Phương pháp giảng dạy - dạy học đường thẳng trong 2 bộ sách giáo khoa

GVHD: PGS-TS Lê Thị Hoài Châu PAGE  PAGE 2 SVTH : Võ Duy Ngoan Lời nói đầu Trách nhiệm của người giáo viên đứng trên bục giảng không chỉ đơn thuần là trình bày cho học sinh những gì sẵn có trong Sách giáo khoa mà còn phải làm cho học sinh nắm được tri thức mà mình truyền đạt , đồng thời giúp học sinh biết linh hoạt sử dụng trong từng trường hợp cụ thể .Chính vì vậy , môn phương pháp dạy học sẽ giúp ít nhiều cho người giáo viên trong công tác giảng dạy và nghiên cứu . Điều đó cho thấy tầm quan trọng của môn phương pháp giảng dạy . Ngoài việc đổi mới nội dung sách giáo khoa , thay đổi phương pháp giảng dạy trong nhà trường phổ thông thì việc thay đổi trong tư duy làm việc của giáo viên là thật sự cần thiết . Giáo viên tự đổi mới phương pháp trong việc tìm hiểu , nghiên cứu SGK để từ đó hệ thống hóa kiến thức một cách chính xác và đầy đủ về chương trình giảng dạy .Điều này sẽ giúp người giáo viên tìm hiểu để khắc phục những hạn chế của chương trình , đồng thời đưa ra những phương án giảng dạy phù hợp . Mặt khác chương trình phổ thông có sự liên kết với nhau , mà đây cũng là vấn đề đáng quan tâm. Khai thác được yếu tố này trong giảng dạy sẽ giúp học sinh hình thành khả năng so sánh , tư duy trong học toán …cũng như tránh được sự nhàm chán cũng như sự lẫn lộn của các loại kiến thức mà học sinh sẽ gặp phải Trong thực tế chương trình phổ thông có những kiến thức trình bày ở nhiều phân môn khác nhau , nhưng trong giới hạn của bài tiểu luận chỉ trình bày mối quan hệ giữa hình học giải tích và đại số thông qua nội dung giảng dạy về “đường thẳng “ với “ Hàm số , phương trình , bất phương trình “ chủ yếu phân tích SGK lớp 10 chương trình cải cách , để phục vụ cho công tác giảng dạy sau này Em cũng xin cảm ơn PGS.TS Lê Thị Hoài Châu đã hướng dẫn em hoàn thành bài tiểu luận này .Đồng thời cảm ơn anh chị và bạn bè trong việc cung cấp những tài liệu hết sức hữu ích cho bài tiểu luận của tôi Sinh viên thực hiện Võ Duy Ngoan MỤC LỤC A . GIỚI THIỆU I . Lý do chọn đề tài 3 II . Xây dựng đề cương nghiên cứu 3 Mục đích nghiên cứu Định hướng nghiên cứu Phương pháp và tổ chức nghiên cứu B . LỊCH SỬ 4 I . Lịch sử của mối quan hệ giữa đại số và hình học 1 . Tổng quan về lịch sử Hình học 4 2 . Đại số và một vài phương pháp giải bằng hình học 6 3 . Đôi nét về sự ra đời của một vài kí hiệu trong Đại số 8 II . KẾT LUẬN LỊCH SỬ 9 C. PHÂN TÍCH VÀ ĐÁNH GIÁ 10 I . ĐƯỜNG THẲNG TRONG CHƯƠNG TRÌNH SÁCH GIÁO KHOA THCS SGK Lớp 6 : 10 Sách giáo khoa lớp 7 10 Sách giáo khoa lớp 9 11 II . PHÂN TÍCH SÁCH GIÁO KHOA LỚP 10 1 . SÁCH CƠ BẢN 13 2 . SÁCH NÂNG CAO 16 3 . TỔNG KẾT 19 4 . KẾT LUẬN SƯ PHẠM 19 A . GIỚI THIỆU I . LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Bản thân những tri thức của chúng ta học trong trường phổ thông thì luôn tồn tại mối quan hệ giữa đại số và hình học , nhưng đã có mấy ai thật sự quan tâm và đi sâu nghiên cứu đến vấn đề này một cách có hệ thống ?. Ngay cả một số giáo viên ở Phổ thông cũng không mấy chú trọng đến nó , và các công trình nghiên cứu thì cũng không phổ biến ! Khi mà vấn đề được giải quyết thì sự rời rạc trong kiến thức của học sinh sẽ được hạn chế rất nhiều, và một khi học sinh thấy được mối quan hệ giữa hình học và đại số sẽ giúp các em vận dụng có hiệu quả trong việc giải quyết các bài tập . Cũng từ đó sẽ xóa nhòa trong suy nghĩ của học sinh về sự phân biệt giữa hình học , giải tích và đại số , để từ đó sẽ có sự tôn trọng đúng mức đối với từng phân môn. Các mối liên hệ này thể hiện về nhiều mặt , nhiều nội dung và khía cạnh khác nhau , nhưng ’’đường thẳng “ và những ứng dụng của nó trải dài trong trường Phổ thông , một kiến thức cũng không kém phần quan trọng , nhất là ở chương trình lớp 10 cải cách Do kiến thức về đường thẳng được phân bố rất rải rác ở từng khối lớp và từng cấp học khác nhau , vì vậy mà việc hệ thống mà cách chính xác và mang tính logic , chặt chẽ là hết sức cần thiết. Từ đó giúp phát triển khả năng so sánh , hệ thống kiến thức, .. cho học sinh II . XÂY DỰNG ĐỀ CƯƠNG NGHIÊN CỨU Mục đích nghiên cứu Xem xét mối quan hệ giữa hình học , giải tích và đại số trong quá trình dạy học nhằm giải quyết các vấn đề sau : Hình học giải tích đề cập về “ đường thẳng” như thế nào ? Đại số xem xét “ đường thẳng “ ra sao ? Sách giáo khoa đã tạo ra mối liên kết giữa hình học , giải tích và đại số ở góc độ nào ? Nghiên cứu sự kết hợp các kiến thức giữa hình học , giải tích và đại số giải quyết được vấn đề gì ? Nội dung nghiên cứu Làm rõ mối quan hệ giữa hình học , giải tích và đại số trong lịch sử . Các sách giáo khoa trình bày về kiến thức về đường thẳng và những kiến thức có liên quan ra sao ? Làm rõ mối quan hệ mà sách giáo khoa đã tạo ra . Phương pháp tổ chức nghiên cứu Nghiên cứu lịch sử về mối liên hệ giữa hình học , giải tích và đại số Tổng hợp chương trình sách giáo khoa phổ thông về “ đường thẳng “ lớp 6 , 7 , 9 và tập trung ở sách giáo khoa 10 Nghiên cứu mối quan hệ mà SGK đã tạo ra . B . LỊCH SỬ I . LỊCH SỬ CỦA MỐI QUAN HỆ GIỮA HÌNH HỌC , GIẢI TÍCH VÀ ĐẠI SỐ Theo dòng chảy lịch sử của hình học , giải tích và đại số ghi nhận những công lao to lớn của các nhà toán học nổi tiếng như : Pythagoras, Thales, Euclide , Cantor,Eudoxus , Fermat…những đóng góp của các nhà toán học đã tạo nên sự phát triển rực rỡ của toán học ngày nay . 1 . Tổng quan về lịch sử Hình học Cũng như khái niệm số, những kiến thức đầu tiên về hình học đã nảy sinh vào thời kỳ sơ khai, bắt nguồn từ hoạt động thực tiễn phong phú của loài người . Từ công việc cày cấy ,cất nhà đều đòi hỏi phải đo đạc đến việc phải biết các quy tắc vạch đường thẳng để dựng những chiếc cột hay bức tường thẳng đứng..v.v . Tất cả những điều đó đều không thực hiện được nếu không biết đến những kiến thức cơ bản về hình học Phương Đông , trong đó chủ yếu là Ai Cập và Babylon , được xem như cái nôi của hình học . Những tài liệu toán học cổ nhất mà người ta tìm thấy được là các bảng tính của người Babylon ( từ 1800 đến 1500 TCN và một quyển sách viết trên giấy cói của người Ai Cập ( khoảng 1650 TCN ) . Hai tài liệu cổ này cho chúng ta thấy nguồn gốc của hình học gắn liền trực tiếp với những vấn đề thực tế ,mà trước hết là việc đo đạc ruộng đất và xây cất các công trình kỷ niệm Những thành tựu của người Hy Lạp thế kỷ thứ IV TCN đánh dấu sự chuyển biến sâu sắc , kể từ giai đoạn này trở đi thì hình học mới nhanh chóng trở thành một khoa học suy diễn và trừu tượng . Sự chứng minh bằng logic đã trở thành phương pháp cơ bản để khẳng định tính chân thật của một mệnh đề toán học . Bắt đầu từ Thales , ông đã tìm cách chứng minh các mệnh đề toán học . Trong thực tế Pythagore mới là người mang lại những biến đổi sâu sắc cho hình học ..Để nghiên cứu hình học , ông xuất phát từ cơ sở đầu tiên của nó , và cố gắng chứng minh bằng các định lý bằng suy luận logic , chứ không phải bằng cách dựa vào trực giác . Và ông cũng đã từng “ Giải phương trình bậc hai bằng hình học ( áp dụng các phép tính về diện tích ) “ . Các qui luật cơ bản đã được phát triển thời Aristore( 384 – 322 TCN) và hệ tiên đề đầu tiên của hình học đã được xây dựng bởi Euclide vào khoảng 300 năm TCN . Hình học lúc này được xem là công cụ hiệu quả nhất , dựa vào các tiên đề hình học nhiều mệnh đề toán học được chứng minh và hình học 2 chiều , 3 chiều phát triển mạnh mẽ .Hình học trong thời kỳ này có tính chất trực quan dễ hiểu nên hầu hết các bài toán đại số đều có thể giải quyết bằng công cụ hình học . Trong thời kỳ này người ta tôn sùng bộ môn hình học , do đó nhiều nhà toán học cũng chịu ảnh hưởng và đi nghiên cứu về nó . Điều này giải thích tại sao trên cửa chính của Viện , Platon cho khắc dòng chữ “ Không ai cần vào dưới mái nhà của tôi nếu người đó không phải là một nhà hình học “ Đã nhắc đến hình học thì không thể không lưu tâm đến hình học giải tích , một phân môn mà có thể nhìn thấy sự gắn kết giữa hình học và đại số . Hình học giải tích là bộ môn nghiên cứu các đối tượng hình học bằng công cụ của đại số dựa trên cơ sở phương pháp tọa độ . Thực chất của phương pháp tọa độ trên mặt phẳng là : vị trí của mổi điểm được xác định bởi giao điểm của hai đường ( gọi là hai đường tọa độ ) thuộc hai hệ đường tọa độ khác nhau ..Hai hệ đường đó lập nên lưới tọa độ , thỏa mãn điều kiện : Qua mỗi điểm trên mặt phẳng có một và chỉ một đường của hệ . Như vậy , một phép tương ứng một – một được thiết lập giữa các điểm của mặt phẳng Euclide với các cặp số x và y (tọa độ của điểm ) , cặp số đó xác định vị trí của điểm trên mặt phẳng đang xét.Vị trí của điểm trong không gian cũng được thiết lập một cách tương tự . Tên gọi của hình học giải tích hình thành từ lịch sử và được duy trì một cách vững chắc , nhưng không phản ánh đúng nội dung của khoa học này . Đặc trưng của hình học giải tích trước hết không phải ở chỗ ứng dụng đại số vào hình học và do đó ở chỗ sử dụng phương pháp giải tích mà trước hết ở chỗ ứng dụng phương pháp tọa độ . Cho nên đúng hơn thì nên gọi là hình học tọa độ Phương pháp tọa độ là một thành tựu của thế kỉ XVII – XVIII nhưng đã có nguồn gốc trong lịch sử cổ đại . Người ta thấy mầm mống của khái niệm tọa độ ở các nhà toán học Ai Cập thời xưa , đã sử dụng các tọa độ song song ( các đoạn thẳng ) khi thực hiện các công trình xây dựng . Các nhà thiên văn Hy Lạp ( Hippacc thế kỉ II TCN & Ptolemee thế kỉ II sau CN ) đã dùng các tọa độ cầu ( vĩ độ và kinh độ ) để xác định vị trí của các điểm khác nhau trên mặt đất . Tuy nhiên sự phát triển phương pháp tọa độ ở các nhà toán học Hy Lạp đã bị kìm hãm do chưa có kí hiệu bằng chữ và chưa có một quan niệm tổng quát về số Các nhà bác học người Pháp là Fermat và Descartes đã cống hiến lớn nhất trong việc xây dựng nên hình học giải tích . Nhờ dùng các kí hiệu bằng chữ do nhà bác học người Pháp đề xuất , cả Fermat và Descartes ( độc lập với nhau ) đã đồng thời cống hiến cho khoa học một phương pháp mới – phương pháp tọa độ , làm cơ sở cho hình học giải tích do các ông xây dựng nên vào thế kỉ VII .Tư tưởng cơ bản của phương pháp do hai ông xây dựng là biểu diễn các quan hệ hình học bằng những phương trình đại số thông qua trung gian là một hệ tọa độ . Nhờ phương pháp này , mọi bài toán hình học có thể chuyển thành bài toán đại số và việc giải bài toán thứ hai thường dễ thực hiện hơn là giải trực tiếp bài toán ban đầu . Nhà tư tưởng vĩ đại Descartes đã hiểu rõ hơn người cùng thời ông là Fermat , về tính hạn chế và đặc thù của bộ môn hình học tổng hợp của các nhà toán học cổ đại . Một cống hiến lớn của Descartes so với Fermat là đã đưa vào toán học đại lượng biến thiên , sáng tạo ra một hệ kí hiệu thành đạt hơn , thiết lập được sự liên hệ chặt chẽ giữa không gian và số , giữa đại số và hình học . Vì vậy , người ta xem Descartes là người sáng lập có công nhất của hình học giải tích . Theo Engel thì đại lượng biến thiên của Descartes là một bước ngoặc trong toán học , do đó mà toàn bộ toán học cao cấp và các ngành toán học tự nhiên phù cận đã có khả năng phát triền mạnh mẽ. Nhà sáng lập hình học giải tichd Descartes đã không thể thực hiện đến cùng việc số học hóa hình học . Ông không mở rộng phương pháp tọa độ vào không gian và tự hạn chế trong việc nghiên cứu các đường cong phẳng , hệ tọa độ của ông chưa được hoàn thiện : chỉ có một trục nằm ngang , còn các tung độ được xem như các đoạn thẳng biến đổi song song , chưa có sự phân biệt rõ ràng về dấu của các tọa độ Việc chuyển phương pháp tọa độ vào không gian ba chiều chỉ được thực hiện vào cuối thế kỉ XVII , và tiếp tục trong thế kỉ XVIII , trong các công trình của một số nhà bác học mà trước hết là Clairot và Euler. Và đến cuối thế kỉ XVIII hình học giải tích đã trở thành một môn khoa học hoàn chỉnh , được đưa vào giảng dạy ở những năm đầu tiên của bậc đại học. Sự ra đời của phương pháp mới đã xác lập mối quan hệ mật thiết giữa hình học và đại số , đem lại khả năng khái quát cho lời giải các bài toán hình học. 2 . Đại số và một vài phương pháp giải bằng hình học S1= a2S2=abS3=abS4= b2 Đại số thuở ban đầu chưa có những kí hiệu toán học như ngày nay. Do đó bài toán đại số được viết ra để truyền đạt đều bằng lời rất khó hiểu và cồng kềnh . Vì vậy , đại số ít được sử dụng . Tuy nhiên , nhiều công thức đại số được ra đời nhưng lại không chứng minh bằng ngôn ngữ đại số mà được thông qua hình học . Mượn hình học đểy x M chứng tỏ tính hợp lí của các đại lượng trong đại số . Từ các bài toán đơn giản như trung bình tỉ lệ Trung bình của x và y được biểu diễn qua hình học là điểm chính giữa của đoạn thẳng xy Hay hằng đẳng thức (a+b)2 = a2 + b2 +2ab Khi đó ta vẽ được cạnh hình vuông là a + b , từ đó ta chia hình vuông này thành hai hình vuông và hai hình chữ nhật như hình vẽ . Từ đó , diện tích S = S1 + S2 + S3 + S4 Đó chính là (5/2)2 5/2X(5/2)2 5/2X X2 5/2X(5/2)2 5/2X(5/2)2  Đến giải phương trình ta có thể biễu diễn hình học bằng hình vuông có cạnh băng (X + 5) , trong hình vuông đó ta có thể chia thành 4 hình vuông có cạnh bằng 5/2 , một hình vuông cạnh bằng X và 4 hình chữ nhật có chiều dài bằng X và chiều rộng là 5/2 như hình vẽ . Diện tích của bốn hình vuông (ở các góc) là : Diện tích phần in đậm là : Diện tích hình vuông lớn là : Lúc này : Do đó : x = 3 Vào thế kỉ thứ III sau CN bài toán tính tổng n số tự nhiên xuất hiện . Lúc đó công thức này chưa được chứng minh bằng phương pháp quy nạp như ngày nay mà được chứng minh thông qua hình học Ta có thể biểu diễn các số vào một tam giác vuông cân có cạnh n.Trên các dòng từ 1 đến n ta sắp xếp từ 1 đến n phân tử rồi gắp điểm A lên sao cho đường chéo của tam giác cũ không trùng với đường chéo của tam giác mới thì ta nhận được hình chữ nhật có cạnh là n+1. Khi đó diện tích của hình chữ nhật bằng n(n+1) Hình chữ nhật này được tạo ra từ hai tam giác của biểu diễn n số tự nhiên đầu tiên như diện tích của một tam giác là n(n+1)/2 Vậy công thức đã được chứng minh bằng hình học Căn bậc hai của số học của 2 cũng được lấy từ hình học và được định nghĩa là độ dài hình học của cạnh huyền trong tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng 1 1 1 3 . Đôi nét về sự ra đời của một vài kí hiệu trong Đại số Toán học không dừng lại ở đó mà tiếp tục phát triển và củng cố nền hình học với sự ra đời của các đường cong phức tạp . Lúc này hình học không thể mô tả một cách trực quan bằng hình vẽ được . Hơn nữa cách chứng minh cũng không thể dựa vào hình vẽ như trước đây được nữa . Điều này đã đẩy các nhà toán học đi tìm con đường mới , do đó mà đại số được chú ý quan tâm hơn nhiều . Các kí hiệu toán học ra đời . Ví dụ phép toán nhân đã được người Hindu dùng cách viết Bha ( âm tiết đầu của từ Bhavita nghĩa là tích ) giữa các nhân tử . Năm 1631 William Oughtred (1574 – 1660 ) người Anh đã dùng dấu “x “ trong tác phẩm của mình và ngày nay dấu “x” vẫn được sử dụng . Dấu “ . “ thay cho phép nhân được Thomas Harriot (1560 -1621 ) được dùng song ít được sử dụng , nhưng đến năm 1684 Gottfried Wihelm Leibnitz ( 1-7-1646 _ 4-11-1716 ) người Đức chấp nhận nó Dấu “” được Leibnitz dùng khi làm phép nhân và ngày nay nó được dùng để chỉ phép giao trong toán lý thuyết tập hợp Đối với người Hindu còn thể hiện cách viết chia bằng cách viết số chia trên số bị chia . Ví dụ : 4 chia cho 5 bằng 4/5 . Sau đó JohnPell (1630 ) dùng dấu “” rồi 1684 Leibnitz dùng dấu “:” . Năm 1525 , trong cuốn “Dieloss” Ch . Rubolff đã đưa dấu “” vào sử dụng thay thế cho cách viết Rq của người Hindu … Với nhiều kí hiệu lần lượt ra đời thì các phép toán không còn cồng kềnh khó chịu như trước nữa nên phát huy được sức mạnh , sự thuận tiện và ưu việt hơn .Thời kì này là sự thống trị của đại số do công cụ đại số tỏ ra rất hiệu quả . Sự ra đời của đại số làm cho vị trí của đại số được củng cố . II . KẾT LUẬN LỊCH SỬ Như thế , trong lịch sử , quan hệ giữa Đại số và Hình học được thiết lập trước hết ở chỗ Hình học cho phép giải một số bài toán đại số mà lời giải khó tìm thấy trong phạm vi Đại số Về sự thống trị của hình học trong giai đoạn đầu , trước khi Hình học giải tích lên ngôi , việc phân tích đưa ra hai lý do : Những lí do gắn liền với sự có trước của Hình học trong lịch sử : trước khi các phương pháp Đại số được xây dựng thì phương pháp Hình học đã phát triển đến độ mà chúng được xem như gắn liền với tư duy suy diễn và lập luận logic , Các nhà Đại số đầu tiên đã phải tìm trong Hình học ý nghĩa của lập luận của họ . Hình học đem đến cho họ một “ kho “ các bài toán đã được giải hay cần phải giải . Những bài toán như vậy , cho dù được giải theo kiểu Đại số đi chăng nữa thì cũng cần giải thích bằng Hình học . Các phương trình đại số về cơ bản được xem như bài toán Hình học Những lý do mang bản chất khoa học luận : Hình học gắn liền với việc nghiên cứu không gian vật lý . Cách biểu diễn bằng hình vẽ là một cách biểu diễn thích đáng và đem đến những phương tiện hiệu quả cho việc giải quyết vấn đề . Nó cũng mang lại cho các phương pháp Hình học một đặc trưng trực giác . Ngược lại đại số - được đồng nhất trước hết với lý thuyết các phương trình , lại không có những phương tiện thích đáng để biểu diễn các đối tượng của nó , Trong khi chờ đợi sự phát triển của xu hướng kí hiệu hóa . nó phải tự hài lòng với những lập luận logic rất cồng kềnh . Việc dịch bài toán Đại số sang Hình học –theo một đường vòng với nguyên lý “ thuần nhất “ ( một số tương ứng với độ dài , một bình phương hay tích hai số tương ứng với diện tích ) – cho phép mang lại nghĩa cho lập luận Đại số , đồng thời mang lại những phương tiện giải được phát triển hơn trong Hình học Chính sự phát triển xu hướng kí hiệu hóa đã đảm bảo tính độc lập của Đại số , mang lại cho nó những phương tiện biểu diễn và giải quyết riêng . Đại số kí hiệu cho phép người ta một cái nhìn trừu tượng , loại bỏ những ý tưởng trực giác và kinh nghiệm về các số (số - số lượng , số - số đo ) Bước chuyển này không chỉ xác nhận sự độc lập hoàn toàn của Đại số đối với Hình học mà còn đảm bảo sức mạnh và khả năng phát triển của nó. Descartes và Fermat đã đánh giá đúng sức mạnh của phương pháp Đại số so với phương pháp Hình học . Như thế trong Toán học , sự ra đời của đại số kí hiệu và Hình học giải tích đã làm đảo lộn vai trò của các phương pháp Đại số và các phương pháp Hình học. C . PHÂN TÍCH VÀ ĐÁNH GIÁ I . ĐƯỜNG THẲNG TRONG CHƯƠNG TRÌNH SÁCH GIÁO KHOA THCS SGK Lớp 6 : Trong chương trình SGK , khái niệm về đường thẳng được đề cập trong phần Hình học Sách giáo khoa 6 đưa khái niệm theo phương pháp kiến thiết , mô tả : “ Sợi chỉ cẳng thẳng , mép bảng cho ta hình ảnh của đường thẳng . Đường thẳng không bị giới hạn về hai phía “ Ở đây học sinh hiểu khái niệm dưới dạng mô tả những hình ảnh cụ thể . Để rồi từ đó tiếp tục dùng những hình ảnh trực quan để đưa vào những khái niệm về vị trí hai đường thẳng: trùng nhau , cắt nhau , song song ... Chương trình đại số thì chưa đề cặp đến đường thẳng. a Sách giáo khoa lớp 7 Đại số : Ngay sau khi đưa khái niệm “ Mặt phẳng tọa độ “,thì đồ thị của hàm số y=ax (a0 ) đã được đề cặp đến , SGK đã công nhận “ Đồ thị của hàm số y = ax (a0 ) là một đường thẳng đi qua gốc tọa độ ”.Yêu cầu ở chương trình chỉ đòi hỏi học sinh biết cách vẽ đồ thị và xác định điểm trên đồ thị . Hình học : vẫn tiếp tục đưa vào những khái niệm liên quan đến đường thẳng : hai đường thẳng vuông góc , các góc tạo bởi các đường thẳng cắt nhau ,… Điều rất dễ nhận thấy , là tác giả không vội đưa vào đường thẳng y = ax với a = 0. Ở đây , chương trình chưa thể hiện mối quan hệ của đường thẳng trong đại số và trong hình học Sách giáo khoa lớp 9 Đại số Trong phần hàm số SGK đã tiếp tục giới thiệu đồ thị của hàm số y = ax + b ( a0 ) , đây là sự tiếp nối chương trình SGK lớp 7. Ngoài cách khẳng định của SGK : > Kèm theo phần kết luận là hình vẽ rất trực quan về mối liên hệ đó . Như vậy , người viết sách đã vận dung khái niệm song song mà các em đã học trong hình học trước đó . Và ở đây rõ ràng tác giả đã bước đầu tạo dựng mối liên hệ giữa đường thẳng trong Đại số và trong hình học . Và một chú ý mà tác giả đã chủ định đưa vào :“ Đồ thị của hàm số y = ax + b (a0) còn được gọi là đường thẳng y = ax + b A: b được gọi là tung độ gốc của đường thẳng “, đã thể hiện ý đồ của tác giả Câu chú ý đó như là bàn đạp để tác giả tiếp tục sử dụng hai từ “ đường thẳng “ , trong việc dẫn dắt vấn đề ở các phần tiếp theo của quyển sách , nhằm tạo thói quen gắn kết giữa lí thuyết Đại số trong chương này với khái niệm trong hình học . Ngoài việc đưa các khái niệm trong hình học vào Đại số , tác giả còn đưa vào biểu thức đại số gắn với khái niệm đó . Như kết luận sau : > Từ các kết luận trên tác giả đã đưa các dạng bài tập để học sinh sử dụng các công cụ đại số ở trên . SGK đã dẫn dắt bằng ví dụ cụ thể để đến kết luận , nhằm giúp học sinh không có cảm giác bị áp đặt kiến thức ở đây . Điều dễ nhận thấy không chỉ đưa ra biểu thức đại số tác giả còn minh họa bằng hình vẽ , nhằm tạo hình ảnh trực quan , cũng là cách giúp học sinh dễ hình dung mối quan hệ giữa đường thẳng trong đại số và trong hình học . Ở đây , SGK cũng không mặn mà trong việc đưa vào đồ thị của hàm số y = ax + b(a= 0 ) SGK cũng đưa vào khái niệm hệ số góc bằng cách phân tích các ví dụ cụ thể ,trước khi chỉ rõ “ a là hệ số góc của đường thẳng y = ax + b “ . Như vậy , tác giả lại tiếp tục chuỗi gắn kết khái niệm góc trong hình học vào đại số với khái niệm “hệ số góc “, Trong Đại số 9 , tác giả tiếp tục khai thác những lợi thế của hình học trong việc giải thích các kiến thức trong đại số , nhất là biểu diễn nghiệm và tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn và hệ phương trình bậc nhất hai ẩn. Thí dụ : biểu diễn nghiệm tổng quát của phương trình 2x – y = 0 (1) Phương trình (1) có nghiệm Và khẳng định , tập các điểm biểu diễn các nghiệm của phương trình là đường thẳng y = 2x - 1 Trong phần này tác giả gián tiếp đưa đồ thị của hàm số y = ax + b với a= 0 qua ví dụ biểu diễn nghiệm của phương trình 0x + 2y = 0; và biểu diễn đồ thị của hàm số x = c ( ) qua ví dụ 4x + 0y = 0 Từ các trường hợp cụ thể trên tác giả tổng quát hóa “ 1) Phương trình bậc nhât hai ẩn ax + by = c luôn có vô số nghiệm . Tập nghiệm của nó được biểu diễn bởi đường thẳng ax + by = c , kí hiệu là (d) 2) Nếu a0 và b0 thì đường thẳng (d) chính là đồ thị của hàm số bậc nhất y = Nếu a0 và b = 0 thì phương trình trở thành ax = c hay x = , và đường thẳng (d) song song hoặc trùng với trục tung Nếu a = 0 và b0 thì phương trình trở thành by = c hay y = , và đường thẳng ( d) song song hoặc trùng với trục hoành . “ Như vậy , SGK đã nhìn nhận tập nghiêm của phương trình bậc nhất hai ẩn là một đương thẳng , và việc chuyển từ đường thẳng ax + by = c sang dạng đường thẳng y = Ax + B cũng đã được chỉ ra , và tất cả các trường hợp dạng biểu diễn tổng quát của một đường thẳng trong mặt phẳng cũng được nêu lên. Trong bài hệ phương trình bậc nhất hai ẩn , tập nghiệm của hệ cũng được minh họa bằng hình học , bằng các ví dụ cụ thể , tác giả đi đến kết luận : “ Đối với hê phương trình (I) , ta có : Nếu (d) cắt (d’) thì hệ (I) có một nghiệm duy nhât Nếu (d) song song (d’) thì hệ (I) vô nghiệm Nếu (d) trùng với (d’) thì hệ có vô số nghiệm “ Và đưa ra chú ý khá quan trọng “ Từ kết quả trên ta thấy , có thể đoán nhận số nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn (I) bằng cách xét vị trí tương đối của các đường thẳng ax + by = c và a’x + b’y = c’. “ Lại một lần nữa ta thấy được sự quan trọng và hết sức cần thiết về việc sử dụng hình học trong việc giải thích các vấn đề trong đại số , tiêu biểu đó là mối liên hệ trong cách biểu thị tập nghiệm trong hệ phương trình đại số với vị trí của hai đường thẳng trong Hình học. Nhận xét : Kết thúc chương trình THCS , học sinh đã cơ bản làm quen với khái niệm đường thẳng trong Hình học , biết cách vẽ các dạng đồ thị của đường thẳng , và biết cách nhận biết cũng như xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng thông qua các biểu thức Đại số . Biết biểu diễn tập nghiệm của phương trình và hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng đồ thị của các đường thẳng . II . PHÂN TÍCH SÁCH GIÁO KHOA LỚP 10 1 . SÁCH CƠ BẢN Đại số Nội dung: - ôn tập hàm số bậc nhất và đồ thị của nó và đồng thời nêu lên chiều biến thiên của nó trình bày đồ thị hàm số y = b ( là hàm số y = ax + b với a= 0) Hàm số hằng y = b được trình bày qua một hoạt động . Học sinh xét một hàm số cụ thể y= 2 , xấc định một số điểm cụ thể trên đồ thị của hàm số này m qua đó nhận biết được đồ thị của hàm số y = b . Nhận xét : Thật ra trong chương trình THCS học sinh đã được làm quen và vẽ đồ thị hàm số y = b , do vậy cũng không nên quá chi tiết , còn nếu đây là vấn đề thật qua khó thì tác giả cũng phải lưu tâm hơn đến đồ thị của hàm số x = c , vì nếu tác giả nhìn nhận đây là vấn đề khó tiếp cận và hàm hằng là hàm số đặc biệt thì không nên bỏ qua hàm số x = c. Đối với bài Phương trình và hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn Phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c , khi ôn tập , SGK nhấn mạnh điều kiện a và b không đồng thời bằng 0 , Điều này phù hợp với tên gọi bậc nhất , đồng thời cũng đơn giản hóa việc biện luận Trường hợp a= b = 0 xét riêng , khi đó phương trình không còn là phương trình bậc nhất nữa , . Qua chú ý > Như vậy , tác giả cũng không quên nhấn mạnh ý nghĩa trong việc chuyển từ phương trình (1) về dạng phương trình đường thẳng quen thuộc . Đồng thời SGK cũng nhắc lại sự tương ứng một – một giữa tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn với tập các điểm trên một đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ Oxy Đối với hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn SGK chỉ nêu lại định nghĩa , còn việc ôn tập cách giải được cho trong hoạt động .Dụng ý của tác giả là muốn để cho giáo viên linh hoạt sử dụng thời gian lên lớp .Tùy theo tình hình từng lớp cụ thể mà đưa vấn đề cho học sinh một cách giải quyết phù hợp Bất phương trình bậc nhât hai ẩn và nghiệm của nó được khái quát từ những ví dụ cụ thể Nêu qui tắc vẽ miền nghiệm của một bất , đẳng phương trình bậc nhất hai ẩn Biểu diễn hình học tập nghiệm của một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn được trình bày qua một ví dụ cụ thể Trình bày một ví dụ cụ thể về ứng dụng của hệ BPT bậc nhất hai ẩn trong thực tế .Tuy nhiên , bài toán tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của biểu thức F = ax + by chỉ được nêu trong một bài đọc thêm nhằm giảm tải. Hình học Trong phần phương trình đường thẳng , SGK đã giới thiệu về phương trình tham số trước rồi sau đó mới giới thiệu về phương trình đường thẳng tổng quát . Cách trình bày này có vẻ tự nhiên và hợp lý vì nói tới đường thẳng người ta nghĩ ngay tới việc xác định nó bằng một điểm và một vectơ chỉ phương .Ta có phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm M(x0 , y0 ) và có vectơ chỉ phương = ( u1,u2) là : với u12 + u22 0 Phương trình đường thẳng tổng quát của đường thẳng đi qua điểm M0(x0,y0) và có vectơ pháp tuyến = ( a,b) là : a(x-x0) + b(y- y0) = 0 với a2 + b2 0 Phương trình đường thẳng đi qua điểm M0(x0,y0) và có hệ số góc k là : y –y0 = k(x-x0) Chủ yếu của SGK trong phần này là học sinh biết cách xét vị trí tương đối của các đường thẳng thông qua việc xét các phương trình của chúng , biết cách tính góc giữa hai đường thẳng và biết tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng bằng phương pháp tọa độ Cách trình bày của SGK x y M0 M Gọi là đường thẳng đi qua điểm M0(x0,y0) và nhận = ( v1,v2) làm vectơ chỉ phương , Do đó : M(x,y ) với t là tham số (1) Phương trình (1) gọi là phương trình tham số của đường thẳng .Dựa vào phương trình này , ta biết ngay tọa độ điểm thuộc vì ứng với giá trị t = 0 , ta có x = x0 và y = y0 . Hơn nữa chúng ta còn biết rằng đường thẳng nhận vectơ = ( v1,v2) làm véc tơ chỉ phương. Phương trình tổng quát của đường thẳng Từ phương trình tham số của đường thẳng nếu ta khử tham số thì ta sẽ được phương trình tổng quát của đường thẳng có dạng ax + by + c = 0 trong đó a và b không đồng thời bằng 0 . Muốn khử tham số t , ta chỉ cần rút t từ một trong hai phương trình của (1) rồi thay giá trị t vào phương trình còn lại ta sẽ được phương trình tổng quát của đường thẳng đó viết dưới dạng ax + by + c = 0 Mặt khác ta cũng có thể khử tham số t bằng cách sau đây : với điều kiện v1 và v2 đều khác 0 (2) Phương trình (2) có dạng ax + by + c = 0 Ngược lại người ta chứng minh được mọi phương trình bậc nhất có dạng ax + by + c =0 trong đó a và b không đồng thời bằng 0 đều là phương trình của đường thẳng M0 M(x,y) x y SGK lớp 10 đã trình bày cách thành lập phương trình tổng quát của đường thẳng theo một cách khác . Ta gọi là vecto pháp tuyến của đường thẳng nếu vuông góc với vectơ chỉ phương của nghĩa là ( tất nhiên nghĩa là các số a , b không đồng thời bằng 0 ) . Ta thành lập phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm M0(x0,y0) và nhận làm véctơ pháp tuyến như sau : M(x,y) ax + by + c = 0 Với c = - ax0+ by0 SGK lớp 10 không nêu tên phương trình chính tắc của đường thẳng về thực chất , đây là 1 dạng phương trình tổng quát đã học . Hơn nữa nếu viết phương trình đường thẳng dưới dạng này , ta phải quy định nếu thêm đối với trường hợp v1 = 0 hoặc v2 = 0 . Vì lúc đó xuất hiện việc chia cho số 0 là một việc thường được né tránh . Đây là sự khác biệt so với sách 12 (NXBGD 2000). Ngoài hai dạng phương trình đường thẳng nêu trên SGK 10 có đề cặp đến dạng phương trình đường thẳng theo hệ số góc k sau đây : Thực chất đây là một dạng phương trình đường thẳng tổng quát của đường thẳng mà chúng ta có thể gặp trong lúc làm bài tập về lập tiếp tuyến của đường tròn. 2 . SÁCH NÂNG CAO Về cơ bản sách nâng cao cũng có những nôi dung giống như sách cơ bản , nhưng có những phần thêm vào hay mở rộng ra để phù hợp với đối tượng học sinh khá giỏi : Đại số Điểm mới của SGK Đại số 10 nâng cao so với SGK Toán 8 và 9 là vấn đề giải và biện luận các phương trình bậc nhất và bậc hai có chứa tham số ( chủ yếu là 1 tham số ) .Học sinh cần hiểu rõ các yêu cầu của việc giải và biện luận một phương trình có chứa tham số Đối với hệ phương trình bậc nhất hai ẩn , trước đây học sinh đã biết cách giải bằng phương pháp thế và phương pháp cộng đại số , nay học sinh cần nắm vững cách sử dụng định thức để giải và biện luận các hệ phương trình có chứa tham số Định thức cấp 2 Việc đưa định thức vào để giải quyết hệ phương trình bậc nhất hai ẩn trong SGK Đại số 10 nâng cao gặp phải một số khó khăn , đó là chương trình không cho phép đề cập đến khái niệm ma trận . Trong SGK , do không có khái niệm ma trận nên định thức cấp 2 được định nghĩa là hiệu số pq’ – p’q , kí hiệu là Thiết nghĩ định nghĩa như vậy là không ổn lắm tuy vẫn phải chấp nhận . Do đó , trong việc giảng chỉ cần nhấn mạnh cách trình bày định thức Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn Ta có thể giải bất phương trình bậc nhất hai ẩn , chẳng hạn 2x – y > 3 , như sau : 2x – y > 3 y 0 thì nửa mặt phẳng ( không kể bờ (d) ) không chứa điểm M là miền nghiệm của bất phương trình ax + by + c < 0. CHÚ Ý : Đối với các bất phương trình dạng ax + by + c 0 hoặc ax + by +c 0 thì miền nghiệm là nửa mặt phẳng kể cả bờ Ví dụ : Xác định miền nghiệm của bất phương trình 3x+y 0 Giải Trên mặt phẳng tọa độ , đường thẳng (d) : 3x + y =0 chia mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng Chọn một điểm bất kì không thuộc đường thẳng đó , chẳng hạn điểm M(0; 1).Ta thấy (0;1) không phải là nghiệm của bất phương trình đã cho .Vậy miền nghiệm cần tìm là nửa mặt phẳng bờ (d) không chứa điểm M(0,1). Trên hình miền nghiệm là nửa mặt phẳng không bị gạch ) Để giải hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn , ta lấy giao các miền nghiệm của các BPT của trong hệ bằng cách lần lượt gạch bỏ nửa mặt phẳng không phải là miền nghiệm của mỗi BPT trong hệ . Xác định miền nghiệm của hệ BPT : (d3) (d2) (d1) -1 -2 -3 -4 3 2 0 y x (I) Giải Trước hết ta vẽ ba đường thẳng : (d1) : 3x – y +3 =0 (d2) : -2x +3y – 6=0 (d3) : 2x + y + 4 =0 Thử trực tíếp ta thấy (0,0) là nghiệm của cả ba bất phương trình . Điều đó có nghĩa là gốc tọa độ thuộc cả ba miền nghiệm của ba bất phương trình của hệ(I) . Sau khi gạch bỏ các gạch trên hình ( không kể biên ) là miền nghiệm của hệ (I) Điều đáng chú ý là cách làm đó không thể hiện được trên đồ thị,trong số các điểm nằm trên biên điểm nào thuộc , điểm nào không thuộc miền nghiệm của hệ BPT Hình học Điều đáng chú ý ở đây là không chỉ đưa vào công thức xét vị trí tương đối của hai đường thẳng trong đại số mà còn có cả trong Hình học . Đây là một công cụ trong đại số đưa vào để giải quyết vấn đề Hình học Cách trình bày thứ tự của phương trình đường thẳng có phần ngược lại so với sách cơ bản . Phương trình đường thẳng tổng quát trước và phương trình tham số sau. Các công thức bằng định thức không hề được đưa vào trong sách cơ bản ,mà đưa vào sách Hình học nâng cao 3 . TỔNG KẾT Về cách biểu diễn hàm số : cả 4 cuốn sách giáo khoa đều công nhận : đồ thị của hàm số y = ax + b ( a 0 ) là một đường thẳng , gọi là đường thẳng y = ax + b , a gọi là hệ số góc ( thật ra là chỉ nhắc lại vì chương trình lớp 9 đã đề cặp đến ) Thật ra ngay từ đây đã có thể nói về điều kiện để hai đường thẳng song song , không cần đợi đến chương 3 của Hình học 10 (Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng ) Về giải và biện luận hệ phương trình bậc nhất hai ẩn : Chỉ có sách giáo khoa nâng cao đề cặp đến và dùng phương pháp đại số để đi đến kết quả , sau đó minh họa bằng đồ thị ( phần minh họa chỉ vẽ cho trường hợp cả bốn hệ số của ẩn trong hai phương trình đều khác 0). Lời giải biện luận tổng quát đều có sử dụng định thức . Đây là phương pháp mới đưa vào , ngoài việc cho phép trình bày lời giải ( bằng phương pháp cộng đại số ) một cách ngắn gọn hơn, chỉ thực sự cần thiết đối với việc giải các hệ phương trình có chứa tham số . .Với các hệ số bằng số học sinh cũng có thể linh hoạt chọn phương pháp thích hợp , không phải lúc nào cũng dùng định thức Ngoài cách sử dụng định thức thì có thể đưa vào cách sử dụng đồ thị để biện luận , cách làm này sẽ phù hợp hơn nếu học sinh lỡ quên công thức Sách giáo khoa bậc cơ bản không hề thiết lập một mối liên hệ nào giữa đồ thị hàm số bậc nhất và hệ phương trình bậc nhất hai ẩn . Về biểu diễn tập hợp nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn : hai sách không khai thác sâu về cách biểu diễn bằng đồ thị . Thiết nghĩ đây là kiến thức đã học lớp 9 , vì vậy cần nhắc lại để học sinh dễ dang trong việc học hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn . Về bất phương trình bậc nhất hai ẩn : SGK nâng cao trình bày cách xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn bằng đồ thị , còn SGK cơ bản thì không Về đường thẳng : trong chương 3 của phần hình học của SGK nâng cao là có thiết lập mối quan hệ với Đại số bằng cách chỉ ra : -Phương trình của đường thẳng có thể đưa về dạng y = ax + b - tg cũng chính là hệ số của đường thẳng 4 . KẾT LUẬN SƯ PHẠM Chúng ta đều nhận thấy rằng không phải ngẫu nhiên Đại số và Hình học , giải tích có mối liên hệ với nhau mà tất cả đều bắt nguồn từ trong lịch sử Người viết sách cũng như người dạy học đều nhận thấy điều đó , nhưng liệu rằng làm thế nào và bằng cách nào để có thể liên kết những kiến thức đó một cách có hiệu quả trong việc viết SGK và trong dạy học là hết sức quan trọng . Nó không những giúp học sinh thấy được Đại số và hình học có quan hệ mật thiết với nhau mà còn làm cho học sinh thấy hứng thú với vấn đề mình tiếp cận cũng như rèn luyện tư duy trong toán Qua việc phân tích SGK , những vấn đề trong Đại số liên quan đến phương trình đường thẳng được giải quyết một cách tương đối thông thoáng bằng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng Phương pháp tọa độ trên mặt phẳng trong hình học được trình bày dựa trên các kiến thức về vectơ và các phép toán về vectơ ( Không chỉ riêng về đường thẳng ) . Phương pháp này giúp học sinh “ đại số hóa “ các kiến thức đã có về hình học ( như đã phân tích về phương trình đường thẳng ) , và từ đó có thể giải quyết các bài toán hình học bằng thuần túy tính toán . Từ đó thấy được ý nghĩa của phương pháp tọa độ qua việc phân tích trên .Thông qua phương pháp tọa độ học sinh tập suy luận và tư duy một cách chính xác , tránh được những nhầm lẫn do trực giác gây ra , tạo điều kiện tiếp cận và làm quen với những phương pháp suy luận tổng quát hơn , nắm được những kiến thức cao hơn và sâu hơn , chuẩn bị tốt cho việc tiếp tục những hiểu biết rộng hơn và cao hơn sau này./.