Luận văn Tính Artin của các môđun đối đồng điều địa phương suy rộng phân bậc

này hoặc là các kí hiệu thông dụng hoặc sẽ được giải thích khi sử dụng lần đầu (xem Danh mục các kí hiệu). Để trích dẫn một số kết quả, chúng tôi dùng cách trích dẫn quen thuộc. Chẳng hạn, xem [[3], Theorem 2.3] nghĩa là xem Định lí 2.3 trong tài liệu [3]. Cuối cùng, mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng luận văn cũng khó tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy rất mong sự đóng góp ý kiến của các Thầy Cô và các bạn. Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 8 năm 2012. DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU Ký hiệu  Ab ( )C R ( )*C R ( , )R m ( , )RHom M N ( )RZ M ( )Spec R ( )RAss M ( )Supp M ( )dimR M ( )RPd M ( )RId M ( ),iRExt M − ( )Ex ,iRt N− ( ),RiTor A − ( ),RiTor B− Ý nghĩa Tập hợp các số tự nhiên Phạm trù các nhóm abel Phạm trù các R -môđun Phạm trù các R -môđun phân bậc R là vành địa phương với m là iđêan tối đại duy nhất Tập tất cả các R -đồng cấu từ M đến N Tập tất cả các ước của 0 của R -môđun M Tập tất cả các iđêan nguyên tố của vành R Tập tất cả các iđêan nguyên tố liên kết của R -môđun M Giá của môđun M Chiều Krull của R -môđun M Chiều xạ ảnh của R -môđun M Chiều nội xạ của R -môđun M Các hàm tử mở rộng Các hàm tử xoắn CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong suốt luận văn này, nếu không nói gì thêm, chúng tôi luôn giả sử R là vành giao hoán có đơn vị 1 0≠ . Chương này trình bày một số kết quả đã được đề cập trong đại số đại cương, đại số giao hoán và đại số đồng điều có liên quan đến chương 2 của luận văn. 1.1 MỘT SỐ TÍNH CHẤT VỀ VÀNH VÀ MÔĐUN Mệnh đề 1.1.1: i. Cho 1 2, ,..., nP P P là các iđêan nguyên tố và I là iđêan của R thỏa mãn 1 n i i I P = ⊂  . Khi đó tồn tại { }1,2,....,i n∈ sao cho iI P⊂ . ii. Cho 1 2, ,..., nI I I là các iđêan và P một iđêan nguyên tố của R thỏa mãn 1 n i i I P = ⊂  . Khi đó tồn tại { }1,2,....,i n∈ sao cho iI P⊂ . Bổ đề 1.1.2: (Bổ đề Nakayama) M là R -môđun hữu hạn sinh, I là một iđêan của R và I là con của căn Jacobson của R . Khi đó, nếu IM M= thì 0M = . Mệnh đề 1.1.3 Cho R là một vành, I là iđêan của R và M là một R -môđun. Ta có ( ) / / RR I M M IM⊗ ≅ . Mệnh đề 1.1.4 Cho R là vành địa phương, M và N là các R -môđun hữu hạn sinh. Khi đó, nếu 0RM N⊗ = thì 0M = hoặc 0N = . Mệnh đề 1.1.5 Cho dãy khớp ngắn các R -môđun 0 0M N P→ → → → . Khi đó ta có N Artin khi và chỉ khi M và P Artin. Từ điều này ta suy ra nếu dãy các R -môđun M N P→ → khớp tại N và M , P là các môđun Artin thì N cũng là môđun Artin. Mệnh đề 1.1.6 Vành R Artin khi và chỉ khi R Noether và dim 0R = . Mệnh đề 1.1.7 Cho R là vành, I là một iđêan của R và M là một R -môđun. Khi đó, với mọi số tự nhiên n tồn tại đẳng cấu: ( ) ( )/ , 0 :n nR MHom R I M I≅ . Định nghĩa 1.1.8 Cho R là một vành, M là một R -môđun, iđêan nguyên tố P của R được gọi là iđêan nguyên tố liên kết của M nếu tồn tại { }\ 0x M∈ sao cho ( )P Ann x= . Tập hợp tất cả các iđêan nguyên tố liên kết của R -môđun M được kí hiệu là ( )RAss M . Giá của R -môđun M , kí hiệu ( ) ( ){ }: 0 .PSupp M P Spec R M= ∈ ≠ PM là địa phương hóa của môđun M theo tập con nhân \R P . Đặt ( ) ( ){ }:V I P Spec R I P= ∈ ⊂ . Mệnh đề 1.1.9 Nếu M là R -môđun hữu hạn sinh thì ( ) ( )( )Supp M V Ann M= . Mệnh đề 1.1.10 Nếu R là vành Noether và I là một iđêan của R thì ( / ) ( )R ISu p Vp I= Mệnh đề 1.1.11 Cho R là vành Noether, M là một R -môđun hữu hạn sinh, I là một iđêan của R . Khi đó ( ) ( )Supp M V I⊂ khi và chỉ khi tồn tại số nguyên k sao cho 0kI M = . Mệnh đề 1.1.12 Cho M , N là các R -môđun hữu hạn sinh. Khi đó ( ) ( ) ( )RSupp M N Supp M Supp N⊗ = ∩ Từ mệnh đề trên và Mệnh đề 1.1.3 ta suy ra kết quả sau: Hệ quả 1.1.13 Cho M là một R -môđun hữu hạn sinh, I là một iđêan bất kì của R , khi đó ( ) ( ) ( )( ) ( )( )/ .Supp M IM V I V Ann M V I Ann M= ∩ = + Mệnh đề 1.1.14 Cho R là vành Noether, M là R -môđun khác 0. i. Phần tử tối đại của ( ){ }:Ann x x M∈ là iđêan nguyên tố liên kết của M , hay ( )As Rs M ≠ ∅ . ii. Tập hợp tất cả các ước của không của M là hợp của tất cả các iđêan nguyên tố liên kết của M . Mệnh đề 1.1.15 Cho M , N , P là các R -môđun và dãy khớp 0 0M N P→ → → → thì ta có các kết quả sau: i. ( ) ( ) ( )As As AsR R Rs N s M s P⊂ ∪ ii. ( ) ( ) ( )Supp N Supp M Supp P= ∪ Mệnh đề 1.1.16 Cho R là vành Noether và M là R -môđun hữu hạn sinh. Khi đó ta có: i. ( )As Rs M có hữu hạn phần tử ii. ( ) ( )As Rs M Supp M⊂ iii. Phần tử tối tiểu của ( )As Rs M và ( )Supp M như nhau. Mệnh đề 1.1.17 Cho M , N là các R -môđun và ( )RPd M n= . Ta có: ( , ) 0iRExt M N = với mọi i n> . 1.2 ĐỘ DÀI, DÃY CÁC PHẦN TỬ CHÍNH QUY CỦA MỘT MÔĐUN a. Độ dài: Một dãy các R -môđun con của môđun M là dãy ( )0i i nM ≤ ≤ các môđun con phân biệt của M thỏa mãn 0 1 ... 0nM M M M= ⊃ ⊃ ⊃ = . Ta nói n là độ dài của dãy này. Một chuỗi hợp thành của M là dãy tối đại các môđun con của M , tức là không thể thêm vào một môđun con nào nữa hay các môđun thương 1/ i iM M + là đơn. Độ dài của chuỗi hợp thành của một R -môđun M là đại lượng không đổi và được kí hiệu là ( )Rl M và gọi là độ dài của R -môđun M . Nhận xét: Độ dài của R -môđun M tồn tại khi và chỉ khi R -môđun M Artin và Noether. Mệnh đề 1.2.1 Cho R là vành Noether, M là R -môđun hữu hạn sinh. Khi đó các điều sau là tương đương: i. ( )Rl M < ∞ ii. Mọi phần tử thuộc ( )As Rs M đều là iđêan tối đại của R . iii. Mọi phần tử thuộc ( )Supp M đều là iđêan tối đại của R . Hệ quả 1.2.2 Cho R là vành Noether, M là R -môđun hữu hạn sinh, N là R -môđun bất kì. Nếu ( )Rl N < ∞ thì ( )( ),R Rl Hom M N < ∞ . Do đó nếu N là R -môđun Artin thì ( ),RHom M N cũng là R -môđun Artin. b. Dãy chính quy: Định nghĩa 1.2.3 Cho M là một R -môđun, một phần tử r R∈ được gọi là M -chính quy nếu { }0, \ 0rx x M≠ ∀ ∈ . Định nghĩa 1.2.4 Một dãy các phần tử 1 2, ,..., na a a của R là một M -dãy chính quy nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau: i. 1a là M -chính quy, 2a là 1/M a M -chính quy,, na là 1 2 1/ , ,..., nM a a a M− -chính quy; ii. 1 2, ,..., nM a a a M≠ . Chú ý: Khi ta hoán vị các phần tử của M –dãy chính quy thì không chắc dãy mới là M -dãy chính quy. Mệnh đề 1.2.5 Cho R là vành Noether địa phương, M là R -môđun hữu hạn sinh và 1 2, ,..., na a a là một M -dãy chính quy thì ta có: ( )( )1 2 1 2dim / , ,..., , ,..., dim .n nM a a a M a a a M M n = − 1.3 GIỚI HẠN THUẬN Trong phạm vi luận văn này, chúng tôi chỉ xét khái niệm giới hạn thuận trong phạm trù các R -môđun. a. Định nghĩa giới hạn thuận: Định nghĩa 1.3.1 (Tập sắp thứ tự thuận) Một tập hợp Λ sắp thứ tự bộ phận được gọi là tập sắp thứ tự thuận nếu với mọi ,i j∈Λ tồn tại k∈Λ sao cho i k≤ và j k≤ . Định nghĩa 1.3.2 (Hệ thống thuận) Cho ( )i iM ∈Λ là một họ các R -môđun được đánh chỉ số trên tập sắp thứ tự thuận Λ . Với mỗi cặp phần tử ,i j∈Λ mà i j≤ cho R -đồng cấu :ij i jM Mµ → thỏa mãn các điều kiện sau: i. , i i i MId iµ = ∀ ∈Λ ii. , i ji j ik k j kµ µ µ= ° ∀ ≤ ≤ Khi đó, họ ( ) ; ; ii j i jM µ ∈ΛΩ = các R -môđun iM và R -đồng cấu i jµ được gọi là một hệ thống thuận. Định nghĩa 1.3.3 Giới hạn thuận của hệ thống thuận ( ) ; ; ii j i jM µ ∈ΛΩ = là môđun lim ii M∈Λ và họ các đồng cấu : limi i iiM Mµ ∈Λ→  thỏa mãn những điều kiện sau: i. ij j iµ µ µ= với mọi i j≤ , ii. Với N là một R -môđun bất kì, các đồng cấu :i if M N→ thỏa mãn i j j if fµ = với mọi i j≤ . Khi đó tồn tại duy nhất đồng cấu : lim ii M Nθ ∈Λ → sao cho biểu đồ sau giao hoán. Mệnh đề 1.3.4 Giới hạn thuận của một hệ thống thuận ( ) ; ; ii j i jM µ ∈ΛΩ = luôn tồn tại. Ta có thể chỉ ra giới hạn thuận đó là tập /iiM M D∈Λ= ⊕ , với D là R -môđun con của ii M ∈Λ ⊕ được sinh bởi các phần tử ( ) ( )ij j i i im mµ µ µ− với i im M∈ , i j≤ , :i iM Mµ → là đơn cấu. b. Đồng cấu giữa hai hệ thống thuận Cho hai hệ thống thuận các R -môđun ( ) ; ; ii j i jM µ ∈ΛΩ = và ( ) ;; i i j i j N v ∈Λ Φ = cùng đánh chỉ số trên tập sắp thứ tự thuậnΛ . Gọi M , N là các giới hạn thuận tương ứng và :i iM Mµ → , :i iv N N→ là các đồng cấu tự nhiên. Một đồng cấu :Ψ Ω→Φ được định nghĩa là một họ các R -môđun :i i iM Nψ → thỏa mãn , . i i j j j i i jψ µ ν ψ° = ° ∀ ≤ Khi đó, đồng cấu :Ψ Ω→Φ sẽ cảm sinh R -đồng cấu lim : i M Nψ ∈Λ = →  thỏa mãn ,i i i iψµ νψ= ∀ ∈Λ . c. Tính chất: Một dãy các hệ thống thuận Ω→Φ→Π được gọi là khớp nếu các dãy tương ứng của các R -môđun và R -đồng cấu là khớp. Ta có các mệnh đề sau: Mệnh đề 1.3.5 Cho một dãy khớp các hệ thống thuận Ω→Φ→Π . Khi đó, dãy cảm sinh sau cũng là khớp: lim lim lim i i i∈Λ ∈Λ ∈Λ Ω→ Φ→ Π    . Mệnh đề 1.3.6 Cho R là một vành, N là một R -môđun và ;{( ; ) } i i j i jM µ ∈Λ là một hệ thống thuận các R -môđun. Khi đó ta có: lim( ) (lim )i R i Ri iM N M N∈Λ ∈Λ⊗ ≅ ⊗  1.4 MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG Trong mục này ta giả sử R là vành Noether, giao hoán, có đơn vị khác 0, M , N là các R -môđun và I là một iđêan của R . Chúng tôi sẽ trình bày khái niệm và một số tính chất về môđun đối đồng điều địa phương cần sử dụng trong chương sau. Các chứng minh cho các tính chất này có thể tham khảo ở các tài liệu [3], [6]. a. Định nghĩa hàm tử I -xoắn: Với mỗi R -môđun M , ( ) ( ): 0 : nI M n M I ∈ Γ =   là một R -môđun con của M . Với mỗi đồng cấu R -môđun :f M N→ , ta có ( )( ) ( )I If M NΓ ⊂ Γ nên ta có thể định nghĩa ( ) ( ) ( ):I I If M NΓ Γ →Γ là đồng cấu thu hẹp của f lên ( )I MΓ . Hơn nữa với :g M N→ và :h N L→ là các đồng cấu R -môđun và r là phần tử thuộc R ta có các tính chất: ( ) ( ) ( )I I Ihg h gΓ = Γ Γ ( ) ( ) ( )I I If g f gΓ + = Γ +Γ ( ) ( )I Irf r fΓ = Γ ( ) ( )II M MId IdΓΓ = Do đó ( )IΓ − là hàm tử hiệp biến và cộng tính từ phạm trù các R -môđun vào chính nó. ( )IΓ − còn được gọi là hàm tử I -xoắn. Nhận xét: Hàm tử ( )IΓ − là hàm tử khớp trái. Ta có đẳng cấu: ( ) ( )lim ,/ nI RnM Hom R I M∈Γ ≅  . Định nghĩa 1.4.1 Với mỗi i∈ , hàm tử dẫn xuất phải thứ I của ( )IΓ − được kí hiệu là ( )iIH − và được gọi là hàm tử đối đồng điều địa phương thứ i theo iđêan I . Ta nói M là I -không xoắn nếu ( ) 0I MΓ = và M là I -xoắn nếu ( )I M MΓ = . Ta kiểm tra được ( ) ( )lim Ext / ,i i nI RiH M R I M∈≅  và ( ) i IH M được gọi là môđun đối đồng điều địa phương thứ i của môđun M theo iđêan I . Mệnh đề 1.4.2 Cho M là một R -môđun. Khi đó ta có: i. Nếu I chứa một phần tử không là ước của không đối với M thì M là I -không xoắn. ii. Giả sử M là hữu hạn sinh. Khi đó M là I -không xoắn khi và chỉ khi I chứa phần tử không là ước của không đối với M . Chứng minh: ( ) { } ( )0 \ 0 , : 0 : nI MM m M n m IΓ ≠ ⇒ ∃ ∈ ∃ ∈ ∈ Đặt { }0 min : (0 : )nMn n m I= ∈ ∈ . Khi đó, ( )0 0 1 0n nI m I I m−= = . Do cách đặt 0n nên 0 0 1 10 : 0n nI m b I bm− −≠ ⇒ ∃ ∈ ≠ . Khi đó với mọi a thuộc I ta có 0abm = . Suy ra ( )RI Z M⊂ . Ngược lại, M hữu hạn sinh nên ( )As Rs M hữu hạn (theo Mệnh đề 1.1.6). Giả sử ( ) { }1 2As , ,...,R rs M p p p= . ( ) ( )As R R p s M I Z M p ∈ ⊂ =  suy ra { }1,2,..., : ii r I p∃ ∈ ⊂ . (theo Mệnh đề 1.1.1) Mà ( )Asi Rp s M∈ { } ( )\ 0 : iv M p Ann v⇒∃ ∈ = ( )i IIv p v v M⇒ ⊂ ⇒ ∈Γ ( ) 0I M⇒Γ ≠ .  Mệnh đề 1.4.3 Nếu M là R -môđun nội xạ thì ( )I MΓ là nội xạ. Hệ quả 1.4.4 Cho M là R -môđun nội xạ thì dãy khớp ( ) ( )0 / 0I IM M M M→Γ → → Γ → chẻ. Hệ quả 1.4.5 Cho M là R -môđun I -xoắn. Khi đó có một phép giải nội xạ của M mà tất cả các thành phần đều là R -môđun I -xoắn. Mệnh đề 1.4.6 (Định lí Melkersson) Nếu M là một R -môđun I xoắn và ( )0 :M I Artin thì M cũng Artin. 1.5 MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG SUY RỘNG Cho R là vành Noether giao hoán có đơn vị 1 0≠ , I là một iđêan của vành R , M và N là các R -môđun. Khi đó, với mỗi số tự nhiên i , ( ) ( / , ), lim Exi iI Rn N nH M I MM N t N ∈ ≅  được gọi là môđun đối đồng điều địa phương suy rộng thứ i của môđun N ứng với M theo iđêan I . Trường hợp riêng, với M là R ta có ( ) ( ),i iI IH R N H N≅ . Khi M là một R -môđun hữu hạn sinh thì ta có thể tiếp cận môđun ( ),iIH M N theo một số cách khác (xem ở [16]). Ở đây chúng tôi chọn trình bày cách tiếp cận mà các hàm tử dùng để mô tả môđun này là các hàm tử quen thuộc: hàm tử đối đồng điều địa phương cổ điển ( )iIH − , hàm tử Hom và hàm tử đối đồng điều ( )iH − . Mệnh đề 1.5.1 ( ) ( )( ) ( )( )0 0 0, , ,I I IH M N H Hom M N Hom M H N≅ ≅ . Mệnh đề 1.5.2 Cho M là một R -môđun hữu hạn sinh, N là R -môđun bất kì, •J là phép giải nội xạ của N . Khi đó, với mọi số tự nhiên i , ta có: ( ) ( )( )( ) ( )( )( )0 • 0 •, , ,i i iI I IH M N H H Hom M J H Hom M H J≅ ≅ . Mệnh đề 1.5.3 Cho dãy khớp ngắn các R -môđun 0 0X Y Z→ → → → và M , N là các R -môđun hữu hạn sinh thì ta có các dãy khớp dài các môđun đối đồng điều địa phương suy rộng sau: ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 10 , , , , ...I I I IH M X H M Y H M Z H M X→ → → → → ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 1và 0 , , , , ...I I I IH Z N H Y N H X N H Z N→ → → → → Hàm tử I -xoắn cho một môđun có thể được mở rộng cho một cặp môđun như sau: ( , ) : li (H / ,m o )mI Rn N nN I MM M N ∈ Γ =  . Theo [[6], 1.1.2] ta có mệnh đề: Mệnh đề 1.5.4 Nếu I , J là các iđêan của R thì ( )( ) ( )I J I JM M+Γ Γ = Γ với mọi R -môđun M . Mệnh đề sau là một kết quả tổng quát hơn: Mệnh đề 1.5.5 Cho I , J là các iđêan của R . Khi đó ta có ( ) ( )( ) ( )( ), , ,I J I J J IM N M N M N+Γ = Γ Γ = Γ Γ với mọi R -môđun M . Mệnh đề 1.5.6 Cho I , J là các iđêan của R , N là R -môđun J -xoắn, M là R -môđun bất kì. Khi đó ( ) ( ), , ,i iI J IH M N H M N i+ ≅ ∀ ∈ . Mệnh đề 1.5.7 Cho M , N là các R -môđun trong đó M hữu hạn sinh. Khi đó ta có: ( )( ) ( ),iISupp H M N V I⊂ và ( )( ) ( ) ( ),iISupp H M N Supp M Supp N⊂ ∩ . Mệnh đề 1.5.8 Cho M là R -môđun hữu hạn sinh, N là R -môđun bất kì. i. ( ),iIH M N là I -xoắn với mọi giá trị của i . ii. Nếu N là I -xoắn thì ( ) ( ), Ex ,i iI RH M N t M N≅ . Hệ quả 1.5.9 Cho N là R -môđun I -xoắn. Khi đó ta có: i. Nếu M là R -môđun xạ ảnh thì ( ), 0, 0.iIH M N i= ∀ > ii. Nếu ( )Pd M n= thì ( ), 0,iIH M N i n= ∀ > . iii. Nếu ( )Id N n= thì ( ), 0,iIH M N i n= ∀ > . Mệnh đề 1.5.10 Cho M , N là các R -môđun hữu hạn sinh, m là iđêan tối đại của R . Khi đó ( ),iH M Nm là môđun Artin với mọi 0i ≥ . Từ Mệnh đề 1.5.6 và 1.5.10 ta có hệ quả: Hệ quả 1.5.11 Cho I , J là các iđêan của R , N là R -môđun J -xoắn, M là R -môđun bất kì, I J+ là iđêan tối đại của R . Khi đó ( ),iIH M N Artin với mọi i∈ . Mệnh đề 1.5.12 Cho /R I Artin và M là R -môđun hữu hạn sinh. Khi đó ( )iIH M Artin với mọi i∈ . 1.6 VÀNH VÀ MÔĐUN PHÂN BẬC a. Vành phân bậc: Định nghĩa 1.6.1 Một vành R được gọi là phân bậc (cụ thể là  -phân bậc) nếu tồn tại một họ các nhóm con (đối với phép toán cộng) { }n nR ∈ của R thỏa mãn các điều kiện sau: i. n nR R∈= ⊕  ii. .n m n mR R R +⊆ với mọi m , n thuộc  Từ định nghĩa trên ta suy ra được: Phần tử đơn vị 01 R∈ 0R là vành con của R Với mọi số nguyên n , nR là 0R -môđun con của R Nếu vành phân bậc n nR R∈= ⊕  có 0nR = với mọi 0n < thì ta gọi R là vành  - phân bậc (hay là vành phân bậc dương). Cho R là vành phân bậc dương, ta có 1: n nR R+ ≥= ⊕ là một iđêan của R . Ta nhắc lại một mệnh đề quan trọng sau: Mệnh đề 1.6.2 Cho R là vành phân bậc dương, ta có các điều sau tương đương: i. R là vành Noether. ii. 0R Noether và R là một 0R -đại số hữu hạn sinh. Ta xét đến một loại vành phân bậc đặc biệt sau: Định nghĩa 1.6.3 Vành phân bậc dương R được gọi là thuần nhất nếu R được xem như là một 0R -đại số với biến thuộc 1R ( 0 1[ ]R R R= ). Lúc này ta gọi 0R là vành cơ sở của R . Mệnh đề sau cho ta mô tả R trong một trường hợp cụ thể: Mệnh đề 1.6.4 Cho R là một vành phân bậc dương. Khi đó các điều sau tương đương: i. R thuần nhất và Noether ii. 0R Noether và R+ được sinh bởi hữu hạn phần tử của 1R iii. 0R Noether và R là 0R -đại số được sinh bởi hữu hạn phần tử của 1R Phần tử x R∈ được gọi là thuần nhất (homogeneous) nếu tồn tại n∈ sao cho nx R∈ . Trường hợp 0x ≠ thì n là duy nhất và ta gọi số n đó là bậc của x , kí hiệu ( )deg x n= . Iđêan I của vành phân bậc R được gọi là iđêan phân bậc nếu nó được sinh bởi các phần tử thuần nhất. Định nghĩa 1.6.5 Iđêan phân bậc tối đại của vành phân bậc R là iđêan m thỏa mãn các điều kiện sau: i.m là iđêan phân bậc thực sự của R . ii. Nếu iđêan phân bậc thực sự a thỏa mãn ⊆m a thì =m a Chú ý: Một iđêan phân bậc tối đại thì không chắc là iđêan tối đại của R . Trong trường hợp R là vành phân bậc dương thì ta có thể mô tả các iđêan phân bậc tối đại của R qua mệnh đề sau: Mệnh đề 1.6.6 Cho R là vành phân bậc dương. Khi đó iđêan phân bậc tối đại của R có dạng 0 R++m , với 0m là iđêan tối đại của 0R . Đặc biệt, iđêan phân bậc tối đại của R cũng là iđêan tối đại của R . b. Môđun phân bậc: Định nghĩa 1.6.7 Cho R là vành phân bậc và M là một R -môđun. M được gọi là R -môđun phân bậc nếu tồn tại một họ { }n nM ∈ các nhóm con của M (đối với phép toán cộng) sao cho các điều kiện sau được thỏa mãn: i. n nM M∈= ⊕  ii. .n m n mR M M +⊆ với mọi m , n thuộc  Mỗi nhóm con nM là 0R -môđun con của M và ta gọi nó là \textit{thành phần phân bậc thứ n } của M . Bậc của phần tử thuộc môđun phân bậc được định nghĩa tương tự như bậc của phần tử trong vành. Cho n nM M∈= ⊕  , n nN N∈= ⊕  là các R -môđun phân bậc, một đồng cấu thuần nhất giữa các R -môđun phân bậc là một R -đồng cấu :f M N→ thỏa mãn ( )n nf M N⊆ với mọi n∈ . Tập hợp tất cả các R -môđun phân bậc và R -đồng cấu thuần nhất lập thành một phạm trù, ta kí hiệu phạm trù này là ( )*C R . Cho t∈ , ta xét hàm tử t -chuyển như sau: ( )( ) ( ) ( )* *. : .t C R C R→ Với mỗi M= nn M∈⊕ ta có ( ) n tnM t M += và với mỗi R -đồng cấu thuần nhất :f M N→ ta có ( ) ( )| | n tn MM tf t f += với mọi n∈ . Một đồng cấu :f M N→ được gọi là thuần nhất cấp i nếu ( )n n if M N +⊆ với mọi n∈ . Chú ý rằng đồng cấu thuần nhất cấp i trên có thể được xem là thuần nhất nếu xem f như là đồng cấu từ ( )M i− đến N . Ta kí hiệu ( ),iHom M N là tập tất cả các đồng cấu thuần nhất cấp i từ M đến N . Khi đó ta có ( ) ( )* , : ,R iiHom M N Hom M N∈= ⊕ là một R -môđun con của ( ),RHom M N . Với iiR R∈= ⊕ là vành Noether phân bậc, M= nn M∈⊕ , N= nn N∈⊕ là các R -môđun phân bậc. Ta có mệnh đề: Mệnh đề 1.6.8 (xem [[4], 1.5.19]) Nếu M là hữu hạn sinh thì ( ) ( )* , ,R RHom M N Hom M N= . Mệnh đề 1.6.9 Cho R là vành phân bậc thuần nhất và M là R -môđun phân bậc hữu hạn sinh. Khi đó các điều sau tương đương: i. Tồn tại t∈ : ( ) 0tR M+ = ii. 0nM = với mọi n đủ lớn (nghĩa là tồn tại số tự nhiên 0n sao cho với mọi 0n n≥ thì 0nM = ) iii. M là R+ -xoắn Mệnh đề 1.6.10 Nếu M là R -môđun Noether thì nM là 0R -môđun Noether. Mệnh đề 1.6.11 Cho R là một vành phân bậc dương và M là một R -môđun phân bậc. Khi đó ( ) ( ) 0R R l M l M= . Mệnh đề 1.6.12 Cho R là vành phân bậc dương với vành cơ sở địa phương 0 0( , )R m và M là một R -môđun phân bậc hữu hạn sinh. Khi đó ta có: 0( / ) 0 ( )R Rdim M M M M+≤ ⇔ = Γm Mệnh đề 1.6.13 Nếu 0( / ) 0Rdim M M >m thì tồn tại phần tử thuần nhất x R+∈ thỏa mãn: 0 0(( / ) / ( / )) ( / ) 1.R Rdim M xM M xM dim M M= −m m c. Môđun cofinite tương ứng với một iđêan - Môđun minimax: Định nghĩa 1.6.14 Cho R là vành phân bậc, I là iđêan phân bậc của R và M là R -môđun phân bậc. Ta nói M là I -cofinite nếu ( ) ( )Supp M V I⊂ và ( , ) /iRExt R I M phân bậc hữu hạn sinh với mọi i∈ . Định nghĩa 1.6.15 Một R -môđun phân bậc M là minimax nếu tồn tại một R - môđun con phân bậc hữu hạn sinh 'M sao cho /M M ′ Artin. Ta có thể chứng minh được kết quả sau: Định lí 1.6.16 Cho 0 0L M N→ → → → là dãy khớp các R -môđun phân bậc và R -đồng cấu thuần nhất. Khi đó M minimax khi và chỉ khi L và N minimax. 1.7 DÃY PHỔ Trong mục này, chúng tôi trình bày khái niệm dãy phổ và dãy phổ Grothendieck cần dùng trong chương 2. a. Khái niệm dãy phổ Định nghĩa 1.7.1 Một môđun song phân bậc là một họ các môđun được đánh hai chỉ số ( ){ }, | ,p qM M p q= ∈ ×  . Phần tử x thuộc ,p qM được kí hiệu lại là ,p qx . Môđun thương của môđun song phân bậc M là , ,{/ } '/p q p qM M M M′ = ,{M' }p qM M′ = ⊂ . Cho { },p qM M= , { },p qN N= là các môđun song phân bậc và ( ),a b ∈ ×  . Ta nói đồng cấu :f M N→ có song cấp là ( ),a b nếu ( ), ,p q p a q bf M N + +⊂ với mọi cặp số ( ),p q ∈ ×  . Đặt ,, : | p qp q M f f= . Khi đó f là họ đồng cấu ( ){ }, | ,p qf p q ∈ ×  . Một cặp khớp là một cặp các môđun song phân bậc D , E và các đồng cấu song cấp , ,α β γ sao cho tam giác sau là khớp tại mỗi đỉnh: Kí hiệu cặp khớp này là ( ), , , ,D E α β γ . Xét cặp khớp D , E và các đồng cấu , ,α β γ có song cấp lần lượt là ( )1, 1− , ( )0,0 , ( )1,0− . Ta sẽ xây dựng một cặp khớp khác từ cặp khớp này. Xây dựng 1 :d E E→ xác định bởi 1 :d βγ= .Khi đó ta có 1 1 0d d = nên tồn tại môđun đồng điều ( )1 1 1, : / ImH E d Kerd d= , kí hiệu là 2E . Nó lại là một môđun song phân bậc. Cho ( ),p q ∈ ×  bất kì, nên 1d có song cấp là ( )1,0− . 2E là một môđun thương của môđun song phân bậc nên ta có 2 1 1, , 1,er I/ mp q p q p qE K d d += . Ta xây dựng môđun song phân bậc 2 : ImD α= . Vì α có song cấp ( )1, 1− nên ta có ( )2, 1, 1 1, 1 1, 1 ,Imp q p q p q p q p qD D Dα α− + − + − += = ⊂ . Tiếp theo ta xây dựng bộ ba đồng cấu song cấp 2 2 2, ,α β γ như sau: 22 : |Dα α= . Ánh xạ đồng nhất : Imi Dα → có song cấp ( )0,0 nên đồng cấu 2 iα α= ° có song cấp giống α là ( )1, 1− . Đồng cấu 2 2 2: D Eβ → biến ( )( )1y cls yβα − nên tồn tại 2, ,p q p qy D∈ sao cho 1, 1 1, 1p q p qx D− + − +∈ . Vì vậy ( ), 1, 1 1, 1p q p q p qy xα − + − += , tức là 2β có song cấp ( )1,1− . Đồng cấu 2 2 2: E Dγ → , 2, , , , 1,( )p q p q p q p q p qcls z z Dγ γ −∈ . Ta kiểm tra được 2γ được định nghĩa tốt và có song cấp như γ là ( 1,0)− . Định lí 1.7.2 Với cách xây dựng như trên thì ta có là một cặp khớp với 2 2 2, ,α β γ lần lượt có song cấp là ( ) ( ) ( )1, 1 , 1,1 , 1,0− − − . Cặp khớp ( )2 2 2 2 2, , , ,D E α β γ được gọi là cặp khớp dẫn xuất của ( ), , , ,D E α β γ . Ta lặp lại quá trình này và thu được một dãy các cặp khớp Trong đó cặp khớp thứ 1r + là dẫn xuất của cặp khớp thứ r . Định lí 1.7.3 Cho ( ), , , ,D E α β γ là một cặp khớp với , ,α β γ có song cấp lần lượt là ( ) ( ) ( )1, 1 , 0,0 , 1,0− − . Cặp dẫn xuất thứ r ( ), , , ,r r r r rD E α β γ có các đặc điểm sau: i. , ,r r rα β γ lần lượt có song cấp là ( ) ( ) ( )1, 1 , 1 , 1 , 1,0r r− − − − ii. :r r rd β γ= có song cấp là ( ), 1r r− − và được cảm sinh bởi 1rβα γ− + . Định nghĩa 1.7.4 Một dãy phổ là một dãy { } 1 ,r r r E d ≥ (có thể viết gọn là { }rE ) các môđun song phân bậc và các đồng cấu rd thỏa mãn 0r rd d = sao cho ( )1 ,r r rE H E d+ = như là các môđun song phân bậc. Kí hiệu 1 :E E= thì ta có mỗi cặp khớp cảm sinh một dãy phổ. Cho { , }r rE d là một dãy phổ thì 2E là một môđun con của môđun thương của 1E . Do đó ta có thể giả sử 2 2 2/E Z B= với 2 2 1B Z E⊆ ⊆ . Đến lượt 3E là môđun con của môđun thương của 2E nên nó lại viết được dưới dạng 3 3 2 3 2( / ) / ( / )E Z B B B= , trong đó 3 2 3 2 2 2/ / /B B Z B Z B⊆ ⊆ . Suy ra 2 3 3 2 1B B Z Z E⊆ ⊆ ⊆ ⊆ Tương tự như vậy ta có dây chuyền 2 2 1... ...r rB B Z Z E⊆ ⊆ ⊆ ⊆ ⊆ ⊆ Định nghĩa 1.7.5 Kí hiệu , , r p q p q r Z Z∞ =  , , ,rp q p q r B B∞ =  và , , ,/p q p q p qE Z B ∞ ∞ ∞= . Môđun song phân bậc E∞ được gọi là giới hạn của dãy phổ { }rE . b. Dãy phổ Grothendieck Định nghĩa 1.7.6 Phạm trù abel  là đủ vật nội xạ (enough injectives) nếu với mọi vật A thuộc phạm trù  đều tồn tại vật nội xạ E và một đơn cấu từ A đến E .\\Đối ngẫu lại,  là đủ vật xạ ảnh (enough projectives) nếu với mọi vật A thuộc phạm trù  đều tồn tại vật xạ ảnh E và một toàn cấu từ A đến E . Phạm trù các R -môđun và R -đồng cấu là đủ vật xạ ảnh và đủ vật nội xạ. Định nghĩa 1.7.7 Cho  là một phạm trù abel đủ vật xạ ảnh (hoặc đủ vật nội xạ) và :F → Ab là hàm tử cộng tính. Vật B trong  được gọi là F -không tuần hoàn phải nếu ( ) 0pR F B = với mọi 1p ≥ , với pR F là hàm tử dẫn xuất phải thứ p của F . Vật B trong  được gọi là F -không tuần hoàn trái nếu ( ) 0pL F B = với mọi 1p ≥ , với pL F là hàm tử dẫn xuất trái thứ p của F . Định nghĩa 1.7.8 Cho vật A thuộc phạm trù  . Một lọc của A là một họ các vật con của A , { }p pF A ∈ sao cho 1 1... ...p p pF A F A F A− +⊆ ⊆ ⊆ ⊆ Đặc biệt: Một lọc của một môđun M là một họ { }p pM ∈ các môđun con của M sao cho 1 1... ...p p pM M M− +⊆ ⊆ ⊆ ⊆ Định nghĩa 1.7.9 Một lọc ( pF M ) của môđun phân bậc M là bị chặn nếu với mỗi n , tồn tại số nguyên ( )s s n= và ( )t t n= sao cho 0t nF M = và s n nF M M= . Định nghĩa 1.7.10 Cho H là một môđun phân bậc. Một dãy phổ { }rE hội tụ đến H , kí hiệu 2,p q npE H⇒ nếu có một lọc bị chặn { } p HΦ của H sao cho $ 1 , / p p p q n nE H H ∞ −≅ Φ Φ $ với mọi p , q và n p q= + . Tiếp theo, chúng tôi nhắc lại một dãy phổ Grothendieck cần dùng trong chương 2. Có bốn dãy phổ Grothendieck: hai dãy ở góc phần tư thứ nhất (đồng điều) và hai dãy ở góc phần tư thứ ba (đối đồng điều). Định lí sau sẽ chỉ ra sự tồn tại một dãy ở góc phần tư thứ ba. Định lí 1.7.11 (Định lí Grothendieck, xem [[11], Theorem 10.47]) Cho :G →  và :F →  là các hàm tử hiệp biến với  ,  ,  là các phạm trù đủ vật nội xạ. Giả sử rằng F là khớp trái và GE là F -không tuần hoàn phải với mọi vật nội xạ E . Khi đó với mọi vật A trong phạm trù  , tồn tại dãy phổ góc phần tư thứ ba , 2 ( )( ) ( ) p q p q n p E R F R G A R FG A= ⇒ Ta nhắc lại kết quả ở 5.2.2 trong tài liệu [17]. Mệnh đề 1.7.12 Cho một dãy phổ { }rE hội tụ tới *H thỏa mãn 2 , 0p qE = với mọi 1q > . Khi đó tồn tại dãy khớp dài CHƯƠNG 2: TÍNH ARTIN CỦA CÁC MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG SUY RỘNG PHÂN BẬC 2.1 MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG SUY RỘNG PHÂN BẬC Cho R là một vành phân bậc, I là một iđêan phân bậc của R , M là R -môđun phân bậc hữu hạn sinh và N là R -môđun bất kì. Khi đó R -môđun ( ),iIH M N có cấu trúc phân bậc. Ta sẽ sử dụng Mệnh đề 1.6.8 để chứng minh điều này. Xét phép giải xạ ảnh của / nM I M trong ( )*C R . Áp dụng hàm tử ( )* ,RHom N− vào phức trên. Lấy dãy đối đồng điều ta có môđun ( )* Ex / ,i nRt M I M N là một R -môđun phân bậc. M hữu hạn sinh nên theo Mệnh đề 1.6.8 ta có: ( ) ( )* Ex , Ex . / / ,i n i nR Rt M I M N t M I M N= Do đó ( ) ( / , ), lim Exi iI Rn N nH M I MM N t N ∈ =  có cấu trúc của một R -môđun phân bậc. Trong mục 2.2 của chương này, ta sẽ xét các môđun đối đồng điều địa phương suy rộng phân bậc được giới hạn như sau: Cho nnR R∈= ⊕ là vành Noether phân bậc thuần nhất với vành cơ sở địa phương ( )0 0,R m , M , N là các R -môđun phân bậc và kí hiệu 1 nn R R+ ≥= ⊕ . Đặt 0 R+= +m m . Ta chứng minh được nó là iđêan phân bậc tối đại duy nhất của R . Trong phần còn lại của chương 2, chúng tôi chọn trình bày một số kết quả về tính Artin của các môđun đối đồng điều địa phương suy rộng phân bậc ( ),iRH M N+ , ( )0 , iH M Nm và một số môđun cảm sinh từ chúng. 2.2 MỘT SỐ TÍNH CHẤT VỀ TÍNH ARTIN CỦA CÁC MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG SUY RỘNG PHÂN BẬC Bổ đề 2.2.1 Cho nnR R∈= ⊕ là vành phân bậc và I là một iđêan sinh bởi các phần tử bậc dương. Cho 1 2, ,..., np p p là các iđêan nguyên tố (khác nhau) thỏa mãn { }, 1, 2,...,iI p i n⊂ ∀ ∈/ . Khi đó, tồn tại phần tử thuần nhất x I∈ và 1 2 ... nx p p p∉ ∪ ∪ ∪ . Chứng minh: Ta chứng minh quy nạp theo n là số các iđêan nguyên tố trên. Từ 1I p⊂/ và I sinh bởi các phần tử bậc dương phải có một phần tử sinh của I không thuộc 1p . Vì nếu mọi phần tử sinh của I đều nằm trong 1p thì 1I p⊂ . Giả thiết rằng bổ đề trên đúng với 1n − . Không mất tính tổng quát, giả sử np là phần tử tối tiểu của tập { }1 2, ,..., np p p . Theo giả thiết quy nạp tồn tại phần tử thuần nhất x I′∈ và 1 2 1... nx p p p −′∉ ∪ ∪ ∪ . Nếu nx p′∉ , ta có điều cần chứng minh. Nếu nx p′∈ , ta lại áp dụng bổ đề trên cho trường hợp 1n = thì tồn tại phần tử thuần nhất 1 1 \ n i n i r p p − = ∈  và phần tử thuần nhất \ ny I p∈ . Khi đó ( ) ( ) m nx x ry′= + thuần nhất với bậc phù hợp (chẳng hạn nếu ( )deg x a′ = và ( )deg ry b= ta chọn m b= và n a= ) thỏa mãn x I∈ và 1 2 ... nx p p p∉ ∪ ∪ ∪ .  Mệnh đề 2.2.2 Giả sử ( )0 0,R m là vành địa phương, N hữu hạn sinh, ( )Rp Pd M= < ∞ và ( )0dim /d N m N= . Khi đó ( ), 0,iRH M N i p d+ = ∀ > + . Chứng minh: Với 1d = − . ( )0dim / 1N N = −m suy ra 0N = . Do vậy ta có điều cần chứng minh. Tiếp theo ta sẽ chứng minh mệnh đề bằng phương pháp quy nạp theo d . 0d = : N là môđun R+ -xoắn nên ( ) ( ), Ex ,i iR RH M N t M N+ ≅ . Mà ( )Ex , 0,iRt M N i p= ∀ > nên ta có ( ), 0,iRH M N i p+ = ∀ > . Ta giả sử mệnh đề đã đúng với các giá trị nhỏ hơn 0d > . Từ dãy khớp ngắn ( ) ( )0 / 0R RN N N N+ +→ Γ → → Γ → suy ra dãy khớp dài ( )( )... ( , ( )) ( , ) , /i i iR R R R RH M N H M N H M N N+ + + + +→ Γ → → Γ → ( )( )1 , ...iR RH M N+ ++ Γ → Vì ( )R N+Γ là môđun R+ -xoắn nên ( )( ) ( )( ), Ex ,i iR R R RH M N t M N+ + +Γ ≅ Γ . Mặt khác ( )Ex ( , ) 0iR Rt M N+Γ = , i p∀ > nên ta có: ( , ) ( , / ( )), . i i R R RH M N H M N N i p+ + +≅ Γ ∀ > Vì vậy ta có thể giả sử ( ) 0R N+Γ = . Do đó theo Mệnh đề 1.4.2 ta có ( )RR Z N+ ⊂/ . Vì 0d > nên ( )0/p MinAss N m N R p+ ∈ ⊂/  .Do đó theo Bổ đề 2.2.1 tồn tại một phần tử thuần nhất a R+∈ ( ( )degt a= ) không là ước của không trên N và 0dim(( / ) / ( / )) 1N aN N aN n= −m Từ dãy khớp ngắn 0 ( ) ( / )( ) 0aN N t N aN t→ → → → và sử dụng giả thiết quy nạp ta có ( ) ( )( )1 1, ,p d i p d iR RH M N H M N t+ + + + + + + +≅ , với mọi 0i ≥ . Mọi phần tử của ( )1 ,p d iRH M N+ + + + đều bị linh hóa bởi một số mũ nào đó của R+ nên ta có điều phải chứng minh.  Mệnh đề 2.2.3 Cho 0 0( , )R m là vành địa phương, N hữu hạn sinh, ( )p pd M= < ∞ và 0dim( / )d N N= m . Khi đó, R -môđun 00 0/ ( , ) p d R RR H M N+ +⊗m là Artin. Chứng minh: Chứng minh quy nạp theo d Trường hợp 0d ≤ : ( )R N N+Γ = . Suy ra ( ) ( ), Ext , p d p d R RH M N M N+ + +≅ hữu hạn sinh và bị linh hóa bởi một số mũ nào đó của R+ . Do đó, 00 0 0 ( / ( , )) { }p dR RSupp R H M N R+ + +⊗ ⊂ +m m . Suy ra 00 0/ ( , ) p d R RR H M N+ +⊗m Artin. (theo Mệnh đề 1.2.1) Trường hợp 0d > . Giả sử kết quả trên đúng với mọi môđun N' mà 0( / ) 1dim N N d′ ′ = −m . Do ( ), ( , / ( ))i iR R RH M N H M N N+ + +≅ Γ (theo Mệnh đề 2.2.2) nên ta có thể giả sử ( ) 0R N+Γ = . Khi đó tồn tại phần tử thuần nhất a R+∈ ( ( )deg a t= ) và không là ước của 0 trên N thỏa mãn 0(( / ) / ( / )) 1Rdim N aN N aN d= −m . Từ dãy khớp ngắn 0 ( ) ( / )( ) 0aN N t N aN t→ → → → suy ra các dãy khớp Theo giả thiết 0 1 0 0/ ( , / ) p d R RR H M N aN+ + −⊗m Artin nên 00 0 / ( )RR Im δ⊗m Artin. 0 0 0/ ( , ) ker (0 : )p d R RR H M N a a+ + ⊗ = m là ảnh đồng cấu của 00 0 / ( )RR Im δ⊗m nên nó Artin.  Bổ đề 2.2.4 Cho N là R -môđun Artin, M là 0R -môđun hữu hạn sinh. Khi đó với bất kì i∈ , R -môđun ( )0 ,RiTor M N Artin. Chứng minh: Lấy một phép giải tự do của M : 0 10 ... ...iM F F F← ← ← ← ← ← Trong đó các môđun tự do iF là tổng trực tiếp của hữu hạn bản sao của 0R vì M là 0R -môđun hữu hạn sinh. Ta có ( )0 ,RiTor M N là một 0R -môđun thương của ( )0 00si R RsF N R N∈Λ⊗ ≅ ⊕ ⊗ ( )0ss R N N∈Λ Λ≅ ⊕ ⊗ ≅ ⊕ là môđun Artin. Do đó ( )0 ,RiTor M N Artin.  Mệnh đề 2.2.5 Cho i∈ , 0 00 0 / ( , / ( ))iR R RR H M N N+⊗ Γmm Artin. Khi đó 00 0/ ( , ) i R RR H M N+⊗m Artin. Chứng minh: Kí hiệu 0 / ( )RN N N= Γm . Ta có dãy khớp ( )00 0R N N N→Γ → → →m . Áp dụng hàm tử ( , )iRH M+ − vào dãy khớp trên, ta có dãy khớp: Từ đó suy ra các dãy khớp: ( , ) / , ( , ) / và ( , ).i i iR R RA H M N Img B H M N Imf C H M N+ + += = = Theo giả thiết 00 0 / RR C⊗m Artin. Ta có: A là môđun Artin vì nó là môđun con của ( )( )01 ,iR m RH M N++ Γ và ( )( )01 ,iR m RH M N++ Γ Artin (theo Mệnh đề 1.5.6 và 1.5.10) A là R -môđun Artin, 0 0/R m là 0R -môđun nên ta có 01 0 0( / , ) RTor R Am Artin. (theo Bổ đề 2.2.4) Từ dãy khớp: 0 0 01 0 0 0 0 0 0 ... ( / , ) / /R R RTor R A R B R C→ → ⊗ → ⊗ →m m m 00 0/ 0RR A⊗ →m suy ra: 00 0 / RR B⊗m Artin. Và từ dãy khớp: 0 0 00 0 0 0 ... / ( , ( ) / ( , )i iR R R R RR H M N R H M N+ +→ ⊗ Γ → ⊗ →mm m 00 0/ 0RR B⊗ →m Suy ra 00 0 / ( , )iR RR H M N+⊗m Artin.  Mệnh đề 2.2.6 Cho i∈ và ( ),iRH M N+ là R+ -cofinite. Khi đó ta có ( )( )0 ,iR RH M N+Γm Artin. Chứng minh: ( , )iRH M N+ là R+ -cofinite suy ra: ( )( ) ( )( )0/ , , ,/ ,i iR R R RHom R R H M N Ext R R H M N+ ++ +≅ nên nó là môđun hữu hạn sinh phân bậc và là R+ -xoắn (vì ( ),iRH M N+ là R+ - xoắn). Theo Mệnh đề 1.1.6 tồn tại các đẳng cấu: ( )( )( )0 / , ,iR R RHom R R H M N++Γm ( )( )0 ,0 : iRR H M N R+ +≅ Γm ( )( )0 ,0 : im R RH M N R+ +Γ ≅    Do vậy ( )( )0 , 0 : i R RH M N R + +Γ     m hữu hạn sinh, 0m -xoắn và R+ -xoắn. Suy ra nó bị linh hóa bởi một số mũ của m . Vậy theo Mệnh đề 1.1.9 và 1.2.1 nó là môđun Artin. Mà ( )( )0 ,iR RH M N+Γm là R+ -xoắn nên ( )( )0 ,iR RH M N+Γm là Artin. (theo Định lí Melkersson)  Ta nhắc lại vài kết quả cần dùng cho chứng minh của mệnh đề tiếp theo. Kí hiệu ( )( ) : { : 0}iR Rc N Sup i H N++ = ∈ ≠ . Khi đó ta có 0( / ) ( )R Rdim N N c N+=m . Định lí 2.2.7 Cho 0 0( , )R m là vành địa phương, 0: ( / )Rn dim N N= m . Ta có: 0( ) / ( ) n n R RH N H N+ +m Artin. Mệnh đề 2.2.8 Cho M là R -môđun hữu hạn sinh có số chiều xạ ảnh hữu hạn ( )RPd M n= và : ( )Rc c N+= . Khi đó ta có 0( , ) / ( , ) n c n c R RH M N H M N+ + + +m Artin. Chứng minh: Ta chứng minh quy nạp theo n . 0n = : theo Định lí 2.2.8 ta có điều cần chứng minh. Giả sử mệnh đề trên đúng với mọi giá trị nhỏ hơn 0n > . Ta cần chứng minh nó đúng với n . Vì ( )RPd M n= và M hữu hạn sinh nên tồn tại số nguyên dương t và một dãy khớp các R -môđun phân bậc 0 0tK R M→ → → → mà ( ) 1RPd K n= − . Áp dụng hàm tử ( ),n cRH N+ + − vào dãy khớp trên ta có dãy khớp sau: ( ) ( ) ( )1 , , , .n c n c n c tR R RH K N H M N H R N+ + ++ − + +→ → Để ý rằng ( )Rn c c c N++ > = nên ( ) 0 n c RH N+ + = .Do đó ( ), 0n c tRH R N++ = . Áp dụng hàm tử 00 0 / RR ⊗ −m vào dãy khớp trên ta có toàn cấu: ( ) ( ) ( ) ( )1 10 0, / , , / , .n c n c n c n cR R R RH K N H K N H M N H M N+ + + + + − + − + +→m m Sử dụng giả thiết quy nạp ta có môđun ( ) ( )1 10, / ,n c n cR RH K N H K N+ + + − + −m là Artin. Từ toàn cấu trên ta suy ra 0( , ) / ( , ) n c n c R RH M N H M N+ + + +m Artin.  Kí hiệu ( , ) : { | ( , ) không Artin }iR Ra M N Sup i H M N+ += ∈ và ( ) : { | ( ) không Artin }iR Ra N Sup i H N+ += ∈ Khi đó ta có mệnh đề sau: Mệnh đề 2.2.9 Cho M là R -môđun hữu hạn sinh có số chiều xạ ảnh ( ): Rn pd M= hữu hạn. Khi đó ta có: i. ( ) ( ) ( ),R R Ra M N Pd M a N+ +≤ + ; ii. ( ) ( )0, / ,a n a nR RH M N H M N+ + + +m Artin với ( ): Ra a N+= và ( ): Rn Pd M= . Chứng minh: i. Ta sẽ chứng minh quy nạp theo n . 0n = : (i) đúng. Giả sử kết quả trên đã đúng cho mọi giá trị nhỏ hơn 0n > , ta sẽ chứng minh nó cũng đúng đối với n . M là R -môđun hữu hạn sinh nên tồn tại số nguyên dương t sao cho 1/tM R M≅ và 1M có số chiều xạ ảnh là 1n − . Từ đó ta có dãy khớp ngắn 10 0. tM R M→ → → → Suy ra dãy khớp Ta cần chứng tỏ với mọi i > a + n thì ( ),iRH M N+ Artin. Ta có ( ) ( )11 1 R Ri a n a N Pd M+− > + − = + và i a n a> + > . Theo giả thiết quy nạp ta có ( )1 1,iRH M N+ − và ( )iRH N+ Artin. Do đó từ dãy khớp (*) ta có ( ), i RH M N+ Artin. ii. Ta tiếp tục chứng minh quy nạp theo n . 0n = : (ii) đúng theo [[13], Theorem 2.4]. Giả sử kết quả trên đã đúng cho mọi giá trị nhỏ hơn 0n > , ta sẽ chứng minh nó cũng đúng đối với n . Tương tự như mục (i) ta có dãy khớp Đặt ImA α= và ImB β= . Vì a n a+ > nên ( )a nRH N+ + Artin. Do đó ( )ta nRB H N+ +⊂ Artin. Suy ra 0/B Bm Artin. Tác động hàm tử 00 0 / RR ⊗ −m vào dãy khớp ta có dãy khớp 01 1 0 0 1 0 1 0/ ( , ) / ( , ) / 0. a n a n R R RR Ker H M N H M N A Aα + + + − + −⊗ → → →m m m Mặt khác, theo giả thiết quy nạp ( ) ( )1 11 0 1, / ,a n a nR RH M N H M N+ + + − + −m Artin nên 0 /A Am Artin. Tác động hàm tử 00 0 / RR ⊗ −m vào dãy khớp ta có dãy khớp 0 0 0/ ( , ) / ( , ) / a n a n R RA A H M N H M N B B+ + + +→ →m m m với 0/A Am và 0 /B Bm Artin nên ( ) ( )0/, ,a n a nR RH M N H M N+ + + +m Artin.  Bổ đề 2.2.10 Cho M là một R -môđun minimax. Nếu M là R+ -xoắn thì các R -môđun 0 0 0 0 or ( / , )R R MT m m và ( )0 iH Mm Artin với mọi i∈ . Chứng minh: Vì M là môđun minimax nên tồn tại môđun con phân bậc hữu hạn sinh 'M của M sao cho / M M ′ Artin. Từ dãy khớp ngắn 0 / 0M M M M′ ′→ → → → suy ra các dãy khớp 'M hữu hạn sinh và R+ -xoắn nên ( )0 0 0 /or ,RiT R M ′m và ( )0 iH M ′m bị linh hóa bởi một lũy thừa của m . Do đó chúng là môđun Artin. / M M ′ Artin nên ( )0 0 0or / , /RiT R M M ′m và ( )0 / iH M M ′m Artin. Do vậy từ các dãy khớp trên ta có điều cần chứng minh.  Kí hiệu: ( ) ( ){ }, sup 0 | , không minimax iR Rs M N i H M N+ += ≥ và ( ) ( ){ }, inf 0 | , không minimax iR Rt M N i H M N+ += ≥ Bổ đề 2.2.11 Với các kí hiệu như trên, ta có: Với mọi i∈ , R -môđun ( ) 00 0 / ,iR RR H M N+⊗m Artin khi và chỉ khi ( )( )0 00 0/ , /iR R mR H M N N+⊗ Γm Artin. Chứng minh: Tác động hàm tử ( ),iRH M+ − vào dãy khớp ngắn ta có dãy khớp 0 R+= +m m là iđêan tối đại của R nên ( )0,( ) iH M NΓm m Artin. Mặt khác, ( ) 0 NΓm là 0m -xoắn nên ta có Từ dãy khớp trên ta có minimax khi và chỉ khi ( ) 0 ( , / )iRH N NM+ Γm minimax. Tức là ta có (i). Ta cũng có erK α và kerCo α Artin. Các dãy khớp ( )0 er , Im 0iRK H M Nα α+→ → → → cho ta các dãy khớp sau: 0 0 00 0 0 0 0 0 / / ( , ) / 0iR R R RR Ker R H M N R Imα α+⊗ → ⊗ → ⊗ →m m m và Các môđun 00 0 / erRR K α⊗m , ( )01 0 0/or , e rRT R Cok αm và 00 0/ erRR Cok α⊗m Artin. Do đó ( ) 00 0 / ,iR RR H M N+⊗m Artin khi và chỉ khi 00 0/ RR Imα⊗m Artin; 00 0 / RR Imα⊗m Artin khi và chỉ khi 0 00 0 (M, N// ( )) i R RR H N+⊗ Γmm Artin. Vậy ta có điều cần chứng minh.  Mệnh đề 2.2.12 Đặt ( ),Rt t M N+= . Khi đó với mọi i t≤ ta có: i. R -môđun ( ) 00 0 / ,R iR RH M N+⊗m Artin; ii. ( )( )0 ,j iRH H M N+ Artin với mọi 0 1j≤ ≤ . Chứng minh: i. Theo Bổ đề 2.2.10, (i) đúng khi i t< . Ta chỉ còn phải chứng minh ( ) 00 0 / ,tR RR H M N+⊗m Artin. Theo Bổ đề 2.2.11 ta có thể giả sử ( ) 0 0NΓ =m . Khi đó tồn tại phần tử 0a∈m không là ước của không trên N . Ta có dãy khớp ngắn suy ra dãy khớp dài Theo dãy khớp trên ta có: Với i t< thì ( )1 , /iRH M N aN+ − minimax. Do vậy ( ), / 1Rt M N aN t+ ≥ − . Với i t= , từ dãy khớp trên suy ra dãy khớp Trong đó, ( ) 00 0 / , 0tR RR aH M N+⊗ =m vì 0a∈m . Do đó nếu ( ) 0 1 0 0/ , / t R RR H M N aN+ −⊗m Artin thì ( ) 00 0 / ,tR RR H M N+⊗m Artin. Dùng nguyên lí quy nạp ta có điều cần chứng minh. ii. Theo Bổ đề 1.1.10 (ii) đúng khi i t< . Xét trường hợp i t= . Xét dãy phổ ( ) 0 , 2 : ( ( , )) , p q p q p q R p E H H M N H M N + += ⇒m m quy ước ,2 0 p qE = với mọi 0p < . Vì vậy nếu 0 1j≤ ≤ thì với mọi 2i ≥ dãy , , , 110 j t j t j r t rr r rE E E + − ++→ → → khớp. Theo Bổ đề 2.2.10 môđun cuối trong dãy là Artin vì 1t r t− + < . Đặt { },p qE∞ là giới hạn của dãy phổ này và 0 2r ≥ là số nguyên mà 0 0 , , , 1 2 ... j t j t j t r rE E E+ + ∞= = = . 0 , , 1 j t j t rE E∞ += Artin vì nó là môđun con của môđun thương của ( ),j tH M N+m . Ta có dãy 0 0 0 0 0 , 1, , 10 j r t rj t j t r r rE E E + − + +→ → → khớp và 0 00 , 1j r t r rE + − + Artin nên 0 ,j t rE Artin. Lặp lại suy luận này ta có 0 0 , , , 1 2 3, ,.., j t j t j t r rE E E− − và ( )( )0,2 : ,j t j tRE H H M N+= m Artin.  Mệnh đề 2.2.13 Đặt ( ),Rs s M N+= . Khi đó R -môđun ( )00 0/ , i R RR H M N+⊗m Artin với mọi i s≥ . Chứng minh: Theo Bổ đề 2.2.10 mệnh đề trên đúng với mọi i s> . Ta cần chứng minh ( ) 00 0 / ,sR RR H M N+⊗m Artin. Thực hiện quy nạp theo ( ): dimRn N= . Nếu 0n = thì N Artin. Do đó ta có điều cần chứng minh. Giả thiết mệnh đề trên đúng với mọi R -môđun phân bậc hữu hạn sinh 'N có số chiều là 1n − với 0n > . Từ Bổ đề 2.2.11 ta có thể xem ( ) 0 0NΓ =m . Do đó tồn tại phần tử 0a∈m không là ước của không trên N . Ta có dãy khớp ngắn Từ đó suy ra dãy khớp 0 1 01 0 0 0 0( , ) ( / , (0 : )) / ( , ) / ( , )s R R s s R R RH M N Tor R a R H M N aH M N+ + ++ → ⊗ →m m 00 0 / ( , / ).sR RR H M N aN+→ ⊗m 1 ( , ) (0 : )s RH M N a+ + là con của môđun minimax ( )1 ,sRH M N+ + nên cũng là môđun minimax. Vì vậy theo Bổ đề 2.2.11 0 11 0 0 ( , )( / , (0 : ))sR R H M N Tor R a+ + m Artin. Vì ( )/dim 1 R N aN n= − và ( )/ , 1Rs M N aN s+ ≤ − nên theo giả thiết quy nạp ( ) 00 0 / , /sR RR H M N aN+⊗m Artin. Do đó ( ) 0 00 0 0 0 / , / ( , ) / ( , )s s sR R R R RR H M N R H M N aH M N+ + +⊗ ≅ ⊗m m Artin.  Mệnh đề 2.2.14 Cho ( ),Rs s M N+= và ( )0dimd R= . Khi đó ta có: i. ( )( )0 ,j iRH H M N+m Artin với 1d j d− ≤ ≤ và i s≥ ; ii. ( )( )0 2 ,d sRH H M N+−m Artin khi và chỉ khi ( )( )0 1 ,d sRH H M N+−m Artin. Chứng minh: i. Xét dãy phổ ( ) 0 , 2 : ( ( , )) , p q p q p q R p E H H M N H M N + += ⇒m m Gọi ,{ }p qE∞ là giới hạn của dãy phổ trên. Vì ,p qE∞ là môđun thương của ( , )p qH M N+m nên nó Artin với mọi p , q . • i s> : (i) đúng (theo Bổ đề 2.2.11) • i s= : 1d j d− ≤ ≤ . Xét đồng cấu , 1 ,: j r s r j sr rE Eα − + − → Vì ,2 0p qE = với mọi p d> nên ta có , ,1 /j s j sr rE E Imα+ = với mọi 2r > . Ta có 1s r s+ − > nên Imα Artin (theo Bổ đề 2.2.11) Gọi 0 2r ≥ là số tự nhiên thỏa 0 0 , , , 1 2 ... j s j s j s r rE E E+ + ∞= = = . Do ,j sE∞ Artin nên 0 , 1 j s rE + và suy ra 0 ,j s rE Artin. Lặp lại suy luận này ta suy ra 0 , 2 : ( ( , ) j s j s RE H H M N+= m Artin. ii. Tiếp tục sử dụng dãy phổ ở (i) ta suy ra dãy khớp: trong đó 2,2 d sK Kerd −= , ( )( )02, 22 ,d s d sRE H H M N+− −= m và ( )( )0, 1 12 ,d s d sRE H H M N+− −= m . Để chứng minh (ii), ta chỉ cần chứng minh K và , 13d sE − Artin. Xét đồng cấu 4, 1 2,2 2: d s d sE Eβ − + −→ . 2, 3 / d sE K Imβ− = và 2, 2,3 /d s d sE E L− −∞ = , với L là một môđun con Artin của 2,3d sE − . Ta có 2,d sE −∞ , 4, 12d sE − + Artin nên K Artin. Tương tự, ta có , 1 , 13 / d s d sE E L− −∞ ′= với 'L là mô đun con Artin của , 13d sE − . Từ đó ta có , 1 3 d sE − Artin.  Mệnh đề 2.2.15 Cho 0 1dimR ≤ . Khi đó ta có 0 1( , ( ))iR RH M H N+ m Artin với mọi i∈ . Chứng minh: Trường hợp 0 0dimR = : ta có 0 1 ( ) 0RH N =m . Do đó ta có 0 1( , ( ))iR RH M H N+ m Artin. Trường hợp 0 1dimR = : xét dãy phổ ( )0 , 2 : ( , ( )) , p q p q p q R R p E H M H N H M N + += ⇒m m Vì 0 1dimR = nên 0 ( ) 0 q RH N =m với mọi 1q > . Suy ra ,2 0p qE = với mọi 0,1q ≠ . Do vậy ta áp dụng [[17], 5.2.2] trong trường hợp đối ngẫu để có dãy khớp: 1,0 1 ,1 2,0 22 2 2( , ) ( , )p p p p pE H M N E E H M N+ + + +→ → → →m m 0 0 2,0 2 2 2 ( , ( )) ( , ( )) p p p R R RE H M N H M N+ + + += Γ = Γm m m Artin. Do vậy từ dãy khớp trên ta có 0 ,1 1 2 ( , ( )) p p R RE H M H N+= m Artin.  Ta nhắc lại một kết quả được dùng để chứng minh mệnh đề tiếp theo Định lí 2.2.16 (xem [[3], Theorem 2.5]) Cho 0 1dimR ≤ và i∈ . Khi đó ta có: i. R -môđun 00 0 / ( )iR RR H M+⊗m Artin. ii. R -môđun 0 ( ( ))iRH M+Γm và 0 1 ( ( ))iRH H M+m Artin. Mệnh đề 2.2.17 (xem [[8], 2.11]) Cho 0 1dimR ≤ . Khi đó ta có 0 ( , ( )) j i R RH M H N+m Artin với mọi , .i j∈ Chứng minh: Trường hợp 0 0dimR = : N hữu hạn sinh nên nó là 0m -xoắn. Theo Mệnh 1.5.12 ( )iRH N Artin+ nên nó là 0m -xoắn. Do đó, 0 ( , ( )) ( , ( ))j i j iR R R RH M H N Ext M H N+ +≅m . Suy ra ( , ( )) j i R RExt M H N+ Artin. Trường hợp 0 1dimR = : Ta chứng minh quy nạp theo j . • 0j = : Theo Mệnh đề 1.5.1, 0 0 0 ( , ( )) ( , ( ( )))i iR R R R RH M H N Hom M H N+ +≅ Γm m . Theo [[3], Theorem 2.5] ta có 0 ( ( ))iR RH N+Γm Artin. Vì thế theo kết quả suy ra từ Hệ quả 1.2.2 ta có 0 ( , ( ( )))iR R RHom M H N+Γm Artin. • 0j > : Giả sử mệnh đề trên đúng với mọi giá trị nhỏ hơn 0j > . Ta cần chứng minh mệnh đề đúng với j . M hữu hạn sinh nên tồn tại số nguyên dương t và dãy khớp ngắn các R -môđun sau: 0 0tK R M→ → → → Áp dụng hàm tử 0 ( , ( ))j iR RH H N+−m vào dãy khớp trên ta có dãy khớp: 0 0 0 1 ( , ( )) ( , ( )) ( , ( ))j i j i j t iR R R R R RH K H N H M H N H R H N+ + + − → →m m m Sử dụng giả thiết quy nạp ta có 0 1 ( , ( ))j iR RH K H N+ − m Artin. Sử dụng Định lí 2.2.17 mục b) ta có 0 1 ( , ( ))t iR RH R H N+m Artin. Ta cũng có 0 ( , ( ))j t iR RH R H N+m Artin với mọi 1j > . Vậy từ dãy khớp trên ta có 0 ( , ( ))j iR RH M H N+m Artin.  Mệnh đề 2.2.18 Cho 0 1dimR ≤ . Khi đó, với mọi số i∈ , môđun 0( , ) / ( , ) i i R RH M N H M N+ +m Artin. Chứng minh: 0 0dimR = : N là 0m -xoắn. Do đó ( , ) i RH M N+ Artin. Trường hợp 0 1dimR = : Áp dụng hàm tử ( , )iRH M+ − vào dãy khớp ngắn: 0 0 0 ( ) / ( ) 0R RN N N N→Γ → → Γ →m m ta được dãy khớp: 0 0 ( , ( )) ( , ) ( , / ( ))i i iR R R R RH M N H M N H M N N+ + +Γ → → Γ →m m 0 1( , ( ))iR RH M N+ + Γm 0 ( )R NΓm là 0m -xoắn nên với mọi i ta có 0( , ( )) i R RH M N+ Γm Artin. Do vậy 00 0 / ( , )iR RR H M N+⊗m Artin khi và chỉ khi 0 00 0/ ( , / ( )) i R R RR H M N N+⊗ Γmm Artin. Vì thế ta có thể giả sử 0 ( ) 0R NΓ =m . Khi đó, tồn tại phần tử 0a∈m không là ước của 0 của N . Áp dụng hàm tử ( , )iRH M+ − vào dãy khớp ngắn: ta được dãy khớp 0 1dimR = nên /N aN là 0m -xoắn. Khi đó ( , / ) i RH M N aN+ Artin. Ta có 00 0 / ( , ) / ( , )i iR R RR H M N aH M N+ +⊗m Artin. Áp dụng hàm tử 00 0 / RR ⊗ −m vào dãy khớp trên ta có: 0 00 0 0 0 / ( , ) / ( , ) / ( , )i i iR R R R RR H M N R H M N aH M N+ + +⊗ ≅ ⊗m m . Vậy ta có điều phải chứng minh.  KẾT LUẬN 1. Trong luận văn này chúng tôi đã trình bày được một số vấn đề chủ yếu như sau: Mệnh đề 2.2.2 về tính triệt tiêu của môđun ( , )iRH M N+ Mệnh đề 2.2.3 về tính Artin của môđun 00 0 / ( , )iR RR H M N+⊗m . Mệnh đề 2.2.6 về tính Artin của ( , )iRH M N+ . Mệnh đề 2.2.7 về tính Artin của 0 ( ( , ))iR RH M N+Γm Một số mệnh đề về tính Artin của các môđun 0( , ) / ( , ) i i R RH M N H M N+ +m 0 1( , ( ))iR RH M H N+ m ,... 2. Các hướng mở cần tiếp tục nghiên cứu: Tìm các ví dụ và phản ví dụ minh họa cho các kết quả đã trình bày. Khái quát các kết quả về tính Artin của môđun đối đồng điều địa phương phân bậc sang trường hợp suy rộng. Tìm kiếm các điều kiện đủ khác để môđun đối đồng điều địa phương suy rộng phân bậc là Artin. Nghiên cứu các tính chất trên đối với môđun đối đồng điều địa phương suy rộng phân bậc tổng quát với M , N là các R -môđun phân bậc và I là một iđêan phân bậc tùy ý của R . Nghiên cứu các tính chất khác của môđun đối đồng điều địa phương suy rộng phân bậc và môđun đối đồng điều địa phương suy rộng tổng quát. Tóm lại, luận văn này chỉ mới là sự tiếp cận lí thuyết về môđun đối đồng điều địa phương bằng cách tìm hiểu, phân tích và tổng hợp các kết quả đã có sẵn. Để có những kết quả mới, đòi hỏi tác giả phải tiếp tục đi sâu nghiên cứu. Điều này cần nhiều thời gian và công sức. Trong thời gian tới chúng tôi sẽ tiếp tục nghiên cứu vấn đề này theo các hướng đã nêu. Chúng tôi hi vọng đề tài này cũng sẽ thu hút sự quan tâm của các bạn học viên cao học và trong các khóa sau đề tài này sẽ ngày càng hoàn thiện và thu được nhiều kết quả tốt hơn. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Atiyah M. F., Macdonald I. G. (1969), Introduction to commutative Algebra, Perseus Books Publishing. [2] Brodmann M., Fumasoli S., Tajarod R. (2002), “Local cohomology over homogeneous rings with one-dimensional local base ring”, Mathematics Subject Classification. [3] Brodmann M. P., Fumasoli S., Rohrer F. (2007), First lectures on local cohomology, University of Zürich. [4] Bruns W., Herzog J. (1993), Cohen - Macaulay Rings, Cambridge. [5] Brodmann M.P., Hellus M. (2002), "Cohomological patterns of coherent sheaves over projective schemes", J. Pure Appl. Algebra 172(2002), 165 - 182. [6] Brodmann M. P., Sharp R.Y. (1998), Local Cohomology: an algebraic introduction with geometric applications, Cambridge University Press. [7] Herzog J. (1970), Komplexe, Auflösungen und dualität in der lokalen Algeba, Habilitationsschrift, Universität Regensburg. [8] Ismael Akray, Adil Kadir Jabbar, Reza Sazeedeh (2012), “Some finiteness properties of generalized graded local cohomology modules”, International Journal of Algebra, Vol. 6, no. 11, 539 – 547. [9] Matsumura H. (1980), Commutative Algebra, Second Edition, Benjamin, Reading. [10] Nazer Zamani (2006), “On graded generalized local cohomology”, Achiv der Mathematik, Birkhäuser Verlag, Basel. [11] Rotman J. (1979), Introduction to homology algebra, Academic Press. [12] Rotthaus C., Sega L. M. (2005), “Some properties of graded local cohomology modules”, Journal of Algebra 283, pp. 232 – 247. [13] Sazeedeh R. (2007), “Artinianess of graded local cohomology modules”, AMS. [14] Suzuki N. (1978), “On the generalized local cohomology and its duality”, J. Math. Kyoto University, pp. 71 – 85. [15] Tahamman S. (2011), “Artinianess of graded generalized local cohomology modules”, Mathematics Scientific Journal, Vol. 7, No. 1, 107 -117. [16] Zamani N. (2003), “On the homogeneous pieces of graded generalized local cohomology modules”, Colloquium Mathematicum, Vol. 97, No. 2. [17] Weibel C.A. (1994), An introduction to homological algebra, Camb.Univ.Press.