Luận văn Một số vấn đề về module nhân

eal tối đại của R . Nếu M λ là P - 18 xoắn với mọi λ ∈Λ thì M là P - xoắn. Giả sử tồn tại α ∈Λ sao cho Mα không là P - xoắn thì Mα là P - cyclic nên tồn tại ,p P m Mα∈ ∈ sao cho ( )1 ap M Rm− ⊆ . Ta có ( ) ( )1 1p A M p M Rmα α− = − ⊆ . Nếu A Pα ⊆ thì M A M PMα α α α= ⊆ nên Mα là P - xoắn, mâu thuẫn. Do đó ( )1 p Aα− ⊈P , suy ra M là P - cyclic. Vậy M là module nhân. □ Hệ quả 2.1.13. Cho ( )M λ λ ∈Λ là họ các R - module hữu hạn sinh và M M λλ∈Λ= ⊕ . Khi đó M là module nhân nếu và chỉ nếu M λ là module nhân và ( ) ( )ann M ann M Rλλ + = với mọi λ ∈Λ . Chứng minh. Giả sử M là module nhân. Theo Định lý 2.1.12 M λ là module nhân và với mỗi λ ∈Λ tồn tại một ideal Aλ của R thỏa A M Mλ λ λ= và  0A M λλ = . Vì A M Mλ λ λ= và M λ là hữu hạn sinh nên tồn tại a Aλ∈ sao cho ( )1 0a M λ− = theo Định lý 1.2.8. Suy ra ( ) ( )1 a ann M λ− ∈ . Ta lại có  0aM λ = nên ( )a ann M λ∈ . Suy ra ( ) ( ) ( )1 1 a a ann M ann Mλ λ= − + ∈ + . Vậy ( ) ( )R ann M ann Mλ λ= + . Ngược lại, với mỗi M λ tồn tại ( )A ann M λλ = thỏa điều kiện của Định lý 2.1.12 nên M là module nhân. □ Trong trường hợp Λ là tập hữu hạn thì ta có : Nếu ( )1iM i n≤ ≤ là họ hữu hạn các R - module nhân thì 1 ... nM M M= ⊕ ⊕ là module nhân nếu và chỉ nếu ( ) ( )i jann M ann M R+ = với mọi 1 i j n≤ ≠ ≤ . Hệ quả 2.1.14. Cho ( )1iM i n≤ ≤ là họ hữu hạn các R - module cyclic và 1 ... nM M M= ⊕ ⊕ . Khi đó M là module nhân nếu và chỉ nếu M là cyclic. Chứng minh. Giả sử M là module nhân. Đặt ( ) ( )1i iA ann M i n= ≤ ≤ . Theo Hệ quả 2.1.13 i jA A R+ = với mọi 1 i j n≤ ≠ ≤ . Theo định lý Trung Hoa về phần dư, ( ) ( ) ( )1 1/ ... / / ...n nM R A R A R A A≅ ⊕ ⊕ ≅ ∩ ∩ , do đó M là cyclic. Chiều ngược lại là hiển nhiên. □ 19 Định lý 2.1.15. Cho R là vành giao hoán có đơn vị và ( )M λ λ ∈Λ là một họ các module con nhân của R - module M sao cho M M λ λ∈Λ = ∑ , đặt ( ):A M Mλ λ∈Λ = ∑ . Khi đó các phát biểu sau là tương đương. (i) M là R - module nhân. (ii) ( ):M M M Mλ λ= với mọi λ ∈Λ . (iii) ( )R ann m A= + với mọi m M∈ . (iv) Với mọi ideal tối đại P của R thì M là P - xoắn hay tồn tại z M λ λ∈Λ ∈  và p P∈ sao cho ( )1 p M Rz− ⊆ . Chứng minh. ( ) ( )i ii⇒ . Hiển nhiên. ( ) ( )ii iii⇒ . Lấy m M∈ . Giả sử ( )ann m A R+ ≠ . Khi đó tồn tại một ideal tối đại Q của R sao cho ( )ann m A Q+ ⊆ . Vì A Q⊆ nên ( ):M M M Mλ λ= ( )AM QM λ⊆ ⊆ ∈Λ do đó M QM= . M M λ λ∈Λ = ∑ nên tồn tại tập con hữu hạn 'Λ của Λ và các phần tử ( )x Mλ λ λ∈ ∈Λ sao cho ' .m xλ λ∈Λ = ∑ Lấy 'λ ∈Λ . Tồn tại một ideal B của R sao cho Rx BM λ= và vì vậy ( ) ( ): :Rx BM B M M M B M M QM Qxλ λ λ λ λ= = = = . ra tồn tại q Qλ ∈ thỏa ( )1 0q xλ λ− = . Đặt ( ) ' 1 1q q Qλ λ∈Λ = − − ∈∏ thì ( )1 0q m− = nên ( )1 q ann m Q− ∈ ⊆ , mâu thuẫn với Q là ideal thực sự. Vậy ( )ann m A R+ = . ( ) ( )iii iv⇒ . Lấy P là một ideal tối đại của R . Giả sử M không là P - xoắn. Khi đó tồn tại m M∈ sao cho ( )ann m P⊆ . Theo ( )iii A⊈P nên tồn tại λ ∈Λ sao cho ( ):M Mλ ⊈P . Do đó tồn tại p P∈ thỏa ( )1 p M M λ− ⊆ . Nếu M λ là P - xoắn thì M cũng là P - xoắn. Ngược lại, Định lý 2.1.5 cho ta M λ là P - cyclic, nghĩa là tồn tại y M λ∈ và 'p P∈ sao cho ( )1 'p M Ryλ− ⊆ . Trong trường hợp này ta được ( )( )1 ' 1p p M Ry− − ⊆ , thỏa yêu cầu. 20 ( ) ( )iv i⇒ . Theo Định lý 2.1.5. □ Hệ quả sau đây được suy ra trực tiếp từ định lý trên. Hệ quả 2.1.16. Cho ( )M λ λ ∈Λ là họ các module con nhân của R - module M thỏa ( ):R M Mλ λ∈Λ = ∑ . Khi đó M là module nhân. Đặc biệt, nếu K và L là các module con nhân của R - module M thỏa ( ) ( ): :R K L L K= + thì K L+ là module nhân. Hệ quả 2.1.17. Cho ( )M λ λ ∈Λ là họ các module con nhân hữu hạn sinh của R - module M thỏa M M λ λ∈Λ = ∑ và ( ):A M Mλ λ∈Λ = ∑ . Khi đó (i) M là module nhân nếu và chỉ nếu ( ) ( ) ,R ann M Aλ λ= + ∈Λ và (ii) M là module nhân hữu hạn sinh nếu và chỉ nếu tồn tại một tập con hữu hạn 'Λ của Λ sao cho ( ) ' :R M Mλ λ∈Λ = ∑ . Chứng minh. ( )i được suy ra trực tiếp từ Định lý 2.1.15. ( )ii Nếu M là hữu hạn sinh thì tồn tại một tập con hữu hạn 'Λ của Λ sao cho ' M M λ λ∈Λ = ∑ . Theo định lý trên, ( ) ( ) ' :R ann m M Mλ λ∈Λ = + ∑ với bất kỳ m M∈ . Vì M là hữu hạn sinh nên ta có ( ) ( ) ' :R ann M M Mλ λ∈Λ = + ∑ Lại có ( ) ( ):ann M M Mλ⊆ với bất kỳ 'λ ∈Λ . Suy ra ( ) ' :R M Mλ λ∈Λ = ∑ . Ngược lại, giả sử ( ) ' :R M Mλ λ∈Λ = ∑ với tập con hữu hạn nào đó 'Λ của Λ . Theo định lý trên M là module nhân . Hơn nữa ta có ( ) ' ' :M RM M M M R M Mλ λ λ λ∈Λ ∈Λ = = ⊆ = ⊆∑ ∑ , 21 và do đó ' M M λ λ∈Λ = ∑ , hay M hữu hạn sinh. □ Hệ quả 2.1.18. Cho n là số nguyên dương và ( ), 1iK L i n≤ ≤ là các module con của R - module M thỏa ( ), 1iK K L i n+ ≤ ≤ và 1 ... nL L∩ ∩ đều là các module nhân. Khi đó ( )1 ... nK L L+ ∩ ∩ là module nhân. Chứng minh. Đặt 1 ... nL L L= ∩ ∩ . Giả sử P là một ideal tối đại của R thỏa K L+ không là P - xoắn. Với mỗi 1 i n≤ ≤ module con iK L+ không là P - xoắn nên theo Định lý 2.1.15 ( ) ( ): :i iK L L K+ ⊈P . Thật vậy, giả sử ngược lại ( ) ( ): :i iK L L K P+ ⊆ theo Định lý 2.1.15 ta có ( )( ): i iK K L K L= + , ( )( ):i i iL L K K L= + nên ( ) ,iK P K L⊆ + ( )( ):i i iL L K K L= + , suy ra ( )i iK L P K L+ = + hay iK L+ là P - xoắn, mâu thuẫn. Do ( ) ( ): :iK L K L⊆ nên ( ) ( ): :iK L L K+ ⊈P ( )1 i n≤ ≤ . Do đó ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1: : : : ... :nK L L K K L L K L K + = + ∩ ∩ ⊈P Suy ra tồn tại phần tử p P∈ sao cho ( ) ( ) ( )1 : :p K L L K− ∈ ∪ và vì thế ( )( )1 p K L K− + ⊆ hay ( )( )1 p K L L− + ⊆ . Theo Hệ quả 2.1.6 K L+ là module nhân. □ 2.2. Một số tính chất của module nhân Định lý 2.2.1. Cho R là vành giao hoán có đơn vị và M là R - module nhân khác không. Khi đó (i) Mọi module con thực sự của M được chứa trong một module con tối đại của M , và (ii) K là module con tối đại của M nếu và chỉ nếu tồn tại một ideal tối đại P của R sao cho K PM M= ≠ . Chứng minh. ( )i Lấy N là module con thực sự của M . Ta có /M N là module nhân khác không. Do đó ta chỉ cần chứng minh bất kỳ module nhân khác không M đều chứa một module con tối đại. Lấy 0 m M≠ ∈ , ( )I ann m= là ideal thực sự của R nên I P⊆ với P 22 là ideal tối đại của R . Nếu M PM= thì Rm Pm= nên ( )1 0p m− = với p P∈ . Suy ra ( )1 p I P− ∈ ⊆ , mâu thuẫn. Vậy M PM≠ . /M PM là module nhân trên trường /R P ( do ( )/P ann M PM⊆ ) nên /M PM là module đơn. Vậy PM là module con tối đại của M . ( )ii Theo ( )i nếu P là ideal tối đại của R và M PM≠ thì PM là module con tối đại của M . Nếu K là module con tối đại của M , đặt ( )/Q ann M K= thì /M K là module đơn và Q là ideal tối đại của R thỏa ( )/K ann M K M QM= = . □ Cho M một R - module. Căn Jacobson của M , ký hiệu là ( )J M , được định nghĩa là giao của các module con tối đại của M . Từ định lý trên ta có hệ quả sau. Hệ quả 2.2.2. Cho N là một module con của R - module nhân M thỏa ( )M N J M= + . Khi đó M N= . Chứng minh. Giả sử M N≠ . N là module con thực sự của M nên theo Định lý 2.2.1 tồn tại module tối đại K thỏa N K⊆ . Khi đó ( )N J M K+ ⊆ , suy ra M K⊆ , mâu thuẫn với tính tối đại của K . Vậy M N= . □ Ta có một miêu tả cho căn Jacobson của M như sau : Cho M là một R module. Đặt ℳ ký hiệu cho họ các ideal tối đại của R . Định nghĩa ( )1P M ={P∈ℳ : }M PM≠ và ( )2P M ={P∈ℳ ( ): }ann M P⊆ Ta có ( ) ( )1 2P M P M⊆ , vì nếu Q∈ℳ và ( )ann M ⊈Q thì ( )R ann M Q= + do đó M QM= . Hơn nữa, nếu M là module nhân khác không thì ( )1P M là tập không rỗng theo Định lý 2.2.1. Ta định nghĩa ( ) ( ){ }1 1:J M P P P M= ∈ và ( ) ( ){ }2 2:J M P P P M= ∈ . Hiển nhiên ( ) ( ) ( )2 1J R J M J M⊆ ⊆ , với ( )J R là căn Jacobson của R , và nếu M là trung thành thì ( ) ( )2J R J M= . Định lý 2.2.3. Cho R là vành giao hoán có đơn vị và M là một R - module nhân. Khi đó 23 ( ) ( ) ( )1 2J M J M M J M M= = . Chứng minh. Giả sử 0M ≠ . Theo Hệ quả 2.1.11 và Định lý 2.2.1, ( ) ( ){ } ( ) ( )1 1 2:J M PM P P M J M M J M M= ∈ = ⊇ . Hơn nữa, cũng theo Hệ quả 2.1.11 ( ) ( ){ }2 2:J M M PM P P M= ∈ . Lấy ( )2Q P M∈ . Nếu M QM= thì ( )J M QM⊆ . Nếu M QM≠ thì ( )1Q P M∈ nên ( )J M QM⊆ . Trong cả hai trường hợp ( )J M QM⊆ , từ đó suy ra ( ) ( )2J M J M M⊆ . □ Định lý 2.2.4. Cho R là vành giao hoán có đơn vị và M là một R - module nhân với hữu hạn các module con tối đại. Khi đó M là cyclic. Chứng minh. Module ( )/M J M là tổng trực tiếp hữu hạn các module đơn, nên theo Định lý Trung Hoa về phần dư là module cyclic. Hệ quả 2.1.14 cho ta ( )/M J M là cyclic và theo Hệ quả 2.2.2 ta được M là cyclic. □ Hệ quả 2.2.5. Module nhân Artin là module cyclic. Chứng minh. Đặt S ký hiệu cho học các module con của M mà là giao hữu hạn của các module con tối đại. Theo giả thiết S có phần tử tối tiểu giả sử có dạng 1 2...PM P M∩ ∩ với cac ideal tối đại iP thỏa ( )1iM PM i n≠ ≤ ≤ . Lấy K là module con tối đại của M . Theo Định lý 2.2.1 tồn tại ideal tối đại P của R thỏa K PM= . Ta có 1 1... ...n nPM P M PM P M PM∩ ∩ = ∩ ∩ ∩ nên ( )1 ... nP P M PM∩ ∩ ⊆ . Nếu 1 ... nA P P= ∩ ∩ ⊈P thì R A P= + và do đó M AM PM PM K= + ⊆ = , 24 mâu thuẫn. Vì thế A P⊆ nên theo định lý tránh nguyên tố tồn tại i với 1 i n≤ ≤ thỏa iP P⊆ . Suy ra iP P= do iP tối đại và do đó iK PM= . Vậy M chỉ có hữu hạn các module con tối đại nên theo Định lý 2.2.4 M là cyclic. Định lý 2.2.6. Cho M là một R - module nhân trung thành. Khi đó R là vành Artin nếu và chỉ nếu M là module Artin. Chứng minh. Giả sử R là vành Artin, khi đó R chỉ chứa hữu hạn các ideal tối đại. Theo Định lý 2.2.1 M chỉ chứa hữu hạn các module con tối đại, nên theo Định lý 2.2.4 M là cyclic. Giả sử ( )Nλ λ ∈Λ là họ các module con bất kỳ của M . Do M là module nhân nên ( )N I Mλ λ λ= ∈Λ . Ta được họ ( )Iλ λ ∈Λ các ideal của R và do tính Artin của R nên tồn tại phần tử tối tiểu Iµ . Giả sử N Nλ µ⊆ hay ta có I M I Mλ µ⊆ , nên I Iλ µ⊆ do M là module cyclic trung thành. Từ đó suy ra I Iλ µ= hay N Nλ µ= . Vậy Nµ là phần tử tối tiểu của họ ( )Nλ λ ∈Λ nên M là Artin. Ngược lại, giả sử M là Artin thì do M là cyclic nên ( )/R ann M M≅ hay R M≅ do M trung thành, từ đó suy ra tính Artin của vành R . □ Từ định lý trên ta thấy rằng, nếu M là module nhân trên vành R - Artin thì M là R - module cyclic, nên ( )/R ann M M≅ . Do ( )/R ann M cũng là Artin nên là vành Noether, suy ra M là module Noether. Vì thế mọi module nhân Artin là Noether và có độ dài hữu hạn. Chúng ta đã xậy dựng một sự tương ứng giữa các module con tối đại của một module nhân và các ideal tối đại của một vành. Tiếp theo, ta sẽ tìm hiểu sự tương ứng với các ideal nguyên tố. Bổ đề 2.2.7. Cho P là một ideal nguyên tố của vành R và M là một R - module nhân trung thành. Khi đó, nếu ax PM∈ với ,a R x M∈ ∈ thì a P∈ hoặc x PM∈ . Chứng minh. Giả sử a P∉ . Đặt { }:K r R rx PM= ∈ ∈ . Giả sử K R≠ . Khi đó tồn tại một ideal tối đại Q của R thỏa K Q⊆ . Rõ ràng ( )Qx T M∉ . Theo Định lý 2.1.5 M là Q - cyclic, nghĩa là tồn tại ,m M q Q∈ ∈ sao cho ( )1 q M Rm− ⊆ . Đặc biệt, ( )1 q x am− = và ( )1 q ax pm− = với s R∈ và p P∈ . Vì thế ( ) 0as p m− = . Ta có ( ) ( )1 0q ann m M −  =  25 suy ra ( ) ( )1 0q ann m− = do M trung thành, suy ra ( ) ( )1 1q as q p P− = − ∈ . Nhưng P K Q⊆ ⊆ và ( ), 1a P q P∉ − ∉ nên s P∈ và ( )1 q x− = sm PM∈ . Do đó 1 q K Q− ∈ ⊆ , mâu thuẫn. Vậy K R= và x PM∈ . □ Định nghĩa 2.2.8. Cho R là vành và M là một R - module. Một module con N của M được gọi là module con nguyên tố nếu rm N∈ , với ,m M r R∈ ∈ , thì m N∈ hoặc ( ):r N M∈ . Bổ đề 2.2.7 có thể được phát biểu lại như sau: Nếu M là một module nhân trung thành và P là một ideal nguyên tố của vành R thỏa M PM≠ thì PM là module con nguyên tố của M . Hệ quả 2.2.9. Cho N là một module con thực sự của R - module nhân M . Khi đó các phát biểu sau là tương đương : (i) N là module con nguyên tố. (ii) ( ):N M là ideal nguyên tố của R . (iii) N PM= với P là ideal nguyên tố của R thỏa ( )ann M P⊆ . Chứng minh. ( ) ( )i ii⇒ . Lấy 1 2,r r R∈ thỏa ( )1 2 :r r N M∈ , giả sử ( )1 :r N M∉ . Khi đó tồn tại m M∈ sao cho 1r m N∉ . Ta có ( )2 1 1 2r r m r r m N= ∈ , do N là module con nguyên tố và 1r m N∉ nên ( )2 :r N M∈ . ( ) ( ) ( ) ( ),ii iii iii i⇒ ⇒ là hiển nhiên theo Bổ đề 2.2.7. □ Cho M là R - module nhân khác không, khi đó ( )ann M R≠ nên tồn tại ideal tối đại của R . Theo Định lý 2.2.1 tồn tại module con tối đại PM của M , trong đó P là ideal tối đại của R chứa ( )ann m với 0 m M≠ ∈ . Do đó tồn tại P là ideal tối đại của R thỏa ( )ann M P⊆ và M PM≠ . Theo Hệ quả 2.2.9 PM là module con nguyên tố của M . Vậy luôn tồn tại module con nguyên tố của M . Căn của module con N được định nghĩa là giao của tất cả các module con nguyên tố của M chứa N , ký hiệu là .rad N 26 Định lý 2.2.10. Cho R là vành giao hoán có đơn vị, N là module con thực sự của R - module M và ( ):A N M= . Khi đó ( ) .rad N A M= Chứng minh. Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử M là trung thành. Đặt ℘ký hiệu cho họ tất cả các ideal nguyên tố của R sao cho A P⊆ . Nếu B A= thì P B P ∈℘ =  . Theo Định lý 2.1.10 P BM PM ∈℘ =  . Lấy P∈℘. Nếu M PM= thì rad N PM⊆ . Nếu M PM≠ thì N AM PM= ⊆ do đó rad N PM⊆ theo Hệ quả 2.2.9. Suy ra rad N BM⊆ . Ngược lại, giả sử K là một ideal nguyên tố của M chứa N . Theo Hệ quả 2.2.9 tồn tại ideal nguyên tố Q của R sao cho K QM= . Do AM N K QM M= ⊆ = ≠ nên A Q⊆ theo Bổ đề 2.2.7, vì thế B Q⊆ , cho nên BM K⊆ . Suy ra BM rad N⊆ . Vậy ( )rad N A M= . □ Với một lớp các module con đặc biệt khác thì ta cũng có một sự tương ứng giữa nó và ideal đại diện. Định nghĩa 2.2.11. Một module con N của R - module M được gọi là module con cốt yếu (essential submodule) nếu 0N K∩ ≠ với mọi module con khác không K của .M Một ideal cốt yếu của R là module con cốt yếu của R - module R . Định lý 2.2.12. Cho M là một R - module nhân trung thành. Một module con N của M là cốt yếu nếu và chỉ nếu tồn tại một ideal cốt yếu E của R thỏa N EM= . Chứng minh. Giả sử N là module con cốt yếu của M . Khi đó tồn tại ideal A của R thỏa N AM= . Giả sử 0A B∩ = với B là ideal nào đó của R . Theo Định lý 2.1.10 ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 0N BM AM BM A B M∩ = ∩ = ∩ = , do đó 0BM = . Do M trung thành nên 0B = . Suy ra A là ideal cốt yếu của R . Ngược lại, giả sử E là ideal cốt yếu của R thỏa N EM= . Lấy K là module con của M sao cho ( ) 0EM K∩ = . Khi đó tồn tại một ideal C của R thỏa K CM= và vì thế ( ) ( ) 0E C M EM K∩ ⊆ ∩ = . Vì M là trung thành nên 0E C∩ = và vì thế 0C = . Suy ra N EM= là module con cốt yếu của M . □ 27 2.3. Module nhân hữu hạn sinh Định lý 2.3.1. Cho R là vành giao hoán có đơn vị, M là một R - module nhân với linh hóa tử là ( )ann M và ,A B là các ideal của R . Khi đó AM BM⊆ nếu và chỉ nếu ( )A B ann M⊆ + hay ( )( )( ):M B ann M A M= + . Chứng minh. Chiều đảo là hiển nhiên. Ngược lại, giả sử AM BM⊆ . Giả sử ( ) 0ann M = và A⊈B . Ta có ( ) ( ): : a X B A B Ra ∈ =  , với X là tập tất cả các phần tử a A∈ và a B∉ . Do M là module nhân nên ( ) ( ){ }: : a X B A M B Ra M ∈ =  . Ta cần chứng minh ( ):M B Ra M= với mỗi a X∈ . Lấy a X∈ . Đặt ( ) { }: :C B Ra r R ra B= = ∈ ∈ , do a B∉ nên C R≠ . Đặt ℘ là họ các ideal nguyên tố của R chứa C và đặt P S P ∈℘ =  . Giả sử M PM≠ với P∈℘ nào đó, khi đó tồn tại phần tử \x M PM∈ . M là module nhân nên Rx DM= với ideal D nào đó của R và hiển nhiên D P⊄ . Suy ra cM Rx⊆ với c R∈ mà c P∉ . Ta có caM cAM cBM BcM Bx⊆ ⊆ = ⊆ suy ra cax bx= với b B∈ . Suy ra ( ) 0ca b x− = và vì thế ( ) 0c ca b M− = . Do M là trung thành nên 2c a cb B= ∈ . Do đó 2c C P∈ ⊆ , mâu thuẫn. Vậy M PM= với mọi ideal nguyên tố P∈℘. Ta có P P M PM P M SM ∈℘ ∈℘   = = =      . Lấy m M∈ , tồn tại ideal I của R thỏa Rm IM= và vì thế Rm Sm= . Tồn tại s S∈ sao cho 2 ...m sm s m= = = , do đó m CM∈ (vì ks C∈ với k nào đó). Vậy .M CM= 28 Trở lại với trường hợp tổng quát. Đặt 'R ký hiệu cho vành thương ( )/R ann M , ta có M chính là 'R - module nhân trung thành thỏa ' 'A M B M⊆ với ( )( ) ( )' /A A ann M ann M= + và ( )( ) ( )' /B B ann M ann M= + . Bằng lập luận bên trên ta nhận được ' 'A B⊆ hay ( )' : 'M B A M= . Mà ( ) ( ) ( )( ) ( ){ }' : ' :B A r ann M r R va r A ann M B ann M= + ∈ + ⊆ + , suy ra ( ) ( )( )( )' : ' :B A M B ann M A M= + . Ta có điều cần chứng minh. □ Hệ quả 2.3.2. Cho A và B là các ideal của vành R và M là R - module nhân hữu hạn sinh. Khi đó AM BM⊆ nếu và chỉ nếu ( )A B ann M⊆ + . Chứng minh. Theo định lý giả sử ( )( )( ):M B ann M A M= + . Do M hữu hạn sinh nên theo Định lý 1.2.8 tồn tại ( )( )( ):r B ann M A∈ + sao cho ( )1 0r M− = , từ đó ( )( )( ) ( ):R B ann M A ann M= + + . Vì thế ( )A RA B ann M= ⊆ + . □ Định lý 2.3.3. Cho M là R - module nhân trung thành. Khi đó các phát biểu sau là tương đương. (i) M là hữu hạn sinh. (ii) Nếu A và B là các ideal của R thỏa AM BM⊆ thì A B⊆ . (iii) Với mỗi module con N của M tồn tại duy nhất ideal I của R thỏa N IM= . (iv) M AM≠ với mọi ideal thực sự A của R . (v) M PM≠ với mọi ideal tối đại P của A. Chứng minh. ( ) ( )i ii⇒ . Theo Hệ quả 2.3.2. ( ) ( ) ( ) ( )ii iii iv v⇒ ⇒ ⇒ . Hiển nhiên. ( ) ( )v i⇒ . Giả sử M PM≠ với mọi ideal P của R . Lấy Q là ideal tối đại của R . Lấy m M∈ , m QM∉ . Khi đó Rm BM= với B là ideal của R . Hiển nhiên B⊈Q . Do đó 29 ( ):Rm M ⊈Q . Suy ra ( ): m M R Rm M ∈ = ∑ . Tồn tại số nguyên dương n và các phần tử ( ), :i i im M r Rm M∈ ∈ thỏa 11 ... nr r= + + . Nếu x M∈ thì 1 ... nx r x r x= + + 1 ... nRm Rm∈ + + . Vậy 1 ... nM Rm Rm= + + . □ Như vậy, sự tồn tại của ideal đại diện của module con sẽ là duy nhất nếu R - module M là module nhân trung thành hữu hạn sinh. Mệnh đề 2.3.4. Cho M là R - module nhân trung thành trên miền nguyên R . Khi đó M hữu hạn sinh. Chứng minh. Giả sử M AM= với A là một ideal thực sự của R . Lấy 0 m M≠ ∈ . Vì M là module nhân nên Rm Am= . Do đó tồn tại a A∈ thỏa ( )1 0a m− = . Suy ra ( )( ) ( ) ( )1 : 1 1 0.a Rm M M a Rm R a m− = − = − = Vì M trung thành nên ( )( )1 : 0a Rm M− = . Do M là miền nguyên và ( ): 0Rm M ≠ nên 1 0a− = . Dẫn đến 1 A∈ hay A R= , mâu thuẫn. Do đó M AM≠ theo Định lý 2.3.3 M là R - module hữu hạn sinh. □ Nếu I là ideal nhân của vành R và M là R - module nhân thì IM là R - module nhân. Mặt khác nếu I là ideal bất kỳ của vành R mà không là ideal nhân thì /M R I= là module nhân nên ( )/ 0I R I = cũng là ideal nhân. Hơn nữa, nếu B A⊆ là các ideal của vành R thỏa B là ideal nhân lũy đẳng (chẳng hạn B sinh bởi các phần tử lũy đẳng) thì 2B B AB= = và do đó cả B và AB đều là ideal nhân, trong trường hợp này A không nhất thiết là ideal nhân, chú ý rằng B có linh hóa tử bằng không. Vì thế nếu M là R - module nhân hữu hạn sinh hoặc là trung thành và IM là ideal module nhân thì nói chung không suy ra được I là ideal nhân. Kết quả sau đây cho thấy rằng M phải thỏa cả hai điều kiện vừa hữu hạn sinh vừa trung thành thì IM là module nhân mới suy ra I là ideal nhân. Định lý 2.3.5. Cho R là vành giao hoán có đơn vị và M là R - module nhân trung thành hữu hạn sinh. Giả sử A là ideal của R và N là module con của M . Khi đó (i) N là module nhân nếu và chỉ nếu ( )( ) ( ): : :K N N M K M= với mọi module con K của N , 30 (ii) ( ):I IM M= với mọi ideal I của R , (iii) N là module nhân nếu và chỉ nếu ( ):N M là ideal nhân, và (iv) AM là module nhân nếu và chỉ nếu A là ideal nhân. Chứng minh. ( )i Giả sử N là module nhân. Nếu K là module con của N thì ( ) ( ): , :K K M M K K N N= = và ( ):N N M M= , suy ra ( )( ): :K K N N M M= ( ):K M M= . Theo Hệ quả của Định lý 2.3.1 ta có ( )( ) ( ): : :K N N M K M= . Ngược lại giả sử K là module con của N thỏa ( )( ) ( ): : :K N N M K M= . Khi đó ( ) ( )( ) ( ): : : :K K M M K N N M M K N N= = = . Suy ra N là module nhân. ( )ii Nếu I là ideal của R thì ( ):IM IM M M= suy ra ( ):I IM M= theo Định lý 2.3.1 và Hệ quả 2.3.2. ( )iii . Giả sử N là một module nhân. Lấy B là ideal bất kỳ chứa trong :N M . Khi đó BM N⊆ và vì thế ( ) ( )( ): : :B BM M BM N N M= = theo ( )i và ( )ii . Suy ra ( ):N M là ideal nhân. Ngược lại, giả sử ( ):N M là ideal nhân. Lấy K là module con của N thì ( ):K K M M= . ( ):K M là ideal của R chứa trong ( ):N M nên tồn tại ideal I của R thỏa ( ) ( ): :K M I N M= . Khi đó ( ):K I N M M IN= = hay N là module nhân. ( )iv Suy ra từ ( )ii và ( )iii . □ Hệ quả 2.3.6. Cho M là module nhân hữu hạn sinh thỏa ( )ann M Re= với e là phần tử lũy đẳng và N là module con của M . Khi đó N là module nhân nếu và chỉ nếu ( ):N M là ideal nhân. Chứng minh. Đặt S Re= và ( )1T R e= − , khi đó R S T= ⊕ và M là T - module trung thành hữu hạn sinh. Theo Mệnh đề 2.4.3 ( ) ( ) ( ): :N M N M S T= ∩ ⊕ = ( ){ } ( ){ }: :N M S N M T∩ ⊕ ∩ ( ){ }:S N M T= ⊕ ∩ . Nếu N là R - module nhân thì N cũng là T - module nhân, ( ):N M T∩ là ideal nhân của T và vì thế ( ):N M là ideal nhân của R . □ 31 Hệ quả trên sẽ không còn đúng nữa nếu bỏ đi điều kiện ( )ann M được sinh bởi phần tử lũy đẳng. Chẳng hạn với R là vành bất kỳ chứa các phần tử a và b thỏa Ra Rb+ không là ideal nhân. Đặt /M R Rb= và ( ) /N Ra Rb Rb= + , thì cả M và N đều là cyclic nên là module nhân. Ta có ( ) ( ): /M N ann M N= = ( )( )/ann R Ra Rb+ = Ra Rb+ không là ideal nhân. Câu hỏi đặt ra là các module nhân hữu hạn sinh có linh hóa tử sinh bởi một phần tử lũy đẳng sẽ có cấu trúc như thế nào. Định lý 2.3.7. Cho R là vành giao hoán có đơn vị và M là module nhân hữu hạn sinh thỏa ( )ann M Re= với e là phần tử lũy đẳng trong R . Khi đó M là R - module xạ ảnh. Chứng minh. Giả sử M là trung thành hay 0e = . Theo Định lý 2.1.15 Hệ quả 2.1.17 tồn tại số nguyên dương n và các phần tử ( )1im M i n∈ ≤ ≤ sao cho ( ) ( )1 : ... :nR Rm M Rm M= + + . Khi đó tồn tại các phần tử ( )1ir R i n∈ ≤ ≤ thỏa ( )1i ir M Rm i n⊆ ≤ ≤ và 11 ... .nr r= + + Vì thế 2 21 11 ... n ns r s r= + + với ( )1is R i n∈ ≤ ≤ . Với mỗi 1 i n≤ ≤ xây dựng ánh xạ :i M Rϕ → như sau: với mỗi m M∈ , ( )i i im s raϕ = trong đó a R∈ là phần tử thỏa i irm am= . Giả sử i iam bm= với b R∈ . Khi đó ( ) 0ir a b M− = và vì thế ( ) 0ir a b− = . Từ đó suy ra iϕ được định nghĩa tốt và rõ ràng iϕ là R - đồng cấu với mỗi 1 i n≤ ≤ . Với mỗi m M∈ , ( ) ( )2 21 1 1 11 ... ...n n n nm m s r m s r m m m m mϕ ϕ= = + + = + + . Theo bổ đề cơ bản Dual M là xạ ảnh. Trở lại trường hợp tổng quát giả sử ( )ann M Re= . Đặt S Re= và ( )1T R e= − thì R S T= ⊕ và M là T - module nhân trung thành hữu hạn sinh. Lập luận như trên suy ra M là T - module xạ ảnh và vì thế M là R - module xạ ảnh. □ 2.4. Họ hữu hạn và vô hạn các module con của module nhân Ví dụ 2.4.1. Cho { }5 5 : ,R a b a b = = + ∈   . Đặt I ký hiệu cho ideal ( )2 5 1R R+ − của R . Khi đó 32 ( )( ) ( )( )5 1 : 5 1 : 2R I R R I− = − = và ( )( ) ( )25 1 : 4 2 5 1 2I R I I R R I− = = + − = . Nếu ( )( )5 1 5 1 :I R I− ∈ − thì ( ) ( ) ( )5 1 5 4 5 2 5 1a b c d− = + + + − với , , , .a b c d ∈ Vì thế ( ) ( )5 1 4 2 10 4 2 2 5a c d b c d− = − + + + − , do đó 1 4 2 10a c d− = − + và 1 4 2 2b c d= + − , dẫn đến mâu thuẫn ( )2 4 3a b c d= − + + − . Vì vậy ( )( )5 1 5 1 :I R I− ∉ − . Hay ta có ( ) ( )( )5 1 5 1 :R I R I− ≠ − , nên I không là ideal nhân. Hơn nữa ( ) ( )( )2 5 1 5 1 : 2 4 ,R R I R I I∩ − = − = do đó ( )2 5 1R R∩ − không là ideal nhân. Mục này sẽ nêu điều kiện để tổng và giao của một họ module nhân là module nhân. Mệnh đề 2.4.2. Cho K và L là các module con của R - module M . Khi đó các phát biểu sau là tương đương: (i) ( ) ( ): :R K L L K= + . (ii) ( )( ) ( ) ( ): : :K L N K N L N+ = + với mọi module con N của M . (iii) ( )( ) ( ) ( ): : :N K L N K N L∩ = + với mọi module con N của M . 33 Trong trường hợp này ( ) ( ) ( )N K L N K N L∩ + = ∩ + ∩ với bất kỳ module con N của M . Hơn nữa nếu K L+ là hữu hạn sinh và ( ) ( ) ( )N K L N K N L∩ + = ∩ + ∩ với mọi module con N của M thì ( ) ( ): :R K L L K= + . Chứng minh. ( ) ( )i ii⇒ . Nếu ( ) ( ): :R K L L K= + thì 1 a b= + với ( ):a K L∈ , ( ):b L K∈ . Lấy N là module con bất kỳ của M . Hiển nhiên ta có ( ) ( ) ( )( ): : :K N L N K L N+ ⊆ + . Lấy ( )( ):r K L N∈ + , thì r ra rb= + , ( )raN a K L K⊆ + ⊆ nên ( ):ra K N∈ , tương tự ( ):rb L N∈ . Do đó ( ) ( ): :r K N L N∈ + . Suy ra ( )( ) ( ) ( ): : :K L N K N L N+ = + . ( ) ( )ii i⇒ . Nhận được bằng cách thay N K L= + trong ( )ii . ( ) ( )i iii⇒ . Lại giả sử 1 a b= + với ( ):a K L∈ , ( ):b L K∈ . Lấy N là module con bất kỳ của M . Rõ ràng ( ) ( ) ( )( ): : :N K N L N K L+ ⊆ ∩ . Lấy ( )( ):s N K L∈ ∩ . Khi đó s sa sb= + , ( )sbK s K L N⊆ ∩ ⊆ nên ( ):sb N K∈ , tương tự ( ):sa N L∈ . Do đó ( ) ( ): :s N K N L∈ + . Vậy ( )( ) ( ) ( ): : :N K L N K N L∩ = + . ( ) ( )iii i⇒ . Nhận được bằng cách thay N K L= ∩ trong ( )iii . Giả sử ta có ( )i , khi đó 1 a b= + với , . Lấy là module con bất kỳ của . Hiển nhiên Lấy , thì . Do nên và do suy ra và tương tự . Vì thế . Vậy . Giả sử với mọi module con của và là hữu hạn sinh. Khi đó tồn tại một số nguyên dương và các phần tử sao cho . Lấy . Với bất kỳ , ( ):a K L∈ ( ):b L K∈ N M ( ) ( ) ( )N K N L N K L∩ + ∩ ⊆ ∩ + ( )x N K L∈ ∩ + x ax bx= + x N∈ ax N∈ ax aK aL K K K∈ + ⊆ + = ax N K∈ ∩ bx N L∈ ∩ ( ) ( )x N K N L∈ ∩ + ∩ ( ) ( ) ( )N K L N K N L∩ + = ∩ + ∩ ( ) ( ) ( )N K L N K N L∩ + = ∩ + ∩ N M K L+ n ( ), 1i ix K y L i n∈ ∈ ≤ ≤ ( ) ( )1 1 ... n nK L R x y R x y+ = + + + + y L∈ 1 i n≤ ≤ 34 , nên tồn tại và sao cho và Vì thế và ( do ). Từ đó và do đó . Đặc biệt Vì vậy . □ Mệnh đề 2.4.3. Cho và là các ideal của vành giao hoán thỏa được sinh bởi các phần tử lũy đẳng. Khi đó với mọi ideal bất kỳ của . Chứng minh. Lấy là một ideal của và . Khi đó tồn tại và sao cho . Tồn tại số nguyên dương và các phần tử lũy đẳng và các phần tử sao cho . Đặt . Khi đó nên . Do đó . Suy ra ( ) ( ) ( ).A I J A I A J∩ + = ∩ + ∩ □ Mệnh đề 2.4.4. Cho và là các module con của - module sao cho và đều là các module nhân. Khi đó là module nhân. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )i i i iR x y R x y K L R x y K R x y L   + = + ∩ + = + ∩ + + ∩    r R∈ z L∈ ( )i ix y r x y z+ = + + ( )ir x y K+ ∈ ( )1 ir x L− ∈ ry K∈ ( ),i irx K r x y K∈ + ∈ ( ) ( ) ( ): : 1iR K Ry L Rx i n= + ≤ ≤ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1: : ... : : :nR K Ry L Rx L Rx K Ry K L = + ∩ ∩ = +  ( ) ( ) ( ): : 1iR K Ry L K i n= + ≤ ≤ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1: ... : : : :nR K Ry K Ry L K K L L K = ∩ ∩ + = +  I J R J ( ) ( ) ( )A I J A I A J∩ + = ∩ + ∩ A R A R ( )a A I J∈ ∩ + b I∈ c J∈ a b c= + n ie J∈ ( )1ir R i n∈ ≤ ≤ 1 1 ... n nc re r e= + + ( ) ( )11 1 ... 1 ne e e J= − − − ∈ ( )1 0e c− = ( ) ( )1 1e a e b A I− = − ∈ ∩ ( ) ( ) ( )1a e a ea A I A J= − + ∈ ∩ + ∩ 1N 2N R M 1 2,N N 1 2N N+ 1 2N N∩ 35 Chứng minh. Lấy là một ideal tối đại của thỏa không là - xoắn. Khi đó và cũng không là - xoắn. Theo Định lý 2.1.5 và Định lý 2.1.15 tồn tại và sao cho , và . Giả sử , khi đó và , hay là - cyclic. Tương tự cũng là - cyclic nếu . Theo Định lý 2.1.5 là module nhân. □ Phần tiếp theo sẽ xây dựng một số tính chất của họ hữu hạn các module con của một - module thỏa điều kiện là module nhân với mọi . Sử dụng các tính chất này, ta sẽ đưa ra điều kiện để tổng và giao của họ hữu hạn các module nhân là module nhân. Mệnh đề 2.4.5. Cho R là một vành và ( )1iN i n≤ ≤ là họ hữu hạn các module con của R - module M sao cho ( ) ( ): :i j j iN N N N R+ = với mọi i j< . Khi đó (i) ( ) ( ) 1 : : n i i S K N K = = ∑ với mọi module con K của M , (ii) ( ) 1 : n i i N S R = =∑ , (iii) ( ) ( ) 1 : : n i i K N K N = = ∑ với mọi module con K của M , (iv) ( ) 1 : n i i N N R = =∑ , (v) ( ) 1 n i i K S K N = = ∑  với mọi module con K của M , (vi) ( ) 1 n i i K N K N = + = +  với mọi module con K của M , (vii) 1 n l l IN IN = =  với mọi ideal I của R . P R 1 2N N∩ P 1 2,N N 1 2N N+ P 1 2 1 2, ,x N y N z N N∈ ∈ ∈ ∪ 1 2, ,p p p P∈ ( )1 11 p N Rx− ⊆ ( )2 21 p N Ry− ⊆ ( )( )1 21 p N N Rz− + ⊆ 1z N∈ ( ) 1 21 p y N N− ∈ ∩ ( )( )( ) ( )2 1 21 1 1p p N N R p y− − ∩ ⊆ − 1 2N N∩ P 1 2N N∩ P 2z N∈ 1 2N N∩ iN R M i jN N+ i j< 36 Chứng minh. Ta chứng minh ( )i bằng quy nạp theo n . Với 2n = công thức đúng theo Mệnh đề 2.4.2. Giả sử kết quả đúng với 1n − , nghĩa là với mọi module con K của M , ( ) ( ): :i j j i S K N K ≠ = ∑ với mọi 1 i n≤ ≤ . Giả sử K là module con của M . Hiển nhiên ( ) ( ) 1 : : n l l N K S K = ⊆∑ . Theo Bổ đề 1.2.11 tồn tại ( ):i ix S S∈ sao cho 1 1 n i i x = = ∑ . Lấy ( ):z S K∈ . Khi đó 1 n i i z zx = = ∑ và i i izx K x S S⊆ ⊆ với mọi 1 i n≤ ≤ . Ta có ( ) ( ) 1 1 : : n n i i i i z S K N K = = ∈ =∑ ∑ suy ra ( ) ( ) 1 : : n i i S K N K = ⊆ ∑ . Vậy ( )i đã được chứng minh. ( )ii Thay K S= trong ( )i . ( )iii Chứng minh hoàn toàn tương tự ( )i . ( )iv Thay K N= trong ( )iii . ( )v Lấy K là module con của M . Hiển nhiên ( ) 1 n i i K N K S = ⊆∑   . Theo ( )ii , tồn tại ( ):i ix N S∈ sao cho 1 1 n i i x = = ∑ . Lấy u K S∈  . Khi đó 1 n i i u ux = = ∑ , và i iux K N∈  với mọi 1 i n≤ ≤ . Vì thế ( ) 1 n i i u K N = ∈∑  , và do đó ( ) 1 n i i K S K N = ⊆ ∑  . ( )vi Giả sử K là module con của M . Hiển nhiên ( ) 1 n i i K N K N = + ⊆ +  . Theo ( )iv tồn tại ( ):i ix N N∈ sao cho 1 1 n i i x = = ∑ . Lấy ( ) 1 n i i v K N = ∈ +  khi đó i iv k n= + với ik K∈ và 37 i in N∈ với mọi 1 i n≤ ≤ . Do đó i i i i ix v x k x n K N= + ∈ + , nên 1 n i i v x v K N = = ∈ +∑ . Vì thế ( ) 1 n i i K N K N = + ⊆ +  . ( )vii Lấy I là một ideal của R . Hiển nhiên 1 n l l IN IN = ⊆  . Theo ( )vi , tồn tại ( ):i ix N N∈ sao cho 1 1 n i i x = = ∑ . Lấy 1 n l l y IN = ∈  . Khi đó ly IN∈ với mọi 1 l n≤ ≤ . Vì thế 1 n lk lk k y u n = = ∑ với lku I∈ và lk ln N∈ với mọi 1 l n≤ ≤ và 1 k m≤ ≤ . Từ đó ta có ( ) 1 1 1 n m n l lk lk l l k l y yx u n x = = = = =∑ ∑∑ . Nhưng lk ln x N∈ và do đó ( )lk lk lu n x IN∈ với mọi 1 l n≤ ≤ và 1 k m≤ ≤ . Suy ra y IN∈ hay ta có 1 n l l IN IN = ⊆  . □ Bổ đề 2.4.6. Cho M là một R module nhân và ,I J là các ideal của R . Khi đó IM JM⊆ nếu và chỉ nếu ( )I J ann m⊆ + với mọi m M∈ . Chứng minh. Giả sử ,I J là các ideal của R thỏa IM JM⊆ . Theo Định lý 2.3.1 ( )I J ann M⊆ + và ta có ( ) ( )I J ann M J ann m⊆ + ⊆ + hay ( )( )( ):M J ann M I M= + . Lấy m M∈ . Khi đó Rm AM= với A là ideal nào đó của R . Ta có ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) : : : , Rm AM A J ann M I M J ann M I AM J ann M I m = = + = + = + nên ( )( )( ) ( ):R J ann M I ann m= + + . Do đó ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) : . I RI J ann M I I ann m I J ann M ann m I J ann m = = + + ⊆ + + ⊆ + Chiều ngược lại là hiển nhiên. □ 38 Một R - module M được gọi là triệt tiêu yếu (weak-cancellation) nếu với mọi ideal I và J của R thỏa IM JM⊆ thì ( )I J ann M⊆ + . Theo Hệ quả 2.3.2 mọi module nhân hữu hạn sinh là module triệt tiêu yếu. Mọi module cyclic là triệt tiêu yếu, Thật vậy, giả sử M Rm= và IM JM⊆ . Lấy x I∈ , ta có xm IM JM Rm∈ ⊆ = nên tồn tại y J∈ thỏa xm ym= , suy ra ( ) ( )x y ann m ann M− ∈ = . Từ đó ( ) ( )x y x y J ann M= + − ∈ + . Hay ta có ( )I J ann M⊆ + . Hệ quả 2.4.7. Cho R là một vành và ( )Nλ λ ∈Λ là họ các module con của R - module M và S Nλ λ∈Λ = ∑ là module nhân. Khi đó (i) ( ):P P PN S Rλ λ∈Λ =∑ với mọi ideal tối đại P của R . (ii) ( ) ( ):N S ann a Rλ λ∈Λ + =∑ với mọi a S∈ . Đặc biệt, nếu K và L là các module con của R - module M thỏa K L+ là module nhân thì (i) ( ) ( ): :P P P P pK L L K R+ = với mọi ideal tối đại P của R . (ii) ( ) ( ) ( ): :K L L K ann a R+ + = với mọi a K L∈ + . Chứng minh. ( )i Do S là module nhân nên ( ):N N S Sλ λ= với mọi λ ∈Λ . Do đó ( ):S N S Sλ λ∈Λ = ∑ . Giả sử P là ideal tối đại của R . là module nhân, do là vành địa phương có duy nhất một ideal tối đại nên cũng có duy nhất một module con tối đại, theo Định lý 2.2.4 là module cyclic nên là module triệt tiêu yếu. Ta có nên . Nhưng với mọi . Vậy . PS PR PR PS PS ( ):P PPS N S Sλ λ∈Λ = ∑ ( ) ( ) ( ) ( ): :P P P P PPR N S ann S N S ann Sλ λ λ λ∈Λ ∈Λ = + ⊆ +∑ ∑ ( ) ( ):P P Pann S N Sλ⊆ λ ∈Λ ( ):P P PN S Rλ λ∈Λ =∑ 39 Ta có nên theo Bổ đề trên với mọi . □ Định lý 2.4.8. Cho là một vành giao hoán có đơn vị và là họ hữu hạn các module con của một - module thỏa là module nhân với mọi . Khi đó (i) với mọi , (ii) với mọi , (iii) với mọi module con của và với mọi , (iv) với mọi , (v) với mọi module con của và với mọi , (vi) với mọi , (vii) với mọi module con của , (viii) với mọi module con của , (ix) với mọi ideal của . Chứng minh. Do là module nhân với mọi , nên theo Hệ quả 2.4.7 ta có với mọi . Suy ra , ( )ii ( ):S N S Sλ λ∈Λ = ∑ ( ) ( ):N S ann a Rλ λ∈Λ + =∑ a S∈ R ( )1iN i n≤ ≤ R M i jN N+ i j< ( ) ( ) 1 : n i i S S ann a R = + =∑ a S∈ ( ) ( ) 1 : n i i N N ann a R = + =∑ a S∈ ( ) ( ) ( )( ) 1 : : mod n i i S K N K ann a = = ∑ K M a S∈ ( ) ( ) 1 : n i i N S ann a R = + =∑ a S∈ ( ) ( ) ( )( ) 1 : : mod n i i K N K N ann a = = ∑ K M a S∈ ( ) ( ) 1 : n i i N N ann a R = + =∑ a S∈ ( ) 1 n i i K S K N = = ∑  K M ( ) 1 n i i K N K N = + = +  K M 1 n l l IN IN = =  I R ( )i i jN N+ i j< ( ) ( ) ( ): :i j j iN N N N ann a R+ + = i ja N N∈ + ( ) ( )( ) ( ) 1 1 : : n n i j j i i j N N N N ann a R = = + + =∑∑ 40 Do đó theo Bổ đề 1.2.11 ta nhận được với mọi Lấy . Khi đó với . Vì thế , do đó với mọi . Chứng minh hoàn toàn tương tự như bằng cách áp dụng Bổ đề 1.2.11. Lấy là module con của . Ta chỉ cần chứng minh cho trường hợp , từ đó bằng quy nạp ta được kết quả cần chứng minh. Theo với mọi . Lấy . Hiển nhiên . Lấy . Khi đó với và . Tồn tại sao cho , , và . Do đó và và vì thế . Tương tự , hơn nữa nên suy ra . Thay trong ta được điều cần chứng minh. Chứng minh hoàn toàn tương tự như , sử dụng kết quả của . Thay trong ta được điều cần chứng minh. ( ) ( ) 1 : n i i S S ann a R = + =∑ ,k la N N k l∈ + < m S∈ kl k l m a < = ∑ kl k la N N∈ + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 : : : n n n i kl i kl i i i k l ik l R S S ann a S S ann Ra S S ann m = = < =<   = + = + ⊆ +    ∑ ∑ ∑ ∑ ( ) ( ) 1 : n i i S S ann m R = + =∑ m S∈ ( )ii ( )i ( )iii K M 2n = ( )i ( )( ) ( )( ) ( )1 1 2 2 1 2: :N N N N N N ann a R+ + + + = 1 2a N N∈ + 1 2a N N∈ + ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )1 2 1 2: : :N K N K ann a N N K ann a+ + ⊆ + + ( )( ) ( )1 2 :w N N K ann a∈ + + 1 2w w w= + ( )( )1 1 2 :w N N K∈ + ( )2w ann a∈ 1 2, ,x x z R∈ ( )( )1 1 1 2:x N N N∈ + ( )( )2 2 1 2:x N N N∈ + ( )z ann a∈ 1 21 x x z= + + ( )1 1 2 2w w x x z w= + + + ( )1 1 1 1 2 1w x K x N N N⊆ + ⊆ ( )1 1 1 :w x N K∈ ( )1 2 2 :w x N K∈ ( )1 2w z w ann a+ ∈ ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2: : :N N K ann a N K N K ann a+ + ⊆ + + ( )iv K S= ( )iii ( )v ( )iii ( )ii ( )vi K N= ( )v 41 Lấy là module con của . Hiển nhiên . Lấy , theo , nên với và . Do đó . Vậy . Như vậy ta việc chứng minh là hoàn toàn tương tự như Mệnh đề 2.4.5 , do đó chứng minh tương tự như trong Mệnh đề 2.4.5. □ Định lý 2.4.9. Cho là họ hữu hạn các module con của - module thỏa là module nhân với mọi . Khi đó (i) là module nhân. (ii) là module nhân khi và chỉ khi là module nhân. Chứng minh. Ta có thể chứng minh định lý theo hai cách, hướng thứ nhất dựa vào tính chất - xoắn, - cyclic như sau : Lấy là ideal tối đại của . Đặt . Bằng quy nạp theo , là module nhân. Giả sử là - xoắn. Nếu với bất kỳ thì là - xoắn, do đó là - xoắn hay . Giả sử với mọi . Với bất kỳ , không là - xoắn nên theo Định lý 2.1.15 tồn tại các phần tử và sao cho . Nếu với bất kỳ , thì do là - xoắn nên tồn tại thỏa , với ta có nên , khi đó hay là - xoắn và vì thế cũng là - xoắn nên là module nhân. Giả sử . Khi đó , ( )vii K M ( ) 1 n i i K N K S = ⊆∑   u K S∈  ( )iv ( ) ( ) 1 : n i i N S ann u R = + =∑ 1 1 n i i x r = = +∑ ( ):i ix N S∈ ( )r ann u∈ ( ) 1 1 1 n n n i i i i i i u x u ru x u K N = = = = + = ∈∑ ∑ ∑  ( ) 1 n i i K S K N = ⊆ ∑  ( )vii ( )v ( ) ( ),viii ix ( ) ( ),vi vii ( )1iN i n≤ ≤ R M i jN N+ i j< S 1,..., nN N N P P ( )i P R  1 1...n nS N N −= + + n nS  nS P ( )i n i nN N P N N+ = + 1 1i n≤ ≤ − nN P n nS N+ P 1 ... nN N+ + ( )j n j nN N P N N+ ≠ + 1 1j n≤ ≤ − 1 1j n≤ ≤ − j nN N+ P j j nx N N∈ ∪ jp P∈ ( )( )1 j j n jp N N Rx− + ⊆ j jx N∈ 1 1j n≤ ≤ − jN P p P∈ ( )1 0jp x− = n nk N∈ ( ) ( )( )1 1j n j j n jp k p N N Rx− ∈ − + ⊆ ( ) ( )1 j n jp k rx r R− = ∈ ( )( ) ( )1 1 1 0j n jp p k r p x− − = − = nN P n nS N+ P ( )1 1j nx N j n∈ ≤ ≤ − ( ) ( )( ) ( )( )1 1 1 1 1 11 ... 1 ... 1n n np p N N p N N Rx−− − + + ⊆ − + ⊆ 42 và do đó là - cyclic. Giả sử không là - xoắn. Theo Định lý 2.1.15 tồn tại các phần tử và sao cho . Tồn tại thỏa . Do không là - xoắn nên cũng không là - xoắn và vì thế cũng không là - xoắn, mà là module nhân nên theo Định lý 2.1.15 tồn tại và sao cho . Từ đó , hay là - cyclic. Theo Định lý 2.1.15 là module nhân. Giả sử mỗi module con là module nhân. Bằng cách quy nạp theo module con là module nhân. Theo Định lý 2.1.15 Hệ quả 2.1.18 module là module nhân và do đó theo Mệnh đề 2.4.4 là module nhân. Ngược lại giả sử là module nhân. Lấy là ideal tối đại của thỏa không là - xoắn. Với , module không là - xoắn nên theo Định lý 2.1.15 tồn tại và sao cho . Nếu thì nên là - cyclic. Giả sử . Khi đó . Theo Định lý 2.1.5 và Hệ quả 2.1.6 suy ra là module nhân. Tương tự cũng là module nhân với mọi . Hướng thứ hai dựa vào các tính chất của họ hữu hạn các module nhân đã nêu : Trước tiên ta chứng minh bổ đề sau : Cho là - module và là module con của . Khi đó là module nhân nếu và chỉ nếu với mọi module con của .  n nS N+ P  nS P 1 1... ny N N −∈ ∪ ∪ q P∈ ( )1 nq S Ry− ⊆ 1 1t n≤ ≤ − ty N∈ nS P tN P t nN N+ P t nN N+ t nz N N∈ ∪ h P∈ ( )( )1 t nh N N Rz− + ⊆ ( )( ) ( ) ( )( )1 1 1n n nh q S N h Ry N Rz− − + ⊆ − + ⊆ n nS N+ P n nS N+ ( )ii 1,..., kN N k  1 2 ... kN N N= ∩ ∩ 1 1N N+  1 1N N∩ 1 ... nN N N= ∩ ∩ Q R 1N Q 2 i n≤ ≤ 1 iN N+ Q 1i iu N N∈ ∪ iq Q∈ ( )( )11 i i iq N N Ru− + ⊆ 1iu N∈ ( ) ( )( )1 11 1i i i iq N q N N Ru− ⊆ − + ⊆ 1N Q ( )2i iu N i n∈ ≤ ≤ ( ) ( )2 1 11 ... 1 ...n nq q N N N− − ⊆ ∩ ∩ 1N iN 2 i n≤ ≤ M R N M N ( ):K N K N N= K M 43 Thật vậy, giả sử là module nhân khi đó . Ngược lại, lấy là module con của . Ta có nên là module nhân. Trở lại với định lý Lấy . Theo Định lý 2.4.8 ta có Khi đó . Ta chứng minh bằng quy nạp, hiển nhiên định lý đúng với , giả sử là module nhân với mọi . Khi đó theo Bổ đề trên với mọi , do đó . Lấy là module con bất kỳ của . Theo Định lý 2.4.8 ta có do đó . Suy ra là module nhân. Giả sử là module con bất kỳ của . Theo định lý 2.1 , , Do đó , hay là module nhân. □ N ( )( ) ( ): :K N K N N N K N N= =  Y N ( ):Y Y N Y N N= = N ( )i { }1,...,k n∈ ( )i  ( )  1 : n k i k i S S S S =   =     ∑  ( ) ( )  ( )  ( ) : : : :k k k i k k k i k k i k i k S S S S S S S S S S S S S ≠ ≠     = + = +        ∑ ∑ ( )i 2n = jS { }1,...,j n∈    ( ):i k i k kS S S S S= =  ( ) ( ): :k i i k iS S S S S S= i k≠  ( ) ( ) ( ): : :k k k k i k i k S S S S S S S S S S ≠ = + =∑ K M ( )vii ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 : : : : n n n n i i i i i i i i i i K S K N K S K S S K S S S S K S S K S = = = = = ⊆ = = ⊆ ⊆ ∑ ∑ ∑ ∑    ( ):K S K S S= S ( )ii K M ( )ix ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 : : : n n n i i i i i i i K N K N K N N K N N K N N K N = = = = = ⊆ = ⊆      ( ):K S K S S= N 44 Hệ quả 2.4.10. Cho là họ hữu hạn các module con nhân của - module thỏa là module nhân với mọi . Khi đó là module nhân với mọi số nguyên dương . Chứng minh. Đặt . Theo Định lý 2.4.9 là module nhân. Hơn nữa theo Định lý 2.1.15 Hệ quả 2.1.18 là module nhân với mỗi và do đó ta cũng có là module nhân. □ Hệ quả 2.4.11. Cho là họ các module con của - module sao cho là module nhân với mọi . Đặt . Khi đó . Hơn nữa, nếu là họ các module nhân thỏa với mọi thì kết quả trên vẫn đúng. Chứng minh. Lấy là module con bất kỳ của . Hiển nhiên . Với mỗi tồn tại tập con hữu hạn của sao cho . Suy ra . Do là module nhân với mọi , nên theo Định lý 2.4.8 . Vì thế . Khẳng định thứ hai theo Hệ quả 2.1.16 cũng là module nhân nên ta cũng có điều cần chứng minh. □ Ví dụ sau đây chỉ ra rằng kết luận của Định lý 2.4.8 sẽ không còn đúng nếu bỏ đi giả thiết hữu hạn. Ví dụ 2.4.12. Cho . là miền địa phương Noether với ideal tối đại duy nhất của là . Đặt . Khi đó là ideal cyclic nên là ideal nhân của với mọi ( )1iK i n≤ ≤ R M i jK K+ 1 i j n≤ < ≤ ( ) ( )1 1... ...m m nK K K K+∩ ∩ + ∩ ∩ m n< 1 ...m nL K K+= ∩ ∩ L iL K+ 1 i m≤ ≤ ( )1 ... mL K K+ ∩ ∩ ( )Nλ λ ∈Λ R M N Nλ µ+ λ µ≠ S Nλ λ∈Λ = ∑ ( )K S K Nλ λ∈Λ = ∑  ( )Nλ λ ∈Λ ( ) ( ): :N N N N Rλ µ µ λ+ = λ µ≠ K M ( )K Nλ λ∈Λ ∑  K S⊆  x K S∈ ∩ xΛ Λ x x Nλ λ∈Λ ∈ ∑ xx K S K S K Nλ λ∈ ∈Λ   ⊆     ∑ ∑    N Nλ µ+ ( ), xλ µ λ µ∈Λ ≠ ( )vii ( ) x x K N K Nλ λ λ λ∈Λ ∈Λ =∑ ∑  ( )K S K Nλ λ∈Λ ⊆ ∑  N Nλ µ+ ( )i [ ]R x =   R R Rx kkN Rx= kN R 45 và vì vậy cũng là ideal nhân với mọi số nguyên dương , vì . Hơn nữa, do đó . Phần tiếp theo sẽ nêu ra điều kiện cần để giao của một họ (không nhất thiết là hữu hạn) các module nhân là module nhân. Nêu ra điều kiện đủ để tổng và giao của một họ tùy ý các module trở thành module nhân. Bổ đề 2.4.13. Cho là họ các module con của - module và đặt . Nếu thì với mọi ideal của . Chứng minh. Lấy là ideal bất kỳ của . Hiển nhiên . Do nên tồn tại tập con hữu hạn của và các phần tử thỏa . Lấy . Khi đó với mọi . Với mỗi , tồn tại tập hữu hạn sao cho với và . Suy ra . Mà với mọi và . Do đó nên . Suy ra . □ Định lý 2.4.14. Cho là họ các module con nhân của - module và đặt . Khi đó với mọi nếu và chỉ nếu các điều sau thỏa mãn : (i) với mọi ideal của . (ii) là module nhân. Chứng minh. Giả sử với mọi . Ta có thể chứng minh không cần giả thiết là module nhân. Hiển nhiên ta có . Lấy . 1k ≥ k nN N+ k n< k n kN N N+ = 1 0k k N N ≥ = =  ( ) 1 : 0l l N N R ≥ = ≠∑ ( )Nλ λ ∈Λ R M N Nλ λ∈Λ =  ( ):N N Rλ λ∈Λ =∑ IN INλ λ∈Λ =  I R I R IN INλ λ∈Λ ⊆  ( ):N N Rλ λ∈Λ =∑ 'Λ Λ ( ) ( ): 'x N Nλ λ λ∈ ∈Λ ' 1 xλ λ∈Λ = ∑ w INλ λ∈Λ ∈  w INλ∈ 'λ ∈Λ 'λ ∈Λ λΛ w u y λ µ λµ µ∈Λ = ∑ u Iµ ∈ y Nλµ λ∈ ( ) ' w u x y λ µ λ λµ λ µ∈Λ ∈Λ = ∑ ∑ x y Nλ λµ ∈ 'λ ∈Λ λµ ∈Λ w IN∈ IN INλ λ∈Λ ⊆  IN INλ λ∈Λ =  ( )Nλ λ ∈Λ R M N Nλ λ∈Λ =  ( ) ( ):N N ann a Rλ λ∈Λ + =∑ a N∈ IN INλ λ∈Λ =  I R N ( ) ( ):N N ann a Rλ λ∈Λ + =∑ a N∈ ( )i Nλ IN INλ λ∈Λ ⊆  w INλ λ∈Λ ∈  46 Ta có nên theo giả thiết nên tồn tại tập con hữu hạn của và các phần tử thỏa . Do nên với mọi . Với mỗi , tồn tại tập hữu hạn sao cho với và . Suy ra . Mà với mọi và . Do đó nên . Vậy . Để chứng minh . Lấy là module con bất kỳ của . Khi đó , nên , do đó là module nhân. Ngược lại, giả sử điều kiện và được thỏa mãn. Do là module nhân với mọi , nên ta có với mọi . Do đó . Theo Bổ đề 2.4.6 ta có điều cần chứng minh. □ Ta có ba hệ quả của Định lý 2.4.14. Hệ quả đầu tiên suy ra trực tiếp từ Định lý, hai hệ quả còn lại nêu ra điều kiện đủ để căn của một module là module nhân. Hệ quả 2.4.15. Cho là họ các module con nhân của - module và đặt . Khi đó nếu , thì là module nhân. w IN N Nλ λ λ λ∈Λ ∈Λ ∈ ⊆ =   ( ) ( ):N N ann w Rλ λ∈Λ + =∑ 'Λ Λ ( ) ( ) ( ): ' ,x N N r ann wλ λ λ∈ ∈Λ ∈ ' 1 x rλ λ∈Λ = +∑ w INλ λ∈Λ ∈  w INλ∈ 'λ ∈Λ 'λ ∈Λ λΛ w u y λ µ λµ µ∈Λ = ∑ u Iµ ∈ y Nλµ λ∈ ( ) ( ) ' ' w u x y rw u x y λ λ µ λ λµ µ λ λµ λ µ λ µ∈Λ ∈Λ ∈Λ ∈Λ = + =∑ ∑ ∑ ∑ x y Nλ λµ ∈ 'λ ∈Λ λµ ∈Λ w IN∈ IN INλ λ∈Λ ⊆  IN INλ λ∈Λ =  ( )ii K M ( ) ( ) ( ) ( ): : :K N K N K N N K N N K N N K Nλ λ λ λ λ λ λ∈Λ ∈Λ ∈Λ = = ⊆ = ⊆      ( ):K N K N N= N ( )i ( )ii Nλ λ ∈Λ ( ) ( ): :N N N N N N Nλ λ µ λ µ∈Λ   = ⊆     ∑ λ∈Λ ( ) ( ): :N N N N N N Nµ λ µ µ µλ ∈Λ ∈Λ∈Λ      ⊆ =          ∑ ∑ ( )Nλ λ ∈Λ R M N Nλ λ∈Λ =  ( ):N N Rλ λ∈Λ =∑ N 47 Hệ quả 2.4.16. Cho là một module con của - module thỏa , với tổng chạy khắp các module con nguyên tố của chứa . Khi đó (i) Nếu mọi là module nhân thì là module nhân. (ii) Nếu mọi là hữu hạn sinh thì cũng hữu hạn sinh. (iii) Nếu mọi là trung thành thì rad N là module trung thành. Chứng minh. Theo Hệ quả 2.4.15. Do nên tồn tại tập hữu hạn các ideal nguyên tố của chứa và các phần tử thỏa . Hiển nhiên . Lấy , nên . Do đó , nên là hữu hạn sinh. Theo , với . Lấy . Khi đó nên . Vì thế . Vậy trung thành. □ Nhắc lại căn Jacobson của một module trên một vành được định nghĩa là giao tất cả các module con tối đại của . Hệ quả 2.4.17. Cho là vành nữa địa phương với các ideal tối đại . Nếu mọi là ideal nhân thì , căn Jacobson của , cũng là ideal nhân. Nếu M là một - module nhân với , thì , căn Jacobson của , cũng là module nhân. Chứng minh. Do và là ideal nhân nên khẳng định thứ nhất hiển nhiên theo Định lý 2.4.9 . Để chứng minh khẳng định thứ hai, ta thấy rằng theo giả thiết thì là các module con cực đại duy nhất của và là module nhân. Suy ra N R M ( ):rad N P R=∑ P M N P rad N P rad N P ( )i ( )ii ( ):rad N P R=∑ { }1,..., nP P M N ( ):i ix rad N P∈ 1 1 n i i x = =∑ 1 n i i i x P rad N = ⊆∑ 1 n i i y rad N P = ∈ ⊆  1 1 nn i i i i i y x y x P = = = ∈∑  1 n i i i rad N x P = = ∑ rad N ( )iii ( )ii 1 1 n i i x = =∑ ( ):i ix rad N P∈ ( )y ann rad N∈ 0i iyx P y rad N⊆ = ( ) 0i iyx ann P∈ = 0iy yx= =∑ rad N M M R 1,..., nP P iP ( )J R R R iPM M≠ ( )J M M ( )1i jP P R i j n+ = ≤ < ≤ R ( )ii iPM M iPM 48 . Do với mọi , nên theo Định lý 2.4.9 ta có điều cần chứng minh. □ Định lý tiếp theo sẽ nêu điều kiện cần và đủ để giao của một họ (không nhất thiết hữu hạn) các module con nhân là một module nhân. Định lý 2.4.18. Cho là họ các module con của - module . Đặt và . Giả sử là module nhân với mọi . Đặt , và giả sử với mọi . Khi đ ó là modue nhân nếu và chỉ nếu là module nhân với mọi . Chứng minh. Giả sử là module nhân. Lấy và là module con của thỏa . Hiển nhiên . Lấy và xét tập hợp thì là một ideal của . Nếu , thì tồn tại một ideal tối đại của thỏa . Ta có hai trường hợp. Trường hợp 1 : . Do với mọi nên với mọi . Khi đó nên . Ta lại có là module nhân với mọi . Vì thế với là ideal của . Do đó . Khi đó tồn tại sao cho , suy ra , mâu thuẫn. Trường hợp 2: 𝐴 ⊈ . Khi đó ⊈ . Nếu ⊈P , thì tồn tại thỏa , do đó . Vì là module nhân, nên tồn tại ideal của thỏa . Ta có ( ) 1 n i i J M PM = =  i jPM P M M+ = j j≠ ( )ii ( )Nλ λ ∈Λ R M N Nλ λ∈Λ =  S Nλ λ∈Λ = ∑ N Nλ µ+ λ µ≠ ( ):A N Nλ λ∈Λ = ∑ ( )A ann n R+ = n S∈ N Nλ λ ∈Λ N λ ∈Λ K M K Nλ⊆ ( ):K N N Kλ λ ⊆ x K∈ ( ){ }: :H r R rx K N Nλ λ= ∈ ∈ H R H R≠ P R H P⊆ A P⊆ ( )A ann n R+ = n S∈ ( )N N A N Nλ µ λ µ+ = + λ µ≠ ( ) ( )N N A N N P N N N Nλ µ λ µ λ µ λ µ+ = + ⊆ + ⊆ + ( )N N P N Nλ µ λ µ+ = + N Nλ µ+ λ µ≠ ( )Rx I N Nλ µ= + I R ( )Rx I N Nλ µ= + = ( )IP N Nλ µ+ Px= p P∈ ( )1 0p x− = 1 p H P− ∈ ⊆ P ( ) ( ): :N N N Nλ µ µ λ≠ + ∑ P ( ):N Nλ q P∈ ( )1 q N Nλ− ⊆ ( )1 q K N− ⊆ N J R ( )1 q K JN− = 49 do đó . Suy ra . Vì vậy , mâu thuẫn. Nếu ⊈ 𝑃, thì tồn thỏa ⊈ 𝑃, nên tồn tại sao cho . Do đó . Hơn nữa , Suy ra . Dẫn đến , mâu thuẫn. Vì thế , hay . Suy ra , nghĩa là là module nhân. Chiều ngược lại được chứng minh theo Định lý 2.4.14. □ ( ) ( ) ( )1 1 1q JN J q N JN q K Kλ λ− = − ⊆ = − ⊆ ( ) ( )1 :q J K Nλ− ⊆ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 21 1 1 1 :q x q K q JN q JN K N Nλ λ λ− ∈ − = − ⊆ − ⊆ ( )21 q H P− ∈ ⊆ ( ):N Nµ µ λ≠ ∑ µ λ≠ ( ):N Nµ 'q P∈ ( )1 'q N N Nµ λ− ⊆ ⊆ ( )( )1 'q N N Nλ µ λ− + ⊆ ( )( )( ) ( )( ): :K K N N N N K N N Nλ µ λ µ λ λ µ= + + ⊆ + ( ) ( ) ( )( )( ) ( )1 ' 1 ' : 1 ' :q x q K K N q N N K N Nλ λ µ λ λ− ∈ − ⊆ − + ⊆ ( )1 'q H P− ∈ ⊆ H R= ( ):x K N Nλ λ∈ ( ):K K N Nλ λ= Nλ 50 KẾT LUẬN Luận văn đã nêu một số tính chất, kết quả đáng chú ý sau: 1) Module nhân là sự mở rộng của module cyclic. 2) Điều kiện tương đương của module nhân. 3) Module nhân trên vành Artin là cyclic. Module nhân trên vành Artin là Artin và ngược lại, vành có một module nhân trung thành Artin là Artin. 4) Một số tính chất của module nhân hữu hạn sinh, module nhân hữu hạn sinh có linh hóa tử sinh bởi một phần tử lũy đẳng là module xạ ảnh. 5) Một số tính chất của họ hữu hạn hay vô hạn của module con của module nhân và điều kiện cần và đủ để tổng và giao của các họ đó là module nhân. Đây là một số kiến thức cơ bản cho việc tìm hiểu sâu hơn về lý thuyết module. Nếu có điều kiện chúng tôi sẽ tiếp tục tìm hiểu sâu hơn nữa về cấu trúc của lớp module nhân này. 51 TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. A. Barnard (1981), “Multiplication Modules”, Journal of Algebra, Vol. 71, No. 1, 174- 178. 2. Frank W. Anderson and Kent R. Fuller (1992), Rings and Categories of Modules, 2ed, Springer. 3. Majid M. Ali and David J. Smith (2001), “Finite and Infinite Collections of Multiplication Modules”, Contributions to Algebra and Geometry, Vol. 42, No. 2, 557-573. 4. M. F. Atiyah and I. G. Macdonald (1969), Introduction to Commutative Algebra, Addison- Wesley Publishing Company. 5. Patrick F. Smith (1988), “Some remarks on multiplication modules”, Arch. Math, Vol. 50, 223-235. 6. T.Y.Lam (1998), Lectures on Modules and Rings, Springer. 7. Zeinab Abd El-Bast and Patrick F. Smith (1988), “Multiplication modules”, Communications in Algebra, 16:4, 755-779.