Luận văn Sự suy biến của đường cong chỉnh hình và các siêu mặt hyperbolic p - Adic

1lim 0n nn x x+→∞ − = . Chứng minh: Điều kiện đủ hiển nhiên theo định nghĩa dãy Cauchy. Ta chứng minh điều kiện cần: ,n p∀ ∈ ta có: { } 1 1 2 1 1 1 2 1 ... max , ,..., n p n n p n p n p n p n n n p n p n p n p n n x x x x x x x x x x x x x x + + + − + − + − + + + − + − + − + − = − + − + + − ≤ − − − Vì 1lim 0n nn x x+→∞ − = nên suy ra điều cần chứng minh.  Từ tính chất trên và theo định nghĩa sự hội tụ của chuỗi số, chuỗi lũy thừa ta có các tính chất sau: Mệnh đề 1.2.2. Chuỗi 0 ,n n n a a κ ∞ = ∈∑ hội tụ khi và chỉ khi lim 0nn a→∞ = . Khi đó ta có: 0 maxn nnn a a ∞ = ≤∑ . 16 Chuỗi lũy thừa ( ) 0 ,nn n n f z a z a κ ∞ = = ∈∑ hội tụ tại z khi và chỉ khi lim 0nnn a z→∞ = . Mệnh đề 1.2.3. Đặt 1 limsup n na ρ = , khi đó ta có: (1) Nếu 0ρ = thì ( )f z chỉ hội tụ tại 0z = , (2) Nếu ρ = +∞ thì ( )f z hội tụ tại mọi z κ∈ , (3) Nếu 0 ρ< < +∞ và 0nna ρ → thì ( )f z hội tụ khi và chỉ khi z ρ≤ , (4) Nếu 0 ρ< < +∞ và 0nna ρ → thì ( )f z hội tụ khi và chỉ khi .z ρ< Khi đó ρ được gọi là bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa ( )f z . Nếu ρ = ∞ thì ( )f z gọi là hàm nguyên trên .κ Tập các chuỗi lũy thừa ( ) 0 ,nn n n f z a z a κ ∞ = = ∈∑ cùng với phép cộng và nhân hai chuỗi lũy thừa lập thành một vành. Kí hiệu ( ) ( ){ }lim 0nr nf z a rκ = =A , ( ) ( ){ }( ,baùn kính hoäi tuï r f z rκ ρ= ≤A ( ) ( )κ κ∞=A A là tập các hàm nguyên trên .κ Ta có: ( ) ( )r ss rκ κ≤= ∩A A . Định nghĩa 1.2.4. Với ( ) ( ) 0 n n n f z a z ρ κ ∞ = = ∈∑ A và 0 r ρ< < , ta định nghĩa: Số hạng lớn nhất của ( )f z là ( ) 0 , max nnnr f a rµ ≥= và chỉ số ứng với số hạng lớn nhất là ( ) ( ){ }, max , .nnr f n a r r fυ µ= = Với 0r = , ta định nghĩa: 17 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0, lim , , 0, lim , r r f r f f r fµ µ υ υ + +→ → = = . Từ định nghĩa của số hạng lớn nhất, ta có kết quả sau: Mệnh đề 1.2.5. Với 0r > , hàm ( ) ( ), : rrµ κ +⋅ → A thỏa mãn: (i) ( ) ( ), 0; , 0 0r f r f fµ µ≥ = ⇔ = , (ii) ( ) ( ) ( ), , ,r fg r f r gµ µ µ= và ( ) ( ), , ,r f r fµ λ λ µ λ κ= ∀ ∈ , (iii) ( ) ( ) ( ){ }, max , , ,r f g r f r gµ µ µ+ ≤ . Khi đó ( ),rµ ⋅ là một chuẩn không Acsimet trên ( )r κA và: (iv) ( )r κA đầy đủ với chuẩn ( ),rµ ⋅ , (v) Vành đa thức [ ]zκ trù mật trong ( )r κA theo ( ),rµ ⋅ . Định lý 1.2.6. (Định lý Weierstrass). Với ( ) { }\ 0 , 0rf rκ∈ >A tồn tại đa thức: ( ) 0 1 ...g z b b z b zυυ= + + + với ( ),r fυ υ= , và một chuỗi lũy thừa: ( ) 1 1 ,nn n n h z c z c κ ∞ = = + ∈∑ thỏa mãn: (i) ( ) ( ) ( ) ,f z h z g z= (ii) ( ), ,r g b rυυµ = (iii) ( ) ,rh κ∈ A (iv) ( ), 1 1r hµ − < và ( ) ( ), ,r f g r fµ µ− < . Định nghĩa 1.2.7. Với U κ⊂ là tập mở, hàm :f U κ→ được gọi là khả vi tại 0z U∈ nếu tồn tại: 18 ( ) ( ) ( )0 0 00lim :h f z h f z f z h→ + − ′= . Hàm f ′ được gọi là đạo hàm của f . Hàm f được gọi là khả vi trên U nếu f khả vi tại mọi z U∈ . Ta có mối liên hệ giữa hàm f và đạo hàm f ′ như sau: Mệnh đề 1.2.8. Giả sử chuỗi ( ) 0 n n n f z a z ∞ = = ∑ có bán kính hội tụ 0ρ ≠ và z κ∈ . Nếu ( )f z hội tụ thì ( )f z′ tồn tại và ( ) 1 1 n n n f z na z − ≥ ′ = ∑ . Hơn nữa, f và f ′ có cùng bán kính hội tụ ρ và thỏa mãn: ( ) ( )1, , , : 0r f r f r r r µ µ ρ′ ≤ ∀ < < . Mệnh đề 1.2.9. Với dãy ( ) *nz κ⊂ , nếu nz →∞ thì tích vô hạn ( ) 1 1 n n zf z z ∞ =  = −    ∏ là một hàm nguyên. Ngược lại, nếu f là một hàm nguyên khác đa thức thì f có thể được biểu diễn dưới dạng: ( ) 1 1m n n zf z az z ∞ =  = −    ∏ , với 0, , 0,n nm a z zκ> ∈ ≠ →∞ và ( ) 0nf z = . Định nghĩa 2.10. Cho 0z κ∈ và [ ]f zκ∈ . Điểm 0z được gọi là không điểm của hàm f khi và chỉ khi ( )0 0f z = . Điểm 0z κ∈ được gọi là cực điểm của hàm f khi và chỉ khi ( ) 0 lim z z f z → = ∞ . 19 Hệ quả 1.2.11. Nếu f là hàm nguyên khác đa thức thì f có vô số không điểm. Nếu f là hàm nguyên không có không điểm thì f là hàm hằng. Tồn tại ước chung lớn nhất của một họ hữu hạn các hàm nguyên. Hệ quả 1.2.12. Giả sử ( ) { }, \ 0f g κ∈ A . Nếu fg là hàm hằng thì f và g là những hàm hằng. Giả sử, ( )( ) { }, , \ 0f g d a r∈ A . Nếu fg bị chặn thì f và g là những hàm bị chặn. Định nghĩa 1.2.13. Giả sử D là tập vô hạn trong ,κ đặt ( )R D là tập các hàm hữu tỉ h không có cực điểm trong D . Khi đó, với mọi ( )h R D∈ , đặt: ( )supD z D h h z ∈ = . Ký hiệu ( )DH là đầy đủ hóa của ( )R D theo tôpô sinh bởi chuẩn hội tụ đều trên D . Mỗi phần tử của ( )DH được gọi là một hàm giải tích trên D . Khi đó, ( )DH là một κ - không gian vectơ và mỗi hàm giải tích trên D là giới hạn đều của một dãy các hàm hữu tỉ thuộc ( )R D . Mệnh đề 1.2.14. Với r +∈ , ta có [ ]( ) ( )0; rrκ κ=H A . Chứng minh: Vì vành các đa thức [ ]zκ trù mật trong ( )r κA nên ta suy ra: ( ) [ ]( ) ( )0;r rκ κ⊂ ∗HA Ngược lại, [ ]\ 0; ,a r kκ κ +∀ ∈ ∈ ta có: 20 0 0 1 1 1 , .vôùi kn n k n n n n z z a a a zb b a a ∞ = ∞ + =     = −     −        = − ∈        ∑ ∑  Vì a r> nên suy ra: 0 n nnn n b rr a a →∞ ≤ →     . Do đó ( )1 k rz a κ  ∈ −  A , suy ra [ ]( ) ( ) ( )0; rR rκ κ⊂ ∗∗A . Mặt khác, vì ( ),r fµ liên tục tại r nên suy ra: ( ) ( )sup , , : 0 z r f z r f r rµ ρ ≤ = ∀ ≤ ≤ . Do đó ta có: [ ] ( ) ( )0; , , rrf r f fκ µ κ= ∈ A . Vì ( )r κA đầy đủ với chuẩn ( ),rµ ⋅ nên ( )r κA cũng đầy đủ với chuẩn [ ]0;rκ⋅ . Do đó, từ ( )∗∗ ta suy ra ( ) [ ]( )0;r rκ κ⊃ HA . Kết hợp với ( )∗ ta có điều cần chứng minh.  Định nghĩa 1.2.15. Cho D κ⊂ không có điểm cô lập. Hàm :f D κ→ được gọi là giải tích địa phương nếu với mỗi a D∈ , ( ), nr a κ+∃ ∈ ⊂ sao cho: ( ) ( ) [ ] 0 , ;nn n f z a z a z D a rκ ∞ = = − ∀ ∈ ∩∑ . Ký hiệu ( )Hol D là tập các hàm giải tích địa phương trên D . Mệnh đề 1.2.16. Nếu hàm f giải tích địa phương trên tập mở D thì nó có đạo hàm mọi cấp trên D . Điểm 0z D∈ là nghiệm bội q của f nếu và chỉ nếu: 21 ( ) ( )0 0,nf z n q= ∀ < và ( ) ( )0 0qf z ≠ . Định lý 1.2.17. Cho r +∈ và đặt: ( ) ( ) 1 10 , sup 0n nn r n nn f z a z s a rκ ∞ − ≥= = ∈ = >∑ A . Khi đó, các mệnh đề sau là tương đương: (1) 11 , 1,nna a r n−> ∀ > (2) ( ) ( ) [ ]1 , , 0; ,f x f y x y a x y rκ− = − ∀ ∈ (3) f đơn ánh trong [ ]0;rκ và ( ) [ ]0, 0;f z z rκ′ ≠ ∀ ∈ . Chứng minh:  Chứng minh ( ) ( )1 2⇒ : Do 0nna r → khi n →∞ nên từ (1) ta có: 1 1 2 max nnna a r − ≥ > Lại có: ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 0 n j n j n n j f x f y x y a a x y ∞ − − − = =   − = − +    ∑ ∑ và 1 1j n j nx y r− − −≤ nên: 1 1 1 1 2 2 0 max n n j n j n nn n j a a r a x y ∞ − − − − ≥ = = > ≥ ∑ ∑ , và do đó ( ) ( ) 1f x f y x y a− = − .  Chứng minh ( ) ( )2 3⇒ : Do 0s > nên f không là hàm hằng, và do đó từ (2) suy ra 1 0a ≠ . 22 Cũng từ (2) suy ra ( ) ( )f x f y≠ khi x y≠ , nghĩa là f đơn ánh trong [ ]0;rκ và cho y x→ ta có ( ) [ ]1 0, 0;f x a x rκ′ = ≠ ∀ ∈ .  Chứng minh ( ) ( )3 1⇒ : Do f đơn ánh trong [ ]0;rκ nên ( ) 0 0 0f z a z− = ⇔ = . Khi đó từ định lý Weierstrass ta có ( ), 1r fν = và hiển nhiên (1) thỏa.  Định lý 1.2.18. Cho D là tập mở trong κ và 0 D∈ . Lấy ( )f Hol D∈ với ( )0 0f ′ ≠ . Khi đó tồn tại số r +∈ sao cho f là song ánh trong [ ]0;rκ và 1f − giải tích toàn cục trong [ ]( )0;f rκ . Bổ đề 1.2.19. Cho r +∈ và đặt ( ) nnf z a z=∑ là chuỗi lũy thừa với các hệ số thuộc κ . Khi đó các mệnh đề sau là tương đương: (1) ( )( ,rf κ∈ A (2) ( ) ,ss rf κ<∈∩ A (3) Chuỗi f hội tụ trong ( )0;rκ . Định nghĩa 1.2.20. Cho D κ⊂ không có điểm cô lập. Hàm { }:f D κ→ ∪ ∞ được gọi là hàm phân hình trên D nếu tồn tại một tập không quá đếm được S D⊂ , S không có điểm giới hạn trong D và thỏa ( )\f D S∈H . Ký hiệu ( )DM là tập các hàm phân hình trên D . Định nghĩa 1.2.21. Cho D κ⊂ không có điểm cô lập. Hàm { }:f D κ→ ∪ ∞ được gọi là hàm phân hình địa phương trên D nếu a D∀ ∈ , tồn tại ,r q+ +∈ ∈  và na κ∈ sao cho: 23 ( ) ( ) [ ], ;nn n q f z a z a z D a rκ ∞ =− = − ∀ ∈ ∩∑ . Ký hiệu ( )Mer D là tập các hàm phân hình địa phương trên D . Định nghĩa 1.2.22. Cho tập mở D κ⊂ . Một hàm :f D κ→ được gọi là giải tích tại điểm a D∈ nếu tồn tại { }ρ +∈ ∪ ∞ và na κ∈ sao cho ( );a Dκ ρ ⊂ , [ ]; \ ,a Dκ ρ ρ ρ′ ′≠ ∅ ∀ > và thỏa: ( ) ( ) ( ) 0 , ;nn n f z a z a z aκ ρ ∞ = = − ∀ ∈∑ . Nếu f giải tích tại mọi điểm thuộc D thì f được gọi là giải tích trên D . Ký hiệu ( )DH là tập các hàm giải tích trên D . Đĩa ( );aκ ρ được gọi là đĩa giải tích cực đại của f tại a . Các hàm giải tích trong D đều có thể có giải tích cực đại trên D . Và ta có: ( ) ( ) ( )D D Hol D⊂ ⊂H H . Trường các phân thức của ( )DH được ký hiệu là ( )DM . Một hàm ( )f D∈M được gọi là hàm phân hình trên D . Nếu f không có điểm cực trên D thì f còn được gọi là hàm chỉnh hình trên D . Mệnh đề 1.2.23. Nếu f là hàm phân hình thì tồn tại ,g h là các hàm chỉnh hình sao cho: gf h = và ( ) ( )( ) , , , 0 , r g r f r r h µ µ ρ µ = ≤ ≤ . Đặc biệt: 24 ( ) 1 1, , r f r f µ µ   =    . Lấy ρ +∈ . Nếu ( )( )0;f κ ρ∈H thì đĩa cực đại của f tại mỗi điểm ( )0;a κ ρ∈ chính là ( )0;κ ρ . Ta có ( )( ) ( ( )0; pκ ρ κ= AH nên: ( )( ) ( ( )0; , , 0p g g h h h κ ρ κ = ∈ ≡    M A . Để tiện cho việc trình bày, ta viết: ( ( ) ( )( )0;p κ κ ρ=M M Và dễ thấy: ( )( ) [ ]( )0; 0; r r ρ κ ρ κ < =  M M . Đặt biệt, mỗi phần tử thuộc: ( ( ) ( )( ) ( )0;κ κ κ∞ = ∞ =M M M được gọi là hàm phân hình trên κ . Ta cũng ký hiệu ( )M là tập các hàm phân hình trên  . Hiển nhiên, ( )κM chứa tập các hàm hữu tỉ ( )zκ . Mệnh đề 1.2.24. Với 0 r ρ< < , hàm ( ) ( )(,r ρµ κ +⋅ = → M thỏa: (i) ( ), 0 0,r f fµ = ⇔ = (ii) ( ) ( ) ( ){ }1 2 1 2, max , , , ,r f f r f r fµ µ µ+ ≤ (iii) ( ) ( ) ( )1 2 1 2, . , . ,r f f r f r fµ µ µ= . 25 1.3. Độ cao của hàm chỉnh hình và đường cong chỉnh hình trên ( )n p . Có thể xem chi tiết trong [ ] [ ]1 , 4 . Cho ( )f z là một hàm chỉnh hình p-adic trên p và: ( ) 0 n n n f z a z ∞ = = ∑ . Khi đó, ta có: ( ) ( )lim ,n pn v a nv z z→∞  + = ∞ ∀ ∈   . Suy ra, với ( )v z t= ∈ tồn tại n để cho ( )nv a nt+ là cực tiểu. Định nghĩa 1.3.1. Độ cao của ( )f z được xác định bởi công thức: ( ) ( ){ } 0 , min nnh f t v a nt≤ ≤∞= + . Sau đây, ta sẽ mô tả biểu diễn hình học của độ cao hàm chỉnh hình. Với mỗi n , ta vẽ đồ thị nΓ của ( )nnv a z . Đồ thị này là một đường thẳng với độ dốc n . Khi đó ( ),h f t là biên của giao tất cả các nửa mặt phẳng nằm bên dưới đường thẳng nΓ . Trong bất kỳ đoạn thẳng hữu hạn [ ] ( ), , 0 ,r s r s< < +∞ , chỉ có hữu hạn điểm trên nΓ nằm trong ( ),h f t . Do đó, ( ),h f t là một đa giác. Điểm t tại các đỉnh của ( ),h f t được gọi là điểm tới hạn của ( )f z . t nΓ ( ),h f t 26 Một đoạn thẳng hữu hạn [ ],r s chỉ có thể chứa hữu hạn điểm tới hạn của ( )f z . Dễ thấy, nếu t là một điểm tới hạn thì ( )nv a nt+ đạt cực tiểu tại ít nhất hai giá trị của n . Nếu ( )v z t= không phải là điểm tới hạn thì ( ) 0f z ≠ và ( ) ( ),h f tf z p−= . Và ( )f z có không điểm khi ( ) iv z t= , với 0 1 ...t t> > là dãy các điểm tới hạn; số các không điểm ứng với ( ) iv z t= bằng hiệu 1i in n+ − giữa độ dốc của ( ),h f t tại { }\ 0it và độ dốc của ( ),h f t tại { }0it ∪ . Dễ thấy rằng in và 1in + lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của n để ( )nv a nt+ là cực tiểu. Bổ đề 1.3.2. Cho ( )f z là hàm chỉnh hình khác hằng trên p . Khi đó, với t đủ nhỏ, ta có ( ) ( ), ,h f t h f t t′ − ≥ − . Bổ đề 1.3.3. Cho ( )f z là hàm chỉnh hình khác hằng trên p , khi đó: ( ),h f t →−∞ khi t →−∞ . Bổ đề 1.3.4. Cho ( ) ( ),f z g z là các hàm chỉnh hình trên p . Khi đó ta có: (i) ( ) ( ) ( ){ }, min , , ,h f g t h f t h g t+ ≥ , (ii) ( ) ( ) ( ), , , .h fg t h f t h g t= + Định nghĩa 1.3.5. Cho f là một ánh xạ chỉnh hình từ p vào ( )n p và f được cho bởi: ( )1 2 1, ,..., nf f f f += , 27 trong đó, if là các hàm chỉnh hình trong p và không có chung không điểm. Khi đó, f được gọi là một đường cong chỉnh hình p-adic trên không gian xạ ảnh ( )n p . Định nghĩa 1.3.6. Độ cao của đường cong chỉnh hình f được xác định bởi: ( ) ( ) 1 1 , min ,ii nh f t h f t≤ ≤ += . Bổ đề 1.3.7. Cho ( )2 1, ,...,i nf f f f += và giả sử ( )1 2 1, ,..., ng g g + là một biểu diễn tương tự khác của f , trong đó ig là các hàm chỉnh hình. Khi đó: ( ) ( ) 1 1 , min ,ii nh f t h g t C≤ ≤ += + , với C là hằng số. Chứng minh: Từ giả thuyết ta có một hàm phân hình ( )zλ thỏa: ( ) ( ) ( ) , 1,..., 1i ig z z f z i nλ= ∀ = + . Do ( )ig z là hàm chỉnh hình và ( )if z không có cùng không điểm nên λ là một hàm chỉnh hình. Do đó ( ),h tλ → −∞ khi t →−∞ (Bổ đề 1.3.3). Suy ra ( ), 0h tλ < khi t đủ nhỏ, hoặc ( )zλ là hàm hằng. Kết hợp định nghĩa độ cao đường cong chỉnh hình, ta có điều cần chứng minh. Như vậy, từ Bổ đề 1.3.6, ta thấy định nghĩa độ cao của đường cong chỉnh hình là một định nghĩa tốt. Để kết thúc phần này và chuẩn bị cho những nội dung sau, chúng ta sẽ nhắc lại khái niệm các hàm đặc trưng Nevanlinna, hai định lý cơ bản của lý thuyết Nevanlinna và một số nội dung liên quan: 28 Định nghĩa 1.3.8. Giả sử ( )(f ρ κ∈ A , 0 ρ< ≤ ∞ và ( ) 0 n n n f z a z ∞ = = ∑ . Lấy a κ∈ , ta định nghĩa: 1,n r f a    −  là hàm đếm số không điểm (kể cả bội) của f tại a trong [ ]0;rκ (nghĩa là đếm số không điểm (kể cả bội) của f a− với giá trị tuyệt đối nhỏ hơn hoặc bằng r ). 1,n r f a    −  là hàm đếm số không điểm phân biệt của f tại a trong [ ]0;rκ . Với 0 oρ ρ< < , hàm: ( ) 1, 1, : , o r o n t f aN r dt r f a tρ ρ ρ    −   = < < −  ∫ được gọi là hàm giá trị của f tại a trên [ ]0;rκ . Mệnh đề 1.3.9. Giả sử ( )(rf κ∈ A có k – không điểm (kể cả bội) trong [ ]0;rκ , 1k ≥ . Khi đó với [ ]( )0;b f rκ∈ thì f b− cũng có k – không điểm (kể cả bội) trong [ ]0;rκ . Chứng minh: Giả sử ( ) 0 n n n f z a z ∞ = = ∑ . Theo định lý Weierstrass (định lý 1.2.6) ta có: ( ),k r fυ= và ,n kn ka r a r n k≤ ∀ ≤ ; ,n kn ka r a r n k . Với [ ]( )0;b f rκ∈ , ta có: 29 ( ) ( )( )0 0 , kka b f b r f z b a rµ− = − ≤ − = . Do đó ( ) ( ), ,r f b k r fυ υ υ= − = = . Theo định lý Weierstrass, f b− có k – không điểm trong [ ]0;rκ .  Từ Mệnh đề 1.3.9 ta có một số tính chất về hàm giá trị như sau: Hệ quả 1.3.10. Giả sử ( )(f ρ κ∈ A , ( )0 ρ< ≤ ∞ không bị chặn và b κ∈ , ta có: ( ) ( )1 1, , 1 ,N r N r O r f b f ρ     = + →   −    . trong đó, ( )1O là đại lượng giới nội. Hệ quả 1.3.11. Giả sử f là hàm nguyên khác hằng và b κ∈ , ta có: ( ) ( )1 1, , 1 ,N r N r O r f b f ρ     = + →   −    . Ta xây dựng các hàm đặc trưng cho hàm phân hình: Cố định r , 0 r ρ< < ≤ ∞ và ( )(f ρ κ∈M . Khi đó tồn tại ( )0 1 (, rf f κ∈ A sao cho 1 0 ff f = , với 0 1,f f không có nhân tử chung trong vành ( )r κA . Định nghĩa 1.3.12. Với { }a κ∈ ∪ ∞ , ta định nghĩa: Hàm đếm số không điểm (kể cả bội) của f tại a trong [ ]0;rκ : ( ) 0 1 0 1, , , 1, 1, , n r f n r a f n r f a n r a f af    = = ∞       =  −     ≠ ∞  −  neáu neáu Hàm giá trị của f tại a trên [ ]0;rκ : 30 ( ) 0 1 0 1, , , 1, 1, , N r f N r a f N r f a N r a f af    = = ∞       =  −     ≠ ∞  −  neáu neáu Mệnh đề 1.3.13. (Công thức Jensen) Với ( )(f ρ κ∈M , ta có: ( ) ( ) ( )0 1, , log , log ,N r N r f r f f f µ µ ρ   − = −    , với 00 rρ ρ< < ≤ . Định nghĩa 1.3.14. Giả sử ( )(f ρ κ∈M , với r ρ< ta định nghĩa: Hàm xấp xỉ của f trên [ ]0;rκ : ( ) ( ) ( ){ }, log , max 0;log ,m r f r f r fµ µ+= = . Hàm đặc trưng của f trên [ ]0;rκ : ( ) ( ) ( ), , ,T r f m r f N r f= + . Chú ý: Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 1log , log , log , 1, , . r f r f r f m r f m r f µ µ µ + += −   = −     Do đó công thức Jensen có thể viết lại như sau: ( ) ( )0 1, , log ,T r T r f f f µ ρ   = −    . Hay ( ) ( )1, , 1T r T r f O f   = +    . 31 Mệnh đề 1.3.15. (Định lý cơ bản thứ nhất của lý thuyết Nevanlinna). Giả sử f là hàm phân hình khác hằng trên ( )0,κ ρ . Khi đó với mọi a κ∈ , ta có: ( ) ( ) ( )1 1, , , 1 ,m r N r T r f O r f a f a ρ     + = + →   − −    . Mệnh đề 1.3.16. (Định lý cơ bản thứ hai của lý thuyết Nevanlinna). Giả sử f là hàm phân hình khác hằng trên ( )0,κ ρ và 1,..., qa a là các điểm phân biệt thuộc κ . Định nghĩa: { } { }min 1; , max 1;i j ii j ia a A aδ ≠= − = . Khi đó với 0 r ρ< < , ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 11 , , , , , log 1, , log , q f j j q f j j q T r f N r N r f N r f N r r S f a f N r f N r r S f a = =    ′− ≤ − + − − +     ′−      ≤ + − +  −  ∑ ∑ với ( ) ( ) ( )0 0 1 log , log , 1 log q f j j AS f a f qµ ρ µ ρ δ= ′= − − + −∑ . Có thể xem chi tiết các chứng minh trong [11]. 32 1.4. Đường cong chỉnh hình trên ( )n p . Định lý cơ bản thứ nhất và thứ hai của đường cong chỉnh hình: Trước tiên, chúng ta sẽ nhắc lại một công cụ cần thiết cho phần này, đó là định thức Wronski: Cho hai hàm số ( )1y x và ( )2y x . Định thức: ( ) 1 21 2 1 2 2 1 1 2 , y y W y y y y y y y y ′ ′= = − ′ ′ được gọi là định thức Wronski của 1 2,y y . (Bạn đọc có thể xem chi tiết hơn về định thức Wronski trong các tài liệu liên quan đến phương trình vi phân. Vì khuôn khổ luận văn không cho phép nên chúng tôi không trình bày chi tiết ở đây.) Sau đây, chúng ta sẽ nhắc lại về đường cong chỉnh hình trên ( )n p và hai định lý cơ bản của đường cong chỉnh hình: Định nghĩa 1.4.1. Cho κ là trường đóng đại số có đặc số 0 và đầy đủ với chuẩn ⋅ không Acsimet, không tầm thường. Gọi V là không gian vectơ định chuẩn ( )1n + - chiều trên κ và ( )0 ,..., ne e e= là một cơ sở của V . Một đường cong chỉnh hình (không Acsimet) là hàm: ( ):f Vκ →  . Hay nói cách khác:  ( ) 10 ,..., : nnf f f κ κ += → , sao cho  0 ,..., nf f không có nhân tử chung trong vành các hàm nguyên trên κ và các if không đồng thời bằng 0. Đặt   0 0 ... :n nf f e f e Vκ= + + → và gọi là biểu diễn thu gọn của f . Đặt: 33 ( ) ( ) 0 , max , kk nr f r fµ µ≤ ≤= . Ghi chú, ( )  ( )  ( ) 0 , max kk nz f f z f zµ ≤ ≤= = . Khi đó hàm đặc trưng: ( ) ( ), log ,T r f r fµ= đúng với mọi 0r > , sai khác ( )1O . Định nghĩa 1.4.2. Một đường cong chỉnh hình ( ):f Vκ →  được gọi là siêu việt nếu: ( ),limsup logr T r f r→∞ = ∞ . Tổng quát, đặt: 0 0 ... :n nh h e h e Vκ= + + →   , trong đó, ( )0 ,..., nh h  là bộ 1n + các hàm phân hình sao cho các jh không đồng nhất bằng 0. Từ Hệ quả 1.2.10 tồn tại ước chung lớn nhất h của 0 ,..., jh h  sao cho hf h =   là một biểu diễn thu gọn của đường cong chỉnh hình không Acsimet ( ):f Vκ →  . Ta gọi h là biểu diễn của f và ta viết f h=  . Chú ý rằng: ( ) ( ) ( ), , ,r h r h r fµ µ µ=  . Từ công thức Jensen ta được: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), log , 1 4.1fT r f N r r h Oµ+ = + trong đó, ( ) ( )1, ,fN r N r N r hh  = −    . 34 Ta còn có thể viết: ( ) ( )1 1, , , , ,N r N r N r h N r hhh    = =          . Gọi ( ):f Vκ →  là một đường cong chỉnh hình và đặt: 0 0 ... :n nf f e f e Vκ= + + →   là một biểu diễn thu gọn của f . Khi đó: ( ) 1... , ...W n o nf f f e f e e e ′∧ ∧ ∧ = ∧ ∧ ∧      , trong đó, ,W e f    là định thức Wronski của f ứng với cơ sở e : ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 0 1 0 0 1 ... ..., ,..., ... ... ... ... ... W W n n n n n n n f f f f f fe f f f f f f     ′ ′ ′   = =                      , và, do đó ta có ( ), ...W ne f f f f  ′= ∧ ∧ ∧      . Và ta cũng được: ( ) 1, ... , ...W n o ne f f f f ε ε ε  ′= ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧      , trong đó, ( )1, ,...,o nε ε ε ε= là cơ sở đối ngẫu của e . Ta định nghĩa hàm nguyên: ( )0 0, ,..., : ...n ne f f f f f Κ = Κ =      , và hàm phân hình: ( )0 , , ,..., : , W S S n e f e f f f e f     = =   Κ        . Từ bổ đề về đạo hàm logarit, ta có: 35 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2, , , 1 4.2 n n r e f r m e f Oµ + −    ≤ =     S ; S Kí hiệu 0 1, ,..., sV V V và W là các không gian vectơ trên κ . Đặt: 0 ...: WsV V× × → là ánh xạ ( )1s + − tuyến tính trên κ . Và các đường cong chỉnh hình không Acsimet sau: ( ): , 0,1,...,j jf V j sκ → = cùng với các hàm biểu diễn thu gọn:  : , 0,1,...,j jf V j sκ → = . Định nghĩa 1.4.3. ( )0 1, ,..., sf f f được gọi là độc lập với  nếu  0 ... 0sf f ≡  . Giả sử 0 ,..., sf f độc lập với  . Khi đó ta có: ( )  ( ) ( ) ( ) 0 0 0 , ... , ... , ... , s s s r f f r f f r f r f µ µ µ µ =     . Nhận xét: ( ) ( ) ( )0 0, ... ...s sz f f f z f zµ =    . Giả sử ( )0 ,..., sf f độc lập với  và ta có hàm xấp xỉ: ( ) ( ) 0 ... 0 log , ... sf f s m r r f fµ= −     . Lưu ý, 0 ... : Wsf f κ →  là một đường cong chỉnh hình không Acsimet với biểu diễn thu gọn  ...j sf f  . Khi đó, từ ( )4.1 ta được định lý cơ bản thứ nhất của đường cong chỉnh hình: Định lý 1.4.4. Cho ( ):f Vκ →  là đường cong chỉnh hình không Acsimet. Khi đó ta có : 36 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0... ... 0 0 , , ... 1 4.3 . s s s j f f f f s j T r f N r m r T r f f O = = + + +∑   Nếu dim 1W = thì ( )W là một điểm và ( )0, ... sT r f f  là hàm hằng. Cho ( ):g Vκ ∗→  là một đường cong chỉnh hình không Acsimet với biểu diễn thu gọn: 0 0 ... :n ng g g Vε ε κ ∗= + + →   , trong đó ( )1, ,...,o nε ε ε ε= là cơ sở đối ngẫu của e . Định nghĩa 1.4.5. ( ),f g được gọi là độc lập nếu chúng độc lập với ∠ , nghĩa là 0 0, ... 0n nf g f g g f g f∠ = = + + ≡       . Giả sử ( ),f g độc lập, khi đó định lý cơ bản thứ nhất được viết lại như sau: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , , , 1 4.4 ,f fT r f T r g N r g m r g O+ = + + trong đó: ( ) ( ) ( ) ( )1, , , , ,f f g f f g N r g N r N r m r g m r f g∠ ∠    = = =       . Số khuyết của f đối với g được xác định bởi công thức: ( ) ( )( ) ( ) , 1 limsup , , f f r N r g g T r f T r g δ →∞ = − + , với ( )0 1f gδ≤ ≤ . Ta nói g tăng chậm hơn f nếu ( ) ( ) , lim 0 ,r T r g T r f→∞ = . Như vậy, ta có: ( ) ( )( ) , 1 limsup , f f r N r g g T r f δ →∞ = − . 37 Đặc biệt, nếu g a= là hằng số thì ( )4.4 trở thành: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , , 1 4.5f fT r f N r a m r a O= + + . và số khuyết của f đối với a được cho bởi: ( ) ( )( ) , 1 limsup , f f r N r a a T r f δ →∞ = − . Tiếp theo, ta sẽ trình bày về Định lý cơ bản thứ 2 của đường cong chỉnh hình: Gọi V là không gian vectơ ( )1n + - chiều trên κ . Bổ đề 1.4.6. Đường cong chỉnh hình ( ):f Vκ →  là không suy biến tuyến tính khi và chỉ khi định thức Wronski ,W e f    của một biểu diễn thu gọn f của f với cơ sở e đồng nhất bằng 0. (Có thể xem chứng minh chi tiết trong [11]) Cho đường cong chỉnh hình không suy biến tuyến tính ( ):f Vκ →  với biểu diễn thu gọn 0 0 ... :n nf f e f e Vκ ∗= + + →   . Khi đó số hạng rẽ nhánh ( ),RamN r f được định nghĩa: ( ) 1, , ,Ram N r f N r W e f    =       Định lý 1.4.7. (Định lý cơ bản thứ hai của đường cong chỉnh hình) Cho ( ):f Vκ →  là đường cong chỉnh hình không suy biến tuyến tính và lấy { }0 1, ,..., qa a aA = là một họ các điểm ( )ja V ∗∈ được chọn tổng quát. Khi đó ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 , , , log 1 2 q f j Ram j n n q n T r f N r a N r f r O = + − ≤ − − +∑ . 38 Chứnh minh: Lấy { }\ 0ja V ∗∈ với ( )j ja a= . Ta có: 0 0 ... , 0,...,j j jn na a a j qε ε= + + =   , trong đó ( )0 ,..., nε ε ε= là cơ sở đối ngẫu của e . Với 0,1,...,i q= đặt: 0 0 1 1, ...i i i i in nF f a a f a f a f= = + + +       . Vì f không suy biến tuyến tính nên 0iF ≡ . Do A được chọn tổng quát, ta có ( )( )det 0, qni ja Jλ λ≠ ∀ ∈ và do đó: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 0 1 ... , 0,1,..., i i i n i nf a F a F a F i n λ λ λ λ λ λ= + + + =     trong đó ( )( )i jaλ là ma trận nghịch đảo của ( )( )i jaλ . Do đó với mọi qnJλ ∈ ta có: ( ) ( ) ( ){ }0max , , 0,1,...,i ij nf z A F z z i nλ κ≤ ≤≤ ∈ = , trong đó ( ){ }max : ,0 ,i j qnA a J i j nλ λ= ∈ ≤ ≤ . Ta viết ngắn gọn định thức Wronski như sau: ( )0 ,..., ,nW W f f W e f = =     , ( ) ( ) ( )( )0 1, ,..., nW W F F Fλ λ λ λ= . Khi đó: ( )( ), i jW c W c det aλ λ λ λ= =  . Tiếp theo, ta cố định [ ]0\ 0,z κ κ ρ∈ thỏa: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0, 0 0,1,..., , 0 0,1,...,i jW z f z i n F z j q≠ ≠ = ≠ = . Khi đó ta có thể lấy hai chỉ số phân biệt ( )0 0 1,..., , ,...,n q nα α β β β −= sao cho: 39 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 0 ... ... n q n F z F z F z F zα α β β −< ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ < ∞ . Lấy qnJλ ∈ với { }0Im ,..., nλ α α= . Khi đó ta có: ( ) ( ) ( ){ } ( )0max lk ij nf z A F z A F zβλ≤ ≤≤ ≤ , với 0,1,... ; 0,1,...,k n l q n= = − . Từ đó, ta được: ( ) ( ){ } ( )max , 0,1,...,lkkf z f z A F z l q nβ= ≤ = −  . Từ W c Wλ λ= , ta được: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 ...log log ... log log q n qF z F z F z F z D z c W z β β λ λ− = − + , trong đó ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 0 0 00 ... ... n i i n n i J nn F FW D sign i F FF F λ λλ λ λ λλ λ ∈ = = ∑ , với nJ là nhóm giao hoán trong [ ]0,n và ( )0j jF F= . Suy ra: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 ...log ... log log log q n qF z F zF z F z D z c W zβ β λ λ− ≤ + − . Do đó ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 ... log log log log log 4.6q F z F z q n f z D z q n A A W z λ ′− ≤ + + − − , trong đó min q nJ A cλ λ∈ ′ = . Đặt r z= , từ Định lý 1.2.8 ta được: ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 0 2 0 max ... n i i n n n n i J n F z F z D z r F z F z λ λ λ λ λ + − ∈    ≤ ≤     , 40 và do đó: ( ) ( )1log log 2 n n D z rλ − + ≤ . Theo công thức Jensen ta có: ( ) ( ) ( )0 1log log , , log ,W z r W N r W W µ µ ρ = = +    , ( ) ( ) ( ) ( )0log log , , log ,i i f i iF z r F N r a Fµ µ ρ= = + , với 0,1,...,i q= và kết hợp ( ) ( ) ( )log , 1f z T r f O= + , ta được: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 11, , , log 1 4.7 2 q f j j n n q n T r f N r a N r r O W= + − ≤ − − +    ∑ Chú ý rằng tập hợp các r trong ( )4.7 trù mật trong ( )0 ,ρ ∞ . Do đó ( )4.7 cũng thỏa với mọi 0 rρ < < ∞ , do tính liên tục của các hàm trong bất phương trình trên.  Hệ quả 1.4.8. Cho ( ):f Vκ →  là đường cong chỉnh hình không suy biến tuyến tính và lấy { }0 1, ,..., qa a aA = là một họ các điểm ( )ja V ∗∈ được chọn tổng quát. Khi đó: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), 0 1 , , log 1 2 q f n j j n n q n T r f N r a r O = + − ≤ − +∑ , trong đó ( ), 1, ,f n j n j N r a N r F   =      . Với mỗi ( ),k a V+ ∗∈ ∈  , ta định nghĩa: ( ) ( )( ) , ,, 1 lim , f k j f r N r a a k T r f δ →∞ = − , với ( ) ( )0 , 1f fa a kδ δ≤ ≤ ≤ . Và ta có thể xem ( ) ( ),f fa aδ δ= ∞ . 41 Bổ đề 1.4.9. Cho ( ):f Vκ →  là đường cong chỉnh hình không suy biến tuyến tính và lấy { }0 1, ,..., qa a aA = là một họ các điểm ( )ja V ∗∈ được chọn tổng quát. Khi đó: ( ) ( ) 0 0 , 1 q q f j f j j j a a n nδ δ = = ≤ ≤ +∑ ∑ . 1.5. Không gian hyperbolic, siêu mặt hyperbolic: Trước hết, chúng ta cần có những khái niệm cơ bản sau: Định nghĩa 1.5.1. Cho đĩa tròn đơn vị { 1}z∆ = < . Metric Poincare ρ∆ là metric Riemann đầy đủ trên ∆ được định nghĩa như sau: 2 2 2(1 | | ) dzdzds z = − . Kết quả sau đây còn được gọi là tính chất giảm khoảng cách của Metric Poincare: Mệnh đề 1.5.2. (Schwartz-Alhfors) Giả sử :f ∆→∆ là ánh xạ chỉnh hình. Khi đó * 2 2f ds ds≤ , nghĩa là ( ) ( )( ) ( ), ,f p f q p qρ ρ∆ ∆≤ với hai điểm ,p q∈∆ . Định nghĩa 1.5.3. (Giả metric Kobyashi-Royden) Cho X là đa tạp phức (không nhất thiết là compắc). Giả metric Kobyashi-Royden Xρ được định nghĩa như sau: Với ,p q X∈ , chọn một dãy các điểm 0 1, , , np p p p q= = và các ánh xạ chỉnh hình :if X∆→ sao cho 1, ( )i i ip p f− ∈ ∆ . Khi đó: ( ) ( ) ( )( ) ( )1 11{ },{ } 1, inf , 5.1i i n X i i i ip f i p q f p f pρ ρ − −∆ − = = ∑ 42 Chúng ta cũng có thể định nghĩa giả metric Kobyashi-Royden theo hướng sau đây: Định nghĩa 1.5.4. Chuẩn · : XT → trên không gian tiếp xúc chỉnh hình XT của X được định nghĩa như sau: Giả sử p X∈ và ,X pv T∈ là vectơ tiếp xúc chỉnh hình tại p. Ta xét tất cả những ánh xạ chỉnh hình f từ {| | }R z R∆ = < vào X thỏa mãn ( )0f p= và *( / )f z v∂ ∂ = . Khi đó: ( )1inf 5.2 f v R = Giả metric sinh bởi · chính là Xρ được định nghĩa ở trên. Theo ý nghĩa hình học, ta đang cố kéo giãn đĩa tròn lớn đến mức có thể trong X. Mệnh đề 1.5.5. Giả metric Kobyashi-Royden Xρ thỏa mãn những tính chất sau: (1) Bất đẳng thức tam giác: ( ) ( ) ( ), , ,X X Xp q q r p rρ ρ ρ+ ≥ với , ,p q r X∈ , (2) Giảm khoảng cách: Cho :f X Y→ là ánh xạ chỉnh hình. Khi đó: ( ) ( )( ) ( ), ,Y Xf p f q p qρ ρ≤ . Ta nhận thấy giả metric Kobayashi-Royden chưa là một metric, nghĩa là nó có thể suy biến ( ( ), 0X p qρ = với p q≠ ). Ví dụ 1.5.6. Giả sử X = . Cho trước điểm 0z ∈ và số R 0> , ta xét ánh xạ : Rf ∆ → với 0( )f z z z= + . Từ định nghĩa 1.5.4, ta có 0v = với 0,X zv T∈ . 43 Định nghĩa 1.5.7. Một đa tạp phức là hyperbolic theo quan điểm của Kobayashi nếu Xρ là một metric. Một đa tạp phức X là hyperbolic Brody (B-hyperbolic) nếu mọi ánh xạ chỉnh hình :f X→ đều là ánh xạ hằng. Nếu đa tạp phức X là hyperbolic thì X là B-hyperbolic. Chiều ngược lại chỉ đúng đối với đa tạp phức compắc: Định lý 1.5.8. (R.Brody). Một đa tạp phức compắc là hyperbolic khi và chỉ khi nó là B-hyperbolic. Nhận xét 1.5.9. Ta có n là compắc. Do đó trên không gian xạ ảnh phức n , khái niệm hypberbolic theo quan điểm của Kobayashi và Bordy là trùng nhau, nên ta gọi chung hai khái niệm này là hypberbolic. Thông thường, chúng ta không dễ để xây dựng những ví dụ đa tạp hyperbolic. Thậm chí cũng khó để chứng minh một đa tạp X cho trước là hyperbolic. Nhưng với dim 1X = thì X là hyperbolic. Giả sử X là mặt Riemann (có thể không compắc). Cho :Y Xπ → là phủ phổ dụng của X. Khi đó Y chỉ có thể là 1 hay  hay ∆ . Nếu 1Y =  hay Y = , hiển nhiên tồn tại những ánh xạ chỉnh hình khác hằng :f Y X→ → và vì vậy X không là hyperbolic. Nếu Y = ∆ , ta dễ thấy rằng X Yρ π ρ=  không suy biến. Vì vậy X là hyperbolic khi và chỉ khi phủ phổ dụng của X là ∆ . Mệnh đề 1.5.10. 1 \{3 điểm} là hyperbolic. Mệnh đề này tương đương với định lý Little Picard. 44 Ví dụ 1.5.11. Cho phương trình n n nx y z+ = , mỗi nghiệm của phương trình này trong trường hàm phân hình trên  có dạng: ( ) ( ) ( ) x x t , y y t v z z tà= = = . Mỗi nghiệm trên xác định một ánh xạ chỉnh hình 2: { } n n nf C x y z→ = + = ⊂  . Nghiệm của phương trình trên là tầm thường nếu và chỉ nếu f là ánh xạ hằng. Khi đó, phương trình có nghiệm không tầm thường nếu và chỉ nếu giống của C lớn hơn hoặc bằng 2, nghĩa là n 4= . Như vậy, trong chương này chúng ta đã làm rõ được những kiến thức quan trọng nhất để chuẩn bị cho chương tiếp theo, đó là hàm phân hình, hàm chỉnh hình, đường cong chỉnh hình, các siêu mặt hyperbolic cùng các nội dung liên quan. Sau đây là nội dung chính của luận văn: 45 Chương 2: Sự suy biến của đường cong chỉnh hình và siêu mặt hyperbolic p-adic Chương này là nội dung chính của luận văn, gồm hai phần: sự suy biến của đường cong chỉnh hình trong ( )n p và các siêu mặt hyperbolic trong ( )3 p . Phần thứ nhất trình bày cơ sở để xem xét một hàm chỉnh hình có suy biến hay không trong ( )n p . Phần thứ hai nêu ra một phương pháp xây dựng siêu mặt hyperbolic trong ( )3 p . 2.1. Sự suy biến của đường cong chỉnh hình trong ( )n p : Đặt: ,1 , 1 1 1... , 1j j nj nM z z j s α α + += ≤ ≤ , Là các đơn thức phân biệt bậc d với số mũ không âm. Gọi X là siêu mặt trong ( )n p , có số chiều d và xác định bởi phương trình: 1 1 2 2: ... 0s sX c M c M c M+ + = , trong đó *i pc ∈ . Ta gọi X là nhiễu của siêu mặt Fermat số chiều d nếu 1s n≥ + và , 1,..., 1dj jM z j n= = + . Bổ đề 2.1.1. Cho ( )1 1,..., nf f f += là một đường cong chỉnh hình và đặt M là một đơn thức như trên. Khi đó với mọi 0k ≥ , ta có: 46 ( )( ) 1 1... k k k k n M f Q M f f f + =   , trong đó kQ là một hàm chỉnh hình và ( ) ( ) 1 1 , , n k i i h Q t k h f t kt + = ≥ −∑ , với t đủ nhỏ. Chứng minh: Ta chứng minh quy nạp theo k . Với 0k = là hiển nhiên đúng. Giả sử mệnh đề trên đúng với k . Để đơn giản ta đặt: 1 1... nf fϕ += . Khi đó ta có: ( ) ( ) ( ) 1 1 , , 1 n i i h t h f tϕ + = = ∑ Theo giả thiết quy nạp ta có: ( )( ) .k k k Q M fM f ϕ =   . Khi đó: ( )( )1 1 1 k k k M f Q M f ϕ + + +=   , trong đó ( ) 1 . .k k k k M f Q Q Q kQ M f ϕ ϕ ϕ+ ′ ′ ′= + −   . 47 Chú ý rằng hàm ( )M f M f ′   chỉ có một cực điểm duy nhất tại không điểm của 1 1,..., nf f + . Do đó, hàm ( ). M f M f ϕ ′   là chỉnh hình. Suy ra 1kQ + là hàm chỉnh hình. Mặt khác, từ Bổ đề 1.3.3 và 1.3.4 ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 , , , , min , , , , , , , k k k k h t h Q t h Q t h t h Q t h M f t h M f t v k h Q t h t ϕ ϕ ϕ +  ′+     ′≥ + + −     ′+ +      . Khi đó, từ Bổ đề 1.3.2 ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 , , , , , , , min , , , , 2 k k k k k h t h Q t t h t h Q t t h Q t v k h Q t h t t h t h Q t t ϕ ϕ ϕ ϕ +  + − + − ≥   + + −   = + − . Từ (1) và (2) suy ra mệnh đề trên cũng đúng tại 1k + . Vậy theo quy nạp ta có điều cần chứng minh.  Bổ đề 2.1.2. Gọi X là nhiễu của siêu phẳng Fermat số chiều d trong ( )n p và f là một đường cong chỉnh hình trong X . Giả sử: ( )( )( )1 1 2 2 n s s d + − − ≥ . Nếu { }, 1,..., 1jM f j s= − độc lập tuyến tính thì f là ánh xạ hằng. Chứng minh: Để đơn giản, ta đặt: ( ) ( ) , 1,..., 1j jj s s c M f z g z j s c M f = = −   . 48 Khi đó các hàm phân hình { }1 1,..., sg g − thỏa: 1 1... 1sg g −+ + ≡ − . Ta sẽ chứng minh { }1 1,..., sg g − phụ thuộc tuyến tính. Để chứng minh điều này ta sẽ sử dụng kĩ thuật Wronski của Nevanlinna: Ta có định thức Wronski logarit như sau: ( ) ( ) ( ) ( ) 11 2 1 2 1 22 2 11 2 1 2 1 1 1 ... 1 ... ... ... ... ... ... s s s ss s s s gg g g g g L g gg g g g g − − −− − − −     ′′ ′     =          , Và các ( )1 1,...,i i sL L g g −= xác định bởi: ( ) ( ) ( ) 12 2 1 1 1 1 1 22 12 2 1 1 1 ... 1 0 ... ,..., ... ... ... ... 0 ... s s s ss s s gg g g L L g g gg g g − − − −− − −     ′′     = =          , và tương tự với 2,..., 1i s= − trong đó cột { }1,0,...,0 là cột thứ i . Nếu { }1 1,..., sg g − độc lập tuyến tính thì các ánh xạ xạ ảnh ( )1 ,..., sM f M f  và ( )1 2, ,..., sL L L L= đều trùng nhau. Áp dụng Bổ đề 2.1.1 cho các định thức. Cụ thể, hạng tử thứ nhất trong khai triển của ( )1L g có thể được viết dưới dạng: ( )( ) 1 2 2 1 2 2 ... ... s s s s Q Q R ϕ ϕ ϕ − − − − = . 49 Với ( )( )1 2 2s sϕ − − là mẫu thức chung của tất cả các hạng tử trong khai triển các định thức ( )iL g . Do đó ta có ( ) ( ) ( )1 1 1,..., ,..., ,...,s s sM f M f L L R R= =  , trong đó, theo Bổ đề 2.1.1, jR là các hàm chỉnh hình và thỏa điều kiện sau (với t đủ nhỏ): ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) 2 1 2 1 , , , 1 2 1 2 , 2 2 1 1 2 1 2 , . 2 2 s j k k s k h R t h Q t h t t k s s s s h t t n s s s s h f t t ϕ ϕ − = − = = ≥ − − − − − = − + − − − − ≥ − ∑ ∑ Do 1 ,..., sM f M f  không có chung không điểm nên từ Bổ đề 1.3.6 ta có: ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( ) 1 min , min , 0 1 1 1 2 1 2 , 0 1 . 2 2 s j jj j h M f t h R t n s s s s h f t t ≤ ≤ ≥ + + − − − − ≥ − +  Do X là nhiễu của siêu phẳng Fermat số chiều d nên ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 min , min , , 3j jj n j nh M f t d h f t dh f t≤ ≤ + ≤ ≤ += = Lại có: ( ) ( ) ( ) 1 1 , , , n j jk k k h M f t h f t dh f tα + = = ≥∑ . Từ đó, ta được: ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )1 1 2 1 2, , 0 1 . 4 2 2 n s s s s dh f t h f t t + − − − − ≥ − + Khi ( )( )( )1 1 2 2 n s s d + − − = ta có điều vô lý là t →−∞ . 50 Khi ( )( )( )1 1 2 2 n s s d + − − ≥ , từ (4) ta có: ( ) ( ), 0 1h f t Nt≥ − + , trong đó N là một số dương. Do đó, từ Bổ đề 1.3.4 ta có f là ánh xạ hằng. Vậy Bổ đề 2.1.2 được chứng minh.  Định lý 2.1.3. Cho X là nhiễu của siêu mặt Fermat số chiều d trong ( )n p và gọi f là một đường cong chỉnh hình trong X . Nếu ( )( )( )1 1 2 2 n s s d + − − ≥ thì ảnh của f nằm trong một tập con thực sự của X . Nếu tồn tại 0if ≡ thì f suy biến, và ta có thể giả sử rằng 0,if i≡ ∀ . Chứng minh : Từ Bổ đề 2.1.2, ảnh của f nằm trong tập con thật sự của X , với X được xác định bởi phương trình: 1 1 2 2 1 1 1 2 1 1... ... 0 d d d n n n n s sa z a z a z a M a M+ + + + − −+ + + + + + = , trong đó tồn tại ít nhất một 0ja ≠ . Ghi chú 2.1.1. Không có kết quả tương tự trong trường số phức. 51 2.2. Các siêu mặt hyperbolic trong ( )3 p : Trong phần này, ta sẽ áp dụng Định lý 2.1.3 để đưa ra một số ví dụ chi tiết về các mặt hyperbolic trong ( )3 p cũng như các ví dụ về các đường cong trong ( )2 p với phần bù hyperbolic và các ví dụ về các siêu mặt hyperbolic với phần bù hyperbolic của chúng. Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử trong phương trình của X các hệ số đầu tiên 1, 1,..., 1ic i n= = + . Sau đây chúng ta sẽ trình bày một phương pháp xây dựng các siêu phẳng hyperbolic, trước tiên, ta nhắc lại kết quả sau: Bổ đề 2.2.1. Gọi X là siêu mặt Fermat số chiều d trong ( )n p , và ( )1 1,..., nf f f += là một đường cong chỉnh hình trong X . Giả sử 0, 1,..., 1if i n≡ ∀ = + . Nếu 2 1d n≥ − thì hoặc f là đường cong hằng hoặc tồn tại một phân hoạch của tập chỉ số { }1,..., 1n Iξ+ = ∪ sao cho mỗi Iξ chứa ít nhất 2 phần tử, và nếu ,i j Iξ∈ thì i jf f= tại một số điểm (nếu 2n = thì chỉ tồn tại một lớp). Định lý 2.2.2. Gọi X là một mặt trong ( )3 p và có phương trình: ( )31 2 41 2 3 4 1 2 3 4: 0 1d d d dX z z z z cz z z zαα α α+ + + + = trong đó 4 1 0, i i c dα = ≠ =∑ , và nếu có 0iα = thì 1, , 1,2,3,4j j i jα ≠ ∀ ≠ = . Khi đó, X là hyperbolic nếu 24d ≥ . Chứng minh: Gọi ( )1 2 3 4, , , : pf f f f f X= → là đường cong chỉnh hình trong X . 52 Giả sử tồn tại i sao cho 0if = , chẳng hạn 4 0f = . Nếu 4 0α = thì ánh xạ ( )1 2 3, ,f f f từ p vào ( )2 p có ảnh nằm trên một đường cong xạ ảnh giống dương. Từ Định lý Berkovich (xem [12]), ( )1 2 3, ,f f f là ánh xạ hằng. Kết hợp với ( )1 ta suy ra f là ánh xạ hằng. Hiển nhiên, ta có thể giả sử mọi 0if ≡ . Từ chứng minh của Định lý 2.1.3 ta có { }1 4,...,d df f phụ thuộc tuyến tính. Giả sử: 1 1 4 4... 0 d da f a f+ + ≡ , trong đó các ia không đồng thời bằng 0. Ta xét các trường hợp sau: (i) 0, 1,2,3,4.ia i≠ = Từ Bổ đề 2.2.1, ta có hoặc f là ánh xạ hằng hoặc ta có thể giả sử rằng ( )1 1 2 3 2 4,f c f f c f= = ∗ . Và thay ( )∗ vào ( )1 ta có f là ánh xạ hằng, (ii) Có duy nhất một hệ số bằng 0, không mất tính tổng quát ta có thể giả sử 4 0a = . Khi đó, theo Bổ đề 2.2.1, ta có ( )1 2 3, ,f f f là ánh xạ hằng. Và như vậy f là ánh xạ hằng, (iii) Có hai hệ số bằng 0, giả sử 1 2 0a a= = . Khi đó ta có 3 3 4f c f= . Thay vào ( )1 ta được: 31 2 1 2 1 3 2 1 2 3 0 d d df f f f f f αα αε ε+ + + ≡ , trong đó 2 0ε ≠ . Nếu 1 0ε ≠ thì ảnh của ánh xạ ( ) ( )21 2 3, , : p pf f f →  nằm trên một đường cong xạ ảnh có giống dương và ( )1 2 3, ,f f f là ánh xạ hằng, và do đó f cũng là ánh xạ hằng (Định lý Berkovich). 53 Giả sử 1 0ε = thì ảnh của ( )1 2 3, ,f f f nằm trong đường cong trong ( )2 p sau: 3 41 2 1 2 2 1 2 3: 0 d dY z z z z zα αα αε ++ + = . Ta sẽ chứng minh theo giả thuyết của Định lý 2.2.2, giống của Y nhỏ nhất là bằng 1, khi đó từ định lý Berkovich ta sẽ có điều cần chứng minh. Ta có giống của Y bằng số các điểm nguyên nằm trên tam giác với ba đỉnh là ( ) ( ),0 , 0,d d và ( )1 2,α α , và hiển nhiên 1 2 dα α+ < . Như vậy, dễ thấy tam giác này chứa ít nhất một điểm nguyên, trừ trường hợp 1 2 1dα α+ = − . Trường hợp này đã được loại từ giải thuyết của Định lý 2.2.2. Vậy định lý được chứng minh.  Ghi chú 2.2.1. Trong [2], bằng cách sử dụng phương pháp của K.Masuda và J.Noguchi [8], ta có các ví dụ sau về các siêu mặt hyperbolic trong ( )3 p : ( ) ( )4 41 4 1 2 3 4... 0, 6 deg 4 24 , dd d pz z t z z z z d X d t ∗+ + + = ≥ = ≥ ∈ . Trong khi đó, các siêu mặt hyperbolic được xây dựng theo Định lý 2.2.2 như trên có số chiều lớn hơn hoặc bằng 24 (không nhất thiết phải là bội của 4). Chú ý rằng, hầu hết các siêu mặt hyperbolic trong trường số phức trước đó đều cho với số chiều d chia hết cho một số lớn hơn 1 (chia hết cho 2 trong ví dụ của Brody- Green, cho 3 trong ví dụ của Nadel, cho 3 và 4 trong ví dụ của Noguchi). Trong [8] đã trình bày một thuật toán để xây dựng các siêu mặt hyperbolic có số chiều tùy ý đủ lớn d . Ở đây ta có các siêu mặt hyperbolic với số chiều 24d ≥ . Ghi chú 2.2.2. Ví dụ sau đây chỉ ra rằng nếu giữa các số mũ iα , hai trong chúng là 0,1 thì X không thể là hyperbolic. Mặt: 25 25 25 25 24 1 2 3 4 1 2: 0X z z z z z z+ + + + = 54 chứa đường cong chỉnh hình ( )25 251 ,1,1 ,z z z− − + . Bây giờ ta sẽ dùng Định lý 2.1.3 để đưa ra một số ví dụ về các đường cong trong ( )2 p với các phần bù hyperbolic: Định lý 2.2.3. Cho X là một đường cong trong ( )2 p xác định bởi phương trình: 31 2 1 2 3 1 2 3: 0 d d dX z z z cz z zαα α+ + + = , trong đó 24, 0,i id d dα α≥ > ≥ =∑ . Khi đó phần bù của X là một hyperbolic p-adic trong ( )2 p . Chứng minh: Gọi ( ) 21 2 3, , : pf f f f= →  là một đường cong giải tích có ảnh nằm trong phần bù của X . Khi đó, hàm số: 31 2 1 2 3 1 2 3 0 d d df f f cf f f αα α+ + + ≠ với pz∈ , và bằng một hằng số 0a ≠ . Do đó, ảnh của đường cong chỉnh hình sau: ( ) 31 2 3, , ,1 : pf f f →  nằm trong mặt Y của 3 , với Y xác định bởi phương trình: 31 2 1 2 3 4 1 2 3: 0 d d d dY z z z az cz z zαα α+ + − + = . Từ chứng minh của Định lý 2.1.3, { }1 2 3, , ,1d d df f f phụ thuộc tuyến tính: 1 1 2 2 3 3 4 0 d d dc f c f c f c+ + + ≡ , trong đó các ic không đồng thời bằng 0. Ta xét các trường hợp sau: (i) 0,ic i≠ ∀ . Theo Bổ đề 2.2.1, có ít nhất một trong các hàm 1 2 3, ,f f f là hàm hằng. Suy ra f là ánh xạ hằng, 55 (ii) Tồn tại duy nhất một 0ic = . Khi đó theo Bổ đề 2.2.1, ta có f là ánh xạ hằng, (iii) Nếu có hai 0ic = thì hoặc một trong các if là hàm hằng, hoặc hàm thương của hai hàm ,i jf f là hàm hằng. Trong cả hai điều trên, ta đều có f là hàm hằng. Vậy Định lý 2.2.3 được chứng minh.  Ghi chú 2.2.3. Ta chứng minh được rằng ánh xạ ( )1 2 3, , ,1 : pf f f Y→ là ánh xạ hằng mặc dù Y không là hyperbolic. Bây giờ ta sẽ dùng chứng minh của Định lý 2.2.2 và Định lý 2.2.3 để đưa ra một số ví dụ cụ thể về các mặt hyperbolic trong ( )3 p với các phần bù hyperbolic. Định lý 2.2.4. Cho X là một siêu mặt trong ( )3 p có số chiều 50d ≥ và xác định bởi phương trình: ( )31 2 41 4 1 2 3 4: ... 0 6d dX z z cz z z zαα α α+ + + = trong đó 0c ≠ và nếu có một 0iα = thì những jα còn lại nhỏ nhất là bằng 2. Khi đó X là hyperbolic và phần bù của X trong ( )3 p cũng là hyperbolic. Chứng minh: Ta sẽ dùng Định lý 2.2.2 để chứng minh phần bù của X là hyperbolic. Đặt ( )1 4,...,f f f= là đường cong có ảnh nằm trong phần bù của X . Như trong chứng minh Định lý 2.2.3 tồn tại một hằng số 0a ≠ sao cho ánh xạ ( )1 2 3 4, , , ,1f f f f có ảnh nằm trong siêu mặt Y có số chiều d trong ( )4 p xác định bởi phương trình: 56 ( )31 2 41 2 3 4 5 1 2 3 4: 0 7d d d d dY z z z z az cz z z zαα α α+ + + + + = Từ chứng minh của Định lý 2.1.3 ta có khi ( )( )( )4 1 6 1 6 2 50 2 d + − − ≥ = thì { }1 2 3 4, , , ,1d d d df f f f phụ thuộc tuyến tính. Do đó: 4 5 1 0di i i fε ε = + ≡∑ , trong đó các iε không đồng thời bằng 0. Nếu 5 0ε = thì ta có thể lặp lại phần chứng minh của Định lý 2.2.2 và ta có f là ánh xạ hằng. Giả sử 5 0ε ≠ , từ Bổ đề 2.2.1 ta suy ra hoặc f là ánh xạ hằng hoặc tồn tại ít nhất một if , giả sử 4f , là hàm hằng. Thay 4f bằng hằng số vào ( )7 , ta thấy ảnh của ánh xạ ( )1 2 3, , ,1f f f nằm trong một mặt phẳng được xác định bởi phương trình: 31 2 4 1 2 3 4 1 2 3 4: 0 d d d dZ z z z a z c z z z zαα α β′ ′+ + + + = , trong đó ( )4 1 2 3, 0,a c dβ α α α′ ′ ≠ = − + + . Và cũng từ Định lý 2.1.3, { }1 2 3, , ,1d d df f f phụ thuộc tuyến tính. Do đó: 1 1 2 2 3 3 4 0 d d df f fδ δ δ δ+ + + ≡ . Nếu 4 0δ = thì tương tự như trong chứng minh Định lý 2.2.2, ta có f là ánh xạ hằng. Để chỉ ra được lý do ta cần giả thuyết nếu 1 0α = thì các số mũ còn lại ít nhất phải bằng 2, ta sẽ xét trường hợp 4 0δ ≠ . Từ Bổ đề 2.1.1, ta có hoặc f là ánh xạ hằng hoặc tồn tại ít nhất một if , chẳng hạn 3f , là hàm hằng. Thay 3 4,f f là hằng số vào ( )6 ta được 1 2f fε= , với ε là hằng số nào đó. Cuối cùng, do ánh xạ ( )1 2 3 4, , , ,1f f f f có ảnh nằm trên Y nên ta có: 57 1 2 2 2 0 dAf Bf Cα α++ + ≡ , trong đó , ,A B C là hằng số và 0B ≠ . Từ giả thuyết của Định lý 2.2.4, 1 2 0, dα α+ ≠ nên ta có 2f là hàm hằng. Vậy Định lý 2.2.4 được chứng minh.  Ghi chú 2.2.4. Định lý 2.2.3 và 2.2.4 cho ta các ví dụ đầu tiên về các siêu mặt hyperbolic với các phần bù hyperbolic trong trường p-adic. Trong trường số phức, sự tồn tại của các siêu mặt này được chứng minh bởi M. G. Zaidenberg [10]. A.Nadel [7]đã đưa ra các ví dụ đầu tiên của các đường cong này trong 2 và các ví dụ cụ thể về các siêu mặt hyperbolic trong 3 được đưa ra bởi K. Masuda và J. Noguchi [8]. Ghi chú 2.2.5. Ví dụ sau chứng tỏ rằng khi tổng của hai trong số các số mũ iα bằng không hoặc bằng d thì phần bù của X có thể không là hyperbolic. Xét mặt X được cho bởi phương trình: 51 51 51 51 25 26 1 2 3 4 3 4: 0X z z z z z z+ + + + = . Khi đó, X là hyperbolic (Định lý 2.2.2), nhưng phần bù của X trong ( )3 p chứa đường cong chỉnh hình sau: ( ), ,1,1f z z= − . Vậy, với chương 2, chúng ta đã có được phương pháp nghiên cứu về sự suy biến của đường cong chỉnh hình cùng với phương pháp kiểm tra và xây dựng một siêu mặt hyperbolic (nhờ định lý 2.1.3, định lý 2.2.3 và định lý 2.2.4 ) ----------------------------------------------------------------------------------- 58 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Luận văn đã làm rõ những kết quả của Hà Huy Khoái trong công trình của ông công bố năm 1997 và các tác giả có liên quan như W. Cherry, K. Masuda, J. Noguchi và A. Nadel. Luận văn cũng đã có những đóng góp sau đây: - Đưa ra một điều kiện đủ về sự suy biến của đường cong chỉnh hình trong ( )n p (Định lý 2.1.3). Từ đó chỉ ra một phương pháp xét sự suy biến của một đường cong chỉnh hình trong ( )n p . - Áp dụng Định lý 2.2.3, xây dựng một số lớp các siêu mặt hyperbolic cụ thể trong ( )3 p . Vì lí do thời gian và vì khuôn khổ luận văn, chúng tôi không nêu chi tiết một số khái niệm và chứng minh một số kết quả của đường cong đại số, giống đường cong đại số và một số kết quả của lý thuyết Nevanlinna mà chỉ ra các tài liệu có trình bày chi tiết các nội dung này. Hướng nghiên cứu tiếp theo của đề tài: - Tìm và vận dụng độ cao của hàm chỉnh hình vào xét sự suy biến của đường cong chỉnh hình trong ( )n p . Xây dựng một phương pháp đơn giản nhất có thể được để xét sự suy biến nói trên. - Tìm ra một phương pháp xây dựng và đưa ra được các ví dụ cụ thể về các siêu phẳng hyperbolic p-adic trong ( )n p với 3n > . 59 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Hà Huy Khoái (1997), p-adic Hyperbolic Surfaces, ACTA MATHEMATICA VIETNAMICA, Volume 22, Number 2, 501-514. [2] Hà Huy Khoái và Mai Văn Tư (1995), p-adic Nevanlinna-Cartan Theorem, Internat, 719-731. [3] Hà Huy Khoái(1983), On p-adic meromorphic functions, Duke Math. J. 50, 695-711. [4] Hà Huy Khoái (1993), Height of p-adic holomorphic functions and applications, Diophantine Geometry and Related topics, RIMS Lect Notes Ser 819, Kyoto, 96-105. [5] Hà Huy Khoái and Mỵ Vinh Quang (1988),p-adic Nevanlinna theory, Lecture Notes in Math, 1351, 138-152. [6] Hà Huy Khoái and Vũ Hoài An (2003), Value distribution for p-adic hypersurfaces, Taiwanese journal of mathematics, Vol 7, No 1, pp 51- 67. [7] A. Nadel(1989), Hyperbolic surfaces in 3P , Duke Math. J. 58, 749- 771. [8] K. Masuda and J. Noguchi(1996), A construction of hyperbolic hypersurfaces of ( )nP  , Math Ann 304, 339-362. [9] M. Green(1975), Some Picard theorems for holomorphic maps to algebraic varieties, Amer. J. Math. 97, 43-75. 60 [10] M. G. Zaidenberg (1993), Hyperbolicity in projective spaces, Diophantine Geometry and Relatedtopics, RIMS Lect, Notes Ser 819, Kyoto, pp 136-156. [11] Pei-Chu Hu and Chung-Chun Yang (1999), Meromorphic functions over Non-Archimedean fields, Kluwer Academic Publishers. [12] R. Brody and M. Green(1977), A family of smooth hyperbolic hypersurfacesin 3P , Duke Math. J. 44, 873-874. [13] V. Berkovich (1990), Spectral Theory and Analytic Geometry over Non-Archimedean Fields, AMS Surveys and Monographs 33. [14] William Fulton (2008), Algebraic curves -An introduction to algebraic geometry, January 28. [15] W. A. Cherry (1994), Hyperbolic p-adic analytic spaces, Math. Ann. 300, 393- 404.