Luận văn Phương pháp lặp cho những điểm bất động của ánh xạ không giãn

nên ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) * * 0 0 * 0 0 1 * 0 0 1 1 1 n n n m n j n j j m m n n j n j j j j G x x G x y G y x G x G x G y x G x G x G y x do λ λ λ = + = = − = − + −  = − + −     = − + − =       ∑ ∑ ∑ Vì vậy, ( ) ( ) ( ) ( ) * 0 0 0 1 2 1 m n n n j j j kG x x G x G x k ελ + = − ≤ − +   + ∑ . Do :G E E→ là tiệm cận đều nên tồn tại một số nguyên 0 0N > sao cho với mọi 0n N≥ thì ( ) ( )0 0 2 n n jG x G x ε+− ≤ , ( )1,2,...,j m= . Vì vậy, ( )*0 0 1 , . 2 2 m n j j G x x n Nε ελ ε =  − < + = ∀ ≥    ∑ Nghĩa là, ( ) ( )* *0 0 0n nG x x G x x− = − → khi n→∞ . 3.2 Các định lý điều kiện đủ để ( )lim 0n nn x f x→∞ − = Tài liệu tham khảo mục này, xem [6]. Định lý 3.7 Cho K là một tập con của không gian định chuẩn X và :f K X→ là một ánh xạ không giãn. Giả sử rằng có một tập A K⊆ sao cho với mỗi 0x A∈ có một dãy chấp nhận được { } 0n nx A ∞ = ⊆ , và giả sử thêm rằng tồn tại 0δ > sao cho với mỗi số nguyên dương N, và một dãy chấp nhận được { } 0n nx A ∞ = ⊆ , 1sup k k k N x x δ+ ≥ − > Khi đó, A không bị chặn. Chứng minh Giả sử A bị chặn và đặt nx ρ≤ , với mọi n. Lấy M là một số nguyên dương cố định thỏa mãn ( )1 2 1M δ ρ− > + . Chọn N, với ( ) ( ){ }1 1ax M, 2 - / 1 MN m M C Cρ δ > −  , ( ở đây [ ]. biểu thị hàm số nguyên lớn nhất) sao cho với mỗi 0δ > và 0x A∈ , dãy chấp nhận được tương ứng trong A thỏa 1N Nx x δ+ − > . Ta có: ( ) ( ) ( ) 1 1n n n n n n n n n n x x C x C f x x C f x x + − = − + − = − ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n n n n n n n n n n n n n C C f x x f x f x C C f x x C f x f x − − − − − − − − = − − + − ≤ − − + − Do f là ánh xạ không giãn nên ta được ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x x C C f x x C x x C C f x x C C x C f x x C C f x x C C f x x C f x x + − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − ≤ − − + − = − −  + − + −  = − − + − = − Mặt khác, do ( )1 1 1 1n n n n nx x C f x x− − − −− = − nên ta nhận được: 1 1 1 1 n n n nn n n n Cx x x x x x C+ − −− − ≤ − ≤ − ( do { } 0n nC ∞ = là dãy không tăng ). Vì vậy, 1 ,iix x i Nδ+ − > ∀ ≤ . Hơn nữa, chúng ta có: ( ) ( ) 1 1 2 1 1 1 ... 2 , 0,1,2,..., N N N N i i i i x x x x x x f x f x x x i N ρδ + − + + − ≤ − ≤ ≤ − ≤ − ≤ − ∀ = < và ( ) ( )1 1 i i i iix C x C f x+ = − + nên ( ) 1 1 , 1,2,...,i ii i i i x Cf x x i N C C +  − = − =    Nghĩa là, ( ){ } ( ){ } ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 11 1i i i i i i i i i i i i x C x x C x C C f x f x x x + − − − − − − − − − − = − ≤ − Hay [ ] [ ] ( )11 1 1 1 1 1 , 1,2,..., 3.9ii i i i i i i i Cx x x x x x i N C C − + − − −  − − − − ≤ − ∀ =    Đặt ( ) ( )1 12 / 1 MI C Cρ δ = − −  Xét sự phân hoạch của I thành các đoạn [ ]1,k ks s + , với ks được xác định như sau: ( )1 11 , 0,1,..., 1 2 , M k k C C k I s k I δ ρ  + − = −=  = Chúng ta khẳng định rằng có những đoạn [ ]1,k ks s + phải chứa ít nhất M của số { } [ ]11 0 ,2 N i i i x x δ ρ − + = − ⊆ . Thật vậy, nếu điều này không xảy ra, khi đó ( )1 1 2 1 M N MI M C C ρ δ − < =   −   , mâu thuẩn với giả thiết về cách chọn N. Vì vậy, với r nào đó, và với [ ],2ks s δ ρ= ∈ , ( ) ( ) ( )1 1 1, 1 , 0,1,..., 1 3.10 M r i r ix x s s C C i M+ + +  − ∈ + − ∀ = −  Định nghĩa 1, 1,2,...,i i ix x x i N−∆ = − = Thay i trong (3.9) bằng ( )1, 0,1,..., 1r M j j M+ − − = − ta được: ( ) ( )2 1 1 1 1 2 11 1 3.11Mr M jr M j r M j r M j r M j C x x s C C C C + − − + − + − − + − − + − −  − ∆ − ∆ ≤ + −     Chọn * *f X∈ ( không gian đối ngẫu của X ) sao cho * 1f = và ( )* r M r Mf x x+ +∆ = ∆ . Từ (3.11) ta có: ( ) ( ) ( ) 2* * 1 1 2 2* 1 1 2 1 1 11 11 1 r M j r M j r M j r M j r M j r M j r M j r M j r M j r M j M C f x f x C C C f x x C C s C C + − − + − + − − + − − + − − + − − + − + − − + − − + − −  − ∆ − ∆      − ≤ ∆ − ∆     ≤ + − Do đó, ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2* * 1 2 1 2 1 1 2 1 1 1 3.12 1 r M j r M j r M j r M j r M j Mr M j r M j C f x f x C C C s C C C + − − + − − + − + − − + − − + − − + − −     ∆ ≥ ∆      −      − + −  −  Vì { } 0i iC ∞ = là dãy không tăng nên với mọi 1i ≥ ta có: ( ) ( )1 111 1iC C − − − ≤ − và ( ) ( )1 11 11 1i iC C C C − − − ≤ − Cho 0j = , sử dụng ( ) ( )* 1 1, 1 M r M r Mf x x s s C C+ +  ∆ = ∆ ∈ + −  và (3.12) ta nhận được: ( ) ( ){ } ( ) ( ) * 2 1 1 1 2 2 12 1 1 1 1 1 1 1 3.13 Mr M r M r M r M M Cf x s s C C C C s C C + − + − + − + − −     ∆ ≥ − + −   − −    ≥ − − Chúng ta sẽ biểu diễn (3.13) dưới dạng sau: ( ) ( ) ( )1* 21 1 1 0 1 11 3.14 1 t j M r M j t f x s C C C − + − − =   ∆ ≥ − −  −  ∑ với 1,2,.., 1j M= − Ta sẽ chứng minh điều trên bằng quy nạp. Với 0j = , khi đó (3.14) trở thành (3.13). Giả sử (3.14) đúng với { }, 1,2,3,..., 2j k k M≤ ∈ − . Ta sẽ chứng minh (3.14) đúng với 1j k= + . Từ (3.12) và giả thiết quy nạp ta có: ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) * * 21 1 *3 1 2 3 3 1 1 3 1 1 1 1 r M kr M k r M k r M k r M k r M k Mr M k r M k f x f x C f x C C C s C C C + − −+ − + − + − − + − − + − − + − − + − − + − − ∆ = ∆     ≥ ∆   −      − + − −  ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 1 03 1 3 1 1 3 1 2 1 1 1 1 1 01 1 1 11 2 1 1 0 1 1 11 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 11 1 t kM tr M k Mr M k r M k t kM M t t kM t s C C C C C s C C C Cs C C C C C C C s C C C − =+ − − + − − + − − − = +− =      ≥ − −    − −        − + − −        ≥ − − − −     − − −        = − −  −  ∑ ∑ ∑ Vậy (3.14) đúng với 1j k= + . Do *f tuyến tính và (3.14), ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 * * * * 1 1 2 1 0 * * 1 2 2 3 * 1 * * * * 1 2 2 3 * * 1 ... .... .... M r M j r M r M r j r M r M r M r M r r r M r M r M r M r r f x f x f x f x f x x f x x f x x f x f x f x f x f x f x − + − − + − + − + = + − + − + − + − + + − + − + − + − + ∆ = ∆ + ∆ + + ∆ = − + − + + + − = − + − + + − ∑ ( ) ( )1 12 21 1 1 1 1 11 1 1 1 M Ms C C s C C C − −   ≥ − − + − − + −  ( ) 2 12 1 1 1 1 1 11 1 ... 1 1 M Ms C C C C − −    + − − + + +   − −   ( ) ( ) 121 1 1 2 1 1 11 1 1 1 ..... 1 1 11 ... 1 1 M M M s C C C C C − −    = − − − + + +  −    + + + +  − −    Đặt 11 Cλ = − , ta được: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2* 1 1 2 2 2 1 2 1 1 11 1 1 ... 1.... 1 11 1 1... 1 1 M r M r M M M M M f x x M s M s M s λλ λ λ λ λ λ λ λλ λ λ λ λ λ λ − + − − − − − − +  − = − − − +     + + +  + +     − −   = − − − +         −  + +     ≥ − − Bất phương trình cuối cùng có được là do: ( ) ( )( ) 2 1 1 2 1 2 1 1 11 ... 1 ... 1 1 M M M M λ λ λλ λ λ λ λ λ λ λ λ λ − − − −  − − −      − + + +              < − + + + ≤ Do s δ≥ nên ( ) ( )1 1 2 1M s M δ ρ− ≥ − > + . Vì vậy ( )* 1r M rf x x ρ+ − − > . Mặt khác, ( ) ( )* * *1 1 1 1 .r M r r M r r M r r M r f x x f x x f x x x x + − + − + − + − − ≤ − ≤ − = − Vì vậy, 1 2r M rx x ρ+ − − > , mâu thuẩn với giả thiết ,nx nρ≤ ∀ . Vậy A không bị chặn.. Định lý 3.8 Cho K là một tập con của không gian tuyến tính định chuẩn X và :f K X→ là ánh xạ không giãn. Giả sử với 0x K∈ tồn tại một dãy chấp nhận được bị chặn { } 0n nx K ∞ = ⊆ . Khi đó, 1lim 0n nn x x+→∞ − = . Hơn nữa, nếu K là tập bị chặn thì giới hạn ở trên là đều. Định lý 3.9 Cho K là một tập con của không gian tuyến tính định chuẩn X và :f K X→ là ánh xạ không giãn, 0x K∈ . Giả sử tồn tại một dãy chấp nhận được bị chặn { } 0n nx K ∞ = ⊆ và một dãy không tăng { } 0n nC ∞ = thỏa mãn 0 1, 1na C n< ≤ < ∀ ≥ . Khi đó ( )lim 0n nn x f x→∞ − = . Chứng minh Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 n n n n n n n n n n n n x f x C x C f x f x C x f x f x f x + + + + − = − + − = − − + − Do :f K X→ là ánh xạ không giãn nên: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 11 1 1 1 n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x f x C x f x x x C x f x x C x C f x C x f x C x f x x f x + + +− ≤ − − + − = − − + − − +   = − − + − = − Vì vậy ( ){ } 0n n n x f x ∞ = − là dãy không tăng và bị chặn dưới nên ( )lim n nn x f x→∞ − tồn tại. Từ ( ) ( )1 1 n n n nnx C x C f x+ = − + , suy ra ( ) 1 1 n n nn n x f x x x C + − = − . Do đó ( ) 1 1 1 1lim lim lim 0n n n n n nn n n n x f x x x x x C a+ +→∞ →∞ →∞ − = − ≤ − = ( Do định lý 3.7 từ dãy chấp nhận được { } 0n nx ∞ = bị chặn ). 3.3 Các định lý về sự hội tụ của dãy lặp về điểm bất động Tài liệu tham khảo mục này, xem [6], [7]. Định lý 3.10 Cho K là một tập con của không gian tuyến tính định chuẩn thực X và :f K X→ là một ánh xạ không giãn. Giả sử với 0x K∈ , dãy chấp nhận được tương ứng { } 0n nx K ∞ = ⊆ có một điểm tụ q K∈ . Khi đó ( )f q q= và nx q→ . Trong trường hợp đặc biệt, nếu miền giá trị của f là một tập con compact của K thì { } 0n nx ∞ = hội tụ mạnh đến điểm bất động của f . Chứng minh Trong Edelstein [7], chúng ta biết rằng q là một điểm tụ của dãy ( ){ }nf q và ( ) ( ) ( )1n nf q f q f q q+ − = − , với mọi n . Vì vậy, nếu ( )i if q x= và 1, 1,2,...i i ix x x i−∆ = − = khi đó 1i ix x+∆ = ∆ , với mọi i . Ta có, ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i x x C x C f x x C f x x C C f x x f x f x C C f x x C f x f x + − − − − − − − − − = − + − = − = − − + − ≤ − − + − Do f là ánh xạ không giãn nên ta được ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i x x C C f x x C x x C C f x x C C x C f x x C C f x x C C f x x C f x x + − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − ≤ − − + − = − −  + − + −  = − − + − = − Mặt khác, do ( )1 1 1 1i i i i ix x C f x x− − − −− = − nên ta nhận được: 1 1 1 1 1 i i i i i ii i i i x xCx x x x x x C+ + − −− ∆ = = ∆− ≤ − ≤ − Vì 1i ix x+∆ = ∆ nên từ bất phương trình trên ta được 1i iC C −= , với mọi i . Từ ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 11 1i i i i i i i i i ix x C x C f x C x C f x+ − − − −− = − + − − − , chúng ta có ( ) ( ) ( ) 1 1 1 i i i i i i i i i i x C x C f x C x C x x +∆ ≤ − ∆ + ∆ ≤ − ∆ + ∆ = ∆ Do 1i ix x+∆ = ∆ nên từ bất phương trình trên ta được ( )i ix f x∆ = ∆ . Bây giờ ta giả sử ( ) 0, 1,2,...i ix f x iβ∆ = ∆ = > = (3.15) Chọn ,K N +∈ đủ lớn. Từ (3.15), cho i N K= + , chúng ta có ( ) 0N K N Kx f x β+ +∆ = ∆ = > (3.16) Lấy * *f X∈ sao cho * 1f = và ( )* N K N Kf x x+ +∆ = ∆ . Khi đó, cho 0,1,2,...j = ta có ( )( ) ( ) ( )* * .N K j N K j N K jf f x f f x f x β+ − + − + −∆ ≤ ∆ = ∆ = . (3.17) Từ ( ) ( )1 1N K j N K j N K j N K j N K jx C x C f x+ − + + − + − + − + −= − + và 1i iC C −= , với mọi i , chúng ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 N K j N K j N K j N K j N K j N K j N K j N K j N K j N K j N K j x x x C x C f x C x C f x + − + + − + + − + − + − + − + − + − − + − − + − − + − − ∆ = − = − +  − − +  ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 1 11 1 (3.18) N K j N K j N K j N K j N K j N K j N K j N K j N K j N K j C x x C f x f x C x C f x + − + − + − − + − + − + − − + − + − + − + − = − − + − = − ∆ + ∆ Tiếp theo, chúng ta sẽ thể hiện rằng ( )* , 0,1,2,...N K jf x iβ+ −∆ ≥ = (3.19) Với 0j = , ta có ( )* N K N Kf x x β+ +∆ = ∆ = , thỏa mãn (3.19). Với 1j = . Từ (3.18) ta có ( )11 1 1 1 1 1 1 N K N K N K N K N K N K Cx x f x C C + − + − + + − + − + − ∆ = ∆ − ∆ − − Do đó, ( ) ( ) ( )( )* * *11 1 1 1 1 1 1 N K N K N K N K N K N K Cf x f x f f x C C + − + − + + − + − + −     ∆ = ∆ − ∆   − −    Theo (3.17) ta được ( )* 11 1 1 1 1 1 N K N K N K N K Cf x C C β β β+ −+ − + − + −     ∆ ≥ − =   − −    Như vậy (3.19) đúng với 1j = . Giả sử (3.19) đúng với 0,1,2,...,j t= . Ta sẽ chứng minh (3.19) đúng với 1j t= + . Theo (3.17), (3.18), và giả thuyết quy nạp ( )* N K tf x β+ −∆ ≥ ta có ( ) ( ) ( )( )* * *11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 N K t N K t N K t N K t N K t N K t N K t N K t N K t Cf x f x f f x C C C C C β β β + − − + − − + − + − − + − − + − − + − − + − − + − −−     ∆ = ∆ − ∆   − −        ≥ − =   − −    Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 * * * * * 1 2 1 0 ... K N K j N K N K N N j f x f x f x f x f x − + − + + − + + = ∆ = ∆ + ∆ + + ∆ + ∆∑ ( ) ( ) ( ) ( ) * * 1 1 2 * * 2 1 1 ...N K N K N K N K N N N N f x x f x x f x x f x x + + − + − + − + + + = − + − + + + − + − Do *f tuyến tính nên ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 * * * * * 1 1 2 0 * * * * 2 1 1 ... K N K j N K N K N K N K j N N N N f x f x f x f x f x f x f x f x f x Kβ − + − + + − + − + − = + + + ∆ = − + + + + − + − ≥ ∑ Vậy ( )*N K N N K Nx x f x x Kβ+ +− ≥ − ≥ (3.20) Từ (3.20), dãy { } 0i ix ∞ = không có dãy con hội tụ, điều này mâu thuẩn với giả thiết { } 0n nx ∞ = có một điểm tới hạn q K∈ . Vì vậy 0β = và ( )f q q= . Ta có ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 n n n n n x q f q f q f f q f q f q f q x q + + − = − = − ≤ − = − Do đó { } 0n nx q ∞ = − là dãy giảm và bị chặn trên nên lim nn x q→∞ − tồn tại. Mặt khác, do tính không giãn của f nên nx q→ khi n→∞ . Nếu miền giá trị của f là một tập compact khi đó { } 0n nx ∞ = là dãy bị chặn. Do đó theo định lý 3.8, ta có 1lim 0n nn x x+→∞ − = . Ta có ( ) ( ) ( )1 1n n n n n n n n nnx x C x C f x x C f x x+  =  − = − + − − Do tiệm cận đều của bất kỳ điểm tới hạn nào của dãy ( ){ }nf x là một điểm tới hạn của { }nx nên { } 0n nx ∞ = hội tụ mạnh về điểm bất động của f . Định lý 3.11 Giả sử X là một không gian tuyến tính định chuẩn thực, C là một tập con lồi, đóng, bị chặn của X và :f C C→ là ánh xạ không giãn. Giả sử một trong hai điều kiện sau được thỏa: i) ánh xạ :f C C→ nửa compact tại 0 ii) I f− là ánh xạ từ một tập đóng, bị chặn của X vào tập con đóng của X. Với 0x C∈ , lấy { } 0n nx C ∞ = ⊆ là một dãy chấp nhận được, { } 0n nC ∞ = là một dãy số thực thỏa mãn 0 1, 1na C b n< ≤ ≤ < ∀ ≥ . Khi đó, { } 0n nx ∞ = hội tụ mạnh đến điểm bất động của f trong C . Chứng minh i) Từ ( ) ( )1 1 n n n nnx C x C f x+ = − + ta được ( ) 1 1 n n n n n x xC x f x +  − = − Do C bị chặn, { } 0n nx ∞ = là dãy bị chặn và { } 1n nC ∞ = là dãy bị chặn bởi 0 nên theo định lý 3.9 ta có ( ){ }n nx f x− hội tụ đến 0 khi n→∞ . Vì f nửa compact tại 0 nên tồn tại dãy con { } 0 n j j x ∞ = và 0x C∈ sao cho 0n jx x→ khi j →∞ và ( )0 0 0x f x− = . Theo định lý 3.10, dãy { } 0n nx ∞ = hội tụ mạnh về 0x C∈ . ii) Nếu q là điểm bất động của f, { } 0n nx q ∞ = − là dãy không tăng. Vì vậy ta chỉ cần thể hiện rằng có một dãy con của { } 0n nx ∞ = hội tụ đến điểm bất động của f. Với 0x C∈ , đặt { }nxK = . Theo định lý 3.9, ( )( ){ }nI f x− hội tụ mạnh về 0 khi n→∞ . Vì vậy, ( )( )0 I f K−∈ . Do K là đóng và bị chặn nên ( )( )I f K− là tập đóng nên ( )( )0 I f K∈ − . Do đó, tồn tại một dãy con { } 0 n j j x ∞ = sao cho jn x Cµ→ ∈ , với µ là điểm sao cho ( ) 0I f µ− = . Vậy nx µ→ . 3.4 Hai định lý hội tụ yếu Tài liệu tham khảo mục này, xem [4], [15]. Định lý 3.12 Cho X là một không gian Opial, K là một tập con lồi compact yếu của X và :f K K→ là một ánh xạ không giãn. Với bất kỳ 0x K∈ , lấy { } 0n nx K ∞ = ⊆ là dãy chấp nhận được tương ứng sao cho có dãy không tăng { } 1n nC ∞ = thỏa 0 1, 1na C n< ≤ < ∀ ≥ . Khi đó { } 0n nx ∞ = hội tụ yếu đến điểm bất động của f . Chứng minh Vì X là không gian Opial nên với mọi dãy { } 0n nx X ∞ = ⊂ hội tụ yếu đến 0x , ta có 0liminf liminfn nn nx x x x→∞ →∞− > − , với mọi 0x x≠ . Lấy { }nx K⊂ là một dãy hội tụ yếu đến 0x K∈ và ( ){ }n nx f x− là dãy hội tụ đến 0y X∈ . Khi đó ta có: ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 liminf liminf liminf n nn n nn x x f x f x x y f x →∞ →∞ →∞ − ≥ − = − − Do X là không gian Opial nên ( )0 0 0x y f x= + . Vậy ( )I f− nửa đóng. Theo định lý 3.9, f là tiệm cận đều. Giả sử ( ) ( ){ }:F f x K f x x φ= ∈ = ≠ . Lấy { } 0 n j j x ∞ = là một dãy con hội tụ yếu của { } 0n nx ∞ = về giới hạn yếu u . Do f là tiệm cận đều nên ( )( )n jI f x− hội tụ mạnh về 0 X∈ . Mặt khác, ( )I f− là nửa đóng nên ( ) 0I f u− = , nghĩa là ( )u F f∈ . Như vậy, giới hạn yếu của bất kỳ dãy con hội tụ yếu của { } 0n nx ∞ = đều là điểm bất động của f . Chúng ta khẳng định rằng giới hạn yếu của bất kỳ dãy con hội tụ yếu của { } 0n nx K ∞ = ⊆ là duy nhất. Giả sử có hai dãy con { } 0ni i x ∞ = và { } 0 n j j x ∞ = của { } 0n nx ∞ = sao cho { } 0n i i x ∞ = hội tụ yếu đến 1q , { } 0 n j j x ∞ = hội tụ yếu đến 2q . Lấy ( )p F f∈ , khi đó 1n nx p x p+ − ≤ − với mỗi 0n ≥ . Do đó, lim nn x p→∞ − tồn tại với mỗi ( )p F f∈ . Từ X là không gian Opial ta có: 1 1 2 2lim lim lim limi in n n nn i i nx q x q x q x q→∞ →∞ →∞ →∞− = − < − = − và 2 2 1 1lim lim lim limn n n nj jn j j nx q x q x q x q→∞ →∞ →∞ →∞− = − < − = − Ta gặp mâu thuẩn, điều này chứng tỏ giới hạn yếu ( )q F f∈ của bất kỳ dãy con hội tụ yếu của { } 0n nx ∞ = là duy nhất. Vì K compact yếu nên { } 0n nx ∞ = hội tụ yếu đến q . Định lý 3.13 Cho K là một tập con lồi, đóng của không gian phản xạ X và :T K X→ là một ánh xạ liên tục thỏa mãn các điều kiện sau: i) ( ) { }:F T x K Tx x φ= ∈ = ≠ ii) Nếu Tp p= , khi đó Tx p x p− ≤ − , x K∀ ∈ iii) Tồn tại 0x K∈ và một dãy chấp nhận được tương ứng { } 0n nx K ∞ = ⊆ iv) T tiệm cận đều tại 0x v) Nếu { } 1 n j j x ∞ = là một dãy con của { } 0n nx ∞ = sao cho { } 1 n j j x ∞ = hội tụ yếu đến x K∈ và { }n nj jx Tx− hội tụ mạnh đến 0 thì   0x T x− = vi) X là không gian Opial. Khi đó dãy { } 0n nx ∞ = hội tụ yếu đến điểm bất động của T . Chứng minh Từ ii) và ( ) { }:F T x K Tx x φ= ∈ = ≠ nên với bất kỳ ( )p F T∈ và với mọi 0n ≥ ta có: ( )1 1n n nx p T x p x p− −− = − ≤ − Do đó { } 0n nx ∞ = là dãy bị chặn. Theo iii) ta có { } 0n nx K ∞ = ⊆ lồi, đóng và { } 0n nx ∞ = là dãy compact yếu vì X là không gian Banach phản xạ. Vì vậy, tồn tại một dãy con { } 1 n j j x ∞ = của { } 0n nx ∞ = và một x K∈ sao cho { } 1 n j j x ∞ = hội yếu về x khi j →∞ . Mặt khác, do T tiệm cận đều tại 0x nên { }n nj jx Tx− hội tụ mạnh về 0 khi j →∞ . Do đó theo điều kiện v) ta có   0x T x− = , nghĩa là  ( )x F T∈ . Vậy giới hạn yếu của dãy con hội tụ yếu của { } 0n nx ∞ = là điểm bất động của T và giới hạn yếu ( )q F T∈ của mỗi dãy con hội tụ yếu của { } 0n nx ∞ = là duy nhất. Thật vậy, giả sử có hai dãy con { } 0n i i x ∞ = và { } 0 n j j x ∞ = của { } 0n nx ∞ = sao cho { } 0n i i x ∞ = hội tụ yếu đến 1q , { } 0 n j j x ∞ = hội tụ yếu đến 2q . Lấy ( )p F T∈ , khi đó 1n nx p x p+ − ≤ − với mỗi 0n ≥ . Do đó, lim nn x p→∞ − tồn tại với mỗi ( )p F T∈ . Từ X là không gian Opial ta có: 1 1 2 2lim lim lim limi in n n nn i i nx q x q x q x q→∞ →∞ →∞ →∞− = − < − = − và 2 2 1 1lim lim lim limn n n nj jn j j nx q x q x q x q→∞ →∞ →∞ →∞− = − < − = − Ta gặp mâu thuẩn, điều này chứng tỏ giới hạn yếu ( )q F T∈ của bất kỳ dãy con hội tụ yếu của { } 0n nx ∞ = là duy nhất. Vì K compact yếu nên { } 0n nx ∞ = hội tụ yếu đến q . 3.5 Phương pháp lặp kiểu Halpern 3.5.1 Giới thiệu về phương pháp lặp kiểu Halpern Cho E là một không gian Banach, K là một tập con lồi đóng của E và :T K K→ là một ánh xạ không giãn. Cố định ( )0,1t∈ và lấy tùy ý u K∈ , đặt tz K∈ biểu thị điểm bất động duy nhất của tT xác định bởi: ( )1 ,tT x tu t Tx x K= + − ∈ Giả sử ( ) { }:F T x K Tx x φ= ∈ = ≠ . Browder đã chứng minh rằng nếu E H= ( H là một không gian Hilbert ) thì 0 lim tt z→ tồn tại và là điểm bất động của T. Reich mở rộng kết quả này trong không gian Banach trơn đều. Cho một dãy { }nα trong [ ]0,1 và u tùy ý trong K, lấy dãy { }nx trong K được định nghĩa như sau: ( ) 0 1 (*) 1 , 0n n n n x K x u Tx nα α+ ∈  = + − ≥ Halpern là người đầu tiên tìm hiểu về sự hội tụ của dãy { }nx được định nghĩa như (*) trong không Hilbert. Halpern đã chứng minh định lý sau: Định lý Hapern ( xem [9] ) Cho K là một tập con lồi đóng và bị chặn của không gian Hilbert H, :T K K→ là một ánh xạ không giãn. Lấy u tùy ý trong K . Định nghĩa dãy số thực { }nα trong [0,1] bởi ( )n , 0,1n θα θ−= ∈ . { }nx là một dãy trong K được định nghĩa như sau: ( ) 1 1 1 , 1n n n n x K x u Tx nα α+ ∈  = + − ≥ Khi đó { }nx hội tụ mạnh đến một phần tử của ( ) { }:F T x K Tx x= ∈ = gần u . Phương pháp lặp mà dãy { }nx được định nghĩa như (*) được biết đến như là phương pháp lặp kiểu Halpern. 3.5.2 Các định lý hội tụ theo điều kiện Halpern 3.5.2.1 Định lý của Shioji và Takahashi Tài liệu tham khảo mục này, xem [13]. Định nghĩa 3.14 Cho µ là một hàm số liên tục, tuyến tính trên l∞ và ( )0 1, ,....a a l∞∈ . Để cho thuận tiện chúng ta sẽ viết ( )n naµ thay cho ( )( )0 1, ,...a aµ . Khi đó, µ được gọi là giới hạn Banach nếu µ thỏa ( )1 1nµ µ= = và ( ) ( )1n n n na aµ µ+ = với mọi ( )0 1, ,....a a l∞∈ . Mệnh đề 3.15 Cho a là một số thực và ( )0 1, ,....a a l∞∈ . Khi đó ( )n na aµ ≤ với mọi giới hạn Banachµ khi và chỉ khi với mỗi 0ε > , tồn tại 0p +∈ sao cho 1 1 0 ... ,n n n p a a a a p p p ε+ + − + + + < + ∀ ≥ và n∈ (3.21) Chứng minh Giả sử ( )n na aµ ≤ với mọi giới hạn Banachµ . Định nghĩa một hàm số tuyến tính q từ l∞ vào tập số thực như sau ( )( ) ( ) 1 0 1 0 1 1, ,... limsup , , ,... n p ip n i n b b b l p q b b + − ∞ →∞ ∈ = = ∈∑  Theo định lý Han – Banach, tồn tại một hàm số tuyến tính µ từ l∞ vào tập số thực sao cho qµ ≤ và ( ) ( )n n n na q aµ = . Khi đó, µ là một giới hạn Banach. Từ ( )n na aµ ≤ ta có ( )n nq a a≤ . Do đó, với mỗi 0ε > , tồn tại 0p +∈ thỏa 1 1 0 ... ,n n n p a a a a p p p ε+ + − + + + < + ∀ ≥ và n∈ Ngược lại, giả sử với mỗi 0ε > , tồn tại 0p +∈ sao cho 1 1 0 ... ,n n n p a a a a p p p ε+ + − + + + < + ∀ ≥ Lấy µ là một giới hạn Banach và 0ε > . Khi đó, theo giả thuyết, tồn tại 0p +∈ thỏa (3.21). Vì thế, chúng ta có ( ) 01 1 0 ...n n n p n n n a a a a a p εµ µ + + − + + +  = ≤ +    Vì ε là một số thực dương tùy ý nên ( )n na aµ ≤ . Mệnh đề 3.16 Cho a là một số thực và ( )0 1, ,....a a l∞∈ sao cho ( )n na aµ ≤ với mọi giới hạn Banachµ và ( )1 n limsup 0n na a+ →∞ − ≤ . Khi đó n limsup na a →∞ ≤ . Chứng minh Lấy 0ε > . Theo mệnh đề 3.15, tồn tại 2p ≥ sao cho 1 1 ... , 2 n n n pa a a a n p ε+ + −+ + + < + ∀ ∈ Chọn 0n ∈ sao cho 1 0,1n n a a n n p ε + − < ∀ ≥− . Lấy 0 pn n +≥ . Khi đó chúng ta có ( ) ( ) ( )1 2 1 1... , 0,1,..., 1 1 n n i n i n i n i n i n n n i a a a a a a a a ia i p p ε − − + − − + − + − − = + − + − + + − ≤ + = − − Khi đó ( )1 1 11 . . 2 1 ... n n n n p p pa a p p a a a p ε ε+ + − − ≤ + ≤ + − + + + Vì vậy n limsup na a ε →∞ ≤ + . Do ε là số thực dương tùy ý nên n limsup na a →∞ ≤ . Định lý 3.17 ( Shioji và Takahashi) Cho E là một không gian Banach với chuẩn khả vi Gâteaux đều và K là một tập con lồi, đóng của E. :T K K→ là một ánh xạ không giãn sao cho ( ) { }:T x K Tx xF φ= ∈ = ≠ . Lấy { }nα là một dãy số trong [0,1] thỏa mãn các điều kiện sau : ( ) ( ) n 0 a lim 0; ; n n n b α α →∞ ∞ = = = ∞∑ ( ) 1 0 .n n n c α α ∞ + = − < ∞∑ Lấy u K∈ và lấy dãy { }nx trong K được định nghĩa như sau: ( ) 0 1 1 , 0n n n n x K x u Tx nα α+ ∈  = + − ≥ Giả sử rằng { }tz hội tụ mạnh đến ( )Tz F∈ khi 0t ↓ , ở đây với 0 1t< < , tz là phần tử duy nhất của K thỏa ( )1t tz tu t T z= + − . Khi đó { }nx hội tụ mạnh đến ( )Tz F∈ . Chứng minh Ta sẽ chứng minh theo ba bước. Bước 1: 1lim 0n nn x x+→∞ − = Lấy ( )*x F T∈ . Ta có: ( ) ( )( ) ( ) * * 1 * * * * * 1 1 1 n n n n n n n n n n n n n n n x x u Tx x u Tx Tx x u x Tx x u x x x α α α α α α α α α + − = + − − = + − − = − + − − ≤ − + − − Do đó { }* * *1 0ax , , 0nx x m u x x x n+ − ≤ − − ≥ Vì thế { }nx bị chặn và { }nTx cũng bị chặn. Đặt { }:sup nTx nM ∈=  . Do ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 ,1 n n n n n n n n n n n nn x x u Tx Tx Tx u M x x n α α α α α α + − − − + − − − = − − + − − ≤ − + + − ∀ ∈−  chúng ta có ( ) ( ) ( ) 1 1 1 11 1 1 n+m-1 11 k+1 k=m 1 - , ,exp n mn m n m n m mmk k k k m k m n m mmk k k m x x u M x x u M x x n m α α α α α α ++ + + − + − ++ + = = + − ++ =                       − ≤ − + + − − ≤ − + + − ∀ ∈ ∑ ∏ ∑ ∑  ( do ( ) ( )1 , 1,log y y y+ ≤ ∀ ∈ − ∞ ) Vì { }nx bị chặn và 0 k k α ∞ = = ∞∑ nên ( )1 1 1limsup limsup ,n n n m n m k k n n k m x x x x u M mα α ∞ + + + + + →∞ →∞ =  − = − ≤ − + ∀ ∈    ∑  Mặt khác 1 0 k k k α α ∞ + = − < ∞∑ nên 1lim 0n nn x x+→∞ − = . Bước 2: ( ) n limsup , 0nu z j x z →∞ − − ≤ Choµ là một giới hạn Banach và 0 1t< < . Từ lim 0nn α→∞ = , T là ánh xạ không giãn và µ là một giới hạn Banach, ta có: ( ) ( ) 2 2 1 2 2 2 1 (3.22) n n t n n t n n n n t n n n n t n n t x Tz x Tz u Tx Tz u Tx Tx Tz x z µ µ µ α α µ α µ +− = − = + − − = − + − ≤ − Do ( )1t tz tu t T z= + − nên ( )( ) ( ) ( )1 n t n t nt x Tz x z t x u− − = − − − . Khi đó theo bổ đề 1.14 ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 22 2 1 2 , (3.23) 1 2 2 , , n t n t n n t n t t n t t x Tz x z t x u j x z t x z t u z j x z n − − ≥ − − − − = − − + − − ∀ ∈ Từ (3.22) và (3.23) ta nhận được ( )2 , 2 n n t n t n t t x z u z j x zµ µ− ≥ − − Theo giả thiết ( )tz z F T→ ∈ và E có chuẩn khả vi Gâteaux đều nên cho 0t ↓ ta nhận được ( ),0 n nu z j x zµ − −≥ Mặt khác, theo bước 1 ta có ( ) ( )1lim , , 0n nn u z j x z u z j x z+→∞ − − − − − = Theo mệnh đề 3.16, ta được ( ) n limsup , 0nu z j x z →∞ − − ≤ . Bước 3: { }nx hội tụ mạnh về ( )Tz F∈ . Từ ( )( ) ( ) ( )11 n n n nTx z x z u zα α+− − = − − − nên theo bổ đề 1.14 ta có ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )2 2 2 1 1 2 1 12 1 1 , 1 2 , 1 ,n n n n nn n nn nx z n Tx z x z u z j x z x z u z j x zα α α α + + + +≤ − + − − ∀ ∈ − − ≥ − − − − ⇒ − − − −  Lấy 0ε > . Theo bước 2, tồn tại m∈ sao cho ( ), , 2n u z j x z n mε− − ≤ ∀ ≥ Khi đó, chúng ta có ( ) ( ) 1 12 21 1 1 , n m n m n m k m k k m k m x z x z nα α ε + − + − + = =    − ≤ − − + − − ∀ ∈        ∏ ∏  Vì 0 k k α ∞ = = ∞∑ nên 2 2 n n limsup limsupn n mx z x z ε+ →∞ →∞ − = − ≤ . Do ε là một số thực không âm tùy ý nên { }nx hội tụ mạnh về ( )Tz F∈ . 3.5.2.2 Định lý của Xu Tài liệu tham khảo mục này, xem [12], [16]. Bổ đề 3.18 Cho X là một không gian Banach trơn đều, K là một tập con lồi đóng của X và :T K K→ là một ánh xạ không giãn sao cho ( ) { }:F T x K Tx x φ= ∈ = ≠ . Cố định ( )0,1t∈ và một điểm u K∈ , tz là phần tử duy nhất của K thỏa mãn ( )1t tz tu t Tz= + − . Khi đó, { }tz hội tụ mạnh đến ( )z F T∈ . Bổ đề 3.19 Cho { }ns là một dãy số thực không âm thỏa mãn quan hệ sau: ( )1 1 , 0n n n n nns s nβα α γ+ ≤ − + + ≥ ở đây { } { } { }, ,n n nα β γ thỏa các điều kiện sau: i) { } [ ] 0 0,1 ;n n n aα ∞ = ⊂ = ∞∑ hoặc điều kiện tương đương ( ) 0 1 0n n α ∞ = − =∏ ; ii) limsup 0;nn n β →∞ ≤ iii) ( ) 0 0 0 , .n n n n γγ ∞ = ≥ ≥ < ∞∑ Khi đó, lim 0nn s→∞ = . Chứng minh Với bất kỳ 0ε > , lấy N là một số nguyên đủ lớn để , ,n n n N n Nβ ε γ ε ∞ = < < ≥∑ Với n N> , theo giả thiết và cách chọn ở trên ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 n n n n nNn k k n Nk N k N n n n nNk k n Nk N k N s s s α α β γ α α ε γ + == = == =                         ≤ − + − − + ≤ − + − − + ∑∏ ∏ ∑∏ ∏ Do đó theo điều kiện i) và iii) ta có lim 2nn s ε→∞ ≤ . Vì 0ε > tùy ý nên lim 0nn s→∞ = . Định lý 3.20 ( Xu ) Cho E là một không gian Banach trơn đều, K là một tập con lồi đóng không rỗng của E. :T K K→ là một ánh xạ không giãn sao cho ( )TF φ≠ . Lấy { }nα là một dãy số trong [0,1] thỏa mãn các điều kiện: ( ) ( ) ( ) 0 1 lim 0 lim 0 nn n n n n n n a b d α α α α α →∞ ∞ = − →∞ = = ∞ − = ∑ Cố định ( )0,1t∈ , tz là phần tử duy nhất của K thỏa ( )1t tz tu t Tz= + − . Lấy u K∈ và lấy dãy { }nx trong K được định nghĩa như sau: ( ) 0 1 1 , 0n n n n x K x u Tx nα α+ ∈  = + − ≥ (*) Khi đó { }nx hội tụ mạnh đến ( )Tz F∈ . Chứng minh Chúng ta chứng minh định lý này theo bốn bước. Bước 1: { } { },n nx Tx bị chặn Lấy ( )*x F T∈ . Ta có: ( ) ( )( ) ( ) * * 1 * * * * * 1 1 1 n n n n n n n n n n n n n n n x x u Tx x u Tx Tx x u x Tx x u x x x α α α α α α α α α + − = + − − = + − − = − + − − ≤ − + − − Do đó { }* * *1 0ax , , 0nx x m u x x x n+ − ≤ − − ≥ Vì thế { }nx bị chặn và { }nTx cũng bị chặn. Bước 2: 0n nx Tx− → Từ ( )* ta có ( )1 0 3.24n n nnx Tx u Txα+ − = − → và ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n n n n n n n n n n n n n n n n nn x x u Tx Tx Tx x x M x x α α α α α α α βα + − − − − − − − = − − + − − ≤ − − + − = − − + ở đây 1 1 sup n n u TxM − ≥ − < ∞= và 1 0n nn n M α α β α −−= → ( do điều kiện (d) ) Vì vậy, theo bổ đề 3.19 ta được 1lim 0n nn x x+→∞ − = . Từ 1lim 0n nn x x+→∞ − = và ( )3.24 ta có 0n nx Tx− → . Bước 3: ( ) n limsup , 0nu z j x z →∞ − − ≤ Từ ( )1t tz tu t T z= + − chúng ta có thể viết lại như sau: ( ) ( )( )1t n n t nz x t u x t Tz x− = − + − − Theo bổ đề 1.14 ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 2 22 22 2 2 2 1 2 , 1 2 , 1 2 2 , t n t n n t n t n n n t n t t n t n n n t t n t n n n z x t Tz x t u x j z x t Tz Tx Tx x t z x u z j z x t z x Tx x t u z j z x z x Tx x − ≤ − − + − − ≤ − − + − + − + − − ≤ + + − + − + − − − − Vì vậy ( ) ( )2, 2 2 2 n n t n t t n n nt n Tx xtu z j x z z x Tx x t z x −− − ≤ + − + −− Do đó ( ) n n 2limsup , limsup 2t n t t n tu z j x z z x →∞ →∞ − − ≤ − Cho 0t → , khi đó theo bổ đề 3.18 ta có { }tz hội tụ mạnh về z và do ánh xạ đối ngẫu j là liên tục đều theo chuẩn trên các tập con bị chặn của X trong tôpô mạnh nên ta có: ( ) n limsup , 0 (3.25)nu z j x z →∞ − − ≤ Bước 4: { }nx hội tụ mạnh về z . Từ (*) ta có thể viết ( ) ( )( )1 1n n n nx u z Tx zz αα+ − + − −− = Do đó theo bổ đề 1.14 ta có ( ) ( )2 221 11 2 ,n n n n nx z Tx z u z j x zα α+ +− ≤ − − + − − Vì vậy, ( ) ( )2 21 1 3.26n n n n nx z Tx zα βα+ − ≤ − − + với ( )12 ,n nu z j x zβ += − − thỏa mãn n limsup 0nβ →∞ ≤ ( do (3.25) ). Từ (3.26) và bổ đề 3.19 ta có lim 0nn x z→∞ − = , nghĩa là { }nx hội tụ mạnh về z . 3.5.2.3 Định lý 3.21 ( xem [6], [14], [16] ) Cho K là một tập con lồi đóng không rỗng của không gian Banach thực E có chuẩn khả vi Gâteaux đều và :T K K→ là nột ánh xạ không giãn với ( )F T φ≠ . Cố định ( )0,1δ ∈ , định nghĩa :S K K→ bới ( )1 ,Sx x Tx x Kδ δ= − + ∀ ∈ . Cho { }nα là một dãy số thực trong ( )0,1 thỏa mãn các điều kiện: ( ) 0 ( ) lim 0nn n n a b α α →∞ ∞ = = = ∞∑ Cho tùy ý 0,u x K∈ , dãy { }nx trong K được định nghĩa như sau: ( ) ( ) 0 1 ** 1 , 0n n n n x K x u Sx nα α+ ∈  = + − ≥ Giả sử rằng { }tz hội tụ mạnh đến ( )z F T∈ khi t →∞ với tz là phần tử duy nhất của K thỏa mãn ( )1 , 0 1t tz tu t Tz t= + − < < . Khi đó { }nx hội tụ mạnh đến điểm bất động của T. Để chứng minh định lý trên ta cần các kết quả sau: Bổ đề 3.22 Cho { }nx và { }ny là hai dãy trong không gian Banach E và cho { }nβ là một dãy trong [ ]0,1 mà limsup 1nn n β→∞ < . Đặt limsup n nn n y xd →∞ −= hoặc ( )3.27liminf n nn n y xd →∞ −= Giả sử ( )1 1 ,n n n n nx y x nβ β+ = + − ∀ ∈ , ( ) ( )1 1limsup 0 3.28n n n nn n y y x x+ +→∞ − − − ≤ và d <∞ . Khi đó ( ) ( )1 11 ... 0, 3.29liminf n k n n n n kn n y x d kβ β β+ + + −→∞ − − + + + + = ∀ ∈ Chứng minh Từ 1 1 1 1 n nn n n n n nn n y x y x y y y x y x + + + + − − − ≤ − + − − − 1 1 ,n nn ny y x x+ += − − − (3.30) chúng ta có ( ) ( ) ( ) 1 1 1 0 1 1 1 0 limsup limsup limsup n j n j n nn n j n i n i n i n in n i j n i n i n i n in n i y x y x y x y x y y x x + +→∞ − + + + + + +→∞ = − + + + + + +→∞ = − − − = − − − ≤ − − − ∑ ∑ ( ) ( ) 1 1 1 0 limsup 0, 3.31 j n i n i n i n in ni y y x x j − + + + + + +→∞= ≤ − − − ≤ ∀ ∈ ∑  Đặt 1 limsup 2 nn na β →∞ − = . Khi đó 0 1a< < . Cố định ,k l∈ và 0ε > . Khi đó tồn tại 'm l≥ sao cho 1 na β≤ − , 1 1n nn ny y x x ε+ +− − − ≤ và 2n j n j n nyy x x ε+ +− − − ≤ với mọi 'n m≥ và 1,2,..,j k= . Trong trường hợp limsup n nn n y xd →∞ −= , chọn 'm m≥ thởa ( )3.32 2m k m k y x d ε+ +− ≥ − và ,n ny x d n mε− ≤ + ∀ ≥ . Khi đó ( ), 0,1,..., 1 3.33 2m j m j m k m k y x y x d j kε ε+ + + +− ≥ − − ≥ − = − Trong trường hợp liminf n nn n y xd →∞ −= , chọn 'm m≥ thỏa ( )3.34 2m m y x d ε− ≤ + và ,n ny x d n mε− ≤ − ∀ ≥ . Khi đó ( ), 0,1,..., 3.35 2m j m j m m y x y x d j kε ε+ +− ≤ − + ≤ + = Trong cả hai trường hợp, có m thỏa ;m l≥ 1 1n n n ny y x x ε+ +− − − ≤ ; 11 na β ≤≤ − với mọi n m≥ và ( ), 0,1,..., 3.36m j m jy x d j kd εε + +− ≤ + =− ≤ Tiếp theo chúng ta sẽ thể hiện rằng ( ) ( )( ) ( )1 1 2 1 1 ... 3.37m k m j m j m j m j k k j k j k y x d a β β β ε+ + + + + + + − − − + − ≥ + + + + − với mọi 0,1,..., 1j k= − . Từ ( ) ( ) 1 1 1 1 1 11 1 1 1 m k m k m k m k m k m k m k m k m k m k m km k m k y x y y x y y y x d β β ε β β + + + + − + − + − + − + + − + + −+ − + − − = − − − ≤ − + − − ≤ − ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 12 3.38 1 1 1 m k m k m k m k m k m k m k m k m k m k m k m k m k m k m k m k x x y x y x y x d y x ε ε ε β β β β β β + + − + + − + − + − + − + + − + − + + − + − + − + − + − ≤ − + + − = − + + − ≤ + + − − − − chúng ta có ( ) ( ) ( ) 2 1 1 1 1 1 3 1 2 11 3.39 m k m k m k m k m k d y x kd a β ε β β ε + − + + − + − + − − − − ≥ − + ≥ + − Vì vậy (3.37) đúng với 1j k= − . Giả sử (3.37) đúng với { }1,2,..., 1kj −∈ . Khi đó, từ ( )( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 11 1 2 1 1 1 1 k m i k j i j m k m j m k m j m j m j m j m k m j m k m jm j m j k j k d a y x y y x y y y x β ε β β β β − + − = + + + + − + − + − + − + + − + + −+ − + − − + + −    ≤ − = − − − ≤ − + −− ∑ ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 k m i m i m k m j i j k m i m i m k m j i j m j m j m j m j y y y x x x y xε β β β β − + + + + + − = − − + + + + + − = − + − + − + − + − ≤ − + − ≤ − + + − − − ∑ ∑ ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 k m i m i m k m j i j k m i m k m j i j k m i m k m j i j m j m j m i m im j m j m j m j x x k y x y k y x d k y x x ε β ε β ε ε β β β β β β − + + + + + − = − − + + + − = − − + + + − = − + − + − + ++ − + − + − + − ≤ − + + − + + − ≤ + + + − − = − − − ∑ ∑ ∑ ( ) ( ) 1 1 1 1 12 3.401 k m i m k m j i j m j m jd k y xβ εβ β − + + + − = − + − + −≤ + + −−∑ chúng ta nhận được ( )( ) ( )( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 2 1 1 3.41 m k m j k k k jm i m j m i i j i j m j m j k m i k j i j y x k j k a k d k j k d a β β β ε β β β ε + + − − − −+ + − + = = − + − + − − + − + = − − + − − + + ≥ − − − − + + ≥ + −    ∑ ∑ ∑ Vì vậy (3.37) đúng với 1j j= − . Vậy (3.37) đúng với 0,1,..., 1j k= − . Với 1j = ta có ( ) ( ) ( )1 1 2 1 1 ... 3.42m k m m m m k k k k y x d a β β β ε+ + + − + − ≥ + + + + − Mặt khác, chúng ta có ( ) ( ) ( ) 1 1 0 1 0 1 0 1 0 3.43 1 k m k m m k m k m i m i i k m k m k m i m i m i i k m i i k m i i y x y x x x y x y x d d d d k β ε β ε β ε − + + + + − + = − + + + + + = − + = − + = − ≤ − + − = − + − ≤ + + + ≤ + + + ∑ ∑ ∑ ∑ Từ (3.42) và (3.43), ta có ( ) ( )1 1 2 1 1 ...m k m m m m k k k k y x d a β β β ε+ + + − + − − + + + + ≤ Do l∈ và 0ε > nên ( )1 11 ... 0,liminf n k n n n n kn n y x d kβ β β+ + + −→∞ − − + + + + = ∀ ∈ . Bổ đề 3.23 Cho { }nx và { }ny là hai dãy bị chặn trong không gian Banach E và { }nβ là một dãy trong [ ]0,1 với liminf limsup 10 n nn nβ β→∞ →∞≤ << . Giả sử ( )1 1 ,n n n n nx y x nβ β+ = + − ∀ ∈ và ( )1 1 n limsup 0n n n ny y x x+ + →∞ − − − ≤ . Khi đó lim 0n nn y x→∞ − = . Chứng minh Đặt liminf 0nna β→∞ >= { }2sup :n nM x y n= + ∈ < ∞ limsup n n n y xd →∞ − < ∞= . Giả sử 0d > . Cố định k∈ với ( )1 ka d M+ > . Theo bổ đề 3.22 ta có ( )1 1liminf 1 ... 0n k n n n n kn y x dβ β β+ + + −→∞ − − + + + + = Vì vậy tồn tại một dãy con { }in của { }n trong  sao cho ( )1 1lim 1 ... 0i i ii in n nn k n ki y x dβ β β++ + −→∞ − − + + + + = Giới hạn { }i in k ny x+ − tồn tại và giới hạn của { }in jβ + tồn tại với mọi { }0,1,..., 1kj −∈ . Đặt lim ij n ji µ β +→∞= với { }0,1,..., 1kj −∈ . Khi đó j aµ ≥ với mọi { }0,1,..., 1kj −∈ . Chúng ta có: ( ) ( ) ( ) 0 1 2 1 1 1 1 1 ... lim 1 ... i i i k n n n ki ka d d d M µ µ µ µ β β β − + + −→∞ + ≤ + + + + + = + + + + < lim limsup i in k ni n k n n y x y x M +→∞ + →∞ = − ≤ − ≤ Ta gặp mâu thuẩn. Vậy 0d = hay lim 0n nn y x→∞ − = . Chứng minh định lý 3.21 Ta có ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 , , Sx Sy x Tx y Ty x y Tx Ty x y x y x y x y K δ δ δ δ δ δ δ δ − = − + − − − = − − + − ≤ − − + − = − ∀ ∈ Giả sử u là điểm bất động của T. Ta có: ( ) ( ) 1 1 Su u Tu u Su u δ δ δ = − + = − + = Vậy :S K K→ là ánh xạ không giãn và có cùng tập điểm bất động với T. Đặt ( ) ( )1 1 , 0; , 0 3.44 n n n n n n n n n x x xy n β δ α δ β β + = − + ∀ ≥ − + = ∀ ≥ Khi đó nβ δ→ khi n→∞ và nếu { }nx bị chặn thì { }ny bị chặn. Lấy ( )*x F T∈ . Khi đó { }* * *0ax u- , , 0nx x m x x x n− ≤ − ∀ ≥ Do đó { } { } { }, ,n n nx y Tx và { }nSx bị chặn. Ta có 1 0n n n nx Sx u Sxα+ − = − → khi ( )3.45n→∞ Từ định nghĩa của nβ và S ta được ( )( ) 1 1n n n n n y u Txα α δ β = + − . Do đó ( )11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . 1 1 nn n n n n n n n n n n n n n n n n n y y x x u Tx Tx Tx x x αα α δ β β β α α δ β β ++ + + + + + + + + − − − − ≤ − + − − − + − − − Vì { } { },n nx Tx bị chặn nên tồn tại 1 20, 0M M> > sao cho ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 limsup limsup . 1 1 11. 0 n n n n n n n n n n n n n n n n y y x x u M M α α β β α α αδ δ β β β + + + →∞ →∞ + + + + + − − − ≤ −  − − − + − + − ≤  Theo bổ đề 3.23, 0n ny x− → khi n→∞ . Do đó 1lim lim 0n n n n nn nx x y xβ+→∞ →∞− = − = Kết hợp với ( )3.45 ta được 0n nx Sx− → khi ( )3.46n→∞ Tiếp theo chúng ta sẽ thể hiện rằng ( ) ( )limsup , 0 3.47n n u z j x z →∞ − − ≤ Với mỗi 1n ≥ , lấy ( )0,1nt ∈ sao cho 0, 0n nn n x Sx t t − → → khi ( )3.48n→∞ Lấy nt z K∈ là điểm bất động duy nhất của ánh xạ co nt S được cho bởi ( )1 , nt n n S x t u t Sx x K= + − ∈ . Khi đó ( ) ( )( )1 n nt n n n n t n z x t u x t Sz x− = − + − − Theo bổ đề 1.14 ta có ( ) ( )2 221 2 , n n nt n n t n n n t n z x t Sz x t u x j z x− ≤ − − + − − ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 2 22 22 1 2 , 1 . 2 2 , n n n n n n n n t n n n n t n t n n t n n n t n n n n t t n t Sz Sx Sx x t z x u z j z x t z x Sx x z x Sx x t u z j z x ≤ − − + − + − + − − ≤ + − + − − + − + − − Vì vậy, ( ) ( )2 , 2 2 2 n n n n t n t n nn t n t n n n n u z j x z Sx xt z x z x Sx x t − − − ≤ − + − + − Do { } { }, nn t x z và { }nSx bị chặn và 02 n n n x Sx t − → khi n→∞ . Từ đó ta có ( ) ( ) n limsup , 0 3.49 n nt n t u z j x z →∞ − − ≤ Hơn nữa, chúng ta có ( ) ( ) ( ) ( ) , , , n n n t n t n n t n u z j x z u z j x z u z j x z j x z − − = − − + − − − − ( ) ( ), 3.50 n nt n t z z j x z+ − − Do ( ), nt z z F S n→ ∈ →∞ và tính bị chặn của { }nx ta có ( ), 0, n nt n t z z j x z n− − → →∞ Mặt khác, do ánh xạ đối ngẫu j là liên tục đều theo chuẩn trên các tập con bị chặn của E trong tôpô yếu nên ( ) ( ), 0 nn t n u z j x z j x z− − − − → khi n→∞ Do đó từ (3.49) và (3.50) ta có ( ) n limsup , 0nu z j x z →∞ − − ≤ . Hơn nữa, từ (**) ta có: ( ) ( )( )1 1n n n nx z u z Sx zα α+ − = − + − − Lại theo bổ đề 1.14 ta có: ( ) ( ) ( ) 2 22 1 1 2 1 2 , 1 n n n n n n n n n x z Sx z u z j x z x z α α α α σ + +− = − − + − − ≤ − − + với ( )12 ,n nu z j x zσ += − − , 0, 0n nγ = ∀ ≥ . Do đó theo bổ đề 3.19, { }nx hội tụ mạnh về điểm bất động của T. 3.5.2.4 Định lý hội tụ trong trường hợp ánh xạ không đi vào chính tập nền Tài liệu tham khảo mục này, xem [6]. Định nghĩa 3.24 Cho K là một tập con không rỗng của không gian Banach E. Với x K∈ , tập hướng vào trong của x , ký hiệu KI x , được định nghĩa bởi ( ){ }: , 1KI x x u x u Kα α= + − ∈ ≥ . Ánh xạ :T K E→ được nói là hướng vào trong yếu nếu [ ],KTx cl I x x K∈ ∀ ∈ , với [ ]Kcl I x là bao đóng của tập hướng vào trong. Cho K E⊂ là một tập lồi đóng và :Q E K→ là một ánh xạ. Khi đó Q được nói là sunny nếu ( )( ) ,Q Qx t x Qx Qx x E+ − = ∀ ∈ và 0t ≥ . Ánh xạ :Q E E→ được nói là co rút được nếu 2Q Q= . Tập con K của E được nói là sunny không giãn và co rút được của E nếu tồn tại một sunny không giãn và co rút được của E trên K và được nói là một co rút không giãn của E nếu tồn tại một co rút không giãn của E trên K. Nhận xét: Nếu :T K E→ là hướng vào trong yếu, khi đó ( ) ( )F T F QT= , với Q là một sunny không giãn và co rút được của E trên K. Chứng minh ( )⇐ Ta chứng minh ( ) ( )F QT F T⊂ . Giả sử ( )x F QT∈ nhưng ( )x F T∉ . Từ :T K E→ là hướng vào trong yếu nên tồn tại u K∈ sao cho ( )Tx x u xλ= + − , với 1λ > và u x≠ . Nếu u x= khi đó Tx x= , đó là một mâu thuẩn vì ( )x F T∉ . Do Q là một sunny không giãn nên ( )( ) , 0Q QTx t Tx QTx x t+ − = ∀ ≥ . Do QTx x= nên ( )( )1 , 0Q tTx t x x t+ − = ∀ ≥ . Từ :T K E→ là hướng vào trong yếu nên tồn tại ( )0 0,1t ∈ sao cho ( )0 01Tx t xu t + −= và từ ,u K Qu u∈ = cho ta u Qu x= = , đó là một mâu thuẩn. Vì vậy ( ) ( )F QT F T⊂ . ( )⇒ ( ) ( )F QT F T⊃ . Định lý 3.25 Cho K là một tập con lồi đóng không rỗng của không gian Banach E với chuẩn khả vi Gâteaux đều và :T K E→ là một ánh xạ không giãn thỏa mãn điều kiện hướng vào trong yếu với ( )TF φ≠ . Giả sử K là một sunny không giãn và co rút được của E với Q như là sunny không giãn và co rút được. Giả sử { }tz hội tụ mạnh đến điểm bất động của QT khi 0t → , với 0 1t< < , tz là phần tử duy nhất của K thỏa mãn ( )1t tz tx t QTz= + − . Lấy { }nα là một dãy số thưc trong ( )0,1 thỏa mãn các điều kiện sau: ( ) ( ) ( ) 1 1 1 lim 0nn n n n n n a b c α α α α →∞ ∞ = ∞ − = = = ∞ − < ∞ ∑ ∑ Cố định 0, Ku x ∈ , lấy dãy { }nx K⊂ được định nghĩa bởi ( ) ( ) 0 1 *** 1 , 0n n n n x K x u QTx nα α+ ∈  = + − ≥ Khi đó, { } 0n nx ∞ = hội tụ mạnh về điểm bất động của T. Chứng minh Lấy ( )*x F T∈ . Khi đó: { }* * *0ax u- , , 0nx x m x x x n− ≤ − ∀ ≥ Vì thế { }nx và { }nQTx bị chặn. Từ (***) ta có: 1 0n n n nx QTx u QTxα+ − = − → khi n→∞ (3.51) Hơn nữa, với 0M > , ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n n n n n n n n n n n n n n n n n x x u QTx QTx QTx M x x x x α α α α α α α σ + − − − − − − − = − − + − − ≤ − + − − = − − + với 1n n nMσ α α −= − và 1 n n σ ∞ = < ∞∑ . Do đó theo bổ đề 3.19 ta được 1 0n nx x+ − → khi n→∞ . Kết hợp với (***) ta có 0n nx QTx− → khi n→∞ . Với mỗi 0n ≥ , lấy ( )0,1nt ∈ sao cho 0nt → và 0 n n n x QTx t − → Lấy nt z K∈ là điểm bất động duy nhất của ánh xạ co nt T được cho bởi ( )1 , nt n n T x t u t QTx x K= + − ∈ Khi đó ( ) ( )( )1 n nt n n n n t n z x t u x t QTz x− = − + − − . Theo bổ đề 1.14 ta có ( ) ( ) 2 221 2 , n n n t n n t n n n t n z x t QTz x t u x j z x − ≤ − − + − − ( ) ( ) ( )( ) 22 2 1 2 , n n n n n t n n n n t n t t n t QTz QTx QTx x t z x u z j z x ≤ − − + − + − + − − ( ) ( ) ( ) 221 2 2 , n n n n n t n n n t n n n n t t n t z x QTx x z x QTx x t u z j z x ≤ + − + − − + − + − − Vì vậy ( ) ( )2 , 2 2 2 n n n n t t n n nn t n t n n n n u z j z x QTx xt z x z x QTx x t − − − ≤ − + − + − Từ { } { }, nn t x z và { }nTx bị chặn và 0n n n x QTx t − → khi n→∞ . Do đó ( )limsup , 0 n nt n t n u z j x z →∞ − − ≤ (3.52) Hơn nữa, chúng ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , , , 3.53 n n n n n t n t n n t n t n t u z j x z u z j x z u z j x z j x z z z j x z − − = − − + − − − − + − − Theo giả thiết ta có ( ) nt z z F QT→ ∈ và theo nhận xét ở trên chúng ta có QTz z Tz= = . Vì vậy ( ), 0 n nt n t z z j x z− − → khi n→∞ ( do { }nx bị chặn ) Mặt khác, ( ) ( ), 0 nn t n u z j x z j x z− − − − → khi n→∞ ( do j liên tục đều theo chuẩn trên các tập con bị chặn của E trong tôpô yếu ). Vì vậy từ (3.52) và (3.53) ta có ( )limsup , 0n n u z j x z →∞ − − ≤ Từ (***) chúng ta có ( ) ( )( )1 1n n n nx z u z QTx zα α+ − = − + − − Lại theo bổ đề 1.14 ta có ( ) ( ) ( ) 2 22 1 1 2 1 2 , 1 n n n n n n n n x z QTx z u z j x z x z α α α σ + +− ≤ − − + − − ≤ − − + với ( )12 ,n n nu z j x zσ α += − − và limsup 0n n σ →∞ ≤ . Vì vậy theo bổ đề 3.19, { } 0n nx ∞ = hội tụ mạnh về điểm bất động ( )z F T∈ . KẾT LUẬN Tóm lại luận văn đã trình bày về một số kết quả về điểm bất động của ánh xạ không giãn, trong đó có hai định lý cơ bản là định lý của Kirk và định lý của Browder – Gohde. Luận văn cũng trình bày các kết quả về phương pháp lặp cho điểm bất động của ánh xạ không giãn, trình bày về phương pháp lặp kiểu Halpern với các định lý tiêu biểu như: định lý của Shioji và Takahashi, định lý của Xu và các định lý hội tụ theo điều kiện Halpern. Có thể nói quá trình thực hiện luận văn đã giúp tôi làm quen dần với việc nghiên cứu một vấn đề khoa học, nó đòi hỏi người nghiên cứu phải làm việc một cách nghiêm túc. Điểm bất động của ánh xạ không giãn là một lĩnh vực toán học mới mẽ, nó là một mảnh đất vô cùng màu mỡ cho nhiều nhà toán học lao vào nghiên cứu. Thực chất, qua việc nghiên cứu về điểm bất động của ánh xạ không giãn tôi cũng thấy lĩnh vực này rất thú vị. Vì thế, trong thời gian sắp tới, nếu có điều kiện tôi sẽ nghiên cứu tiếp về lĩnh vực này, mà cụ thể là nghiên cứu về phương pháp lặp cho cho ánh xạ không giãn tiệm cận, ánh xạ tựa không giãn tiệm cận hoặc nghiên cứu về phương pháp lặp của Ishikawa, phương pháp lặp mà dãy lặp { } 0n nx K ∞ = ⊂ được định nghĩa như sau: ( ) ( ) 0 1 1 1 n n n n n n n n n n x K x x Ty y x Ty α α β β +  ∈  = + −  = + − với K là một tập con lồi, đóng của không gian Banach E, :T K K→ là một ánh xạ không giãn; hai dãy { }nα , { }nβ nằm trong [ ]0,1 thỏa mãn những điều kiện cho trước. TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Đỗ Hồng Tân, Nguyễn Thị Thanh Hà (2002), Các Định Lý Điểm Bất Động, Nhà xuất bản Đại học sư phạm. [2] PGS.TS Lê Hoàn Hóa, Giải tích phi tuyến 1. Tiếng Anh [3] Agarwal Ravi P., Maria Meehan, Donal O’Regan (2004), “Fixed Point Theory and Applications”, Cambridge University Press. [4] Browder F.E., Petryshyn W.V.(1966), “The solution by iteration of nonlinear functional equations in Banach spaces”, Bull. Amer. Math. Soc 72, pp.571-575. [5] Bruck F. E.(1981), “On the convex approximation property and the asymptotic behavior of nonlinear contractions in Banach spaces”, Israel J. Math. 38, pp. 304-314. [6] Charles Chidume (2009), Geometric Properties of Banach Spaces and Nonlinear Iterations, Springer. [7] Edelstein M. (1964), “On nonexpansive mappings”, Proc. Amer. Math. Soc. 15, pp.689- 695. [8] Edelstein M., O’Brian R.C (1978), “Nonexpansive mappings, asymptotic regularity and sucessive approximations”, J. London. Soc. 17, (3), pp. 547-554. [9] Halpern B.(1967), “Fixed point of nonexpansive maps”, Bull. Amer. Math. Soc. 3, pp. 957-961. [10] Ishikawa S. (1976), “Fixed points and iteration of nonexpansive mapping in a Banach space”, Proc. Amer. Math. Soc. 73, pp. 61-71. [11] Opial Z.(1967), “Weak convergence of the sequence of successive approximations for nonexpansive mappings”, Bull. Amer. Math. Soc. 73, pp. 591-597. [12] Reich S.(1980), “Strong convergence theorems for resolvents of accrective operator in Banach spaces”, J. Math, Anal. Appl. 75,pp. 287-292. [13] Shioji S., Takahashi W.(1997), “Strong convergence of approximated sequences for nonexpansive mappings in Banach spaces”, Proc. Amer. Soc. 125, pp. 3641-3645. [14] Suzuki T.(2005), “Strong convergence theorems for infinite families of nonexpansive mappings in general Banach spaces”, Fixed Point Theory Appl, (1), pp.103-123. [15] Xu H. K.(2002), “Another control condition in an iterative method for nonexpansive mappings”, Bull. Austral. Math. Soc. 65, pp.109-113. [16] Xu H. K.(2002), “Iterative algorithms for nonlinear operators”, J. London Math. Soc. 66, (2), pp. 240-256.