Luận văn Phương pháp biến phân trong không gian có thứ tự

C= Φ được định nghĩa [ ]{: : 0,1D C Cσ= × → liên tục | ( )0,. Iσ = và ánh xạ ( )( ),t t uσ→Φ không tăng với mọi }u C∈ , được gọi là Φ −họ trên C . Dễ dàng chứng tỏ rằng: nếu ˆ, Dσ σ ∈ thì ánh xạ ˆ*σ σ xác định bởi ( ) [ ] ( )( ) [ ] ˆ 2 , 0;1 2 ˆ* ˆ2 1, 1, 1 2;1 t u t t u t σ σ σ σ σ ∈ =  − ∈ là thuộc D . Do đó “*” xác định một ánh xạ từ D D D× → . Ta có bổ đề sau về tính chất của Φ − họ (chứng minh được cho trong [5]). 8 Bổ đề 1.1.1 Cho H là không gian Hilbert thực, C U∅ ≠ ⊂ , C đóng và lồi, U mở. Giả sử ( )1 ,C UΦ∈  thỏa ( )CPS và gradient ∇Φ có thể được phân tích I K∇Φ = − , KC C⊂ . Khi đó Φ − họ trên C , ( ),D D C= Φ , có tính chất sau: với mọi số thực 0, 0d ε∈ > , và lân cận tương đối W C⊂ của ( ), ,Cr C dΦ thì tồn tại ( ]00,ε ε∈ và một ánh xạ Dσ ∈ sao cho { } ( )( )( )\1 d dC W Cε εσ + −× Φ ∩ ⊂Φ ∩ . Lưu ý 1.1.1 Nếu [ ] ( ) , , , e c d Cr C e ∈ Φ =∅ và giả thiết của bổ đề 1.1.1 đúng thì tồn tại ( ),D Cσ ∈ Φ sao cho { } ( )( )1 d cC Cσ × Φ ∩ ⊂Φ ∩ . Chứng minh Thật vậy, do [ ],c d compact nên tồn tại 1 2, ...i kd c d d d d≤ < < < ≤ và 0iε > , 1,...,i k= , sao cho [ ]( ) 1,...,,i i i i i kd dε ε =− + phủ [ ],c d và i Dσ ∈ (áp dụng bổ đề 1.1.1 trước rồi sử dụng tính compact của [ ],c d ) thỏa { } ( )( )1 i i i id di C Cε εσ + −× Φ ∩ ⊂Φ ∩ . Đặt ( )( )( )1 2 3: ... ...* * * * kσ σ σ σ σ= , thì σ thỏa { } ( )( )1 d cC Cσ × Φ ∩ ⊂Φ ∩ .  Sử dụng bổ đề 1.1.1 ta có kết quả tồn tại đầu tiên của điểm tới hạn. 9 Mệnh đề 1.1.1 Cho H là không gian Hilbert thực, C U∅ ≠ ⊂ , C đóng và lồi, U mở. Giả sử ( )1 ,C UΦ∈  thỏa ( )CPS và gradient ∇Φ có thể được phân tích I K∇Φ = − , KC C⊂ , và |CΦ bị chặn dưới. Khi đó ( ), , ddCr C d C∅ ≠ Φ =Φ ∩ , trong đó ( )infd C= Φ . Chứng minh  Giả sử ( ): , ,Cr Cr C d= Φ =∅ . Khi đó tồn tại 0ε > (do bổ đề 1.1.1) và ( ): ,D D Cσ ∈ = Φ với { } ( )( )1 d dC Cε εσ + −× Φ ∩ ⊂Φ ∩ , điều này vô lý vì d Cε+Φ ∩ ≠∅ và d Cε−Φ ∩ =∅ (do ( )infd C= Φ ). Do đó dd C CrΦ ∩ ⊃ ≠∅ ( d dCr C⊂Φ ∩ là hiển nhiên).  Để chứng tỏ bao hàm thức ngược lại, ta giả sử rằng tồn tại ( ) \ddu C Cr∈ Φ ∩ . Khi đó, vì H là không gian Hilbert nên là không gian tách, suy ra tồn tại một lân cận tương đối W C⊂ của Cr sao cho u W∉ . Theo bổ đề 1.1.1, tồn tại Dσ ∈ và 0ε > mà ( )1, du Cεσ −∈Φ ∩ =∅ , điều này lại vô lý.  Cho đến giờ chúng ta đã không sử dụng cấu trúc thứ tự. Bây giờ ta giới thiệu khái niệm này. 10 Cho X là tập khác rỗng. Một thứ tự trong X, kí hiệu là “≤”, là một quan hệ trong X mà có tính chất phản xạ, phản đối xứng, bắc cầu. Cặp ( ),X ≤ được gọi là một tập có thứ tự. Với mọi ,x y X∈ , tập [ ] { }, : :x y z X x z y= ∈ ≤ ≤ được gọi là khoảng thứ tự giữa x và y . Nếu X là không gian tuyến tính thực, một thứ tự tương thích với cấu trúc tuyến tính, tức là thỏa mãn i. ,x y x z y z z X≤ ⇒ + ≤ + ∀ ∈ , ii. [ [, 0,x y x yα α α +≤ ⇒ ≤ ∀ ∈ = ∞ , được gọi là một thứ tự tuyến tính. Cặp ( ),X ≤ được gọi là không gian vectơ có thứ tự (viết tắt là OVS). Xét một OVS X và một tập { }: : 0P x X x= ∈ ≤ . Tập P có những tính chất sau 1C . P P P+ ⊂ , 2C . P P+ ⊂ , 3C . ( ) { }0P P∩ − = . Một tập con khác rỗng P của một không gian vectơ thực thỏa mãn các tính chất 1 3C C− được gọi là một nón. Ta có nhận xét i. Mỗi nón là tập lồi. ii. Với một nón P trong không gian vectơ thực X, ta có thể xác định một thứ tự tuyến tính bởi x y y x P≤ ⇔ − ∈ , mà được gọi là thứ tự cảm sinh bởi nón P . Ta viết :x y y x> ⇔ ≤ và y x≠ . ( ): intx y x y P⇔ − ∈ 11 Tập { } { }\ 0 | 0P x X x= ∈ > được gọi là nón dương. Khi ( ), .X X= là không gian Banach được sắp thứ tự bởi một nón P, thì X sẽ là một không gian Banach có thứ tự ( viết tắt là OBS) nếu thứ tự cảm sinh bởi P là tương thích với cấu trúc tuyến tính của X và với tôpô của nó; tức là, " "≤ là thứ tự tuyến tính và nón P là đóng. Một nón được gọi là toàn phần (total) nếu X P P= − và được gọi là nón sinh nếu X P P= − . Một toán tử :T U X X⊂ → được gọi là bảo toàn thứ tự (hoặc tăng) nếu x y Tx Ty≤ ⇒ ≤ , được gọi là bảo toàn thứ tự ngặt (hoặc tăng ngặt) nếu x y Tx Ty> ⇒ > , và được gọi là bảo toàn thứ tự mạnh (hoặc tăng ngặt) nếu x y Tx Ty≤ ⇒  , tức là intTy Tx P− ∈ . Với kết quả chính trong phần này thì Mệnh đề 1.1.2 là hữu ích. Mệnh đề 1.1.2 Cho ( ),H P là không gian Hilbert thực có thứ tự, U H∅ ≠ ⊂ , U mở, và ( )1 ,C UΦ∈  và gradient ∇Φ có thể được phân tích I K∇Φ = − , trong đó K compact và bảo toàn thứ tự. Hơn nữa, giả sử 0u U∈ là một điểm tới hạn của Φ . Khi đó với mọi 0ε > mà { }0: |B u H u u Uε ε= ∈ − ≤ ⊂ thì tồn tại 0u u + ≥ , 0u u − ≤ , u Bε± ∈ và λ± +∈ sao cho ( ) ( )0' 0u u uλ± ± ±Φ + − = 12 { }( ) ( )0inf |B u H u u uε +Φ ∩ ∈ ≥ = Φ { }( ) ( )0inf |B u H u u uε −Φ ∩ ∈ ≤ = Φ . Chứng minh Ta có thể giả sử 0 0u = và chỉ xét trường hợp u + . Từ giả thiết suy ra Φ là nửa liên tục dưới yếu theo dãy. Suy ra tồn tại u B Pε+ ∈ ∩ thỏa ( ) ( )infu B Pε+Φ = Φ ∩ (1.1.1) Nếu 0u+ = ta có đpcm. Do đó ta có thể giả sử 0u+ > và đặt : 0uρ += > (vì 0u+ ≠ ). Đặt ( ) ( )( )( )2: ' ' ,w u u u uρ+ + + − += − Φ − Φ ( ( ), 0w u+⇒ = ) Tồn tại ˆ 0ρ > thỏa 0u tw+ + ≠ và ( )( )( )2' , 1 1 0t u u ρ+ + −Φ − + ≥ [ ]ˆ0;t ρ∀ ∈ (chọn ˆ u w ρ + đủ nhỏ). Vì ' I KΦ = − nên ( )( )( )( )21 1 ' , 0u tw t u u u tKuρ+ + − + ++ = − − Φ + > [ ]ˆ0;t ρ∀ ∈ . Đặt ( ) ( )1a t u tw u twρ−+ += + + ⇒ [ ]( )1 ˆ0; ,a C Hρ∈ và ( )a t P Bε∈ ∩ . Ta dễ dàng tính được rằng ( )( ) 2 0 0 t d a t w dt = Φ = − ≤ . (do ( ), 0w u+ = ) 13 Mặt khác vì ( )( )t a t→Φ là khả vi liên tục và do ( ) ( )infu B Pε+Φ = Φ ∩ nên ( ) ( )( ) ( )( )0u a a t+Φ = Φ ≤ Φ [ ]ˆ0;t ρ∀ ∈ ⇒ ( )( ) 0 0 t d a t dt = Φ ≥ . Do đó 0w = . Suy ra ( )' 0u uλ+ + +Φ + = (với λ+ = ( )( ) 2' ,u u ρ+ −− Φ ) (1.1.2) Do u+ thỏa ( ) ( )infu B Pε+Φ = Φ ∩ và B Pε ∩ lồi, suy ra ( )( )' , 0u u u+ +Φ − ≥ , u B Pε∀ ∈ ∩ (1.1.3) Cho 0u = và do (1.1.2), (1.1.3) ta đạt được ( )( ) 20 ' ,u u uλ λ ρ+ + + + += Φ + ≤ ( ( )2 ,u u u+ + += ). Vì 0ρ > ta suy ra 0λ+ ≥ .  (hoặc cho 0u = ⇒ ( )( )' , 0u u+ +Φ − ≥ ⇒ 0λ+ ≥ do 0ρ > ) Trước khi ta đưa ra một sự phân loại các điểm tới hạn, ta giới thiệu khái niệm E-chính quy cho một toán tử :T H U H⊃ → . Cho E, F là các không gian Banach thực. Nếu E F⊂ và ánh xạ :E F u u→ → là liên tục thì ta viết E F. 14 Định nghĩa 1.1.1 Ta gọi một toán tử :T H U H⊃ → là E-chính quy nếu tồn tại một dãy hữu hạn ( ) 0... 1i i nE = + các không gian Banach thực thỏa mãn (i) 0E E= 1E nE 1nE H+ = . (ii) Toán tử T cảm sinh những toán tử liên tục ( )1,i i iT C U E −∈ , với 1... 1i n= + , trong đó :i iU E U= ∩ được trang bị iE − tôpô. Ta có bổ đề sau Bổ đề 1.1.2 Cho :T H U H⊃ → là E-chính quy. Giả sử ( )ku U⊂ , ( )kv E⊂ , ( )kw E⊂ và ( ) [ )1;kλ ⊂ +∞ là các dãy, và 0w E∈ , 0v E∈ , 0u U E∈ ∩ sao cho ( )k k k k kTu w u vλ+ = − , và 0ku u→ trong H, 0kv v→ trong E, 0kw w→ trong E. Khi đó ( )ku E U⊂ ∩ và 0ku u→ trong E. Chứng minh Ta chỉ cần chứng minh ( )ku E U⊂ ∩ . Vì ( )k k k k kTu w u vλ+ = − nên ( ) 1 k k k k k u v Tu w λ = + + . Vì 0kv v→ trong E, 0kw w→ trong E nên 0kv v→ trong iE , 0kw w→ trong iE , với mọi 0... 1i n= + . Vì 0ku u→ trong 1nH E += , và ( )1,i i iT C U E −∈ nên ta có ( ) ( ) ( )1 0k n kT u T u T u+= → trong nE . 15 Suy ra ( )k nu E⊂ , và do đó 0ku u→ trong nE . Lập luận tương tự, vì 0ku u→ trong nE nên ( ) ( ) ( )0k n kT u T u T u= → trong 1nE − . Suy ra ( ) 1k nu E −⊂ , và do đó 0ku u→ trong 1nE − . Tiếp tục như vậy, ta có ( ) 0ku E E⊂ = và 0ku u→ trong E .  Kết hợp mệnh đề 1.1.2 và bổ đề 1.1.2 mang lại điều có ích sau Hệ quả 1.1.1 Cho giả thiết như trong mệnh đề 2 và giả sử thêm K là E-chính quy với không gian Banach thực E H . Giả sử 0u E U∈ ∩ là điểm tới hạn của Φ và không là cực tiểu địa phương của : |U+ +Φ = Φ , với { }0: |U u U u u+ = ∈ ≥ . ( { }0|u H u u U= ∈ ≥ ∩ ) Khi đó tồn tại một dãy ( )nu U E+⊂ ∩ sao cho ( ) ( )0nu uΦ <Φ n∀ ∈ và 0nu u→ trong E . Kết quả tương tự đúng cho −Φ nếu 0u ko là cực tiểu địa phương của −Φ . Chứng minh Do 0u ko là cực tiểu địa phương của +Φ , áp dụng mệnh đề 1.1.2 tồn tại một dãy ( )nu U+⊂ sao cho 10nu u n−− ≤ ( 0nu u→ trong H ) và ( ) ( )( ) ( )0 0inf nn uu B u U u+Φ = Φ ∂ ∩ < Φ ( ) ( )0' 0, 0n n n nu u uλ λΦ + − = ≥ . Đặt : 1n nµ λ= + ( )1≥ , suy ra ( )0 0n n nKu u u uµ− = − ( ( )0' 0uΦ = ). 16 Do điều kiện K là E-chính quy, theo bổ đề 1.1.2 ta được 0nu u→ trong E.  Ta xét điều kiện ( )Φ như sau: ( )Φ ( ),H P là không gian Hilbert thực có thứ tự, U H∅ ≠ ⊂ , U mở, và ( )1 ,C UΦ∈  và gradient ∇Φ có thể được phân tích I K∇Φ = − , trong đó K compact, bảo toàn thứ tự và E -chính quy với không gian Banach thực E H thỏa ( )intE P E∩ ≠∅ . Thế năng b của K là ánh xạ biến mỗi khoảng thứ tự [ ],u v U⊂ thành tập bị chặn và toán tử 0 :K U E E∩ → cảm sinh bởi K là bảo toàn thứ tự mạnh. Chú ý rằng điều kiện ( )Φ suy ra điều kiện ( )[ ],u vPS đúng với mọi khoảng thứ tự trong U. Lưu ý 1.1.2 Cho ( )1 ,C UΦ∈  thỏa điều kiện ( )Φ và giả sử [ ]0: ,C u u U= ⊂ là khoảng thứ tự sao cho KC C⊂ và 0u u> , ( )0' 0uΦ = , u E∈ . Khi đó, nếu 0u là cực tiểu địa phương của |CΦ thì nó là cực tiểu địa phương của |U+Φ . Chứng minh Ta có thể giả sử 0 0u = . Dùng phản chứng, giả sử 0 không là cực tiểu địa phương của |U+Φ . Do hệ quả 1.1.1, tồn tại một dãy ( )nu U E+⊂ ∩ sao cho ( ) ( )0nuΦ <Φ n∀ ∈ và 0nu → trong E (với { }: | 0U u U u+ = ∈ ≥ ). 17 Do 0u > nên tồn tại kn u sao cho [ ]: 0, kn u C u∈ = và ( ) ( )0knuΦ <Φ , mâu thuẫn 0 là cực tiểu địa phương của |CΦ .  Trong phần sau, ta gọi một tập W H⊂ là một E-lân cận của 0u E∈ nếu ( )0 intEu E W∈ ∩ . Bây giờ ta đưa ra một sự phân loại các điểm tới hạn của những hàm thỏa điều kiện ( )Φ . 1.2. Sự tồn tại nghiệm và nhiều nghiệm cho ánh xạ lớp 1C Định nghĩa 1.2.1 Cho ( )1 ,C UΦ∈  thỏa ( )Φ . Giả sử 0u là điểm tới hạn của ( )Φ trong U. Đặt { }0: |U u U u u+ = ∈ ≥ và { }0: |U u U u u− = ∈ ≤ và : |U± ±Φ = Φ . Ta nói rằng 0u thuộc kiểu • I: ⇔ 0u là cực tiểu địa phương của +Φ và −Φ . • 0+ : ⇔ 0u là cực tiểu địa phương của +Φ nhưng không của −Φ . • 0− : ⇔ 0u là cực tiểu địa phương của −Φ nhưng không của +Φ . • X: ⇔ 0u là không là cực tiểu địa phương của +Φ và −Φ và với mọi E- lân cận W của 0u tồn tại một ánh xạ liên tục [ ]: 0,1 ,H W Uγ γ→ ⊂ ∩ , với ( ) ( )00 1uγ γ< < và ( ) ( )0sup uγΦ < Φ , trong đó [ ]( ): 0,1γ γ= . • I− : ⇔ 0u không thuộc các kiểu trên. Ta kí hiệu ( ) { }0 0 : ,0 ,0 , ,t u I X I− +∈Ξ = − là kiểu của điểm tới hạn 0u . Với một tập con 0Ξ ⊂ Ξ , ta đặt ( ) ( ) ( ){ }, , : , , |Cr C d u Cr C d t uΞΦ = ∈ Φ ∈Ξ ( ) ( ) ( ){ }, : , |Cr C u Cr C t uΞΦ = ∈ Φ ∈Ξ . Nếu { }aΞ = với một 0a∈Ξ , ta đặt 18 ( ) ( ), : ,aCr C Cr C ΞΦ = Φ và ( ) ( ), , : , ,aCr C d Cr C d ΞΦ = Φ . Kết quả chính của ta trong phần này là định lý sau Định lý 1.2.1 Cho ( )1 ,C UΦ∈  thỏa ( )Φ . (A) Giả sử u u< là các điểm tới hạn của ( )Φ trong U thỏa [ ]: ,C u u U= ⊂ và ( ),Cr CΦ là hữu hạn. Khi đó (i) Nếu ( ) ( )( ) { } { }, , ,0 , ,0t u t u I X I X− +∈ − × − thì tồn tại ( ), Iw Cr C∈ Φ . (ii) Nếu ( ) ( )( ) { } { }, ,0 ,0t u t u I I+ −∈ × thì tồn tại ( ), Iw Cr C −∈ Φ . (B) Giả sử , 1, 2iu u i< = là những điểm tới hạn của Φ trong U và 1 2,u u không so sánh được. Hơn nữa, giả sử [ ] [ ]1 2: , ,C u u u u U= ∩ ⊂ , ( ),Cr CΦ là hữu hạn và ( ) { }, 0 ,t u I X−∈ − . Khi đó, tồn tại ( ), Iw Cr C∈ Φ . Nếu , 1, 2iu u i> = và ( ) { }, 0 ,t u I X+∈ − thì ta cũng có kết quả tương tự. (C) Giả sử u U∈ là điểm tới hạn của Φ với ( ) { }0 ,t u I+∈ , [ ] { }: , : |C u u H u u U= +∞ = ∈ ≥ ⊂ , và ( ){ } { }, 0, ICr C u+Φ = . Hơn nữa ( ),Cr CΦ là hữu hạn, điều kiện ( )CPS được thỏa mãn và tồn tại e u> thỏa ( ) ( )e uΦ <Φ . Khi đó, tồn tại ( ), Iw Cr C −∈ Φ . 19 Nếu e u< và ( ) { }0 ,t u I−∈ thì ta cũng có kết quả tương tự. (D) Giả sử 1 2,u u là hai điểm tới hạn không so sánh được sao cho ( ) { }0 ,it u I+∈ . Hơn nữa [ ]: ,iiC u U= +∞ ⊂ , 1, 2i = và ( ), iCr CΦ là hữu hạn, điều kiện ( ) iC PS được thỏa mãn. Khi đó, tồn tại các điểm tới hạn 3 4,u u kiểu I− sao cho 1 23 4,u u u u< < , 1u không so sánh được với 4u và 2u không so sánh được với 3u . Để chứng minh định lý 1.2.1 ta cần bổ đề sau Bổ đề 1.2.1 Cho ( )1 ,C UΦ∈  thỏa ( )Φ . (i) Giả sử u w u< < là ba điểm tới hạn trong U sao cho [ ]: ,C u u U= ⊂ , thêm nữa ( ) ( )( ) { } { }, 0 , 0 ,t u t u I I+ −∈ × , ( ),Cr CΦ là hữu hạn, ( ){ } { }0 , 0 ,, ,ICr C u u+ −Φ ⊂ và ( )t w X= . Khi đó tồn tại một ánh xạ liên tục [ ]: 0,1γ → ( )w C• ΦΦ ∩ với ( )0 uγ = , ( )1 uγ = . (ii) Giả sử u là điểm tới hạn của Φ với ( ) { }0 ,t u I+∈ . Hơn nữa giả sử [ ]: ,C u U= +∞ ⊂ , Φ thỏa mãn điều kiện ( )CPS và w u> là điểm tới hạn kiểu X, [ ]( ) { }, ,Cr w wΦ +∞ = và [ ]( ) { }, , ,Cr u w u wΦ = . Khi đó với mọi số thực ( )a w< Φ , tồn tại một ánh xạ liên tục [ ]: 0,1γ → ( )w C• ΦΦ ∩ với ( )0 uγ = , ( )1 aγ ∈Φ . Chứng minh định lý 1.2.1 20 Chứng minh (A) (i) Theo hệ quả 1.1.1 (lưu ý 1.1.2) ta có ( ) ( ) ( ){ }inf min ,C u uΦ < Φ Φ . Áp dụng mệnh đề 1.1.1, tồn tại ( ),w Cr C∈ Φ sao cho ( ) ( )inf C wΦ =Φ . Do đó u w u< < . Do ( )Φ nên , ,u w u E∈ và E Eu w u  . Theo hệ quả 1.1.1, ta suy ra ( )t w I= . Chứng minh (A) (ii) Do ( ),Cr CΦ là hữu hạn, cho 0 1 2 ... ku u u u u u= < < < < = là một dãy các điểm tới hạn trong C thỏa ( ) { }0 , 0 ,it u I+ −∈ và [ ]1: ,i i iC u u += , 0... 1i k= − , không chứa điểm tới hạn u mà ( ) { }0 , 0 ,t u I+ −∈ và 1i iu u u +< < . (Một dãy như thế có thể được xây dựng một cách quy nạp vì ( ),Cr CΦ là hữu hạn) Ta sẽ chứng minh ( ) ( )( ) { } { }0 0 1, 0 , 0 ,i it u t u I I+ + −∈ × , với một { }0 0,1, ..., 1i k∈ − . Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp đối với k. + với 1k = đúng do giả thiết trên ,u u . + giả sử đúng với n k= . + ta chứng minh đúng với 1n k= + . • nếu ( ) { }0 ,kt u I−∈ ta áp dụng giả thiết quy nạp cho 0 1 2 ... ku u u u u= < < < < và có đpcm. 21 • nếu ( ) 0kt u += , chọn 0i k= . Để đơn giản kí hiệu ta giả sử 0i C C= và 0i u u= , 0 1i u u += . Vì ,u u là cực tiểu địa phương ngặt của |CΦ nên ta chọn được các quả cầu đóng ( )B uε và ( )B uε sao cho ( ) ( )B u B uε ε∩ =∅ , ( ) ( ) ( )( ) { }, \u u u C B u uεΦ < Φ ∀ ∈ ∩ , ( ) ( ) ( )( ) { }, \u u u C B u uεΦ < Φ ∀ ∈ ∩ , ( )( ) ( ): infa B u C uε= Φ ∂ ∩ > Φ , ( )( ) ( ): infa B u C uε= Φ ∂ ∩ > Φ . ( ( ) ( ),a u a u> Φ > Φ xem [4]) Đặt [ ] ( ) ( ){ }: : 0,1 | 0 , 1lieân tuïcC u uγ γ γ∑ = → = = và số thực ( ): inf supd γ γ∈∑= Φ , { }max ,d a a> . Chú ý rằng với mọi ( ): ,D D Cσ ∈ = Φ và mọi γ ∈∑ ta có ( )1, .σ γ ∈∑ (do lý luận ở trên). ▫ Nếu ( ), ,Cr C dΦ =∅ ta tìm được Dσ ∈ và 0ε > sao cho { } ( )( )1 d dC Cε εσ + −× Φ ∩ ⊂Φ ∩ . Tồn tại γ ∈∑ sao cho d Cεγ +⊂ Φ ∩ . Do đó ( )ˆ : 1, .γ σ γ=  thỏa mãn ˆ d Cεγ −⊂ Φ ∩ , mâu thuẫn vì ( )ˆsupd dε γ− ≥ Φ ≥ . ▫ Do đó ( ), ,Cr C dΦ ≠∅ . 22 Vì ( ){ }0 , 0 ,, , ICr C d + −Φ =∅ ta có ( ) ( ){ },, , , , I XCr C d Cr C d −Φ = Φ ≠∅ . Lấy ( ){ },, , I Xw Cr C d −∈ Φ và giả sử ( )t w X= . Do bổ đề 1.2.1, tồn tại γ ∈∑ mà ( ) ( )sup wγΦ < Φ (mâu thuẫn). Do đó ( ) ( ), , , ,ICr C d Cr C d−Φ = Φ ≠∅ . Chứng minh (B) Do ( )Φ , sử dụng hệ quả 1.1.1 ta suy ra ( ) ( )inf C uΦ <Φ . Do mệnh đề 1.1.1 tồn tại ( ),w Cr C∈ Φ mà ( ) ( )inf C wΦ =Φ . Ta suy ra , 1, 2E E iu w u i =  . Áp dụng hệ quả 1.1.1 ta suy ra ( )t w I= . Chứng minh (C) Ta có thể giả sử rằng không tồn tại điểm tới hạn u u> mà ( ) 0t u −= vì trong trường hợp này ta có thể áp dụng (A) (ii). Do đó theo giả thiết ta có ( ) { } ( ){ },, \ , I XCr C u Cr C −Φ = Φ . Đặt [ ] ( ) ( )( ) ( ){ }: : 0,1 | 0 , 1lieân tuïcC u uγ γ γ∑ = → = Φ <Φ . Do giả thiết suy ra ∑ ≠∅ . Đặt ( ): inf supd γ γ∈∑= Φ , ta có ( )d u> Φ vì u là cực tiểu cô lập của |CΦ , xem [4]). Như trong (A) (ii) ta có ( ), ,Cr C dΦ ≠∅ . Vì ( ), ,u Cr C d∉ Φ ta suy ra ( ){ } ( ),, , , ,I XCr C d Cr C d−Φ = Φ ≠∅ . 23 Ta sẽ chứng tỏ ( ) ( ){ },, , , ,I I XCr C d Cr C d− −Φ = Φ . Dùng phản chứng, giả sử tồn tại ( ), ,w Cr C d∈ Φ mà ( )t w X= . Xét [ ]( )1 : , ,A Cr u w= Φ và [ ]( )2 : , ,A Cr w= Φ +∞ . Nếu { }1 ,A u w≠ ta tìm một điểm tới hạn ,v u v w< < . Do giả thiết ta có ( ) { }0 , ,t v X I−∈ − . Vì ( )t w X= , áp dụng (A) (i) ta tìm một điểm tới hạn u kiểu I với v u w< < , mâu thuẫn vì ( ){ } { }, 0, ICr C u+Φ = . Do đó { }1 ,A u w= . Tương tự ta có thể chứng tỏ { }2A w= . Áp dụng bổ đề 1.2.1 (ii) ta tìm được γ ∈∑ sao cho ( ) ( )sup w dγΦ < Φ = (mâu thuẫn). Chứng minh (D) Đặt 1 2C C C= ∩ . Xét hai trường hợp  Trường hợp 1: ( ),Cr CΦ ≠∅ . Suy ra tồn tại một điểm tới hạn ( ),u Cr C∈ Φ . Vì ( ),Cr CΦ là hữu hạn ta tìm được một điểm tới hạn * *,u C u u∈ ≤  sao cho với mọi ( ),u Cr C∈ Φ mà *u u≤ *u u⇒ = . Đặt * * * *1 2, , ,C u u u u C   = ∩ ≠∅    , theo mệnh đề 1.1.1 ta tìm được ( )*,u Cr C∈ Φ sao cho ( ) ( )*infu CΦ = Φ . Do đó *u u= (do cách xác định của *u ở trên). Áp dụng hệ quả 1.1.1, ta suy ra ( ) { }* 0 ,t u I−∈ . Do (A) (ii) ta tìm được trong *1,u u   và * 2 ,u u   các điểm tới hạn 24 ( )*2 , , , 1, 2ii Iu Cr u u i+ − ∈ Φ =  . Ta thấy 3 4,u u có tính chất như mong muốn, vì nếu giả sử 2u so sánh được với 3u thì * 3u C∈ , và do đó * 3u u= , mâu thuẫn vì ( ) { }* 0 ,t u I−∈ và ( )3t u I= − .  Trường hợp 2: ( ),Cr CΦ =∅ . Do ( ), iCr CΦ , 1, 2i = , là hữu hạn nên ta luôn tìm được * 11u u≥ và * 22u u≥ sao cho ( ) { }* , 0it u I +∈ và ( ) { }0 ,t v I+∉ với mọi ( ) ( )1 2, ,v Cr C Cr C∈ Φ ∪ Φ , *iv u≥ (với 1i = hoặc 2i = ). Đặt * *: ,i iC u = + ∞  . Ta có ( )* *1 2inf C CΦ ∩ = −∞ vì nếu không, theo mệnh đề 1.1.1, sẽ tồn tại một điểm tới hạn iv u> , 1, 2i = , ( ) { }0 ,t v I+∈ (mâu thuẫn). Do đó, tồn tại *ie u> , ( ) ( )*ie uΦ <Φ , 1, 2i = . Áp dụng (C) cho *1C và * 2C ta có các điểm tới hạn 3 4,u u như mong muốn ( *1u không so sánh được với 4u , * 2u không so sánh được với 3u vì ( ),Cr CΦ =∅ ).  Chứng minh bổ đề 1.2.1 Ta chỉ cần chứng minh (ii) vì (i) và (ii) là tương tự. Do ( )Φ ta có Eu w , cộng với ( )t w X= ta tìm được , , ,w w v v− + − + trong E và [ ]ˆ : 0,1 Cγ → liên tục sao cho ( ) ( )ˆsup wγΦ < Φ , và 25 ( ) ( )ˆ ˆ0 1E E Eu v w w w vγ γ− − + +≤ ≤ ≤ ≤   . Sử dụng mệnh đề 1.1.2 và ( )Φ ta tìm được ,u u+ − trong E và 0λ± > sao cho ( ) ( )' 0u u wλ±± ±Φ + − = , w u w u w− − + +≤ < < ≤ . Ở đây ta đã sử dụng w là điểm tới hạn cô lập ( 0λ±⇒ > nếu u w± − là nhỏ). Từ đây suy ra Ku u− − . Do đó [ ]: ,C u+ += + ∞ và [ ]: ,C u u− −= là bất biến đối với K . Hơn nữa do giả thiết ta có ( ),Cr C+Φ =∅ và ( ), { }Cr C u−Φ = . Hơn nữa ( )ˆ 0 Cγ −∈ và ( )ˆ 1 Cγ +∈ . Ta có [ ]( ) ( )inf ,u w uΦ =Φ , ( ) ( ) [ ] { }, , \u u u u w uΦ <Φ ∀ ∈ , và ( )inf C+Φ = −∞ . Đặt [ ]: 0,1 Cγ − −→ là ánh xạ liên tục sao cho ( )0 uγ − = và ( ) ( )ˆ1 0γ γ− = . Với ( ): supc γ −= Φ và một số được chọn bất kì ( ) ( ){ }( )' , min ,c u w c∈ Φ Φ , ta tìm được ( ),D Cσ −∈ Φ (lưu ý 1.1.1) sao cho { } ( )( ) '1 c cC Cσ − −× Φ ∩ ⊂Φ ∩ . 26 Đặt [ ]: 0,1 Cγ −→ xác định bởi ( ) ( )( ) ( )( ) 11, 2 0, 2 : 12 2 , 1 ,1 2 t t t t t σ γ γ σ γ − −   ∈   =   − ∈    . Dễ thấy ( ) ( ) ( ) ( )ˆ0 , 1 1 0uγ γ γ γ−= = = , và ( ) ( )sup wγΦ < Φ . Tương tự ta xây dựng [ ]: 0,1 Cγ +→ với ( ) ( ) ( )( )ˆ0 1 , 1 aγ γ γ= Φ < , và ( ) ( )sup wγΦ < Φ . Cuối cùng ta xác định [ ]: 0,1 Cγ → bởi ( ) ( ) ( ) ( ) 13 0, 3 1 2ˆ: 3 1 , 3 3 23 2 ,1 3 t t t t t t t γ γ γ γ   ∈      = − ∈      − ∈    . γ có các tính chất như mong muốn.  Định lý 1.2.2 Cho ( )1 ,C UΦ∈  thỏa ( )Φ . Giả sử u u< là các điểm tới hạn của ( )Φ trong U thỏa ( ) ( )( ) { } { }, ,0 ,0t u t u I I+ −∈ × , [ ]: ,C u u U= ⊂ và ( ),Cr CΦ là hữu hạn. Xét tập :Γ = { ( ) ( ) { }( )2, , , |Iu v Cr C u u u v∈ Φ ∪ < sao cho ( ),w Cr C∀ ∈ Φ , nếuu w v< < ( )t w I⇒ ≠ }. 27 Khi đó, tồn tại một đơn ánh ( ): , ICr C −Θ Γ→ Φ sao cho ( ),u u v v< Θ < với mọi ( ),u v ∈Γ . Hơn nữa với ( ): , Iq Cr C −= = Φ và ( ) { }( ): , ,Ip Cr C u u= = Φ ∪ ta có 1q p≥ =Γ ≥ − và do đó ( ), 2 1Cr C p= Φ ≥ − . Nếu 1q p= − ta có 1 1 2 2 1... p pu v u v v u−< < < < < < , trong đó ( ) { } { }1 2, , ... pICr C u u u u uΦ ∪ = < < < và ( ) { }1 2 1, ... pICr C v v v −−Φ = < < < . Chứng minh định lý 1.2.2 Lấy ( ),u v ∈Γ , theo định lý 1.2.1 (A) (ii) tồn tại một điểm tới hạn w mà ( )t w I= − và u w v< < . Xét ánh xạ ( ): , ICr C −Θ Γ→ Φ định bởi ( ), :u v wΘ = . ∴ Ta sẽ chứng tỏ Θ là đơn ánh. Giả sử ( ) ( ), ', 'u v u v wΘ = Θ = , và giả sử 'v v≠ . * Nếu 'v v< ta có ' 'u w v v< < < vì ( ),u v và ( )', 'u v trong Γ . Suy ra ( ) ( ) u v u t v I t v I  < < ⇒ =  ≠ , mâu thuẫn. * Tương tự nếu 'v v< ta có 'u w v v< < < vì ( ),u v và ( )', 'u v trong Γ . Suy ra ii ⇒ ( ) ( ) ' ' ' u v u t v I t v I  < < ⇒ =  ≠ , mâu thuẫn. Do đó, v và 'v là không so sánh được. 28 Theo định lý 1.2.1 (B) ta tìm được một điểm tới hạn wˆ với ( )ˆt w I= sao cho ˆw w v< < và ˆ 'w w v< < . Điều này dẫn đến mâu thuẫn ˆu w v< < và ˆ' 'u w v< < (do định nghĩa của tập Γ ). Tương tự ta chứng tỏ 'u u= , suy ra Θ là đơn ánh. ∴ Dễ thấy ( ): , Iq Cr C −= = Φ ≥ =Γ  (do Θ là đơn ánh, =Γ hữu hạn). Bây giờ ta tìm khẳng định cho =Γ . Với ( ) { }, ,Iu Cr C u u∈ Φ ∪ xét tập ( ) ( ): { , ' |S u w w w u= ∈Γ = hoặc ' }w u= . Ta có ( ) 1S u= ≥ với { },u u u∈ (do ( ),Cr CΦ là hữu hạn, với u thì luôn tìm được điểm tới hạn kiểu I “gần” u nhất, nếu không tìm được thì chọn u ), và ( ) 2S u= ≥ với mọi ( ) { }, \ ,Iu Cr C u u∈ Φ . Do đó ta suy ra ( ) ( ) { }, , 1 2 Iu Cr C u u S u ∈ Φ ∪ =Γ = =∑  ( )( )1 2 2 2 1 2 p p≥ − + = − và cuối cùng ( ), 1 2 1Cr C p q p p p= Φ ≥ + ≥ + − ≥ − . 29 ∴ Hơn nữa nếu ( ) { }, ,ICr C u uΦ ∪ chứa hai điểm tới hạn không so sánh được, gọi là 1 2,u u , ta dễ dàng kiểm tra ( ) 1S u= = hoặc ( ) 1S u= = , Suy ra có ít nhất một u mà ( ) 3S u= ≥ . Thêm nữa nếu ( ) ( ) 1S u S u= = = =  thì ( ) 3S u= ≥ với ít nhất hai u khác nhau. Nếu ( ) { }, ,ICr C u uΦ ∪ chứa ít nhất hai điểm tới hạn không so sánh được thì ta đạt được p=Γ ≥ (lập luận tương tự như trên). Do đó, từ giả thiết 1q p= − suy ra mâu thuẫn. Vậy ( ) { }, ,ICr C u uΦ ∪ là hoàn toàn được sắp bởi thứ tự được giới thiệu từ ( ),H P .  Những khẳng định sau của ta sử dụng các tính chất của Θ . Mệnh đề 1.2.1 Cho giả thiết của định lý 1.2.2 đúng và cho Γ như trong định lý 1.2.2, và giả sử ( ): , ICr C −Θ Γ→ Φ là ánh xạ mà ( ),u u v v< Θ < với mọi ( ),u v ∈Γ . Khi đó Θ là đơn ánh và với ( ) ( ), , ', 'u v u v ∈Γ , các khẳng định sau là tương đương (i) ( ) ( ), ', 'u v u vΘ < Θ , (ii) 'v u≤ . Chứng minh Chứng minh đơn ánh như trong định lý 1.2.2. 30  Khẳng định (ii) ⇒ (i) là dễ dàng.  Chứng minh (i)⇒ (ii). Nếu ( ) ( ), ', 'u v u vΘ < Θ thì theo định lý 1 (A) (i), tồn tại ( )ˆ ,w Cr C∈ Φ mà ( ) ( )ˆ, ', 'u v w u vΘ < < Θ , ( )ˆt w I= . * Giả sử ˆ',u w không so sánh được, ta có ( ) ( ) ( )( ) ' ', ' ' ˆ ', ' ' ', ' u u v v w u v v t u v I  < Θ <  < Θ <  Θ = − . Sử dụng định lý 1.2.1 (B) ta suy ra ( ) ( )ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ: ' ', ' ', , Iw u w u v v w Cr C∃ < < Θ < ∈ Φ , mâu thuẫn với ( )', 'u v ∈Γ . * Không thể có ˆ'u w< , vì ( ) ( ) ˆ' ', ' ' ˆ u w u v v t w I < < Θ <  = , mâu thuẫn do ( )', 'u v ∈Γ . Do đó ˆ'u w≥ . Tương tự ˆv w≤ . Do đó ˆ 'v w u≤ ≤ .  Hơn nữa ta có Định lý 1.2.3 Cho ( )1 ,C HΦ∈  thỏa ( )Φ và ( )HPS và giả sử ( ),Cr HΦ là hữu hạn. Khi đó ( ) ( ), , 1I ICr H Cr H−= Φ ≥ = Φ −  . 31 Chứng minh Xét hai trường hợp  Trường hợp 1: có hai điểm tới hạn kiểu I mà so sánh được, khi đó theo định lý 1.2.2, ta có đpcm.  Trường hợp 2: không có hai điểm tới hạn kiểu I nào mà so sánh được. Giả sử ( ) { }1 2, , ,..., kICr H u u uΦ = . • Xét k chẵn, tức *2 ,k n n= ∈ . Do không có hai điểm tới hạn kiểu I nào mà so sánh được, nên ta áp dụng định lý 1.2.1 (D) cho mỗi cặp điểm 1u và 2u , 3u và 4u ,, 2 1nu − và 2nu , ta tìm được các điểm tới hạn iv kiểu I− sao cho i iu v< , 1,...,2i n= . Các điểm tới hạn iv này là phân biệt, vì nếu có i jv v= , thì theo định lý 1.2.1 (B), ta tìm được điểm tới hạn w kiểu I sao cho i jv w v  , khi đó w là điểm tới hạn kiểu I mà so sánh được với iu , mâu thuẫn với giả thiết không có hai điểm tới hạn kiểu I nào mà so sánh được. Do các điểm tới hạn iv là phân biệt nên ta có đpcm. • Trường hợp k lẻ được chứng minh tương tự.  1.3. Sự tồn tại nghiệm cho lớp ánh xạ lớp 2C Ta xét điều kiện ( )ΦΦ sau ( )ΦΦ Cho ( ),H P là không gian Hilbert thực có thứ tự, U H∅ ≠ ⊂ , U mở, và ( )2 ,C UΦ∈  và gradient ∇Φ có thể được phân tích I K∇Φ = − , trong đó K compact và bảo toàn thứ tự, và E -chính quy với một không gian Banach thực sao cho ( )intE P E∩ ≠∅ . Toán tử 0 :K U E E∩ → cảm sinh bởi K là bảo toàn thứ tự mạnh và ( )10 ,K C U E E∈ ∩ . Hơn nữa, với mọi 32 v U E∈ ∩ , ( ) ( ) ( )0 0' :K v DK v L E= ∈ là bảo toàn thứ tự mạnh và với mọi u U E∈ ∩ , ( ) ( ) ( )' :K u DK u L H= ∈ là E-chính quy. Thêm nữa thế năng b của K là ánh xạ biến mỗi khoảng thứ tự [ ],u v U⊂ thành tập bị chặn. (Hiển nhiên ta có ( ) ( )0' 'K v h K v h= với mọi v E U∈ ∩ , và mọi h E∈ .) Kết quả chính trong phần này là Định lý 1.3.1 Cho ( )2 ,C UΦ∈  thỏa mãn ( )ΦΦ và giả sử 0u U∈ là một điểm tới hạn cô lập của Φ . Đặt ( )0: deg ', , 0locd u= Φ , ta có (i) ( )0t u I= 1d⇒ = . (ii) ( ) { }0 0 , 0t u + −∈ 0d⇒ = . (iii) ( )0t u I= − 1d⇒ = − . Trước khi chứng minh định lý 1.3.1, ta minh họa cách mà các định lý được nêu cho đến lúc này được sử dụng bởi vài kết quả. Định lý 1.3.2 Cho ( )2 ,C HΦ∈  thỏa mãn ( )ΦΦ . Giả sử 1 2u u< là các điểm tới hạn cô lập của Φ sao cho ( )1t u I= và ( )2t u X= và ( )2: deg ', , 0 0locd u= Φ ≠ . Hơn nữa tồn tại một hằng số 0 0R > sao cho với mọi 0R R≥ thì ( )deg ', , 0 0RBΦ = và điều kiện ( )[ ]1,uPS +∞ đúng cho Φ . Khi đó ( ), 4Cr H= Φ ≥ . Chứng minh Ta xét 2 trường hợp ∴Trường hợp 1 33 Giả sử tồn tại một điểm tới hạn 3 1u u> sao cho ( )3 0t u += . Ta có thể giả sử rằng ( ) { }1 2 3, , ,Cr H u u uΦ = , vì nếu không ta có đpcm. Nếu 3 2u u> ta áp dụng định lý 1.2.1 (A) (i), tìm được một điểm tới hạn 4u kiểu I sao cho 2 4 3u u u< < ⇒đpcm. Do đó ta có hoặc 3 2u u< hoặc 2u và 3u không so sánh được. ∗ Nếu 3 2u u< ta áp dụng định lý 1.2.1 (C), tìm được một điểm tới hạn 4 3u u> , kiểu I− ( 4 2u u≠ )⇒đpcm. ∗ Nếu 2 3,u u không so sánh được, ta xác định [ ] [ ]2 3ˆ : , ,C u u= +∞ ∩ +∞ và một số ( )ˆ ˆ: infd C= Φ . • Nếu dˆ > −∞ ( ˆ|CΦ bị chặn dưới), ta áp dụng mệnh đề 1.1.1 và lưu ý 1.1.2 , tìm được một điểm tới hạn 4 ˆu C∈ kiểu I ⇒đpcm. •Nếu dˆ = −∞ , tồn tại 2e u> sao cho ( ) ( )2e uΦ <Φ . Áp dụng định lý 1.2.1 (C) ta tìm được điểm tới hạn 4 2u u> kiểu I− ⇒đpcm ( ( )1t u I= , ( )CPS thỏa vì ( )[ ]1,uPS +∞ thỏa). ∴ Trường hợp 2 Giả sử ( ) 0t u +≠ với mọi điểm tới hạn 1u u≥ . Áp dụng định lý 1.2.1 (C) ta tìm được một điểm tới hạn 3 1u u> kiểu I− . Một lần nữa giả sử ( ) { }1 2 3, , ,Cr H u u uΦ = . Với 0 1 2 3R R u u u> + + + , do định lý 1.3.1 và tính chất excision và tính cộng tính của lý thuyết bậc ta suy ra ( )0 deg ', , 0 1 1 0RB d d= Φ = − + = ≠ (mâu thuẫn) ⇒ định lý được chứng minh.  34 Định lý 1.3.3 Cho ( )2 ,C HΦ∈  thỏa mãn ( )ΦΦ . Giả sử 0 là một điểm tới hạn cô lập của Φ mà ( )0t X= và ( ): deg ', 0, 0 0locd = Φ ≠ . Hơn nữa Φ là cưỡng bức ( ( )HPS⇒ ). Khi đó ( ), 5Cr H= Φ ≥ . Chứng minh Sử dụng mệnh đề 1.1.1 và lưu ý 1.1.2, ta tìm được ( ), , 1, 2iu Cr H i∈ Φ = , sao cho 1 20u u< < , ( )it u I= . Áp dụng định lý 1.2.1 (A) ( )ii , ta tìm được điểm tới hạn 3u kiểu I− , 1 3 2u u u< < . ( ( ),Cr HΦ hữu hạn vì nếu vô hạn ⇒đpcm) Ta có 3 0u ≠ vì ( )0t X= . Giả sử ( ) { }1 2 3, 0, , ,Cr H u u uΦ = . Theo một kết quả của Amann [4], ta có, với mọi 3 1 i i R u = > ∑ thì ( )deg ', , 0 1RBΦ = . Theo định lý 1.3.1 và tính chất excision và tính cộng tính của lý thuyết bậc ta có ( )1 deg ', , 0 1 1 1 1 RB d d = Φ = + + − = + Mâu thuẫn 0d ≠ .  35 Định lý 1.3.4 Cho ( )2 ,C HΦ∈  thỏa mãn ( )ΦΦ . Giả sử Φ là cưỡng bức và 1 2,u u là hai điểm tới hạn không so sánh được kiểu I. Khi đó ( ), 9Cr H= Φ ≥ . Chứng minh Áp dụng mệnh đề 1.1.1 và lưu ý 1.1.2 cho [ ] [ ]1 2, ,u u−∞ ∩ −∞ và [ ] [ ]1 2, ,u u+∞ ∩ +∞ , ta tìm được các điểm tới hạn 3 4,u u sao cho 3 4 , 1, 2iu u u i< < = và ( ) ( )3 4t u t u I= = . Ta có thể giả sử ( ),Cr HΦ là hữu hạn (⇒ các điểm tới hạn là cô lập). Đặt 3 4: , :u u u u= = và [ ]( ): , , ICr u u −Θ Γ→ Φ là ánh xạ được xác định trong định lý 1.2.2. Ta có 4=Γ ≥ . Suy ra ( ), 4ICr H −= Φ ≥ . Nếu ( ), 4ICr H −= Φ > ta có đpcm vì ( ) ( ) ( ), , , 4 5I ICr H Cr H Cr H −= Φ ≥ = Φ + = Φ ≥ +   . Do đó, ta có thể giả sử ( ) ( ), , 4I ICr H Cr H −= Φ = = Φ =  và ( ) ( ){ },, , I ICr H Cr H −Φ = Φ . Áp dụng một kết quả của Amann [4], ta có với 0R > đủ lớn, sử dụng định lý 1.3.1, ( ) ( ) ( ) 1 deg ', , 0 , , R I I B Cr H Cr H − = Φ = = Φ − = Φ  4 4 0= − = (mâu thuẫn) ⇒ định lý được chứng minh.  36 Khẳng định trên cho số nghiệm là tối ưu. Thật vậy, xét 2H =  với ( ){ }: , | 0, 0P x y H x y= ∈ ≥ ≥ . Xét :ϕ →  là hàm trơn có đúng ba điểm tới hạn 1 2 30x x x< = < sao cho 1 3,x x là cực tiểu địa phương, và 2x là cực đại địa phương. Hơn nữa ( )' 1sϕ ≤ Θ< với mọi s∈ và ( )sϕ → +∞ . Xác định ( ),C H∞Φ∈  bởi ( ) ( ) ( ),x y x yϕ ϕΦ = + . Khi đó Φ có đúng chín điểm tới hạn: bốn điểm kiểu I, bốn kiểu I− , và một kiểu X. Lưu ý rằng Φ thỏa ( )ΦΦ vì ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )' , , , ' , 'x y x y x y x yϕ ϕΦ = − − và ( )' 1sϕ ≤ Θ< . Thêm nữa ( )1 3,x x và ( )3 1,x x là hai cực tiểu địa phương không so sánh được, do đó kiểu I. Vì thế định lý 1.3.4 được áp dụng. Chứng minh của định lý 1.3.1 được dựa trên vài bổ đề. Bổ đề 1.3.1 Cho ( ),H P là không gian Hilbert thực được sắp, và :T H H→ là một toán tử bảo toàn thứ tự, compact và tự liên hợp, là E-chính quy với một không gian Banach thực mà ( )intE P E∩ ≠∅ . 37 Giả sử toán tử cảm sinh ( )0T L E∈ là bảo toàn thứ tự mạnh, trong đó E được trang bị với nón EP P E= ∩ . Khi đó T là một giá trị riêng của T và không gian riêng tương ứng là một chiều và được sinh bởi 1 intE Eu P∈ . Chứng minh Vì T là tự liên hợp nên bán kính phổ là ( ):r r T T= = . Vì 0 0T ≠ (vì 0T bảo toàn thứ tự mạnh) ta suy ra 0T ≠ và do đó 0r > . Xét ( )ˆ : HH cl E= là không gian con tuyến tính đóng của H. Khi đó, T cảm sinh một toán tử compact tự liên hợp ( )ˆ ˆT L H∈ vì ˆ ˆTH H⊂ . Hơn nữa do E EP P E− = nên ˆ ˆ:HP H P= ∩ là toàn phần (total) trong Hˆ . Hiển nhiên ta có ( ) { } ( ) { }ˆ \ 0 \ 0T Tσ σ= do tính E-chính quy và do vậy ( ) ( )ˆr T r T r= = . Theo một kết quả được cho trong [9], hệ quả trang 265, tồn tại 1 ˆu H∈ , 1 0u > sao cho 1 1Tˆu ru= . Do tính E-chính quy nên 1u E∈ và vì toán tử cảm sinh 0T là bảo toàn thứ tự mạnh nên ta suy ra 10 E u (tức 1 0u − ∈ intE EP ). Xét ( ): kerN T rI= − và giả sử tồn tại 1\u N u∈  mà Tu ru= . Lại do T là E-chính quy nên u E∈ và ta tìm được 0δ > sao cho 1: E Ew u u Pδ= + ∈∂ . Lưu ý rằng 0w ≠ và ta có 1 100 E E Er T w r Tw w P − −= = ∈∂ , mâu thuẫn !  38 Dĩ nhiên bổ đề 1.3.1 trực tiếp áp dụng cho ( )'K u với mọi u E U∈ ∩ nếu ( )ΦΦ đúng. Do đó nếu ta kí hiệu ( ) 1...i iλ = là dãy tăng các giá trị riêng của bài toán giá trị riêng tuyến tính ( )" u v vλΦ = , u E U∈ ∩ , với bội tương ứng là im , ta phải có 1 1m = . Thêm nữa không gian riêng được sinh bởi 1 intE Eu P∈ . Bổ đề 1.3.2 Cho H là không gian Hilbert thực nhận phân tích trực giao 1 2H H H= ⊕ , với các phép chiếu trực giao tương ứng :i iP H H→ , và xét 1 1 2 2,U H U H⊂ ⊂ là các tập mở tương đối, khác rỗng, lồi, bị chặn. Giả sử 1 2: :h U U H⊕ → là một ánh xạ dạng I T− , trong đó T là compact, sao cho ( )( )1 20 h U U∉ ∂ ⊕ . T hêm nữa giả sử với mọi 2y U∈ tồn tại duy nhất ( ) 1x y U∈ sao cho ( )( )1 0Ph x y y+ = và hơn nữa ( )1 1 20, ,Ph x y x U y U+ ≠ ∀ ∈∂ ∀ ∈ . Khi đó ánh xạ ( )2 1: :U U y y xβ → → là compact và với 0 2y U∈ bất kì cho trước ta có ( ) ( ) ( )1 2 1 1 2 2deg , , 0 deg , , 0 deg , , 0h U U h U h U⊕ = , trong đó ( ) ( )1 1 1 1 1 0: :h U H h x x PT x y→ = − + , và ( ) ( )2 2 2 2 2: :h U H h y y P T y yβ→ = − + . Chứng minh 39 Vì T là compact và do 1 2,U U bị chặn ta suy ra 2Uβ là tiền compact. Cộng với tính duy nhất của ( )x y ta dễ dàng kiểm tra tính liên tục của β . Để tính bậc của ( )1 2', , 0U UΦ ⊕ ta xét một đồng luân [ ] ( )* 1 2: 0, 2h U U H× ⊕ → xác định bởi ( ) ( ) ( )( ) [ ] ( ) ( )( ) ( ) [ ] 1 2* 1 0 2 1 0,1 , : 2 1 1, 2 Ph x y P h t y t x y t h t x y Ph x t y t y P h y y t β β  + + + − + ∈ ⊕ = + − + − + + ∈ , với một 0 2y U∈ cố định bất kì. Do tính lồi của 1 2,U U nên *h định nghĩa như trên là xác định và có dạng Identity + Compact. Ta dễ dàng chứng tỏ rằng [ ] ( )( )* 1 20 0,1h U U∉ ×∂ ⊕ . Do đó theo tính bất biến đồng luân của bậc và lưu ý ( ) ( ) ( )* 1 22,h x y h x h y⊕ = ⊕ , ta có ( ) ( )( ) ( ) ( ) 1 2 * 1 2 1 1 2 2 deg , , 0 deg 2, . , , 0 deg , , 0 deg , , 0 . h U U h U U h U h U ⊕ = ⊕ =  Chứng minh định lý 1.3.1 Chứng minh (iii) Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử 0 0u = và ( )0 0Φ = . Do giả thiết ta có ( )0t I= − . 40 Ta kí hiệu m− , 0m lần lượt là chỉ số Morse âm và zero, tức là m− = tổng các bội của các giá trị riêng 0λ < của ( )" 0Φ và ( )( )0 dim ker " 0m = Φ . Xét { }* 1, 2, 3,...= và { }*: 0= ∪  . Bước 1. ( ) { }( ) ( ){ }0, 1 0,1m m− ∈ × ∪ . Để thấy điều này ta chỉ cần chứng tỏ 1m− ≤ . Thật vậy, nếu 1m− ≤ và ( ) { }0, 1m m− ∉ × , ta phải có 0m− = . Theo bổ đề 1.3.1, 0 1m ≤ . Nếu 0 0m = thì 0 là cực tiểu địa phương của Φ và do vậy ( )0t I= . (mâu thuẫn ( )0t I= − ) Do đó 0 1m = và ta có ( ) ( )0, 0,1m m− = . Ta còn phải chứng minh 1m− ≤ . Dùng phản chứng, giả sử 1m− > . Kí hiệu ( ) *i iλ ∈ là dãy tăng các giá trị riêng của ( )" 0Φ , với bội tương ứng ( )i im m λ= . Đặt ( )' 0T K= . Do giả thiết ( )ΦΦ ta tìm được vectơ riêng dương 1 0 Eu  , 1 1u = , với bội 1 của T . Vì ( )( ) ( )" 0 1 Tσ σΦ = − ta có 1 1 Tλ = − và 1 1m = . Hơn nữa bởi giả thiết, ta có 1 2 0λ λ< < . Kí hiệu 1H là không gian con ( )21 m+ chiều của H. Lưu ý rằng 1 1u H E⊂ ⊂ . Xét W U⊂ là một E-lân cận bất kì của 0. Ta tìm 0δ > sao cho 41 { }1: |B u H uδ δ= ∈ < thỏa B Wδ ⊂ và ( ) ( )1sup 0 0H BδΦ ∂ < Φ = . Vì 1dim 2H ≥ nên tập 1: HZ Bδ= ∂ là liên thông từng phần. Do vậy tồn tại một ánh xạ liên tục [ ]: 0,1 Z Wγ → ⊂ sao cho ( ) 10 uγ δ= − và ( ) 11 uγ δ= . Do đó ( ) ( )0 0 1γ γ< < và 0γ •⊂ Φ , mâu thuẫn với giả thiết vì W là cho trước bất kì và ( )0t I= − . Do vậy ( ) { }( ) ( ){ }0, 1 0,1m m− ∈ × ∪ . Bước 2. ( ) { }0, 1 1m m d− ∈ × ⇒ = − . Đặt 1 1H u=  và 2 1H H ⊥= , trong đó 1u là một vectơ riêng dương, 1 1u = , tương ứng với giá trị riêng chính 1λ của ( )" 0Φ . Xét W là một E-lân cận của 0, W U⊂ , sao cho không tồn tại ánh xạ liên tục [ ]: 0,1 Wγ → mà ( ) ( )0 0 1γ γ< < và 0γ •⊂ Φ . Theo định lý hàm ẩn ta tìm được các quả cầu mở tương đối i iU H⊂ , 1, 2i = , chứa 0 và ánh xạ 2 1:U Uβ → với ( )1 2 1,C U Uβ ∈ ( )1 2' 0P y y y UβΦ + = ∀ ∈ , ( )1 1 2' 0 ,P x y x U y UΦ + ≠ ∀ ∈∂ ∀ ∈ , ( )( ) ( ]1 1" | ,P z Hσ ρΦ ⊂ −∞ − , 1 2z U U∀ ∈ ⊕ , với 0ρ > cố định. ( )' 0zΦ = với 1 2z U U∈ ⊕ 0z⇒ = . Theo bổ đề 1.3.2, với ( )1 1 1 1 1: :h U H h x x PKx→ = − và 42 ( ) ( )2 2 2 2 2: :h U H h y y P K y yβ→ = − + , ta được ( ) ( )1 2 2 2deg ', , 0 deg , , 0U U h UΦ ⊕ = − vì 1 1|h U là gradient của hàm ( )21 1| ,U C UΦ ∈  và 0x = là cực đại địa phương, 1dim 1H = . Xét ( )* 2 2 ,C UΦ ∈  xác định bởi ( ) ( ) ( ) 1 * supx Uy y y x yβ ∈Φ = Φ + = Φ + . Ta có ( ) ( )* 2' 'y P y yβΦ = Φ + . Để chứng tỏ ( )2 2deg , , 0 1h V = , ta sẽ chứng tỏ 0 là cực tiểu địa phương (theo [4]). Ta sẽ chứng minh bằng phản chứng, giả sử ngược lại. Kí hiệu nB là quả cầu đóng trong 2H của 0 với bán kính 1nε − , với 0ε > nhỏ sao cho *2 ,nB U n⊂ ∀ ∈ . Do giả thiết, ta có ( ) ( ) ( )*inf 0 0 0nBΦ <Φ =Φ = . Vì *Φ là nửa liên tục dưới yếu theo dãy và nB đóng, lồi, bị chặn, ta tìm được n ny B∈ sao cho ( ) ( )* *infn ny BΦ = Φ . Do đó tồn tại 0nλ ≥ sao cho ( )* *' 0,n n ny y nλΦ + = ∀ ∈ . Do đó ta có ( ) ( ) ( )2 20 ' 1n n n n n n n nP y y y y P K y yβ λ λ β= Φ + + = + − + . Lưu ý rằng 2:U Eβ → là liên tục vì ( ) 1im u Eβ ⊂ ⊂ và các tôpô cảm sinh bởi E và H trên 1u là đồng nhất. Hơn nữa 2 i iP E E⊂ với mọi không gian Banach thực iE sao cho và ánh xạ cảm sinh của 2 : i iP E E→ là liên tục. 43 Do đó bởi tính E-chính quy ta dễ dàng kiểm tra được rằng 0ny → trong E khi 0ny → trong H. Ta tìm 0 0δ > sao cho tập [ ]0 0 1 1, u Wδ δ− ⊂ ∩U . Với *N ∈ đủ lớn, do 0ny → trong E và 1 intE Eu P∈ , ta suy ra 0 1 0 1Nu y uδ δ− < < , ( ) [ ]1 1 2 0 0, ,Ny tu W U U t δ δ+ ∈ ∩ ⊕ ∀ ∈ − . Xét đường cong [ ]: 0,1 W Uγ → ∩ bởi ( ) ( ) 0 1: 2 1Nt y t uγ δ= + − . Ta có khẳng định sau ( ) ( ) ( ) ( )* *sup 0 0 0NyγΦ = Φ < Φ = Φ = . Do đó ( )0t I≠ − , mâu thuẫn với giả thiết. Điều này chứng minh rằng 1d = − nếu ( ) { }0, 1m m− ∈ × . Bước 3. ( ) ( )0, 0,1 1m m d− = ⇒ = − . Đặt 2 1H u=  và 1 2H H ⊥= . Theo định lý hàm ẩn, ta tìm được các quả cầu mở chứa 0, i iU H⊂ , sao cho 1 2U U U⊕ ⊂ , ( ) { }1 2, 0Cr U UΦ ⊕ = , và một ánh xạ liên tục 2 1:U Uβ → , ( )12 2| ,U C Uβ ∈  , thỏa ( )1 2' 0,P y y y UβΦ + = ∀ ∈ ( )1 1 2' 0, ,P x y x U y UΦ + ≠ ∀ ∈∂ ∀ ∈ ( )( ) [ )1 1" | ,P z Hσ ρΦ ⊂ +∞ , 1 2z U U∀ ∈ ⊕ , với 0ρ > cố định. Theo bổ đề 1.3.2, với ( )1 1 1 1 1: :h U H h x x PKx→ = − và 44 ( ) ( )2 2 2 2 2: :h U H h y y P K y yβ→ = − + , ta được ( ) ( )1 2 2 2deg ', , 0 deg , , 0U U h UΦ ⊕ = , trong đó ta đã sử dụng 0 là nghiệm duy nhất trong 1U của ( )1 0h x = và là cực tiểu địa phương của hàm ( )21 1| ,U C UΦ ∈  . Lưu ý rằng 2h là ánh xạ giữa các tập 1 chiều. Như trong trường hợp trước 2h là gradient của một ánh xạ 2C ( )* 2 2 ,C UΦ ∈  xác định bởi ( ) ( ) ( ) 1 * inf x Uy y y x yβ ∈Φ = Φ + = Φ + . Do định nghĩa của *Φ có đúng một nghiệm của ( )2 0h y = trong 2U , cụ thể là 0y = . Nếu ta có thể chứng tỏ 0 là cực đại địa phương thì ta có đpcm. Trong trường hợp đó ( )2 2deg , , 0 1h U = − vì 2dim 1H = . Do giả thiết ( )0t I= − , ta tìm được 1 2 1 2,z z U U∈ ⊕ sao cho ( ) 0izΦ < và 1 20z z< < . Với 2 2:i iy P z U= ∈ ta suy ra ( ) ( ) ( )* 1 0i i i iy y P z zΦ ≤Φ + = Φ < . Điều này chứng minh rằng 1d = − nếu ( ) ( )0, 0,1m m− = . Chứng minh (i) và (ii) Đặt 2 1H u=  và 1 2H H ⊥= , trong đó 1u được cho như trong (iii). Do giả thiết và sử dụng lập luận như trong bước 3 (iii), ta tìm được những quả cầu mở tương đối chứa 0, i iU H⊂ , sao cho ( ) { }1 2, 0Cr U UΦ ⊕ = , 1 2U U U⊕ ⊂ , và một ánh xạ liên tục 2 1:U Uβ → , 1|Uβ thuộc lớp 1C , và 45 ( )1 2' 0,P y y y UβΦ + = ∀ ∈ ( )1 1 2' 0, ,P x y x U y UΦ + ≠ ∀ ∈∂ ∀ ∈ ( )( ) [ )1 1" | ,P z Hσ ρΦ ⊂ +∞ , 1 2z U U∀ ∈ ⊕ , với 0ρ > cố định. Lấy đạo hàm ( )1 ' 0P y yβΦ + = theo biến y và tính giá trị tại 0y = ta được ( ) ( )( )1 2" 0 ' 0 0P P βΦ ⊕ = . Vì ( )1 1" 0 |P HΦ là một song ánh và ( ) ( )1 2 1 2" 0 " 0 0P P PPΦ = Φ = nên ta suy ra ( )' 0 0β = . Do tính E-chính quy của K ta có ( )im β là một tập con của E. Hơn nữa do giả thiết của ( )0'K u và ( )'K u ánh xạ 0 2:U Eβ → cảm sinh bởi β là thuộc ( )1 2 ,C U E . Lưu ý rằng ( ) ( )0' 0 ' 0 0β β= = . Ta có ( ) ( ) 1 ' 0 0 :y y y ty ydt y A y yβ β+ = + = +∫ . Vì ( ) 0A y → trong ( )1,L u E khi 0y → và 0 Ey  hoặc 0Ey  , nên nếu 0y ≠ ta tìm được 0 0δ > sao cho [ ]0 0 1 2, u Uδ δ− ⊂ và 00, 0,y y y yβ δ+ ≥ ∀ ≥ < , và 00, 0,y y y yβ δ+ ≤ ∀ ≤ < . Điều này mô tả dáng điệu (behaviour) của ( )* 2 2 ,C UΦ ∈  . Cụ thể trong trường hợp này là ( )0t I= , 0 là cực tiểu địa phương của *Φ , và lập luận tương tự như trong (iii) bước 3, ta có 1d = , và trong trường 46 hợp này ( ) { }0 0 , 0t + −∈ , 0 không là cực tiểu địa phương hay cực đại địa phương của *Φ . Do đó, 2dim 1, 0H d= = . □ 47 Chương 2. ĐỊNH LÝ MOUNTAIN PASS TRONG KHOẢNG THỨ TỰ 2.1. Các kết quả chuẩn bị Cho H là không gian Hilbert và HP H⊂ là một nón lồi đóng. Cho X H⊂ là một không gian Banach mà được nhúng trù mật trong H. Cho HP X P= ∩ và int P ≠∅ . Giả sử rằng mọi khoảng thứ tự đều bị chặn hữu hạn (fintely bounded), và hàm Φ : H →  thỏa các điều kiện sau 1Φ . ( )1 ,C HΦ∈  , thỏa (PS) trong H, và tính chất biến dạng (deformation) trong H, và Φ có hữu hạn điểm tới hạn cô lập. 2Φ . Gradient của Φ có thể được phân tích HI K∇Φ = − , trong đó :HK H H→ là compact, không gian X là ổn định bởi HK , ( )HK X X⊂ , và thu hẹp : | :HK K X X X= → là liên tục và bảo toàn thứ tự mạnh. 3Φ . Φ là bị chặn dưới trên bất kì khoảng thứ tự trong X. Bổ đề 2.1.1 Giả sử Φ thỏa các điều kiện 1 3Φ −Φ và u u≤ là một cặp nghiệm dưới và nghiệm trên của 0∇Φ = trong X. Khi đó tồn tại một trường vectơ giả gradient âm ( ), .tη sao cho [ ],u u là bất biến dương dưới trường vectơ này và ( ), .tη hướng vào trong trong [ ],u u . Hơn nữa, nếu u u≤ là một cặp nghiệm dưới và nghiệm trên ngặt của 0∇Φ = trong X, thì [ ]( )deg , , , 0 1I K u u− = . 48 Chứng minh bổ đề Vì [ ],u u là bị chặn hữu hạn nên bậc Leray-Schauder [ ]( )deg , , , 0I K u u− là xác định. Với bất kì [ ],x u u∈ , ta có ( ) ( ) ( )x x K x K u u−∇Φ = > , (2.1.1) ( ) ( ) ( )x x K x K u u−∇Φ = < . (2.1.2) Vì vậy ( ) [ ]int ,x x u u−∇Φ ∈ . Trong phần còn lại của chứng minh, ta thực hiện như trong các chứng minh cổ điển về sự tồn tại của một trường vectơ giả gradient cho những hàm thuộc 1C . Đặt { }: 0X x X= ∈ ∇Φ ≠ , với bất kì 0x X∈  , tồn tại một , 1w X w∈ = sao cho ( ) ( )0 0 2' , ' 3 x w x−Φ > Φ . Nếu [ ]0 ,x u u∈ , do (2.1.1) , (2.1.2) ta có thể giả sử [ ]0 int ,x w u u+ ∈ . Xét ( )0 3 ' 2 v x w= Φ , thì ( ) ( ) ( ) 0 2 0 0 2 ' ' , ' v x x v x  < Φ  −Φ > Φ . Do sự liên tục của 'Φ , với mỗi 0x tồn tại một lân cận 0xU  của 0x sao cho, với mọi 0x x U∈  , thì ( ) ( ) ( ) 2 2 ' ' , ' v x x v x  < Φ  −Φ > Φ . (2.1.3) 49 Xét [ ] [ ]( ) [ ] , , \ , , \ , x x x U x u u U U X u u x X u u  ∈=  ∩ ∈     . Vì X là khả metric, nên nó là paracompact. Vì vậy, tồn tại một phân hoạch 1, 0C hữu hạn địa phương của hàm đơn vị (unity) ( )α αβ ∈Λ , trong đó Λ là tập chỉ số. Điều này dẫn ta đến phán đoán đối với lượng ( ) ( ).v x x vα α α β ∈Λ = ∑ , (2.1.4) trong đó xv U αα ∈ và thỏa (2.1.3). Ta dễ dàng kiểm tra rằng ( ) 22 'v x Φ . Vì [ ],u u là lồi, do (2.1.4) và định nghĩa của xU , ta có ( ) [ ]int ,x v x u u+ ∈ , với mọi [ ],u u . Bây giờ ta xét trường vectơ giả gradient âm ( ),t uη của Φ trên X xác định bởi ( ) ( )( ) ( ) , , , 0, d t u v t u dt u u η η η  =   = . Ta có [ ],u u là bất biến dương dưới trường vectơ ( ),t uη . Lưu ý là, với cùng trường vectơ giả gradient ( ),t uη , với bất kì nghiệm dưới u và bất kì nghiệm trên u , ta có tính chất ổn định sau (bất biến dương của [ ],u u dưới η ) 50 ( ) ( ) , , , t u P u P t u P u P η η + ⊂ +  + ⊂ + . Vì [ ],u u là bất biến dương dưới trường vectơ ( ),t uη và một kết quả được cho trong [11], ta có [ ]( )deg , , , 0 1I K u u− = .  Từ bổ đề 2.1.1 và tính chất của lý thuyết bậc, ta có hệ quả sau Hệ quả 2.1.1 Nếu u u≤ là một cặp nghiệm dưới và nghiệm trên ngặt của 0∇Φ = trong X, thì ( ){ } [ ]: 0 ,u H u u u∈ ∇Φ = ∩∂ =∅ . 2.2. Định lý Mountain Pass trong khoảng thứ tự Định lý Giả sử Φ thỏa các điều kiện 1 3Φ −Φ và tồn tại bốn điểm trong X sao cho [ ] [ ] 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 , , , , , v v w w v w v v w w <  <  <  ∩ =∅ với 1 1 2 2 1 1 2 2 , , v Kv v Kv w Kw w Kw ≤  >  <  ≥ . Khi đó Φ có một điểm mountain pass [ ] [ ] [ ]( )0 1 2 1 2 1 2, \ , ,u v w v v w w∈ ∪ . Chính xác hơn, với 0v là maximal minimizer của Φ trong [ ]1 2,v v và 0w là minimal minimizer của Φ trong [ ]1 2,w w . Nếu 0 0v w< thì 0 0 0v u w  . Chứng minh định lý 51 Với mỗi khoảng thứ tự bất kì trong X , vì Φ bị chặn dưới và thỏa mãn tính chất deformation nên Φ có ít nhất một cực tiểu địa phương trên mỗi khoảng thứ tự. Gọi 0v là cực tiểu địa phương của Φ trên [ ]1 2,v v và 0w là cực tiểu địa phương của Φ trên [ ]1 2,w w . Đặt ( ) [ ] [ ]( )1 20,1 ; ,t C v wγΓ = ∈ sao cho ( ) [ ]1 2,t v wγ ∈ [ ] [ ]( ) ( ) [ ] ( ) [ ] 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2, , , , 3 3 1 1 1 1, , 0, , , 3 3 3 3 2 2 2 2, , ,1 , , 3 3 3 3 v v w w t t t t v v t t t w w γ η γ γ γ η γ γ   ∪ ∈             = − ∈ ∈∂                     = − ∈ ∈∂               Ta có Γ khác rỗng và là không gian metric đầy đủ với khoảng cách hội tụ đều trong X , ( ) [ ] ( ) ( ) 0,1 , max Xt d x y x t y t ∈ = − . Đặt [ ] ( )( ) 0,1 inf sup t c t γ γ ∈Γ ∈ = Φ , ta sẽ chứng minh c là giá trị tới hạn của Φ . Chính xác hơn, là tồn tại [ ] [ ]0 1 2 1 2, ,cu v w v w∈Κ ∩ ∩ [ ] [ ]( ){ }1 2 1 2, ,v v w w∪ . Ta thực hiện 4 bước chứng minh như sau Bước 1 Với mỗi ( )tγ ∈Γ , ta đặt ( )( ) [ ] ( )( ) 0,1 max t F t tγ γ ∈ = Φ . Khi đó F là ánh xạ Lipschitz địa phương và bị chặn dưới trên Γ . Đặt ( ) [ ] ( )( ) ( )( ) [ ] ( )( ){ }0,10,1 : maxtM s t F s tγ γ γ γ∈= ∈ Φ = = Φ . Bước 2 52 Theo nguyên lý Ekeland, với mọi dãy dương ( ) , 0n nnε ε  , tồn tại một dãy ( )n nγ ⊂ Γ sao cho , với mọi n∈ , ta có ( ) ( ) ( ) ( ) , , , n n n n n n c F c F F d γ ε γ γ ε γ γ γ γ ≤ ≤ +  > − ∀ ≠ . Vì vậy, với mọi γ ∈Γ ta có ( ) ( ) ( ) [ ] 0 0,10 , limsup maxn nn n t F F F h λ γ λγ γ γ ε λ ∈ + − = ≥ −  ( ) X tγ . ( )2.2.1 Bước 3 Từ ( )2.2.1 và mệnh đề 15.11 (chương 15, [2]), tồn tại ( )n nt M γ∈ sao cho ( )( ) , ,n nt u u u Xγ ε∇Φ ≥ − ∀ ∈ ( )( ) , ,n nt u u u Xγ ε⇒ ∇Φ ≤ ∀ ∈ ⇒ ( )( ) 0n ntγ∇Φ → khi n →∞ . Bước 4 Từ định nghĩa của Γ và bổ đề 2.1.1, ta có 0 0 0v u w  . Khi đó, cũng theo bổ đề 2.1.1 và hệ quả 2.1.1, ta có [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) 1 2 1 2 0 0, , inf , inf u v v u w w u v u w ∈∂ ∈∂ Φ > Φ Φ >Φ . Do đó ( ) ( ){ }0 0max ,c v w> Φ Φ . Theo Hofer [3] , 0u là điểm mountain pass.  53 KẾT LUẬN Luận văn đã trình bày các kết quả ban đầu về phương pháp biến phân trong không gian có thứ tự. Trọng tâm của luận văn là trình bày một sự phân loại các điểm tới hạn và chứng minh một số kết quả về sự tồn tại nghiệm và nhiều nghiệm cho ánh xạ lớp 1C , các kết quả tồn tại nghiệm cho lớp ánh xạ lớp 2C , cũng như trình bày một định lý quan trọng của phương pháp biến phân trong không gian có thứ tự là định lý Mountain Pass trong khoảng thứ tự. Phương trình biến phân trong không gian có thứ tự là một hướng nghiên cứu mới, việc nghiên cứu hứa hẹn cho những kết quả mới nhưng do giới hạn phạm vi đề tài và trình độ của tác giả có hạn nên luận văn chỉ trình bày những kết quả ban đầu của lý thuyết này. Tôi hy vọng, nếu có điều kiện sẽ tiếp tục nghiên cứu thêm về nội dung này. Nội dung trình bày của luận văn sẽ không tránh khỏi những thiếu sót, rất mong nhận được sự góp ý và chỉ bảo của quý thầy cô và bạn bè. 54 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1]. H. Hofer, Variational and Topological Methods in Partially Ordered Hilbert spaces, Math Annalen, 261 (1982), 493-514. [2]. Y. Jabri, The Mountain Pass Theorem, Cambridge University Press, 2003. [3]. H. Hofer, A note on the topological degree at a critical point of mountain pass-type. Proc. Am. Math. Soc., 90, no. 2, 309–315 (1984). [4]. H. Amann, A note on degree theory for gradient mappings. Proc. Am. Math. Soc., Volume 85, Number 4, August 1982. [5]. Rabinowitz, P.: Variational methods for nonlinear eigenvalue problems. CIME, pp. 141-195. Verona 1974 Rome: Cremonese 1974. [6]. Giáo trình Giải tích phi tuyến 1, PGS.TS Lê Hoàn Hóa. [7]. Giáo trình Giải tích thực, PGS.TS Nguyễn Bích Huy. [8]. Giáo trình Giải tích phi tuyến 2, PGS.TS Nguyễn Bích Huy. [9]. Schaefer, H.H, Topological vector spaces, Graduate Texts in Mathematics 3. Berlin, Heidelberg, New York : Springer 1980. [10]. K. Deimling, Nonlinear functinonal analysis, Springer – Verlag, New York, 1985. [11]. K. C. Chang, Infinite dimensional Morse theory and its applications. Progress in Nonlinear Differential Equations and their Applications, 6, Birkh¨auser, 1985.