Luận văn Một vài ứng dụng của các tập mờ trực giác g-Đóng trong không gian tôpô mờ trực giác

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO. TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH - - - - - - - o0o - - - - - - - NGUYỄN ĐỨC ÁNH MỘT VÀI ỨNG DỤNG CỦA CÁC TẬP MỜ TRỰC GIÁC g-ĐÓNG TRONG KHÔNG GIAN TÔPÔ MỜ TRỰC GIÁC LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC VINH-2007 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO. TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH - - - - - - - o0o - - - - - - - NGUYỄN ĐỨC ÁNH MỘT VÀI ỨNG DỤNG CỦA CÁC TẬP MỜ TRỰC GIÁC g-ĐÓNG TRONG KHÔNG GIAN TÔPÔ MỜ TRỰC GIÁC LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC CHUYÊN NGÀNH: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01 Cán bộ hướng dẫn khoa học PGS. TS. TRẦN VĂN ÂN VINH-2007 MỤC LỤC Mục lục 1 Lời nói đầu 2 Chương 1. Tập mờ trực giác và không gian tôpô mờ trực giác 4 1.1. Tập mờ trực giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2. Không gian tôpô mờ trực giác . . . . . . . . . . . . . 9 Chương 2. Một vài ứng dụng của các IFS g-đóng trong không gian tôpô mờ trực giác 13 2.1. Các không gian tách . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2. Không gian IFg-Chính qui . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.3. Không gian IFg-chuẩn tắc . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.4. Một vài định lí bảo tồn . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Kết luận 31 Tài liệu tham khảo 32 1 LỜI NÓI ĐẦU Năm 1965 L. A. Zadeh đưa ra khái niệm tập mờ (fuzzy set), đến năm 1968 C. L. Chang đã xây dựng khái niệm không gian tôpô mờ. Sau đó đã có rất nhiều học giả nghiên cứu và mở rộng các khái niệm này. Năm 1983 khái niệm tập mờ trực giác (intuitionistic fuzzy set) được K. Atanassov công bố như là một sự mở rộng của khái niệm tập mờ. Từ đó nhiều khái niệm toán học mờ khác nhau đã được định nghĩa và nghiên cứu dựa trên tập mờ trực giác. Vào năm 1997 D. Coker [2] giới thiệu khái niệm không gian tôpô mờ trực giác. Việc nghiên cứu các tính chất tôpô của loại không gian này được các nhà toán học trên thế giới quan tâm nhiều trong những năm gần đây. Nhiều kết quả đạt được là một sự tổng quát các kết quả của tôpô đại cương. Năm 1970, khái niệm tập đóng suy rộng trong không gian tôpô (generalized closed sets in topology) được N. Levine giới thiệu nhằm mở rộng khái niệm tập đóng trong tôpô . Trong bài báo Some applications of generalized closed sets in fuzzy topological spaces, M. E. El-Shafei [3] đã ứng dụng khái niêm tập đóng suy rộng trong trường hợp không gian tôpô mờ để xây dựng nên khái niệm không gian FT 1 2 - một sự mở rộng tương tự và khái quát cho không gian T 1 2 được đề xuất bởi W. Dunham. Trong bài báo này tác giả cũng đã xây dựng có hệ thống các không gian tách FT1, FT2, FT3, . . . và các mối quan hệ giữa chúng. Với suy nghĩ mở rộng các kết quả của M. E. El-Shafei trong trường hợp không gian tôpô mờ trực giác, chúng tôi đã chọn đề tài này. Mục đích của luận văn này là hệ thống lại các khái niệm tập mờ trực giác, không gian tôpô mờ trực giác và các tính chất của chúng; nghiên cứu các ứng dụng của tập mờ trực giác đóng suy rộng trong việc xây dựng các không gian tôpô mờ trực giác "tách" và các liên hệ giữa chúng. 2 3Với mục đích trên luận văn được chia làm hai chương Chương 1. Tập mờ trực giác và không gian tôpô mờ trực giác. Trong chương này, chúng tôi giới thiệu một số khái niệm về các tập tập mờ trực giác, không gian tô pô mờ trực giác và các tính chất cơ bản của chúng đã được giới thiệu trong [2]. Chương 2. Một vài ứng dụng của các tập IFS g-đóng trong không gian tô pô mờ trực giác. Trong chương này đầu tiên chúng tôi định nghĩa khái niệm hai tập mờ trực giác tựa trùng. Đây là khái niệm cơ bản để xây dựng nên các khái niệm các không gian tôpô mờ trực giác "tách" IFT1, IFT2, IFT3, IFT4. Chúng tôi cũng đưa ra các khái niệm tập mờ trực giác đóng suy rộng, mở suy rộng. Từ đó xây dựng các không gian tôpô mờ trực giác IFT 1 2 , không gian IFG-chính qui, IFG-chuẩn tắc. Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo PGS. TS. Trần Văn Ân. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất đến thầy. Nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán, Ban chủ nhiệm khoa Sau Đại học, các thầy giáo, cô giáo trong khoa đã giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình công tác và học tập tại trường. Đặc biệt, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến các thầy giáo, cô giáo trong tổ Giải tích khoa Toán, trường Đại học Vinh đã giúp đỡ trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn. Tác giả xin cảm ơn các bạn học viên Cao học khoá 13, đặc biệt là Cao học 13 Giải tích đã tạo điều kiện thuận lợi giúp tác giả hoàn thành nhiệm vụ trong suốt thời gian học tập. Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song luận văn không tránh khỏi những thiếu sót. Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy giáo, cô giáo và bạn đọc để luận văn ngày được hoàn thiện hơn. Vinh, tháng 12 năm 2007 Tác giả CHƯƠNG 1 TẬP MỜ TRỰC GIÁC VÀ KHÔNG GIAN TÔPÔ MỜ TRỰC GIÁC 1.1. TẬP MỜ TRỰC GIÁC Lí thuyết tập mờ (fuzzy set) là một sự mở rộng của lí thuyết tập hợp cổ điển. Theo lí thuyết tập hợp của Cantor mối quan hệ thành viên của các phần tử trong một tập hợp được đánh giá theo một điều kiện rõ ràng-một phần tử hoặc thuộc hoặc không thuộc tập hợp. Mối quan hệ này được mô tả bởi một hàm đặc trưng χA χA(x) = { 1 nếu x ∈ A 0 nếu x /∈ A. Ngược lại, lí thuyết tập mờ cho phép đánh giá từ từ về quan hệ thành viên giữa một phần tử và một tập hợp. Quan hệ này được đặc trưng bởi một hàm liên thuộc (membership function) µ nhận giá trị trong đoạn [0; 1]. Một tập mờ A trên một tập cổ điển X được đồng nhất với một hàm liên thuộc µA : X → [0; 1], x 7→ µA(x). Từ lí thuyết tập mờ K. Atanassov đã phát triển lên lí thuyết tập mờ trực giác. Trong lí thuyết tập mờ trực giác, mối quan hệ thành viên giữa một phần tử và một tập hợp được đặc trưng bởi hai hàm số nhận giá trị trong đoạn [0; 1] - hàm liên thuộc µ lượng giá mức độ sự có mặt của phần tử trong tập hợp và hàm không liên thuộc (nonmembership function) γ lượng giá mức độ sự không có mặt của phần tử trong tập hợp. 1.1.1 Định nghĩa ([2]). Cho X là tập cố định khác rỗng. Một tập mờ trực giác A (viết tắt là IFS A) là tập hình thức: A = {〈x, µA(x), γA(x)〉 : x ∈ X}, (1.1) 4 5trong đó các hàm µA : X −→ I = [0, 1] và γA : X −→ I = [0, 1] lần lượt là các hàm chỉ mức độ sự có mặt và mức độ sự không có mặt của phần tử x ∈ X trong tập A và 0 ≤ µA(x) + γA(x) ≤ 1. 1.1.2 Nhận xét ([2]). Một tập mờ trực giác A = {〈x, µA(x), γA(x)〉 : x ∈ X} trong X có thể đồng nhất với một cặp sắp thứ tự (µA, γA) trong IX × IX hay một phần tử trong (I × I)X . Để đơn giản, chúng tôi dùng kí hiệu A = 〈x, µA, γA〉 thay cho IFS A = {〈x, µA(x), γA(x)〉 : x ∈ X}. 1.1.3 Ví dụ ([2]). Mỗi tập mờ µA trong tập X khác rỗng rõ ràng là một IFS có dạng A = {〈x, µA(x), 1− µA(x)〉 : x ∈ X}. Sau đây là một số định nghĩa các quan hệ và các phép toán giữa các IFS: 1.1.4 Định nghĩa ([2]). Cho X là tập khác rỗng và A,B là các IFS có dạng A = {〈x, µA(x), γA(x)〉 : x ∈ X}, B = {〈x, µB(x), γB(x)〉 : x ∈ X}. Khi đó: a) A ⊆ B khi và chỉ khi µA(x) ≤ µB(x) và γA(x) ≥ γB(x), ∀x ∈ X. b) A = B khi và chỉ khi A ⊆ B và B ⊆ A. c) Ac = {〈x, γA(x), µA(x)〉 : x ∈ X}. d) A ∩B = {〈x, µA(x) ∧ µB(x), γA(x) ∨ γB(x)〉 : x ∈ X}. e) A ∪B = {〈x, µA(x) ∨ µB(x), γA(x) ∧ γB(x)〉 : x ∈ X}. f) 0∼ = {〈x, 0, 1〉 : x ∈ X} ; 1∼ = {〈x, 1, 0〉 : x ∈ X}. g) [ ]A = {〈x, µA(x), 1− µA(x)〉 : x ∈ X}. h) 〈 〉A = {〈x, 1− γA(x), γA(x)〉 : x ∈ X}. Chú ý là các phép toán ∧ và ∨ được hiểu như sau: µA(x)∧µB(x) = min{µA(x), µB(x)} , γA(x)∨γB(x) = max{γA(x), γB(x)}, Ac gọi là phần bù của A. 6Chúng ta có thể mở rộng các phép toán giao và hợp trong Định nghĩa 1.1.4 một họ tuỳ ý các IFS như sau: 1.1.5 Định nghĩa ([2]). Cho {Ai : i ∈ J} là một họ tuỳ ý các IFS trong X. Khi đó: a) ⋂ i∈J Ai = {〈x, ∧ i∈J µAi(x), ∨ i∈J γAi(x)〉 : x ∈ X}; b) ⋃ i∈J Ai = {〈x, ∨ i∈J µAi(x), ∧ i∈J γAi(x)〉 : x ∈ X}, trong đó ∧ i∈J µAi(x) = inf{µAi(x) : i ∈ J} và ∨ i∈J µAi(x) = sup{µAi(x) : i ∈ J}. Dưới đây là một số tính chất cơ bản của các bao hàm thức và phần bù: 1.1.6 Hệ quả ([2]). Cho A,B,C là các IFS trong X. Khi đó: a) Nếu A ⊆ B và C ⊆ D thì A ∪ C ⊆ B ∪D và A ∩ C ⊆ B ∩D; b) Nếu A ⊆ B và A ⊆ C thì A ⊆ B ∩ C; c) Nếu A ⊆ C và B ⊆ C thì A ∪B ⊆ C; d) Nếu A ⊆ B và B ⊆ C thì A ⊆ C; e) (A ∪B)c = Ac ∩Bc , (A ∩B)c = Ac ∪Bc; f) Nếu A ⊆ B thì Bc ⊆ Ac; g) (Ac)c = A; h) 1c∼ = 0∼ , 0c∼ = 1∼. 1.1.7 Định nghĩa ([4]). Giả sử X là một tập khác rỗng và c ∈ X là một phần tử cố định trong X. Nếu α, β ∈ [0, 1] là hai số thực cố định sao cho α+ β ≤ 1, thì IFS c(α, β) = 〈x, cα, 1− c1−β〉 (1.2) được gọi là một điểm mờ trực giác (IFP) trong X, trong đó cα và c1−β là các điểm mờ trong X, xác định bởi: 7cα(x) = { α nếu x = c 0 nếu x 6= c ; c1−β(x) = { 1− β nếu x = c 0 nếu x 6= c. c được gọi là giá của c(α,β), α, β lần lượt được gọi là giá trị và phi giá trị của c(α,β). 1.1.8 Định nghĩa ([4]). Một điểm mờ cα được gọi là thuộc vào một tập mờ µ và kí hiệu cα ∈ µ, nếu α ≤ µ(c). 1.1.9 Định nghĩa ([4]). Một IFP c(α,β) được gọi là thuộc vào một IFS A = 〈x, µA, γA〉 củaX và kí hiệu c(α,β) ∈ A, nếu α ≤ µA(c) và β ≥ γA(c). 1.1.10 Định lý ([4]). Giả sử A = 〈x, µA, γA〉 là một IFS của X. Khi đó c(α,β) ∈ A khi và chỉ khi cα ∈ µA và c1−β ∈ 1− γA. 1.1.11 Định lý ([4]). Giả sử A = 〈x, µA, γA〉 và B = 〈x, µB, γB〉 là các IFS của X. Khi đó A ⊆ B khi và chỉ khi c(α,β)∈ A kéo theo c(α,β) ∈ B với mọi IFP c(α,β) của X. 1.1.12 Định lý ([4]). Giả sử A = 〈x, µA, γA〉 là một IFS của X. Khi đó A = ⋃ {c(α,β) ∣∣c(α,β) ∈ A}. (1.3) 1.1.13 Định nghĩa ([2]). ChoX và Y là hai tập khác rỗng và f : X → Y là một ánh xạ. A = {〈x, µA(x), γA(x)〉 : x ∈ X} là một IFS trong X và B = {〈y, µB(y), γB(y)〉 : y ∈ Y } là một IFS trong Y . a) Tạo ảnh f−1(B) của B dưới ánh xạ f là một IFS trong X được xác định bởi: f−1(B) = {〈x, µf−1(B)(x), γf−1(B)(x)〉 : x ∈ X}, (1.4) trong đó µf−1(B)(x) = µB(f(x)) và γf−1(B)(x) = γB(f(x)). b) Ảnh f(A) của A qua ánh xạ f là một IFS trong Y được xác định bởi f(A) = {〈y, µf(A)(y), γf(A)(y)〉 : y ∈ Y }, (1.5) trong đó: µf(A)(y) = { sup x∈f−1(y) µA(x), nếu f −1(y) 6= ∅ 0, nếu ngược lại, (1.6) 8γf(A)(y) = { inf x∈f−1(y) γA(x), nếu f −1(y) 6= ∅ 1, nếu ngược lại. (1.7) 1.1.14 Định lý ([2]). Giả sử A và Ai (i ∈ J) là các IFS trong X, B và Bi (i ∈ J) là các IFS trong Y , f : X → Y là một ánh xạ. Khi đó: a) Nếu A1 ⊆ A2 thì f(A1) ⊆ f(A2), b) Nếu B1 ⊆ B2 thì f−1(B1) ⊆ f−1(B2), c) A ⊆ f−1(f(A)), (nếu f đơn ánh thì A = f−1(f(A))), d) f(f−1(B) ⊆ B, (nếu f là ánh xạ lên thì f(f−1(B)) = B), e) f−1( ⋃ Bi) = ⋃ f−1(Bi), f−1( ⋂ Bi) = ⋂ f−1(Bi), f) f( ⋃ Ai) = ⋃ f(Ai), g) f( ⋂ Ai) ⊆ ⋂ f(Ai), (nếu f là đơn ánh thì f( ⋂ Ai) = ⋂ f(Ai)), h) f−1(1∼) = 1∼, f−1(0∼) = 0∼, i) f(0∼) = 0∼, j) Nếu f là ánh xạ lên thì f(1∼) = 1∼, k) f−1(B)c = f−1(Bc), l) Nếu f là ánh xạ lên thì f(A)c ⊆ f(Ac), m) Nếu f là đơn ánh thì f(Ac) ⊆ f(A)c. 91.2. KHÔNG GIAN TÔPÔ MỜ TRỰC GIÁC 1.2.1 Định nghĩa ([2]). Một tôpô mờ trực giác (viết tắt là IFT) trên tập X khác rỗng là một họ τ gồm các IFS trong X thoả mãn 3 tiên đề sau (T1): 0∼, 1∼∈ τ ; (T2): G1 ∩G2 ∈ τ, ∀ G1, G2 ∈ τ ; (T3): ⋃ Gi ∈ τ với họ tuỳ ý {Gi : i ∈ J} ⊆ τ . Khi đó cặp (X, τ) được gọi là một không gian tôpô mờ trực giác (viết tắt là IFTS) và mỗi IFS trong τ được gọi là một tập mở mờ trực giác trong X (viết tắt là IFOS). Sau đây chúng tôi trình bày một số ví dụ về không gian tôpô mờ trực giác. Để cho thuận tiện, một IFS A = 〈x, µA, γA〉 trong tập cố định X = {x1, x2, . . . , xn}, với µA(xi) = ai, γA(xi) = bi, i = 1, ..., n được chúng tôi kí hiệu: A = 〈 x, (x1 a1 , x2 a2 , . . . , xn an ) , (x1 b1 , x2 b2 , . . . , xn bn )〉 . 1.2.2 Ví dụ ([2]). Cho tập X = {a, b, c} và A = 〈 x, ( a 0, 5 , b 0, 5 , c 0, 4 ) , ( a 0, 2 , b 0, 4 , c 0, 4 )〉 , B = 〈 x, ( a 0, 4 , b 0, 6 , c 0, 2 ) , ( a 0, 5 , b 0, 3 , c 0, 3 )〉 , C = 〈 x, ( a 0, 5 , b 0, 6 , c 0, 4 ) , ( a 0, 2 , b 0, 3 , c 0, 3 )〉 , D = 〈 x, ( a 0, 4 , b 0, 5 , c 0, 2 ) , ( a 0, 5 , b 0, 4 , c 0, 4 )〉 . Khi đó họ τ = {0∼, 1∼, A,B,C,D} là một IFT trên X. 1.2.3 Ví dụ ([2]). Cho tập X = {1, 2} và các IFS Gn (n ∈ N+) như sau: Gn = 〈 x, ( 1 n n+1 , 2 n+1 n+2 ) , ( 1 1 n+2 , 2 1 n+3 )〉 . Khi đó họ τ = {0∼, 1∼} ∪ {Gn : n ∈ N+} là một IFT trên X. 10 1.2.4 Mệnh đề ([2]). Cho (X, τ) là một IFTS. Khi đó chúng ta có thể xây dựng nhiều IFT trên X theo cách sau: a) τ0,1 = {[ ]G : G ∈ τ}; b) τ0,2 = {〈 〉G : G ∈ τ}. 1.2.5 Định nghĩa ([2]). Giả sử (X, τ1), (X, τ2) là hai IFTS trên X. Khi đó ta nói τ1 bị chứa trong τ2 (kí hiệu τ1 ⊆ τ2) nếu với mỗi G ∈ τ1 thì G ∈ τ2. Trong trường hợp này chúng ta cũng nói τ1 yếu hơn τ2. 1.2.6 Mệnh đề ([2]). Cho {τi : i ∈ J} là một họ các IFT trên X. Khi đó ⋂ τi là một IFT trên X. Hơn nữa, ⋂ τi là IFT yếu nhất chứa trong các τi. 1.2.7 Định nghĩa ([2]). Phần bù Ac của một IFOS A trong một IFTS (X, τ) được gọi là tập đóng mờ trực giác trong X (viết tắt là IFCS). 1.2.8 Định nghĩa ([2]). Giả sử (X, τ) là một IFTS và A = 〈x, µA, γA〉 là một IFS trong X. Khi đó bao đóng mờ và phần trong mờ của A được xác định bởi: cl(A) = ⋂ {K : K là IFCS trong Xvà A ⊆ K}, int(A) = ⋃ {G : G là IFOS trong Xvà G ⊆ A}. 1.2.9 Nhận xét ([2]). Có thể chỉ ra rằng cl(A) là một IFCS và int(A) là một IFOS trong X, và a) A là một IFCS trong X khi và chỉ khi cl(A) = A; b) A là một IFOS trong X khi và chỉ khi int(A) = A. 1.2.10 Ví dụ ([2]). Xét IFTS (X, τ) trong Ví dụ 1.2.2. Nếu F = 〈 x, ( a 0, 55 , b 0, 55 , c 0, 45 ) , ( a 0, 3 , b 0, 4 , c 0, 3 )〉 , thì int(F ) = 〈 x, ( a 0, 4 , b 0, 5 , c 0, 2 ) , ( a 0, 5 , b 0, 4 , c 0, 4 )〉 và cl(F ) = 1∼. 11 1.2.11 Mệnh đề ([2]). Với mỗi IFS A trong IFTS (X, τ) ta có: i) cl(Ac) = (int(A))c; ii) int(Ac) = (cl(A))c. 1.2.12 Định lý ([2]). Cho (X, τ) là một IFTS và A,B là các IFS trong X. Khi đó ta có các tính chất sau: a) int(A) ⊆ A; b) A ⊆ cl(A); c) A ⊆ B ⇒ int(A) ⊆ int(B); d) A ⊆ B ⇒ cl(A) ⊆ cl(B); e) int(int(A)) = int(A); f) cl(cl(A)) = cl(A); g) int(A ∩B) = int(A) ∩ int(B); h) cl(A ∪B) = cl(A) ∪ cl(B); i) int(1∼) = 1∼; j) cl(0∼) = 0∼. 1.2.13 Định nghĩa ([2]). Giả sử f : (X, τ) → (Y,∆) là một ánh xạ từ IFTS (X, τ) vào IFTS (Y,∆). Khi đó: 1) f được gọi là liên tục (hay IF -liên tục) nếu f−1(B) là một IFOS của X với mọi IFOS B của Y hay nói tương đương, f−1(B) là một IFCS của X với mọi IFCS B của Y . 2) f được gọi là mở (hay IF -mở) nếu f(A) là một IFOS của Y với mỗi IFOS A của X. 3) f được gọi là đóng (hay IF -đóng) nếu f(A) là một IFCS của Y với mỗi IFCS A của X. 4) f được gọi là đồng phôi nếu f là song ánh, liên tục và mở. 12 1.2.14 Định lý ([2]). Giả sử f : (X, τ)→ (Y,∆) là một ánh xạ từ IFTS (X, τ) vào IFTS (Y,∆). Khi đó các khẳng định sau là tương đương: 1) f là ánh xạ liên tục. 2) f(cl(A)) ⊆ cl(f(A)) với mỗi IFS A của X. 3) cl(f−1(B)) ⊆ f−1(cl(B)) với mỗi IFS B của Y . 4) f−1(int(B)) ⊆ int(f−1(B)) với mỗi IFS B của Y . CHƯƠNG 2 MỘT VÀI ỨNG DỤNG CỦA CÁC IFS G-ĐÓNG TRONG KHÔNG GIAN TÔPÔ MỜ TRỰC GIÁC 2.1. CÁC KHÔNG GIAN TÁCH Trong bài báo [3] M. E. El-Shafei có nêu lên khái niệm hai tập mờ tựa trùng. Đây một khái niệm để nói lên sự "giao nhau của hai tập mờ". Xét hai tập mờ µ và λ trên tập cố định X. Tập mờ µ được gọi là tựa trùng (quasi-coincident) với λ, kí hiệu µ qλ, nếu tồn tại x ∈ X sao cho µ(x) + λ(x) > 1, trong trường hợp ngược lại, ta viết µ qλ. Khái niệm này phù hợp với khái niệm về sự giao nhau của hai tập hợp cố định. Với A và B là hai tập con của tập hợp cố định X thì A∩B 6= ∅ khi và chỉ khi χA qχB, ngược lại A∩B = ∅ khi và chỉ khi χA qχB. Với mọi tập mờ µ ta luôn có µ q(1− µ). Sau đây chúng tôi định nghĩa khái niệm hai tập mờ trực giác tựa trùng. 2.1.1 Định nghĩa. Giả sử A = 〈x, µA, γA〉 vàB = 〈x, µB, γB〉 là các IFS trên X. Khi đó A được gọi là tựa trùng với B và kí hiệu A qB, nếu tồn tại x ∈ X sao cho: µA(x)+(1−γB(x)) > 1 hoặc µB(x)+(1−γA(x)) > 1. Trong trường hợp ngược lại ta viết A qB. 2.1.2 Nhận xét. Giả sử A = 〈x, µA, γA〉, B = 〈x, µB, γB〉 là hai IFS trên X và µ, ν là hai tập mờ trên X. Khi đó: 1) A qB khi và chỉ khi tồn tại x ∈ X sao cho µA(x) > γB(x) hoặc µB(x) > γA(x). 2) A qB khi và chỉ khi với mọi x ∈ X, µA(x) ≤ γB(x) và µB(x) ≤ γA(x). 13 14 3) A qB khi và chỉ khi B qA. 4) A qAc. 5) µ q ν khi và chỉ khi 〈x, µ, 1− µ〉 q〈x, ν, 1− ν〉. Sau đây chúng tôi chứng minh một số bổ đề thường xuyên sử dụng sau này. 2.1.3 Bổ đề. Giả sử A,B,C là các IFS trên X. Khi đó: i) Nếu A qB và C ⊆ B thì A qC; ii) A qB khi và chỉ khi A ⊆ Bc; iii) c(α,β) ∈ A khi và chỉ khi c(α,β) qAc. Chứng minh. i) Vì A qB nên với mọi x ∈ X thì µA(x) ≤ γB(x) và µB(x) ≤ γA(x). Vì C ⊆ B nên µC(x) ≤ µB(x) và γC(x) ≥ γB(x). Suy ra µA(x) ≤ γC(x) và µC(x) ≤ γA(x). Do đó A qC. ii) Ta có A qB khi và chỉ khi với mọi x ∈ X thì µA(x) ≤ γB(x) và µB(x) ≤ γA(x). Điều này tương đương với A ⊆ Bc = 〈x, γB(x), µB(x)〉. iii) Rõ ràng iii) là một trường hợp của ii)  2.1.4 Bổ đề. Giả sử (X, τ) là một IFTS, c(α,β) là một IFP của X và A = 〈x, µA, γA〉 là một IFS trên X. Khi đó: i) c(α,β) q cl(A) khi và chỉ khi U qA với mỗi IFOS U chứa c(α,β); ii) Nếu A qU , thì cl(A) qU với mỗi U ∈ τ . Chứng minh. i) Điều kiện cần. Giả sử c(α,β) q cl(A) và IFOS U chứa c(α,β). Ta cần chứng minh U qA. Giả sử ngược lại U qA. Theo bổ đề 2.1.3 suy ra A ⊆ U c = 〈x, γU , µU 〉 là IFCS. Điều này kéo theo cl(A) ⊆ U c hay cl(A) qU . Mà c(α,β) ∈ U suy ra c(α,β) q cl(A). Điều này mâu thuẫn với c(α,β) q cl(A). Vậy U qA. Điều kiện đủ. Giả sử với mọi IFOS U chứa c(α,β) thì U qA. Ta cần chứng minh c(α,β) q cl(A). Giả sử ngược lại c(α,β) q cl(A). Khi đó c(α,β) ⊆ cl(A)c. Đặt U = (cl(A))c = 〈x, γcl(A), µcl(A)〉, ta có c(α,β) ∈ U và U là 15 IFOS. Theo giả thiết điều kiện đủ thì U qA. Suy ra tồn tại x ∈ X sao cho γcl(A)(x) > γA(x) hoặc µcl(A)(x) < µA(x). Điều này mâu thuẫn với A ⊆ cl(A). Vậy c(α,β) q cl(A). ii) Giả sử U ∈ τ và A qU . Ta cần chứng minh cl(A) qU . Thật vậy, vì A qU nên A ⊆ U c là IFCS. Suy ra cl(A) ⊆ U c. Do đó cl(A) qU .  2.1.5 Định nghĩa. IFS A = 〈x, µA, γA〉 được gọi là mở chính qui nếu A = int(cl(A)). IFS A = 〈x, µA, γA〉 được gọi là đóng chính qui nếu A = cl(int(A)). Tập tất cả các IFS mở chính qui của IFTS X kí hiệu là RO(X). Tập tất cả các IFS đóng chính qui của IFTS X kí hiệu là RC(X). 2.1.6 Bổ đề. Giả sử (X, τ) là một IFTS, U là một IFS của X. Khi đó: 1) G = int(cl(U)) là IFS mở chính qui; 2) H = cl(int(U)) là IFS đóng chính qui. Chứng minh. i) Nhờ Định lí 1.2.12 ta có G = int(cl(U)) ⊆ cl(U) là IFCS. Suy ra cl(G) ⊆ cl(U). Điều này kéo theo int(cl(G)) ⊆ int(cl(U)) hay int(cl(G)) ⊆ G. (1) Mặt khác, G ⊆ cl(G). Suy ra int(G) ⊆ int(cl(G)). Điều này kéo theo G ⊆ int(cl(G)). (2) Từ (1) và (2) suy ra G = int(cl(G)). Vậy G là IFS mở chính qui. ii) Ta có int(U) ⊆ cl(int(U)) = H. Suy ra int(U) ⊆ int(H). Điều này kéo theo cl(int(U)) ⊆ cl(int(H)) hay H ⊆ cl(int(H)). (3) Mặt khác, int(H) ⊆ H. Suy ra cl(int(H)) ⊆ cl(H). Điều này kéo theo cl(int(H)) ⊆ H. (4) Từ (3) và (4) suy ra H = cl(int(H)). Vậy H là IFS đóng chính qui. 2.1.7 Định nghĩa. Giả sử A = 〈x, µA, γA〉là một IFS trong IFTS (X, τ). Khi đó: 1) A được gọi là đóng mở rộng (hay g-đóng) nếu cl(A) ⊆ U với U là IFOS và A ⊆ U ; 2) A được gọi là mở mở rộng (hay g-mở) nếu Ac là g-đóng. 16 2.1.8 Nhận xét. Trong không gian X với tôpô thông thường thì hoặc tập {x} là tập đóng hoặc X \ {x} là tập g-đóng, với mọi x ∈ X. Tuy nhiên điều này không đúng trong không gian tôpô mờ trực giác. Ví dụ sau sẽ chỉ ra rằng tồn tại những điểm mờ trực giác không là IFCS và phần bù của nó cũng không là IFS g-đóng trong một không gian tôpô mờ trực giác. Ví dụ. Giả sử X = {a; b} và τ = {0∼; 1∼;A;B;C}, trong đó A = 〈 x, (a 1 , b 0, 5 ) , (a 0 , b 0, 5 )〉 , B = 〈 x, ( a 0, 5 , b 1 ) , ( a 0, 5 , b 0 )〉 , C = 〈 x, ( a 0, 5 , b 0, 5 ) , ( a 0, 5 , b 0, 5 )〉 . Khi đó (X, τ) là một IFTS và tập tất cả các IFCS của (X, τ) là {0∼; 1∼;Ac; Bc;Cc = C}. Xét IFP b(0,6;0,4) = 〈 x, (a 0 , b 0, 6 ) , (a 1 , b 0, 4 )〉 . Khi đó b(0,6;0,4) không là IFCS. Đặt F = (b(0,6;0,4)) c = 〈 x, (a 1 , b 0, 4 ) , (a 0 , b 0, 6 )〉 thì F ⊆ A, tuy nhiên cl(F ) = 1∼ * A. Do đó F không là IFS g-đóng. 2.1.9 Định nghĩa. IFTS (X, τ) được gọi là IFT 1 2 -không gian nếu với mỗi IFS g-đóng trong X là một IFCS. 2.1.10 Định nghĩa. Giả sử (X, τ) là một IFTS. Khi đó: 1) X được gọi là IFT1-không gian nếu với mỗi IFP x(α,β) của Xthì x(α,β) là IFCS; 2) X được gọi là IFT2-không gian nếu với các IFP x(α,β), y(r,s) mà x(α,β) q y(r,s) thì tồn tại các IFOS U và V sao cho x(α,β) ∈ U, y(r,s) ∈ V và U qV ; 3) X được gọi là IFT2 1 2 -không gian nếu với IFP x(α,β), y(r,s) mà x(α,β) q y(r,s) thì tồn tại các IFOS U và V sao cho x(α,β) ∈ U, y(r,s) ∈ V và cl(U) q cl(V ); 17 4) X được gọi là IFR2-không gian (hay IF -chính qui) nếu với IFP x(α,β) và IFCS F mà x(α,β) qF thì tồn tại các IFOS U và V sao cho x(α,β) ∈ U , F ⊆ V và U qV ; 5) X được gọi là IFR3-không gian (hay IF -chuẩn tắc) nếu với các IFCS F1 và F2 mà F1 qF2 thì tồn tại các IFOS U và V sao cho F1 ⊆ U , F2 ⊆ V và U qV ; 6) X được gọi là IFT3-không gian nếuX là IFR2-không gian và IFT1- không gian; 7) X được gọi là IFT4-không gian nếuX là IFR3-không gian và IFT1- không gian. 2.1.11 Định lý. Nếu (X, τ) là IFT1-không gian thì (X, τ) là IFT 1 2 - không gian. Chứng minh. Giả sử (X, τ) là IFT1-không gian và A là một IFS g- đóng bất kì của X. Xét một IFP bất kì x(α,β) ∈ Ac suy ra A ⊆ (x(α,β))c. Vì X là IFT1 nên x(α,β) là IFCS, suy ra (x(α,β)) c là IFOS. Mà A là IFS g-đóng nên cl(A) ⊆ (x(α,β))c. Suy ra x(α,β) ∈ cl(A)c. Từ đó ta có Ac ⊆ cl(A)c. Điều này kéo theo A = cl(A) hay A là IFCS. Như vậy với A là IFS g-đóng bất kì của X thì A là IFCS. Do đó (X, τ) là IFT 1 2 -không gian.  2.1.12 Định lý. IFTS (X, τ) là IFT1-không gian khi và chỉ khi với hai IFP bất kì x(α,β) và y(r,s) của X mà x(α,β) q y(r,s) thì tồn tại các IFOS U và V sao cho x(α,β) ∈ U , y(r,s) ∈ V và x(α,β) qV , y(r,s) qU . Chứng minh. Điều kiện cần. Giả sử X là IFT1-không gian, x(α,β) và y(r,s) là hai IFP bất kì của X thoả mãn x(α,β) q y(r,s). Vì X là IFT1 nên x(α,β) = cl(x(α,β)), y(r,s) = cl(y(r,s)). Đặt U = cl(y(r,s)) c, V = cl(x(α,β)) c thì U và V là các IFOS. Từ x(α,β) q y(r,s) suy ra x(α,β) q cl(y(r,s)). Suy ra x(α,β) ∈ cl(y(r,s))c = U . Tương tự cl(x(α,β)) q y(r,s) suy ra y(r,s) ∈ cl(x(α,β))c = V . Rõ ràng cl(x(α,β)) q cl(x(α,β))c hay x(α,β) qV . Tương tự cl(y(r,s)) q cl(y(r,s)) c hay y(r,s) qU . 18 Điều kiện đủ. Giả sử với hai IFP bất kì x(α,β) và y(r,s) của X mà x(α,β) q y(r,s) thì tồn tại các IFOS U và V sao cho x(α,β) ∈ U , y(r,s) ∈ V và x(α,β) qV , y(r,s) qU . Ta cần chứng minh X là IFT1-không gian. Thật vậy, xét x(α,β) là một IFP bất kì của X. Ta sẽ chứng minh x(α,β) là IFCS hay (x(α,β)) c là IFOS. Lấy IFP bất kì y(r,s) ∈ (x(α,β))c. Suy ra y(r,s) qx(α,β). Theo giả thiết điều kiện đủ tồn tại các IFOS Uyrs và Vxαβ sao cho y(r,s) ∈ Uyrs, x(α,β) ∈ Vxαβ và y(r,s) qVxαβ, x(α,β) qUyrs. Từ x(α,β) qUyrs suy ra Uyrs ⊆ (x(α,β))c. Ta có (x(α,β)) c = ⋃ {y(r,s) ∣∣y(r,s) ∈ (x(α,β))c} ⊆ ⋃ {Uyrs ∣∣y(r,s) ∈ (x(α,β))c} ⊆ (x(α,β))c. Do đó (x(α,β)) c = ⋃{Uyrs∣∣y(r,s) ∈ (x(α,β))c} là IFOS. Vậy X là IFT1- không gian.  Từ định nghĩa IFT2-không gian và định lí 2.1.12 ta suy ra ngay hệ quả sau: 2.1.13 Hệ quả. Nếu X là IFT2-không gian thì X là IFT1-không gian. 2.1.14 Định lý. Một IFTS (X, τ) là IFR2-không gian khi và chỉ khi với mỗi IFP x(α,β) trong X và với mỗi IFOS U chứa x(α,β) thì tồn tại một IFOS V chứa x(α,β) sao cho cl(V ) ⊆ U . Chứng minh. Điều kiện cần. Giả sử (X, τ) là IFR2-không gian, x(α,β) là một IFP của X và U là một IFOS của X thoả mãn x(α,β) ∈ U . Ta cần chứng minh tồn tại một IFOS V sao cho x(α,β) ∈ V và cl(V ) ⊆ U . Thật vậy, vì x(α,β) ∈ U suy ra x(α,β) qU c. Vì X là IFR2 và U c là IFCS nên tồn tại các IFOS V và W sao cho x(α,β) ∈ V , U c ⊆ W và V qW . Từ V qW theo bổ đề 2.1.4 suy ra cl(V ) qW . Suy ra cl(V ) ⊆ W c. Mà từ U c ⊆ W suy ra W c ⊆ U . Do đó cl(V ) ⊆ U . Điều kiên đủ. Giả sử với mỗi IFP x(α,β) trong X và với mỗi IFOS U chứa x(α,β) thì tồn tại một IFOS V chứa x(α,β) sao cho cl(V ) ⊆ U , ta cần chứng minh X là IFR2. Giả sử IFP x(α,β) và IFCS F của X sao cho x(α,β) qF . 19 Đặt U = F c thì U là IFOS. Từ x(α,β) qF suy ra x(α,β) ∈ F c = U . Theo giả thiết điều kiện đủ tồn tại IFOS V sao cho x(α,β) ∈ V và cl(V ) ⊆ U . Đặt W = cl(V )c thì W là IFOS. Từ cl(V ) ⊆ U suy ra U c ⊆ cl(V )c hay F ⊆ W . Từ W = cl(V )c suy ra W q cl(V ) kéo theo W qV . Như vậy với mỗi IFP x(α,β)và mỗi IFCS F của X sao cho x(α,β) qF thì tồn tại các IFOS V và W của X thoả mãn x(α,β) ∈ V , F ⊆ W và W qV . Do đó X là IFR2.  2.1.15 Định lý. Một IFTS (X, τ) là IFR3-không gian khi và chỉ khi với mỗi IFCS F và IFOS U thoả mãn F ⊆ U thì tồn tại một IFOS V sao cho F ⊆ V ⊆ cl(V ) ⊆ U . Chứng minh. Điều kiện cần. Giả sử (X, τ) là một IFR3-không gian, F là một IFCS và U là một IFOS của X sao cho F ⊆ U . Khi đó F qU c là IFCS. Vì X là IFGR3 nên tồn tại các IFOS V và W sao cho F ⊆ V , U c ⊆ W và V qW . Từ U c ⊆ W suy ra W c ⊆ U . Từ V qW suy ra cl(V ) qW kéo theo cl(V ) ⊆ W c. Từ đó suy ra F ⊆ V ⊆ cl(V ) ⊆ U . Điều kiện đủ. Giả sử với mỗi IFCS F và IFOS U thoả mãn F ⊆ U thì tồn tại một IFOS V sao cho F ⊆ V ⊆ cl(V ) ⊆ U , ta cần chứng minh X là IFGR3-không gian. Giả sử F1 và F2 là hai IFCS thoả mãn F1 qF2. Suy ra F1 ⊆ F c2 với F c2 là IFOS. Theo giả thiết điều kiện đủ tồn tại IFOS V sao cho F1 ⊆ V ⊆ cl(V ) ⊆ F c2 . Đặt U = cl(V )c thì U là IFOS. Từ cl(V ) ⊆ F c2 suy ra F2 ⊆ cl(V )c = U . Từ V ⊆ cl(V ) suy ra V q cl(V )c hay V qU . Như vậy tồn tại các IFOS U và V thoả mãn F1 ⊆ V , F2 ⊆ U và V qU . Vậy X là IFR3-không gian.  20 2.2. KHÔNG GIAN IFG-CHÍNH QUI 2.2.1 Định nghĩa. IFTS (X, τ) được gọi là IFg-chính qui (hay IFGR2) nếu với mỗi IFS g-đóng F và IFP x(α,β) mà x(α,β) qF , thì tồn tại các IFOS U và V sao cho F ⊆ U, x(α,β) ∈ V và U qV . Rõ ràng, mỗi IFGR2 là IFR2. Ví dụ sau chỉ ra rằng điều ngược lại nói chung là không đúng. 2.2.2 Ví dụ. Xét tập X = {a; b} và τ = {0∼; 1∼;A;B}, trong đó A = 〈 x, ( a 0, 2 , b 0, 5 ) , ( a 0, 8 , b 0, 5 )〉 , B = 〈 x, ( a 0, 8 , b 0, 5 ) , ( a 0, 2 , b 0, 5 )〉 Dễ dàng nhận thấy A ∩B = A, A ∪B = B và A = Bc. Do đó (X, τ) là một IFTS và tập tất cả các IFCS của (X, τ) là τ = {0∼; 1∼;A;B}. Ta sẽ chứng minh (X, τ) là IFR2. Thật vậy, giả sử x(α,β) là một IFP của X và F là một IFCS của X thoả mãn x(α,β) qF . Đặt U = F c và V = F thì U , V là các IFOS thoả mãn x(α,β) ∈ U , F ⊆ V , U qV . Vậy (X, τ) là IFR2-không gian. Tuy nhiên (X, τ) không là IFGR2-không gian. Thật vậy, xét IFP a(0,6;0,4) và IFS F = 〈 x, ( a 0, 4 , b 0, 6 ) , ( a 0, 6 , b 0, 4 )〉 = 〈x, µF , γF 〉. Khi đó vì 1∼ là IFOS duy nhất thoả mãn F ⊆ 1∼ nên cl(F ) ⊆ 1∼. Suy ra F là IFS g-đóng. Vì 0, 6 ≤ γF (a) và 0, 4 ≥ µF (a) nên a(0,6;0,4) ∈ F c hay a(0,6;0,4) qF . Xét tất cả các IFOS U , V ∈ τ = {0∼; 1∼;A;B} thoả mãn a(0,6;0,4) ∈ U ,F ⊆ V thì V = 1∼. Do đó trong tất cả các trường hợp ta luôn có U qV . Vì vậy (X, τ) không là IFGR2-không gian. 2.2.3 Định lý. Một FTS (X, τ) là IFGR2 khi và chỉ khi nó là IFR2 và IFT 1 2 . Chứng minh. Điều kiện cần. Giả sử (X, τ) là IFGR2. Ta cần chứng minh (X, τ) là IFR2 và IFT 1 2 . Thật vậy: giả sử IFP x(α,β) và IFCS F của X thoả mãn x(α,β) qF . Vì F là IFCS nên F là g-đóng. Do X là IFGR2 nên tồn tại các IFOS U và V sao cho x(α,β) ∈ U, F ⊆ V và U qV . Suy ra (X, τ) là IFR2. 21 Để chứng minh (X, τ) là IFT 1 2 , ta chứng minh mỗi IFS g-đóng của X là một IFCS. Giả sử A = 〈x, µA, γA〉 là một IFS g-đóng của X. Ta cần chứng minh A là IFCS tương đương với chứng minh Ac ⊆ cl(A)c. Xét IFP bất kì x(α,β) ∈ Ac. Khi đó x(α,β) qA. Do X là IFGR2 nên tồn tại các IFOS U và V sao cho x(α,β) ∈ U , A ⊆ V và U qV . Theo bổ đề 2.1.4 suy ra U q cl(V ) kéo theo x(α,β) q cl(V ). Suy ra x(α,β) ∈ cl(V )c ⊆ cl(A)c. Do đó Ac ⊆ cl(A)c Điều kiện đủ. Giả sử (X, τ) là IFR2 và IFT 1 2 . Ta cần chứng minh (X, τ) là IFGR2. Thật vậy, giả sử x(α,β)là một IFP của X và F là một IFS g-đóng của X thoả mãn x(α,β) qF . Vì X là IFT 1 2 suy ra F là IFCS. Lại vì X là IFR2 nên tồn tại các IFOS U và V sao cho x(α,β) ∈ U, F ⊆ V và U qV . Do đó (X, τ) là IFGR2.  2.2.4 Định lý. Giả sử (X, τ) là một IFTS. Khi đó các khẳng định sau là tương đương. i) (X, τ) là IFGR2-không gian; ii) Với mỗi IFP x(α,β) trong X và với mỗi IFS g-mở U chứa x(α,β) thì tồn tại một IFOS V chứa x(α,β) sao cho cl(V ) ⊆ U . Chứng minh. i)⇒ ii). Giả sử (X, τ) là IFGR2-không gian, x(α,β) là một IFP của X và U là một IFS g-mở của X thoả mãn x(α,β) ∈ U . Ta cần chứng minh tồn tại một IFOS V sao cho x(α,β) ∈ V và cl(V ) ⊆ U . Thật vậy, vì x(α,β) ∈ U suy ra x(α,β) qU c. Vì X là IFGR2 và U c là IFS g-đóng nên tồn tại các IFOS V vàW sao cho x(α,β) ∈ V , U c ⊆ W và V qW . Từ V qW theo bổ đề 2.1.4 suy ra cl(V ) qW . Suy ra cl(V ) ⊆ W c. Từ U c ⊆ W suy ra W c ⊆ U . Do đó cl(V ) ⊆ U . ii)⇒ i). Giả sử có ii), ta cần chứng minh X là IFGR2. Xét IFP x(α,β) và IFS g-đóng F của X sao cho x(α,β) qF . Đặt U = F c thì U là IFS g-mở. Từ x(α,β) qF kéo theo x(α,β) ∈ F c = U . Theo giả thiết ii) tồn tại IFOS V sao cho x(α,β) ∈ V và cl(V ) ⊆ U . Đặt W = cl(V )c thì W là IFOS. Từ cl(V ) ⊆ U suy ra U c ⊆ cl(V )c hay F ⊆ W . Từ W = cl(V )c suy ra W q cl(V ) kéo theo W qV . 22 Như vậy với mỗi IFP x(α,β) và mỗi IFS g-đóng F của X sao cho x(α,β) qF tồn tại các IFOS V và W của X thoả mãn x(α,β) ∈ V , F ⊆ W và W qV . Do đó X là IFGR2.  2.2.5 Định lý. Một IFTS (X, τ) là IFGR2 khi và chỉ khi với mỗi IFS g-đóng F trong X và với mỗi IFP x(α,β) với x(α,β) qF , thì tồn tại các IFOS U và V sao cho x(α,β) ∈ U , F ⊆ V và cl(U) q cl(V ). Chứng minh. Điều kiện cần. Giả sử F là một IFS g-đóng trong X và x(α,β) qF . Vì X là IFGR2 nên tồn tại các IFOS W và V trong X sao cho x(α,β) ∈ W,F ⊆ V và W qV . Theo bổ đề 2.1.4 ta có W q cl(V ) kéo theo x(α,β) q cl(V ). Mặt khác, từ X là IFGR2 và x(α,β) q cl(V ) suy ra tồn tại các IFOS G và H trong X sao cho x(α,β) ∈ G, cl(V ) ⊆ H và G qH. Từ đó đặt U = W ∩ G thì U và V là các IFOS trong X thỏa mãn x(α,β) ∈ U, F ⊆ V và cl(U) q cl(V ). Điều kiện đủ. Hiển nhiên.  2.2.6 Định nghĩa. Một IFTS (X, τ) được gọi là IF -đối xứng (IF - symmetric) khi và chỉ khi từ x(α,β) q cl(y(r,s)) kéo theo y(r,s) q cl(x(α,β)) với mọi IFP x(α,β), y(r,s) trong X. 2.2.7 Định lý. Một IFTS (X, τ) là IF -đối xứng khi và chỉ khi từ x(α,β) qF kéo theo cl(x(α,β)) qF với mọi IFCS F trong X. Chứng minh. Điều kiện cần. Giả sử (X, τ) là IF -đối xứng, x(α,β) là một IFP và F là một IFCS của X thoả mãn x(α,β) qF . Ta cần chứng minh cl(x(α,β)) qF . Thật vậy, xét một IFP bất kì y(r,s) ∈ F . Vì F là IFCS nên cl(y(r,s)) ⊆ F . Điều này kéo theo x(α,β) q cl(y(r,s)). Vì X là IF -đối xứng nên y(r,s) q cl(x(α,β)). Suy ra y(r,s) ∈ cl(x(α,β))c là IFOS. Vì y(r,s) lấy bất kì nên F ⊆ cl(x(α,β))c. Do đó cl(x(α,β)) qF . Điều kiện đủ. Giả sử với mọi IFP x(α,β) và IFCS F của X mà x(α,β) qF ta có cl(x(α,β)) qF . Xét hai IFP x(α,β) và y(r,s) của X thoả mãn x(α,β) q cl(y(r,s)). Đặt F = cl(y(r,s)). Khi đó F là IFCS. Theo giả thiết 23 điều kiện đủ suy ra cl(x(α,β)) qF . Mà y(r,s) ∈ F nên cl(x(α,β)) q y(r,s). Do đó X là IF -đối xứng.  2.2.8 Hệ quả. Một IFTS (X, τ) là IF -đối xứng khi và chỉ khi x(α,β) là g-đóng với mỗi IFP x(α,β) trong X. Chứng minh. Điều kiện cần. Giả sử X là IF -đối xứng, x(α,β) là một IFP của X. Ta cần chứng minh x(α,β) là một IFS g-đóng. Xét V là một IFOS bất kì của X sao cho x(α,β) ∈ V , suy ra x(α,β) qV c và V c là IFCS. Theo định lí 2.2.7 ta có cl(x(α,β)) qV c. Kéo theo cl(x(α,β)) ⊆ V . Do đó x(α,β) là một IFS g-đóng. Điều kiện đủ. Giả sử với mọi IFP x(α,β) củaX thì x(α,β) là IFS g-đóng. Ta cần chứng minh X là IF -đối xứng. Thật vậy, xét x(α,β) và y(r,s) là hai IFP bất kì của X thoả mãn x(α,β) q cl(y(r,s)). Suy ra x(α,β) ∈ cl(y(r,s))c và cl(y(r,s))c là IFOS. Vì x(α,β) là IFS g-đóng nên cl(x(α,β)) ⊆ cl(y(r,s))c. Suy ra cl(x(α,β)) q cl(y(r,s)). Từ đó ta có cl(x(α,β)) q y(r,s). Do đó X là IF -đối xứng.  2.2.9 Nhận xét. Hiển nhiên là mỗi IFT1-không gian là không gian IF -đối xứng. Ví dụ sau chỉ ra rằng điều ngược lại nói chung là không đúng. Ví dụ. Xét X = {a} và τ = {0∼; 1∼; a(0,5;0,5)}. Khi đó (X, τ) là một IFTS và tập tất cả các IFCS của nó là τ . Ta chứng minh (X, τ) là IF -đối xứng. Thật vậy, giả sử a(α;β) là một IFP bất kì của X và U là một IFOS trong X thoả mãn a(α;β) ∈ U . Vì U cũng là IFCS và a(α;β) ∈ U nên cl(a(α;β)) ⊆ U . Do đó a(α;β) là một IFS g-đóng. Nhờ Hệ quả 2.2.8 suy ra (X, τ) là IF -đối xứng. Tuy nhiên (X, τ) không là IFT1. Thật vậy, xét IFP a(0,4;0,6) thì a(0,4;0,6) không là IFCS. Do đó (X, τ) không là IFT1-không gian. 2.2.10 Định nghĩa. Một IFGR2 và IF -đối xứng được gọi là IFG3- không gian. 2.2.11 Định lý. Nếu một IFTS (X, τ) là IFG3-không gian, thì nó là IFT2 1 2 -không gian. 24 Chứng minh. Xét hai IFP x(α,β) và y(r,s) của X mà x(α,β) q y(r,s). Do X là IF -đối xứng nên theo hệ quả 2.2.8 x(α,β) là IFS g-đóng. Mặt khác X là IFGR2 nên theo định lí 2.2.5, tồn tại các IFOS U và V sao cho x(α,β) ∈ U , y(r,s) ∈ V và cl(U) q cl(V ). Do đó X là IFT2 1 2 -không gian. Vì mỗi không gian IFT2 1 2 là không gian IFT2, nên từ Định lí 2.2.11 ta có ngay hệ quả sau 2.2.12 Hệ quả. Nếu IFTS (X, τ) là IFG3-không gian, thì nó là IFT2- không gian. 2.2.13 Định lý. Một IFTS (X, τ) là IFG3 khi và chỉ khi nó là IFT3. Chứng minh. Giả sử X là IFG3-không gian. Khi đó X là IFGR2- không gian và IF -đối xứng. Mỗi IFGR2-không gian là IFR2 và mỗi IFG3-không gian là IFT2 và cũng là IFT1. Do đó X là IFR2 và IFT1. Suy ra X là FT3. Ngược lại, giả sử X là IFT3-không gian. Suy ra X là IFR2 và IFT1. Do đó nó là IFT 1 2 và IF -đối xứng. Từ X là IFR2 và IFT 1 2 kéo theo X là IFGR2. Kết hợp với X là IF -đối xứng suy ra X là IFG3.  25 2.3. KHÔNG GIAN IFG-CHUẨN TẮC 2.3.1 Định nghĩa. Một IFTS (X, τ) được gọi là IFg-chuẩn tắc (hay IFGR3) nếu với mọi IFS g-đóng F1 và F2 mà F1 qF2, thì tồn tại các IFOS U và V sao cho F1 ⊆ U, F2 ⊆ V và U qV . 2.3.2 Nhận xét. Mỗi IFGR3-không gian là IFR3. 2.3.3 Định lý. Nếu IFTS (X, τ) là IFR3 và IFT 1 2 thì nó là IFGR3- không gian. Chứng minh. Giả sử F1 và F2 là các IFS g-đóng của X thoả mãn F1 qF2. Vì X là IFT 1 2 suy ra F1 và F2 là các IFCS. Lại vì X là IFR2 nên tồn tại các IFOS U và V sao cho F1 ⊆ U, F2 ⊆ V và U qV . Do đó (X, τ) là IFGR3.  2.3.4 Định lý. Giả sử (X, τ) là một IFTS. Khi đó các khẳng định sau là tương đương: i) (X, τ) là IFGR3-không gian; ii) Với mỗi IFS g-đóng F và mỗi IFS g-mở U chứa F , tồn tại một IFOS V sao cho F ⊆ V ⊆ cl(V ) ⊆ U . Chứng minh. i) ⇒ ii) Giả sử (X, τ) là một IFGR3-không gian, F là một IFS g-đóng và U là một IFS g-mở của X sao cho F ⊆ U . Khi đó F qU c và U c là IFS g-đóng. Vì X là IFGR3 nên tồn tại các IFOS V và W sao cho F ⊆ V , U c ⊆ W và V qW . Từ U c ⊆ W suy ra W c ⊆ U . Từ V qW và W là IFOS suy ra cl(V ) qW kéo theo cl(V ) ⊆ W c. Từ đó suy ra F ⊆ V ⊆ cl(V ) ⊆ U . ii) ⇒ i) Giả sử có ii) ta cần chứng minh X là IFGR3-không gian. Xét hai IFS g-đóng F1 và F2 thoả mãn F1 qF2. Suy ra F1 ⊆ F c2 và F c2 là IFS g-mở. Theo giả thiết ii) tồn tại IFOS V sao cho F1 ⊆ V ⊆ cl(V ) ⊆ F c2 . Đặt U = cl(V )c thì U là IFOS. Từ cl(V ) ⊆ F c2 suy ra F2 ⊆ cl(V )c = U . Vì V ⊆ cl(V ) suy ra V q cl(V )c hay V qU . Như vậy tồn tại các IFOS U và V thoả mãn F1 ⊆ V , F2 ⊆ U và V qU . Vậy X là IFGR3-không gian.  26 2.3.5 Định lý. Một IFTS (X, τ) là IFGR3 khi và chỉ khi với mỗi cặp IFS g-đóng F1 và F2 mà F1 qF2, thì tồn tại các IFOS U và V sao cho F1 ⊆ U, F2 ⊆ V và cl(U) q cl(V ). Chứng minh Điều kiện cần. Giả sử (X, τ) là IFGR3-không gian và F1 và F2 là các IFS g-đóng trong X với F1 qF2. Khi đó tồn tại các IFOS W và V trong X sao cho F1 ⊆ W,F2 ⊆ V và W qV. Từ W qV suy ra W q cl(V ), kéo theo F1 q cl(V ). Từ đó do X là IFGR3 nên tồn tại các IFOS G vàH trongX sao cho F1 ⊆ G, cl(V ) ⊆ H và G qH. Suy ra cl(G) qH. Đặt U = W ∩G, thì U là IFOS, F1 ⊆ U . Từ G qH suy ra cl(G) qH, mà cl(V ) ⊆ H suy ra cl(G) q cl(V ). Do U ⊆ G suy ra cl(U) ⊆ cl(G). Từ đó ta có cl(U) q cl(V ). Điều kiện đủ. Là hiển nhiên vì từ cl(U) q cl(V ) suy ra ngay U qV .  2.3.6 Định nghĩa. Một IFGR3-không gian và IF -đối xứng được gọi là IFG4-không gian. 2.3.7 Định lý. Mỗi IFG4-không gian cũng là IFG3-không gian. Chứng minh. Giả sử (X, τ) là IFG4-không gian. Khi đó X là IFGR3 và IF -đối xứng. Xét IFS g-đóng F và IFP x(α,β) thoả mãn x(α,β) qF . Vì X là IF -đối xứng nên x(α,β) là IFS g-đóng. Từ đó do X là IFGR3 nên tồn tại các IFOS U và V sao cho x(α,β) ∈ U , F ⊆ V và U qV . Suy ra X là IFGR2. Kết hợp với X là IF -đối xứng ta có X là IFG3-không gian.  2.3.8 Định lý. Một IFTS (X, τ) là IFG4 khi và chỉ khi nó là IFT4. Chứng minh. Giả sử (X, τ) là IFG4-không gian. Khi đó X là IFGR3 và IF -đối xứng. Từ X là IFGR3 suy ra X là IFR3. Vì X là IFG4, theo định lí 2.3.7 X là IFG3. Từ đó theo hệ quả 2.2.12 X là IFT2 và do đó X là IFT1. Do X là IFR3 và X là IFT1 suy ra X là IFT4. Ngược lại, giả sử X là IFT4-không gian. Khi đó X là IFR3 và IFT1. Từ X là IFT1 suy ra X là IF -đối xứng và IFT 1 2 -không gian. Do X là IFT3 và IFT 1 2 kéo theo X là IFGR3. Vì X là IFGR3 và IF -đối xứng suy ra X là IFG4.  27 2.4. MỘT VÀI ĐỊNH LÍ BẢO TỒN Sau đây, chúng tôi đưa ra một vài định lí bảo tồn các không gian IFGR2 và IFGR3. Đầu tiên cần các định nghĩa. 2.4.1 Định nghĩa. Giả sử f : (X, τ) → (Y,∆) là một ánh xạ từ IFTS (X, τ) vào IFTS (Y,∆). Khi đó 1) f được gọi là IFg-liên tục nếu nghịch ảnh của mỗi IFCS trong Y là IFS g-đóng trong X. 2) f được gọi là IFgc-không giải được (irresolute) nếu nghịch ảnh của mỗi IFS g-đóng trong Y là IFS g-đóng trong X. 3) f được gọi là IFg-đóng nếu f(F ) là IFS g-đóng trong Y với mọi F là IFCS trong X. 4) f được gọi là IF -hầu mở (IF -almost open) nếu f(U) là IFOS trong Y với mọi U là IFS mở chính qui. 5) f được gọi là IF -hầu đóng (IF -almost closed) nếu f(F ) là IFCS trong Y với mọi F là IFS đóng chính qui. Rõ ràng là mọi ánh xạ IF -mở (IF -đóng) là ánh xạ IF -hầu mở (IF - hầu đóng). 2.4.2 Bổ đề. Nếu f : (X, τ)→ (Y,∆) là một song ánh IF -mở và IFg- liên tục, thì f là IFgc-không giải được. Chứng minh. Giả sử F là một IFS g-đóng bất kì trong (Y,∆). Ta sẽ chứng minh f−1(F ) là một IFS g-đóng trong (X, τ). Thật vậy, giả sử U là một IFOS trong X và f−1(F ) ⊆ U . Khi đó f(f−1(F )) ⊆ f(U). Do f là ánh xạ lên nên F = f(f−1(F )). Suy ra F ⊆ f(U). Vì f là IF -mở nên f(U) là IFOS trong Y . Vì F là IFS g-đóng nên cl(F ) ⊆ f(U). Vì f là song ánh suy ra f−1(cl(F )) ⊆ f−1(f(U)) = U . Do f là IFg-liên tục nên f−1(cl(F )) là một IFS g-đóng trong X. Suy ra cl(f−1(cl(F ))) ⊆ U . 28 Mặt khác F ⊆ cl(F ) nên f−1(F ) ⊆ f−1(cl(F )). Suy ra cl(f−1(F )) ⊆ cl(f−1(cl(F ))). Điều này kéo theo cl(f−1(F )) ⊆ U . Như vậy với mỗi IFOS U mà f−1(F ) ⊆ U thì cl(f−1(F )) ⊆ U . Suy ra f−1(F ) là IFS g-đóng trong Y . Vậy f là IFgc-không giải được.  2.4.3 Định lý. Nếu f : (X, τ) → (Y,∆) là một song ánh IF -mở, IFg- liên tục và X là IFGR2, thì Y là IFGR2. Chứng minh. Xét IFP y(r,s) và IFS g-đóng F của Y thoả mãn y(r,s) qF . Vì f song ánh nên tồn tại duy nhất x ∈ X sao cho f(x) = y. Ta có IFP x(r,s) của X và f(x(r,s)) = y(r,s). Từ y(r,s) qF suy ra y(r,s) ∈ F c. Kéo theo f(x(r,s)) ∈ F c. Từ đó x(r,s) = f−1(f(x(r,s))) ⊆ f−1(F c) = (f−1(F ))c hay x(r,s) q f −1(F ). Theo bổ đề 2.4.2 f là IFgc-không giải được nên f−1(F ) là IFS g-đóng trong X. Vì X là IFGR2 nên tồn tại các IFOS U và V của X sao cho x(r,s) ∈ U , f−1(F ) ⊆ V và U qV . Do f là IF -mở và song ánh suy ra f(U) và f(V ) là các IFOS trong Y và y(r,s) = f(x(r,s)) ∈ f(U), F = f(f−1(F )) ⊆ f(V ). Từ U qV kéo theo U ⊆ V c. Vì f là song ánh suy ra f(U) ⊆ f(V c) = (f(V ))c. Do đó f(U) q f(V ). Vậy Y là IFGR2-không gian.  2.4.4 Định lý. Nếu f : (X, τ) → (Y,∆) là một đơn ánh IF -liên tục, IFg-đóng và Y là IFGR2, thì X là IFGR2. Chứng minh. Xét x(α,β) và F lần lượt là IFP và IFS g-đóng của X thoả mãn x(α,β) qF . Trước hết ta chứng minh f(F ) là IFS g-đóng trong Y . Thật vậy, giả sử f(F ) ⊆ G với G là IFOS trong Y . Vì f là IF -liên tục nên f−1(G) là IFOS trong X. Vì F ⊆ f−1(f(F )) ⊆ f−1(G) và F là IFS g-đóng của X nên cl(F ) ⊆ f−1(G). Suy ra f(cl(F )) ⊆ f(f−1(G)) ⊆ G. Từ f là IFg-đóng suy ra f(cl(F )) là IFS g-đóng trong Y . Suy ra cl(f(cl(F ))) ⊆ G. Từ đó ta có cl(f(F )) ⊆ cl(f(cl(F ))) ⊆ G. Do đó f(F ) là IFS g-đóng trong Y . Vì x(α,β) qF , nên x(α,β) ⊆ F c, suy ra f(x(α,β)) ⊆ f(F c). Lại vì f đơn ánh nên f(F c) ⊆ f(F )c. Do đó f(x(α,β)) ⊆ f(F )c, suy ra f(x(α,β)) q f(F ). Vì Y là IFGR2 nên tồn tại các IFOS U và V của Y sao cho f(x(α,β)) ∈ U , 29 f(F ) ⊆ V và U qV . Từ đó ta thu được x(α,β) ∈ f−1(U), F ⊆ f−1(V ) và f−1(U) q f−1(V ). Vì f là IF -liên tục nên f−1(U), f−1(V ) là các IFOS của X. Vậy X là IFGR2-không gian.  2.4.5 Định lý. Nếu f : (X, τ) → (Y,∆) là một ánh xạ lên IF -hầu mở, IFgc-không giải được, IF -hầu đóng và X là IFGR2-không gian, thì Y là IFGR2. Chứng minh. Xét y(r,s) là một IFP của Y và V là một IFS g-mở của Y sao cho y(r,s) ∈ V . Vì f là ánh xạ lên nên tồn tại IFP x(α,β) của X sao cho x(α,β) ∈ f−1(y(r,s)). Suy ra x(α,β) ∈ f−1(V ). Vì f là IFgc-không giải được nên f−1(V ) là IFS g-mở trong X. Vì X là IFGR2 nên theo định lí 2.2.4 tồn tại một IFOS U của X sao cho x(α,β) ∈ U ⊆ cl(V ) ⊆ f−1(V ). Khi đó, y(r,s) ∈ f(U). Do U là IFOS nên U = int(U) ⊆ int(cl(U)). Suy ra y(r,s) ∈ f(U) ⊆ f(int(cl(U))) ⊆ f(cl(U)) ⊆ f(f−1(V )) ⊆ V . Đặt G = f(int(cl(U))). Vì f là IF -hầu mở, int(cl(U)) là IFS mở chính qui nên G là IFOS trông Y . Vì f là IF -đóng nên f(cl(U)) là IFCS trong Y . Như vậy ta thu được y(r,s) ∈ G ⊆ cl(G) ⊆ f(cl(U)) ⊆ V . Vậy theo định lí 2.2.4 Y là IFGR2-không gian.  2.4.6 Định lý. Nếu f : (X, τ)→ (Y,∆) là một song ánh, IF -mở, IFg- liên tục và X là IFGR3, thì Y là IFGR3. Chứng minh. Giả sử F1 và F2 là các IFS g-đóng bất kì trong Y sao cho F1 qF2. Theo bổ đề 2.4.2 f là IFgc-không giải được, suy ra f−1(F1) và f−1(F2) là các IFS g-đóng trong X. Và từ F1 qF2 suy ra f−1(F1) q f−1(F2). VìX là IFGR3 nên tồn tại các IFOS U và V củaX sao cho f −1(F1) ⊆ U, f−1(F2) ⊆ V và U qV . Vì f là IF -mở nên f(U) và f(V ) là các IFOS trong Y . Từ U qV suy ra U ⊆ V c. Vì f song ánh nên f(U) ⊆ f(V c) = (f(V ))c hay f(U) q f(V ). Rõ ràng là F1 ⊆ f(U), F2 ⊆ f(V ). Vậy Y là IFGR3-không gian.  2.4.7 Định lý. Nếu f : (X, τ) → (Y,∆) là một đơn ánh, IF -liên tục, IFg-đóng và Y là IFGR3, thì X là IFGR3. 30 Chứng minh. Giả sử F1 và F2 là các IFS g-đóng trong X thoả mãn F1 qF2. Trước hết ta chứng minh f(F1) và f(F2) là các IFS g-đóng trong Y . Thật vậy, giả sử f(F1) ⊆ G với G là IFOS trong Y . Vì f là IF - liên tục nên f−1(G) là IFOS trong X. Vì F1 ⊆ f−1(f(F1)) ⊆ f−1(G) và F1 là IFS g-đóng của X nên cl(F1) ⊆ f−1(G), suy ra f(cl(F1)) ⊆ f(f−1(G)) ⊆ G. Vì f là IFg-đóng nên f(cl(F1)) là IFS g-đóng trong Y . Suy ra cl(f(cl(F1))) ⊆ G. Từ đó ta có cl(f(F1)) ⊆ cl(f(cl(F1))) ⊆ G. Do đó f(F1) là IFS g-đóng trong Y , tương tự ta có f(F2) là IFS g-đóng. Vì F1 qF2, nên F1 ⊆ F c2 . Suy ra f(F1) ⊆ f(F c2 ). Do f đơn ánh nên f(F c2 ) ⊆ (f(F2))c, suy ra f(F1) ⊆ (f(F2))c hay f(F1) q f(F2). Vì Y là IFGR3 nên tồn tại các IFOS U và V sao cho f(F1) ⊆ U , f(F2) ⊆ V và U qV . Ta thu được F1 ⊆ f−1(U), F2 ⊆ f−1(V ) với f−1(U) và f−1(V ) là các IFOS của X thoả mãn f−1(U) q f−1(V ). Vậy X là IFGR3-không gian.  KẾT LUẬN Sau một thời gian làm việc nghiêm túc, chúng tôi đã đạt được các kết quả chính sau đây: 1. Hệ thống một số khái niệm và tính chất cơ bản của tập mờ trực giác, không gian tôpô mờ trực giác đã được đề cập trong các tài liệu tham khảo [2], [4]. 2. Đưa ra khái niệm hai tập mờ trực giác tựa trùng, định nghĩa các không gian IFT 1 2 , IFT1, IFT2, IFT2 1 2 , IFR2, IFR3, IFT3, IFT4. Đưa ra mối quan hệ giữa các không gian này: từ không gian IFT1 suy ra không gian IFT 1 2 (Định lí 2.1.11); không gian IFT2 suy ra không gian IFT1 (Hệ quả 2.1.13). Ngoài ra chúng tôi còn đưa ra được các đặc trưng của không gian IFT1 (Định lí 2.1.12), không gian IFR2 (Định lí 2.1.14), không gian IFR3 (Định lí 2.1.15). 3. Đưa ra khái niệm không gian IFGR2 (Định nghĩa 2.2.1), đưa ra các đặc trưng của một không gian IFGR2 (các Định lí 2.2.4, Định lí 2.2.3, Định lí 2.2.5). Chúng tôi đưa ra định nghĩa không gian IF -đối xứng (Định nghĩa 2.2.6), các đặc trưng của không gian IF -đối xứng (Định lí 2.2.7, hệ quả 2.2.8), định nghĩa không gian IFG3 (Định nghĩa 2.2.10), mối quan hệ giữa không gian IFG3 và các không gian IFT2, IFT3 (Định lí 2.2.11, hệ quả 2.2.12, Định lí 2.2.13). 4. Đưa ra khái niệm không gian IFGR3 (Định nghĩa 2.3.1), các đặc trưng của không gian IFGR3 (các Định lí 2.3.3, Định lí 2.3.4, Định lí 2.3.5). định nghĩa không gian IFG4 (Định nghĩa 2.3.6), mối quan hệ giữa không gian IFG4 và các không gian IFG3, IFT4 (Định lí 2.3.7, Định lí 2.3.8). 5. Trong luận văn này chúng tôi còn đưa ra một số định lí bảo tồn các không gian IFGR2 và IFGR3. 31 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] J. L. Kelly, Tôpô đại cương, Nxb ĐH và THCN, Hà Nội 1973. [2] D. Coker (1997), An introduction to intuitionistic fuzzy topological spaces, Fuzzy set and system, 88 , 81-89. [3] M. E. El-Shafei (2005), Some applications of generalized closed sets in fuzzy topologicla spaces, KYUNGPOOK Math. J , 45, 13-19. [4] S. J. Lee and E. P. Lee (2000), The category of intuitionistic fuzzy topological spaces, Bull, Korean Math. Soc, 37, (1), pp. 63-76. [5] J. H. Park, J. K. Park (2004), Hausdorrffness on generalized intu- itionistic fuzzy filters, Information Sciences, 168, 95-110. 32