Phương pháp bắn ngẫu nhiên định hướng giải một loại bài toán điều khiển ngẫu nhiên tổng hợp và ứng dụng

wi(T3)− pi(tk−T3)+σ ∫ tk T3 q ′ i(t)dt− k−1∑ j=k3 ξji (k = k3 +1÷k4 , i = 3÷ 1). (3) Với i = 1÷ 2, từ (3.1.6) và (1) ta thu được σ ∫ tk T1 xi+1(t)dt = k−1∑ j=k1 σ ∫ tj+1 tj xi+1(t)dt = k−1∑ j=k1 ξji+1 ≤ σx¯i+1 k−1∑ j=k1 |∆j|. − 32 − Hay là (xem (2.2.24*)): σ ∫ tk T1 xi+1(t)dt ≤ σx¯i+1(tk − T1) (k = k1 + 1÷ k3 , i = 2÷ 1). Khi đó, từ (2.1.30) ta suy ra σ ∫ tk T1 q ′ i(t)dt = σ ∫ tk T1 qi(t)dt + σ ∫ tk T1 xi+1(t)dt ≤ σ ∫ tk T1 qi(t)dt + σx¯i+1(tk − T1). Kết hợp điều này với (3.1.11) và (1) ta có −pi(tk − T1) + σ ∫ tk T1 q ′ i(t)dt− k−1∑ j=k1 ξji ≤ −P¯i(tk − T1) + σ ∫ tk T1 qi(t)dt (i = 2÷ 1). (4) Trong trường hợp i = 3, từ (3.1.11) và (2.1.30), (1) ta trực tiếp suy ra: −p3(tk−T1)+σ ∫ tk T1 q ′ 3(t)dt− k−1∑ j=k1 ξji ≤ −P¯3(tk−T1)+σ ∫ tk T1 q3(t)dt (k = k1+1÷k3). (4*) Dựa vào (2) và (4), (4*) ta có: wi(tk) ≤ woi − P¯i(tk − T1) + σ ∫ tk T1 qi(t)dt (k = k1 + 1÷ k3 , i = 3÷ 1). Do đó từ (3.1.12) ta thu được (3.1.12*). Để chứng minh (3.1.13*), trước hết ta dựa vào (3.1.6) và (1) để suy ra rằng σ ∫ tk T3 xi+1(t)dt = ∑k−1 j=k3 σ ∫ tj+1 tj xi+1(t)dt = ∑k−1 j=k3 ξji+1 ≥ σui+1(tk − T3) (k = k3 + 1÷ k4 , i = 2÷ 1). Khi đó, từ (2.1.30) ta có: σ ∫ tk T3 q ′ i(t)dt ≥ σ ∫ tk T3 qi(t)dt + σui+1(tk − T3) (k = k3 + 1÷ k4 , i = 2÷ 1). (5) Ngoài ra, từ (1) ta còn có: k−1∑ j=k3 ξji ≤ σx¯i k−1∑ j=k3 |∆j| = σx¯i(tk − T3) (k = k3 + 1÷ k4 , i = 3÷ 1). (6) Kết hợp điều này với (3), (5) và (3.1.11) ta suy ra wi(tk) ≥ wi(T3)− ( pi − σui+1 + σx¯i ) (tk − T3) + σ ∫ tk T3 qi(t)dt = = wi(T3)− P i(tk − T3) + σ ∫ tk T3 qi(t)dt (k = k3 + 1÷ k4 , i = 2÷ 1). (7) − 33 − Tương tự, từ (3), (6) và (3.1.11) ta còn có: w3(tk) ≥ w3(T3) + σ ∫ tk T3 q3(t)dt− P 3(tk − T3) (k = k3 + 1÷ k4). Kết hợp điều này với (7) ta thu được wi(tk) ≥ wi(T3) + σ ∫ tk T3 qi(t)dt− P i(tk − T3) (k = k3 + 1÷ k4 , i = 3÷ 1). Khi đó, từ (3.1.13) ta suy ra (3.1.13*).  Chú ý 3.1.1. Khi đối chiếu với các số liệu của các hàm qi(t) (t ∈ [T1, T4] , i = 1÷ 3) (cho trong [7]) và với các bộ tham số thiết kế khác nhau về x¯i, woi, wi, w¯i (cho trong [11]), ta nhận thấy rằng: các điều kiện (3.1.12) đều được thoả mãn ∀k = k1 + 1÷ k3; các điều kiện (3.1.13) đều được thoả mãn ∀k = k3 + 1÷ k4. Bởi vậy ta có thể dựa vào (3.1.12*) và (3.1.13*) để thu hẹp các điều kiện ε-chấp nhận được (2.2.32), dưới dạng: wi ≤ wi(tk) ≤ woi (∀k = k1 + 1÷ k3 , i = 1÷ 3) wi(T3) ≤ wi(tk) ≤ wi (∀k3 + 1÷ k4 , i = 1÷ 3). (3.1.14) Chú ý 3.1.2. Tương tự, từ các số liệu của các hàm qi(t) (t ∈ [0, T1]∪ [T4, T5] , i = 1÷3) và với các bộ tham số thiết kế khác nhau về x¯i, woi, wi, w¯i (cho trong [11]), ta có thể dựa vào công thức (3.1.4) để nhận thấy rằng: các điều kiện (2.2.34) đều được thoả mãn ∀k = 0÷ k1 , k = k4 + 1÷ k5. Do đó có thể thu hẹp các điều kiện này dưới dạng sau đây: ui ≤ xˆki ≤ xi (∀k = k5 + 1÷K ; i = 1÷ 3) . (3.1.15) Dựa vào các chú ý (3.1.1) và (3.1.2), nếu đặt: xk1 := q(hl) (k = k1 + 1÷ k2)u1 (k = k2 + 1÷ k3) ; xk1 := u1 (k = k1 + 1÷ k3) (3.1.16) xki := ui ; x k i := ui (k = k1 + 1÷ k3 , i = 2÷ 3) (3.1.16*) Ta có thể phát biểu lại các điều kiện (2.2.31) - (2.2.36) dưới dạng các điều kiện ε-chấp nhận được thu hẹp sau đây:xki ≤ xki ≤ xki (∀k = k1 + 1÷ k3 ; i = 3÷ 1)wi(ε) ≤ wi(tk) ≤ woi (∀k = k1 + 1÷ k3 , i = 3÷ 1). (3.1.17)ui ≤ xki ≤ xi (∀k = k3 + 1÷ k4 − 1 ; i = 3÷ 1)wi(T3) ≤ wi(tk) ≤ wi(ε) (∀k = k3 + 1÷ k4 − 1 , i = 3÷ 1). (3.1.18) − 34 − ui ≤ x k4 i ≤ xi , ui ≤ xˆki ≤ xi (∀k = k5 + 1÷K), wi(T3) ≤ wi(T4) ≤ wi(ε) (i = 3÷ 1) ; ∑3 i=1 [ wi − wi(T4) ]≥ V . (3.1.19) N ≤ 24[N (o)(x,w) + N (1)(xˆ) + N (2)(xˆ, w(T4)) + N (3)(xˆ, w(T4))] (3.1.20) 3∑ i=1 [ wi(tk)− wi ]≥ V (ε) (k = k1 + 1÷ k3). (3.1.21) Nhằm thiết lập thuật toán bắn ngẫu nhiên để xác định các tham số điều khiển X ∈Dε := { X ∈ R3×n : (3.1.17)− (3.1.21) } , (3.1.22) trước hết ta dựa vào (2.1.30) để suy ra rằng: Qki = Q k i (x k i+1, x k+1 i+1 ) := ∫ tk+1 tk q ′ i(t)dt = ∫ tk+1 tk qi(t)dt + 1{1,2}(i) |∆k| 2 (xki+1 + x k+1 i+1 ), (3.1.22*) trong đó (xem (2.1.18)): 1{ 1 , 2 }(i) = 1 nếu i = 30 nếu i = 1÷ 2. Cùng với hàm Qki (theo các tham số điều khiển x k i+1, x k+1 i+1 ), ta còn đưa ra các hàm wk+1i , w k+1 i (theo trạng thái wi(tk) và các tham số điều khiển x k i+1, x k+1 i+1 , x k i ) dưới đây: wk+1i := max { wi(ε) , wi(tk) + σQ k i (x k i+1, x k+1 i+1 )− |∆k| [ pi + σ 2 (xki + x k+1 i ) ]} wk+1i := min { woi , wi(tk) + σQ k i (x k i+1, x k+1 i+1 )− |∆k| [ pi + σ 2 (xki + x k+1 i ) ]} (i = 3÷ 1 ; k = k1 ÷ k3 − 1), (3.1.23) wk+1i := max { wi(T3) , wi(tk) + σQ k i (x k i+1, x k+1 i+1 )− |∆k| [ pi + σ 2 (xki + xi) ]} wk+1i := min { wi(ε) , wi(tk) + σQ k i (x k i+1, x k+1 i+1 )− |∆k| [ pi + σ 2 (xki + ui) ]} (i = 3÷ 1 ; k = k3 ÷ k4 − 2), (3.1.24) wk4i := max { wi(T3) , wi(tk4−1) + σQ k4−1 i (x k4−1 i+1 , x k4 i+1)− |∆k4−1| [ pi + σ 2 (xk4−1i + xi) ] , woi + σ(T − T5) [ ui − qˆ ′ i(max) + σ −1pi ]} ; (3.1.25) − 35 − qˆ ′ i(max) := maxk5≤k≤K { qˆ ′ i(tk) } (i = 3÷ 1) wk4i := min { wi(ε) , wi(tk4−1) + σQ k4−1 i (x k4−1 i+1 , x k4 i+1)− |∆k4−1| [ pi + σ 2 (xk4−1i + ui) ] , woi + σ(T − T5) [ xi − qˆ′i(min) + σ−1pi ]} ; (3.1.25*) qˆ ′ i(min) := mink5≤k≤K { qˆ ′ i(tk) } (i = 3÷ 1). Khi đó ta có: Bổ đề 3.1.4. Nếu hệ động lực có dạng (3.1.2) thì ta có thể xác định các tham số điều khiển theo công thức truy hồi: xk+1i = 2 [ wi(tk)− wi(tk+1) ] σ|∆k| + 2 |∆k|Q k i (x k i+1, x k+1 i+1 )− (2pi σ + xki ) (i = 3÷ 1 ; k = k1 + 1÷ k4), (3.1.26) với xk1i (i = 3÷ 1) xác định theo (3.1.10*) và thu được các kết luận sau: 1- Các điều kiện (3.1.17) tương đương với các điều kiện: wki ≤ wi(tk) ≤ wki (∀k = k1 + 1÷ k3 , i = 3÷ 1). (3.1.27) 2- Các điều kiện (3.1.18) tương đương với các điều kiện: wki ≤ wi(tk) ≤ wki (∀k = k3 + 1÷ k4 − 1 , i = 3÷ 1). (3.1.28) 3- Các điều kiện (3.1.19) tương đương với các điều kiện: wk4i ≤ wi(T4) ≤ wk4i (∀i = 3÷ 1) ; 3∑ i=1 wi(T4) ≤ 3∑ i=1 wi − V . (3.1.29) Chứng minh: Khi tích phân phương trình (3.1.2) trên ∆k = [tk, tk+1) và dựa trên (3.1.6), ta có wi(tk+1) = wi(tk)− pi|∆k|+ σ ∫ tk+1 tk q ′ i(t)dt− ξki (k = k1 + 1÷ k4 , i = 3÷ 1). Hay là (xem (3.1.10)) wi(tk+1) = wi(tk)−pi|∆k|+σ ∫ tk+1 tk q ′ i(t)dt− σ|∆k| 2 (xki +x k+1 i ) (k = k1+1÷k4, i = 3÷1). (1) − 36 − Khi đó từ (3.1.22*) ta thu được (3.1.26). Hiển nhiên là các điều kiện (3.1.17) có thể lần lượt biểu diễn dưới dạng: xk+1i ≤ xk+1i ≤ xk+1i (∀k = k1 ÷ k3 − 1, i = 3÷ 1). (2) wi(ε) ≤ wi(tk+1) ≤ woi (∀k = k1 ÷ k3 − 1, i = 3÷ 1). (3) Dựa trên (1) ta dễ dàng nhận thấy rằng: các điều kiện (2) tương đương với các điều kiện (2*) dưới đây: wi(tk) + σ ∫ tk+1 tk q ′ i(t)dt− |∆k| [ pi + σ 2 (xki + x k+1 i ) ]≤ wi(tk+1) ≤ ≤ wi(tk)− |∆k|+ σ ∫ tk+1 tk q ′ i(t)dt− |∆k| [ pi + σ 2 (xki + x k+1 i ) ] (2*) (∀k = k1 ÷ k3 − 1, i = 3÷ 1) Từ (3.1.22*) và (3.1.23) ta lại thu được sự tương đương giữa các điều kiện (2*), (3) với điều kiện dạng (3.1.27) dưới đây: wk+1i ≤ wi(tk+1) ≤ wk+1i (∀k = k1 ÷ k3 − 1 , i = 3÷ 1). Khi đó, kết luận 1 được chứng minh. Tương tự như khi chứng minh sự tương đương giữa các điều kiện (2) và (2*), bằng cách dựa vào (1) ta dễ dàng thu được: ui ≤ xk+1i ≤ xi ⇐⇒ wi(tk) + σ ∫ tk+1 tk q ′ i(t)dt− |∆k| [ pi + σ 2 (xki + xi) ]≤ wi(tk+1) ≤ ≤ wi(tk) + σ ∫ tk+1 tk q ′ i(t)dt− |∆k| [ pi + σ 2 (xki + ui) ] (∀k = k3 ÷ k4 − 1, i = 3÷ 1) Khi đó từ (3.1.22*) và (3.1.24) ta cũng chứng minh được kết luận 2 bằng cách tương tự như trường hợp trên. Nhằm chứng minh kết luận 3, trước hết ta dựa vào (1) (với k = k4 − 1) để thu được: ui ≤ xk4i ≤ xi ⇐⇒ wi(tk4−1) + σ ∫ T4 tk4−1 q ′ i(t)dt− |∆k4−1| [ pi + σ 2 (xk4−1i + xi) ]≤ ≤ wi(T4) ≤ wi(tk4−1) + σ ∫ T4 tk4−1 q ′ i(t)dt− |∆k4−1| [ pi + σ 2 (xk4−1i + ui) ] (4) (∀i = 3÷ 1) − 37 − Mặt khác, từ (3.1.5) ta còn có: wi(T4) = woi + σ(T − T5) [ xˆki + σ −1pi − qˆ′i(tk) ] (∀k = k5 + 1÷K , i = 3÷ 1). Do đó: ui ≤ xˆki ≤ xi ⇐⇒ woi + σ(T − T5) [ ui + σ −1pi − qˆ′i(tk) ]≤ wi(T4) ≤ ≤ woi + σ(T − T5) [ xi + σ −1pi − qˆ′i(tk) ] , (∀k = k5 ÷K, i = 3÷ 1) (5) Vì qˆ ′ i(min) := min k5≤k≤K { qˆ ′ i(tk) } ; qˆ ′ i(max) := max k5≤k≤K { qˆ ′ i(tk) } (i = 3÷ 1) (xem (3.1.25), (3.1.25*)), nên: qˆ ′ i(min) ≤ qˆ ′ i(tk) ≤ qˆ ′ i(max) (∀k = k5 ÷K , i = 3÷ 1). Khi đó, từ (5) ta suy ra: ui ≤ xˆki ≤ xi (∀k = k5 ÷K) ⇐⇒ woi + σ(T − T5) [ ui + σ −1pi − qˆ′i(max) ]≤ ≤ wi(T4) ≤ woi + σ(T − T5) [ xi + σ −1pi − qˆ′i(min) ] , (i = 3÷ 1) Khi đó, từ (4), (3.1.22*) và (3.1.25), (3.1.25*) ta thu được ui ≤ xk4i ≤ xi ; ui ≤ xˆki ≤ xi (∀k = k5 ÷K) ; wi(T3) ≤ wi(T4) ≤ wi(ε) ⇐⇒ wk4i ≤ wi(T4) ≤ wk4i (∀i = 3÷ 1). Nghĩa là kết luận 3 được chứng minh.  Dựa vào các kết quả trên, ta xây dựng phương pháp bắn ngẫu nhiên định hướng để giải bài toán QTVHHLKT hệ thống thuỷ điện 3 bậc thang trên sông Đà. 3.2. Thuật toán bắn ngẫu nhiên định hướng đối với xấp xỉ vế phải của hệ động lực Để xây dựng thuật toán, trước hết ta ký hiệu: Ski := { (ξk1i , ..., ξ k3−1 i ) : a k−1 i ≤ ξk−1i ≤ ak−1i , bki ≤ k−1∑ j=k1 ξji ≤ cki } (k = k1+1÷k3), (3.2.1) ∆ (1) i := { (ξk1i , ..., ξ k3−1 i ) : k3−1∑ k=k1 (ξki − aki ) ≤ d(1)i ; ξki ≥ aki (k = k1 ÷ k3 − 1) } (3.2.2) (i = 1÷ 3) − 38 − d (1) i := c k3 i − k3−1∑ k=k1 aki ; c k i := woi − wi(ε) + bki ; bki := −pi(tk − T1) + k−1∑ j=k1 qji (3.2.3) (k = k1 + 1÷ k3 , i = 1÷ 3) aki := σ|∆k| 2 (xki + x k+1 i ) ; a k i := σ|∆k| 2 (xki + x k+1 i ) ; a k i := σ|∆k| 2 (xki + x k+1 i ) (3.2.3*) (k = k1 ÷ k3 − 1 , i = 1÷ 3) qki := σ ∫ tk+1 tk q3(t)dt (i = 3) σ ∫ tk+1 tk qi(t)dt + ξ k i+1 (i = 2÷ 1) (k = k1 ÷ k4 − 1). (3.2.4) Khi đó ta có: Bổ đề 3.2.1. Nếu hệ động lực có dạng (3.1.2) và nếu với mỗi i = 3 ÷ 1, các hàm aki = a k i (x k i ) ; a k i = a k i (x k i ) (k = k1 + 1 ÷ k3) xác định trong (3.2.3*) theo các tham số điều khiển xki (trong đó x k i được xác định theo các biến điều khiển mới ξ k−1 i từ công thức truy hồi (3.1.10)), thì các điều kiện (3.1.17) tương đương với các điều kiện (3.2.5) sau đây: (ξk1i , ..., ξ k3−1 i ) ∈ S(1)i (ε) := k3⋂ k=k1+1 Ski ⊂ ∆(1)i (i = 3÷ 1). (3.2.5) Trong đó điều kiện wi(ε) ≤ wi(tk3) = wi(T3) trong (3.1.17), nếu được hiểu theo nghĩa chặt hơn: wi(ε) < wi(T3)) thì ta có d (1) i > 0. Chứng minh: Từ (3.1.10) ta suy ra: ξk−1i = σ|∆k−1| 2 (xk−1i + x k i ) (k = k1 + 1÷ k4 , i = 3÷ 1). (3.2.5*) Khi đó từ (3.2.3*) ta có: xki ≤ xki ≤ xki ⇐⇒ ak−1i = σ|∆k−1| 2 (xk−1i + x k i ) ≤ ξk−1i ≤ σ|∆k−1| 2 (xk−1i + x k i ) = a k−1 i (∀k = k1 + 1÷ k3 ; i = 3÷ 1). (1) Mặt khác, khi sử dụng (3.1.8) với j = k − k1 ta có: wi(tk) = woi−pi(tk−T1)+ k−1∑ j=k1 σ ∫ tj+1 tj q ′ i(t)dt− k−1∑ j=k1 ξji (k = k1+1÷k3 , i = 3÷1). (2) − 39 − Từ (2.1.30) ta còn có: σ ∫ tj+1 tj q ′ i(t)dt = σ ∫ tj+1 tj q3(t)dt (i = 3) σ ∫ tj+1 tj qi(t)dt + σ ∫ tj+1 tj xi+1(t)dt (i = 2÷ 1) (j = k1 + 1÷ k4). Bởi vậy, từ (3.1.6) và (3.2.4) ta suy ra: σ ∫ tj+1 tj q ′ i(t)dt = q j i (j = k1 + 1÷ k4 , i = 1÷ 3). (3.2.6) Kết hợp điều này với (3.2.3) ta có thể biểu diễn (2) dưới dạng: wi(tk) = woi + b k i − k−1∑ j=k1 ξji (k = k1 + 1÷ k3 , i = 3÷ 1). (3) Khi đó, do cki := woi − wi(ε) + bki (xem (3.2.3)) nên ta có: wi(ε) ≤ wi(tk) ≤ woi ⇐⇒ bki ≤ k−1∑ j=k1 ξji ≤ cki (∀k = k1 + 1÷ k3 ; i = 3÷ 1). (4) Từ (1), (4) và (3.2.1) ta suy ra rằng: Các điều kiện (3.1.17) ⇐⇒ (ξk1i , ..., ξk3−1i ) ∈ k3⋂ k=k1+1 Ski (i = 3÷ 1). (5) Vì d (1) i − ck3i = − ∑k3−1 k=k1 aki (xem (3.2.3)), nên: k3−1∑ k=k1 ξki ≤ ck3i =⇒ k3−1∑ k=k1 (ξki − aki ) ≤ ck3i + (d(1)i − ck3i ) = d(1)i (i = 1÷ 3). (6) Ngoài ra, do ak−1i = σ|∆k−1| 2 (xk−1i + x k i ) ≥ ak−1i := σ|∆k−1| 2 (xk−1i + x k i ) (∀xk−1i ≥ xk−1i ) (xem (3.2.3*)), nên ak−1i ≤ ξk−1i (∀k = k1 + 1÷ k3) =⇒ ξki ≥ aki (∀k = k1 ÷ k3 − 1). Khi đó, từ (6) và (3.2.1), (3.2.2) ta dễ dàng suy ra: k3⋂ k=k1+1 Ski = { (ξk1i , ..., ξ k3−1 i ) : a k−1 i ≤ ξk−1i ≤ ak−1i , bki ≤ k−1∑ j=k1 ξji ≤ cki (k = k1+1÷k3) } ⊂ { (ξk1i , ..., ξ k3−1 i ) : k3−1∑ k=k1 (ξki −aki ) ≤ d(1)i ; ξki ≥ aki (k = k1÷k3−1) } = ∆ (1) i (i = 1÷3). − 40 − Kết hợp điều này với (5) ta thu được sự tương đương giữa các điều kiện (3.1.17) và (3.2.5). Cuối cùng, từ (3.2.3) ta dễ dàng nhận thấy rằng: d (1) i = woi − wi(ε)− pi(tk3 − T1) + k3−1∑ j=k1 qji − k3−1∑ j=k1 aji = woi − wi(ε) + bk3i − k3−1∑ j=k1 aji . Khi đó, do xk+1i ≥ xk+1i , xki ≥ xki (xem (3.1.17)), nên từ (3.2.3*) và (3.2.5*) ta có: d (1) i = woi − wi(ε) + bk3i − σ 2 k3−1∑ k=k1 |∆k|(xk+1i + xki ) ≥ ≥ woi − wi(ε) + bk3i − σ 2 k3−1∑ k=k1 |∆k|(xk+1i + xki ) = woi − wi(ε) + bk3i − k3−1∑ k=k1 ξki . Kết hợp điều này với (3) và giả thiết wi(tk3) > wi(ε) ta suy ra d (1) i ≥ wi(tk3)−wi(ε) > 0.  Chú ý 3.2.1. Từ (3.2.6) và công thức (2) trong chứng minh bổ đề trên, ta dễ dàng suy ra rằng: wi(tk) = f k i (woi; ξ k1 i , ..., ξ k3−1 i ) := woi − pi(tk − T1) + k−1∑ j=k1 qji − k−1∑ j=k1 ξji (3.2.6*) (k = k1 + 1÷ k3 , i = 3÷ 1) Chú ý 3.2.2. Trong số các điều kiện ε-chấp nhận được (3.1.17) - (3.1.21), để xét các dạng tương đương của các điều kiện (3.1.18) - (3.1.19) ta có thể biểu diễn chúng dưới dạng (3.2.7) - (3.2.8) dưới đây:ui ≤ xki ≤ xi (∀k = k3 + 1÷ k4 ; i = 3÷ 1)wi(T3) ≤ wi(tk) ≤ wi(ε) (∀k = k3 + 1÷ k4 − 1 , i = 3÷ 1). (3.2.7)ui ≤ xˆki ≤ xi (∀k = k5 + 1÷K),wi(T3) ≤ wi(T4) ≤ wi(ε) (i = 3÷ 1) ; ∑3i=1 wi(T4) ≤∑3i=1 wi − V . (3.2.8) Trong trường hợp các trạng thái wi(T3), wi(T4) (i = 1÷ 3) đã cho, để biểu diễn các điều kiện (3.2.7) theo các biến điều khiển ξki (k = k3 ÷ k4 − 1) ta đặt: Ski := { (ξk3i , ..., ξ k4−1 i ) : a k−1 i ≤ ξk−1i ≤ ak−1i , bki ≤ k−1∑ j=k3 ξji ≤ cki } (3.2.9) (k = k3 + 1÷ k4 − 1) − 41 − Sk4i := { (ξk3i , ..., ξ k4−1 i ) : a k4−1 i ≤ ξk4−1i ≤ ak4−1i , k4−1∑ j=k3 ξji = c k4 i } , (3.2.9*) ∆ (2) i := { (ξk3i , ..., ξ k4−1 i ) : k4−1∑ k=k3 (ξki − aki ) = d(2)i ; ξki ≥ aki (k = k3 ÷ k4 − 1) } (3.2.10) (i = 1÷ 3) d (2) i := c k4 i − ∑k4−1 k=k3 aki ; ck4i := wi(T3)− wi(T4)− pi(T4 − T3) + ∑k4−1 j=k3 qji ; cki := −pi(tk − T3) + ∑k−1 j=k3 qji ; b k i := wi(T3)− wi(ε) + cki (3.2.11) (k = k3 + 1÷ k4 − 1 , i = 1÷ 3) aki := σ|∆k| ui ; aki := σ|∆k| 2 (xki + xi) ; a k i := σ|∆k| 2 (xki + ui) (3.2.11*) (k = k3 ÷ k4 − 1 , i = 1÷ 3) Bổ đề 3.2.2. Nếu các trạng thái wi(T3) (i = 1÷ 3) xác định theo công thức: wi(T3) = f k3 i (woi; ξ k1 i , ..., ξ k3−1 i ) := woi − pi(T3 − T1) + k3−1∑ j=k1 qji − k3−1∑ j=k1 ξji (3.2.12) (i = 3÷ 1) trong đó các biến điều khiển ξki (k = k1÷ k3− 1) thoả mãn điều kiện (3.2.5), thì ứng với mỗi trạng thái (w1(T4), w2(T4), w3(T4)) các điều kiện (3.2.7) tương đương với các điều kiện (3.2.13) sau đây: (ξk3i , ..., ξ k4−1 i ) ∈ S(2)i (ε) := k4⋂ k=k3+1 Ski ⊂ ∆(2)i (i = 3÷ 1). (3.2.13) Trong trường hợp tồn tại 1 chỉ số k(i) ∈ {k3, ..., k4− 1} (∀i = 1÷ 3) thoả mãn điều kiện ui < x k(i) i (chặt hơn điều kiện tương ứng trong (3.2.7)), ta luôn có d (2) i > 0. Chứng minh: Tương tự như khi chứng minh bổ đề (3.2.1), từ (3.2.5*) và (3.2.11*) ta có: ui ≤ xki ≤ xi ⇐⇒ ak−1i = σ|∆k−1| 2 (xk−1i + ui) ≤ ξk−1i ≤ σ|∆k−1| 2 (xk−1i + xi) = a k−1 i (∀k = k3 + 1÷ k4 ; i = 3÷ 1). (1) − 42 − Khi sử dụng (3.1.9) với j = k − k3 và dựa trên (3.2.6) ta suy ra: wi(tk) = f k i (w(T3); ξ k3 i , ..., ξ k4−1 i ) := wi(T3)− pi(tk − T3) + k−1∑ j=k3 qji − k−1∑ j=k3 ξji (3.2.13*) (k = k3 + 1÷ k4 , i = 1÷ 3) Hay là (xem (3.2.11)): wi(tk) = wi(T3) + cki − ∑k−1 j=k3 ξji (Khi k3 < k < k4) wi(T4) + c k4 i − ∑k4−1 j=k3 ξji (Khi k = k4) (i = 1÷ 3). (2) Khi đó, do bki := wi(T3)− wi(ε) + cki (xem (3.2.11)) nên ta có: wi(T3) ≤ wi(tk) ≤ wi(ε) ⇐⇒ bki ≤ k−1∑ j=k3 ξji ≤ cki (∀k = k3 + 1÷ k4 − 1 ; i = 3÷ 1). (3) Ngoài ra, khi xét (2) với k = k4 ta còn có: ck4i = k4−1∑ j=k3 ξji (i = 3÷ 1). (4) Khi đó, từ (3.2.11) ta thu được: k4−1∑ k=k3 (ξki − aki ) = ck4i − k4−1∑ k=k3 aki = d (2) i (i = 3÷ 1). Trên cơ sở này, từ (1), (3), và (3.2.9), (3.2.9*) ta suy ra rằng: Các điều kiện (3.2.7) ⇐⇒ (ξk3i , ..., ξk4−1i ) ∈ k4⋂ k=k3+1 Ski (i = 3÷ 1). (5) Do d (2) i = c k4 i − ∑k4−1 k=k3 aki (xem (3.2.11)), nên hiển nhiên là: k4−1∑ k=k3 ξki = c k4 i ⇐⇒ k4−1∑ k=k3 (ξki − aki ) = d(2)i (i = 1÷ 3). (6) Ngoài ra, từ (3.2.11*) ta còn có: ak−1i = σ|∆k−1| 2 (xk−1i + ui) ≥ ak−1i = σ|∆k−1|ui (∀xk−1i ≥ ui, k = k3 + 1÷ k4). (7) Bởi vậy, từ (3.2.5*) ta nhận thấy rằng: ak−1i ≤ ξk−1i (∀k = k3 + 1÷ k4) =⇒ ξki ≥ aki (∀k = k3 ÷ k4 − 1). − 43 − Khi đó, từ (6) và (3.2.9) - (3.2.10) ta dễ dàng suy ra: k4⋂ k=k3+1 Ski = { (ξk3i , ..., ξ k4−1 i ) : a k−1 i ≤ ξk−1i ≤ ak−1i , bki ≤ k−1∑ j=k1 ξji ≤ cki (k = k3+1÷k4−1) } ⋂{ (ξk3i , ..., ξ k4−1 i ) : a k4−1 i ≤ ξk4−1i ≤ ak4−1i , k4−1∑ j=k3 ξji = c k4 i } ⊂ ⊂ { (ξk3i , ..., ξ k4−1 i ) : k4−1∑ k=k3 (ξki −aki ) ≤ d(2)i ; ξki ≥ aki (k = k3÷k4−1) } = ∆ (2) i (i = 1÷3). Kết hợp điều này với (5) ta thu được sự tương đương giữa các điều kiện (3.2.7) và điều kiện (3.2.10). Cuối cùng, từ (3.2.11) và (3.2.11*) ta có: d (2) i = c k4 i − k4−1∑ k=k3 aki = wi(T3)− wi(T4)− pi(T4 − T3) + k4−1∑ k=k3 qki − k4−1∑ k=k3 aki (8) Nhưng từ (3.2.5*), (3.2.11*) và (7) ta nhận thấy rằng: ξki = σ|∆k| 2 (xki + x k+1 i ) ≥ σ|∆k| 2 (xki + ui) = a k i ≥ aki (∀xki ≥ ui, k3 ≤ k ≤ k4). Khi đó từ giả thiết về việc tồn tại ít nhất 1 chỉ số k(i) ∈ {k = k3, ..., k4 − 1}, sao cho ui < x k i ta suy ra: ∑k4−1 k=k3 ξki > ∑k4−1 k=k3 aki . Kết hợp điều này với (8) và (3.2.13*) ta thu được: d (2) i > c k4 i − k4−1∑ k=k3 aki = wi(T3)−wi(T4)−pi(T4−T3)+ k4−1∑ k=k3 qki − k4−1∑ k=k3 ξki = 0.  Để biểu diễn các điều kiện (3.2.8) trong trường hợp các trạng thái wi(T3) (i = 1÷ 3) đã cho, ta đặt (1): ξk := (ξk1 , ξ k 2 , ξ k 3 ) ′ (k = k1 ÷ k4 − 1), (3.2.14) S(3)(ε) := { (ξk1 , ..., ξk3−1) : 3∑ i=1 wi(T4) ≤ c ; ak4i ≤ wi(T4) ≤ ak4i (i = 1÷ 3) } , (3.2.15) ∆(3)(ε) := { (ξk1 , ..., ξk3−1) : 3∑ i=1 ( wi(T4)−aki ) ≤ d ; wi(T4) ≥ ak4i (i = 1÷3) } , (3.2.16) c := 3∑ i=1 wi(ε)− V ; d := c− 3∑ i=1 ak4i , (3.2.17) (1)Dưới đây, ta sẽ ký hiệu chuyển vị của vec tơ hàng (ξk1 , ξ k 2 , ξ k 3 ) là vec tơ cột (ξ k 1 , ξ k 2 , ξ k 3 ) ′ − 44 − ak4i := max { wi(T3) , woi + σ(T − T5) [ ui − qˆ ′ i(max) + σ −1pi ]} , ak4i := min { wi(ε) , woi + σ(T − T5) [ xi − qˆ′i(min) + σ−1pi ]} (i = 3÷ 1). (3.2.18) trong đó: qˆ ′ i(max), qˆ ′ i(min) được xác định từ các công thức (3.1.25), (3.1.25*); còn wi(T3) (i = 1÷ 3) được xác định bởi công thức (3.2.12). Bổ đề 3.2.3. Nếu các trạng thái wi(T3) (i = 1÷ 3) được xác định như trong bổ đề (3.2.2), thì các điều kiện (3.2.8) tương đương với điều kiện (3.2.19) sau đây: (ξk1 , ..., ξk3−1) ∈ S(3)(ε) ⊂ ∆(3)(ε). (3.2.19) Ngoài ra ta còn có d > 0, nếu một trong số các bất đẳng thức ∑3 i=1 wi(T4) ≤ c , ak4i ≤ wi(T4) (i = 1÷ 3) (xác định miền S(3)(ε) trong (3.2.15)) được hiểu theo nghĩa chặt. (2) Chứng minh: Từ chứng minh kết luận 3 của bổ đề (3.1.4) ta đã biết rằng: ui ≤ xˆki ≤ xi (∀k = k5 ÷K) ⇐⇒ Ai ≤ wi(T4) ≤ Bi (i = 3÷ 1), (1) trong đó: Ai := woi + σ(T − T5) [ ui + σ −1pi − qˆ′i(max) ] , Bi := woi + σ(T − T5) [ xi + σ −1pi − qˆ′i(min) ] (i = 3÷ 1), (2) Nhưng, từ (1) ta còn có: ui ≤ xˆki ≤ xi (∀k = k5 ÷K) , wi(T3) ≤ wi(T4) ≤ wi(ε) ⇐⇒ Ai ≤ wi(T4) ≤ Bi , wi(T3) ≤ wi(T4) ≤ wi(ε) ⇐⇒ max { wi(T3), Ai } ≤ wi(T4) ≤ min { wi(ε), Bi } (i = 3÷ 1). Khi đó, do ak4i = max { wi(T3), Ai } , ak4i = min { wi(ε), Bi } (xem (2) và (3.2.18)), nên: ui ≤ xˆki ≤ xi (∀k = k5÷K) , wi(T3) ≤ wi(T4) ≤ wi(ε) ⇐⇒ ak4i ≤ wi(T4) ≤ ak4i (i = 3÷1). Kết hợp điều này với (3.2.15) và (3.2.17) ta suy ra: Các điều kiện (3.2.8) ⇐⇒ (ξk1 , ..., ξk3−1) ∈ S(3)(ε). (3) (2)Thay dấu "≤" bởi dấu " < ". − 45 − Bây giờ ta xét (ξk1 , ..., ξk3−1) ∈ S(3)(ε). Khi đó, do ∑3 i=1 wi(T4) ≤ c ; ak4i ≤ wi(T4) (i = 1÷ 3) (xem (3.2.15)), nên từ (3.2.17) ta có: 3∑ i=1 [wi(T4)− ak4i ] = 3∑ i=1 wi(T4)− 3∑ i=1 ak4i ≤ c− 3∑ i=1 ak4i = d. Nghĩa là (ξk1 , ..., ξk3−1) ∈ ∆(3)(ε) (xem (3.2.16)). Trên cơ sở này ta suy ra: S(3)(ε) ⊂ ∆(3)(ε). Khi kết hợp điều này với (3) ta thu được (3.2.19). Cuối cùng, để xét một trong các trường hợp có thể của giả thiết nêu trong bổ đề là trường hợp: ∑3 i=1 wi(T4) < c. Khi đó, từ (3.2.17) ta có: d = c− 3∑ i=1 ak4i > 3∑ i=1 wi(T4)− 3∑ i=1 ak4i . Do đó, từ (3.2.15) ta thu được : d > ∑3 i=1 wi(T4)− ∑3 i=1 wi(T4) = 0.  Chú ý 3.2.3. Dựa vào các bổ đề (3.2.1) - (3.2.3), ta có thể phát biểu các điều kiện ε-chấp nhận được (3.1.17) - (3.1.21) trong dạng tương đương (3.2.20) - (3.2.24) (theo các biến điều khiển ξki (k = k1 ÷ k4 − 1 , i = 1÷ 3) dưới đây: ak−1i ≤ ξk−1i ≤ ak−1i , bki ≤ k−1∑ j=k1 ξji ≤ cki (k = k1 + 1÷ k3 , i = 3÷ 1), (3.2.20) 3∑ i=1 wi(T4) ≤ c ; ak4i ≤ wi(T4) ≤ ak4i (i = 1÷ 3), (3.2.21)ak−1i ≤ ξk−1i ≤ ak−1i , bki ≤ ∑k−1 j=k3 ξji ≤ cki , (k = k3 + 1÷ k4 − 1 , ak4−1i ≤ ξk4−1i ≤ ak4−1i , ∑k4−1 j=k3 ξji = c k4 i (3.2.22) (i = 3÷ 1) N ≤ 24[N (o)(x,w) + N (1)(xˆ) + N (2)(xˆ, w(T4)) + N (3)(xˆ, w(T4))], (3.2.23) 3∑ i=1 [ wi(tk)− wi ]≥ V (ε) (k = k1 + 1÷ k3), (3.2.24) trong đó: N (j) (j = 0÷ 3) tính theo các công thức (3.2.1)-(3.2.3) với xki = xi(tk) (k = k1 ÷ k4) xác định bởi các công thức (3.1.10), (3.1.10*) xˆki = xˆi(tk) (k = 0÷ k1 − 1, k = k4 +1÷K) xác định bởi các công thức (3.1.4)-(3.1.5*); wi(tk) (k = k1 + 1 ÷ k3) xác định bởi (3.2.6*) và wi(tk) (k = k3 + 1 ÷ k4) xác định bởi (3.2.13*). − 46 − Chú ý 3.2.4. Từ bổ đề (3.2.1) ta nhận thấy rằng: Đối với mỗi i = 3 ÷ 1, các biến điều khiển (ξk1i , ..., ξ k3−1 i ) thoả mãn điều kiện (3.2.20) có thể được lựa chọn (xem (3.2.5)) trong đơn hình (k3 − k1)-chiều ∆(1)i (xem (3.2.2)) với đỉnh tại điểm ai = (ak1i , ..., ak3−1i ) và cạnh là d (1) i > 0. Khi đó, bằng việc sử dụng công thức (3.2.6*), ta có thể tạo được khúc quỹ đạo chấp nhận được trong thời gian [T1, T3] tương ứng: woi = wi(tk1) → wi(tk1+1) → ... → wi(tk3) = wi(T3) (i = 3÷ 1). (3.2.25) của hệ động lực (3.1.2). Khúc quỹ đạo này xuất phát từ trạng thái ban đầu wi(T1) = woi (đã cho) và tính "chấp nhận được" của nó hiểu theo nghĩa các biến điều khiển ξki (k = k1 ÷ k3 − 1, i = 1÷ 3) tương ứng thoả mãn điều kiện (3.2.20):ξ k1 1 . . . ξ k3−1 1 ξk12 . . . ξ k3−1 2 ξk13 . . . ξ k3−1 3  = (ξk1 , ..., ξk3−1) ∈ S(1)(ε) := = { (ξk1 , ..., ξk3−1) : (ξk1i , ..., ξ k3−1 i ) ∈ S(1)i (ε) (i = 1÷ 3) } . (3.2.25*) Chú ý 3.2.5. Từ các trạng thái cuối (w1(T3), w2(T3), w3(T3)) của các khúc quỹ đạo nói trên, ta có thể xác định (xem (3.2.17) - (3.2.18)) cạnh d và đỉnh ak4 := (ak41 , a k4 2 , a k4 3 ) của đơn hình 3-chiều: f ( ∆(3)(ε) ) := { (w1(T4), w2(T4), w3(T4)) : 3∑ i=1 ( wi(T4)− aki ) ≤ d ; wi(T4) ≥ ak4i (i = 1÷ 3) } , (3.2.26) trong đó f ( ∆(3)(ε) ) là ảnh của ∆(3)(ε) (xem (3.2.16)) qua phép biến đổi: f = (f1, f2, f3) , fi = ( fk1+1i (woi ; .), ..., f k3 i (woi ; .) ) (i = 1÷ 3) với fki (woi ; .) (k = k1 + 1÷ k3) xác định bởi (3.2.6*)). Khi đó, từ bổ đề (3.2.3) ta nhận thấy rằng: các trạng thái ( w1(T4), w2(T4), w3(T4) ) có thể được lựa chọn trong đơn hình f ( ∆(3)(ε) ) nói trên, để cho điều kiện (3.2.21) được thoả mãn. Nghĩa là:( w1(T4), w2(T4), w3(T4) )∈ f(S(3)(ε)):= = { (w1(T4), w2(T4), w3(T4)) : 3∑ i=1 wi(T4) ≤ c ; ak4i ≤ wi(T4) ≤ ak4i (i = 1÷3) } ⊂ f(∆(3)(ε)) (3.2.26*) − 47 − Trong ngôn ngữ của các phương pháp bắn (shooting method), ta có thể đưa ra các khái niệm dưới đây: Định nghĩa 3.2.1. Điểm ( w1(T3), w2(T3), w3(T3) ) với các toạ độ là các trạng thái cuối của các khúc quỹ đạo chấp nhận được trong thời gian [T1, T3] gọi là điểm bắn. Miền f ( S(3)(ε) ) gọi là vùng bắn. Mỗi cách lựa chọn các trạng thái (w1(T4), w2(T4), w3(T4)) trong miền nói trên gọi là một phương pháp bắn định hướng từ điểm bắn ( w1(T3), w2(T3), w3(T3) ) vào vùng bắn f ( S(3)(ε) ) . Điểm (w1(T4), w2(T4), w3(T4)) được lựa chọn theo phương pháp này gọi là kết quả bắn hay được bắn định hướng từ điểm ( w1(T3), w2(T3), w3(T3) ) . Chú ý 3.2.6. Khi các toạ độ wi(T3) (i = 1÷3) của điểm bắn đã được lựa chọn (theo chú ý (3.2.4)) và khi các kết quả bắn tương ứng wi(T4) đã thu được (theo chú ý (3.2.5)), ta có thể xác định (xem (3.2.11)-(3.2.11*)) cạnh d (2) i và đỉnh ai := (a k3 i , ..., a k4−1 i ) của các mặt đơn hình (k4 − k3)-chiều ∆(2)i (i = 3÷ 1) (xem (3.2.10)). Khi đó, từ bổ đề (3.2.2) ta nhận thấy rằng: Đối với mỗi i = 3÷1, các biến điều khiển (ξk3i , ..., ξ k4−1 i ) thoả mãn điều kiện (3.2.22) có thể được lựa chọn (xem (3.2.13)) trên các mặt đơn hình ∆ (2) i (i = 3÷ 1). Do đó, bằng việc sử dụng công thức (3.2.13*), ta có thể thu được khúc quỹ đạo chấp nhận được trong thời gian [T3, T4] tương ứng: wi(T3) = wi(tk3) → wi(tk3+1) → ... → wi(tk4) = wi(T4) (i = 3÷ 1). (3.2.27) Khúc quỹ đạo này nối trạng thái chấp nhận được wi(T4) với trạng thái chấp nhận được wi(T3), trong đó tính "chấp nhận được" của khúc quỹ đạo (3.2.27) hiểu theo nghĩa các biến điều khiển ξki (k = k3 ÷ k4 − 1, i = 1÷ 3) tương ứng thoả mãn điều kiện (3.2.22):ξ k3 1 . . . ξ k4−1 1 ξk32 . . . ξ k4−1 2 ξk33 . . . ξ k4−1 3  = (ξk3 , ..., ξk4−1) ∈ S(2)(ε) := = { (ξk3 , ..., ξk4−1) : (ξk3i , ..., ξ k4−1 i ) ∈ S(2)i (ε) (i = 1÷ 3) } . (3.2.27*) Dựa vào các chú ý (3.2.4) - (3.2.6) nói trên, ta có thể xét một trường hợp riêng của định nghĩa (3.2.1) là khái niệm "bắn ngẫu nhiên định hướng" sau đây: − 48 − Định nghĩa 3.2.2. Giả sử các toạ độ của điểm bắn ( w1(T3), w1(T3), w1(T3) ) được lựa chọn từ trạng thái cuối của các khúc quỹ đạo (3.2.25) ứng với các biến điều khiển là VTNN (ξk1i , ..., ξ k3−1 i ) ∼ U ( S (1) i (ε) ) , trong đó VTNN này thu được bằng phương pháp loại trừ Von Neuman từ VTNN (ηk1i , ..., η k3−1 i ) ∼ U ( ∆ (1) i ) (phân bố đều trong đơn hình (3.2.2)). Giả sử kết quả bắn là VTNN ( w1(T4), w2(T4), w3(T4) )∼ U(f(S(3)(ε))), trong đó VTNN này thu được bằng phương pháp loại trừ Von Neuman từ VTNN (η1, η2, η3) ∼ U ( f ( ∆(3) )) (phân bố đều trong đơn hình (3.2.26)). Với mỗi i = 3 ÷ 1, khúc quỹ đạo (3.2.27) được thiết lập từ các biến điều khiển là các thành phần của VTNN (ξk3i , ..., ξ k4−1 i ) ∼ U ( S (2) i (ε) ) , trong đó VTNN này thu được bằng phương pháp loại trừ Von Neuman từ VTNN (ηk3i , ..., η k4−1 i ) ∼ U ( ∆ (2) i ) (phân bố đều trên mặt đơn hình (3.2.10)). Khi đó ta có thể ghép các khúc quỹ đạo chấp nhận được (3.2.25) và (3.2.27) thành quỹ đạo chấp nhận được: woi = wi(tT1) → ... → wi(T3) = wi(tk3) → wi(tk3+1) → ... → wi(tk4) = wi(T4) (3.2.28) trong thời gian [T1, T4] của hệ động lực (3.1.2). Ta gọi (3.2.28) là quỹ đạo có trạng thái cuối được bắn ngẫu nhiên định hướng (vào vùng bắn f ( S(3)(ε) ) ). Định nghĩa 3.2.3. Phương pháp (nêu trong định nghĩa (3.2.2)) để thu được bộ các biến điều khiển ξ = ( ξki ) 3×(k4−k1) tương ứng với quỹ đạo chấp nhận được (3.2.28) gọi là phương pháp bắn ngẫu nhiên định hướng. Tính "chấp nhận được" của quỹ đạo nói trên được hiểu theo nghĩa: các biến điều khiển ξki (k = k1÷k4−1, i = 1÷3) tương ứng thoả mãn các điều kiện (3.2.20) - (3.2.22). Cụ thể là (xem (3.2.16), (3.2.25*), (3.2.27*)): ξ := ξ k1 1 . . . ξ k3 1 . . . ξ k4−1 1 ξk12 . . . ξ k3 2 . . . ξ k4−1 2 ξk13 . . . ξ k3 3 . . . ξ k4−1 3  = (ξk1 , ..., ξk4−1) ∈ S(ε) := = ( S(1)(ε) ∩ S(3)(ε) ) ×S(2)(ε) ⊂ R3×(k4−k1). (3.2.28*) Định nghĩa 3.2.4. − 49 − Nếu bộ các biến điều khiển ξ = ( ξki ) 3×(k4−k1)∈ R3×(k4−k1) thu được bằng phương pháp bắn ngẫu nhiên định hướng còn thoả mãn các điều kiện (3.2.23) - (3.2.24), sao cho: ξ ∼ U ( S(ε) ) ; S(ε) := S(ε) ⋂ { ξ : (3.2.23)− (3.2.24) } ⊂ R3×(k4−k1), (3.2.29) (xem [5] tr.157-158), thì bộ các biến điều khiển này sẽ thoả mãn dạng tương đương (3.2.20) - (3.2.24) của các điều kiện ε-chấp nhận được. Khi đó phương pháp lựa chọn các biến điều khiển này sẽ gọi là phương pháp loại trừ Von Neuman từ các đơn hình; Còn miền S(ε) gọi là miền ε- chấp nhận được của bộ các biến điều khiển ξ. Sau khi đã xác định được các biến điều khiển ξki (k = k1 ÷ k4 − 1 , i = 1÷ 3) theo phương pháp nói trên, ta có thể dùng công thức truy hồi (3.1.10) - (3.1.10*) để xác định các tham số điều khiển xki (k = k1 + 1÷ k4 , i = 1÷ 3) và thu được (xem (2.2.27)) bộ tham số điều khiển X tương ứng. Để chỉ ra bộ tham số điều khiển này có tính chất (2.2.41), ta có thể chứng minh kết quả sau đây: Định lý 3.2.1. Nếu hệ động lực (2.2.17) được xấp xỉ bởi (3.1.2) thì tham số điều khiển xki (k = k1÷k4 được xác định theo công thức truy hồi (3.1.10) và (3.1.10*). Khi đó, nếu các tham số điều khiển mới ξki (k = k1 ÷ k4 − 1) được xác định như trong các bổ đề trên, thì các bộ tham số điều khiển X thu được từ công thức truy hồi (3.1.10) và (3.1.10*) là chấp nhận được và thoả mãn điều kiện: P{X ∈ A} > 0 (∀A ⊂Dε : mes(A) > 0). (3.2.30) Chứng minh Từ công thức truy hồi (3.1.10) - (3.1.10*): xk+1i = 2ξki σ|∆k| − x k i (k = k1 ÷ k4 − 1 , i = 3÷ 1). (1) trong đó: xk1i = q3(T1)− σ−1p3 (i = 3)qi(T1)− σ−1pi + xk1i+1 (i = 2÷ 1). Suy ra: ξki = σ|∆k| 2 .(xk+1i + x k i ) (2) − 50 − Gọi g : R3×n → R3×n là hàm cho bởi công thức (2): ξ = g(X) trong đó: ξ = (ξki : i = 1÷ 3, k = k1 ÷ k4 − 1), X ∈ R3×n. Phép biến đổi này có phép biến đổi ngược X = g−1(ξ) được xác định bởi công thức (1) với định thức của ma trận đạo hàm dg−1(ξ) dξ là |dg −1(ξ) dξ | > 0 . Ta có (xem(3.2.28*), (3.2.29)): D1 = {X ∈ R3×n : (3.1.17)− (3.1.19)} S1 = {ξ ∈ R3×k1÷k4−1 : (3.2.20)− (3.2.22)} = g(D1) Dε = {X ∈ D1 : (3.1.20)− (3.1.21)} S(ε) = {ξ ∈ S1 : (3.2.23)− (3.2.24)} = g(Dε) (3) trong đó: S1 là tập hợp các phương án bắn ngẫu nhiên định hướng; S(ε) là miền ε - chấp nhập được của bộ các biến điều khiển ξ. Và ta có: S(ε) ⊂ S1;Dε ⊂ D1 (4) Ta xét một biến ngẫu nhiên ς = (ς(k1 + 1), ..., ς(k4)) là một phương án bắn ngẫu nhiên định hướng. Ta biết rằng: (ςk1i , ..., ς k3−1 i ) ∼ U ( S (1) i (ε) ) (i = 1 ÷ 3) trong đó VTNN này thu được bằng phương pháp loại trừ Von Neuman. Từ VTNN (ηk1i , ..., η k3−1 i ) ∼ U ( ∆ (1) i ) (phân bố đều trong đơn hình (3.2.2)) với hàm mật độ: p (η k1 i ,..,η k3−1 i ) (yk1i , .., y k3−1 i ) = (k3 − k1)! (d (1) i ) k3−k1 > 0 Ngoài ra, khi ký hiệu ξk := (ξk1 , ξ k 2 , ξ k 3 ) (k1 ≤ k < k3) ta nhận thấy: (w˜1, w˜2, w˜3) = f(ξ k1 , ..., ξk3−1) ∼ U(f(S(3)(ε))) thu được từ phương pháp loại trừ Von Neuman. Từ VTNN (w1, w2, w3) = f(η k1 , ..., ηk3−1) ∼ U(f(S(3)(ε))) với hàm mật độ: p(w1,w2,w3)(t1, t2, t3) ≡ 3! d3 > 0 (ςk3i , ..., ς k4−1 i ) ∼ U ( S (2) i (ε) ) , trong đó VTNN này thu được bằng phương pháp loại trừ Von Neuman. − 51 − Từ VTNN (ηk3i , ..., η k4−1 i ) ∼ U ( ∆ (2) i ) (có phân bố đều trên mặt đơn hình (3.2.10)), với hàm mật độ: p (η k3 i ,..,η k4−1 i ) (yk3i , .., y k4−1 i ) = (k4 − k3 − 1)!√ k4 − k3(d(2)i )k4−k3−1 > 0 Do đó, khi xét tập hợp Borel bất kỳ B ⊂ S1, và chú ý đến tính độc lập trong việc tạo các đơn hình, ta nhận thấy hàm mật độ của biến ngẫu nhiên η := ηki (i = 1÷3, k = k1÷k4−1) có dạng: pη(y) = 3∏ i=1 p (η k1 i ,..,η k3−1 i ) (yk1i , .., y k3−1 i )× p(ηk3i ,..,ηk4−1i )(y k3 i , .., y k4−1 i ) × pw1,w2,w3(f(yk1 , .., yk3−1)) ≡ const > 0 P{η ∈ B} = ∫ B pη(y)dy > 0 ∀B ⊂ S1 (6) Nếu gọi ξ ∈ S(ε) là biến ngẫu nhiên thu được từ việc loại trừ các phương án bắn ngẫu nhiên định hướng để thoả mãn các điều kiện (3.2.23) và (3.2.24), thì từ (4) ta có: p{ξ ∈ B} = P{ξ ∈ B | ξ ∈ Sε} = P{ξ ∈ B} P{ξ ∈ Sε} = ∫ B pη(y)dy∫ Sε pη(y)dy (∀B ⊂ S(ε) ⊂ S1.) (7) Với mỗi tập Borel nào đó A ⊂ Dε sao cho mes(A) > 0, từ (3) và (4) suy ra: g(A) ⊂ S(ε). Ngoài ra, mes(A) = ∫ A dX = ∫ g(A) |dg −1(ξ) dξ |dξ Dễ thấy bằng phương pháp phản chứng rằng mes(g(A)) > 0, trên cơ sở này ta sử dụng công thức (6) và (7) với B = g(A) để suy ra: P{ξ ∈ g(A)} = P{ξ ∈ g(A) | ξ ∈ Sε} = P{ξ ∈ g(A)} P{ξ ∈ Sε} = = ∫ g(A) pη(y)dy∫ Sε pη(y)dy > 0 (∀A ⊂ Dε : mes(A) > 0) (8) Mặt khác do A ⊂ Dε và g(A) ⊂ S(ε) nên từ (3) ta có: P{X ∈ A} = P{ξ ∈ g(A)} (∀A ⊂ Dε) Kết hợp điều này với (8) ta thu được sự thoả mãn điều kiện (3.2.30)  − 52 − Với những cơ sở toán học đã trình bày ở trên, ta đưa ra thuật toán bắn ngẫu nhiên định hướng để giải bài toán QTVHHLKT của hệ thống thuỷ điện 3 bậc thang trên sông Đà. Thuật toán (3.2.1): Bước 0: (Khởi tạo) 1- Với mỗi i = 1÷ 3, tính các tích phân Iki := qki = σ ∫ tk+1 tk qi(t)dt (k = k1 ÷ k4 − 1). 2- Với mỗi i = 1÷ 3, tính: aki (k = k1 ÷ k3 − 1) theo (3.2.3*), aki (k = k3 ÷ k4 − 1) theo (3.2.11*). 3- Xác định các tham số σ = 10−6; pi (i = 1÷ 3) theo (3.1.1). 4- Chọn đơn vị tính thời gian là ngày; |∆k| = |∆| = 5 (k = 0÷K − 1). Xác định phân hoạch {tk}Kk=0, trong đó các mốc thời gian tk (k = 0 ÷ K) là ngày thứ tk (luc 12 giờ) trong chu kỳ điều tiết năm (T= 365 ngày). 5- Gán các gía trị tham số (TS): xki , x k i (i = 1÷ 3, k = k1 + 1÷ k3) theo các công thức (3.1.16), (3.1.16*). 6- Dựa vào các bảng số liệu {(wki , hki )}Kik=1 (i = 1 ÷ 3) trong [4] (tr. 149-156), lập các modun tính hàm hi = hi(wi) trong dạng (2.1.18). 7- Dựa vào các bảng số liệu {(wki , hki )}Kik=1 (i = 1 ÷ 3) trong [4] (tr. 149-156), lập các modun tính hàm ngược wi = Wi(hi) của hàm hi = hi(wi) theo công thức (2.1.18*) 8- Dựa vào các tham số hoi, hi, hi cho trong [4] (tr. 49-50), tính theo công thức (2.1.18*) các tham số tương ứng woi = wi(hoi) , wi = wi(hi) , wi = wi(hi). 9- Dựa vào bảng 1, lập modun tính hàm p(t) (0 ≤ t ≤ T ) dưới dạng (2.1.2). Sử dụng nó để lập bảng giá trị {p(n)}365n=1 của hàm này 10- Xác định các tham số wi(ε), wi(ε) (i = 1÷ 3), V (ε) theo (2.2.37), trong đó các hằng số a, ai (i = 1÷ 3) xác định theo (2.2.28), (2.2.29).(3) 11- Tính các điều khiển tổng hợp xˆki = xˆi(tk) (k = 0÷ (k1 − 1)) và điều khiển ban đầu xˆoi := xˆi(0) (i = 3÷ 1) theo (3.1.4) và (3.1.5*). Bước A: (Tạo các khúc quỹ đạo chấp nhận được trong thời gian [T1, T3]) I- Dựa vào các kết quả Ik3 , a k 3 (bước trên), 1- Tính: bk3, c k 3 (k = k1 + 1÷ k3) và d(1)3 theo (3.2.3), trong đó (xem (3.2.4)) qk3 = Ik3 . 2- Tạo trong đơn hình∆ (1) 3 (với đỉnh (a k1 3 , ..., a k3−1 3 ) và độ dài cạnh d (1) 3 ) vtnn (ξ k1 3 , ..., ξ k3−1 3 ) ∼ U ( ∆ (1) 3 ) . 3- Dựa vào các kết quả ξk3 (trong bước trên) tính: x k+1 3 (k = k1 ÷ k3 − 1) theo các công thức truy hồi (3.1.10)-(3.1.10*). 4- Dựa vào các kết quả xk3 (trong bước trên) tính: a k 3 , a k 3 (k = k1÷k3−1) theo (3.2.3*). 5- Dựa vào các kết quả ak3 , a k 3 (trong bước trên) và b k 3, c k 3 (bước A.I.1), kiểm tra các bất đẳng thức trong (3.2.1) (∀k = k1 + 1÷ k3): (3)Có thể bỏ qua bước này nếu ε ≈ 0, khi đó chọn: wi(ε) ≈ wi , wi(ε) ≈ wi (i = 1÷ 3) , V (ε) ≈ V . − 53 − - Nếu sai: Quay về bước A.I.2 , - Nếu đúng: Chuyển xuống bước sau. II- Dựa vào các kết quả Ik2 , a k 2 (bước 0) và ξ k 3 (bước A.I.2), 1- Tính: bk2, c k 2 (k = k1 +1÷ k3) và d(1)2 theo (3.2.3), trong đó (xem (3.2.4)) qk2 = Ik2 + ξk3 . 2- Tạo trong đơn hình∆ (1) 2 (với đỉnh (a k1 2 , ..., a k3−1 2 ) và độ dài cạnh d (1) 2 ) VTNN (ξ k1 2 , ..., ξ k3−1 2 ) ∼ U ( ∆ (1) 2 ) . 3- Dựa vào các kết quả ξk2 (trong bước trên) tính: x k+1 2 (k = k1 ÷ k3 − 1) theo các công thức truy hồi (3.1.10)-(3.1.10*). 4- Dựa vào các kết quả xk2 (trong bước trên) tính: a k 2 , a k 2 (k = k1÷k3−1) theo (3.2.3*). 5- Dựa vào các kết quả ak2 , a k 2 (trong bước trên) và b k 2, c k 2 (bước A.II.1), kiểm tra các bất đẳng thức trong (3.2.1) (∀k = k1 + 1÷ k3): - Nếu sai: Quay về bước A.I.2 , - Nếu đúng: Chuyển xuống bước sau. III- Dựa vào các kết quả Ik1 , a k 1 (bước 0) và ξ k 2 (bước A.II.2), 1- Tính: bk1, c k 1 (k = k1 +1÷ k3) và d(1)1 theo (3.2.3), trong đó (xem (3.2.4)) qk1 = Ik1 + ξk2 . 2- Tạo trong đơn hình∆ (1) 1 (với đỉnh (a k1 1 , ..., a k3−1 1 ) và độ dài cạnh d (1) 1 ) VTNN (ξ k1 1 , ..., ξ k3−1 1 ) ∼ U ( ∆ (1) 1 ) . 3- Dựa vào các kết quả ξk1 (trong bước trên) tính: x k+1 1 (k = k1 ÷ k3 − 1) theo các công thức truy hồi (3.1.10)-(3.1.10*). 4- Dựa vào các kết quả xk1 (trong bước trên) tính: a k 1 , a k 1 (k = k1÷k3−1) theo (3.2.3*). 5- Dựa vào các kết quả ak1 , a k 1 (trong bước trên) và b k 1, c k 1 (bước A.III.1), kiểm tra các bất đẳng thức trong (3.2.1) (∀k = k1 + 1÷ k3): - Nếu sai: Quay về bước A.I.2 , - Nếu đúng: Chuyển xuống bước sau. IV- Tạo các khúc quỹ đạo trong thời gian [T1, T3]: 1- Dựa vào các kết quả qk3 (bước A.I.1), ξ k 3 (bước A.I.2), tính w3(tk) (k = k1 + 1 ÷ k3) theo công thức truy hồi (xem (3.2.6*)): w3(tk+1) = w3(tk)− p3|∆k|+ qk3 − ξk3 (k = k1 ÷ k3 − 1) , w3(tk1) = wo3. 2- Dựa vào các kết quả qk2 (bước A.II.1), ξ k 2 (bước A.II.2), tính w2(tk) (k = k1 + 1÷ k3) theo công thức truy hồi (xem (3.2.6*)): w2(tk+1) = w2(tk)− p2|∆k|+ qk2 − ξk2 (k = k1 ÷ k3 − 1) , w2(tk1) = wo2. 3- Dựa vào các kết quả qk1 (bước A.III.1), ξ k 1 (bước A.III.2), tính w1(tk) (k = k1 +1÷k3) theo công thức truy hồi (xem (3.2.6*)): w1(tk+1) = w1(tk)− p1|∆k|+ qk1 − ξk1 (k = k1 ÷ k3 − 1) , w1(tk1) = wo1. − 54 − Bước B: (Bắn ngẫu nhiên định hướng) I- Dựa vào các kết quả w3(T3) = w3(tk3) (bước A.IV.1), w2(T3) = w2(tk3) (bước A.IV.2), w1(T3) = w1(tk3) (bước A.IV.3), tính: a k4 i , a k4 i (i = 3÷ 1) theo công thức (3.2.18). II- Dựa vào các kết quả ak4i (i = 3÷ 1), tính: c, d theo công thức (3.2.17). III- Dựa vào các kết quả ak4i và d (bước trên), lập dơn hình (3.2.16) và tạo VTNN( w1(T4), w2(T4), w3(T4) )∼ U(∆(3)(ε)). IV- Dựa vào các kết quả wi(T4) (bước trên), a k4 i , a k4 i (bước B.I) và (bước B.II), kiểm tra các bất đẳng thức trong (3.2.15): - Nếu sai: Quay lại bước A.I.2 , - Nếu đúng: Chuyển xuống bước sau. Bước C: (Tạo các khúc quỹ đạo chấp nhận được trong thời gian [T3, T4]) I- Dựa vào các kết quả Ik3 , a k 3 (bước 0), w3(T3) (bước A.IV.1), w3(T4) (bước B.III), 1- Tính: bk3 (k = k3 + 1 ÷ k4 − 1), ck3 (k = k3 + 1 ÷ k4) và d(2)3 theo (3.2.11), trong đó (xem (3.2.4)) qk3 = I k 3 . 2- Tạo trên mặt đơn hình ∆ (2) 3 (với đỉnh (a k3 3 , ..., a k4−1 3 ) và độ dài cạnh d (2) 3 ) VTNN (ξk33 , ..., ξ k4−1 3 ) ∼ U ( ∆ (2) 3 ) . 3- Dựa vào các kết quả ξk3 (trong bước trên) tính: x k+1 3 (k = k3 ÷ k4 − 1) theo các công thức truy hồi (3.1.10)-(3.1.10*). 4- Dựa vào các kết quả xk3 (trong bước trên) tính: a k 3 , a k 3 (k = k3÷k4−1) theo (3.2.11*). 5- Dựa vào các kết quả ak3 , a k 3 (trong bước trên) và b k 3, c k 3 (bước C.I.1), kiểm tra các bất đẳng thức trong (3.2.9) (∀k = k3 + 1÷ k4 − 1): - Nếu sai: Quay về bước A.I.2 , - Nếu đúng: Chuyển xuống bước sau. II- Dựa vào các kết quả Ik2 , a k 2 (bước 0), w2(T3) (bước A.IV.2), w2(T4) (bước B.III) và ξk3 (bước C.I.2), 1- Tính: bk2 (k = k3 + 1 ÷ k4 − 1), ck2 (k = k3 + 1 ÷ k4) và d(2)2 theo (3.2.11), trong đó (xem (3.2.4)) qk2 = I k 2 + ξ k 3 . 2- Tạo trên mặt đơn hình ∆ (2) 2 (với đỉnh (a k3 2 , ..., a k4−1 2 ) và độ dài cạnh d (2) 2 ) vtnn (ξk32 , ..., ξ k4−1 2 ) ∼ U ( ∆ (2) 2 ) . 3- Dựa vào các kết quả ξk2 (trong bước trên) tính: x k+1 2 (k = k3 ÷ k4 − 1) theo các công thức truy hồi (3.1.10)-(3.1.10*). 4- Dựa vào các kết quả xk2 (trong bước trên) tính: a k 2 , a k 2 (k = k3÷k4−1) theo (3.2.11*). 5- Dựa vào các kết quả ak2 , a k 2 (trong bước trên) và b k 2, c k 2 (bước C.II.1), kiểm tra các bất đẳng thức trong (3.2.9) (∀k = k3 + 1÷ k4 − 1): - Nếu sai: Quay về bước A.I.2 , - Nếu đúng: Chuyển xuống bước sau. III- Dựa vào các kết quả Ik1 , a k 1 (bước 0), w1(T3) (bước A.IV.3), w1(T4) (bước B.III) và − 55 − ξk2 (bước C.II.2), 1- Tính: bk1 (k = k3 + 1 ÷ k4 − 1), ck1 (k = k3 + 1 ÷ k4) và d(2)1 theo (3.2.11), trong đó (xem (3.2.4)) qk1 = I k 1 + ξ k 2 . 2- Tạo trên mặt đơn hình ∆ (2) 1 (với đỉnh (a k3 1 , ..., a k4−1 1 ) và độ dài cạnh d (2) 1 ) vtnn (ξk31 , ..., ξ k4−1 1 ) ∼ U ( ∆ (2) 1 ) . 3- Dựa vào các kết quả ξk1 (trong bước trên) tính: x k+1 1 (k = k3 ÷ k4 − 1) theo các công thức truy hồi (3.1.10)-(3.1.10*). 4- Dựa vào các kết quả xk1 (trong bước trên) tính: a k 1 , a k 1 (k = k3÷k4−1) theo (3.2.11*). 5- Dựa vào các kết quả ak1 , a k 1 (trong bước trên) và b k 1, c k 1 (bước C.III.1), kiểm tra các bất đẳng thức trong (3.2.9) (∀k = k3 + 1÷ k4 − 1): - Nếu sai: Quay về bước A.I.2 , - Nếu đúng: Chuyển xuống bước sau. IV- Tạo các khúc quỹ đạo trong thời gian [T3, T4]: 1- Dựa vào các kết quả qk3 (bước C.I.1), ξ k 3 (bước C.I.2), tính w3(tk) (k = k3 ÷ k4 − 1) theo công thức truy hồi (xem (3.2.13*)): w3(tk+1) = w3(tk)− p3|∆k|+ qk3 − ξk3 (k = k3 ÷ k4 − 1) , w3(tk3) = w3(T3). 2- Dựa vào các kết quả qk2 (bước C.II.1), ξ k 2 (bước C.II.2), tính w2(tk) (k = k3 ÷ k4 − 1) theo công thức truy hồi (xem (3.2.13*)): w2(tk+1) = w2(tk)− p2|∆k|+ qk2 − ξk2 (k = k3 ÷ k4 − 1) , w2(tk3) = w2(T3). 3- Dựa vào các kết quả qk1 (bước C.III.1), ξ k 1 (bước C.III.2), tính w1(tk) (k = k3÷k4−1) theo công thức truy hồi (xem (3.2.13*)): w1(tk+1) = w1(tk)− p1|∆k|+ qk1 − ξk1 (k = k3 ÷ k4 − 1) , w1(tk3) = w1(T3). Bước D: (Kết thúc thuật toán) I - (Kiểm tra sản lượng điện) 1- Dựa vào các kết quả wi(T4) (i = 3 ÷ 1) nói trên, tính - Các điều khiển tổng hợp xki := xˆ k i = xˆi(tk) (k = k4 + 1÷ k5) theo (3.1.4), (3.1.5*). - Các điều khiển tổng hợp xki := xˆ k i = xˆi(tk) (k = k5 + 1÷K) theo (3.1.5), (3.1.5*). 2- Kết hợp các số liệu xki = xˆ k i = xˆi(tk) (k = k4 + 1 ÷K) mới thu được ở bước D.I.1, các số liệu xki := xˆ k i = xˆi(tk) (k = 0 ÷ k1 − 1) (thu được từ bước (0/11) và các số liệu xki = xi(tk) (k = k1 ÷ k4) (thu được từ bước (A) đến bước (C)), tính: - Các lưu lượng nước dùng theo công thức (2.1.1): uˆki := ui(tk) = xˆki (khi xˆki ≤ ui)ui (khi xˆki > ui) (i = 1÷ 3, k = 0÷ k1 − 1, k = k4 + 1÷K) − 56 − uki := ui(tk) = xki (khi xki ≤ ui)ui (khi xki > ui) (i = 1÷ 3, k = k1 ÷ k4). - Các giá trị hàm Zoi(x k i ) (i = 1÷ 3, k = 0÷K) theo (2.1.16). 3- Dựa vào các kết quả Zoi(x k i ) vừa tính và các kết quả bắn wi(tk) (i = 1 ÷ 3) (trong các bước A - C), tính: H (0) ik := H i(x k i , wi−1(tk) (k = k1 ÷ k4, i = 1÷ 3) H (1) ik := H i(xˆ k i , wo,i−1) (k = 0÷ k1 − 1, i = 1÷ 3) H (2) ik := H i(xˆ k i , wi−1(T4)) (k = k4 + 1÷ k5, i = 1÷ 3) H (3) ik := H i ( xˆki ,W ( wi−1(T4); tk )) (k = k5 + 1÷K, i = 1÷ 3) theo các công thức (2.2.13), (2.1.17), trong đó: wi(tk1) = woi và W ( wi−1(T4); tk ) xác định bởi (2.2.11). 4- Dựa vào các kết quả (D.I.2) - (D.I.3) và modun tính hàm (2.1.18) (ở bước 0), tính tại các điểm lưới tk giá trị hàm dưới dấu các tích phân (2.2.5) - (2.2.8): H (0) ik := α ( hi(wi(kk))−H(0)ik )β uki (k = k1 ÷ k4, i = 1÷ 3), H (1) ik := α ( hoi −H(1)ik )β uˆki (k = 0÷ k1 − 1, i = 1÷ 3), H (2) ik := α ( hi(wi(T4))−H(2)ik )β uˆki (k = k4 + 1÷ k5, i = 1÷ 3), H (3) ik := α ( hi ( W (wi(T4); tk) )−H(3)ik )βuˆki (k = k5 + 1÷K, i = 1÷ 3) theo công thức (2.2.12) (với α = (196, 4078)−1, β = 1, 1016). 5- Tính gần đúng các tích phân (2.2.5) - (2.2.8) bằng công thức hình thang: N (0) ≡ N (0)(x,w) = 1 2 ∑3 i=1 ∑k4−1 k=k1 |∆k| ( H (0) ik + H (0) i,k+1 ) N (1) ≡ N (1)(xˆ) = 1 2 ∑3 i=1 ∑k1−2 k=0 |∆k| ( H (1) ik + H (1) i,k+1 ) N (2) ≡ N (2)(xˆ, w(T4)) = 1 2 ∑3 i=1 ∑k5−1 k=k4+1 |∆k| ( H (2) ik + H (2) i,k+1 ) N (3) ≡ N (3)(xˆ, w(T4)) = 1 2 ∑3 i=1 ∑K−1 k=k5+1 |∆k| ( H (3) ik + H (3) i,k+1 ) . 6- Tính sản lượng điện phát: N(u,w) := 24 3∑ j=0 N (j) 7- Kiểm tra bất đẳng thức (3.1.20): N ≤ N(u,w). - Nếu sai: Quay lại đầu bước A.I.2 − 57 − - Nếu đúng: Chuyển xuống bước sau. II - (Kiểm tra dung tích phòng hạn) 1- Dựa vào các kết quả bắn wi(tk) (i = 1÷ 3) thu được ở bước A, tính: V (min) := min k1+1≤k≤k3 { V k } ; V k := 3∑ i=1 [ wi(tk)− wi ] (k = k1 + 1÷ k3). 2- Kiểm tra bất đẳng thức: V (min) ≥ V (ε). (4) - Nếu sai: Quay lại đầu bước A.I.2. - Nếu đúng: Chuyển xuống bước sau. III - Giải hệ phương trình vi phân 1- Dựa vào các dãy số liệu {xki }Kk=0 thu được ở các bước trên, lập các bảng {xi(n)}365n=1 giá trị hàm xi(t) (0 ≤ t ≤ T, i = 1÷ 3) (về điều tiết nước các hồ chứa) trong dạng thác triển của hàm tuyến tính từng khúc (2.2.26), nghĩa là: xi(n) = 365∑ n=1 1∆k(n) [ xki + n− tk |∆| ( xk+1i − xki )] (n = 1÷ 365 , i = 1÷ 3). 2- Dựa trên các bảng giá trị {p(n)}365n=1 (bước (0)), {xi(n)}365n=1 (vừa thu được) và các bảng giá trị {qi(n)}365n=1 (thu được từ VSAM-1) của các hàm qi(t) (0 ≤ t ≤ T ), giải hệ phương trình vi phân (2.1.21) để thu được bảng các giá trị {wi(n)}365n=1 (i = 1 ÷ 3) của các nghiệm wi(t) (0 ≤ t ≤ T, i = 1÷ 3). IV - Kết thúc thuật toán 1- Xác định quy trình nước dùng: - Với mỗi i = 1 ÷ 3, sắp xếp các kết quả ui(tk) (thu được trong các công thức (2.1.1) của bước D.I.2) theo trình tự k = 0÷K và in bộ kết quả này. - Với mỗi i = 1÷ 3, vẽ đường gấp khúc đi qua các điểm (tk, ui(tk)) (k = 0÷K). 2- Xác định quy trình nước xả: - Dựa vào các dãy số liệu {ui(tk)}Kk=0, vừa thu được và {xki }Kk=0 vừa thu được, lập các dãy số liệu tương ứng {vi(tk)}Kk=0 theo công thức (xem (2.1.1)): vi(tk) = x k i − ui(tk) (k = 0÷K, i = 1÷ 3) và in bộ kết quả này. - Với mỗi i = 1÷ 3, vẽ đường gấp khúc đi qua các điểm (tk, vi(tk)) (k = 0÷K). 3- Xác định cao trình nước hồ: -Dựa vào các dãy số liệu {wi(n)}365n=1 (i = 1 ÷ 3) về thể tích nước hồ thu được trong bước trên, sử dụng modun trong bước 0 tính các dãy cao trình tương ứng { hi(n) := hi ( wi(n) )}365 n=1 (i = 1÷ 3) và in bộ kết quả này. (4)Nếu không cho tham số V trong bài toán ban đầu, thì có thể bỏ qua bước này. − 58 − - Với mỗi i = 1÷ 3, vẽ đường cong đi qua các điểm ( n, hi(n) ) (n = 1÷ 365). 4- Xác định sản lượng điện, phân bổ dung tích phòng lũ-hạn: - In kết quả N(u,w) (trong bước (D). - Dựa vào kết quả bắn ( w1(T4), w2(T4), w3(T4) ) (bước (k4/1)), tính tổng dung tích phòng lũ V (pl) theo công thức (xem (2.1.23), (2.1.26)): V (pl) = 3∑ i=1 [wi − wi(T4)] và in kết quả này cùng với phân bổ dung tích phòng lũ cho từng hồ: Vi(pl) := wi − wi(T4) (i = 1÷ 3). - In kết quả V (ph) := V (min) (trong bước D.II.1) về tổng dung tích phòng hạn. 5- Dừng máy ! − 59 − Kết luận Nhằm cải tiến phương pháp bắn ngẫu nhiên Markov [10], trong luận văn này chúng tôi đã xây dựng một thuật toán mới (nêu trong chương 3) với những kết quả sau đây: 1 - Hoàn thiện và cải tiến các bổ đề (3.1.1) - (3.1.4) [10] nhằm thiết lập bài toán để sử dụng phương pháp bắn ngẫu nhiên định hướng. 2 - Xây dựng cơ sở lý thuyết cho phương pháp bắn ngẫu nhiên định hướng thông qua những kết quả mới trong định lý (3.2.1) với các bổ đề bổ trợ (3.2.1) - (3.1.3). 3 - Trên cơ sở này, hy vọng có thể tiết kiệm số lần bắn ngẫu nhiên và tăng hiệu quả của phương pháp loại trừ Von Neuman thông qua thuật toán (3.2.1). Tuy nhiên, do việc thử nghiệm thuật toán gắn với việc xây dựng một phần mềm ứng dụng có kích cỡ lớn và với thời gian hạn chế trong khuôn khổ một luận văn thạc sỹ nên tôi chưa hoàn thành được và chạy ra kết quả bằng số sau cùng để có những minh hoạ thực tế cho những nhận xét nói trên. Hiện nay, tôi đang tiếp tục hoàn thiện việc soạn thảo phần mềm nói trên bằng ngôn ngữ Mathematica với hy vọng sau khi bảo vệ luận văn có thể hoàn thành được công trình nói trên. Đây cũng là hướng nghiên cứu sau luận văn thạc sỹ của bản thân tôi. − 60 − Tài liệu tham khảo [1] Ban chỉ đạo phòng chống lụt bão TW, "Quyết định về việc phê duyệt quy trình vận hành Hồ chứa Thuỷ điện Hoà Bình", Số 57/BPCLBTW, ngày 12/6/1997, Hà Nội. [2] Hội đồng thẩm định NN dự án TĐSL, Báo cáo thẩm định bổ xung dự án thuỷ điện SL theo những nội dung quốc hội yêu cầu , Hà Nội 26 - 02 - 2002. [3] Hội Ứng dụng Toán học VN, Ứng dụng mô hình toán học phục vụ Công trình Thủy điện Sơn la, Đề tài NCKH, Liên hiệp các Hội KH & Kỹ thuật VN, Hà nội 2002. [4] Hội Ứng dụng toán học Việt Nam, "Mô hình phân bổ dung tích phòng lũ-hạn trong vận hành an toàn, hợp lý hệ thống thuỷ điện 3 bậc thang trên Sông Đà", Đề tài KHCN Liên hiệp hội, Hà Nội 2006. [5] Nguyễn Quý Hỷ, "Phương pháp mô phỏng số Monte-Carlo", NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2004. [6] Nguyễn Quý Hỷ, N.V.Hữu, N.H.Quỳnh, P.T.Quát, H.Q.Thuỵ, "Mô hình điều khiển hợp lý nhà máy Thuỷ điện Hoà Bình", Báo cáo đề tài 10A-02-05, Bộ điện lực, Hà Nội 1987. [7] Nguyễn Quý Hỷ, Đặng Ngọc Tùng, Ưng dụng mô hình toán học phục vụ công trình thuỷ điện Sơn la (BC mời Toàn thể ), Tóm tắt BC Hội nghị TQ lần II về ƯDTH, Hà Nội 23-23/12/2005 (44-45). [8] Nguyễn Quý Hỷ, Trần Minh Toàn, Mai Văn Được, Tạp chí ƯDTH, Tập V, số 1, 2007, trang 65 - 101. [9] Nguyễn Quý Hỷ, Trần Thu Thuỷ, Mai Văn Được, Nguyễn Duy Phương, Vũ Tiến Việt, Tạp chí ƯDTH, Tập VI, số 1, 2008, trang 57 - 92. [10] Nguyễn Quý Hỷ, Mai Văn Được, Vũ Tiến Việt, Tạp chí ƯDTH, Tập VI, số 2, 2008, trang 75 - 110. − 61 − [11] N.L.Ninh, P.H.Nhật, N.X.Đặng, V.H.Hoà, "Báo cáo thẩm tra dự án thuỷ điện Sơn La", ĐHXD Hà Nội 2002. [12] Huỳnh Bá Kỹ Thuật, Nguyễn Xuân Đặng, Trịnh Trọng Hàn, . . . , Báo cáo kết quả thẩm định các TL NCKT của BC bổ sung công trình thuỷ điện SL, T. 1, ĐHXD 1 - 2001. [13] A.Bensoussan E.Gerald Hurst, Jr.B. Nauslund, "Management applications of mod- ern control theory", North Holland Publ, CMP Amsterdam-New York 1974. [14] Ju.M. Ermolev, "Các phương pháp quy hoạch ngẫu nhiên" (tiếng nga), Izd.Nauka, Miskva 1978. [15] Ju.M. Ermolev, V.P. Gulenko, T.I Sarenko "Phương pháp sai phân hưux hạn trong các bài toán điều khiển tối ưu" (tiếng nga), Izd.Naukova Dumka, Kiev 1978. [16] W.H.Fleming, R.W.Rishel, "Deterministic and Stocharstic optimal control", Springer-Verlag, Berlin-New York 1975. − 62 −