Một số bài toán cauchy chứa kì dị trong không gian banach

gian Banach cỏc hàm liờn tục trờn [0, t] nhận giỏ trị trong Xs và chuẩn ‖u‖t,s = supτ∈[0,t] ‖u(τ)‖s; • E = {u ∈ C([0, Tλ), Xa) : u|[0,t] ∈ Et,s, ∀(t, s) ∈ ∆λ}. Cho dóy {(tn, sn)}n trự mật trong ∆λ. Với mỗi n ∈ N và u ∈ Etn,sn, chỳng ta đặt: pn(u) = sup τ∈[0,tn] ‖u(τ)‖sn . (4.3) Bởi vỡ {(tn, sn)}n là trự mật trong ∆λ, cho nờn E là khụng gian lồi địa phương được trang bị họ đếm được, tỏch nửa chuẩn {pn}n. Vậy E là khụng gian khả metric và cũng chứng minh được là nú đầy đủ. Nghĩa là E là một khụng gian Frộchet. • Nếu Ω ⊂ E và t ∈ [0, T ], chỳng ta ký hiệu Ω(t) là tập hợp {u(t) : u ∈ Ω} và Ω|[0,t] = {u|[0,t] : u ∈ Ω}. • Cho số β > 0 sẽ được xỏc định khi cần thiết, gọi M là tập cỏc tập con Ω ⊂ E cú tớnh chất: (M1) Tồn tại số R > 0 sao cho sup(t,s)∈∆λ(b − s − λt)β‖u(t)‖s < R với mọi u ∈ Ω; 58 (M2) Ω|[0,t] là đồng liờn tục trong Et,s, ∀(t, s) ∈ ∆λ. • Chỳng ta định nghĩa Q là khụng gian cỏc hàm g : ∆λ → R thỏa món cỏc tớnh chất: g(., s) liờn tục trờn [0, (b− s)/λ) với mỗi s ∈ [a, b) và ‖g‖Q := sup (t,s)∈∆λ (b− s− λt)β|g(t, s)| <∞. • Trong Q, chỳng ta định nghĩa tập K gồm cỏc hàm số g thỏa món (K1) g(t, s) ≥ 0, ∀(t, s) ∈ ∆λ, và (K2) g(t, .) là tăng trờn [a, b− λt) với mỗi t ∈ [0, T ). Cú thể thấy Q là một khụng gian định chuẩn và K là một nún trong Q. Trong Q, chỳng ta định nghĩa thứ tự: g ≤ G⇔ g(t, s) ≤ G(t, s), ∀(t, s) ∈ ∆λ. Với thứ tự này, cú thể thấy rằng nếu g1−g2 ∈ K thỡ g1 ≥ g2 (hay g ∈ K ⇒ g ≥ θQ) nhưng chiều ngược lại chưa chắc đỳng. Chỳng ta sẽ chứng minh ỏnh xạ Φ :M→ K, được xỏc định bởi Φ(Ω)(t, s) = αs(Ω(t)), ∀(t, s) ∈ ∆λ, (4.4) là một độ đo phi compact chớnh quy. Bổ đề 4.1.1. Ánh xạ Φ được xỏc định bởi (4.4) là một độ đo phi compact chớnh quy trờn M và thỏa món điều kiện (i) trong định lý 1.4.7. Chứng minh. Trước hết, chỳng ta chứng minh Φ(Ω) ∈ K với mọi Ω ∈ M. Thật vậy, tớnh chất thang khụng gian cho thấy hàm số s 7→ αs(Ω(t)) = Φ(Ω)(t, s) là tăng. Do Ω là đồng liờn tục trong khụng gian Et,s và ‖u(τ)‖s ≤ R(b−s−λt)−β, ∀τ ∈ [0, t] (số R được nhắc tới trong điều kiện (M1)), cho nờn hàm số τ 7→ αs(Ω(τ)) là liờn tục trờn [0, t] với mỗi t ∈ [0, b−sλ ) theo bổ đề 1.4.3. Ngoài ra điều kiện (M1) cho thấy (b− s− λt)βαs(Ω(t)) = αs ( (b− s− λt)βΩ(t)) ≤ αs ( Bs(θ, R) ) = 2R, ∀(t, s) ∈ ∆. Vậy hàm số (t, s) 7→ αs(Ω(t)) thuộc nún K. Từ định nghĩa độ đo Kuratowski, chỳng ta suy ra αs là đơn điệu: αs(Ω1) ≤ αs(Ω2) nếu Ω1 ⊂ Ω2. 59 Vỡ thế, nếu chứng minh được rằng Φ(coΩ) ≤ Φ(Ω) thỡ Φ là một độ đo phi compact. Cho trước phần tử (t, s) ∈ ∆λ, chỳng ta thấy nếu dóy un → u trong khụng gian E thỡ un(t)→ u(t) trong khụng gian Xs. Cho nờn một khi Ω ∈ M thỡ Ω ∈ M và Ω(t) ⊂ Ω(t)s trong đú As là bao đúng của A trong khụng gian Xs. Vậy (co(Ω))(t) ⊂ co(Ω(t))s. Và do đú, chỳng ta suy ra Φ(coΩ)(t, s) = αs((co(Ω))(t)) ≤ αs(co(Ω(t))s) = αs(Ω(t)) = Φ(Ω)(t, s). Tiếp theo, chỳng ta chứng minh Φ là chớnh quy. Cho Ω ∈ M. Từ tớnh chớnh quy của αs chỳng ta suy luận rằng nếu Φ(Ω)(t, s) = αs(Ω(t)) = 0 thỡ Ω(t) là tập compact tương đối trong Xs với mọi (t, s) ∈ ∆λ. Bõy giờ, cho trước (t, s) ∈ ∆λ, thỡ Ω(τ) là compact tương đối trong Xs với mọi τ ∈ [0, t]. Mặt khỏc, Ω|[0,t] đồng liờn tục trong khụng gian Et,s (theo (M2) của định nghĩa M). Vỡ vậy, theo định lý Azelà-Ascoli, Ω|[0,t] là tập compact tương đối trong Et,s. Giả sử Φ(Ω) = θQ và {un}n ⊂ Ω. Chỳng ta sẽ chứng minh {un}n cú dóy con hội tụ trong E. Chỳng ta cú cỏc suy luận sau:1 • Ω|[0,t1] là compact tương đối trong Et1,s1 cho nờn tồn tại dóy con {u(1)n }n ⊂ {un}n mà nú hội tụ trong khụng gian Et1,s1 về u(1). • Lập luận tương tự, cú dóy con {u(k+1)n }n ⊂ {u(k)n }n hội tụ trong khụng gian Etk+1,sk+1 về u (k+1), k = 1, 2, .... Vỡ cỏc khụng gian Xs lồng vào nhau, chỳng ta cú thể đặt u(t) := u(k)(t), ∀k ∈ N, t ∈ [0, tk]. Đặt dóy đường chộo vn = u(n)n , n ∈ N, khi đú thỡ {vn}|[0,tk] hội tụ về u|[0,tk] trong khụng gian Etk,sk với mọi k ∈ N khi n→∞. Do đú, với ε > 0 cho trước và tập chỉ số A ⊂ N, A hữu hạn, chỳng ta luụn chọn được n0 độc lập với k ∈ A sao cho với mọi n ≥ n0 thỡ pk(vn − u) ≤ sup τ∈[0,tk] ‖vn(t)− u(t)‖sk ≤ ε. Suy ra {vn} hội tụ về u trong E và điều này cho thấy Ω là tập compact tương đối trong E. Ngược lại, giả sử Ω là tập compact tương đối trong E và (t, s) bất kỳ trong ∆λ. 1dóy {(tn, sn)}n được cho trước, khi xõy dựng khụng gian E. 60 Chỳng ta cần chứng minh Φ(Ω)(t, s) = αs(Ω(t)) = 0. Do tớnh chớnh quy của αs, chỳng ta chỉ cần chứng minh với mọi dóy {un} trong Ω thỡ tồn tại dóy con {unk}k sao cho {unk(t)}k hội tụ trong Xs. Do tớnh trự mật của {(tn, sn)} trong ∆λ thỡ tồn tại m ∈ N sao cho t ≤ tm, s ≤ sm, và vỡ Ω là tập compact tương đối trong E, cho nờn tồn tại dóy con {unk}k hội tụ trong E về u. Điều cần chứng minh được suy ra từ ‖unk(t)− u(t)‖s ≤ pm(unk − u)→ 0, (k →∞). Cuối cựng, điều kiện (i) của định lý 1.4.7. được suy ra trực tiếp từ định nghĩa của họM và tớnh chất của độ đo αs. Trong cỏc mục 4.2 và 4.3 sau đõy, chỳng ta sẽ sử dụng định lý 1.4.7. mà trong đú độ đo phi compact φ = Φ được xỏc định bởi (4.4). 4.2 Bài toỏn Cauchy khụng cú chậm Dựa trờn khụng gian Frộchet và độ đo phi compact xõy dựng trong mục trước, chỳng tụi giải bài toỏn (1) bằng cỏch tỡm điểm bất động của ỏnh xạ tớch phõn (4) qua việc ỏp dụng Định lý 1.4.7. Chỳng ta bắt đầu bằng cỏch nờu ra cỏc giả thiết: (H1) Ánh xạ f : [0, T ]ìXs′ → Xs là liờn tục với mọi s < s′. (H2) Tồn tại cỏc số M,N sao cho với mọi s < s′ và u ∈ Xs′ thỡ ‖f(t, u)‖s ≤ M‖u‖s ′ s′ − s +N. (H3) Tồn tại số C sao cho nếu Ω là tập bị chặn trong Xs′ thỡ: αs(f(t,Ω)) ≤ C s′ − sαs′(Ω), ∀ t ∈ [0, T ], s < s ′ < b− λt. (4.5) Sau đõy, chỳng ta chứng minh một số bổ đề cần thiết. Bổ đề 4.2.1. Giả sử giả thiết (H1),(H2) đỳng và cú giỏ trị κ ∈ (0, 1) sao cho λβκβ(1− κ) > M. Đặt BR = { u ∈ E : sup (t,s)∈∆λ (b− s− λt)β‖u(t)‖s ≤ R } . Khi đú, với R đủ lớn thỡ F (BR) ⊂ BR và F (Ω) ∈M với mọi Ω ⊂ BR. 61 Chứng minh. Trước tiờn, nếu (t, s) ∈ ∆λ và u ∈ E, thỡ u(t) ∈ Xs′ cho mọi s′ ∈ (s, b − λt). Do đú, chỳng ta suy ra Fu(t) ∈ Xs với mọi u ∈ E và (t, s) ∈ ∆λ. Giả thiết (H1) cho thấy Fu|[0,t] ∈ Et,s với mọi (t, s) ∈ ∆λ. Tiếp theo, cho trước (t, s) ∈ ∆λ và u ∈ BR. Với mỗi 0 ≤ τ ≤ t, chỳng ta đặt s(τ) = s+ (1− κ)(b− s− λτ). Khi đú, s < s(τ) < b− λτ , ỏp dụng giả thiết (H2) chỳng ta suy ra ‖Fu(t)‖s ≤ ‖u0‖b + ∫ t 0 ‖f(τ, u(τ))‖sdτ ≤ ‖u0‖b + ∫ t 0 [ M‖u(τ)‖s(τ) s(τ)− s +N ] dτ ≤ ‖u0‖b + ∫ t 0 [ MR κβ(1− κ)(b− s− λτ)1+β +N ] dτ ≤ ‖u0‖b + MR κβ(1− κ)λβ ( 1 (b− s− λt)β − 1 (b− s)β ) +NT. Do đú (b− s− λt)β‖Fu(t)‖s ≤ bβ‖u0‖b + MR κβ(1− κ)λβ +NT (b− a) β. (4.6) Bởi vỡ λβκβ(1−κ) > M , bβ‖u0‖b và KT (b− a)β bị chặn, cho nờn cú thể thấy rằng vế phải của đỏnh giỏ trờn sẽ nhỏ hơn R nếu R đủ lớn, nghĩa là Fu ∈ BR. Để chứng minh F (Ω) ∈M,∀Ω ⊂ B chỳng ta chỉ cần chứng minh điều kiện (M2). Cho trước (t, s) ∈ ∆λ và lập luận tương tự như cỏc đỏnh giỏ trờn, thỡ với mọi 0 ≤ t1 ≤ t2 ≤ t chỳng ta cú ‖Fu(t1)− Fu(t2)‖s ≤ MR κβ(1− κ) ∫ t2 t1 dτ (b− s− λτ)1+β +N(t2 − t1) ≤ MR κβ(1− κ) t2 − t1 (b− s− λt)1+β +N(t2 − t1). Nghĩa là tồn tại hằng số H độc lập với u sao cho ‖Fu(t1)− Fu(t2)‖s ≤ H|t1 − t2|, ∀t1, t2 ∈ [0, t], u ∈ BR. Chỳng ta suy ra rằng F (Ω)|[0,t] là đồng liờn tục trong khụng gian Et,s. Vậy F (Ω) ∈M với mọi Ω ⊂ BR. Núi riờng là F (BR) ∈M. Trong bổ đề tiếp theo, chỳng ta đỏnh giỏ ỏnh xạ tuyến tớnh A : K → Q được xỏc định bởi: A(g)(t, s) = ∫ t 0 2C b− s− λτ g(τ, (b+ s− λτ)/2)dτ, ∀ (t, s) ∈ ∆λ, g ∈ K. (4.7) Khụng gian cú thứ tự Q và nún K mà chỳng ta sử dụng ở đõy được định nghĩa trong mục 4.1. 62 Bổ đề 4.2.2. Giả sử β > 0. Khi đú A là ỏnh xạ tuyến tớnh dương, tức là A(K) ⊂ K. Hơn nữa, chỳng ta cú: ‖(A)n(g)‖Q ≤ ( 21+βC λβ )n ‖g‖Q, ∀g ∈ Q, n ∈ N. (4.8) Chứng minh. Trước hết, chỳng ta chứng minh A(g) được định nghĩa tốt và liờn tục theo biến t trờn miền [ 0, b−sλ ) với giỏ trị s ∈ [a, b) cố định. Chỳng ta sẽ chứng minh rằng hàm số P (τ) := g(h(τ), S(τ))(b− s− λτ)−1 là đo được Lebesgue và bị chặn trờn cỏc đoạn [0, t′] trong đú t′ < (b− s)/λ và S(τ) = (b+ s− λτ)/2. Cố định t′′ ∈ [0, (b− s)/λ) và đặt p(r) = g(t′′, r), thỡ khi đú g(t′′, S(τ)) = p ◦ S(τ). Mà hàm số p là tăng, cho nờn p−1(−∞, α) là một khoảng. Do đú, kết hợp tớnh liờn tục của S, chỳng ta suy ra {τ ∈ [0, t′] : p ◦ S(τ) < α} = S−1(p−1(−∞, α)) là tập đo được và hàm số τ 7→ g(t′′, S(τ)) là đo được. Từ đõy, hàm số (t′′, τ) 7→ g(t′′, S(τ)) là một hàm Carathộodory. Cho nờn hàm số τ 7→ g(h(τ), S(τ)) đo được và P (τ) là hàm đo được. Ngoài ra, tớnh bị chặn của P (τ) trờn [0, t′] trong đú t′ < (b− s)/λ được suy ra từ P (τ) ≤ ‖g‖Q [b− S(τ)− λτ ]β(b− s− λτ) ≤ ‖g‖Q2β (b− s− λτ)β+1 ≤ ‖g‖Q2 β (b− s− λt′)β+1 , ∀τ ∈ [0, t ′]. Vậy, A(g)(t, s) được định nghĩa tốt và liờn tục theo t ∈ [0, (b − s)/λ). Mặt khỏc, A(g)(t, s) tăng theo biến s, bởi vỡ cỏc hàm số s 7→ (b+s−λτ)/2, s 7→ (b−s−λτ)−1 and r 7→ g(t′′, r) là tăng. Tiếp theo, chỳng ta chứng minh (4.8). Cho trước (t, s) ∈ ∆λ, g ∈ K, chỳng ta cú cỏc đỏnh giỏ sau: |A(g)(t, s)| ≤ ∫ t 0 2C b− s− λτ |g(τ, (b+ s− λτ)/2)|dτ ≤ 21+βC‖g‖Q ∫ t 0 dτ (b− s− λτ)1+β ≤ 2 1+βC‖g‖Q λβ [ 1 (b− s− λt)β − 1 (b− s)β ] ≤ 2 1+βC‖g‖Q λβ(b− s− λt)β . Do đú, ‖A(g)‖Q ≤ 2 1+βC λβ ‖g‖Q. 63 Từ đú suy ra A(K) ⊂ K và ‖(A)n(g)‖Q ≤ ( 21+βC λβ )n ‖g‖Q, ∀g ∈ Q, n ∈ N. Định lý 4.2.3. Giả sử (H1) − (H3) đỳng. Cho cỏc số β > 0, κ ∈ (0, 1), khi đú nếu λ thỏa món bất đẳng thức λ > max { M κβ(1− κ)β ; 21+βC β } . thỡ bài toỏn (1) cú ớt nhất một nghiệm trong khụng gian E. Chứng minh. Chỳng ta chứng minh định lý bằng cỏch ỏp dụng định lý 1.4.7. Trong đú khụng gian lồi địa phương là E, độ đo phi compact định nghĩa bởi (4.4), ỏnh xạ F được định nghĩa bởi (4), và B = BR với số R đủ lớn. Áp dụng cỏc bổ đề 4.2.1, 4.2.2 chỳng ta chỉ cũn phải chứng minh rằng F là ỏnh xạ liờn tục và Φ-cụ đặc. Trước hết, chỳng ta chứng minh F liờn tục từ BR vào chớnh nú. Giả sử un, u ∈ BR và un → u khi n → ∞. Để chứng minh F (un) → F (u) khi n → ∞ thỡ chỳng ta cần chứng minh pm(F (un) − F (u)) → 0 với mỗi m ∈ N+. Chọn k ∈ N+ sao cho tm < tk, sm < sk, khi đú thỡ 0 ≤ sup τ∈[0,tk] ‖un(τ)− u(τ)‖sk → 0 khi n→∞. Do đú, tập hợp A = {un(τ), u(τ) : τ ∈ [0, tm], n ∈ N+} là compact trong Xsk . Chỳng ta suy ra hàm số f là liờn tục đều từ [0, tm] ì A vào Xsm. Cho trước ε > 0 bất kỳ, chọn δ > 0 sao cho nếu (t, u1), (t, u2) ∈ [0, tm]ìA, ‖u1 − u2‖sk < δ thỡ ‖f(t, u1)− f(t, u2)‖sm < ε. Vậy thỡ khi n đủ lớn sao cho sup t∈[0,tm] ‖un(t)− u(t)‖sk < δ, ta cú thể suy ra pm(F (un)− F (u)) = sup t∈[0,tm] ‖Fun(t)− Fu(t)‖sm ≤ ∫ tm 0 ‖f(τ, un(τ))− f(τ, u(τ))‖smdτ ≤ εtm. 64 Vậy pm(F (un) − F (u)) → 0 khi n → ∞ với mỗi m ∈ N+, hay núi cỏch khỏc, F (un)→ F (u) khi n→∞ trong khụng gian E. Cuối cựng, giả sử Ω ⊂ BR và (t, s) ∈ ∆λ. Áp dụng giả thiết (H3) với s(τ) = (b+ s− λτ)/2 trong đú 0 ≤ τ ≤ t và bổ đề 1.4.3, chỳng ta cú: Φ(F (Ω))(t, s) = αs {∫ t 0 f(τ, u(τ))dτ : u ∈ Ω } ≤ ∫ t 0 αs ( f(τ, {u(τ) : u ∈ Ω}))dτ ≤ ∫ t 0 C s(τ)− sαs(τ)[Ω(τ)]dτ ≤ ∫ t 0 2C b− s− λτ α(b+s−λτ)/2[Ω(τ)]dτ ≤ ∫ t 0 2C b− s− λτΦ(Ω)(τ, (b+ s− λτ)/2)dτ = A(Φ(Ω))(t, s). Do đú nếu Φ(Ω) ≤ Φ(F (Ω)) thỡ Φ(Ω) ≤ Φ(F (Ω)) ≤ A(Φ(Ω)). Vỡ A tuyến tớnh dương, cho nờn Φ(Ω) ≤ A(Φ(Ω)) ≤ An(Φ(Ω)), ∀n ∈ N. Theo bổ đề 4.2.2 và vỡ 21+βC < λβ, chỳng ta cú Φ(Ω) = θQ. Mà Φ là chớnh quy (theo bổ đề 4.1.1), cho nờn Ω là compact tương đối. Điều đú cho thấy F là ỏnh xạ Φ-cụ đặc. Kết luận, theo định lý 1.4.7. thỡ tồn tại điểm bất động của F cũng là nghiệm bài toỏn trong khụng gian E Trước khi kết thỳc phần này, chỳng tụi nờu ra một số điều kiện đủ để (4.5) đỳng, cỏc chứng minh cú trong [25]. Bổ đề 4.2.4. Điều kiện (4.5) đỳng nếu một trong cỏc giả thiết sau được thỏa món 1) f(t, .) là Lipschitz trờn thang khụng gian, tức là tồn tại số C sao cho ‖f(t, u)− f(t, v)‖s ≤ C s′ − s‖u− v‖s′ , ∀u, v ∈ Xs′ , s < s ′; 2) f = f1 + f2 trong đú f1(t, .) Lipschitz trờn thang khụng gian và f2(t, .) là ỏnh xạ compact; 3) f(t, u) = g(u, u) trong đú g(., v) là Lipschitz đều theo v trờn thang khụng gian và g(u, .) là compact với mỗi u. 65 Nhận xột 4.2.5. Chỳng ta cú một số nhận xột khi so sỏnh kết quả của Định lý 4.2.3. trong luận ỏn với [25] 1. Để khoảng tồn tại nghiệm t ∈ [0, b−sλ ) rộng với giỏ trị s cho trước thỡ cần λ nhỏ. Điều kiện cho tham số λ trong định lý 4.2.3. là λ > max { M κβ(1− κ)β ; 21+βC β } , trong đú cỏc tham số β > 0, κ ∈ (0, 1) cú thể được chọn tựy ý. Do đú để chọn được λ tốt thỡ tựy thuộc C và M mà chỳng ta cần làm cho κβ(1− κ)β hay β/(2β) càng lớn càng tốt. Chẳng hạn với β = 1/ ln(2), κ = β/(1 + β) thỡ điều kiện trờn trở thành: λ > max { 2Ce ln(2),M(1 + ln(2))1+1/ ln(2) } . 2. Với a = 0, b = 1, trong bài bỏo [25], tỏc giả sử dụng cựng giả thiết như ở đõy (đặc biệt u0 = θ ∈ Xs với mọi s). Kết quả của [25] là sự tồn tại nghiệm u xỏc định trờn [0, 1/(2λ)) và u(t) ∈ X1−λt trong đú λ = max{4C, 4M}. Với giỏ trị β, κ được chọn cụ thể trong nhận xột trờn, kết quả của chỳng tụi là tốt hơn [25]. 4.3 Giải bài toỏn cú chậm Xột bài toỏn { u′(t) = f(t, u(t), u(h(t))), t ∈ (0, T ), u(0) = u0 ∈ Xb, (4.9) trong đú p ∈ (0, 1), h : [0, T ] → [0, T ] liờn tục và thỏa món 0 ≤ h(t) ≤ t1/p, ∀t ∈ [0, T ]. Hơn nữa, chỳng tụi sẽ xột bài toỏn theo hai trường hợp: ỏnh xạ f cụ đặc trờn một quả cầu và trờn toàn khụng gian. Sự khỏc biệt giữa hai trường hợp này là hệ số kỡ dị trong điều kiện cụ đặc là khỏc nhau (hệ số γ). Tương tự phần trờn đõy, chỳng tụi giải bài toỏn bằng cỏch tỡm điểm bất động của ỏnh xạ F : E → E được xỏc định bởi Fu(t) = u0 + ∫ t 0 f(τ, u(τ), u(h(τ)))dτ . (4.10) Ký hiệu Bs(u0, r) là quả cầu đúng tõm u0 bỏn kớnh r trong khụng gian Xs, chỳng tụi sẽ sử dụng cỏc giả thiết sau cho trường hợp địa phương: 66 (A1) Hàm số h : [0, T ) → [0,∞) liờn tục và thỏa món h(t) < t1/p, t ∈ (0, T ) với p ∈ (0, 1); (A2) Tồn tại cỏc số L, r sao cho với s < s′ thỡ f liờn tục từ [0, T ) ì Bs(u0, r) ì Bs′(u0, r) vào Xs và thỏa món ‖f(t, u, v)‖s ≤ L ( ‖u‖s + 1 + ‖v‖ps′ s′ − s ) ,∀(t, u, v) ∈ [0, T )ìBs(u0, r)ìBs′(u0, r); αs ( f(t,Ω1,Ω2) ) ≤ L(αs(Ω1) + αps′(Ω2) s′ − s ) , ∀t ∈ [0, T ) và cỏc tập Ω1 ⊂ Bs(u0, r),Ω2 ⊂ Bs′(u0, r). Trường hợp toàn cục, bờn cạnh điều kiện (A1) được giữ lại thỡ điều kiện (A2) được thay bằng điều kiện sau: (A2’) Tồn tại cỏc số L, γ sao cho với s < s′ thỡ f liờn tục từ [0, T )ìXsìXs′ vào Xs và thỏa món ‖f(t, u, v)‖s ≤ L ( ‖u‖s + 1 + ‖v‖ps′ (s′ − s)γ ) ,∀(t, u, v) ∈ [0, T )ìXs ìXs′ ; αs ( f(t,Ω1,Ω2) ) ≤ L(αs(Ω1) + αps′(Ω2) (s′ − s)γ ) ,∀t ∈ [0, T ) và cỏc tập bị chặn Ω1 ⊂ Xs,Ω2 ⊂ Xs′ . Để cỏc trỡnh bày được ngắn gọn, chỳng tụi xem như γ = 1 trong trường hợp địa phương (tức là khi sử dụng điều kiện (A2)). Ngoài ra, kết quả của chỳng tụi trong mục này chỉ quan tõm đến sự tồn tại của λ, cũn giỏ trị β được đặt là: β = γ/(1− p). Ngoài ra, chỳng tụi giả sử λ > max{(b−a), (b−a)T−1}, nghĩa là Tλ = (b−a)λ−1 < min{1, T}. Do đú h(t) < t1/p < t với mọi (t, s) thuộc ∆λ mà từ đõy chỳng ta viết ∆ cho đơn giàn. Sau đõy là một số bổ đề cần thiết. Bổ đề 4.3.1. Giả sử (A1)-(A2) hoặc (A1)-(A2’) được thỏa món. Tập lồi B được định nghĩa là • B = {u ∈ E : u(t) ∈ Bs(u0, r) với mọi (t, s) ∈ ∆}, trong trường hợp địa phương (trường hợp (A2) đỳng); • B = { u ∈ E : sup (t,s)∈∆ (b− s− λt)β‖u(t)‖s ≤ R } với R = 2bβ‖u0‖b, trong trường hợp toàn cục (trường hợp (A2’) đỳng). 67 Khi đú với λ đủ lớn thỡ 1. Ánh xạ F liờn tục từ B vào B. 2. Nếu Ω ⊂ B thỡ F (Ω) ∈M, núi riờng, F (B) ∈M. Chứng minh. Bằng cỏc lập luận tương tự trong chứng minh bổ đề 4.2.1., chỳng ta chứng minh được Fu ∈ E,∀u ∈ B. Để chứng minh tớnh liờn tục của F , chỳng ta suy luận tương tự trong chứng minh định lý 4.2.3. Theo đú, tập hợp A = {un(τ), u(τ) : τ ∈ [0, tm], n ∈ N+} ì {un(h(τ)), u(h(τ)) : τ ∈ [0, tm], n ∈ N+} là compact trong khụng gian Xsm ì Xsk . Hơn nữa, với ε > 0 bất kỳ thỡ tồn tại δ > 0 sao cho nếu (t, u1, v1), (t, u2, v2) ∈ [0, tm]ìA, ‖u1 − u2‖sm < δ, ‖v1 − v2‖sk < δ thỡ ‖f(t, u1, v1)− f(t, u2, v2)‖sm < ε. Suy ra với n đủ lớn, chỳng ta cú pm(F (un)− F (u)) = sup t∈[0,tm] ‖Fun(t)− Fu(t)‖sm ≤ ∫ tm 0 ‖f(τ, un(τ), un(h(τ)))− f(τ, u(τ), u(h(τ)))‖smdτ ≤ εtm. Tiếp theo, chỳng ta sẽ chứng minh F (B) ⊂ B theo từng trường hợp địa phương và toàn cục. Giả sử (A2) đỳng. Xột u ∈ B, thỡ chỳng ta cú ‖Fu(t)− u0‖s ≤ L ∫ t 0 ( ‖u(τ)‖s + 1 + ‖u(h(τ))‖p s(τ) s(τ)− s ) dτ, trong đú s(τ) ∈ (s, b−λh(τ)). Bằng cỏch đặt s(τ) = (b+s−λh(τ))/2, mà h(τ) < τ1/p, chỳng ta suy ra ‖Fu(t)− u0‖s ≤ L ∫ ts 0 ( r + ‖u0‖b + 2(1 + (r + ‖u0‖b) p) b− s− λτ1/p ) dτ, ts = b− s λ . (4.11) Bởi vỡ ts ≤ Tλ < 1 và∫ ts 0 dτ b− s− λτ1/p ≤ ts b− s− λt1/ps = 1 λ(1− t1/p−1s ) , 68 chỳng ta cú thể chọn λ đủ lớn để vế phải của (4.11) nhỏ hơn r. Vậy F (B) ⊂ B. Trường hợp toàn cục, giả sử (A2’) đỳng. Xột u ∈ B và (t, s) ∈ ∆ chỳng ta cú ‖Fu(t)‖s ≤ ‖u0‖b + L ∫ t 0 ( ‖u(τ)‖s + 1 + ‖u(h(τ))‖p s(τ) (s(τ)− s)γ ) dτ ≤ ‖u0‖b + L ∫ t 0 ( R (b− s− λτ)β + (b− s(τ)− λh(τ))pβ +Rp (b− s(τ)− λh(τ))pβ(s(τ)− s)γ ) dτ, trong đú s < s(τ) < b− λh(τ). Bằng cỏch đặt s(τ) = (b + s− λτ)/2, mà h(τ) < τ , chỳng ta suy ra ‖Fu(t)‖s ≤ ‖u0‖b + L ∫ t 0 ( R (b− s− λτ)β + [(b− a)pβ +Rp]2γ+pβ (b− s− λτ)γ+pβ ) dτ ≤ ‖u0‖b + Lt ( R (b− s− λt)β + [(b− a)pβ +Rp]2γ+pβ (b− s− λt)γ+pβ ) . Mặt khỏc, γ + pβ = β, cho nờn (b− s− λt)β‖Fu(t)‖s ≤ bβ‖u0‖b + b− a λ L ( R + [(b− a)pβ +Rp]2β) . (4.12) Do bβ‖u0‖b = R/2, chỳng ta cú thể chọn λ đủ lớn để vế phải của (4.12) là nhỏ hơn R. Chỳng ta chuyển sang chứng minh 2. Từ định nghĩa của B (trong cả hai trường hợp), chỳng ta suy ra ∃R1 > 0 : (b− s− λt)β‖u(t)‖s ≤ R1, ∀(t, s) ∈ ∆, u ∈ B. Do đú nếu Ω ⊂ B, thỡ F (Ω) ⊂ B và F (Ω) thỏa món điều kiện (M1) của định nghĩa họM. Xột u ∈ Ω và (t, s) ∈ ∆ thỡ với t1, t2 ∈ [0, t], t1 < t2, chỳng ta thấy ‖Fu(t1)− Fu(t2)‖s ≤ L ∫ t2 t1 ( ‖u(τ)‖s + 1 + ‖u(h(τ))‖p s(τ) (s(τ)− s)γ ) dτ ≤ L ∫ t2 t1 ( R1 (b− s− λτ)β + (b− a)pβ +Rp1 (b− s(τ)− λh(τ))pβ(s(τ)− s)γ ) dτ. Đặt s(τ) = (b+ s− λτ)/2 thỡ cỏc đỏnh giỏ trờn trở thành ‖Fu(t1)− Fu(t2)‖s ≤ |t1 − t2|LR1 + [(b− a) pβ +Rp1]2 β (b− s− λt)β . Vậy thỡ F (Ω)|[0,t] là đồng liờn tục trong khụng gian Et,s. Nghĩa là (M2) đỳng và chỳng ta kết thỳc chứng minh. 69 Bổ đề 4.3.2. Đặt B là toỏn tử định nghĩa trờn K bởi B(g)(t, s) = ∫ t 0 2γL [ g(h(τ), S(τ)) ]p dτ (b− s− λτ)γ , (t, s) ∈ ∆, g ∈ K trong đú S(τ) = (b+s−λτ)/2. Khi đú B là toỏn tử tăng từ K vào K và thỏa món ‖Bn(g)‖Q ≤ ‖g‖p n Q (2 βL)1+p+...+p n−1 (Tλ) n , n ∈ N+. (4.13) Chứng minh. Chỳng ta cú thể thấy rằng tớnh đặt đỳng của B và B(K) ⊂ K được chứng minh tương tự bổ đề 4.2.2 (khi chỳng ta chứng minh cho toỏn tử A). Để chứng minh (4.13), bằng quy nạp chỳng ta sẽ chứng minh rằng Bn(g)(t, s) ≤ ‖g‖ pn(2βL)1+p+...+p n−1 tn (b− s− λt)βn(n− 1)p...2pn−2 , (t, s) ∈ ∆. (4.14) Thật vậy, từ định nghĩa của B suy ra B(g)(t, s) ≤ 2γL ∫ t 0 P (τ)dτ , trong đú P (τ) =[ g(h(τ), S(τ)) ]p (b− s− λτ)−γ. Bởi vỡ (xem chứng minh bổ đề 4.2.2) P (τ) ≤ ‖g‖pQ2pβ (b− s− λt′)pβ+γ , ∀τ ∈ [0, t ′], (4.15) và β = γ + pβ, chỳng ta suy ra (4.14) đỳng với n = 1. Giả sử (4.14) đỳng, chỳng ta thấy Bn+1(g)(t, s) = ∫ t 0 L2γ [Bn(g)(h(τ), S(τ))]p dτ (b− s− λτ)γ ≤ ∫ t 0 L2γ (b− s− λτ)γ [ ‖g‖pn(2βL)1+p+...+pn−1(h(τ))n (b− S(τ)− λh(τ))βn(n− 1)p...2pn−2 ]p dτ ≤ 2 γL(2βL)p+p 2+...+pn‖g‖pn+1 np(n− 1)p2 ...2pn−1(b− s− λt)γ ∫ t 0 (h(τ))np2pβdτ (b− s− λτ)pβ . (4.16) Với lưu ý h(τ) < τ, h(τ) < τ1/p, γ+ pβ = β, (4.16) cho thấy (4.14) đỳng khi n+ 1 thay thế cho n. Vậy (4.13) đỳng và chứng minh kết thỳc. Bổ đề 4.3.3. Giả sử λ > b− a và g ∈ K thỏa món g(t, s) ≤ L ∫ t 0 g(τ, s)dτ +B(g)(t, s), (t, s) ∈ ∆. (4.17) Khi đú g(t, s) = 0, ∀(t, s) ∈ ∆. Chứng minh. Từ giả thiết (4.17), ỏp dụng bất đẳng thức Gronwall’s, chỳng ta cú g(t, s) ≤ eLTλB(g)(t, s), 70 trong đú Tλ = (b − a)/λ < 1. Do vậy, kết hợp tớnh đơn điệu tăng của B thỡ g ≤ (eLTλB)n g, ∀n ∈ N+. Áp dụng bổ đề 4.3.2 và định nghĩa ‖.‖Q, chỳng ta suy ra ‖g‖Q ≤ ‖ ( eLTλB )n (g)‖Q ≤ ‖g‖p n Q ( eLTλ2βL )1+p+...+pn−1 (Tλ) n . Cho n→∞ thỡ chỳng ta cú g = θQ. Định lý 4.3.4. Giả sử cỏc giả thiết (A1)-(A2) hoặc (A1)-(A2’) đỳng. Khi đú tồn tại số λ > 0 sao cho bài toỏn (4.9) cú nghiệm u thỏa món u(t) ∈ Xs với mọi t ∈ [0, (b− s)/λ), s ∈ [a, b). Chứng minh. Chọn giỏ trị λ sao cho cỏc kết luận của bổ đề 4.3.1 đỳng và λ > max{b − a, (b − a)/T}. Sử dụng cỏc bổ đề 4.3.1-4.3.3 và định lý 1.4.7, chỳng ta sẽ chứng minh F (được định nghĩa bởi (4.10)) cú điểm bất động trong E. Điểm bất động này chớnh là nghiệm bài toỏn (4.9) với cỏc tớnh chất cần thiết. Theo đú, chỳng ta chỉ cũn cần chứng minh tớnh Φ-cụ đặc của F . Giả sử Φ(Ω) ≤ Φ(F (Ω)) trong đú Ω ∈M. Bổ đề 4.1.3 và giả thiết (A2) (hoặc (A2’)) cho thấy Φ(Ω)(t, s) ≤ Φ(F (Ω))(t, s) = αs ({∫ t 0 f(τ, u(τ), u(h(τ)))dτ : u ∈ Ω }) ≤ ∫ t 0 αs ({f(τ, u(τ), u(h(τ))) : u ∈ Ω}) dτ ≤ L ∫ t 0 [ αs(Ω(τ)) + αps′ ( Ω(h(τ)) ) (s′ − s)γ ] dτ, (4.18) trong đú s′ ∈ (s, b − λh(τ)). Chọn s′ = (b + s − λτ)/2 và đặt g = Φ(Ω), chỳng ta suy ra g(t, s) ≤ L ∫ t 0 g(τ, s)dτ +B(g)(t, s), ∀(t, s) ∈ ∆. Do đú g = 0Q theo bổ đề 4.3.3. Từ tớnh chớnh quy của Φ chỳng ta suy ra Ω là tập compact. Vậy chứng minh kết thỳc. Nhận xột 4.3.5. Chỳng ta cú thể thay độ đo Kurarowski bằng bất cứ độ đo phi-compact nào thỏa món bổ đề 1.4.2. và 1.4.3. 4.4 Cấu trỳc tập nghiệm của một lớp bài toỏn Cauchy trờn thang khụng gian Banach 4.4.1 Bài toỏn và khụng gian nghiệm Cú thể thấy rằng điều kiện Lipschitz (4.1) là chặt hơn điều kiện cụ đặc (4.2). Kết quả là cỏc định lý 2.1.1., 3.1.4. khẳng định được sự duy nhất nghiệm trong 71 khi định lý 4.2.3. chỉ khẳng định được sự tồn tại nghiệm. Từ nhận xột trờn, trong phần này chỳng ta quan tõm đến đặc điểm cấu trỳc tập nghiệm của bài toỏn trong trường hợp cú giả thiết cụ đặc. Trước hết, chỳng ta nhắc lại khỏi niệm tập hợp cú cấu trỳc Rδ và một số kết quả cần thiết. Định nghĩa 4.4.1. Giả sử A là một khụng gian con của khụng gian topo X. • A được gọi là co trong X nếu cú một ỏnh xạ liờn tục f : X → A sao cho f(a) = a, ∀a ∈ A. Khụng gian compact A được gọi là co tuyệt đối nếu với mọi đồng phụi f : A→ f(A) ⊂ X (X khả metric) thỡ f(A) là co trong X. • A được gọi là tập Rδ trong khụng gian X nếu A = ∩∞n=1An trong đú {An}n là dóy giảm cỏc tập co tuyệt đối trong X. Chỳng ta sẽ tỡm hiểu cấu trỳc Rδ của tập nghiệm bài toỏn Cauchy:{ u′(t) = f(t, u(t)) + g(t, u(t)), t ∈ [0, T ), u(0) = u0, (4.19) trong đú f(t, .) và g(t, .) tỏc động liờn tục trong thang khụng gian Banach {Xs}. Đặt Fu(t) = u0 + ∫ t 0 f(τ, u(τ))dτ, Su(t) = ∫ t 0 g(τ, u(τ))dτ. (4.20) Khi đú điểm bất động của ỏnh xạ F + S trong một khụng gian hàm phự hợp chớnh là nghiệm bài toỏn (4.19). Chỳng ta cần đến kết quả sau. Định lý 4.4.2. ([32]) Cho (X, ‖.‖) là khụng gian Banach và U : D ⊂ X → X là ỏnh xạ compact. Giả sử cú dóy cỏc ỏnh xạ compact Un : D ⊂ X → X, n ∈ N thỏa món cỏc tớnh chất sau: (a) ‖U(x)− Un(x)‖ ≤ 1n , ∀n ∈ N, x ∈ D. (b) Với mỗi n ∈ N và y mà ‖y‖ ≤ 1n thỡ phương trỡnh x− Un(x) = y cú đỳng một nghiệm. Khi đú tập cỏc điểm bất động của ỏnh xạ U cú cấu trỳc Rδ trong X. Để sử dụng định lý trờn, chỳng ta cần xõy dựng khụng gian nghiệm là một khụng gian Banach trong khi khụng gian E được dựng trong cỏc mục trước chỉ 72 là một khụng gian lồi địa phương. Chỳng ta vẫn sử dụng ∆λ được định nghĩa trong mục 4.1.2., chỉ thay đổi khụng gian E theo định nghĩa sau: E := { u ∈ ∩(t,s)∈∆λEt,s : ‖u‖E = sup (t,s)∈∆λ (b− s− λt)2‖u(t)‖s <∞ } . (4.21) Bằng một cỏch chứng minh tương tự bổ đề 3.1.2., chỳng ta thấy (E, ‖.‖E) là một khụng gian Banach. Trở lại vấn đề điểm bất động ỏnh xạ F+S, trong trường hợp ỏnh xạ (I−F ) là khả nghịch thỡ điểm bất động của F+S cũng là điểm bất động ỏnh xạ U = (I−F )−1S và ngược lại. Bổ đề 4.4.3. Trong khụng gian Banach (X, ‖.‖), giả sử F : X → X là ỏnh xạ k-co, tức là tồn tại số k ∈ [0, 1) sao cho: ‖F (x)− F (y)‖ ≤ k‖x− y‖, ∀x, y ∈ X. Với mỗi z ∈ X, đặt Fz(x) = z + F (x). Khi đú (I − F ) là đồng phụi2, (I − F )−1 liờn tục đều và: (a) (I − F )−1z = limm→∞ Fmz (x), ∀x ∈ X. (b) Đặt α = 11−k thỡ ‖Fmz (y)− y‖ ≤ α‖z‖, ∀m, trong đú y = limn→∞ Fn(x), ∀x ∈ X, là điểm bất động duy nhất của F . Chứng minh. Rừ ràng ỏnh xạ k-co cũng là liờn tục. Với z ∈ X bất kỳ, dễ thấy Fz cũng là ỏnh xạ k-co nờn nú cú điểm bất động duy nhất, chớnh là giới hạn limn→∞ Fnz (x) := φ(z), ∀x ∈ X. Khi đú: φ(z) = Fz(φ(z)) = z + F (φ(z))⇔ (I − F )φ(z) = z. Giả sứ cú z′ mà (I − F )z′ = z thỡ z′ cũng là điểm bất động của Fz cho nờn z′ = φ(z). Vậy (I − F )−1 = φ và chỳng ta cú (a). Mặt khỏc với x, z1, z2 ∈ X bất kỳ và n ∈ N thỡ: ‖Fz1(x)− Fz2(x)‖ = ‖z1 − z2‖; ‖F 2z1(x)− F 2z2(x)‖ ≤ ‖F (Fz1(x))− F (Fz2(x))‖+ ‖z1 − z2‖ ≤ (k + 1)‖z1 − z2‖ .... ‖Fnz1(x)− Fnz2(x)‖ ≤ ‖z1 − z2‖ n−1∑ i=0 ki = ‖z1 − z2‖1− k n 1− k . 2Tức là I − F và (I − F )−1 là cỏc ỏnh xạ liờn tục. 73 Cho n→∞ thỡ ‖φ(z1)− φ(z2)‖ ≤ 11−k‖z1 − z2‖, vậy (I − F )−1 liờn tục đều. Cho z = z1, z2 = θX và x = y thỡ chỳng ta được ‖Fmz (y) − Fm(y)‖ ≤ ‖z‖/(1 − k). Mà F (y) = y cho nờn (b) đỳng. Chỳng ta ký hiệu quả cầu tõm y ∈ E, bỏn kớnh R > 0 là: BR(y) = {u ∈ E : ‖u− y‖E ≤ R}. 4.4.2 Một số bổ đề cần thiết Bổ đề 4.4.4. Giả sử u0 ∈ Xb và (f1) f : [0, T ] ì Xs′ → Xs là liờn tục và ‖f(t, u0)‖s ≤ K/(b − s) với mọi t ∈ [0, T ], s < s′. (f2) Tồn tại số dương C sao cho với mọi t ∈ [0, T ], s < s′, u, v ∈ Xs′ thỡ: ‖f(t, u)− f(t, v)‖s ≤ C s′ − s‖u− v‖s′ . Khi đú, nếu 4C < λ thỡ ỏnh xạ F định nghĩa từ (4.20) là k-co trong khụng gian E với k = 4Cλ . Chứng minh. Với mọi (t, s) ∈ ∆λ, u ∈ E, cú thể chọn s′ ∈ (s, b−λt) để cho u ∈ Et,s′. Kết hợp (f1), chỳng ta suy ra Fu ∈ Et,s. Đặt u0(t) = u0,∀t, thỡ chỳng ta cú (b− s− λt)2‖Fu0(t)‖s ≤ (b− s− λt)2 ( ‖u0‖s + ∫ t 0 ‖f(τ, u0)‖sdτ ) ≤ (b− a)2‖u0‖b + (b− a)KT, ∀ (t, s) ∈ ∆λ. Cho nờn Fu0 ∈ E. Tiếp theo, giả sử (t, s) ∈ ∆λ, u, v ∈ E, đặt s(τ) = (b − λτ + s)/2, τ ≤ t, ỏp dụng (f2) suy ra: ‖Fu(t)− Fv(t)‖s ≤ ∫ t 0 ‖f(τ, u(τ))− f(τ, v(τ))‖sdτ ≤ ∫ t 0 C‖u(τ)− v(τ)‖s(τ) s(τ)− s dτ ≤ ∫ t 0 C‖u− v‖E (s(τ)− s)(b− s(τ)− λτ)2dτ ≤ ∫ t 0 23C‖u− v‖E (b− s− λτ)3dτ ≤ 4C‖u− v‖E λ [ 1 (b− s− λt)2 − 1 (b− s)2 ] . Cho nờn (b − s − λt)2‖Fu(t) − Fv(t)‖s ≤ k‖u − v‖E , trong đú k = 4C/λ ∈ (0, 1). Cho (t, s) chạy khắp ∆λ suy ra ‖Fu− Fv‖E ≤ k‖u− v‖E . 74 Mà vỡ Fu0 ∈ E cho nờn: ‖Fu‖E ≤ ‖Fu− Fu0‖E + ‖Fu0‖E ≤ k‖u− u0‖E + ‖Fu0‖E . Vậy F : E → E và là ỏnh xạ k-co. Bổ đề 4.4.5. Cho trước y ∈ E và R > 0, giả sử tồn tại MR(y) = sup u∈BR(y) (t,s)∈∆λ ‖g(t, u(t))‖s, và (g) g : [0, T ]ìXs′ → Xs là compact với mọi s < s′. Khi đú ỏnh xạ S định nghĩa theo (4.20) là ỏnh xạ compact từ BR(y) vào E Chứng minh. Nếu u ∈ BR(y) và (t, s) ∈ ∆λ thỡ: (b− s− λt)2‖Su(t)‖s ≤ (b− s− λt)2 ∫ t 0 ‖g(τ, u(τ))‖sdτ ≤ (b− a)2MR(y)Tλ. Cho nờn, cũng tương tự F , S : BR(y)→ E. Để chứng minh S compact, chỳng ta đặt ra phõn hoạch cho ∆λ. Cho số dương nhỏ ξ, đặt ∆λ,ξ = {(t, s) ∈ ∆λ : (b− s− λt) ≥ ξ} Khi đú, chỳng ta tỡm được số Nξ đủ lớn để phõn hoạch: t(i) := i λTλ − ξ λNξ , s(i) := b− ξ − λt(i), i = 0, 1, ..., Nξ, (4.22) thỏa món món điều kiện (t(i), s(i−1)) ∈ ∆λ, ∀i = 1, 2, ..., Nξ. Trước hết, chỳng ta chứng minh S liờn tục. Giả sử trong BR(y) cú: lim n→∞ ‖un − u‖E = 0. Cho trước ε > 0 bất kỳ, xột phõn hoạch (4.22) với ξ = √ ε/(2MR(y)Tλ). Với ξ như vậy thỡ sup (t,s)∈∆λ\∆λ,ξ (b− s− λt)2‖Sun(t)− Su(t)‖s ≤ ξ2 ∫ t 0 ‖g(τ, un(τ))− g(τ, u(τ))‖sdτ ≤ ε 2MR(y)Tλ ∫ t 0 2MR(y) ≤ ε, ∀n. (4.23) 75 Đặt s′ = (s(0) + b − λt(1))/2 thỡ (t, s′) ∈ ∆λ, ∀t ∈ [t(0), t(1)] và s(0) < s′. Do vậy un(t), u(t) ∈ Xs′ với mọi t ∈ [t(0), t(1)]. Đặt hn(t) = ‖g(t, un(t))− g(t, u(t))‖s(0) , t ∈ [0, t(1)]. Khi đú hn : [t(0), t(1)] → R là hàm số liờn tục và bị chặn trờn bởi 2MR(y). Mặt khỏc lim n→∞hn(t) = 0, ∀t. Theo định lý hội tụ bị chặn Lesbegue, chỳng ta suy ra lim n→∞ ∫ t(1) 0 hn(τ)dτ = 0. Giả sử (t, s) ∈ ∆λ,ξ và t ∈ [t(0), t(1)] thỡ s < s(0), cho nờn tồn tại n1 để với mọi n > n1 thỡ sup (t,s)∈∆λ,ξ t∈[t(0),t(1)] (b− s− λt)2‖Sun(t)− Su(t)‖s ≤ (b− a)2 ∫ t(1) 0 hn(τ)dτ ≤ ε. Lập luận tương tự như trờn khi thay t(0), t(1), s(0) lần lượt là t(i−1), t(i), s(i−1) và hn(t) = ‖g(t, un(t))− g(t, u(t))‖s(i−1) , t ∈ [0, t(i)], chỳng ta cú sup (t,s)∈∆λ,ξ t∈[t(i−1),t(i)] (b− s− λt)2‖Sun(t)− Su(t)‖s ≤ ε, ∀n > ni, i = 1, 2, ..., Nξ Nghĩa là nếu n > max{ni}i=1,2,...,Nξ thỡ sup (t,s)∈∆λ,ξ (b− s− λt)2‖Sun(t)− Su(t)‖s ≤ ε (4.24) Kết hợp (4.23) và (4.24) suy ra ‖Sun − Su‖E ≤ ε, ∀n > max{ni}i=1,...,Nξ . Vậy S là liờn tục. Tiếp theo, chỳng ta chứng minh S là compact. Giả sử {un}n ⊂ BR(y) và yn = Sun, chỳng ta sẽ chứng minh {yn}n cú dóy con hội tụ trong E theo từng bước sau. Bước 1: Với mọi (t, s) ∈ ∆λ cố định thỡ tập A(t) = {yn(t) : n ∈ N} là compact tương đối trong Xs. Thật vậy, chọn s′ = (s+ b− λt)/2 thỡ với mọi n chỳng ta cú: ‖un(τ)‖s′ ≤ ‖un‖E (b− s′ − λτ)2 ≤ 4(R + ‖y‖E) (b− s− λt)2 , ∀0 ≤ τ ≤ t. 76 Tức là tập B([0, t]) = {un(τ) : τ ∈ [0, t], n ∈ N} bị chặn trong Xs′. Theo tớnh chất compact của g suy ra: Ω = co(g([0, t], B([0, t]) ∪ {θ})) là compact trong Xs. Mà yn(t) = ∫ t 0 g(τ, un(τ))dτ = t ∫ 1 0 g(tτ, un(tτ))dτ ∈ tΩ, ∀n ∈ N, cho nờn A(t) = {yn(t) : n ∈ N} ⊂ tΩ⇒ A(t) là compact tương đối trong Xs. Với mỗi (t, s) ∈ ∆λ, thỡ ‖yn(t1)− yn(t2)‖s ≤ ∣∣∣∣∫ t2 t1 ‖g(τ, un(τ))‖sdτ ∣∣∣∣ ≤MR(y)Tλ|t1 − t2|, ∀n ∈ N, t1, t2 ∈ [0, t]. Cho nờn {yn|[0,t]}n là đồng liờn tục trong Et,s. Kết hợp bước 1 và định lý Azelà- Ascoli, chỳng ta suy ra {yn|[0,t]}n là tập compact tương đối trong khụng gian Et,s. Bước 2: Xõy dựng dóy con. Bởi vỡ ∆λ là bị chặn trong R2 nờn cú dóy {(tn, sn)}n∈N trự mật trong ∆λ. Từ bước 1 chỳng ta cú cỏc suy luận (tương tự trong chứng minh bổ đề 4.1.1): • Dóy {yn}n cú dóy con {y(1)n }n sao cho {y(1)n |[0,t1]}n hội tụ đều về z1 trong Et1,s1. • Dóy {y(i)n }n cú dóy con {y(i+1)n }n sao cho {y(i+1)n |[0,ti+1]}n hội tụ đều về zi+1 trong Eti+1,si+1. Đặt dóy đường chộo là wn = y (n) n , ∀n. Thỡ khi đú {wn|[0,ti]}n hội tụ đều trong khụng gian Eti,si về zi với mọi i. Hơn nữa, do cỏc khụng gian Xs nhỳng vào nhau với cựng phần tử khụng cho nờn chỳng ta cú thể đặt z∗(t) = zi(t), ∀t ∈ [0, ti], i ∈ N. Khi đú z∗ ∈ Et,s, ∀(t, s) ∈ ∆λ do tớnh trự mật của {(tn, sn)}n trong ∆λ. Bước 3: Dóy {wn}n hội tụ về z∗ trong khụng gian E. Với mọi (t, s) ∈ ∆λ và n ∈ N thỡ ‖wn(t)‖s ≤ ∫ t 0 ‖g(τ, u(n)n (τ))‖sdτ ≤ MR(y)Tλ. Mặt khỏc, limn→∞ ‖wn(t)− z∗(t)‖s = 0 cho nờn suy ra tồn tại C > 0 sao cho sup (t,s)∈∆λ n∈N ‖wn(t)− z∗(t)‖s ≤ C. 77 Cho trước ε > 0, chỳng ta xột phõn hoạch (4.22) với ξ = √ ε/C. Rừ ràng là sup (t,s)∈∆λ\∆λ,ξ n∈N (b− s− λt)2‖wn(t)− z∗(t)‖s ≤ ε. (4.25) Với mỗi i ∈ {1, 2, ..., Nξ}, giả sử (t, s) ∈ ∆λ,ξ và t ∈ [t(i−1), t(i)] thỡ s ≤ s(i−1). Hơn nữa, theo bước 2, suy ra tồn tại ni để với mọi n > ni thỡ sup t∈[t(i−1),t(i)] ‖wn(t)− z∗(t)‖s ≤ sup t∈[t(i−1),t(i)] ‖wn(t)− z∗(t)‖s(i−1) ≤ ε (b− a)2 . Tức là sup (t,s)∈∆λ,ξ (b− s− λt)2‖wn(t)− z∗(t)‖s ≤ ε, ∀n > max{ni}i=1,...Nξ . Kết hợp với (4.25) thỡ với mọi n > max{ni}i=1,...,Nξ chỳng ta cú sup (t,s)∈∆λ (b− s− λt)2‖wn(t)− z∗(t)‖s ≤ ε Vậy limn→∞ ‖wn − z∗‖E = 0. Chỳng ta chứng minh xong 4.4.3 Cấu trỳc tập nghiệm Định lý 4.4.6. Giả sử u0 ∈ Xb và cỏc giả thiết (f1), (f2), (g) đỳng. Gọi y là điểm bất động duy nhất của ỏnh xạ co F , giả sử tồn tại MR(y) với mọi R và: lim R→∞ MR(y) R = 0. (4.26) Khi đú, nếu λ > 4C thỡ tập nghiệm của (4.19) trong E là một Rδ. Chứng minh. Chỳng ta sẽ sử dụng định lý 4.4.2 cho ỏnh xạ U = F + S trong đú F, S được xỏc định bởi (4.20), khụng gian X = E được xõy dựng bởi (4.21). Theo cỏc kết quả trỡnh bày trong bổ đề 4.4.3, 4.4.4 và 4.4.5 chỳng ta cú: U(u) := (I − F )−1S(u) = lim n→∞F n S(u)(z), ∀u, z ∈ E. Và với số R cho trước thỡ U là ỏnh xạ compact từ BR(y) vào E. Tập nghiệm bài toỏn (4.19) là tập điểm bất động của U. Chỳng ta sẽ chứng minh cỏc giả thiết của định lý 4.4.2 theo bốn bước. (Lưu ý rằng chỳng ta chỉ phải chứng minh cỏc giả thiết của định lý 4.4.2 đỳng với n đủ lớn.) Bước 1 Chỳng ta tỡm số R0 để D := BR0(y) cú tớnh chất: U : D → D và mọi điểm bất động của U trong E đều thuộc D. Đặt: h(t, s) := t(b− s− λt)2, (t, s) ∈ ∆λ. 78 Bằng cỏch khảo sỏt chỳng ta cú: K := sup (t,s)∈∆λ h(t, s) ≤ 4(b− a)3/(27λ). Nghĩa là chỳng ta cú với mọi u ∈ BR(y) thỡ: (b− s−λt)2‖Su(t)‖s ≤ (b− s− λt)2 ∫ t 0 ‖g(τ, u(τ))‖sdτ ≤ h(t, s)MR(y) ≤ KMR(y), ∀(t, s) ∈ ∆λ. Vậy ‖Su‖E ≤ KMR(y), ∀u ∈ BR(y). (4.27) Theo bổ đề 4.4.3, 4.4.4 thỡ với mọi u ∈ E chỳng ta cú ‖U(u)− y‖E ≤ α‖S(u)‖E , α = λ/(λ− 4C). Theo giả thiết (4.26) thỡ tồn tại R0 để: MR0(y) R0 ≤ 1 αK − 2 R0αK và MR(y) R ≤ MR0(y) R0 , ∀R > R0. (4.28) Kết hợp (4.27), suy ra nếu u ∈ BR0(y) thỡ: ‖U(u)− y‖E ≤ α‖S(u)‖E ≤ αMR0(y)K < R0. Nghĩa là U(BR0(y)) ⊂ BR0(y). Bõy giờ, giả sử u là điểm bất động của U và ‖u− y‖E := R > R0 thỡ: ‖u− y‖E = ‖U(u)− y‖E ≤ α‖S(u)‖E ≤ αMR(y)K < αKMR0(y) R R0 ≤ ( 1− 2 R0 ) R < R. Điều này gõy mõu thuẫn. Cho nờn mọi điểm bất động (nếu cú) của U thỡ phải thuộc BR0(y). Chỳng ta đó chứng minh xong bước một. Với mỗi n ∈ N, đặt an : [0, Tλ)→ [0, Tλ) định bởi: an(t) = { 0 nếu t ≤ 1/n, t− 1n nếu t ≥ 1/n. Với mọi u ∈ D, đặt: Sn(u)(t) = S(u)(an(t)), t ∈ [0, Tλ), Un(u) = (I − F )−1Sn(u). Khi đú với mọi t ∈ [0, Tλ) và n ∈ N thỡ 0 ≤ an(t) ≤ t. Cho nờn, bằng một cỏch tương tự bước 1, chỳng ta thấy rằng Un : D → D. Chỳng ta sẽ sử dụng định lý 79 4.4.2. cho cỏc ỏnh xạ U,Un trờn tập D. Bước 2: Giả thiết (a) trong định lý 4.4.2 đỳng. Với mọi t ∈ [0, T ) và n ∈ N thỡ 0 ≤ an(t) ≤ t cho nờn bằng cỏch chứng minh tương tự bổ đề 4.4.5 thỡ Sn là liờn tục và compact từ D vào E với mọi n. Bõy giờ, cho u ∈ D, (t, s) ∈ ∆λ và số tự nhiờn n thỡ: (b− s− λt)2‖Sn(u)(t)− S(u)(t)‖s ≤ (b− a)2 ∫ t an(t) ‖g(τ, u(τ))‖sdτ ≤ (b− a)2MR0(y)|t− an(t)| ≤ (b− a)2MR0(y) n . Tức là sup u∈D ‖Sn(u)− S(u)‖E ≤ (b− a) 2MR0(y) n . (4.29) Để chứng minh giả thiết (a) trong định lý 4.4.2, chỳng ta dựng đến tớnh chất liờn tục đều của (I − F )−1 được khẳng định theo bổ đề 4.4.3, 4.4.4. Khi đú với mọi n ∈ N thỡ tồn tại δn > 0 sao cho: ‖(I − F )−1(u)− (I − F )−1(v)‖E < 1 n , ∀‖u− v‖E < δn. Mà theo (4.29) thỡ cú thể lập một dóy con của {Sn}n mà ta cũng ký hiệu là {Sn}n sao cho: sup u∈D ‖Sn(u)− S(u)‖E < δn. Hay: sup u∈D ‖Un(u)− U(u)‖E = sup u∈D ‖(I − F )−1Sn(u)− (I − F )−1S(u)‖E ≤ 1 n . Chỳng ta chứng minh xong bước 2. Bước 3: Giả sử w ∈ D và ‖w‖E ≤ 1, chỳng ta chứng minh phương trỡnh u = Un(u) + w cú nghiệm trong D với n đủ lớn. Phương trỡnh đó cho cú dạng tương đương: Un(u) = (I − F )−1Sn(u) = u− w ⇔u = Sn(u) + F (u− w) + w := Sn(u) +G(u). Vỡ F là ỏnh xạ k-co và cú điểm bất động duy nhất là y cho nờn G cũng là ỏnh xạ k-co với điểm bất động duy nhất là (y+w). Cho trước số tự nhiờn n, ỏp dụng bổ để 4.4.3-b) cho ỏnh xạ G và z = Sn(u), chỳng ta cú: ‖GmSn(u)(y + w)− y‖E ≤ α‖Sn(u)‖E + ‖w‖E . 80 Áp dụng (4.27)-(4.29) thỡ với n đủ lớn chỳng ta cú: ‖GmSn(u)(y + w)− y‖E ≤ α(‖S(u)− Sn(u)‖E + ‖S(u)‖E) + 1 ≤ α‖S(u)‖E + 2 ≤ αKMR0(y) + 2 ≤ R0. Từ đú, dựng bổ để 4.4.3-a) cho ỏnh xạ G và m ra vụ hạn suy ra (I −G)−1(Sn(u)) ∈ D, ∀u ∈ D. Áp dụng định lý điểm bất động Schauder suy ra tồn tại điểm bất động của ỏnh xạ (I −G)−10 Sn trong D. Đú cũng chớnh là điểm bất động của ỏnh xạ G+ Sn và là nghiệm của phương trỡnh đang xột. Bước 4: Chứng minh giả thiết (b) trong định lý 4.4.2. Phương trỡnh u = Un(u) + w cú thể viết tương đương là: Vn(u) := (I − Un)(u) = w. Tiếp theo bước 3, để chứng minh giả thiết (b) trong định lý 4.4.2, chỳng ta chỉ cần chứng minh Vn là đơn ỏnh là đủ. Ký hiệu phần tử khụng trong thang khụng gian Xs là θ và phần tử khụng trong E là θE. Khụng mất tớnh tổng quỏt, chỳng ta cú thể chỉ xột n đủ lớn để 1/n < Tλ. Trước tiờn, xột t ∈ [0; 1/n], u ∈ D, ta cú Sn(u)(t) = S(u)(0) = θ. Do đú FSn(u)(θE)(t) = F (θE)(t) + θ := w0(t). Giả sử FmSn(u)(θE)(t) = F m−1(w0)(t) thỡ khi đú Fm+1 Sn(u) (θE)(t) = FSn(u)(F m Sn(u) (θE))(t) = FSn(u)(F m−1(w0))(t) = Fm(w0)(t) + Sn(u)(t) = F m(w0)(t). Bằng quy nạp, suy ra FmSn(u)(θE)(t) = F m−1(w0)(t), ∀m = 1, 2, ..., t ∈ [0, 1/n], u ∈ D. Cho m ra vụ hạn và theo bổ đề 4.4.3, chỳng ta suy ra Un(u)(t) = (I − F )−1Sn(u)(t) = (I − F )−1(θE)(t), ∀t ∈ [0; 1/n], ∀u ∈ D. Vỡ vế phải khụng phụ thuộc u cho nờn chỳng ta cú: Un(u)(t) = Un(v)(t), ∀t ∈ [0; 1/n], u, v ∈ D. (4.30) 81 Tiếp theo, giả sử u, v ∈ D thỏa món u(t) = v(t), ∀t ∈ [0; k/n], k ∈ {1, 2, 3, ...}, Tλ > k/n. Xột t ∈ [0; (k+ 1)/n]∩ [0, T ), suy ra an(t) ∈ [0; k/n] và do đú u(τ) = v(τ), ∀τ ∈ [0, an(t)]. Cho nờn: Sn(u)(t) = S(u)(an(t)) = S(v)(an(t)) = Sn(v)(t) ⇔ FSn(u)(θE)(t) = FSn(v)(θE)(t). Giả sử FmSn(u)(θE)(t) = F m Sn(v) (θE)(t) thỡ suy ra Fm+1 Sn(u) (θE)(t) = Sn(u)(t) + F (F m Sn(u) (θE))(t) = Sn(v)(t) + F (F m Sn(v) (θE))(t) = F m+1 Sn(v) (θE)(t). Theo quy nạp, chỳng ta suy ra FmSn(u)(θE)(t) = F m Sn(v) (θE)(t), ∀t ∈ [0; (k + 1)/n] ∩ [0, Tλ),m ∈ N+. Cho m ra vụ hạn, chỳng ta suy ra nếu u(t) = v(t), ∀t ∈ [0; k/n], Tλ > k/n thỡ: Un(u)(t) = Un(v)(t), ∀t ∈ [0; (k + 1)/n] ∩ [0, Tλ). (4.31) Cuối cựng, chỳng ta giả sử Vn(u) = Vn(v)⇔ u− Un(u) = v − Un(v) thỡ u− v = Un(u)− Un(v). (4.30) suy ra u(t) = v(t), ∀ t ∈ [0, 1/n]. Sau đú chỳng ta ỏp dụng (4.31) với k = 1, suy ra u(t)− v(t) = Un(u)(t)− Un(v)(t) = θ, ∀ t ∈ [0, 2/n] ∩ [0, Tλ). Nếu Tλ ≤ 2/n thỡ chỳng ta dừng lại, cũn nếu Tλ > 2/n thỡ lại ỏp dụng (4.31) với k = 2. Rồi tiếp tục với k = 3,... cho đến khi chỳng ta cú u(t) = v(t), ∀t ∈ [0, Tλ), suy ra u = v trong khụng gian E. Cỏc điều kiện định lý 4.4.2 đỳng. Do đú chỳng ta chứng minh xong. KẾT LUẬN I. Trong luận ỏn, chỳng tụi đó đạt được cỏc kết quả chớnh như sau: 1. Chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm toàn cục cho hai lớp bài toỏn Cauchy trờn cỏc thang khụng gian Banach với kỡ dị yếu là bài toỏn cấp 1 và bậc khụng nguyờn. 2. Xõy dựng dóy lặp đơn điệu hội tụ về nghiệm của một lớp bài toỏn Cauchy trờn thang cỏc khụng gian Banach cú thứ tự. 3. Xột bài toỏn cú chậm trờn cỏc thang khụng gian Banach dạng u′(t) = f(t, u(t), u(h(t))), u(0) = u0, với h(t) < t1/p, t ∈ (0, 1) và p ∈ (0, 1). Cỏc kết quả thu được bao gồm 3.1 Khi f thỏa món điều kiện Lipschitz theo biến thứ hai và Hoălder theo biến thứ ba ‖f(t, u1, v1)− f(t, u2, v2)‖s ≤ C s′ − s (‖u1 − u2‖s′ + ‖v1 − v2‖ps′), trong đú u1, u2, v1, v2 ∈ Xs′ , s < s′ thỡ bài toỏn cú duy nhất nghiệm địa phương. 3.2 Khi f khụng phụ thuộc biến thứ hai và thỏa món điều kiện ‖f(t, v1)− f(t, v2)‖s ≤ C (s′ − s)γ ‖v1 − v2‖ p s′ , v1, v2 ∈ Xs′ , s < s′, thỡ bài toỏn cú duy nhất nghiệm toàn cục ngay cả khi kỡ dị là mạnh (γ > 1). 3.3 Xột trường hợp f thỏa món điều kiện về tớnh compact dạng ‖f(t, u, v)‖s ≤ L ( ‖u‖s + 1 + ‖v‖ps′ (s′ − s)γ ) , αs ( f(t,Ω1,Ω2) ) ≤ L(αs(Ω1) + αps′(Ω2) (s′ − s)γ ) , s < s′ 82 83 trong đú αs là độ đo phi compact Kuratowski trờn Xs và γ = 1 nếu f xỏc định trờn [0, T ] ì Bs(u0, r) ì Bs′(u0, r), γ > 0 tựy ý nếu f xỏc định trờn [0, T ]ìXs ìXs′ . Bằng cỏch xõy dựng một khụng gian Frộchet và một độ đo phi compact nhận giỏ trị trong nún, chỳng tụi chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toỏn. 4. Chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toỏn Cauchy cú chậm trờn thang cỏc khụng gian Banach cú dạng u′(t) = f(t, A(t)u(t), B(u(h(t)))). Việc ỏp dụng kết quả tổng quỏt cho phương trỡnh đạo hàm riờng dạng ∂tu(t, x) = g[t, x, ∂ (l1) 2 u(t, σ(t)x), ∂ (l2) 2 u(h(t), x)], cho phộp mở rộng đỏng kể cỏc điều kiện đặt lờn cỏc yếu tố chậm σ(t), h(t). 5. Chứng minh tớnh Rδ của tập nghiệm của lớp bài toỏn Cauchy trờn thang khụng gian Banach cú dạng u′(t) = f(t, u(t)) + g(t, u(t)), trong đú f là ỏnh xạ Lipschitz và g là ỏnh xạ compact trờn thang khụng gian. II. Cỏc nghiờn cứu của luận ỏn cú thể được tiếp tục theo cỏc hướng: 1. Nghiờn cứu sõu hơn về bài toỏn Cauchy trong thang cỏc khụng gian Banach cú thứ tự. 2. Nghiờn cứu bài toỏn Cauchy trờn thang khụng gian Hilber (Xs, 〈., .〉s) với ỏnh xạ thỏa món điều kiện Lipschitz một phớa dạng 〈f(t, u)− f(t, v), u− v〉s ≤ C s′ − s‖u− v‖s′ , u, v ∈ Xs′ , s < s ′. 3. Tỡm cỏc bài toỏn, cỏc mụ hỡnh cú thể đưa về bài toỏn Cauchy trong thang khụng gian Banach. Vớ dụ, cỏc bài toỏn về quỏ trỡnh ngẫu nhiờn [14, 17, 21, 22, 23]), cỏc lớp phương trỡnh Camassa-Holm mở rộng trong khụng gian Sobolev [10, 11, 29, 33, 53]). 84 DANH MỤC CễNG TRèNH CỦA TÁC GIẢ 1. Phạm Văn Hiển, Cấu trỳc Topo của tập nghiệm bài toỏn Cauchy cú nhiễu trong thang khụng gian Banach, Hội thảo khoa học trường Đại học Sư phạm TP.HCM, ISBN: 978-604-958-502-9, thỏng 10 năm 20183. 2. Nguyễn Bớch Huy, Phạm Văn Hiển, THE CAUCHY PROBLEM IN SCALE OF BANACH SPACES WITH DEVIATING VARIABLES, Fixed Point Theory (đó cú thư xỏc nhận đăng bài)4. 3. Nguyễn Bớch Huy, Phạm Văn Hiển, VECTOR-VALUED MEASURES OF NONCOMPACTNESS AND THE CAUCHY PROBLEM WITH DELAY IN A SCALE OF BANACH SPACES, J. Fixed Point Theory Appl. 22, 36 (2020)5. 3Nội dung bài bỏo này được trỡnh bày trong mục 4.4 4Nội dung bài bỏo này được trỡnh bày trong mục 2.4 và 3.2 5Nội dung bài bỏo này được trỡnh bày trong mục 4.1 và 4.3 Tài liệu tham khảo [1] R. R. Akhmerov, M. I. Kamenskii, A. S. Potapov, B. N. Sadovskii, Measure of Noncompactness and Condensing operators, Birkhaăuser, Basel, 1992. [2] J. Appell, Measure of Noncompactness, Condensing Operators and Fixed points: An Application-Oriented survey, Fixed Point Theory, Vol 6, N 2, 2005, 157-229. [3] K. Asano, A note on the abstract Cauchy-Kowalewski theorem, Proc. Japan Acad. Ser A, 64 (1988), 102-105. [4] A. Augustynowicz, H. Leszczyn´ski, W.Walter, Cauchy-Kovalevskaya the- ory for nonlinear equations with deviating variables, Nonlinnear Anaysis 45 (2001)743-753. [5] J. M. Ayerbe Toledano, T. Dominguez Benavides, G. Lopez Acedo, Measures of Noncompactness in Metric Fixed Point Theory, Birkhaăuser, Basel, 1997. [6] J. Banỏs, K. Goebel, Measure of Noncompactness in Banach Spaces, Lect. Notes Pure Appl. Math., Vol. 60, Marcel Dekker, New York, (1980). [7] M.S.Baouendi, C.Goulaouic, Remark on the abstract form of nonlinear Cauchy-Kovalevsky theorems, Comm. Partial Differential Equations, 2 (1977), 1151-1162. [8] E. A. Barkova and P. P. Zabreiko, An analog of the Peano theorem for fractional-order quasilinear equations in compactly embedded scale of Ba- nach spaces, Differential Equations, 2004, Vol. 40, No. 4, pp. 565-570. [9] E. A. Barkova and P. P. Zabreiko, Fractional Differential Equations with Worsening Right-Hand Sides, Differential Equations, 2010, Vol. 46, No. 2, pp. 208–213. [10] R. F. Barostichi, A. A. Himonas, G. Petronilho, Autonomuos Ovsyanniikov theorem and applications to nonlocal evolution equations and systems, J. Funct. Anal. 270 (2016) 330-358. 85 86 [11] R. F. Barostichi, A. A. Himonas, G. Petronilho, The power series method for nonlocal and nonlinear evolution equations, J. Math. Anal. Appl., Vol. 443 (2016), No.2, 834-847. [12] H.Begehr, Eine Bemerkung zum nichtlinearen klassichen Satz von Cauchy- Kowalewsky, Math. Nachr. 131 (1987), 175-181. [13] T.D.Benavides, Genetic existence of solution for a differential equation in a scale of Banach spaces, Proc. Amer. Math. Soc. 86 (1982), 477-484. [14] C. Berns, Y. Kondratiev, O. Kutoviy, Contruction of a state evolution for Kawasaki dynamics in Continuum, Anal. Math. Phys. 3 (2013), 97-117. [15] R. Caflish, A simplified version of the abstract Cauchy-Kowalewsky theorem with weak singularities, Bull. Amer. Math Soc., 32(1990), 495-500. [16] R.E. Caflish, J. Lowengrub, Convergence of the vortex method for vortex sheets, SIAM J. Numer. Anal. 26 (1989), 1060-1080. [17] A. Daletskii, Stochastic differential equations in a scale of Hilbert spaces, preprint, arXiv:1706.00794 [math.FA]. [18] K.Deimling, Ordinary Differential Equations in Banach spaces, Lect. Notes Math., 596, Springer, Berlin, 1977. [19] K.Deimling, Nonlinear Functional Analysis, Springer - Verlag, 1985. [20] K. Diethelm, The Analysis of Fractional Differential Equations, Lecture Notes in Mathematics, Springer, 2004. [21] D. Finkelshtein, Around Ovcyannikov’s method, Methods Funct. Anal. Topology, 21 (2015), 131-150. [22] D. Finkelshtein, Y. Kondratiev, Y. Kozitsky, Glauber dynamics in contin- uum: a constructive approach to evolution of states, Discrete and Cont. Dy- nam. Syst. Ser A, 33 (2013), 1431-1450. [23] D. Finkelshtein, Y. Kondratiev, O. Kutoviy, E. Zhizhina, On an aggregation in birth-and-death stochastic dynamics, Nonlinearity, 27(2014), 1105-1133. [24] S. B. Gavage, J. F. Coulombel, N. Tzvetkov, Ill-posedness of nonlocal Burg- ers equations, Advances in Math. 227 (2011), 2220-2240. 87 [25] M. Ghisi, The Cauchy-Kowalevsky theorem and noncompactness measure, J. Math. Sci. Univ. Tokyo, 4 (1994), 627-647. [26] D. Gourdin, M. Mechab, Problốme de Goursat non lineaire dans les classes de Gevrey, pour des ộquations de Kirchhoff generaliseộs, J. Math. Pures Appl., 75 (1996), 569-593. [27] D. Gourdin, T. Gramchev, Global in time solutionsof evolution equations in scales of Banach function spaces in Rn, Bull. Sci. math. 131 (2007), 761-786. [28] S.Heikkila, V.Lakshmikantham, Monotone Iterative Techniquees for Dis- continuous nonlinear differential Equations, Marcel Dekker, 1994. [29] D.P. Hewett, A. Moida, On the maximal Sobolev regularity of distributions supported by subsets of Euclidean space, Ana. and App., Vol 15, No 5(2017), 731-770. [30] A.A Himonas, G. Misiolek, Analyticity of the Cauchy problem for an inte- grable evolution equation, Math. Ann. 327, 575-584 (2003). [31] L.H. Hoa, K. Schmitt, Fixed Point Theorems of Krasnoselskii type in locally Convex Spaces and Applications to Integral Equations, Results in Mathemat- ics, vol 25, 291-313, 1994. [32] L.H. Hoa, N.N. Trong, L.X. Truong, Topological Structure of Solution set for a Class of Fractional Neutral Evolution Equations on The Half-line, Topo- logical Methods in Nonlinear Analysis, Vol 43 (2), 1-99 (2014). [33] J. Holmes, R. C. Thompson, Well-posedness and continuity properties of the Fornberg-Whitham equations in Besov spaces, J. Diff. Eq., Vol 263 (7), 4355-4381 (2017). [34] N.B. Huy, On a Cauchy problem in scale of Banach spaces, Mathematics Consortium, Proceedings, V1 (1993), 38-42. [35] N.B. Huy, N.A.Sum, N.A.Tuan, A second-order Cauchy problem in a scale of Banach spaces and application to Kirchhoff equations, J. Diff. Eq., 206 (2004), 253-264. [36] M. Kawagishi, T. Yamanaka, On the Cauchy problem for PDEs in the Gevrey class with shrinking, J. Math. Soc. Jpn, 54 (2002), 649-677. 88 [37] M. Kawagishi, T. Yamanaka, The Heat equation and the shrinking, EJDE, 97 (2003), 1-14. [38] M.C. Lambardo, M.Cannone, M.Sammartino, Well-posedness of the bound- ary layer equations, SIAM J. Math. Anal. 35 (2003), 987-1004. [39] Y.Maekava, On the inviscid limit problem of the vorticity equations for viscous incompressible flows in the half plane, Comm. Pure Appl. Math. 67 (2014), 1045-1128. [40] V.I. Nazarov, Solubility of the Cauchy problem for differential equations in scales of Banach spaces with completely continuous embeddings, Mathemat- ical Notes, Vol 55, No. 4 (1994), 372-379. [41] L.Nirenberg, An abstract form of the nonlinear Cauchy-Kowalewski theo- rem, J. Differential Geom. 6 (1972), 561-576. [42] T.Nishida, A note on a theorem of Nirenberg. J. Diff. Geometry, 12 (1977), 629 - 633. [43] T.Nishida, Fluid dynamical limit of the nonlinear Boltzmann equation to the level of the compressible Euler equation, Comm. Math. Phys. 61 (1978), 119-148. [44] LV.Ovcyannikov, Singular operators in a scale of Banach spaces, Soviet Math Dokl, 163 (1965), 819 - 822. [45] LV.Ovcyannikov, A nonlinear Cauchy problem in a scale of Banach spaces, Sov. Math. Dolk. 12 (1971), 1497-1502. [46] LV.Ovcyannikov, Cauchy problem in a scale of Banach spaces, Proc. Steklov Institute of Math, 281 (2013), 3-11. [47] M. Reissig, A Generalized Theorem of Peano in Scales of Banach Spaces with Completely Continuous Imbedding, Funkcialaj Ekvacioj 37 (1994), 521- 530. [48] M.V.Safonov, The abstract Cauchy-Kowalevskaya theorem in a weighted Banach space, Comm. Pure Appl. Math, VXLVIII (1995), 629-637. [49] M.Sammartino, R.E. Caflish, Zero viscosity limit for analytic solutions of the Navier-Stokes equation on half-space I. Existence for Euler and Prandtl equations, Comm. Math. Phys. 192 (1998), 433-461. 89 [50] M.Sammartino, R.E. Caflish, Zero viscosity limit for analytic solutions of the Navier-Stokes equation on half-space II. Construction of the Navier- Stokes solution, Comm. Math. Phys. 192 (1998), 463-491. [51] F.Treves, An abstract nonlinear Cauchy-Kowalewska theorem, Trans. Amer. Math. Soc. 150 (1970), 72-92. [52] W.Tutschke, Initial value problem for generalized analytic functions de- pending on time (an extension of theorems of Cauchy-Kovalevskaya and Holmgren), Soc. Math. Dolk. 25 (1982), 201-205. [53] X. Wu, Global Analytic Solutions and Traveling Wave Solutions of the Cauchy Problem for the Novikov Equation, Proceeding of the AMS, Vol 146 (4), 2018, 1537-1550. [54] T. Yamanaka, Note on Kowalewskaya system of partial differential equa- tions, Comm. Math. Univ. St Paul, 9 (1960), 7-10. [55] T. Yamanaka, On the uniqueness of solutions of the global Cauchy problem for a Kowalevskaja system, J. Math. Soc. Japan, Vol 20 (1968), 567-579. [56] T. Yamanaka, M. Kawagishi, A Cauchy-Kowalevskaya type theory in the Gevrey class for PDEs with shrinking, Nonlinear Analysis, 64 (2006), 1860- 1884. [57] P.P.Zabreiko, K-metric and K-normed spaces: survey, Collect. Math., 48 (1997), 825-859. [58] O.Zubelevich, Abstract version of the Cauchy-Kowalewski problem, Central European J. Math., 2 (2004), 382-387. [59] O.Zubelevich, Peano type theorem for abstract parabolic equation, Ann. I. H. Poincare 26 (2009), 1407-1421.