Lý thuyết thăng giáng

PHẦN 1 MỞ ĐẦU 1.1. Lí do chọn đề tài Vật lý thống kê là một ngành trong vật lý lý thuyết, áp dụng các phương pháp thống kê để giải quyết các bài toán liên quan đến các hệ chứa một số rất lớn những phần tử, có số bậc tự do cao đến mức không thể giải chính xác bằng cách theo dõi từng phần tử, mà phải giả thiết các phần tử có tính hỗn loạn và tuân theo các quy luật thống kê. Một trong các vấn đề của vật lý thống kê là ký thuyết thăng giáng. Khi hệ nằm trong trạng thái cân bằng, trên thực tế, các đại lượng vật lý bất kỳ F(x) không phải là không đổi mà liên tục biến đổi ở gần giá trị trung bình F của nó. Trong các phần nhỏ của một hệ thức bất kỳ, hoặc là sau một khoảng thời gian nhỏ, do chuyển động của hạt vi mô của các hạt, có xảy ra biến thiên tự phát của các thông số vĩ mô. Các độ lêch ngẫu nhiên tồn tại trong hệ một cách liên tục này của các đại lượng vật lý so với trị số trung bình được gọi là các thăng giáng. Người đầu tiên nghiên cứu vấn đề thăng giáng là Albert Einstein khi ông nghiên cứu hiệu ứng kích thước nguyên tử hữu hạn tác động đến hiện tượng tán xạ vào năm 1903 và 1904. Và sau đó ông đưa ra lý thuyết về chuyển động Brown. Đây là bài báo đầu tiên về vật lý thống kê. Việc tìm xác suất xuất hiện một trị số tuyệt đối nào đó của thăng giáng là một trong các vấn đề cơ bản của lý thuyết thăng giáng. Dựa vào thăng giáng người ta giải thích được nhiều hiện tượng vật lý như: tán xạ của ánh sáng, sự xuất hiện của các dòng không đều trong các mạch có suất điện động. Các thăng giáng đã đặt giới hạn cho độ nhạy của máy đo khác nhau… Nhằm mục đích hiểu rõ hơn về những vấn đề trên nên em chọn đề tài “Lý thuyết thăng giáng”. 1.2. Mục đích nghiên cứu Đề tài này nghiên cứu nhằm hệ thống lại một số kiến thức về lý thuyết thăng giáng và ứng dụng vào giải một số bài tập liên quan. 1.3. Phương pháp nghiên cứu Để hoàn thành tiểu luận này cần phải sử dụng các phương pháp phân tích, tổng hợp và vận dụng các kiến thức để tính toán triển khai công thức và giải các bài tập cụ thể. 1.4. Giới hạn đề tài Đề tài nghiên cứu một số vấn đề của lý thuyết thăng giáng về định nghĩa, thăng giáng thống kê ở hệ cân bằng, các phương pháp xác định thăng giáng, một số úng dụng và một số bài tập điển hình. 1.5. Bố cục đề tài Tiểu luận chia làm 3 phần Phần mở đầu nêu rõ lý do chọn đề tài, mục đích, nhiệm vụ, phương pháp nghiên cứu và giới hạn đề tài. Phần thứ hai là phần nội dung chính của đề tài. Phần thứ ba là kết luận và tài liệu tham khảo. PHẦN 2 NỘI DUNG CHƯƠNG I. MỘT SỐ VẤN ĐỀ CỦA LÝ THUYẾT THĂNG GIÁNG O F(x) F t Hình 1 I.1. Định nghĩa thăng giáng Một số định nghĩa cơ bản F(x) là trị tức thời của một đại lượng vật lý; là trị trung bình; là độ lệch khỏi trị trung bình, đồng thời là bình phương của độ lệch khỏi thị trung bình; là trị trung bình của bình phương độ lệch hay phương sai ; là độ lệch quân phương khỏi vị trí trung bình; Để đánh giá gần đúng độ thăng giáng của một đại lượng vật lý, người ta dùng độ lệch quân phương của nó. Thông thường như vậy là đủ. Nhưng đôi khi để đánh giá độ thăng giáng người ta có thể dùng độ lệch có bậc cao hơn, thí dụ độ lệch trung bình bậc bốn. Độ thăng giáng của một đại lượng vật lý tính theo độ lệch quân phương là bằng (I.1) Đôi khi, thay cho trị tuyệt đối của độ thăng giáng người ta đưa vào độ thăng giáng tương đối, được xác đinh như sau (I.2) Việc xác định độ thăng giáng qua độ lệch quân phương làm cho việc đánh giá độ lớn của nó được dễ dàng. Thực vậy, độ lệch quân phương (hay phương sai ), cũng như phương sai là đại lượng ngẫu nhiên. Đại lượng ngẫu nhiên đó phân bố gần trị trung bình theo định luật chuẩn (định luật phân bố Gaoxơ) (I.3) W(F) F Hình 2 Định luật đó chỉ rằng ta sẽ gặp độ lệch lớn hơn độ lệch quân phương hiếm hơn rất nhiều so với các độ lệch nhỏ. Vì vậy, độ lệch quân phương cho ta hình dung được cỡ của độ thăng giáng một đại lượng vật lý ngẫu nhiên nào đó. Phân tích (I.1) ta sẽ có cực đại càng hẹp nếu phương sai càng nhỏ. Chắc chắn rằng, có thể có những độ lệch rất lớn hơn độ lệch quân phương, nhưng chúng có xác suất rất nhỏ và vì vậy chúng sẽ không gây ảnh hưởng đáng kể tới các tính chất của hệ.(hình vẽ ) Như vậy, để đánh giá thăng giáng trong hệ, ta cần phải biết trung bình của bình phương độ lệch của một đại lượng vật lý (đặc trưng cho hệ) mà ta có thể xác định, chẳng hạn như theo công thức sau Trong đó là trung bình của bình phương của đại lượng đó, còn là bình phương của trị trung bình. Trị trung bình của một đại lượng vật lý được xác định từ thí nghiệm, còn trung bình của bình phương thì thường là chưa biết. Trong một hệ bất kỳ thường có các thăng giáng của nhiều đại lượng vật lý. Khi đó, đối với hai đại lượng bất kỳ trong số đó, ngoài việc tính các độ lệch quân phương và , ta thường xét đại lượng Đại lượng đó được gọi là tương quan của hai đại lượng và bởi vì nó nói lên mối quan hệ tương hỗ của hai đại lượng ngẫu nhiên đó. Nếu các đại lượng ngẫu nhiên và là độc lập thì tương quan của chúng bằng không. Và ngược lại, nếu tương quan của hai đại lượng nào đó, và , là bằng không thì đại lượng đó được xem là độc lập. I.2: Thăng giáng thống kê ở hệ cân bằng Ta đã thấy rằng trong một hệ vật lý ở trạng thái cân bằng, trong khi các giá trị của các tham số ngoại được xác định từ điều kiện bên ngoài, thì các biến số nội của hệ lại luôn có những giá trị chịu những biến thiên quanh giá trị trung bình, đó chính là thăng giáng nội tại. I.2.1: Thăng giáng của mật độ hạt 1. Thăng giáng số hạt của một hệ nhỏ Xét một hệ S có một thể tích nhỏ V xác định trong một hệ , hệ S có thể trao đổi nhiệt và trao đổi hạt với phần còn lại của , phần còn lại này đóng vai trò hệ điều nhiệt và hệ trữ hạt. Ta cho hệ S có nhiệt độ T và thế hóa học . Như ta đã biết, khi ở trạng thái cân bằng, xác suất để S ở trạng thái vi mô có năng lượng và có số hạt là: (I.2.1a) trong đó, Z là hàm tổng thống kê lớn (I.2.2b) Số hạt trung bình trong thể tích V là: (I.2.3a) Và (I.2.3b) Lấy đạo hàm biểu thức (I.2.3a) theo ta có: (I.2.4) Từ đó ta có: (I.2.5) Sự thăng giáng của số hạt trong hệ S được tính bằng hệ thức : (I.2.6) Hay v Áp dụng cho khí hệ lý tưởng Với khí lý tưởng đơn nguyên tử, ta có công thức tính năng lượng tự do là (I.2.7) Do đó thế hóa học là: (I.2.8) Như vậy (I.3.9) Và ta tính được độ thăng giáng tương đối tỷ lệ nghịch với . (I.2.10) 2. Thăng giáng thể tích một hệ nhỏ Để xét thăng giáng của thể tích của một hệ nhỏ s là một phần của hệ S, ta xác định số hạt của hệ s không đổi và cho s tiếp xúc nhiệt và cơ với phần còn lại của S. Phần còn lại này sẽ ấn định cho hệ s nhiệt độ T và áp suất p; ta gọ đó là tập hợp T-p. Ta có áp suất để hệ s ở trạng thái cân bằng có thể tích trong khoảng V đến V+dV và có trạng thái vi mô có năng lượng là: (I.2.11) Với (I.2.12) Vậy ta có: (I.2.13) (I.2.14) Vậy: (I.2.15) Áp dụng cho khí lý tưởng: Từ phương trình trạng thái pV = NkT ta có . Từ (I.2.15) ta được: Vậy: (I.2.16) 3. Thăng giáng cục bộ Trong thực tế người ta của mật độ hạt cục bộ trong thể tích V được định nghĩa: (I.2.17) Thăng giáng có thể tính bởi phương pháp của phần I.2.1, tức là giữ thể tích V xác định cho ta kết quả: (I.2.18) Hoặc bởi phương pháp cho N xác định như trong phần I.2.2: (I.2.19) Hai kết quả trên là tương đương, vì thực tế ta có hệ thức (I.2.20) Thực vậy, một mặt ta có: (I.2.21) Mặt khác: (I.2.22) Nhưng vì năng lượng tự do F là đại lượng cộng tính nên Tương tự ta cũng có: So sánh biểu thức trên với (I.2.21), (I.2.22) ta tìm được (I.2.20). I.2.2: Thăng giáng của năng lượng I.2.2.1. Sự tương hợp giữa năng lượng và thể tích Để đánh giá được nhưng thăng giáng thống kê của năng lượng, ta có thể sử dụng một trong hai phương pháp: hoặc ta xác định thể tích V của hệ nhỏ S, là một phần của hệ S, hoặc ta cho số hạt N có giá trị định trước. Tất nhiên là hai phương pháp cùng dẫn đến một hệ quả vật lý cho năng lượng. Ở đây ta sẽ dùng phương pháp thứ hai, cho xác định số hạt N. khi này, ta có tập hợp T-p, và phân bố thống kê của các trạng thái vi mô được xác định bởi hệ thức (I.2.11). Để tính được thăng giáng của năng lượng E, ta phải xét mối liên hệ giữa E và V, xác định bởi: (I.2.23) Để có kết quả đánh giá mối tương quan trên ta đi tính trị trung bình của đại lượng V(E+pV): (I.2.24) Với Z được tính bởi hệ thức (I.2.12). Ta có thể thấy rằng như vậy (I.2.25) Mặt khác ta có thể tính ở (I.2.13), ta có (I.2.26) Vậy: (I.2.27) Và từ hệ thức tính đã có ở (I.2.15) ta có hệ thức cho thấy sự tương quan giữa năng lượng và thể tích: (I.2.28) I.2.2.2. Thăng giáng năng lượng theo CP Để tính được thăng giáng của năng lượng ta bắt đầu bằng cách tính thăng giáng của đại lượng E+pV = H là entalpi cuả hệ. ta có: (I.2.29) và (I.2.30) Như vậy: (I.2.31) Mặt khác ta lại có nhiệt dung đẳng áp có thể được tính bởi: (I.2.32) (thật vậy, từ ta có vì nên mặt khác do đó ta thu được biểu thức (I.2.32).) vậy: (I.2.33) nhưng đồng thời ta có (I.2.34) Từ (I.2.15), (I.2.23), (I.2.28) và (I.2.33) ta có Thay vào biểu thức tính ta có : (I.2.35) Biểu thức (I.2.35) là công thức tính độ thăng giáng của năng lượng theo nhiệt dung đẳng áp. I.2.2.3. Thăng giáng theo nhiệt dung đẳng tích Cv Để có thể tính theo nhiệt dung đẳng tích Cv thay vì theo Cp như ở công thức (I.2.35) ở trên, ta đi tìm hệ thức giữa Cp và Cv . Muốn vậy từ nhận xét rằng các vi phân của năng lượng và entalpi có dạng tổng quát ta suy ra được (I.2.36) (I.2.37) Ta thực hiện phép biến đổi của hàm S: Vì V là hàm của các biến T, p và N thông qua phương trình trạng thái. Vậy: Và như vậy, ta thu được hệ thức Mayer: (I.2.38) Mặt khác, từ phương trình trạng thái, ta có: (I.2.39) Thật vậy, theo phương trình trạng thái thì p là một hàm của thể tích và nhiệt độ. Nên ta có: Cho và lúc đó ta có: Thế vào biểu thức ta có Hệ thức Mayer trở thành: (I.2.40) Ta thế biểu thức (I.2.40) vào biểu thức (I.2.35) ta có : (I.2.41) v Áp dụng cho khí lý tưởng Trong trường hợp ta xét là hệ vật lý khí lý tưởng, từ phương trình trạng thái pV=NkT ta có: (I.2.42) Thật ra, hệ thức đơn giản trên liên quan đến điều hiển nhiên là thăng giáng của năng lượng và của thể tích của hệ khí lý tưởng là không có tương quan (I.2.43) I.2.3: Thăng giáng của nhiệt độ Trong thực tế sự thăng giáng của năng lượng không được đo trực tiếp, mà nhiệt độ được đo bằng nhiệt kế; năng lượng trung bình E và thể tích trung bình E và thể tích trung bình V của hệ có mối quan hệ với nhiệt độ của hệ. Vì như vậy, nhiệt độ T của hệ S là hàm theo E và V nên : (I.2.44) Nhưng ta lại có: (I.2.45) Và do: Nên (I.2.46) Và như vậy: (I.2.47) Độ tương quan giữa nhiệt độ và thể tích được đánh giá bởi: (I.2.48) Thật ra bằng cách thay biểu thức (I.2.47) bằng các đại lượng Và mà ta đã thấy ở (I.2.15) và (I.2.29), ta có: (I.2.49) (theo kết quả ta đã có ở (I.2.39)) Điều này chứng tỏ rằng thăng giáng của nhiệt độ và của thể tích là không tương quan. Mặt khác, trong hệ thức (I.2.46), ta thấy các giá trị , và đã được tính ở (I.2.15), (I.2.33), (I.2.27) nên ta có: (I.2.50) I.3 Xác định momen tương quan như bài toán cơ bản của lý thuyết thăng giáng. Các hiện tượng vật lý quan sát được về mặt vĩ mô dsinh ra do thăng giáng chính là sự sai lệch hỗn loạn của các đại lượng vật lý khỏi các giá trị trung bình thống kê cân bằng của chúng. Ví dụ như sự tán xạ ánh sáng bởi các môi trường xảy ra do các thăng giáng mật độ gây ra do sự không đồng nhất trong không gian của chiết suất (hệ số khúc xạ); những thăng giáng của dòng trong mạch điện trong các mạch điện là nguyên nhân gây ra những tạp âm không khử được trong các thiết bị vô tuyến; độ lớn các thăng giáng điện và cơ trong các dụng cụ đo quyết định độ nhạy của chúng,… Đặc trưng định lượng các thăng giáng là momen tương quan. Trong trường hợp tổng quát, đối với n đại lượng vật lý khác nhau có thể viết dưới dạng: (I.3.1) trong đó các chỉ số trên t và 0 có nghĩa là đại lượng đã cho được lấy tại các thời điểm khác nhau t và trong nhiều trường hợp, các hiện tượng thăng giáng được phản ánh khá đầy đủ bởi momen tương quan bậc 2, hoặc ngắn gọn hơn là các tương quan bình phương, nghĩa là các đại lượng dạng: (I.3.2) Trong đa số trường hợp, các hiện tượng thăng giáng được phản ánh khá đầy đủ bởi momen tương quan bậc 2, hoặc ngắn gọn hơn là các tương quan bình phương, nghĩa là các đại lượng dạng: (I.3.3) ; (I.3.4) Trong số đó đại lượng quan trọng nhất là sự sai lệch bình phương trung bình , đôi khi còn được gọi ngắn gọn là “thăng giáng” và sai lệch bình phương trung bình tương đối hay “thăng giáng tương đối” được xác định như sau: (I.3.5) Đối với các đại lượng vật lý khác nhau, có nhiều cách để tính các momen tương quan bình phương. Với các đại lượng chỉ phụ thuộc vò tốc độ hoặc xung lượng, việc tính các momen tương đối dễ dàng nhờ biểu thức tổng quát đối với xác suất có giá trị cho trước của xung lượng: các trung bình bất kỳ, ví dụ , và được tính bằng tích phân một lần đơn giản. Với các đại lượng phụ thuộc vào tọa độ, việc tìm momen tương quan như các trung bình theo phân bố Gibbs: Không khó khăn hơn so với việc tính khí năng lượng tự do của chất khí hoặc chất lỏng thực. Vì thế để tính các tương quan, ta dùng các phương pháp khác nhau cho công thức tính các momen cao hơn. Trong một số trường hợp đơn giản nhất, các sai lệch bình phương trung bình của xung lượng được tính nhờ định lý Virian, còn các sai lệch bình phương trung bình của xung lượng được tính nhờ định lý phân bố đều của động năng. Ví dụ, theo định luật phân bố đều: Suy ra: . Mà , do đó: (I.3.6) Theo định lý Virian đối với dao tử điều hòa có thì . Ta cũng có , do đó . Do đó để tính độ lệch bình phương trung bình của dao động tử điều hòa, chỉ cần biết hệ số đàn hồi . I.4: Tính momen bình phương theo phương pháp Gibbs Cơ học thống kê của Gibbs cho phép rút ra những hệ thức tổng quát, liên hệ phương sai và nói chung là các tương quan bình phương của các tọa độ suy rộng vơi các giá trị trung bình của chúng khi có lực phụ tác động lên các tọa độ này. Như vậy, nếu biết sự phụ thuộc của vào lực ngoài (dù chỉ bằng thực nghiệm) thì có thể tìm các đại lượng . Theo bổ đề thứ hai của Gibbs, đối với số hạng bất kỳ ta có: (I.4.1) Nếu đại lượng là hàm của tọa độ, thì có thể biểu diễn như toạ độ suy rộng mới nào đó. Đại lượng a xuất hiện trong (I.4.1) được biểu diễn là lực phụ bên ngoài, tác động theo hướng tọa độ suy rộng q. Điều này có nghĩa là hàm Hamilton của hệ có dạng: (I.4.2) Thực vậy, theo phương trình Hamilton: (I.4.3) nghĩa là ngoài tác dụng của lực hệ còn chịu của lực phụ -a. Thay và H(X,a) từ (I.4.2) vào (I.4.1) với chú ý ta được: (I.4.4) Tương tự, trong trường hợp hàm tọa độ suy rộng và , nếu đặt: (I.4.5) Theo (I.4.1) ta có: ; (I.4.6) Mặt khác, trong (I.4.1) xét , ta có: Nếu xét , thay vào (I.4.1) ta có: Tóm lại: (I.4.7) Công thức (I.4.4) và (I.4.7) cho phép ta tính các tương quan bình phương của các đại lượng vật lý bất kì, chỉ là hàm của các tọa độ nếu biết sự phụ thuộc của các giá trị trung bình của các đại lượng này vào các lực không đổi bên ngoài tác động lên chúng. Tương tự, có thể nhận được công thức liên hệ các momen tương quan bậc cao hơn đối với các đạo hàm của các giá trị trung bình của các giá trị trung bình của các tọa độ theo lực phụ . Đồng thời ta sẽ chỉ ra rằng phương pháp tổng quát được áp dụng để tính các momen tương quan không chỉ của tọa độ, mà cả của vận tốc. Giả thiết rằng đại lượng F trong (I.4.1) có ý nghĩa của vận tốc nào đó, tức là thay F bởi . Khi đó, theo (I.4.1) và (I.4.2) ta có: (I.4.8) Tuy nhiên vận tốc trung bình của đại lượng bất kỳ F, lấy theo phân bố cân bằng luôn bằng không, vì: Nhưng theo vật lý thống kê, ở trạng thái cân bằng nhiệt động thì , do đó: (I.4.9) Từ (I.4.8) và (I.4.9) ta có: Mặt khác, , do đó: (I.4.10) Giả sử và lưu ý rằng , khi đó . Thay vào (I.4.10) ta được: Hay Kết quả này chính là biểu thức (I.3.6) I.5: Xác định thăng giáng bằng phương pháp Gibbs 1. Dựa vào phân bố chính tắc Gibbs ta có thể tính được trung bình của bình phương và cả trị số của độ thăng giáng của một đại lượng vật lý F bất kỳ. (I.5.1) Trong trường hợp đặc biệt khi mà đại lượng vật lý F chỉ phụ thuộc vào xung lượng của một hệ thì bài toán tìm thăng giáng được giải đến cùng bằng cách lấy tích phân biểu thức (I.5.2) Trong đó đại lượng hoặc là đã biết từ thí nghiệm hoặc là được tínth theo công thức (I.5.3) Còn trong trường hợp tổng quát, khi F phụ thuộc cả vào p lẫn q thì việc tính tích phân (I.5.1) rất khó khăn. 2. Trong những trường hợp mà ta không thể tính trực tiếp biểu thức (I.5.1), thì để xác định phương sai của các đại lượng nhiệt động , người ta xác ddnhj theo cách khác: người ta biểu thị phương sai của một đại lượng nhiệt động theo một hàm nào đó của trị trung bình mà ngườ ta thường đã biết trước từ thí nghiệm. cách đó thường được sử dụng trong trường hợp khi mà đại đại lượng vật lý F chỉ phụ thuộc vào tọa độ x của hệ: . Ta chứng minh rằng trong phân bố chính tắc có hệ thức sau đây: (I.5.4) Thật vậy, bằng cách lấy vi phân công thức trị trung bình của đại lượng F theo a, ta được: Mặt khác ta có Nên: Ta lại có: Do đó: Vậy: Hay: Ta xét ví dụ sau: pa Hình 3. Giả sử có N phân tử khi nằm trong thể tích V giới hạn bởi xylanh và pittông có tác dụng của áp lực bên ngoài p (hình vẽ). Khi đó hàm Hamilton H(X,p) của chất khí có dạng sau đây: H(X,p) = H(X) + pV(X) (I.5.5) ở đây áp suất p được xem như thông số ngoài a tương ứng với thể tích V(X). áp dụng hệ thức (I.5.4), thay a bằng p và F(X) bằng V(X) ta sẽ có (I.5.6) Từ (I.5.5) ta có Thay vào phương trình (I.5.6) ta được: Mà Nên ta có được: Hay: (I.5.7) ở đây đạo hàm đã biết từ thí nghiệm (theo phương trình Calapeyron – Mendeleev), bởi vì là thể tích vĩ mô của hệ nên (I.5.8) Vậy phương sai của thể tích bằng (I.5.9) Và thăng giáng tương đối của thể tích là nghĩa là thăng giáng tương đối của thể tích tỷ lệ với căn bậc hai của số hạt. Thay ta có thể viết lại công thức (I.5.7) như sau: (I.5.10) Với các thông số ngoài bất kỳ a và các tọa độ q tương ứng với chúng, đẳng thức (I.5.7) có thể viết một cách tổng quát như sau: và (I.5.11) Theo (I.5.11) ta có thể tính thăng giáng của một đại lượng bất kỳ q(x) qua đạo hàm , đạo hàm đo được trong thí nghiệm hoặc là được biểu thị qua năng lượng tự do. Như vậy, nếu biết được năng lượng tự do ta có thể tính được thăng giáng của các đại lượng nhiệt động q(x). 3. Để đánh giá thăng giáng ta có thể tiến hành theo quan điểm khác. Ta coi rằng, mọi độ lệch khỏi cân bằng đều kéo theo sự biến thiên của năng lượng, của entrôpy và của các thông số khác của một phần của hệ do phần còn lại của hệ gây ra. Trong trường hợp phân bố chính tắc, xác suất sao cho hệ nằm trong một nhóm các trạng thái xác định P1 là bằng Trong đó Z1 là tích phân trạng thái theo nhóm trạng thái P1 đó, còn Z là tích phân theo toàn bộ các trạng thái của hệ (tức là tích phân trạng thái). Gọi là năng lượng tự do của toàn bộ hệ và là năng lượng tự do của hệ trong các trạng thái P1, ta có Do đó xác suất sao cho hệ đẳng nhiệt nằm trong nhóm trạng thái P1 tức là xác suất của các thăng giáng trong hệ, sẽ có thể viết như sau: (I.5.12) Như vậy, để tìm được xác suất của các thăng giáng W(P1) ta phải tìm , vấn đề này có thể dược giải quyết trong một số trường hợp cụ thể. 4. Trong một số trường hợp đơn giản nhất, ta có thể tính được độ lệch quân phương dựa vào lập luận cụ thể về thăng giáng và vào định luật phân bố đều động năng theo các bậc tự do hoặc dựa vào định luật Virian. Vậy tùy vào từng trường hợp cụ thể mà ta có thể tìm được thăng giáng dựa vào phương pháp Gibbs một cách khác nhau. CHƯƠNG II: MỘT SỐ HIỆN TƯỢNG LIÊN QUAN ĐẾN THĂNG GIÁNG II.1: Độ nhạy của máy đo Do có thăng giáng, một đại lượng vật lý bất kỳ sẽ biến đổi liên tục ở gần trị trung bình của nó, điều đó xác định độ nhạy của máy đo. Thật vậy, nếu trị số của một đại lượng vật lý mà nhỏ hơn các thăng giáng trong máy đo, thì với một lần đo ta không thể nào xác định được đại lượng vật lý đó. Ta đi xét một vài ví dụ: 1. Để đo nhiệt độ bằng nhiệt biểu thì người ta dựa vào phép đo thể tích chất khí ở áp suất không đổi. Vì vậy, độ nhạy của nhiệt biểu khí sẽ được xác định bởi các thăng giáng của thể tích chất khí. Vì chất khí trong nhiệt biểu thỏa mãn phương trình Calapeyron - Mendeleev cho nên một sự biến thiên của thể tích một lượng sẽ dẫn đến một sự biến thiên của nhiệt độ: (II.1) Thay từ (I.5.9) vào ta được: ` (II.2) Nếu kể rằng N ~ 1020 thì sai số trong phép đo nhiệt độ bằng nhiệt biểu khí do có thăng giáng của thể tích là rất nhỏ : 2. Thông thường khi đo một đại lượng vật lý người ta căn cứ vào độ lệch của kim máy đo hoặc là góc quay của của dây thạch anh. Trong trường hợp đó, các thăng giáng của dây hay của kim (chuyển động nhiệt) cũng làm hạn chế độ nhạy của máy đo. Ta có thể đánh giá độ lớn của các sai lệch ngẫu nhiên của kim, nếu ta coi rằng máy đo có kim có một bậc tự do quay với năng lượng trung bình của chuyển động nhiệt là . Do có thăng giáng, dây hay kim sẽ thực hiện dao động nhỏ ở gần vị trí cân bằng, đối với các dao động có động năng trung bình bằng thế năng trung bình, nghĩa là trong đó là trung bình của bình phương góc lệch khỏi vị trí cân bằng do thăng giáng và là hệ số đàn hồi. Từ đó (II.3) Một đại lượng nào đó sẽ đo được bằng máy đo đó, nếu như góc lệch của kim máy đo tương ứng với đại lượng đó lớn hơn thăng giáng của độ lệch Như vậy,độ chính xác của phép đo giới hạn bởi các thăng giáng. Sẽ rất hay nếu chú ý rằng người ta có thể xác định bằng thực nghiệm hằng số Boltzmann k qua trung bình của bình phương góc lệch của dây thạch anh. 3. Trong các mạch điện cũng có xuất hiện các thăng giáng trong sự phân bố điện tích. Tuy nhiên, nhờ có điện trường các biến thiên bất kỳ của mật độ điện tích được truyền đi bên trong dây dẫn dưới dạng sóng. Khi đó, các thăng giáng ổn định nhất là các thăng giáng mà chúng làm xuất hiện các sóng dừng trong dây dẫn. số các sóng điện từ dừng có tần số từ đến trong một dây dẫn có chiều dài l (chú ý tới số phân cực) có trị số bằng (II.4) Ta sẽ coi rằng mỗi sóng dừng ứng với mỗi năng lượng kT (tương ứng với năng lượng trung bình của dao động tử điều hòa). Khi đó trong mạch có chiều dài l, năng lượng các sóng dừng có tần số từ đến sẽ là: (II.5) Cần biết rằng, thời gian cần thiết để sóng truyền qua chiều dài l là , do đó công suất của các sóng thăng giáng có tần số từ đến (II.6) Bởi vì các dòng thăng giáng xuất hiện do chuyển động nhiệt của các điện tích bên rong dây dẫn, cho nên toàn bộ năng lượng của chúng lại chuyển thành nhiệt trong các điện trở. Độ mất mát của công suất ứng với một đơn vị của khoảng tần số (mật độ quang phổ) trên một dây dẫn có điện trở R theo định luật Jun-Lenxơ, bằng (II.7) trong đó là trung bình của bình phương của suất điện động thăng giáng đối với các sóng có tần số và là điện trở ứng với tần số . Công suất tỏa ra bởi một điện trở dưới dạng các dòng thăng giáng được hấp thụ bởi các điện trở khác. Khi có cân bằng nhiệt, công suất hấp thụ trên các đoạn mạch có điện trở như nhau sẽ bằng nhau không phụ thuộc gì vào bản chất của điện trở, bởi vì nếu không thì mooyj điện trở được đun nóng do một điện trở khác, điều đó mâu thuẫn với nguyên lý thứ hai của nhiệt động học. So sánh (II.6) và (II.7) ta tìm được công thức của suất điện động thăng giáng ứng với tần số : (II.8) Đó là công thức Naiquist. Công thức đó chứng tỏ rằng, bình phương của suất điện động thăng giáng ứng với một tần số nào đó là tỷ lệ với nhiệt độ và với điện trở của dây dẫn ứng với tần số đó. Các dòng thăng giáng và cả “hiệu ứng rung” gắn với các thăng giáng của electron bay ra từ catot đã làm giới hạn độ nhạy của các dụng cụ điện tử hiện đại. II.2: Sự tán xạ của ánh sáng do thăng giáng của mật độ Trong các môi trường thường xảy ra thăng giáng của mật độ (khối lượng riêng). Dùng các hệ thức và ta có thể biểu thị các thăng giáng của mật độ qua thăng giáng của thể tích (I.5.7) dưới dạng sau đây: (II.9) Thăng giáng tương đối của mật độ sẽ tỷ lệ với nhiệt độ tuyệt đối T và với đạo hàm : (II.10) Cùng với thăng giáng của mật độ trong môi trường, sẽ xuất hiện các thăng giáng của hằng số điện môi , các thăng giáng này liên hệ với các tọa độ biến thiên của mật độ bằng hệ thức: (II.11) Nếu sóng ánh sáng đi qua khối điện môi trong suốt, thì do có thăng giáng của hằng số điện môi nên có xảy ra sự tán xạ của thăng giáng. Để tính được ảnh hưởng của các thăng giáng của lên sự tán xạ của ánh sáng, ta dựa vào công thức nêu lên mối liên hệ giữa độ biến thiên của hằng số điện môi với độ biến thiên của véctơ phân cực : (II.12) Trong sóng ánh sáng, điện trường tại mỗi điểm biến thiên theo định luật điều hòa: Do đó véctơ phân cực phụ thêm sẽ biến đổi một cách điều hòa với thời gian ttheo định luật (II.13) với . Nhưng véctơ phân cực biến thiên có thể xem như là lưỡng cực dao động bức xạ các sóng điện từ có cùng tần số, và toàn bộ chất điện môi có thể xem như là một tập hợp các lưỡng cực như vậy. Số các lưỡng cực đó và độ lớn của các moomen lưỡng cực của chúng phụ thuộc vào độ lớn của các thăng giáng của mật độ. Một phần của ánh sáng đi qua đã bị tán xạ bởi các lưỡng cực dao động theo mọi phía. Để đánh giá cường độ của ánh sáng tán xạ từ một lưỡng cực ta vận dụng công thức về bức xạ lưỡng cực trong vùng sóng ở đó cường độ tức thời là bằng : (II.14) Bởi vì và , cho nên cường độ trung bình (sau mỗi chu kỳ) của ánh sáng tán xạ bằng : (II.15) tức là tỷ lệ với bình phương của biên độ của moomen lưỡng cực hay là với và tỷ lệ ngược với lũy thừa bậc bốn của bước sóng . Sự phụ thuộc vào biểu thị định luật tán xạ của Rayleigh. Màu xanh lam của bầu trời được giải thích bằng sự tán xạ của ánh sáng do các thăng giáng của mật độ trong khí quyển Trái Đất. Đưa vào trung bình của bình phương của các thăng giáng và vận dụng các công thức (II.1), (I.1.3), từ (I.7.7) ta được: (II.16) Từ công thức đó ta suy ra rằng, trong miền giới hạn của vật chất, ở đó có tồn tại các thăng giáng rất lớn của mật độ, khi đó sự tán xạ của ánh sáng phải là lớn nhất. Hiện tượng như vậy thực tế đã quan sát được và mang tên là vẻ bạch thạch giới hạn. Trong vẻ bạch thạch giới hạn, ánh sáng rất khó đi qua vật chất và rất khó đi qua vật chất và gần như hoàn toàn bị tán xạ theo mọi phía. Vật chất ở điểm tới hạn có màu đục trắng như đá tản bạch, vì vậy hiện tượng đó được gọi là vẻ bạch thạch. II.3: Chuyển động Brown Chuyển động Brown là chuyển động hổn độn của các hạt vi mô lơ lửng trong chất nước hay chất khí. Chuyển đọng đó đã được nhà thực vật Brown tìm ra vào năm 1827 và chỉ đến thế kỷ 20 mới được Einstein và Smolukopski giải thích như là hệ quả của các thăng giáng của số lượng va chạm và của lực va chạm do các phân tử khí hay nước tác dụng lên hạt đó (mà ta thường gọi là hạt Brown). Các hạt chuyển động được là do số lượng các phân tử va chạm vào nó từ các phía khác nhau. Theo các định luật thống kê các thăng giáng tương đối của số lượng các va chạm đó là tỷ lệ với . Vì vậy nếu kích thước hạt Brown là lớn , nghĩa là có thể có một số lớn phân tử đồng thời va chạm với hạt đó thì các thăng giáng tương đối sẽ rất nhỏ và hạt lớn sẽ không chuyển động được. Nếu hạt Brown có kích thước rất nhỏ thì số các va chạm n là nhỏ và các thăng giáng là lớn. Do có thăng giáng như vậy nên có xảy ra các chuyển dời không thuận nghịch của hạt Brown. Mặc dù hạt Brown chuyển động do có va chạm hỗn độn với các phân tử của môi trường và không thể xác định quỹ đạo chính xác của nó, nhưng các phương pháp thống kê cho ta xác định độ lệch quân phương của hạt ra khỏi vị trí ban đầu như là hàm của thời gian. Bây giờ ta tìm chuyển động của hạt Brown trong môi trường nhớt. Phương trình chuyển động của hạt Brown sẽ là (II.17) ở đây M là khối lượng của hạt, là bán kính véctơ của nó, là lực nhớt tác dụng lên hạt hình cầu có bán kính a và có vận tốc là và sau cùng R(t) là tổng hợp tức thời của tất cả các lực va chạm của các phân tử lên hạt. Nhân phương trình (I.7.9) vô hướng với ta có (II.18) Ta có Vậy phương trình (I.7.10) có thể viết dưới dạng Chuyển sang các giá trị trung bình ta có: (II.19) Ta tìm các trị số của biểu thức ở vế phải. số hạng đầu tiên chính là hai lần động năng trung bình của hạt. Do có va chạm, các phân tử của môi trường và hạt Brown liên tục trao đổi năng lượng, cho nên mỗi bậc tự do của hạt về trung bình ứng với năng lượng là . Trong thị trường của kính hiển vi, chúng ta khảo sát chuyển động của hạt trong mặt phẳng tức là có hai bậc tự do, cho nên động năng trung bình của chuyển động phẳng sẽ là kT, nghĩa là Số hạng thứ hai là trị trung bình của tích . Do tính chất hỗn độn của hạt Brown và của các lực tác dụng lên hạt, số hạng đó bằng không: Vì vậy phương trình (I.7.11) có thể viết lại như sau: (II.20) Đặt , phương trình (I.7.12) trở thành: (II.21) Đây là phương trình tuyến tính không thuần nhất. Phương trình này có nghiệm là tổng của nghệm tổng quát của phương trình thuần nhất và nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất. Phương trình thuần nhất là: Hay Nghiệm của phương trình thuần nhất là : (II.22) Với khoảng thời gian lớn thì ztn trở thành bằng không (vì đối với các hạt có bán kính nhỏ hơn 10-4cm khối lượng của chúng vào khoảng < 10-12g và tỉ số lớn). Nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất có dạng: Thay vào phương trình (I.7.13) ta có: Thay C(t) vào (II.14) ta có được zkt. Mà nên , điều này có nghĩa là độ chuyển dời quân phương của hạt Brown có trị số bằng: (II.23) Công thức (II.15) được gọi là công thức Einstein – Smolukopski. Công thức này chứng tỏ rằng độ chuyển dời quân phương của hạt Brown phụ thuộc vào nhiệt độ và vào độ nhớt của môi trường, vào kích thước của hạt và tỷ lệ với căn bậc hai của thời gian quan sát. Khi nhiệt độ tăng lên, tăng lên bởi vì các va chạm của các phân tử lên hạt Brown trở thành mạnh hơn. Trái lại, khi độ nhớt của môi trường tăng lên lại giảm đi bởi vì các nội ma sát tăng lên. Cuối cùng công thức (II.15) chứng tỏ rằng: bán kính của các hạt càng lớn thì độ chuyển dời của nó trong chuyển động Brown càng bé. CHƯƠNG III: MỘT SỐ BÀI TẬP LIÊN QUAN ĐẾN LÝ THUYẾT THĂNG GIÁNG Bài 1: Tìm thăng giáng toàn phương trung bình của vận tốc khí lý tưởng. Giải: Ta có công thức tính thăng giáng toàn phương trung bình của một đại lượng là: Do đó, thăng giáng toàn phương trung bình của vận tốc khí lý tưởng sẽ là Với: Bài 2: Tính thăng giáng toàn phương trung bình của hệ khí lý tưởng. Giải: Theo công thức tính trị trung bình ở phân bố chính tắc , nên ta có trị trung bình của hàm Haminton là: (1) Với điều kiện chuẩn hóa (2) Lấy đạo hàm (1) và (2) theo ta có: và mặt khác: nên Hay : Mặt khác ta lại có: Nên: (III.1) Suy ra: (III.2) Vì là khí lý tưởng nên Vậy Bài 3. Tính thăng giáng tương đối của năng lượng của tinh thể ở nhiệt độ cao và nhiệt độ thấp. Giải: Ta có độ thăng giáng tương đối được của năng lượng được xác định: Theo (II.1) ta có: Mặt khác: Nên: Ě Đối với vật rắn ở nhiệt độ thấp ta có ; Với là nhiệt độ Debye. Thăng giáng tương đối của năng lượng sẽ là: Ě Đối với vật rắn nhiệt độ cao ta có: Nên Bài 4. Tìm thăng giáng của năng lượng và số hạt lượng tử của trường điện từ có tần số f. Giải: Năng lượng trung bình của trường điện từ có dạng Theo (II.1) ta có Mà nên ta có được Bài 5. Tính thăng giáng toàn phương trung bình và thăng giáng tương đối của năng lượng dao động tử điều hoà (chọn năng lượng ở trạng thái cơ bản bằng không). Tính tương tự với tập hợp N dao động tử điều hoà như nhau. Giải: Năng lượng của dao động tử điều hoà là (n=0, 1,…). Trung bình theo phân bố chính tắc ta có Vậy theo (II.1) ta có Thăng giáng tương đối Khi nhiệt độ cao (), lúc đó Như vậy, khi tăng năng lượng trung bình, thăng giáng tương đối dần đến đơn vị chứ không dẫn đến không. Đặt En là năng lượng của N dao động tử điều hoà, ta có Ta có nhận xét rằng, khi N rất lớn thì thăng giáng tương đối nhỏ. PHẦN KẾT LUẬN Lý thuyết thăng giáng là một phần quan trọng trong việc tìm quy luật chuyển động của hệ hạt. Dựa vào thăng giáng người ta giải thích được nhiều hiện tượng vật lý như: tán xạ của ánh sáng, sự xuất hiện của các dòng không đều trong các mạch có suất điện động. Trong đề tài này, tôi đã hệ thống lại những kiến thức cơ bản của hiện tượng thăng giáng, nêu lên một số phương pháp xác định thăng giáng và giải thích một số hiện tượng liên quan đến thăng giáng. Cụ thể là: Chương I, đề tài nêu lên khái niệm thăng giáng,thăng giáng thống kê ở hệ cân bằng như: thăng giáng của mật độ hạt, thăng giáng của năng lượng, thăng giáng của nhiệt độ và nêu lên các phương pháp xác định thăng giáng. Chương II, đề tài đi đến tìm hiểu một số hiện tượng liên quan đến lý thuyết thăng giáng: độ nhạy của máy đo, sự tán xạ của ánh sáng do thăng giáng của mật độ, chuyển động Brown. Do có thăng giáng, một đại lượng vật lý bất kỳ sẽ biến đổi liên tục ở gần trị trung bình của nó, điều đó xác định độ nhạy của máy đo. Từ việc tìm hiểu sự tán xạ của ánh sáng do thăng giáng của mật độ đi cho phép ta giải thích được màu xanh lam của bầu trời được la do sự tán xạ của ánh sáng do các thăng giáng của mật độ trong khí quyển Trái Đất. Chuyển động Brown mô phỏng chuyển động của các hạt trong môi trường lỏng (chất lỏng hoặc khí) và cũng là mô hình toán học mô phỏng các chuyển động tương tự, thường được gọi là vật lý hạt. Chuyển động Brown có nhiều ứng dụng thực tế, và thường được dùng để mô phỏng sự dao động của thị trường chứng khoán. Chương III, đề tài đi đến giải một số bài tập có liên quan. Trong quá trình thực hiện đề tài này, tôi đã tìm và thu thập được những tài liệu quan trọng về vật lý thống kê, và rút ra được những kinh nghiệm trong việc tìm và xử lý tài liệu... TÀI LIỆU THAM KHẢO Vũ Thanh Khiết (2002), giáo trình nhiệt động lực học và vật lý thống kê, Nxb đại học quốc gia Hà Nội. Nguyễn Hữu Mình (chủ biên) – Tạ Duy Lợi – Đỗ Đình Thanh – Lê Trọng Tường (2003), bài tập vật lý lý thuyết, Nxb giáo dục. Vũ văn Hùng (2004), vật lý thống kê, Nxb Đại học sư phạm Hà Nội. Các tài liệu trên internet.