động dưới dạng công cụ lần đầu qua việc giải quyết một bài tập môn Sinh học ở Ví dụ 3 (M3, tr. 100): Tế bào E. Coli trong điều kiện nuôi cấy thích hợp cứ 20 phút lại phân đôi một lần. a) Hỏi một tế bào sau mười lần phân chia sẽ thành bao nhiêu tế bào? Lời giải mong đợi a) Vì ban đầu có một tế bào và mỗi lần một tế bào phân chia thành hai tế bào nên ta có cấp số nhân với 1 1u = , 2q = và 11u là số tế bào nhận được sau mười lần phân chia. Vậy sau 10 lần phân chia, số tế bào nhận được là 11 1 1011 1.2 2 1024u −= = = (M3, tr. 100) Sau đó nó còn được thể hiện trong việc giải bài toán thực tế, chẳng hạn bài tập 5: Tỉ lệ tăng dân số của tỉnh X là 1,4%. Biết rằng số dân của tỉnh hiện nay là 1,8 triệu người. Hỏi với mức tăng như vậy thì sau 5 năm, 10 năm số dân của tỉnh đó là bao nhiêu? (M3, tr. 104). - Cấp số nhân là dãy số (hữu hạn hay vô hạn) đặc biệt, có sự ràng buộc giữa hai số hạng liên tiếp. Cấp số nhân lùi vô hạn là cấp số nhân vô hạn đặc biệt, có công bội q thỏa 1q < - Bảng thống kê số lượng câu ứng với các kiểu nhiệm vụ: 65 Kiểu nhiệm vụ Kĩ thuật Ví dụ Bài tập trong M3 Bài tập trong E3 Tổng cộng T1 1a 1 0 1 2 1b 1 3 3 7 T3/ 3/ 1 0 0 1 T4 4a 0 0 0 0 4b 0 3 0 3 T5 5 1 2 0 3 T6 6 0 0 1 1 T7 7 2 2 0 4 T8 8 2 1 0 3 T9 9 0 1 0 1 T11 11 2 1 1 4 T12 12 0 3 4 7 T13 13 2 0 1 3 T14 14 2 0 2 4 Tổng cộng 14 16 13 43 Bảng 2.3 Qua bảng thống kê trên, chúng tôi nhận thấy: + Kiểu nhiệm vụ T1 chiếm số lượng câu nhiều nhất (9/43 câu). Điều này cho thấy chương trình Cơ Bản mong muốn học sinh nắm vững định nghĩa cấp số nhân, biết dựa vào định nghĩa cấp số nhân để nhận diện cấp số nhân. + Các kiểu nhiệm vụ T3 /, T6, T9 chiếm số lượng câu ít nhất (1/43 câu). T9 chỉ chiếm 1/43 câu chứng tỏ chương trình Cơ Bản không chú trọng vấn đề biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn dưới dạng phân số. 66 + Kiểu nhiệm vụ T12 chiếm số lượng câu tương đối nhiều (7/43 câu). Điều này chứng tỏ vấn đề tìm số hạng đầu 1u và công bội q được quan tâm trong chương trình Cơ Bản. + Với 4 câu ứng với kiểu nhiệm vụ T7 và 1 câu ứng với kiểu nhiệm vụ T9, chương trình Cơ Bản đã tạo điều kiện cho cấp số nhân hoạt động dưới dạng công cụ. Qua cơ chế công cụ của cấp số nhân, ta thấy được sự ứng dụng của cấp số nhân trong môn học khác (chẳng hạn môn Sinh học), trong thực tế cuộc sống (chẳng hạn bài tập 5 trang 104 ở M3 – bài toán dân số) và trong việc biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn dưới dạng phân số. + Số lượng câu được phân bố tương đối đều ở ba phần: ví dụ (chiếm 14/43 câu), bài tập trong M3 (chiếm 16/43 câu), bài tập trong E3 (chiếm 13/43 câu). - Trong 12 kiểu nhiệm vụ trên, có 4 kiểu nhiệm vụ liên quan đến việc tính tổng: + Đối với T5, T6 học sinh sẽ sử dụng công thức 1 (1 ) 1 n n u qS q − = − để tính tổng n số hạng đầu của cấp số nhân. + Đối với T8, T9 học sinh sẽ sử dụng công thức 11 uS q = − để tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn. 2.2.3. Kết luận - Cả M2 và M3 đều giới thiệu một bài toán trước khi đưa ra định nghĩa cấp số nhân. Cụ thể M2 sử dụng bài toán lãi suất ngân hàng liên quan đến vấn đề lãi kép, còn M3 sử dụng bài toán cổ Ấn Độ. Trong đó, bài toán lãi suất ngân hàng thể hiện cơ chế công cụ ngầm ẩn của cấp số nhân, bài toán cổ Ấn Độ gắn liền với hoạt động 1 giới thiệu cho học sinh thấy một dãy số hữu hạn đặc biệt. - Sau định nghĩa cấp số nhân, M2 và M3 trình bày các vấn đề: số hạng tổng quát của cấp số nhân, tính chất ba số hạng liên tiếp của cấp số nhân, tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân. Tuy nhiên, khác với M2, trước khi trình bày ba vấn đề 67 trên, M3 luôn đưa ra một hoạt động dành cho học sinh. Vấn đề tổng của cấp số nhân lùi vô hạn được trình bày trong chương tiếp theo – chương “Giới hạn”. Cấp số nhân hoạt động dưới dạng đối tượng trong bốn vấn đề trên. - Trong 10 tổ chức toán học được xây dựng quanh đối tượng cấp số nhân ở bộ sách Nâng Cao và 12 tổ chức toán học được xây dựng quanh đối tượng cấp số nhân ở bộ sách Cơ Bản, có đến 7 tổ chức toán học được trình bày ở cả hai bộ sách gắn liền với các kiểu nhiệm vụ T1, T4, T5, T6, T7, T8, T9. Kiểu nhiệm vụ T3/ là trường hợp đặc biệt của kiểu nhiệm vụ T3. Những ghi nhận này chứng tỏ sự thống nhất giữa hai bộ sách trong việc trình bày cấp số nhân. - Một điều đáng quan tâm nữa là cả chương trình Nâng Cao và chương trình Cơ Bản đều tạo điều kiện cho cấp số nhân hoạt động dưới dạng công cụ. Ở bộ sách Nâng Cao, có đến 16/53 câu thể hiện cơ chế công cụ của cấp số nhân. Thông qua cơ chế công cụ của cấp số nhân, thể chế dạy học toán lớp 11 hiện hành đã cho học sinh thấy được sự ứng dụng của cấp số nhân trong môn học khác (chẳng hạn môn Vật lí, môn Sinh học), trong thực tế cuộc sống (chẳng hạn bài toán dân số), trong vấn đề biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn dưới dạng phân số. Vấn đề này được quan tâm hơn ở bộ sách Nâng Cao (chiếm 9/53 câu), trong khi đó chỉ có 1/43 câu ở bộ sách Cơ Bản. - So với chương trình Nâng Cao thì chương trình Cơ Bản chú trọng hơn việc cho học sinh quan sát ví dụ minh họa trước khi giải quyết các nhiệm vụ được yêu cầu. Điều này thể hiện qua ghi nhận: có 14/43 câu được phân bố ở phần Ví dụ trong bộ sách Cơ Bản, trong khi đó chỉ có 5/53 câu được phân bố ở phần Ví dụ trong bộ sách Nâng Cao. Những kết luận nêu trên có thể xem là một phần câu trả lời của chúng tôi dành cho câu hỏi Q2 đã được đặt ra trong phần mở đầu. Việc làm rõ mối quan hệ thể chế dạy học toán lớp 11 hiện hành với đối tượng cấp số nhân đã dẫn chúng tôi đến giả thuyết sau đây: 68 H: Trong thể chế dạy học toán lớp 11, liên quan đến đối tượng cấp số nhân, tồn tại một qui tắc hợp đồng didactic sau: R: Khi sử dụng công thức 1(1 ) 1 n n u qS q − = − (với 1q ≠ ) để tính tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân, học sinh không có trách nhiệm kiểm tra điều kiện công bội 1q ≠ . 2.3. So sánh cách trình bày cấp số nhân trong chương trình toán lớp 11 chỉnh lí hợp nhất năm 2000 và trong chương trình toán lớp 11 hiện hành Liên quan đến khái niệm cấp số nhân, các vấn đề như: định nghĩa cấp số nhân, số hạng tổng quát của cấp số nhân, tính chất ba số hạng liên tiếp của cấp số nhân, tổng n số hạng đầu của cấp số nhân, tổng của cấp số nhân lùi vô hạn (tương ứng trong M1 là tổng của cấp số nhân vô hạn có công bội q với 1q < ) đều được trình bày ở M1, M2 và M3. Trong đó, vấn đề tổng của cấp số nhân lùi vô hạn (hay tổng của cấp số nhân vô hạn có công bội q với 1q < ) trình bày ở chương “Giới hạn”. Cùng với các vấn đề trên, cơ chế đối tượng của cấp số nhân thể hiện rõ ràng. Định nghĩa cấp số nhân trong M1, M2 và M3 đều cho thấy cấp số nhân là dãy số (hữu hạn hay vô hạn) đặc biệt, có sự ràng buộc giữa hai số hạng liên tiếp. Không có ràng buộc nào đối với công bội. Sách toán lớp 11 chỉnh lí hợp nhất năm 2000 đưa ra 7 tổ chức toán học được xây dựng quanh đối tượng cấp số nhân gắn liền với các kiểu nhiệm vụ T1 2000, T22000, T32000, T42000, T52000, T62000, T72000. Sách toán lớp 11 hiện hành đưa ra 15 tổ chức toán học được xây dựng quanh đối tượng cấp số nhân gắn liền với các kiểu nhiệm vụ T1, T2, T3, T3/, T4, T5, T6, T7, T8, T9, T10, T11, T12, T13, T14. Trong đó, 10 kiểu nhiệm vụ T1, T2, T3, T4, T5, T6, T7, T8, T9, T10 có ở bộ sách Nâng Cao, 12 kiểu nhiệm vụ T1, T3/, T4, T5, T6, T7, T8, T9, T11, T12, T13, T14 có ở bộ sách Cơ Bản. Như đã phân tích thì:  T12000 là một trường hợp đặc biệt của T3 và T3/ là một trường hợp của T12000. 69  T22000 tương ứng với T5.  T32000 tương ứng với T12.  T42000 tương ứng với T4.  T52000 tương ứng với T8.  T62000 là một trường hợp của T1.  T72000 không có trong sách toán lớp 11 hiện hành. Như vậy, ngoại trừ T7 2000, hầu hết các kiểu nhiệm vụ ở sách toán lớp 11 chỉnh lí hợp nhất năm 2000 đều hiện diện ở sách toán lớp 11 hiện hành. Ngoài ra, trong sách toán lớp 11 hiện hành còn có một vài kiểu nhiệm vụ mới lạ, chẳng hạn như: T7, T9, T11, T13. Bên cạnh những ghi nhận trên, cách trình bày cấp số nhân trong chương trình toán lớp 11 chỉnh lí hợp nhất năm 2000 và trong chương trình toán lớp 11 hiện hành còn có những điểm khác nhau như: Chương trình toán lớp 11 chỉnh lí hợp nhất năm 2000 Chương trình toán lớp 11 hiện hành  Định nghĩa cấp số nhân được đưa vào ngay từ đầu bài “cấp số nhân”.  Dùng kí hiệu 1 2 .. , ,..., ,... .. n u u u để chỉ cấp số nhân (un).  Định nghĩa cấp số nhân được đưa vào sau một bài toán: ở chương trình Nâng Cao là bài toán lãi suất ngân hàng, ở chương trình Cơ Bản là bài toán cổ Ấn Độ. Như vậy cách tiếp cận cấp số nhân ở chương trình toán lớp 11 hiện hành có sự tiến triển so với cách tiếp cận cấp số nhân ở chương trình toán lớp 11 chỉnh lí hợp nhất năm 2000.  Không dùng kí hiệu 1 2 .. , ,..., ,... .. n u u u để chỉ cấp số nhân (un). 70  Vấn đề nhận diện cấp số nhân không được chú trọng.  Có trình bày chứng minh định lí về số hạng tổng quát.  Tên gọi “cấp số nhân lùi vô hạn” không xuất hiện.  Cơ chế công cụ của cấp số nhân khá mờ nhạt. Kiểu nhiệm vụ “biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn dưới dạng phân số” không có cơ hội xuất hiện.  Vấn đề nhận diện cấp số nhân được chú trọng. Điều này chứng tỏ thể chế dạy học toán lớp 11 hiện hành mong muốn học sinh hiểu và nắm vững định nghĩa cấp số nhân, biết vận dụng định nghĩa cấp số nhân để xác định một dãy số có phải là cấp số nhân hay không.  Không trình bày chứng minh định lí về số hạng tổng quát (mục đích: giảm nhẹ nội dung lí thuyết giảng dạy trên lớp).  Tên gọi “cấp số nhân lùi vô hạn” xuất hiện, để chỉ những cấp số nhân vô hạn có công bội q thỏa |q| < 1.  Cơ chế công cụ của cấp số nhân rất được quan tâm. Nó thể hiện qua những ứng dụng của cấp số nhân trong thực tế cuộc sống (chẳng hạn bài toán dân số), trong môn học khác (chẳng hạn môn Vật lí, môn Sinh học), trong việc biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn dưới dạng phân số. Điều này đã giải thích vì sao thể chế dạy học toán lớp 11 hiện hành mong muốn học sinh hiểu và nắm vững định nghĩa cấp số nhân. Chỉ khi nắm vững định nghĩa cấp số nhân, học sinh mới có thể sử dụng cấp số nhân như là công cụ để giải quyết một vài vấn đề. 71 Tóm lại: So với chương trình toán lớp 11 chỉnh lí hợp nhất năm 2000 thì cách trình bày cấp số nhân trong chương trình toán lớp 11 hiện hành có sự tiến triển, đặc biệt là ở: - Cách tiếp cận cấp số nhân: Chương trình toán lớp 11 hiện hành đã dùng mô hình thực tế để dẫn dắt học sinh đến khái niệm cấp số nhân. - Cơ chế công cụ của cấp số nhân: Ở chương trình toán lớp 11 chỉnh lí hợp nhất năm 2000, cơ chế công cụ của cấp số nhân khá mờ nhạt. Trong khi đó, chương trình toán lớp 11 hiện hành đã chú trọng đến cơ chế công cụ của cấp số nhân, điều này được thể hiện qua những ứng dụng của cấp số nhân trong thực tế cuộc sống, trong môn học khác, trong việc biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn dưới dạng phân số. Những kết luận nêu trên có thể xem là phần còn lại của câu trả lời của chúng tôi dành cho câu hỏi Q2 đã được đặt ra trong phần mở đầu. 72 CHƯƠNG 3: NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM Mục đích của chương là kiểm chứng giả thuyết nghiên cứu sau đây: H: Trong thể chế dạy học toán lớp 11, liên quan đến đối tượng cấp số nhân, tồn tại một qui tắc hợp đồng didactic sau: R: Khi sử dụng công thức 1(1 ) 1 n n u qS q − = − (với 1q ≠ ) để tính tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân, học sinh không có trách nhiệm kiểm tra điều kiện công bội 1q ≠ . Để kiểm chứng giả thuyết nêu trên, chúng tôi sẽ tiến hành thực nghiệm đối với học sinh. Việc kiểm chứng được giả thuyết H sẽ giúp chúng tôi tìm yếu tố cho phép trả lời câu hỏi Q3 đã được đặt ra ở phần mở đầu. 3.1. Đối tượng và hình thức thực nghiệm  Đối tượng thực nghiệm Chúng tôi sẽ tiến hành thực nghiệm đối với học sinh lớp 11 đã học xong nội dung cấp số nhân.  Hình thức thực nghiệm Việc thực nghiệm được tiến hành thông qua bộ câu hỏi điều tra gồm hai bài tập. Học sinh làm việc cá nhân để hoàn thành từng bài tập được trình bày trong một phiếu thực nghiệm gồm hai tờ được phát cho mỗi em. Sau khi hết thời gian làm bài tập 1, chúng tôi yêu cầu học sinh không được sử dụng máy tính bỏ túi khi giải bài tập 2. 73 Bài tập 1: Cho cấp số nhân ( )nu có số hạng đầu 1 9u = − và công bội 2 3 147 243 q −= − Hãy tính tổng 10 số hạng đầu của cấp số nhân đó. Thời gian để học sinh hoàn thành bài tập 1 là 5 phút. Bài tập 2: Cho biểu thức 2 3 4 5 6 7 81 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )S ab ab ab ab ab ab ab ab= + + + + + + + + , với ,a b R∈ . Không sử dụng máy tính bỏ túi, hãy tính tổng S với 2 8 20 a = − + và 5 4b = − Thời gian để học sinh hoàn thành bài tập 2 là 10 phút. 3.2. Phân tích tiên nghiệm (a priori) bài toán thực nghiệm 3.2.1. Xây dựng bài toán thực nghiệm Bài tập 1:  Biến didactic Chúng tôi xây dựng bài tập 1 để thực nghiệm dựa vào việc chọn giá trị biến didactic sau: Biến V1.1: Tổng cần tính có ít hay nhiều số hạng đầu? Hai giá trị của biến: + Tổng cần tính có ít số hạng đầu. + Tổng cần tính có nhiều số hạng đầu. 74 Biến V1.2: Giá trị của công bội q bằng 1 hay khác 1? Hai giá trị của biến: + Giá trị của công bội q bằng 1. + Giá trị của công bội q khác 1. Trong bài tập 1 này, giá trị của biến V1.1 là “tổng cần tính có nhiều số hạng đầu”, giá trị của biến V1.2 là “giá trị của công bội q bằng 1”. Bài tập 2:  Biến tình huống và biến didactic Chúng tôi xây dựng bài tập 2 để thực nghiệm dựa vào việc chọn giá trị biến tình huống và biến didactic sau: - Biến tình huống Biến V2.1: Cách cho lũy thừa của ab Hai giá trị của biến: + Chỉ cho dạng ( )nab hoặc dạng ( )nba . + Ngoài dạng ( )nab hoặc dạng ( )nba còn có thêm các dạng n na b , n nb a . - Biến didactic Biến V2.2: Có được sử dụng máy tính bỏ túi hay không? Hai giá trị của biến: + Được sử dụng máy tính bỏ túi. + Không được sử dụng máy tính bỏ túi. Biến V2.3: Giá trị của tích ab bằng 1 hay khác 1? Hai giá trị của biến: + Giá trị của tích ab bằng 1. 75 + Giá trị của tích ab khác 1. Trong bài tập 2 này, giá trị của biến V2.1 là “chỉ cho dạng ( )nab ”, giá trị của biến V2.2 là “không được sử dụng máy tính bỏ túi”, giá trị của biến V2.3 là “giá trị của tích ab bằng 1”. 3.2.2. Phân tích chi tiết bài toán thực nghiệm Bài tập 1: Trong bài tập này, chúng tôi chọn giá trị của biến V1.1 là “tổng cần tính có nhiều số hạng đầu”, cụ thể là tổng gồm 10 số hạng đầu, nhằm ngăn chặn việc học sinh tính tổng 10 số hạng đầu của cấp số nhân bằng cách tính 9 số hạng 2u , 3u , 4u , 5u , 6u , 7u , 8u , 9u , 10u rồi tính tổng từ 1u đến 10u . Việc chọn giá trị của biến V1.2 là “giá trị của công bội q bằng 1” nhằm mục đích xem học sinh sẽ ứng xử ra sao trong trường hợp này. Liệu học sinh có quan tâm đến việc kiểm tra điều kiện công bội 1q ≠ hay không khi sử dụng công thức 1(1 ) 1 n n u qS q − = − ?. Đây là điều mà chúng tôi quan tâm đối với bài tập này.  Các chiến lược có thể S1.1: Chiến lược “tổng 1(1 ) 1 n n u qS q − = − ” Trong chiến lược này, học sinh sử dụng công thức 10 1 10 (1 ) 1 u qS q − = − để tính tổng 10 số hạng đầu của cấp số nhân đã cho.  Cái có thể quan sát gắn với chiến lược S1.1 S1.1a: 10 1 10 (1 ) 1 u qS q − = − 76 10 10 2 39 1 147 243 2 31 147 243 S   − − −    −  = − − − Học sinh có thể đưa ra một trong các kết quả sau: a1: 10 10 2 39 1 147 243 2 31 147 243 S   − − −    −  = − − − a2: S10 không tính được. a3: S10 = 0 a4: S10 = 0 0 a5: kết quả khác S1.1b: 2 3 1 147 243 q −= = − 10 1 10 (1 ) 1 u qS q − = − 10 10 9(1 1 ) 1 1 S − −= − Học sinh có thể đưa ra một trong các kết quả sau: b1: 10 10 9(1 1 ) 1 1 S − −= − b2: S10 không tính được. 77 b3: S10 = 0 b4: S10 = 0 0 b5: kết quả khác S1.2: Chiến lược “tổng 1nS nu= ” Trong chiến lược này, đầu tiên học sinh tính 1q = rồi sau đó sử dụng công thức 10 110S u= để giải quyết bài toán.  Cái có thể quan sát gắn với chiến lược S1.2 2 3 1 147 243 q −= = − 10 110 10.( 9) 90S u= = − = − S1.3: Chiến lược “tính từng số hạng” Trong chiến lược này, học sinh tính 9 số hạng u2, u3, u4, u5, u6, u7, u8, u9, u10 rồi tính tổng 10 số hạng u1, u2, u3, u4, u5, u6, u7, u8, u9, u10.  Cái có thể quan sát gắn với chiến lược S1.3 2 1 2 39. 9 147 243 u u q −= = − = − − 2 2 3 1 9.1 9u u q= = − = − 3 3 4 1 9.1 9u u q= = − = − 4 4 5 1 9.1 9u u q= = − = − 5 5 6 1 9.1 9u u q= = − = − 6 6 7 1 9.1 9u u q= = − = − 78 7 7 8 1 9.1 9u u q= = − = − 8 8 9 1 9.1 9u u q= = − = − 9 9 10 1 9.1 9u u q= = − = − Vậy 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 90S u u u u u u u u u u= + + + + + + + + + = − S1.4: Chiến lược khác Chúng tôi nhóm vào đây tất cả các chiến lược khác với các chiến lược kể trên. Chẳng hạn những bài làm không rõ ràng của học sinh, hay học sinh có thể tính 1 10 10 ( )10 2 u uS += ,  Cái có thể quan sát gắn với chiến lược S1.4 9 9 10 1 2 3. 9. 9 147 243 u u q  − = = − = −  −  Vậy 10 ( 9 9).10 90 2 S − −= = − * Sự lựa chọn giá trị của biến ảnh hưởng đến chiến lược Biến V1.1 nhận giá trị là “tổng cần tính có nhiều số hạng đầu” sẽ ngăn chặn chiến lược S1.3. Trong bài tập 1 này, chúng tôi chọn biến V1.2 với giá trị là “giá trị của công bội q bằng 1”. Nếu học sinh quan tâm đến việc kiểm tra điều kiện công bội 1q ≠ khi sử dụng công thức 1(1 ) 1 n n u qS q − = − thì học sinh sẽ chọn chiến lược S1.2. Ngược lại, học sinh sẽ chọn chiến lược S1.1. Khi đó chúng tôi kiểm chứng được giả thuyết H. Bài tập 2: Trong bài tập này, chúng tôi chọn giá trị của biến V2.1 là “chỉ cho dạng ( )nab ” nhằm giúp học sinh dễ nhận ra biểu thức S có dạng tổng 9 số hạng đầu của một cấp 79 số nhân có số hạng đầu 1 1u = và công bội q ab= . Thật vậy, nếu chúng tôi chọn giá trị của biến V2.1 là “ngoài dạng ( )nab hoặc dạng ( )nba còn có thêm các dạng n na b , n nb a ”, chẳng hạn như: 2 2 3 4 5 5 6 6 7 7 81 ( ) ( ) ( )S ba a b ba ab b a a b a b ba= + + + + + + + + thì sẽ gây khó khăn cho học sinh trong việc nhận ra S là tổng 9 số hạng đầu của một cấp số nhân có số hạng đầu 1 1u = và công bội q ab= . Việc chọn giá trị của biến V2.2 là “không được sử dụng máy tính bỏ túi” nhằm ngăn chặn việc tính tổng S bằng cách thay giá trị a, giá trị b vào biểu thức S ban đầu. Chúng tôi nhận thấy biến V2.1 nhận giá trị “chỉ cho dạng ( )nab ” có thể làm học sinh nghĩ đến việc tính tích ab trước rồi thay kết quả vào biểu thức S. Tuy nhiên, biến V2.2 nhận giá trị “không được sử dụng máy tính bỏ túi” có thể làm cho học sinh lưỡng lự với cách tính này. Tóm lại, việc chọn giá trị biến V2.1 và biến V2.2 như đã nêu tạo điều kiện cho học sinh nghĩ đến việc sử dụng công thức 1 (1 ) 1 n n u qS q − = − để rút gọn biểu thức S rồi mới tính tổng S với giá trị a, b đã cho. Khi đó, việc chọn giá trị của biến V2.3 là “giá trị của tích ab bằng 1” sẽ tạo cơ hội cho chúng tôi xem học sinh có quan tâm đến việc kiểm tra điều kiện công bội 1q ≠ hay không khi sử dụng công thức 1(1 ) 1 n n u qS q − = − ?. Đây là điều mà chúng tôi quan tâm ở bài tập 2 này.  Các chiến lược có thể S2.1: Chiến lược “rút gọn biểu thức” Trong chiến lược này, đầu tiên học sinh sử dụng công thức 9 1 9 (1 ) 1 u qS q − = − để rút gọn biểu thức S. Sau đó tính tổng S với giá trị a , b đã cho.  Cái có thể quan sát gắn với chiến lược S2.1 S2.1a: 80 Biểu thức S là tổng 9 số hạng đầu của một cấp số nhân có số hạng đầu 1 1u = và công bội q ab= . Vậy 9 91. 1 ( ) 1 ( ) 1 1 ab abS ab ab  − − = = − − Với 2 8 20 a = − + và 5 4b = − thì: 921 ( 5 4) 8 20 21 ( 5 4) 8 20 S  − − − + = − − − + 9 2 5 81 8 20 2 5 81 8 20 S  − −   − + = − − − + 9 20 81 8 20 20 81 8 20 S  − −   − + = − − − + Học sinh có thể đưa ra một trong các kết quả sau: a1: 9 2 5 81 8 20 2 5 81 8 20 S  − −   − + = − − − + a2: Tổng S không tính được a3: S = 0 a4: 0 0 S = 81 a5: kết quả khác S2.1b: Biểu thức S là tổng 9 số hạng đầu của một cấp số nhân có số hạng đầu 1 1u = và công bội q ab= . Vậy 9 91. 1 ( ) 1 ( ) 1 1 ab abS ab ab  − − = = − − 2 2 5 8 20 8( 5 4) 1 8 20 8 20 8 20 ab − −= − = = = − + − + − + 91 1 1 1 S −= − Học sinh có thể đưa ra một trong các kết quả sau: b1: 91 1 1 1 S −= − b2: Tổng S không tính được b3: S = 0 b4: 0 0 S = b5: kết quả khác S2.1c: Biểu thức S là tổng 9 số hạng đầu của một cấp số nhân có số hạng đầu 1 1u = và công bội q ab= . Vậy 9 91. 1 ( ) 1 ( ) 1 1 ab abS ab ab  − − = = − − (với 1ab ≠ ) 2 2 5 8 20 8( 5 4) 1 8 20 8 20 8 20 ab − −= − = = = − + − + − + 82 2 3 4 5 6 7 81 1 1 1 1 1 1 1 1 9S = + + + + + + + + = S2.2: Chiến lược “thay giá trị a , b trực tiếp vào biểu thức S” Trong chiến lược này, đầu tiên học sinh thay 2 8 20 a = − + và 5 4b = − vào biểu thức S đã cho. Sau đó tính tổng S.  Cái có thể quan sát gắn với chiến lược S2.2 Với 2 8 20 a = − + và 5 4b = − thì: 2 3 42 2 2 21 ( 5 4) ( 5 4) ( 5 4) ( 5 4) 8 20 8 20 8 20 8 20 S      = + − + − + − + −     − + − + − + − +      5 6 7 82 2 2 2( 5 4) ( 5 4) ( 5 4) ( 5 4) 8 20 8 20 8 20 8 20         + − + − + − + −       − + − + − + − +        S2.2a: 2 3 4 5 2 5 8 2 5 8 2 5 8 2 5 8 2 5 81 8 20 8 20 8 20 8 20 8 20 S        − − − − − = + + + + +        − + − + − + − + − +        6 7 8 2 5 8 2 5 8 2 5 8 8 20 8 20 8 20      − − − + + +      − + − + − +      2 3 4 5 20 8 20 8 20 8 20 8 20 81 8 20 8 20 8 20 8 20 8 20 S        − − − − − = + + + + +        − + − + − + − + − +        6 7 8 20 8 20 8 20 8 8 20 8 20 8 20      − − − + + +      − + − + − +      2 3 4 5 6 7 81 1 1 1 1 1 1 1 1 9S = + + + + + + + + = S2.2b: kết quả khác 83 S2.3: Chiến lược “tính tích ab trước” Trong chiến lược này, đầu tiên học sinh tính tích ab rồi sau đó thay kết quả ab vào biểu thức S đã cho để tính tổng.  Cái có thể quan sát gắn với chiến lược S2.3 2 2 5 8 20 8( 5 4) 1 8 20 8 20 8 20 ab − −= − = = = − + − + − + Vậy 2 3 4 5 6 7 81 1 1 1 1 1 1 1 1 9S = + + + + + + + + = S2.4: Chiến lược khác Chúng tôi nhóm vào đây tất cả các chiến lược khác với các chiến lược kể trên. Chẳng hạn những bài làm không rõ ràng của học sinh, những bài bỏ trống, hay học sinh có thể tính tổng S bằng công thức 81 ( ) 9 2 ab S  + =  Cái có thể quan sát gắn với chiến lược S2.4 81 ( ) 9 2 ab S  + = 2 2 5 8 20 8( 5 4) 1 8 20 8 20 8 20 ab − −= − = = = − + − + − + Vậy 8(1 1 )9 9 2 S += = * Sự lựa chọn giá trị của biến ảnh hưởng đến chiến lược Biến V2.2 nhận giá trị “không được sử dụng máy tính bỏ túi” sẽ ngăn chặn chiến lược S2.2 và gây khó khăn cho chiến lược S2.3. Chúng tôi chọn giá trị của biến V2.3 là “giá trị của tích ab bằng 1” nhằm mục đích xem ứng xử của học sinh khi thực hiện chiến lược S2.1. Nếu học sinh quan tâm đến việc kiểm tra điều kiện công bội 1q ≠ khi sử dụng công thức 1(1 ) 1 n n u qS q − = − thì học sinh sẽ chọn S2.1c. Ngược 84 lại, học sinh sẽ chọn S2.1a và S2.1b. Điều này sẽ góp phần khẳng định tính đúng đắn của giả thuyết H. 3.3. Phân tích hậu nghiệm (a posteriori) bài toán thực nghiệm Chúng tôi tiến hành thực nghiệm trên 127 học sinh ở 3 lớp 11 trường THPT Thủ Thiêm. Bài tập 1: Cho cấp số nhân ( )nu có số hạng đầu 1 9u = − và công bội 2 3 147 243 q −= − Hãy tính tổng 10 số hạng đầu của cấp số nhân đó. Bảng thống kê bài làm bài tập 1 của các học sinh như sau: Chiến lược quan sát được Số lượng Tỷ lệ S1.1: Chiến lược “tổng 1(1 ) 1 n n u qS q − = − ” S1.1a: Thay 2 3 147 243 q −= − vào 10 1 10 (1 ) 1 u qS q − = − 85 66,94% S1.1b: Tính 1q = rồi thay vào 10 1 10 (1 ) 1 u qS q − = − 12 9,44% S1.2: Chiến lược “tổng 1nS nu= ” 19 14,96% S1.3: Chiến lược “tính từng số hạng” 5 3,94% S1.4: Chiến lược khác (Những bài làm không rõ ràng của học sinh) 6 4,72% Tổng cộng 127 100% Bảng 3.1 85  Nhận xét: Trong 127 học sinh tham gia giải bài tập 1, có đến 97 học sinh (chiếm tỷ lệ 76,38%) thực hiện chiến lược S1.1. Những học sinh này đã mắc sai lầm do không quan tâm đến việc kiểm tra điều kiện công bội 1q ≠ khi sử dụng công thức 1(1 ) 1 n n u qS q − = − để tính tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân. Ghi nhận này cho phép chúng tôi kiểm chứng giả thuyết H mà chúng tôi đã đưa ra ở chương 2. Một số bài làm mắc sai lầm của học sinh: - Bài làm của học sinh H1: Học sinh H1 sử dụng chiến lược S1.1a. Bài làm trên cho thấy có thể học sinh này đang băn khoăn về kết quả của tổng S10. 86 - Bài làm của học sinh H2: Học sinh H2 sử dụng chiến lược S1.1a và kết luận không có tổng. - Bài làm của học sinh H3: Học sinh H3 sử dụng chiến lược S1.1a và đưa ra kết quả S10 = 0 87 - Bài làm của học sinh H4: Học sinh H4 sử dụng chiến lược S1.1b và đưa ra kết quả S10 = 0. Bài tập 2: Cho biểu thức 2 3 4 5 6 7 81 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )S ab ab ab ab ab ab ab ab= + + + + + + + + , với ,a b R∈ . Không sử dụng máy tính bỏ túi, hãy tính tổng S với 2 8 20 a = − + và 5 4b = − Bảng thống kê bài làm bài tập 2 của các học sinh như sau: Chiến lược quan sát được Số lượng Tỷ lệ S2.1: Chiến lược “rút gọn biểu thức” S2.1a: Thay 2 8 20 a = − + và 5 4b = − vào biểu thức rút gọn 91 ( ) 1 abS ab − = − 33 25,99% 88 S2.1b: Tính tích 1ab = rồi thay vào biểu thức rút gọn 91 ( ) 1 abS ab − = − 22 17,33% S2.1c: Sau khi rút gọn 91 ( ) 1 abS ab − = − , học sinh tính tích 1ab = rồi thay kết quả 1ab = vào biểu thức S ban đầu 10 7,87% S2.2: Chiến lược “thay giá trị a , b trực tiếp vào biểu thức S” 12 9,44% S2.3: Chiến lược “tính tích ab trước” 48 37,8% S2.4: Chiến lược khác 81 ( ) 9 2 ab S  + = 2 1,57% Tổng cộng 127 100% Bảng 3.2  Nhận xét: Trong các chiến lược mà học sinh đã thực hiện để giải bài tập 2, chúng tôi đặc biệt chú ý đến chiến lược S2.1. Ở chiến lược này, học sinh đã sử dụng công thức 1(1 ) 1 n n u qS q − = − để rút gọn biểu thức S rồi tính tổng với giá trị a,b đã cho. Trong 65/127 (51,19%) học sinh sử dụng chiến lược S2.1, có đến 55 học sinh sử dụng S2.1a và S2.1b. Việc thực hiện S2.1a và S2.1b để giải bài tập 2 cho thấy học sinh đã mắc sai lầm do không quan tâm đến việc kiểm tra điều kiện công bội 1q ≠ khi sử dụng công thức 1 (1 ) 1 n n u qS q − = − . Như vậy, kết quả thu được từ bài làm của học sinh ở bài tập 2 đã góp phần khẳng định tính đúng đắn của giả thuyết H. Một số bài làm mắc sai lầm của học sinh: 89 - Bài làm của học sinh H5: Học sinh H5 sử dụng chiến lược S2.1a và đưa ra kết quả S9 = 0. - Bài làm của học sinh H6: Học sinh H6 sử dụng chiến lược S2.1a và đưa ra kết quả S = 1. 90 - Bài làm của học sinh H7: Học sinh H7 sử dụng chiến lược S2.1b và kết luận S9 vô nghiệm. 3.4. Kết luận Kết quả thực nghiệm cho thấy phần lớn học sinh đã mắc sai lầm khi gặp bài toán tính tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân có giá trị công bội q là 1. Điều này chứng tỏ những ràng buộc của thể chế dạy học toán lớp 11 hiện hành đã ảnh hưởng đến mối quan hệ cá nhân học sinh với đối tượng cấp số nhân. Liên quan đến đối tượng này, việc thể chế chỉ cho các nhiệm vụ tính tổng n số hạng đầu của những cấp số nhân có công bội q là số cụ thể khác 1 và không đề cập đến điều kiện công bội 1q ≠ trong lời giải mong đợi của các nhiệm vụ này đã dẫn đến tồn tại ở học sinh một qui tắc hợp đồng didactic: “Khi sử dụng công thức 1 (1 ) 1 n n u qS q − = − (với 1q ≠ ) để tính tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân, học sinh không có trách nhiệm kiểm tra điều kiện công bội 1q ≠ ”. Những kết luận nêu trên có thể xem là câu trả lời của chúng tôi dành cho câu hỏi Q3 được đặt ra ở phần mở đầu. 91 KẾT LUẬN Việc nghiên cứu đối tượng cấp số nhân ở cấp độ đại học, trong thể chế dạy học toán lớp 11 chỉnh lí hợp nhất năm 2000 và trong thể chế dạy học toán lớp 11 hiện hành đã cho phép chúng tôi trả lời cho các câu hỏi Q0, Q1, Q2 nêu ở phần mở đầu. Ngoài ra, kết quả thu được từ thực nghiệm đã chứng tỏ tính đúng đắn của giả thuyết nghiên cứu nêu ở chương 2. Qua đó, chúng tôi có câu trả lời cho câu hỏi Q3 đặt ra ở phần mở đầu. Sau đây là những kết quả chính đạt được trong luận văn. 1. Ở chương 1, qua việc phân tích hai tài liệu M01 và M03, chúng tôi đã cố gắng làm rõ một vài vấn đề liên quan đến cấp số nhân ở cấp độ đại học: - Cấp số nhân còn được gọi là dãy nhân. Nó là một dãy đặc biệt, được định nghĩa ứng với tập nguồn N (tức là chỉ số n ≥ 0) và cho cả hai trường hợp của tập đích: K C= hay K R= . Công bội của cấp số nhân có thể là số thực không đổi hoặc số phức không đổi, và không bị ràng buộc nào. Công bội của một cấp số nhân có thể duy nhất hoặc không duy nhất. Cách tính tổng n số hạng đầu của cấp số nhân ( )n n Nr ∈ (với , 1r C r∈ ≠ ) được đưa vào một cách ngầm ẩn: 1 0 1 1 nn k k rr r − = − = −∑ . - Cấp số nhân có sự liên hệ với dãy afin truy hồi cấp một với hệ số không đổi. - Với :r K∈ Nếu 1r < hay 1r = thì cấp số nhân ( )n n Nr ∈ hội tụ. Hơn nữa, trong trường hợp 1r thì cấp số nhân ( )n n Nr ∈ có giới hạn +∞ . Cấp số nhân ( )n n Nr ∈ tạo nên chuỗi lũy thừa 0 n n r ≥ ∑ . Nếu 1r < thì 0 1 1 n n r r +∞ = = −∑ . 92 2. Ở chương 2, qua việc phân tích các tài liệu M1, E1, TL, M2, E2, G2, M3, E3, G3, M4, E4 chúng tôi đã làm rõ mối quan hệ thể chế dạy học toán lớp 11 chỉnh lí hợp nhất năm 2000 với đối tượng cấp số nhân và mối quan hệ thể chế dạy học toán lớp 11 hiện hành với đối tượng cấp số nhân. Từ kết quả phân tích được, chúng tôi đã chỉ ra sự tiến triển của cách trình bày cấp số nhân trong chương trình toán lớp 11 hiện hành so với cách trình bày cấp số nhân trong chương trình toán lớp 11 chỉnh lí hợp nhất năm 2000. Sự tiến triển đó thể hiện ở nhiều khía cạnh, đặc biệt là ở: - Cách tiếp cận cấp số nhân: Ở chương trình toán lớp 11 chỉnh lí hợp nhất năm 2000, định nghĩa cấp số nhân được đưa vào ngay từ đầu bài “cấp số nhân”. Trong khi đó, chương trình toán lớp 11 hiện hành đã dùng mô hình thực tế để dẫn dắt học sinh đến khái niệm cấp số nhân. - Cơ chế công cụ của cấp số nhân: Ở chương trình toán lớp 11 chỉnh lí hợp nhất năm 2000, cơ chế công cụ của cấp số nhân khá mờ nhạt. Trong khi đó, chương trình toán lớp 11 hiện hành đã chú trọng đến cơ chế công cụ của cấp số nhân, điều này được thể hiện qua những ứng dụng của cấp số nhân trong thực tế cuộc sống, trong môn học khác, trong việc biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn dưới dạng phân số. Bên cạnh đó, việc làm rõ mối quan hệ thể chế dạy học toán lớp 11 hiện hành với đối tượng cấp số nhân đã dẫn chúng tôi đến giả thuyết nghiên cứu sau: H: Trong thể chế dạy học toán lớp 11, liên quan đến đối tượng cấp số nhân, tồn tại một qui tắc hợp đồng didactic sau: R: Khi sử dụng công thức 1(1 ) 1 n n u qS q − = − (với 1q ≠ ) để tính tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân, học sinh không có trách nhiệm kiểm tra điều kiện công bội 1q ≠ . 93 3. Ở chương 3, chúng tôi trình bày nghiên cứu thực nghiệm đối với học sinh lớp 11. Kết quả thực nghiệm cho phép chúng tôi kiểm chứng giả thuyết đã đặt ra. Qua đó cho thấy những ràng buộc của thể chế dạy học toán lớp 11 hiện hành đã ảnh hưởng đến mối quan hệ cá nhân học sinh với đối tượng cấp số nhân: việc thể chế chỉ cho các nhiệm vụ tính tổng n số hạng đầu của những cấp số nhân có công bội q là số cụ thể khác 1 và không đề cập đến điều kiện công bội 1q ≠ trong lời giải mong đợi của các nhiệm vụ này đã dẫn đến việc học sinh không có trách nhiệm kiểm tra điều kiện công bội 1q ≠ khi sử dụng công thức 1(1 ) 1 n n u qS q − = − để tính tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân. Do không tìm được nguồn tài liệu nghiên cứu nên chúng tôi chưa phân tích khoa học luận lịch sử hình thành khái niệm cấp số nhân. Đó là hướng nghiên cứu mới có thể mở ra từ luận văn này. TÀI LIỆU THAM KHẢO Song ngữ Việt – Pháp 1. Annie Bessot và Claude Comiti, Đại học Joseph Fourrier – Grenoble I, Lê Thị Hoài Châu và Lê Văn Tiến, Đại học Sư phạm TP. Hồ Chí Minh (2009), Những yếu tố cơ bản của didactic Toán, Nhà xuất bản Đại học quốc gia TP. Hồ Chí Minh. Tiếng Việt 2. Bộ Giáo dục và Đào tạo (2006), Chương trình giáo dục phổ thông môn Toán, Nhà xuất bản Giáo dục. 3. Phan Đức Chính (Tổng Chủ biên), Tôn Thân (Chủ biên), Vũ Hữu Bình, Phạm Gia Đức, Trần Luận (2003), Toán 7 tập một, Nhà xuất bản Giáo dục. 4. Văn Như Cương – Trần Văn Hạo – Ngô Thúc Lanh (2001), Tài liệu hướng dẫn giảng dạy toán 11, Nhà xuất bản Giáo dục. 5. Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên), Nguyễn Xuân Liêm, Nguyễn Khắc Minh, Đoàn Quỳnh, Ngô Xuân Sơn, Đặng Hùng Thắng, Lưu Xuân Tình (2009), Sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng Cao, Nhà xuất bản Giáo dục. 6. Trần Văn Hạo (Chủ biên phần một), Cam Duy Lễ, Ngô Thúc Lanh (Chủ biên phần hai), Ngô Xuân Sơn, Vũ Tuấn (2001), Bài tập Đại số và Giải tích 11, Nhà xuất bản Giáo dục. 7. Trần Văn Hạo (Chủ biên phần một), Cam Duy Lễ, Ngô Thúc Lanh (Chủ biên phần hai), Ngô Xuân Sơn, Vũ Tuấn (2001), Đại số và Giải tích 11, Nhà xuất bản Giáo dục. 8. Trần Văn Hạo (Tổng Chủ biên), Vũ Tuấn (Chủ biên), Đào Ngọc Nam, Lê Văn Tiến, Vũ Viết Yên (2011), Đại số và Giải tích 11, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam. 9. Trần Văn Hạo (Tổng Chủ biên), Vũ Tuấn (Chủ biên), Đào Ngọc Nam, Lê Văn Tiến, Vũ Viết Yên (2006), Sách giáo viên Đại số và Giải tích 11, Nhà xuất bản Giáo dục. 10. Jean – Marie Monier (2009), Giải tích 1 (Người dịch: Lý Hoàng Tú), Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam. 11. Jean – Marie Monier (2002), Giải tích 3 (Người dịch: Nguyễn Văn Thường), Nhà xuất bản Giáo dục. 12. Đoàn Quỳnh (Tổng Chủ biên), Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên), Nguyễn Xuân Liêm, Nguyễn Khắc Minh, Đặng Hùng Thắng (2007), Đại số và Giải tích 11 Nâng Cao, Nhà xuất bản Giáo dục. 13. Đoàn Quỳnh (Tổng Chủ biên), Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên), Nguyễn Xuân Liêm, Nguyễn Khắc Minh, Đặng Hùng Thắng (2006), Sách giáo viên Đại số và Giải tích 11 Nâng Cao, Nhà xuất bản Giáo dục. 14. Tôn Thân (Chủ biên), Vũ Hữu Bình, Phạm Gia Đức, Trần Luận, Phạm Đức Quang (2011), Bài tập Toán 7 tập một, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam. 15. Lê Văn Tiến (2005), Phương pháp dạy học môn Toán ở trường phổ thông, Nhà xuất bản Đại học quốc gia TP Hồ Chí Minh. 16. Vũ Tuấn (Chủ biên), Trần Văn Hạo, Đào Ngọc Nam, Lê Văn Tiến, Vũ Viết Yên (2006), Bài tập Đại số và Giải tích 11, Nhà xuất bản Giáo dục. 17. Vụ Giáo dục trung học (2007), Những vấn đề chung về đổi mới giáo dục trung học phổ thông môn Toán, Nhà xuất bản Giáo dục. PHỤ LỤC CÁC BÀI TẬP TRONG THỰC NGHIỆM Họ và tên học sinh: ........................................................................................................... Lớp: ................................................................................................................................... Bài tập 1: Cho cấp số nhân ( )nu có số hạng đầu 1 9u = − và công bội 2 3 147 243 q −= − Hãy tính tổng 10 số hạng đầu của cấp số nhân đó. Bài làm ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ Bài tập 2: Cho biểu thức 2 3 4 5 6 7 81 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )S ab ab ab ab ab ab ab ab= + + + + + + + + , với ,a b R∈ . Không sử dụng máy tính bỏ túi, hãy tính tổng S với 2 8 20 a = − + và 5 4b = − Bài làm ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................