Tóm tắt Luận văn Lý thuyết tích phân và ứng dụng

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG XAYAPHET KEODAVANH LÝ THUYẾT TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số : 60.46.40 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng – Năm 2012 2 Công trình ñược hoàn thành tại ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Người hướng dẫn khoa học: TS. CAO VĂN NUÔI Phản biện 1: GS. TSKH. Nguyễn Văn Mậu Phản biện 2: PGS. TSKH. Trần Quốc Chiến Luận văn sẽ ñược bảo vệ trước Hội ñồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ toán học họp tại Đại học Đà Nẵng, vào ngày..tháng năm . Có thể tìm hiểu tại: - Trung tâm Thông tin – Học liệu, Đại học Đà Nẵng - Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng 3 MỞ ĐẦU I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong chương trình toán của Lào, lý thuyết tích phân ñược học từ lớp 10, 11, 12, vậy có thể nói lý thuyết tích phân ñóng một vai trò khá quan trọng trong việc học và giảng dạy bộ môn toán. Trong chương trình toán ở bậc trung học, phần kiến thức về tích phân chiếm một tỷ lệ lớn. Trong quá trình giảng dạy ở trường phổ thông, tôi phát hiện ra rằng thông thường các học sinh ñều cảm thấy lúng túng khi giải các bài toán về tích phân, chính vì vậy tôi muốn nghiên cứu một phần lý thuyết tích phân nhằm góp phần phục vụ cho công việc giảng dạy ở trường phổ thông. Đó là lý do ñể tôi chọn ñể tài “Lý thuyết tích phân và ứng dụng” làm luận văn tốt nghiệp thạc sĩ của mình. II. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Dựa vào sự ứng dụng sau này của ñề tài nên chúng tôi sử dụng các phương pháp giải quyết vấn ñề thiên về cách chứng minh của toán sơ cấp. Mặc dù thế trong một vài tinh huống ñặc biệt chúng tôi cũng mạnh dạn mở rộng vấn ñề theo hướng toán học hiện ñại. Phương pháp chủ yếu ñược sử dụng trong luận văn này là kết hợp các kết quả ñã có trong các tài liệu chuyên khảo có liên quan ñến ñề tài và sự liên hệ ñến các ứng dụng của nó trong chương trình toán phổ thông. III. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU Đối tượng mà chúng tôi tập trung nghiên cứu là lý thuyết tích phân và sự ứng dụng của chúng ñể giải toán ở bậc phổ thong trung học và có thể dùng ñể giảng dạy cho các sinh viên ñại học. Ngoài ra 4 chứng tôi có xét một vài trường hợp mở rộng ñể chứng tỏ lĩnh vực này có thể phát triển xa hơn về mặt lý thuyết cũng như ứng dụng. IV. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU Nội dung nghiên cứu của luận văn này ñược giới hạn trong phạm vi về lý thuyết tích phân theo ñộ ño, khuyếch ñộ ño và các ứng dụng của tích phân trong vật lý. Sau ñó chúng tôi có ñưa ra một số ví dụ cụ thể trong chương cuối ñể minh họa cho việc ứng dụng của chúng ñến việc giải toán ở bậc trung học phổ thông. V. Ý NGHĨA KHOA HỌC VÀ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI 5.1. Ý nghĩa khoa học: Hệ thống kiến thức về tiếp cận lý thuyết tích phân và sử dụng tích phân vào việc giải một số bài toán thực tế. 5.2. Ý nghĩa thực tiễn: Đề tài hoàn thành trở thành tài liệu tham khảo bổ ích cho giáo viên, sinh viên ở các trường ñại học, cao ñẳng và học sinh ở trường trung học phổ thông, các bạn yêu toán VI. CẤU TRÚC LUẬN VĂN Luận văn gồm 3 chương với cấu trúc như sau: • Mở ñầu • Chương 1: Độ ño dương • Chương 2: Lý thuyết tích phân • Chương 3: Các ứng dụng của tích phân • Kết luận 5 Chương 1- ĐỘ ĐO DƯƠNG 1.1 TẬP HỢP Định lý 1.1.1 [ ]2 Nếu A n= , thì |P ( )A | 2n= . Định lý 1.1.2 [ ]2 Quan hệ bao hàm có các tính chất sau ñây - Phản xạ: Với mọi tập A thì A A⊂ . - Phản ñối xứng: Với mọi tập ,A B sao cho A B⊂ và B A⊂ thì A B= . - Bắc cầu: Với mọi tập , ,ABCsao cho A B⊂ và B C⊂ thì A C⊂ . 1.2. CÁC PHÉP TOÁN TẬP HỢP Cho các tập A và B . Ta ñịnh nghĩa các phép toán sau: • phép hiệu: Hiệu của A và B , ký hiệu \A B là tập {\A B x x A= ∈ và }x B∉ . • Phần bù: Cho tập X và A X⊂ . Phần bù của A (trong X ) là tập ký hiệu bởi ( )XC A và ñược xác ñịnh bởi: ( ) \XC A X A= . • Phép hợp: Hợp của A và B , ký hiệu A B∪ là tập ñược xác ñịnh bởi: {A B x x A∪ = ∈ hoặc }x B∈ . • Phép giao: Giao của A và B , ký hiệu A B∩ là tập ñược xác ñịnh bởi: {A B x x A∩ = ∈ và }x B∈ • Phân hoạch một tập hợp: Nếu A B φ∩ = , ta nói A và B rời nhau. Nếu các tập 1 2, ,..., nX X X thỏa mãnvà chúng rời nhau từng ñôi một, ta nói { }1 2, ,..., nX X X là một phân hoạch của tập hợp A . 6 Định lý 1.2.1[ ]2 Giả sử { }1 2, ,..., nX X X là một phân hoạch của tập S . Khi ñó: 1 2 ... nS X X X= + + + • Hệ quả: A B A B A B∪ = + − ∩ . Định lý 1.2.2[ ]2 Cho các tập , ,ABCtrong tập vũ trụ ,U khi ñó ta có: - Luật kết hợp: ( ) ( ) ( ) ( ) A B C A B C A B C A B C ∪ ∪ = ∪ ∪ ∩ ∩ = ∩ ∩ - Luật giao hoán: A B B A A B B A ∪ = ∪ ∩ = ∩ - Luật phân bố: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A B C A B A C A B C A B A C ∪ ∩ = ∪ ∩ ∪ ∩ ∪ = ∩ ∪ ∩ - Luật bù kép (ñối hợp): A A= (trong ñó: )\A U A= . - Luật ñối ngẫu De Morgan: A B A B∪ = ∩ , A B A B∩ = ∪ 1 2 1 2 1 2 1 2 ... ... ... ... . n n n n A A A A A A A A A A A A ∪ ∪ ∪ = ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ = ∪ ∪ ∪ 1.3. CÁC CẤU TRÚC TRONG DẠI SỐ TẬP HỢP 1.3.1. Vành Boole (Boole, Boolean ring). Định nghĩa 1.3.1 [ ]1 Một vành Boole (Boole, Boolean ring), các tập 7 hợp là một tập hợp ℜ Các tập hợp thỏa mãn nếu ,A B∈ℜ ∈ℜ thì A B∪ ∈ℜ và \A B∈ℜ . Mệnh ñề 1.3.1[ ]1 cho ℜ là một vành Boole, khi ñó φ ∈ℜ , các phép hiệu ñối xứng và giao của hai tập hợp là ñóng trong ℜ . 1.3.2. Đại số Boole (Boolean algebra). Định nghĩa 1.3.2 [ ]1 Một lớp các tập hợp A ñược gọi là một ñại số Boole nếu thỏa mãn: /a Nếu A∈ℜ và B∈ℜ thì A B∪ ∈ℜ . /b Nếu A∈ℜ thì cA ∈ℜ , ( cA là phần bù của A ). Rõ rang mỗi ñại số Boole là một vành Boole vì: ( )\ cc cA B A B A B= ∩ = ∪ . Mệnh ñề 1.3.2[ ]1 cho ℜ là một vành Boole các tập con của X . Vành ℜ là một ñại số khi và chỉ khi X ∈ℜ . 1.4. VÀNH SINH (generated ring), σ - VÀNH (σ - ring ) Định nghĩa 1.4.1 [ ]1 cho ε là một lớp các tập hợp. Vành nhỏ nhất chứaε ñược gọi là vành sinh bởi lớp ε và ñược ký hiệu bởi ( )R ε . Định lý 1.4.1[ ]1 Nếuε là lớp các tập hợp bất kỳ thì tồn tại một vành sinh bởi lớp ε duy nhất ( )R ε . Định lý 1.4.2 [ ]1 Nếu ε là một lớp bất kỳ các tập hợp thì mỗi tập trong ( )R ε ñược phủ bởi một họ hữu hạn các tập trong ε . 8 Định lý 1.4.3 [ ]1 Nếu ε là một lớp ñếm ñược các tập hợp, thì ( )εℜ là ñếm ñược. Định nghĩa 1.4.2 [ ]1 Một lợp không rỗng S các tập hợp ñược gọi là σ - vành nếu nó thỏa mãn: /a NếuE S∈ và F S∈ thì \E F S∈ . /b Nếu{ }n n NE S∈ ⊂ thì n n N E S ∈ ∈U . Định nghĩa 1.4.3[ ]1 Cho một lớp bất kỳ các tâp hợp ,ε σ - vành nhỏ nhất chứa lớp ε ñược gọi làσ - vành sinh bởi lớp ε là ñược ký hiệu bởi ( )σ ε . Định lý 1.4.4 [ ]1 Nếu ε là một lớp bất kỳ các tập hợp và E là một tập bất kỳ trong ( )σ ε thì tồn tại một lớp ñếm ñượcD của ε sao cho ( )E Dσ∈ . Định lý 1.4.5[ ]1 Nếu ε là lớp bất kỳ các tập hợp con của tập X và A là tập con bất kỳ của X thì ( ) ( )A Aσ ε σ ε∩ = ∩ . 1.5. CÁC LỚP ĐƠN ĐIỆU (monotone classes) 1.5.1. Giới hạn trên (the superior limit) Định nghĩa 1.5.1 [ ]1 Cho { }n n NE ∈ là một dãy các tập con của X , tập E∗ gồm tất cả các phần tử của X thuộc nE với vô hạn các giá trị của n ñược gọi là giới hạn trên của dãy { }nE và ký hiệu: . limsup n n E E∗ = 9 1.5.2. Giới hạn dưới (the inferior limit) Định nghĩa 1.5.2 [ ]1 Cho { }n n NE ∈ là một dãy các tập con của X , tập E ∗ gồm tất cả các phần tử của X thuộc mọi nE trừ một số hữu hạn các giá trị của n ñược gọi là giới hạn dưới của dãy { }nE và ký hiệu: lim inf n n E E ∗ = Nếu xảy ra trường hợp E E∗ ∗ = thì ta ký hiệu lim n n E E E∗ ∗ = = và gọi là giới hạn của dãy { }nE . - Dãy các tập hợp { }nE ñược gọi là tăng (ñồng biến) nếu 1,n nE E n N+⊂ ∀ ∈ . - Dãy các tập hợp { }nE ñược gọi là giảm (nghịch biến) nếu 1 , .n nE E n N+ ⊂ ∀ ∈ Một dãy các tập hợp tăng hay là giảm ñược gọi dãy ñơn ñiệu (monotone). Định nghĩa 1.5.3[ ]1 Một lớp không rỗng M các tập ñược gọi là ñơn ñiệu nếu mọi dãy ñơn ñiệu các tập { }nE trong M ta có lim n n E ∈ M. Định nghĩa 1.5.4 [ ]1 Lớp ñơn ñiệu nhỏ nhất chứa lớp ε ñược gọi là lớp ñơn ñiệu sinh bởi lớp ε và ñược ký hiệu bởi ( )M ε . Định lý 1.5.1[ ]1 Một lớp ε là một σ - vành khi và chỉ khi nó là vành ñơn ñiệu. 1.6 . ĐỘ ĐO; KHÔNG GIAN ĐO; ĐỘ ĐO ĐỦ; ĐỘ ĐO σ - HỮU HẠN . 10 Định nghĩa 1.6.1 [ ]1 Ánh xạ :µ A [ ]0,→ +∞ ñược gọi là một ñộ ño dương trên σ - ñại số A nếu với mọi họ ñếm ñược các tập ñôi một không giao nhau { }k k NA ∈ , trong ñó kA ∈ A với mọi k N∈ , ta có: ( )k k k Nk N A Aµ µ ∈∈   =    ∑U và ( ) 0µ φ = . Định nghĩa 1.6.2 [ ]1 Tập X với σ - ñại số A các tập con của X và ñộ ño dương µ trên A thì bộ ba ( ,X A, )µ ñược gọi là một không gian ño. Định nghĩa 1.6.3 [ ]1 Ta nói µ là σ - hữu hạn nếu X là hợp của một họ ñếm ñược các tập có ñộ ño hữu hạn. Định nghĩa 1.6.4 [ ]1 Nếu với mọi A∈A thỏa mãn ( ) 0Aµ = và với mọi 'A A⊂ ta có: 'A ∈ A, thì ta nói rằng σ - ñại số A là µ − ñủ (tức là ñủ theo ñộ ño µ ). Định nghĩa 1.6.5 [ ]1 Bộ ba ( ,X A, )µ ñược gọi là một không gian có ñộ ño ñủ, σ - hữu hạn nếu µ là ñộ ño dương σ - hữu hạn và A là µ − ñủ. 1.7 . CÁC TÍNH CHẤT CỦA ĐỘ ĐO CẢM SINH 1.7.1. Độ ño ngoài Định nghĩa 1.7.1.1[ ]1 Một lớp không rỗng các tập hợp ε ñược gọi là lớp di truyền nếu với mọi tập E ε∈ và F E⊂ thì .F ε∈ 11 Định nghĩa 1.7.1.2[ ]1 σ - vành di truyền nhỏ nhất chứa lớp ε ñược gọi làσ -vành di truyền sinh ra bởi lớpε và ñược ký hiệu bởi ( ).H ε Định nghĩa 1.7.1.3 [ ]1 Một hàm tập µ∗ có giá trị trên tập số thực mở rộng, xác ñịnh trên lớp ε ñược gọi là: - Dưới cộng tính nếu với mọi tập E ε∈ , F ε∈ và E F ε∪ ∈ thì: ( ) ( ) ( ).E F E Fµ µ µ∗ ∗ ∗∪ ≤ + - Dưới công tính hữu hạn nếu với mọi hữu hạn tập 1 2, , ... , nE E E và 1 n i i E ε = ∈U thì: ( ) 11 . n n i i ii E Eµ µ∗ ∗ ==   ≤    ∑U - σ - dưới công tính (dưới cộng tính ñếm ñược) nếu với mọi dãy các tập { }iE mà 1 n i i E ε = ∈U thì: ( ) 11 .i i ii E Eµ µ ∞ ∞ ∗ ∗ ==   ≤    ∑U - Đơn ñiệu nếu E ε∈ , F ε∈ và E F⊂ thì ( ) ( ).E Fµ µ≤ Định nghĩa 1.7.1.4 [ ]1 Một hàm tập µ∗ nhận giá trị trên tập số thực mở rộng, xác ñịnh trên σ - vành di truyền H ñược gọi là một ñộ ño ngoài nếu nó không âm, ñơn ñiệu, σ - dưới cộng tính và ( ) 0.µ φ∗ = Định lý 1.7.1.1[ ]1 Nếu µ là một ñộ ño trên vành ε và nếu với mọi tập ( )E H ε∈ ñặt: ( ) ( ) 1 1 inf : , : .i i i i i E E E i E Eµ µ ε ∞∞ ∗ = =   = ∈ ∀ ⊂    ∑ U Thì µ∗ là một ñộ ño ngoài trên ( )H ε và là một mở rộng của µ . 12 Nếu µ là (hoàn toàn) σ - hữu hạn thì µ∗ cũng vậy. Độ ño ngoài µ∗ ñược gọi là cảm sinh bởi ñộ ño µ . 1.7.2. Các tập ño ñược Định nghĩa 1.7.2.1 [ ]1 Cho µ∗ là một ñộ ño ngoài trên σ - vành di truyền H . Một tập E H∈ ñược gọi là µ∗ ño ñược nếu với mọi tập ,A H∈ ta có: ( ) ( ) ( )cA A E A Eµ µ µ∗ ∗ ∗= ∩ + ∩ cE là phần bù của .E Định lý 1.7.2.1[ ]1 Nếu µ∗ là một ñộ ño ngoài trên một σ - vành di truyền H và nếu S là một lớp tất cả các tập µ∗ - ño ñược thì S là một vành. Định lý 1.7.2.2[ ]1 Nếu µ∗ là một ñộ ño ngoài trên σ - vành di truyền H và nếu S là lớp tất cả các tập µ∗ ño ñược, thì S là một σ - vành. Nếu A H∈ và nếu { }nE là dãy rời nhau các tập trong S với 1 ,n n E E ∞ = =U thì: ( ) ( ) 1 .n n A E A Eµ µ ∞ ∗ ∗ = ∩ = ∩∑ Định lý 1.7.2.3 [ ]1 Nếu µ∗ là một ñộ ño ngoài trên σ - vành di truyền H và nếu S là lớp tất cả các tập µ∗ - ño ñược, thì mỗi tập có ñộ ño ngoài bằng 0 thuộc vào S và hàm tập µ xác ñịnh trên S ñược cho bởi ( ) ( ) ,E E E Sµ µ∗= ∀ ∈ là một ñộ ño ñủ trên S . 13 Độ ño µ ñược gọi là ñộ ño cảm sinh bởi ñộ ño ngoài µ∗ . Độ ño µ là hạn chế của ñộ ño ngoài µ∗ trên S và ñược ký hiệu S µ µ∗= . Định lý 1.7.1 [ ]1 Mọi tập trong ( )σ ε là các tập µ∗ ño ñược. Định lý 1.7.2 [ ]1 Nếu ( )E H ε∈ thì: ( ) ( ){ } ( ) ( ){ } inf : inf : E E E F S F E F µ µ µ σ ε ∗ = ⊂ ∈ = ⊂ ∈ Nghĩa là, ñộ ño ngoài cảm sinh bởi µ trên ( )σ ε và ñộ ño ngoài cảm sinh bởi µ trên S trùng nhau. Định nghĩa 1.7.1 [ ]1 Tập ( )F σ ε∈ ñược gọi là một phủ ño ñược của tập ( )E H E∈ nếu mọi tập ( )G σ ε∈ mà \G F E⊂ thì ( ) 0Gµ = . Định lý 1.7.3 [ ]1 Nếu một tập ( )E H ε∈ có ñộ ño ngoài σ - hữu hạn thì tồn tại một phủ ño ñược ( ) ( )F ε σ ε∈ sao cho: ( ) ( )E Fµ µ∗ = . Định lý 1.7.4[ ]1 Nếu 1 2,F F là các phủ ño ñược của ( )E H ε∈ thì ( )1 2 0F Fµ ∆ = , nếu F là phủ ño ñược của E thì ( ) ( )E Fµ µ∗ = . Định lý 1.7.5[ ]1 Nếu ñộ ño µ trên σ - vành ε là σ - hữu hạn thì ( )σ εµ và Sµ cũng σ - hữu hạn. 1.8. KHUYẾCH , ĐẦY ĐỦ VÀ XẤP XỈ MỘT ĐỘ ĐO 14 Định lý 1.8.1[ ]1 Nếu µ là ñộ ño σ - hữu hạn trên vành ε , thì tồn tại một ñộ ño duy nhất µ trên σ - vành ( )σ ε sao cho ε µ µ= . Định lý 1.8.2[ ]1 Cho µ là ñộ ño trên σ - vành K và ñặt: ( ){ }: , , , 0K E N E K B K N B Bµ= ∆ ∈ ∃ ∈ ⊂ = . Khi ñó K là một σ - vành và hàm tập µ xác ñịnh bởi ( ) ( )E N Eµ µ∆ = là một ñộ ño ñủ trên K . Định lý 1.8.3 [ ]1 Nếu µ là ñộ ño σ - hữu hạn trên vành ε và µ∗ là ñộ ño ngoài ñược cảm sinh bởi ñộ ñô µ thì tính ñủ của ñộ ño mở rộng của µ trên ( )σ ε ñồng nhất với tính ñủ của µ∗ trên lớp tất cả các tập µ∗ - ño ñược. Định lý 1.8.4[ ]1 Nếu µ là ñộ ño σ - hữu hạn trên vành ε , thì với mọi tập E có ñộ ño hữu hạn trong ( )σ ε và với mọi số dương ε , tồn tại tập 0E ε∈ sao cho ( )0E Eµ ε∆ ≤ . 1.9. ĐỘ ĐO TRONG (Inner measures) Định lý 1.9.1 [ ]1 Nếu ( )E H S∈ , thì: ( ) ( ){ } ( )sup : 1.12E F E F Sµ µ∗ ≤ ⊃ ∈ Mặt khác do ñịnh lý 2.3.1 với mọi F S∈ tồn tại tập G S∈ sao cho G F⊂ và ( ) ( )F Gµ µ= . Nên: 15 ( ){ } ( ){ } ( ) ( ) sup : sup : 1.13 F E F S G E G S E µ µ µ ∗ ⊃ ∈ = ⊃ ∈ = Từ ( )2.3.1 và ( )2.3.2 suy ra ñiều phải chứng minh. Định nghĩa 1.9.1[ ]1 Tập F S∈ ñược gọi là hạt nhân ño ñược của tập ( )E H S∈ nếu F E⊂ và mọi tập G S∈ mà \G E F⊂ thì ( ) 0Gµ = . Định lý 1.9.2 [ ]1 Mọi tập ( )E H S∈ có một hạt nhân ño ñược. Định lý 1.9.3[ ]1 Nếu ( )E H S∈ và F là hạt nhân ño ñược của E thì ( ) ( )F Eµ µ∗= , nếu 1F và 2F ñều là các hạt nhân ño ñược của E thì ( )1 2 0F Fµ ∆ = . Định lý 1.9.4 [ ]1 Nếu { }nE là dãy các tập rời nhau trong ( )H S thì: ( ) 11 n n nn E Eµ µ ∞ ∞ ∗ ∗ ==   ≥    ∑U . Định lý 1.9.5[ ]1 Nếu ( )A H S∈ và nếu { }nE là dãy các tập rời nhau với 1 n n E E ∞ = =U thì: ( ) ( ) 1 n n A E A Eµ µ ∞ ∗ ∗ = ∩ = ∩∑ . Định lý 1.9.6[ ]1 Nếu E S⊂ thì ( ) ( ) ( )E E Eµ µ µ∗ ∗= = . Ngược lại nếu ( )E H S∈ và ( ) ( )E Eµ µ∗ ∗= < ∞ thì E S∈ . Định lý 1.9.7. [ ]1 Nếu ( ) ( ).E H S F H S∈ ∈ và E F φ∩ = thì: ( ) ( ) ( ) ( )E F E F E Fµ µ µ µ∗ ∗∗∪ ≤ + ≤ ∪ . 16 Định lý 1.9.8 [ ]1 Nếu E S∈ thì với mọi tập con A X⊂ có: ( ) ( ) ( )cA E A E Eµ µ µ∗∩ + ∩ = . 1.10. ĐỘ ĐO LEBESGUE (Lebesgue measure) Định lý 1.10.1[ ]1 Mỗi tập ñếm ñược trong ℜ là một tập Borel có ñộ ño khong (tập A ñược gọi là có ñộ ño không nếu ( ) 0Aµ = ). Định lý 1.10.2 [ ]1 Gọi u là lớp tất cả các tập mở rộngℜ . khi dó: ( ) ( )P uσ σ= . Định lý 1.10.3[ ]1 Nếu E ⊂ ℜ thì: ( ) ( ){ }inf :E U E U uµ µ∗ = ⊂ ∈ . Định lý 1.10.4 [ ]1 Nếu T là một hàm từ ℜ ñược xác ñịnh bởi ( )T x ax β= + , trong ñó ,α β∈ℜ ∈ℜ và 0α ≠ , thì: ( ) ( ).E Eµ α µ∗ ∗= và ( )( ) ( ).T E Eµ α µ∗ ∗= . Chương 2- LÝ THUYẾT TÍCH PHÂN (The Theory of the Integral) 2.1. ĐỊNH NGHĨA VÀ KHÁI NIỆM Định nghĩa 2.1.1[ ]3 Nếu f là ño ñược không âm trên không gian ño (χ :F: )µ thì tích thân của f theo ñộ ño µ ñược xác ñịnh như sau: ( ) ( ) ( ) ( )lim n n f x dx f x dxµ µ=∫ ∫ . Suy ra: ( ) ( ) ( ) ( )lim limn m n m f x dx g x dxµ µ=∫ ∫ . 17 Định nghĩa 2.1.2[ ]3 Tích phân bất ñịnh của một hàm ño ñược f là hàm tập xác ñịnh trên lớp các tập ño ñược E bởi ( ) ( ) ( ) E v E f x dxµ= ∫ . Định nghĩa 2.1.3 [ ]3 Với f là hàm ño ñược ta ñặt ( )max ;0f f+ = và ( )1 min ;0f f− = − . Giả sử ( )( ) ( )1min :f dx f dxµ µ+ − < ∞∫ ∫ , ta xác ñịnh tích phân của f theo ñộ ño bởi: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x dx f x dx f x dxµ µ µ+ −= −∫ ∫ ∫ . Dãy cơ bản theo trung bình và sự hội tụ theo ñộ ño. Định lý 2.1.1[ ]3 Một dãy hàm cơ bản theo trung bình { }nf các hàm khả tích cũng là dãy hàm cơ bản theo ñộ ño. Định lý 2.1.2[ ]3 Nếu { }nf là dãy cơ bản theo trung bình các hàm ñơn giản khả tích và tích phân bất ñịnh của nf là ,nv n N∈ thì ( ) ( )lim n n v E v E= . Tồn tại với mỗi tập ño ñược E và hàm tập v có giá trị hữu hạn và cộng tính ñếm ñược (σ cộng tính). Định lý 2.1.3 [ ]3 Nếu { }nf là dãy cơ bản theo trung bình các hàm khả tích và tích phân bất ñịnh của nf là ,nv n N∈ thì hàm tập nv là liên tục tuyệt ñối ñều. Định lý 2.1.4 [ ]3 Nếu { }nf và { }ng là các dãy hàm cơ bản theo trung bình các hàm ñơn giản khả tích hội tụ theo ñộ ño tới cùng một giới hạn là hàm ño ñược f và nếu nv và nλ lần lượt là các tích phân bất ñịnh của nf và ng . Với mỗi tập ño ñược E , ta ñặt: 18 ( ) ( )lim n n v E v E= và ( ) ( )lim n n E Eλ λ= Thì các hàm tập v và λ trùng nhau. Định lý 2.1.5 [ ]3 Nếu { }nf là một dãy các hàm khả tích hội tụ theo trung bình tới f thì { }nf hội tụ tới f theo ñộ ño. 2.2. CÁC TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN Định lý 2.2.1[ ]3 /a Nếu f là một hàm ño ñược và c là một hằng số thì: ( ) ( ) ( ) ( ). .c f x dx c f x dxµ µ=∫ ∫ /b Nếu f và g các hàm ño ñược và f g≤ thì: ( ) ( ) ( ) ( )f x dx g x dxµ µ≤∫ ∫ . Định lý 2.2.2 [ ]3 /a Nếu ( ) ( )f x dxµ∫ tồn tại thì ( ) ( ) ( ) ( )f x dx f x dxµ µ≤∫ ∫ . /b Nếu ( ) ( )f x dxµ∫ tồn tại thì ( ) ( ) ( ). Af x x dxχ µ∫ tồn tại với mỗi A χ∈ ; nếu ( ) ( )f x dxµ∫ hữu hạn thì ( ) ( ) ( ). Af x x dxχ µ∫ cũng hữu hạn. /c Nếu f và g là các hàm ño ñược không âm hay ( ) ( )f x dxµ < ∞∫ và ( ) ( )g x dxµ < ∞∫ thì: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dxµ µ µ + = + ∫ ∫ ∫ . Định lý 2.2.3[ ]3 Nếu f là một hàm khả tích không âm hẩu khắp 19 nơi, thì diều kiện cần và ñủ ñể ( ) ( ) 0f x dxµ =∫ là 0 .f a e= Định lý 2.2.4[ ]3 Nếu f là hàm khả tích và dương hầu khắp nơi trên tập ño ñược E và ( ) ( ) 0 E f x dxµ =∫ , thì ( ) 0Eµ = . Định lý 2.2.5 [ ]3 Nếu f là hàm khả tích sao cho ( ) ( ) 0 F f x dxµ =∫ với mọi tập ño ñược ,f thì 0f = hầu khắp nơi. Định lý 2.2.6[ ]3 Nếu f là một hàm khả tích thì tập ( ) ( ){ }: 0N f x f x= ≠ có ñộ ño σ -hữu hạn. 2.3. ĐÃY CÁC HÀM KHẢ TÍCH (Sequences of integrable function) Định lý 2.3.1[ ]4 Nếu { }nf là dãy hàm cơ bản theo trung bình các hàm ñơn giản khả tích hội tụ. Theo ñộ ño tới hàm khả tích f thì: ( ) ( ) ( ) ( ), 0n nf f f x f x dxρ µ= − →∫ khi n→∞ . Định lý 2.3.2 [ ]4 Nếu { }nf là dãy hàm cơ bản khả tích tồn tại hàm khả tích f sao cho ( ), 0nf fρ → . 2.4. ĐỊNH LÝ VỀ HỘI TỤ BỊ CHẶN Cho dãy ánh xạ ( ):n n Nf I ∈→ℜ . Nếu: • Với mọi n thuộc , nN f liên tục từng khúc trên I . • ( )n n Nf ∈ hội tụ ñơn trên I ñến một ánh xạ ký hiệu là f . • f liên tục từng khác trên I . 20 • Có : Iϕ →ℜ liên tục từng khúc, không âm khả tích trên I sao cho: , nn N f ϕ∀ ∈ ≤ (giả thiết bị chặn) Thì: • Với mọi n thuộc N , nf khả tích trên I . • f khả tích trên I . • ( ) ( )n nI If x dx f x dx→∞→∫ ∫ . Mệnh ñề 2.4.1 [ ]4 Cho một dãy ánh xạ ( ):n n Nf I K ∈→ . Nếu: • Với mọi n thuộc , nN f liên tục và khả tích trên I . • ( )n n Nf ∈ hội tụ ñều trên I ñến một ánh xạ ký hiệu là f . • I bị chặn Thì: • f liên tục và khả tích trên I . • ( ) ( )n nI If x dx f x dx→∞→∫ ∫ . 2.5. HỘI TỤ ĐỀU VÀ LẤY TÍCH PHÂN TRÊN MỘT ĐOẠN Định lý2.5.1[ ]4 Giả sử ( ) 2,a b ∈ℜ sao choa b≤ và [ ]( ) 0 : ;n n f a b E ≥ →∑ là một chuỗi ánh xạ. Nếu: • Với mọi , nn N f∈ liên tục trên [ ];a b . • 0 n n f ≥ ∑ hội tụ ñều trên [ ];a b . Thì: 21 • 0 n n f +∞ = ∑ liên tục trên [ ];a b . • ( )( ) 0 b n a n f x dx ≥ ∑ ∫ hội tụ trong E . • ( ) ( ) 0 0 b b n n a a n n f x dx f x dx +∞ +∞ = =   =    ∑ ∑∫ ∫ . Mệnh ñề 2.5.1 [ ]4 Cho chuỗi ánh xạ liên tục [ ]( ) 0 : ;n n f a b E ≥ →∑ hội tụ chuẩn tắc trên [ ];a b . Khi ñó, 1 0 n n f ≥ ∑ hội tụ trong ℜ , 0 n n f +∞ = ∑ liên tục trên [ ];a b và 1 0 01 n n n n f f +∞ +∞ = = ≤∑ ∑ . Nhắc lại, nhận xét với [ ]( ); ,g C a b E∈ , ta kýhiệu: ( ) ( )11 bag N g g t dt= =∫ . Chương 3- CÁC ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN Định lý 3.1.1 [ ]5 Với mọi ánh xạ [ ]: ;f a b E→ liên tục từng khúc, có một dãy [ ]( ): ;n n Ne a b E ∈→ những ánh xạ bậc thang trên [ ];a b hôi tụ ñều ñến f trên [ ];a b . Định lý 3.1.2 [ ]5 Với mọi ánh xạ [ ]: ;f a b E→ lien tục, có một dãy [ ]( ): ;n n Na b Eϕ ∈→ những ánh xạ afin từng khúc và liên tục, hội tụ ñều ñến f trên [ ];a b . 3.1. ĐỊNH LÝ RIEMANN-LEBESGUE TRÊN MỘT ĐOẠN 22 Cho [ ]: ;f a b C→ liên tục từng khúc. ( ) 0b ixt xa f t e dt →+∞→∫ . Cho 0ε > . Theo ñịnh lý 3.1.1, có một ánh xạ bậc thang [ ]: ;a b Nϕ → sao cho f b a εϕ ∞ − ≤ − . Ký hiệu ( )0k k Na ≤ ≤ là mọt phần hoạch của [ ];a b tương thích với ϕ và kλ là giá trị của ϕ trên ] [1;k ka a + với mọi k thuộc { }0,..., 1N − .Khi ñó, ta có: ] [ ( ) 11 1 1 0 0 0; , k k k k ixa ixaN Nb bixt ixt k k a a k k e e x t e dt e dt ix ϕ λ λ + + − − = = −∀ ∈ +∞ = =∑ ∑∫ ∫ Từ ñó : ] [ ( ) 11 0 20; , k kixa ixaNb ixt k a k e e NM x t e dt x x ϕ λ +− = −∀ ∈ +∞ = ≤∑∫ Trong ñó: 0 kk N M Max λ ≤ ≤ = . Vì N cổ ñịnh nên có ] [0 0;x ∈ +∞ sao cho : ] [0 2; , NMx x x ε∀ ∈ +∞ ≤ . Khi ñó, với mọi x thuộc [ [0;x +∞ ta có: ( ) ( ) ( )( ) ( )b b bixt ixt ixt a a a f t e dt f t t e dt t e dtϕ ϕ≤ − +∫ ∫ ∫ ( ) 2b a f ϕ ε ε ∞ ≤ − − + ≤ Vậy, ta ñã chứng minh: ] [ ] [ ( )0 00, 0; , ; , b ixt a x x x f t e dtε ε∀ > ∃ ∈ +∞ ∀ ∈ +∞ ≤∫ Tức là: ( ) 0b ixt xa f t e dt →+∞→∫ . 3.2. ĐỊNH LÝ RIEMANN-LEBESGUE TRÊN MỘT KHOẢNG Bồ ñề Lebesgue: 23 Cho ( ) 2,a b ∈ℜ sao cho [ ], : ;a b f a b C≤ → liên tục từng khúc. Khi ñó: ( ) 0b i t a f t e dtλ λ→+∞→∫ a/ Tính chất ñó là ngay tức khắc khi 1f = , vì: 2 0 i b i ab i t a e e e dt i λ λ λ λλ λ →+∞ − = ≤ →∫ . b/ sử dụng hệ thức Chasles , suy ra từ ñó rằng tính chất vẫn ñúng khi f là hàm bậc thang trên [ ];a b . c/ Cuối cùng, cho [ ]: ;f a b C→ liên tục từng khúc, cho 0ε > , có một ánh xạ bậc thang [ ]: ;e a b C→ sao cho f e ε ∞ − < . Khi ñó ta có: ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ), b bi t a a f t e t e dt f t e t dt b aλλ ε+∀ ∈ℜ − ≤ − ≤ −∫ ∫ Mặt khác, có 0λ +∀ ∈ℜ sao cho: ( )0, b i t a e t e dtλλ λ λ ε+  ∀ ∈ℜ ≥ ⇒ ≤   ∫ Vậy với mọi λ +∈ℜ sao cho 0λ λ≥ , ta có: ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )1 b b bi t i t i t a a a f t e dt f t e t e dt e t e dt b a λ λ λ ε ≤ − + ≤ + − ∫ ∫ ∫ Nó chứng tỏ ( ) 0b i t a f t e dtλ λ→+∞→∫ . 3.3. TÍCH PHÂN TRÊN MỘT ĐOẠN MỘT ÁNH XẠ LIÊN TỤC TỪNG KHÚC Mệnh ñề 3.3.1 [ ]4 Cho [ ]: ,f a b →ℜ , liên tục từng khúc. Các bộ 24 phận của ( ){ }: ; , ,ba E a b fϕ ϕ ϕℜ ∈ ≤∫ và ( ){ }; , ,ba E a b fψ ψ ψ∈ ≤∫ theo thứ tự biên trên và Biên dưới trong ℜ , và các biên ñó bằng nhau. Ta gọi biên chung ñó là tích phân của f (trên [ ],a b ) và ký hiệu: b a f∫ hay: [ ],a b f∫ hay: ( ) b a f x dx∫ ( )b a f x dx =∫ ( ) ( ) ( ) ( ), ,b b ba a aE a b E a b f f f Sup Inf ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ ∈ ∈ ≤≤ ≤ = =∫ ∫ ∫ Mệnh ñề 3.3.2 Cho ( ) ( )0, , i i ne E a b s a S≤ ≤∈ = ∈ , tương thích với e , và với mọi ( ){ }0,..., 1 , ii n λ∈ − là giá trị của e trên ] [1,i ia a + . Số thực ( )1 1 0 n i i i i a a λ − + = −∑ không phụ thuộc phân hoạch s tương tích với e số thực này ñược gọi là tích phân của e trên [ ],a b và ñược ký hiệu là b a e∫ hay ( )ba e x dx∫ . 3.4. Các tịnh chất ñại số Mệnh ñề 3.4.1 Ánh xạ CM ( )b a f f x dx →ℜ ∫a là một dạng tuyền tính, nghĩa là: ( ),f g∀ ∈( CM )2 ( ) ( )( ) ( ) ( ), b b b a a a f x dx g x dx f x dx g x dxλ λ λ∀ ∈ℜ + = +∫ ∫ ∫ . 3.5 CÁC ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG VẬT LÝ 3.5.1 Tích phân mặt Định nghĩa 3.5.1.1 [ ]5 Giả sử D là một compăc của ℜ . 3:F D→ℜur 25 là một lớp tham số hóa thuộc lớp 1C . :f D→ℜ là một ánh xạ thuộc lớp 1C . Ta gọi tích phân kép: ( ), dud D F Ff u v v u v ∂ ∂ ∧ ∂ ∂∫∫ ur ur là tích phân mặt. 3.5.2. Diện tích một phần của mặt Định nghĩa 3.5.2 [ ]5 Giả sử S là một mặt có biểu diễn tham số 3:F D→ℜ ur thuộc lớp 1C Ta gọi số thực ký hiệu là: A ( )S = D F F dudv u v ∂ ∂ ∧ ∂ ∂∫∫ ur ur là diện tích của S . 3.5.3. Khối lượng của một bản ghềnh Định nghĩa 3.5.3.1 [ ]5 Ta gọi, số thực µ xác ñịnh bởi tích phân mặt: ( ) S M dSµ σ= ∫∫ , trong ñó M là một ñiểm chạy của S và dS là một yếu tố diện tích, là khối lượng của một bản ghềnh ( ),S σ của 3ℜ . Như vậy, nếu S có một biểu diễn tham số ( ) ( ) 3 , , : u v F u v F D→ℜ a ur thì khối lượng của ( ),S σ . Sẽ là: ( )( ), D F FF u v dudv u v µ σ ∂ ∂= ∧ ∂ ∂∫∫ ur ur ur . 3.5.4. Tâm quán tính của một bản ghềnh Định nghĩa 3.5.4.1[ ]5 Tâm quán tính của một bản ghềnh ( ),S σ là 26 một ñiểm G thuộc 3ℜ xác ñịnh bởi: ( ) ( ) 1 , S OG M OMdS S σ µ σ = ∫∫ uuur uuuur . 3.5.5. Moment quán tính của một bản ghềnh Định nghĩa 3.5.5.1[ ]5 Giả sử H là một ñường thẳng hoặc một mặt phẳng của 3ℜ , với mọi M thuộc 3ℜ ta ký hiệu ( ),d M H là khoảng cách từ M ñến H . Moment quán tính của một bản ghềnh ( ),S σ ñối vớiH là số thực HI xác ñịnh bởi: ( ) ( )( )2,H s I M d M H dSσ=∫∫ , Trong ñó M chạy trên S và dS là yếu tố diện tích của S . KẾT LUẬN Luận văn ñã trình bày lý thuyết tích phân dựa trên lý thuyết tập hợp một cách chặc chẽ. Luận văn ñã thực hiện ñược các nội dung sau: 1. Trình bày các cấu trúc về tập hợp như σ - vành, σ - ñại số, vành ñơn ñiệu 2. Trình bày lý thuyết ñộ ño và các vấn ñề liên quan. 3. Trình bày lý thuyết tích phân và các ứng dụng của chúng. Thời gian thực hiện luận văn có hạn nên nhiều vấn ñề sâu sắc hơn chưa ñược ñề cập và chắc chắn không tránh khỏi những kiếm khuyết, chúng tôi rất mong nhận ñược sự ñóng góp ý kiến của quý thầy cô giao và các ñồng nghiệp.