Luận văn Nhóm con c-chuẩn tắc và ứng dụng

ịnh duy nhất bởi M. 1.3 Nhóm con Hall Định nghĩa 1.3.1. Cho , .k n∈ Khi đó k được gọi là một ước Hall của n nếu k là ước của n và , 1.nk k   =    Định nghĩa 1.3.2. Nếu G là một nhóm hữu hạn thì mọi nhóm con H của G có cấp là một ước Hall của G được gọi là một nhóm con Hall của G, tức là ( ), : 1.H G H = Ví dụ: Một p-nhóm con Sylow trong một nhóm hữu hạn là một nhóm con Hall. Định nghĩa 1.3.3. Giả sử π là một tập hợp gồm các số nguyên tố. Đặt π ′ là phần bù của π trong tập hợp tất cả các số nguyên tố. Khi đó, nếu n là một số tự nhiên có tất cả các ước nguyên tố đều nằm trong π thì n được gọi là một π -số. Nếu a là π -số và b là 'π -số thì a và b nguyên tố cùng nhau. Nếu G là một nhóm mà mọi phần tử đều có cấp là một π -số thì G được gọi là một π - nhóm. Nếu π là một tập hợp chỉ gồm một phần tử p thì ta ký hiệu p-số thay cho π -số và p'-số thay cho π ′ -số. Khi đó rõ ràng một π -nhóm chính là một p-nhóm. Định nghĩa 1.3.4. Nếu p là một số nguyên tố và G là một nhóm hữu hạn có cấp map , với a là một p'-số thì một nhóm con của G có cấp a được gọi là một p'-nhóm con Hall của G hay còn gọi là một p-phần bù. 14 Nhận xét: Giả sử H, K là p-nhóm con của G, .K G Khi đó H K là một p-nhóm. Suy ra ( ) H H K là một p-nhóm. Vì ( ) HK H K H K≅  nên HK K là p-nhóm. Do đó HK là p- nhóm. Vậy nhóm con được sinh bởi tất cả các p-nhóm con chuẩn tắc của G là một p-nhóm. Đây là p-nhóm con chuẩn tắc tối đại duy nhất của G, ký hiệu là ( ).pO G Định nghĩa 1.3.5. Nhóm hữu hạn G được gọi là p-lũy linh nếu G có một p-phần bù chuẩn tắc. Mệnh đề 1.3.6. Nếu p-nhóm con Sylow của G nằm trong tâm của chuẩn hóa tử của nó trong G thì G có p-phần bù chuẩn tắc. Mệnh đề 1.3.7. Cho G là một nhóm hữu hạn, p là ước nguyên tố bé nhất của G và P là một p-nhóm con Sylow của G. Nếu P là một nhóm cyclic thì G có một phần bù chuẩn tắc. Chứng minh. Xét tác động liên hợp ( ) ( ) *: , * G g N P P P g x g x x × → = Khi đó quỹ đạo của x trong P là ( )( ) ( ){ }: . g G GN P x x P g N P= ∈ ∈ Rõ ràng ( )( ) .GN P x p< Mà ( )( )GN P x là ước của ( ) ,GN P p là ước nguyên tố bé nhất của ( )GN P nên ( )( ) 1.GN P x = Hay ( )( ) { }.GN P x x= Vậy ( )( ).GP Z N P≤ Do đó G có một p-phần bù chuẩn tắc. 1.4 Nhóm p-giải được Định nghĩa 1.4.1. 15 Cho G là một nhóm hữu hạn và p là một số nguyên tố. Ta nói G là nhóm p-giải được nếu tất cả các thương hợp thành của G là p-nhóm hay p'-nhóm. Định lý 1.4.2. Nếu ,N G cả hai nhóm ,GN N đều là nhóm p-giải được thì G là nhóm p-giải được. Chứng minh. Giả sử K J là một thương hợp thành của G. Khi đó K J là nhóm đơn và K là nhóm con á chuẩn tắc của G. Ta có ( ) .J J K N K   Vì J là nhóm con chuẩn tắc tối đại của K nên ( )J K N K= hoặc ( ) .J K N J= Giả sử ( ) .J K N K= Vì ( ) ( ) ( ) ( ) ( )K N K N K N J K J JJ N K N J≅ ≅ =       nên K N J N   là nhóm đơn và K N là nhóm con á chuẩn tắc của N. Vì vậy K N J N   là thương hợp thành của N. Mà N là nhóm p-giải được nên K N J N   là p-nhóm hay p'-nhóm. Do đó, K J là p- nhóm hay p'-nhóm. Vậy G là nhóm p-giải được. Giả sử ( ) .J K N J= Vì ( ) ( ) ( ) ( ) KN K JNN KN K K K JN JN K JN JJ K NJN N ≅ = ≅ = =   nên ( ) ( ) KN N JN N là nhóm đơn và KN N là nhóm con á chuẩn tắc của .G N Vì vậy ( ) ( ) KN N JN N là thương hợp thành của .G N Mà G N là nhóm p-giải được nên 16 ( ) ( ) KN N JN N là p-nhóm hay p'-nhóm. Do đó, K J là p-nhóm hay p'-nhóm. Vậy G là nhóm p-giải được. Định lý 1.4.3. Cho G là nhóm p-giải được. Khi đó: i) Nếu N G≤ thì N là nhóm p-giải được. ii) Nếu N G thì G N là nhóm p-giải được. 1.5 Nhóm giải được Định nghĩa 1.5.1. Cho G là một nhóm. Một dãy aben trong G là dãy các nhóm con 0 11 ... nG G G G= =   thỏa điều kiện 1i i G G + là nhóm aben. Định nghĩa 1.5.2. Một nhóm G được gọi là giải được nếu nó có một dãy aben. Định nghĩa 1.5.3. Với mỗi , ,a b G∈ ký hiệu [ ] 1 1,a b a b ab− −= và gọi [ ],a b là hoán tử của a và b. Nhóm con của G sinh bởi tất cả các hoán tử được gọi là nhóm con hoán tử của G, ký hiệu là [ ], .G G G′ = Định lý 1.5.4. Cho G là một nhóm. Khi đó: i) [ ],G G G và [ ], G G G là một nhóm giao hoán. ii) Nếu H G và G H giao hoán thì [ ], .G G H≤ 17 Định nghĩa 1.5.5. Cho G là một nhóm, đặt ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )0 1, , , 0.i i i iG G G G G G i+ ′  = = = ∀ ≥  Nhóm con ( ) iG được gọi là nhóm con hoán tử bậc i của G. Dãy các nhóm con hoán tử ( ) ( ) ( ) 0 1 2 ...G G G G= ≥ ≥ ≥ được gọi là dãy dẫn xuất của G. Định lý 1.5.6. Cho G là một nhóm. Khi đó: i) ( ) , .iG char G i∀ ∈ ii) ( ) ( )( )( ) , , .ji j iG G i j+ = ∀ ∈ Định lý 1.5.7. Nếu 0 11 ... nG G G G= =   là một dãy aben của nhóm giải được G thì ( ) , 0.i n iG G i−≤ ∀ ≥ Đặc biệt, ( ) 1. nG = Chứng minh. Ta chứng minh định lý bằng phương pháp quy nạp theo i. Với ( )00 : .ni G G G G= = ≤ = Giả sử ( ) .i n iG G −≤ Khi đó, ( ) ( )( ) ( )1 .i i n iG G G+ −′ ′= ≤ Mặt khác, ( )1 n i n i G G − − + là nhóm aben nên ( ) ( )1 .n i n iG G− − + ′ ≤ Do đó, ( ) ( ) 1 1 . i n iG G + − +≤ Đặc biệt, ( ) 1 nG ≤ nên ( ) 1. nG = 18 Hệ quả 1.5.8. Nhóm G là nhóm giải được khi và chỉ khi tồn tại n∈ sao cho ( ) 1. nG = Hệ quả 1.5.9. Nếu tồn tại một nhóm con 1H ≠ của G sao cho ( )1H H= thì G không giải được. Định lý 1.5.10. Mọi nhóm con của nhóm giải được là nhóm giải được. Chứng minh. Giả sử G là nhóm giải được. H là nhóm con của G. Khi đó tồn tại n∈ sao cho ( ) 1. nG = Vì H G≤ nên ( ) ( ) 1. n nH G≤ = Do đó, ( ) 1. nH = Vậy H giải được. Định lý 1.5.11. Nếu G giải được và :f G H→ là một toàn cấu thì H giải được. Chứng minh. Vì G là nhóm giải được nên tồn tại n∈ sao cho ( ) 1. nG = Nếu ( )H f G= thì bằng quy nạp ta chứng minh được ( ) ( )( ) , .i iH f G i= ∀ Do đó ( ) ( )( ) ( )1 1.n nH f G f= = = Vậy H giải được. Định lý 1.5.12. Nếu H G và cả hai nhóm , GH H đều giải được thì G giải được. Chứng minh. 19 Đặt .GK H= Do H và K giải được nên tồn tại ,m n∈ sao cho ( ) 1mH = và ( ) 1. nK = Xét đồng cấu tự nhiên : .f G K→ Do ( ) 1nK = nên ( )( ) 1,nf G = tức là ( ) .nG H≤ Hệ quả 1.5.13. Nếu H và K là hai nhóm giải được thì H K× giải được. Định lý 1.5.14. Cho 1 2, ,..., nH H H là các nhóm con chuẩn tắc của G. Nếu 1 2 , ,..., n G G G H H H là nhóm giải được thì 1 n ii G H = ∩ là nhóm giải được. Chứng minh. Xét đồng cấu nhóm ( ) 1 1 : ,..., n i i n GG H g gH gH ϕ = →⊗  Ta có ( ){ }1 1 ,..., 0 . n n i i Ker g G gH gH Hϕ = = ∈ = =  Do đó 1 Im .n i i G H ϕ = ≅  Mặt khác, 1 n i i G H=⊗ là nhóm giải được. Mà 1 Im n i i G Hϕ =≤ ⊗ nên Imϕ là nhóm giải được. Vậy 1 n ii G H = ∩ là nhóm giải được. Định lý 1.5.15. Nếu G là một nhóm hữu hạn giải được thì mọi nhóm con chuẩn tắc tối tiểu của G đều là p-nhóm con Aben sơ cấp. Chứng minh. 20 Giả sử N là một nhóm con chuẩn tắc tối tiểu của G. Vì G là nhóm giải được nên N giải được, do đó ( )1 .N N≠ Mặt khác, ( ) 1 N char N nên ( ) 1 .N G Từ tính tối tiểu của N suy ra ( )1 1.N = Hay [ ], 1.N N = Vậy N là một nhóm Aben. Gọi P là p-nhóm con Sylow của N. Khi đó, với mọi ( )Aut Nϕ∈ , ( )Pϕ cũng là một p- nhóm con Sylow của N nên ( )Pϕ liên hợp với P trong N, tức là tồn tại x N∈ sao cho ( ) .xP Pϕ = Mà N là nhóm Aben nên .xP P= Suy ra ( ) .P Pϕ = Vậy .P char N Do đó .P G Mặt khác, 1P ≠ nên do tính tối tiểu của N ta có .P N= Vậy N là một p-nhóm con Aben của G. Đặt { }1 . pH x N x= ∈ = Chứng minh tương tự ta có H là một nhóm con đặc trưng của N. Do đó .H G Mà N là một p-nhóm nên 1.H ≠ Vậy ,H N= hay mọi phần tử khác 1 trong N đều có cấp p. Vậy N là một p-nhóm con Aben sơ cấp. Mệnh đề 1.5.16. Nếu G là nhóm đơn giải được hữu hạn thì G là nhóm có cấp là một số nguyên tố. Định lý 1.5.17. Mọi nhóm cấp lẻ đều là nhóm giải được. Định lý 1.5.18. Cho G là nhóm hữu hạn. Khi đó các phát biểu sau là tương đương: i) G là nhóm giải được. ii) Mọi thương hợp thành của G đều có cấp nguyên tố. iii) G là p-giải được với mọi p là ước nguyên tố của .G 1.6. Nhóm lũy linh Định nghĩa 1.6.1. 21 Cho G là nhóm. Một dãy tâm của G là dãy các nhóm con chuẩn tắc 0 11 ... nG G G G= ≤ ≤ ≤ = của G thỏa 1 , 0,..., 1.i i i G GZ i nG G +  ≤ ∀ = −    Định nghĩa 1.6.2. Nhóm G được gọi là nhóm lũy linh nếu trong G có một dãy tâm. Độ dài dãy tâm ngắn nhất trong G gọi là lớp lũy linh của nhóm G. Định nghĩa 1.6.3. Cho G là một nhóm. Họ các nhóm con iGγ của G được định nghĩa bằng quy nạp như sau: [ ]1 1, , , .i iG G G G iγ γ γ+= = ∀ Mệnh đề 1.6.4. Các mệnh đề sau đúng với mọi :i∈ i) .iG char Gγ ii) 1 .i iG Gγ γ+ ≤ iii) 1 1 .i i i G GZG G γ γ γ+ +  ≤     iv) ( ) 1 . i iG Gγ +≤ v) Nếu H G≤ thì .i iH Gγ γ≤ Định nghĩa 1.6.5. Dãy các nhóm 1 2 ...G G Gγ γ= ≥ ≥ được gọi là dãy tâm dưới của nhóm G. Nhận xét: Dãy này có thể không kết thúc ở 1 nên nó không là dãy aben. Định nghĩa 1.6.6. 22 Cho G là một nhóm. Họ các nhóm con iGζ được định nghĩa bằng quy nạp như sau: 1 0 11, , i i i GG G v Z iGζ ζ ζ − +   = = ∀     với :i i Gv G Gζ→ là đồng cấu tự nhiên, nghĩa là 1 .i i i G GZG G ζ ζ ζ +  =     Mệnh đề 1.6.7. Các mệnh đề sau đúng với mọi :i∈ i) .iG char Gζ ii) [ ]1 , .i iG G Gζ ζ+ ≤ Định nghĩa 1.6.8. Dãy 0 11 ...G Gζ ζ= ≤ ≤ được gọi là dãy tâm trên của G. Nhận xét: Dãy này có thể không kết thúc ở G nên nó không là dãy aben. Định lý 1.6.9. Giả sử 0 11 ... nG G G G= ≤ ≤ ≤ = là một dãy tâm trong nhóm lũy linh G. Khi đó: i) 1 ,i n iG Gγ − +≤ vì vậy 1 1.n Gγ + = ii) i iG Gζ≤ , vì vậy .nG Gζ = iii) Lớp lũy linh của G bằng độ dài của dãy tâm trên và bằng độ dài của dãy tâm dưới. Nhận xét: Nhóm G là lũy linh khi và chỉ khi tồn tại n N∈ sao cho 1 1.n Gγ + = Nhóm G là nhóm lũy linh khi và chỉ khi tồn tại n N∈ sao cho .nG Gζ = Định lý 1.6.10. 23 Mọi nhóm lũy linh đều giải được. Chứng minh. Giả sử G là nhóm lũy linh. Khi đó tồn tại n N∈ sao cho 1 1.n Gγ + = Theo MỆNH ĐỀ 1.6.4. ( ) 1 1. n nG Gγ +≤ = Vậy ( ) 1. nG = Do đó G giải được. Định lý 1.6.11. Mọi p-nhóm hữu hạn đều lũy linh. Chứng minh. Nếu iG Gζ ≠ thì 1 i G Gζ ≠ và i G Gζ là p-nhóm hữu hạn nên 1. i GZ Gζ   ≠    Mặt khác, 1 1i i i G GZG G ζ ζ ζ +  = ≠    nên iGζ là nhóm con thực sự của 1 .i Gζ + Do G hữu hạn nên phải tồn tại n∈ sao cho .nG Gζ = Vậy G là nhóm lũy linh. Định lý 1.6.12. Cho G là nhóm lũy linh. Khi đó : i) Nếu N G≤ thì N là nhóm lũy linh. ii) Nếu N G thì G N là nhóm lũy linh. Định lý 1.6.13. Nếu H và K là nhóm lũy linh thì H K× là nhóm lũy linh. Định nghĩa 1.6.14. Một nhóm G được gọi là thỏa điều kiện chuẩn hóa nếu mọi nhóm con thực sự H của G đều thỏa ( ).GH N H< 24 Định lý 1.6.15. Nếu G là nhóm lũy linh hữu hạn thì G thỏa điều kiện chuẩn hóa. Định lý 1.6.16. Cho G là một nhóm hữu hạn. Khi đó G lũy linh khi và chỉ khi G là tích trực tiếp của các nhóm con Sylow của nó. Định lý 1.6.17. Nếu G là nhóm lũy linh và 1 N G≠  thì ( ) 1.N Z G ≠ Định lý 1.6.18. [6, Theorem 10.3.2] Cho G là một nhóm. Nếu tồn tại nhóm con tối đại M của G là nhóm lũy linh cấp lẻ thì G giải được. 1.7. Nhóm con Frattini Định nghĩa 1.7.1. Cho G là một nhóm. Khi đó giao của tất cả các nhóm con tối đại của G (nếu có) được gọi là nhóm con Frattini của G, được ký hiệu là ( ).GΦ Nhận xét: Nhóm con Frattini luôn tồn tại trong một nhóm hữu hạn bất kỳ. Nếu G là nhóm không có bất kỳ nhóm con tối đại nào thì ta quy ước ( ) .G GΦ = Mệnh đề 1.7.2. Cho G là một nhóm. Khi đó ( ) ,G char GΦ do đó ( ) .G GΦ  Chứng minh. Nếu G không có bất kỳ nhóm con tối đại nào thì mệnh đề hiển nhiên đúng. Giả sử trong G có các nhóm con tối đại. Gọi ( )i i IM ∈ là họ tất cả các nhóm con tối đại của G. 25 Khi đó, với ( ) ( ) 1, iAut G Mϕ ϕ −∈ cũng là nhóm con tối đại của G với ,i I∀ ∈ do đó ( ) ( )1 , .iG M i Iϕ−Φ ⊆ ∀ ∈ Vậy nên, ( ) ( ) ( )( )1 1 .i i I G M Gϕ ϕ− − ∈ Φ ⊆ = Φ Suy ra ( )( ) ( ) ( ), .G G Aut Gϕ ϕΦ ⊆ Φ ∀ ∈ Do đó, ( ) .G char GΦ Định nghĩa 1.7.3. Một phần tử x G∈ được gọi là phần tử không sinh của G nếu nó có thể được bỏ đi trong bất kỳ một tập sinh nào đó của G, nghĩa là nếu ,G x Y= thì .G Y= Định lý 1.7.4. Cho G là một nhóm. Khi đó ( )GΦ chính là tập hợp tất cả các phần tử không sinh của G. Chứng minh. Giả sử x G∈ là phần tử không sinh của G và M một nhóm con tối đại bất kỳ của G. Khi đó nếu x M∉ thì , .G x M M= = Điều này vô lý. Vậy x M∈ với mọi nhóm con tối đại M của G. Do đó ( ).x G∈Φ Ngược lại, giả sử ( )z G∈Φ và , .G z Y= Nếu Y G≠ thì tồn tại nhóm con tối đại M của G sao cho .Y M≤ Mặt khác ,z M∈ do đó , .z Y M≤ Điều này vô lý. Vậy z là phần tử không sinh của G. Định lý 1.7.5. Nếu G là một nhóm hữu hạn thì ( )GΦ là nhóm con lũy linh của G. Chứng minh. 26 Gọi P là p-nhóm con Sylow bất kỳ của ( ).GΦ Khi đó, do ( )G GΦ  nên theo bổ đề Frattini ta có ( ) ( ).GG G N P= Φ Nếu ( )P GΦ/ thì ( )GN P là nhóm con thực sự của G. Do đó tồn tại nhóm con tối đại M của G sao cho ( ) .GN P M≤ Vậy ( ) ( ) .GG G N P M G= Φ ≤ < Điều này mâu thuẫn. Suy ra ( )P GΦ . Hay mọi nhóm con Sylow trong ( )GΦ đều chuẩn tắc. Vậy ( )GΦ là nhóm lũy linh. Định nghĩa 1.7.6. Nhóm con sinh bởi tất cả các nhóm con lũy linh chuẩn tắc của G được gọi là nhóm con Fitting của G. Ký hiệu là ( ).F G Nhận xét: Nếu G là nhóm hữu hạn thì F(G) là nhóm con lũy linh chuẩn tắc tối đại duy nhất của G và F(G) char G. Mệnh đề 1.7.7. Cho G là một nhóm. Khi đó: i) ( )F G G ii) ( ) F G char G iii) ( ) ( )G F GΦ ≤ 1.8. Nhóm siêu giải được Định nghĩa 1.8.1. 27 Cho G là một nhóm. Một dãy cyclic chuẩn tắc trong G là dãy các nhóm con chuẩn tắc 0 11 ... nG G G G= ≤ ≤ ≤ = của G thỏa điều kiện 1i i G G + là nhóm cyclic, 0,..., 1.i n∀ = − Định nghĩa 1.8.2. Một nhóm G được gọi là nhóm siêu giải được nếu nó có một dãy cyclic chuẩn tắc. Dãy cyclic chuẩn tắc được gọi là dãy siêu giải được của G. Định lý 1.8.3. Cho G là nhóm siêu giải được. Khi đó: i) Nếu N G≤ thì N là nhóm siêu giải được. ii) Nếu N G thì G N là nhóm siêu giải được. Chứng minh. Vì G là nhóm siêu giải được nên G có một dãy siêu giải được 0 11 ... .nG G G G= ≤ ≤ ≤ = i) Khi đó 0 11 ... .nG N G N G N N= ≤ ≤ ≤ =   Rõ ràng , .iG N N i∀  Mặt khác, ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )1 1 1 1 i i i i ii i i G N G N G N G GG N G G N + + + + = ≅      Hơn nữa, ( )1 1i i i i i G N G G G G + +≤ là nhóm cyclic nên ( ) ( ) 1i i G N G N +   là nhóm cyclic. Vậy N có một dãy siêu giải được nên N là nhóm siêu giải được. ii) Do , iN G G nên , , .i iN G N G N G i∀  Khi đó 0 11 ... .nG N G NG N GN N N N= ≤ ≤ ≤ = Rõ ràng , .iG N G iN N ∀ 28 Mặt khác, ( ) ( ) 1 11 1 1 . i i ii i i i i ii G N N G G NG N G G N G N G G NG N N + ++ + +      ≅ = ≅       Mà ( ) ( ) 1 1 1 1 i ii i i i i i G GG G G N G G N G + + + +     ≅         là cyclic. Vậy G N có một dãy siêu giải được nên G N là nhóm siêu giải được. Định nghĩa 1.8.4. Cho G là một nhóm, N là nhóm con chuẩn tắc của G. Giả sử N có một dãy các nhóm con chuẩn tắc ( )0 11 ... *nN N N N= ≤ ≤ ≤ = sao cho iN G và 1i i N N + là nhóm cyclic i∀ thì N được gọi là nhóm G-siêu giải được. Khi đó dãy (*) được gọi là dãy G-siêu giải được. Mệnh đề 1.8.5. Nếu N là nhóm cyclic chuẩn tắc của nhóm G thì N là nhóm G-siêu giải được. Mệnh đề 1.8.6. Nếu N G , N là nhóm G-siêu giải được và G N là nhóm siêu giải được thì G là nhóm siêu giải được. Định lý 1.8.7. Nếu H và K là nhóm siêu giải được thì H K× là nhóm siêu giải được. Định lý 1.8.8. Cho 1 2, ,..., nH H H là các nhóm con chuẩn tắc của G. Nếu 1 2 , ,..., n G G G H H H là nhóm siêu giải được thì 1 n ii G H = ∩ là nhóm siêu giải được. Định lý 1.8.9. 29 Mọi nhóm lũy linh hữu hạn đều siêu giải được. Định lý 1.8.10. G là nhóm siêu giải được khi và chỉ khi G có một dãy siêu giải được có tất cả các nhân tử là nhóm có cấp nguyên tố hoặc cấp vô hạn. Định lý 1.8.11. Cho G là một nhóm siêu giải được. Khi đó G có một nhóm con chuẩn tắc là nhóm cyclic vô hạn hoặc có cấp nguyên tố. Trường hợp nếu G hữu hạn, siêu giải được thì G có một nhóm con chuẩn tắc là nhóm có cấp nguyên tố. Do đó tồn tại ( )p Gπ∈ sao cho ( ) 1.pO G ≠ Định lý 1.8.12. Nếu G là nhóm đơn, siêu giải được thì G là nhóm cyclic có cấp nguyên tố. Mệnh đề 1.8.13. Cho G là nhóm siêu giải được. i) Nếu p là ước nguyên tố lớn nhất của G thì G có một p-nhóm con Sylow chuẩn tắc P và P có phần bù T trong G. ii) Nếu q là ước nguyên tố nhỏ nhất của G thì G có một q-nhóm con Sylow Q có phần bù chuẩn tắc K trong G. Định lý 1.8.14. Nếu G là một nhóm hữu hạn và ( ) G GΦ là nhóm siêu giải được thì G là nhóm siêu giải được. Định lý 1.8.15. (Srinivasan) Cho G là nhóm hữu hạn, P là nhóm con Sylow bất kỳ của G. Nếu mọi nhóm con tối đại 1P của P đều là nhóm con chuẩn tắc trong G thì G là nhóm siêu giải được. 30 Định nghĩa 1.8.16. Nhóm G được gọi là có một tháp Sylow nếu nó có một dãy các nhóm con chuẩn tắc 0 11 ... nG G G G= ≤ ≤ ≤ = sao cho với 0,..., 1,i n∀ = − 1i i G G + đẳng cấu với một p-nhóm con Sylow nào đó của G. Bổ đề 1.8.17. Nếu G là nhóm siêu giải được thì G có một dãy siêu giải được 0 11 ... nG G G G= ≤ ≤ ≤ = với mỗi 1 i i G G − là số nguyên tố và 1 2 0 1 1 ... .n n GG G G G G − ≥ ≥ ≥ Mệnh đề 1.8.18. Mọi nhóm siêu giải được đều có một tháp Sylow. Chứng minh. Trước hết ta chứng minh G có một dãy các nhóm con 1 2, ,..., rG G G sao cho iG là ip − nhóm con Sylow của G với 1,...i r∀ = và 1 2... kG G G G với 1, 2,...,k r∀ = . Ta chứng minh bằng quy nạp theo số các ước nguyên tố của .G Nếu nG p= thì G là p −nhóm con Sylow của G và tháp sylow cần tìm là 01 G G=  . Giả sử G có các ước nguyên tố 1 2 ... mp p p p= > > > . Vì G là nhóm siêu giải được nên G có một dãy siêu giải được mà các thương có cấp nguyên tố phải gồm một vài thương có cấp là p . Theo BỔ ĐỀ 1.8.17 thì G có dãy siêu giải được, trong đó các thương có cấp p xuất hiện đầu tiên, 0 11 ... nG G G G= =   . Chọn r lớn nhất sao cho 1 r r G pG − = . Khi đó rG G và r rG p= . Mặt khác, bất kỳ số nguyên tố nào là ước của r G G đều nhỏ hơn p (do cách chọn r). Do đó rG là p −nhóm con Sylow chuẩn tắc của G . Khi đó 2 i m i r i G pG α = =∏ . Theo giả 31 thiết qui nạp thì r G G có các ip -nhóm con Sylow là i r T G sao cho 2 m i r ri T G G G =      ∏  . Do đó 2 2 3 2 3, ,..., ... rT T T T T T là các nhóm con chuẩn tắc của G . Gọi iP là ip −nhóm con Sylow của iT ( )2,i m∀ = . 1 rP G= là 1p −nhóm con Sylow của G . Ta có ii r r TT G G = nên i i rT p G α= , với α là số mũ của pi trong phân tích của G . Do đó iP là nhóm con Sylow của G . Hơn nữa, 2 2 3 2 3 4 2 3 4, , , ,...rG G P T G P T T G P T T T G= = =    Vậy G có một dãy các nhóm con 1 2, ,..., rG G G sao cho iG là ip −nhóm con Sylow của G với 1,...i r∀ = và 1 2... kG G G G với 1, 2,...,k r∀ = . Do đó 0 1 1 2 1 21 ... ... rG G G G G G G G= =    là tháp Sylow của G. 32 CHƯƠNG 2: NHÓM CON C-CHUẨN TẮC VÀ ỨNG DỤNG 2.1 Nhóm con c-chuẩn tắc Định nghĩa 2.1.1. Cho G là một nhóm và H là một nhóm con của G. Khi đó H được gọi là nhóm con c- chuẩn tắc của G nếu tồn tại một nhóm con chuẩn tắc N của G sao cho HN G= và GH N H≤ , trong đó ( ): gG g G H Core H H ∈ = =  là nhóm con chuẩn tắc lớn nhất của G nằm trong H. Ví dụ 1: Mọi nhóm con chuẩn tắc của G đều là nhóm con c-chuẩn tắc của G. Ví dụ 2: Nhóm con ( )2 1 2C = của nhóm phép thế 3S là nhóm con c-chuẩn tắc của 3S . Định nghĩa 2.1.2. Nhóm G được gọi là c-đơn nếu G không chứa các nhóm con c-chuẩn tắc thực sự, tức là G không có nhóm con c-chuẩn tắc nào ngoài 1 và G. Ví dụ: Mọi nhóm đơn đều là nhóm c-đơn. Giả sử p là một số nguyên tố và p' là phần bù của p trong tập hợp các số nguyên tố. G là một nhóm hữu hạn và M là nhóm con tối đại của G. Ký hiệu : pG M là p-phần của :G M . Khi đó ta xét họ các nhóm con: Định nghĩa 2.1.3. { }: .M M G= < ⋅F { }: c M M G= < ⋅F với :G M là hợp số. ( ){ }: , p GM M G N P M= < ⋅ ≤F với ( ).pP Syl G∈ 33 ( ) .s p p Gπ∈ = F F .pc p c= F F F .sc s c= F F F Định nghĩa 2.1.4. ( ) { }: p pG M MΦ = ∈ F nếu p ≠ ∅F , ngược lại ( ) .p G GΦ = ( ) { }: s sG M MΦ = ∈ F nếu s ≠ ∅F , ngược lại ( ) .s G GΦ = ( ) { }: p pcS G M M= ∈ F nếu pc ≠ ∅F , ngược lại ( ) .pS G G= ( ) { }: s scS G M M= ∈ F nếu sc ≠ ∅F , ngược lại ( ) .sS G G= Nhận xét: Tất cả các nhóm con trên đều là nhóm con đặc trưng của G. 2.2 Tính chất cơ bản Bổ đề 2.2.1. Cho G là một nhóm. Khi đó: (1) Nếu H là nhóm con chuẩn tắc của G thì H là nhóm con c-chuẩn tắc của G. (2) G là nhóm c-đơn khi và chỉ khi G là nhóm đơn. (3) Nếu H là nhóm con c-chuẩn tắc của G, H K G≤ ≤ thì H là nhóm con c-chuẩn tắc của K. (4) Cho , .K G K H≤ Khi đó, H là nhóm con c-chuẩn tắc của G khi và chỉ khi H K là nhóm con c-chuẩn tắc của .G K Chứng minh. (1) Vì H là nhóm con chuẩn tắc của G nên .GH H= 34 Rõ ràng , .GHG G H G H H= = = Do đó, H là nhóm con c-chuẩn tắc của G. (2) Giả sử G là nhóm c-đơn nhưng G không là nhóm đơn. Khi đó, tồn tại N là nhóm con chuẩn tắc thực sự của G. Theo (1), N là nhóm con c-chuẩn tắc thực sự của G. Điều này mâu thuẫn với giả thiết G là nhóm c-đơn. Ngược lại, nếu G là nhóm đơn. Giả sử G không là nhóm c-đơn. Khi đó tồn tại H là nhóm con c-chuẩn tắc thực sự của G. Theo định nghĩa, tồn tại N G sao cho .HN G= Vì H G≠ nên 1,N ≠ do đó .N G= Mặt khác, ,GH H G H N H= = ≤  vì vậy .GH H G=  Điều này mâu thuẫn với giả thiết G là nhóm đơn. (3) H là nhóm con c-chuẩn tắc của G nên tồn tại N G sao cho , HN G= .GH N H≤ Rõ ràng, ( ).K K G K HN H K N= = =   Đặt N K N′ =  thì .N K′ Khi đó, ( ), .G KHN K H N H K N H N K H K H′ ′= = = ≤ ≤      Do đó, H là nhóm con c-chuẩn tắc của K. (4) Giả sử H là nhóm con c-chuẩn tắc của G. Khi đó tồn tại N G sao cho , .GHN G H N H= ≤ Do đó, ( )( ) ( ) ( ) ( ), .G K G N NH H H K K K K K K= ≤ Vậy H K là nhóm con c-chuẩn tắc của .G K Tương tự, nếu H K là nhóm con c-chuẩn tắc của G K thì H là nhóm con c-chuẩn tắc của G. Bổ đề 2.2.2. Cho G là một nhóm hữu hạn. Khi đó: (1) ( )p GΦ là p-đóng với mọi ( ).p Gπ∈ 35 (2) ( )s GΦ là nhóm lũy linh. (3) Nếu p là số lớn nhất trong ( )( )pS Gπ thì ( )pS G là p-đóng. (4) ( )sS G có một tháp Sylow. Chứng minh. (1) Nếu ( )p G GΦ = thì p =∅F . Khi đó với ( )pP Syl G∈ mà P G/ thì ( )GN P là nhóm con thực sự của G. Vì vậy, tồn tại M G< ⋅ sao cho ( ) .GN P M G≤ < ⋅ Do đó, pM ∈F . Điều này mâu thuẫn với p =∅F . Vậy .P G Nếu ( )p G GΦ ≠ thì p ≠ ∅F . Khi đó tồn tại pM ∈F , tức là tồn tại ( )pP Syl G∈ sao cho ( ) .GN P M≤ Đặt ( )1 pP P G= Φ thì ( )( )1 .ppP Syl G∈ Φ Nếu 1P G/ thì ( )1GN P là nhóm con thực sự của G nên tồn tại M G′ < ⋅ sao cho ( )1 .GN P M ′≤ Rõ ràng ( )1 pP P G= Φ là nhóm con chuẩn tắc của ( ).GN P Suy ra ( ) ( )1 .G GN P N P M G′≤ ≤ < ⋅ Do đó .pM ′∈F Vậy nên ( ) .pp G M ′Φ ≤ ∈F Theo bổ đề Frattini, ( ) ( )1. .p GG G N P M G′= Φ ≤ < ⋅ Điều này vô lý. Vậy 1 .P G Do đó ( )1 .pP GΦ (2) ( ) { } ( ) ( ) { } ( ) ( ): : : .s p p G p G p G s p pG M M M M M M G π π π∈ ∈ ∈  Φ = ∈ = ∈ = ∈ = Φ        F F F Theo (1), ( )p GΦ là p-đóng với mọi ( )p Gπ∈ . Do đó ( )s GΦ là p-đóng với mọi ( )p Gπ∈ . Vậy ( )s GΦ là nhóm lũy linh. 36 (3) Nếu ( )pS G G= thì pc =∅F . Khi đó với ( )pP Syl G∈ mà P G/ thì ( )GN P là nhóm con thực sự của G. Vì vậy, tồn tại M G< ⋅ sao cho ( ) .GN P M G≤ < ⋅ Do đó, pM ∈F . Giả sử :G M q= là một số nguyên tố thì theo định lý Sylow, tất cả các p-nhóm con Sylow của G là liên hợp của P trong G nên ( ) ( ): 1 mod .GG N P p≡ Vì ( )GP N P M≤ ≤ nên P cũng là p-nhóm con Sylow của M. Lập luận tương tự ta có ( ) ( ): 1 mod .GM N P p≡ Suy ra ( ): 1 mod .G M p≡ Do đó, ( )1 modq p≡ . Hay .q p> Điều này mâu thuẫn với giả thiết p là số nguyên tố lớn nhất. Vì vậy, :G M là hợp số nên .pcM ∈F Mâu thuẫn với .pc =∅F Vậy .P G Nếu ( )pS G G≠ thì pc ≠ ∅F . Khi đó tồn tại pcM ∈F , tức là tồn tại ( )pP Syl G∈ sao cho ( )GN P M≤ và :G M là hợp số. Đặt ( )1 pP P S G=  thì ( )( )1 .ppP Syl S G∈ Nếu 1P G/ thì ( )1GN P là nhóm con thực sự của G nên tồn tại M G′ < ⋅ sao cho ( )1 .GN P M ′≤ Rõ ràng ( )1 pP P S G=  là nhóm con chuẩn tắc của ( ).GN P Suy ra ( ) ( )1 .G GN P N P M G′≤ ≤ < ⋅ Do đó pM ′∈F . Theo bổ đề Frattini, ( ) ( ) ( )1. .p pGG S G N P S G M ′= = . Suy ra ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . . : : . p p p p p S G M S G M G M S G S G M M S G M M ′ ′ ′ ′= = = ′ ′ ′   . Vậy ( ): .pG M S G′ Giả sử :G M q′ = là một số nguyên tố thì ( )1 mod .q p≡ Điều này mâu thuẫn với giả thiết p là số lớn nhất trong ( )( )pS Gπ . Vậy nên ( ) .pp cS G M ′≤ ∈F 37 Suy ra, ( ) ( )1. .p GG S G N P M G′= ≤ < ⋅ Điều này vô lý. Vậy 1 .P G Do đó ( )1 .pP S G (4) Ta có ( ) ( )s sS G G≤ Φ , mà ( )s GΦ là nhóm lũy linh do đó ( )sS G là nhóm lũy linh. Vì vậy, ( )sS G có một tháp Sylow. Bổ đề 2.2.3. Cho G là một nhóm hữu hạn. Khi đó: (1) G là nhóm lũy linh khi và chỉ khi ( ).sG G= Φ (2) G là nhóm lũy linh khi và chỉ khi M là nhóm con chuẩn tắc của G với mọi .sM ∈F (3) G là nhóm lũy linh khi và chỉ khi G N là nhóm lũy linh với N là nhóm con chuẩn tắc của G nằm trong ( ).s GΦ Chứng minh. (1) ( )sG G= Φ khi và chỉ khi .s =∅F ( )GN P G⇔ = với mọi ( ) ( ), .pP Syl G p Gπ∈ ∈ P G⇔  với mọi ( ).pP Syl G∈ ⇔ G là nhóm lũy linh. (2) Giả sử G là nhóm lũy linh. M là nhóm con tối đại của G. Khi đó, ( ) .GN M M≠ Vậy nên ( ) .GM N M G< ≤ Do tính tối đại của M nên ( ) .GN M G= Do đó mọi nhóm con tối đại M của G đều là nhóm con chuẩn tắc của G. Vậy M là nhóm con chuẩn tắc của G với mọi .sM ∈F Ngược lại, giả sử M là nhóm con chuẩn tắc của G với mọi .sM ∈F Vì sM ∈F nên tồn tại ( ) ( ), pp G P Syl Gπ∈ ∈ sao cho ( ) .GN P M≤ Do đó, ( ).pP Syl M∈ Theo bổ đề Frattini, ( ). .GG M N P M G= ≤ < ⋅ Điều này vô lý. Vậy .s =∅F Hay ( ).sG G= Φ Theo (1), G là nhóm lũy linh. 38 (3) Giả sử G là nhóm lũy linh. Vì nhóm thương của nhóm lũy linh là nhóm lũy linh nên G N là nhóm lũy linh. Ngược lại, giả sử G N là nhóm lũy linh và M là nhóm con tối đại của G. Khi đó, M N là nhóm con tối đại của G N nên M N là nhóm con chuẩn tắc của . G N Vậy M là nhóm con chuẩn tắc của G. Do đó, G là nhóm lũy linh. Bổ đề 2.2.4. Cho G là một nhóm hữu hạn. Khi đó: (1) G là nhóm siêu giải được khi và chỉ khi :G M là số nguyên tố với mọi .sM ∈F (2) G là nhóm siêu giải được khi và chỉ khi ( ).sG S G= (3) G là nhóm siêu giải được khi và chỉ khi G N là nhóm siêu giải được với N là nhóm con chuẩn tắc của G nằm trong ( ).sS G Chứng minh. (1) Giả sử G là nhóm siêu giải được, M là một nhóm con tối đại của G. Nếu M G thì G M là nhóm siêu giải được. Do M là nhóm con tối đại của G nên G M là nhóm đơn. Vậy G M là nhóm cyclic cấp nguyên tố. Do đó :G M là số nguyên tố. Nếu M không phải là nhóm con chuẩn tắc của G. Giả sử 1GM ≠ , khi đó G G M là nhóm có cấp nhỏ hơn cấp G. Do đó, bằng quy nạp theo G ta có : G G G M M M là số nguyên tố. Vậy :G M là số nguyên tố. Nếu 1GM = , vì G là nhóm siêu giải được hữu hạn nên theo ĐỊNH LÝ 1.8.11. tồn tại K G sao cho K có cấp là số nguyên tố. 39 Mặt khác, K M M≤ , GM là nhóm con chuẩn tắc tối đại của G chứa trong M nên 1.GK M M≤ = Do đó M là nhóm con thực sự của KM. Do tính tối đại của M nên .KM G= Ta có : : :G M KM M K K M K= = = là một số nguyên tố. Vậy mọi nhóm con tối đại của G đều có chỉ số nguyên tố trong G. Do đó :G M là số nguyên tố với mọi .sM ∈F Ngược lại, giả sử :G M là số nguyên tố với mọi .sM ∈F Trước tiên, ta chứng minh G là nhóm giải được. Gọi N là nhóm con chuẩn tắc tối tiểu của G, p là ước nguyên tố lớn nhất của N và P là p-nhóm con Sylow của N. Nếu ( )GN P là nhóm con thực sự của G thì tồn tại nhóm con tối đại M của G sao cho ( ) .GN P M≤ Vậy .p sM ∈ ⊂F F Theo giả thiết, :G M q= với q là số nguyên tố. Theo bổ đề Frattini, ( ). .GG N N P NM= = Ta có : : . NM N G M N N M M N M = = =   Do đó : .G M N Hay .q p≤ Theo định lý Sylow, tất cả các p-nhóm con Sylow của G đều liên hợp với P trong G nên ( ) ( ): 1 mod .GG N P p≡ Vì ( )GP N P M≤ ≤ nên P cũng là p-nhóm con Sylow của M. Lập luận tương tự ta có ( ) ( ): 1 mod .GM N P p≡ Suy ra ( ): 1 mod .G M p≡ Do đó, ( )1 modq p≡ . Hay .q p> Vô lý. Vậy ( ) .GN P G= Hay .P G Bằng phương pháp quy nạp theo G ta có G P là nhóm giải được. P là p-nhóm nên P giải được. Vậy G là nhóm giải được. 40 Ta chứng minh G là nhóm siêu giải được bằng phương pháp quy nạp theo .G Gọi N là nhóm con chuẩn tắc tối tiểu của G. M N là nhóm con tối đại của G N khi và chỉ khi M là nhóm con tối đại của G và .N M≤ Ta có : :G M G MN N = là một số nguyên tố. Theo giả thiết quy nạp, G N là nhóm siêu giải được. Nếu tồn tại K là một nhóm con chuẩn tắc tối tiểu khác của G, .K N≠ Vì ,G GK N là nhóm siêu giải được nên G K N là nhóm siêu giải được. Mặt khác, 1.K N = Vậy G là nhóm siêu giải được. Nếu N là nhóm con chuẩn tắc tối tiểu duy nhất của G. Vì G là nhóm giải được hữu hạn nên N là p-nhóm con Aben cơ bản của G. Do đó N là nhóm con chuẩn tắc lũy linh của G. Suy ra ( ).N F G≤ Nếu tồn tại q là một ước nguyên tố của ( ) , .F G q p≠ Gọi Q là một q-nhóm con Sylow của F(G). Do tính lũy linh của F(G) nên Q là q-nhóm con Sylow duy nhất của F(G). Suy ra ( ) .Qchar F G Mà ( )F G G nên .Q G Vậy G có một q-nhóm con chuẩn tắc, do đó tồn tại một q-nhóm con chuẩn tắc tối tiểu của G, mâu thuẫn. Vậy F(G) là p-nhóm. Nếu ( )N G≤ Φ/ thì tồn tại nhóm con tối đại M của G sao cho .N M≤/ Do đó, .G MN= Rõ ràng , .M N N M N M    Vậy .M N G  Do tính tối tiểu của N nên 1.M N = Suy ra :N G M= là một số nguyên tố. Do đó N là nhóm cyclic. Vậy G là nhóm siêu giải được. Nếu ( )N G≤ Φ thì ( ) ( ) ( ) G NG G G N Φ Φ       là nhóm siêu giải được. Theo ĐỊNH LÝ 1.8.14. G là nhóm siêu giải được. (2) Theo (1), G là nhóm siêu giải được khi và chỉ khi .sc =∅F 41 Vậy G là nhóm siêu giải được khi và chỉ khi ( ).sG S G= (3) Vì nhóm thương của một nhóm siêu giải được là một nhóm siêu giải được nên nếu G là nhóm siêu giải được thì G N là nhóm siêu giải được. Ngược lại, nếu G N là nhóm siêu giải được và . sM ∈F Khi đó, M N là nhóm con tối đại của .G N Do đó, : : G MG M N N= là số nguyên tố. Vậy theo (1), G là nhóm siêu giải được. Bổ đề 2.2.5. Cho G là nhóm hữu hạn. Nếu N là nhóm con chuẩn tắc của nhóm G và M là nhóm con tối đại của G sao cho N M≤ thì ( ) ( ): : .G M G MN Nη η= Chứng minh. Giả sử ( ) ( ) X N Y N là thương chính của G N , trong đó X là nhóm tối tiểu thỏa ( )( ) .GX MN N N= Theo định nghĩa, ( ): .G M XN N Yη = Giả sử H X≤ là nhóm tối tiểu trong tập phần bù chuẩn tắc của M trong G. Khi đó, , HN X HN G≤  và ( ) .HN M G= Do tính tối tiểu của X ta có .HN X= Mặt khác, N Y≤ nên .HY X= Gọi H K là thương chính của G với .H Y K≤ Khi đó ( ): .HG M Kη = Vì Y KY X≤ < và KY G nên KY Y= và .K H Y=  Suy ra .H XK Y= Hay ( ) ( ): : .G M G MN Nη η= 2.3. Một số kết quả chính Ta đã biết "Một nhóm hữu hạn là nhóm lũy linh khi và chỉ khi mọi nhóm con tối đại của nó đều là nhóm con chuẩn tắc". Sau đây ta xét một định lý tương tự nhóm con chuẩn tắc cho nhóm con c-chuẩn tắc của một nhóm hữu hạn. Định lý 2.3.1. 42 Cho G là một nhóm hữu hạn. Khi đó G là nhóm giải được khi và chỉ khi mọi nhóm con tối đại của G là nhóm con c-chuẩn tắc của G. Chứng minh. Giả sử G là nhóm giải được và M là nhóm con tối đại của G. Nếu 1GM ≠ thì G G M là nhóm có cấp nhỏ hơn cấp G. Do đó, bằng phương pháp quy nạp theo cấp của G thì G M M là nhóm con c-chuẩn tắc của .G G M Theo BỔ ĐỀ 2.2.1. (4) thì M là nhóm con c-chuẩn tắc của G. Nếu 1GM = . Gọi N là nhóm con chuẩn tắc tối tiểu của G thì N là nhóm aben và N M≤/ . Khi đó G NM= và 1 .GN M M= = Vậy theo định nghĩa, M là nhóm con c-chuẩn tắc của G. Ngược lại, giả sử mọi nhóm con tối đại của G là nhóm con c-chuẩn tắc của G nhưng G không phải là nhóm giải được. Gọi G là nhóm có cấp nhỏ nhất mà mọi nhóm con tối đại của M là nhóm con c-chuẩn tắc của G nhưng G không là nhóm giải được. Nếu G là nhóm đơn thì theo BỔ ĐỀ 2.2.1. (2), G là c-đơn. Do đó 1.M = Vậy G là nhóm chỉ có các nhóm con tầm thường là 1 và G nên G là nhóm cyclic cấp nguyên tố. Điều này mâu thuẫn với giả thiết G không giải được. Vậy G không phải là nhóm đơn. Gọi K là nhóm con chuẩn tắc tối tiểu của G thì K là nhóm con chuẩn tắc tối tiểu duy nhất của G. Thật vậy, giả sử K1 và K2 là hai nhóm con chuẩn tắc tối tiểu khác nhau của G. Khi đó vì giả thiết của định lý vẫn đúng cho 1 2 ,G GK K nên 1 2 ,G GK K là nhóm giải được. Do đó 1 2 G K K là nhóm giải được. Mà 1 2 1K K = nên G giải được. Điều này mâu thuẫn. Vậy K là nhóm con chuẩn tắc tối tiểu duy nhất của G. Nếu K M≤ với mọi nhóm con tối đại M của G thì ( )K G≤ Φ . Vì G K là nhóm giải được và ( )K G≤ Φ nên ( ) ( ) ( ) G KG G G K Φ Φ       là nhóm giải được. Mặt khác, ( )GΦ là nhóm 43 giải được. Vậy G là nhóm giải được. Điều này là mâu thuẫn. Do đó, tồn tại nhóm con tối đại M của G sao cho .K M≤/ Khi đó, 1GM = . Thật vậy, nếu 1GM ≠ thì GM là nhóm con chuẩn tắc của G nên .GK M M≤ ≤ Điều này mâu thuẫn với .K M≤/ Vì K M≤/ nên .G KM= M là nhóm con c-chuẩn tắc của G nên tồn tại nhóm con chuẩn tắc N của G sao cho G MN= và 1.GM N M≤ = Do đó, 1.N ≠ Vì vậy, K N≤ và 1.K M = Suy ra, : .N G M K= = Vậy, .K N= Với bất kỳ nhóm con chuẩn tắc tối đại L của G mà 1GL = thì .KL G= Mặt khác, L là nhóm con c-chuẩn tắc của G nên lập luận tương tự ta có 1.K L = Gọi P là p-nhóm con Sylow của K, giả sử P K< . Vì 1, ,P P K≠ < K là nhóm con chuẩn tắc tối tiểu của G nên P không phải là nhóm con chuẩn tắc của G. Do đó, ( )GQ N P= là nhóm con thực sự của G. Vậy tồn tại nhóm con tối đại R của G sao cho .Q R≤ Theo bổ đề Frattini, . .G K Q= Do đó, .G KQ KR= = Từ đó suy ra K R≤/ nên 1.GR = Vậy 1.K R = Ta có: 1.P K Q K R≤ ≤ =  Điều này mâu thuẫn. Vậy nên K P= là p-nhóm. Do đó, K giải được. Rõ ràng, G K vẫn thỏa điều kiện của định lý và G K có cấp nhỏ hơn G nên G K giải được. Từ đó ta có G giải được. Điều này mâu thuẫn với cách chọn G. Định lý 2.3.2. Cho G là một nhóm hữu hạn và M là nhóm con tối đại của G. Khi đó M là nhóm con c- chuẩn tắc của G khi và chỉ khi ( ): : .G M G Mη = Chứng minh. Giả sử M là nhóm con c-chuẩn tắc của G. Ta sẽ chứng minh ( ): :G M G Mη = bằng phương pháp quy nạp theo cấp của G. Nếu 1GM ≠ thì G G M là nhóm có cấp nhỏ hơn cấp G. Vì M là nhóm con c-chuẩn tắc của G nên G M M là nhóm con c-chuẩn tắc của .G G M Do đó, 44 : : . G G G G G GM M M M M Mη   =    Theo BỔ ĐỀ 2.2.5. ( ): : : : . G G G G G GM MG M G MM M M Mη η  = = =    Nếu 1GM = thì do M là nhóm con c-chuẩn tắc của G nên theo định nghĩa tồn tại nhóm con chuẩn tắc N của G sao cho , 1.GMN G M N M= ≤ = Do vậy, 1.N ≠ Giả sử tồn tại nhóm con chuẩn tắc K của G sao cho 1 K N≠ ≤ thì 1.K M = Do đó, : .N G M K= = Suy ra .N K= Vì vậy N là nhóm con chuẩn tắc tối tiểu của G. Theo định nghĩa chỉ số chuẩn tắc, ( ): : .G M N G Mη = = Ngược lại, giả sử ( ): : .G M G Mη = Nếu G là nhóm đơn thì ( ): .G M Gη = Theo giả thiết, ( ): : .G M G Mη = Suy ra, : .G G M= Do đó, 1.M = Vậy M là nhóm con c-chuẩn tắc của G. Giả sử G không phải là nhóm đơn. Nếu 1GM ≠ thì G G M là nhóm có cấp nhỏ hơn G nên bằng quy nạp theo cấp của G, ta có G M M là nhóm con c-chuẩn tắc của .G G M Do đó, M là nhóm con c-chuẩn tắc của G. Nếu 1GM = , gọi N là nhóm con chuẩn tắc tối tiểu của G thì MN G= và ( ): .G M Nη = Theo giả thiết, ( ): : .G M G Mη = Từ đó suy ra, : .G M N= Vậy 1 GM N M= = nên theo định nghĩa, M là nhóm con c-chuẩn tắc của G. Hệ quả 2.3.3. Cho G là một nhóm hữu hạn. Khi đó G là nhóm giải được khi và chỉ khi ( ): :G M G Mη = với mọi nhóm con tối đại M của G. Chứng minh. Theo ĐỊNH LÝ 2.3.1, G là nhóm giải được khi và chỉ khi mọi nhóm con tối đại M của G là nhóm con c-chuẩn tắc của G. Theo ĐỊNH LÝ 2.3.2, nhóm con tối đại M của G là nhóm 45 con c-chuẩn tắc của G khi và chỉ khi ( ): : .G M G Mη = Vậy G là nhóm giải được khi và chỉ khi ( ): :G M G Mη = với mọi nhóm con tối đại M của G. Định lý 2.3.4. Cho G là một nhóm hữu hạn. Khi đó G là nhóm giải được khi và chỉ khi tồn tại trong G một nhóm con tối đại M giải được, c-chuẩn tắc. Chứng minh. Giả sử G là nhóm giải được. Khi đó theo ĐỊNH LÝ 2.3.1. mọi nhóm con tối đại M của G là nhóm con c-chuẩn tắc của G. Hơn nữa, nhóm con của một nhóm giải được là nhóm giải được nên M là nhóm con tối đại giải được, c-chuẩn tắc của G. Ngược lại, giả sử định lý sai. Gọi G là một phản ví dụ có cấp nhỏ nhất. Gọi M là nhóm con tối đại giải được, c-chuẩn tắc của G. Khi đó, 1.GM = Thật vậy, giả sử 1GM ≠ thì G G M là nhóm có cấp nhỏ hơn G. Mặt khác, G M M là nhóm con tối đại giải được c-chuẩn tắc của G G M . Do đó, G G M là nhóm giải được. Hơn nữa, GM là nhóm con của nhóm giải được M nên GM giải được. Vậy G giải được. Điều này mâu thuẫn. Vậy 1.GM = G không phải là nhóm đơn. Thật vậy, nếu G là nhóm đơn thì G là nhóm c-đơn, do đó 1.M = Vậy G không có nhóm con nào ngoài 1 và chính nó nên G là nhóm cyclic. Do đó, G là nhóm giải được. Điều này mâu thuẫn. Gọi K là nhóm con chuẩn tắc tối tiểu của G. Vì 1GM = nên .K M≤/ Do đó, , 1.G KM M K= = M là nhóm con c-chuẩn tắc của G nên tồn tại N là nhóm con chuẩn tắc của G sao cho G NM= và 1.GM N M≤ = Gọi L là nhóm con chuẩn tắc tối tiểu của M. Đặt ( ) { }11 , .KK C L k K l kl k l L−= = ∈ = ∀ ∈ 46 Với 1, , ,g M k K l L∈ ∈ ∈ ta có: ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1, .lgkg l g g lg k g l g g g l kl g gkg l L− − − − − − − − −= = = ∈ Vậy 1 1.gkg K− ∈ Do đó 1K là M-bất biến. Vì M là nhóm con tối đại của G nên K chỉ có hai nhóm con M-bất biến là K và 1. Nếu 1K K= thì .L KM G= Điều này mâu thuẫn với 1.GM = Vậy 1 1.K = Ta có ( ), 1.L K = Thật vậy, nếu ( ), 1L K ≠ , giả sử L pα= và P là p-nhóm con Sylow của LK chứa L. Khi đó P K là nhóm con chuẩn tắc không tầm thường của P nên ( ) 1.Z P K ≠ Mặt khác, ( ) ( ) 1,KZ P K C L≤ = mâu thuẫn. Vậy ( ), 1.L K = Với mỗi số nguyên tố q là ước của ,K tồn tại duy nhất một q-nhóm con Sylow L-bất biến Q của K. Với ,g M l L∈ ∈ ta có 1 1 1 1 11 1 .l g Qgl g l Ql g g Qg− − − − −= = Do đó, 1g Qg− là q-nhóm con Sylow L-bất biến của K. Do tính duy nhất của Q ta có 1 .g Qg Q− = Suy ra Q là nhóm con Sylow M-bất biến của K. Mặt khác, K chỉ có hai nhóm con M-bất biến là 1 và K nên .Q K= Vậy K là q-nhóm, do đó K giải được. Vì G K và K là nhóm giải được nên G giải được, mâu thuẫn. Nói cách khác, không tồn tại phản ví dụ. Vậy định lý trên đúng Định lý 2.3.5. Cho G là một nhóm hữu hạn và p là ước nguyên tố lớn nhất của .G Nếu M là c-chuẩn tắc trong G với mọi nhóm con tối đại không lũy linh pcM ∈F thì G là nhóm p-giải được. Chứng minh. Giả sử định lý sai và G là một phản ví dụ có cấp nhỏ nhất. 47 Khi đó, .pc ≠ ∅F Thật vậy, nếu pc =∅F thì theo BỔ ĐỀ 2.2.2. (3), ( )pG S G= là p- đóng. Do đó tồn tại p-nhóm con Sylow P sao cho .P G Vậy G là nhóm p-giải được, mâu thuẫn. M là nhóm con c-chuẩn tắc của G với mọi .pcM ∈F Thật vậy, ta sẽ chứng minh mọi nhóm con tối đại pcM ∈F đều không lũy linh. Giả sử tồn tại pcM ∈F sao cho M lũy linh. Vì G không giải được nên theo ĐỊNH LÝ 1.6.18. 2 1M ≠ với 2M là 2-nhóm con Sylow của M. Nếu M là một 2-nhóm con thì 2p = và G là 2-nhóm, do đó G là nhóm 2-giải được. Điều này vô lý. Vậy G không giải được và 2 21M M′ ≠ ≠ trong đó 2M ′ là 2'-nhóm con Hall của M. Theo ĐỊNH LÝ 1.8.13. 2M ′ là nhóm con chuẩn tắc của G. Rõ ràng 2 G M ′ thỏa mãn các giả thiết của G. Do cách chọn G, ta có 2 G M ′ là nhóm p-giải được. Hơn nữa, 2M ′ là nhóm giải được. Vậy G là nhóm p-giải được, mâu thuẫn. Giả sử G là nhóm đơn. Vì pc ≠ ∅F nên tồn tại pcM ∈F . Do đó M là nhóm con c-chuẩn tắc. G là nhóm đơn nên G là nhóm c-đơn. Suy ra 1.M = Vậy G là nhóm chỉ có hai nhóm con tầm thường là 1 và chính nó. Do đó G là nhóm cyclic. Vậy G là nhóm p-giải được, mâu thuẫn. Vậy G không phải là nhóm đơn. Gọi N là nhóm con chuẩn tắc tối tiểu của G. Khi đó N là nhóm con chuẩn tắc tối tiểu duy nhất của G. Nếu p không phải là ước của N hay N là p-nhóm thì N là nhóm p-giải được. Mặt khác, G N thỏa điều kiện của định lý và có cấp nhỏ hơn cấp G nên G N là nhóm p-giải được. Vậy G là nhóm p-giải được, mâu thuẫn. Vậy .p N Gọi P là p-nhóm con Sylow của G. Đặt pN P N=  thì pN là p-nhóm con Sylow của N và .pN N≠ Rõ ràng, ( ).p GN N P 48 Theo bổ đề Frattini, ( ).G pG NN N= Vì 1 pN N≠ ≠ nên pN không phải là nhóm con chuẩn tắc của G. Do đó, ( )G pN N là nhóm con thực sự của G. Vì vậy tồn tại nhóm con tối đại M của G sao cho ( ) ( ) .G G pN P N N M≤ ≤ Vậy .pM ∈F Nếu N M≤ thì ( ) ,G pG NN N M= ≤ mâu thuẫn. Do đó .N M≤/ Vì vậy 1.GM = Nếu :G M q= là một số nguyên tố thì .q p< Theo định lý Sylow, tất cả các p-nhóm con Sylow của G đều liên hợp với P trong G nên ( ) ( ): 1 mod .GG N P p≡ Vì ( )GP N P M≤ ≤ nên P cũng là p-nhóm con Sylow của M. Lập luận tương tự ta có ( ) ( ): 1 mod .GM N P p≡ Suy ra ( ): 1 mod .G M p≡ Do đó, ( )1 modq p≡ . Hay .q p> Điều này mâu thuẫn với giả thiết p là ước nguyên tố lớn nhất của .G Vậy :G M là hợp số. Do đó .pcM ∈F Hay M là nhóm con c-chuẩn tắc của G. Theo định nghĩa, tồn tại một nhóm con chuẩn tắc K của G sao cho 1.GN M K M M≤ ≤ =  Do P M≤ nên : 1.pG M = Mặt khác : 1.p pN G M= = Điều này mâu thuẫn với .p N Nói cách khác, không tồn tại phản ví dụ. Vậy định lý trên đúng. 2.4. Ứng dụng Chúng ta đã biết tiêu chuẩn về nhóm siêu giải được trong định lý nổi tiếng của S.Srinivasan. Trong phần này sẽ khái quát định lý bằng cách thay thế điều kiện "chuẩn tắc" bởi điều kiện yếu hơn là "c-chuẩn tắc" mà kết quả định lý vẫn đúng. Định lý 2.4.1. Cho G là một nhóm hữu hạn, P là một nhóm con Sylow bất kỳ của G. Nếu P1 là nhóm con c-chuẩn tắc của G với mọi nhóm con tối đại P1 của P thì G là nhóm siêu giải được. Chứng minh. Giả sử định lý sai, ta lấy một phản ví dụ là nhóm G có cấp nhỏ nhất. Khi đó: (1) Tồn tại ( )p Gπ∈ sao cho ( ) 1.pO G ≠ Thật vậy, gọi p1 là ước nguyên tố bé nhất của G . Nếu ( ) 1 1pO G ≠ , ta có điều cần chứng minh. Nếu ( )1 1,pO G = gọi P là p1 nhóm con 49 Sylow của G. Nếu P là nhóm cyclic thì G có một p1-phần bù chuẩn tắc K. Rõ ràng K thỏa mãn các giả thiết của định lý nên theo cách chọn G ta có K là nhóm siêu giải được. Do đó tồn tại ( )p Gπ∈ sao cho ( ) ( )1 p pO K O G≠ ≤ . Nếu P không cyclic thì tồn tại nhóm con tối đại P1 của P. Theo giả thiết P1 là nhóm con c-chuẩn tắc của G. Khi đó tồn tại nhóm con chuẩn tắc K của G sao cho 1G PK= và ( ) ( )11 1 1.pGP K P O G≤ ≤ = Giả sử 1 21 2 ... .nnG p p p αα α= Khi đó 21 2 1 ... ,nn GK p p pP αα= = p1 là ước nguyên tố nhỏ nhất của .K Vì p1 nhóm con trong K là nhóm cyclic nên K có một p1-phần bù chuẩn tắc K1 mà nó cũng đồng thời là p1-phần bù chuẩn tắc của G. Lập luận tương tự như trên ta có tồn tại ( )p Gπ∈ sao cho ( ) ( )1 .p pO K O G≠ ≤ (2) Theo (1) tồn tại ( )p Gπ∈ sao cho ( ) 1.pO G ≠ Gọi N là một nhóm con chuẩn tắc tối tiểu của G sao cho ( ).pN O G≤ Do ( )pO G là p-nhóm nên lũy linh, vì vậy ( )pO G là nhóm giải được. Suy ra N là p-nhóm Aben sơ cấp. Ta sẽ chứng minh G N là nhóm siêu giải được bằng cách chỉ ra G N thỏa mãn các giả thiết của G. Giả sử P là p-nhóm con Sylow của G sao cho .N P≤ Nếu N=P ta có ngay điều phải chứng minh. Nếu N<P, gọi 1P N là nhóm con tối đại của P N . Khi đó, P1 là nhóm con tối đại của P. Do đó P1 là nhóm con c-chuẩn tắc trong G. Suy ra 1P N là nhóm con c-chuẩn tắc trong . G N Xét q p≠ . Gọi Q là q-nhóm con Sylow của G N . Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử QNQ N= với ( ).qQ Syl G∈ Giả sử QNT N N< ⋅ , khi đó ( ) ( ) 1T T QN T Q N Q N= = =  với 1 Q.Q < ⋅ Theo giả thiết, Q1 là nhóm con c-chuẩn tắc của G. Do đó tồn tại nhóm con chuẩn tắc K của G sao cho 1G Q K= và ( )1 1 .GQ K Q≤ Ta có: ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 11 1 G G N GT K N N N Q NT K Q N K Q K NT K T N N N N N N N = = = = ≤ ≤   50 nên T N là nhóm con c-chuẩn tắc của G N . Do đó, G N thỏa mãn các giả thiết của G. Theo cách chọn G ta có G N là nhóm siêu giải được. N là nhóm con chuẩn tắc tối tiểu duy nhất của G. Thật vậy, giả sử N và N' là hai nhóm con chuẩn tắc tối tiểu khác nhau của G. Khi đó G N và G N ′ là nhóm siêu giải được. Do đó ( ) G N N ′ là nhóm siêu giải được. Mà 1N N ′ = nên G là nhóm siêu giải được. Điều này mâu thuẫn với cách chọn G. Vậy N là nhóm con chuẩn tắc tối tiểu duy nhất của G. Nếu N M≤ với mọi nhóm con tối đại M của G thì ( ).N G≤ Φ Vì G N là nhóm siêu giải được nên ( ) ( ) ( ) G NG G G N Φ ≅ Φ      là nhóm siêu giải được. Do đó G là nhóm siêu giải được. Mâu thuẫn với cách chọn G. Vậy tồn tại nhóm con tối đại M của G sao cho .N M≤/ Suy ra .G MN= Mặt khác, do N aben nên , M N M M N N    . Do đó M N G  . Do tính tối tiểu của N nên 1.M N = Suy ra G là tích nửa trực tiếp của M và N. Hơn nữa, GM N≅ nên M là nhóm siêu giải được. Vậy G có duy nhất một nhóm con chuẩn tắc tối tiểu N sao cho G là tích nửa trực tiếp của N và M trong đó N là p-nhóm Aben sơ cấp và M là nhóm siêu giải được. Vì N G nên ( )GC N G . Hơn nữa, do N là nhóm Aben nên ( ) ( ) , .M GC N M C N M N G= =  Vì N là nhóm con chuẩn tắc tối tiểu duy nhất của G nên ( ) 1.MC N = Ta có ( ) ( ) ( )( ) .G G GC N C N NM N C N M N= = =  Rõ ràng ( ) 1qO G = với mọi số nguyên tố .q p≠ Do đó, ( ) ( ).pN O G F G≤ = ( ) ( ).pF G M B O M= ≤ Nếu 1B ≠ thì ( )GN B M> , vì thế B G . Suy ra N B M≤ ≤ , vô lý. Vậy B=1 và ( ) ( )( ) .F G N F G M N= = 51 (3) Ta chứng minh p là ước nguyên tố lớn nhất của ( )Gπ và .N p= Giả sử N pα= và p không là ước nguyên tố lớn nhất của ( ).Gπ Gọi q là ước nguyên tố lớn nhất của ( )Gπ và Q là q-nhóm con Sylow của G. Vì G N là nhóm siêu giải được, QN G N N . Suy ra .QN G Gọi P là một p-nhóm con Sylow của G. QP QNP= là nhóm con của G. Nếu QP G≠ thì QP thỏa mãn các giả thiết của G nên theo cách chọn G ta có QP là nhóm siêu giải được. Do đó Q QP và khi đó .QN Q N= × Suy ra ( ) ,GQ C N N≤ = vô lý. Giả sử QP G= . Nếu ( )N P≤ Φ thì do (2) và ( )PΦ là tập tất cả các phần tử không sinh của P ta có ( ) .P P NM N P M P M= = =   Suy ra ,N P M≤ ≤ vô lý. Do đó tồn tại nhóm con tối đại P1 của P sao cho 1.N P≤/ Vì P1 là nhóm con c-chuẩn tắc trong G nên tồn tại nhóm con chuẩn tắc K của G sao cho 1G PK= và ( ) ( )1 1 .GP K P F G N≤ ≤ = Nếu ( )1 1GP ≠ thì ( )1 1,GN P P= ≤ vô lý. Do đó 1 1.P K = Mặt khác, K p Q= và p q< . Ta có K có p-phần bù chuẩn tắc Q. Suy ra Q G . Điều này mâu thuẫn với (2). Vậy p là ước nguyên tố lớn nhất của ( ).Gπ Vì G N là nhóm siêu giải được nên .GP N N Do đó .P G Từ (2) ta có ( ).pN P Syl G= ∈ Gọi N1 là nhóm con tối đại của N. Khi đó N1 là nhóm con c-chuẩn tắc của G. Do đó tồn tại nhóm con chuẩn tắc K của G sao cho 1G N K= và ( )1 1 .GN K N≤ Do tính duy nhất của N ta có .N K≤ Suy ra 1 1 .N N K=  Do đó ( )1 1 GN N= là nhóm con chuẩn tắc của G. Do tính tối tiểu của N nên 1 1.N = Vậy N chỉ có hai nhóm con tầm thường là 1 và chính nó nên .N p= Vậy G N là nhóm siêu giải được và N là nhóm có cấp nguyên tố. Do đó G là nhóm siêu giải được. Điều này mâu thuẫn với cách chọn G. Nói cách khác, không tồn tại phản ví dụ. Vậy định lý trên đúng. 52 KẾT LUẬN Các kết quả chính của luận văn: 1. Trình bày khái niệm và tính chất cơ bản của nhóm con c-chuẩn tắc. 2. Đưa ra một số điều kiện giải được và p-giải được. 3. Tổng quát định lý của Srinivasan bằng cách thay thế điều kiện chuẩn tắc bằng điều kiện c-chuẩn tắc. Nhóm con c-chuẩn tắc có khá nhiều ứng dụng trong việc nghiên cứu cấu trúc nhóm hữu hạn. Luận văn đã đưa ra một vài tính chất tương tự nhóm con chuẩn tắc cho nhóm con c- chuẩn tắc của một nhóm hữu hạn. Đồng thời, nghiên cứu các tính chất của nhóm con c- chuẩn tắc liên quan với nhóm giải được và nhóm siêu giải được. Trong quá trình thực hiện luận văn, mặc dù bản thân đã có nhiều cố gắng nhưng sẽ không tránh khỏi những sai lầm thiếu sót. Kính mong quý thầy cô tận tình góp ý để tôi có thể chỉnh sửa cho luận văn của mình hoàn chỉnh hơn. Xin chân thành cảm ơn quý thầy cô. 53 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt 1. Bùi Xuân Hải (Chủ biên), Trịnh Thanh Đèo (2002), Đại số hiện đại, Nxb Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh. Tiếng Anh 2. Baer R. (1957), “Classes of finite groups and their properties”, Illinois J. Math., (1), pp.115-187. 3. Ballester A.-Boliches (1990), “On the normal index of maximal subgroups in finite groups”, J. Pure Appl. Algebra, (64), pp.113-118. 4. Bhattacharya P. and Mukherjee N. (1988), “The normal index of a finite group”, Pacific J. Math., (132), No.1, pp.143-149. 5. Deskins W. E. (1959), “On maximal subgroups”, Proc. Symp. Pure Math., (1), pp.100- 104. 6. D. Gorenstein (1980), Finite Groups, Chelsea, NewYork. 7. Robinson Derek J.S., A Course in the Theory of Groups, (2nd edition), Springer – Verlag, New York. 8. Rose R. (1977), “On finite insolvable groups with nilpotent maximal subgroups”, J. Algebra (48) , pp.182-196. 9. Wang Y. (1996), “C-Normality of Groups and Its Properties”, J. Algebra (180), pp. 954- 965.