Luận văn Phương pháp toán tử cho bài toán exciton hai chiều

+ ( ) ( ) ( ) 1 11 1 ˆ ˆ ˆ0 1 0 1 1 ! 1 ! n n a n a n a n n n n + ++ + +    = = + = + +  +  . Tương tự, ta cũng thấy rằng mỗi tốn tử sinh cĩ tác dụng “sinh” (tăng) lên một bậc của vector trạng thái. Như vậy cứ cĩ bao nhiêu tốn tử sinh tác dụng lên vector trạng thái thì sẽ sinh thêm bấy nhiêu bậc của nĩ. 5. Chứng minh sự liên hợp của ˆ ˆ+a,a , 1 , 1 ˆ 1 , ˆ 1 , n j n j n a j j n j j j a n j j n j − + − = − = = − = δ δ ˆ ˆn a j j a n+⇒ = . Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hồng Đỗ Ngọc Trầm
2010
SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 41 Nhận xét: Từ các tính chất (3, 4, 5) ở trên ta thấy rằng: nếu như tác dụng một tốn tử chứa cùng số tốn tử sinh và tốn tử hủy lên một vector trạng thái, thì sẽ khơng làm vector này thay đổi bậc, và ta gọi các tốn tử như thế là tốn tử “trung hịa”; ngược lại nếu tốn tử chứa số tốn tử sinh – hủy khác nhau thì sẽ làm thay đổi bậc của vector trạng thái. Đây là một tính chất rất quan trọng trong các tính tốn đại số khi sử dụng biểu diễn tốn tử và cũng chính là yếu tố để ta tiến hành việc tách tốn tử Hamilton của hệ thành hai thành phần: trung hịa và nhiễu loạn. Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hồng Đỗ Ngọc Trầm
2010
SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 42 Phụ lục 2. Dạng chuẩn (normal) của một số tốn tử trong luận văn Dạng chuẩn (normal) của một tốn tử được định nghĩa là dạng đã được biến đổi sao cho tốn tử hủy luơn về phía bên phải của biểu thức, tốn tử sinh luơn về phía bên trái của biểu thức. aˆ+ trái aˆ phải. Mục đích của việc đưa các biểu thức tốn tử về dạng chuẩn là giúp cho việc tính tốn trong các bài tốn chứa nhiều loại tốn tử được dễ dàng hơn rất nhiều. Thực vậy, khi biểu biễn tất cả trạng thái qua trạng thái cơ bản 0( )ω thì lợi dụng tính chất ˆ 0( ) 0a =ω và ˆ 0( ) 0b ω = , chúng ta sẽ biểu diễn tất cả trạng thái cịn lại qua biểu thức chỉ cịn một loại tốn tử sinh tác dụng. A. Trường hợp các tốn tử sinh, hủy với số mũ lũy thừa Trường hợp này ta chỉ cần áp dụng các tính chất của giao hốn tử trên là cĩ thể đưa về dạng chuẩn. Ví dụ: Đưa tốn tử ( )22ˆ ˆa a+ về dạng chuẩn ta thực hiện như sau: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 22 2 2 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ1 1 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ1 1 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 3 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 3 ˆ ˆ ˆ ˆ2 4 . a a a aa a a a a a aa aa aa a a a a a a a a a a a aa a a a a a a a a a a a a a a a a a + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + = = + = + = + + + + = + + + + = + + + = + + + = + + Các phép biến đổi trên thường được áp dụng khi các biểu thức tốn tử cĩ dạng như các đa thức. Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hồng Đỗ Ngọc Trầm
2010
SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 43 B. Trường hợp hàm e mũ của các tốn tử sinh, hủy Đối với dạng hàm e mũ thì khi vận dụng phép biến đổi như trên sẽ gặp khĩ khăn. Vì các tốn tử sinh hủy trên mũ khi khai triển để đưa về dạng chuẩn sẽ cĩ bậc lũy thừa rất cao. Nên ta phải áp dụng phương pháp biến đổi khác như dưới đây. Ví dụ: ( )ˆ ˆt a ae + + Vì ta cĩ hệ thức giao hốn ˆ ˆ, 1a a+  =  nên từ đây các tốn tử ˆ ˆ,a a + và số 1 tạo thành một đại số kín. Như vậy ta cĩ thể viết: ( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )t a a f t a g t a h te e e e F t+ ++ = = . (A2.1) và tiến hành tìm các hàm số ( ), ( ), ( )f t g t h t theo các bước sau: Bước một: Lấy đạo hàm hai vế của (2.1) theo biến số t ta cĩ: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ' ' 't a aa a e f t a F t g t aF t h t F t+ ++ ++ = + + . (A2.2) Định nghĩa hàm nghịch đảo của ( )F t là ( )1F t− sao cho ( ) ( )1. 1F t F t− = ta cĩ: ( ) ˆ ˆ1 ( ) ( ) ( )h t g t a f t aF t e e e +− − − −= . (A2.3) Nhân hai vế (2.2) cho ( )1F t− và thu gọn các số hạng ta được: ( ) ( ) ( )ˆ ˆ( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆ' ' 'f t a f t aa a f t a g t e ae h t+ ++ + −+ = + + (A2.4) Bước hai: Sử dụng cơng thức quen thuộc (phụ lục 1): ˆ ˆ 1 1 2! 3! ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ A A e B e = B+ A,B + A, A,B + A, A, A,B +...−                    cùng với hệ thức giao hốn của ˆ ˆ,a a+ ta cĩ: ( ) ( )ˆ ˆ( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, ...f t a f t ae ae a f t a a a f t+ +− + = + + = −  . Thay vào (2.4), ta cĩ: ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ˆ ˆ ˆ ˆ' ' ' ˆ ˆ' ' ' ' . a a f t a g t a f t h t f t a g t a h t g t f t + + + + = + − + = + + − (A2.5) Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hồng Đỗ Ngọc Trầm
2010
SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 44 Bước ba: Đồng nhất hai vế của (2.5) và chọn điều kiện biên Đồng nhất hai vế, ta cĩ hệ phương trình: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' 1, ' 1, ' ' 0. f t g t h t g t f t =  =  − = Giải hệ này ta cĩ: ( ) ( ) ( ) 1 2 2 1 3 , , . 2 f t t c g t t c th t c t c        = + = + = + + Dựa vào biểu thức (2.1), ta cĩ điều kiện khi t = 0 thì: f(t) = g(t) = h(t)= 0. Suy ra: c1= c2 = c3 = 0. Như vậy dạng chuẩn của ( )ˆ ˆt a ae + + là: ( ) 2ˆ ˆ ˆ ˆ / 2t a a ta ta te e e e+ ++ = . (A2.6) Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hồng Đỗ Ngọc Trầm
2010
SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 45 Phụ lục 3: Yếu tố ma trận cho tốn tử Hamilton của dao động tử phi điều hịa A. Tính các yếu tố ma trận của tốn tử Hamilton (phương pháp giải tích) 3.1 Tính các yếu tố ma trận: Theo [1] ta cĩ: 1 1 1( ) . ( ) ( ) 2n n n H n H Hξ ξ ξ ξ − += + . Khi đĩ yếu tố ma trận H được tính: 2 (0)* (0) (0)* 2 (0) 0 2 1 1 ˆ ( ) 2 2nn n n n n dH H dx x dx dx +∞ +∞ −∞ −∞ = Ψ Ψ = Ψ − + Ψ∫ ∫ 2 2 2 2 2 (0)* 2 2 1 1( 1) exp exp 2 2 2 2 n n n x x n n n n d x d x dA e x e dx dx dx dx +∞ − − −∞       = − Ψ − +              ∫ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 (0)* 2 2 1 2 2 1 2 exp exp exp 2 2 21 1( 1) exp 2 2 2 exp exp 2 2 n n n x x x n n n n n x n n nn n x x n n x d x d x d e x e x e dx dx dx x dA x e dxx d x d x e e dx dx + − − − ++∞ − + + −∞ − − + +         + +                 = − Ψ − +           + +           ∫ dx  ( ) 2 (0)* 1 2 1 1 ˆ2 exp 2 2 2 1 11 2 2 n n n n n A x n n n n A xH x dx A n n +∞ + + −∞   = − − + + Ψ −    = − + + = + ∫ 3.2 Tính yếu tố ma trận V Từ 1 1 1( ) . ( ) ( ) 2n n n H n H Hξ ξ ξ ξ − += + , ta tính được: 2 1 1 2 2 1 1 1 . ( 1) . , 2 2 4n n n n n n H n H H n H n n H Hξ ξ ξ − + − +   = + = + + − +    3 2 2 2 1 3 1 3 1 1 3 3 1( ) ( 1) . ( 1)( 2) ( 1) 2 4 2 4 8n n n n n n n n H n H n n H H n H n n n H n H Hξ ξ ξ ξ ξ − + − − + +   = + + − + = + − − + + +    4 2 2 4 4 2 3 1 1(2 2 1) (2 3) ( 1)( 2)( 3) ( 1)(2 1) 4 4 16n n n n n n H n n H n H H n n n H n n n Hξ + + − −= + + + + + + − − − + − − Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hồng Đỗ Ngọc Trầm
2010
SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 46 Tính: ( ) ( ) 2 2 *(0) (0) *(0) 4 *(0) 22 2 4 4 2 ˆ( ) ( ) exp 2 3 1 1 . 2 2 1 (2 3) ( 1)( 2)( 3) ( 1)(2 1) 4 4 16 m n m n n x m n n n n n mn x x V dx x A x H x dx e n n H n H H n n n n H n n n H dx V λ λ λ +∞ +∞ −∞ −∞ +∞ − + + − − −∞   = Ψ Ψ = Ψ − =      = Ψ + + + + + + − − − + − −    ∫ ∫ ∫ ( )2 2 4 4 2 2 4 4 2 3 2 2 1 (2 3) ( 1)( 2)( 3) ( 1)(2 1) 4 4 16 n n n n mn n n n n n n n n A A A A n n n n n n n n n n A A A A λ δ δ δ δ δ+ + − − + + − −   = + + + + + + − − − + − −    Khi đĩ: ( ) 2 *(0) (0) *(0) 4 , 4 4 4 ˆ( ) ( ) exp ( 4)( 3)( 2)( 1) 2 4n n n n n n n xV x V dx x A x H x dx n n n nλλ λ +∞ +∞ + + + −∞ −∞   = Ψ Ψ = Ψ − = + + + +    ∫ ∫ ( ) 2 *(0) (0) *(0) , 2 2 2 ˆ( ) ( ) exp (2 3) ( 2)( 1) 2 2n n n n n n n xV x V dx x A H x dx n n nλλ λ +∞ +∞ + + + −∞ −∞   = Ψ Ψ = Ψ − = + + +    ∫ ∫ B. Tính các yếu tố ma trận của tốn tử Hamilton( OM) Ta cĩ: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 22 4 4 3 24 3 2 2 1 1 3 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 1 2 2 1 4 4 4 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ4 4 6 6 . 4 H a a a a a a a a a a a a a a a a ω ω λ ω ω ω λ ω + + + + + + + +                 + − = + + + + + + + + + + + + Ta tách ˆH thành hai phần: 0ˆ ˆ ˆH H V= + , ( ) ( )2 20 21 3ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 1 2 2 14 4H a a a a a aω λω ω+ + +   += + + + + , ( )( ) ( ) ( ) ( )2 2 4 3 22 3 2 421ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ4 6 4 6 .4 4V a a a a a a a a a aω λω ω+ + + + +   −= + + + + + + + Ta tính các phần tử ma trận khác khơng của ˆH : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 0 2 2 2 2 1 3 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 1 2 2 1 4 4 1 32 1 2 2 1 , 4 4 nn nn H H n a a a a a a n n n n ω λ ω ω ω λ ω ω + + +     + = = + + + + + = + + + + ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 2 2 3 2 , 2 2 2 2 2 2 1 ˆ ˆ ˆ ˆ4 6 2 4 4 2 !1 14 6 2 1 2 3 , 4 4 !4 2 n nV n a a a a n n n n n n n ω λ ω ω ω λ ω λ ω ωω ω + + − = + + + +   − − = + + + + = + +        Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hồng Đỗ Ngọc Trầm
2010
SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 47 ( )4 , 4 2 2 4 ! ˆ 4 4 4 !n n n V n a n n λ λ ω ω+ + = + = ; các phần tử ma trận khác được tính dựa vào tính đối xứng: nm mnV V= . Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hồng Đỗ Ngọc Trầm
2010
SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 48 Phụ lục 4: Phương trình Schrưdinger cho bài tốn exciton hai chiều Theo cơ học cổ điển, năng lượng của hệ gồm hai hạt tương tác ( ) 2 2 1 2 1 22 2 p pE U r m m = + + . trong đĩ r là khoảng cách giữa hai hạt, một cách tương ứng Hamiltonain của hệ bằng: ( ) 2 2 2 2 1 2 1 2 ˆ 2 2 H U r m m = − ∇ − ∇ +  . Gọi r1 và r2 là các bán kính vector của hạt 1 và hạt 2, r là bán kính vector từ hạt 1 sang hạt 2, R là bán kính vector của tâm bán kính G. Chúng ta cĩ các hệ thức: 1 1 2 2 2 1 1 2 , m r m r r r r R m m + = − = + . Chiếu hai biểu thức này xuống trục x ta cĩ: 1 1 2 2 2 1 1 2 1 2 ; m x m x x x x X m m m m = − = + + + . Theo hệ thức trên ta cĩ: 1 1 1 1 1 2 x X m x x x x x x m m X ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = + = − + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ; 2 2 22 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 1 2 1 2 2m m m x x x m m X x m m x X m m X      ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = = − + = − +     ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂      . Tương tự: 2 2 22 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2m m m x x x m m X x m m x X m m X      ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = = − + = − +     ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂      . Từ hai biểu thức trên ta cĩ: 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 2 1 1 1 1 1 1 m x m x m m x m m X  ∂ ∂ ∂ ∂ + = + + ∂ ∂ ∂ + ∂  . Tiến hành trên hai trục cịn lại ta thu được Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hồng Đỗ Ngọc Trầm
2010
SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 49 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 1 1 1 1 r G m m m mµ ∇ + ∇ = ∇ + ∇ + , trong đĩ 1 2 1 2 m m m m µ = + gọi là khối lượng rút gọn. Khi đĩ tốn tử Hamitonain cĩ dạng: ( ) 2 2 2 2 2 1 ˆ 2 2( )r GH U rm mµ   = − ∇ − ∇ Ψ +  +    (A4.1) * Dạng khơng thứ nguyên của phương trình thứ (2.9) ( ) ( ) 2 2 2 2 r r r Ze r E r r ψ ψ µ   − ∇ − =     . Hamilton cĩ dạng: 2 2 2 ˆ 2 r ZeH rµ = − ∇ − . đặt . , .x ya x a yρ ρ= = và E bε= ; 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 ; x y x x a a r x y x x a ρ ρ ρ ρ ∂ ∂ ∂ ∂ = ⇒ = = + = + ∂ ∂ ∂ ∂ ; 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2x y x y a aZe e Z bb a a µ µψ εψ ψ εψ µ ρ ρ ρ ρ ρ ρ       ∂ ∂ ∂ ∂    − + − = ⇒ − + − =         ∂ ∂ ∂ ∂             . Ta đặt: 2 2 2 2 0 . 11e ea a r µ µ = ⇒ = =   ; 2 2 4 2 2 2 .1b a eb a µ µ µ = ⇒ = =    . Khi đĩ ta thu được phương trình Schrưdinger khơng thứ nguyên sau: 2 2 2 2 1 2 x y Z ψ εψ ρ ρ ρ   ∂ ∂  − + − =   ∂ ∂    . (A4.2) Để thuận tiện ta cĩ thể viết lại phương trình Schrưdinger khơng thứ nguyên cĩ dạng: Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hồng Đỗ Ngọc Trầm
2010
SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 50 2 2 2 2 2 2 1 2 Z x y x y ψ εψ   ∂ ∂  − + − =  ∂ ∂ +    . (A4.3) Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hồng Đỗ Ngọc Trầm
2010
SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 51 Phụ lục 5: Hamilton cho bài tốn exciton hai chiều Chuyển từ tọa độ vuơng gĩc sang hệ tọa độ cực: os sin x rc y r ϕ ϕ =  = Chuyển từ tọa độ cực sang hệ tọa độ vuơng gĩc: 2 2 arctg r x y y x ϕ  = +   =  . 1. Tốn tử Hamilton ˆH Để chuyển tốn tử 2 2 2 2x y ∂ ∂∆ = + ∂ ∂ sang hệ tọa độ cực, ta tiến hành ta tiến hành chuyển các đạo hàm theo tọa độ vuơng gĩc sang tọa độ cực. Lấy ví dụ là đạo hàm theo biến x. Theo quy tắc đạo hàm của hàm số hợp: r r x x x ϕ ϕ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (A5.1) Muốn thực hiện phép chuyển này ta phải tính các đạo hàm riêng: ,r x x ϕ∂ ∂ ∂ ∂ , os 1 sin r x c x r x r ϕ ϕ ϕ ∂ = =∂ ∂ = −  ∂ , (A5.2) Thay (5.2) vào (5.1) ta được: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 os sin r 1 1 os sin os sin r r r 1 2 2 1 os sin sin os sin os sin r rr c x r r c c x x r x r c c c r r r r ϕ ϕ ϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ∂ ∂ ∂ = − ∂ ∂ ∂    ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = − + −   ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂    ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = + − + + ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ Tương tự tính cho y ∂ ∂ , với các đạo hàm riêng: Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hồng Đỗ Ngọc Trầm
2010
SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 52 sin ; 1 os r y c y r ϕ ϕ ϕ ∂ =∂ ∂ =  ∂ Ta cĩ: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 sin os sin os r r r 1 1 1 sin sin os os sin os r r r 2 2 1 1 sin sin os sin os os os r rr r c c y r y ry c c c r r r c c c c r rr r ϕϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ    ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = + + +   ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂        ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = + + +   ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂    ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = − + + + ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ 2 Khi chuyển 2 2 2 2x y ∂ ∂∆ = + ∂ ∂ sang hệ tọa độ cực ta được: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 = . rr r r r r rx y r rϕ ϕ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂  + + + = + ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂  . Từ cơng thức của tốn tử Laplace trong tọa độ cực, ta cĩ cơng thức của tốn tử Hamilton của electron. 2 2 2 1 1 ˆ ( ) 2 2 H r U r r r r r ϕ ∂ ∂ ∂  = − − + ∂ ∂ ∂  (A5.3) 2. Tốn tử ˆxL ˆ ˆ ˆ x z yL yp zp i y z z y  ∂ ∂ = − = − − ∂ ∂   (A5.4) Thay các biểu thức ở phần trên vào (3) ta cĩ: 1 sin sin os sin 1 1 os os sin sin os sin r sin y r c z r r c z rc c y r r θ ϕ θ θ θ ϕθ θ ϕ θ ϕ θ θ ϕ ∂ ∂ ∂  = − ∂ ∂ ∂   ∂ ∂ ∂ ∂ = + + ∂ ∂ ∂ ∂  Từ đĩ ta thu được: ˆ ˆ ˆ sin cot osx z yL yp zp i g cϕ θ ϕθ ϕ  ∂ ∂ = − = − + ∂ ∂   Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hồng Đỗ Ngọc Trầm
2010
SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 53 3. Với tốn tử ˆ ˆ,y zL L : ˆ ˆ y Z L i z y y z L i x y y x  ∂ ∂ = − − ∂ ∂   ∂ ∂ = − − ∂ ∂    Tương tự như tốn tử ˆxL , ta cũng thay các đạo hàm riêng cĩ được ở trên vào: ˆ os cot sin ˆ y Z L i c g L i ϕ θ ϕ θ ϕ ϕ  ∂ ∂ = − − ∂ ∂  ∂ = − ∂   4. Tìm riêng và trị riêng của tốn tử ˆzL Phương trình hàm riêng- trị riêng của ˆzL : ˆ z z z uL u L u i L u ϕ ∂ = → − = ∂ . Vì hàm U chỉ phụ thuộc vào biến số ϕ nên ta thay đạo hàm riêng tồn phần thành đạo hàm tồn phần: ( ) . z z iL dui L u d u C e ϕ ϕ ϕ − = = , hệ số C được xác định từ điều kiện chuẩn hĩa: 2 2 0 ( ) 1u d pi ϕ ϕ =∫ , ta được 1 . 2 C pi = Khi ϕ thay đổi một lượng 2pi thì hạt trở lại vị trí ban đầu. Do đĩ , để ( )u ϕ xác định đơn giá thì ( 2 ) 2 1 2 2 m= 0, 1, 2... z z z iL iL i L z z e e e L m L m ϕ ϕ pi pi ϕ pi pi + = = = = ± ± Vậy hàm riêng của tốn tử ˆzL là : 1( ) . 2 imu e ϕϕ pi = , Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hồng Đỗ Ngọc Trầm
2010
SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 54 và trị riêng là m= 0, 1, 2...zL m= ± ± Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hồng Đỗ Ngọc Trầm
2010
SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 55 Phụ lục 6: Các tốn tử sinh – hủy hai chiều ˆ ˆ( ) , ( ) , 2 2 ˆ ˆ( ) , ( ) ; 2 2 x x x x x x y y y y y y 1 1 a x a x x x 1 1b y b y y y ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω + +    ∂ ∂ = + = −   ∂ ∂       ∂ ∂ = + = −      ∂ ∂    Suy ra ( ) ( )22ˆ ˆ ˆ ˆ 22 a a a a x x ωω + ++ + = → = ( ) ( )22ˆ ˆ ˆ ˆ 22 b b b b y y ωω + ++ + = → = ( ) ( ) ˆ ˆ 2 ˆ ˆ 2 a a x b b y ω ω + + ∂ = − ∂ ∂ = − ∂ Suy ra : ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 21 1 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 2 2x y a a a a b b b b a a b bx y + + + + + +∂ ∂+ = + − + + − = − + −∂ ∂ Ta cĩ: ( ) ( ) ( ) 2 2 22 2 2 22 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 1 ; 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ2 1 . 2 x x y a a a a a a x b b b b y ω ω ω + + + + + ∂   = − = − − +  ∂ ∂   = − − +   ∂ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 22 2 2 2 2 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 2 2 ( ) ( ) 2 1 ˆ ˆ ˆ 2 a a b b x y a b a a b b a b M N M ω ω ω + + + + + + + ∂ ∂  + = − + −   ∂ ∂ = + − − − + + = − + Mặt khác: Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hồng Đỗ Ngọc Trầm
2010
SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 56 ( ) ( ) 22 2 22 2 1 ˆ ˆ ˆ ˆ2 1 ; 2 1 ˆ ˆ ˆ ˆ2 1 ; 2 x y x a a a a y b b b b ω ω + + + +   = + + +     = + + +    Suy ra: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 22 2 2 222 2 ˆ ˆ ˆ ˆ 2 2 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 2 1 ˆ ˆ ˆ 2 b ba a x y a b aa bb a a b b a b M N M ω ω ω ω ++ + + + + + + + ++ + = +   = + + + + + + +    = + + ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 2 yx z y x x y x y x y iL ix y b b a a a a b b y x i ab a b ab a b ωω ω ω ω ω ω ω ω ω + + + + + + + +   ∂ ∂  =− − = + − − + −     ∂ ∂     = − − + + −   Khi x yω ω ω= = , ta cĩ: ( ) ( )2 2 222 22 2 ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ2 2 2 ;2 a b a b a a b bx y ω + + + +∂ ∂  + = + + + − − −  ∂ ∂ ( ) ( )222 2 2 21 ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ2 2 2 .2x y a b a b a a b bω + + + + + = + + + + + +   ( )ˆ ˆˆ ˆ ˆzL i ab a b+ += − . A. Để thuận tiện trong tính tốn, ta sử dụng các tốn tử: ( ) ( ) 22 22 ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 1, , , ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ2 1, , , x y N a a A a A a N b b B b B b + + + + + + = + = = = + = = ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ; ;x yN N N M A B M A B + + + = + = + = + trong đĩ từng bộ ba tốn tử ˆ ˆˆ , ,xN A A+ , ˆ ˆ ˆ, ,yN B B+ , ˆ ˆ ˆ, ,M M N + tạo thành các đại số kín, thỏa mãn các hệ thức giao hốn: Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hồng Đỗ Ngọc Trầm
2010
SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 57 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ , 2 , , 4 , , 4 , ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ , 2 , , 4 , , 4 , ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ , 2 , , 4 , , 4 . x x x y y y A A N A N A N A A B B N B N B N B B M M N M N M N M M + + + + + + + + +      = = =           = = =           = = =      các giao hốn tử khác bằng 0. Tính các giao hốn tử: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 22 1 1 1 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, , , , ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, , , , ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 2 2 1 2 x A A a a a a a a a a aa a a a a a a a a a a a a a a a a aa a a N + + + + + + + + + + + + = = = = + + +        = = +                    = + + +        = + = + =     ( ) [ ]  [ ]  2 2 2 0 0 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, ,2 1 2 , 2 , , ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 , , , , ˆ ˆ4 4 xA N a a a a a a a a a a a a a a aa a a a a a a a a a a a a a a A + + + + + + + + = =          = + = = +               = + + +       = = ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 2 2 2 0 2 2 ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, 2 1, 2 , 2 , , ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 , , 4 4 xN A a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a A + + + + + + + + + = + + + + + + +             = + = = +                        = + = =     0 0 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ , , , , , , ˆ ˆ ˆ2 2 2x y M M A B A B A A A B B A B B N N N + + + + + + + = =           = + + = + + +           = + =   00 ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ , , , , , , ˆ ˆ ˆ4 4 4 x y x y x yM N A B N N A N A N B N B N A B M ==           = + + = + + +           = + =  0 0 ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ , , , , , , ˆ ˆ ˆ4 4 4 x y x x y yN M N N A B N A N B N A N B A B M + + + + + + + = = + + +           = + + = + + +           = + =   B. Chứng minh tốn tử ˆH giao hốn với tốn tử ˆzL Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hồng Đỗ Ngọc Trầm
2010
SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 58 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, ( )( ) ( ) ( ) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ( ) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ( 1) ( 1) ( 1) ZL M i ab a b a a b b a a b b i ab a b i ab a a a a ab b b a b a bb b i a a a b a aa b b b b a + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +   = − + − + −  = − + − = + − − + − − ˆ ˆ ˆ ˆ( 1) ˆ ˆ ˆ ˆ 2 2 0 b b b a i a b a b + + + + + + +  +   = − =  ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, ( )( ) ( ) ( ) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ( ) ˆ ˆ ˆ ˆ 2 2 0 ZL M i ab a b aa bb aa bb i ab a b i ab bb aaab aaa b a aab i ab ab + + + + + + + +   = − + − + −  = − + −  = − + =  + + + + + + + + + + + + + + + + + + ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, ( )2( ) 2( ) ( ) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ =2i(aa ab -a aab +b bab -bb ab +a aa b-a a ab+bb a b-bba b ˆ ˆ ˆ ˆ =2i(ab -ab ZL N i ab a b a a bb a a bb i ab a b + + + + + + + +  = − + − + −  + +ˆ ˆ ˆ ˆ+ab -ab )=0 Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hồng Đỗ Ngọc Trầm
2010
SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 59 Phụ lục 7: Dạng chuẩn của tốn tử { }ˆ ˆ ˆ ˆexp ( )S M M Nτ += − + + Do các tốn tử ˆ ˆ ˆ, ,M M N+ tạo thành một đại số kín, ta cĩ thể sử dụng cơng thức cho hai tốn tử khơng giao hốn bất kỳ ˆ ˆ,X Y : ( ) ( ) ( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ1exp exp [ , ] exp exp2X Y X Y X Y+ = − , (A7.1) ta cĩ thể đưa tốn tử ˆS về dưới dạng chuẩn như sau: ( ) ( ) ( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆexp ( ) exp ( ) exp ( ) ( ) exp ( )M M N f M g N h Mτ τ τ τ+ +− + + = . (A7.2) Ở đây chúng ta cần xác định các hàm số ( ), ( ), ( )f g hτ τ τ với điều kiện biên: (0) 0, (0) 0, (0) 0f g h= = = . (A7.3) Bước một: Lấy đạo hàm hai vế của (A7.2) theo τ : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( )exp ( ) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ '( ) '( ) exp ( ) exp ( ) exp ( ) ˆ ˆ ˆ ˆ '( )exp ( ) exp ( ) exp ( ) . M M N M N M f M F g f M N g N h M h f M g N M h M τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ + + + + + − + + − + + = = + + (A7.4) Nhân (A7.4) với tốn tử ngược 1ˆS − : với tốn tử 1ˆ ˆ. 1S S − = , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) exp ( ) exp ( ) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) exp ( ) exp ( ) exp ( ) exp ( ) M M N f M g t f M N f M h f M g N M g N f M τ τ τ τ τ τ τ τ + + + + + + ′ ′ − + + = + − ′+ − − (A7.5) Bước hai: Ta sử dụng cơng thức ( ) ( ) 1 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆexp exp , , , , , ,2! 3!X Y X Y X Y X X Y X X X Y         − = + + + +          … Tính lần lượt các thành phần của (A7.5): ( ) ( ) 21ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( )exp ( ) exp ( ) ( ) ( ) , ( ) , , ...2!I g f M N f M g N f M N f M M Nτ τ τ τ τ τ+ + + + +     ′ ′= − = + + +       ( ) 21 ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( )( 4 ) ( ) , 4 ... 2! ˆ ˆ( ) 4 ( ) g N f M f M M g N f M τ τ τ τ τ + + + +   ′= + − + − +    ′= − (A7.6) Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hồng Đỗ Ngọc Trầm
2010
SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 60 Trước hết ta tính thành phần: ( ) ( ) 2 2 4 ( ) 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆe x p ( ) ex p ( ) ( ) , ( ) , . .. 2 ! ˆ1 6 ˆ ˆ4 ( ) . .. 2 ! ˆ . g J g N M g N M g N M g N N M MM M g M e τ τ τ τ τ τ −     = − = + + +     = − + + = (A7 .7) Tiếp theo ta tính thành phần: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 ( ) 4 ( ) 2 4 ( ) 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( )exp ( ) exp ( ) exp ( ) exp ( ) ˆ ˆ ˆ( ) exp ( ) exp ( ) 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) , ( ) , , ... 2! ˆ ˆ ˆ( ) 2 ( ) 4 ( ) g g g K h f M g N M g N f M e h f M M f M e h M f M M f M M M e h M Nf M f τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ + + − + + − + + + − + ′= − − ′= −      ′= + + +       ′= − + (A7.8) Thay vào trong biểu thức: ( ) ( ) ( )4 ( ) 2 4 ( ) 4 ( ) 4 ( ) 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) 4 ( ) ( ) 2 ( ) 4 ( ) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) 4 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 4 ( ) ( ) g g g g M M N f M g N f M e h M Nf M f f M g N g f M e h M e h Nf e h f M τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ + + + − + + + − − − + ′ ′ ′ − + + = + − + − + ′ ′ ′ ′ ′ ′= + − + − + Bước ba: Đồng nhất các hệ số trước các tốn tử ˆ ˆ ˆ, ,M M N+ ta thu được hệ phương trình vi phân trên để xác định các hàm số ( ), ( ), ( )f g hτ τ τ : 4 ( ) 2 4 ( ) 4 ( ) 1 ( ) 4 ( ) ( ) 4 ( ) ( ) 1 2 ( ) ( ) ( ) 1 ( ) g g g f g f e h f e h f g e h τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ − − − ′ ′ ′− = − +  ′ ′ − = − +  ′ − = (A7.9) . ( )2 1 2 1( ) 1 2 ( ) ( ) . 2 2 Cf f f C τ τ τ τ τ − + − ′→ = − + → = + áp dụng điều kiện biên 1(0) 0 (0) 0 1 ( ) 2 2 1 Cf f C f C τ τ τ − − = → = = → = → = + (A7.10) Thay vào trong hệ phương trình: 1( ) ln 2 1 2 g Cτ τ= − + + Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hồng Đỗ Ngọc Trầm
2010
SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 61 ( ) ( ) 1 1 1 1 1( ) 1 2 2 1 2 2 2 1 2 1 h ττ τ τ τ   − = − = − =  + + +  Áp dụng điều kiện biên: ( ) ( ) 1 1 1 1 1( ) 1 2 2 1 2 2 2 1 2 1 h ττ τ τ τ   − = − = − =  + + +  (A7.11) ( ) ( ) 1 1 1 1 1( ) 1 2 2 1 2 2 2 1 2 1 h ττ τ τ τ   − = − = − =  + + +  (A7.12) Như vậy ta đã tìm được dạng chuẩn của tốn tử ( ) 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆexp ( ) exp exp ln 2 1 ( ) exp .2 1 2 2 1M M N M N Mτ ττ ττ τ+ +− −     − + + = − +     + +      (A7.13) Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hồng Đỗ Ngọc Trầm
2010
SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 62 Phụ lục 8: Chuyển tốn tử Hamilton qua biểu diễn tốn tử sinh –hủy 2 22 2 ( ) 2 2 0 1 ˆ 2 t x yZ eH dt x y tpi +∞ − + ∂ ∂ = − + − ∂ ∂  ∫ ( ) ( ) 0 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆexp 4 2 Z dt tH M M N M N M t ω ωpi +∞ + +−  = − + − − + +    ∫ ( ) ( ) 0 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆexp 4 dH M M N Z M N Mω ω τ τ pi τ +∞ + + = − + − − − + +  ∫ với tốn tử cĩ dạng hàm mũ ( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆexpS N M Mτ τ + = − + +  cĩ thể đưa về dạng chuẩn như sau ( xem phụ lục 5): ( ) 1ˆ ˆ ˆ ˆexp exp ln 2 1 ( ) exp 2 1 2 2 1 S M N Mτ ττ τ τ τ +      = − − + −     + +      Khai triển S theo chuỗi Taylor ta được: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 1 ˆ ln 1 2 2 0 0 2 ˆ ˆ2 /2 /2 0 0 0 1 2 1 ˆ ˆ ˆ ! ! 1 2 1 1 1 1 ˆ ˆ ˆ ˆ 1 2 ! ! 1 2! 1 2 1 2 ˆ ˆ i j i N j i j i i j i ii j N N i i j i j S M e M i j M M M M i ji S S ττ τ τ τ τ ττ τ + ∞ ∞ − + + = = + ∞ ∞ ∞ + + = = = ≠ −  =  +  − −    = +   + +   + + = + ∑∑ ∑ ∑∑ Khi đĩ ta cĩ thể tách Hamiltonian thành hai thành phần: ( ) ( ) ( ) 2 0 ˆ2 / 2 00 2 1 1 ˆ ˆ ˆ ˆ 4 1 2! 1 2 i i i N i dH N Z M M i ω ω τ τ pi ττ τ +∞ ∞ + =   = −  +  + ∑∫ , ( ) ( ) ( ) ( )( ) ˆ / 20 00 12 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 4 ! ! 1 2 1 2 i j i j i j N i j i j dV M M Z M M i j ω ω τ τ pi ττ τ + ++∞ ∞ ∞ + + = = ≠ −   = − + −  +  + ∑∑∫ Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hồng Đỗ Ngọc Trầm
2010
SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 63 Phụ lục 9: Chuẩn hĩa bộ hàm sĩng cơ sở cho bài tốn exciton hai chiều Trước hết, ta chọn bộ hàm sĩng của dao động tử điều hịa (vì hàm này chắc chắn là nghiệm riêng của các tốn tử trung hịa nên sẽ là nghiệm riêng của 0ˆH ) ( ) ( ) ( )ˆˆ, 0 ,yx x y nn x y n n x yn n C a b ω ω + + = , trong đĩ ,x yn n là các số nguyên dương và 0 là trạng thái chân khơng được định nghĩa: ( ) ( )ˆˆ 0 , 0, 0 , 0x y x ya bω ω ω ω= = ; và điều kiện chuẩn hĩa là 0 0 1= . Như vậy nghiệm riêng của phương trình Schrưdinger ta sẽ viết dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các vector sĩng trên: ( ) ( ) ( ) , , ˆ ˆ, 0 ,yx x y x y x y x y nn n n x y n n x y n n n n C n n C a bψ ω ω+ += =∑ ∑ . Nhận xét: tổng số mũ của hai tốn tử ˆˆ ,a b+ + là x yn n+ . (*) Mặt khác do tốn tử ˆzL là đại lượng bảo tồn nên hàm riêng của phương trình Schrưdinger phải đồng thời là hàm riêng của tốn tử này: ˆ zL mψ ψ= , với ( )ˆ ˆˆ ˆ ˆzL i b a a b+ += − . Ta cĩ: ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , 1 11 1 , ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ 0 , ˆ ˆ ˆ ˆ 0 , . yx x y y yx x x y nn z x y n n n nn n x y x y n n L Ci b a a b a b Ci n a b n a b ψ ω ω ω ω + + + + + − − ++ + + + = −   = −    ∑ ∑ Nhận xét: tổng số mũ của hai tốn tử ˆˆ ,a b+ + vẫn là x yn n+ .(**) Như vậy, từ hai nhận xét (*) và (**), kết hợp với cơng thức khai triển nhị thức Newton, ta cĩ thể chọn dạng của hàm sĩng cơ sở như sau: Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hồng Đỗ Ngọc Trầm
2010
SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 64 ( )22 )ˆ ˆˆ ˆ, [( ) ( ] 0mkkmk m C a b a ib+ + + += + ± . Xét: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 2 3 1 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, , , ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ = , , , ... , ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, , , k k k k k k k k k k k a M M a a M M a a M M M a M M a a M M M a M M M a M M M a M a M a a a b − − + + + + + + + + − − − − + + + + + + + + + + + + + +     = + = + +                + + + + +            = +     ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 1 ˆ2 ˆ ˆ , 0 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 ... 2 ˆ ˆ ˆ ˆ 2 . k k k k k k k a a M a M M a a M M a M a k M a + + + − − + + + + + + − + + +   =     =    → = + + + = + Tính các tốn tử sau: ( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 12 1 1 2 22 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ4 2 4 ( 1) ; k k k k k k k a M a M a k M a M a k M a a k M k k M a − + + + + − − − + + + + + + = + = + + + − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )21 1 22 2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ4 2 4 ( 1)k k k k kb M M b k M b b k M k k M b− − −+ + + + + + += + + + − ; ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 21 2 22 2 1 1 ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ4 1 4 ( 1) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 4 ( 1) ; k k k k k k k M M M a b k M a a b b k k M a b M M k M N k k M − − + + + + + + + + − − + + +  → = + + + + + − +   = + + − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ2 ;k k ka ib M M a ib k M a ib−+ + + + +± = ± + ± ( ) ( ) ( ) ( )1 2ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2k k ka a M M a a k M a−+ + + + + += + ; ( ) ( ) ( ) ( )21ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ2k k kb b M M b b k M b−+ + + + + += + ; ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ2 1 2 1 4 4k k k k k kN M a a b b M M a a b b k M M N k M+ + + + + + + + + += + + = + + + = + Tính Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hồng Đỗ Ngọc Trầm
2010
SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 65 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, 0 0 2 0m m mk k kkm km kma k m C a M a ib C M a a ib kC M a a ib−+ + + + + + + + + += ± = ± + ± ( ) ( ) ( ) ( )ˆ ˆˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, 0 0m mk kkm kma k m C a M a ib C M a a ib+ + + + + + + + += ± = ± ( ) ( ) ( ) ( )1ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ, 0 0m mk kkm kmM k m C M M a ib C M a ib++ + + + + + + += ± = ± ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 0 1, ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, 0 2 0 4 ( 1) 0 , 4 1, . m m mk k k km km km km k m M k m C M M a ib kC M N a ib k k C M a ib Ck k m k m C − − + + + + + + + + + = − = ± + ± + − ± = + −  Tính : ( ) 1 1, , , ˆ ˆ , 4 1, 4 ( 1)( 2)...( 1)( )( 1)...( 1) , !( )! 4 , .( )!( )! j jkm k m j km k j m j km k j m CM k m k k m M k m C Ck k k k j m k m k m k j k j m C k m k C k j m k j m k j C − − − − = + − = − − − + + + − + − + − + = − − + − ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ){ } ( ) 1 , 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, 2 0 2 , 1 m mk k km km k m a ib k m C M a ib a ib k M a ib a ib Ck m k m C − + + + + + + + + − = ± + ± = + − ∓ ∓ ∓ Tính ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 , 1 , ˆ ˆ ˆ ˆ, 2 , 1 ... ! 2 , . ! l l km k m l km k m l C a ib k m k m a ib k m C k m C k m l Ck m l − − − = + − = + = − + − ∓ ∓ Từ điều kiện chuẩn hĩa ta thu được như sau: Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hồng Đỗ Ngọc Trầm
2010
SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 66 ( ) ( ) ( )  2 0, 2 0, 0, 1 2 2 ˆ ˆ ˆ, , 0 , !( )! ˆ ˆ4 0 0, ! !( )! 4 2 ! 0 0 ! 2 !( )! 1 m k km mk km m mk km m m k m km m k k m C a ib M k m k m k C a ib m m C k m k C m C m C k m k C = + = + = + = = + = ∓ ∓ , 1 2 2 !( )!k m mk C k m k = + . Vậy ta thu được hàm sĩng sau khi chuẩn hĩa cĩ dạng: ( ) ( )1 ˆˆ ˆ, 0 2 2 !( )! mk mk k m M a ib k m k + + + = ± + . Tính các tác dụng của các tốn tử lên hàm sĩng này: ( ) ( )( ) ( ) ˆ , 2 1, ; ˆ , 2 1 1 1, ; ˆ , 2 2 1 , . M k m k k m k m M k m k k m k m N k m k m k m + = + − = + + + + = + + Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hồng Đỗ Ngọc Trầm
2010
SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 67 Phụ lục 10: Các thành phần ma trận cho bài tốn exciton hai chiều Từ điều kiện chuẩn hố ta thu được bộ hàm cơ sở cho nguyên tử hydro như sau: ( ) ( )1 ˆˆ ˆ, 0 2 2 !( )! mk mk k m M a ib k m k + + + = ± + . ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ˆ , 2 2 1 , ; ˆ , 2 1, ; ( )! ! ˆ , 2 , ;( )! ! ˆ , 2 1 1 1, ; ! ! ˆ , 2 , . ! ! j j i i N k m k m k m M k m k k m k m k k m M k m k j m k j k m j M k m k k m k m k i k m i M k m k i m k k m + + = + + = + − + = − − + − = + + + + + + + = + + * Tính thành phần ma trận của tốn tử ˆS Do tốn tử ˆS đựơc tách làm hai thành phần, ta tiến hành tính lần lượt các thành phần ma trận của tốn tử ˆS là 1 2ˆ ˆS ,S như sau: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 2 1 ˆ2 /2 0 2 2 2 2 1 0 2 2 2 1 0 1 1 ˆ ˆ ˆ , , 1 2! 1 2 ( )! ! ! !1 12 2 , 1 2 ( )! ! ! !! 1 2 ( )! !1 12 ( )! !! 1 2 i i i N i ik i i k i m i k i k m i S k m M M k m i k k m k k m k m k i k m i k i k m ii k k m k i k m ii τ τ τ τ τ τ τ τ ∞ + = − + + = + + =   −  =   +  +   + + −  =   + − + − − + −  +   +  = −   − + − +  ∑ ∑ ∑ ,k m Thành phần 2ˆS : Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hồng Đỗ Ngọc Trầm
2010
SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 68 ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ˆ /2 0 0 2 2 1 0 0 1 1 ˆ ˆ ˆ , , ! ! 1 2 1 2 ( )! ! ! !1 12 2 , ! ! 1 2 ( )! ! ! !1 2 ( )! ! ! !1 2 ! ! ( i j i j N i j i j i jk j i k j m i j i j i j S k m M M k m i j k k m k i j k m i j k i j m i j k j k m j k j k m j k k m k i j k m i j i j k j τ τ τ τ τ τ τ + ∞ ∞ + = = ≠ + ∞ − + + = = ≠ + −  =  +  + + + − + + − −  + − + − + − − + −  + + + − + + − = − − = ∑∑ ∑∑ ( ) ( )( )( ) 2 10 0 1 ,)! ! 1 2 k k j i m i j i j k i j m k m j τ ∞ − + + + = = ≠ + − + − + ∑∑ Khi đĩ ta tính ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 2 1 ˆ2 /2 0 2 2 2 1 0 1 2 2 2 1 0 1 1 ˆ ˆ ˆ , , , , 1 2! 1 2 ( )! !2 1 , ,( )! !! 1 2 ( )! !2 1 ( )! !! 1 2 i i i N i ik k m i ik k m i m k S k m m k s M M k m i k k m m k k m k i k m ii k k m k i k m ii τ τ τ τ τ τ τ ∞ + = + + = = + + =   −  = +   +  +  + − = − + − + + − = − + − + ∑ ∑ ∑  Tính ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 2 ˆ /2 0 0 1 4 4 20 0 2 1 1 ˆ ˆ ˆ , , , , ! ! 1 2 1 2 ( )! ! ! !1 2 1 , , ! ! 1 2 ( )! ! 1 2 1 2 ! ! 1 2 i j i j N i j i j i jk s k k j mi j i j m k s S k m m k s M M k m i j k k m k i j k m i j m k s k i j m i j k j k m j i j τ τ τ τ τ τ τ τ + ∞ ∞ + = = ≠ ++ − + + = = ≠   −  + = +   +  +    + + − + + − −  = + + − + − + −  + − = + ∑∑ ∑∑ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ,2 2 1 0 0 2 2 1 ( )! ! ! ! 1 ( )! ! 1 2 ( )! ! ! !2 1 !( )! ( )! ! 1 2 i jk s k s i jk j m i j i j i sk s k s m i s k k m k i j k m i j k j k m j k k m k s k m s i i s k s i k m s i δ τ τ τ ++ − − + + = = ≠ − + + + + = + + − + + −   − + −  + + + + + − = − + − + + − + ∑∑ ∑ * Tính các phần tử ma trận: Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hồng Đỗ Ngọc Trầm
2010
SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 69 ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) , 0 1 0 2 2 2 1 00 2 2 2 1 0 0 2 ˆˆ ˆ , , , , 4 ( )! !22 12 2 1 4 ( )! !! 1 2 ( )! ! 22 12 1 2 2 2 ( )! !! 1 2 km km ik k i i k m i k m dH m k H k m m k N Z S k m k k mdk m Z k i k m ii k k m k m Z d k i k m ii ω ω τ pi τ τω ω τ pi τ τ τω ω τ pi τ +∞ +∞ + + = +∞ + + = = = − + − = + + − − + − + + − = + + − − + − + ∫ ∑∫ ∑ ∫ Đặt 2 2 d t dt ττ τ = → = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 , 2 2 1 0 0 2 2 12 0 ( )! ! 212 1 2 2 ( )! !! 1 2 ( )! !1 = 2 1 2 ( )! !! i k k k m i k k i k m i k k m H k m Z dt k i k m ii k k m k m Z I k i k m ii τω ω pi τ ω ω +∞ + + = + + = + − = + + − − + − + + + + − − + − ∑ ∫ ∑ với ( ) ( ) ( ) ( )2 2 1 00 , 1 (2 2 3)!! 2 1 !!2 (1 ) 2 ( 1)! q q p p p q p q Z t p q qq dtp t pI pi pi +∞ − > ≥ ∈ − − − − − = = + −∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) 2, , , , 0 , 1 , 1 ,2 1 0 00 2 ˆˆ ˆ ˆ , , , , 4 2 2 1 1 4 ( )! ! ! !2 1 2 1 ! ! 1 2 ( )! ! 1 2 kmkm k s m k s m k s k k s k i jk k s kk s m i j i j dH H m k s V k m m k s M M Z S k m k k m k k m k k m k s k m sdZ i j k s i k m s i ω ω τ pi τ ω δ δ ω τ τ δ pi ττ τ +∞ + + + + − + + ++∞ ∞ + ++ + + = = ≠ = = + = + − + − = − + + + + + + + + + −  −  + + − + + −  + ∫ ∑ ∑∫ ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , 1 ,1 22 2 120 , 1 ,1 2 2 1 1 1 2 ( )! ! ! !1 2 !( )! ( )! ! 1 1 1 2 ( )! ! ! !1 ! ! ( )! ! i j s s i s k s k s m i s s s k m s k k m k k m k k m k s k m s t Z i i s k s i k m s i t k k m k k m k k m k s k m s Z I i i s k s i k m s i ω δ δ ω pi ω δ δ ω − − − +∞+ + + + = − + + + = − + + + + + + + + + − − − + − + + − + = − + + + + + + + + + − − + − + + − ∑ ∫ k s i s i s + − = ∑ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1, , , , , , , , ,k m k s m k s m k m k m k s mH H H k k s− − += = = − Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hồng Đỗ Ngọc Trầm
2010
SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 70 ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 , 1 2 2 1 ( )! ! 1 ! 1 !11 1 2 ! 1 ! ( 1 )! 1 ! k i k k k m i k k m k k m H k k m Z I i i k i k m i ω ω + − + + + = + + + + = − + + + − − + − + + − ∑ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 , 2 1 ( )! ! ! !1 ! ! ( )! !s k s i s k k s k m s i s k k m k s k m s H Z I i i s k s i k m s i ω > + − + + + + = + + + + = − − + − + + − ∑ * Xác định ( )f ω : Ta cĩ: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 2 2 12 0 ( )! !1 = 2 1 2 ( )! !! i k kk k m i k k k m H k m Z I k i k m ii ω ε ω + + = + = = + + − − + − ∑ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 2 2 12 0 ( )! !1 10 2 1 2 ( )! !2 ! in k m i k k k mZk m I k i k m ii ε ω ω + + = +∂ = = + + − ∂ − + −∑ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 12 0 !!1 .(2 1) ( )! !! i k k m i m kkZ I k m k i m k ii ω + + =  + =   + + − + −   ∑ Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hồng Đỗ Ngọc Trầm
2010
SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 71 Phụ lục 11: Hàm Gamma Hàm Gamma được định nghĩa bằng đẳng thức tích phân sau đây: ( ) ( )1 0 0xe x dtαα α ∞ − −Γ = >∫ Tính tích phân từng phần, ta cĩ: ( ) ( ) 1 100 0 0 01 x x x x xe x dx x d e x e e x dx e x dxα α α α αα α α∞ ∞ ∞ ∞− − − ∞ − − − −Γ + = − = − + =∫ ∫ ∫ ∫ hay ( ) ( )1α α αΓ + = Γ Khi 1α = và 1 2 α = , hàm ( )αΓ cĩ giá trị: ( ) 11 1, 2 pi  Γ = Γ =    Từ đĩ ta xác định được giá trị của hàm ( )αΓ đối với các α nguyên và bán nguyên như sau: ( ) ( )1 !n nΓ = − ( )2 1 !!1 2 2n n n pi − Γ + =    trong đĩ n=1,2,3... Đối với các giá trị khác của α , hàm ( )αΓ cĩ thể tìm trong các bảng riêng. Tích phân cĩ dạng ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 00 , 1 11 2 2 2 (1 ) q q p p q p q Z p q qtq dtp t p I pi pi +∞ > ≥ ∈     − Γ − − Γ +    −     = = + Γ∫ Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hồng Đỗ Ngọc Trầm
2010
SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 72 với 1 1 1 (2 2 3)!!1 2 2 2 p q p qp q p q pi − − − −   Γ − − = Γ − − + =        , ( )2 1 !!1 2 2q q q pi − Γ + =    , ( ) ( 1)!p pΓ = − khi đĩ tích phân cĩ dạng: ( ) ( ) ( ) ( )2 2 1 00 , 1 (2 2 3)!! 2 1 !!2 (1 ) 2 ( 1)! q q p p p q p q Z t p q qq dtp t pI pi pi +∞ − > ≥ ∈ − − − − − = = + −∫ , với , 1, 2,3...p q = Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hồng Đỗ Ngọc Trầm
2010
SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 73 Phụ lục 12: Lập trình fortran cho mức năng lượng của exciton hai chiều c Calculate Exciton2D excited energy PROGRAM MAIN integer i,m,k double precision w,Hmatrix * From the mininum of energy -> omega=Pi w=0.0021 m=6 k=0 CALL MAINSUB(w,k,m) END * MAIN subroutine calculate approximated energy SUBROUTINE MAINSUB(w,k,m) INTEGER Z,i,j,s,L,m,k DOUBLE PRECISION w,Hmatrix,E,C,H,tuso,mauso,temp,msum PARAMETER (smax=100,kmax=101) * Chu y thay kmax=smax+k DIMENSION E(0:smax),C(0:kmax,0:smax),H(0:kmax,0:kmax) Z=1 * Initialize matrix Hmatrix DO i=0,smax+k write(*,*) i DO j=0,i H(i,j)= Hmatrix(w,Z,m,i,j) H(j,i)=H(i,j) ENDDO ENDDO WRITE(*,*) 'Hmatrix done!' * Initialize C coefficient matrix DO i=0,smax DO j=0,smax+k C(j,i)=0.0 ENDDO C(k,i)=1.0 ENDDO WRITE(*,*) 'C matrix done!' Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hồng Đỗ Ngọc Trầm
2010
SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 74 * Initialize E(s) DO i=0,smax E(i)=0.0 ENDDO E(0)=H(k,k) * Calculate E(s): Energy in s th approximation OPEN(10,FILE='Energy.dat',STATUS='Unknown') WRITE(10,*) 's=0','E=',E(0) DO s=1,smax * Calculate C(L,s) DO L=0,s+k IF (L.NE.k) THEN tuso=H(L,k) mauso=E(s-1)-H(L,L) DO i=0,k+s IF (i.NE.k.AND.i.NE.L) THEN tuso=tuso+C(i,s-1)*H(L,i) ENDIF ENDDO IF (mauso.EQ.(0.0)) STOP 'Error, division by zero' C(L,s)=tuso/mauso ENDIF ENDDO * Calculate E(s) from C(L,s) msum=0.0 DO L=0,k+s IF (L.NE.k) msum=msum+C(L,s)*H(L,k) ENDDO E(s)=H(0,0)+msum WRITE(10,*) 's=',s,'E=',E(s) ENDDO RETURN END * function calculate Hmatrix C Calculate elements of H matrix H(omega,Z,m,row,col) FUNCTION Hmatrix(w,Z,m,row,col) INTEGER Z,row,col,r,c,s,k,p,q,I,m1 DOUBLE PRECISION Hmatrix,w,H,msum,coeff1,coeff2 PARAMETER (pi=3.14159265358979323846) Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hồng Đỗ Ngọc Trầm
2010
SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 75 IF (row<0.OR.col<0) STOP 'Error! Wrong matrix indexes!' * Note: H(row,col)=H(col,row) IF (row.LT.col) THEN r=col c=row ELSE r=row c=col ENDIF s=r-c k=c m1=ABS(m) IF (s.EQ.0) THEN * Calculate Hkk msum= 0.0 p=2*k+m1+1 DO i=0,k msum=msum+coeff1(k,i,k+m1,i,p,2*i) ENDDO H=w/2.0*p-Z*SQRT(w*pi)*msum ELSEIF (s.EQ.1) THEN * Calculate Hk,k+1 msum= 0.0 p=2*k+m1+2 DO i=1,k+1 msum=msum & +coeff2(k,k+1,k+1-i,m1)*coeff1(k,i-1,k+1,i,p,2*i-1) ENDDO H=(-1.0)*w/2.0*SQRT((k+1.0)*(k+m1+1.0))-Z*SQRT(w*pi)*msum ELSE * Calculate Hk,k+s,s>1 msum= 0.0 p=2*k+s+m1+1 DO i=s,k+s msum=msum & +coeff2(k,k+s,k+s-i,m1)*coeff1(k,i-s,k+s,i,p,2*i-s) ENDDO H=(-1.0)*Z*SQRT(w*pi)*msum ENDIF Hmatrix=H RETURN Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hồng Đỗ Ngọc Trầm
2010
SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 76 END function calculate coefficient 1, 2 c function coeff1 FUNCTION coeff1(n1,k1,n2,k2,p,q) INTEGER n1,k1,n2,k2,p,q INTEGER i1,i2,i3,i4,i5,ii1,ii2,ii3,ii4,ii5 DOUBLE PRECISION coeff1,temp,kq,maxnum,minnum maxnum=1.79769D308 minnum=3.00000D-308 kq=1.0 ii1=1 ii2=1 ii3=1 ii4=1 ii5=1 11 IF ((ii1.LE.k1.OR.ii2.LE.k2.OR.ii3.LE.(p-q-1).OR.ii4.LE.q) & .OR.ii5.LE.(p-1)) THEN DO i1=ii1,k1 temp=kq*(n1-i1+1.0)/DBLE(i1) IF (temp.GT.maxnum.OR.temp.LT.minnum) EXIT kq=temp ENDDO ii1=i1 DO i2=ii2,k2 temp=kq*(n2-i2+1.0)/DBLE(i2) IF (temp.GT.maxnum.OR.temp.LT.minnum) EXIT kq=temp ENDDO ii2=i2 DO i3=ii3,(p-q-1) temp=kq*(2.0*i3-1.0) IF (temp.GT.maxnum.OR.temp.LT.minnum) EXIT kq=temp ENDDO ii3=i3 DO i4=ii4,q temp=kq*(2.0*i4-1.0) IF (temp.GT.maxnum.OR.temp.LT.minnum) EXIT kq=temp ENDDO ii4=i4 Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hồng Đỗ Ngọc Trầm
2010
SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 77 DO i5=ii5,p-1 temp=kq/(2.0*i5) IF (temp.GT.maxnum.OR.temp.LT.minnum) EXIT kq=temp ENDDO ii5=i5 GOTO 11 ENDIF IF (q.GT.0.AND.MOD(q,2).NE.0) kq=kq*(-1.0) coeff1=kq RETURN END c function coeff2 FUNCTION coeff2(k1,k2,k3,m) INTEGER i,k1,k2,k3,m DOUBLE PRECISION coeff2,temp temp=1.0 DO i=1,m temp=temp*SQRT(DBLE((k1+i)*(k2+i)))/DBLE(k3+i) ENDDO coeff2=temp END Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hồng Đỗ Ngọc Trầm
2010
SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 78 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1]. Hồng Dũng (1999), Nhập mơn cơ học lượng tử- Tập I, Nhà xuất bản Giáo dục [2]. Vũ Văn Hùng (2004), Cơ học lượng tử, Nhà xuất bản Giáo dục. [3]. Lê Văn Hồng (2004), Phương pháp đại số giải phương trình Schrưdinger cho nguyên tử Hydro trong từ trường với cường độ bất kỳ, Đề tài Khoa học cơng nghệ cấp cơ sở CS.2004.23.59 [4]. Lê Văn Hồng (2005), Phổ năng lượng trạng thái exciton của khí điện tử hai chiều tạo ra do hệ nhiều lớp GaAs/GaAsAl trong từ trường đều, Đề tài KHCN cấp bộ B2005.23.72. [5]. Đặng Quang Khang (2006), Cơ học lượng tử, Nhà xuất bản Khoa Học Kĩ Thuật. [6]. Nguyễn Hữu Mình (2007), Bài tập cơ học lượng tử tâp II, Nhà xuất bản Giáo dục. [7]. Hồng Đỗ Ngọc Trầm (2008), Phương pháp tốn tử giải phương trình Schodinger cho exciton hai chiều trong từ trường đều với cường độ bất kỳ, Luận văn Thạc sĩ. Khoa Vật lý trường Đại học KHTN Tp. Hồ Chí Minh Tiếng Anh [8]. Le Van Hoang, Hoang Do Ngoc Tram, Lu Thanh Trung (2005), Analytical Solution of 2D Exciton in a Magnetic Field, Communications in Physics, Supplement 2005, p.101-106 [9]. S. H. Patil (2008) The helium atom and isoelectronic ions in two dimensions, Eur. J. Phys.29(2008)517–525. Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hồng Đỗ Ngọc Trầm
2010
SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 79 MỤC LỤC MỞ ĐẦU ............................................................................................................................... 1 Chương 1: GIỚI THIỆU PHƯƠNG PHÁP TỐN TỬ (OM) QUA BÀI TỐN DAO ĐỘNG TỬ PHI ĐIỀU HỊA .................................................................. 5 1.1 Sơ đồ Rayleigh- Schrưdinger cho phương pháp nhiễu loạn dừng ............... 5 1.2 Phương pháp nhiễu loạn và dao động tử phi điều hịa.................................. 8 1.3 Phương pháp tốn tử cho bài tốn dao động tử phi điều hịa .................... 10 Chương 2: EXCITON - BÀI TỐN EXCITON HAI CHIỀU ...................................... 17 2.1 Exciton .............................................................................................................. 17 2.1.1 Khái niệm exciton ............................................................................................ 17 2.1.2 Phân loại exciton .............................................................................................. 17 2.1.3 Tính chất của exciton....................................................................................... 18 2.2 Bài tốn exciton hai chiều ............................................................................... 19 2.2.1 Phương trình Schrưdinger cho exciton hai chiều ......................................... 19 2.2.2 Phương pháp giải tích cho bài tốn exciton hai chiều.................................. 20 Chương 3: PHƯƠNG PHÁP TỐN TỬ CHO BÀI TỐN EXCITON HAI CHIỀU..................................................................................................... 25 3.1 Phương trình Schrưdinger cho exciton hai chiều biểu diễn qua tốn tử sinh hủy.......................................................................................... 25 3.2 Phương pháp tốn tử giải bài tốn exciton hai chiều ..................................... 28 KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN ĐỀ TÀI ......................................................... 36 PHỤ LỤC............................................................................................................................ 37 Phụ lục 1: Các tốn tử sinh – hủy một chiều........................................................... 37 Phụ lục 2: Dạng chuẩn (normal) của một số tốn tử trong luận văn.................... 41 Phụ lục 3: Yếu tố ma trận của tốn tử Hamilton của dao động tử Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th.S Hồng Đỗ Ngọc Trầm
2010
SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 80 phi điều hịa............................................................................................ 44 Phụ lục 4: Phương trình Schrưdinger cho bài tốn exciton hai chiều. ................ 47 Phụ lục 5: Hamilton cho bài tốn exciton hai chiều ............................................... 50 Phụ lục 6: Các tốn tử sinh – hủy hai chiều ............................................................ 54 Phụ lục 7 : Dạng chuẩn của tốn tử { }ˆ ˆ ˆ ˆexp ( )S M M Nτ += − + + ....................... 58 Phụ lục 8: Chuyển tốn tử Hamilton qua biểu diễn tốn tử sinh –hủy ............... 61 Phụ lục 9: Chuẩn hĩa bộ hàm sĩng cơ sở cho bài tốn exciton hai chiều ............ 62 Phụ lục 10: Các thành phần ma trận cho bài tốn exciton hai chiều ................... 66 Phụ lục 11: Hàm Gamma.......................................................................................... 70 Phụ lục 12: Lập trình Fortran cho năng lượng exciton hai chiều......................... 72 TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................................. 77