Phân dạng các bài toán đại số tổ hợp trong chương trình toán trung học phổ thông

Trường Đại học Hoa Lư KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP "PHÂN DẠNG CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ TỔ HỢP TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG’’ SVTH: Đinh Thị Ngát –&— LỜI MỞ ĐẦU Toán tổ hợp là một lĩnh vực toán học được nghiên cứu từ khá sớm và ngày càng được quan tâm nhờ vai trò quan trọng của nó trong nội bộ toán học cũng như trong các nghành khoa học khác. Kết quả quan trọng của nó đánh dấu bởi bài toán đếm số phân hoạch cuả Leonhard Euler. Trong toán học những kết quả của nó đóng vai trò kiến thức nền tảng của giải tích, xác suất, thống kê, hình học,… Trong thực tiễn giáo dục thì việc dạy và học toán tổ hợp cũng rất quan trọng bởi khi học tốt toán tổ hợp người học sẽ có năng lực sáng tạo và tư duy nhạy bén để học tốt môn học khác cũng như các lĩnh vực khác trong cuộc sống. Các bài toán đại số tổ hợp luôn là một nội dung quan trọng trong các đề thi đại học và cao đẳng ở nước ta, mặc dù mức độ không khó nhưng các thí sinh thường gặp khó khăn khi giải các bài toán này. Trong các kỳ thi học sinh giỏi quốc gia, thi toán sinh viên giữa các trường đại học và cao đẳng, thi Olympic toán khu vực và quốc tế các bài toán tổ hợp xuất hiện là một thử thách lớn cho các thí sinh. Rất nhiều các bài toán hay và khó được giải một cách khá gọn và đẹp bằng cách sử dụng các kiến thức về tổ hợp. Em là người rất yêu thích toán tổ hợp nhưng mới chỉ bết sơ qua về nó khi còn ngồi trên ghế nhà trường phổ thông. Vì vậy em lựa chọn đề tài: ’’PHÂN DẠNG CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ TỔ HỢP TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG’’ với mục đích nghiên cứu về lý thuyết tổ hợp từ đó xây dựng một cách có hệ thống, có sáng tạo các bài toán đại số tổ hợp. Trong khóa luận này em đã tổng kết và phân dạng các bài tập đại số tổ hợp. Tuy các dạng bài tập này không mới nhưng khóa luận đã hệ thống và mở rộng một số bài tập hay và khó là đóng góp nhỏ của khóa luận. Khóa luận được chia làm hai chương: Chương 1: (Cơ sở lý thuyết về tổ hợp) chương này tập trung trình bày lý thuyết về tổ hợp và một số lý thuyết về tập hợp làm cơ sở để phân dạng và giải các bài toán đại số tổ hợp. Chương 2 : (Các dạng toán đại số tổ hợp) đây là chương chứa nội dung chính của khóa luận. Chương này em phân dạng và hệ thống các bài toán đại số tổ hợp. Đặc biệt trong chương này em đã sáng tạo và tổng quát một số bài toán để có được các bài toán hay và khó. Trong quá trình làm khóa luận, em đã tham khảo một số tài liệu liên quan đến toán tổ hợp, trao đổi, lấy ý kiến của thầy cô và các bạn sinh viên lớp sư phạm ngành Toán, của các giảng viên Toán ở trường Đại học Hoa Lư, một số giáo viên Toán ở trường phổ thông, các bạn sinh viên chuyên nghành Toán và các em học sinh trương phổ thông. Đồng thời tổng kết kinh nghiệm từ thực tế qua quá trình giảng dạy của thầy cô. Mặc dù đã rất cố gắng trong quá trình làm khóa luận nhưng do sự hạn chế về thời gian và trình độ kiến thức nên bản khóa luận không tránh được những thiếu sót, rất mong được sự đóng góp ý kiến của thầy cô và các bạn. Em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy Bùi Đức Lợi đã tận tình chỉ bảo, hướng dẫn và tạo điều kiện cho em trong quá trình thực hiện khóa luận. Em cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến các thầy cô trong bộ môn Toán (khoa khoa học tự nhiên trường Đại học Hoa Lư), thầy Nguyễn Đức Hải (trường THPT Nho Quan B), bạn bè và người thân đã động viên, giúp đỡ em hoành thành tốt khóa luận. Ninh Bình, tháng 5 năm 2012 Sinh viên Đinh Thị Ngát Chương I: Cơ sở lý thuyết về tổ hợp Chương này sẽ nhắc lại một số lý thuyết về tập hợp và hệ thống lý thuyết cơ bản của toán tổ hợp như: Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp, nhị thức Newton,.. Các nội dung này cũng được giảng dạy cho học sinh trung học phổ thông hệ cơ bản, nâng cao và hệ chuyên nghành toán. 1.1. Nhắc lại về tập hợp Tập hợp con Định nghĩa: Cho tập hợp . Tập hợp gọi là tập con của tập khi mọi phần tử của tập đều thuộc . . Tính chất: - Mọi tập hợp đều có 2 tập con là và . - Tập có phần tử thì số tập con của là . Tập hợp sắp thứ tự Một tập hợp hữu hạn có phần tử được gọi là sắp thứ tự nếu với mỗi phần tử của tập hợp đó ta cho tương ứng một số tự nhiên từ 1 đến , sao cho với những phần tử khác nhau ứng với những số khác nhau. Khi đó bộ sắp thứ tự phần tử là một dãy hữu hạn phần tử và hai bộ sắp thứ tự và bằng nhau khi mọi phần tử tương ứng bằng nhau = = 3. Số phần tử của một số tập hợp Tập hợp có hữu hạn phần tử thì số phần tử của được kí hiệu là: ││ hoặc . là 3 tập hợp hữu hạn, khi đó: │ │= ││+││-││. ││=││+││+││-││-││-││ +││. Tổng quát: Cho là tập hợp hữu hạn . Khi đó: │…│= ++…+. (1) Quy tắc cộng và quy tắc nhân Quy tắc cộng Giả sử có hai công việc: Việc thứ nhất có thể làm bằng cách, Việc thứ hai có thể làm bằng cách. Và nếu hai việc này không thể làm đồng thời, khi đó sẽ có cách làm một trong hai việc trên. Quy tắc cộng dạng tổng quát: Giả sử các công việc có thể làm tương ứng bằng cách và giả sử không có hai việc nào có thể làm đồng thời. Khi đó số cách làm một trong việc đó là: . Biểu diễn dưới dạng tập hợp: Nếu là hai tập hợp hữu hạn, không giao nhau thì: Nếu là tập hữu hạn, từng đôi một không giao nhau thì: Nếu là hai tập hữu hạn và thì: Quy tắc nhân Giả sử để hoàn thành một nhiệm vụ cần thực hiện hai công việc nhỏ là và , trong đó: có thể làm bằng cách, có thể làm bằng cách, sau khi đã hoàn thành công việc . Khi đó để thực hiện công việc sẽ có cách. Quy tắc nhân dạng tổng quát: Giả sử để hoàn thành một nhiệm vụ cần thực hiện công việc nhỏ là , ,…, trong đó: có thể làm bằng cách. có thể làm bằng cách, sau khi đã hoàn thành công việc . … có thể làm bằng cách, sau khi đã hoàn thành công việc . Khi đó để thực hiện công việc sẽ có cách. Biểu diễn dưới dạng tập hợp: Nếu là tập hợp hữu hạn, khi đó số phần tử của tích đề các các tập hợp này bằng tích của số các phần tử mọi tập thành phần. Để liên hệ với quy tắc nhân hãy nhớ là việc chọn một phần tử của tích đề các được tiến hành bằng cách chọn lần lượt một phần tử của , một phần tử của ,…, một phần tử của . Theo quy tắc nhân ta nhận được đẳng thức: . Giai thừa và hoán vị Giai thừa Định nghĩa: Giai thừa , kí hiệu là ! là tích của số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến . , , >1. Quy ước : 0!= 1. 1!= 1. Hoán vị Định nghĩa: cho tập hợp , gồm phần tử . Một cách sắp thứ tự phần tử của tập hợp được gọi là một hoán vị của phần tử đó. Kí hiệu: là số các hoán vị của n phần tử. 1.4. Chỉnh hợp Định nghĩa: Cho tập hợp gồm phần tử . Kết quả của việc lấy phần tử khác nhau từ phần tử của tập hợp và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập của phần tử đã cho. Kí hiệu: là số các chỉnh hợp chập của phần tử. Công thức: == (với 1). Chú ý: Một chỉnh hợp chập được gọi là một hoán vị của phần tử. . 1.5. Tổ hợp Định nghĩa: Giả sử tập có phần tử ( 1). Mỗi tập con gồm phần tử của được gọi là một tổ hợp chập của phần tử đã cho (1 ). Kí hiệu: (1 ) là số các tổ hợp chập của phần tử. Công thức: = Chú ý: = 0. (0n). += (). 1.6. Chỉnh hợp có lặp, hoán vị có lặp và tổ hợp có lặp 1.6.1. Chỉnh hợp có lặp Định nghĩa: Cho vật . Một chỉnh hợp chập có lặp lại gọi tắt là chỉnh hợp lặp của vật đó là một dãy thứ tự gồm phần tử trong đó mỗi phần tử có thể lặp lại nhiều lần. Chú ý: Số các chỉnh hợp lặp chập của phần tử là . Như vậy chỉnh hợp có lặp lại là khi giữa các phần tử yếu tố thứ tự là cốt lõi, còn yếu tố khác biệt không quan trọng. Hoán vị lặp Cho một tập hợp gồm vật, trong đó có vật loại giống nhau, vật loại giống nhau,…, vật loại giống nhau. Với , khi đó số cách hoán vị thực sự khác nhau là: = Tổ hợp lặp Cho vật . Một tổ hợp chập có lặp lại gọi tắt là tổ hợp lặp của vật đó là một nhóm (không thứ tự) gồm vật, trong đó mỗi vật có thể lặp lại nhiều lần. Kí hiệu: là số tổ hợp có lặp chập của phần tử. Chú ý: Số tổ hợp có lặp lại chập là = = . Tổ hợp có lặp lại khi một phần tử có thể xuất hiện nhiều lần và thứ tự của các phần tử không cần để ý. Nhị thức Newton Nhị thức Newton được gọi là công thức nhị thức Newton. Hệ quả: . Chú ý: - Số các số hạng của sự khai triển là . - Tổng các số mũ của và trong mỗi số hạng của sự khai triển bằng số mũ . - Số hạng tổng quát của khai triển là . - Các hệ số nhị thức cách đều hai đầu của sự khai triển thì bằng nhau do (). 1.7.2. Tam giác Pascal Các hệ số của khai triển Newton của nhị thức có thể được sắp xếp thành tam giác sau đây (gọi là tam giác Pascal). 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 … … Như vậy += được gọi là hệ thức Pascal. Chương II: Các dạng bài toán đại số tổ hợp Chương một đã trình bày lý thuyết cơ bản của toán tổ hợp. Dựa trên cơ sở lý thuyết đó trong chương này khóa luận sẽ tập trung trình bày các dạng bài toán đại số tổ hợp. Ở mỗi dạng khóa luận đã đưa ra những phương pháp, những chú ý khi làm các bài tập và khóa luận cũng đưa ra hệ thống các bài tập đặc trưng cho từng dạng. 2.1. Bài toán tính toán, chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức Trong phần này tùy thuộc vào các bài toán cụ thể mà ta lựa chọn các phương pháp thích hợp như: Sử dụng các công thức, các quan hệ giữa các đại lượng tổ hợp. Sử dụng các đánh giá về bất đẳng thức. Sử dụng quy nạp toán học. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số. Bài 1: CMR: , với , >2. Giải: Ta có = . Mà , với . Áp dụng cho , ta có: . . (1) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy . Áp dụng cho ta có: … . . (2) Từ (1), (2) , với , . Bài 2: CMR: !> (với ). Giải: * thì 1! > (đúng). * Giả sử bất đẳng thức đúng với , tức là : k! > (với ). Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với . = > () Vậy !> với . Bài 3: Chứng minh (với 0; ). Giải: Đặt . Ta chứng minh () là dãy giảm. Thật vậy thì: 0 (đúng) Bài 4: Cho . CMR: (1) Giải: Với thì bất đẳng thức có dạng: (luôn đúng). Với Do . Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có : . Vậy (). Dấu ‘=’ xảy ra Bài tập tự giải Bài 1: CMR : . Bài 2: CMR: (3. Bài 3: 2. Chứng minh: . Bài 4: (Đề thi tuyển sinh ĐH-CĐ khối B, 2008) CMR: . Bài 5: CMR: chia hết cho tích số . 2.2. Bài toán tính tổng Các bài toán tổng tổ hợp rất đa dạng và nhiều cách giải. Khóa luận chia ra làm 4 phương pháp tính: Sử dụng công thức, sử dụng đạo hàm, sử dụng tích phân, sử dụng công thức nhị thức Newton. 2.2.1 Sử dụng công thức Trong phần này ta sử dụng các công thức và các phép biến đổi linh hoạt trên nó để tính tổng tổ hợp như: . . …. Tổng quát: (với ). CT4: , , … Tổng quát: (với ). Bài 1: Tính . Tổng quát: Tính . Giải: Theo CT1 ta có: Tổng quát: . Vậy . Bài 2: Tính . Tổng quát: . Giải: Theo CT3.1 ta có: . Tổng quát: . . Bài 3: Tính . Tổng quát tính . Giải: Áp dụng CT3.2 ta có: Tổng quát: . Bài 4: (Mở rộng bài 1) Tính . Giải: . Bài 5: Tính Tổng quát tính Giải: Áp dụng CT4 ta có: Tổng quát: . Bài tập tự giải Bài 1: Tính tổng . Bài 2: Tính tổng và tổng quát bài toán. Bài 3: Tính 2.2.2. Sử dụng khai triển nhị thức Newton Sử dụng các khai triển nhị thức thích hợp sẽ cho ta lời giải ngắn gọn cho các bài toán tính tổng tổ hợp. Chú ý: Ta thường sử dụng các khai triển: ... Bài 1: Tính với . Giải: Ta có . Chọn , ta có: (với p là số lẻ lớn nhất nhỏ hơn n). Theo định lý Moivre ta có: . Đồng nhất 2 vế Và . Bài 2: Tính và . Giải: Từ (1) thấy hệ số của là . Từ (2) ta thấy hệ số của là . Mà . (*) . (3). (4). Ở (4) hệ số của là . Ở (3) hệ số của là . . (**). Lấy (*) + (**) ta có : Lấy ta có: Bài 3: Tính với . Giải: Theo bài 1 ta có: (1). Với . Cho , . (2) (với ) và (3) (với ). (1) + (2) ta có : Bài 4: Tính , với . Giải: Theo (3) của bài 3 có (4). Theo bài 1 ta có : (5). (với ). Bài tập tự giải Bài 1: Tính Bài 2: Tính . Bài 3: Tính . Bài 4: Tính . 2.2.3. Sử dụng đạo hàm Từ , Sử dụng đạo hàm cấp 1, cấp 2.... cấp hai vế một cách thích hợp để tính các tổng tổ hợp. Bài 1: Tính . Giải: Ta có Lấy đạo hàm hai vế của (1) ta có : . Cho . Chú ý: Khi cho các giá trị khác nhau ta được các tổng tổ hợp khác nhau. Tùy thuộc vào bài toán ta chọn thích hợp. Tổng quát: Tính . Giải: Lấy đạo hàm hai vế (1) ta có: (2). Lấy đạo hàm hai vế của (2) ta có: , … Lấy đạo hàm hai vế (1) cấp m ta có : . Cho . Bài 2: Tính . Giải: Theo bài 1 ta có: (1). (2). Thay ta được: (3). Nhân vế với vế của (1) với (3) và đồng nhất hóa số hạng không chứa của phương trình . Bài 3: Tính Giải: Ta có: (1) Xét Khi t = , ta có: Xét Lấy đạo hàm (1), ta có: (2) Khi , ta có: (2) Nhân cả hai vế của (2) với , ta được: . Bài 4: Tính . Giải: Ta có (1). Lấy đạo hàm hai vế (1) lần, ta có: (2) Nhân cả hai vế phương trình (2) với ta có : . Chọn . Bài tập tự giải Bài 1: Tính và tổng quát bài toán. Bài 2: Tính . Bài 3: Tính . Bài 4: (ĐHSP TPHCM-A, 2011) Tính . 2.2.4. Sử dụng tích phân xác định Một số bài toán tính tổng ta thường sử dụng tích phân với cận thích hợp tùy thuộc vào bài toán cụ thể. Bài 1: Tính S = . Giải: Ta có: = (1). Lấy tích phân hai vế (1) Bài 2: Tính . Giải: Ta có: . Do đó Bài 3: Tính . Giải: . Ta có (1) Nhân cả hai vế của (1) với x, ta có: (2) Lấy tích phân hai vế của (2), ta có: Bài 5: Tính . Giải: Mặt khác (theo phần 2.2.2, bài 1). Xét (1) Lấy tích phân hai vế của (1), ta có: Vậy Bài tập tự giải Bài 1: tính . Bài 2: (ĐHBK, 1997) Tính: . Bài 3: (ĐHQG TPHCM khối A, 1997) Tính Bài 4: Tính Bài 5: Tính Bài toán giải phương trình, bất phương trình, hệ bất phương trình Đối với các bài toán giải phương trình, bất phương trình, hệ bất phương trình cần tìm điều kiện của ẩn số, sau đó sử dụng các công thức biến đổi thích hợp biến đổi vế phương trình, bất phương trình, hệ bất phương trình cơ bản. Chú ý: + Một số bài toán khi sử dụng ẩn phụ (đặc biệt là bài toán giải hệ phương trình) cho ta lời giải ngắn gọn. + Khi giải ta phải chú ý đến điều kiện của ẩn để có kết quả chính xác. 2.3.1. Giải phương trình Bài 1: Giải phương trình (1) Giải: Điều kiện : (1) (thỏa mãn). Vậy phương trình có nghiệm . Bài 2: Giải phương trình (1). Giải: Điều kiện: (thỏa mãn). Vậy phương trình có 2 nghiệm hoặc . Bài 3: Giải phương trình (1). Giải: Điều kiện : . Vậy nghiệm của phương trình là : (1, 3), (0, 3), (2, 3), (3, 3). Bài 4: Giải phương trình (1) (với và ). Giải: Có Với ( ). Vậy (1) ( thỏa mãn). Vậy . Bài tập tự giải Bài 1: Giải phương trình . Bài 2: Giải phương trình . Bài 3: Giải phương trình . 2.3.2. Giải bất phương trình Bài 1. Giải BPT: . Giải: Điều kiện: k và . (*). Với thì bất phương trình (*) vô nghiệm. Với thì (*). Do nên ta chọn . Tương tự với . . Chọn . Với thì . Chọn Với thì (*) . Chọn . Vậy BPT có 5 bộ nghiệm (n,k) là (0;0), (1;0), (1;1), (2;2),(3;3). Bài 2. Tìm các số hạng dương của dãy: . Giải: Điều kiện : . . Vậy các số hạng dương là: . Bài 3. Cho tập hợp có 18 phân tử, tìm sao cho số tập con gồm phần tử của là lớn nhất. Giải : Có số tập con của có phần tử là . Xét (với ). ( do ) . Do Xét (với ) . Do và . Như vậy . Vậy . Vậy số tập con có 9 phần tử của tập hợp là lớn nhất. Bài tập tự giải Bài 1: Giải bất phương trình . Bài 2. Tìm các số hạng âm của dãy: . Bài 3. Giải bất phương trình  . Bài 4 : Giải bất phương trình  . 2.3.3. Giải hệ bất phương trình Bài 1. Tìm biết . Giải : Điều kiện: và . (thỏa mãn). Vậy nghiệm của hệ là =. Bài 2: Giải hệ Giải: Điều kiện: . Đặt Có hệ : (thỏa mãn), (loại) Vậy Bài 3: Giải hệ (I) Giải: Điều kiện : . Có hệ (I) . Thế vào (2) ta được : (do . Do (loại). Vậy hệ phương trình (I) vô nghiệm. Bài tập tự giải Bài 1: Tìm sao cho : . Bài 2. Tìm sao cho : . Bài 3 : Giải hệ phương trình: Bài 4: Giải hệ phương trình 2.4. Bài toán đếm Bài toán đếm là bài toán đặc trưng trong các dạng bài toán đại số tổ hợp và là bài toán thường xuất hiện trong cuộc sống thực tiễn. Để thực hiện bài toán đếm ta thường sử dụng: Mô phỏng bài toán bằng tập hợp. Sử dụng định nghĩa hoán vị, tổ hợp, chỉnh hợp. Sử dụng các quy tắc đếm cơ bản. Chú ý: Khi thực hiện bài toán đếm ngoài cách đếm trực tiếp theo yêu cầu bài toán ta có thể đếm gián tiếp thông qua kiểu đếm bù. Bài toán lập số Bài 1: Cho tập hợp các chữ số . Từ tập hợp có thể lập được: Bao nhiêu số chẵn có 5 chữ số khác nhau từng đôi một. Bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau từng đôi một và là số tiến( chữ số sau lớn hơn chữ số đứng trước nó). Giải: Gọi số cần lập là =, , . Vì là số chẵn nên . Trường hợp 1: Nếu có 1 cách chọn. Khi đó là một bộ phân biệt có thứ tự được chọn từ X\{0} do đó nó là một chỉnh hợp 7 chập 4. Có cách chọn. Có =840 số. Trường hợp 2: Nếu được chọn từ {2, 4, 6} Có 3 cách chọn. được chọn từ tập X\{0, } có 6 cách chọn. là một bộ phân biệt thứ tự được chọn từ X\{} do đó nó là một chỉnh hợp 6 chập 3 Có cách chọn. Vậy có 3.6.=2160 số. Vậy số các số chẵn gồm 5 chữ số phân biệt hình thành từ là: 840+2160=3000 số. b) Vì là số tiến nên và do . Mỗi cách chọn ra 5 chữ số thì chỉ có 1 cách sắp xếp từ nhỏ đến lớn. Vậy số số cần tìm là số cách chọn ra 5 chữ số từ tập . Vậy có =21 số thỏa mãn điều kiện. Bài 2: Cho tập hợp các chữ số . Từ tập hợp có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ số trong đó chữ số 1 có mặt đúng 2 lần, các chữ số còn lại có mặt không quá một lần. Giải: * Xét cả trường hợp . Chọn 2 vị trí để xếp hai số 1 có cách . Chọn 3 số trong và sắp xếp vào 3 vị trí còn lại có cách . Vậy có =2100 số. * Chỉ xét . Chọn 2 vị trí để xếp hai số 1 có cách . Chọn 2 số trong và sắp xếp vào 2 vị trí còn lại có cách. Vậy có .=180 số. Vậy có 2100-180=1920 số thỏa mãn điều kiện. Bài 3: , từ tập có thể lập được: a) Bao nhiêu số lẻ gồm 6 chữ số chia hết cho 9. b) Bao nhiêu số gồm 5 chữ số sao cho tổng các chữ số của mỗi số là một số lẻ. Giải: a) Các số gồm 6 chữ số và chia hết cho 9 là 100008, 100017, 100026, 100035, …, 999999. Trong đó các số lẻ là 100017, 100035, …, 999999 lập thành một cấp số cộng có số hạng đầu là = 100017, công sai d = 18, = 999999. Ta có: . Số các số hạng . Vậy có 50000 số thỏa mãn điều kiện. b) Xét 1 số có 4 chữ số tùy ý . Để là số lẻ ta có 2 khả năng: Nếu tổng ( ) là số chẵn thì ta có thể chọn {1,3,5,7,9}. Nếu tổng () là số lẻ thì ta có thể chọn {0, 2, 4, 6,8}. Mà có 9 cách chọn (0). có 10 cách chọn (=2, 3, 4). Mỗi số có 4 chữ số này lại sinh ra 5 số có 5 chữ số mà tổng của 5 chữ số này là số lẻ. Vậy có tất cả 9.10.10.10.5=45000 số thỏa mãn điều kiện. Bài 4: Cho , có bao nhiêu số có 6 chữ số mỗi chữ số xuất hiện nhiều nhất một lần. Tính tổng tất cả các số đó. Giải: Xét trường hợp các số lập được từ có 6 chữ số (cả trường hợp số 0 đứng đầu). Có số. Ta thấy các số trong tập đều xuất hiện 120 lần trên các hàng trăm nghìn, hàng chục nghìn, hàng nghìn, hàng trăm hàng chục và hàng đơn vị. Vậy tổng tất cả các số lập được trong trường hợp này là: Xét trường hợp số 0 đứng đầu , . Có = 5!= 120 số. Ta thấy các số 1, 2, 3, 4, 5 đều xuất hiện 24 lần trên các hàng chục nghìn, hàng nghìn, hàng trăm hàng chục và hàng đơn vị. Vậy tổng các số lập được trong trường hợp này là: . Tổng các số lập được có 6 chữ số là: số. Tổng tất cả các số đó là: . Bài 5: Có bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số và lớn hơn 685000 lập từ Giải: Gọi số cần tìm là: , . Trường hợp 1: Số có dạng (). có thể nhận 3 giá trị 5, 7, 9 có 3 cách chọn. là một bộ 4 số có thứ tự lập từ . Có cách chọn bộ 4 số có kể thứ tự. Có 3. số. Trường hợp 2: Số có dạng . là một bộ 5 phần tử từ và có kể thứ tự các phần tử. Có số. Trường hợp 3: số có dạng với . có 3 cách chọn là 7, 8, 9. là một bộ 6 phần tử từ và có kể thứ tự các phần tử. Có số. Vậy có số. Bài tập tự giải Bài 1: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số sao cho không có chữ số nào lặp lại đúng 3 lần. Bài 2: Tìm tất cả các số tự nhiên gồm 5 chữ số và chữ số đứng sau bé hơn chữ số đứng trước. Bài 3: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số thỏa mãn. a) Là số đối xứng. b) Chữ số 3 xuất hiện đúng 3 lần, chữ số 4 xuất hiện 2 lần và các chữ số khác xuất hiện không quá 1 lần. Bài 4: Từ được bao nhiêu số chẵn có 3 chữ số khác nhau và không lớn hơn 789. 2.4.2. Bài toán chọn vật, chọn người, sắp xếp. Bài 1: Một thầy giáo có 20 cuốn sách đôi một khác nhau. Trong đó có 5 cuốn sách văn học, 4 cuốn sách âm nhạc và 3 cuốn sách hội họa. Ông muốn lấy ra 6 cuốn và đem tặng cho 6 học sinh mỗi em một cuốn sao cho sau khi tặng sách xong, mỗi một trong ba thể loại văn học, âm nhạc và hội họa đều còn lại ít nhất một cuốn. Hỏi có bao nhiêu cách tặng ? Giải: Có cách chọn 6 cuốn sách bất kỳ trong 12 cuốn trong đó. Có cách chọn 6 cuốn có 5 cuốn văn học. Có cách chọn 6 cuốn có 4 cuốn âm nhạc. Có cách chọn 6 cuốn có 3 cuốn hội họa. Vậy có (++)=805 cách chọn thỏa mãn điều kiện. Với mỗi cách chọn ta có 6! Cách tặng. Số cách tặng thỏa mãn là 805.6!=579600 cách. Chú ý: Đối với bài này ta có thể dùng cách phân chia trường hợp thỏa mãn điều kiện (cách giải trực tiếp). Bài 2: Đội thanh niên xung kích của trường có 12 học sinh, gồm 5 học sinh khối lớp 10, 4 học sinh khối lớp 11 và 3 học sinh khối lớp 12. Có bao nhiêu cách chọn ra 4 học sinh đi làm nhiệm vụ sao cho học sinh thuộc không quá 2 khối lớp. Có bao nhiêu cách chia số học sinh đó thành 2 tổ, mỗi tổ có 6 người sao cho tổ nào cũng có học sinh khối lớp 12 và có ít nhất hai học sinh khối lớp 10. Giải: a) Số cách chọn 4 học sinh từ 12 học sinh là . Số cách chọn 4 học sinh mà mỗi khối lớp có ít nhất 1 em được tính như sau: - Khối lớp 10 có 2 học sinh, các khối lớp 11, 12 có 1 học sinh có =120 cách. - Khối lớp 11 có 2 học sinh, các khối lớp 10, 12 có 1 học sinh có =90 cách. - Khối lớp 12 có 2 học sinh, các khối lớp 10, 11 có 1 học sinh có =60 cách. Vậy số cách chọn 4 học sinh mà mỗi khối lớp có ít nhất 1 học sinh là 120+90+60=270. Số cách chọn thỏa mãn là 495-270=225. b) Ta chọn 6 học sinh thỏa mãn đề bài vào tổ 1, 6 học sinh còn lại tạo thành tổ 2. Có cách chọn tổ 1 trong đó có 2 học sinh khối lớp 10, 3 học sinh khối lớp 11, 1 học sinh khối lớp 12. Có cách chọn tổ 1 trong đó có 2 học sinh khối lớp 10, 2 học sinh khối lớp 11, 2 học sinh khối lớp 12. Có cách chọn tổ 1 trong đó có 3 học sinh khối lớp 10, 2 học sinh khối lớp 11, 1 học sinh khối lớp 12. Có cách chọn tổ 1 trong đó có 3 học sinh khối lớp 10, 1 học sinh khối lớp 11, 2 học sinh khối lớp 12. Vậy có +++= 600 cách chia tổ thỏa mãn đề bài. Bài 3: Có nam, nữ. Có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho: a) người ngồi quanh một bàn tròn. b) người ngồi vào hai dãy ghế đối diện sao cho nam nữ ngồi đối diện. Giải: Người thứ nhất có 1 cách chọn chỗ ngồi vì chỗ ngồi nào cũng không phân biệt so với bàn tròn. Sau khi có chuẩn của người thứ nhất thì người còn lại có cách xếp chỗ ngồi. Vậy có Cách. b) Xếp nam vào 1 dãy ghế có cách. Xếp nữ vào 1 dãy ghế có cách. Đổi chỗ cặp nam nữ đối diện có 2.2…2= cách. Vậy có cách xếp nam nữ ngồi đối diện nhau. Bài 4: Một hộp đựng 2 viên bi đỏ, 3 viên bi trắng, 5 viên bi vàng. Chọn ngẫu nhiên 4 viên bi từ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn để trong đó số viên lấy ra không đủ cả 3 màu, biết rằng các viên bi là khác nhau. Giải: Có cách chọn 4 viên chỉ có màu vàng. Có cách chọn 4 viên không có màu vàng. Có cách chọn 4 viên không có màu trắng. Có cách chọn 4 viên không có màu đỏ. Trong cách chọn 4 viên bi không có bi trắng có chứa cách chọn 4 viên chỉ có màu vàng. Trong cách chọn 4 viên không có bi đỏ có chứa cách chọn 4 viên chỉ có màu vàng. Vậy có +++--=105 cách chọn. Bài tập tự giải Bài 1: Có 20 học sinh (8 nữ trong đó có Lan, 12 nam trong đó có Nam và Tí ). a) Có bao nhiêu cách chọn ra một tổ 7 người trong đó có nhiều nhất 2 trong 3 bạn Tí, Nam và Lan. b) Có bao nhiêu cách xếp thành một hàng dọc sao cho Lan đứng đầu và các bạn nam luôn đứng cạnh nhau nhưng Tí và Nam không đứng cạnh nhau. Bài 2: (ĐH Thăng Long, 1999) Một hộp đựng 6 quả cầu xanh đánh số từ 1 đến 6, 5 quả cầu đỏ đánh số từ 1 đến 5, 4 quả cầu vàng đánh số từ 1 đến 4. a) Có bao nhiêu cách lấy ra 3 quả cầu cùng màu? 3 quả cầu cùng số. b) Có bao nhiêu cách lấy ra 3 quả cầu khác màu? 3 quả cầu khác màu và khác số? Bài 3: Trong kỳ thi kết thúc môn toán học rời rạc có 10 câu hỏi. Có bao nhiêu cách gán điểm cho các câu hỏi nếu tổng số điểm là 100 và mỗi câu hỏi ít nhất 5 điểm. Bài 4: Một bàn dài có 2 dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy gồm 6 ghế. Người ta muốn sắp chỗ ngồi cho 6 học sinh nam và 6 học sinh nữ vào bàn nói trên. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp trong mỗi trường hợp sau: a) Bất kỳ hai học sinh ngồi cùng nhau hoặc đối diện nhau đều không cùng giới tính. b) Bất kỳ hai học sinh ngồi đối diện nhau đều không cùng giới tính. 2.4.3. Các bài toán khác Bài 1: Cho điểm trong không gian trong đó có điểm đồng phẳng. Số còn lại không có 4 điểm nào đồng phẳng. Dựng tất cả các mặt phẳng chứa 3 trong điểm đó. a) Có bao nhiêu mặt phẳng khác nhau? b) Có bao nhiêu tứ diện. Giải: Mỗi mặt phẳng được xác định bởi 3 điểm không đồng phẳng. Trong điểm sẽ có mặt phẳng ( nếu điểm này không có 4 điểm nào đồng phẳng). Do trong điểm có điểm đồng phẳng tức là q điểm này chỉ xác định duy nhất một mặt phẳng. Số mặt phẳng cần tìm là . b) Một tứ diện có 4 đỉnh tương ứng với 4 điểm không đồng phẳng trong điểm. Chọn 4 điểm bất kỳ trong điểm trên có cách. Trong có chứa không là tứ diện. Số tứ diện cần tìm là . Bài 2: Trong mặt phẳng cho 3 điểm . Từ dựng m đường thẳng, từ dựng đường thẳng, từ dựng đường thẳng. Trong đó các đường thẳng vừa dựng không có 3 đường thẳng nào đồng quy và không có cặp đường thẳng nào song song. Tìm số các tam giác tạo bởi các giao điểm của các đường thẳng trừ 3 điểm . Giải: Số các giao điểm nằm trên 1 đương thẳng xuất phát từ là . Số các giao điểm nằm trên 1 đương thẳng xuất phát từ là . Số các giao điểm nằm trên 1 đương thẳng xuất phát từ là . Tổng số giao điểm là: . Mỗi bộ 3 giao điểm không thẳng hàng sẽ tạo ra 1 tam giác. Số tam giác tạo ra là Bài 3: Cho tập có phần tử, tập có phần tử. Có bao nhiêu: Ánh xạ . Đơn ánh khi . Toàn ánh khi . Giải: Mỗi phần tử của có cách chọn phần tử tương ứng trong làm ảnh. Do X có phần tử số ánh xạ là cách. Để là đơn ánh thì 2 phần tử khác nhau bất kỳ của sẽ tương ứng 2 ảnh là 2 phần tử khác nhau thuộc . Do đó ban đầu ta chọn phần tử từ phần tử từ làm ảnh cho các phần tử của có cách. Sắp xếp phần tử của vào phần tử của đã chọn có cách. Số đơn ánh =. Khi và là toàn ánh thì là song ánh. Số song ánh là . Tổng quát: Với thì số toàn ánh từ vào được tìm như sau: Ta chọn phần tử có thứ tự của làm tạo ảnh cho phần tử của có cách chọn. Khi đó trong còn phần tử, mỗi phần tử này có cách chọn ảnh. Có số toàn ánh. Bài 4: Tìm số đa thức bất khả quy bậc 3 trên . Giải: . Xét các đa thức đơn hệ bậc 3 có dạng: . Có 5.5.5=125 đa thức. Nếu khả quy thì có dạng: * có đa thức. * có đa thức. * có 5 đa thức. *, ( là đa thức đơn hệ bậc hai bất khả quy trong ). Ta đi tìm số đa thức bất khả quy trong . Số đa thức dạng trong là 5.5=25. Nếu khả quy thì có dạng: có đa thức. có 5 đa thức. Số đa thức đơn hệ bậc hai bất khả quy trong là đa thức. Số đa thức là 5.10=50. Vậy số đa thức đơn hệ bậc 3 bất khả quy trên là: Số đa thức bất khả quy bậc 3 trong là: 4.50=200 đa thức. Tổng quát: Tìm số đa thức bất khả quy bậc 3 trong ( là số nguyên tố). Giải: Số đa thức đơn hệ bậc hai bất khả quy trên là: . Số đa thức đơn hệ bất khả quy bậc ba trên là: =). Số đa thức bất khả quy bậc ba trên là . Bài tập tự giải Bài 1: Cho tập hợp ={1, 2, …, 2012}. a) Có bao nhiêu số chia hết cho ít nhất một trong các số 2, 3, 5, 7. b) Có bao nhiêu cách chọn ra số mà có 2 số liên tiếp. Bài 2: Trong mặt phẳng cho đa giác đều có 20 cạnh. Xét các tam giác có 3 đỉnh là các đỉnh của đa giác . a) Có tất cả bao nhiêu tam giác có đúng 2 cạnh là cạnh đa giác. b) Có tất cả bao nhiêu tam giác có đúng 1 cạnh là cạnh đa giác, không có cạnh nào là cạnh của đa giác. c) Giả sử không có 3 đường chéo nào đồng quy. Hỏi có bao nhiêu giao điểm giữa các đường chéo. Bài 3: Trong cuộc thi cờ vua có người tham dự. mỗi người chơi đúng một bàn cờ với một người khác. CMR có cách sắp đặt. Bài 4: Một đoàn người gồm người xuất phát từ điểm O, một nửa đi về hướng Đông, một nửa đi về hướng Tây. Mỗi nhóm mỗi khi gặp giao lộ lại tách làm đôi. Cứ tiếp tục như vậy. Hỏi có bao nhiêu người đến mỗi giao lộ ở hàng thứ 1000. 2.5. Một số bài toán về chỉnh hợp có lặp, hoán vị có lặp, tổ hợp có lặp. 2.5.1. Bài toán về chỉnh hợp có lặp. Bài 1: Cho . Gọi là số các toàn ánh từ lên . Chứng minh: . Giải: Ta có tổng số ánh xạ từ vào là . Một ánh xạ bất kỳ với có phần tử là một toàn ánh từ lên . Chọn phần tử có cách. Số toàn ánh từ lên tập phần tử đó là . Số ánh xạ là toàn ánh từ lên có phần tử là . Vậy tổng số ánh xạ từ lên là: . . Tổng quát: Cho 1. Gọi là số các toàn ánh từ lên Chứng minh: . Giải: Ta có tổng số ánh xạ từ lên là . Một ánh xạ bất kỳ với có phần tử là một toàn ánh từ lên . Chọn phần tử từ tập có cách và số toàn ánh toàn ánh lên tập phần tử đó là . Số ánh xạ là toán ánh từ lên có phần tử là . hay . Bài 2: Cho là số nguyên tố khác nhau. Xét , khi ta bố trí các dấu ngoặc ( ) theo các cách khác nhau ta sẽ nhận được bao nhiêu số khác nhau. Giải: Với ta có số là Với ta có số là : và Ta sẽ chứng minh có số khác nhau. Giả sử điều này đúng với . Ta đi chứng minh nó đúng với . Ta thấy một sự phân bố dấu ngoặc khác nhau sẽ cho ta một số dạng R= , trong đó các thỏa mãn: Như vậy các có thể xuất hiện trên tử hoặc xuất hiện dưới mẫu của phân số . Hay ta đi chọn vị trí cho các phần tử . có 2 cách chọn, … có 2 cách chọn. Vậy có cách chọn vị trí cho để tạo ra các phân số khác nhau. Có phân số. Bài 3: Xét mọi bộ số , với , Đặt . Tính tổng tất cả các lấy theo tất cả các bộ . Giải: Ta không xét các bộ chứa 0 vì không tham gia vào tổng . Trong bộ các số trừ đi các bộ số còn lại bộ chứa số 1 ứng với và có tổng là . Trong các bộ số trừ đi các bộ số còn lại bộ chứa số 2 là số nhỏ nhất ứng với và có tổng là 2[]. … Vậy tổng tất cả các m(b) là: Bài tập tự giải Bài 1: Một bàn cờ hình chữ nhật chứa n cột và p dòng. a) Có bao nhiêu cách đặt vật giống nhau vào ô của bàn cờ sao cho không có hai vật nào ở trong cùng một cột. b) Cũng câu hỏi trên trong trường hợp vật là khác nhau. Bài 2: Có số nguyên tố khác nhau. Tính số ước số của biểu thức . Bài 3: Có vật trong đó có vật loại I giống nhau, vật loại II giống nhau, vật còn lại đều khác nhau. Tính số tất cả các tổ hợp có thể có được. Bài 4: Từ bảng chữ cái mooc-xo gồm 2 kí hiệu là dấu chấm và dấu gạch ngang. Từ bảng chữ cái đó có thể lập được bao nhiêu từ chứa không nhiều hơn 5 chữ cái? 2.5.2. Bài toán hoán vị có lặp Phương pháp: Áp dụng trực tiếp công thức của hoán lặp. Khi chứng minh một hệ thức có sự xuất hiện của ta xét a phần tử thuộc một loại và phần tử thuộc một loại nào đó để cụ thể hóa ý nghĩa của hệ thức phải chứng minh. Bài 1: Chứng minh định lý số học: ‘Tích của n số tự nhiên liên tiếp chia hết cho ’. Giải: Ta giả sử n số tự nhiên liên tiếp là. Đặt . Xét số 1 và số 2, khi đó số hoán vị lặp của số là: là số nguyên. chia hết cho . Bài 2: Có n người trong thang máy của một ngôi nhà 10 tầng. Họ đi ra theo 3 nhóm: a người ở nhóm 1, b người ở nhóm 2, c người ở nhóm 3, với . Hỏi có bao nhiêu cách thực hiện nếu ở mỗi tầng chỉ có một nhóm đi ra và thứ tự đi ra của những người trong cùng một nhóm là không có ý nghĩa. Giải: Bước 1: Ta chia n người thành 3 nhóm theo số lượng lần lượt là a, b, c có cách. Bước 2: Chọn 3 tầng trong 10 tầng và phân phối các tầng đó cho 3 nhóm trên có cách. Số cách thực hiện thỏa mãn đề bài là cách. Bài 3: Có bao nhiêu số có 8 chữ số trong đó số 1 lặp lại 3 lần, số 2 lặp lại 2 lần, còn các chữ số khác có mặt đúng một lần được lập từ tập A={0, 1, …,9}. Giải: Tất cả các số có 8 chữ số trong đó số 1 lặp lại 3 lần, số 2 lặp lại 2 lần, còn các chữ số khác có mặt đúng một lần được lập từ (a,b,c,1,1,1,1,2,2) là số. Chọn 3 số a, b, c từ A\{1, 2} có cách. Có .3360=188160 số kể cả số 0 đứng đầu. Ta xét trường hợp số 0 đứng đầu: Chọn 2 số trong A\{0, 1, 2} có cách. Trong trường hợp số 0 đứng đầu có số. Có số. Bài tập tự giải Bài 1: Có bao nhiêu cách phân chia 10 người thành 3 nhóm trong đó nhóm 1 có 2 người, nhóm 2 có 3 người, nhóm 3 có 5 người. Bài 2: Có bao nhiêu cách phân bố 6 đồ vật khác nhau cho 6 người (không phân biệt thứ tự các đồ vật mà mỗi người nhận được) sao cho các điều kiện sau thỏa mãn: Người thứ nhất nhận được 1 đồ vật, người thứ hai nhận được 2 đồ vật, người thứ ba nhận được 3 đồ vật, người thứ tư nhận được 1 đồ vật. Hai người còn lại không nhận được đồ vật nào. Bài 3: Có bao nhiêu số có 6 chữ số trong đó số 1 xuất hiện 2 lần, và chữ số hàng nghìn là số chẵn lập từ . Bài 4: Có bao nhiêu số tạo ra từ tất cả các chữ số của số 1234321 sao cho các chữ số lẻ luôn chiếm hàng lẻ. 2.5.3. Bài toán tổ hợp có lặp. Đối với các bài toán đếm mà một phần tử hoặc nhiều phần tử có thể xuất hiện nhiều lần và thứ tự các phần tử không cần để ý ta thường sử dụng tổ hợp lặp. Chú ý công thức . Bài 1: Phương trình (1) có bao nhiêu nghiệm tự nhiên. Giải: Nếu () là một nghiệm tự nhiên của phương trình (1) thì ta có thể cho ứng với nó một tổ hợp lặp chập n của m phần tử . Đảo lại nếu có một tổ hợp lặp chập n của m phần tử kiểu () thì ta timg được nghiệm tự nhiên của phương trình đã cho bằng cánh đặt , với . Vậy số nghiệm tự nhiên của (1) là . Bài 2: Một xe đưa công nhân từ xí nghiệp về nhà, xe dừng ở trạm ( tại mỗi trạm số công nhân xuống xe từ 0 đến người). Hỏi có bao nhiêu khả năng khác nhau để tất cả các công nhân xuống xe ở trạm. Giải: Ta giả sử trạm là và số người xuống tại mỗi trạm là . Mỗi cách giải phóng người ở trạm có thể biểu diễn bằng đơn thức với . Số khả năng khác nhau để tất cả các công nhân xuống là tổ hợp có lặp chập của phần tử . Có khả năng khác nhau để công nhân xuống xe. Bài 3: (Tổng quát bài 1) Tìm số nghiệm tự nhiên giải phương trình: (với ) (1) với , . Giải: Ta thấy một nghiệm của phương trình (1) thỏa mãn những điều kiện đã cho ứng với một cách chọn mười một phần tử trong đó phần tử loại một, phần tử loại hai, …, phần tử loại m. Trước tiên ta chọn phần tử loại một, phần tử loại hai,..., phần tử loại m. Sau đó chọn thêm () phần tử thuộc một trong loại. Như vậy có: . Bài 4: Có bao nhiêu số tự nhiên nhỏ hơn và cố tổng các chữ số bằng . Giải: Mỗi số có thể đồng nhất với một nghiệm của phương trình = . Ta có số. Bài tập áp dụng: Bài 1: (Đề thi đại học 2007) Có bao nhiêu bộ ba số nguyên không âm thỏa mãn điều kiện với . Bài 2: Tìm số nghiệm nguyên không âm của phương trình , thỏa mãn điều kiện . Bài 3: Tìm số cách xếp 30 viên bi giống nhau vào 5 hộp khác nhau sao cho hộp 1 có ít nhất 5 bi, biết rằng hộp 2 và hộp 3 không chứa quá 6 bi. 2.6. Các bài toán liên quan đến nhị thức 2.6.1. Bài toán khai triển đa thức Đây là bài toán cơ bản của toán tổ hợp, sử dụng nhị thức Newton với những biến đổi thích hợp để giải quyết yêu cầu bài toán. Công thức: . Bài 1: Cho P(x) =( tìm biết hệ số của hạng chứa là 495. Giải: = = . Ta có: Vậy . Bài 2: Khai triển . Giải: Xét Có . . Đặt . Bài 3: (Tổng quát bài 2) Khai triển đa thức: . Giải: Xét . Đặt Nhận xét: Bài toán 3 có hệ số của là khi cho biết hệ số của là ta hoàn toàn có thể tìm được bằng cách giải phương trình: . Bài 4: khai triển đa thức biết . Giải: . Hệ số là . Với thì các bội số (k, i, j) thỏa mãn là (0, 0, 0), (2, 1, 0), (3, 0, 1),… (1). Nếu vế trái của (1) lớn hơn 13 dùng phép thử thỏa mãn. Vậy n = 4. Bài tập tự giải: Bài 1: Khai triển biết . Bài 2: Thực hiện khai triển và so sánh 1,0…01 ( lần số 0) và 2. Bài 3: Thực hiện khai triển biết hệ số của là 42. Bài 4: Khai triển biết . . Bài toán về hệ số trong khai triển đa thức Bài toán tìm giá trị hệ số. Khi thực hiện các bài toán tìm hệ số ta cần chú ý: - Các hệ số của khai triển là n+1 số. Hệ số trong khai triển tổng đa thức là tổng các hệ số của , trong khai triển của tích là tổng các hệ số sau khi phân tích đầy đủ dạng . Đối với khai triển thì ta ghép nhóm thích hợp để chuyển về khai triển nhi thức. Định lý 1: thì . thỏa mãn và Hệ quả 1: Hệ số của trong khai triển là (với r+s+t+…=p) Hay Bài 1: tìm hệ số của trong khai triển. Giải: Áp dụng hệ quả 1 ta có hệ số của trong khai triển P(x) là: . Bộ thỏa mãn là: (2010, 1, 1), (2009, 3, 0). = 36657955920. Bài 2: Tìm hệ số không phụ thuộc vào của phương trình Giải: Hệ số không phụ thuộc vào là Với Trong đó . + . + không tồn tại bộ (m, n, t) thỏa mãn. + . Bài 3: Khai triển: . Tính hệ số . Tính , . CMR: chia hết cho 2012. Giải: a) . Hệ số với . Các bội số (i, j) thỏa mãn: (0, 2),(2, 1),(4, 0). . b) Có . ; c) Có mà . Bài 4: Cho . Tính hệ số . Giải: . Bài 5: Xác định hệ số của khai triển: . Giải: Hệ số là: = Bài tập tự giải: Bài 1: (ĐHTL-2000) Cho đa thức: . Có khai triển . Tính hệ số . Bài 2: (ĐHQGHN-B(2000)) Tìm hệ số của số hạng không chứa x trong khai triển của biểu thức . Bài 3: ( ĐHSPQN-A(2000)) Cho hàm số . Tìm hệ số của trong khai triển P(x). Bài 4: Tìm hệ số của và của khai triển . Bài 5: (Đề thi khối D- 2012) Cho khai triển : . Gọi là hệ số , tìm n để . 2.6.2.2. Bài toán tìm hệ số lớn nhất. Phương pháp: Bước 1: Tìm hệ số tổng quát của khai triển. Bước 2: Lập tỷ lệ và rút gọn. Bước 3: Cho (hoặc ) tìm nghiệm. Bước 4: Kết luận. Bài 1: Cho n>2 không đổi và . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của . và là hai số nguyên dương thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của . Giải: Vì nên ta cho . Xét : nhỏ nhất khi hoặc . Hay giá trị nhỏ nhất là . lớn nhất khi nếu là số lẻ và nếu chẵn. giá trị lớn nhất là . Ta có: . nhỏ nhất lớn nhất lớn nhất nhỏ nhất hoặc . Bài 2: (Mỹ, 74) Cho và . Tìm ước chung lớn nhất của các . Giải: Nhận xét: trường hợp đơn giản . Ta dự đoán . Thật vậy ta có: (theo Pascal). , . Ước chung d của cũng là ước của . Biến đổi tương tự d là ước . Tiếp tục quá trình ta có d là ước của . Bài 3: (Úc, 82) Cho . a) CMR: . b) Tìm sao cho: nhỏ nhất và là số nguyên với mọi số nguyên dương n ≥ m. Giải: a) nguyên dương. b) Ta đi chứng minh . Với ta phải có nguyên. Số nguyên dương nhỏ nhất là . Với thì: Nếu thì nguyên. Nếu thì Bài 4: Xác định sao cho khai triển nhị thức có hạng tử thứ 11 có hệ số lớn nhất. Giải: . Hệ số của hạng tử thứ 10, 11, 12 là , , . Để hạng tử thứ 11 có hệ số lớn nhất thì: . . Bài 5: Cho đa thức . Tìm . Giải: , . Xét , < . >. đạt giá trị lớn nhất tại hay . Tổng quát: P(x)=, tìm . Giải: . . Xét < . >. Nếu cùng dấu thì: * < * > Nếu nguyên thì hoặc . Nếu không nguyên thì . Nếu trái dấu thì: * < * > Nếu k= nguyên thì hoặc . Nếu k= không nguyên thì , hoặc . Bài tập tự giải: Bài 1: Khai triển . Tìm . Bài 2: Tìm hệ số lớn nhất trong các hệ số khi khai triển , biết tổng hệ số 3 hạng tử đầu là . Bài 3: Tìm hệ số trong khai triển . Xét các trường hợp m<k và mk. Bài 4: Sau khi khai triển và thì hệ số của của đa thức nào lớn hơn? Rút ra trường hợp tổng quát cho . 2.6.3. Bài toán tìm số hạng và số hạng có giá trị lớn nhất trong khai triển nhị thức Phương pháp: Bước 1: Dùng công thức nhị thức khai triển đa thức. Bước 2: Rút gọn số mũ của các ẩn. Bước 3: Dựa vào dữ kiện bài cho tìm số hạng thỏa mãn điều kiện. Chú ý: + Nếu số hạng tổng quát thì số hạng của tương ứng với . Số hạng không chứa ứng với . + Nếu số hạng tổng quát thì số hạng nguyên tương ứng với là các số tự nhiên,… Bài 1: Cho khai triển và tìm hạng tử của khai triển trên có giá trị tuyệt đối lớn nhất. Giải: =. Gọi là số hạng thứ của khai triển. . Tương tự : . Mà: . Hạng tử thứ 32 của khai triển có giá trị tuyệt đối lớn nhất. Bài 2: Tìm biết hạng tử thứ 6 của khai triển: là 84. Giải: Hạng tử thứ 6 của khai triển là: Theo bài ra: Vậy hoặc . Bài 3: Cho có 3 hệ số đầu lập thành một cấp số cộng. Tìm tất cả các số hạng trong đó lũy thừa của có số mũ tự nhiên. Giải: Có . , , . Do hệ số 1, lập thành cấp số cộng nên: (do . + Với có . Do và . Hay số hạng thỏa mãn điều kiện. + Với có . Do và và thỏa mãn điều kiện. Kết luận: thì , thì , . Bài 4: Tìm số hạng có giá trị lớn nhất của khai triển: biết rằng Giải: Gọi là số hạng thứ của khai triển là . Xét . Tương tự . đạt giá trị lớn nhất bằng số nguyên thỏa mãn: . Nếu là số nguyên thì . Tức là có hai số hạng có giá trị lớn nhất là và . Bài tập tự giải: Bài 1: Tìm số hạng thứ năm trong khai triển . Nếu số hạng cuối cùng của khai triển là:. Bài 2: Tìm hạng tử của khai triển có giá trị tuyệt đối lớn nhất cho biết . Bài 3: Tìm giá trị tuyệt đối của sao cho khai triển có tổng các hạng tử thứ ba và năm là 135 và tổng hệ số ba hạng tử cuối là 22. Bài 4: Tìm số hạng lớn nhất trong khai triển . Hướng dẫn : ta chỉ cần tìm số hạng lớn nhất của khai triển . 2.6.4. Bài toán chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức tổ hợp Ở trong phần 2.1. và 2.2. ta đã giải quyết 1 số bài toán chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức tổ hợp. Trong phần này ta đi giải quyết một số bài tập cơ bản khác sử dụng công thức nhị thức Newton. Phương pháp: + Dùng công thức, bất dẳng thức cơ bản. + Dùng quy nạp. + Dùng tính đơn điệu của dãy số. Bài 1: Cho 2 số dương thỏa mãn . CMR , . Giải: Đặt , (). Khi đó: Bài 2: CMR: Với mọi thì Giải: + có . + Giả sử bất đẳng thức đúng với + Với có Bất đẳng thức đúng với . thì Bài 3: Chứng minh bất đẳng thức Becnuli. Với số dương và với mọi ta có . Giải: Có . Vì theo giả thuyết tất cả các số hạng của đẳng thức trên đều dương. Do n>1khai triển có ít nhất ba số hạng . Tức là , . Bài tập tự giải Bài 1: CMR (). Bài 2: CMR . Bài 3: Cho dãy số thực a) Chứng minh là dãy giảm. b) Chứng minh . Bài 4: Cho m, n nguyên dương thỏa mãn . CMR: . KẾT LUẬN Trong quá trình làm khóa luận em nhận thấy toán tổ hợp có vẻ đẹp riêng, em cũng hiểu sâu hơn về nó và đã hệ thống và xây dựng được một số bài toán hay và khó. Các kết quả của khóa luận là: Hệ thống đầy đủ cơ sở lý thuyết để giải các bài toán đại số tổ hợp bao gồm lý thuyết về tập hợp và lý thuyết về tổ hợp. Phân dạng và hệ thống một cách khá công phu các bài toán hay và khó của đại số tổ hợp. Đặc biệt khóa luận đã sáng tạo và tổng quát một số bài toán để thu được các bài toán mới phức tạp hơn. Khóa luận là một nghiên cứu cơ bản về toán tổ hợp. Em mong muốn rằng kết quả của khóa luận sẽ góp một phần nhỏ vào kho tàng kiến thức toán tổ hợp. Khóa luận là một tài liệu bổ ích cho công tác giảng dạy và học tập, ngoài ra khóa luận không chỉ dừng lại ở việc cung cấp các bài toán hay mà còn mang đến cho người học cách thức, tư duy để xây dựng các bài toán mới vì vậy nó còn là tài liệu tham khảo rất tốt cho những ai yêu thích tổ hợp và có lòng say mê tìm tòi, sáng tạo. Trong quá trình nghiên cứu khóa luận do thời gian hạn chế nên trong thời gian tiếp theo sau khi hoàn thành khóa luận, em vẫn tiếp tục nghiên cứu sâu hơn về tổ hợp để tổng hợp các phương pháp, kỹ năng giải và có một hệ thống bài tập hay, đa dạng hơn. Em rất mong được sự giúp đỡ nhiều hơn nữa của các thầy cô và các bạn. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1]. Trần Thị Vân Anh, Hướng dẫn giải các dạng bài tập từ các đề thi quốc gia môn toán, Nhà xuất bản Đại học quốc gia Hà Nội (2010). [2]. Lê Hồng Đức – Nhóm cự môn, Bài giảng chuyên sâu toán thpt giải toán đại số và giải tích 11, Nhà xuất bản Hà Nội (2007). [3]. Nguyễn Văn Cơ, Giới thiệu đề thi tuyển sinh vào đại học và cao đẳng năm học 2001-2002 đến năm học 2005-2006 môn toán, Nhà xuất bản Đại học sư phạm (2005). [4]. Trần Văn Hạo - Vũ Tuấn - Đào Ngọc Lam - Lê Văn Tiến - Vũ Viết Yên, Đại số và giải tích 11,Nhà xuất bản giáo dục (2008). [5]. Ngô Long Hậu-Trần Thanh Phong-Nguyễn Đình Thọ, Giới thiệu đề thi tuyển sinh vào đại học - cao đẳng toàn quốc từ 2002 – 2003 đến năm 2011 – 2012, Nhà xuất bản Hà Nội (2011). [6]. Ngô Thúc Lanh, Tìm hiểu đại số tổ hợp phổ thông, Nhà xuất bản giáo dục (1998). [7]. Hoàng Văn Minh – Nguyễn Tuấn Quế, Bộ đề ôn luyện thi toán, Nhà xuất bản Đại hoc sư phạm (2011). [8]. Hoàng Văn Minh-Nguyễn Đức Tiến, Phương pháp ôn luyện thi đại học cao đẳng môn toán theo chủ đề-chủ đề tổ hợp và xác suất, Nhà xuất bản Đại học sư phạm (2010). [9]. Vũ Trí – Trần Hà, Tuyển tập 39 đề thi thử thi tuyển sinh vào các trường đại học – cao đẳng môn toán, Nhà xuất bản Hà Nội (2011). BẢNG CÁC KÝ HIỆU VIẾT TẮT Các ký hiệu trong khóa luận là các ký hiệu thông dụng được dùng trong sách giáo khoa: là số các chỉnh hợp chập của phần tử. là số các chỉnh hợp có lặp của phần tử. là số các tổ hợp chập của phần tử. là số các tổ hợp có lặp của phần tử. CMR: Chứng minh rằng. CT: Công thức. : phần nguyên của n. là số các hoán vị có lặp của phần tử. là số các hoán vị của phần tử. : Điều phải chứng minh. Trong khóa luận nếu không có điều kiện của thì ta hiểu chúng thuộc . MỤC LỤC TRANG Lời mở đầu 1 Chương 1: Cơ sở lý thuyết về tổ hợp 3 1.1. Nhắc lại về tập hợp 3 1.2. Quy tắc cộng và quy tắc nhân 4 1.2.1. Quy tắc cộng 4 1.2.2. Quy tắc nhân 5 1.3. Giai thừa và hoán vị 5 1.4. Chỉnh hợp 6 1.5. Tổ hợp 6 1.6. Chỉnh hợp có lặp, hoán vị có lặp và tổ hợp có lặp 7 1.6.1. Chỉnh hợp có lặp 7 1.6.2. Hoán vị có lặp 7 1.6.3. Tổ hợp có lặp 7 1.7. Nhị thức Newton 8 1.7.1. Nhị thức Newton 8 1.7.2. Tam giác Pascal 8 Chương 2: Các dạng toán đại số tổ hợp 9 2.1. Bài toán tính toán, chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức 9 2.2. Bài toán tính tổng 12 2.2.1. Sử dụng công thức 13 2.2.2. Sử dụng khai triển nhị thức Newton 19 2.2.3. Sử dụng đạo hàm 23 2.2.4. Sử dụng tích phân xác định 27 2.3. Bài toán giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình 31 2.3.1. Giải phương trình 31 2.3.2. Giải bất phương trình 34 2.3.3. Giải hệ bất phương trình 36 2.4. Bài toán đếm 39 2.4.1. Bài toán lập số 40 2.4.2. Bài toán chọn vật, chọn người, sắp xếp 44 2.4.3. Các bài toán khác 48 2.5. Một số bài toán về chỉnh hợp có lặp, hoán vị có lặp, tổ có hợp lặp 52 2.5.1. Bài toán về chỉnh hợp có lặp 52 2.5.2. Bài toán hoán vị có lặp 55 2.5.3. Bài toán tổ hợp có lặp 57 2.6. Các bài toán liên quan đến nhị thức 60 2.6.1. Bài toán khai triển đa thức 60 2.6.2. Bài toán về hệ số trong khai triển đa thức 64 2.6.2.1. Bài toán tìm giá tri hệ số 64 2.6.2.2. Bài toán tìm hệ số lớn nhất 67 2.6.3. Bài toán tìm số hạng và số hạng có giá trị lớn nhất trong khai triển nhị thức 73 2.6.4. Bài toán chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức tổ hợp 77 Kết luận 80 Tài liệu tham khảo 81