Luận văn Về một số lớp bất phương trình hàm

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG  ĐINH THÁNH ĐUA VỀ MỘT SỐ LỚP BẤT PHƢƠNG TRÌNH HÀM Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp Mã số: 60.46.01.13 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng – Năm 2016 Công trình được hoàn thành tại ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS. TRỊNH ĐÀO CHIẾN Phản biện 1: TS. Nguyễn Ngọc Châu Phản biện 2: GS. TSKH. Nguyễn Văn Mậu Luận văn đã được bảo vệ tại Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ Khoa học chuyên ngành Phương pháp Toán sơ cấp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày 13 tháng 8 năm 2016. Tìm hiểu luận văn tại: - Trung tâm Thông tin-Học liệu, Đại học Đà Nẵng - Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng 1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Cùng với phương trình hàm, bất phương trình hàm là dạng toán thường có mặt trong các đề thi chọn học sinh giỏi các cấp và Olympic toán quốc tế. Đây là những dạng toán thường là rất khó. Những dạng toán tìm các hàm số thỏa mãn những bất đẳng thức hàm cho trước được xem là những bài toán giải bất phương trình hàm. Lý thuyết và các bài giảng về bất phương trình hàm sẽ được đề cập sâu hơn ở các giáo trình cơ bản bậc đại học. Tuy nhiên, các tài liệu về bất phương trình hàm như là một chuyên đề chọn lọc cho giáo viên và học sinh chuyên toán bậc trung học phổ thông, ngoài tài liệu [3], vẫn chưa có nhiều, còn chưa được hệ thống theo dạng toán cũng như phương pháp giải. Năm 2011, luận văn thạc sĩ [2] (cùng người hướng dẫn khoa học luận văn này) đã được bảo vệ, chủ yếu đề cập đến một số dạng bất phương trình hàm cơ bản, tương tự như những dạng phương trình hàm Cauchy. Nhiều dạng toán tổng hợp khác, liên quan đến bất phương trình hàm chưa được đề cập. Luận văn [2] cũng chưa khảo sát các dạng toán liên quan trên tập số nguyên. Tiếp nối hướng nghiên cứu ấy, luận văn này tiếp tục khai thác các dạng tổng hợp khác của các bài toán giải bất phương trình hàm. Các dạng toán liên quan trên tập số nguyên cũng sẽ được luận văn nghiên cứu. Nhiều phương pháp giải các bài toán khó trong các đề thi học sinh giỏi các cấp và Olympic Toán quốc tế đã được đề cập. 2 Do đó, đề tài là có cơ sở khoa học và mang tính thực tiễn đối với chương trình toán học phổ thông, đặc biệt đối với hệ Chuyên Toán, phù hợp với chuyên ngành Phương pháp Toán sơ cấp. 2. Mục tiêu nghiên cứu Đề tài sẽ đề cập đến một số lớp bất phương trình hàm trên tập số thực và trên tập số nguyên, cùng với những áp dụng của chúng trong việc giải nhiều dạng toán khó, thường xuất hiện trong các đề thi học sinh giỏi các cấp và Olympic Toán quốc tế. Nhiều dạng toán và các phương pháp giải khác nhau sẽ được trình bày trong luận văn. 3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu 3.1. Đối tƣợng nghiên cứu Một số lớp bất phương trình hàm trên tập số thực và tập số nguyên. 3.2. Phạm vi nghiên cứu Thuộc chuyên ngành Phương pháp toán sơ cấp. 4. Phƣơng pháp nghiên cứu Từ các tài liệu sưu tầm được, dưới sự định hướng của người hướng dẫn khoa học, luận văn sẽ đề cập đến một số lớp bất phương trình hàm trên tập số thực và trên tập số nguyên, cùng với những áp dụng của chúng. 5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài Với mục đích nghiên cứu nêu trên, việc nghiên cứu của luận văn là có ý nghĩa khoa học, mang tính thực tiễn và phù hợp với chuyên ngành Phương pháp Toán sơ cấp. Có thể sử dụng luận văn như là tài liệu tham khảo cho giáo viên, học sinh và bạn đọc quan tâm đến công tác bồi dưỡng học sinh giỏi. 3 6. Cấu trúc luận văn Với mục đích nêu trên, ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo theo quy định, nội dung chính của luận văn được chia thành 3 chương sau đây: Chương 1: Một số dạng bất phƣơng trình hàm Nội dung chương này chủ yếu đề cập đến một số dạng bất phương trình hàm một biến và nhiều biến tự do, cùng một số định lý và hệ quả có liên quan, áp dụng cho việc giải các bài tập cụ thể. Chương 2: Một số hệ bất phƣơng trình hàm dạng tuyến tính Chương này ta chủ yếu trình bày các định lý và hệ quả liên quan, được xem như những bài tập dạng tổng quát của hệ bất phương trình hàm tuyến tính, từ đó có thể giải được các bài tập cụ thể. Chương 3: Một số bất phƣơng trình hàm trên tập số nguyên Nội dung của chương này là trình bày một số bài toán trên tập số nguyên và các phương pháp giải đặc trưng trên tập số nguyên. 4 CHƢƠNG 1 MỘT SỐ DẠNG BẤT PHƢƠNG TRÌNH HÀM Nội dung chương này chủ yếu đề cập đến một số dạng bất phương trình hàm nhiều biến tự do và các bài toán về bất phương trình hàm một biến số. 1.1. BẤT PHƢƠNG TRÌNH HÀM NHIỀU BIẾN TỰ DO Bài toán 1.1. Xác định các hàm số ( )f x thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau: (i) ( ) ( ) ( )f x y f x f y   , , x y  ; (ii)   0f x  , x  . Bài toán 1.2. Cho trước a . Xác định các hàm số  f x thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau: (i)      f x y f x f y   , , x y  ; (ii)  f x ax , x  . Bài toán 1.3. Cho trước 0a  . Xác định các hàm số  f x thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau: (i)      f x y f x f y  , , x y  ; (ii)   xf x a , x  . Bài toán 1.4. Xác định các hàm số :f U  thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau: (i)      f x y f x f y  , , x y U  ; (ii)   1f x x  , x U  . 5 Định lí 1.1. Nếu hàm số :f U  thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau (i)      f x y f x f y  , , x y U  ; (ii)    f x g x , x U  ; trong đó  g x là hàm số cho trước khả vi tại 0 ,  0 1g  ,  ' 0g k , thì   kxf x e . Hệ quả 1.1. Giả sử :f U  thỏa mãn điều kiện (i) với mọi , x y U . Nếu f khả vi tại 0,  0 1f  và  ' 0f k thì   kxf x e , x U . Hệ quả 1.2. Giả sử F là hàm xác định trên khoảng mở U chứa 0 và thỏa mãn      F x y F x F y   với mọi , x y U sao cho x y U  . Nếu F bị chặn trên bởi một hàm G khả vi tại 0 và thỏa mãn  0 1G  , thì  F x kx , x U , trong đó k là một hằng số. Định lí 1.2. Nếu hàm số :f U  thỏa mãn điều kiện sau      f x y f x g y  , , x y U  , trong đó  g x là hàm số cho trước khả vi tại 0 ,  0 1g  ,  ' 0g k , thì mọi nghiệm của bất phương trình hàm trên đều có dạng   kxf x Ce , C là hằng số. Hệ quả 1.3. Ta có   kxf x e và   kxg x e là nghiệm duy nhất của hệ bất phương trình hàm 6             ; , f x y f x g y g x y g x f y       với điều kiện  0 1f  ,  g x là khả vi tại 0,  0 1g  và  ' 0g k . Định nghĩa 1.1. Hàm ( )g x xác định trên một khoảng mở U chứa 0 được gọi là hàm tựa bởi l tại 0 nếu tồn tại một hàm  k x xác định trên U sao cho    0 0k g ,  ' 0k l tồn tại và    k x g x với mọi x U . Hệ quả 1.4. Bất phương trình hàm      f x y f x g y  , trong đó g là một hàm cho trước xác định trên I với  0 1g  và là hàm tựa bởi l tại 0 , có nghiệm không âm f khi và chỉ khi  lxe g x trên I và trong trường hợp này mọi nghiệm không âm đều có dạng   lxf x Ce , trong đó 0C  là hằng số. Bài toán 1.5. Tìm tất cả các hàm số  f x , xác định trên khoảng mở   ; e  , thỏa mãn hệ bất phương trình hàm sau:         .log ; . f x y f x f y f x x e       Bài toán 1.6. Trên khoảng mở chứa 0 có một nghiệm của hệ bất phương trình hàm         . ; 2. f y f x y f x e f x x       7 Định lí 1.3. Xét bất phương trình hàm          f x y f x g y f y g x   , , x y U  , trong đó  g x là một hàm giới nội, khả vi tại 0,  0 1g  và  ' 0g k . Thế thì   0f x  là hàm số duy nhất thỏa mãn bất phương trình đã cho, với điều kiện   lim 0 0 f x xx   . Bài toán 1.7. (Thi học sinh giỏi Bulgaria, 1998) Chứng minh rằng không tồn tại hàm số :f    thỏa mãn:  2 ( ) ( ) ( )f x f x y f x y   , (1.1) với mọi cặp số thực dương , .x y Bài toán 1.8. (Thi học sinh giỏi Bulgaria, 2008) Tìm tất cả các hàm :f   thỏa mãn: 2( ) ( 1) ( )f x y y f x   , (1.5) với mọi cặp số thực , .x y Bài toán 1.9. (Thi học sinh giỏi Việt Nam, 2013) Cho hàm số f xác định trên tập  và nhận giá trị trong tập  thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau: (i) ( ) ( ) ( )f x f y f xy với mọi , x y  ; (1.8) (ii) ( ) ( ) ( )f x y f x f y   với mọi , x y  ; (1.9) (iii) tồn tại một số hữu tỉ 1a  sao cho ( ) .f a a (1.10) Chứng minh rằng ( )f x x với mọi x  . 8 Bài toán 1.10. Tìm tất cả các hàm số :f   thỏa mãn đồng thời các điều kiện: (i) ( 1) ( ) 1f x f x   với mọi ;x (1.13) (ii) ( ) ( ) ( )f xy f x f y với mọi , .x y (1.14) Bài toán 1.11. (Olympic Toán Liên Bang Nga, 2000) Tìm tất cả các hàm số :f   thỏa mãn điều kiện : ( ) ( ) ( ) 3 ( 2 3 ), , , .f x y f y z f z x f x y z x y z          (1.18) Bài toán 1.12. Tìm tất cả các hàm số :f   thỏa mãn các điều kiêṇ sau: ( ) ( ) ( ), , ;f x y f x f y x y     (1.21) ( ) (0), .f x f x   (1.22) Bài toán 1.13. (Olympic Toán châu Á Thái Bình Dương, 1994) Tìm tất cả các hàm số :f   thỏa mãn các điều kiện sau: ( ) ( ) 1 ( ), , ;f x f y f x y x y      (1.23) ( ) ( ) ( ), , ;f x y f x f y x y     (1.24) ( ) (0), (0;1);f x f x   (1.25) (1) 1; ( 1) 1.f f    (1.26) Bài toán 1.14. Cho k là số thực dương . Tìm tất cả các hàm số :f   thỏa mãn điều kiện: Với moị số thưc̣ , , x y z thì 3 ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )] . 4 f xy f yz f zx k f x f yz f y f zx f z f xy k       (1.28) 9 Bài toán 1.15. (Học sinh giỏi Việt Nam , 1991) Tìm tất cả các hàm số :f   thỏa mãn điều kiện: 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) , , , . 2 2 4 f xy f xz f x f yz x y z     (1.31) Bài toán 1.16. (Toán học và tuổi trẻ số 435 - 2014) Tìm tất cả các hàm số , : f g   thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau: ( ) 2 ( ) ( ) 4 , , ;f x g x g y y x y     (1.34) 2( ) ( ) 33 , .f x g x x x   (1.35) Bài toán 1.17. (Cuôc̣ thi toán vùng Flanders nước Bỉ, 1999) Tìm tất cả các hàm số , :f g   thỏa mãn các điều kiện sau: (i) 2 ( ) ( ) ( ) , , f x g x f y y x y     ; (1.36) (ii) ( ) ( ) 1,f x g x x x    . (1.37) Bài toán 1.18. Tìm các hàm số :[0;1]f  thỏa mãn điều kiện sau 2 ( ) ( ) , , [0;1].x y f x f y x y x y       (1.39) Bài toán 1.19. (Thi học sinh giỏi Toán Rusia) Tồn tại hay không hàm số :f   thỏa mãn điều kiện: ( ) sin sin 2.f x y x y    (1.44) Bài toán 1.20. Gọi X là tập tất cả các số thực lớn hơn 1 . Tìm tất cả các hàm số f xác định trên tập X sao cho 1 1 4 4( ) ( ( )) ( ( )) .a b a bf x y f x f y (1.45) Với mọi 1, 1x y  và mọi số thực dương , .a b 10 Bài toán 1.21. (Thi học sinh giỏi Trung Quốc, 1993) Cho hàm số :f    thỏa mãn: ( ) ( ) ( )f xy f x f y (1.47) với mọi , 0.x y  Chứng minh rằng với mọi 0x  và n  thì 2 33( ) ( ) ( ) ( ) ( )n nnf x f x f x f x f x  . (1.48) Bài toán 1.22. Tìm tất cả các số 0a  sao cho tồn tại hằng số 0K  và hàm :f   thỏa mãn: ( ) ( ) . 2 2 af x f y x y f K x y          Bài toán 1.23. Cho hàm số :[0;1]f  thỏa điều kiện: (i) ( ) ( ) ( ) ; , , [0;1]f x y f x f y x y x y      ; (ii) ( ) 0, [0;1]f x x   ; (iii) (1) 1. f  Chứng minh rằng ( ) 2 , [0;1].f x x x   Bài toán 1.24. Cho số 1a  và hàm số :f   thỏa mãn điều kiện:   * 1 1 ( ) ( ) 1, n k k a f x ky f x ky n           và ,x y . (1.54) Xác định hàm số ( ).f x Bài toán 1.25. Tìm tất cả các hàm số :f   thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau: (i) ( ) ( ) ( ), , ;f x y f x f y x y     (1.57) (ii) 0 ( ) lim x f x a x  ( 0a  ), x  . (1.58) 11 Bài toán 1.26. Tìm hàm số :f   thỏa mãn điều kiện sau: 2 ( ) ( ) , , , k f x f y x y x y k       và 3k  . (1.59) Bài toán 1.27. Tìm các hàm số , :f g   thỏa mãn điều kiện: 2 ( ) ( ) ( )( ) , a f y f x g x x y M x y       (1.60) với mọi ,x y và ,M a là các số dương. Bài toán 1.28. Tìm tất cả hàm số :f   thỏa mãn các điều kiện: (i) ( ) ( ) ( )f x y f x f y   , ,x y  ; (1.63) (ii) ( ) 1,xf x e x    . (1.64) Bài toán 1.29. Chứng minh rằng không tồn tại hàm số :f   các điều kiện: (i) (0) 0f  ; (1.68) (ii) ( ) ( ) ( ( ))f x y f x yf f x   , ,x y  . (1.69) 1.2. BẤT PHƢƠNG TRÌNH HÀM MỘT BIẾN SỐ Bài toán 1.30. (Toán học và tuổi trẻ tháng 6/1995) Tìm các hàm số liên tục :[0;1]f  thỏa mãn điều kiện: 2( ) 2 ( ), [0;1]f x xf x x   . (1.73) Bài toán 1.31. Cho hàm số f xác định trên tập số thực  thỏa mãn điều kiện: 9 4 3 ( ) 3 ( ) 1, 4 3 f x f x f x x            . (1.82) Tìm số thực a lớn nhất để có: ( ) , f x a x   . 12 Bài toán 1.32. Cho hàm số :f   thỏa mãn: 2 *( ) ( ) ( ) , , f x f q m x q m q       và x  . Chứng minh f là hàm hằng. Bài toán 1.33. Tìm tất cả các hàm số :[1; ) [1; )f    thỏa mãn các điều kiện: (i) ( ) 2(1 ), [1; )f x x x     ; (ii) 2(1 ) ( ) 1, [1; )xf x f x x      . Bài toán 1.34. (Thi học sinh giỏi Việt Nam, 2003) Đặt { : (3 ) ( (2 )) , }F f f x f f x x x          . Tìm giá trị lớn nhất của  sao cho với mọi f F ta luôn có ( )f x x . Bài toán 1.35. (Thi học sinh giỏi Belarus, 1997) Cho hàm số :f    thỏa mãn: (2 ) ( ( )), f x x f f x x     . Chứng minh rằng ( ) , f x x x    . Bài toán 1.36. (Thi học sinh giỏi Trung Quốc, 1998) Cho hàm số :f   thỏa mãn các điều kiện: (i) 2 2 ( ) 2 , 2 x f x x f x          ; (ii) ( ) 1, ( 1;1)f x x    . Chứng minh rằng 2 ( ) , 2 x f x x   . 13 CHƢƠNG 2 MỘT SỐ HỆ BẤT PHƢƠNG TRÌNH HÀM DẠNG TUYẾN TÍNH Chương này ta chủ yếu trình bày các định lí, bổ đề và hệ quả liên quan, được xem như những bài tập dạng tổng quát, từ đó có thể giải được các bài tập cụ thể. Các kiến thức trong chương được tham khảo trong các tài liệu [1], [2], [3]. Ta xét các hệ bất phương trình hàm dạng tuyến tính, với các dạng tổng quát sau đây: - Dạng 1:         , ; , . f a x f x x f b x f x x               - Dạng 2:         , ; , . f a x f x x f b x f x x             - Dạng 3:         , ; , . f ax f x x f bx f x x             - Dạng 4:         , ; , . f ax f x x f bx f x x           trong đó , , , a b   là các số thực cho trước. Chú ý rằng, nếu  f a  ,  f b  , thì hệ bất phương trình hàm dạng 1 trở thành bất phương trình hàm Cauchy cổ điển      f x y f x f y   , , x y . Trước hết, ta nhắc lại rằng, một tập hợp M trù mật trong tập số thực  nếu như trong mọi lân cận của một điểm tùy ý của tập  đều có ít nhất một điểm của tập M . Chẳng hạn, tập  các số hữu tỷ là tập trù mật trong tập  . 14 Tính chất sau đây là một kết quả quen thuộc (Định lí Kronecker), có thể tìm thấy chứng minh ở các tài liệu lý thuyết cơ bản: “Nếu a và b là các số thực không thông ước với nhau, thì tập   ; , A ma nb m n   trù mật trong  ”. Hơn nữa, ta có thể chứng minh được các kết quả sau đây Bổ đề 2.1. Giả sử ,a b và 0a b  là các số cho trước. Ký hiệu   ; , A ma nb m n   . 1) Nếu b a  , thì tập A trù mật trong  . 2) Nếu b a  , thì tồn tại 0d  sao cho:   ; A kd k  . Bổ đề 2.2. Giả sử , a b và 0 1a b   là các số cho trước. Ký hiệu   ; , m nM a b m n  . 1) Nếu log log b a  , thì tập M trù mật trong  0, . 2) Nếu log log b a  , thì tồn tại 0d  sao cho:   ; kM d k  . Định lí 2.1. Giả sử , , , a b   là các số thực cho trước thỏa mãn 0a b  , a b    và giả sử rằng hàm :f   liên tục tại ít nhất một điểm. 1) Nếu b a  , thì f thỏa mãn hệ bất đẳng thức hàm 15         , ; , . f a x f x x f b x f x x               (2.1) khi và chỉ khi    0f x px f  , x , trong đó :p a   . 2) Nếu b a  , thì tồn tại duy nhất một nghiệm là hàm liên tục :f   của hệ phương trình hàm tương ứng         , ; , . f a x f x x f b x f x x               (2.2) sao cho   00,f fd  , trong đó  : min 0 ; , d ma nb m n    tồn tại, là số dương và  0 : 0,f d  là hàm liên tục cho trước thỏa mãn điều kiện    0 0 0f d d f a    . Hơn nữa, nếu 0f là đơn điệu nghiêm ngặt, thì nó trùng với hàm f trên đoạn  0,d . Định lí 2.2. Giả sử , a b và , 0   là các số cho trước thỏa mãn 0a b  , log log a b    và giả sử rằng hàm :f   liên tục tại ít nhất một điểm. 1) Nếu b a  , thì f thỏa mãn hệ bất đẳng thức hàm 16         , ; , . f a x f x x f b x f x x             (2.5) khi và chỉ khi    0 pxf x f e , x , trong đó log :p a   . 2) Nếu b a  , thì tồn tại duy nhất một nghiệm hàm liên tục :f   của hệ phương trình hàm tương ứng         , ; , . f a x f x x f b x f x x             (2.6) sao cho   00,f fd  , trong đó  : min 0 ; , d ma nb m n    tồn tại, là số dương và  0 : 0,f d  là hàm liên tục cho trước thỏa mãn điều kiện    0 0 log 0 d af d f e   . Hơn nữa, nếu 0f là đơn điệu nghiêm ngặt, thì nó trùng với hàm f trên đoạn  0,d . Định lí 2.3. Giả sử , , , a b   là các số thực cho trước thỏa mãn 0 1a b   , log loga b    và giả sử rằng hàm :f I  liên tục tại ít nhất một điểm. 1) Nếu log log b a  , thì f thỏa mãn hệ bất đẳng thức hàm 17         , ; , . f ax f x x I f bx f x x I           (2.8) thì i) Trường hợp  0,I   :    log 1f x p x f  , 0x  , ii) Trường hợp  ,0I   :      log 1f x p x f    , 0x  , trong đó : log p a   . 2) Nếu log log b a  , thì tồn tại duy nhất một nghiệm hàm liên tục :f I  của hệ phương trình hàm tương ứng         , ; , . f ax f x x I f bx f x x I           (2.9) sao cho   01,f fd  , trong đó  : min 1 ; , m nd a b m n   tồn tại, lớn hơn 1 và  0 : 1,f d  là hàm liên tục cho trước thỏa mãn điều kiện    0 0.log 1 log f d d f a    . Hơn nữa, nếu 0f là đơn điệu nghiêm ngặt, thì nó trùng với hàm f trên đoạn  1,d . 18 Hệ quả 2.1. Giả sử , , , a b    thỏa mãn các giả thiết của Định lý 2.1, phần 1. Nếu hàm    : ,0 0,f       thỏa mãn hệ bất đẳng thức (2.8) và trong mỗi khoảng  ,0 ,  0, tồn tại ít nhất một điểm mà tại đó hàm f liên tục, thì             log 1 , khi 0, , log 1 , khi ,0 , p x f x f x p x f x            trong đó : log p a   . Chú ý 2.1. Giả sử , , , a b   là các số thực cho trước thỏa mãn 0 1a b   và log loga b    . Nếu 0 I , thì không tồn tại hàm nào thỏa mãn hệ (2.8). Định lí 2.4. Giả sử , , , a b   là các số thực cho trước thỏa mãn 1a b  , log log log loga b    và giả sử rằng hàm :f I  liên tục tại ít nhất một điểm. 1) Nếu log log b a  , thì f thỏa mãn hệ bất đẳng thức hàm         , ; , . f ax f x x I f bx f x x I         (2.11) thì i) Trường hợp  0,I   :    1 pf x f x , 0x  , ii) Trường hợp  ,0I   :     1 pf x f x   , 0x  , 19 trong đó log : log p a   . 2) Nếu log log b a  , thì tồn tại duy nhất một nghiệm hàm liên tục :f I  (  0,I   hoặc  ,0I   ) của hệ phương trình hàm tương ứng         , ; , . f ax f x x I f bx f x x I         (2.12) sao cho   01,f fd  , trong đó  : min 1 ; , m nd a b m n   tồn tại, lớn hơn 1 và  0 : 1,f d  là hàm liên tục cho trước thỏa mãn điều kiện    0 0 log log 1 a f d f d   . Hơn nữa, nếu 0f là đơn điệu nghiêm ngặt, thì nó trùng với hàm f trên đoạn  1,d . Chú ý 2.2. Giả sử , , , a b   là các số thực cho trước thỏa mãn 0 1a b   và log log log loga b    . Nếu I  hoặc  0,I   hoặc  ,0I   và :f I  thỏa mãn hệ (2.11), thì  0 0f  . Chú ý 2.3. i) Giả sử  : 0,f   thỏa mãn hệ (2.11). Nếu  0,f  và , , , a b   thỏa mãn tất cả các giả thiết của Định lí 2.1, phần 1, thì 20      1 khi 0, , 0 khi 0, p f x x f x x       trong đó log : log p a   . ii) Giả sử  : ,0f   thỏa mãn hệ (2.11). Nếu  ,0f  và , , , a b   thỏa mãn tất cả các giả thiết của Định lí 2.1, phần 1, thì       1 khi ,0 , 0 khi 0, p f x x f x x         trong đó log : log p a   . Hệ quả 2.2. Giả sử , , , a b    thỏa mãn các giả thiết của Định lí 2.1, phần 1. i) Nếu hàm    : ,0 0,f       thỏa mãn hệ bất đẳng thức (2.11) và trong mỗi khoảng  ,0 ,  0, tồn tại ít nhất một điểm mà tại đó hàm f liên tục, thì            1 khi 0, , 1 khi ,0 , p f x x f x p f x x           trong đó log : log p a   . ii) Nếu hàm :f   thỏa mãn hệ bất đẳng thức (2.11) và trong mỗi khoảng  ,0 và  0, tồn tại ít nhất một điểm mà tại đó hàm f liên tục, thì 21            1 khi 0, , 0 khi 0, 1 khi ,0 , p f x x f x x p f x x             trong đó log : log p a   . Chú ý 2.4. Ta luôn có các định lí tương tự như các Định lí 2.1- Định lí 2.4, với hàm f thỏa mãn các bất đẳng thức có dấu ngược lại. 22 CHƢƠNG 3 MỘT SỐ BẤT PHƢƠNG TRÌNH HÀM TRÊN TẬP SỐ NGUYÊN Bất phương trình hàm trên tập số nguyên là những dạng toán rất khó, thường gặp trong các kì thi Olympic toán quốc tế. Lý do là, các phương pháp thông thường như sử dụng giới hạn hàm số, dãy số,thường không thể giải được bài toán. Phương pháp giải bất phương trình hàm loại này thường là bất quy tắc, chủ yếu sử dụng tính quy nạp và một số phương pháp giải mang tính đặc trưng trên tập số nguyên. Dưới đây là một số bài toán minh họa cho một số phương pháp đó. Bài toán 3.1. Với mỗi hàm : , (1) 1g g    cho trước, chứng minh rằng luôn tồn tại hàm số :f    thỏa mãn ( ) ( )f n g n với mọi n  và ( ) ( ) ( )f mn f m f n với mọi cặp số nguyên dương , m n nguyên tố cùng nhau. Bài toán 3.2. (Thi học sinh giỏi Việt Nam, 1977) Cho hàm số * *:f   thỏa mãn điều kiện sau: *( ( )) ( 1), f f n f n n    . (3.1) Chứng minh rằng: *( ) , f n n n   . 23 Bài toán 3.3. Tìm hàm * *:f   sao cho: *, 2: ( 1) ( ), kk k f n f n n        . (3.6) với ( ) ( ...( ( ))...)kf n f f f n với k lần f . Bài toán 3.4. Tìm tất cả các hàm số * *:f   thỏa mãn: ( ) ( ) ( ) ( ) 1,f xy f xz f x f yz   *, , .x y z  (3.10) Bài toán 3.5. Tìm tất cả các hàm số * *:f   thỏa mãn: i) (2) 2f  ; ii) *( ) ( ) ( ), ,f mn f m f n m n   thỏa mãn ( , ) 1m n  ; iii) ( ) ( )f m f n với mọi .m n Bài toán 3.6. Cho {1,2,3,...,2010}D  . Hàm số :f D thỏa mãn với mọi , m n D mà 2010m n  thì ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1.f m f n f m n f m f n      Chứng minh rằng tồn tại số thực x sao cho với mỗi ,n D thì ( ) [ ],f n nx (với [ ]a là số nguyên lớn nhất không vượt quá a ). 24 KẾT LUẬN Sau một thời gian nghiên cứu, tìm tòi và học hỏi, với các tài liệu của thầy giáo TS. Trịnh Đào Chiến cung cấp, tôi đã hoàn thành đề tài của mình. Luận văn “Về một số lớp bất phƣơng trình hàm” đã đề cập tới các vấn đề sau: 1. Đề cập đến một số dạng bất phương trình hàm một biến và nhiều biến tự do cùng một số định lý và hệ quả có liên quan, áp dụng cho việc giải các bài tập đưa ra. 2. Trình bày các định lý và hệ quả liên quan, được xem như những bài tập dạng tổng quát của hệ bất phương trình hàm tuyến tính, từ đó có thể giải được các bài tập cụ thể. 3. Bất phương trình hàm trên tập số nguyên là những dạng toán rất khó, thường gặp trong các kì thi Olympic toán quốc tế. Phương pháp giải bất phương trình hàm loại này thường là bất quy tắc, chủ yếu sử dụng tính quy nạp và một số phương pháp giải mang tính đặc trưng trên tập số nguyên. Nhiều phương pháp giải các bài toán khó trong các đề thi học sinh giỏi các cấp và Olympic Toán quốc tế đã được đề cập. Luận văn có thể là một tài liệu tham khảo cho giáo viên và học sinh phổ thông. Mặc dù bản thân đã cố gắng rất nhiều trong quá trình làm luận văn, tuy nhiên do thời gian và năng lực còn hạn chế nên không tránh khỏi những thiếu sót trong luận văn này. Rất mong quý thầy cô và các bạn đọc góp ý để luận văn được hoàn thiện hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn!