Luận văn Nghiên cứu Didactic toán về mối liên hệ giữa "phương pháp vectơ" và "phương pháp tọa độ" trong dạy học Hình học ở lớp 12

hệ trục tọa độ và có tọa độ D, G, E Viết phƣơng trình đƣờng thẳng (DE) nhƣ trên (S5) Phƣơng trình đƣờng thẳng (DE) : 5bx + cy - 2bc = 0 (1) Viết phƣơng tình đƣờng thẳng (GE) (GE) qua có một vectơ chỉ phƣơng nên một vectơ pháp tuyến là => Phƣơng trình tổng quát của đƣờng thẳng (GE): 5bx + cy - 2bc = 0 (2) từ (1) và (2) cho ta hai đƣờng thẳng (GE), (DE) trùng nhau => D, G, E thẳng hàng. Chƣơng III : Những vấn đề đặt ra Võ Hoàng Võ Hoàng 60 III./ Phân tích A POSTERIORI A. Bài toán 1 : Bài toán này đƣợc đƣa cho 89 học sinh làm và thu đƣợc kết quả cho bởi bảng sau : Chiến lƣợc Tổng hợp Vectơ Tọa đô Vectơ - tọa độ Giải tích Số lƣợng Đúng Sai Chƣa cho kết quả Đúng Sai Chƣa cho kết quả Đúng Sai Chƣa cho kết quả Đúng Sai Chƣa cho kết quả 44 21 17 13 0 6 22 0 3 5 0 5 Tổng cộng có 89 bài làm thì có 136 lời giải, trong đó : Chiến lƣợc tổng hợp: 82; vectơ : 19; vectơ - tọa độ : 25; giải tích : 10. Số học sinh chỉ giải bằng phƣơng pháp tổng hợp : 48 Số học sinh có giải bằng phƣơng pháp vectơ : 6 Số học sinh có giải bằng phƣơng pháp tọa độ : 22 Số học sinh có giải bằng cả 2 phƣơng pháp (phƣơng pháp tọa độ + phƣơng pháp vectơ): 13 Qua kết quả này cho thấy : ♦ Chiến lƣợc chủ đạo mà học sinh sử dụng là chiến lƣợc tổng hợp 82/136 - gần 60,2%. Tuy nhiên, tỉ lệ thành công của phƣơng pháp tổng hợp cũng chỉ hơn một nửa (44 so với 38 bài làm sai hoặc chƣa cho kết quả). Điều này cũng cho chúng ta thấy, ảnh hƣởng của Hình học ở lớp dƣới đối với học sinh còn khá lớn. Bởi vì lời phát biểu bài toán không liên quan đến vectơ và cũng nhƣ tọa độ. Có 35 lời giải sử dụng phƣơng pháp tọa độ (25,7%) trong khi đó chỉ có 19 lời giải dùng phƣơng pháp vectơ (13,9%). Hơn nữa tỉ lệ thành công của phƣơng pháp tọa độ cũng cao hơn so với phƣơng pháp vectơ (71% so với 68%). Chƣơng III : Những vấn đề đặt ra Võ Hoàng Võ Hoàng 61 Điều này cho thấy rằng học sinh sử dụng phƣơng pháp tọa độ dễ dẫn đến thành công hơn so với phƣơng pháp vectơ. Hơn nữa, mức độ thƣờng xuyên sử dụng phƣơng pháp tọa độ cũng lớn hơn so với phƣơng pháp vectơ. B. Bài toán 2 : Có 112 bài kết quả cho bởi bảng sau : Chiến lƣơc Tổng hợp Vectơ Tọa độ Vectơ - toa độ Giải tích Số lƣợng Đúng Sai Chƣa cho kết quả Đúng Sai Chƣa cho kết quả Đúng Sai Chƣa cho kết quả Đúng Sai Chƣa cho kết quả 47 10 39 16 18 29 9 1 1 2 0 2 Tổng cộng có 174 lời giải, trong đó phƣơng pháp tổng hợp là 96; phƣơng pháp vectơ là 63; phƣơng pháp vectơ - tọa độ là 11; phƣơng pháp giải tích là 4. Số học sinh chỉ giải bằng phƣơng pháp tổng hợp : 42 Số học sinh có giải bằng phƣơng pháp vectơ : 55 Số học sinh có giải bằng phƣơng pháp tọa độ : 7 Số học sinh có giải bằng cả 2 phƣơng pháp (phƣơng pháp vectơ + phƣơng pháp tọa độ): 8 Qua bảng này cho thấy : ♦ Phƣơng pháp giải chủ đạo là phƣơng pháp tổng hợp, tuy nhiên mức độ thành công của phƣơng pháp này rất thấp, chƣa đến 50% (47 so với 49). Kết quả này có thể do bài toán phát biểu ở dạng ngôn ngữ hình học tổng hợp mà không liên quan gì đến phƣơng pháp vectơ hay phƣơng pháp tọa độ. Hơn nữa, trong chƣơng trình hình học 12 không có bài tập kiểu này. ♦ Ở bài toán này, việc có nhiều lời giải dùng phƣơng pháp vectơ nhiều hơn so với phƣơng pháp tọa độ (63 so với 15) là ảnh hƣởng của đề bài. Tuy nhiên tỉ lệ thành công của phƣơng pháp vectơ thấp hơn rất nhiều so với phƣơng pháp tọa độ (25,4% so với 73,3%). Chƣơng III : Những vấn đề đặt ra Võ Hoàng Võ Hoàng 62 ♦ Liên hệ với các kiểu bài toán đƣợc đƣa ra trong Sách giáo khoa Hình học 12, kiểu bài toán phát biểu bằng ngôn ngữ hình học tổng hợp mà đƣợc yêu cầu giải bằng phƣơng pháp vectơ hoặc phƣơng pháp tọa độ hầu nhƣ rất ít. Do vậy học sinh khó khăn khi tìm lời giải. Khi học sinh đƣợc yêu cầu giải bài toán bằng ba cách khác nhau, thì trong các bài giải của họ chúng tôi thấy : Hầu hết là giải bài toán bằng phƣơng pháp tổng hợp đầu tiên (cách 1), sau đó cách 2 cũng là phƣơng pháp tổng hợp, nếu không nghĩ đến đƣợc phƣơng pháp tổng hợp nữa thì họ giải bằng phƣơng pháp tọa độ. Cuối cùng họ mới giải bài toán bằng phƣơng pháp vectơ. Nhƣng các sai lầm của họ trong việc sử dụng vectơ là rất phổ biến. Tóm lại, qua phân tích lời giải của hai bài toán thực nghiệm đã cho phép chúng tôi phần nào vạch rõ tính thỏa đáng của giả thuyết đƣa ra. Nhƣng phân tích chƣơng trình và SGK đã chỉ ra : hầu nhƣ các phần lý thuyết cũng nhƣ các kiểu nhiệm vụ đƣợc đề cập trong SGK đều tập trung vào vấn đề phƣơng pháp tọa độ. Hơn nữa, yêu cầu sử dụng phƣơng pháp vectơ để giải toán không phải là một trọng tâm của SGK. Do vậy, công cụ vectơ chƣa thật sự sẵn sàng đƣợc sử dụng, và nếu có thì cũng kém hiệu quả. Thực nghiệm trên, phần nào cũng chỉ ra đƣợc rằng học sinh thành công hơn khi sử dụng phƣơng pháp tọa độ để giải toán. Điều này phần nào phản ánh mối quan hệ thể chế dạy học hình học ở trƣờng PTTH đối với đối tƣợng là phƣơng pháp tọa độ và phƣơng pháp vectơ. Chƣơng III : Những vấn đề đặt ra Võ Hoàng Võ Hoàng 63 KẾT LUẬN Việc nghiên cứu chƣơng trình và SGK từ quan điểm của lý thuyết nhân chủng học cho phép chúng tôi khẳng định, trong thể chế dạy học hình học ở Việt Nam, phƣơng pháp vectơ và phƣơng pháp tọa độ đã đƣợc đƣa vào giảng dạy. Tuy nhiên, phƣơng pháp vectơ thƣờng chỉ xuất hiện với vai trò công cụ, để xây dựng các kiến thức tiếp theo trong phần lý thuyết của hình học lớp 10 cũng nhƣ các kiến thức của phƣơng pháp tọa độ trong hình học 12. Việc áp dụng phƣơng pháp vectơ vào giải toán không đƣợc coi trọng. Mặt khác, nghiên cứu này cũng cho chúng tôi thấy đƣợc mối liên hệ giữa phƣơng pháp vectơ và phƣơng pháp tọa độ trong dạy học hình học ở lớp 12. Phƣơng pháp vectơ là cơ sở để đƣa vào phƣơng pháp giải tích thông qua trung gian là phƣơng pháp vectơ-tọa độ. Nghiên cứu thực nghiệm cho phép chúng tôi khẳng định tính thỏa đáng của giả thuyết đƣa ra. Quan hệ chính thức mà thể chế duy trì đối với một tri thức cần dạy có ảnh hƣởng lớn đến sự hình thành quan hệ cá nhân của học sinh đối với tri thức đó. Việc nghiên cứu của chúng tôi cho phép chỉ ra rằng phƣơng pháp vectơ và phƣơng pháp tọa độ cần đƣợc đƣa vào một cách rõ ràng hơn và chi tiết hơn nữa. Đặc biệt là các kiểu nhiệm vụ toán học liên quan đến việc sử dụng vectơ cũng nhƣ chọn hệ tọa độ để giải toán cần đƣợc thêm vào SGK với số lƣợng nhiều hơn và tƣờng minh hơn. Từ đó hƣớng nghiên cứu mới đƣợc mở ra của chúng tôi có thể là thực hiện một nghiên cứu về thể chế hóa đối với giáo viên giảng dạy toán ở PTTH. Nghiên cứu này đƣợc nghiên cứu trên đối tƣợng là các giáo viên. Mục đích là xem xét các giáo viên khi thực hiện giảng dạy họ đã tiến hành cụ thể hóa các nội dung của chƣơng trình và SGK ở mức độ nào, chúng có tác động nhƣ thế nào đối với việc học tập của học sinh về phƣơng pháp vectơ và phƣơng pháp Chƣơng III : Những vấn đề đặt ra Võ Hoàng Võ Hoàng 64 tọa độ Từ đó có thể xây dựng hệ thống các kiến thức trong dạy học nhằm giúp việc giảng dạy cũng nhƣ học tập đạt hiệu quả hơn. Đây là kết quả đầu tiên của chúng tôi. Đồng thời là bƣớc đầu bƣớc vào con đƣờng nghiên cứu khoa học Didactic Toán, bản thân chúng tôi thấy còn những hạn chế nhất định. Hy vọng trong hƣớng nghiên cứu mới chúng tôi sẽ thực hiện đƣợc nhiều kết quả tốt đẹp hơn. Võ Hoàng 65 TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. BESSOT.A, COMITI. C, (2000 - 2001)., Lý thuyết nhân chủng hoc ... Bài giảng trong chương trình Thạc Sĩ ve Didactique Toán. 2. ĐOÀN HỮU HẢI (2001)., L'enseignement de la geometrie dans l'espace au début du lýcée dans ses liens avec la géométrie plane. Une étude comparative entre deux institutions : la classe de Seconde en France et la classe 11 au Viet Nam. Thèse de doctorat, Université Joseph Fourier Grenoble, France. 3. LÊ KHẮC BẢO - NGUYỄN MỘNG HY- TRẦN ĐỨC HUYÊN (1992) Sách Giáo viên Hình hoc 12- NXB Giáo Dục. 4. LÊ KHẮC BẢO (1982) - Hình học Giải tích - ĐHSP - NXB Giáo Dục 5. LÊ KHẮC BẢO - NGUYỄN MỘNG HY- TRẦN ĐỨC HUYÊN (1997) -Bài tập Hinh học 12 (in lần thứ 6) - NXB Giáo Dục. 6. LÊ THỊ HOÀI CHÂU (1997)., E'tude didactique et épistémologique sur l'enseignement du vecteur dans deux institutions : la classe de Dixième au Việt Nam et la classe de Seconde en France., Thèse de doctorat, Universite Joseph Fourier Grenoble, France. 7. LÊ VĂN TIẾN (2001) : E'tude didactique des liens entre fonctions et équations dans l'enseigement des mathématiques au lycée en France et au Viet Nam., Thèse de doctorat, Univerité Joseph Fourier Grenoble, France. 8. NGUYỄN GIA CỐC (1996) : Ôn luyện giải toán hình học bằng phương pháp vector - NXB Đà Nẵng. 9. NGUYỄN BÁ KIM - VŨ DƢƠNG THỤY (1992) Phương pháp dạy học môn Toán - NXB Giáo Dục. 10. NGUYỄN MỘNG HY (2001) Các bài toán về phương pháp vectơ và phương pháp tọa độ - NXB Giáo Dục. 11. NGUYỄN MỘNG HY-CAM DUY LỄ (l998)-Sách giáo viên (tái bản lần 1) - NXB Giáo Dục 12. NGUYỄN GIA CỐC (1997) - Sách giáo khoa hình hoc 12 (in lần thứ 6) NXB Giáo Dục. 13. NGUYỄN VĂN LỘC (1997) Quy trình giải các bài toán Hình họcc bằng phương pháp vecta - NXB Giáo Dục. Võ Hoàng 66 14. TRẦN VĂN HẠO - CAM DUY LỄ (1997) Sách giáo viên Toán 10 - NXB Giáo Dục. 15. TRẦN VĂN HẠO - VŨ THIỆN CĂN - CAM DUY LỄ (1997) Sách giáo khoa hình học 10 (in lần thứ 7) - NXB Giáo Dục. 16. TRẦN VĂN HẠO - PHAN TƢƠNG DẦN (1998) - Sách giáo viên (tái bản lần 1)-NXB Giáo Dục 17. TRẦN VĂN HẠO - LÊ KHẮC BẢO - NGUYỄN MỘNG HY - TRẦN ĐỨC HUYÊN (1997) Sách giáo khoa hình học 12 (in lần thứ 6) - NXB Giáo Dục. 18. VĂN NHƢ CƢƠNG chủ biên (1996) Hình học 10 - Ban KHTN - NXB Giáo Dục 19. VĂN NHƢ CƢƠNG (1994) Hình học 10 (sách giáo viên) NXB Giáo Dục. 20. VĂN NHƢ CƢƠNG - NGÔ THÚC LANH (2000) Tài liệu hướng dẫn giảng dạy Toán 12 - NXB Giáo Dục. 21. VĂN NHƢ CƢƠNG - PHAN VĂN VIỆN (2000) Sách giáo khoa Hình học 10 - NXB Giáo Dục. 22. VĂN NHƢ CƢƠNG - PHAN VĂN VIỆN (2000) Sách bài tập Hình học 10 -NXB Giáo Dục. 23. VĂN NHƢ CƢƠNG - TẠ MÂN (2000) Sách giáo khoa Hình học 12 - NXB Giáo Dục. 24. VĂN NHƢ CƢƠNG - TẠ MÂN (2000) Sách bài tập Hình học 12 - NXB Giáo Dục. 25. VĂN NHƢ CƢƠNG - TRẦN VĂN HẠO (2001) Tài liệu hướng dẫn giảng dạy Toán 10 - NXB Giáo Dục. 26. VĂN NHƢ CƢƠNG - TRẦN VĂN HẠO - NGÔ THÚC LANH (2000) - Tài liệu hướng dẫn giảng dạy Toán 11 - NXB Giáo Dục. Võ Hoàng BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH _oOo_ VÕ HOÀNG NGHIÊM CỨU DIDACTIC TOÁN VỀ MỐI LIÊN HỆ GIỮA "PHƢƠNG PHÁP VECTƠ" VÀ "PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ" TRONG DẠY HỌC HÌNH HỌC Ở LỚP 12 BẢNG TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Chuyên ngành :LÍ LUẬN VÀ PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC MÔN TOÁN Mã số :60.14.10 TP. HỒ CHÍ MINH – 2002 Võ Hoàng Công trình đƣợc hoàn thành tại: Trƣờng Đại Học Sƣ Phạm TP. Hồ Chí Minh Ngƣời hƣớng dẫn khoa học : TS. LÊ THỊ HOÀI CHÂU Phản biện 1:.................................................................................................... Phản biện 2:................................................................................................... Luận văn sẽ đƣợc bảo vệ trƣớc Hội đồng chấm luận văn họp tại:.................... .................................................................................................................... Vào hồi:.................. giờ................ ngày.............. tháng............ năm 2002 Có thể tìm hiểu luận văn tại thƣ viện ĐH Sƣ Phạm TP. Hồ Chí Minh. Võ Hoàng MỤC LỤC CHƢƠNG I : NHỮNG VẤN ĐỀ ĐẶT RA ........................................................................ 1 I. Mở đầu - Hệ câu hỏi xuất phát: .................................................................................. 1 II. Khung lý thuyết tham chiếu : ...................................................................................... 2 1. Quan hệ thể chế:....................................................................................................... 2 2. Tổ chức toán học : (Praxéologie mathématique) ................................................... 3 III. Phƣơng Pháp Nghiên Cứu Và Cấu Trúc Của Luận Vãn ........................................... 4 1. Nghiên cứu quan hệ thể chế ..................................................................................... 4 2. Nghiên cứu thực nghiệm .......................................................................................... 5 CHƢƠNG II : NGHIÊN CỨU CHƢƠNG TRÌNH VÀ SÁCH GIÁO KHOA TỪ QUAN ĐIỂM CỦA LÝ THUYẾT NHÂN CHỦNG HỌC ............................................................. 6 Mở đầu ............................................................................................................................. 6 I. Phân tích chƣơng trình hình học PTTH : ...................................................................... 6 I.1 Chƣơng trình hình học PTTH 1989 ........................................................................ 6 I.2 Chƣơng trình hình học PTTH 1999 : ...................................................................... 6 II. Vectơ với tƣ cách là công cụ trong hình học 10 : ....................................................... 7 II.1. Vectơ với việc trình bày các nội dung hình học 10 : ............................................ 7 II.2. Các tổ chức toán học liên quan đến phƣơng pháp vectơ và phƣơng pháp tọa độ trong hình học 10: ........................................................................................................ 7 III. Phƣơng pháp vectơ và phƣơng pháp tọa độ trong hình học 12 : ............................... 8 III. 1 Mối liên hệ giữa phƣơng pháp vectơ và phƣơng pháp tọa độ : .......................... 8 III.2. Phân tích phần bài tập trong hình học 12: ......................................................... 11 CHƢƠNG III : NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM ............................................................ 16 Mở đầu ........................................................................................................................... 16 I. Hai bài toán thực nghiệm : ......................................................................................... 16 II. Phân tích a priori bài toán ......................................................................................... 17 A. Bài toán 1 .............................................................................................................. 17 B. Bài toán 2 .............................................................................................................. 18 III. Phân tích a posteriori ............................................................................................... 18 A. Bài toán 1: ............................................................................................................. 18 B. Bài toán 2 : ............................................................................................................ 19 KẾT LUẬN ........................................................................................................................ 21 Luận văn Thạc sĩ - chuyên ngành : Didactic Toán Võ Hoàng Võ Hoàng 1 CHƢƠNG I : NHỮNG VẤN ĐỀ ĐẶT RA I. Mở đầu - Hệ câu hỏi xuất phát: Chúng ta biết hình học có thể tiếp cận bằng nhiều phƣơng pháp khác nhau, trong đó có phƣơng pháp tổng hợp, phƣơng pháp vectơ, phƣơng pháp tọa độ. Phƣơng pháp tổng hợp là phƣơng pháp nghiên cứu hình học trên cơ sở một hệ tiên đề. Phƣơng pháp giải tích : với phƣơng pháp này thông qua trung gian là một hệ tọa độ, ngƣời ta thay thế các đối tƣợng hình học và quan hệ hình học bằng các đối tƣợng đại số và quan hệ đại số. Phƣơng pháp vectơ là phƣớng pháp vận dụng vectơ để giải các bài toán hình học. Với việc định hƣớng các thực thể hình học, ngƣời ta xây dựng các phép toán dại số trên chúng và từ đố cũng đại số hóa hình học. Nhƣng không nhƣ phƣơng pháp giải tích, với phƣơng pháp vectơ ngƣời ta vẫn ở lại trong phạm vi hình học, do vậy có thể khai thác phƣờng diện trực giác trong khi vẫn tận dụng đƣợc những phƣơng tiện của đại số. Ngoài ra, nhƣ tác giả Lê Thị Hoài Châu (1997) đã nói: "Vì vectơ có thể đƣợc biểu diễn qua tọa độ nên tồn tại một phƣơng pháp thứ tƣ (lƣỡng tính), mà chúng tôi gọi là phƣơng pháp vectơ - tọa độ. Ở đây, ngƣời ta đặt vectơ vào một hệ tọa độ, và thực hiện các phép toán vectơ qua tọa độ của chúng". Từ đó, tác giả Lê Thị Hoài Châu chỉ ra có thể tiếp cận hình học sơ cấp bằng ba con đƣờng sau đây : * Phƣơng pháp tổng hợp → Phƣơng pháp giải tích → Phƣơng pháp vectơ * Phƣơng pháp tổng hợp → Phƣơng pháp giải tích → Phƣơng pháp vectơ * Phƣơng pháp tổng hợp sau đó phƣơng đó phƣơng pháp vectơ và phƣơng pháp tọa độ đƣợc tiến hành song song. Xét về phƣơng diện sƣ phạm thì việc bắt đầu bằng phƣơng pháp vectơ hay phƣơng pháp giải tích sẽ tạo ra những điều kiện khác nhau cho học tập. Ở Việt Nam, con đƣờng đƣợc lựa chọn là : Luận văn Thạc sĩ - chuyên ngành : Didactic Toán Võ Hoàng Võ Hoàng 2 Phƣơng pháp tổng hợp → Phƣơng pháp vectơ→ Phƣơng pháp tọa độ Mục đích của chúng tôi là thực hiện một nghiên cứu Didactic về mối liên hệ giữa phƣơng pháp vectơ và phƣơng pháp tọa độ ƣơng dạy học hình học ở lđp 12. Những câu hỏi ban đầu mà chúng tôi muốn đi ủm các yếu tố cho phép trả lời là : H1: Trong thể chế dạy học hình học ở bậc PTTH của Việt Nam, phương pháp tọa độ được đưa vào như thế nào ? Vectơ đóng vai trò gì đối với việc xây dụng các kiến thức cơ sỏ cho phương pháp tọa độ ? H2 : Liệu học sinh có khả năng huy động các kiến thức về phương pháp vectơ và phương pháp tọa độ để giải toán hình học hay không ? II. Khung lý thuyết tham chiếu : Để trả lời cho các câu hỏi H1 và H2 chúng tôi phải dựa vào một số lý thuyết của Didactic Toán đố là một số yếu tố của lý thuyết nhân chủng học. Trong đó "quan hệ thể chế" và "tổ chức toán học" là hai cơ sở quan trọng của chúng tôi. 1. Quan hệ thể chế: Lý thuyết nhân chủng học về các tri thức chủ yếu dựa trên ba thuật ngữ: các đối tƣợng O; các cá nhân X và các thể chế I. Trong phạm vi của lý thuyết này, một đối tƣợng tri thức O đƣợc coi là tồn tại ngay khi một cá nhân hay một thể chế nhận biết nó nhƣ đã tồn tại. Chính xác hơn, ngƣời ta nói rằng đối tƣợng O tồn tại đối với một thể chế I nếu nhƣ tồn tại một quan hệ thể chế R(I, O) từ I đến O và đối tƣợng O tồn tại đối với một cá thể X nếu tồn tại một quan hệ cá nhân R(X, O) từ X đến O. Trong một thể chế nhất định, quan hệ thể chế đối với một trí thức gắn liền với vị trí của các thành tố trong thể chế. Nếu là thể chế dạy học, ngƣời ta phải xem xét đến ít nhất là : quan hệ thể chế đối với thầy giáo và quan hệ thể chế đối với học sinh. Quan hệ thể chế đối với thầy giáo xác định cái mà thể chế đòi hỏi ngƣời thầy giáo phải thực hiện. Cũng thế quan hệ thể chế đối với học sinh xác định mà thể chế đòi hỏi ngƣời học sinh thực hiện. Trong một thể chế dạy học, cái đƣợc thua của việc dạy học là một tri thức. Ý định của thể chế là làm thay đổi quan hệ cá nhân của học sinh với Luận văn Thạc sĩ - chuyên ngành : Didactic Toán Võ Hoàng Võ Hoàng 3 tri thức này để nó trtở nên phù hợp với quan hệ thể chế. Điều này dẫn đến chỗ phải thiết lập một sự phân định, trong bất kì một thể chế dạy học nào, ở một thời điểm nhất định, giữa những đối tƣợng thật sự là cái đƣợc thua của việc dạy học với những đối tƣợng khác (đã từng có ích và bây giờ không còn ích lợi nữa, hay những đối tƣợng không hề là cái đƣợc thua của việc dạy học nhƣng nó hiện diện ở đó). Theo quan điểm này, việc nghiên cứu mối quan hệ thể chế chiếm giữ một vai trò rất quan trọng trong các thể chế dạy học. Điều này Chevallard cũng đã chỉ rõ : "Vấn đề trung tâm của việc dạy học là nghiên cứu quan hệ thể chế, những điều kiện và những hiệu quả của nó. Việc nghiên cứu mối quan hệ cá nhân là vấn đề cơ bản về mặt thực tiễn, và là thứ yếu về mặt khoa học luận của việc dạy học." (Chevallard 1989 b, 93). Quan hệ thể chế I đối với tri thức o cho biết o xuất hiện ở đâu và nhƣ thế nào trong I, o hoạt động nhƣ thế nào và giữ vai trò gì trong I... 2. Tổ chức toán học : (Praxéologie mathématique) Theo Chevallard một "tổ chức toán học" là một bộ tứ đƣợc hình thành từ: 1) Các kiểu nhiệm vụ T - hiện diện ƣong một thể chế nào đó. 2) Kỹ thuật cho phép thực hiện các nhiệm vụ t của cùng một kiểu nhiệm vụ T. 3) Công nghệ : văn bản lý giải cho kỹ thuật 4) Lý thuyết : công nghệ của công nghệ Sự xuất hiện một praxéologie liên quan đến tri thức o cho phép thiết lập mối quan hệ mà thể chế duy trì đối với O : "Quan hệ thể chế với một đối tƣợng, đối với một vị trí nhất định cùa thể chế, đƣợc định hình và đào luyện bởi một tập hợp những nhiệm vụ mà các cá thể giữ vị trí này phải thực hiện bằng những kỹ thuật đã đƣợc xác định. Nhƣ vậy, việc thực hiện những nhiệm vụ khác nhau mà một cá thể thƣờng xuyên gặp dẫn đến thực hiện suốt đời trong những thể chế khác nhau mà nó là chủ thể lần lƣợt hoặc đồng thời. Điều này sẽ làm hé lộ ra mối quan hệ cá nhân của nó với đối tƣợng đƣợc xét (Bosch et Chevallard, 1999, 85). Luận văn Thạc sĩ - chuyên ngành : Didactic Toán Võ Hoàng Võ Hoàng 4 Cách tiếp cận chƣơng trình và sách giáo khoa (SGK) theo quan điểm của lý thuyết nhân chủng học sẽ cho phép ta thấy đƣợc quan hệ của thể chế I đối với tri thức O : O xuất hiện ở đâu, nhƣ thế nào ? O có vai trò gì và O hoạt động nhƣ thế nào trong I ? v.v. Nó cũng giúp chúng ta hiểu đƣợc cái mà thể chế đòi hỏi ở mỗi cá nhân (giáo viên và học sinh), hình dung đƣợc quan hệ của học sinh đối với tri thức O. Cụ thể hơn, cách tiếp cận này sẽ giúp ta vạch rõ sự lựa chọn thể chế và những điều kiện, những ràng buộc, những ảnh hƣởng của sự lựa chọn đố đối với việc xây dựng hoặc làm thay đổi quan hệ cá nhân của học sinh đối với tri thức O. Đặt trong khuôn khổ của lý thuyết nhân chủng học, những câu hỏi nghiên cứu của chúng tôi có thể diễn đạt nhƣ sau : - Trong chương trình và SGK hình học lớp 10 và lớp 12 phương pháp tọa độ được xây dựng như thế nào ? Phương pháp tọa độ có quan hệ gì với phương pháp vectơ ?. - Liên quan đến phương pháp vectơ và phương pháp tọa độ học sinh được yêu cầu thực hiện những kiểu nhiệm vụ nào ? Kiểu nhiệm vụ nào được gặp thường xuyên ? - Sự lựa chọn của thể chế dạy học hình học ở Việt Nam sẽ có ảnh hưởng như thế nào đến khả năng sử dụng phương pháp vectơ và phương pháp toạ độ của học sinh. III. Phƣơng Pháp Nghiên Cứu Và Cấu Trúc Của Luận Vãn 1. Nghiên cứu quan hệ thể chế Để trả lời cho những câu hỏi trên, trƣớc hết chúng tôi phải nghiên cứu quan hệ thể chế đối với phƣơng pháp vectơ và phƣơng pháp tọa độ. Nghiên cứu thể chế sẽ đƣợc tiến hành qua việc phân tích chƣơng trình và SGK hình học lớp 10 và 12. Nghiên cứu này cần phải chỉ rõ phƣơng pháp vectơ và phƣơng pháp tọa độ đƣợc đƣa vào chƣơng trình và SGK nhƣ thế nào. Trong sự lựa chọn của các tác giả chƣơng trình và SGK chúng có mối quan hệ gì ? Ngƣời ta yêu cầu học sinh sử dụng chúng ở mức độ nào ? Luận văn Thạc sĩ - chuyên ngành : Didactic Toán Võ Hoàng Võ Hoàng 5 Chúng tôi sẽ cố gắng chỉ ra sự nối khớp của các kiến thức về phƣơng pháp vectơ và phƣơng pháp tọa độ ở lớp 10 và lớp 12, xem xét ảnh hƣởng của các phần đã cố ở lớp 10 đối với việc học tập hình học ở lớp 12. Chúng tôi cũng sẽ chỉ ra các kiểu nhiệm vụ toán học liên quan đến phƣơng pháp vectơ và phƣơng pháp tọa độ trong dạy học hình học ỏ lớp 10 và lớp 12. Nghiên cứu quan hệ thể chế này sẽ là nội dung của chƣơng II. 2. Nghiên cứu thực nghiệm Trên cơ sở nghiên cứu quan hệ thể chế chúng tôi sẽ có thể đƣa ra những giả thuyết về việc học tập phƣơng pháp vectơ và phƣơng pháp tọa độ của học sinh lớp 12. Để kiểm chứng tính thỏa đáng của giả thuyết này chúng tôi cần phải trỏ về với thực tế dạy học. Nghiên cứu thực nghiệm sẽ cho phép hợp thức (hay loại bỏ) các giả thuyết đƣa ra sẽ là nội dung của chƣơng III. Nghiên cứu này sẽ giúp chúng tôi vạch rõ quan hệ cá nhân của học sinh đối với phƣơng pháp vectơ và phƣơng pháp tọa độ. Chúng tôi sẽ cố gắng tìm trong quan hệ thể chế những yếu tố cho phép giải thích quan hệ cá nhân này, vì hiển nhiên là quan hệ cá nhân, đối với một tri thức, không thể hoàn toàn độc lập với quan hệ thể chế. Luận văn Thạc sĩ - chuyên ngành : Didactic Toán Võ Hoàng Võ Hoàng 6 CHƢƠNG II : NGHIÊN CỨU CHƢƠNG TRÌNH VÀ SÁCH GIÁO KHOA TỪ QUAN ĐIỂM CỦA LÝ THUYẾT NHÂN CHỦNG HỌC Mở đầu Mục đích của chƣơng này là chỉ rõ vai trò của vectơ đối với việc xây dựng các kiến thức cơ sở của phƣơng pháp tọa độ trong hình học 12. Mặt khác cũng chỉ ra các tổ chức toán học có mặt trong hình học 10 và hình học 12. I. Phân tích chƣơng trình hình học PTTH : I.1 Chƣơng trình hình học PTTH 1989 Theo chƣơng trình này, hình học ở PTTH chia thành 3 giai đoạn : - Giai đoan 1 (hình học 10) : giai đoạn này học sinh làm quen với phƣơng pháp mới để nghiên cứu hình học đố là phƣơng pháp vectơ. - Giai đoạn 2 (hình học 11) : ở giai đoạn này ngƣời ta sử dụng phƣơng pháp tổng hợp để nghiên cứu hình học không gian. - Giai đoạn 3 (hình học 12) : giai đoạn này dành cho việc nghiên cứu phƣơng pháp tọa độ trong mặt phẳng và phƣơng pháp tọa độ trong không gian bên cạnh nghiên cứu phƣơng pháp vectơ trong không gian. I.2 Chƣơng trình hình học PTTH 1999 : Về cơ cấu, ta thấy các chƣơng trình 1989 và 1999 hầu nhƣ giống nhau. Cùng nội dung, cùng thứ tự trình bày các vấn đề. Cụ thể, hình học lớp 10 nghiên cứu vectơ, các phép toán vectơ, rồi hệ thức lƣợng trong tam giác, đƣờng tròn và cuối cùng là phép biến hình. Lớp 11 hoàn toàn dành cho nghiên cứu Hình học không gian bằng phƣơng pháp tổng hợp. Ở Hình học lớp 12, ngƣời ta đƣa vào phƣơng pháp tọa độ trong mặt phảng và trong không gian. Giống nhƣ ở chƣơng trình 1989, trong chƣơng tình năm 1999, ngƣời ta cũng lấy các kiến thức về vectơ làm cơ sở để đƣa vào phƣơng pháp tọa độ. Hơn thế, phƣơng pháp vectơ đƣợc sử dụng khá hiệu quả trong việc xây dựng các khái niệm, chứng minh các hệ thức lƣợng cũng nhƣ một số tính chất của các phép biến hình. Tuy nhiên, yêu cầu sử dụng vectơ để giải toán đã đƣợc giảm nhẹ trong chƣơng trình mới. Vấn đề này đã đƣợc giải thích trong tài liệu hƣớng dẫn Luận văn Thạc sĩ - chuyên ngành : Didactic Toán Võ Hoàng Võ Hoàng 7 giảng dạy nhƣ sau : Trong chƣơng trình cũ cố đặt vấn dề dừng "phƣơng pháp vectơ" để nghiên cứu hình học bên cạnh phƣơng pháp tiên đề và phƣơng pháp tọa độ. "Phƣơng pháp vectơ, nhƣ chứng ta đã biết, tỏ ra khá hiệu lực trong khá nhiều bài toán, liên quan đến các vấn đề nhƣ: ba điểm thẳng hàng, bốn điểm đồng phẳng, hai đƣờng thẳng song song hoặc vuông góc, trọng tâm tam giác, tâm tì cự của hệ điểm... Tuy nhiên để có thể áp dụng phƣơng pháp đó một cách thành thạo là chuyện không đơn giản, và kinh nghiệm 10 năm vừa qua cho thấy đa số học sinh rất khó khăn trong việc tiếp thu và sử dụng phƣơng pháp đó" (Tài liệu hƣớng dẫn giảng dạy Toán 12 - Tr. 73). II. Vectơ với tƣ cách là công cụ trong hình học 10 : II.1. Vectơ với việc trình bày các nội dung hình học 10 : Ở đây, vectơ trƣớc hết đƣợc nghiên cứu nhƣ là đối tƣợng dạy học. Sau đó, nó đƣợc sử dụng nhƣ là công cụ để xây dựng các phần tiếp theo của hình học 10 nhƣ: xây dựng tọa độ; xây dựng và chứng minh một số công thức, định lý ƣong phần hệ thức lƣợng (trong tam giác và trong đƣờng tròn) cũng nhƣ các phép biến hình. II.2. Các tổ chức toán học liên quan đến phƣơng pháp vectơ và phƣơng pháp tọa độ trong hình học 10: T1: Chứng minh một đẳng thức vectơ. T2 : Xác định một điểm thỏa mãn một diều kiện cho trƣớc. T3: Tính tích vô hƣớng. T4 : Chúng minh hai điểm trùng nhau. T5 : Chứng minh ba đƣờng thẳng đổng quy, đƣờng thẳng đi qua một điểm cố định. T6 : Chứng minh sự vuông góc. T7 : Viết tọa độ của một vectơ đã đƣợc biểu diễn thành một tổ hợp tuyến tính của hai vectơ đơn vị trên hai trục. T8 : Tìm tọa độ của một vectơ. T9 : Tìm tọa độ của một điểm. T10: Chứng minh ba điểm thẳng hàng và tìm tỉ số của điểm chia đoạn thẳng. Luận văn Thạc sĩ - chuyên ngành : Didactic Toán Võ Hoàng Võ Hoàng 8 T11: Tính độ dài đoạn thẳng. T12: Chứng minh hai vectơ vuông góc. T13: Tính cosin của góc ƣong tam giác. Trong hình học lớp 10, vectơ đƣợc vận dụng khá triệt để nhằm trình bày và chứng minh các vấn đề của chƣơng hệ thức lƣợng và phép biến hình. Tuy nhiên trong phần bài tập, thì ngƣời ta lại không coi trọng yêu cầu sử dụng vectơ (cố tọa độ hay không có tọa độ) để giải toán. Hầu hết các bài toán chỉ nhầm vận dụng trực tiếp các định nghĩa, công thức, định lý. Rất ít bài toán đƣợc phát biểu bằng ngôn ngữ hình học mà cố thể giải đƣợc dễ dàng bằng công cụ vectơ hay tọa độ. III. Phƣơng pháp vectơ và phƣơng pháp tọa độ trong hình học 12 : III. 1 Mối liên hệ giữa phƣơng pháp vectơ và phƣơng pháp tọa độ : III. 1.1. Chƣơng I: Phƣơng pháp tọa độ trong mặt phẳng. Ở chƣơng này, trƣớc hết ngƣời ta nhắc lại một số công thức định lý mà học sinh đã đƣợc học ở Hình học 10, không bình bày lại các chứng minh. Các nội dung đó là : khái niệm trục, tọa độ của vectơ và của điểm đối với trục. Khái niệm hệ trục tọa độ Đêcac vuông góc, tọa độ của vectơ, của điểm đối với hệ trục, tọa độ của điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số cho trƣớc. Về định nghĩa toa độ của vectơ đối với trục, sách định nghĩa dựa vào điều kiện cùng phƣơng của hai vectơ. Để đƣa vào khái niệm tọa độ của một vectơ đối với hệ trục, ngƣời ta dựa vào định lý về sự phân tích duy nhất của một vectơ theo cơ sở i và j. Ngoài ra sách giáo khoa còn nhắc lại công thức tính tọa độ của điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỷ số k ≠ 1 (xM = và yM = ) và biểu thức tọa độ của tích vô hƣớng ( ⃗ . ⃗ = a1b1 + a2b2 với ⃗ = (a1; a2) và ⃗ = (b1; b2)). Mục đích của việc nhắc lại này là cho học sinh ôn tập các kiến thức đã đƣợc học ở lớp 10. Học sinh học những kiến thức này đã từ khá lâu và sau một thời gian dài không sử dụng, nên có thể quên. Cũng vì vậy mà sách giáo viên có yêu cầu "giáo viên cần đi chậm và thực hành dụ cụ thể". Luận văn Thạc sĩ - chuyên ngành : Didactic Toán Võ Hoàng Võ Hoàng 9 Trong phần dƣới chúng tôi sẽ tiến hành xem xét các nội dung mới đƣợc đề cập trong chƣởng I và phân tích cách thức đƣa vào từng nội dung đố. a. Những vấn đề liên quan đến đƣờng thẳng. Ngƣời ta dựa vào các kiến thức về vectơ để đƣa vào những vấn đề liên quan đến đƣờng thẳng nhƣ phƣơng trình tổng quát, phƣơng trình tham số... Muốn thế đầu tiên phải dựa vào khái niệm vectơ chỉ phƣơng và vectơ pháp tuyến của đƣờng thẳng. Với các khái niệm đố, ta thấy điểm M thuộc đƣờng thẳng đi qua M0 (x0; y0) và có vectơ pháp tuyến ⃗ = (A ; B) nếu và chỉ nếu ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ . ⃗ = 0. Từ đẳng thức này ngƣời ta thiết lập ra đƣợc phƣơng trình tổng quát của đƣờng thẳng. Cũng nhƣ thế, M thuộc đƣờng thẳng ∆ đi qua M0 (x0 ;y0) có vectơ chỉ ⃗ = (a ;b) nếu và chỉ nếu ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = k . ⃗ , từ đó lập đƣợc phƣơng trình tham số và phƣơng trình chính tắc của đƣờng thẳng. Vị trí tƣơng đối của hai đƣờng thẳng đƣợc xét meo số nghiệm của một hệ phƣơng bình tuyến tính (chính là các phƣơng trình tổng quát của các dƣờng thẳng đã cho). Ở đây ngƣời ta không cần lấy vectơ là vai trò trung gian nữa. Thậm chí, dựa vào định thức thành lập từ các hệ số của phƣơng bình ngƣời ta có thể biết đƣợc vị trí tƣơng đối giữa hai đƣờng thẳng. Nối cách khác, ngƣời ta đã hoàn toàn chuyển sang phạm vi của phƣơng pháp giải tích. Công thức tính góc giữa hai dƣờng thẳng và khoảng cách từ một điểm đến một đƣờng thẳng lại đƣợc xây dựng nhờ vào các kiến mức vectơ. Chẳng hạn, để lập công thức tính khoảng cách từ một điểm M0 (x0; y0) đến đƣờng thẳng :Ax + By + C = 0 ngƣời ta làm nhƣ sau : Khoảng cách từ Mo đến là độ dài đoạn thẳng M0H (H là hình chiếu vuông góc của M0 lên ). Do ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ cùng phƣơng với vectơ pháp tuyến ⃗ nên ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = t ⃗ Vì vậy: Đến đây ta đi tính | t | thì sẽ có công thức để tính M0H. Luận văn Thạc sĩ - chuyên ngành : Didactic Toán Võ Hoàng Võ Hoàng 10 Việc tính gốc giữa hai đƣờng thẳng đƣợc đƣa về việc tính cosin của nó thông qua tích vô hƣớng dƣới dạng tọa độ của hai vectơ pháp tuyến hoặc hai vectơ chỉ phƣơng của hai đƣờng thẳng đó. b. Các đƣờng bậc hai: SGK đƣa vào các đƣờng bậc hai là đƣờng tròn, elip, hypebol, parabol. Phƣơng trình của chúng đƣợc thiết lập mà không cần có sự can thiệp ' trực tiếp của vectơ, vì ở đây ngƣời ta dựa vào công thức tính khoảng cách giữa hai điểm (tất nhiên, nƣớc đây công thức này đã đƣợc chứng minh nhờ vào bình phƣơng vô hƣớng của vectơ). Điều đáng lƣu ý là trong chƣơng I có nhiều vấn đề lý thuyết đƣa ra nhƣng cố rất ít các ví dụ, chỉ có 4 ví dụ kèm theo, đó là : - Một ví dụ về việc sử dụng phƣơng trình chùm đƣờng thẳng để viết phƣơng trình đƣờng thẳng. - Một ví dụ về viết phƣơng trình đƣờng phân giác của các gốc hợp bởi 2 đƣờng thẳng cắt nhau. - Một ví dụ viết phƣơng trình của đƣờng conic dựa vào định nghĩa conic một cách tổng quát. - Một ví dụ tìm tâm, bán kính đƣờng tròn khi có phƣơng trình của nó. Nhƣ vậy có hai ví dụ cho các đƣờng bậc hai và hai ví dụ cho phần phƣơng trình đƣờng thẳng. Đối với các đƣờng bậc hai, vấn đề xác định tâm, bán kính của đƣờng tròn khi đã cho phƣơng trình của nó, hoặc dựa vào định nghĩa đƣờng conic để viết phƣơng trình của nó. Chúng ta hãy xem xét 2 ví dụ trong phần đƣờng thẳng . Ví dụ 1 : (Hình học 12 - trang 15) : Các cạnh của tam giác ABC có phương trình: AB = 2x + 3y - 5 = 0; BC: x- 2y + 1 = 0; CA : -3x + 4y- 1=0. Viết phương trình đường cao AH của tam giác đó. SGK đƣa ra lời giải nhƣ sau: Đƣờng cao AH thuộc chùm đƣờng thẳng tâm A là giao điểm của hai đƣờng thẳng AB và CA, nên AH có phƣơng trinh: (2x+3y-5)+ (-3x+4y-l)=0. Luận văn Thạc sĩ - chuyên ngành : Didactic Toán Võ Hoàng Võ Hoàng 11 Ta cần xác định và để AH vuông gốc với BC. Một vectơ pháp tuyến của AH là ⃗ = (2 - 3 ; 3 + 4 ) còn một vectơ pháp tuyến của BC là ⃗⃗ ⃗ = (1; -2). Ta phải có ⃗ . ⃗⃗ ⃗= 0 hay 2 - 3 -2 (3 + 4 )=0 - 4 - 11 = 0 Ta có thể lấy = 11; = - 4. Suy ra AH có phƣơng trình 34x+17y- 51=0 Ví dụ 2 : (trang 19) Giả sử hai đƣờng tháng cắt nhau : ∆1.:A1x + B2y + C1 = 0 ∆2: A2x +B2y + C2 = 0 Viết phƣơng trình phân giác của các góc tạo bởi ∆và ∆'. Bài giải (SGK) Điểm M (x; y) nằm trên phân giác khi và chỉ khi khoảng cách từ M đến ∆1 và đến ∆2 bằng nhau, hay là : Từ đó phƣơng trình hai đƣờng phân giác là : Nhƣ vậy, phần lý thuyết chƣớng I, chủ yếu dành cho việc thiết lập phƣơng trình đƣờng thẳng và các đƣờng bậc hai. Nhƣ ta đã mấy, SGK thiên về việc cung cấp cho học sinh một số công mức, còn ví dụ vận dụng phƣơng pháp vectơ - tọa độ, phƣơng pháp giải tích đƣợc dƣa ra rất ít. III.2. Phân tích phần bài tập trong hình học 12: III.2. 1 Các kiểu nhiệm vụ nhằm vận dụng trực tiếp các công thức, định nghĩa : T1: Tìm tọa độ của một vectơ, một điểm (73 câu) T2 : Viết phƣơng trình đƣờng thẳng (75 câu) Luận văn Thạc sĩ - chuyên ngành : Didactic Toán Võ Hoàng Võ Hoàng 12 T3 : Viết phƣơng trình đƣờng tròn (4 câu) T4: Viết phƣơng trình chính tắc của các đƣờng conic (10 câu) T5 : Dùng định nghĩa viết phƣơng trình của đƣờng conic (8 câu) T6 : Viết phƣơng trình tổng quát của mặt phẳng (31 câu) T7 : Viết phƣơng trình mặt cầu (3 câu) T8: Tính góc (17 câu) III.2.2 Các kiểu nhiệm vụ sử dụng phƣơng pháp vectơ, phƣơng pháp tọa độ để giải toán : T9 : Xét vị bí tƣơng đối giữa hai đƣờng thẳng trong mặt phẳng (5 câu) T10 :Xét vị trí tƣơng đấi giữa hai đƣờng thẳng trong không gian (12 câu) T11: Xét vị trí tƣơng đối giữa hai mặt phảng (8 câu) T12: Xét vị trí tƣơng đối giữa đƣờng thẳng và mặt phẳng (9 câu) T13 :Xét vị trí tƣơng đối giữa mặt phẳng và mặt cầu (5 câu) T14 : Tính khoảng cách (13 câu) T15 : Tìm quỹ tích (22 câu) T16 : Xét sự đồng phẳng của ba vectơ, chứng minh bốn điểm đồng phẳng (8 câu) T17 : Chứng minh sự vuông góc (5 câu) TI8 : Chứng minh sự song song (1 câu) T19 : Chứng minh hai điểm trùng nhau (1 câu) T20 : Chứng minh một đẳng thức vectơ (6 câu) Qua việc phân tích và nhận xét về các kiểu nhiệm vụ, chúng tôi rút ra các kết luận sau đây: Thứ nhất, các kiểu nhiệm vụ trong Hình học 12 chủ yếu tập trung vào các bài toán giải bằng phƣơng pháp tọa độ. Luận văn Thạc sĩ - chuyên ngành : Didactic Toán Võ Hoàng Võ Hoàng 13 Thứ hai, các bài toán sử dụng vectơ để giải là rất ít. Chỉ có một số ít bài ở phần vectơ trong không gian. Phần này chỉ minh họa một số kiến thức vectơ áp dụng từ mặt phẳng vào không gian mà thôi. Thứ ba, việc chọn hệ trục tọa độ để giải các bài toán hình học tổng hợp cũng rít ít. Trong chƣơng I chỉ có 3 bài, đó là việc chọn hệ trục để xây dựng phƣơng trình chính tắc của ba đƣờng Conic. Còn trong chƣơng II chỉ có ba bài (SGK không có ví dụ). Nhƣ vậy, ở SGK hình học lớp 12 chủ yếu ngƣời ta sử dụng phƣơng pháp vectơ nhƣ là công cụ để xây dựng phƣơng pháp giải tích thông qua cầu nối trung gian là phƣơng pháp vectơ - tọa độ. Hầu hết các bài tập đều đƣợc phát biểu ở dƣới dạng ngôn ngữ tọa độ. Điều đó, cho phép chúng tôi trả lời các giải thích của chƣơng trình và sách giáo khoa. Trong tài liệu hƣớng dẫn giảng dạy Toán 12, các tác giả đã chỉ rõ : • Chƣơng trình hình học 12 gồm phƣơng pháp tọa độ trong mặt phẳng và phƣơng pháp tọa độ trong không gian. • "Việc đại số hóa hình học (tức là nghiên cứu Hình học bằng phương pháp tọa độ) là rất cần thiết và có lợi. Nó làm cho người học đỡ khó khăn hơn nhiều. Học sinh lớp 12 sẽ thấy học Hình học nhẹ nhàng hơn ở các lớp trước " (TL HDGD Toán 12 - trang 71). • "[...] Việc áp dụng vectơ đề giải các bài toán Hình học không được chú trọng nhiều ". (TL HDGD Toán 12 - trang 74). Qua việc phân tích chƣơng trình và SGK cho phép chúng tôi làm rõ những điểm cơ bản trong mối quan hệ thể chế với đếi tƣợng là phƣơng pháp vectơ và phƣơng pháp tọa độ trong hình học ở PTTH (đặc biệt là ở hình học 12). Sau đây là các điểm cơ bản đó của mối quan hệ này : Phƣơng pháp vectơ bắt đầu xuất hiện ở lớp 10. Ở đó - phƣơng pháp vectơ trong mặt phẳng - chúng đƣợc sử dụng để xây dựng, chứng minh một số công thức, định lý của phần tiếp theo trong hình học 10. Sang đến lớp 12, phƣơng pháp vectơ (trong không gian) xuất hiện trƣớc khi xây dựng các kiến thức cơ sở của phƣơng pháp tọa độ trong không gian. Mục đích của ngƣời ta là đƣa các kiến thức về phƣơng pháp vectơ trong không gian để xây dựng nên phƣơng pháp tọa độ Luận văn Thạc sĩ - chuyên ngành : Didactic Toán Võ Hoàng Võ Hoàng 14 trong không gian, ở đây chúng đƣợc thể hiện thông qua một vai trò trung gian của phƣơng pháp vectơ - tọa độ. Phƣơng pháp tọa độ cũng bất đầu xuất hiện, nhƣng nhƣ phần đầu chúng tôi đã gọi đố là phƣơng pháp vectơ - tọa độ. Ở đó ngƣời ta bất đầu giới thiệu những kiến thức cơ sở cho phƣơng pháp tọa độ. Phần này dƣợc nghiên cứu trong toàn bộ hình học 12. ở hình học 12, ngƣời ta nghiên cứu phƣơng pháp tọa độ một cách có hệ thống đố là phƣơng pháp tọa độ trong mặt phẳng và phƣơng pháp tọa độ trong không gian. Theo phân tích của chúng tôi, các kiến thức dƣa vào ở SGK chỉ là những kiến thức ban đầu, chủ yếu là củng cế để làm nền tảng cho phƣơng pháp tọa độ. Ở mỗi nội dung trong hình học 12, hầu hết kiến thức của nó đƣợc xây dựng thông qua bƣớc đệm là phƣơng pháp vectơ - tọa độ. Trong sách giáo viên và các phần giải thích của chƣơng tình, mặt dù đã nói đến phƣơng pháp vectơ và phƣơng pháp tọa độ nhƣng thực chất chúng đƣợc đề cập rất ít trong SGK. Từ đây chúng tôi đƣa ra giả thuyết nghiên cứu của đề tài. * Giả thuyết nghiên cứu: "Phƣơng pháp tọa độ lân át phƣơng pháp vectơ đến mức học sinh không huy động đƣợc các kiến thức vectơ để giải toán, ngay cả khỉ gặp các bài toán mà phƣơng pháp tọa độ "đắt giá " hơn nhiêu so với phƣơng pháp vectơ". Thuật ngữ "đắt giá " đƣợc chúng tôi dừng ở đây với ý nghĩa là: Trong khi phƣơng pháp vectơ cho phép giải quyết bài toán một cách ngấn gọn thì phƣơng pháp tọa độ đòi hỏi phải cố nhiều tính toán dài dòng hơn. Luận văn Thạc sĩ - chuyên ngành : Didactic Toán Võ Hoàng Võ Hoàng 15 Luận văn Thạc sĩ - chuyên ngành : Didactic Toán Võ Hoàng Võ Hoàng 16 CHƢƠNG III : NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM Mở đầu Để kiểm chứng tính chân thật của giả thuyết đƣợc hình thành từ sự phân tích chƣơng trình và sách giáo khoa theo quan điểm của lý thuyết nhân chủng học, chúng tôi phải quay về với thực tiễn dạy học. Vấn đề là phải xây dựng một thực nghiệm cho phép kiểm chứng hay bác bỏ giả thuyết đã đƣợc đƣa ra. Với thực nghiệm này, chúng tôi muốn tìm hiểu xem học sinh lớp 12 biết sử dụng phƣơng pháp vectơ và phƣơng pháp tọa độ để giải toán ở mức độ nào. Cụ thể hơn, chúng tôi xem học sinh ƣu tiên sử dụng phƣơng pháp nào để giải toán và mức độ thành công của họ. Chúng tôi sẽ cố gắng vạch ra ảnh hƣởng của thể chế đi với việc học hình học của học sinh lớp 12. Các bài toán mà chúng tôi chọn làm thực nghiệm sẽ giải dƣợc bằng nhiều cách khác nhau. Chúng tôi chọn các bài toán này vì ngôn ngữ phát biểu của bài toán không liên quan đến vectơ hay tọa độ, nhƣng có thể dùng vectơ hoặc tọa độ để giải. Ở đây; phƣơng pháp vectơ giải bài toán ngắn gọn hơn, súc tích hơn so với phƣơng pháp tọa độ. Chúng tôi xem xét học sinh có sự lựa chọn và ƣu tiên nhƣ thế nào đối với các phƣơng pháp trên khi đứng trƣớc một bài toán phát biểu ở dạng ngôn ngữ hình học tổng hợp. I. Hai bài toán thực nghiệm : 1. Đề bài: Bài toán 1: Cho hình thang ABCD vuông tại A và B. Đáy lớn AD bằng 3 lần đáy nhỏ BC. Trên cạnh AB lấy điểm N sao cho BN AB = BC AD . Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng ĐD. Chứng minh Tằng hai đƣờng thẳng AM và CN song song vđi nhau. Yêu cầu : Giải bài toán ít nhất bằng 3 cách khác nhau. Bài toán 2 : Cho tam giác ABC vủông tại A. Gọi D là điểm đối xứng của A qua B. Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Chứng minh rằng ba điểm D, G, E thẳng hàng. Yêu cầu : Giải bài toán ít nhất bằng ba cách khác nhau. Luận văn Thạc sĩ - chuyên ngành : Didactic Toán Võ Hoàng Võ Hoàng 17 2. Các kiến thức liên quan : 3. Các biến Didactic : Bài toán 1: a/ Cho hình thang vuông chứ không cho hình thang tùy ý. Điều này tạo điều kiện thuận lợi cho việc chọn hệ trục tọa độ. Bởi vì, khi muốn chọn hệ trục tọa độ để giải bài toán bằng phƣơng pháp tọa độ thì phải có yếu tố hệ trục tọa độ vuông gốc. b/ Yêu cầu giải bài toán ít nhất bằng ba cách khác nhau. Yêu cầu này tạo ra sự lựa chọn các cách giải. Mục đích xem xét học sinh ƣu tiên chọn phƣơng pháp nào để giải bài toán : phƣơng pháp tổng hợp, phƣơng pháp vectơ, phƣơng pháp tọa độ ? c/ Phát biểu bài toán : chứng minh hai đƣờng thẳng song song chứ không phải xét vị trí tƣơng đối giữa hai đƣờng thẳng. Nếu đặt ra yêu cầu xét vị trí giữa hai đƣờng thẳng sẽ tạo điều kiện cho học sinh dễ dàng hơn, dễ ƣu tiên cho phƣơng pháp tọa độ vì trong quá bình học ở lớp 12, học sinh đã gặp các bài toán ở dạng này. Bài toán 2: a/ Cho tam giác vuông, mục đích là tạo điều kiện dễ dàng cho việc chọn hệ trục tọa độ để giải bài toán. b/ Đề bài yêu cầu : Chứng minh ba điểm thẳng hàng, khác với việc yêu cầu chứng minh điểm thuộc đƣờng thẳng. Vì trong trƣờng hợp thứ hai, học sinh có điều kiện nghĩ đến phƣơng pháp tọa độ do trong quá trình học ở lớp 12 có các bài tập ở dạng này. II. Phân tích a priori bài toán A. Bài toán 1 Những chiến lƣợc có thể 1. Chiến lƣợc "tổng hợp " : có 4 chiến lƣợc nhỏ 2. Chiến lƣợc "vectơ" : có 1 chiến lƣợc Luận văn Thạc sĩ - chuyên ngành : Didactic Toán Võ Hoàng Võ Hoàng 18 3. Chiến lƣợc "vectơ - tọa độ ": có 1 chiến lƣợc 4. Các chiến lƣợc "tọa độ " : có 2 chiến lƣợc B. Bài toán 2 Những chiến lƣợc có thể 1. Chiến lƣợc "tổng hợp ": có 2 chiến lƣợc 2. Chiến lƣợc "vectơ" : có 1 chiến lƣợc 3. Chiến lƣợc "vectơ - tọa độ " : có 1 chiến lƣợc 4. Chiến lƣợc "tọa độ " : có 2 chiến lƣợc III. Phân tích a posteriori A. Bài toán 1: Bài toán này dƣợc đƣa cho 89 học sinh làm và thu đƣợc kết quả cho bài bảng sau: Chiến lƣợc Tổng hợp Vectơ Tọa độ Vectơ - tọa độ Giải tích Số lƣợng Đúng Sai Chƣa cho kết Đúng Sai Chƣa cho kết quả Đúng Sai Chƣa cho kết quả Đúng Sai Chƣa cho kết quả 44 21 17 13 0 6 22 0 3 5 0 5 Qua kết quả này cho thấy : ♦ Chiến lƣợc chủ đạo mà học sinh sử dụng là chiến lƣợc tổng hợp 82/136 -gần 60,2%. Tuy nhiên, tỉ lệ thành công của phƣơng pháp tổng hợp cũng chỉ hơn một nửa (44 so với 38 bài làm sai hoặc chƣa cho kết quả). Điều này cũng cho chúng ta thấy, ảnh hƣởng của Hình học ở lớp dƣới đối với học sinh còn khá lớn. Bởi vì lời phát biểu bài toán không liên quan đến vectơ và cũng nhƣ tọa độ. Có 35 lời giải sử dụng phƣơng pháp tọa độ (25,7%) trong khi đó chỉ có 19 lời giải dùng phƣơng pháp vectơ (13,9%). Hơn nữa tỉ lệ thành công của phƣơng Luận văn Thạc sĩ - chuyên ngành : Didactic Toán Võ Hoàng Võ Hoàng 19 pháp tọa độ cũng cao hơn so với phƣơng pháp vectơ (71% so vđi 68%). Điều này cho thấy rằng học sinh sử dụng phƣơng pháp tọa độ dễ dẫn đến thành công hơn so với phƣơng pháp vectơ. Hơn nữa, mức độ thƣờng xuyên sử dụng phƣơng pháp tọa độ cũng lớn hơn so với phƣờng pháp vectơ. B. Bài toán 2 : Có 112 bài kết quả cho bởi bảng sau: Chiến lƣợc Tổng hợp Vectơ Tọa độ Véc tơ - tọa độ Giải tích Số lƣợng Đùng Sai Chua cho kết quả Đúng Sai Chia cho kết quả Đùng Sai Chua cho kết quả Đúng Sai Chua cho kết quả 47 10 39 16 18 29 9 1 1 2 0 2 Qua bảng này cho thấy : ♦ Phƣơng pháp giải chủ đạo là phƣơng pháp tổng hợp, tuy nhiên mức độ thành công của phƣơng pháp này rất thấp, chƣa đến 50% (47 so vđi 49). Kết quả này có thể do bài toán phát biểu ở dạng ngôn ngữ hình học tổng hợp mà không liên quan gi đến phƣơng pháp vectơ hay phƣơng pháp tọa độ. Hơn nữa, trong chƣơng trình hình hoe 12 không cố bài tập kiểu này. ♦ Ở bài toán này, việc cố nhiều lời giải dùng phƣơng pháp vectơ nhiều hơn so với phƣơng pháp tọa độ (63 so với 15) là ảnh hƣởng của đề bài. Tuy nhiên, tỉ lệ thành cổng của phƣơng pháp vectơ thấp hơn rất nhiều so với phƣơng pháp tọa độ (25,4% so với 73,3%). ♦ Liên hệ vđi các kiểu bài toán đƣợc đƣa ra trong Sách giáo khoa Hình học 12, kiểu bài toán phát biểu bằng ngổn ngữ hình học tổng hợp mà đƣợc yêu cầu giải bằng phƣơng pháp vectơ hoặc phƣơng pháp tọa độ hầu nhƣ rất ít. Do vậy học sinh khó khăn khi tìm lời giải. Khi học sinh đƣợc yêu cầu giải bài toán bằng ba cách khác nhau, thì trong - các bài giải của họ chúng tôi thấy : Luận văn Thạc sĩ - chuyên ngành : Didactic Toán Võ Hoàng Võ Hoàng 20 Hầu hết là giải bài toán bằng phƣơng pháp tổng hợp đầu tiên (cách 1), sau đó cách 2 cũng là phƣơng pháp tổng hợp, nếu không nghĩ đến đƣợc phƣơng pháp tổng hợp nữa thì họ giải bằng phƣơng pháp tọa độ. Cuối cùng họ mới giải bài toán bằng phƣơng pháp vectơ. Nhƣng các sai lầm của họ trong việc sử dụng vectơ là rất phổ biến. Tóm lại, qua phân tích lời giải của hai bài toán thực nghiệm đã cho phép chúng tôi phần nào vạch rõ tính thỏa đáng của giả thuyết đƣa ra. Nhƣng phân tích chƣơng tình và SGK đã chỉ ra : hầu nhƣ các phần lý thuyết cũng nhƣ các kiểu nhiệm vụ đƣợc đề cập trong SGK đều tập trung vào vấn đề phƣơng pháp tọa độ. Hơn nữa, yêu cầu sử dụng phƣơng pháp vectơ để giải toán không phải là một trọng tâm của SGK. Do vậy, công cụ vectơ chƣa thật sự sẩn sàng dƣợc sử dụng, và nếu có thì cũng kém hiệu quả. Thực nghiệm trên, phần nào cũng chỉ ra đƣợc rằng học sinh thành công hơn khi sử dụng phƣơng pháp tọa độ dể giải toán. Điều này phần nào phản ánh mối quan hệ thể chế dạy học hình học ở trƣờng PTTH đối với đối tƣợng là phƣơng pháp tọa độ và phƣơng pháp vectơ. Luận văn Thạc sĩ - chuyên ngành : Didactic Toán Võ Hoàng Võ Hoàng 21 KẾT LUẬN Việc nghiên cứu chƣơng trình và SGK từ quan điểm của lý thuyết nhân chủng học cho phép chúng tôi khẳng định, trong thể chế dạy học hình học ở Việt Nam, phƣơng pháp vectơ và phƣơng pháp tọa độ đã đƣợc đƣa vào giảng dạy. Tuy nhiên, phƣơng pháp vectơ thƣờng chỉ xuất hiện với vai trò công cụ, để xây dựng các kiến thức tiếp theo trong phần lý thuyết của hình học lớp 10 cũng nhƣ các kiến thức của phƣơng pháp tọa độ trong hình học 12. Việc áp dụng phƣơng pháp vectơ vào giải toán không đƣợc coi trọng. Mặt khác, nghiên cứu này cũng cho chúng tôi thấy đƣợc mối liên hệ giữa phƣơng pháp vectơ và phƣơng pháp tọa độ trong dạy học hình học ỏ lớp 12. Phƣơng pháp vectơ là cơ sở để đƣa vào phƣơng pháp giải tích thông qua trung gian là phƣơng pháp vectơ - tọa độ. Nghiên cứu thực nghiệm cho phép chúng tôi khẳng định tính thỏa đáng của giả thuyết đƣa ra. Quan hệ chính thức mà thể chế duy trì đối với một tri thức cần dạy có ảnh hƣởng lớn đến sự hình thành quan hệ cá nhân của học sinh đối với tri thức đó. Việc nghiên cứu của chúng tôi cho phép chỉ ra rằng phƣơng pháp vectơ và phƣơng pháp tọa độ cần đƣợc đƣa vào mộc cách rô ràng hơn và chi tiết hơn nữa. Đặc biệt là các kiểu nhiệm vụ toán học liên quan đến việc sử dụng vectơ cũng nhƣ chọn hệ tọa độ để giải toán cần đƣợc diêm vào SGK với số lƣợng nhiều hơn và tƣờng minh hơn. Từ đó hƣớng nghiên cứu mới đƣợc mở ra của chúng tôi có thể là thực hiện một nghiên cứu về thể chế hóa đối với giáo viên giảng dạy toán ỏ PTTH. Nghiên cứu này đƣợc nghiên cứu trên đối tƣợng là các giáo viên. Mục đích là xem xét các giáo viên khi thực hiện giảng dạy họ đã tiến hành cụ thể hóa các nội dung của chƣơng tình và SGK ở mức độ nào, chúng có tác động nhƣ thế nào đối với việc học tập của học sinh về phƣơng pháp vectơ và phƣơng pháp tọa độ. Từ đó có thể xây dựng hệ thống các kiến thức trong dạy học nhằm giúp việc giảng dạy cũng nhƣ học tập đạt hiệu quả hơn. Đây là kết quả đầu tiên của chúng tôi. Đồng thời là bƣớc đầu bƣớc vào con đƣờng nghiên cứu khoa học Didactic Toán, bản thân chúng tỏi thấy còn những hạn chế nhất định. Hy vọng trong hƣớng nghiên cứu mới chúng tôi sẽ thực hiện đƣợc nhiều kết quả tốt đẹp hơn.