Luận văn Nghiên cứu dao động riêng của tấm làm bằng vật liệu có cơ tính biến thiên

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRẦN THỊ NHẬT NGUYÊN NGHIÊN CỨU DAO ĐỘNG RIÊNG CỦA TẤM LÀM BẰNG VẬT LIỆU CÓ CƠ TÍNH BIẾN THIÊN Chuyên nghành : Xây dựng công trình dân dụng và công nghiệp Mã số : 60.58.20 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KỸ THUẬT Đà Nẵng – Năm 2013 Công trình được hoàn thành tại ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Lê Ngọc Thạch Phản biện 1: GS.TS. Phạm Văn Hội Phản biện 2: TS. Nguyễn Xuân Toản Luận văn được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ kỹ thuật họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày 28 tháng 9 năm 2013. Có thể tìm hiểu luận văn tại: − Trung tâm Thông tin-Học liệu, Đại học Đà Nẵng − Trung tâm học liệu, Đại học Đà Nẵng 1 MỞ ĐẦU 1. Tính cấp thiết và ý nghĩa thực tiễn của đề tài Vật liệu có cơ tính biến thiên là một loại composite thế hệ mới với chức năng được biến đổi thông minh theo chiều dày kết cấu để phù hợp với các yêu cầu cụ thể của người sử dụng. Đặc tính kháng nhiệt nổi bật của loại vật liệu này giúp cho nó trở thành sự lựa chọn lý tưởng cho các kết cấu thường xuyên làm việc trong các môi trường nhiệt độ rất cao và chịu sự truyền nhiệt lớn như: các thiết bị luyện kim, các thiết bị trong lò phản ứng hạt nhân và các bộ phận của máy bay, tên lửa, Tuy nhiên, dù có tầm quan trọng rất lớn trong ứng dụng thực tế, các nghiên cứu về ứng xử cơ học của các loại kết cấu được chế tạo từ vật liệu có cơ tính biến thiên nói chung vẫn còn hạn chế. LÜnh vùc h¹t nh©n (Nhiªn liÖu h¹t, t−êng plasma trong lß ph¶n øng nhiÖt h¹ch) LÜnh vùc kh«ng gian (bé phËn cña tªn löa, khung m¸y bay kh«ng gian) FGMs C¸c lÜnh vùc kh¸c ( VËt liÖu x©y dùng, cöa kÝnh, dông cô thÓ thao..) LÜnh vùc y häc ( X−¬ng, da nh©n t¹o, nha khoa) LÜnh vùc n¨ng l−îng ( M¸y ph¸t nhiÖt ®iÖn, c¶m biÕn) LÜnh vùc truyÒn th«ng ( Sîi quang häc, chÊt b¸n dÉn) Hình 2. Các ứng dụng tiềm năng của vật liệu FGM 2 2. Mục đích nghiên cứu Mục đích của luận văn là tìm hiểu tổng quan về vật liệu và kết cấu làm bằng vật liệu có cơ tính biến thiên; hệ thống hóa các hệ thức, phương trình cơ bản của bài toán tấm trên cơ sở lý thuyết tấm bậc nhất của Reissner-Mindlin để tính toán tần số dao động riêng cho tấm chế tạo từ vật liệu có cơ tính biến thiên. Chương trình tính toán bằng ngôn ngữ lập trình MAPLE sẽ được xây dựng để khảo sát số các bài toán nhằm rút ra các nhận xét, kết luận bổ ích đối với các kỹ sư thiết kế. 3. Phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Tấm chữ nhật, tựa khớp trên chu vi làm bằng vật liệu có cơ tính biến thiên. Nội dung nghiên cứu: Tính toán tần số dao động riêng, khảo sát ảnh hưởng của các tham số kích thước và vật liệu đến tần số dao động riêng. Phương pháp nghiên cứu trong luận văn là phương pháp giải tích trên cơ sở ứng dụng phần mềm MAPLE 4. Cấu trúc luận văn Luận văn gồm phần mở đầu, 3 chương chính và kết luận: MỞ ĐẦU 1. Tính cấp thiết và ý nghĩa thực tiễn của đề tài 2. Mục tiêu nghiên cứu 3. Phương pháp nghiên cứu Chương 1. Vật liệu có cơ tính biến thiên – các hệ thức cơ bản 1.1 Lý thuyết tấm cổ điển của Kirrchhoff 3 1.2 Lý thuyết tấm bậc nhất của Reisener-Mindlin 1.3 Kết luận chương 1 Chương 2. Phân tích dao động riêng của tấm vật liệu có cơ tính biến thiên theo lý thuyết tấm bậc nhất của Reisener-Mindlin 2.1 Các giả thiết – Các phương trình quan hệ 2.2 Lời giải giải tích 2.3 Kết luận chương 2 Chương 3. Kết quả số và Bình luận KẾT LUẬN 4 CHƯƠNG 1. VẬT LIỆU CÓ CƠ TÍNH BIẾN THIÊN – CÁC HỆ THỨC CƠ BẢN 1.1. ĐẶC TRƯNG CƠ HỌC CỦA VẬT LIỆU FGM 1.1.1. Vật liệu có cơ tính biến thiên (FGMs) Vật liệu có cơ tính biến thiên - FGMs - là một loại composite, có tính chất dị hướng và các đặc tính vật liệu biến đổi liên tục từ mặt này sang mặt khác. Hình 1.1 Cắt ngang tấm vật liệu cơ tính biến thiên (mô tả sự thay đổi mật độ vật liệu theo chiều dày) . Bảng 1.1 .Tính chất của một số vật liệu thành phần sử dụng làm tấm vật liệu cơ tính biến thiên (FGMs) Các tính chất Vật liệu E ( GPa) 0 1[ ]α C− ρ (kg/m3) υ Kim loại (Al) 70 23.10-6 2702 0,3 Gốm (Al2O3) 380 7,2.10-6 3800 0,3 Gốm (ZrO2) 200 10.10-6 5700 0,3 5 1.1.2. Mô hình tấm của vật liệu b h x z y Vz = Vm+ (Vc- Vm)( 12 + zh )p u0 v0 ϑy ϑx w0 z h/2 h/ 2 a Hình 1.2. Tấm FGM – Hệ trục tọa độ và kích thước abh/2h/2 xz yz V z=Vm+(c-)12 +zh)p 1.1.3. Thuộc tính của vật liệu FGM Hình 1.3. Biến thiên môđun đàn hồi của tấm FGM (Al/Al2O3) theo chiều dày 1.2. LÝ THUYẾT TẤM CỔ ĐIỂN KIRCHHOFF– LOVE 1.2.1. Các giả thiết Đoạn thẳng pháp tuyến trước biến dạng là thẳng và vuông góc với mặt trung bình, sau biến dạng vẫn thẳng và vuông góc với mặt trung bình và có độ dài không đổi. 6 1.2.2. Chuyển vị và biến dạng a. Trường chuyển vị 0wu z x ∂ = − ∂ ; (1.6a) 0wv z y ∂ = − ∂ ; (1.6b) 0 ( , )w w x y= ; (1.6c) b. Quan hệ biến dạng – độ cong 2 0 2x wu ε z x x ∂∂ = = − ∂ ∂ (1.7a) 2 0 2y wv ε z y y ∂∂ = = − ∂ ∂ (1.7b) 2 02xy wu v γ z y x x y ∂∂ ∂ = + = − ∂ ∂ ∂ ∂ (1.7c) 1.2.3. Trường ứng suất – các thành phần ứng lực a. Trường ứng suất 2 2 2 2 2 2( ) ( )1 1x x y E Ez w w σ ε υε υ υ υ x y ∂ ∂ = + = − + − − ∂ ∂ ; (1.9a) 2 2 2 2 2 2( ) ( )1 1y y x E Ez w w σ ε υε υ υ υ y x ∂ ∂ = + = − + − − ∂ ∂ ; (1.9b) 2 ( ) 2(1 ) (1 )xy xy E Ez w τ γ υ υ x y ∂ = = − + + ∂ ∂ ; (1.9c) 7 b. Các thành phần của ứng lực 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) (1 ) x y xy yx w wM D υ x y w wM D υ x y wM M D υ x y ∂ ∂ = − + ∂ ∂ ∂ ∂ = − + ∂ ∂ ∂ = = − − ∂ ∂ (1.11) / 2 /2 h x xz y yzh Q τ dzQ τ −        =           ∫ (1.12) c. Phương trình vi phân độ võng của mặt trung bình 4 4 4 4 2 2 42 w w w p x x y y D ∂ ∂ ∂ + + = ∂ ∂ ∂ ∂ hay: 4 pw D ∇ = (1.16) 1.2.4. Điều kiện biên 1.3. LÝ THUYẾT TẤM REISSNER - MINDLIN 1.3.1. Các giả thiết Pháp tuyến vẫn thẳng và có chiều dài không đổi, có thể không còn vuông góc với mặt trung bình. Với biến dạng bé, vẫn coi εz =0 1.3.2. Trường chuyển vị 0( , , ) ( , ) ( , )xu x y z u x y zφ x y= + (1.18a) 0( , , ) ( , ) ( , )yv x y z v x y zφ x y= + (1.18b) 0( , , ) ( , )w x y z w x y= (1.18c) 1.3.3. Trường biến dạng { } { } { }m uε ε ε= + 8 o o xx o o m yy o xy o o u xε v ε ε y ε u v y x  ∂  ∂       ∂  = =   ∂         ∂ ∂ + ∂ ∂  (1.20) x u xx x yu u yy y u xyxy yx φ xε k φ ε ε z k z y kε φφ y x  ∂  ∂        ∂     = = =     ∂             ∂∂  + ∂ ∂   (1.21) o o x xz xz c o oyz yz y w φ γ γ x γ wγ γ φ y ∂  +    ∂      = = =     ∂        +  ∂  (1.22) 1.3.4. Các thành phần ứng suất - Ứng lực a. Trường ứng suất 2 2 1 0 1 0 1 0 . 1 0 1 1 1 10 0 0 0 2 2 o xxxx x o yy yy y o xy xyxy εσ kυ υ E E σ υ ε z υ k υ υ υ υσ kε                      = +         − −         − −              (1.24a) 9 2 1 . . 2 1 o xz xz o yz yz σ γυ E σ υ γ    −    =    −       (1.24b) b. Các thành phần ứng lực Đặt /2 2 2 /2 ( , , ) (1, , ) 1 h h EA B C z z dz υ − = − ∫ 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 10 0 0 0 2 2 x xx xx y yy yy xy xyxy M υ ε υ k M B υ ε C υ k υ ε υ kM                       = +                  − −             (1.25) 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 10 0 0 0 2 2 x xx xx y yy yy xy xyxy N υ ε υ k N A υ ε B υ k υ ε υ kN                       = +                  − −             (1.26) 02 0 2 1 . . 2 h xzx xz y yzh yz σQ γυk k DQ σ γ −     −       = =                   ∫ (1.27) Trong đó: k - hệ số hiệu chỉnh cắt 1.4. KẾT LUẬN CHƯƠNG 1 10 CHƯƠNG 2. PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG RIÊNG CỦA TẤM BẰNG VẬT LIỆU CƠ TÍNH BIẾN THIÊN 2.1. PHƯƠNG TRÌNH QUAN HỆ NỘI LỰC – BIẾN DẠNG CHO TẤM REISSNER - MINDLIN Ứng suất trong tấm bằng vật liệu FGM 0 11 12 11 12 0 12 11 12 11 0 66 66 0 0 0 0 0 0 0 0 x x xx y y yy xy xy yx φ xN A A ε B B φ N A A ε B B y N A γ B φφ y x  ∂  ∂         ∂        = +         ∂                ∂∂  + ∂ ∂   (2.1a) 0 11 12 11 12 0 12 11 12 11 0 66 66 0 0 0 0 0 0 0 0 x x xx y y yy xy xy yx φ xM B B ε C C φ M B B ε C C y M B γ C φφ y x  ∂  ∂         ∂        = +         ∂                ∂∂  + ∂ ∂   (2.1b) 0 44 45 0 45 55 . x xz y yz Q D D γ kQ D D γ         =             (2.1c) 2.2. PHƯƠNG TRÌNH CÂN BẰNG THEO CHUYỂN VỊ Hệ phương trình cân bằng động 2 2 0 0 12 2: xyx xNN u φδu I I x y t t ∂∂ ∂ ∂ + = + ∂ ∂ ∂ ∂ (2.3a) 11 22 0 0 12 2: y xy yN N φvδv I I y x t t ∂ ∂ ∂∂ + = + ∂ ∂ ∂ ∂ (2.3b) 2 2 0 1 22 2: xyx x x x MM u δφ Q I I x y t t ∂∂ ∂ ∂ + + = + ∂ ∂ ∂ ∂ φ (2.3c) 22 0 1 22 2: y xy y y y M M v δφ Q I I y x t t ∂ ∂ ∂∂ + + = + ∂ ∂ ∂ ∂ φ (2.3d) 2 0 0 0 2: yx QQ wδw I x y t ∂∂ ∂ + = ∂ ∂ ∂ (2.3e) 2.3. LỜI GIẢI NAVIER 0 0( , , ) cos sin . iωtmnu x y t u αx βy e= (2.5a) 0 0( , , ) sin cos . iωtmnv x y t v αx βy e= (2.5b) 0 0( , , ) sin sin . iωtmnw x y t w αx βy e= (2.5c) 0( , , ) cos sin . iωtx xmnφ x y t φ αx βy e= (2.5d) 0( , , ) sin cos . iωty ymnφ x y t φ αx βy e= (2.5e) Với /α mpi a= ; /β npi b= ; ω : tần số dao động riêng Thay các thành phần chuyển vị trong (2.5a-e) vào hệ phương trình cân bằng theo chuyển vị (2.4a-e), nhờ trợ giúp của phân mềm toán học MAPLE ta nhận được hệ sau: 12 011 12 13 14 15 0 1 021 22 23 24 25 0 1 2 031 32 33 34 35 0 041 42 43 44 45 1 2 051 52 53 54 55 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 mn mn mn xmn ymn us s s s s I I vs s s s s I I ws s s s s ω I φs s s s s I I φs s s s s I I                         −                             0 0 0 0 0        =          Cũng bằng phần mềm Maple, giải bài toán tìm trị riêng của phương trình (2.6), [S] - λ [M] = 0, ta nhận được tần số dao động riêng của tấm với vật liệu cơ tính biến thiên FGM (xem Phụ lục kèm theo). 2.4. KẾT LUẬN CHƯƠNG 2 13 CHƯƠNG 3. VÍ DỤ SỐ VÀ NHỮNG NHẬN XÉT 3.1. VÍ DỤ 3.1: KHẢO SÁT BIẾN THIÊN CỦA MÔ ĐUN ĐÀN HỒI KÉO NÉN E(Z) DỌC THEO CHIỀU DÀY TẤM VỚI CÁC QUI LUẬT KHÁC NHAU 3.1.1. Vật liệu P-FGM Hình 3.2. Biến thiên của mô đun đàn hồi kéo (nén) trong tấm P-FGM 14 3.1.2. Vật liệu E-FGM Hình 3.3. Biến thiên của mô đun đàn hồi kéo (nén) trong tấm E-FGM 3.1.3. Vật liệu S-FGM Hình 3.4. Biến thiên của mô đun đàn hồi kéo (nén) trong tấm S-FGM 15 3.2. VÍ DỤ 3.2 3.2.1. Ví dụ 3.2a. Kiểm tra độ tin cậy của chương trình tính toán tần số dao động không thứ nguyên . . c c ρ ω ω h E = của tấm FGM (Al/Al2O3), điều kiện biên khớp. Kích thước tấm vuông: a = b; chiều dày h Với m; n = 1;2 Bảng 3.1. Tần số dao động không thứ nguyên ω tấm vuông FGM (Al/Al2O3) với chỉ số hàm mật độ thể tích p và a/h thay đổi a/h (m, n) Mô hình p = 0 p =0,5 p =1 p = 4 p = 10 Luận văn 0,0148 0,0125 0,0113 0,0098 0,0094 FSDT [4] 0,0146 0,0124 0,0112 0,0097 0,0093 HSDT [3] 0,0148 0,0125 0,0113 0,0098 0,0094 20 m = 1 n = 1 FSDT - LV 0,02% 0,01% 0,01% 0,01% 0,01% Luận văn 0,0577 0,0490 0,0442 0,0382 0,0366 FSDT [4] 0,0568 0,0482 0,0435 0,0376 0,0359 HSDT [3] 0,0577 0,0490 0,0490 0,0381 0,0364 m = 1 n = 1 FSDT - LV 0,09% 0,08% 0,48% 0,06% 0,07% Luận văn 0,1376 0,1173 0,1059 0,0911 0,0867 10 m=1 n= 2 FSDT[4] 0,1354 0,1154 0,1042 - 0,0850 16 HSDT [3] 0,1377 0,1174 0,1059 0,0903 0,0856 FSDT - LV 0,22% 0,19% 0,17% 0,08% 0,07% Luận văn 0,2112 0,1805 0,1631 0,1397 0,1324 FSDT [4] 0,2055 0,1757 0,1587 0,1356 0,1284 HSDT [3] 0,2113 0,1807 0,1631 0,1378 0,1301 m=1 n=1 FSDT - LV 0,56% 0,48% 0,44% 0,41% 0,4% Luận văn 0,4618 0,3978 0,3604 0,3049 0,2856 HSDT [3] 0,4623 0,3989 0,3607 0,2980 0,2771 m=1 n=2 Sai lệch 0,05% 0,11% 0,03% 0,69% 0,85% Luận văn 0,6676 0,5779 0,5245 0,4405 0,4097 HSDT [3] 0,6688 0,5803 0,5254 0,4284 0,3948 5 m=2 n=2 Sai lệch 0,12% 0,24% 0,09% 1,21% 1,49% 3.2.2. Ví dụ 3.2b. Kiểm tra độ tin cậy của chương trình tính toán tần số dao động không thứ nguyên . . m m ρ ω ω h E = của tấm FGM (Al/ZrO2) - Kích thước a = b, chiều cao h - Tỷ số a/h = ( 10 ; 5; 10; 20); p = ( 0; 1; 2; 3; 5) - Hệ số Poison: ν = 0,3; (m × n) = (1× 1) 17 Bảng 3.2. Tần số dao động không thứ nguyên ω tấm FGM (Al/ZrO2) của luận văn và các tác giả khác khi chỉ số hàm mật độ thể tích p và a/h thay đổi p = 0 p = 1 a/h = 5 Mô hình a/h = 10 a/h = 10 a/h = 20 a/h = 5 p =2 p = 3 p =5 Luận văn 0,4618 0,0577 0,0158 0,2276 0,2264 0,2276 0,2291 FSDT[4] 0,4618 0,0576 0,0158 0,227 0,2249 0,2254 0,2265 HSDT[3] 0,4623 0,0577 0,0152 0,2169 0,2178 0,2193 0,2206 FSDT- LV 0,00% 0,01% 0,00% 0,06% 0,15% 0,22% 0,26% 3.3. VÍ DỤ 3.3: ẢNH HƯỞNG CỦA TỶ SỐ KÍCH THƯỚC A/H VÀ CHỈ SỐ HÀM MẬT ĐỘ THỂ TÍCH P ĐẾN TẦN SỐ DAO ĐỘNG KHÔNG THỨ NGUYÊN CỦA TẤM FGM (AL/AL 2O3) Kích thước b/a = 2, chiều cao h, tỷ số a/h = (2..100) Hàm mật độ thể tích p (0..500) Hệ số Poison: ν = 0,3; (m; n) = (1;1) 18 Bảng 3.3. Tần số dao động không thứ nguyên ω của tấm FGM khi chỉ số hàm mật độ thể tích p và tỷ số a/h thay đổi a/h p 2 5 10 20 50 100 0 1,3113 0,6882 0,3652 0,1856 0,0746 0,0372 0,5 1,1348 0,5864 0,3098 0,1573 0,0632 0,0316 1 1,0300 0,5295 0,2794 0,1418 0,0569 0,0286 2 0,9299 0,4803 0,2539 0,1289 0,0518 0,0259 5 0,8499 0,4506 0,2400 0,1221 0,0491 0,0246 10 0,8050 0,4335 0,2320 0,1182 0,0475 0,0238 20 0,7617 0,4109 0,2199 0,1121 0,0451 0,0226 30 0,7393 0,3974 0,2124 0,1082 0,0435 0,0218 50 0,7164 0,3828 0,2042 0,1040 0,0418 0,0209 100 0,6947 0,3685 0,1962 0,0998 0,0401 0,0201 200 0,6819 0,3600 0,1913 0,0973 0,0391 0,0196 500 0,6734 0,3543 0,1881 0,0957 0,0384 0,0192 19 Hình 3.5. Tần số dao động không thứ nguyên ω (m = n =1), của tấm FGM biên tựa khớp, với p thay đổi theo các giá trị của tỷ số a/h Hình 3.6. Tần số dao động không thứ nguyên ω (m = n =1), của tấm FGM biên tựa khớp, với tỷ số a/h thay đổi theo giá trị của p 20 3.4. VÍ DỤ 3.4: ẢNH HƯỞNG CỦA TỶ SỐ KÍCH THƯỚC TẤM A/H VÀ B/A ĐẾN TẦN SỐ DAO ĐỘNG KHÔNG THỨ NGUYÊN . . c c ρ ω ω h E = CủA TấM FGM (AL/AL2O3) Chỉ số kích thước a× b, chiều cao h Tỷ số b/a = (1..3) và a/h = (2..100) Chỉ số hàm mật độ thể tích p = 0,2 Bảng 3.4.Tần số dao động không thứ nguyên ω của tấm FGM khi tỷ số b/a và a/h thay đổi a/h b/a 2 5 10 50 100 1 1,7424 0,9845 0,5362 0,1107 0,0554 1,5 1,3725 0,7323 0,3907 0,0800 0,0400 2 1,2299 0,6407 0,3392 0,0692 0,0346 2,5 1,1611 0,5976 0,3153 0,0643 0,0321 3 1,1229 0,5740 0,3022 0,0616 0,0308 21 Hình 3.7. Tần số dao động không thứ nguyên ω (m = n =1), của tấm FGM biên tựa khớp, với tỷ số a/h thay đổi theo các giá trị của tỷ số b/a, p = 0,2 Hình 3.8. Tần số dao động không thứ nguyên ω (m = n =1), của tấm FGM biên tựa khớp, với tỷ số b/a thay đổi theo các giá trị của tỷ số a/h; p = 0,2 22 3.5. VÍ DỤ 3.5 SO SÁNH TẦN SỐ DAO ĐỘNG CƠ BẢN (M = N =1) CỦA TẤM FGM LÀM TỪ 2 LOẠI CERAMIC KHÁC NHAU: FGM1 (AL/AL2O3) VÀ FGM2 (AL/ZrO2) Chỉ số kích thước a = 8m; b = 2a; chiều cao h=0,1 Chỉ số tỷ lệ thể tích p = (0..1000) Hệ số Poison: ν = 0,3; (m;n) = (1;1) Bảng 3.5. Tần số dao động cơ bản ω (m = n = 1) của tấm FGM1 tạo thành từ (Al/Al2O3) và tấm FGM2 tạo thành từ (Al/ZrO2) khi chỉ số hàm mật độ thể tích p thay đổi Tần số dao động cơ bản ω p Al/Al2O3 Al/ZrO2 0 0,00184 0,00109 0,5 0,00156 0,00103 1 0,00141 0,00100 2 0,00128 0,00100 5 0,00121 0,00103 10 0,00118 0,00102 50 0,00103 0,00097 100 0,00099 0,00096 1000 0,00094 0,00094 23 Hình 3.9. Tần số dao động cơ bản ω (m = n = 1) của tấm FGM1 tạo thành từ (Al/Al2O3) và tấm FGM2 tạo thành từ (Al/ZrO2) khi chỉ số hàm mật độ thể tích p thay đổi 3.6. KẾT LUẬN CHƯƠNG 3 Với mục đích khảo sát kết quả số bài toán dao động tự do của tấm FGM, tác giả đã xây dựng chương trình tính theo lời giải giải tích bằng ngôn ngữ MAPLE để tính toán tần số dao động riêng của tấm. Chương trình tính cho phép tính toán tần số dao động riêng của tấm với các dạng dao động khác nhau (m, n thay đổi) và khảo sát các bài toán sau: Xét ảnh hưởng của tham số vật liệu - chỉ số hàm mật độ thể tích p đến tần số dao động không thứ nguyên của tấm. Xét ảnh hưởng của tỷ lệ kích thước tấm b/a, a/h đến tần số dao động không thứ nguyên của tấm. Xét ảnh hưởng của các vật liệu thành phần của composite FGM đến tần số dao động cơ bản ω của tấm 24 KẾT LUẬN Với đề tài “Nghiên cứu dao động riêng của tấm làm bằng vật liệu có cơ tính biến thiên” theo lý thuyết tấm bậc nhất của Reissner – Mindlin, luận văn đã giải quyết được các vấn đề như sau: 1. Tìm hiểu tổng quan về loại composite thế hệ mới – FGM. Các ứng dụng và mô hình tính toán trong nghiên cứu về ứng xử cơ học của tấm FGM 2. Sử dụng mô hình biến dạng cắt bậc nhất của Reissner – Mindlin và áp dụng lời giải của Navier để xây dựng lời giải giải tích, chương trình tính bằng ngôn ngữ MAPLE nhằm tính toán tần số dao động riêng của tấm FGM (tần số dao động không thứ nguyên), bốn biên tựa khớp. 3. Trên cơ sở chương trình tính viết bằng ngôn ngữ MAPLE, đã khảo sát các ảnh hưởng của chỉ số p, tỷ số kích thước a/h, a/b đến tần số dao động của tấm FGM 4. Các nhận xét rút ra từ các ví dụ số là tư liệu tham khảo cho các kỹ sư khi tính toán thiết kế các kết cấu bằng vật liệu FGM Do quỹ thời gian hạn hẹp nên luận văn chỉ đưa ra lời giải giải tích cho tấm FGM, biên tựa khớp. Các nghiên tiếp theo sẽ xây dựng lời giải số cho tấm với các hình dạng và điều kiện biên khác nhau. Bài toán dao động cưỡng bức, bài toán dao động có xét đến ảnh hưởng của nhiệt độ cũng là những chủ đề hấp dẫn.