Mặt cực tiểu và mặt cực tiểu diện tích trong không gian R3 với mật độ e mủ r2

I, v ∈ R với |α′(u)| = 1, |β(u)| = 1 và α′(u) ⊥ β(u) ∀u ∈ I. Định nghĩa 1.3.4. (Mặt tịnh tiến) Mặt tịnh tiến là mặt có tham số hóa dạng X(u, v) = (u, v, f(u) + h(v)) với f, h là các hàm khả vi. 1.3.1 Một số mặt cực tiểu cổ điển trong không gian R3 Sau đây, chúng tôi xin giới thiệu một số mặt cực tiểu cổ điển khá nổi tiếng trong không gian R3. Đó là 1. Mặt phẳng. 2. Mặt catenoid xác định bởi tham số X(u, v) = (a coshu cos v, a coshu sin v, au), với 0 0, là mặt tròn xoay cực tiểu duy nhất khác mặt phẳng. 11 Hình 1.2: Mặt catenoid 3. Mặt helicoid xác định bởi tham số X(u, v) = (a sinhu cos v, a sinhu sin v, av), với 0 0 hoặc X(u, v) = (au cos v, au sin v, av), với a > 0, 0 < v < 2pi,−∞ < u < +∞, là mặt kẻ cực tiểu duy nhất khác mặt phẳng. Hình 1.3: Mặt helicoid 4. Mặt scherk xác định bởi tham số hóa X(u, v) = (u, v, 1 a ln cos av cos au ), a 6= 0 là mặt tịnh tiến cực tiểu duy nhất khác mặt phẳng. 12 Hình 1.4: Mặt scherk 5. Mặt enneper có tham số hóa xác định bởi X(u, v) = (u− u 3 3 + uv2, v − v 3 3 + vu2, u2 − v2), với (u, v) ∈ R2 là mặt cực tiểu. Hình 1.5: Mặt enneper 1.3.2 Mặt cực tiểu trong không gian R3 với mật độ er2 Định lý 1.3.1. Trong không gian R3 với mật độ er2, giá trị 12 |〈∇ϕ,N〉| là khoảng cách từ gốc tọa độ O đến mặt phẳng tiếp xúc tại mỗi điểm của mặt S. Chứng minh. Với mọi điểmM(x, y, z) thuộc mặt S, gọi N(a1, b1, c1) là pháp vector đơn vị của S tại M . Khi đó phương trình mặt phẳng tiếp xúc của S tại M là (α) : a1x+ b1y + c1z + d1 = 0. 13 Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến mặt phẳng (α) là d(O,α) = |d1|√ a21 + b 2 1 + c 2 1 = |d1| = | − (a1x+ b1y + c1z)| = | − 1 2 (2x, 2y, 2z)(a1, b1, c1)| = 1 2 |〈∇ϕ,N〉|. Định lý 1.3.2. Trong không gian R3 với mật độ er2, mặt phẳng là mặt có độ cong hằng. Mặt phẳng là mặt cực tiểu khi và chỉ khi nó đi qua gốc tọa độ. Chứng minh. Gọi phương trình tổng quát của một mặt phẳng bất kì là Ax+By+ Cz +D = 0 (A2 +B2 + C2 = 1). Ta có độ cong theo mật độ của mặt phẳng trên là Hϕ = H − 1 2 〈∇ϕ, N〉 với ∇ϕ = (2x, 2y, 2z) và N = (A,B,C). Vì mặt phẳng có độ cong trung bình H = 0 nên Hϕ = −1 2 (2x, 2y, 2z)(A,B,C) = −(Ax+By + Cz) = D = const.. Mặt phẳng là mặt cực tiểu ⇔ Hϕ = 0⇔ D = 0. Định lý 1.3.3. Trong không gian R3 với mật độ er2, mặt cầu tâm O là mặt có độ cong hằng. Không có mặt cầu nào là mặt cực tiểu. Chứng minh. Gọi phương trình tổng quát của mặt cầu S tâm O bán kính R là x2 + y2 + z2 = R2. Xét một tham số hóa của mặt cầu S là X(u, v) = (R sinu cos v,R sinu sin v,R cosu) với 0 < u < 2pi, 0 < v < 2pi. Ta có Xu = (R cosu cos v,R cosu sin v,−R sinu), Xv = (−R sinu sin v,R sinu cos v, 0), N = (sinu cos v, sinu sin v, cosu), Xuu = (−R sinu cos v,−R sinu sin v,−R cosu), Xvv = (−R sinu cos v,−R sinu sin v, 0), Xuv = (−R cosu sin v,R cosu cos v, 0). 14 Các hệ số của dạng cơ bản thứ nhất và thứ hai là E = R2, F = 0, G = R2 sin2 u, e = −R, f = 0, g = −R sin2 u. Độ cong trung bình là H = 1 2 eG+ Eg − 2fF EG− F 2 = − 1 R . Với mọi điểm p(x, y, z) ∈ S, pháp vector đơn vị Np của S tại p là Np = ( x√ x2 + y2 + z2 , y√ x2 + y2 + z2 , z√ x2 + y2 + z2 ). Độ cong trung bình theo mật độ của S là Hϕ = H − 1 2 〈∇ϕ, N〉 = − 1 R − 1 2 (2x, 2y, 2z)( x√ x2 + y2 + z2 , y√ x2 + y2 + z2 , z√ x2 + y2 + z2 ) = − 1 R − x 2 + y2 + z2√ x2 + y2 + z2 = − 1 R −R = const.. Định lý 1.3.4. Trong không gian R3 với mật độ er2, mặt trụ có phương trình tổng quát x2 + y2 = R2 là mặt có độ cong hằng. Không có mặt trụ nào là mặt cực tiểu. Chứng minh. Gọi mặt trụ T có phương trình tổng quát là x2 + y2 = R2. Xét một tham số hóa của mặt trụ T là X(u, v) = (R cos v,R sin v, u)) với 0 < v < 2pi,−∞ < u < +∞. Ta có Xu = (0, 0, 1), Xv = (−R sin v,R cos v, 0), N = (− cos v,− sin v, 0), Xuu = (0, 0, 0), Xvv = (−R cos v,−R sin v, 0), Xuv = (0, 0, 0). 15 Các hệ số của dạng cơ bản thứ nhất và thứ hai là E = 1, F = 0, G = R2, e = 0, f = 0, g = R. Độ cong trung bình là H = 1 2 eG+ Eg − 2fF EG− F 2 = 1 2R . Với mọi điểm p(x, y, z) ∈ T , pháp vector đơn vị Np của T tại p là Np = (− x√ x2 + y2 ,− y√ x2 + y2 , 0). Độ cong trung bình theo mật độ của T là Hϕ = H − 1 2 〈∇ϕ, N〉 = 1 2R − 1 2 (2x, 2y, 2z)(− x√ x2 + y2 ,− y√ x2 + y2 , 0) = 1 2R + x2 + y2√ x2 + y2 = 1 2R +R = const.. Định lý 1.3.5. (Phương trình Lagrange) Trong không gian R3 với mật độ er2, mặt tham số hóa dạng X(u, v) = (u, v, f(u, v)) với f là hàm khả vi là mặt cực tiểu với mật độ khi và chỉ khi hàm f thỏa mãn phương trình (1 + f2u)fvv + (1 + f 2 v )fuu − 2fufvfuv + 2(ufu + vfv − f)(1 + f2u + f2v ) = 0. Chứng minh. Xét mặt S có tham số hóa là X(u, v) = (u, v, f(u, v)). 16 Ta có Xu = (1, 0, fu), Xv = (0, 1, fv), N = − 1√ 1 + f2u + f 2 v (fu, fv,−1), Xuu = (0, 0, fuu), Xvv = (0, 0, fvv), Xuv = (0, 0, fuv). Các hệ số của dạng cơ bản thứ nhất và thứ hai là E = 1 + f2u , F = fufv, G = 1 + f 2 v , e = fuu√ 1 + f2u + f 2 v , f = fvv√ 1 + f2u + f 2 v , g = fuv√ 1 + f2u + f 2 v . Ta có độ cong trung bình là H = 1 2 eG+ Eg − 2fF EG− F 2 = 1 2 (1 + f2v )fuu + (1 + f 2 u)fvv − 2fufvfuv (1 + f2u + f 2 v ) 3 2 và ∇ϕ = (2u, 2v, 2f) nên 〈∇ϕ, N〉 = −(2u, 2v, 2f) 1√ 1 + f2u + f 2 v (fu, fv,−1) = −2√ 1 + f2u + f 2 v (ufu + vfv − f). Do đó độ cong trung bình theo mật độ là Hϕ = H − 1 2 〈∇ϕ, N〉 = 1 2 (1 + f2u)fvv + (1 + f 2 v )fuu − 2fufvfuv + 2(ufu + vfv − f)(1 + f2u + f2v ) (1 + f2u + f 2 v ) 3 2 . Hϕ = 0⇔ (1 + f2u)fvv + (1 + f 2 v )fuu − 2fufvfuv + 2(ufu + vfv − f)(1 + f2u + f2v ) = 0. Từ định lý trên ta có một số hệ quả sau Hệ quả 1.3.5.1. Trong không gian R3 với mật độ er2, các mặt tịnh tiến là những mặt cực tiểu với mật độ khi và chỉ khi các hàm f và h thỏa mãn phương trình (1 + f ′2)h′′ + (1 + h′2)f ′′ + 2(uf ′ + vh′ − f − h)(1 + f ′2 + h′2) = 0. 17 Hệ quả 1.3.5.2. Trong không gian R3 với mật độ er2, mặt có tham số hóa dạng X(u, v) = (u, v, f(u)) với f là hàm khả vi là mặt cực tiểu khi và chỉ khi hàm f thỏa mãn phương trình f ′′ + 2(uf ′ − f)(1 + f ′2) = 0. Mệnh đề 1.3.1. Trong không gian R3 với mật độ er2, nếu mặt tròn xoay S là mặt cực tiểu với mật độ thì trục quay của S phải đi qua gốc tọa độ. Chứng minh. Không mất tính tổng quát, giả sử trục quay của S trùng với phương của trục z. Gọi C là giao tuyến của S với mặt phẳng xy, khi đó với mọiM(x, y, z) ∈ C ta đều có H = const.. Vì S là mặt cực tiểu nên Hϕ = 0⇔ H − 1 2 〈∇ϕ, N〉 = 0 ⇔ H = 1 2 〈∇ϕ, N〉 ⇔ |H| = 1 2 |〈∇ϕ, N〉|. Mặt khác, theo Định lý (1.3.1) ta có giá trị 12 |〈∇ϕ, N〉| là khoảng cách từ gốc tọa độ đến mặt phẳng tiếp xúc của S tại mỗi điểm M(x, y, z) nên O phải là tâm của đường tròn C. Vậy trục z là trục quay của S. Định lý 1.3.6. (Điều kiện để mặt tròn xoay là mặt cực tiểu) Trong không gian R3 với mật độ er2, các mặt tròn xoay là những mặt cực tiểu với mật độ khi và chỉ khi hàm f và g thỏa mãn phương trình f(f ′g′′ − g′f ′′) + [g′ + 2(fg′ − gf ′)](f ′2 + g′2) = 0. Chứng minh. Xét mặt tròn xoay S có tham số hóa là X(u, v) = (f(u) cos v, f(u) sin v, g(u)). Ta có Xu = (f ′ cos v, f ′ sin v, g′), Xv = (−f sin v, f cos v, 0), N = − 1√ f ′2 + g′2 (g′ cos v, g′ sin v,−f ′), Xuu = (f ′′ cos v, f ′′ sin v, g′′), Xvv = (−f cos v,−f sin v, 0), Xuv = (−f ′ sin v, f ′ cos v, 0). 18 Các hệ số của dạng cơ bản thứ nhất và thứ hai là E = f ′2 + g′2, F = 0, G = f2, e = f ′g′′ − g′f ′′√ f ′2 + g′2 , f = 0, g = fg′√ f ′2 + g′2 . Độ cong trung bình là H = 1 2 eG+ Eg − 2fF EG− F 2 = 1 2 f2(f ′g′′ − g′f ′′) + fg′(f ′2 + g′2) f2(f ′2 + g′2) 3 2 = 1 2 f(f ′g′′ − g′f ′′) + g′(f ′2 + g′2) f(f ′2 + g′2) 3 2 và ∇ϕ = (2f cos v, 2f sin v, 2g) nên 〈∇ϕ, N〉 = −(2f cos v, 2f sin v, 2g) 1√ f ′2 + g′2 (g′ cos v, g′ sin v,−f ′) = −2√ f ′2 + g′2 (fg′ − f ′g). Do đó độ cong trung bình theo mật độ là Hϕ = H − 1 2 〈∇ϕ, N〉 = 1 2 f(f ′g′′ − g′f ′′) + g′(f ′2 + g′2) + 2f(fg′ − gf ′)(f ′2 + g′2) f(f ′2 + g′2) 3 2 . Hϕ = 0⇔ f(f ′g′′ − g′f ′′) + [g′ + 2f(fg′ − gf ′)](f ′2 + g′2) = 0. Hệ quả 1.3.6.1. Xét mặt tròn xoay S được sinh ra bởi đường α(t) = (f(t), 0, t) khi quay quanh trục z có phương trình tham số là X(u, v) = (f(u) cos v, f(u) sin v, u) với f ≥ 0, khả vi ∀u ∈ R và 0 < v < 2pi. Khi đó S là mặt cực tiểu khi và chỉ khi hàm f thỏa mãn phương trình ff ′′ − [1 + 2(f − uf ′)](1 + f ′2) = 0 ∀u. Định lý 1.3.7. (Điều kiện để mặt kẻ là mặt cực tiểu) Trong không gian R3 với mật độ er2, mặt kẻ có tham số hóa dạng X(u, v) = α(u) + vβ(u), u ∈ I, v ∈ R 19 với |α′(u)| = 1, |β(u)| = 1 và α′(u) ⊥ β(u) ∀u ∈ I là mặt cực tiểu với mật độ khi và chỉ khi ⇔  〈α′ ∧ β, α′′〉 − 2{〈α′ ∧ β, α〉 = 0 〈α′ ∧ β, β′′〉+ 〈β′ ∧ β, α′′〉 − 4〈α′ ∧ β, α〉〈α′, β′〉 = 0 〈β′ ∧ β, β′′〉 − 2〈α′ ∧ β, α〉β′2 = 0 〈β′ ∧ β, α〉 = 0 (1.3.1) hoặc 〈α ′ ∧ β, α′′ − 2α〉 = 0 β′ = 0 . (1.3.2) Chứng minh. Xét mặt kẻ S có tham số hóa như trên. Ta có Xu = α ′ + vβ′, Xv = β, Xu ∧Xv = (α′ ∧ β) + v(β′ ∧ β), Xuu = α ′′ + vβ′′, Xvv = 0, Xuv = β ′. Các hệ số của dạng cơ bản thứ nhất và thứ hai là E = (α′ + vβ′)2, F = 0, G = β2 = 1, N = Xu ∧Xv |Xu ∧Xv| = (α′ ∧ β) + v(β′ ∧ β)√ EG− F 2 = (α′ ∧ β) + v(β′ ∧ β) |α′ + vβ′| , e = 〈α′ ∧ β, α′′〉+ v[〈α′ ∧ β, β′′〉+ 〈β′ ∧ β, α′′〉] + v2〈β′ ∧ β, β′′〉 |α′ + vβ′| , f = 〈α′ ∧ β, β′〉 |α′ + vβ′| , g = 0. Độ cong trung bình là H = 1 2 eG+ Eg − 2fF EG− F 2 = 1 2 〈α′ ∧ β, α′′〉+ v[〈α′ ∧ β, β′′〉+ 〈β′ ∧ β, α′′〉] + v2〈β′ ∧ β, β′′〉 (α′ + vβ′)3 và ∇ϕ = (2x, 2y, 2z) = 2X(u, v) = 2(α(u) + vβ(u)), nên 〈∇ϕ, N〉 = 2〈α ′ ∧ β, α〉+ v〈β′ ∧ β, α〉 |α′ + vβ′| . 20 Do đó độ cong trung bình theo mật độ là Hϕ = H − 1 2 〈∇ϕ, N〉 = 1 2 〈α′ ∧ β, α′′〉+ v[〈α′ ∧ β, β′′〉+ 〈β′ ∧ β, α′′〉] + v2〈β′ ∧ β, β′′〉 (α′ + vβ′)3 − 1 2 2 〈α′ ∧ β, α〉+ v〈β′ ∧ β, α〉 |α′ + vβ′| . Hϕ = 0 ⇔ 〈α′ ∧ β, α′′〉+ v[〈α′ ∧ β, β′′〉+ 〈β′ ∧ β, α′′〉] + v2〈β′ ∧ β, β′′〉 − 2[〈α′ ∧ β, α〉+ v〈β′ ∧ β, α〉](α′ + vβ′)2 = 0 ⇔ 〈α′ ∧ β, α′′〉+ v[〈α′ ∧ β, β′′〉+ 〈β′ ∧ β, α′′〉] + v2〈β′ ∧ β, β′′〉 − 2[〈α′ ∧ β, α〉+ v〈β′ ∧ β, α〉](1 + 2v〈α′, β′〉+ v2β′2) = 0 ⇔ 〈α′ ∧ β, α′′〉+ v[〈α′ ∧ β, β′′〉+ 〈β′ ∧ β, α′′〉] + v2〈β′ ∧ β, β′′〉 − 2{〈α′ ∧ β, α〉+ v[〈β′ ∧ β, α〉+ 2〈α′ ∧ β, α〉〈α′, β′〉] + v2[〈α′ ∧ β, α〉β′2 + 2〈β′ ∧ β, α〉〈α′, β′〉] + v3〈β′ ∧ β, α〉β′2} = 0 ⇔ 〈α′ ∧ β, α′′〉 − 2〈α′ ∧ β, α〉+ v[〈α′ ∧ β, β′′〉+ 〈β′ ∧ β, α′′〉 − 2〈β′ ∧ β, α〉 − 4〈α′ ∧ β, α〉〈α′, β′〉] + v2[〈β′ ∧ β, β′′〉 − 2〈α′ ∧ β, α〉β′2 − 4〈β′ ∧ β, α〉〈α′, β′〉]− 2v3〈β′ ∧ β, α〉β′2 = 0. Xem phương trình trên như là một đa thức theo biến v, ta kết luận S là mặt cực tiểu với mật độ ⇔  〈α′ ∧ β, α′′〉 − 2〈α′ ∧ β, α〉 = 0 〈α′ ∧ β, β′′〉+ 〈β′ ∧ β, α′′〉 − 2〈β′ ∧ β, α〉 − 4〈α′ ∧ β, α〉〈α′, β′〉 = 0 〈β′ ∧ β, β′′〉 − 2〈α′ ∧ β, α〉β′2 − 4〈β′ ∧ β, α〉〈α′, β′〉 = 0 〈β′ ∧ β, α〉β′2 = 0 . ⇔  〈α′ ∧ β, α′′ − 2α〉 = 0 〈α′ ∧ β, β′′〉+ 〈β′ ∧ β, α′′〉 − 4〈α′ ∧ β, α〉〈α′, β′〉 = 0 〈β′ ∧ β, β′′〉 − 2〈α′ ∧ β, α〉β′2 = 0 〈β′ ∧ β, α〉 = 0 hoặc 〈α ′ ∧ β, α′′ − 2α〉 = 0 β′ = 0 . 21 Tìm cách giải quyết hệ phương trình (1.3.2)và chọn β = (0, 0, a) ta có hệ quả sau Hệ quả 1.3.7.1. Trong không gian R3 với mật độ er2, mặt kẻ có tham số hóa dạng X(u, v) = (x(u), y(u), z(u) + av), với x, y khác hàm hằng, a là hằng số bất kì, là mặt cực tiểu với mật độ nếu phương trình x′′ − 2x x′ = y′′ − 2y y′ thỏa mãn với mọi z(u). Nhận xét 1.3.2. Xét phương trình được nêu trong Hệ quả (1.3.7.1) ta có nhận xét sau 1. Nếu x(u) = y(u) ∀u ∈ I thì phương trình trên nghiệm đúng. 2. Đặt x′′ − 2x x′ = y′′ − 2y y′ = t(u), với t(u) là một hàm theo biến u. Việc giải phương trình trên đưa ta về việc giải phương trình vi phân x′′ − t(u)x′ − 2x = 0. • Nếu t(u) = a = const. ∀u thì ta có phương trình x′′ − ax′ − 2x = 0. Đây là phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 hệ số hằng. Nghiệm của phương trình này là x(u) = C1e a− √ a2+8 2 u + C2e a+ √ a2+8 2 u, với C1, C2 là các hằng số bất kì. Mặt kẻ thu được trong trường hợp này là mặt phẳng. • Nếu t(u) 6= const. ∀u thì phương trình trên muốn giải được thì phải biết trước một nghiệm của nó rồi dùng công thức Ostrogradski− Liouville để tìm nghiệm. Hiện tại công viêc này chúng tôi vẫn chưa giải quyết được. 22 Nhận xét 1.3.3. Xét hệ phương trình (1.3.1) ⇔  〈α′ ∧ β, α′′ − 2α〉 = 0 (1.3.1.1) 〈α′ ∧ β, β′′〉+ 〈β′ ∧ β, α′′〉 − 4〈α′ ∧ β, α〉〈α′, β′〉 = 0 (1.3.1.2) 〈β′ ∧ β, β′′〉 − 2〈α′ ∧ β, α〉β′2 = 0 (1.3.1.3) 〈β′ ∧ β, α〉 = 0 (1.3.1.4) . Từ phương trình cuối ta có α, β và β′ đồng phẳng. Khi đó tồn tại hai số thực k, l không đồng thời bằng 0 sao cho α = kβ + lβ′. Với lưu ý α′ ⊥ β, α′ ⊥ α′′, β ⊥ β′và |β′| 6= 0 ta có được 〈α, β〉 = k và 0 = 〈α′, β〉 = k〈β′, β〉+ l〈β′′, β〉 = l〈β′′, β〉. Thay vào phương trình (1.3.1.3) ta có 〈β′ ∧ β, β′′〉 − 2〈α′ ∧ β, α〉β′2 = 0 ⇔ 〈β′ ∧ β, β′′〉 − 2〈k(β′ ∧ β) + l(β′′ ∧ β), kβ + lβ′〉β′2 = 0 ⇔ 〈β′ ∧ β, β′′〉 − 2l2〈β′′ ∧ β, β′〉β′2 = 0 ⇔ 〈β′ ∧ β, β′′〉(1 + 2l2β′2) = 0 ⇔ 〈β′ ∧ β, β′′〉 = 0. Nếu l = 0 hoặc 〈β′ ∧ β, β′′〉 = 0 thì β là đường cong phẳng và vì |β| = 1 nên ta có thể giả sử β(u) = (cosu, sinu, 0). Khi đó α và β đều nằm trong mặt phẳng xOy. Ta lại có β′(u) = (− sinu, cosu, 0) và α(u) = (k cosu− l sinu, k sinu+ l cosu, 0), dễ dàng kiểm tra được chúng đều thỏa mãn các phương trình còn lại của hệ phương trình (1.3.1). Lúc này mặt kẻ thu được là mặt phẳng xy. Sau đây, ta tìm hiểu thêm về một số mặt cực tiểu đại số với mật độ như sau Định lý 1.3.8. Trong không gian R3 với mật độ er2, mặt tịnh tiến S : X(u, v) = (u, v, f(u) + h(v)) với f(u) = anu n + an−1un−1 + ...+ a0, h(v) = bmv m + bm−1vm−1 + ...+ b0, m, n ∈ N, an 6= 0, bm 6= 0. Khi đó S là mặt cực tiểu với mật độ khi và chỉ khi S là mặt phẳng đi qua gốc tọa độ. Chứng minh. ⇐)Dễ dàng kiểm tra được. ⇒) Theo Hệ quả (1.3.5.1) ta có S là mặt cực tiểu với mật độ khi và chỉ khi f và h thỏa mãn phương trình (1 + f ′2)h′′ + (1 + h′2)f ′′ + 2(uf ′ + vh′ − f − h)(1 + f ′2 + h′2) = 0. 23 Nếu n = m = 1 thì tham số của S là X(u, v) = (u, v, a1u+ b1v + ao + bo). Mặt thu được là mặt phẳng. Từ Định lý (1.3.2) ta có S cực tiểu với mật độ khi và chỉ khi S đi qua gốc tọa độ. Nếu n ≥ 2,m ≥ 2, thay phương trình của f và h vào phương trình trên ta được n2(n− 1)a3nu3n−2 +m2(m− 1)b3mv3m−2 + p(u) + q(v) = 0 với bậc của p(u) < 3n− 2 và bậc của q(v) < 3m− 2. Phương trình trên ⇔ an = 0 và bm = 0. Mâu thuẫn với giả thiết. Định lý 1.3.9. Trong không gian R3 với mật độ er2, mặt tròn xoay S được sinh ra bởi : α(u) = (f(u), 0, u) với f(u) = anu n + an−1un−1 + ...+ a0, n ∈ N, an 6= 0 khi quay quanh trục z có tham số hóa là X(u, v) = (f(u) cos v, f(u) sin v, u). Khi đó S là mặt cực tiểu với mật độ khi và chỉ khi S là mặt trụ bán kính 12 . Chứng minh. ⇐)Dễ dàng kiểm tra được. ⇒) Theo Hệ quả (1.3.6.1) ta có S là mặt cực tiểu với mật độ khi và chỉ khi thỏa mãn phương trình X(u, v) = (f(u) cos v, f(u) sin v, u). Với n = 0 hoặc n = 1, thì tham số hóa của S là X(u, v) = (−1 2 cos v,−1 2 sin v, u). Khi đó S là mặt trụ bán kính 12 . Với n ≥ 2, thay phương trình của f vào phương trình trên ta được 2n2(n− 1)a3nu3n−2 + p(u) = 0 với bậc của p(u) < 3n− 2. Phương trình trên ⇔ an = 0. Mâu thuẫn với giả thiết. 24 Chương 2 MẶT CỰC TIỂU DIỆN TÍCH TRONG KHÔNG GIAN R3 Chúng ta đã biết đến bài toán đẳng chu, xuất hiện từ trước Công nguyên, được phát biểu trong mặt phẳng như sau : Trong tất cả các đường cong đóng bao một diện tích cho trước, đường cong đóng nào có chu vi nhỏ nhất? và Zenodorus đã tìm ra được nghiệm của bài toán, đó là đường tròn. Sau này, bài toán đẳng chu được phát biểu một cách tổng quát: Trong tất cả các siêu mặt trong không gian bao một thể tích cho trước, siêu mặt nào có diện tích nhỏ nhất? Cũng chính vì thế, cụm từ area-minimizing (surface) được hiểu là mặt có diện tích nhỏ nhất trong lớp các mặt có cùng biên hay dưới những sự biến dạng compact, bảo toàn thể tích cho trước. Trong chương này, chúng tôi tìm hiểu mặt cực tiểu diện tích trong không gian R3 với biên là một đường cong đóng cho trước và tìm hiểu thêm về biến phân thứ hai của phiếm hàm diện tích. Đồng thời, chúng tôi trình bày định lý Stokes và phương pháp dạng cỡ trong không gian R3, một phương pháp hỗ trợ giúp chứng minh một số mặt là mặt cực tiểu diện tích trong lớp các mặt cùng biên đồng đều. 2.1 Bong bóng xà phòng và mặt cực tiểu diện tích với biên là đường cong đóng cho trước Nhà toán học Joseph Antoine Ferdinand Plateau (1801 - 1883) đã quan sát và nhận ra rằng những màng bong bóng xà phòng chỉ có hai dạng hoặc là 3 mảnh của mặt gặp nhau theo một đường và tạo nên một góc 120o hoặc 4 đường gặp nhau tại một điểm và tạo một góc gần 109o. 25 Hình 2.1: Bong bóng xà phòng là mặt cực tiểu diện tích Những kết quả thực nghiệm này đã gây hứng thú cho các nhà toán học trong việc tìm kiếm một phương pháp mới cho phép họ chứng minh sự tồn tại của các mặt có diện tích nhỏ nhất với biên là đường cong cho trước, từ đó đóng góp vào việc xây dựng và phát triển mặt cực tiểu. Một trong các tính chất đặc biệt của màng xà phòng là tính cực tiểu diện tích (địa phương) trong lớp các mặt cùng biên và từ đó Bài toán Plateau ra đời. "Tìm một mặt D có diện tích nhỏ nhất với biên là đường cong Jordan C cho trước trong R3". Người ta nhận thấy rằng những mặt có diện tích nhỏ nhất là những mặt cực tiểu. Nhưng sự tồn tại của những mặt cực tiểu có diện tích nhỏ nhất thật không dễ chứng minh chút nào. Vì thế một phát biểu khác của bài toán Plateau được đua ra : "Tìm một mặt cực tiểu nhận đường cong C cho trước làm biên". Đến năm 1920 - 1930, bài toán mới được giải bởi J. Douglas và T. Rado. Họ đã chứng minh được rằng "Tồn tại một mặt cực tiểu dạng đĩa có diện tích nhỏ nhất với biên là đường cong Jordan C cho trước bất kì" trong đó mặt cực tiểu là dạng đĩa nếu miền tham số của nó là hình tròn đơn vị D = {(u, v)/u2 + v2 ≤ 1} và C là ảnh của đường tròn biên của D. 2.2 Điều kiện cần để một mặt có diện tích nhỏ nhất trong tất cả các mặt có cùng biên Giả sử S là mặt có diện tích nhỏ nhất với biên là đường cong C cho trước. Xét một biến phân chuẩn tắc của S có tham số hóa là Xt(u, v) = X(u, v) + th(u, v)N(u, v) 26 với h xác định trên miền xác định của f , t đủ nhỏ và N là trường pháp vector đơn vị của S. Khi đó diện tích của mặt tham số Xt là A(t) = ∫ D √ EtGt − (F t)2dudv. Áp dụng kết quả của mục (1.2.1) và vì S là mặt có diện tích nhỏ nhất nên A′(0) = ∫ D −2hHdA = 0 với D ⊂ Ω là một miền bị chặn và h : D −→ R là một hàm khả vi. Theo Định lý (1.2.1) ta có A′(0) = 0⇔ H = 0. Từ đó ta có định lý sau Định lý 2.2.1. [10] Trong tất cả các mặt có cùng biên là một đường cong cho trước, mặt có diện tích nhỏ nhất là mặt cực tiểu. Đây chỉ là điều kiện cần mà không là điều kiện đủ. Tức là sẽ có những mặt cực tiểu nhưng không cực tiểu diện tích trong tất cả các mặt có cùng biên với nó. Ví dụ như mặt catenoid. Mặt catenoid được sinh ra bằng cách quay đường catenary y = a cosh( za), a là hằng số quanh trục Oz. Một tham số hóa của mặt catenoid là X(u, v) = (a coshu cos v, a coshu sin v, au) với 0 0. Trong Chương I ta đã biết catenoid là một mặt cực tiểu. Bây giờ ta sẽ chỉ ra catenoid không cực tiểu diện tích trong lớp các mặt cùng biên với nó cụ thể là với hai đĩa phẳng. Hình 2.2: Catenoid và 2 đĩa phẳng 27 Gọi r là khoảng cách giữa hai đĩa phẳng. Khi r đủ lớn thì diện tích mặt catenoid lớn hơn diện tích hai đĩa phẳng. Khi r đủ nhỏ thì diện tích mặt catenoid nhỏ hơn diện tích hai đĩa phẳng. Ví dụ chọn a = 14 , đường catenary đi qua hai điểm M1(ln(2 − √ 3); 1) và M2(ln(2 + √ 3); 1). Khi đó diện tích mặt catenoid giới hạn bởi hai đường tròn tâm O1(ln(2− √ 3); 0) và O2(ln(2 + √ 3); 0) bán kính R = 1 là S1 = 2pi ln(2+ √ 3)∫ ln(2−√3) y √ 1 + y′2dx = 2pi ln(2+ √ 3)∫ ln(2+ √ 3 1 4 cosh(4x) √ 1 + sinh2(4x)dx = pi 2 ln(2+ √ 3)∫ ln(2+ √ 3 cosh2(4x)dx = pi ln(2+ √ 3)∫ 0 cosh2(4x)dx = pi ln(2+ √ 3)∫ 0 cosh(8x) + 1 2 dx = pi 2 ( 1 8 sinh(8x) + x)|ln(2+ √ 3) 0 dx = pi 2 [ 1 8 sinh 8 ln(2 + √ 3) + ln(2 + √ 3)]. Diện tích của hai đĩa tròn bán kính 1 là S2 = 2pi. Rõ ràng ta có S1 > S2. 2.3 Biến phân thứ hai của hàm diện tích Xét S là một mặt cực tiểu với biên là một đường cong Jordan C cho trước được tham số hóa bởi X(u, v), (u, v) ∈ D,D là một miền bị chặn trong R2. Xét một biến phân chuẩn tắc của S St : Xt(u, v) = X(u, v) + th(u, v)N(u, v), (u, v) ∈ D. Phiến hàm diện tích của St là A(t) = ∫ D √ EtGt − (F t)2dudv 28 Đặt a = (EN2v +GN 2 u − 2F 〈NuNv〉+ 4(eg − f2))h2 + Eh2v +Gh2u − 2Fhuhv, b = EG− F 2. Khi đó ta có A(t) = ∫ D √ b− 4bhHt+ at2 +O(t3)dudv với O(t3) là đa thức theo t có bậc bé nhất là 3 và A′(t) = ∫ D −4bhH + 2at+O′(t3) 2 √ b− 4bhHt+ at2 +O(t3)dudv. Do đó A′(0) = ∫ D (−2 √ bhH)dudv = ∫ D −2hHdA. Ta đã biết điều kiện cần để mặt chính quy S cực tiểu diện tích trong tất cả các mặt cùng biên là S phải cực tiểu hay H = 0. Khi đó ta có thể viết lại như sau A′(t) = ∫ D 2at+O′(t3) 2 √ b+ at2 +O(t3) dudv. Tính toán ta có A′′(t) = ∫ D [2a+O′′(t3)]2 √ b+ at2 +O(t3)− 2[2at+O′(t3)]2 2 √ b+at2+O(t3) 4(b+ at2 +O(t3)) dudv. Trên đây chính biến phân thứ hai của hàm diện tích của mặt tham số chính quy Xt. Ta có A′′(0) = ∫ D 2a2 √ b 4b dudv = ∫ D a√ b dudv hay A′′(0) = ∫ D [EN2v +GN 2 u − 2F 〈NuNv〉+ 4(eg − f2)]h2 + Eh2v +Gh2u − 2Fhuhv√ EG− F 2 dudv. 29 Và đây chính biến phân thứ hai của phiếm hàm diện tích của mặt tham số chính quy X. Ta xét một trường hợp đặc biệt khi tham số hóa X(u, v) là một tham số hóa trực giao tức là E = G,F = 0. từ H = eG+gE−2fFEG−F 2 = 0 suy ra e = −g,K = eg−f2 EG−F 2 = −e 2+f2 E2 và ta tính được N 2 u = N 2 v = e2+f2 E . Khi đó A′′(0) = ∫ D [−2(e2 + f2)]h2 + E(h2u + h2v) E dudv = ∫ D (−2EKh2 + h2u + h2v)dudv. Dùng biểu diễn Weierstrass - Enneper II (Xem [9], Định lý về mặt cực tiểu với biến số phức), người ta tính được K = − 4|Γ|2(1 + u2 + v2)4 , E = |Γ| 2(1 + u2 + v2)2,Γ ∈ C . Do đó A′′(0) = ∫ D ( −8h2 (1 + u2 + v2)4 + h2u + h 2 v)dudv. Ta nhận thấy rằng biểu thức của A′′(0) chỉ phụ thuộc vào miền D và hàm h xác định trên D. Do đó nếu ta có thể tìm được hàm h với h(C) = 0 xác định trên D sao cho A′′(0) < 0 thì mặt cực tiểu S có thể có diện tích không nhỏ nhất trong tất cả các mặt cùng biên C. Định lý 2.3.1. [9](Định lý Schwarz) Cho S là mặt cực tiểu với biên là đường cong C. Nếu hình tròn đơn vị B = {(u, v) : u2 + v2 ≤ 1} được chứa trong phần trong của D thì tồn tại một hàm h sao cho A′′(0) < 0. Do đó S không có diện tích nhỏ nhất trong các mặt cùng biên C. Chứng minh. Chọn B(r) = {(u, v, r) : u2 + v2 ≤ r2} là miền bị chặn bởi hình nón r = √ u2 + v2 và chọn hàm h xác định trên B như sau h(u, v, r) = u2 + v2 − r2 u2 + v2 + r2 . Ta sẽ tính A′′(0) = A(r) = ∫∫ B(r) ( −8h2 (1 + u2 + v2)2 + h2u + h 2 v)dudv 30 với B(r) = {(u, v) : u2 + v2 < r2}. Đặt P = −hhv, Q = hhu, áp dụng công thức Green ta có 0 = ∫ u2+v2=r2 (−hhvdu+ hhudv) = ∫∫ B(r) (h2u + hhuu + h 2 v + hhvv)dudv = ∫∫ B(r) (h2u + h 2 v)dudv + ∫∫ B(r) h(huu + hvv)dudv. ⇒ ∫∫ B(r) (h2u + h 2 v)dudv = − ∫∫ B(r) h(huu + hvv)dudv. Khi đó A′′(0) = = ∫∫ B(r) −8h2 (1 + u2 + v2)2 dudv + ∫∫ B(r) (h2u + h 2 v)dudv = ∫∫ B(r) −8h2 (1 + u2 + v2)2 dudv +− ∫∫ B(r) h(huu + hvv)dudv = ∫∫ B(r) −h ( 8h (1 + u2 + v2)2 + huu + hvv ) dudv = ∫∫ B(r) − (u2 + v2 − r2 u2 + v2 + r2 )[ 8 (1 + u2 + v2)2 (u2 + v2 − r2 u2 + v2 + r2 ) + 8r2[r4 − (u2 + v2)2] (u2 + v2 + r2)4 ] dudv = ∫∫ B(r) − (u2 + v2 − r2 u2 + v2 + r2 )2[ 1 (1 + u2 + v2)2 − r 2 (u2 + v2 + r2)2 ] dudv = ∫∫ B(r) − (u2 + v2 − r2 u2 + v2 + r2 )2 (1− r2)(u2 + v2 + r2) (1 + u2 + v2)2(u2 + v2 + r2)2 dudv = ∫∫ B(r) − (1− r 2)(u2 + v2 − r2)2 (1 + u2 + v2)2(u2 + v2 + r2)3 dudv < 0 với r < 1. 2.4 Định lý Stokes và phương pháp dạng cỡ Một trong những phương pháp được dùng để chứng minh một mặt là cực tiểu diện tích trong lớp các mặt có cùng biên là Phương pháp dạng cỡ. Trước khi giới thiệu phương pháp này, chúng ta cùng tìm hiểu các khái niệm có liên quan đến Định lý Stokes cũng như Định lý cơ bản của Hình học định cỡ. 31 2.4.1 Dạng vi phân Một dạng vi phân bậc k hoặc một k - dạng vi phân trong R3 có dạng w =∑ I fIdxI với I là k bộ chỉ số (i1, . . . , ik), 1 ≤ ii ≤ 3, fI là những hàm trên R3 và được gọi là hệ số của w, dxI là viết tắt của dxi1 ∧ . . . ∧ dxik . Cụ thể với P,Q,R là các hàm trơn trên R3 ta có • Dạng vi phân bậc 1 có dạng : Pdx+Qdy +Rdz. • Dạng vi phân bậc 2 có dạng : Pdx ∧ dy +Qdy ∧ dz +Rdx ∧ dz. • Dạng vi phân bậc 3 có dạng : Pdx ∧ dy ∧ dz. Toán tử dw = ∑ I dfIdxI được gọi là vi phân ngoài của dạng vi phân w. Phép toán này được thực hiện như phép tính vi phân thông thường với các lưu ý dx ∧ dx = 0 và dx ∧ dy = −dy ∧ dx. Cụ thể Nếu w là 3 - dạng vi phân thì dw = d(Pdxdydz) = ∂P ∂x dx ∧ (dx ∧ dy ∧ dz) + ∂P ∂y dy ∧ (dx ∧ dy ∧ dz) + ∂P ∂z dz ∧ (dx ∧ dy ∧ dz) = 0. Nếu w là 2 - dạng vi phân thì dw = d(Pdx ∧ dy +Qdy ∧ dz +Rdx ∧ dz) = ∂P ∂x dx ∧ dx ∧ dy + ∂P ∂y dy ∧ dx ∧ dy + ∂P ∂z dz ∧ dx ∧ dy + ∂Q ∂x dx ∧ dx ∧ dz + ∂Q ∂y dy ∧ dx ∧ dz + ∂Q ∂z dz ∧ dx ∧ dz + ∂R ∂x dx ∧ dy ∧ dz + ∂R ∂y dy ∧ dy ∧ dz + ∂R ∂z dz ∧ dy ∧ dz = ∂P ∂z dz ∧ dx ∧ dy + ∂Q ∂y dy ∧ dx ∧ dz + ∂R ∂x dx ∧ dy ∧ dz = ( ∂P ∂z − ∂Q ∂y + ∂R ∂x )dx ∧ dy ∧ dz 32 là một 3 - dạng vi phân. Nếu w là 1 - dạng vi phân thì dw = d(Pdx+Qdy +Rdz) = ∂P ∂x dx ∧ dx+ ∂P ∂y dy ∧ dx+ ∂P ∂z dz ∧ dx + ∂Q ∂x dx ∧ dy + ∂Q ∂y dy ∧ dy + ∂Q ∂z dz ∧ dy + ∂R ∂x dx ∧ dz + ∂R ∂y dy ∧ dz + ∂R ∂z dz ∧ dz = ( ∂Q ∂x − ∂P ∂y )dx ∧ dy + (∂R ∂y − ∂Q ∂z )dy ∧ dz + (∂R ∂x − ∂P ∂z )dx ∧ dz là một 2 - dạng vi phân. Nếu dw = 0 thì ta gọi w là dạng vi phân đóng. Như vậy mọi dạng vi phân bậc 3 trong R3 đều đóng. 2.4.2 Tích ngoài của m - vector, covetor trong không gian R3 Xét cơ sở trực chuẩn của R3 là{e1, e2, e3}, tích ngoài của m - vector v1, . . . , vm ∈ R3(m = 1, 2, 3), kí hiệu là v1 ∧ . . . ∧ vm có những tính chất sau + đa tuyến tính, ví dụ với m = 3, ∀i ∈ {1, 2, 3}, c là hằng số ta có v1 ∧ cv2 ∧ v3 = cv1 ∧ v2 ∧ v3, v1 ∧ (v2 + v′2) ∧ v3 = v1 ∧ v2 ∧ v3 + v1 ∧ v′2 ∧ v3. + tính thay phiên, ví dụ với m = 3 ta có v1 ∧ v3 ∧ v2 = −v1 ∧ v2 ∧ v3, v2 ∧ v1 ∧ v3 = −v1 ∧ v2 ∧ v3. Với w ∈ R3 có dạng w = v1 ∧ . . . ∧ vm thì w được gọi là một m− vector. Kí hiệu ei1...im = ei1 ∧ . . . ∧ eim, i1 < . . . < im và Am(R3) là tập hợp tất cả các m - vector trong R3 có cơ sở trực chuẩn là {ei1...im}, có số chiều là Cm3 . Ví dụ như A2(R3) có cơ sở trực chuẩn là {e1 ∧ e2, e2 ∧ e3, e1 ∧ e3} và có số chiều là 3. Một m - vector được gọi là đơn nếu nó có thể biểu diễn dưới dạng tích ngoài của m - vector ∈ R3. Cụ thể, tất cả các m - vector, m = 1, 2, 3 trong R3 đều đơn. Nhận xét 2.4.1. Mọi mặt phẳng được định hướng đi qua gốc tọa độ đều có thể đồng nhất với 2 - vector đơn, đơn vị trong A2(R3). 33 Hình 2.3: Mặt phẳng được đồng nhất với 2-vector đơn, đơn vị Gọi R3∗ là không gian đối ngẫu của R3 có cơ sở trực chuẩn là {e∗1, e∗2, e∗3} với e∗i (ej) = 1 nếu i = j0 nếu i 6= j và gọi Am(R3) là không gian đối ngẫu của Am(R3). Ta đồng nhất Am(R3) với Am(R3∗), 1 ≤ m ≤ 3. Mỗi phần tử của Am(R3) được gọi là một m - covector. Ví dụ như cơ sở trực chuẩn của A2(R3) là {e∗1 ∧ e∗2, e∗2 ∧ e∗3, e∗1 ∧ e∗3} với e∗i ∧ e∗j(ek ∧ el) = ±1 nếu {i, j} = {k, l}0 nếu {i, j} 6= {k, l} . Ta kí hiệu e∗i = dxi và thay vì phải viết dxi ∧ dxj ta sẽ viết dxidxj, khi đó có thể viết lại 2 - dạng vi phân trên R3 như sau w = Pe∗1 ∧ e∗2 +Qe∗2 ∧ e∗3 +Re∗1 ∧ e∗3 = Pdx1dx2 +Qdx2dx3 +Rdx1dx3. Xét một 2 - covector trong R3, ta có w = ∑ i<j aije ∗ i ∧ e∗j = ∑ i<j aijdxidxj với aij ∈ R. Do đó một m - covetor là một m - dạng vi phân hệ số hằng. 2.4.3 Định lý Stokes trong không gian R3 Trước khi đi đến Định lý Stokes trong không gian R3, ta trở lại công thức Newton - Leibniz. Nếu kí hiệu ∂[a, b] là biên định hướng theo chiều từ a tới b của [a, b] và F là hàm khả tích thì công thức∫ ∂[a,b] F = F (b)− F (a) 34 có thể được viết lại ∫ [a,b] f ′dx = ∫ ∂[a,b] f. Công thức này được mở rộng đến các miền phẳng, trở thành công thức Green mà chúng ta đã biết ∫ ∂D Pdx+Qdy = ∫∫ D ( ∂Q ∂x − ∂P ∂y )dxdy với D ⊂ R2, ∂D trơn từng khúc và P,Q là các hàm liên tục trên D, khả vi liên tục trên D. Mở rộng công thức Green ở trên cho không gian R3 chúng ta sẽ được công thức Stokes. Định lý 2.4.1. [2] Giả mặt S và biên của nó ∂S được định hướng một cách phù hợp, ta có∫ ∂S Pdx+Qdy+Rdz = ∫∫ S ( ∂Q ∂x − ∂P ∂y )dxdy+ ( ∂R ∂y − ∂Q ∂z )dydz+ ( ∂R ∂x − ∂P ∂z )dxdz với P,Q,R là các hàm khả vi liên tục trên miền xác định. Trước khi đi vào một chứng minh của Định lý Stokes ta nhắc lại định nghĩa của tích phân đường loại 2 và tích phân mặt loại 2 trong R3 như sau. Định nghĩa 2.4.1. Giả sửX là đường cong trơn được tham số hóa bởi γ : [a, b]→ R3 và f là một hàm số liên tục trên X. Ta gọi tích phân đường loại 2 của f dọc theo γ đối với biến xi, i = 1, . . . , 3 là giá trị ∫ Xγ fdxi cho bởi công thức ∫ Xγ fdxi = b∫ a f(γ(t))γ′i(t)dt với γ(t) = (γ1(t), . . . , γ3(t)), t ∈ [a, b]. Như vậy với dạng vi phân w = 3∑ 1 fidxi với fi là các hàm số liên tục trên X thì∫ Xγ w = 3∑ 1 ∫ Xγ fidxi = 3∑ 1 b∫ a f(γ(t))γ′i(t)dt. 35 Định nghĩa 2.4.2. Giả sử S là mặt được tham số hóa bởi σ : D → R3 và P,Q,R là các hàm số liên tục trên S. Khi đó tích phân mặt loại 2 trên S của hàm P theo biến (y, z) (tương ứng là Q theo biến (x, z) và R theo biến (x, y)) với hướng σ kí hiệu là ∫∫ Sσ Pdydz (tương ứng∫∫ Sσ Qdxdz và ∫∫ Sσ Rdxdy) được xác định bởi∫∫ Sσ Pdydz = ∫∫ D P (σ(u, v)) (∂y ∂u ∂z ∂v − ∂y ∂v ∂z ∂u ) dudv (tương ứng ∫∫ Sσ Qdxdz = ∫∫ D Q(σ(u, v)) (∂x ∂u ∂z ∂v − ∂x ∂v ∂z ∂u ) dudv ∫∫ Sσ Rdxdy = ∫∫ D R(σ(u, v)) (∂x ∂u ∂y ∂v − ∂x ∂v ∂y ∂u ) dudv. Chứng minh. Giả sử S là đường mặt được tham số hóa bởi σ : D → R3, áp dụng công thức Green, định nghĩa tích phân đường loại 2, tích phân mặt loại 2 ta có∫ ∂S Pdx+Qdy +Rdz = = ∫ ∂D [ P ∂x ∂u +Q ∂y ∂u +R ∂z ∂u ] du+ [ P ∂x ∂v +Q ∂y ∂v +R ∂z ∂v ] dv = ∫∫ D [ ∂ ∂u ( P ∂x ∂v +Q ∂y ∂v +R ∂z ∂v ) − ∂ ∂v ( P ∂x ∂u +Q ∂y ∂u +R ∂z ∂u )] dudv = ∫∫ D [ ∂ ∂u ( P ∂x ∂v ) − ∂ ∂v ( P ∂x ∂u ) + ∂ ∂u ( Q ∂y ∂v ) − ∂ ∂v ( Q ∂y ∂u ) + ∂ ∂u ( R ∂z ∂v ) − ∂ ∂v ( R ∂z ∂u )] dudv = ∫∫ D [∂P ∂u ∂x ∂v + P ∂ ∂u (∂x ∂v ) − ∂P ∂v ∂x ∂u − P ∂ ∂v (∂x ∂u ) + [∂Q ∂u ∂y ∂v +Q ∂ ∂u (∂y ∂v ) − ∂Q ∂v ∂y ∂u −Q ∂ ∂v (∂y ∂u ) + ∂R ∂u ∂z ∂v +R ∂ ∂u (∂z ∂v ) − ∂R ∂v ∂z ∂u −R ∂ ∂v (∂z ∂u )] dudv = ∫∫ D [(∂Q ∂x − ∂P ∂y )(∂x ∂u ∂y ∂v − ∂x ∂v ∂y ∂u ) + (∂R ∂y − ∂Q ∂z )(∂y ∂u ∂z ∂v − ∂y ∂v ∂z ∂u ) + (∂R ∂x − ∂P ∂z )(∂x ∂u ∂z ∂v − ∂x ∂v ∂z ∂u )] dudv = ∫∫ S [(∂Q ∂x − ∂P ∂y ) dxdy + (∂R ∂y − ∂Q ∂z ) dydz + (∂R ∂x − ∂P ∂z ) dxdz. 36 Như vậy Định lý trên thiết lập mối liên hệ giữa tích phân lấy theo một phía xác định của mảnh mặt S giới hạn bởi biên được định hướng phù hợp với tích phân đường lấy theo biên đó. Chúng ta có thể phát biểu lại định lý trên như sau Định lý 2.4.2. [3] Giả sử w là dạng vi phân bậc k trên Rn và S là một miền định hướng được, ∂S là biên của S được định hướng phù hợp với S thì ta có∫ S dw = ∫ ∂S w. 2.4.4 Dạng cỡ trong không gian R3 Định nghĩa 2.4.3. Xét w là một k - dạng vi phân trong R3, 1 ≤ k ≤ 3. W được gọi là dạng cỡ nếu dw = 0 và w(ξ) ≤ 1, ∀ξ đơn, đơn vị. Ví dụ 2.4.5. Trong không gian R3 xét mặt tham số S với TpS là mặt phẳng tiếp xúc tại p ∈ S. Ta đồng nhất TpS với 2 - vector đơn, đơn vị u∧ v sao cho {u, v,N} là hệ mục tiêu thuận với N là trường pháp vector đơn vị của mặt S. Xét dS là một 2 - dạng vi phân sao cho dS(TpS) = 1 và dS(α) ≤ 1, ∀(α) 6= TpS. Ta có ∫ S dS = ∫ S dS(TpS) = ∫ S 1 = A(S) là diện tích của mặt S. Khi đó dS là một dạng cỡ và được gọi là dạng diện tích của mặt S. Trước khi đi đến Định lý cơ bản của hình học định cỡ, ta có định nghĩa hai mặt cùng biên đồng đều như sau Định nghĩa 2.4.4. Hai mặt S, S′ được gọi là cùng biên, đồng đều nếu S − S′ = ∂A với A là một miền có chiều bằng 3. Kí hiệu S−S′ = S ∪S′ với S′ lấy hướng ngược lại. Định lý 2.4.3. (Định lý cơ bản của hình học định cỡ) Cho w là dạng cỡ đạt cực đại trên không gian tiếp xúc của mặt compact định hướng S, tức wp(TpS) = 1,∀p ∈ S. Khi đó S là mặt cực tiểu diện tích trong lớp các mặt cùng biên, đồng đều với nó và ta nói rằng w là dạng cỡ định cỡ mặt S. 37 Chứng minh. Gọi S′ là mặt cùng biên, đồng đều với S. Giả sử S được định cỡ bởi dạng cỡ w. Ta có A(S)− A(S′) = ∫ S 1− ∫ S′ 1 ≤ ∫ S w − ∫ S′ w = ∫ S−S′ w = ∫ ∂A w = ∫ A dw = 0. 2.4.6 Một số ví dụ Ví dụ 2.4.7. Mặt phẳng là mặt cực tiểu diện tích. Chứng minh. Không mất tính tổng quát, ta xét mặt phẳng xy và đồng nhất 〈{e1∧ e2}〉 với không gian tiếp xúc của mặt phẳng xy. Ta có e∗1 ∧ e∗2(e1 ∧ e2) = 1, e∗1 ∧ e∗2(e2 ∧ e3) = 0, e∗1 ∧ e∗2(e1 ∧ e3) = 0. Xét 2 - vector đơn, đơn vị u ∧ v bất kì, với u = λ1e1 + λ2e2 + λ3e3, v = µ1e1 + µ2e2 + µ3e3 ∈ R3 . Ta có u ∧ v = (λ1µ2 − λ2µ1)e1 ∧ e2 + (λ2µ3 − λ3µ2)e2 ∧ e3 + (λ1µ3 − λ3µ1)e1 ∧ e3. Khi đó e∗1 ∧ e∗2(u ∧ v) = λ1µ2 − λ2µ1 ≤ 1. Do đó e∗1 ∧ e∗2 là một dạng cỡ định cỡ mặt phẳng xy. Theo Định lý cơ bản của hình học định cỡ, một phần compact của mặt phẳng xy là mặt cực tiểu diện tích. Ví dụ 2.4.8. Cho mặt S là mặt trong R3 với biên là đường cong C cho trước, có phương trình z = f(x, y) có tham số hóa X(x, y) = (x, y, f(x, y)), (x, y) ∈ D ⊂ R2 . Nếu S là mặt cực tiểu thì S cực tiểu diện tích trong lớp các mặt cùng biên đồng đều. Chứng minh. Với tham số hóa như trên ta xác định được trường vector pháp đơn vị N của mặt S như sau N = (−fx,−fy, 1)√ 1 + f2x + f 2 y . 38 Độ cong trung bình của S tại mọi điểm H = 1 2 (eG+ Eg − 2fF ) (EG− F 2) = 1 2 [(1 + f2x)fyy + (1 + f 2 y )fxx − 2fxfyfxy] (1 + f2x + f 2 y ) 3 2 . Ta có divN = Nx +Ny +Nz = [f2xfxx + fxfyfxy − fxx(1 + f2x + f2y )] (1 + f2x + f 2 y ) 3 2 + [f2y fyy + fxfyfxy − fyy(1 + f2x + f2y )] (1 + f2x + f 2 y ) 3 2 = −(1 + f2x)fyy − (1 + f2y )fxx + 2fxfyfxy (1 + f2x + f 2 y ) 3 2 = −2H. Đặt w xác định trên D × R sao cho w(X ∧ Y ) = det(X, Y,N), X, Y ∈ D × R . Ta có w(X ∧ Y ) = a(e∗1 ∧ e∗2) + b(e∗2 ∧ e∗3) + c(e∗1 ∧ e∗3) với a, b, c được xác định như sau a = w(e1 ∧ e2) = ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 0 −fx√ 1+f2x+f2y 0 1 −fy√ 1+f2x+f2y 0 0 1√ 1+f2x+f2y ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 1√ 1 + f2x + f 2 y , b = w(e2 ∧ e3) = ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 0 0 −fx√ 1+f2x+f2y 1 0 −fy√ 1+f2x+f2y 0 1 1√ 1+f2x+f2y ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = − fx√ 1 + f2x + f 2 y , c = w(e1 ∧ e3) = ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 0 −fx√ 1+f2x+f2y 0 0 −fy√ 1+f2x+f2y 0 1 1√ 1+f2x+f2y ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = fy√ 1 + f2x + f 2 y . Do đó w(X ∧ Y ) = 1√ 1 + f2x + f 2 y e∗1 ∧ e∗2 − fx√ 1 + f2x + f 2 y e∗2 ∧ e∗3 + fy√ 1 + f2x + f 2 y e∗1 ∧ e∗3 = 1√ 1 + f2x + f 2 y dxdy − fx√ 1 + f2x + f 2 y dydz + fy√ 1 + f2x + f 2 y dxdz. 39 Ta có dw = = d ( 1√ 1 + f2x + f 2 y dxdy − fx√ 1 + f2x + f 2 y dydz + fy√ 1 + f2x + f 2 y dxdz ) = ∂ ∂x dx ( 1√ 1 + f2x + f 2 y dxdy − fx√ 1 + f2x + f 2 y dydz + fy√ 1 + f2x + f 2 y dxdz ) + ∂ ∂y dy ( 1√ 1 + f2x + f 2 y dxdy − fx√ 1 + f2x + f 2 y dydz + fy√ 1 + f2x + f 2 y dxdz ) + ∂ ∂z dz ( 1√ 1 + f2x + f 2 y dxdy − fx√ 1 + f2x + f 2 y dydz + fy√ 1 + f2x + f 2 y dxdz ) = [ ∂ ∂x ( − fx√ 1 + f2x + f 2 y ) + ∂ ∂y ( − fy√ 1 + f2x + f 2 y ) + ∂ ∂z ( 1√ 1 + f2x + f 2 y )] dxdydz = divNdxdydz = −2Hdxdydz. Như vậy w là dạng vi phân đóng ⇔ S là mặt cực tiểu. Ta có w(X ∧ Y ) = det(X, Y,N) ≤ |X||Y ||Z| = 1, ∀(X ∧ Y ) là các 2 - vector đơn, đơn vị và w(X ∧ Y ) ≤ |X ∧ Y | nên w là dạng cỡ định cỡ mặt cực tiểu S. Vậy mặt cực tiểu S có tham số hóa kiểu đồ thị là mặt cực tiểu diện tích trong lớp các mặt cùng biên, đồng đều với nó. Nhận xét 2.4.2. S là mặt chính quy trong R3 và p ∈ S. Khi đó tồn tại một lân cận V của p trong S sao cho V có tham số hóa kiểu đồ thị. Do đó mỗi mặt cực tiểu trong R3 là cực tiểu diện tích địa phương. 40 Chương 3 MẶT CỰC TIỂU DIỆN TÍCH TRONG KHÔNG GIAN R3 VỚI MẬT ĐỘ er2 Tương tự như thuật ngữ area-minimizing, chúng ta có thể hiểu thuật ngữ weighted area- minimizing (surface) có nghĩa là mặt có diện tích theo trọng số nhỏ nhất trong lớp các mặt cùng biên đồng đều hoặc dưới những sự biến dạng compact, bảo toàn thể tích theo trọng số. Trong chương cuối này của khóa luận, bên cạnh việc nêu Phương pháp dạng cỡ cho không gian với mật độ và một số ví dụ sử dụng phương pháp này, chúng tôi còn tìm hiểu thêm Phương pháp biến phân để chứng minh một số mặt là mặt cực tiểu diện tích bảo toàn thể tích theo trọng số cho trước. 3.1 Định lý Stokes với mật độ và phương pháp dạng cỡ trong không gian R3 với mật độ er2 Sau đây chúng tôi xin trình bày Định lý Stokes trong không gian R3 với mật độ, định nghĩa Dạng cỡ theo mật độ và Định lý quan trọng của Hình học định cỡ như sau Định lý 3.1.1. [3](Định lý Stokes trong không gian R3 với mật độ) Giả sử w là dạng vi phân bậc k trong không gian R3 với mật độ eϕ, S là miền định hướng được có biên ∂S được định hướng phù hợp với S, ta có∫ S d(eϕw) = ∫ ∂S eϕw. Định nghĩa 3.1.1. (Dạng cỡ trong không gian R3 với mật độ) Dạng vi phân w được gọi là dạng cỡ trong R3 với mật độ eϕ nếu d(eϕw) = 0 và 41 w(ξ) ≤ 1, ∀ξ đơn, đơn vị. Định lý 3.1.2. (Định lý cơ bản của hình học định cỡ trong không gian với mật độ) Trong không gian với mật độ, cho w là dạng cỡ đạt cực đại trên không gian tiếp xúc của mặt compact định hướng S, tức wp(TpS) = 1, ∀p ∈ S. Khi đó S là mặt cực tiểu diện tích theo mật độ trong lớp các mặt cùng biên, đồng đều với nó và ta nói rằng w là dạng cỡ định cỡ mặt S. Chứng minh. Gọi S′ là mặt cùng biên, đồng đều với S trong không gian với mật độ. Giả sử S được định cỡ bởi dạng cỡ theo mật độ w. Ta có Aϕ(S)−Aϕ(S′) = ∫ S eϕ− ∫ S′ eϕ ≤ ∫ S eϕw− ∫ S′ eϕw = ∫ S−S′ eϕw = ∫ ∂A eϕw = ∫ A d(eϕw) = 0. Sau đây là một số ví dụ về mặt định cỡ trong không gian R3 với mật độ er2. Định lý 3.1.3. Trong không gian R3 với mật độ er2, mặt phẳng đi qua gốc tọa độ là mặt cực tiểu diện tích. Chứng minh. Trong chương I ta đã biết các mặt phẳng đi qua gốc tọa độ là các mặt cực tiểu. Gọi phương trình của những mặt phẳng đó là Ax+By + Cz = 0, (A2 +B2 + C2 = 1). Xét 2 - dạng vi phân w(X, Y ) = det(X, Y,N), (X, Y ) ∈ R2. Ta có w(X ∧ Y ) = a(e∗1 ∧ e∗2) + b(e∗2 ∧ e∗3) + c(e∗1 ∧ e∗3) với a, b, c được xác định như sau a = w(e1 ∧ e2) = ∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 0 A 0 1 B 0 0 C ∣∣∣∣∣∣∣∣ = C, b = w(e2 ∧ e3) = ∣∣∣∣∣∣∣∣ 0 0 A 1 0 B 0 1 C ∣∣∣∣∣∣∣∣ = A, 42 c = w(e1 ∧ e3) = ∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 0 A 0 0 B 0 1 C ∣∣∣∣∣∣∣∣ = −B. Do đó w(X ∧ Y ) = Ce∗1 ∧ e∗2 + Ae∗2 ∧ e∗3 −Be∗1 ∧ e∗3 = Cdxdy + Adydz −Bdxdz. Ta có w(X ∧Y ) ≤ 1, w(X ∧Y ) = 1⇔ X, Y là cơ sở trực chuẩn của mặt phẳng. Bên cạnh đó d(er 2 w) = d(Cer 2 dxdy + Aer 2 dydz −Ber2dxdz) = ∂(Aer 2 ) ∂x dxdydz − ∂(Be r2) ∂y dydxdz + ∂(Cer 2 ) ∂y dzdxdy = [Aer 2 2x+Ber 2 2y + Cer 2 2z]dxdydz = [2er 2 (Ax+By + Cz)]dxdydz = 0. Định lý 3.1.4. Trong không gian R2×R với R2 và R lần lượt được cho bởi mật độ eϕ và 1, nếu mặt có tham số hóa kiểu đồ thị là mặt cực tiểu theo mật độ thì nó là mặt cực tiểu diện tích trong lớp các mặt cùng biên đồng đều. Chứng minh. Gọi S là mặt tham số hóa kiểu đồ thị và là mặt cực tiểu theo mật độ. Xét một tham số hóa của nó là X(x, y) = (x, y, f(x, y)), (x, y) ∈ D ⊂ R2 . Tương tự như ví dụ (2.4.8), ta tính được N = (−fx,−fy, 1)√ 1 + f2x + f 2 y . w(X ∧ Y ) = 1√ 1 + f2x + f 2 y dxdy − fx√ 1 + f2x + f 2 y dydz + fy√ 1 + f2x + f 2 y dxdz. Khi đó eϕw(X ∧ Y ) = e ϕ√ 1 + f2x + f 2 y dxdy − e ϕfx√ 1 + f2x + f 2 y dydz + eϕfy√ 1 + f2x + f 2 y dxdz 43 và d(eϕw) = [ ∂ ∂x ( − e ϕfx√ 1 + f2x + f 2 y ) + ∂ ∂y ( − e ϕfy√ 1 + f2x + f 2 y )] dxdydz = [ eϕ ∂ ∂x ( − fx√ 1 + f2x + f 2 y ) + ( − fx√ 1 + f2x + f 2 y ) ∂ ∂x (eϕ) + eϕ ∂ ∂y ( − fy√ 1 + f2x + f 2 y ) + ( − fy√ 1 + f2x + f 2 y ) ∂ ∂y (eϕ) = [ eϕ ∂ ∂x ( − fx√ 1 + f2x + f 2 y ) + eϕ ∂ ∂y ( − fy√ 1 + f2x + f 2 y ) + ( − fx√ 1 + f2x + f 2 y ) eϕ ∂ϕ ∂x + ( − fy√ 1 + f2x + f 2 y ) eϕ ∂ϕ ∂y ] dV = [eϕdivN + eϕ〈∇ϕ,N〉]dV = eϕ[−2H + 〈∇ϕ,N〉]dV = −2eϕHϕdV = 0. 3.2 Biến phân thứ hai trong không gian R3 với mật độ er 2 Trước khi đi vào tìm hiểu phương pháp biến phân, chúng ta sẽ nêu định nghĩa phiếm hàm thể tích và biến phân thứ nhất của phiếm hàm thể tích và phiếm diện tích trong không gian R3 như sau Định nghĩa 3.2.1. Xét mặt S có tham số hóa X : D → R3 với D ⊂ R2 là một miền compact tương đối với biên trơn ∂D. Khi đó VD(X) = 1 3 ∫ D 〈X,N〉dA được gọi là thể tích của D trong X, với N là trường pháp vector dọc X, dA là phần tử diện tích và 〈, 〉 là tích vô hướng trong R3. Định nghĩa 3.2.2. Xét Xt : D → R3, t ∈ (−ε, ε) là một biến phân của X(D). Biến phân này được gọi là bảo toàn thể tích nếu VD(Xt) = VD(X) ∀t ∈ (−ε, ε) và được gọi là cố định biên nếu Xt(p) = X(p) ∀p ∈ ∂D và ∀t ∈ (−ε, ε). 44 Định lý 3.2.1. [4](Biến phân thứ nhất của hàm thể tích và diện tích trong không gian R3) Với mỗi biến phân cố định biên Xt : D → R3 ta có biến phân thứ nhất của phiếm hàm diện tích và phiếm hàm thể tích của mặt X là A′(0) = − ∫ D 2uHdA, V ′(0) = ∫ D udV với H là độ cong trung bình, uN là thành phần pháp vector của biến phân Xt. Tiếp theo, chúng ta có Định lý 3.2.2. ([8], [4])(Biến phân thứ nhất của hàm thể tích và diện tích trong không gian R3 với mật độ eϕ) Biến phân thứ nhất của diện tích và thể tích của một miền Ω trơn với biên Σ trong R3 với mật độ trơn eϕ ứng với vận tốc pháp ban đầu u được cho bởi công thức A′ϕ(0) = − ∫ Σ 2uHϕdAϕ, V ′ ϕ(0) = − ∫ Σ udVϕ trong đó Hϕ là độ cong trung bình theo mật độ của Σ ứng với vector trong đơn vị N . Như vậy, biến phân Xt bảo toàn thể tích nếu V (t) là hằng số với mọi t đủ nhỏ do đó V ′ϕ(0) = 0. Để đi đến công thức biến phân thứ hai của hàm diện tích và thể tích và các định lý quan trọng của phương pháp biến phân trong việc chứng minh các mặt là cực tiểu diện tích bảo toàn thể tích cố định cho trước, chúng ta hãy cùng tìm hiểu các khái niệm tập dừng và tập ổn định. Định nghĩa 3.2.3. (Tập dừng) Tập mở, trơn Ω được gọi là dừng nếu A′(0) = 0 với mọi biến phân bảo toàn thể tích của Ω. Định nghĩa 3.2.4. (Tập ổn định) Tập mở, trơn Ω được gọi là ổn định nếu A′′(0) ≥ 0 với mọi biến phân bảo toàn thể tích của Ω. Từ định nghĩa tập dừng, ta nhận thấy Ω là điểm tới hạn của phiếm hàm diện tích và từ định nghĩa tập ổn định , ta nhận thấy một tập là ổn định thì biên của nó là mặt có diện tích nhỏ nhất trong tất cả các mặt có cùng thể tích. Định lý sau đây nêu lên mối liên hệ giữa một tập là dừng với độ cong trung bình của biên của nó. 45 Định lý 3.2.3. ([8], [4]) Với mỗi tập mở, trơn Ω trong không gian R3 với mật độ eϕ, các điều kiện sau là tương đương (i) Ω là dừng. (ii) Σ = ∂Ω có độ cong trung bình hằng Ho. (iii) Tồn tại hằng số Ho sao cho (Aϕ −HoVϕ)′(0) = 0 với mọi biến phân của Ω. Ví dụ 3.2.1. Như vậy các mặt có độ cong trung bình hằng là các mặt dừng. Ví dụ như mặt cầu và mặt trụ trong không gian R3 với mật độ er2. Định lý 3.2.4. ([8], [4])(Công thức biến phân thứ hai) Xét Ω là tập mở, dừng trong R3 với mật độ eϕ. Gọi N là pháp vector trong đơn vị của Σ = ∂Ω và Hϕ là độ cong trung bình của Σ ứng với N . Xét một biến phân của Ω liên kết với trường vector X = uN trên Σ ta có (Aϕ−HϕVϕ)”(0) = Qϕ(u, u) := ∫ Σ eϕ(|∇Σu|2−|σ|2u2)dA+ ∫ Σ eϕu2(∇2ϕ)(N,N)dA với ∇Σu là gradient của u theo Σ, |σ|2 là tổng bình phương các độ cong chính quy của Σ và ∇2ϕ là HessianEuclid của ϕ. Biểu thức Qϕ(u, u) được định nghĩa ở trên xác định một dạng toàn phương trên C∞0 (Σ) được gọi là dạng chỉ số liên kết với Σ. Định lý sau cho ta điều kiện để một tập là ổn định. Định lý 3.2.5. ([8], [4]) Cho Ω mở, trơn trong R3 với mật độ eϕ. Khi đó Ω là ổn định nếu và chỉ nếu nó dừng và dạng chỉ số liên kết của Σ = ∂Ω thỏa mãn Qϕ(u, u) ≥ 0 ∀u ∈ C∞0 (Σ) với ∫ Σ fuda = 0. Định lý trên nêu lên điều kiện cần và đủ để một tập là ổn định. Ta thấy rằng nếu một tập là ổn định thì biên của nó là mặt cực tiểu diện tích ứng với một thể tích cho trước. Do đó ta có thể chứng minh tính cực tiểu diện tích của một số mặt ứng với một thể tích cho trước trong không gian R3 với mật độ eϕ(r) = er2 bằng cách chứng minh chúng là biên của các tập ổn định. 3.3 Một số kết quả Định lý 3.3.1. Trong không gian R3 với mật độ eϕ(r) = er2 với r ≥ 1, r =√ x2 + y2 + z2 ∀(x, y, z) ∈ R3, các hình cầu có tâm tại gốc tọa độ là những tập ổn định. 46 Chứng minh. Gọi Ω là hình cầu tâm O bán kính r có biên là mặt cầu Σ = {(x, y, z) ∈ R3 |x2 + y2 + z2 = r2}. Theo Định lý (1.3.3), ta đã biết được Σ là mặt có độ cong hằng. Bên cạnh đó, pháp vector đơn vị N và các độ cong chính của Σ tại mỗi điểm p(x, y, z) ∈ Σ lần lượt là N = (xr , y r , z r ) và k1 = k2 = −1r . Ta có ∂ϕ ∂x = ∂ϕ ∂r ∂r ∂x = 2r x r = 2x, ∂ϕ ∂y = ∂ϕ ∂r ∂r ∂y = 2r y r = 2y, ∂ϕ ∂z = ∂ϕ ∂r ∂r ∂z = 2r z r = 2z, ∂2ϕ ∂x2 = ∂2ϕ ∂y2 = ∂2ϕ ∂z2 = 2, ∂2ϕ ∂x∂y = ∂2ϕ ∂y∂z = ∂2ϕ ∂x∂z = 0. Do đó (∇2ϕ)(N,N) = ∑ i,j ∂2ϕ ∂xi∂xj xixj r2 = 2 x2 r2 + 2 y2 r2 + 2 z2 r2 = 2. Khi đó Qϕ(u, u) = ∫ Σ eϕ(|∇Σu|2 − |σ|2u2)dA+ ∫ Σ eϕu2(∇2ϕ)(N,N)dA = ∫ Σ eϕ|∇Σu|2dA+ ∫ Σ eϕu2[(∇2ϕ)(N,N)− |σ|2]dA = ∫ Σ eϕ|∇Σu|2dA+ ∫ Σ eϕu2(2− 2 r2 ) dA = ∫ Σ eϕ|∇Σu|2dA+ ∫ Σ eϕu2 2(r2 − 1) r2 dA ≥ 0 do r ≥ 1. Do đó, theo các Định lý (3.2.4) và (3.2.5) Ω là tập ổn định. Từ đó ta có Nhận xét 3.3.1. Trong không gian R3 với mật độ eϕ(r) = er2 với r ≥ 1, r =√ x2 + y2 + z2 ∀(x, y, z) ∈ R3, các mặt cầu tâm O bán kính r là những mặt cực tiểu diện tích ứng với một thể tích cho trước. 47 Đặc biệt hơn, trong [3], nhóm tác giả đã chứng minh được định lý quan trọng sau Định lý 3.3.2. [3] Trong Rn+1 với mật độ f(x) = ec|x|2, c > 0, các mặt cầu có tâm tại gốc tọa độ là những mặt cực tiểu diện tích duy nhất ứng với một thể tích cho trước. Định lý 3.3.3. Trong không gian R3 với mật độ eϕ(r) = er2 với r ≥ 1√ 2 , r =√ x2 + y2 ∀(x, y, z) ∈ R3, các hình trụ Ω = {(x, y, z) ∈ R3 |x2 + y2 ≤ r2} là những tập ổn định. Chứng minh. Xét hình trụ Ω có biên là Σ = {(x, y, z) ∈ R3 |x2 + y2 = r2}. Theo Định lý (1.3.4), ta đã biết được Σ là mặt có độ cong hằng. Bên cạnh đó, pháp vector đơn vị N và các độ cong chính của Σ tại mỗi điểm p(x, y, z) ∈ Σ lần lượt là N = (xr , y r , 0) và k1 = 0, k2 = 1 r . Ta có ∂ϕ ∂x = ∂ϕ ∂r ∂r ∂x = 2r x r = 2x, ∂ϕ ∂y = ∂ϕ ∂r ∂r ∂y = 2r y r = 2y, ∂2ϕ ∂x2 = ∂2ϕ ∂y2 = 2, ∂2ϕ ∂x∂y = 0. Do đó (∇2ϕ)(N,N) = ∑ i,j ∂2ϕ ∂xi∂xj xixj r2 = 2 x2 r2 + 2 y2 r2 = 2. 48 Khi đó Qϕ(u, u) = ∫ Σ eϕ(|∇Σu|2 − |σ|2u2)dA+ ∫ Σ eϕu2(∇2ϕ)(N,N)dA = ∫ Σ eϕ|∇Σu|2dA+ ∫ Σ eϕu2[(∇2ϕ)(N,N)− |σ|2]dA = ∫ Σ eϕ|∇Σu|2dA+ ∫ Σ eϕu2(2− 1 r2 ) dA = ∫ Σ eϕ|∇Σu|2dA+ ∫ Σ eϕu2 (2r2 − 1) r2 dA ≥ 0 do r ≥ 1√ 2 . Do đó, theo các Định lý (3.2.4) và (3.2.5) Ω là tập ổn định. Nhận xét 3.3.2. Trong không gian R3 với mật độ eϕ(r) = er2 với r ≥ 1√ 2 , r =√ x2 + y2 ∀(x, y, z) ∈ R3, các mặt trụ Ω = {(x, y, z) ∈ R3 |x2 + y2 = r2} là những mặt cực tiểu diện tích ứng với một thể tích cho trước. 49 KẾT LUẬN Thông qua các buổi seminar để trao đổi cũng như những thảo luận qua email với Thầy giáo, PGS. TS. Đoàn Thế Hiếu, chúng tôi đã tìm hiểu và trình bày một số nội dung chính như sau 1. Điều kiện để các mặt tròn xoay, mặt kẻ, mặt tịnh tiến, ... là mặt cực tiểu trong không gian R3 với mật độ er2. 2. Định lý Stokes, phương pháp dạng cỡ và mặt định cỡ trong không gian R3 và trong không gian R3 với mật độ er2. 3. Phương pháp biến phân trong không gian R3 với mật độ er2. Đặc biệt, chúng tôi tìm cách giải quyết điều kiện để mặt kẻ là mặt cực tiểu trong không gian R3 với mật độ er2 và một số mặt cực tiểu đại số. Tiếp đó, chúng tôi sử dụng phương pháp dạng cỡ và phương pháp biến phân để chứng minh một số mặt quen thuộc là mặt cực tiểu diện tích với biên là một đường cong đóng cho trước hay ứng với một thể tích cho trước bất kì. Các kết quả này tuy nhỏ nhưng có thể tạm gọi là những kết quả đầu tiên của chúng tôi khi theo đuổi hướng nghiên cứu này. Dù đã rất cố gắng tìm hiểu và trình bày theo cách hiểu của mình nhưng do thời gian và năng lực còn hạn chế nên khóa luận vẫn không thể tránh khỏi nhiều thiếu sót. Tác giả rất mong quý Thầy Cô và bạn bè quan tâm góp ý, bổ sung để khóa luận được hoàn thiện hơn. Xin chân thành cám ơn. 50 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Đoàn Thế Hiếu (2010), Bài giảng Hình học vi phân, ĐH Sư Phạm, ĐH Huế. [2] Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải (2002), Giải tích Toán học - Tập 2, NXB ĐH Sư Phạm, 260-294. [3] Nguyễn Thị Lài (2010), Mặt cực tiểu diện tích và phương pháp dạng cỡ, Khóa luận tốt nghiệp, ĐH Sư Phạm, ĐH Huế. [4] Nguyễn Thị Thanh Loan (2009), Bài toán đẳng chu với mật độ, Luận văn Thạc sĩ Toán học, ĐH Sư Phạm, ĐH Huế, 9-22. [5] Trương Thị Thùy Trang (2009), Mặt cực tiểu trong không gian tích với một nhân tử có mật độ Gauss, Khóa luận tốt nghiệp, ĐH Sư Phạm, ĐH Huế. Tiếng Anh [6] Ivan Corwin, Neil Hoffman, Stephanie Hurder, Vojislav Sˇesˇsum, Ya Xu (2006), Differential geometry of manifolds with density, Rose-Hulman Und. Math. J.. [7] Doan The Hieu (2010), Some calibrated surfaces in manifolds with density, to appear [8] Ce´sar Rosales, Antonio Can˜ete, Vincent Bayle, Frank Morgan (2008), On the isoperimetric problem in Euclidean space with density, Calc. Var. Partial Differential Equations 31, no. 1, 27-46. [9] John Opera (1997), Differential Geometry and its Applications, Prentice Hall. [10] Theodore Shifrin (2010), A First Course in Curves and Surfaces - Preliminary Version, Uni. of Georgia. 51