Luận văn Về bài toán điều khiển ngược trong hệ vi phân tập

. 2.2.2 Một vài dạng toán điều khiển tập tối ưu Trong bài toán điều khiển tập tối ưu thì hàm mục tiêu thể hiện chất lượng đầu ra của hệ thống, vì thế có thể phân loại các bài toán theo dạng hàm mục tiêu I. 2.2.2.1 Điều khiển tập của hệ tuyến tính liên tục Một hệ tuyến tính liên tục có điều khiển tập được mô tả bởi hệ vi phân tập:  DH X (t ) = A(t)X (t) + B(t)U (t). Trong đó: t ∈ R + , X (t ) ∈ K C ( R n ) là tập gốc và U (t ) ∈ K C ( R n ) là tập điều khiển; A(t), B(t) là các toán tử phụ thuộc t. Lớp tập U(t) khả tích địa phương và nhận giá trị trong K C ( R n ) . Nghiệm của hệ có thể viết dưới dạng: t to Với X (t, to ) - tập nghiệm cơ bản của hệ tuyến tính: DH X (t ) = A(t)X (t). 2.2.2.2 Điều khiển tập của hệ phi tuyến ⎧DH X = F (t, X (t),U(t)) ⎨ n + Với F (t, X (t),U(t)) là tập ánh xạ phi tuyến đảm bảo hệ có nghiệm dưới t , X s, X (s),U(s) to 2.2.2.3 Điều khiển của hệ vi phân tập Luận văn Thạc Sĩ - Ngành Giải Tích – Mã ngành: 60 46 01  25( ) ( ) a) Giải bài toán tối ưu hệ vi phân tập: ⎨X(t) ∈ K C C R p ; ⎪ R , U(t) ∈ K ⎩I(U) → max X (to o o o + ∫ X(t, s)B(s)U(s)ds . , X ,U ) = X '(t, t )X ( ) ⎪⎩X (to o C R , t ∈ R ) = X , X (t) ∈ K dạng tích phân: X (t, to o ) = Xo + ∫ F ( ) ds . ⎪ Về bài toán điều khiển ngược trong hệ vi phân tập ⎪ ⎪  n  ) Dạng tuyến tính của bài toán điều khiển tập của hệ vi phân tập: ⎨ . U 2.2.3 Hệ vi phân tập mờ 2.2.3.1 Trạng thái mờ Thông thường chúng ta quen dùng các biến ngôn ngữ để chỉ trạng thái, tính chất sự kiện hoặc đối tương.Ví dụ: a) Tốc độ: cực chậm, rất chậm,chậm, vừa, nhanh, rất nhanh và cực nhanh; b) Độ chính xác: Hỏng hóc, không chuẩn, vừa, chính xác và hoàn hảo; c) Khả năng: kém (xấu), chưa được, tạm được, được,vừa phải, tốt; d) Giá thành: đắt, đắt vừa, trung bình, rẻ vừa, rẻ, quá rẻ; e) Độ tin cậy: xấu tệ (không tin được), tạm chấp nhận, trung bình, chấp nhận được, tốt (đáng tin cậy)…. Tất cả ngôn ngữ, trạng thái có thể logic hóa chúng bằng trãi nghiệm, kinh nghiệm tri thức, các nhận thức quy ước của con người, khi đó biến trạng thái có một hàm giá trị: V ( X ) ∈ ⎡0;1⎦ với X là một tập chứa biến. 0;1 2.2.3.2 Tập mờ và không gian mờ Chúng ta đặt En là không gian chứa tất cả các tập mờ U của Rn sao cho chúng thỏa mãn: (1) U : R n → I = [0,1] ; n (3) [U]0 = ∪ [U]á là tập con bị chặn trong R n . á∈[0,1] 2.2.3.3 Hệ vi phân tập mờ Hệ vi phân tập mờ ở dạng tổng quát: Luận văn Thạc Sĩ - Ngành Giải Tích – Mã ngành: 60 46 01  26⎧DH X (t ) = F (t, X (t ),U (t ) ⎪ ⎨ X (t0 0 ∈ KC ( R ) ) = X ⎪⎩J ( ) → min U ⎧⎪DH X (t) = A(t) X (t) + B (t )U (t) J ( ) → min ⎪⎩ Suy luận ngôn ngữ V(X) là một hàm thuộc liên tục nhận giá trị trên ⎡⎣ ⎦⎤ (2) [U]á = {X ∈ R |U(X) ≥ á} là tập compact trong Rn với mọi á ∈ [0,1]; ⎣ ⎤ Về bài toán điều khiển ngược trong hệ vi phân tập ⎪ ⎪ Hệ mờ vi phân dạng tuyến tính (khi đầu vào U và biến trạng thái X ∈ S ⊂ Ù đều mờ): ⎨ . U 2.2.3.4 Các nguyên lý của điều khiển tập mờ Cho một hệ thống tập mờ, khi đó các nguyên lý điều khiển bao gồm: a) Tiếp cận một cách tổng quát Mô tả các trạng thái của hệ thống, các đặc trưng tác động lên tiến trình (đều mờ) theo các luật mờ của hệ thống. Ví dụ. Chuyển động của một chiếc xe ô tô có các luật như sau: Nếu xe chạy lệch xa tâm đường thì bẻ tay lái, vòng nhẹ để xe đi vào hướng chuẩn. Các biến trạng thái: độ lệch, vị trí, hướng đi, … Các biến điều khiển: bẻ tay lái, góc lái,… b) Hình thức hóa các biến ngôn ngữ, trạng thái Sau khi xác định được các biến trạng thái, biến điều khiển phải tiến hành mã hóa chúng một cách hình thức bằng các kí hiệu và tạo ra tập các biến trạng thái ,…. c) Điều khiển tập mờ - Bộ xấp xỉ tổng quát Có thể xem các điều khiển tập mờ như là một bộ xấp xỉ tổng quát, nghĩa là một tập điều khiển F(U1,U2 ,...,U p ) với một độ chính xác å - xấp xỉ, trong đó F là tập ánh xạ liên tục xác định trên tập mờ (U1,U2 ,...,U p ) - compact có số chiều hữu hạn. 2.2.3.5 Các phương pháp của điều khiển tập mờ Đối với các bài toán điều khiển tập các hệ mờ, chúng ta lần lượt làm quen với các phương pháp phổ biến sau đây: a) Phương pháp tiếp cận lôgic mờ Phương pháp tiếp cận logic mờ (*) là phương pháp dựa trên suy luận logic của đại số gia tử: Cần phải xác định luật mờ: R1- Nếu V là A thì W sẽ là B; Tích hợp các luật: R2 - Nếu W1 là B1 và W2 là B2 thì thêm vào U sẽ là C,…; Luận văn Thạc Sĩ - Ngành Giải Tích – Mã ngành: 60 46 01  27⎧D X = F (t, X (t) ,U (t)) ⎪ H ⎨X (t0 ) = X0 ∈ S ⊆ Ù,U ( ) ∈U t ⎪⎩J ( ) → min U ⎧⎪DH X = A(t) X (t) + B (t)U (t) ⎪⎩J ( ) → min Về bài toán điều khiển ngược trong hệ vi phân tập Xác định bộ luật của hệ thống là hoàn toàn mờ hoặc một phần rõ. b) Phương pháp Mamdani – Larsen Phương pháp Mamdani – Larsen là phương pháp logic mờ sử dụng t – chuẩn của Zadeh và t – chuẩn xác suất trong phép giao và các phép kéo theo RM và RP. Phương pháp Mamdani là kết quả trung gian có hàm thuộc như sau:  ∀y ∈ Y , fB1 (y) = min ⎣min ( f11(x1), f12 (x2 )) , f1(y)⎤ và phương pháp Larsen: ∀y ∈ Y , fB1 (y) = ( f11( x1 ), f12 ( x2 )). f1(y) . c) Phương pháp nội suy Phương pháp nội suy là phương pháp sử dụng các hàm thuộc của các biến trong các luật đơn điệu. Tính đơn điệu cho phép tiến hành nội suy giữa các giá trị của Y có được bởi các luật khác nhau R1, R2… á1 = f1(y1 ) = min ( f11( x1 ), f12 ( x2 )) ; á 2 = f2 (y2 ) = min ( f21(x1), f22 ( x2 )). d) Phương pháp mờ vi phân: Phương pháp Mamdani – Larse là phương pháp logic mờ sử dụng t- chuẩn trong phép giao. Luận văn Thạc Sĩ - Ngành Giải Tích – Mã ngành: 60 46 01  28⎡ ⎦' ' Về bài toán điều khiển ngược trong hệ vi phân tập Chương III BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN NGƯỢC TRONG HỆ VI PHÂN TẬP Gần đây, lĩnh vực phương trình vi phân đã được nghiên cứu một cách trừu tượng hơn. Thay vì khảo sát dáng điệu của một nghiệm, người ta đã khảo sát một bó nghiệm (tập các nghiệm). Thay vì nghiên cứu một phương trình vi phân, người ta nghiên cứu một bao vi phân. Đặc biệt có thể nghiên cứu phương trình vi phân mờ mà cả biến và đạo hàm của nó đều là các tập mờ. Mục đích chính của chương này là chúng tôi sẽ thiết lập bài toán điều khiển ngược trong hệ vi phân tập từ một bài toán điều khiển trong hệ vi phân tập. Cụ thể là ta đi tìm tập điều khiển U(t) để cho hệ SCDE nhận X(t) làm tập nghiệm, bài toán này được gọi là bài toán điều khiển ngược (feedback control). Cuối cùng là chúng tôi trình bày ứng dụng của điều khiển ngược cho một số bài toán có liên quan được xét trong hệ vi phân tập. §3.1 HỆ VI PHÂN TẬP CÓ ĐIỀU KHIỂN Trong mục này, tác giả trình bày sự tồn tại nghiệm của hệ vi phân tập có điều khiển, xấp xỉ nghiệm và sự sai lệch nghiệm của hệ vi phân tập có điều khiển.(xem [16 - 20]). 3.1.1 Sự tồn tại nghiệm của hệ vi phân tập có điều khiển Hệ vi phân tập có điều khiển dạng: DH X (t) = F (t, X (t ) ,U (t)) (1) Trong đó: X (t0 ) = X0 ∈ Kc ( R n ) , X (t) ∈ Kc ( R n ) ,U (t) ∈ Kc ( R p ) , t ∈ ⎡t0 ,T ⎤ = I ⊂ R+ n p n c c c p c là tập tất cả các điều khiển chấp nhận được. Ánh xạ: X ∈ C1 ⎡I , Kc ( R n )⎤ được gọi là nghiệm của hệ (1) trên I nếu nó thỏa mãn (1) trên I. Do X(t) là khả vi liên tục nên ta có: t t0 Kết hợp với bài toán giá trị ban đầu (1), ta có: Luận văn Thạc Sĩ - Ngành Giải Tích – Mã ngành: 60 46 01  29và F : I × K ( R ) × K ( R ) → K ( R ). Điều khiển khả tích U : I → K ( R ) gọi là điều khiển chấp nhận được. Đặt U’ X (t) = X0 + ∫ DH X ( s) ds, t ∈ I . ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ Về bài toán điều khiển ngược trong hệ vi phân tập t t = X0 + ∫ F s, X s ,U s t0  (2) Trong đó tích phân được sử dụng là tích phân Hukuhara. Ta thấy rằng X(t) là nghiệm của (1) nếu và chỉ nếu nó thỏa mãn (2) trên I. Định lí 3.1.1 (xem [21]) Giả sử: (a) F ∈ C ⎡⎣ R0 , KC ( R n )⎤⎦ và D [ F (t, X ),è ] ≤ M 0 , với: R0 = J × B( X 0 , b), B( X 0 , b) = ⎡ X ∈ K C (R n ) : D [ X , X 0 ] ≤ b⎤ trên R0 ; (b) g ∈ C ⎡ J × [0, 2b], R+ ⎦ , g (t, w) ≤ M 1 trên J × [0, 2b] , g (t,0) ≡ 0 , g (t, w) là không giảm với w cho mỗi t ∈ J và w(t ) ≡ 0 là nghiệm duy nhất của w ' = g (t, w), w(t0 ) = 0 trên J. (c) D[ F (t, X ), F (t,Y )] ≤ g (t, D[ X ,Y ]) trên R0 ; t (t ) = X t0 a, , M ⎩ M ⎭ nghiệm duy nhất X (t ) của (SDE) trên J 0 . Chứng minh: Vì : t (t ), X t0 ⎡ t ⎤ ⎣ t0 ⎦ t t0 ≤ M 0 (t − t0 ) ≤ M 0a ≤ b. Do đó: { X n (t )} là xác định trên J 0 . Đặt:  w0 (t ) = M (t − t0 ); t wn+1 (t ) = ∫ g (s, wn (s))ds , t ∈ J 0 , n = 0,1, 2... t0 Do tính đơn điệu của g (t, w) theo w ta có {wn (t )} là xác định và: 0 ≤ wn+1 (t ) ≤ wn (t ) , t ∈ J 0 . Luận văn Thạc Sĩ - Ngành Giải Tích – Mã ngành: 60 46 01  30( ) X ( ) ( ) ( ) ds, t ∈ I . thì X n+1 0 + ∫ F (s, X n (s))ds , n = 0,1, 2... tồn tại trên J 0 = [t0 , t + ç ) , với ç = min ⎨ ⎬ , M = max {M 0 1} là hàm liên tục và hội tụ đều tới ⎧ b ⎫ ⎡ ⎤ D[ X n+1 0 ] = D ⎢ X 0 + ∫ F (s, X n (s))ds, X 0 ⎥ ⎣ ⎦ = D ⎢∫ F (s, X n (s))ds,è ⎥ ≤ ∫ D[ F (s, X n (s))ds,è ]ds ⎣ ⎦ ⎣ ⎤ Về bài toán điều khiển ngược trong hệ vi phân tập Bởi vì wn' (t ) ≤ g (t, wn−1 (t )) ≤ M 1 và tính đơn điệu của dãy {wn (t )} , theo định lí n→∞ Ta có: t (t ), X ) = w t0 Giả sử với k > 1, ta có: D[ X k (t ), X k −1 (t )] ≤ wk −1 (t ) trên J 0 Ta có: t (s)), F (s, X t0 Do (c) và tính đơn điệu của g (t, w) ta có: t (s)), F ( X t0 t t0 Do vậy: D [ X n+1 (t ), X n (t )] ≤ wn (t ) trên J 0 với mọi n. Đặt: u(t ) = D[ X n+1 (t ), X n (t )] , t ∈ J 0 , thì: D +u(t ) ≤ g (t, D[ X n (t ), X n−1 (t )]) ≤ g (t, wn−1 (t )) , t ∈ J 0 Cho n < m . Đặt: v(t ) = D[ X n (t ), X m (t )] thì: D +v(t ) ≤ D[ DH X n (t ), DH X m (t )] = D[ F (t, X n−1 (t )), F (t, X m−1 (t ))] ≤ D [ F (t, X n (t )), F (t, X n−1 (t ))] + D [ F (t, X n (t )), F (t, X m (t ))] + D [ F (t, X m (t )), F (t, X m−1 (t ))] ≤ g (t, wn−1 (t )) + g (t, wm−1 (t )) + g (t, D[ X n (t ), X m (t )]) ≤ g (t, v(t )) + 2 g (t, wn−1 (t )) , t ∈ J 0 Do tính đơn điệu của g (t, w) và wm−1 ≤ wn−1 , {wn (t )} là dãy giảm. Theo định lí so sánh 1.3.2 trong [12] của V. Lakshmikantham và S. Leela thì: v(t ) ≤ rn (t ) , t ∈ J 0 với rn (t ) là nghiệm max của phương trình: ' cho mỗi n. Luận văn Thạc Sĩ - Ngành Giải Tích – Mã ngành: 60 46 01  31Ascoli-Arzela thì lim wn (t ) = w(t ) hội tụ đều trên J 0 , theo (b) thì w(t ) ≡ 0 trên J 0 . D[ X 1 0 ] ≤ ∫ D[ F (s, X 0 ),è ] ≤ M (t − t0 0 (t ) D [ X k +1 (t ), X k (t )] ≤ ∫ D[ F (s, X k k −1 (s))]ds D [ X k +1 (t ), X k (t )] ≤ ∫ g ( s, D[ F ( X k k −1 (s))])ds ≤ ∫ g ( s, wk −1 (s))ds = wk (t ) rn ≤ g (t, rn ) + 2 g (t, wn−1 (t )), rn (t0 ) = 0 Về bài toán điều khiển ngược trong hệ vi phân tập Vì khi n → ∞ , 2 g (t, wn−1 (t )) → 0 hội tụ đều trên J 0 .Theo bổ đề 1.3.1 trong [12] của V. Lakshmikantham và S. Leela thì rn (t ) → 0 khi n → ∞ hội tụ đều trên J 0 . Do đó X n (t ) hội tụ đều tới X (t ) và X (t ) là một nghiệm của (SDE). Để chứng minh duy nhất, đặt Y (t ) là một nghiệm khác của (SDE) trên J 0 và m(t ) = D[ X (t ),Y (t )] , do m(t0 ) = 0 thì: D + m(t ) ≤ g (t, m(t )) , t ∈ J 0 và m(t ) ≤ r (t, t0 ,0) , t ∈ J 0 . Theo định lí 3.1.1 và r (t, t0 ,0) = 0 thì X (t ) = Y (t ) trên J 0 . ( ) Tiếp theo chúng ta sẽ xét tính liên tục của nghiệm. Trước tiên ta cần chứng minh bổ đề sau: (R n ), K G(t, r ) = max ⎡⎣ D[ F (t, X ),è ] : D[ X , X 0 ] ≤ r ⎤⎦ Giả sử rằng r * (t, t0 ,0) là nghiệm max của w ' = G(t, w), w(t0 ) = 0 trên J. Đặt: X (t ) = X (t, t0 , X 0 ) là nghiệm của (SDE) thì: D[ X (t ), X 0 ] ≤ r * (t, t0 ,0) , t ∈ J . Chứng minh: Đặt m(t ) = D [ X (t ), X 0 ] , t ∈ J thì theo hệ quả 3.1.1 thì: + = D [ F (t, X (t )),è ] D[ X , X 0 ]≤m (t ) = G(t, m(t )) Theo định lí 1.4.1 trong [12] của V. Lakshmikantham và S. Leela thì: D[ X (t ), X 0 ] ≤ r * (t, t0 ,0) , t ∈ J . Định lí 3.1.2 Giả sử rằng (a), (b), (c) của định lí 3.1.1 thỏa mãn và giả sử thêm rằng nghiệm w(t, t0 , w0 ) của: w ' = g (t, w), w(t0 ) = 0 trên J là liên tục tại mọi điểm (t0 , w0 ) thì nghiệm X (t ) = X (t, t0 , X 0 ) của (SDE) là liên tục tương ứng tại (t0 , X 0 ) . Chứng minh: Cho X (t ) = X (t, t0 , X 0 ) và Y (t ) = Y (t, t0 ,Y0 ) , X 0 ,Y0 ∈ K C ( R n ) là hai nghiệm của (SDE). Đặt m(t ) = D[ X (t ),Y (t )] theo định lí 3.1.1 ta có: D[ X (t ),Y (t )] ≤ r (t, t0 , D[ X 0 ,Y0 ]) , t ∈ J Vì lim0 r (t, t0 , D[ X 0 ,Y0 ]) = r (t, t0 ,0) hội tụ đều trên J và do r (t, t0 ,0) = 0 nên lim X (t, t0 , X 0 ) = Y (t, t0 ,Y0 ) là hội tụ đều. Vậy X (t, t0 , X 0 ) là liên tục tại X 0 . X 0 →Y0 Luận văn Thạc Sĩ - Ngành Giải Tích – Mã ngành: 60 46 01  32Bổ đề 3.1.1 (xem [21]) Cho F ∈ C ⎡⎣ J × K C C (R n )⎤⎦ và đặt: D m(t ) ≤ D[ DH X (t ),è ] ≤ max D[ F (t, X ),è ] X 0 →Y Về bài toán điều khiển ngược trong hệ vi phân tập Để chứng minh liên tục tại t0 . Đặt X (t ) = X (t, t0 , X 0 ) và Y (t ) = Y (t,ô 0 ,Y0 ) là hai nghiệm của (SDE), ô 0 > t0 và m(t ) = D[ X (t ),Y (t )] với m(ô 0 ) = D[ X (ô 0 ), X 0 ] , theo bổ đề 3.1.1 thì: m(ô 0 ) ≤ r * (ô 0 , t0 ,0); và theo định lí 3.1.1, ta có:  m(t ) ≤ r (t ) , t ≥ ô 0 . trong đó: r (t ) = r (t,ô 0 , r * (ô 0 , t0 ,0)) là nghiệm max của phương trình w ' = g (t, w) Vì r * (ô 0 , t0 ,0) = 0 ta có: ô 0 →t0 hội tụ đều trên J . Do giả thiết r (t, t0 ,0) = 0 nên X (t, t0 , X 0 ) là liên tục tại t0 .  ( ) 3.1.2 Xấp xỉ nghiệm của hệ vi phân tập có điều khiển Hệ vi phân tập có điều khiển dạng: DH X (t) = F (t, X (t ) ,U (t)) (3) Trong đó: X (t0 ) = X0 ∈ Kc ( R n ) , X (t) ∈ Kc ( R n ) ,U (t) ∈ Kc ( R p ) , t ∈ ⎡t0 ,T ⎤ = I ⊂ R+ n p n c c c p c là tập tất cả các điều khiển chấp nhận được. Ánh xạ: X ∈ C1 ⎡I , Kc ( R n )⎤ được gọi là nghiệm của hệ (1) trên I nếu nó thỏa mãn (1) trên I. Do X(t) là khả vi liên tục nên ta có: t t0 Kết hợp với bài toán giá trị ban đầu (1), ta có: t t s ,U s t0  (4) Trong đó tích phân được sử dụng là tích phân Hukuhara. Ta thấy rằng X(t) là nghiệm của (3) nếu và chỉ nếu nó thỏa mãn (4) trên I. ⎡ R n × K R p , K ⎣ ⎦ (i) D ⎡F (t, X (t) ,U (t) ,è )⎤ ≤ G (t, D ⎡ X,è ⎤) ,(t, X,U ) ∈ I × Kc ( R n ) ×U, trong đó G ∈ C ⎡I × R+ , R+ ⎤ , G (t,W ) là không giảm theo (t,W); Luận văn Thạc Sĩ - Ngành Giải Tích – Mã ngành: 60 46 01  33lim r (t,ô 0 , r * (ô 0 , t0 ,0)) = r (t, t0 ,0) và F : I × K ( R ) × K ( R ) → K ( R ). Điều khiển khả tích U : I → K ( R ) gọi là điều khiển chấp nhận được. Đặt U’ X (t) = X0 + ∫ DH X ( s) ds, t ∈ I . ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ( ) X ( ) = X0 + ∫ F s, X ( ) ( ) ds, t ∈ I . Định lý 3.1.3 Giả sử rằng F ∈ C I × Kc ( ) c ( ) c ( R n )⎤ và ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ Về bài toán điều khiển ngược trong hệ vi phân tập (ii) Nghiệm lớn nhất R (t,W0 ) của phương trình vi phân: W ' = G (t,W ) ,W (t0 ) = W0 ≥ 0 tồn tại trên I. Khi đó tồn tại nghiệm X (t) = X (t, X0 ,U (t)) của phương trình (3) thỏa mãn: D ⎡ X (t) , X0 ⎤ ≤ R (t,W0 ) − W0 , t ∈ I ,W0 = D ⎡ X0 ,è ⎤ Ta xét giả thiết sau: Ánh xạ F : R+ × Kc ( R n ) × Kc ( R p ) → Kc ( R n ) thỏa mãn điều kiện: D ⎡F (t, X (t) ,U (t) , F (t, X (t) ,U (t)))⎤ ≤ C (t){D ⎡ X (t) , X (t)⎤ + D ⎡U (t) ,U (t)⎤}  (5) n (6) trong đó C(t) là hàm thực dương và khả tích trên I. T t0 K > 0 trên I, nghĩa là C (t) ≤ K với hầu khắp nơi t ∈ I . Hàm Y (t) = Y (t, t0 ,Y0 ,U (t) ,å ) ,å > 0 gọi là nghiệm xấp xỉ - å của (1) nếu: Y ∈ C1 ⎡I , Kc ( R n )⎤ ,Y (t0 , t0 ,Y0 ,U (t0 ) ,å ) = Y0 , D ⎣DHY (t) , F (t,Y (t) ,U (t))⎦ ≤ å , t ≥ t0 ,U (t) ∈U. Trong trường hợp đặc biệt å = 0 , Y(t) là nghiệm của (1). Chứng minh các định lý 3.1.4 – 3.1.5 dưới đây tương tự như chứng minh các định lý 3.1.2 – 3.1.3. Định lý 3.1.4 ⎡ R n × K R p , K ⎣ ⎦ n c D ⎣F (t, X (t) ,U (t) , F (t,Y (t) ,U (t)))⎦ ≤ G (t, D ⎡ X (t) ,Y (t)⎤) , R b) Giả sử thêm R (t, t0 ,W0 ) là nghiệm lớn nhất của phương trình: W ' = G (t,W ) + å ,W (t0 ) = W0 ≥ 0 tồn tại trên ⎡t0 , +∞) Luận văn Thạc Sĩ - Ngành Giải Tích – Mã ngành: 60 46 01  (7) 34⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ với mọi t ∈ I; U (t) ,U (t) ∈U; X (t) , X (t) ∈ Kc ( R ) , Đặt: C ' = ∫ C (t) dt. Do C(t) khả tích trên I nên bị chặn hầu khắp nơi bởi số ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ a) Giả sử F ∈ C R+ × Kc ( ) c ( ) c ( R n )⎤ và với (t, X (t) ,U (t)) ,(t,Y (t) ,U (t)) ∈ I × K ( R ) ×U , ta có: trong đó G ∈ C ⎡⎣R 2 + + ⎤⎦ . ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ⎣ Về bài toán điều khiển ngược trong hệ vi phân tập với X (t) = X (t, t0 , X0 ,U (t)) là nghiệm bất kỳ của (4) và Y (t) = Y (t, t0 ,Y0 ,U (t) ,å ) là nghiệm xấp xỉ - å của (2) tại với t ≥ t0 .Khi đó ,Y ,Y Với h > 0 khá nhỏ, sử dụng tính chất của mê tríc D0 , ta có: M (t + h) − M (t) = D ⎡ X (t + h) ,Y (t + h)⎤ − D ⎣ X (t) ,Y (t)⎦ Sử dụng bất đẳng thức tam giác, ta có: D [ X (t + h),Y (t + h)] ≤ D ⎡ X (t + h), X (t ) + hF (t, X (t ),U (t ))⎤ + D ⎡⎣ X (t ) + hF (t, X (t ),U (t )),Y (t + h)⎤⎦ ≤ D ⎡⎣ X (t + h), X (t ) + hF (t, X (t ),U (t ))⎤⎦ + D ⎡⎣Y (t ) + hF (t,Y (t ),U (t )),Y (t + h)⎤⎦ + D ⎡⎣ X (t ) + hF (t, X (t ),U (t )) ,Y (t ) + hF (t,Y (t ),U (t ))⎤⎦ ≤ D ⎡⎣ X (t + h), X (t ) + hF ( t, X (t ),U (t ))⎤⎦ + D ⎡⎣Y (t ) + hF (t,Y (t ),U (t )),Y (t + h)⎤⎦ + D ⎡⎣ X (t ) + hF (t, X (t ),U (t )) , X (t ) + hF (t,Y (t ),U (t ))⎤⎦ + D ⎡⎣ X (t ) + hF (t,Y (t ),U (t )) ,Y (t ) + hF (t,Y (t ),U (t ))⎤⎦ ≤ D ⎡⎣ X (t + h), X (t ) + hF (t, X (t ),U (t ))⎤⎦ + D ⎡⎣Y (t ) + hF (t,Y (t ),U (t )),Y (t + h)⎤⎦ + D ⎡⎣hF (t, X (t ),U (t )) , hF (t,Y (t ),U (t ))⎤⎦ + D ⎡ X (t ),Y (t )⎦ Do đó:  M (t + h) − M (t ) M (t )  ≤  1 h  t 1 h 1 h Suy ra: Luận văn Thạc Sĩ - Ngành Giải Tích – Mã ngành: 60 46 01  35D ⎡ X (t) ,Y (t)⎦ ≤ R (t, t0 ,W0 ) , t ≥ t0 , D ⎡ X0 0 ⎤ ≤ W0 . Chứng minh: Đặt M (t) = D ⎡⎣ X (t) ,Y (t)⎤⎦ sao cho: M (t0 ) = D ⎡⎣ X0 0 ⎤⎦ . ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ⎣ ⎤ D ⎡⎣ X (t + h), X (t ) + hF ( t, X (t ),U ( ))⎤⎦ + D ⎡⎣Y (t ) + hF (t,Y (t ),U ( )) ,Y (t + h)⎤⎦ t + D ⎡⎣hF (t, X (t ),U (t )) , hF (t,Y (t ),U (t ))⎤⎦ . Về bài toán điều khiển ngược trong hệ vi phân tập D + M (t ) = limsup +  1 h  [ M (t + h) − M (t )] ⎡ X (t + h) − X (t ) ⎤ + + D ⎡ F (t, X (t ),U (t )) , F (t,Y (t ),U (t ))⎦ ⎡ Y (t + h) − Y (t ) ⎤ + Do X (t) ,Y (t ) là khả vi, giả thiết a) và Y(t) là nghiệm xấp xỉ - å nên ta có: D + M (t ) ≤ G (t, M (t )) + å , M (t0 ) ≤ W0 , t ≥ t0 Từ đó: M (t ) ≤ R(t, t0 ,W0 ) , t ≥ t0 . ( ) 3.1.3 Sự sai lệch nghiệm của hệ vi phân tập có điều khiển Ta có hệ quả trực tiếp sau đây về ước lượng giữa nghiệm và nghiệm xấp xỉ. Hệ quả 3.1.2 (xem [16]) Sử dụng giả thiết của định lý 3.1.4 với G (t,W ) = LW , L > 0, ta có: L t −t ) å L t −t L Định lý 3.1.5 [xem 16] a) Giả sử F ∈ C ⎡R+ × Kc ( R n ) × Kc ( R p ) , Kc ( R n )⎤ và với : n c 1 h→0+ ≤ G (t, D ⎡ X (t) ,Y (t)⎤) , trong ñoù G ∈ C ⎡R 2 + , R ⎤ . (8) b) Giả sử thêm R (t, t0 ,W0 ) là nghiệm lớn nhất của phương trình: W ' = G (t,W ) + å ,W (t0 ) = W0 ≥ 0, tồn tại trên ⎡t0 , +∞) với X (t) = X (t, t0 , X0 ,U (t)) là nghiệm bất kỳ của (3) và Y (t) = Y (t, t0 ,Y0 ,U (t) ,å ) là nghiệm xấp xỉ - å của (1) tại với t ≥ t0 . Khi đó: ,W ,Y Xem chứng minh chi tiết trong [16]. Luận văn Thạc Sĩ - Ngành Giải Tích – Mã ngành: 60 46 01  36h→0 , F (t, X (t ),U (t ))⎥ ≤ limsup D ⎢ ⎣ h ⎦ h→0 , F (t,Y (t ),U (t ))⎥ . + limsup D ⎢ ⎣ h ⎦ h→0 ⎣ ⎤ ( ) D ⎣⎡ X (t, t0 0 0 0 ,å )⎦⎤ ≤ D ⎣⎡ X0 0 ⎦⎤ e ( 0 + , X ) ,Y (t, t ,Y ,Y e ( 0 ) − 1 , t ≥ t0 . (t, X (t) ,U (t)) ,(t, X (t) ,U (t)) ∈ I × K ( R ) ×U , ta có: lim sup {D ⎡ X ( ) + hF (t, X ( ) ( )) ,Y ( ) + hF (t,Y ( ) ( )) − D ⎡⎣ ⎦⎤ ⎤} t t ,U t t t ,U t X ( ) ( ) t ,Y t h ⎣ ⎦ D ⎡ X (t) ,Y (t)⎦ ≤ R (t, t0 0 ) , t ≥ t0 , D ⎡ X0 0 ⎤ ≤ W0 . ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ Về bài toán điều khiển ngược trong hệ vi phân tập §3.2 ĐIỀU KHIỂN NGƯỢC ĐỐI VỚI HỆ VI PHÂN TẬP 3.2.1 Bài toán điều khiển ngược Trong [11], Giáo sư V. Lakshmikantham và một số tác giả khác đã xét đến phương trình vi phân tập (SDE): DH X (t ) = F (t, X (t )) (SDE) (1) Ở đây: X (t0 ) = X 0 ∈ K c ( R n ) , X (t ) ∈ K c ( R n ) , t ∈[t0 ,T ] = I ⊂ R+ . và F : I × K C ( R n ) → KC (R n ). Trong [16 – 22], ta đã xét đến một phương trình vi phân điều khiển tập (SCDE) có dạng: DH X (t ) = F (t, X (t ),U (t )) (SCDE) (2) Trong đó: X (t0 ) = X 0 ∈ K c ( R n ) , X (t ) ∈ K c ( R n ) , t ∈[t0 ,T ] = I ⊂ R+ và (R n ) × K ( R p ), K Tập nghiệm của nó có dạng: n Trong hệ vi phân tập, ta có thể xây dựng các bài toán liên quan, ví dụ như: sự tồn tại nghiệm, nghiệm bị chặn, ổn định, điều khiển được, tối ưu,…, trong đó có rất nhiều bài toán liên quan đến điều khiển ngược: −1  (3) Tức là ta cần phải tìm tập điều khiển U(t) của (3) để X(t) là nghiệm của (2). Khi đó bài toán (3) được gọi là bài toán điều khiển ngược (feedback control) của bài toán điều khiển (2) trong hệ SCDE. Trong luận văn này, chúng ta làm quen với một số điều khiển ngược sau đây được xét trong hệ vi phân tập. 3.2.2 Điều khiển ngược với bài toán điều khiển được hoàn toàn n p n  (4) Định nghĩa 3.2.2 (xem [21]) Hệ vi phân điều khiển tập SCDE (2) được gọi là: ( (GC): Điều khiển được hoàn toàn (Global controlable) nếu mỗi n Luận văn Thạc Sĩ - Ngành Giải Tích – Mã ngành: 60 46 01  37F ∈ C ⎡⎣ I × K C C C (R n )⎤⎦ , U (t ) ∈ KC ( R p ) . X(t) = X(t0, X 0, t, U(t)) ∈ KC(R ). U (t ) = h( X (t )) = − B W0 (t1, t )L−t11[W0 (t1, t0 ) X 0 − X 1 ] ( ,X ) ∈ K Định nghĩa 3.2.1 (xem [21]) Tập nghiệm X 0 1 C(R ) sẽ điều khiển được nếu sau thời gian t1 tìm được một tập điều khiển U(t) ∈ KC(R ) sao cho: ) = X(t , X , t , U(t )) = X ∈ K X(t1 0 0 1 1 1 C(R ) ,X ) ∈ K X 0 1 C(R ) là điều khiển được. (5) Về bài toán điều khiển ngược trong hệ vi phân tập n n  (6) n n n n n  (7) n n p (ii) R(X 0) = ∪ R t(X 0). t>0  (9) Căn cứ từ (2) – (5) ta có: Định lý 3.2.1 (xem [21]) (i) Hệ vi phân điều khiển tập (SCDE) (2) là (GC) nếu với mỗi n n (ii) Hệ vi phân điều khiển tập (SCDE) (2) là (GA) nếu ta có: n (iii) Hệ vi phân điều khiển tập (SCDE) (2) là (GAZ) nếu với mỗi: n n Sau đây, ta xét nhiều loại hệ vi phân tập SCDE: 3.2.2.1 Hệ vi phân điều khiển tập tuyến tính dừng (SLSCDE) Ta xét một hệ vi phân điều khiển tập tuyến tính dừng SLSCDE: n (10) n n p n p n Khi đó toán tử Cauchy với: DHX(t) = AX(t) là W0(t, s) = W0(t, ô)W0(ô, s) , thì tập nghiệm được viết lại dưới dạng: t , X , t, U(t)) = W (t, t )X t0 Luận văn Thạc Sĩ - Ngành Giải Tích – Mã ngành: 60 46 01  (11) 38∈ K (GA): Có thể đạt được hoàn toàn (Global achievable) nếu mỗi X1 C(R ) ta có èn, X1 ∈ KC(R ) là điều khiển được. (GAZ): Có thể đạt được hoàn toàn (Global achievable) tới è ∈ KC(R ) nếu ∈ K , è ∈ K X1 C(R ) ta có X1 C(R ) là điều khiển được. ∈ K Giả sử rằng, tập (GA) từ X 0 C(R ) sau thời gian t: (i) R t(X 0) = {X(t) ∈ KC(R ) | ∃U(t) ∈ KC(R ) : X(t0, X 0, t, U(t)) = X(t)}; (8) ∈ K ) = K X 0 C(R ) ta có R(X 0 C(R ) R(èn ) = KC(R ) X 0 ∈ KC(R ) ta có è ∈ R(X 0). X(t) = AX(t) + BU(t), X(t ) = X ∈ K DH 0 0 C(R ) (R ) → K Ở đây A, B là các toán tử: A : KC C(R ); B : KC(R ) → KC(R ) , t ∈ I ⊂ R + , U(t) ∈ KC(R ) , tập nghiệm của nó có dạng: X(t) = X(t0, X 0, t, U(t)) ∈ KC(R ). X(t) = X(t0 0 0 0 0 + ∫ W0(t, s)BU(s)ds Về bài toán điều khiển ngược trong hệ vi phân tập Nếu ta đặt: L t =  t ∫ W0(t, s)W0(t, t0 )ds; t0 thì:  1 t1 t0  (t , s)W (t , t Định lý 3.2.2 (xem [21]) Hệ vi phân điều khiển tập tuyến tính dừng (SLSCDE) (10) là (GC) nếu và chỉ nếu tồn tại B−1 vaø L−1 . Chứng minh: a) Điều kiện đủ: Với L t = t ∫ W0(t, s)W0(t, t0 )ds , với mỗi t0  t1 > t0 ta tìm được p −1 −1  1  (12) Ta thay điều khiển của (12) vào trong (11) với khoảng thời gian ngắn t1 > t0 , ta có: t1 ) = X(t , X , t , U(t )) = W (t , t )X t0 t1 −1 −1 1 t0 t1 −1 −1 1 t0 −1 1 1 = W0(t1, t0 )X 0 − [W0(t1, t0 )X 0 − X1 ] = X1. n phân điều khiển tập tuyến tính dừng (10) là (GC). b) Điều kiện cần: Luận văn Thạc Sĩ - Ngành Giải Tích – Mã ngành: 60 46 01  39L t = ∫ W0 1 0 1 0 )ds. t tập điều khiển ngược U(t) ∈ KC(R ) trong loại này là: U(s) = −B W0(t1, s)L t [W0(t1, t0 )X 0 − X1 ] X(t1 0 0 1 1 0 1 0 0 + ∫ W0(t, s) BU(s)ds { } = W0 1 0 0 − ∫ W0 0 1 t 0 1 0 0 1 ] ds (t , t )X (t, s)B B W (t , s)L [W (t , t )X − X = W0 1 0 0 − ∫ W0 0 1 t 0 1 0 0 1 ]ds (t , t )X (t, s)BB W (t , s)L [W (t , t )X − X (t , t )X − L L [W (t , t )X − X = W0 1 0 0 t t 0 1 0 0 1 ] ( ,X ) ∈ K Điều đó nghĩa là cặp nghiệm: X 0 1 C(R ) là điều khiển được hoặc hệ vi Về bài toán điều khiển ngược trong hệ vi phân tập Cho hệ SLSCDE (10) là (GC) ta có thể chứng minh rằng tồn tại B−1 vaø L−1 . −1 không nhận thì SLSCDE (10) không điều khiển được. Nếu L−1 không tồn tại thì ta không có tập điều khiển ngược U(t). Vì thế hệ SLSCDE không là (GC). ( ) 3.2.2.2 Hệ vi phân điều khiển tập tuyến tính dừng với tập nhiễu (SLSCDEP): Ta xét hệ vi phân điều khiển tập tuyến tính dừng với tập nhiễu (SLSCDEP): DHX(t) = AX(t) + BU(t) + R(t, X(t), U(t)), (13) n n n p n p n Khi đó toán tử Cauchy với DHX(t) = AX(t) là W0(t, s) = W0(t, ô)W0(ô, s) , thì tập nghiệm được viết lại dưới dạng: t t , X , t, U(t)) = W (t, t )X t0 t0 Nếu ta đặt: L t =  t ∫ W0(t, s)W0(t, t0 )ds t0 Thì: t1 L t 1 = ∫ W0(t1, s)W0(t1, t0 )ds. t0 Cho: lim X →0  R(t, X, U) X  = 0.  (15) 3.2.2.3 Hệ vi phân điều khiển tập tuyến tính không dừng (USLSCDE) Xét một hệ vi phân điều khiển tập tuyến tính không dừng (USLSCDE): DHX(t) = A(t)X(t) + B(t)U(t) Luận văn Thạc Sĩ - Ngành Giải Tích – Mã ngành: 60 46 01 (16) 40Điều kiện cần của định lý 3.2.2 là hiển nhiên. Nếu toán tử B không có B nghĩa là B t t ) = X ∈ K X(t0 0 C(R ) . (R ) → K (R ) → K Ở đây A, B là các toán tử: A : KC C(R ); B : KC C(R ) , t ∈ I ⊂ R + , U(t) ∈ KC(R ) , tập nghiệm của nó có dạng: X(t) = X(t0, X 0, t, U(t)) ∈ KC(R ). X(t) = X(t0 0 0 0 0 + ∫ W0(t, s)BU(s)ds + ∫ R(t, X(s), U(s))ds. (14) Về bài toán điều khiển ngược trong hệ vi phân tập n p n Khi đó toán tử Cauchy với DHX(t) = AX(t) là W1(t, s) = W1(t, ô)W1(ô, s) , thì tập nghiệm được viết lại dưới dạng: t t0  , X , t, U(t)) = W (t, t )X (t, s)W (t, t t t0  (17) thì:  1 t1 t0  (t, s)W (t , t Định lý 3.2.3 (xem [21]) Hệ vi phân điều khiển tập tuyến tính không dừng (USLSCDE) (16) là (GC) nếu và chỉ nếu tồn tại B−1 vaø Ë −1 . Chứng minh: t1 (t, s)W (t , t > t 1 t0 p −1  1  (18) Ta thay tập điều khiển của (18) vào trong (17) với khoảng thời gian ngắn t1 > t0 , ta có: t1 X(t1) = X(t0, X 0, t1, U(t1)) = W1(t1, t0 )X 0 + ∫ W1(t1, s)B(s)U(s)ds t0 t1 −1 1 t0 t1 −1 1 t0 Luận văn Thạc Sĩ - Ngành Giải Tích – Mã ngành: 60 46 01  41) = X ∈ K X(t0 0 C(R ). Ở đây A(t), B(t) là các toán tử theo t, t ∈ I ⊂ R + , U(t) ∈ KC(R ) , tập nghiệm của nó có dạng: X(t) = X(t0, X 0, t, U(t)) ∈ KC(R ). X(t) = X(t0 0 1 0 0 + ∫ W1(t, s)B(s)U(s)ds Nếu ta đặt: Ë t = ∫ W1 1 0 )ds Ë t = ∫ W1 1 1 0 )ds. a) Điều kiện đủ: Với Ë t = ∫ W1 1 1 0 )ds , với mỗi t1 0 ta tìm được tập điều khiển ngược U(t) ∈ KC(R ) trong loại này là: t1 U(s) = −B (s)W1(t, s)Ë −1[W1(t, t0)X 0 − X1 ] { } (t , t )X − ∫ W (t , s)B(s) B (s)W (t , s)Ë −1[W (t , t )X − X = W1 1 0 0 1 1 1 1 t 1 1 0 0 1 ] ds (t , t )X − ∫ W (t , s)B(s)B (s)W (t , s)Ë −1[W (t , t )X − X = W1 1 0 0 1 1 1 1 t 1 1 0 0 1 ]ds Về bài toán điều khiển ngược trong hệ vi phân tập = W1(t1, t0 )X 0 − Ë t Ë −1[W1(t1, t0 )X 0 − X1 ] 1 1 = W1(t1, t0 )X 0 − [W1(t1, t0 )X 0 − X1 ] = X1 n (GC). b) Điều kiện cần: Cho (USLSCDE) (16) là (GC) ta có thể chứng minh rằng tồn tại B−1 vaø Ë −1 . −1 khiển được. Nếu Ë −1 không tồn tại thì ta không có điều khiển ngược, nghĩa là USLSCDE (16) không tồn tại tập điều khiển U(t). Vì thế USLSCDE (16) không là (GC). ( ) 3.2.2.4 Hệ vi phân điều khiển tập tuyến tính không dừng với tập nhiễu (USLSCDEP): Ta xét hệ vi phân điều khiển tập tuyến tính dừng với tập nhiễu (SLSCDEP): DHX(t) = AX(t) + BU(t) + R(t, X(t), U(t)) , (19) n n n p n p n Khi đó toán tử Cauchy với DHX(t) = AX(t) là W0(t, s) = W0(t, ô)W0(ô, s) , thì tập nghiệm được viết lại dưới dạng: t t , X , t, U(t)) = W (t, t )X t0 t0 Nếu ta đặt: L t =  t ∫ W0(t, s)W0(t, t0 )ds t0 t1 (t , s)W (t , t 1 t0 Luận văn Thạc Sĩ - Ngành Giải Tích – Mã ngành: 60 46 01  42( ,X ) ∈ K Điều đó nghĩa là X 0 1 C(R ) là điều khiển được hoặc (USLSCDE) (16) là Nếu toán tử B không có B nghĩa là B không nhận thì USLSCDE (3.2.3) không điều t t1 t1 ) = X ∈ K X(t0 0 C(R ) . (R ) → K (R ) → K Ở đây A, B là các toán tử: A : KC C(R ); B : KC C(R ) , t ∈ I ⊂ R + , U(t) ∈ KC(R ) , tập nghiệm của nó có dạng: X(t) = X(t0, X 0, t, U(t)) ∈ KC(R ). X(t) = X(t0 0 0 0 0 + ∫ W0(t, s)BU(s)ds + ∫ R(t, X(s), U(s))ds. (20) thì: L t = ∫ W0 1 0 1 0 )ds. Về bài toán điều khiển ngược trong hệ vi phân tập Cho: lim X →0  R(t, X, U) X  = 0.  (21) Định lý 3.2.4 (xem [21]) Hệ vi phân điều khiển tập tuyến tính không dừng với tập nhiễu (USLSCDEP) −1 1 3.2.2.5 Hệ vi phân điều khiển tập phi tuyến (NLSCDE) Ta xét một hệ vi phân điều khiển tập phi tuyến (NLSCDE): n (22) n p n p t , X , t, U(t)) = X t0 và tập nghiệm theo t1 là: t1 ) = X(t , X , t , U(t )) = X t0 Bổ đề 3.2.1 (xem [21]) Giả sử hàm tựa Lyapunov V (t, X (t ) ,U (t )) (xem [22]) thỏa mãn các điều sau: i. V ∈ C ⎡ R+ × K C ( R n ) × KC ( R p ) , KC ( R n )⎤ , ii. V (t, X 1,U1 ) − V (t, X 2 ,U 2 ) ≤ L ( D[ X 1, X 2 ] + D[U1,U 2 ]) , + iv. b ( X ) ≤ V (t, X ,U ) ≤ a (t, X ) , với t ∈ R + ; X , X 1, X 2 ∈ K C ( R n ) ;U ,U1,U 2 ∈ K C ( R p ) , ở đây: (t,.) , a(t,.) ∈ k = {ó ∈ C ⎡R+ , R+ ⎦ : ó (ù ) taêng theo ù vaø ó (ù ) → ∞ khi ù → ∞} thì với mỗi á > 0, t0 ∈ R+ , ∃â = â (t,á ) > 0 sao cho X 0 t0 . Luận văn Thạc Sĩ - Ngành Giải Tích – Mã ngành: 60 46 01  (23) 43(19) với (15) là (GC) nếu tồn tại B (s) vaø Ë −t 1 . X(t) = F(t, X(t), U(t)), X(t ) = X ∈ K DH 0 0 C(R ) Ở đây: F ∈ C[I × KC(R ) × KC(R ), KC(R )] , t ∈ I ⊂ R + , U(t) ∈ KC(R ) .Tập nghiệm của (NLSCDE) (22) là: X(t) = X(t0 0 0 + ∫ F(s, X(s), U(s))ds . X(t1 0 0 1 1 0 + ∫ F(s, X(s), U(s))ds. iii. D V [t, X ,U ] ≤ 0, ⎣ ⎦ ⎣ ⎤ Về bài toán điều khiển ngược trong hệ vi phân tập Chứng minh: Cho á > 0, t0 ∈ R+ . Chọn â = â (t,á ) > 0 sao cho: a(t0 ,á ) < b( â )  (24) thì (23) đúng. Nếu điều đó không đúng thì sẽ tồn tại: t t0 là tập nghiệm của NLSCDE (22) và ∃t1 > t0 sao cho X (t1 ) = â . Bởi vì hàm tựa Lyapunov V (t, X (t ) ,U (t )) giảm thì: V (t, X (t ) ,U (t )) ≤ V (t1, X (t1 ) ,U (t1 )) , ∀t > t1 hoặc X (t) ≤ â , chính là kết quả điều kiện (iv) của bổ để (3.2.1) và (24) cho: b ( â ) ≤ b( X ( t1 ) ) ≤ V ( t1, X ( t1 ) ,U ( t1 )) ≤ V ( t0 , X ( t0 ) ,U ( t0 )) ≤ a ( t0 , X0 ) < a ( t0 ,á ) < b ( â ) Đây là điều kiện ràng buộc (23). Bổ đề chứng minh xong. ( ) Định lý 3.2.5 (xem [21]) Giả sử rằng NLSCDE (22) thỏa mãn các điều kiện sau: i. Hàm tựa Lyapunov V (t, X (t ) ,U (t )) thỏa mãn điều kiện của bổ đề 3.2.1, ⎡ R n × K R p , K iii. Mỗi cặp ( X0 , X1 ) ∈ KC  n p  1 0 C t1 t0 ⎡− L(t1 −t0 )⎤ L  − X0  (25) thì NLSCDE (22) là (GC). Chứng minh: Trước hết, ta chọn tập điều khiển được U (t) ∈ KC ( R p ) thỏa (25). Vì tập nghiệm của (22) được viết dưới dạng: t t , X t s ,U s t0 thì: t1 t0 Luận văn Thạc Sĩ - Ngành Giải Tích – Mã ngành: 60 46 01  44( ) ( ) X (t) = X t0 0 0 + ∫ F s, X ( s) ,U ( s) ds , X , t,U (t) = X ii. F ∈ C I × KC ( ) C ( ) C ( R n )⎤ , F (t, X (t) ,U (t)) ≤ L ( X + U ) , L > 0, ⎣ ⎦ ( R ) , ∀t > t , ∃U (t) ∈ K ( R ) sao cho: ∫ U ( )s ds = X1 e⎣ ⎦ ( ) ( ) X ( ) = X t0 0 , t,U ( ) = X0 + ∫ F s, X ( ) ( ) ds. ( ) ( ) X (t1 0 0 1 1 0 + ∫ F s, X ( s) ,U ( s) ds, ) = X t , X , t ,U (t ) = X Về bài toán điều khiển ngược trong hệ vi phân tập Suy ra rằng: t1 t0 t1 t0 t1 t1 t0 t0 (26) Ta thay:  t1 ∫ t0  U ( s) ds = ⎡− L(t1 −t0 )⎤ L  − X0  từ (25) vào (26) ta nhận: X (t1 ) ≤ X1 . Định lý được chứng minh xong, nếu ta chứng minh được rằng X (t1 ) = X1 . Nếu điều này không đúng, nếu X (t1 ) < X1 . Nhưng trong trường hợp này ta có bởi bổ đề (3.2.1), X (t1 ) = â kéo theo: b( â ) ≤ b( X (t1 ) ) ≤ V (t1, X (t1 ) ,U (t1 )) ≤ V (t1, X1,U (t1 )) ≤ a(t1, X1 ) < a(t1,á ) < b ( â ) Ta chứng minh được rằng: X (t1 ) = X1 . Điều đó có nghĩa là: ( X0 , X1 ) ∈ KC ( R n ) sẽ điều khiển được, hệ vi phân điều khiển tập phi tuyến (NLSCDE) là (GC). ( ) Hệ quả 3.2.1 Trong trường hợp khi p = n ta phải chọn toán tử điều khiển ë (t) là một hàm thực sao cho mỗi cặp ( X0 , X1 ) ∈ KC ( R n ) , ∀t1 > t0 , ∃U (t) ∈ KC ( R p ) với U (t) = ë (t) X1 , ở đây hàm ë (t) thỏa mãn: t1 t0 ⎡− L( t1 −t0 )⎤ L X1  − X0  (27) thì NLSCDE (22) là (GC). Hệ quả 3.2.2 i. Nếu xấp xỉ của F (t, X (t ) ,U (t )) ≈ AX + BU + R (t, X ,U ) thì bài toán (GC) của NLSCDE (22) sẽ là bài toán (GC) của USLSCDEP (18). ii. Nếu xấp xỉ của F (t, X (t ) ,U (t )) ≈ A (t ) X + B (t )U + R (t, X ,U ) thì bài toán (GC) của NLSCDE (22) sẽ là bài toán (GC) của USLSCDEP (19). Luận văn Thạc Sĩ - Ngành Giải Tích – Mã ngành: 60 46 01  45( ) X (t1 0 + ∫ F s, X ( s) ,U ( s) ds, ) ≤ X ( ) ≤ X0 + ∫ L X ( s) + U ( s) ds, ≤ X 0 + L ∫ ∫ U ( s) ds. X ( s) ds + L X1 e⎣ ⎦ ∫ ë ( s) ds = X1 e ⎣ ⎦ Về bài toán điều khiển ngược trong hệ vi phân tập Ta xét một vài ví dụ cho 2 trường hợp này: Ví dụ 3.2.1 Trường hợp điều khiển được hoàn toàn: Sự di chuyển của vết dầu trên biển là điều khiển được. Bởi vì với mỗi cặp: ( X0 , X1 ) ∈ KC ( R n ) , ∀t1 > t0 , ∃U (t) ∈ KC ( R p ) sao cho U (t) = ë (t) X1 , ở đây toán tử điều khiển ë (t) thỏa mãn: t1 t0 ⎡− L( t1 −t0 )⎤ LX1  − X0 và NLSCDE (22) sẽ là (GC). Ví dụ 3.2.2 Trường hợp không điều khiển được: Ta xét vấn đề về sự di chuyển từ nơi này đến nơi khác của một chất hóa học trong môi trường. Sự di chuyển của một đám mây trong không khí sẽ không điều khiển được. Bởi vì nó di chuyển mọi nơi và ta không thể tìm được điều khiển ngược U (t) = h( X (t)). 3.2.3 Điều khiển ngược với sự bị chặn của nghiệm Trong [16 – 22], ta xét đến một phương trình vi phân điều khiển tập (SCDE) có dạng:  DH X (t ) = F (t, X (t ),U (t )) (SCDE) (1) Trong đó: X (t0 ) = X 0 ∈ K c ( R n ) , X (t ) ∈ K c ( R n ) , t ∈ [t0 ,T ] = I ⊂ R+ và (R n ) × K ( R p ), K Tập nghiệm của nó có dạng: n Luận văn Thạc Sĩ - Ngành Giải Tích – Mã ngành: 60 46 01  46 ∫ ë ( s) ds = X1 e ⎣ ⎦ F ∈ C ⎡⎣ I × K C C C (R n )⎤⎦ , U (t ) ∈ K C ( R p ) . X(t) = X(t0, X 0, t, U(t)) ∈ KC(R ). Về bài toán điều khiển ngược trong hệ vi phân tập n p n Ta kết hợp với giá trị ban đầu của bài toán (1) có tập nghiệm như sau: t X(t) = X 0 + ∫ F(s, X(s),U (s))ds, t ∈ I . t0  (2) (3) Ở đây tích phân là tích phân Hukuhara. Nhận xét rằng X (t) là nghiệm của (1) nếu nó thỏa (3) trên I. Sự tồn tại tập nghiệm của SCDE được giới thiệu trong [18] và sự so sánh của tập nghiệm được nghiên cứu trong chương I của luận văn. Một vài kết quả của SCDE có mặt trong chương II của luận văn này. Sự ổn định của tập nghiệm của SCDE được nghiên cứu tỉ mỉ trong [19]. Tính bị chặn của tập nghiệm của SCDE là một hệ thống vi phân tuyệt vời và được sử dụng trong thực hành. Trong mục này, chúng tôi nghiên cứu một vài tiêu chuẩn về tính bị chặn của tập nghiệm của SCDE. Định nghĩa 3.2.4 (xem [22]) Tập nghiệm của SCDE được gọi là: B1. Bị chặn, nếu với mỗi á > 0 và t0 ∈ R+ , ở đây tồn tại â = â(t0, á ) > 0 sao cho: X 0 < á suy ra X(t) < â ,t ≥ t0 . B2. Bị chặn đều, nếu â trong B1 không tính đến t0. B3. Gần như bị chặn tới hạn với tập bị chặn B, nếu với mỗi á > 0 và t0 ∈ R+ , ở đây tồn tại B > 0 và T = T (t0, á ) > 0 sao cho X 0 < á suy ra X(t) < B ,t ≥ t0 + T . B4. Gần như bị chặn tới hạn đều, nếu T trong B3 không tính đến t0. B5. Bị chặn tới hạn, nếu B1 và B3 đồng thời xảy ra. B6. Bị chặn tới hạn đều, nếu B2 và B4 đồng thời xảy ra. Định lý 3.2.6 (xem [22]) Giả sử rằng hàm tựa Lyapunov V (t, X (t ) ,U (t )) thỏa mãn những điều kiện sau: (i) V ∈ C ⎡ R+ × KC ( R n ) × KC ( R n ), R+ ) và V (t, X (t ),U (t ) − V (t, X (t ),U (t ) ≤ L( D[ X (t ), X (t )] + D[U (t ),U (t )]) (ii) Và D +V (t, X (t ),U (t )) = Luận văn Thạc Sĩ - Ngành Giải Tích – Mã ngành: 60 46 01  47Định nghĩa 3.2.3 (xem [22]) Tập nghiệm ( X 0,X1 ) ∈ KC(R ) sẽ điều khiển được nếu sau thời gian t1 tìm được một tập điều khiển U(t) ∈ KC(R ) sao cho: ) = X(t , X , t , U(t )) = X ∈ K X(t1 0 0 1 1 1 C(R ) ⎣ Về bài toán điều khiển ngược trong hệ vi phân tập limsup[V (t + h, X (t ) + hF (t, X (t ),U (t )),U (t ) + h(ë (t )F (t, X (t ),U (t )) + ë '(t ) X (t ))] h→0+ ≤ g (t,V (t, X (t ),U (t )) (4) Ở đây: g ∈ [ R+2 , R] và t ∈ R+ , X(t) ∈ Kc(Rn ) ,U (t ) ∈U . Nếu X (t, t0 , X 0 ,U 0 ) là nghiệm của SCDE (1) tồn tại trên [t0 ,T ) với X (t0 ) = X 0 , U (t0 ) = ë (t0 ) X (t0 ) = U 0 , V (t0 , X 0 ,U 0 ) ≤ ù0 thì ta có: V (t, X (t ),U (t )) ≤ r (t, t0 , w0 ), t ∈ [t0 ,T ), Ở đây r (t, t0 , w0 ) là nghiệm lớn nhất của phương trình vi phân gốc: (5) dù dt  = g (t,ù ), w(t0 ) = w0 ≥ 0 . Chứng minh: Cho X (t ) = X (t, t0 , X 0 ,U 0 ) là nghiệm của SCDE (1) tồn tại trên [t0 , T ) . Định nghĩa m(t ) = V (t, X (t ),U (t )) sao cho m(t0 ) = V (t0 , X 0 ,U 0 ) ≤ w0 . Bây giờ với h > 0 : m(t + h) − m(t ) = V (t + h, X (t + h),U (t + h)) − V (t, X (t ),U (t )) = V (t + h, X (t + h),U (t + h)) − V (t + h, X (t ) + hF (t, X (t ),U (t )), U (t ) + h(ë (t )F (t, X (t ),U (t )) + ë '(t ) X (t ))] +V (t + h, X (t ) + hF (t, X (t ),U (t )),U (t ) + h(ë (t ) F (t, X (t ),U (t )) + ë '(t ) X (t ))] −V (t, X (t ),U (t )) ≤ L( D[ X (t + h), X (t ) + hF (t, X (t ),U (t ))] + D[U (t + h),U (t ) + h(ë (t )F (t, X (t ),U (t )) + ë '(t ) X (t ))]) +V (t + h, X (t ) + hF (t, X (t ),U (t )),U (t ) + h(ë (t ) F (t, X (t ),U (t )) + ë '(t ) X (t ))] −V (t, X (t ),U (t )). Áp dụng điều kiện Lipschitz cho (i). Như vậy: 1 h→0+ h 1 h→0+ h 1 h→0+ h Từ đó: Luận văn Thạc Sĩ - Ngành Giải Tích – Mã ngành: 60 46 01  48D + m(t ) = lim sup [m(t + h) − m(t )] ≤ D +V (t, X (t ),U (t )) + L limsup D[ X (t + h), X (t ) + hF (t, X (t ),U (t ))] + L.limsup D[U (t + h),U (t ) + h(ë (t ) F (t, X (t ),U (t )) + ë '(t ) X (t ))]) Về bài toán điều khiển ngược trong hệ vi phân tập 1 h  ⎡ X (t + h) − X (t ) ⎣ h  ⎤ ⎦ và X (t ) là nghiệm của SCDE (1), ta được: 1 + , F (t, X (t ),U (t )) h→0+ h ⎣ h ⎦ = D[DH X (t ), F (t, X (t ),U (t ))] = 0 và: 1 h→0+ h , ë (t ) F (t, X (t ),U (t )) + ë '(t ) X (t ) h→0+ h ⎣ h ⎦ + , ë (t )F (t, X (t ),U (t )) + ë '(t ) X (t ) + = D[ë (t )DH X (t ) + X (t )ë '(t ), ë (t )F (t, X (t ),U (t )) + ë '(t ) X (t)] ≤ ë (t )D[DH X (t ), F (t, X (t ),U (t ))] + D[ X (t )ë '(t ), ë '(t ) X (t )] = 0 . Vì thế ta có bất đẳng thức vi phân vô hướng: D + m(t ) ≤ g (t, m(t )) , m(t0 ) ≤ w0 . Do định lý 1.4.1 trong [24], nó có tiếp theo sự ước lượng: m(t ) ≤ r (t, t0 , w0 ) , t ∈ [t0 ,T ). Chứng minh này đánh giá ước lượng định lý 3.2.1. ( ) Hệ quả 3.2.3 Hàm g (t, w) = 0 thỏa định lý 3.2.1 để tạo ra ước lượng: V (t, X (t ),U (t )) ≤ V (t0 , X (t0 ),U (t0 )). Bây giờ, ta giới thiệu một số kết quả về sự bị chặn của tập nghiệm SCDE. Định lí 3.2.7 Giả sử rằng: (R n ) × K V (t1, X (t1 ),U (t1 ) − V (t2 , X (t2 ),U (t2 ) ≤ L(D[ X (t1 ), X (t2 )] + D[U (t1 ),U (t2 )]), L > 0. Luận văn Thạc Sĩ - Ngành Giải Tích – Mã ngành: 60 46 01  49D[ X (t + h), X (t ) + hF (t, X (t ),U (t ))] = D ⎢ , F (t, X (t ),U (t ))⎥ limsup D[ X (t + h), X (t ) + hF (t, X (t ),U (t ))] h h→0 = limsup D ⎢ ⎥ 1 ⎡ X (t + h) − X (t ) ⎤ limsup D[U (t + h),U (t ) + h(ë (t ) F (t, X (t ),U (t )) + ë '(t ) X (t ))] 1 ⎡ ë (t + h) X (t + h) − ë (t ) X (t ) ⎤ = limsup D ⎢ ⎥ 1 ⎡ ë (t + h)[ X (t + h) − X (t)] X (t )[ë (t + h) − ë (t )] ⎤ = lim sup D ⎢ ⎥ h ⎣ h h ⎦ h→0 (i) V ∈ C ⎡ R+ × KC C ( R n ), R+ ⎦ và Về bài toán điều khiển ngược trong hệ vi phân tập + (ii) b( X + U ) ≤ V (t, X ,U ) ≤ a(t, X − U ), với (t, X ,U ) ∈ R+ × KC ( R n ) × KC (R n ), ở đây b, a(t,.) ∈ K = {ó ∈ C[ R+ , R+ ] : ñ (w) là tăng trong w và ñ (w) → ∞ khi w → ∞} . thì (B1) đúng. Chứng minh: Cho 0 < á và t0 ∈ R+ . Chọn â = â (t0 ,á ) sao cho: a(t0 ,á ) < b(â ). Với â , (B1) đúng. Nếu điều này không đúng, ở đây sẽ tồn tại tập nghiệm: X (t ) = X (t, X 0 ,U 0 ) của (1) và t1 > t0 sao cho: (6) X (t1 ) = â và X (t ) ≤ â , t0 ≤ t ≤ t1 . Theo (i) và hệ quả 3.2.3 ta có: V (t, X (t ),U (t )) ≤ V (t0 , X 0 ,U 0 ) , t0 ≤ t ≤ t1 . Theo kết quả này, điều kiện (ii) và (6) ta được: b(â ) = b( X (t1 ) ) ≤ b( X (t1 ) + U (t1 ) ) ≤ V (t1, X (t1 ),U (t1 )) ≤ V (t0 , X 0 ,U 0 ) ≤ a(t0 , X (t0 ) − U (t0 ) ) ≤ a(t0 , X (t0 ) ) < a(t0 ,á ) < b(â ). Sự mâu thuẩn này đã chứng minh (B1). ( ) Định lý 3.2.8 Giả sử rằng: (i) V ∈ C ⎡⎣ R+ × S c (ñ ) × KC (R n ), R+ ) và ở đây ñ có thể lớn, V (t1, X (t1 ),U (t1 ) − V (t2 , X (t2 ),U (t2 ) ≤ L(D[ X (t1 ), X (t2 )] + D[U (t1 ),U (t2 )]), L > 0. + (ii) b( X + U ) ≤ V (t, X ,U ) ≤ a(t, X − U ), với (t, X ,U ) ∈ R+ × S c (ñ ) × K C ( R n ), ở đây a, b ∈ K , nó chỉ được định nghĩa trên [ñ , ∞). thì (B2) đúng. ( ) Chứng minh tương tự như chứng minh định lý 3.2.7. Định lý 3.2.9 Giả sử ta thừa nhận định lý 3.2.7, ta đánh giá mạnh hơn về + +  Luận văn Thạc Sĩ - Ngành Giải Tích – Mã ngành: 60 46 01  (7) 50và (t, X ,U ) ∈ R+ × K C C (R n ), U (t ) = ë (t ) X (t ) , D V (t, X (t ),U (t )) ≤ 0. ( R n ) × K và với (t, X ,U ) ∈ R+ × S c (ñ ) × KC ( R n ), U (t ) = ë (t ) X (t ) , D V (t, X (t ),U (t )) ≤ 0. D V (t, X ,U ) là: D V (t, X ,U ) ≤ V (t, X ,U ),ç > 0, (t, X ,U ) ∈ R+ × S c (ñ ) × KC ( R n ) Về bài toán điều khiển ngược trong hệ vi phân tập và giả sử điều kiện (ii) đúng với X ≥ B . Thì (B5) đúng. Chứng minh: Rõ ràng (B1) vẫn tồn tại từ định lý 3.2.7. Vì thế: X 0 < á suy ra X (t ) < â , t ≥ t0 . Bây giờ (7) cho ta sự đánh giá: V (t, X ,U ) ≤ V (t0 , X 0 ,U 0 )e−ç (t −t0 ) , t ≥ t0 . (8) Cho T = 1 ç  ln a(t0 ,á ) b( B)  và giả sử rằng với t ≥ t0 + T , X (t ) ≥ B . Thì, ta được từ (8) : b( B) ≤ b( X (t ) ) ≤ V (t, X (t ),U (t )) ≤ a(t0 ,á )e−çT = b(B). Sự mâu thuẩn này đã chứng minh (B5) và định lý chứng minh xong. Định lý 3.2.10 Giả sử rằng: (i) ñ > 0, V1 ∈ C ⎡⎣ R+ × S (ñ ) × KC (R n ), R+ ) ,V1 là bị chặn với: (t, X ,U ) ∈ R+ × ä S ( ñ ) × KC (R n ) và V (t1, X 1,U1 − V (t2 , X 2 ,U 2 ) ≤ L1 ( D[ X 1, X 2 ] + D[U1,U 2 ]) , L1 > 0, 1 h ≤ g1 (t,V1 ), (t, X ,U ) ∈ R+ × ä S ( ñ ) × K C (R n ) ở đây g1 ∈ C[ R+2 , R]. (ii) V2 ∈ [R+ × ä S (ñ ) × KC (R n ), R+ ], b( X + U ) ≤ V2 (t, X ,U ) ≤ a(t, X − U ), a, b ∈ K ; + (iii) Phương trình vi phân vô hướng: w '1 = g (t, w1 ), w1 (t0 ) = w10 ≥ 0, và: w '2 = g (t, w2 ), w2 (t0 ) = w20 ≥ 0, lần lượt là bị chặn và bị chặn đều. Thì hệ (1) là bị chặn. Chứng minh: Cho B1 > ñ và t0 ∈ R+ . Cho:á1 = á (t0 , B1 ) = max{á 0 ,á *} Luận văn Thạc Sĩ - Ngành Giải Tích – Mã ngành: 60 46 01 ( ) (9) (10) 51D +V1 (t, X ,U ) = limsuph→0+ [V1 1 (t, X ,U )] (t + h, X + hF (t, X ,U ),U ) − V D +V1 (t, X ,U ) + D V2 (t, X ,U ) ≤ g 2 (t,V1 (t, X ,U ) + V2 (t, X ,U )) , g 2 ∈ C[ R+2 , R] . Về bài toán điều khiển ngược trong hệ vi phân tập ở đây: á 0 = max{V1 (t0 , X 0 ,U 0 ) : X 0 ∈ cl{S ( B1 ) ∩ S c (ñ )} và á * ≥ V1 (t, X ,U ) với (t, X ,U ) ∈ R+ × ä S ( ñ ) × KC (R n ). Từ đó (9) là bị chặn, cho á1 > 0 , và t0 ∈ R+ , tồn tại â 0 = â (t0 ,á1 ) sao cho: w1 (t, t0 , w10 ) < â0 , t ≥ t0 , (11) với điều kiện w10 < á1 , ở đây w1 (t, t0 , w10 ) là nghiệm của (9). Cho á1 = a( B1 ) + â 0 , sự bị chặn đều của (10) cho ta: với điều kiện w10 < á1 , ở đây w1 (t, t0 , w10 ) là nghiệm của (10). Chọn B2 thỏa mãn: w1 (t, t0 , w10 ) < â (á 2 ), t ≥ t0 , b( B2 ) > â1 (á 2 ) . (12) (13) Ta biết rằng: X 0 ∈ S ( B1 ) suy ra: X (t, X 0 ,U 0 ) ∈ S ( B2 ), với t ≥ t0 , ở đây X (t, X 0 ,U 0 ) là tập nghiệm SCDE của (1). Nếu nó không đúng, khi đó tồn tại nghiệm X (t, X 0 ,U 0 ) của (1) với X 0 ∈ S ( B1 ) sao cho với t * > t0 , X (t * , X 0 ,U 0 ) = B2 . Từ đó: B1 > t0 , ở đây ta có 2 khả năng xảy ra: (i) X (t, X 0 ,U 0 ) ∈ S C (ñ ) với t ∈ [t0 , t*]; (ii) Tồn tại t ≥ t0 sao cho X (t, X 0 ,U 0 ) ∈ ä S (ñ ) và X (t, X 0 ,U 0 ) ∈ S C (ñ ) với t ∈ [t, t*]. Nếu (1) đúng, ta có thể tìm được t1 ≥ t0 sao cho: X (t1, X 0 ,U 0 ) ∈ ä S (B1 ) X (t * , X 0 ,U 0 ) ∈ ä S (B2 ) (14) X (t, X 0 ,U 0 ) ∈ S C (B1 ) , t ∈ [t1, t*]. Đặt m(t ) = V1 (t, X (t, X 0 ,U 0 ),U (t )) + V2 (t, X (t, X 0 ,U 0 ),U (t )) với t ∈ [t1, t*] và áp dụng định lý 3.1.7, ta có thể thu được bất đẳng thức vi phân: D + m(t ) ≤ g 2 (t, m(t )), t ∈ [t1, t*]. và do đó: m(t ) ≤ ã 2 (t, t1, m(t )), t ∈ [t1, t*]. Luận văn Thạc Sĩ - Ngành Giải Tích – Mã ngành: 60 46 01  52 Về bài toán điều khiển ngược trong hệ vi phân tập ở đây: ã 2 (t, t1, v0 ) là nghiệm lớn nhất của (9) với ã 2 (t1, t1, v0 ) = v0 . Vì vậy: V1 (t * , X (t * , X 0 ,U 0 ),U (t * )) + V2 (t, X (t * , X 0 ,U 0 ),U (t * )) ≤ ã 2 (t * , t1,V1 (t1, X (t1, X 0 ,U 0 ),U (t1 )) + V2 (t1, X (t1, X 0 ,U 0 ),U (t1 )) Tương tự, ta cũng có: V1 (t1, X (t1, X 0 ,U 0 ),U (t1 )) ≤ ã 1 (t1, t0 ,V1 (t0 , X 0 ,U 0 )). ở đây ã 1 (t1, t0 , u0 ) là nghiệm lớn nhất của (9). Tập w10 = V1 (t0 , X 0 ,U 0 ) < á1 . Thì: V1 (t1, X (t1, X 0 ,U 0 ),U (t1 )) ≤ ã 1 (t1, t0 ,V1 (t0 , X 0 ,U 0 )) ≤ â 0 . Từ đó (11) đúng. Hơn nữa, V2 (t1, X (t1, X 0 ,U 0 ),U (t1)) ≤ a(B1 ). Cho nên ta có: w20 = V1 (t1, X (t1, X 0 ,U 0 ),U (t1 )) + V2 (t1, X (t1, X 0 ,U 0 ),U (t1 )) ≤ â0 + a(B1 ) = á 2 Kết hợp (12), (13), (14) và (17), ta được: b( B2 ) ≤ m(t * ) ≤ ã (t * ) ≤ â1 (á 2 ) < b(B2 ) (15) (17) (18) Đây là sự mâu thuẫn. Nếu trường hợp (2) đúng, ta cũng đạt được bất đẳng thức (15), ở đây t1 > t thỏa mãn (14). Theo (16), ta có mối quan hệ: V1 (t1, X (t1, X 0 ,U 0 ),U (t1 )) ≤ ã 1 (t1, t,V1 (t, X 0 ,U 0 ),U (t )). Từ đó X (t, t0 , X 0 ,U 0 ) ∈ ä S ( ñ ) và V1 (t, X (t, X 0 ,U 0 ),U (t )) ≤ á * ≤ á1, trước đây ta tranh luận, ta có sự mâu thuẫn (18). Điều này chứng minh rằng khi cho B1 > ñ , t0 > 0, tồn tại B2 sao cho: X 0 ∈ S ( B1 ) suy ra X (t, t0 , X 0 ,U 0 ) ∈ S (B2 ), t ≥ t0 , Với B1 < ñ , ta có tập B2 (t0 , B1 ) = B2 (t0 , ñ ) và định lý đã được chứng minh xong. ( ) Luận văn Thạc Sĩ - Ngành Giải Tích – Mã ngành: 60 46 01  53 Về bài toán điều khiển ngược trong hệ vi phân tập KẾT LUẬN Luận văn này đã trình bày một cách cô đọng và có hệ thống các kiến thức mới về bài toán điều khiển ngược trong hệ vi phân tập đã xét trong [16 – 22], một đối tượng rất được quan tâm trong toán học nói chung và phương trình vi phân nói riêng. Thực hiện phân loại các bài toán điều khiển cho hệ vi phân tập, ổn định nghiệm, có đóng góp trong tính bị chặn của tập nghiệm (đang cùng nhóm nghiên cứu hoàn chỉnh kết quả),…. Nội dung chính của luận văn: “ Về bài toán điều khiển ngược trong hệ vi phân tập” đã được giải quyết. Vì thời gian dành cho luận văn thạc sĩ có hạn, nên còn nhiều vấn đề trong lĩnh vực này như: bài toán điều khiển ngược trong hệ vi phân có điều kiện tối ưu,… chưa được tiếp cận. Hy vọng trong tương lai, khi có điều kiện tác giả sẽ tiếp tục khảo sát chúng. Luận văn Thạc Sĩ - Ngành Giải Tích – Mã ngành: 60 46 01  54 Về bài toán điều khiển ngược trong hệ vi phân tập TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] [2] [3] [4] [5] [6]  G. Evans, J. Blackledge and P.Yardley, Numerical Methods for Partial Differential Equations. Springer-Verlag, London, 2000. O.Kaleva, Fuzzy Differential Equations, Fuzzy Sets and Systems, 24, 301- 317, 1987. O.Kaleva, The Cauchy Problem for Fuzzy Differential Equations, Fuzzy Sets and Systems, 35, 389-396, 1990. I. Perfilieva, Fuzzy approach to solution of differential equations with imprecise data: application to reef growth problem. In: Fuzzy Logic in Geology (R.V. Demicco and G.J. Klir, Ed.), Chap. 9, pp.275-300. Academic Press, Amsterdam, 2003. I. Perfilieva, Fuzzy Transforms. In: Rough and Fuzzy Reasoning: Rough versus Fuzzy. (D. Dubois and M. Inuiguchi, Ed.). Springer-Verlag, 2004, to appear. T.Gnana Bhaskar, V.Lakshmikantham, Devi J.Vasundhara; Revisiting fuzzy differential equations, Nonlinear Analysis 58 (2004) 351-358. [7] T.Gnana Bhaskar, J.Vasundhara Devi; Stability criteria for set differential equations, Math-ematical and Computer Modelling 41 (2005), 1371 - 1378. [8] [9] [10] T.Gnana Bhaskar, J. Vasundhara Devi; Nonuniform stability and boundedness criteria for set differential equations, Applicable Analysis 84(2) (2005) 131- 143. V. Lakshmikantham; Uncertain systems and fuzzy differential equations, Journal Mathemat- ical Analysis and Applications, 251 (2000) 805 - 817. V. Lakshmikantham; Set differential equations versus fuzzy differential equations, Applied Mathematics and Computation, 164 (2005) 277 - 294. Luận văn Thạc Sĩ - Ngành Giải Tích – Mã ngành: 60 46 01  55 Về bài toán điều khiển ngược trong hệ vi phân tập [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22]  V. Lakshmikantham, Bhaskar T. Gnana, Devi J. Vasundhara; Theory of set differential equations in metric spaces, Cambridge Scientific Publisher, UK, 2006. V.Lakshmikantham, S.Leela; Differential and Intergral Inequalities, Vol. I and II, Academic Press, New York, 1969. V. Lakshmikantham, R.Mohapatra; Theory of Fuzzy Differential Equations and Inclusions, Taylor and Francis, London, 2003. Nguyễn Đình Phư, Tổng quan về lý thuyết hệ thống, NXB ĐHQG TP Hồ Chí Minh, (2003). Nguyễn Đình Phư, Nguyễn Thư Hương, Phương trình vi phân đa trị,, NXB ĐHQG TP Hồ Chí Minh, (2005). N.D. Phu, T.T. Tung; Some results on sheaf solutions of sheaf set control problems, J. Nonlinear Analysis, Vol 9 (2007), pp 1309 – 1315. N.D. Phu, T.T. Tung; Some properties of sheaf solutions of sheaf fuzzy control problems, Electronic Journal of Differential Equations, Vol. 2006 (2006), No 108, 1- 8. N.D. Phu, T.T. Tung; Existence of solutions of set control differential equations, J. Science and Technology Development 10 (6) (2007), pp 5-14. N.D. Phu, L.T. Quang, T.T. Tung; Stability criteria for set control differential equations, J. Nonlinear Analysis, 69 (2008), pp 3715 – 3721. N.D. Phu, L.T. Quang, T.T. Tung; Criteria for boundedness of solutions of set control differential equations, J. Evolution Equations (Accepted). N.D. Phu, On the controllable for set control differential equations, J. Evolution Equations (Accepted). N.D. Phu, L.Q. Dung, The partial differential operators in Hausdorff metric space and applications, J. Nonlinear Analysis (to appear). Luận văn Thạc Sĩ - Ngành Giải Tích – Mã ngành: 60 46 01  56