Luận văn Nghiên cứu didactic về các phép toán trên mệnh đề ở trung học phổ thông

uyển, phép hội. Chẳng hạn như: khi tính xác suất bằng cách sử dụng biến cố đối ở lớp 11, học sinh cũng cần phải xác định đúng biến cố đối của biến cố cho trước (nghĩa là phải biết lập mệnh đề phủ định của mệnh đề cho trước, trong đó mệnh đề mô tả biến cố cho trước có thể chứa từ “và”, “hoặc”)Ngoài ra, rất nhiều định nghĩa khái niệm trong chương trình có cấu trúc tương tự như hàm số chẵn, hàm số lẻ: hàm số liên tục tại một điểm, hàm số khả vi tại một điểm,.... Bài toán chứng minh hàm số không chẵn, không lẻ chỉ là một tiêu biểu cho bài toán chứng minh bác bỏ một mệnh đề có cấu trúc hội mà thôi. 52 Như vậy có thể nói rằng tri thức cơ bản về các phép toán trên mệnh đề trình bày ở chương 1, SGK Đại số 10 nâng cao là chưa đủ để đáp ứng yêu cầu của việc học những nội dung tiếp theo trong chương trình toán trung học phổ thông. Chúng tôi tự hỏi: trong thực tế dạy học, giáo viên có giới thiệu cho học sinh về tính đúng, sai của mệnh đề dạng “A hoặc B”, “A và B” và quy tắc lập mệnh đề phủ định của các mệnh đề trên hay không? Khi dạy học nội dung tính chẵn lẻ của hàm số, liệu giáo viên có tuân theo những ràng buộc của SGK? Giáo viên làm thế nào để giảng giải cho học sinh về cơ sở của kỹ thuật? Có sử dụng tri thức về mệnh đề và các phép toán trên mệnh đề không hay là sử dụng một cách nào khác? Để biết được câu trả lời, chúng tôi sẽ quay về với thực tế dạy học, tiến hành thực nghiệm điều tra giáo viên. Phần này sẽ được trình bày ngay chương sau đây. 53 Chương 3. THỰC NGHIỆM Trong chương này, chúng tôi tiến hành những thực nghiệm với mục đích trả lời một số câu hỏi và kiểm chứng các giả thuyết đã được đặt ra ở chương 1 và 2. Thực nghiệm gồm hai phần: thăm dò ý kiến giáo viên và thực nghiệm đối với học sinh. 3.1 Thăm dò ý kiến giáo viên 3.1.1 Phân tích a priori Mục đích của việc thăm dò ý kiến giáo viên là để trả lời cho những câu hỏi sau: (1) Giáo viên có tuân theo ràng buộc của thể chế khi dạy học các phép toán trên mệnh đề hay không? Cụ thể, khi ra đề toán thuộc kiểu nhiệm vụ lập mệnh đề phủ định của mệnh đề cho trước, giáo viên có cho trước mệnh đề P hay mệnh đề chứa biến P(x) phức hợp dạng tuyển, hội, kéo theo, tương đương hay chỉ cho những mệnh đề đơn? (2) Chân trị của mệnh đề dạng “A hoặc B” có được giáo viên sử dụng làm yếu tố công nghệ giải thích cho kỹ thuật trong một số bài toán? (3) Giáo viên có tuân theo những ràng buộc của thể chế khi dạy học tính chẵn lẻ của hàm số hay không? Cụ thể, giáo viên có ra đề bài tập yêu cầu xét tính chẵn lẻ của những hàm số mà có tập xác định không đối xứng hoặc tồn tại giá trị x0 ∈ D mà f (–x0) ≠ ± f (x0)? Giáo viên có sử dụng tri thức về mệnh đề và các phép toán trên mệnh đề để giảng giải cho học sinh về cơ sở của kỹ thuật hay không? Chúng tôi thiết kế bộ câu hỏi điều tra gồm 4 câu hỏi như sau: Câu 1: Khi dạy phần mệnh đề, theo chương trình Đại số lớp 10 nâng cao, quý thầy (cô) có cho bài tập yêu cầu học sinh lập mệnh đề phủ định của mệnh đề có chứa từ “và”, từ “hoặc” không? (Chẳng hạn như lập mệnh đề phủ định các mệnh đề sau: “15 chia hết cho 3 hoặc 15 chia hết cho 7”, “Tất cả học sinh trong lớp đều có mang theo compa và làm bài tập đầy đủ”, “∀ x ∈ Z+, x > 5 hoặc x ≤ 2”. a/ Chưa bao giờ. 54 b/ Thỉnh thoảng. c/ Thường xuyên. Quý thầy (cô) vui lòng cho biết lý do lựa chọn của mình: ... (vì chương trình giảm tải, vì đối tượng học sinh, vì thời gian, vì cần thiết cho việc học những nội dung tiếp theo,) Thầy (cô) có giới thiệu cho học sinh quy tắc phủ định mệnh đề dạng “A hoặc B”, dạng “A và B” (lập mệnh đề phủ định 𝐴 � , 𝐵 � , chuyển từ “hoặc” thành từ “và” hoặc ngược lại chuyển “và” thành “hoặc”) hay không? ... Câu 2: Khi dạy phần mệnh đề, theo chương trình Đại số lớp 10 nâng cao, quý thầy (cô) có cho bài tập yêu cầu học sinh lập mệnh đề phủ định của mệnh đề kéo theo, mệnh đề tương đương không? a/ Chưa bao giờ. b/ Thỉnh thoảng. c/ Thường xuyên. Quý thầy (cô) vui lòng cho biết lý do lựa chọn của mình: ... ... Câu 1, câu 2 để tìm câu trả lời cho câu hỏi (1). Vì việc lập mệnh đề phủ định của mệnh đề phức hợp dạng tuyển, hội, kéo theo, tương đương là không phù hợp với sự ràng buộc của thể chế mà chúng tôi đã phân tích ở chương 1, nên chúng tôi còn yêu cầu giáo viên nêu lý do lựa chọn sau mỗi câu, để hiểu rõ hơn về ý đồ sư phạm của giáo viên. Chúng tôi có gợi ý một vài lý do có thể nghĩ đến để giáo viên không bị lúng túng khi trả lời, tránh tình trạng bỏ trống. Ngoài ra, ở câu 1, chúng tôi còn muốn biết thêm giáo viên có giới thiệu cho học sinh quy tắc lập mệnh đề phủ định của mệnh đề hội, tuyển hay không. 55 Câu 3: Khi giải phương trình √𝑥 − 5 = 7 − 𝑥 bằng cách biến đổi tương đương như sau: √𝑥 − 5 = 7 − 𝑥 ⇔ 2 7 5 (7 ) x x x  ≤  − = − ⇔ 7 6 hoaëc 9 x x x  ≤  = = , giả sử cần hướng dẫn học sinh cách nhận x = 6 và loại x = 9, quý thầy (cô) thường ưu tiên sử dụng cách nào? a) Cách 1: Kiểm tra nếu x thỏa điều kiện thì nhận, không thỏa điều kiện thì loại. Ở đây, 6 ≤ 7 là đúng vì mệnh đề có từ “hoặc” chỉ cần một trong hai trường hợp đúng là đúng. 9 ≤ 7 là sai vì 9 không nhỏ hơn 7, cũng không bằng 7. Do đó nhận x = 6, loại x = 9. b) Cách 2: Dùng trục số. c) Cách 3: Dùng tập hợp. d) Cách khác: .. Như đã phân tích ở chương 1, chân trị của mệnh đề dạng “A hoặc B” không được SGK đề cập, nhưng lại tham gia làm thành phần công nghệ giải thích cho kỹ thuật giải một số bài toán. Chúng tôi đặt giáo viên vào một tình huống dạy học cụ thể có sử dụng chân trị của mệnh đề “A hoặc B” để hướng dẫn học sinh làm bài. Chúng tôi chọn bài toán 2 mà không chọn bài toán 1 (đã nêu ở chương 1) vì đối với bài toán 2, cách dùng tính đúng sai của mệnh đề “A hoặc B” không phải là cách giải thích duy nhất, mà ta còn có thể dùng tập hợp để giải quyết. Cụ thể: ta kiểm tra số 6, số 9 có thuộc tập (– ∞; 7] hay không? Có thể biểu diễn x ≤ 7, số 6, số 9 lên trục số để xác định. Theo chúng tôi, đây là một cách xử lý tốt vì có thể né tránh được việc đề cập đến chân trị của mệnh đề “A hoặc B”, vừa rất rõ ràng, dễ hiểu. Tuy nhiên khi thiết kế câu 3, chúng tôi đưa ra nhiều phương án để giáo viên lựa chọn nhưng không nêu chi tiết cách sử dụng tập hợp này mà chỉ gợi ý: b) Cách 2: Dùng trục số. c) Cách 3: Dùng tập hợp và d) Cách khác(ngoài phương án a) dùng chân trị mệnh đề tuyển), với hy vọng điều tra được chính xác trong thực tế, giáo viên thường dùng 56 chân trị của mệnh đề dạng “A hoặc B” làm yếu tố công nghệ để giải thích cho kỹ thuật hay né tránh, dùng một cách nào khác? Ngoài ra, việc cho sẵn lời giải phương trình bằng phép biến đổi tương đương như trên nhằm mục đích không ưu tiên kỹ thuật loại nghiệm bằng cách thế vào phương trình đề cho ban đầu. Câu 4: Khi ra đề toán yêu cầu xét tính chẵn lẻ của hàm số, quý thầy (cô) có cho những hàm số có tập xác định không đối xứng hoặc hàm số có tập xác định đối xứng nhưng ∃x0 ∈ D mà f (–x0) ≠ ± f (x0) (là những hàm số không chẵn và không lẻ) hay không? a/ Chưa bao giờ. b/ Thỉnh thoảng. c/ Thường xuyên. Theo tinh thần giảm tải của chương trình Đại số lớp 10 nâng cao hiện hành, tính đúng sai của mệnh đề dạng “∀x ∈ X, P(x) và Q(x)” không được đưa vào dạy học ở nội dung mệnh đề. Quý thầy (cô) vui lòng cho biết ngoài việc hướng dẫn học sinh cách giải 2 loại trên: chứng tỏ TXĐ không đối xứng hoặc chỉ ra ∃x0 ∈ D mà f (–x0)≠± f (x0), thầy (cô) có hướng dẫn gì thêm không? (lưu ý: có thể có nhiều lựa chọn) a/ Không hướng dẫn gì thêm. b/ Giảng giải cho học sinh về tính đúng sai của mệnh đề dạng “∀x∈X, P(x) và Q(x)”. c/ Giảng giải cho học sinh quy tắc: mệnh đề có từ “và” đúng nếu thỏa mãn hết đồng thời các điều kiện, khi vi phạm một trong các điều kiện thì mệnh đề sai. d/ Giúp học sinh liên hệ với tính đúng sai của mệnh đề chứa “∀”: để chứng tỏ mệnh đề dạng ∀x∈X, P(x) sai ta phải chỉ rõ ∃x0 ∈ X sao cho P(x) sai. e/ Hướng dẫn thêm khác:. Quý thầy (cô) vui lòng giải thích lý do sự lựa chọn của mình 57 Mục đích câu này là để tìm câu trả lời cho câu hỏi (3). Chúng tôi đặt câu hỏi một cách trực tiếp để biết giáo viên có ra bài tập loại hàm số không chẵn, không lẻ mà SGK đã né tránh hay không. Để biết lựa chọn sư phạm của giáo viên trong việc giảng giải cho học sinh cơ sở công nghệ của kỹ thuật, chúng tôi thiết kế nhiều lựa chọn có thể a, b, c, d, và có thêm lựa chọn e/ hướng dẫn thêm khác. Đặc biệt, chúng tôi có nhắc đến việc giảm tải của SGK trước khi đưa ra câu hỏi cùng các lựa chọn. Đồng thời có thêm phần đề nghị giáo viên giải thích lý do lựa chọn để hiểu được vì sao giáo viên lại không tuân theo ràng buộc của SGK. Các câu trả lời có thể được phân nhóm và được mã hóa như sau: S1 “Không giải thích công nghệ”: giáo viên chọn a. S2 “Giải thích đầy đủ về công nghệ”: giáo viên chọn b hoặc cả c và d. S3 “Giải thích không đầy đủ về công nghệ”: giáo viên chỉ chọn hoặc c hoặc d. S3a: chỉ liên hệ đến tính đúng sai của mệnh đề hội. S3b: chỉ liên hệ đến tính đúng sai của mệnh đề chứa lượng từ “∀”. 3.1.2 Phân tích a posteriori Chúng tôi tiến hành gửi phiếu thăm dò đến 23 giáo viên toán, đã dạy hoặc đang dạy lớp 10 nâng cao, thuộc 3 trường trung học phổ thông của tỉnh Khánh Hòa và tỉnh Bình Thuận. Tất cả các giáo viên đều tham gia trả lời phiếu. Các câu trả lời của giáo viên cho câu 1 được thống kê qua bảng sau: Trả lời Số lượng a/ Chưa bao giờ 0/23 b/ Thỉnh thoảng 16/23 c/ Thường xuyên 7/23 Các câu trả lời của giáo viên cho câu 2 được thống kê qua bảng sau: Trả lời Số lượng 58 a/ Chưa bao giờ 22/23 b/ Thỉnh thoảng 1/23 c/ Thường xuyên 0/23 Thống kê cho thấy: trong dạy học mệnh đề, đa số giáo viên tham gia thực nghiệm không ra yêu cầu lập mệnh đề phủ định của mệnh đề kéo theo, mệnh đề tương đương, nhưng có yêu cầu học sinh lập mệnh đề phủ định của mệnh đề có chứa từ “và”, “hoặc”. Tuy nhiên đưa vào ở mức độ thỉnh thoảng hay thường xuyên tùy đối tượng học sinh, thời gian,và với lưu ý trong phần giải thích lý do là không cho kiểm tra. Với nhiều lý do được đưa ra như: làm đa dạng thêm bài tập, đây là dạng bài tập hay, giúp rèn luyện tư duy, kỹ năng suy luận cho học sinh, đây là nội dung quan trọng cần thiết cho việc giải toán ở những lớp sau (bài chứng minh phản chứng, xét điều kiện phương trình, bất phương trình); do chương trình không dạy nhưng trong thực tế về sau học sinh dùng để lập luận, rèn luyện suy luận cho học sinh nâng cao,Nhóm giáo viên chọn phương án b/ Thỉnh thoảng nêu một số lý do như sau: vì các dạng này hơi khó đối với học sinh, coi như ví dụ nâng cao cho học sinh khá giỏi làm thêm vì thời lượng trên lớp chỉ đủ trình bày nội dung trong SGK và SBT, Ngoài ra, có 21/23 giáo viên đã khẳng định có giới thiệu cho học sinh quy tắc phủ định của mệnh đề dạng “A hoặc B”. Trong đó có 2 giáo viên còn giải thích thêm: vì gần với ngôn ngữ tự nhiên nên cho học sinh làm trước rồi mới giới thiệu quy tắc. Chỉ có 2 giáo viên không giới thiệu học sinh quy tắc này mà chỉ ra mệnh đề tuyển, hội để học sinh biết thêm Ở câu 3, có 3 giáo viên chọn cả hai phương án a và b, a và c, a và d. 20 giáo viên còn lại mỗi người chỉ chọn 1 phương án. Các câu trả lời của giáo viên được thống kê qua bảng sau: Phương án được chọn Số lượng A 21/23 B 2/23 59 C 2/23 D 1/23 Có ý kiến của một giáo viên cho rằng việc nhận x = 6 và loại x = 9 là tự nhiên, học sinh chấp nhận được nên không cần giải thích nhiều (ghi vào phần cách khác). Thống kê cho thấy đa số giáo viên (21/23) thường sử dụng chân trị của mệnh đề tuyển trong việc hướng dẫn học sinh so sánh nghiệm với điều kiện khi giải phương trình, cho dù đối với trường hợp này còn có thể dùng cách khác. Vậy là trong thực tế dạy học, giáo viên có đưa chân trị của mệnh đề tuyển “A hoặc B” vào giảng dạy cho học sinh dù cho tri thức về phép tuyển được SGK yêu cầu né tránh. Các câu trả lời của giáo viên cho câu 4 được thống kê qua bảng sau: Trả lời Số lượng a/ Chưa bao giờ 0/23 b/ Thỉnh thoảng 14/23 c/ Thường xuyên 9/23 Thống kê cho thấy đa số giáo viên thường không tuân theo ràng buộc của thể chế khi dạy học tính chẵn lẻ của hàm số. Tất cả giáo viên tham gia thực nghiệm đều có ra những hàm số không chẵn, không lẻ. Có giáo viên giải thích lý do: để giúp học sinh nắm vững khái niệm, không kết luận ẩu. Về việc giải thích công nghệ cho kỹ thuật, chúng tôi thống kê các câu trả lời của giáo viên theo chiến lược như sau: Chiến lược Số lượng S1“Không giải thích công nghệ” 7/23 S2 “Giải thích đầy đủ về công nghệ” 8/23 S3 “Giải thích không đầy đủ về công nghệ” S3a: “chỉ liên hệ tính đúng sai của mệnh đề hội” S3b: “chỉ liên hệ tính đúng sai của mệnh đề chứa lượng từ ∀” 2/23 8/23 6/23 60 7/23 giáo viên không giải thích yếu tố công nghệ với những lý do được đưa ra như sau: theo tinh thần giảm tải, chỉ nói những cái cần thiết, đủ giúp học sinh làm bài tập là được, phương án này học sinh dễ hiểu hơn, không cần thiết và không đủ thời gian cho thấy sự ảnh hưởng của các ràng buộc của hệ thống dạy học lên một bộ phận giáo viên. 16/23 giáo viên còn lại có giải thích cho học sinh về yếu tố công nghệ (giải thích đầy đủ hoặc chỉ một phần về tính đúng sai của mệnh đề hội và tính đúng sai của mệnh đề chứa lượng từ ∀) với những lý do đưa ra như sau: vì thấy cần thiết, theo suy luận toán học về mệnh đề, nhằm củng cố kiến thức về mệnh đề cho học sinh, phục vụ cho các kiến thức sau này Có giáo viên không chọn phương án b mà chọn phương án c, d vì cho rằng: trực quan, ngắn gọn, dễ hiểu hơn là việc giải thích về tính đúng sai của mệnh đề “∀x∈X, P(x) và Q(x)” và hướng dẫn thêm: nêu thêm những ví dụ trực quan để học sinh hiểu như: Muốn học sinh giỏi thì phải học lực giỏi và hạnh kiểm tốtvi phạm một điều kiện là không được Có giáo viên hướng dẫn thêm cho học sinh: tương tự như quy trình của máy tính, lập trình sai ở bước nào thì dừng lại ở bước đó, không làm tiếp nữa. Quan sát bảng thống kê trên ta thấy có 10/23 giáo viên đã dùng chân trị của mệnh đề “A và B” để giải thích cơ sở công nghệ cho học sinh. Như vậy khi dạy học bài toán xét tính chẵn lẻ của hàm số, một số GV quyết định bỏ ra thời gian giải thích cho HS hiểu rõ về cơ sở công nghệ của kỹ thuật, có GV thì thông qua một vài ví dụ, sẽ giải thích cơ sở bằng các quy tắc ngắn gọn. Một số giáo viên quyết định không giải thích vì lý do thời gian. Việc bỏ đi phép hội, phép tuyển có phải chăng đã gây khó khăn cho GV trong việc dạy học những nội dung tiếp theo trong chương trình? Kết luận: Kết quả thực nghiệm trên đối tượng giáo viên đã cho thấy sự can thiệp của giáo viên trong dạy học các phép toán trên mệnh đề cũng như dạy học các nội dung có sự tham gia của phép hội và phép tuyển. Đa số giáo viên có đưa vào dạy học một số tri thức liên quan đến phép hội và phép tuyển cần thiết cho việc học những nội dung tiếp theo trong chương trình như: chân trị của mệnh đề dạng “A 61 hoặc B”, “A và B” quy tắc lập mệnh đề phủ định của mệnh đề dạng “A hoặc B”, “A và B” dù cho SGK không đề cập đến. Khi dạy học một số nội dung có sự can thiệp của phép tuyển, phép hội, một bộ phận giáo viên tham gia thực nghiêm có sử dụng tri thức liên quan đến phép tuyển, phép hội để làm kỹ thuật hoặc công nghệ giải thích cho kỹ thuật. 3.2 Thực nghiệm đối với học sinh Phần này chúng tôi tiến hành hai thực nghiệm tách biệt nhau. 3.2.1 Thực nghiệm thứ nhất Mục đích thực nghiệm là để trả lời cho câu hỏi: Học sinh quan niệm như thế nào về tính đúng sai của mệnh đề dạng “A hoặc B”? Chúng tôi phát phiếu bài tập, yêu cầu HS làm trong thời gian 10 phút. Nội dung phiếu bài tập như sau: PHIẾU BÀI TẬP Câu 1: Em hãy cho biết các mệnh đề được cho trong bảng sau đây đúng hay sai. Nếu đúng, em viết Đ; nếu sai, em viết S vào ô bên cạnh. Sau đó, em hãy giải thích lý do lựa chọn của mình. Mệnh đề Đúng hay sai? Lý do (1) “100 chia hết cho 5 hoặc 10” (2) “6 nhỏ hơn hoặc bằng 7” (3) “2 > 5 hoặc 1< 0” (4) “Hôm nay trời mưa hoặc không mưa” (5) “Pari là thủ đô của Pháp hoặc Việt Nam” 3.2.1.1 Phân tích a priori Kiểu nhiệm vụ xét tính đúng sai của mệnh đề là quen thuộc, tuy nhiên mệnh đề ở đây có chứa liên từ logic “hoặc”. Tuy rằng bài toán này không tuân theo ràng 62 buộc của thể chế dạy học các phép toán trên mệnh đề ở lớp 10 nâng cao. Nhưng liên từ này HS gặp nhiều trong cuộc sống, gặp nhiều lần trong suốt chương trình toán phổ thông, và nhiệm vụ xét tính đúng sai của mệnh đề dạng “A hoặc B” cũng xuất hiện trong giải một số bài toán ở phổ thông. Ngoài yêu cầu xét tính đúng sai, chúng tôi còn yêu cầu giải thích lý do vì muốn HS phải suy nghĩ kỹ về câu trả lời chứ không phải chọn may rủi. Từ đó, chúng tôi hy vọng sẽ biết được quan niệm của HS về tính đúng sai của loại mệnh đề này, để biết học sinh hiểu nghĩa của từ “hoặc” như thế nào. Các biến tình huống và giá trị các biến và các giá trị được chọn: V1: Chân trị của các mệnh đề thành phần: (ĐĐ) cả hai mệnh đề cùng đúng, (SS) cả hai mệnh đề cùng sai, (ĐS) một trong hai mệnh đề sai, mệnh đề còn lại đúng. V2: Các mệnh đề cho trước có nội dung thực tế đời sống (a), toán học(b). V3: Ý nghĩa của các mệnh đề thành phần: V3a: sự thật hiển nhiên (phù hợp với hiện thực khách quan). V3b: phán đoán khả năng có thể xảy ra. V3c: trái với sự thật hiển nhiên, không có khả năng xảy ra (vô lý). Chúng tôi đã thiết kế 5 mệnh đề tất cả (có đánh số thứ tự). Để thuận tiện cho việc theo dõi, việc lựa chọn giá trị các biến cho các mệnh đề được mã hóa qua sơ đồ sau: (1) ĐĐ – b – V3a (2) ĐS – b – V3c (3) SS – b – V3c (4) ĐS – a – V3b (5) ĐS – a – V3c Ở mệnh đề (2) chúng tôi không viết dưới dạng kí hiệu “6≤7” nhằm tránh trường hợp học sinh quan niệm dấu “≤”dùng để so sánh thứ tự giữa hai số. Các chiến lược có thể: S1 “tuyển không loại”: dựa vào bảng chân trị của mệnh đề tuyển không loại. Nhóm câu trả lời tương ứng với chiến lược S1: cho rằng (3) sai, (1), (2), (4), (5) đúng. 63 S2 “tuyển loại”: dựa vào bảng chân trị của mệnh đề tuyển loại. Nhóm câu trả lời tương ứng với chiến lược S2: cho rằng (1), (3) sai, (2), (4), (5) đúng. S3 “xét ý nghĩa”: dựa vào ý nghĩa của mệnh đề thành phần, nếu các mệnh đề thành phần là sự thật hiển nhiên thì cho Đ, nếu là phán đoán các khả năng có thể xảy ra thì cho Đ, nếu có một mệnh đề thành phần mang nghĩa trái với sự thật hiển nhiên hoặc không có khả năng xảy ra thì cho S Các câu trả lời tương ứng với chiến lược S3 được phân thành hai nhóm: Nhóm A: cho rằng (1), (4) đúng, (2), (3), (5) sai. Nhóm B: cho rằng chỉ có (4) đúng, (2), (3), (5) và cả (1) sai. 3.2.1.2 Phân tích a posteriori Chúng tôi khảo sát 138 HS của 4 lớp thuộc hai trường khác nhau. Trong đó, 2 nhóm HS lớp 10 học chương trình nâng cao, đã học xong tập hợp (tức là đã gặp từ “hoặc” trong định nghĩa hợp hai tập hợp, ít nhiều đã liên hệ được với phép hợp hai tập hợp), và 2 nhóm HS lớp 11 học chương trình nâng cao (đã gặp từ “hoặc” rất nhiều lần trong suốt chương trình). Chúng tôi chỉ thống kê kết quả bài làm của 127 học sinh, vì 11 học sinh còn lại không giải thích rõ lý do lựa chọn, hoặc có 4 bài cho rằng mệnh đề (3) đúng. Kết quả khảo sát thể hiện qua bảng sau: Câu trả lời tương ứng với chiến lược Số lượng Tỷ lệ S1“tuyển không loại” 48/127 (37,79%) S2 “tuyển loại” 20/127 (15,75 %) S3 “xét ý nghĩa” A 40/127 (31,50%) B 19/127 (14,96%) Thống kê cho thấy chỉ có 48/127 học sinh tham gia khảo sát (chiếm 37,79% ) có câu trả lời theo chiến lược S1, nghĩa là có quan niệm đúng về chân trị của mệnh đề tuyển dạng “P hoặc Q” như SGK mong đợi. 20/127 học sinh cho rằng từ “hoặc” mang nghĩa tuyển loại (làm theo chiến lược S2). Còn lại 59/127 học sinh không dựa 64 vào bảng chân trị của mệnh đề tuyển mà làm theo chiến lược S3 “xét ý nghĩa”, nghĩa là học sinh cho rằng mệnh đề (4) “Hôm nay trời mưa hoặc không mưa” đúng, nhưng lại không chấp nhận mệnh đề (2) và (5): “6 nhỏ hơn hoặc bằng 7”, “Pari là thủ đô của Pháp hoặc Việt Nam” đúng, mặc dù ba mệnh đề này có chân trị của các mệnh đề thành phần giống nhau. Có thể giải thích lý do là vì trong SGK không đề cập đến tính đúng sai của mệnh đề có chứa từ “hoặc”, mỗi lần từ “hoặc” xuất hiện cũng không giải thích gì về nghĩa logic của nó. Trong ngôn ngữ tự nhiên, từ “hoặc” thường được dùng để chỉ hai trường hợp, hai khả năng đều có thể xảy ra, chứ không phải là những phát biểu vô lý, trái với sự thật hiển nhiên. Ngoài ra, trong 59 học sinh làm theo chiến lược S3 “xét ý nghĩa” có 19 học sinh cho câu (1) sai, với lý do là phải dùng từ “và” thay cho từ “hoặc” thì mới đúng. Có thể giải thích lý do là vì trong trường hợp này từ “hoặc” tương đương với từ “và” theo nghĩa liệt kê hai khả năng có thể xảy ra. Như vậy, lựa chọn sư phạm của các tác giả SGK trong dạy học mệnh đề ở chương 1 đã làm HS hiểu không đúng về tính đúng sai của mệnh đề này trong toán học. Chỉ một số ít học sinh sử dụng bảng chân trị của mệnh đề tuyển không loại để xét tính đúng sai cho mệnh đề dạng “A hoặc B”. Số đông học sinh không có quan niệm đúng về tính đúng sai của mệnh đề “A hoặc B” trong toán học. Có thể kết luận quan niệm về nghĩa từ “hoặc” ở đa số học sinh như sau: “hoặc” dùng để chỉ hai khả năng có thể xảy ra, không khả năng này thì khả năng kia, ít nhất một khả năng xảy ra chứ không phải là những phát biểu vô lý, trái với sự thật hiển nhiên hay không có khả năng xảy ra. Tuy rằng kết quả thực nghiệm giáo viên ở phần trước đã cho thấy đa số giáo viên có sự can thiệp, có giới thiệu về tính đúng sai của mệnh đề “A hoặc B” cho học sinh, nhưng số đông học sinh vẫn gặp khó khăn trong việc hiểu nghĩa logic của liên từ “hoặc”. Điều này cho thấy sự ảnh hưởng mạnh từ sự lựa chọn sư phạm của SGK “né tránh đề cập phép hội, phép tuyển” và quan niệm về nghĩa của từ “hoặc” trong ngôn ngữ tự nhiên. Và như thế sẽ dẫn đến việc HS gặp khó khăn trong việc sử dụng hai liên từ logic này trong lập luận giải toán, khó khăn trong việc học một số nội dung tiếp theo trong chương trình có sự can thiệp của hai phép toán này. 65 3.2.2 Thực nghiệm thứ hai Mục đích là để kiểm chứng quy tắc hợp đồng R1: Nếu mệnh đề cho trước được phát biểu bằng ngôn ngữ thông thường thì mệnh đề phủ định cũng phát biểu bằng ngôn ngữ thông thường, nếu mệnh đề cho trước bằng kí hiệu logic thì mệnh đề phủ định cũng phát biểu bằng kí hiệu logic. Và kiểm chứng sự tồn tại ở học sinh quy tắc hành động R2: luôn và chỉ thêm từ “không” hoặc “không phải” trước các vị ngữ, khi lập mệnh đề phủ định. 3.2.2.1 Phân tích a priori Thực nghiệm được tiến hành trên 112 học sinh thuộc 3 lớp 10 của 2 trường trung học phổ thông khác nhau ở tỉnh Khánh Hòa và Bình Thuận, học chương trình nâng cao, và được giảng dạy bởi 3 giáo viên khác nhau. Ba giáo viên này có tham gia làm phiếu thăm dò ý kiến và kết quả cho thấy họ có dạy cho học sinh quy tắc lập mệnh đề phủ định của mệnh để tuyển, hội. Thực nghiệm được tiến hành sau khi HS đã học xong bài 1 và bài 2 thuộc chương 1 – Mệnh đề, tập hợp. Mỗi HS được phát một phiếu bài tập, làm việc độc lập trong thời gian 15 phút. Phiếu bài tập dành cho học sinh gồm có 2 câu được trích dẫn trong phần phụ lục 1. ♦ Câu 1 thuộc dạng “cho điểm các lời giải của một số HS giả định” Đề bài như sau: Với đề bài: Hãy lập mệnh đề phủ định của mệnh đề “∀x∈Z+, x > 5 hoặc x ≤ 2” 4 học sinh đã giải với 4 lời giải tương ứng như sau: Lời giải 1: “∃ x ∈ Z+, x ≤ 5 hoặc x > 2” Lời giải 2: “∃ x ∈ Z+, x > 5 và x ≤ 2” Lời giải 3: “Tồn tại số nguyên dương nhỏ hơn hoặc bằng 5 hoặc lớn hơn 2” Lời giải 4: “Tồn tại số nguyên dương nhỏ hơn hoặc bằng 5 và lớn hơn 2” Yêu cầu đặt ra cho em là: 66 Em hãy cho điểm 4 lời giải trên theo thang điểm từ 0 đến 10. Sau đó giải thích rõ vì sao em cho điểm như vậy? Trường hợp không có bài nào em cho điểm 10, em hãy trình bày cách giải mà em cho là tốt nhất. Ở câu này, chúng tôi đưa ra một bài toán quen thuộc với yêu cầu lập mệnh đề phủ định của một mệnh đề cho trước bằng kí hiệu logic, có chứa từ “hoặc”, và cho trước 4 lời giải của 4 HS giả định, sau đó yêu cầu HS phải đánh giá, cho điểm 4 lời giải. Một điều đặc biệt là chúng tôi còn yêu cầu HS giải thích lý do “vì sao em cho số điểm như vậy?” để buộc HS phải suy nghĩ kỹ, cân nhắc kỹ lưỡng, so sánh, tìm chi tiết đúng, sai, hay, dở, thừa, thiếu, có quan điểm riêng, có chính kiến của bản thân chứ không cho điểm theo sở thích hay may rủi. Chúng tôi hy vọng qua lời giải thích đánh giá, cho điểm của HS sẽ cho thấy sự ưu tiên lựa chọn hình thức biểu đạt mệnh đề phủ định của học sinh, từ đó kiểm chứng được một phần quy tắc hợp đồng R1. ∗ Phân tích 4 lời giải giả định: Chúng tôi bố trí lời giải 1 và 3 có nội dung như nhau, chỉ khác nhau ở hình thức thể hiện, một cách diễn đạt bằng ngôn ngữ thông thường, và một cách sử dụng kí hiệu logic. Lời giải 1 và 3 sẽ là hoàn hảo nếu thay từ “hoặc” bởi từ “và”. Lời giải 2 là lời giải sai nhiều chỗ, được xếp xen giữa lời giải 1 và 3, chỉ đúng ở việc chuyển từ “hoặc” thành “và” với mục đích muốn nhắc HS chú ý đến ý nghĩa logic của hai liên từ này. Lời giải 4 là lời giải đúng duy nhất, tuy nhiên chúng tôi không chọn cách sử dụng kí hiệu logic mà chọn cách diễn đạt bằng ngôn ngữ thông thường, để xem HS có chấp nhận không, phản ứng thế nào? ∗ Những cái cần quan sát: Cái cần quan sát không phải là số điểm HS cho mà là đánh giá của HS đối với các lời giải giả định: HS có phân biệt lời giải 1 với lời giải 3 không hay là đánh giá hai cách diễn đạt ngang nhau? HS có xác định được lời giải 4 là đúng và có chấp nhận cách diễn đạt này không? Việc HS đánh giá thấp các lời giải diễn đạt bằng ngôn ngữ thông thường hơn các lời giải dùng kí hiệu logic sẽ giúp chúng tôi hợp thức được một phần quy tắc hợp đồng R1. Ngoài ra nếu HS cho rằng lời giải 1 hoặc 67 lời giải 3 (giữ nguyên “hoặc”) là đúng hoàn toàn (điểm 10), còn lời giải 4 (chuyển “hoặc” thành “và”) là sai, hay lời giải 2 sai ở việc chuyển từ “hoặc” thành “và” thì sẽ khẳng định sự tồn tại quy tắc hành động R2 ở học sinh. ∗ Chúng tôi mã hóa một số dạng câu trả lời có thể quan sát được như sau: Nhóm câu trả lời thể hiện sự tương quan giữa lời giải 1 và lời giải 3: S1a: Đánh giá lời giải 1 tốt hơn lời giải 3 (cho điểm cao hơn) với lời giải thích là vì cách diễn đạt mệnh đề bằng ngôn ngữ thông thường là không tốt, hoặc cho điểm bằng nhau, nhưng vẫn đưa ra lời giải thích cho rằng nên (phải) sử dụng kí hiệu logic. Đây là nhóm câu trả lời mong đợi của chúng tôi. S1b: Đánh giá 2 cách diễn đạt như nhau, cho điểm lời giải 1 và lời giải 3 bằng nhau với những lời giải thích không liên quan đến việc diễn đạt mệnh đề: vì sai như nhau, vì đúng như nhau,. S1c: Những câu trả lời khác như: cho sai không giải thích, hiểu sai đề, đi xét tính đúng sai của mệnh đề, cho sai vì cho rằng số nguyên dương chưa đủ mà phải thêm điều kiện khác số 0 nữa, Nhóm câu trả lời liên quan đến lời giải 2: S2a: Cho điểm thấp và chỉ ra các lỗi sai về quy tắc phủ định mệnh đề. S2b: Cho điểm thấp, cho rằng sai vì đã chuyển “hoặc” thành “ và” . S2c: Những câu trả lời khác như: không cho điểm, không giải thích, hoặc giải thích lạc đề (giải thích tính đúng sai của mệnh đề), Nhóm câu trả lời liên quan đến lời giải 4: S3a: Cho điểm thấp hơn 10, thậm chí điểm 0 và đưa ra lý do là do cách diễn đạt bằng ngôn ngữ thông thường; hoặc cho điểm 10 nhưng vẫn cho rằng không nên diễn đạt như vậy và đưa ra câu trả lời tốt nhất sử dụng kí hiệu logic. Đây là nhóm câu trả lời chúng tôi mong đợi. S3b: Chấp nhận cách diễn đạt bằng ngôn ngữ thông thường, cho điểm tuyệt đối. S3c: Cho rằng lời giải 4 sai vì đã chuyển từ “hoặc” thành “và”. S3d: Những câu trả lời khác như: không cho điểm, cho điểm không giải thích, giải thích vì quy tắc phủ định sai, giải thích lạc đề (về tính đúng sai của mệnh đề). 68 Bảng sau đây thể hiện sự tương ứng giữa các câu trả lời có thể của HS và các quy tắc có thể được kiểm chứng Chiến lược R1 R2 S1a X S1b S2a S2b X S3a X S3b S3c X S3d Ngoài ra, chúng tôi cũng sẽ thống kê số HS cho lời giải 1 điểm 10. Nếu số đông HS cho rằng lời giải 1 đúng hoàn toàn thì cũng cho thấy sự tồn tại của quy tắc hành động R2: “luôn và chỉ thêm không trước vị ngữ khi lập mệnh đề phủ định”. ♦ Câu 2: Em hãy lập mệnh đề phủ định của mệnh đề sau: “Tất cả học sinh trong lớp đều có mang theo compa và làm bài tập đầy đủ” Câu 2 yêu cầu HS lập mệnh đề phủ định của một mệnh đề cho trước. Mệnh đề cho trước là mệnh đề có chứa “với mọi” được diễn đạt bằng ngôn ngữ thông thường, có nội dung là vấn đề thực tế cuộc sống. Kiểu nhiệm vụ này là quen thuộc đối với HS khi học chương 1. Tuy nhiên đây không là loại mệnh đề đơn giản mà là mệnh đề có cấu trúc hội. Do đó đây là một bài toán không tuân theo những ràng buộc của thể chế như đã phân tích ở chương 1. Mục đích của câu hỏi này là để kiểm chứng phần còn lại của quy tắc hợp đồng R1. Nếu số đông HS phát biểu mệnh đề phủ định bằng ngôn ngữ thông thường thì khẳng định được quy tắc “Nếu mệnh đề cho trước được phát biểu bằng ngôn ngữ thông thường thì mệnh đề phủ định cũng phát biểu bằng ngôn ngữ thông thường”. Và một lần nữa kiểm chứng xem quy tắc hành động R2: “Khi lập mệnh đề phủ định của mệnh đề bất kỳ, học sinh luôn và chỉ thêm từ “không” hoặc “không phải” trước các vị ngữ” có thực sự tồn 69 tại và ảnh hưởng đến ứng xử của học sinh khi giải quyết kiểu nhiệm vụ lập mệnh đề phủ định của một mệnh đề hay không. ∗ Các chiến lược có thể quan sát được Đây là mệnh đề có dạng “∀x ∈X, P(x) và Q(x)”. Do đó, mệnh đề phủ định đúng phải có dạng “∃x ∈X, 𝑃(𝑥)������ hoặc 𝑄(𝑥)������� ”. Mệnh đề phủ định có thể được diễn đạt bằng ngôn ngữ thông thường như sau: “tồn tại học sinh trong lớp không mang theo compa hoặc không làm bài tập đầy đủ”. Để thuận tiện cho việc trình bày và phân tích, các chiến lược có thể được chúng tôi mã hóa như sau: S1: thay “với mọi” bằng “tồn tại”, thêm “không” trước “làm bài tập đầy đủ”, thêm “không” trước “mang theo compa” S2: thay “với mọi” bằng “tồn tại”, thêm “không” trước “làm bài tập đầy đủ và mang theo compa” S3: thêm “không” trước “làm bài tập đầy đủ”, thêm “không” trước “mang theo compa” S4: thêm “không” trước “làm bài tập đầy đủ và mang theo compa” S5: thay “với mọi” bằng “tồn tại”, thêm “không” trước “làm bài tập đầy đủ”, thay “và” bằng “hoặc”, thêm “không” trước “mang theo compa” S6: thay “với mọi” bằng “tồn tại” S7: Thay “tất cả học sinh” bằng “không có học sinh nào” Chỉ có chiến lược S5 là chiến lược cho câu trả lời đúng. Chúng tôi không quan tâm chiến lược S6 vì nó thể hiện HS chỉ nhớ việc phủ định của lượng từ “với mọi”. Các chiến lược S1, S2, S3, S4, S7 đều thể hiện HS luôn và chỉ thêm “không” hoặc “không phải” trước vị ngữ của câu. Vì việc phân tích thể chế ở chương 1 đã cho thấy HS thường làm việc với loại câu đơn nên có một số HS chỉ thêm “không” một lần trước vị ngữ (S2, S4). Việc số đông HS làm theo các chiến lược S1, S2, S3, S4, S7 sẽ giúp chúng tôi kiểm chứng được quy tắc hành động R2. 3.2.2.2 Phân tích a posteriori Chúng tôi tiến hành phát phiếu bài tập cho 112 HS thuộc 3 lớp như đã nêu trên. 70 Toàn bộ HS đều có câu trả lời cho câu 2. Riêng ở câu 1: chúng tôi chỉ thống kê kết quả bài làm của 97 HS, vì lý do 15 HS còn lại tuy có cho điểm 4 lời giải giả định nhưng không kèm theo lời giải thích cho bất kỳ số điểm nào. ♦Câu hỏi 1: Nhóm câu trả lời liên quan đến lời giải 1 và lời giải 3 được thống kê trong bảng sau: Nhóm câu trả lời Số câu trả lời Tỷ lệ S1a 46 47,42% S1b 34 35,05% S1c 17 17,53% Tổng 97 100% Có 46/97 có câu trả lời thuộc nhóm S1a, nghĩa là cho điểm lời giải 1 cao hơn lời giải 3 với lý do cách diễn đạt mệnh đề bằng ngôn ngữ thông thường là không tốt, hoặc cho điểm bằng nhau, nhưng vẫn đưa ra lời giải thích cho rằng nên (phải) sử dụng kí hiệu logic vì đề bài cho mệnh đề bằng kí hiệu logic. Thậm chí có HS còn cho lời giải 3 điểm 0. Chứng tỏ đa số HS tham gia làm thực nghiệm này cho rằng nếu mệnh đề cho trước được phát biểu dưới dạng nào thì mệnh đề phủ định phải được phát biểu dạng như thế. Ngay dưới đây là phần trích dẫn một số câu trả lời của HS liên quan đến lời giải 1 và 3 thể hiện rõ điều này: HS1: Lời giải 1: 10đ vì đúng hoàn toàn Lời giải 3: 9 điểm vì nên ghi bằng kí hiệu HS: Lời giải 1: 10điểm Lời giải 3: 9điểm. Vì mệnh đề phủ định đúng nhưng dài dòng HS: Lời giải 1: 10điểm. Lời giải 3: 9điểm. Vì như trên phải ghi theo công thức. Ghi vậy cũng không sai nhưng không giống như lời giải 1 theo ý kiến của em. Các HS này không phủ nhận cách trình bày bằng ngôn ngữ thông thường, mà chỉ cho rằng nên dùng kí hiệu tốt hơn vì ngắn gọn hơn hoặc là vì đề cho trước bằng kí hiệu. Tuy nhiên một số HS hoàn toàn không chấp nhận cách phát biểu bằng ngôn ngữ thông thường và cho điểm 0. HS: Lời giải 1: 10 điểm. 71 Lời giải 3, 4: 0 điểm vì đề bài không yêu cầu phát biểu bằng lời mệnh đề phủ định. Có 1 HS duy nhất cho cả 4 lời giải đều điểm 0 và đưa ra lời giải tốt nhất. Có thể theo quan điểm của HS này, chỉ có điểm số tuyệt đối (nếu đúng hoàn toàn) hoặc điểm 0 (nếu không hoàn hảo). Điều đặc biệt là HS này đã giải thích về lời giải tốt nhất bằng cách viết ra hẳn quy tắc lấy phủ định De Morgan. HS: LG1: 0, LG2: 0, LG3: 0, LG4: 0. A: “∀x∈ Z+, x > 5 hoặc x ≤ 2” ⇒ 𝐴 � : “∃x∈ Z+, x ≤ 5 và x > 2” Vì 𝐴 ∧ 𝐵������� = 𝐴 �∨ 𝐵 � và 𝐴 ∨ 𝐵������� = 𝐴 � ∧ 𝐵 � 34/97 HS có câu trả lời thuộc nhóm S1b, nghĩa là đánh giá việc dùng kí hiệu logic với việc dùng ngôn ngữ thông thường là như nhau. Chẳng hạn: HS: Lời giải 3 giống lời giải 1 nhưng ở lời giải 3 thể hiện bằng lời về nghĩa thì nó vẫn giống nhau và em cho rằng nó đúng. Nhóm câu trả lời liên quan đến lời giải 2 được thống kê trong bảng sau: Nhóm câu trả lời Số câu trả lời Tỷ lệ S2a 78 80,41% S2b 3 3,09% S2c 16 16,5% Tổng 97 100% Trích dẫn một số bài làm của HS: HS: Lời giải 2: 5 điểm vì mệnh đề x >5 hoặc x ≤ 2 không được phủ định. HS: Lời giải 2: 5 điểm vì lời giải chỉ đúng phần trước và sai phần sau. Chỉ 3 HS có câu trả lời thuộc nhóm S2b (cho rằng lời giải 2 sai vì đã chuyển “hoặc” thành “và”) nhưng cũng cho thấy phần nào ảnh hưởng của quy tắc hành động R2. Tỷ lệ này thấp cũng là hợp lý vì ở lời giải 2 này, có khá nhiều lỗi sai dễ bị HS phát hiện, nên việc HS chỉ nêu ra những lỗi sai về quy tắc phủ định khác cũng đã đủ cho việc giải thích cho số điểm đã cho. Nhóm câu trả lời liên quan đến lời giải 4 được thống kê trong bảng sau: Nhóm câu trả lời Số câu trả lời Tỷ lệ S3a 53 54,63% 72 S3b 18 18,56% S3c 7 7,21% S3d 19 19,58% Tổng 97 100% Có 53 /97 HS có câu trả lời thuộc nhóm S3a. HS đã không cho lời giải 4 số điểm tuyệt đối mặc dù lời giải này là đúng duy nhất trong 4 lời giải giả định. Một số lý do được HS đưa ra là: vì ngắn gọn hơn, nhìn vào dễ hiểu hơn, vì phải viết như mệnh đề cần phủ định, vì đã học về kí hiệu logic nên phải dùng Chứng tỏ HS ưu tiên sử dụng kí hiệu toán học hơn, chứng tỏ sự tồn tại của quy tắc hợp đồng R1. Trích dẫn một số bài làm của HS: HS: Lời giải 4: 8đ (vì ta phải viết mệnh đề phủ định bằng kí hiệu toán học như mệnh đề cần phủ định) Lời giải của em: “∃x∈ Z+, x ≤ 5 và x > 2”  10đ HS: Lời giải 4 em cho 8 điểm vì em cần mệnh đề phủ định viết dưới dạng kí hiệu toán học, mặc dù lời giải 4 đúng vẫn không đạt điểm tối đa. Theo em lời giải tốt nhất là: “∃x∈ Z+, x ≤ 5 và x > 2”. HS: lời giải 4: có ý tưởng nhưng phải diễn đạt bằng kí hiệu. “∃x∈ Z+, x ≤ 5 và x > 2”. HS: lời giải 4: cách thức trình bày sai tuy nội dung phủ định đúng 7đ HS: lời giải 1: 4đ, lời giải 2: 0đ, lời giải 3: 2đ, lời giải 4: 9đ Tùy vào kiến thức và cách trình bày của các học sinh mà em đã cho điểm như vậy. Trong các trường hợp trên em không cho điểm 10 vì chỉ có lời giải 4 là đúng nhất nhưng chắc 4 học sinh này cũng đã học về các kí hiệu tồn tại và với mọi nên cần trình bày với kí hiệu. HS: Trường hợp em không cho điểm là “lời giải 3” và “lời giải 4”. Vì đề yêu cầu lập mệnh đề chứ không phải trình bày bằng cách như mấy bạn. HS: lời giải 4: 9đ. Trình bày dài. Theo em cách giải khác là: “∃x∈ Z+, x ≤ 5 và x > 2” Bởi vì: cách này gọn và nhìn vào dễ hiểu. 73 Có 7/97 HS có câu trả lời thuộc nhóm S3c. Chẳng hạn: HS: Lời giải 4: 5 điểm vì không được dùng từ “và” mà phải dùng từ “hoặc” HS: Lời giải 4: 0 điểm. Vì dùng sai từ “hoặc” mà thay bằng từ “và” Tuy tỉ lệ này không cao nhưng cũng chứng tỏ sự tồn tại của quy tắc hành động R2. Qua việc quan sát, thống kê kết quả bài làm của HS, chúng tôi thấy trong lời giải thích ở câu 1, nhiều bài làm có viết rất rõ ràng quy tắc phủ định “phủ định của hoặc là và, phủ định của và là hoặc”, chứng tỏ trong thực tế dạy học, GV đã phát biểu một cách ngắn gọn luật De Morgan thành quy tắc sau: phủ định của “và” là “hoặc”, phủ định của “hoặc” là “và” để giúp học sinh dễ ghi nhớ, bên cạnh các quy tắc: phủ định của “=” là “≠”, phủ định của “>” là “≤”, Mặc dù viết rất rõ ràng quy tắc lấy phủ định, nhưng HS vẫn chỉ ghi nhớ một cách máy móc, điều này thể hiện rõ qua kết quả thực nghiệm thu được ở câu hỏi 2 mà chúng tôi sẽ trình bày ngay sau đây. ♦ Câu hỏi 2: Lưu ý rằng trong bài giải, HS có sử dụng các từ: “có ít nhất một”, “có một”, “có” thay cho từ “tồn tại” với ý nghĩa tương đương, thậm chí có HS dùng từ “một số”, “chỉ có một số” mang nghĩa không tương đương với “tồn tại” (điều này phần nào thể hiện khó khăn của HS trong việc hiểu và sử dụng lượng từ “với mọi”, “tồn tại”). Nhưng chúng tôi vẫn xếp chúng chung một chiến lược tương ứng vì chúng tôi đặc biệt quan tâm đến việc HS có hành động theo quy tắc hành động “thêm không” trước vị ngữ khi lập mệnh đề phủ định mà thôi. Sau đây là bảng thống kê bài làm của HS theo các chiến lược. Chiến lược Số lượng Tỷ lệ S1 45 40,18% S2 19 16,96% S3 25 22,32% S4 10 8,93% 74 S5 3 2,68% S6 7 6,25% S7 3 2,68% Tổng số 112 100% 100% số học sinh đều phát biểu mệnh đề phủ định bằng ngôn ngữ thông thường, không có HS nào sử dụng kí hiệu logic trong lời giải. Điều này khẳng định sự ảnh hưởng mạnh của quy tắc hợp đồng R1 đến đối tượng học sinh. Kết quả thống kê cho thấy có 102/112 (91,07%) học sinh sử dụng các chiến lược S1, S2, S3, S4, S7. Điều này khẳng định sự tồn tại của quy tắc hành động R2: học sinh luôn và chỉ thêm “không” hoặc “không phải” trước vị ngữ khi lập mệnh đề phủ định. Ngoài ra, việc gần như toàn bộ HS không lập được mệnh đề phủ định chính xác, không biết chuyển từ “và” thành từ “hoặc” còn chứng tỏ HS chỉ ghi nhớ một cách máy móc quy tắc lấy phủ định mệnh đề theo luật De Morgan chứ không biết áp dụng vào suy luận thực tế, và học sinh không quan tâm đến ý nghĩa logic của liên từ “và” mà chỉ hành động theo quy tắc hành động R2. 3.3 Kết luận thực nghiệm Nghiên cứu thực nghiệm đã cho thấy rõ thực tế dạy học của GV và HS trong thể chế dạy học toán phổ thông. Kết quả thực nghiệm trên đối tượng giáo viên cho thấy: mặc dù SGK không đưa phép tuyển, phép hội vào làm đối tượng nghiên cứu nhưng đa số GV đều đưa một số yếu tố liên quan đến phép tuyển và phép hội cần thiết cho việc học những nội dung tiếp theo trong chương trình vào giảng dạy (tính đúng sai, quy tắc lấy phủ định của mệnh đề hội, mệnh đề tuyển). Thực nghiệm trên đối tượng học sinh đã kiểm chứng được sự tồn tại của quy tắc hợp đồng R1, chứng tỏ sự tồn tại ở học sinh quy tắc hành động R2, và cho thấy đa số học sinh không có quan niệm đúng về tính đúng sai của mệnh đề “A hoặc B”. Ngoài ra, kết quả thực nghiệm thứ 2 đối với học sinh còn cho thấy không những quy tắc hành động R2 mà ngay cả quy tắc hợp đồng R1 cũng là một phần 75 nguyên nhân dẫn đến sai lầm của học sinh. Thể hiện ở việc một số học sinh dù trong lời giải thích, cho điểm ở câu 1, nêu rất rõ quy luật phủ định mệnh đề có chứa “và”, “hoặc”, nhưng vẫn làm sai câu 2. Điều này có nghĩa là khi gặp mệnh đề được phát biểu bằng ngôn ngữ thông thường, có nội dung thực tế cuộc sống, học sinh không biết chuyển sang phạm vi toán học, không biết vận dụng logic mệnh đề để giải quyết. 76 KẾT LUẬN Các kết quả nghiêu cứu chính của luận văn đã trả lời được hầu hết các câu hỏi nghiên cứu đặt ra ban đầu. Cụ thể, các kết quả thu được gồm có: Ở chương 1 chúng tôi đã có một nghiên cứu về mối quan hệ thể chế với các phép toán trên mệnh đề, biết được SGK đánh giá cao vai trò của các phép toán trên mệnh đề, nhưng lại đưa vào tương đối nhẹ nhàng, các kiến thức liên quan đa số được trình bày giản lược nhiều. Phân tích đã dẫn chúng tôi đến với một hợp đồng thể chế R1 liên quan đến hình thức biểu đạt của mệnh đề phủ định. Việc SGK chỉ yêu cầu lập mệnh đề phủ định của mệnh đề đơn, dẫn đến hình thành ở học sinh quy tắc hành động R2 “luôn và chỉ thêm không hoặc không phải trước vị ngữ”. Hai quy tắc này đã được kiểm chứng trong thực nghiệm chương 3. Ngoài ra, sự né tránh của tác giả SGK về phép hội và phép tuyển gây nên khó khăn của học sinh trong việc tiếp thu khái niệm và lập luận giải toán sau này. Sự khó khăn, lúng túng của học sinh phần nào thể hiện qua những sai lầm mà học sinh mắc phải khi làm việc với những mệnh đề có liên từ “và”, “hoặc”, đa số học sinh không có quan niệm không đúng về tính đúng sai của mệnh đề “A hoặc B” trong toán học. Điều này đã được chúng tôi kiểm chứng trong thực nghiệm chương 3. Phân tích ở chương 2 đã cho thấy sự tham gia của các phép toán trên mệnh đề trong một số nội dung dạy học tiếp theo trong chương trình kể cả phép hội, phép tuyển, khẳng định tri thức về các phép toán trên mệnh đề được trình bày trong SGK là chưa đủ để đáp ứng yêu cầu của việc dạy và học những nội dung tiếp theo trong chương trình. Phân tích còn cho thấy sự lựa chọn sư phạm của tác giả SGK trong dạy học các nội dung có sự tham gia của phép hội và phép tuyển ảnh hưởng không tốt đến đối tượng học sinh. Từ đó cho thấy được vai trò quan trọng của người giáo viên trong bước chuyển đổi từ tri thức cần dạy sang tri thức thực dạy sao cho đảm bảo hiệu quả dạy học tốt nhất. Thực nghiệm điều tra trên đối tượng giáo viên và học sinh ở chương 3 cho thấy trong một số trường hợp, đa số giáo viên có đưa vào giảng dạy một số yếu tố liên 77 quan đến phép tuyển, phép hội mà SGK né tránh tuy nhiên học sinh vẫn gặp khó khăn trong giải toán khi gặp những mệnh đề chứa “và”, “hoặc”. Do đó, chúng tôi hy vọng rằng sẽ có sự can thiệp hợp lý của các tác giả viết SGK về các tri thức liên quan đến nội dung này. Dạy học các yếu tố cơ bản của logic toán ở trường phổ thông là cả quá trình dài xuyên suốt chương trình. Do đó, người giáo viên cần nắm vững những nội dung có sự tham gia của các yếu tố logic, để có sự can thiệp hợp lý, đúng lúc thì mới đạt được hiệu quả . Vì điều kiện thời gian, trong khuôn khổ luận văn Thạc sĩ, chúng tôi chưa có một nghiên cứu thật toàn diện về những khó khăn của HS gặp phải liên quan đến các phép toán trên mệnh đề trong toàn bộ chương trình, rất hy vọng trong thời gian tới sẽ có những nghiên cứu về vấn đề này. 78 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt 1. Bộ Giáo dục và Đào tạo, Tài liệu hướng dẫn giảng dạy toán 10 sách chỉnh lí hợp nhất năm 2000, NXB Giáo dục. 2. Viện ngôn ngữ học (2002), Từ điển tiếng Việt phổ thông, NXB Phương Đông. 3. Nguyễn Vĩnh Cận, Lê Thống Nhất, Phan Thanh Quang (1996), Sai lầm phổ biến khi giải toán, NXB Giáo dục. 4. Hoàng Chúng (1994), Logic học phổ thông, NXB Giáo dục. 5. Hoàng Chúng (1978), Những yếu tố logic trong môn toán ở trường phổ thông cấp II (sách dùng cho các trường cao đẳng sư phạm và bồi dưỡng giáo viên), NXB Giáo dục. 6. Hoàng Chúng (1992), Một số vấn đề về giảng dạy ngôn ngữ và kí hiệu toán học ở trường phổ thông (Tài liệu bồi dưỡng giáo viên), Vụ Giáo viên, Bộ GD-ĐT. 7. Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên) (2007), Đại số 10, NXB Giáo dục. 8. Vũ Như Thư Hương (2005), Khái niệm xác suất trong dạy – học toán ở trung học phổ thông, Luận văn Thạc sĩ khoa học, trường ĐH Sư phạm TP HCM. 9. Trần Lương Công Khanh (2002), Nghiên cứu Didactic về những khó khăn chính của học sinh khi tiếp thu khái niệm tích phân, Luận văn Thạc sĩ khoa học, trường ĐH Sư phạm TP HCM. 10. Nguyễn Bá Kim (chủ biên) (1994), Phương pháp dạy học môn toán (phần hai), NXB Giáo dục. 11. Nguyễn Bá Kim, Vũ Dương Thụy (1992), Phương pháp dạy học môn Toán, NXB Giáo dục. 12. Ngô Thúc Lanh (1986), Đại số và số học, tập hai, NXB Giáo dục. 79 13. Đoàn Quỳnh (chủ biên) (2006), Tài liệu bồi dưỡng giáo viên thực hiện chương trình sách giáo khoa lớp 10 trung học phổ thông (Toán học nâng cao), Hà Nội. 14. Đoàn Quỳnh (tổng chủ biên) (2007), Đại số nâng cao 10, NXB Giáo dục. 15. Đoàn Quỳnh (tổng chủ biên) (2007), Bài tập Đại số nâng cao 10, NXB Giáo dục. 16. Đoàn Quỳnh (tổng chủ biên) (2007), Sách giáo viên Đại số nâng cao 10, NXB Giáo dục. 17. Đỗ Tất Thắng (2009), Nghiên cứu Didactic về phép kéo theo và phép tương đương trong dạy và học toán ở THPT, Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học, trường ĐH Sư phạm TP HCM. 18. Nguyễn Mạnh Trinh (1989), Logic Toán, NXB Giáo dục. Song ngữ Pháp - Việt 1. Annie Bessot, Claude Comiti, Lê Thị Hoài Châu, Lê Văn Tiến (2009), Những yếu tố cơ bản của didactic toán, NXB Đại học Quốc Gia TP.HCM. 80 PHỤ LỤC PHỤ LỤC 1: PHIẾU BÀI TẬP DÀNH CHO HỌC SINH Họ và tên:. Lớp:.. Các em thân mến, phiếu này được soạn thảo nhằm tìm hiểu những khó khăn mà các em gặp phải khi học về mệnh đề, chứ không có mục đích kiểm tra lấy điểm. Do đó hy vọng các em sẽ làm bài thật nghiêm túc, độc lập. Cám ơn sự tham gia của các em. 1) Với đề bài: Hãy lập mệnh đề phủ định của mệnh đề “∀ x ∈ Z+, x > 5 hoặc x ≤ 2” 4 học sinh đã giải với 4 lời giải tương ứng như sau: Lời giải 1: “∃ x ∈ Z+, x ≤ 5 hoặc x > 2” Lời giải 2: “∃ x ∈ Z+, x > 5 và x ≤ 2” Lời giải 3: “Tồn tại số nguyên dương nhỏ hơn hoặc bằng 5 hoặc lớn hơn 2” Lời giải 4: “Tồn tại số nguyên dương nhỏ hơn hoặc bằng 5 và lớn hơn 2” Yêu cầu đặt ra cho em là: Em hãy cho điểm 4 lời giải trên theo thang điểm từ 0 đến 10. Sau đó giải thích rõ vì sao em cho điểm như vậy? Trường hợp không có bài nào em cho điểm 10, em hãy trình bày cách giải mà em cho là tốt nhất. 2) Em hãy lập mệnh đề phủ định của mệnh đề sau: “Tất cả học sinh trong lớp đều có mang theo compa và làm bài tập đầy đủ” Bài làm: 1) ... .. ... .. .. 81 .. .. .. 2).. PHỤ LỤC 2: PHIẾU XIN Ý KIẾN GIÁO VIÊN Thưa quý thầy, cô Nhằm góp phần nâng cao chất lượng dạy và học môn toán ở trường trung học phổ thông, xin quý thầy, cô vui lòng dành ít thời gian để trả lời những câu hỏi dưới đây. Cám ơn sự giúp đỡ của quý thầy, cô! Câu 1: Khi dạy phần mệnh đề, theo chương trình Đại số lớp 10 nâng cao, quý thầy (cô) có cho bài tập yêu cầu học sinh lập mệnh đề phủ định của mệnh đề có chứa từ “và”, từ “hoặc” không? (Chẳng hạn như lập mệnh đề phủ định các mệnh đề sau: “15 chia hết cho 3 hoặc 15 chia hết cho 7”, “Tất cả học sinh trong lớp đều có mang theo compa và làm bài tập đầy đủ”, “∀ x ∈ Z+, x > 5 hoặc x ≤ 2”. a/ Chưa bao giờ. b/ Thỉnh thoảng. c/ Thường xuyên. Quý thầy (cô) vui lòng cho biết lý do lựa chọn của mình: ... (vì chương trình giảm tải, vì đối tượng học sinh, vì thời gian, vì cần thiết cho việc học những nội dung tiếp theo,) Thầy (cô) có giới thiệu cho học sinh quy tắc phủ định mệnh đề dạng “A hoặc B”, dạng “A và B” (lập mệnh đề phủ định 𝐴 � , 𝐵 � , chuyển từ “hoặc” thành từ “và” hoặc ngược lại chuyển “và” thành “hoặc”) hay không? 82 ... Câu 2: Khi dạy phần mệnh đề, theo chương trình Đại số lớp 10 nâng cao, quý thầy (cô) có cho bài tập yêu cầu học sinh lập mệnh đề phủ định của mệnh đề kéo theo, mệnh đề tương đương không? a/ Chưa bao giờ. b/ Thỉnh thoảng. c/ Thường xuyên. Quý thầy (cô) vui lòng cho biết lý do lựa chọn của mình: ... ... Câu 3: Khi giải phương trình √𝑥 − 5 = 7 − 𝑥 bằng cách biến đổi tương đương như sau: √𝑥 − 5 = 7 − 𝑥 ⇔ 2 7 5 (7 ) x x x  ≤  − = − ⇔ 7 6 hoaëc 9 x x x  ≤  = = , giả sử cần hướng dẫn học sinh cách nhận x = 6 và loại x = 9, quý thầy (cô) thường ưu tiên sử dụng cách nào? a) Cách 1: Kiểm tra nếu x thỏa điều kiện thì nhận, không thỏa điều kiện thì loại. Ở đây, 6 ≤ 7 là đúng vì mệnh đề có từ “hoặc” chỉ cần một trong hai trường hợp đúng là đúng. 9 ≤ 7 là sai vì 9 không nhỏ hơn 7, cũng không bằng 7. Do đó nhận x = 6, loại x = 9. b) Cách 2: Dùng trục số. c) Cách 3: Dùng tập hợp. d) Cách khác: .. Câu 4: Khi ra đề toán yêu cầu xét tính chẵn lẻ của hàm số, quý thầy (cô) có cho những hàm số có tập xác định không đối xứng hoặc hàm số có tập xác định đối 83 xứng nhưng ∃x0 ∈ D mà f (–x0) ≠ ± f (x0) (là những hàm số không chẵn và không lẻ) hay không? a/ Chưa bao giờ. b/ Thỉnh thoảng. c/ Thường xuyên. Theo tinh thần giảm tải của chương trình Đại số lớp 10 nâng cao hiện hành, tính đúng sai của mệnh đề dạng “∀x ∈ X, P(x) và Q(x)” không được đưa vào dạy học ở nội dung mệnh đề. Quý thầy (cô) vui lòng cho biết ngoài việc hướng dẫn học sinh cách giải 2 loại trên: chứng tỏ TXĐ không đối xứng hoặc chỉ ra ∃x0 ∈ D mà f (–x0)≠± f (x0), thầy (cô) có hướng dẫn gì thêm không? (lưu ý: có thể có nhiều lựa chọn) a/ Không hướng dẫn gì thêm. b/ Giảng giải cho học sinh về tính đúng sai của mệnh đề dạng “∀x∈X, P(x) và Q(x)”. c/ Giảng giải cho học sinh quy tắc: mệnh đề có từ “và” đúng nếu thỏa mãn hết đồng thời các điều kiện, khi vi phạm một trong các điều kiện thì mệnh đề sai. d/ Giúp học sinh liên hệ với tính đúng sai của mệnh đề chứa “∀”: để chứng tỏ mệnh đề dạng ∀x∈X, P(x) sai ta phải chỉ rõ ∃x0 ∈ X sao cho P(x) sai. e/ Hướng dẫn thêm khác:. Quý thầy (cô) vui lòng giải thích lý do sự lựa chọn của mình