Martingale hiệu yếu đa trị và ứng dụng trong kinh tế

ng từ -0.01 đến 0.01 (xem Hình 3.4.1), ta có thể định nghĩa các phần tử của K(X) như sau, • E1=“bình thường”=[−0.002,0.002] • E5=“thấp”=[−0.006,−0.002] • E2=“cao”=[0.002,0.006] • E6=“rất thấp”=[−0.01,−0.006] • E3=“rất cao”=[0.006,0.01] • E7=“rất rất thấp”=(min n≥1 Rt ,−0.01] • E4=“rất rất cao”=[0.01,max n≥1 Rt) Bây giờ {Dn,n≥ 1} là các biến ngẫu nhiên đa trị mà giá trị của nó là các Ei, i= 1, ...,7. 68 Histogram of EUR Returns Fr eq ue nc y −0.010 −0.005 0.000 0.005 0.010 0.015 0 10 0 20 0 30 0 Histogram of GBP Returns Fr eq ue nc y −0.04 −0.03 −0.02 −0.01 0.00 0.01 0 20 0 40 0 Histogram of S&P500 Returns Fr eq ue nc y −0.02 −0.01 0.00 0.01 0 20 0 40 0 Histogram of VNI Returns Fr eq ue nc y −0.03 −0.02 −0.01 0.00 0.01 0.02 0 10 0 30 0 Hình 3.4.1. Phân phối thực nghiệm của tăng trưởng của tỉ giá ngoại tệ và chỉ số chứng khoán. Hình 3.4.2 mô tả chi tiết phép chuyển đổi này. Chú ý rằng tùy theo các tập dữ liệu 0 0.002−0.002 0.006−0.006 0.01−0.01 bình thường caothấp rất caorất thấp rất rất caorất rất thấp Hình 3.4.2. Định nghĩa các biến ngẫu nhiên đa trị. khác nhau mà định nghĩa các tập này một cách phù hợp. 3.4.2. Kiểm định giả thiết hiệu martingale yếu đa trị với lát cắt trung bình Để kiểm định giả thiết WSMDH cho {Dn,n ≥ 1} mang tính chất thử nghiệm, ta chọn một lát cắt của {Dn}. Mục này luận án kiểm định WSMDH cho bởi lát cắt là các điểm chính giữa của mỗi đoạn và ký hiệu bởi {rn,n ≥ 1}. Kiểm định MDH trên {rn,n≥ 1} cho ta kết quả của WSMDH cho {Dn,n≥ 1}. Hình 3.4.3 so sánh sự khác nhau giữa các lát cắt của các dãy tăng trưởng của tỉ giá EUR/USD và VND/USD. Ta có thể thấy lát cắt trung bình của VND/USD gần như toàn bộ “bình thường” (nghĩa là không có thay đổi) trong khi EUR/USD vẫn lên xuống ngẫu nhiên. Điều này có thể suy ra tỉ giá VND/USD có tăng trưởng dễ dàng dự báo xu hướng hơn. Những dãy còn lại không nhìn thấy bằng mắt thường mà cần kiểm định để cho kết luận. Bây giờ kiểm định WSMDH được thực hiện trên dữ liệu bằng cách kiểm định 69 0 200 400 600 800 1000 − 0. 01 0 0. 00 0 0. 01 0 EUR/USD returns re tu rn s 0 200 400 600 800 1000 − 0. 01 0 0. 00 0 0. 01 0 EUR/USD return selections re tu rn s e le ct io ns 0 200 400 600 800 1000 − 0. 00 6 0. 00 0 0. 00 4 VND/USD returns re tu rn s 0 200 400 600 800 1000 − 0. 00 5 0. 00 5 VND/USD return selections re tu rn s e le ct io ns Hình 3.4.3. Tăng trưởng và lát cắt trung bình của EUR/USD (bên trên) và VND/USD (bên dưới). MDH trên lát cắt này của nó. Bảng 3.4.1 thông báo kết quả trong trường hợp độ đo tuyến tính cho dữ liệu tỉ giá ngoại tệ. So sánh với Bảng 3.3.1 trong Mục 3.3, các kết quả tương tự ngoại trừ LBP ở độ trễ P= 5,25,50 của tỉ giá CAN/USD đã chuyển sang bác bỏ MDH. Bảng 3.4.1. Khả năng dự báo được theo nghĩa tuyến tính của tỉ giá ngoại tệ theo đa trị với lát cắt trung bình Statistics (p-value) EUR GBP(£) CAN YEN(U) VND LB5 0.8243 (0.9755) 9.8917 (0.0783) 13.945 (0.0159) 5.7422 (0.3321) 50.78 (9.596E-10) LB15 7.3858 (0.946) 15.532 (0.4138) 22.805 (0.0883) 15.961 (0.3846) 75.184 (5.246E-10) LB25 20.413 (0.7249) 29.53 (0.2424) 37.699 (0.0494) 34.175 (0.1042) 76.733 (3.676E-07) LB50 48.966 (0.5149) 57.252 (0.224) 71.569 (0.0243) 63.115 (0.1008) 151.5 (3.767E-12) NN 0.185 (0.6670) 0.0026 (0.9586) 0.0417 (0.8381) 0.8210 (0.3648) 5.0426 (0.0247) Bảng 3.4.2 khảo sát khả năng dự báo được tuyến tính của một số tăng trưởng của chỉ số chứng khoán với lát cắt trung bình. Có sự tương đồng hoàn toàn giữa Bảng 3.4.2 và Bảng 3.3.2. Lưu ý là VNI vẫn bác bỏ MDH với độ tin cậy 90% thay vì 95%. Đối với độ đo phi tuyến, kiểm định WSMDH theo lát cắt trung bình trên tỉ 70 Bảng 3.4.2. Khả năng dự báo được theo nghĩa tuyến tính cho chỉ số chứng khoán theo đa trị đối với lát cắt trung bình Statistics (p-value) S&P500 DJIA FTSE HSI VNI LB5 9.8658 (0.0791) 7.3029 (0.1991) 21.903 (0.0005) 2.4102 (0.79) 10.779 (0.0559) LB15 11.502 (0.7163) 18.825(0.2218) 34.642 (0.0027) 35.472 (0.0021) 24.246 (0.061) LB25 23.369 (0.556) 31.669 (0.1678) 60.51 (8.891E-05) 56.801 (0.0003) 34.265 (0.1024) LB50 47.093 (0.5907) 58.151 (0.2003) 99.994 (3.46E-05) 81.655 (0.0031) 64.379 (0.083) NN 0.0003 (0.9864) 1.0795 (0.2987) 0.5559 (0.4559) 0.3344 (0.563) 3.506 (0.0611) giá ngoại tệ và chỉ số chứng khoán lần lượt cho trong Bảng 3.4.3 và Bảng 3.4.4. Ta thấy rằng VND/USD bác bỏ mạnh mẽ WSMDH trong trường hợp độ đo tuyến tính nhưng ủng hộ WSMDH trong độ đo phi tuyến. Ta có thể hiểu rằng kỳ vọng điều kiện của VND/USD không phụ thuộc phi tuyến mà phụ thuộc tuyến tính theo lát cắt trung bình. Ngược lại, chỉ số chứng khoán VNI chấp nhận WSMDH (với độ tin cậy thấp) ở độ đo tuyến tính nhưng bác bỏ WSMDH theo độ đo phi tuyến. FTSE trong Bảng 3.3.4 ủng hộ MDH ở mọi tiêu chuẩn phi tuyến nhưng bác bỏ WSMDH trong Bảng 3.4.4 ở tiêu chuẩn CvMN,3. Sự thay đổi này cho thấy khi mờ hóa chuỗi giá trị sang xu hướng của nó, đã bắt đầu có sự thay đổi giữa ủng hộ MDH sang bác bỏ MDH tương tự với trường hợp độ đo tuyến tính ở trên. Bảng 3.4.3. Kiểm định WSMDH theo nghĩa phi tuyến của tỉ giá ngoại tệ với lát cắt trung bình: p-value EUR GBP(£) CAN YEN(U) VND CvMN,1 0.3 0.33 0.7766 0.64 0.3033 CvMN,3 0.4466 0.59 0.2266 0.85 0.36 KSN,1 0.4833 0.6266 0.9633 0.8966 0.3233 KSN,3 0.5766 0.8966 0.5266 0.9433 0.7266 Bảng 3.4.5 là kết quả kiểm định phổ tổng quát cho lát cắt trung bình trong trường hợp độ trễ vô hạn. Lưu ý rằng thống kê D2N dựa trên w0(dn− j,x) = exp(ixdn− j) (nghĩa là thông tin quá khứ w(In−1) theo hàm mũ). Kết quả cho thấy rằng WSMDH được ủng hộ cho mọi dãy chỉ số. Điều này là bằng chứng cho nhận định rằng xu hướng 71 Bảng 3.4.4. Kiểm định WSMDH theo nghĩa phi tuyến của chỉ số chứng khoán với lát cắt trung bình: p-value S&P500 DJIA FTSE HSI VNI CvMN,1 0.8933 0.1233 0.12 0.5666 0.003 CvMN,3 0.3 0.34 0.05 0.31 0 KSN,1 0.9966 0.2533 0.2866 0.86 0 KSN,3 0.3366 0.3 0.1033 0.93 0 tăng trưởng của cả tỉ giá ngoại tệ và chỉ số chứng khoán đều không phục thuộc theo dạng mũ với thông tin quá khứ. Bảng 3.4.5. p-value của kiểm định phổ tổng quát cho lát cắt trung bình của WSMDH EUR GBP(£) CAN YEN(U) VND D2N 0.2766 0.87 0.0466 0.12 0.8766 S&P500 DJIA FTSE HSI VNI D2N 0.7666 0.77 0.7066 0.44 0.1166 Các kết quả trên cho thấy đã có sự thay đổi từ ủng hộ MDH sang bác bỏ MDH giữa các lát cắt cụ thể trong dãy biến ngẫu nhiên đa trị. Vì vậy việc đưa ra kết luận cho giả thiết về hiệu martingale yếu đa trị trở nên rất khó khăn. Mặt khác, các tiêu chuẩn kiểm định MDH sử dụng ở trên chỉ là điều kiện cần cho MDH. Nghĩa là cơ sở để chấp nhận H0 cho lát cắt đó tuân theo MDH là rất yếu, và còn yếu hơn nữa khi kết quả kiểm định vẫn có thể mắc sai lầm loại I. Như thế, cơ sở để kết luận việc ủng hộ WSMDH càng mong manh. Tương tự, một lát cắt bác bỏ MDH không có nghĩa là dãy biến ngẫu nhiên đa trị bác bỏ WSMDH mà chỉ khi mọi lát cắt bác bỏ MDH. Kiểm tra điều này cũng không thể thực hiện được chưa kể trong xác suất bác bỏ vẫn có thể phạm sai lầm loại II. Để giảm thiểu xác suất các loại sai lầm đồng thời tăng độ tin cậy để tìm kiếm một lát cắt là MDS trong dãy biến ngẫu nhiên đa trị, luận án đề xuất sử dụng kiểm định bội cho một tập các lát cắt ngẫu nhiên của nó ở mục dưới đây. 72 3.4.3. Kiểm định hiệu martingale yếu đa trị với một tập các lát cắt ngẫu nhiên Nhắc lại rằng giả thiết WSMDH là giả thiết một dãy biến ngẫu nhiên đa trị tuân theo một hiệu martingale yếu đa trị (WSMD). Điều này tương đương với việc chỉ ra nó tồn tại một lát cắt hiệu martingale. Nhưng theo Chú ý 2.3.1 (c), một lát cắt hiệu martingale trong lý thuyết có thể được suy biến từ một tập các lát cắt. Vì vậy trong thực hành ta cần kiểm định MDH cho một tập các lát cắt bất kỳ của một hiệu martingale yếu đa trị. Hơn nữa, tất cả các tiêu chuẩn kiểm định MDH đều là kiểm định điều kiện cần cho hiệu martingale nên việc kiểm định WSMDH thông qua họ các lắt cắt càng làm tăng độ tin cậy của kiểm định. Mục đích của luận án là chỉ ra có những chỉ số kinh tế bác bỏ MDH trong đơn trị nhưng vẫn có thể ủng hộ WSMDH trong đa trị, có nghĩa là xu hướng thay đổi của nó vẫn được tin tưởng ổn định quanh 0 (theo Định lý 2.3.2). Nếu tỉ lệ lớn các lát cắt ủng hộ MDH thì còn có thể kết luận về khả năng không dự báo được xu hướng thay đổi của chuỗi thời gian được xét. Ngược lại, có thể có những chỉ số kinh tế hoặc tài chính không những bác bỏ MDH mà còn bác bỏ cả WSMDS. Điều này có nghĩa là các mô hình dự báo dựa trên xu hướng của chỉ số đó là hoàn toàn có cơ sở để thực hiện. Hay nói cách khác, thị trường tài chính hoàn toàn có thể bị ăn gian bởi chiến lược nào nó. Với dãy biến ngẫu nhiên đa trị {Dn,n≥ 1} như mục 3.4.1, xét hai giả thiết trái ngược cần được thực hiện quyết định cho nó như sau: (I) : Tập các lát cắt MDS của {Dn,n≥ 1} khác rỗng. (II) :Mọi lát cắt của {Dn,n≥ 1} không là MDS. Ta thấy với mỗi lát cắt {dn,n≥ 1} của {Dn,n≥ 1} áp dụng cho một tiêu chuẩn kiểm định MDH ở mục 3.3 cho ta một giá trị p-value. Nếu giá trị này nhỏ hơn 0.05 thì {dn,n≥ 1} bác bỏ MDH với độ tin cậy 95%. Tuy nhiên vẫn còn 5% có thể mắc sai lầm loại I (tức bác bỏ sai MDH của {dn}). Để tăng độ tin cậy cho việc tìm kiếm một MDS trong {Dn} ta cần thực hiện các kiểm định MDH cho một tập gồm B các lát cắt ngẫu nhiên {din, i = 1, · · · ,B} của {Dn}. Việc kiểm định này cũng giúp kiểm định tỉ lệ ủng hộ hay bác bỏ MDH của các lát cắt có lớn hay không. Như vậy, chúng ta dẫn tới bài toán kiểm định bội, tức là kiểm định đồng thời B cặp giả thiết cho MDH. Mục 73 đích của kiểm định bội là tìm ra tỉ lệ các lát cắt bác bỏ MDH (rejections) và trung bình tỉ lệ các lát cắt bác bỏ sai (FDR) trong số các lát cắt này [70, 71]. Giả thiết (I) được ủng hộ khi tỉ lệ bác bỏ MDH thấp và FDR cao (khi đó ta nói rằng chỉ số này ủng hộ WSMDH). Ngược lại, (II) được ủng hộ khi tỉ lệ bác bỏ cao và FDR thấp (khi đó ta nói rằng chỉ số này bác bỏ WSMDH). Bài toán kiểm định bội đã được phát triển và ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực, đặc biệt là phân tích gene trong công nghệ sinh học và trong y học [72, 73, 74, 75]. Vấn đề gặp phải ở bài toán kiểm định bội là không thể dựa vào các p-value {pk,k= 1, · · · ,B} so sánh với 0.05 để đưa ra quyết định, bởi với mức ý nghĩa 0.05 thì khi B tăng lên, xác suất tồn tại một bác bỏ sai trong số các bác bỏ cũng tăng lên, thậm chí với xác suất tiến tới 1. Chẳng hạn, với xác suất bác bỏ sai là 0.05 thì trong 100 kiểm định cho kết quả bác bỏ H0, xác suất có ít nhất một bác bỏ sai là 1−0.95100 ≈ 0.994. Để giải quyết vấn đề này, các p-value này phải được hiệu chỉnh theo B (cách đơn giản nhất là so sánh với 0.05/B). Tuy nhiên, dựa trên phân bố có thể có của các p-value này (có thể tồn tại tương quan giữa các p-value này), các phương pháp hiệu chỉnh khác nhau tinh vi hơn được phát triển [76, 77, 78, 79] nhằm tối ưu tỉ lệ bác bỏ H0 và tỉ lệ FDR trong số các bác bỏ đó. Các phương pháp này hiện nay đã được tổng hợp và đóng gói thành nhiều gói lệnh trong phần mềm R từ nhiều tác giả khác nhau [80, 81, 82, 83, 84, 85]. Để đánh giá nhận định cho các giả thiết (I) và (II) nói trên, chương này sử dụng gói lệnh sgof [80] để thực hiện kiểm định bội cho tập các lát cắt ngẫu nhiên của {Dn} do tính cập nhật và đầy đủ các tiêu chuẩn kiểm định bội của nó. Trong đó, kiểm định bội dựa trên suy luận Bayes (gọi theo hàm Bayesian.SGoF trong gói sgof) được sử dụng do được chỉ ra ưu điểm so với các phương pháp kiểm định bội khác [86]. Tập các giá trị p-value này có được bằng cách thực hiện như sau: • Với mỗi n∈N, khoảng quan sát được củaDn là một khoảng thực Ek, k= 1, · · · ,7. • Lấy ngẫu nhiên một giá trị xn ∈ Ek (theo phân phối đều) thì xn là một quan sát của một lát cắt của Dn. • Thực hiện một tiêu chuẩn MDH cho {xn,n ≥ 1} được một giá trị p-value của kiểm định. 74 • Thực hiện ba bước trên B lần ta được một tập p-value cho kiểm định bội. 3.4.3.1. Kiểm định WSMDH lát cắt ngẫu nhiên cho dữ liệu mô phỏng Mục này thực hiện tiêu chuẩn kiểm định bội cho hai tập dữ liệu mô phỏng ứng với hai chuỗi thời gian hiệu martingale và không phải hiệu martingale nhằm kiểm tra độ tin cậy cho giả thiết (I) và (II) ở trên. Đối với dữ liệu mô phỏng là hiệu martingale, luận án tiến hành sinh ngẫu nhiên 500 quan sát từ chuyển động Brown cho logarithm của giá tài sản theo công thức f0 = 500; ln fn = ln fn−1+N(0,0.01),∀n≥ 1, trong đó N(0,0.01) là ký hiệu của phân phối chuẩn với trung bình 0 và phương sai 0.01 cho phù hợp với phương sai thông thường của tăng trưởng (returns) của giá tài sản. Trong đó, tăng trưởng {dn = ln fn− ln fn−1,n ≥ 1} là một hiệu martingale. Các dãy này được biểu diễn trong Hình 3.4.4 trong đó fn (prices) tượng trưng cho giá cổ phiếu, còn dn (returns) tượng trưng cho tăng trưởng của cổ phiếu. 0 100 200 300 400 500 38 0 42 0 46 0 50 0 prices 0 100 200 300 400 500 − 0. 03 − 0. 01 0. 01 returns Hình 3.4.4.Mô phỏng dãy martingale cho giá cổ phiếu Sau khi mờ hóa {dn,n ≥ 1} thành chuỗi biến ngẫu nhiên đa trị {Dn,n ≥ 1} như trong mục 3.4.1, luận án áp dụng tiêu chuẩn kiểm định bội Bayes trong gói lệnh sgof trong R cho các kiểm định MDH cho tập các lát cắt ngẫu nhiên {din,n ≥ 1, i = 1,2, · · · ,B} với số lượng lát cắt mẫu B khác nhau ta có kết quả ở Bảng 3.4.6. Kết quả kiểm định bội cho thấy ở hầu hết các tiêu chuẩn không có lát cắt nào bác bỏ H0 đồng nghĩa với bác bỏ H1 gần như hoàn toàn. Điều này có nghĩa là dãy biến ngẫu nhiên đa trị thể hiện xu hướng của chuỗi giá trị này cũng ủng hộ mạnh mẽ giả thiết WSMDH. 75 Bảng 3.4.6. Kiểm định bội MDH cho B lát cắt ngẫu nhiên cho WMDS mô phỏng Tỉ lệ bác bỏ H0 (FDR) B LB5 LB15 LB25 LB50 NN CvMN,1 CvMN,3 KSN,1 KSN,3 D2N B=5 0(0) 0(0) 0(0) 0(0) 0(0) 0(0) 0(0) 0(0) 0(0) 0(0) B=10 0(0) 0(0) 0(0) 0(0) 0(0) 0(0) 0(0) 0(0) 0(0) 0(0) B=50 0(0) 0(0) 0(0) 0(0) 0(0) B=100 0(0) 0(0) 0(0) 0(0) 0(0) B=500 0.034 (0.18) 0(0) 0(0) 0(0) 0(0) Đối với dữ liệu không phải hiệu martingale, ta tiến hành sinh ngẫu nhiên 500 quan sát theo công thức f0 = 500, ln fn = ln fn−1+N(U(0,0.005,0.01),0.01), ∀n≥ 1 trong đó N(U(0,0.005,0.01),0.01) là phân phối chuẩn có trung bình chọn ngẫu nhiên theo phân phối đều nhận giá trị trong {0,0.005,0.01} và phương sai 0.01. Khi đó dãy { fn,n ≥ 1} mô phỏng dãy giá cổ phiếu có xu hướng tăng lên. Hiển nhiên, dãy tăng trưởng {dn = ln fn− ln fn−1,n ≥ 1} không phải là một hiệu martingale. Các dãy này được biểu diễn trong Hình 3.4.5 trong đó fn (prices) tượng trưng cho giá cổ phiếu, còn dn (returns) tượng trưng cho tăng trưởng của cổ phiếu. 0 100 200 300 400 500 10 00 30 00 50 00 prices 0 100 200 300 400 500 − 0. 02 0. 00 0. 02 0. 04 returns Hình 3.4.5.Mô phỏng dãy giá cổ phiếu có xu hướng ổn định Mô hình kiểm định bội được áp dụng cho tập B lát cắt ngẫu nhiên của dãy biến ngẫu nhiên đa trị mờ hóa {Dn,n ≥ 1} cho dãy này nhằm kiểm tra xem liệu với một lát cắt không là MDS và xu hướng tương đối ổn định thì khả năng ủng hộ hay bác bỏ WSMDH sẽ ra sao. Đồng thời cho biết tiêu chuẩn nào sẽ phát hiện ra tính ổn định của xu hướng (khả năng dự báo được của xu hướng) tốt nhất. 76 Bảng 3.4.7. Kiểm định bội MDH cho B lát cắt ngẫu nhiên cho dãy mô phỏng có xu hướng tăng và có 1 lát cắt không phải MDS Tỉ lệ bác bỏ H0 (FDR) B LB5 LB15 LB25 LB50 NN CvMN,1 CvMN,3 KSN,1 KSN,3 D2N B=5 0(0) 0.6(0) 0.6(0) 0.6(0) 0(0) 0(0) 0(0) 0(0) 0(0) 0(0) B=10 0(0) 0.8(0) 0.8(0) 0.8(0) 0(0) 0(0) 0(0) 0 (0) 0.2 (0.01) 0(0) B=50 0(0) 0.9(0) 0.9(0) 0.9(0) 0(0) B=100 0 (0) 0.91 (0) 0.91 (0) 0.93 (0) 0 (0) B=500 0 (0) 0.928 (0) 0.946 (0) 0.946 (0) 0.33 (0.014) Bảng 3.4.7 đã cho thấy có những tiêu chuẩn cho kết quả trái ngược với kết quả cho ở Bảng 3.4.6 ở độ trễ từ 25 đến 50 đối với tiêu chuẩn LBP. Kết quả này cho biết rằng tiêu chuẩn rõ nhất cho việc phát hiện ra xu hướng ổn định theo nghĩa tuyến tính của dãy (tức là bác bỏ giả thiết (I) và ủng hộ giả thiết (II)) là các tiêu chuẩn LBP với P thích hợp. Hơn nữa, ngay cả tỉ lệ bác bỏ MDH của các tiêu chuẩn này ở mức 60% trở lên cũng cần được coi là bằng chứng đáng tin cậy. Đối với các tiêu chuẩn với độ đo phi tuyến, dường như chúng không phải tiêu chuẩn phù hợp cho việc phát hiện ra khả năng dự đoán được của xu hướng cho các dữ liệu tương đồng với dữ liệu mô phỏng này. Tóm lại, kết quả kiểm định bội cho tập các lát cắt ngẫu nhiên của dữ liệu mô phỏng ở cả hai trường hợp dãy biến ngẫu nhiên là hiệu martingale yếu đa trị cũng như có xu hướng dự báo được đều cho kết quả phản ánh đúng với thực tế. Do đó, tiêu chuẩn kiểm định bội cho tập các lát cắt ngẫu nhiên của dãy biến ngẫu nhiên đa trị hoàn toàn phù hợp để kết luận về khả năng dự báo được của xu hướng của một chỉ số kinh tế hay tài chính nào đó. 3.4.3.2. Kiểm định WSMDH lát cắt ngẫu nhiên cho dữ liệu thực Bảng 3.4.8 là kết quả kiểm định bội cho tập B = 500 lát cắt mẫu ngẫu nhiên của mỗi chuỗi thời gian cho các mô hình kiểm định độ đo tuyến tính. Chúng ta có thể dễ dàng so sánh kết của của bảng này với các Bảng 3.4.1 và Bảng 3.4.2 của kiểm định 77 với lát cắt trung bình và thấy rằng đã có sự thay đổi ở VND khi mà tỉ lệ bác bỏ MDH rất nhỏ. Sự thay đổi này cho thấy việc kiểm định với tập các lát cắt ngẫu nhiên là cần thiết so vớ kiểm định một lát cắt cụ thể bất kỳ. Bảng 3.4.8. Kết quả kiểm định bội trường hợp độ đo tuyến tính với 500 lát cắt mẫu Tỉ lệ bác bỏ H0 (FDR) B= 500 S&P500 DJIA FTSE HSI VNI EUR GBP CAN YEN VND LB5 0.652 (0003) 0.132 (0.06) 0.938 (0) 0(0) 0.196 (0.03) 0(0) 0.466 (0) 0.33 (0.01) 0(0) 0.158 (0.1) LB15 0.068 (0.11) 0.148 (0.04) 0.946 (0) 0.94 (0) 0.232 (0.02) 0 (0) 0.056 (0.1) 0.144 (0.06) 0 (0) 0.1 (0.13) LB25 0.082 (0.09) 0.15 (0.05) 0.944 (0) 0.946 (0) 0.052 (0.12) 0 (0) 0.132 (0.07) 0.208 (0.035) 0.098 (0.09) 0.042 (0.18) LB50 0 (0) 0 (0) 0.944 (0) 0.932 (0) 0.07 (0.09) 0 (0) 0.076 (0.133) 0.37 (0.0135) 0.152 (0.05) 0.272 (0.0348) NN 0(0) 0(0) 0(0) 0(0) 0(0) 0(0) 0(0) 0(0) 0(0) 0.092 (0.14) Đối với các kiểm định MDH dựa trên độ đo phi tuyến, do thời gian thực hiện mỗi kiểm định trên máy tính là khá lớn (1h cho một kiểm định trên máy tính Chip Core-i7, 8GB ram) nên luận án chỉ thực hiện kiểm định trên 15mẫu lát cắt ngẫu nhiên. Theo kết quả của kiểm định dựa trên dữ liệu mô phỏng, số lượng mẫu này cũng đủ điều kiện cho kết luận của giả thiết. Kết quả của kiểm định này được cho trong Bảng 3.4.9. Bảng 3.4.9. Kết quả kiểm định bội trường hợp độ đo phi tuyến với 15 lát cắt mẫu Tỉ lệ bác bỏ H0 (FDR) S&P500 DJIA FTSE HSI VNI EUR GBP CAN YEN VND CvMN,1 0 (0) 0 (0) 0 (0) 0 (0) 0.6 (0) 0 (0) 0 (0) 0 (0) 0 (0) 0 (0) CvMN,3 0 (0) 0 (0) 0 (0) 0(0) 0.4 (0.0009) 0 (0) 0 (0) 0 (0) 0 (0) 0 (0) KSN,1 0 (0) 0 (0) 0 (0) 0 (0) 0.733 (0) 0 (0) 0 (0) 0 (0) 0 (0) 0 (0) KSN,3 0 (0) 0 (0) 0 (0) 0 (0) 0.8 (0.0001) 0 (0) 0 (0) 0 (0) 0 (0) 0 (0) D2N 0 (0) 0 (0) 0 (0) 0 (0) 0 (0) 0 (0) 0 (0) 0 (0) 0 (0) 0 (0) 78 So với kết quả kiểm định WSMDH thông qua lát cắt mẫu trung bình ở Bảng 3.4.4 và Bảng 3.4.5 ta thấy có sự tương đồng. Đối với kiểm định lát cắt mẫu trung bình thì FTSE bác bỏ WSMDH ởCvMN,3 nhưng ở tập các lát cắt mẫu ngẫu nhiên hai tiêu chuẩn này đã ủng hộ WSMDH. Đối với VND cũng đã có sự thay đổi từ bác bỏ MDH sang ủng hộ MDH ở mọi lát cắt. Như vậy, đã có sự thay đổi giữa kiểm định WSMDH trên tập các lát cắt mẫu ngẫu nhiên của hiệu martingale yếu đa trị so với kiểm định dựa trên lát cắt trung bình của nó. Sự thay đổi này dẫn tới một lưu ý rằng, trong thực hành kiểm định hiệu martingale yếu đa trị cho những chuỗi thời gian bất kỳ, chúng ta nên sử dụng kiểm định cho một số lượng nhất định (đủ lớn để có thể áp dụng luật số lớn hoặc thông qua một kiểm định phụ) các lát cắt ngẫu nhiên để đảm bảo độ tin cậy của kết quả kiểm định trước khi đi đến kết luận cuối cùng. 3.5. Kết quả và ý nghĩa của kiểm định Chương này luận án đã thực hiện một số kiểm định phổ biến cho MDH trên một số dãy tăng trưởng của tỉ giá ngoại tệ và chỉ số chứng khoán. Các kiểm định bao gồm dựa trên cả độ đo phi tuyến và tuyến tính đồng thời áp dụng cho kiểm định hiệu martingale yếu đa trị, gọi là WSMDH, được phát biểu ở hai giả thiết (I) và (II). Các kết quả của MDH cho đơn trị được lấy từ các bảng (3.3.1), (3.3.2), (3.3.3) và (3.3.4). Đối với kết luận WSMDH, việc bác bỏ WSMDH được ghi nhận đối với những chỉ số mà có tỉ lệ bác bỏ H0 trên 60% (như trong dữ liệu mô phỏng) ở Bảng 3.4.8 và Bảng 3.4.9. Tất cả được tổng hợp lại trong Bảng 3.5.1. Theo kết quả trên, nghiên cứu này cho chúng ta một số kết luận về ý nghĩa của kiểm định như sau: • Kiểm định MDH trên một số tỉ giá ngoại tệ và chỉ số chứng khoán trùng với những kết quả trước đó của các tác giả khác trên thế giới (xem [87, 88]) khi mà hầu hết trong số đó (nghĩa là EUR, GBP, CAN, YEN, S&P500, DJIA, HSI) ủng hộ MDH, nghĩa là thị trường hiệu quả dựa trên giá lịch sử của tài sản (nghĩa là hiệu quả theo nghĩa kiểm định yếu). • Sự ngoại lệ của VND, VNI và FTSE là bằng chứng cho thấy rằng MDH (hay khả năng dự báo được) trên tỉ giá ngoại tệ và chỉ số chứng khoán phụ thuộc vào mỗi 79 Bảng 3.5.1. Giả thiết hiệu martingale và giả thiết hiệu martingale yếu đa trị MDH-WSMDH Độ đo tuyến tính Độ đo phi tuyến LB5 LB15 LB25 LB50 NN CvMN,1 CvMN,3 KSN,1 KSN,3 D2N EUR 3-3 3-3 3-3 3-3 3-3 3-3 3-3 3-3 3-3 3-3 GBP 3-3 3-3 3-3 3-3 3-3 3-3 3-3 3-3 3-3 3-3 CAN 3-3 3-3 3-3 3-3 3-3 3-3 3-3 3-3 3-3 3-3 YEN 3-3 3-3 3-3 3-3 3-3 3-3 3-3 3-3 3-3 3-3 VND 7-3 7-3 7-3 7-3 7-3 3-3 3-3 3-3 3-3 3-3 SP500 3-7 3-3 3-3 3-3 3-3 3-3 3-3 3-3 3-3 3-3 DJIA 3-3 3-3 3-3 3-3 3-3 3-3 3-3 3-3 3-3 3-3 FTSE 7-7 7-7 7-7 7-7 3-3 3-3 3-3 3-3 3-3 3-3 HSI 3-3 7-7 7-7 7-7 3-3 3-3 3-3 3-3 3-3 3-3 VNI 7-3 3-3 3-3 3-3 3-3 7-7 7-3 7-7 3-7 3-3 3: ủng hộ H0, 7: bác bỏ H0, trái: MDH - phải: WSMDH thị trường cụ thể. Khi MDH bị bác bỏ, tồn tại một số hình thức phụ thuộc nào đó trong dãy tương ứng với độ đo của tiêu chuẩn kiểm định. Có nghĩa rằng tính hiệu quả của thị trường này bị bác bỏ theo nghĩa kiểm định yếu. Khả năng dự báo được của nó vẫn tồn tại trên một quan hệ phụ thuộc nào đó. • Điều thú vị là khi kiểm định hiệu martingale yếu đa trị, các chỉ số tăng trưởng của EUR, GBP, CAN, YEN, S&P500 và DJIA ủng hộ WSMDH với tỉ lệ các lát cắt ngẫu nhiên bác bỏ MDH dưới 50% ở hầu hết các tiêu chuẩn kiểm định. Kết quả thống nhất này nhấn mạnh khả năng không dự báo được của các chuỗi này thậm chí cả xu hướng thay đổi của nó cũng khó đoán biết. Tuy nhiên, sự thay đổi từ ủng hộ MDH ở đơn trị sang bác bỏ WSMDH ở đa trị của S&P500 ở LB5 hay VNI ở KSN,3 nói lên rằng khó dự báo giá của chuỗi thời gian tương ứng nhưng khả năng dự báo được xu hướng của những chuỗi này đã hiện hữu. Hơn nữa, FTSE và HSI bác bỏ cả MDH và WSMDH ở tiêu chuẩn LBP ở một số độ trễ cho thấy các chỉ số này có thể dự báo được theo độ đo tuyến tính. Phát hiện này mở ra cơ hội giải thích bằng thống kê cho sự ưu việt của các mô hình dự báo dựa trên xu hướng như HMM hay FTS bằng cách phân tích mối quan hệ giữa kết quả kiểm định WSMDH với độ chính xác dự báo cho mỗi chuỗi thời gian. • Việc các chỉ số VND và VNI chuyển từ bác bỏ MDH ở đơn trị sang ủng hộ 80 WSMDH ở đa trị cho thấy thông tin kiểm định MDH trên dãy chỉ số giá của nó chưa phản ánh được khả năng dự báo của xu hướng. Bở lẽ khi đa trị hóa dãy chỉ số này theo xu hướng tăng trưởng của nó, tồn tại những lát cắt khác ủng hộ MDH. Đó là bằng chứng cho việc khó dự đoán được xu hướng của chỉ số này nếu chỉ dựa vào dãy giá quan sát được. 3.6. Kết luận Chương này đã thực hiện kiểm định giả thuyết thống kê cho hiệu martingale yếu đa trị mà đã được định nghĩa trong Chương 2. Các kiểm định được áp dụng trong cả hai trường hợp độ đo thông tin quá khứ dạng tuyến tính và phi tuyến và thực hiện trên một số chỉ số chứng khoán và tỉ giá ngoại tệ. Thông thường, kiểm định giả thuyết hiệu martingale nhằm kiểm tra khả năng dự báo được của chuỗi thời gian cũng như nhằm kiểm tra tính hiệu quả của thị trường tài chính. Tuy nhiên, thực tế có thể xảy ra tình huống dãy giá quan sát được của chỉ số tài chính hay kinh tế nào đó ủng hộ MDH cho ta niềm tin rằng nó không thể dự báo được giá của nó nhưng chưa thể khẳng định được xu hướng của nó có thể dự báo được hay không. Cũng có tình huống dãy giá của chỉ số nào đó bác bỏ MDH, nhưng do những tiêu chuẩn kiểm định MDH hiện tại đều là điều kiện cần nên rất dễ dẫn đến những sai lầm trong thống kê mà không đại diện được cho khả năng dự báo được của xu hướng thay đổi của nó. Chính vì vậy, việc kiểm định khả năng dự báo được của xu hướng cần phải dựa trên một phương án kiểm định khác. Khi đa trị hoá chuỗi thời gian theo các tập mờ trong các mô hình dự báo chuỗi thời gian mờ thực tế đã cho ta một dãy biến ngẫu nhiên đa trị tương ứng đặc trưng cho xu hướng thay đổi của chuỗi thời gian này. Nếu dãy biến ngẫu nhiên này nếu ủng hộ hiệu martingale yếu đa trị với một tập các lát cắt đủ lớn thì giống như trường hợp đơn trị, thị trường được đánh giá hiệu quả ở cả khía cạnh dự báo xu hướng chứ không chỉ dừng lại ở dự báo giá trị. Hơn nữa, luật số lớn cho hiệu martingale yếu đa trị đã chứng minh ở Chương 2 khẳng định một chuỗi thời gian đa trị là hiệu martingale yếu đa trị sẽ chứa giá trị 0 khi thời gian tiến ra vô tận. Nghĩa là xu hướng tăng giảm của nó về lâu dài cũng ổn định quanh 0, trong trường hợp tổng quát nó ổn định quanh giá trị trung bình µ (hàm ý một thị trường hiệu quả). Ngược lại, nếu dãy biến ngẫu nhiên mờ hóa này bác bỏ WSMDH 81 thì xu hướng thay đổi của nó có thể dự báo được, làm cơ sở cho các mô hình dự báo giá tài sản dựa trên xu hướng. Kết quả kiểm định của chương này cho thấy đối với kiểm định hiệu martingale đơn trị, các chỉ số chứng khoán lâu đời cho thấy bằng chứng của thị trường hiệu quả trong hầu hết các kiểm định trừ chỉ số chứng khoán VNI của Việt Nam ở các kiểm định với độ đo phi tuyến. Kết luận về khả năng không dự báo được cũng tương tự cho các tỉ giá đồng ngoại tệ quốc tế có giá trị cao ngoại trừ VND ở các tiêu chuẩn với độ đo tuyến tính. Tỉ giá tiền đồng của Việt Nam cho thấy dao động rất nhỏ so với đồng ngoại tệ khác nên tiêu chuẩn MDH cho thấy khả năng dự đoán được giá trị của nó là phù hợp. Nhưng sự thay đổi từ bác bỏ MDH sang ủng hộ WSMDH của VND cho thấy dù dao động với biên độ nhỏ nhưng xu hướng tăng hay giảm của nó không hề dễ đánh giá. Điều vô cùng thú vị của kết quả nghiên cứu của luận án thực hiện trong chương này là với các chuỗi thời gian đó, khi tiến hành kiểm định hiệu martingale yếu đa trị thì một số chỉ số tài chính này đã có sự thay đổi từ ủng hộ hiệu martingale sang bác bỏ nó. Điều này có nghĩa rằng mặc dù khó dự báo được giá của cổ phiếu (vì nó ủng hộ hiệu martingale), nhưng khả năng dự báo được của xu hướng đã hiện hữu. Hơn nữa, có những chỉ số bác bỏ cả MDH và WSMDH như FTSE và HSI. Kết quả này càng củng cố nhận định có thể xu hướng thay đổi của chỉ số này là ổn định và có thể dự báo ở một số khoảng thời gian nhất định. Đây có thể chính là lý do giải thích cho thực tế rằng các mô hình dự báo giá cổ phiếu dựa trên xu hướng (như HMM hay FTS) tốt hơn các mô hình dự báo cổ điển (như ARIMA, ANN) trong các nghiên cứu gần đây như [11, 19, 18]. Đây cũng có thể coi là một lời giải thích vì sao một số nhà đầu tư tài chính nổi tiếng (chẳng hạn Warren Buffett) bằng cách nào đó luôn chiến thắng thị trường trong một thời gian dài. Một phần kết quả của nghiên cứu này trong kết quả thử nghiệm với lát cắt trung bình đã được nghiên cứu sinh công bố trong [A1]. Phương án kiểm định hiệu martingale yếu đa trị thông qua kiểm định bội cho một tập các lát cắt ngẫu nhiên của nó đã được nghiên cứu sinh công bố trong [A4]. 82 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 1. Kết luận Với mục tiêu đề xuất một phương án kiểm định khả năng dự báo được của xu hướng tăng trưởng của một chỉ số kinh tế - tài chính dựa trên chuỗi thời gian quan sát được, luận án tập trung vào nghiên cứu nội dung sau: Nghiên cứu tổng quan về các định lý giới hạn và luật số lớn cho hiệu martingale đơn trị, các định lý giới hạn cho martingale đa trị, luật số lớn cho dãy biến ngẫu nhiên đa trị độc lập cũng như một số hướng ứng dụng của biến ngẫu nhiên đa trị trong kinh tế. Trên cơ sở đó, luận án đã nghiên cứu “hiệu martingale yếu đa trị” mang đặc điểm tương đồng với hiệu martingale đơn trị. Một ứng dụng thực tế trong thống kê nhằm kiểm định giả thuyết hiệu martingale yếu đa trị cũng được luận án tiến hành. Với nội dung nghiên cứu như trên, luận án thu được hai kết quả chính như sau: Thứ nhất, nghiên cứu khái niệm hiệu martingale yếu đa trị với định nghĩa là một dãy biến ngẫu nhiên đa trị mà kỳ vọng điều kiện của nó luôn chứa 0 theo thời gian được đề xuất trước đó bởi Ezzaki [28]. Một dãy biến ngẫu nhiên đa trị là hiệu martingale yếu đa trị khi và chỉ khi tồn tại một lát cắt hiệu martingale. Luận án đã mở rộng định lý của Ezzaki về tính chất đặc trưng này của hiệu martingale yếu đa trị trên miền giá trị rộng hơn. Từ kết quả này, một luật số lớn dạng Marcinkiewicz-Zygmund hội tụ theo nghĩa Mosco được luận án chứng minh cho hiệu martingale yếu đa trị. Nội dung này được luận án trình bày trong Chương 2 và một phần kết quả được công bố trong [A2]. Thứ hai, việc mờ hóa một chuỗi thời gian theo các mức độ tăng trưởng của nó trong các mô hình dự báo chuỗi thời gian mờ cho ta một dãy biến ngẫu nhiên đa trị nhận giá trị là các khoảng thực. Dãy biến ngẫu nhiên đa trị này đại diện cho xu hướng tăng trưởng của chuỗi thời gian đó. Dựa trên ý nghĩa và tính chất của hiệu martingale yếu đa trị đã trình bày ở nội dung thứ nhất, luận án đã đề xuất một phương án kiểm định giả thiết hiệu martingale yếu đa trị bằng cách kiểm định bội cho các cặp giả thiết MDH cho một tập các lát cắt ngẫu nhiên của dãy biến ngẫu nhiên đa trị này. Kết quả 83 thực nghiệm trên dữ liệu mô phỏng cho cả hai trường hợp dãy biến ngẫu nhiên đa trị có được nhờ mờ hóa từ một hiệu martingale và từ một dãy biến ngẫu nhiên không phải hiệu martingale cho thấy phương án đề xuất phản ánh đúng với giả thiết WSMDH với tỉ lệ lát cắt ủng hộ cho mỗi trường hợp rất cao, đặc biệt là đối với trường hợp hiệu martingale. Phương án đề xuất này sau đó thực hiện trên dữ liệu thực bao gồm một số chỉ số chứng khoán và tỉ giá ngoại tệ. Kết quả kiểm định WSMDH được so sánh với kết quả kiểm định MDH cho cùng một dữ liệu chỉ ra rằng đã có sự thay đổi giữa việc ủng hộ MDH nhưng bác bỏ WSMDH và ngược lại. Sự thay đổi này phù hợp với nhận định ban đầu rằng chuỗi thời gian có thể khó dự báo giá của nó (do ủng hộ MDH) nhưng vẫn có thể dự báo được xu hướng của nó (do bác bỏ WSMDH). Ngược lại, có những chỉ số kết quả kiểm định bác bỏ MDH nhưng lại ủng hộ WSMDH, điều này là căn cứ cho thấy không phải một chỉ số chứng khoán hay kinh tế bác bỏ MDH là có thể dễ dàng dự báo được giá của nó, phù hợp với thực tế rằng việc dự báo giá cổ phiếu đến nay vẫn là một công việc rất khó khăn. Hơn nữa, phương án đề xuất của luận án trong kiểm định WSMDH kết hợp cùng với kiểm định MDH là căn cứ quan trọng cho các nhà nghiên cứu, các nhà đầu tư nên hay không nên sử dụng các mô hình dự báo giá của một cổ phiếu nhất định, đặc biệt là đưa ra gợi ý cho việc sử dụng hay không mô hình dự báo dựa trên xu hướng. Nội dung này được trình bày chi tiết trong Chương 3. Kết quả về mờ hóa chuỗi thời gian và kiểm định WSMDH cho lát cắt trung bình được công bố trong [A1, A3], kết quả kiểm định WSMDH dựa trên kiểm định bội MDH cho một tập các lát cắt ngẫu nhiên của dãy biến ngẫu nhiên đa trị mờ hóa được công bố trong [A4]. 2. Hướng phát triển của đề tài luận án Các nội dung nghiên cứu của luận án vẫn có thể tiếp tục được phát triển và hoàn thiện hơn. Cụ thể một số hướng phát triển như sau: • Đối với biến ngẫu nhiên đa trị còn một hướng nghiên cứu vẫn rộng mở đó là các biến ngẫu nhiên mà giá trị của nó là các vector. Do đó, hướng phát triển các luật số lớn cho hiệu martingale đa trị trong trường hợp này có thể được thực hiện dựa trên các các dãy biến ngẫu nhiên mà các tọa độ thành phần của nó đều là các hiệu martingale đơn trị. Và khi đó, vấn đề ứng dụng trong tài chính cũng được đặt ra 84 khi kiểm định một danh mục đầu tư gồm nhiều tài sản có khả năng dự báo được hay không. • Mối quan hệ giữa khả năng dự báo được của xu hướng tăng trưởng của giá cổ phiếu với độ chính xác của các mô hình dự báo giá cổ phiếu dựa trên xu hướng đến nay vẫn chưa được kiểm định do thiếu tiêu chuẩn kiểm định khả năng dự báo được của xu hướng. Vì vậy, hoàn toàn có thể tiến hành nghiên cứu mối quan hệ này dựa trên tiêu chuẩn kiểm định đề xuất trong luận án. Đề xuất này có thể giúp phân loại dữ liệu trong các mô hình dự báo. • Ngoài quan hệ phụ thuộc martingale đối với dãy biến ngẫu nhiên đa trị, các quan hệ phụ thuộc khác tương tự như trong dãy biến ngẫu nhiên đa trị như các dạng phụ thuộc trộn (mixing) mà trong đó hiệp phương sai của hai biến ngẫu nhiên đa trị được định nghĩa như trong [89] có thể được phát triển. • Nghiên cứu định nghĩa mới về hiệu hai tập hợp mà khác với hiệu đại số thông thường như hiệu Hukuhara [90] để mở rộng khái niệm hiệu martingale đa trị theo nghĩa của các hiệu này. • Mở rộng các kết quả của biến ngẫu nhiên đa trị trong trường hợp mảng biến ngẫu nhiên (đa chỉ số) trong trường hợp độc lập đã được công bố bởi các tác giả trong [91, 92]. Vì vậy, việc mở rộng các kết quả về mảng biến ngẫu nhiên đa trị phụ thuộc yếu cũng có thể được nghiên cứu. 85 CÁC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA NGHIÊN CỨU SINH [A1] Lục Trí Tuyên, On the testing multi-valued martingale difference hypothesis, Journal of Computer Science and Cybernetics, 2018, 34(3), 233–248. [A2] Luc Tri Tuyen, A strong law of large numbers for sequences of set-valued ran- dom variables with a martingale difference selection, International Journal of Applied Mathematics and Statistics, 2020, 59(2), 69–80. [A3] Lục Trí Tuyên, Phạm Quốc Vương, Thạch Thị Ninh và Vũ Xuân Quỳnh, Kiểm định giả thiết martingale hiệu cho biến ngẫu nhiên đa trị, In Hội thảo lần thứ 22: Một số vấn đề chọn lọc của Công nghệ thông tin và truyền thông, Thái Bình, 6/ 2019, 138–143. [A4] Lục Trí Tuyên,Một phương pháp kiểm định khả năng dự báo được của xu hướng của chuỗi thời gian thông qua martingale hiệu yếu đa trị, In Hội thảo lần thứ 23: Một số vấn đề chọn lọc của Công nghệ thông tin và truyền thông, Quảng Ninh, 11/ 2020, 240–245. 86 TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Eugene F. Fama, Efficient capital markets: A review of theory and empirical work, The Journal of Finance, 1970, 25(2), 383–417. 2. Diana-Maria Chis¸, Testing the martingale difference hypothesis in the european emerging unit-linked insurance markets, Procedia Economics and Finance, 2012, 3, 49–54. 3. Manuel A Domínguez and Ignacio N Lobato, Testing the martingale difference hypothesis, Econometric Reviews, 2003, 22(4), 351–377. 4. Rohit S Deo, Spectral tests of the martingale hypothesis under conditional het- eroscedasticity, Journal of Econometrics, 2000, 99(2), 291–315. 5. Steven N Durlauf, Spectral based testing of the martingale hypothesis, Journal of Econometrics, 1991, 50(3), 355–376. 6. J Carlos Escanciano and Ignacio N Lobato, Testing the martingale hypothesis, In Palgrave handbook of econometrics, Springer, 2009, 972–1003. 7. Peter CB Phillips and Sainan Jin, Testing the martingale hypothesis, Journal of Business & Economic Statistics, 2014, 32(4), 537–554. 8. J Carlos Escanciano and Carlos Velasco, Generalized spectral tests for the martin- gale difference hypothesis, Journal of Econometrics, 2006, 134(1), 151–185. 9. Hung-Wen Peng, Shen-Fu Wu, Chia-Ching Wei, and Shie-Jue Lee, Time series forecasting with a neuro-fuzzy modeling scheme, Applied Soft Computing, 2015, 32, 481–493. 10. Weihui Deng, Guoyin Wang, Xuerui Zhang, Ji Xu, and Guangdi Li, A multi- granularity combined prediction model based on fuzzy trend forecasting and par- ticle swarm techniques, Neurocomputing, 2016, 173, 1671–1682. 87 11. Md Rafiul Hassan, Kotagiri Ramamohanarao, Joarder Kamruzzaman, Mustafizur Rahman, and M Maruf Hossain, A hmm-based adaptive fuzzy inference system for stock market forecasting, Neurocomputing, 2013, 104, 10–25. 12. Hossein Javedani Sadaei and Muhammad Hisyam Lee, Multilayer stock fore- casting model using fuzzy time series, The Scientific World Journal, 2014, vol. 2014(Article ID 610594), 1–10. 13. Shyi-Ming Chen and Chao-Dian Chen, Handling forecasting problems based on high-order fuzzy logical relationships, Expert Systems with Applications, 2011, 38(4), 3857–3864. 14. Erol Egrioglu, Eren Bas, Ufuk Yolcu, and Mu Yen Chen, Picture fuzzy time se- ries: Defining, modeling and creating a new forecasting method, Engineering Ap- plications of Artificial Intelligence, 2020, 88, 1–15. 15. Sibarama Panigrahi and Himansu Sekhar Behera, A study on leading machine learning techniques for high order fuzzy time series forecasting, Engineering Ap- plications of Artificial Intelligence, 2020, 87, 1–10. 16. Deju Zhang and Xiaomin Zhang, Study on forecasting the stock market trend based on stochastic analysis method, International Journal of Business and Man- agement, 2009, 4(6), 163–170. 17. Tahseen Ahmed Jilani and Syed Muhammad Aqil Burney, A refined fuzzy time series model for stock market forecasting, Physica A: Statistical Mechanics and its Applications, 2008, 387(12), 2857–2862. 18. Dao Xuan Ky and Luc Tri Tuyen, A higher order markov model for time series forecasting, International Journal of Applied Mathematics and Statistics™, 2018, 57(3), 1–18. 19. Dao Xuan Ky and Luc Tri Tuyen, A markov-fuzzy combination model for stock market forecasting, International Journal of Applied Mathematics and Statistics™, 2016, 55(3), 109–121. 88 20. Qiang Song and Brad S Chissom, Fuzzy time series and its models, Fuzzy sets and systems, 1993, 54(3), 269–277. 21. Kunhuang Huarng, Heuristic models of fuzzy time series for forecasting, Fuzzy sets and systems, 2001, 123(3), 369–386. 22. J. Hoffmann-Jorgensen and G. Pisier, The law of large numbers and the central limit theorem in banach spaces, Annals of Probability, 1976, 4(4), 587–599. 23. Ilya S Molchanov, Theory of random sets, second edition, volume 87 of Proba- bility Theory and Stochastic Modelling, Springer-Verlag, 2017, London. 24. Charles Castaing, Nguyen Van Quang, and Nguyen Tran Thuan, A new family of convex weakly compact valued random variables in banach space and applications to laws of large numbers, Statistics & Probability Letters, 2012, 82(1), 84–95. 25. Robert J Aumann, Integrals of set-valued functions, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 1965, 12(1), 1–12. 26. Shoumei Li, Yukio Ogura, and Vladik Kreinovich, Limit theorems and applica- tions of set-valued and fuzzy set-valued random variables, volume 43 of Theory and Decision Library B, Springer, 2002, Netherlands. 27. Nguyen Van Quang and Nguyen Tran Thuan, Strong laws of large numbers for adapted arrays of set-valued and fuzzy-valued random variables in banach space, Fuzzy Sets and Systems, 2012, 209, 14–32. 28. Fatima Ezzaki,Mosco convergence of multivalued slln, Vietnam journal of math- ematics, 1996, 24(4), 399–416. 29. George Stoica, A note on the rate of convergence in the strong law of large num- bers for martingales, Journal of mathematical analysis and applications, 2011, 381(2), 910–913. 30. James A Clarkson,Uniformly convex spaces, Transactions of the AmericanMath- ematical Society, 1936, 40(3), 396–414. 31. Patrice Assouad, Deux remarques sur l’estimation, Comptes rendus des séances de l’Académie des sciences. Série 1, Mathématique, 1983, 296(23), 1021–1024. 89 32. Nguyễn Duy Tiến và Vũ Viết Yên, Lý thuyết xác suất, NXB Giáo Dục, 2001, Hà Nội, Việt Nam. 33. Nguyễn Văn Cao, Ngô Văn Thứ và Trần Thái Ninh, Giáo trình lý thuyết xác suất và thống kê toán, NXB Đại học Kinh tế quốc dân, 2012, Hà Nội, Việt Nam. 34. WA Woyczyn´ski, Geometry and martingales in banach spaces, In Probability- Winter School, Springer, Berlin, Heidelberg, 1975, 229–275. 35. Michel Ledoux andMichel Talagrand, Type and cotype of banach spaces, In Prob- ability in Banach Spaces, Springer, Berlin, Heidelberg, 1991, 236–271. 36. J Hoffmann-Jorgensen, G Pisier, et al., The law of large numbers and the central limit theorem in banach spaces, The Annals of Probability, 1976, 4(4), 587–599. 37. Charles Castaing and Michel Valadier, Convex analysis and measurable multi- functions, volume 580 of Lecture Notes in Mathematics, Springer, 1977, Berlin, Heidelberg. 38. Fumio Hiai, Strong laws of large numbers for multivalued random variables, Mul- tifunctions and integrands, 1984, 1091, 160–172. 39. Ilya Molchanov and Francesca Molinari, Applications of random set theory in econometrics, Annu. Rev. Econ., 2014, 6(1), 229–251. 40. Martin J Osborne and Ariel Rubinstein, A course in game theory, MIT Press, 1994, Cambridge, Massachusetts, London. 41. Elie Tamer, Incomplete simultaneous discrete response model with multiple equi- libria, The Review of Economic Studies, 2003, 70(1), 147–165. 42. Steven Berry and Elie Tamer, Identification in models of oligopoly entry, Econo- metric Society Monographs, 2006, 42, 46–85. 43. Federico Ciliberto and Elie Tamer, Market structure and multiple equilibria in airline markets, Econometrica, 2009, 77(6), 1791–1828. 44. Arie Beresteanu, Ilya Molchanov, and Francesca Molinari, Partial identification using random set theory, Journal of Econometrics, 2012, 166(1), 17–32. 90 45. Andrew Chesher and Adam M Rosen, Simultaneous equations models for dis- crete outcomes: coherence, completeness, and identification, Technical Report CWP21/12, CEMMAP, 2012, Institute for Fiscal Studies (IFS), London. 46. Arie Beresteanu and Francesca Molinari, Asymptotic properties for a class of partially identified models, Econometrica, 2008, 76(4), 763–814. 47. Wojbor A Woyczyn´ski, Asymptotic behavior of martingales in banach spaces ii, In Martingale theory in harmonic analysis and Banach spaces, Springer, 1982, 216–225. 48. Srishti D Chatterji, Martingale convergence and the radon-nikodym theorem in banach spaces, Mathematica Scandinavica, 1969, 22(1), 21–41. 49. Gilles Pisier, Martingales with values in uniformly convex spaces, Israel Journal of Mathematics, 1975, 20(3-4), 326–350. 50. Wojbor A Woyczynski, On marcinkiewicz-zygmund laws of large numbers in ba- nach spaces and related rates of convergence, Probab. Math. Statist, 1980, 1(2), 117–131. 51. Wojbor A Woyczynski, Geometry and Martingales in Banach Spaces, CRC Press,Taylor & Francis Group, 2018, 6000 Broken Sound Parkway NW, Suite 300. 52. Per Enflo, Banach spaces which can be given an equivalent uniformly convex norm, Israel Journal of Mathematics, 1972, 13(3-4), 281–288. 53. Samir Adly, Emil Ernst, and Michel Théra, On the closedness of the algebraic difference of closed convex sets, Journal de mathématiques pures et appliquées, 2003, 82(9), 1219–1249. 54. John Elton, A law of large numbers for identically distributed martingale differ- ences, The Annals of Probability, 1981, 9(3), 405–412. 55. Nguyen Duy Tien and Nguyen Van Hung, On the convergence of weighted sums of martingale differences, In Probability Theory on Vector Spaces IV, Springer, 1989, 293–307. 91 56. Peter J Brockwell, Richard A Davis, and Stephen E Fienberg, Time series: theory and methods, second edition, Springer Series in Statistics, Springer-Verlag, 1991, New York. 57. Hans Julius Skaug and Dag Tjøstheim, A nonparametric test of serial indepen- dence based on the empirical distribution function, Biometrika, 1993, 80(3), 591– 602. 58. SW Roberts, Control chart tests based on geometric moving averages, Techno- metrics, 1959, 1(3), 239–250. 59. Maury FM Osborne, Brownian motion in the stock market, Operations research, 1959, 7(2), 145–173. 60. Peter Mo¨rters and Yuval Peres, Brownian motion, volume 30 of Cambridge Series in Statistical and Probabilistic Mathematics, Cambridge University Press, 2010, Cambridge, United Kingdom. 61. Maria Rosa Borges, Efficient market hypothesis in european stock markets, The European Journal of Finance, 2010, 16(7), 711–726. 62. Joseph L McCauley, Kevin E Bassler, and Gemunu H Gunaratne, Martingales, detrending data, and the efficient market hypothesis, Physica A: Statistical Me- chanics and its Applications, 2008, 387(1), 202–216. 63. Joel L Horowitz, Charles F Manski, Maria Ponomareva, and Jo¨rg Stoye, Compu- tation of bounds on population parameters when the data are incomplete, Reliable Computing, 2003, 9(6), 419–440. 64. Michael Grant and Stephen Boyd, Graph implementations for nonsmooth convex programs, In Recent Advances in Learning and Control, Springer-Verlag Limited, 2008, volume 371 of Lecture Notes in Control and Information Sciences, 95–110. 65. Jae H Kim, vrtest: Variance ratio tests and other tests for martingale difference hypothesis, R package version 0.95, 2010. 92 66. G. E. P. Box and David A. Pierce, Distribution of residual autocorrelations in autoregressive-integrated moving average time series models, Journal of the Amer- ican Statistical Association, 1970, 65(332), 1509–1526. 67. Greta M Ljung and George EP Box, On a measure of lack of fit in time series models, Biometrika, 1978, 65(2), 297–303. 68. Hira L Koul, Winfried Stute, et al., Nonparametric model checks for time series, The Annals of Statistics, 1999, 27(1), 204–236. 69. Yongmiao Hong and Yoon-Jin Lee, Generalized spectral tests for conditional mean models in time series with conditional heteroscedasticity of unknown form, The Review of Economic Studies, 2005, 72(2), 499–541. 70. Yoav Benjamini and Yosef Hochberg,Controlling the false discovery rate: a prac- tical and powerful approach to multiple testing, Journal of the Royal statistical society: series B (Methodological), 1995, 57(1), 289–300. 71. Yoav Benjamini and Daniel Yekutieli, The control of the false discovery rate in multiple testing under dependency, Annals of statistics, 2001, 29(4), 1165–1188. 72. Yoav Benjamini, Dan Drai, Greg Elmer, Neri Kafkafi, and Ilan Golani, Control- ling the false discovery rate in behavior genetics research, Behavioural brain re- search, 2001, 125(1-2), 279–284. 73. Aliza P Wingo, Eric B Dammer, Michael S Breen, Benjamin A Logsdon, Duc M Duong, Juan C Troncosco, Madhav Thambisetty, Thomas G Beach, Geidy E Ser- rano, Eric M Reiman, et al., Large-scale proteomic analysis of human brain identi- fies proteins associated with cognitive trajectory in advanced age, Nature commu- nications, 2019, 10(1), 1–14. 74. Tian Tian, Yue Liu, Hengyu Yan, Qi You, Xin Yi, Zhou Du, Wenying Xu, and Zhen Su, agrigo v2. 0: a go analysis toolkit for the agricultural community, 2017 update, Nucleic acids research, 2017, 45(W1), W122–W129. 75. Rishi K Wadhera, Karen E Joynt Maddox, Jason H Wasfy, Sebastien Haneuse, Changyu Shen, and Robert W Yeh, Association of the hospital readmissions reduc- 93 tion program with mortality among medicare beneficiaries hospitalized for heart failure, acute myocardial infarction, and pneumonia, Jama, 2018, 320(24), 2542– 2552. 76. Alice S Whittemore, A bayesian false discovery rate for multiple testing, Journal of Applied Statistics, 2007, 34(1), 1–9. 77. Peter H Westfall and S Stanley Young, P value adjustments for multiple tests in multivariate binomial models, Journal of the American Statistical Association, 1989, 84(407), 780–786. 78. Charles C Brown and Thomas R Fears, Exact significance levels for multiple binomial testing with application to carcinogenicity screens, Biometrics, 1981, 37(4), 763–774. 79. Yili Hong, On computing the distribution function for the poisson binomial dis- tribution, Computational Statistics & Data Analysis, 2013, 59, 41–51. 80. Irene Castro-Conde and Jacobo de Un˜a-Álvarez, sgof: An r package for multiple testing problems, R Journal, 2014, 6(2), 96–113. 81. Eric Frichot and Olivier Franc¸ois, Lea: An r package for landscape and ecologi- cal association studies, Methods in Ecology and Evolution, 2015, 6(8), 925–929. 82. Korbinian Strimmer, fdrtool: a versatile r package for estimating local and tail area-based false discovery rates, Bioinformatics, 2008, 24(12), 1461–1462. 83. Alan Dabney and John D Storey, The qvalue package, Medicine, 2006, 344, 539– 548. 84. S Pounds and D Fofana, Hybridmtest: hybrid multiple testing, R package version 1.32.0, 2020. 85. Katherine S Pollard, Sandrine Dudoit, and Mark J van der Laan, Multiple testing procedures: the multtest package and applications to genomics, In Bioinformatics and computational biology solutions using R and bioconductor, Springer, 2005, 249–271. 94 86. Irene Castro-Conde and Jacobo de Un˜a-Álvarez, Sgof multitesting method under the bayesian paradigm, Discussion Papers in Statistics and Operation Research, 2013, Report 13/06. Statistics and OR Department. University of Vigo. 87. David A Hsieh, Testing for nonlinear dependence in daily foreign exchange rates, Journal of Business, 1989, 62(3), 339–368. 88. Yongmiao Hong and Tae-Hwy Lee, Inference on predictability of foreign ex- change rates via generalized spectrum and nonlinear time series models, Review of Economics and Statistics, 2003, 85(4), 1048–1062. 89. Xun Wang, Zhongzhan Zhang, and Shoumei Li, Set-valued and interval-valued stationary time series, Journal of Multivariate Analysis, 2016, 145, 208 – 223. 90. Luciano Stefanini and Barnabas Bede, A new gh-difference for multi-dimensional convex sets and convex fuzzy sets, Axioms, 2019, 8(2), 48–68. 91. Nguyen Van Hung and Nguyen Duy Tien, On the almost sure convergence of two-parameter martingales and the strong law of large numbers in banach spaces, Acta Mathematica Vietnamica, 1992, 17(1), 127–143. 92. Nguyen Van Quang and Nguyen Van Huan, On the strong law of large numbers and lp-convergence for double arrays of random elements in p-uniformly smooth banach spaces, Statistics & Probability Letters, 2009, 79(18), 1891–1899.