Luận văn Số Lelong và lý thuyết cắt

T rχ ε ϕ−= − . Cho 0ε → ta được đpcm. ■ Đặc biệt, ( )( ) ( ) ( ) 2 22 . , , p pc r B r T dd e e v T rϕχ ϕ∧ =∫  Dẫn đến ( ) ( ) 2 21, , 2 p rp c B r v T r e T dd e ϕϕ −  = ∧    ∫ (2.2) Bây giờ giả sử X là tập con mở của n và ( ) logz z aϕ = − với a nào đó thuộc X . Công thức (2.2) được viết ( ) 2 2, , log ' '' 2 p p z a r iv T r r T d d zϕ π − − <  = ∧    ∫ Độ đo dương 2 , 1 1 ' '' 2 . ... ! 2 p p n nT I I iT d d z T i dz d z p σ − = ∧ = ∧    ∑ được gọi là độ đo vết của T . Ta có ( ) 2 ( ( , )), , log ! T p p B a rv T r r p σϕ π = và ( ) ( ), lim , , log r v T v T rϕ ϕ →∞ = . Giới hạn này được gọi là số Lelong (thông thường) tại a và được ký hiệu là ( ),v T a . Các kết quả trên đặc biệt thú vị khi [ ]T A= là dòng tích phân trên tập con giải tích A X⊂ chiều p . Khi đó ( ( , ))T B a rσ là diện tích Euclide của ( , )A B a r∩ trong khi 2 ! p pr p π là diện tích quả cầu bán kính r trong một không gian con p chiều của n . Như vậy ( ), , logv T rϕ là tỉ số hai diện tích này là ( ),v T a là giới hạn của tỉ số đó. Ta có ( ) 0 khi x A [ ], 1 khi x A là chính quy v A x ∉ =  ∈ . Theo định lý Thie ( )[ ],v A x luôn là số nguyên. ULưu ý :U Khi , ( 1), ( ) lognX A X T z z aϕ= = = = − thì ( )( ), log 1, nc B a r dd z a r− = ∀∫ . Dẫn đến ( )log nc add z a δ− = . 2.2.4 Mệnh đề ([De1]) Cho kT là dãy các dòng dương đóng song chiều ( ),p p hội tụ yếu đến T . Giả sử có tập đóng A sao cho supp kT A k⊂ ∀ và ϕ là hàm nửa vét kiệt trên A với ( )A B R compact tương đối trong X . Khi đó: với mọi r R< ta có: ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) liminf limsup p pc c kB r B rk p pc c kB r B rk T dd T dd T dd T dd ϕ ϕ ϕ ϕ →+∞ →+∞ ∧ ≤ ∧ ≤ ∧ ≤ ∧ ∫ ∫ ∫ ∫ Đặc biệt, khi r →−∞ ta có: ( ) ( )limsup , ,k k v T v Tϕ ϕ →+∞ ≤ . Chứng minh: ● Chứng minh bất đẳng thức thứ ba: + Lấy tϕ là dãy các xấp xỉ trơn đa điều hòa dưới của ϕ với 1 t l ϕ ϕ ϕ≤ ≤ + trên { }r rε ϕ ε− ≤ ≤ + . Đặt ( ) ( ) ( ) tr n 1max , 1 tr n \l l ê B r r ê X B r l ϕ ψ ϕ ε ϕ ε   =    + − −       . Định nghĩa trên là chặt chẽ vì lψ ϕ= gần ( )S r , và ta có: ( ) 11l l rlψ ε ϕ ε  = + − −    gần 2 S r ε +    với l đủ lớn, tức là 21 2l ε ε+ ≤ . + Lấy εχ là hàm bằng 1 trên 2 B r ε +    và có giá trong ( )B r ε+ . Ta có: ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 2 2 1 1 p pc c k k lB r B r p pp pc c k l k lB r B r T dd T dd T dd T dd ε ε εε ϕ ψ ε ϕ ε χ ϕ  +     + +    ∧ ≤ ∧ = + ∧ ≤ + ∧ ∫ ∫ ∫ ∫ + Vì ( ) pc lddεχ ϕ là trơn, có giá compact và wkT T→ nên: ( ) ( ) ( )( )( )limsup 1 p ppc c k k lB r B rk T dd T ddεεϕ ε χ ϕ+→+∞ ∧ ≤ + ∧∫ ∫ . Cho l →+∞ và 0ε → ta có bất đẳng thức cần chứng minh. ● Chứng minh bất đẳng thức thứ nhất: Tương tự như trên, ta lấy lψ sao cho lψ ϕ= trên ( )\X B r và ( ) 1max , 1l l rlψ ϕ ε ϕ ε   = − − −      trên ( )B r , lấy 1εχ = trên ( )B r ε− và supp 2 B rε εχ  ⊂ −    . Khi đó, với l đủ lớn, ta có: ( )( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 p p ppc c c k k l k lB r B r B r T dd T dd T ddε ε εϕ ψ ε χ ϕ   − −        ∧ ≥ ∧ ≥ − ∧∫ ∫ ∫ . Cho l →+∞ và 0ε → ta có bất đẳng thức cần chứng minh. ■ Giả sử X là đa tạp Stein, ϕ là nửa vét kiệt trên X và ( )B R compact tương đối trong X . Đặt { }max ,r rϕ ϕ≥ = . Khi đó: + Với mỗi ( ),r R∈ −∞ , độ đo ( )nc rdd ϕ≥ là xác định. + Hàm ( )nc rr dd ϕ≥ liên tục trên ( ), R−∞ đối với tôpô yếu. Do ( ) ( )nnc crdd ddϕ ϕ≥ = trên ( )\X B r , ( ) 0nc rdd ϕ≥ = trên ( )B r nên từ tính liên tục trái suy ra: ( ) ( ) ( )\1 nnc c r X B rdd ddϕ ϕ≥ ≥ . 2.2.5 Định nghĩa ([De1]) Tập các độ đo Monge – Ampere liên kết với ϕ là họ các độ đo dương rµ thỏa mãn: ( ) ( ) ( ) ( )\1 , , nnc c r r X B rdd dd r Rµ ϕ ϕ≥= − ∈ −∞ . Các độ đo này có một số tính chất sau : + rµ có giá trong ( )S r . + rr µ liên tục yếu bên trái (định lý hội tụ bị chặn). + ( )( ) ( )( ) nc r B r S r ddµ ϕ= ∫ . + Cho ( )V PSH X∈ . Khi đó: V là rµ - khả tích với mọi ( ),r R∈ −∞ và ( ) ( )( ) ( ), , r nc c r B r V V dd v dd V t dtµ ϕ ϕ −∞ − =∫ ∫ 2.2.6 Công thức Lelong – Jensen ([De1]) Cho ( )V PSH X∈ . Khi đó: V là rµ - khả tích với mọi ( ),r R∈ −∞ và ( ) ( )( ) ( ), , r nc c r B r V V dd v dd V t dtµ ϕ ϕ −∞ − =∫ ∫ (*). Chứng minh: + Theo mệnh đề 2.1.8, V khả tích đối với ( )nc rdd ϕ≥ . Do đó V là rµ - khả tích. + Theo định nghĩa: ( ) ( )( ) 1 , , nc c c r t v dd V t dd V dd ϕ ϕ ϕ − < = ∧∫ . Áp dụng định lý Fubini: ( ) ( ) ( )( )( ), , r nc c c z t r v dd V t dt dd V z dd z dt ϕ ϕ ϕ < < −∞ = ∧∫ ∫ ∫ ( ) ( )( ) 1nc c B r r dd V ddϕ ϕ − = − ∧∫ . (1) + Trước hết ta chứng minh công thức (*) đúng khi ϕ và V trơn. Do hai vế của đẳng thức (*) đều liên tục trái đối với r và theo định lý Sard, hầu hết các giá trị của ϕ không là tới hạn nên ta có thể giả sử r không tới hạn. Áp dụng công thức 1.6.6 với ( )( ) 1ncf r ddϕ ϕ −= − và g V= , ta có tích phân ở (1) bằng: ( ) ( )( )( ) ( )( ) 1n n nc c c c rS r B r B r V dd d V dd V ddϕ ϕ ϕ µ ϕ − ∧ − = −∫ ∫ ∫ . Vậy công thức (*) đúng khi ϕ và V trơn. + Nếu V trơn và ϕ chỉ liên tục, hữu hạn: Ta viết lim kϕ ϕ= trong đó ( )kϕ là dãy giảm các hàm trơn đa điều hòa dưới. (dãy ( )kϕ như thế tồn tại do X là Stein) Khi đó ( ) ( )1 1n nwc c c ckdd V dd dd V ddϕ ϕ − − ∧ → ∧ và tích phân ở (1) hội tụ vì ( ) ( )1B r r ϕ− có giá compact trong X . Vế trái của công thức (*) cũng hội tụ vì theo định nghĩa của rµ ta có: ( ) ( ) ( ) ( )( ), , k n n nc c c k r k k r kr X V V dd V dd dd ϕ µ ϕ ϕ ϕ≥<− = −∫ ∫ Do đó ta có thể áp dụng định lý hội tụ yếu trên một lân cận của ( )B r . Nếu ϕ nhận giá trị −∞ , ta thay ϕ bởi kϕ≥− khi k →+∞ . Khi đó ( )r Vµ không đổi, ( )( ) nc kB r V dd ϕ≥−∫ hội tụ đến ( )( ) nc B r V dd ϕ∫ và vế phải của công thức (*) được thay bởi ( ), , r c k v dd V t dtϕ − ∫ . + Cuối cùng, với V bất kỳ: ta viết lim kV V= với ( )kV là dãy giảm các hàm trơn. Ta có: ( ) ( )1 1n nwc c c ckdd V dd dd V ddϕ ϕ − − ∧ → ∧ (mệnh đề 2.1.11) Khi đó tích phân ở (1) cũng hội tụ đến giới hạn cần chứng minh. Áp dụng định lý hội tụ đơn điệu cho vế trái của (*) ta cũng có kết quả tương tự. ■ 2.2.7 Định lý (Định lý so sánh các số LeLong thứ nhất) ([De1]) Cho [ ), : ,Xϕ ψ → −∞ ∞ là các hàm đa điều hòa dưới liên tục. Giả sử ,ϕ ψ là các nửa vét kiệt trên suppT và ( ) ( ) limsup x l x ψ ϕ = < +∞ khi suppx T∈ và ( )xϕ → −∞ . Khi đó: ( ) ( ), . ,pv T l v Tψ ϕ≤ . Đẳng thức xảy ra khi liml ψ ϕ = . Chứng minh: Từ định nghĩa suy ra: ( ) ( ), ,pv T v Tλϕ λ ϕ= với mọi số thực dương λ . Do đó ta chỉ cần chứng minh ( ) ( ), ,v T v Tψ ϕ≤ với giả thiết limsup 1ψ ϕ < là đủ. + Với 0c > , xét hàm { }max ,cu cψ ϕ= − . + Lấy ,R Rϕ ψ sao cho: ( ) ( )supp , suppB R T B R Tϕ ϕ ψ ψ  compact tương đối trong X . + Lấy r Rϕ< và a r< cố định. + Với 0c > đủ lớn, ta có: cu ϕ= trên [ ]( )1 ,a rϕ− . Theo công thức Stokes: ( ) ( ) ( ), , , , ,c cv T r v T u r v T uϕ = ≥ + Mặt khác: limsup 1ψ ϕ < suy ra tồn tại 0 0t < sao cho cu cψ= − trên { }0 suppcu t T<  . Ta suy ra: ( ) ( ) ( ), , ,cv T u v T c v Tψ ψ= − = . + Do đó: ( ) ( ), ,v T v Tψ ϕ≤ . Đẳng thức nhận được bằng cách thay đổi vai trò của ϕ và ψ . Rõ ràng khi đó 1lim l ϕ ψ = . ■ 2.2.8 Định lý (Định lý so sánh các số LeLong thứ hai) ([De1]) Cho 1 2, ,..., qu u u và 1 2, ,..., qv v v là các hàm đa điều hòa dưới sao cho mỗi bộ thỏa mãn giả thiết của định lý 2.1.12 đối với dòng T . Giả sử ju = −∞ trên ( )1suppT ϕ− −∞ và ( ) ( ) limsup jj j v z l u z = < +∞ khi ( ) ( )1supp \ ,jz T u zϕ−∈ −∞ → −∞ . Khi đó: ( ) ( )1 2 1 1 2... , ... . ... ,c c c c c cq q qv dd v dd v dd v T l l v dd u dd u dd u Tϕ ϕ∧ ∧ ∧ ∧ ≤ ∧ ∧ ∧ ∧ . Chứng minh: Do tính thuần nhất của các jv , ta chỉ cần chứng minh bất đẳng thức trên với các 1jl = dưới giả thiết limsup 1 j j v u < là đủ. + Đặt { }, max ,j c j jv c uω = − . Từ giả thiết suy ra ,j cω đồng nhất với jv c− trên lân cận { }0suppT rϕ < của { }suppT ϕ < ∞ . + Do đó: ( ) ( )1 1, ,... , ... ,c c c cq c q cv dd v dd v T v dd dd Tϕ ω ω ϕ∧ ∧ ∧ = ∧ ∧ ∧ với mọi c . + Bây giờ, cố định r Rϕ< . Mệnh đề 2.1.13 suy ra: 1, , 1... ... wc c c c c q c qdd dd T dd u dd u Tω ω∧ ∧ ∧ → ∧ ∧ ∧ khi c →+∞ . + Theo mệnh đề 2.2.4 ta được: ( ) ( )1, , 1limsup ... , ... ,wc c c cc q c q c v dd dd T v dd u dd u Tω ω ϕ ϕ →+∞ ∧ ∧ ∧ → ∧ ∧ ∧ . ■ 2.2.9 Hệ quả ([De1]) Nếu 1 2 ... c c c qdd u dd u dd u T∧ ∧ ∧ ∧ là xác định thì tại mọi điểm x X∈ ta có: ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1... , , ... , . ,c c c c cq qv dd u dd u dd u T x v dd u x v dd u x v T x∧ ∧ ∧ ∧ ≥ . Chứng minh: Áp dụng định lý 2.2.8 với ( ) ( ) ( )1 ... logqz v z v z z xϕ = = = = − . Rõ ràng ( ) 1limsup , j j c j j v l u v dd u x = = . (Nếu ( ), 0c jv dd u x = thì bất đẳng thức cần chứng minh là hiển nhiên ) Từ đó ta có đpcm. ■ 2.3 Định lý phân tích Siu 2.3.1 Định nghĩa Cho các đa tạp phức ,X Y có số chiều lần lượt là ,n m trong đó X là Stein. Đặt [ ): ,X Yϕ × → −∞ +∞ là hàm đa điều hòa dưới liên tục. Giả sử ϕ là nửa vét kiệt trên suppT , tức là với mỗi tập compact L Y⊂ , tồn tại ( ) 0R R L= < sao cho tập ( ) ( ){ }, supp : ,x y T L x y Rϕ∈ × ≤ compact tương đối trong X Y× . Cho T là dòng dương đóng song chiều ( ),p p trên X . Với mỗi y Y∈ , hàm ( ) ( ),y x x yϕ ϕ= là nửa vét kiệt trên suppT . Do đó ta có thể liên kết với y một số Lelong suy rộng ( ), yv T ϕ . Vì các ánh xạ ( ), yy v T ϕ là nửa liên tục trên nên các tập mức trên ( ) ( ){ }, : ,c c yE E T y Y T cϕ ν ϕ= = ∈ ≥ ( )0c > là đóng. 2.3.2 Định nghĩa Ta nói hàm ( ),f x y là liên tục Holder địa phương đối với y trên X Y× nếu mọi điểm của X Y× có một lân cận Ω sao cho: ( ) ( )1 2 1 2, ,f x y f x y M y y γ − ≤ − với mọi ( ) ( )1 2, , ,x y x y ∈Ω và các hằng số ( ]0, 0,1M γ> ∈ và một hệ tọa độ thích hợp trên Y . 2.3.3 Định lý Cho T là dòng dương đóng trên X và [ ): ,X Yϕ × → −∞ +∞ là hàm đa điều hòa dưới liên tục. Giả sử ϕ là nửa vét kiệt trên suppT và ( ),x yeϕ liên tục Holder địa phương đối với y trên X Y× . Khi đó các tập mức trên ( ) ( ){ }, : ,c yE T y Y v T cϕ ϕ= ∈ ≥ là tập giải tích trên Y . 2.3.4 Bổ đề Nếu T là dòng dương đóng song chiều ( ),p p thì với mỗi 0c > , tập ( ){ }: ,cE x X v T x c= ∈ ≥ là đóng có độ đo Hausdorff 2 pH hữu hạn địa phương trên X. Chứng minh + Ta có ( ) ( )( ) 20 , . ! , lim T p pr B a r p v T a r σ π→ = . + Rõ ràng ánh xạ ( )( ),Ta B a rσ là nửa liên tục trên. Do đó giới hạn ( ),v T a cũng là nửa liên tục trên khi r giảm về 0. + Lấy K là tập con compact của X và { } 1j j N a ≤ ≤ , ( )N N ε= , là tập lớn nhất gồm các điểm của cE K sao cho 2j ka a j kε− ≥ ∀ ≠ . Khi đó các quả cầu ( ),2jB a ε phủ cE K và các quả cầu ( ),jB a ε rời nhau. + Nếu ,cK ε là tập các điểm có khoảng cách ε≤ của cE K thì ( ) ( )( ) ( ) 2 , , ! p p T c T j N c K B a pε ε π ε σ σ ε≥ ≥∑ vì ( ), jv T a c≥ . + Theo định nghĩa độ đo Hausdorff, ta có: ( ) ( )( )22 0liminf ,2 p p c jH E K dB aε ε→≤ ∑ ( )( ) ( ) 2 2 0 !4liminf 4 p p T cp pN E K cε ε ε σ π→ ≤ ≤  . ■ Trong trường hợp đặc biệt, ta có kết quả quan trọng sau: 2.3.5 Hệ quả Nếu T là dòng dương đóng song chiều ( ),p p trên đa tạp phức X thì các tập mức trên ( ) ( ){ }: ,cE T x X v T x c= ∈ ≥ của các số Lelong thông thường là các tập con giải tích với số chiều p≤ . Chứng minh + Kết quả là địa phương nên ta có thể giả sử X là tập con mở của n . + Áp dụng định lý 2.3.3 với Y X= và ( ), logx y x yϕ = − suy ra ( )cE T là tập giải tích. + Áp dụng bổ đề 2.3.4 ta được ( )dim cE T p≤ . ■ 2.3.6 Định lý phân tích Siu Nếu T là dòng dương đóng song chiều ( ),p p thì T có duy nhất phân tích thành chuỗi hội tụ yếu 0 , 0j j j j T A Rλ λ ≥  = + > ∑ Trong đó jA   là dòng tích phân trên tập giải tích p chiều jA X⊂ và R là dòng dương đóng có tính chất ( )dim 0cE R p c . CHƯƠNG 3: ỨNG DỤNG CỦA SỐ LELONG TRONG LÝ THUYẾT SỐ Trong chương này bằng cách sử dụng các số Lelong và công thức Jensen chúng ta chứng minh bổ đề Schwarz mở rộng nhằm nêu mối liên hệ giữa độ tăng và các không điểm của hàm nguyên trong n . Phần cuối chương là các hệ quả của bổ đề Schwarz trong lý thuyết số. Trước hết, ta trình bày phép biến đổi các số Lelong bằng ảnh trực tiếp Một ánh xạ f : X → Y giữa 2 không gian tô-pô là là ánh xạ riêng nếu và chỉ nếu ánh ngược của mọi tập compact trong Y là tập compact trong Y Giả sử 1 2,X X là các đa tạp khả vi có định hướng với chiều lần lượt là 1 2,m m và 1 2:F X X→ là một ánh xạ lớp C∞ . Đồng cấu kéo ngược *2 1( ) ( ), s P s PD X X u F uε→  là ánh xạ liên tục trong sC − tô pô và ta có * 1( )SuppF u F Suppu−⊂ nhưng tổng quát thì *SuppF u không compact. Nếu xét ' 1( )s PT D X∈ sao cho hạn chế của F lên SuppT là ánh xạ riêng, nghĩa là nếu 1( )SuppT F K−∩ là tập compact với mọi tập compact K trong 2X thì dạng tuyến tính *,u T F u được xác định tốt và liên tục trên 2( )s PD X . Khi đó tồn tại duy nhất một dòng ký hiệu là '* 2( ) s PF T D X∈ , được gọi là ảnh trực tiếp của T qua F , sao cho ** 2, , ( )s PF T u T F u u D X= ∀ ∈ Với mọi ' 1( )s PT D X∈ sao cho SuppTF là ánh xạ riêng, ảnh trực tiếp ' * 2( ) s PF T D X∈ thỏa : a) * ( )SuppF T F SuppT⊂ b) * *( ) ( )d F T F dT= c) ** * 2( ) ( ) ( , )s qF T F g F T g g Xε∧ = ∧ ∀ ∈  d) Nếu 2 3g X X∈ → là ánh xạ thuộc lớp C∞ sao cho ( ) SuppTG T là ánh xạ riêng thì * * *( ) ( )G F T GoF T= . Cho :F X Y→ là ánh xạ chỉnh hình giữa các đa tạp phức, trong đó dim , dimX n Y m= = . Giả sử T là dòng dương đóng song chiều ( ),p p trên X . Nếu suppTF là ánh xạ riêng thì ảnh trực tiếp *F T được xác định bởi: * * , ,F T T Fα α= (3.1) với mọi dạng thử α có song bậc ( ),p p trên Y . Vế phải là xác định do ( )1supp suppT F α− compact. Khi đó *F T là dòng dương đóng song chiều ( ),p p trên Y . Giả sử ψ là hàm đa điều hòa dưới liên tục trên Y , là nửa vét kiệt trên ( )suppF T (tập này chứa *supp F T ). Vì suppTF là ánh xạ riêng nên Fψ  là nửa vét kiệt trên suppT vì { } ( ) { }( )1supp suppT F R F F T Rψ ψ−< = <   . 3.1 Mệnh đề ([De1]) Nếu ( ) { }suppF T Rψ < compact tương đối trong Y thì ( ) ( )* , , , ,v F T r v T F r r Rψ ψ= ∀ < . Đặc biệt: ( ) ( )* , ,v F T v T Fψ ψ=  . Lưu ý: Ở đây, ta không cần giả thiết ,X Y là Stein. Do đó, ta thay ψ bởi { } ( )max ,s s s rψ ψ≥ = < trong định nghĩa của ( )* , ,v F T rψ và ( ), ,v T F rψ  . Chứng minh Đẳng thức đầu tiên có thể viết lại thành: { } ( ) { }( )( )* 1 1p pc cs sr rY XF T dd T F dd Fψ ψψ ψ≥ ≥< <∧ = ∧∫ ∫   (3.2) + Đẳng thức (3.2) được suy ra từ (3.1) nếu ψ trơn, và khi ta viết { }1 lim kr gψ < = ↑ với kg là dãy hàm trơn nào đó. + Trường hợp tổng quát: ta viết sψ≥ thành giới hạn của một dãy giảm các hàm trơn đa điều hòa dưới. Áp dụng định lý liên tục đơn điệu ta cũng có đẳng thức (3.2) . ULưu ý:U Nếu Y không Stein, áp dụng định lý Richberg ta nhận được dãy giảm các xấp xỉ gần đa điều hòa dưới sao cho phần âm của cdd hội tụ đều đến 0. Hơn nữa, do ψ nửa vét kiệt nên tích phân lấy trên các tập con compact. Do đó định lý liên tục đơn điệu là áp dụng được. ■ Theo trên ta suy ra rằng phép biến đổi các số Lelong dưới ảnh trực tiếp tương đương với việc tác động của F lên khối. Ta chủ yếu quan tâm đến việc tính số Lelong thông thường ( )* ,v F T y liên kết với khối ( ) log yψ ω ω= − trong hệ tọa độ địa phương ( )1,..., mω ω nào đó trong Y gần y . Khi đó từ mệnh đề 3.1 suy ra: ( ) ( )* , , logv F T y v T F y= − (3.3) với ( ) 21log log , 2 j j j j F y F z y F Fω− = − =∑  . Ta sẽ chứng minh ( ), logv T F y− bị chặn dưới bởi một tổ hợp tuyến tính các số Lelong của T tại các điểm x trong thớ ( )1F y− với bội thích hợp ứng với F tại các điểm này. Cho x X∈ và ( )y F x= . Giả sử đối chiều của thớ ( )1F y− tại x là p≥ . Khi đó ta đặt: ( ) ( )( ), log ,pcp F x v dd F y xµ = − , và gọi nó là p -bội của F tại x . Theo hệ quả 2.1.14, ( )log pcdd F y− là xác định. Theo định lý so sánh thứ hai 2.2.8, ta suy ra ( ),p F xµ không phụ thuộc cách chọn hệ tọa độ địa phương trên Y (và do đó không phụ thuộc cách chọn hệ tọa độ địa phương trên X , vì các số Lelong không phụ thuộc hệ tọa độ). Theo định nghĩa, ( ),p F xµ là khối được mang bởi { }x của độ đo ( ) ( )log logp n pc cdd F y dd z x −− ∧ − Ta phát biểu không chứng minh định lý sau nhằm mô tả các số Lelong qua các ánh xạ riêng 3.2 Định lý ([De1]) Cho T là dòng dương đóng song chiều ( ),p p trên X và :F X Y→ là ánh xạ giải tích sao cho thu hẹp suppTF là ánh xạ riêng. Giả sử ( )I y là tập các điểm ( )1suppx T F y−∈  sao cho x bằng thành phần liên thông của nó trong ( )1suppT F y− và ( )( )1codim ,F y x p− ≥ . Khi đó: ( ) ( ) ( ) ( ) * , , ,p x I y v F T y F x v T xµ ∈ ≥ ∑ . Một phần tử a khác 0 của một vành được gọi là ước của 0 bên trái nếu tồn tại một phần tử b khác 0 sao cho 0ab = . Tương tự một phần tử a khác 0 của một vành được gọi là ước của 0 bên phải nếu tồn tại một c khác 0 sao cho 0ca = . Một phần tử vừa là ước của của 0 bên trái vừa là ước của của 0 bên phải được gọi là ước của 0 Ta ký hiệu sup ( ) r z r F F z ≤ = . 3.3 Bổ đề (Bổ đề Schwarz) ([De1]) Cho [ ]1 2 1, ,..., ,...,N nP P P z z∈ là các đa thức bậc δ sao cho phần thuần nhất bậc δ của chúng không đồng thời triệt tiêu ngoại trừ tại 0. Khi đó, tồn tại hằng số 2C ≥ sao cho với mọi hàm nguyên ( )nF O∈  và với mọi 1R r≥ ≥ ta có: [ ]( )1log log ,log logn Fr R RF F v Z P Cr δ −≤ − (3.4) trong đó FZ là tập các ước của 0 của F và ( )1,..., : n NNP P P= →  . Hơn nữa [ ]( ) ( ) ( ) ( )1 1 0 , log , ,F n P v Z P ord F P ω ω µ ω − − ∈ ≥ ∑ (3.5) trong đó ( ),ord F ω là cấp triệt tiêu của F tại ω và ( )1 ,n Pµ ω− là ( )1n − - bội của P tại ω , tức là ( ) ( )( )( )1 , log ,pcn P v dd P Pµ ω ω ω− = − . Chứng minh + Từ giả thiết suy ra P là ánh xạ riêng và hữu hạn. + Bất đẳng thức (3.5) là hệ quả của công thức (3.3) và định lý 3.2 áp dụng cho [ ]FT Z= . Ta chứng minh (3.4). Đặt jQ là phần thuần nhất bậc δ của jP . Với mỗi ( )0 0,z B r∈ , xét các hàm trọng ( ) ( ) ( ) ( )0log , logz P z z Q z zϕ ψ= = − . + Do ( ) { }1 0 0Q− = nên từ tính thuần nhất của Q suy ra tồn tại các hằng số 1 2, 0C C > sao cho: ( )1 2C z Q z C z δ δ ≤ ≤ (3.6) trên n + Từ tính thuần nhất ta cũng có ( ) 0 nc n zdd ψ δ δ= . + Áp dụng công thức Lelong – Jensen cho độ đo ,sψµ liên kết với ψ và logV F= ta được: ( ) ( ) [ ] ( ){ } 1 , 0log log s nn c s Ft F F z dt Z ddψ ψµ δ ψ − < −∞ − = ∧∫ ∫ (3.7) Do 2.2.5, ,sψµ có tổng khối nδ và có giá trong ( ){ } ( ){ } 1 0 1 0, s s ez s Q z z e B r C δ ψ     = = − = ⊂ +        . + Lưu ý (3.4) là hiển nhiên với rR C≤ . Giả sử 2rR C r≥ ≥ . Lấy 1log log2 Rs Cδ  = +    . Khi đó: ( ){ } ( )0, 0, 2 Rz s B r B Rψ  = ⊂ + ⊂    . Đặc biệt, ta có: ( ), log logns RF Fψµ δ≤ nên từ (3.7) ta có: ( ) [ ] ( ){ } 0 1 0log log s nn c FR t s F F z dt Z dd ψ δ ψ −− < − ≥ ∧∫ ∫ (3.8) với mọi 0s s< . Bổ đề chứng minh xong nếu ta có thể so sánh tích phân ở (3.8) với tích phân tương ứng mà ϕ thay cho ψ . Điều này tương tự như chứng minh định lý so sánh, nếu để ý ψ ϕ tại vô cực. Xét hàm xấp xỉ ( ){ } { } ( ) { } max , 1 tr n 2 1 tr n 2 t ê t t ê t ψ ε ϕ ε ε ψ ω ε ϕ ε ε ψ  − + − ≥ −=  − + − ≤ − Trong đó ε là hằng số thỏa ( )1 tε ϕ ε ε ψ− + − > gần { }2tψ = − và ( )1 tε ϕ ε ε ψ− + − < gần { }tψ = . + Áp dụng định lý Stokes: [ ] ( ){ } [ ] ( ){ } 1 1n nc c F Ft t Z dd Z dd ψ ψ ψ ω − − < < ∧ = ∧∫ ∫ ( ) [ ] ( ){ } ( ) [ ]( ) 11 1 2 1 1 ,log nn nc F Ft Z dd v Z P ψ ε ϕ ε −− − < − ≥ − ∧ ≥ −∫ (3.9) + Do (3.6) và giả thiết 0z r< , điều kiện ( )z tψ = suy ra: với logt rδ≥ ( )0 01 1 1 2 t t t e eQ z z e z z C C δ δ δ δ − = ⇒ ≤ − ≤ ( ) ( ) ( )( ) 1 1 0 3 0 0 41 1 t P z Q z z C z z z C r r e δ δ δ − −   − − ≤ + + + ≤ +    ( ) ( ) 1 1 4 4 0 1 1 2 t t tP z C re re C re Q z z δ δδ δ δ − − − −− − ≤ + ≤ −   Do đó với ( ) ( )0 4log 2z t s C rδψ δ= ≥ ≥ , ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 50 log tP z z z C re Q z z δϕ ψ − − = ≤ − . + Ta có: ( ) ( )( ) ( )1 1 1t tε ϕ ε ε ψ ε ϕ ψ ε ψ − + −  − = − − + − −  . Suy ra ( ) 51 t t C re δε ϕ ε ε ψ ε −  − + −  − < −  trên { }tψ = , ( ) 2 51 t t C re δε ϕ ε ε ψ ε −  − + −  − > − +  trên { }2tψ = − Do đó ta chọn 2 5 t C re δε − = là đủ. Hơn nữa do 1ε < nên ta chọn ( )0 52 logt s C rδ≥ ≥ + . Ngoài ra, (3.9) chỉ đúng khi ( ) { }1 0 2P tψ− ⊂ < − . Theo (3.6) ta lấy ( )( )0 2 62 logt s C r C δ≥ ≥ + + là đủ, trong đó 6C chọn thỏa mãn ( ) ( )1 60 0,P B C− ⊂ . Cuối cùng, chọn 7 0 8log , logs R C s r Cδ δ= − = + . Từ (3.8), (3.9) suy ra: ( ) [ ]( ) 0 12 0 5log log 1 ,log ns t n FR s F F z C re dt v Z Pδδ −− −     − ≥ −     ∫ (3.10) Tích phân cuối là bị chặn do 7 8 log 91 log R C tr C RC e dt Cr δ δ δ − −   − ≥       ∫ Lấy infimum hai vế của (3.10) khi 0z chạy trên ( )0,B r ta được đpcm . ■ 3.4 Hệ quả ([De1]) Cho S là tập con hữu hạn của n và δ là bậc nhỏ nhất của siêu phẳng đại số chứa S . Khi đó, tồn tại hằng số 2C ≥ sao cho với mọi ( )nF O∈  và với mọi 1R r≥ ≥ ta có: ( ) ( )1 2log log , log !r R n n RF F ord F S n Cr δ − + ≤ − trong đó ( ) ( ), min , S ord F S ord F ω ω ∈ = . Chứng minh Từ bổ đề 3.3, ta chỉ cần chọn các đa thức [ ]1 2 1, ,..., ,...,N nP P P z z∈ thích hợp. Không gian vectơ [ ]1,..., nz z δ< gồm các đa thức bậc δ< trong n có số chiều: ( ) ( ) ( )1 1 ... 1 ! n n n m C nδ δ δ δ δ + − + + − = = . Theo định nghĩa của δ , dạng tuyến tính [ ] ( )1,..., , ,nz z P P Sδ ω ω< → ∈   chỉ triệt tiêu khi 0P = . Do đó tồn tại ( )m m δ= điểm 1 2, ,..., m Sω ω ω ∈ sao cho các dạng tuyến tính ( )jP P ω lập thành một cơ sở của [ ]*1,..., nz z δ< . Điều này nghĩa là tồn tại duy nhất đa thức [ ]1,..., nP z z δ<∈ nhận giá trị ( )jP ω với 1 j m≤ ≤ . Đặc biệt, với mọi đa chỉ số ,α α δ= , tồn tại duy nhất đa thức [ ]1,..., nR z zα δ<∈ sao cho ( )j jR αα ω ω= . Do đó, các đa thức ( ) ( )P z z R zαα α= − có bậc δ , triệt tiêu tại mọi jω và phần thuần nhất bậc cao nhất của chúng là ( )Q z zαα = chỉ triệt tiêu tại 0. Do ( )1 , 1n jPµ ω− ≥ nên ta được: [ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 , log , ,F P v Z P ord F m ord F S ω ω δ −∈ ≥ ≥∑ Kết hợp bổ đề Schwarz ta có đpcm. ■ 3.5 Định lý ( Bombieri) ([De1]) Cho 1,..., NF F là các hàm phân hình trên n sao cho ( )1,..., dF F n d N< ≤ là độc lập đại số trên  và có cấp hữu hạn 1,..., dρ ρ . Giả sử K là một trường số có bậc [ ]:K  . Giả sử vành [ ]1,..., NK f f là ổn định dưới các toán tử 1 ,..., n d d dz dz . Gọi S là tập gồm các nz∈ , không chứa cực điểm các jF , sao cho: ( ) ( )( )1 ,..., NNF z F z K∈ . Khi đó tồn tại một siêu phẳng đại số bậc δ chứa S và thỏa mãn ( ) [ ]1 1 ...2 : ! d n n K n d n δ ρ ρ − + + + ≤ −  (3.11) Chứng minh Nếu S không chứa trong một siêu phẳng đại số bậc δ< thì từ lập luận đại số tuyến tính được sử dụng trong chứng minh hệ quả 3.4 tồn tại ( )m m δ= điểm 1 2, ,..., m Sω ω ω ∈ không nằm trong bất kỳ siêu phẳng đại số nào có bậc δ< . Đặt 1,..., dH H là các mẫu số của 1,..., dF F . Phương pháp chuẩn tắc hóa của lý thuyết số siêu việt cho phép ta xây dựng một dãy các hàm phân hình như sau: Đặt ( )( )1 1,..., ,..., s d dG P F F H H= trong đó P là đa thức bậc s≤ đối với mỗi biến và có hệ số nguyên. Đa thức P chọn sao cho G triệt tiêu tại mỗi jω với cấp đủ lớn. Điều này tương đương với việc giải một hệ tuyến tính mà các biến là các hệ số của P và các hệ số là các đa thức theo các đạo hàm của jF (do đó nằm trong trường số K ). Ước lượng độ lớn các mẫu số và sử dụng nguyên lý Dirichlet-Siegel dẫn đến bổ đề sau: 3.6 Bổ đề ([De1]) Với mọi 0ε > , tồn tại các hằng số 1 2, 0, 1C C r> ≥ và dãy vô hạn ,tG t T∈ ⊂  sao cho: a. tG triệt tiêu cấp t≥ tại các điểm 1,..., mω ω . b. ( ) [ ]:1 t K t r G C t −≥  . c. ( ) 2 t t R t G C≤ trong đó ( ) 1 1 ... log d d ntR t t ρ ρ ε− + + +  =     . Áp dụng hệ quả 3.4 cho ( ),tF G R R t= = ta có một chặn của δ khi t →+∞ và 0ε → . Nếu 0δ là số nguyên lớn nhất thỏa bất đẳng thức (3.11) thì lấy 0 1δ δ= + ta có mâu thuẫn. Do đó S phải nằm trong một siêu phẳng đại số bậc 0δ δ≤ . ■ CHƯƠNG 4: LỚP GIAO (CẮT) TOÀN CỤC VÀ TỰ CẮT Lý thuyết cắt vừa là một nhánh của Hình học đại số, trong đó các đa tạp con cắt nhau trên một đa tạp đại số, vừa cũng là một nhánh của Tô-pô đại số, nơi các phần giao (cắt) được tính trong vành đối đồng điều. William Fulton viết trong quyển Lý thuyết giao (cắt) (1984) như sau: “ nếu A và B là các đa tạp con của một đa tạp không kỳ dị X, tích gaio A.B là một lớp tương đương của các xích đại số có liên hệ chặt chẽ với bộ môn hình học nghiên cứu về A B∩ , A và B ở trong X. Hai trường hợp cực đoan của nó là quen thuộc nhất. Trường hợp nếu phần cắt là thực sự (proper), nghĩa là nếu dim( ) dim dim dimA B A B X∩ = + − thì A.B là tổ hợp tuyến tính của các thành phần bất khả quy của A B∩ , với hệ số là số bội giao (cắt). Trường hợp nếu A = B là một đa tạp không kỳ dị, công thức tự cắt chỉ ra rằng A.B được chỉ ra bởi lớp Chern bậc cao nhất của bó vectơ A trong X” . Trong chương này chúng ta trình bày một số kết quả của hai trường hợp trên. Trước hết ta trình bày một số kiến thức có liên quan Nhóm đối đồng điều De Rham ([De2]) Nhắc lại rằng một phức đối đồng điều K • với pK là các mô-đun trên một vành nào đó, được trang bị các vi phân, nghĩa là, các ánh xạ tuyến tính 1:p p pd K K +→ sao cho 1 0p Pd d+ = . Các mô-đun đối xích (đối dây chuyền), đối bờ, đối đồng điều ( )pZ K • , ( )pB K • và ( )pH K • lần lượt được định nghĩa như sau 1( ) : , ( )p p p p p pZ K Kerd K K Z K K• + •= → ⊂ 1 1( ) Im : , B ( ) ( )p p p p p p pB K d K K K Z K K• − − • •= → ⊂ ⊂ ( ) ( ) / ( )p p pH K Z K B K• • •= Cho X là một đa tạp khả vi thuộc lớp C∞ . Phức De Rham của X được định nghĩa là phức *( , )p p XK C X T ∞= Λ với vi phân được trang bị là đạo hàm ngoài pd d= và { }0pK = , 0pd = với 0p < . Ta ký hiệu ( , )pZ X  là đối xích ( p-dạng đóng) và ( , )pB X  là đối bờ (các p-dạng khớp) . Ta quy ước { }0 ( , ) 0B X = . Nhóm đối đồng điều De Rham bậc p là ( , ) ( , ) / ( , )p p pDRH X Z X B X=   . Để đơn giản ta ký hiệu ( , ) ( , )p pDRH X H X=  . Ở đây  để nhấn mạnh là p-dạng vi phân lấy giá trị thực. Ta cũng có thể giới thiệu nhóm tương tự ( , )pDRH X  các dạng lấy giá trị phức, nghĩa là dạng lấy giá trị trong *p XT⊗Λ tức là ( , ) ( , )p pDR DRH X H X= ⊗   . Ta có 0 ( , )DRH X  được đồng nhất với không gian các hàm hằng địa phương trên X, do đó 0 ( )0 ( , ) XDRH X π=  , với 0 ( )Xπ là tập các thành phần liên thông của X. Nhóm đối đồng điều De Rham với giá compact , ( , ) ( , ) / ( , ) p p p DR c c cH X Z X B X=   tương ứng với phức De Rham *( , )p pc XK C X T ∞= Λ các dạng vi phân trơn với giá compact. Cho X là một đa tạp khả vi paracompact n chiều. Xét phép giải 00 1 10 .. ... 0 qj d dq q nε ε ε ε ε+→ → → → → → → → cho bởi đạo hàm ngoài d tác động lên bó các mầm các dạng vi phân lớp C∞ bậc q. Theo định lý đẳng cấu DeRham- Weil có một đẳng cấu ( , ) ( , )q qDRH X H X→  từ đối đồng điều De Rham lên đối đồng điều với giá trị trong bó hằng  . Thay vì sử dụng các dạng C∞ vi phân, ta có thể xét phép giải của  cho bởi đạo hàm ngoài d tác động lên các dòng. ' ' ' ' ' 1 1 00 .. ... 0 d d n n n n q n qD D D D D ε− − − −→ → → → → → → → Ta có đẳng cấu '( ( )) ( , )q qnH D X H X−• →   . Định lý đối ngẫu PoinCaré ([De2]) Nếu M là một đa tạp đóng định hướng n chiều thì nhóm đối đồng điều thứ k của M đẳng cấu với nhóm đồng điều thứ n – k của M với mọi k: ( ) ( )k n kH M H M−≅ (ở đây đồng điều và đối đồng điều được lấy trong vành các số nguyên, nhưng đẳng cấu đúng với mọi vành hệ số). Tích hợp (Cup product) ([De2]) Nếu c là p- đối xích và 'c là q- đối xích thì tích hợp của c và c’ là một p+q - đối xích 'c c∪ xác định bởi: 0 0... ... ... ( ') ' p q p p p q c c c cα α α α α α+ +∪ = ⊗ trên 0 0 1... ...p q p qU U U Uα α α α α+ += ∩ ∩ ∩ Tích hợp có một số tính chất: ' ( 1) ( ' )p qc c c c+∪ = − ∪ , ( )' '' ' ( ' '')c c c c c c∪ ∪ = ∪ ∪ ( ') ( 1) ( ')p q p p qc c c c cδ δ δ+ ∪ = ∪ − ∪ Từ đẳng cấu De Rham Weil ( , ) ( , )q qDRH X H X→   ta có tích hợp ' ''c c∪ được biến thành tích ngoài ' ''f f∧ các lớp đối đồng điều De Rham. Khi hai đa tạp con của một đa tạp trơn cắt nhau thì giao của chúng lại là một đa tạp con. Lấy lớp đồng điều cơ bản của các đa tạp con dẫn đến tích song tuyến tính trên đồng điều. Tích này đối ngẫu với tích hợp, nghĩa là lớp đồng điều của giao hai đa tạp con là đối ngẫu PoinCare của tích hơp của các đối ngẫu PoinCare. Bó vectơ chỉnh hình ([De2]) Trong toán học một bó vectơ là một cấu trúc tô pô thực hiện ý tưởng về một học các không gian vectơ được tham số hóa bởi một không gian vectơ khác: Với mọi điểm x của không gian X được gán với một không gian vectơ V(x) sao cho các không gian này ghép với nhau tạo thành một không gian vectơ cùng loại với X. 1. Cho M là một C∞ - đa tạp khả vi có chiều m và K =  hay K =  là trường vô hướng. Một bó vectơ (thực hoặc phức) hạng r trên M là một ∞ - đa tạp E cùng với i) Một C∞ ánh xạ : E Mπ → được gọi là phép chiếu ii) Một K − không gian vectơ chiều r trên mỗi thớ 1( )xE xπ −= sao cho cấu trúc vec- tơ là tầm thường địa phương. Nghĩa là, tồn tại một phủ mở ( ) IVα α∈ của M và các C ∞ vi phôi được gọi là các tầm thường hóa : : r V E V αα α θ → ×Κ với 1( ) V E V α α π −= sao cho với mọi x Vα∈ ánh xạ { } r rxE xαθ→ ×Κ →Κ là một đẳng cấu tuyến tính Với mỗi , Iα β ∈ ánh xạ 1: : ( ) ( )r rV V V Vαβ α β α β α βθ θ θ − ∩ ×Κ → ∩ ×Κ là một tự đồng cấu tuyến tính trên mỗi thớ { } rx ×Κ .Nó có thể được viết dưới dạng ( , ) ( , ( ). ) , ( , ) ( ) rx x g x x V Vαβ αβ α βθ ξ ξ ξ= ∈ ∩ ×Κ trong đó ,( ) I Jgαβ α β∈ × là họ các ma trận khả nghịch với hệ số trong ( , )C V Vα β ∞ ∩ Κ thỏa mối liên hệ đối xích g g gαβ βγ αγ= trên V V Vα β γ∩ ∩ (1.1) Họ ( )gαβ được gọi là hệ các ma trận biến đổi (transition) Ngược lại mọi họ ma trận khả nghịch thỏa (1.1) xác định một bó vectơ E, nhận được bởi dán các bản đồ rVα ×Κ bằng αβθ . UVí dụU : Đa tạp tích kE M= ×  là một bó vectơ trên M được gọi là bó vectơ tầm thường hạng r trên M. UVí dụU : Bó tiếp tuyến TM : Nếu : nVα ατ →  là họ các bản đồ tọa độ trên M thì : mVd TM Vα α ααθ π τ= × → ×  xác định các tầm thường hóa của TM và ma trận biến đổi được cho bởi ( )g d xβαβ αβτ= với 1 αβ α βτ τ τ −=  và ( )x T xβ β= . Đối ngẫu T M ∗ của TM được gọi là bó đối tiếp xúc và lũy thừa ngoài thứ p: PT M∗Λ được gọi là bó các dạng vi phân bậc p trên M. Nếu MΩ⊂ là một tập con mở và k là số nguyên dương hoặc bằng ∞ , ta ký hiệu ( , )kC EΩ là không gian các kC - thiết diện của E Ω , nghĩa là không gian các kC - ánh xạ :s EΩ→ sao cho ( ) xs x E∈ với mọi x∈Ω (nghĩa là s Idπ Ω= ). Một phép nối tuyến tính D trên bó vectơ E là một toán tử vi phân tuyến tính cấp 1 tác động lên ( , )C M E∞• thỏa các tính chất sau : (2.1) 1: ( , ) ( , )q qD C M E C M E ∞ ∞ +→ (2.1’) ( ) ( 1) pD f s df s f Ds∧ = ∧ + − ∧ với mọi ( , )pf C M K ∞∈ và ( , )qs C M E ∞∈ với df là đạo hàm ngoài của f Giả sử : rE Kθ Ω →Ω× là cái tầm thường hóa của E Ω và cho 1( ,.., )re e là hệ tọa độ tương ứng của E Ω . Khi đó với mọi ( , )qs C E ∞∈ Ω có thể được viết 1 r s eλ λ λ σ ≤ ≤ = ⊗∑ , ( , )qC Kλσ ∞∈ Ω Theo (2.1’) có ( ) 1 ( 1) p r Ds d e Deλ λ λ λ λ σ σ ≤ ≤ = ⊗ + − ⊗∑ . Nếu ta viết 1 r De a eµ λµ λ λ≤ ≤ = ⊗∑ với 1 ( , )a C Kλµ ∞∈ Ω ta có 1 r Ds d a eλ λµ µ λ λ µ σ σ ≤ ≤   = + ∧ ⊗    ∑ ∑ . Đồng nhất E Ω với rΩ×Κ bằng θ và ký hiệu d là phép nối tầm thường ( )d d λσ σ= trên rΩ×Κ . Toán tử D được viết Ds d Aθ σ σ+ ∧ với ( ) 1 ( , ( , ))r rA a C Hom K Kλµ ∞= ∈ Ω . Chúng ta tính 2 2: ( , ) ( , )q qD C M E C M E ∞ ∞ +→ với cái tầm thường hóa : rEθ Ω →Ω×Κ Ta có 2 ( ) ( )D s d d A A d Aθ σ σ σ σ+ ∧ + ∧ + ∧ 2 ( ) ( )d dA Ad A d A Aσ σ σ σ σ= + ∧ − + ∧ + ∧ ∧ ( )dA A A σ= + ∧ ∧ dẫn đến tồn tại một 2- dạng 2( ) ( , ( , ))D C M Hom E E ∞Θ ∈ được gọi là tenxơ độ cong của D, sao cho 2 ( )D s D s= Θ ∧ với tầm thường hóa được cho bởi ( )D dA A AθΘ + ∧ Nếu E có hạng r =1 thì 1 ( , )A C M K ∞∈ và ( , )Hom E E đẳng cấu chính tắc với bó tầm thường M K× . Đồng nhất ( , )Hom E E K= tenxơ độ cong ( )DΘ được xem là một 2-dạng đóng với giá trị trong K: ( )D dAΘ = . 2. Một bó vectơ : E Xπ → được gọi là bó vectơ chỉnh hình nếu E là một đa tạp phức, ánh xạ chiếu π là chỉnh hình và nếu tồn tại một phủ ( ) IVα α∈ của X và một họ các tầm thường hóa chỉnh hình : r V E V αα α θ → × . Ta ký hiệu ( )O E là bó các mầm của thiết diện chỉnh hình của E. Trong trường hợp r = 1 ta gọi bó vectơ chỉnh hình của bó đường chỉnh hình Toán tử d’’ được gọi là phép nối (0,1) chính tắc của bó chỉnh hình E. Ta có 0, ( , ) ( , ( ))q qH X E H X O E Ta đồng nhất bó tự do O(E) với bó vectơ E nên có thể viết 0, ( , ) ( , )q qH X E H X E . Nếu X là một đa tạp phức, PXΩ ký hiệu bó vectơ. Ta có đẳng cấu , ( , ) ( , )p q q pXH X E H X EΩ ⊗ Đặc biệt ,0 ( , )pH X E là không gian các thiết diện chỉnh hình toàn cục của pX EΩ ⊗ Cho : E Xπ → là bó vectơ chỉnh hình Hermit hạng r. Phép nối Hermit duy nhất D sao cho D’’ = d’’ được gọi là phép nối Chern của E. Tenxơ độ cong của phép nối này ký hiệu là ( )EΘ được gọi là tenxơ độ cong Chern. Nếu ( )EΘ là tenxơ độ cong Chern thì 1,1( ) ( , ( , ))i E C X Herm E E ∞Θ ∈ Nếu : rEθ Ω →Ω× là một tầm thường hóa chỉnh hình và nếu H là một ma trận biểu diễn mê-tric dọc theo các thớ E Ω thì 1 ( ) ''( ' )i E id H d H − Θ = trên Ω . Trường hợp 1r rankE= = thì H là một hàm dương mà ta có thể viết H e ϕ−= , ( , )Cϕ ∞∈ Ω  ta có ( ) '' 'i E id d ϕΘ = trên Ω . Đặc biệt ( )i EΘ là một dạng thực (1,1) đóng trên X. Lớp Chern ([De2]) Cho một bó vectơ phức V trên không gian tô pô X, các lớp Chern của V là một dãy các phần tử của đối đồng điều X. Lớp Chern thứ k của V, thường được ký hiệu là ( )kc V là một phần tử của 2 ( , )kH X  , đối đồng điều của X với các hệ số nguyên. Ta cũng có thể định nghĩa lớp Chern tổng là 0 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ..c V c V c V c V= + + + Các lớp Chern thỏa một số tính chất sau: a. 0 ( ) 1c V = với mọi V. b. Nếu :f Y X→ là ánh xạ liên tục và *f V là kéo ngược bó vectơ của V thì ( * ) * ( )k kc f V f c V= . c. Nếu W X→ là một bó vectơ phức khác thì các lớp Chern của tổng trực tiếp V W⊕ được cho bởi ( ) ( ) ( )c V W c V c W⊕ = ∪ , nghĩa là: 0 ( ) ( ) ( ) k k i k i i c V W c V c W− = ⊕ = ∪∑ d. Nếu 0 ' '' 0E E E→ → → → là dãy khớp các bó vectơ thì ( ) ( ') ( '')c E c E c E= + e. Nếu n là hạng phức của V thì ( ) 0kc V = với mọi k > n. f. Lóp Chern cao nhất của V ( nghĩa là ( )nc V , với n là hạng của V luôn bằng lớp Euler của bó vectơ thực. Đối với bó đường bó Chern không tầm thường duy nhất là lớp Chern thứ nhất , mà là một phần tử của nhóm đối đồng điều thứ hai của X. Vì nó là lớp Chern hạng đầu nên nó trùng với lớp Euler của bó. Lớp Chern thứ nhất là một bất biến đầy đủ để phân loại các bó đường phức. Nghĩa là có một song ánh giữa các lớp đẳng cấu của các bó đường trên X và các phần tử của 2 ( , )H X  . Hơn nửa nhóm đối đồng điều thứ 2 trùng với tích tenxơ của các bó đường. Định lý ([De2]) Cho E là một bó đường phức (hạng r = 1). Ảnh của 1( )c E trong 2 ( , )DRH M  qua đồng cấu tự nhiên 2 2 2( , ) ( , ) ( , )DRH M H M H M→    trùng với lớp đối đồng điều De Rham ( ) 2 i D π  Θ    tương ứng với mọi phép nối (Hermit) D trên E. Sự phân loại (các lớp đẳng cấu) các bó đường phức bởi lớp Chern xấp xỉ với việc phân loại các bó đường chỉnh hình bằng các lớp tương đương các ước. Ta giả sử M là một đa tạp có định hướng, Z là một đa tạp con định hướng đối chiều 2 của M (hướng của Z được xác định duy nhất bởi M và E). Ta ký hiệu [ ]Z là dòng của tích phân trên Z và [ ]{ } 2 ( , )DRZ H M∈  nhóm đối đồng điều của nó. Khi đó ta có: [ ]{ } 1( )Z c E=  . Phương trình Lelong- Poincare và lớp Chern thứ nhất ([De2]) 1. Phương trình Lelong Poincare: Cho ( )f M X∈ là hàm phân hình không triệt tiêu trên mọi thành phần liên thông của X và cho j jm Z∑ là một ước của f. Khi đó hàm log f là khả tích địa phương trên X và thỏa phương trình: ' ''log [ ]j j i d d f m Z π =∑ trong không gian 1, 1' ( )n nD X− − các dòng song chiều (n-1,n-1). 2. Một thiết diện phân hình của một bó đường E X→ là một thiết diện s được xác định trên một tập con mở của X sao cho với mọi tầm thường hóa : r V E V αα α θ → × các thành phần ( )sα ασ θ= là một hàm phân hình trên Vα . Cho một bó đường E X→ và s là một thiết diện phân hình của E mà không triệt tiêu trên mọi thành phần liên thông của X. Nếu j jm Z∑ là một ước của f thì 2 1( ) [ ] ( , )j jc E m Z H X= ∈∑  . Ví dụ : Nếu j jm Z∆ =∑ là một ước bất kỳ trên X, ta gán ∆ với bó ( )O ∆ các mầm hàm phân hình f sao cho 0divf + ∆ ≥ . Cho ( )Vα là một phủ mở của X và uα là một hàm phân hình trên Vα sao cho divuα = ∆ trên Vα . Xét bó các đường E trên X xác định bởi các đối xích *: ( )ug O V V u α αβ α β β = ∈ ∩ . Khi đó bó ( )O ∆ đẳng cấu với ( )O E . 3. Cho X là đa tạp phức tùy ý. a) Với mọi bó đường héc-mít E trên M, dạng độ cong Chern ( ) 2 i E π Θ là dạng (1,1) thực đóng có lớp đối đồng điều De Rham là ảnh của một lớp nguyên. b) Ngược lại, cho ω là một dạng (1,1) thực ∞ -đóng có lớp 2 ( , )DRH Xω∈  là ảnh của một lớp nguyên. Khi đó tồn tại một bó Héc-mít đường E X→ sao cho ( ) 2 i E ω π Θ = . Cho X là đa tạp phức compact n chiều. Với mỗi dòng đóng θ bậc k (tức là dòng song bậc ( ),p q với p q k+ = ), ta có thể liên kết nó với một lớp đối đồng điều De Rham { } ( ),kDRH Xθ ∈  . Các đối đồng điều De Rham có thể được tính bằng phức của các dạng vi phân trơn hoặc bằng phức của các dòng: cả hai bó phức này là phép giải tốt của bó hằng địa phương  . Hơn nữa, phép gán { }θ θ là liên tục đối với tôpô yếu của các dòng (suy từ đối ngẫu Poincare). Như vậy việc nghiên cứu tính cắt của các đa tạp dẫn đến việc tính toán trên các vành đối đồng điều. Đặc biệt, mỗi xích giải tích i iA Aλ=∑ có số chiều p trong X có thể liên kết với một lớp đối đồng điều De Rham { } [ ]{ } ( )2 2 ,n pi i DRA A H Xλ −= ∈∑  , trong đó các hệ số iλ là các số nguyên, lớp { }A nằm trong ảnh của ( )2 2 ,n pH X−  . Khi xét trường hợp logj ju f= với một hàm chỉnh hình khác 0 nào đó trên X , chúng ta thấy tích của các ước của không cj jZ dd u  =  được xác định khi các giá jZ thỏa điều kiện 1 1 dim ... mj j co Z Z m∩ ∩ = với mọi m. Tương tự, Khi [ ]T A= là một p - xích giải tích, hệ quả 2.1.14 chỉ ra rằng [ ] [ ]Z A∧ được xác định với mọi ước Z sao cho dim 1Z A p∧ = − . Nhận xét này dẫn đến: 4.1 Định lý ([De1]) Giả sử các ước jZ thỏa mãn điều kiện về đối chiều ở trên và ( ) 1k kC ≥ là các thành phần bất khả quy của tập [ ]1 ... qZ Z    . Khi đó, tồn tại các số nguyên dương km sao cho: [ ] [ ]1 ... q k kZ Z m C ∧ ∧ =  ∑ .(*) Số km được gọi là bội của lớp cắt của 1,..., qZ Z dọc theo kC . Chứng minh: ● Tích ngoài ở vế trái của (*) có song bậc ( ),q q và có giá trong kC C=  , codimC q= . Do đó nó có dạng tổng như ở vế phải với km là các số thực dương. ● Ta chứng minh các số km nguyên dương bằng quy nạp theo q . Ký hiệu A là một thành phần bất khả quy của [ ]1 1... qZ Z −    . Ta chỉ cần kiểm tra [ ] qA Z ∧   là một xích tích phân giải tích có đối chiều q với hệ số dương trên mỗi thành phần kC của lớp cắt. + Ta có: [ ] [ ]( )logcq qA Z dd f A ∧ =  . + Giả sử không có thành phần nào của ( )1 0qA f − chứa trong phần kỳ dị singA . + Áp dụng phương trình Lelong – Poincare trên regA được: [ ]( ) [ ]logc q k kdd f A m C=∑ trên \ singX A , trong đó km là bậc triệt tiêu của qf dọc theo kC trong regA . + Vì singC A có đối chiều 1q≥ + nên đẳng thức là đúng trên X . + Trường hợp tổng quát: thay qf bởi qf ε− sao cho ước của qf ε− không có thành phần nào chứa trong singA . Khi đó: [ ]( )logc qdd f Aε− là một xích tích phân đối chiều q với bội dương trên mỗi thành phần của ( )1qA f ε− . Cho 0ε → ta có đpcm. ■ Tích ngoài của các dạng vi phân trơn xác định cấu trúc vành trên đối đồng điều De Rham. Cho hai dòng 1Θ , 2Θ trên X có một lớp giao { } { }1 2.Θ Θ trên vành đối đồng điều ngay cả khi 1 2Θ ∧Θ không là một dòng. Nhận xét này chỉ ra rằng tích ngoài của các dòng đóng dương không thể xác định nếu không có giả thiết bổ sung. Một cách tổng quát một dòng (1,1) dương đóng T không thể xấp xỉ trong tô- pô yếu với dòng đóng dương trơn: một điều kiện cần là { } { } 0pT Y ≥ với mọi đa tạp con Y chiều p của X. Tuy nhiên dựa vào một kết quả của Demailly (định lý 4.2) chỉ ra rằng T có thể xấp xỉ với một dòng đóng mà có phần âm được kiểm soát bởi độ cong của X. Kết quả này cho phép tính lớp tự cắt bằng cách lấy giới hạn yếu của tích mà các dòng ban đầu được thay thế bởi các chính quy hóa của nó. Kỹ thuật này được áp dụng và nhận được một bất đẳng thức về sự tự cắt cho các dòng dương đóng song bậc (1,1) (định lý 4.4). Cho dòng T có song chiều ( ),p p . Ta nói T là gần dương nếu tồn tại dạng trơn v có song bậc ( ),n p n p− − sao cho 0T v+ ≥ . Tương tự, một hàm ϕ trên X được gọi là gần đa điều hòa dưới nếu ϕ về địa phương bằng tổng của một hàm đa điều hòa dưới và một hàm trơn. Khi đó, ( )1,1 - dòng cdd ϕ là gần dương. Ngược lại, nếu ϕ là hàm khả tích địa phương và cdd ϕ là gần dương thì ϕ bằng một hàm gần đa điều hòa dưới hầu khắp nơi. Nếu T là dòng gần dương, đóng thì số Lelong ( ),v T x xác định. Có thể tham khảo chứng minh định lý sau trong [De2]: 4.2 Định lý ([De1]) Cho T là ( )1,1 - dòng gần dương, đóng và α là ( )1,1 - dạng thực trơn trong cùng lớp cdd - đối đồng điều với T , tức là cT ddα ψ= + trong đó ψ là hàm gần đa điều hòa dưới. Cho γ là ( )1,1 - dạng thực liên tục sao cho T γ≥ . Giả sử ( )1TXO được trang bị một metric Hermit trơn sao cho dạng độ cong thỏa mãn: ( )( ) *1 0TXc O uπ+ ≥ với ( )*: P T X Xπ → và u là ( )1,1 - dạng không âm trên X . Khi đó với mỗi 0c > , tồn tại dãy các ( )1,1 - dòng gần dương, đóng , , c c k c kT ddα ψ= + sao cho ,c kψ là trơn trên ( )\ cX E T và giảm đến ψ khi k →+∞ (đặc biệt ,c kT trơn trên ( )\ cX E T và hội tụ yếu đến T trên X ), và , ,c k c k kT uγ λ ε ω≥ − − , trong đó: i. ( ),c k xλ là dãy giảm các hàm liên tục trên X sao cho ( ) ( )( ),lim min , ,c kk x v T x cλ→+∞ = tại mỗi điểm. ii. lim 0kk ε→+∞ = . iii. ( ) ( )( ), , ,c kv T x v T x c += − với mọi x X∈ . ở đây ( )1TXO là bó đường gắn với TX trên bó siêu phẳng P(T*X). Nhận xét rằng định lý đưa ra một xấp xỉ đặc biệt ,c kT trơn trên X nếu max ( , )x Xc T xν∈> . Đẳng thức trong iii. chỉ ra rằng mọi số Lelong nhỏ hơn hoặc bằng c đều bị loại bỏ và chuyển những số còn lại xuống bởi c. 4.3 Hệ quả ([De1]) Cho θ là dòng gần dương, đóng song chiều ( ),p p và 1,..., qα α là ( )1,1 - dòng gần dương, đóng sao cho 1 ... qα α θ∧ ∧ ∧ là xác định theo 2.1.10 hoặc 2.1.12, với jα có biểu diễn địa phương là c j jdd uα = . Khi đó: { } { } { } { }1 1... .... .q qα α θ α α θ∧ ∧ ∧ = . Chứng minh Định lý 4.2 và định lý liên tục đơn điệu (Định lý 2.1.5) ở chương 2 suy ra: 11 ... lim ... q k k q k α α θ α α θ →+∞ ∧ ∧ ∧ = ∧ ∧ ∧ Trong đó { }kj jα α∈ là trơn. Do đó kết quả đúng cho các dạng trơn. Từ tính liên tục yếu của các lớp đối đồng điều ta có đpcm. ■ Bây giờ, giả sử X là đa tạp compact Kahler được trang bị metric Kahler ω . Bậc của một ( ),p p - dòng dương đóng θ đối với ω được định nghĩa: deg p Xω θ θ ω= ∧∫ . Đặc biệt, bậc của một tập giải tích p chiều A X⊂ là p A ω∫ . Xét dãy 1 10 ... n nb b b += ≤ ≤ ≤ sao cho chiều của ( )cE T giảm một đơn vị khi c lớn hơn pb , nghĩa là ( )dim cco E T p= với ít nhất một thành phần có đối chiều p khi ( 1,p pc b b + ∈  . Đặt ( ), 1p k kZ ≥ là các thành phần có đối chiều p của ( )cE T với ( 1,p pc b b + ∈  và đặt ( ) ( , , 1min , , p k p k p px Z v v T x b b +∈ = ∈  là số Lelong chung của T trên ,p kZ . Khi đó ta có: 4.4 Định lý ([De1]) Giả sử X là Kahler và ( )1TXO có một metric Hermit sao cho ( )( ) *1 0TXc O uπ+ ≥ trong đó u là ( )1,1 - dạng trơn đóng nửa xác định dương. Với mỗi 1,...,p n= thì lớp đối đồng điều De Rham { } { }( ) { } { }( )1 ... pT b u T b u+ + có thể được biểu diễn bởi một ( ),p p - dòng dương đóng pθ sao cho: ( ) ( ) ( ) ( ), 1 , , 1 1 ... ...p p k p k p p k abs abs p k v b v b Z T b u T b uθ ≥  ≥ − − + + ∧ ∧ + ∑ (4.1) trong đó 0absT ≥ là phần liên tục tuyệt đối trong phân tích Lebesgue của các hệ số của T thành các độ đo kỳ dị liên tục tuyệt đối. Chứng minh Ta chứng minh bằng quy nạp theo p . + Với 1p = , công thức phân tích Siu suy ra: 1, 1,k kT v Z R = + ∑ , và ta có absR T≥ do các phần khác có hệ số là độ đo kỳ dị. Do đó kết quả đúng với 1 Tθ = . + Giả sử ta đã xây dựng được 1pθ − . + Với pc b> , ta lấy , , c c k c kT ddα ψ= + là dòng như ở định lý 4.2 sao cho ( ) ( ),codim codimc k cL E T pψ = ≥ . Do đó từ hệ quả 2.1.14 suy ra: ( ), , 1 ,p c k p c k kT cuθ θ ε ω−= ∧ + + là xác định. ● Nếu kε dần đến 0 đủ chậm, ,c k kT cu ε ω+ + là dương do 4.2.i. nên , , 0p c kθ ≥ . ● Hơn nữa, lớp đối đồng điều , ,p c kθ là { } { } { } { }( )1 .p kT c uθ ε ω− + + hội tụ đến { } { } { }( )1 .p T c uθ − + . Vì khối , , n p p c kX θ ω −∧∫ bị chặn đều nên họ ( ) ( 1, , , , 1p pp c k c b b kθ + ∈ ≥ là compact tương đối trong tô pô yếu. ● Đặt , ,lim lim p p p c kkc b θ θ + →+∞→ = . Khi đó pθ xác định (nếu không thì thay ( ), ,p c kθ bằng dãy con ). Ta có: { } { } { } { }( ) { } { } { }( ) { } { }( )1 1. ...p p p p pT b u T b u T b uθ θ θ−= + ⇒ = + + . ● Hơn nữa: ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 1 , 1 , 1 , limsuplimsup , , .limsuplimsup , , . , p p p p c k k kc b p c k kc b p p v x v T cu x v x v T x v x v T x b θ θ ε ω θ θ + + − →+∞→ − →+∞→ − + ≥ ∧ + + ≥ ≥ − (áp dụng 2.2.4, 2.2.9 và 4.2.iii) ● Do đó, bằng quy nạp ta được: ( ) ( )( ) ( )( )1, , ... ,p pv x v T x b v T x bθ + +≥ − − Đặc biệt, số Lelong chung của pθ lấy theo ,p kZ ít nhất bằng với ( ) ( ), 1 ,...p k p k pv b v b− − . Suy ra: ( ) ( ), 1 , , 1 ...p p k p k p p k k v b v b Zθ ≥  ≥ − −  ∑ . Vì vế phải là độ đo Lebesgue kỳ dị nên ta sẽ có điều phải chứng minh nếu ( ) ( ), 1 ...p abs abs abs pT b u T b uθ ≥ + ∧ ∧ + . Điều này tương đương với ( ), 1,p abs p abs abs pT b uθ θ −≥ ∧ + (bằng quy nạp). (4.2) ● Để có (4.2), ta cần chỉ ra , ,lim c k abs absk T T→+∞ = hầu khắp nơi và sử dụng quy nạp. Do các bước chứng minh trên không bị ảnh hưởng nếu thay ,c kψ bởi { }' , ,max ,c k c k kAψ ψ ψ= − trong đó kA hội tụ (nhanh) đến +∞ . Bằng cách chọn kA thích hợp ta được ( ) ( )' ,lim c cc k abs absdd ddψ ψ= h.k.n. ■ Bỏ qua số hạng thứ hai trong vế phải (4.1) và lấy tích ngoài với n pω − ta có hệ quả 4.5 Hệ quả ([De1]) Nếu ω là metric Kahler trên X và nếu { }u là lớp đối đồng điều nửa xác định dương sao cho ( )( ) { }*1 1TXc O uπ+ là nửa xác định dương thì bậc của các thành phần ,p kZ đối với ω thỏa mãn: ( ) ( ) { } { }( ) { } { }( ) { }, 1 , , 1 1 ... ... . n ppp k p k p p k pX k v b v b Z T b u T b uω ω +∞ − =  − − ∧ ≤ + + ∑ ∫ . KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Luận văn trình bày các tính chất của số Lelong suy rộng và một số ứng dụng của chúng. Các kết quả được nêu như những ứng dụng của số Lelong trong Lý thuyết số và Lý thuyết cắt là: 1. Bổ đề Schwarz 2. Định lý Bombieri 3. Định lý về tích các ước của không của các hàm chỉnh hình 4. Định lý xấp xỉ các dòng gần dương 5. Bất đẳng thức về lớp tự cắt tổng quát của dòng dương đóng trên đa tạp Kahler compact. Do giới hạn của luận văn, chúng tôi chỉ nêu một số kết quả chính trong Lý thuyết cắt như định lý xấp xỉ các dòng gần dương và bất đẳng thức về lớp tự cắt tổng quát của dòng dương đóng trên đa tạp Kahler compact. Chúng tôi kiến nghị một số ứng dụng khác của số Lelong trong bó tiếp tuyến trên đa tạp đại số xạ ảnh. TÀI LIỆU THAM KHẢO [Ad] Adamus J. (2007), Complex analytic geometry, The University of Western Ontario. [Blo] Blocki Z. (1998), The complex Monge-Ampère operator in pluripotential theory, Jagiellonian University, Poland. [BT1] Bedford E., Taylor B. A. (1976), The Dirichlet problem for a complex Monge- Ampère equation, Invent Math37, pp 1-44. [BT2] Bedford E., Taylor B. A. (1982), A new capacity for plurisubharmonic functions, Acta Math 149, pp 1-41. [De1] Demailly J. P. (1993), Monge-Ampère operators, Lelong numbers and Intersection theory, Université de Grenoble I Institut Fourier, France. [De2] Demailly J. P. (2007), Complex analytic and differential geometry, Université de Grenoble I Institut Fourier, France. [FG] Fritzche K., Grauert H. (2001), From holomophic functions to complex manifolds, Springer, Germany. [Ho] Hormander L. (1990), An introduction to complex analysis in several variables, North-Holland Math. Lib, Holland. [Ji] Ji Shanyu (2008), Complex analysis and complex geometry, Lecture notes. [Kli] Klimek M. (1991), Pluripotential theory, Clarendon Press, Oxford. [Ko] Kolodziej S. (1991), The complex Monge-Ampère equation, Jagiellonian University, Polland. [LG] Lelong P., Gruman L. (1986), Entire functions of several complex variables, Springer-Verlag, Berlin.