Phương pháp lập năng lượng xác định tần số và dạng dao động riêng của dầm liên tục

xác nhất thu được qua việc lựa chọn vị trí khối lượng có chuyển vị lớn nhất, và điều này cũng là sự lựa chọn phù hợp. Với quá trình đơn giản hoá đã đưa chuyển vị này thành đơn vị, do vậy tần số được biểu diễn bởi: (4-13) Ví dụ 4.1: Xác định tần số và dạng dao động riêng thứ nhất của dầm có khối lượng tập trung như hình vẽ. Biết m1 = 2m0 ; m2 = m0 ; m3 = 3m0 ; m4 = 2m0 trong đó m0 = . m 1 2 m 3 m 4 m l/3 l/3 l/3 l/3 l/3 l/3 0.746 0.77 0.9843 1 1 0.6921 0.3272 0.5298 0.3719 0.414 1 1.358 1 2.743 0.388 0.2632 EJ=const Ma trận khối lượng có dạng: [M] = (kNs2/cm) (m0 = ) Ma trận độ mềm: [F] = [K]-1 = (cm/kN) (f0 = ) Bước 1: Chọn hàm dẫn (đường đàn hồi) thoả mãn điều kiện biên hình học. Bước 2: Xác định ma trận động. [B] = [F][M] = Bước 3: Xác định chuyển vị cho vòng lặp đầu tiên. Chọn w12 = 1 nên có thể viết: = == (Với a0 = 0.0144*m0f0) Vậy ta có: Ta có: w12 = trong đó k: tọa độ khối lượng mk. Thay số vào ta có: ịw1(1) = (1/s) Khi đã có w1(1) ta lặp lại từ bước 2 và tính được w1(2). Quá trình lặp về nguyên tắc khi sđƠ thì w1(s) đ w1. Tính tới bước lặp thứ 10 ta nhận được: Vậy thay số vào ta có: ịw1(6) = w1 = (1/s) Dạng dao động riêng thứ nhất có dạng: 4.3. Chứng minh sự hội tụ của quá trình lặp. Trong quá trình giả định hàm dạng, nếu ta giả định hàm dạng trùng với dạng dao động riêng thực thì tần số tìm được là tần số thực, do vậy sự hội tụ của dạng dao động riêng đồng thời với sự hội tụ của tần số thực. Cần chứng minh quá trình lặp ở phần trước (dùng để xác định dạng dao động đầu tiên) phải hội tụ tới dạng dao động riêng. Nói chung có thể mô tả qua việc công nhận rằng điều đó liên quan về cơ bản tới việc tính toán lực quán tính qua một số hàm dạng giả thiết, sau đó tính toán chuyển vị từ các lực này và lại tính lực quán tính từ những chuyển vị mới tính được…của quá trình lặp. Khái niệm này được mô tả qua hình (4-1). Hình 4.1: Quá trình phân tích lặp. v (0) v (0) (0) v (1) (2) 11 21 (3) 31 (0) f 11 Dạng giả định v 1 (0) Lực quán tính thu được f I (0) I 21 (0) I f 31 (0) I f Dạng tính toán v 1 (1) (1) (1) (1) v v (2) 11 21 (1) v (3) 31 Lực quán tính thu được f f I (1) 11 I f (1) 21 (1) I f 31 I (1) Hàm dạng ban đầu được giả thiết trong hệ toạ độ thông thường là: (4-14) trong đó Y1(0) là chuyển vị tương đối lớn nhất với một hàm dạng thử nghiệm. Vectơ lực quán tính liên quan với hàm dạng này tương ứng với tần số riêng đầu tiên sẽ là: (4-15) lấy theo phương trình (4-14) và viết ta sẽ được: (4-16) độ võng thu được từ lực quán tính này là: (4-17) hoặc: ở bài toán dao động riêng ta có: (4-18) Nhân trái cả hai vế phương trình trên với [k]-1 ta có , áp dụng vào phương trình (4-17) ta có: (4-19) Sau khi đơn giản hoá bằng cách chia cho thành phần lớn nhất ta thu được: (4-20) Quá trình lặp các vòng tiếp sau sẽ là: (4-21) với vòng lặp thứ s ta có: (4-22) kết quả cuối cùng thu được là: (4-23) 4.4. Phân tích dạng dao động cao hơn. 4.4.1. Phân tích dạng dao động thứ hai. Các biểu hiện về sự hội tụ trên của quá trình lặp ma trận đối với dạng dao động riêng đầu tiên cũng là cơ sở để dùng quá trình lặp đánh giá cho dạng dao động riêng cao hơn. Từ phương trình (4-22) ta có thể thấy rõ là nếu sự góp phần của dạng dao động riêng đầu tiên trong hàm giả thiết mà bằng không (Y1(0) = 0) thì sẽ dẫn đến dạng dao động riêng thứ hai; tương tự, nếu cả hai thành phần Y1(0) = 0 và Y2(0) = 0 thì quá trình lặp sẽ hội tụ đến dạng dao động riêng thứ ba…Do vậy để tính toán tần số thứ hai thì chỉ cần đơn giản là giả thiết hàm dạng thử sao cho không trùng với dạng dao động riêng thứ nhất. Việc khử thành phần của dạng dao động riêng thứ nhất trong dạng dao động riêng thứ hai được thực hiện qua tính chất trực giao của các dạng dao động. Tương tự, ta biểu thị dạng dao động riêng thứ hai ở dạng tổ hợp như phần trước: (4-25) Nhân trái cả hai vế với dẫn đến: (4-26) áp dụng điều kiện trực giao và đặt M1 = (được gọi là khối lượng mở rộng) thì (4-26) biến đổi thành: (4-27) Y1(0) : hệ số trực giao. Điều đó có nghĩa nếu thành phần chuyển vị của dạng dao động thứ nhất được loại bỏ khỏi hàm dạng giả định thì vectơ còn lại có thể nói là đã được lọc. Có thể mô tả : (4-28) Vectơ đã được lọc này sẽ hội tụ về dạng dao động riêng thứ hai trong quá trình lặp, tức là đảm bảo điều kiện trực giao với dạng dao động riêng thứ nhất . Tuy nhiên, các lỗi xảy ra do quá trình làm tròn số của các thao tác số trong dạng dao động thứ nhất lại xuất hiện trong các vectơ thử, do vậy cần phải thực hiện quá trình lọc ở trên, tức là áp dụng tính chất trực giao, trong mỗi vòng lặp để đảm bảo sự hội tụ. ý nghĩa tiện lợi của quá trình lọc đối với vectơ thử thành phần dạng dao động riêng đầu tiên được thể hiện qua ma trận [T1], ma trận này có thể thu được theo phương trình (4-28): = (4-29) Với [T1] được xác định: [T1] = [E] - (4-30) trong đó [E] là ma trận ma trận đơn vị. [T1] còn được gọi là ma trận đảm bảo điều kiện trực giao. Quá trình lặp sau khi sử dụng ma trận [T1] đã loại bỏ được thành phần của vectơ dạng đầu tiên, sẽ hội tụ về dạng dao động thứ hai. Có thể biểu diễn tương tự (4-5) như sau: (4-31) Nếu chỉ quan tâm đến dạng dao động thì có thể biểu diễn như (4-7): (4-31a) Đưa (4-29) vào (4-31) ta được: (4-32) với [B2] = [B][T1] (4-33) Với [B2] là ma trận động mới. Khi [B2] được sử dụng quá trình phân tích dao động dạng thứ hai với các thao tác giống như dạng dao động thứ nhất. Do vậy tần số dao động có thể được xác định theo công thức tương tự (4-9). (4-34a) hay tương tự (4-11) với quá trình xử lý trung bình: w22 = (4-34) trong đó . Như vậy sau số vòng lặp nào đó, cùng với [B2], tương tự quá trình lặp của dạng thứ nhất, cuối cùng ta thu được dạng dao động thứ hai đồng thời với bình phương tần số xác định theo (4-34a). Theo phương pháp lặp cần lưu ý quá trình phân tích bắt buộc phải có tính tuần tự, tức là dạng dao động thứ nhất cần phải xác định trước khi xác định dạng dao động thứ hai. Dạng dao động cần phải xác định với độ chính xác thích hợp để xác định ma trận [T1] , từ đó quá trình lặp sẽ hội tụ về dạng dao động thứ hai. Ví dụ 4-2: Để mô tả quá trình lặp ma trận cho các dạng dao động cao hơn, ở đây là dạng dao động thứ hai, ta sử dụng số liệu trong ví dụ 4-1. Bước 1: Xác định ma trận đảm bảo điều kiện trực giao [T1] . [T1] = [E] - Trong đó M1 là khối lượng tổng quát thứ nhất: M1 = [-0.746 -0.77 0.9843 1] Thay các giá trị vào ta tính được M1 = 6.613m0. [M] = (kNs2/cm) = Vậy ta có [T1] = Bước 2: Ma trận xác định dạng dao động riêng. [B2] = [B][T1] = Thực hiện lại các bước chọn hàm dẫn đường đàn hồi thoả mãn điều kiện biên hình học phù hợp với Bước 3: Xác định chuyển vị cho vòng lặp đầu tiên. = (với a0 = 0.0062 m0f0) Tổng quát: Ta có: w22 = trong đó k: tọa độ khối lượng mk. Thay số vào ta có: ịw2(1) = (1/s) Khi đã có w2(1) ta lặp lại từ bước 3 và tính được w2(2). Quá trình lặp về nguyên tắc khi sđƠ thì w2(s) đ w2. Tính tới bước lặp thứ 6 ta nhận được: Vậy thay số vào ta có: ịw2(6) = w2 = (1/s) Dạng dao động riêng thứ hai có dạng: 4.4.2.Phân tích các dạng dao động cao hơn. Khi phân tích dạng dao động thứ ba ta thấy: Dựa theo các phân tích ở phần trước thì có thể sử dụng quá trình quét để lọc thành phần của cả hai dạng dao động thứ nhất và thứ hai trong vectơ thử khi phân tích với dạng dao động thứ ba, sau đó với quá trình lặp sẽ hội tụ về dạng dao động thứ ba. Có thể biểu diễn quá trình lặp như sau: (4-35) áp dụng điều kiện sẽ trực giao với cả và Ta có: (4-36a) (4-36b) thay thế vào phương trình (4-35) hoặc: (4-37) Từ phương trình (4-37) ta có thể suy ra: Ma trận quét mới: [T2] = [T1] - (4-38) khi đó: (4-39) Quá trình phân tích lặp ma trận để tìm dạng dao động thứ ba có thể biểu diễn là: (4-40) với [B3] = [B][T2] Như vậy việc sử dụng ma trận động [B3] thực hiện chức năng quét lọc các thành phần dạng dao động thứ nhất và thứ hai ra khỏi vectơ thử dẫn đến quá trình lặp sẽ hội tụ về dạng dao động thứ ba. Quá trình phân tích dao động riêng dạng thứ ba với ma trận động [B3] có các thao tác giống như phân tích dao động như đã trình bày. Do vậy bình phương tần số có thể được xác định theo công thức tương tự (4-9): Sau một số vòng lặp nào đó ta cũng thu được đồng thời dạng dao động riêng thứ ba và tần số. Quá trình như vậy được mở rộng để tính dao động cho các dạng dao động cao hơn. Giả sử cần xác định dạng dao động thứ tư, ma trận quét [T3] được tính toán như sau: (4-41) khi đó: (4-42) Với ma trận động tương ứng [B4] = [B][T3] Tổng quát ở dạng thứ n+1 ta có: (4-43) Rõ ràng là theo phương pháp này có một giới hạn rất quan trọng là tất cả các dạng dao động thấp cần phải tính toán trước khi tính các dao động cao hơn. 4.4.3. Phân tích các dạng dao động cao nhất theo cách lặp trực tiếp. Quá trình lặp ma trận trực tiếp có thể được áp dụng để phân tích dạng dao động cao nhất của hệ kết cấu. Nếu nhân cả hai vế của (4-3) với [m]-1[k] ta được: (4-44) Trong đó đặc tính động của hệ được biểu diễn qua ma trận: [E*] = [M]-1[k] = [B]-1 (4-45) Nếu hàm dạng thử nghiệm đối với dạng dao động thứ N, phương trình (4-44) có dạng: (4-46) Tần số gần đúng của dạng dao động thứ N được xác định: (4-47) Hơn nữa việc tính toán hàm dạng thì có độ xấp xỉ tốt hơn với các dạng dao động cao so với các hàm dạng giả định ban đầu. Như vậy với hàm dạng mới được sử dụng như trên và với số lần lặp đủ, dạng dao động cao nhất có thể được xác định với độ gần đúng mong muốn. Ví dụ 4-3: Phân tích dạng dao động thứ ba, ta sử dụng số liệu trong ví dụ 4-1. Bước 1: Xác định ma trận đảm bảo điều kiện trực giao [T2]. [T2] = [T1] - Trong đó M2 là khối lượng tổng quát thứ nhất: M2 = [1 0.6921 0.3272 0.5298] [M] = (kNs2/cm) Thay các giá trị vào ta tính được M2 = 1.1205m0. = Vậy ta có [T2] = Bước 2: Ma trận xác định dạng dao động riêng. [B3] = [B][T2] = Thực hiện lại các bước chọn hàm dẫn đường đàn hồi thoả mãn điều kiện biên hình học phù hợp với Bước 3: Xác định chuyển vị cho vòng lặp đầu tiên. = (với a0 = 1E-05m0f0) Tổng quát: Ta có: w32 = trong đó k: tọa độ khối lượng mk. Thay số vào ta có: ịw3(1) = Khi đã có w3(1) ta lặp lại từ bước 3 và tính được w3(2). Quá trình lặp về nguyên tắc khi sđƠ thì w3(s) đ w3. Tính tới bước lặp thứ 13 ta nhận được: Vậy thay số vào ta có: ịw3(13) = w3 = Dạng dao động riêng thứ ba có dạng: * Kiểm tra điều kiện trực giao các dạng dao động riêng: Công thức tổng quát kiểm tra điều kiện trực giao các dạng dao động riêng có dạng: Thay các giá trị , ta sẽ nhận được: - Kiểm tra và : = - Kiểm tra và : = - Kiểm tra và : = Ví dụ 4- 4: Phân tích dạng dao động thứ tư, ta sử dụng số liệu trong ví dụ 4-1. Bước 1: Xác định ma trận đảm bảo điều kiện trực giao [T3] [T3] = [T2] - Trong đó M3 là khối lượng tổng quát thứ ba: M3 = [0.3719 -0.4135 1 -1.358] [M] = (kNs2/cm) Thay các giá trị vào ta tính được M3 = 2.37851m0. = Vậy ta có [T3] = Bước 2: Ma trận xác định dạng dao động riêng: [B4] = [B][T3] = Thực hiện lại các bước chọn hàm dẫn đường đàn hồi thoả mãn điều kiện biên hình học phù hợp với Bước 3: Xác định chuyển vị cho vòng lặp đầu tiên: = (với a0 = 0.004m0f0) Tổng quát: Ta có: w42 = trong đó k: tọa độ khối lượng mk. Thay số vào ta có: ịw4(1) = Khi đã có w4(1) ta lặp lại từ bước 3 và tính được w3(2). Quá trình lặp về nguyên tắc khi sđƠ thì w4(s) đ w4. Tính tới bước lặp thứ 4 ta nhận được: Vậy thay số vào ta có: ịw4(4) = w4 = Dạng dao động riêng thứ tư có dạng: * Kiểm tra điều kiện trực giao các dạng dao động riêng: Công thức tổng quát kiểm tra điều kiện trực giao các dạng dao động riêng có dạng: Thay các giá trị , ta sẽ nhận được: - Kiểm tra và : = - Kiểm tra và : = - Kiểm tra và : = Cuối cùng ta có kết quả như sau: * Vectơ tần số dao động riêng: (1/s) * Ma trận các dạng dao động riêng: Chương 5 Xây dựng sơ đồ khối tính đồng thời tần số và dạng dao động riêng - Các ví dụ tính toán 5.1. Xây dựng thuật toán – Sơ đồ khối: Dựa theo các vấn đề lý thuyết đã được tìm hiểu, nghiên cứu, hoàn thiện và được trình bày trong các chương trước, tác gỉa đã nghiên cứu và đưa ra sơ đồ khối tổng quát cho quá trình lặp thể hiện ở hình 5.1 và 5.2. Bắt đầu Nhập số liệu [M],[K],[F] Khởi động hàm dạng Bất kỳ: S=0 Xác định ma trận động [B] = [F][M] S = S + 1 Xác định dạng dao động riêng ở lần lặp s Thu gọn vectơ dạng dao động riêng ở lần lặp s: abs Xác định bình phương tần số lặp (s) (w1s-1)2 = Tương ứng ta có dạng dao động riêng S Đ Kết xuất kết quả tần số và dạng dao động riêng w1º w1(s-1) và Kết thúc Hình 5.1: Sơ đồ khối tính tần số và dạng dao động riêng thứ nhất. Với dạng dao động riêng thứ i ³ 2 ta tính: Ma trận khối lượng tổng quát : Mi = Ma trận đảm bảo điều kiện trực giao: [T](i-1)=[T](i-2)- Nếu i = 2 thì [T]0 = [E]. Khởi động hàm dạng bất kỳ; s = 0 s = s +1 Xác định ma trận động [B]i = [B][T]i-1 Xác định dạng dao động riêng ở lần lặp thứ s Thu gọn vectơ dạng dao động riêng ở lần lặp s abs Xác định bình phương tần số lần lặp s (wis-1)2 = Tương ứng ta có dạng dao động riêng S Đ Đ Kết xuất kết quả tần số và dạng dao động riêng wi º wi(s-1) và Kết thúc Hình 5..2: Sơ đồ khối tính tần số và dạng dao động riêng mode cao i³ 2 5.2. Các ví dụ tính toán. Ví dụ 1: Tính tần số và dạng dao động riêng của dầm một nhịp với số liệu: l = 1000 cm m0 = 1.5kNs2/cm. m1 = m0; m2 = m0; E = 2.1*104 cm4; J = 152700 cm4. l/3 l/3 m 1 2 m l/3 1 1 1 -1 1/ Dạng dao động riêng thứ nhất: Ma trận khối lượng có dạng: [M] = (kNs2/cm) Ma trận độ mềm: [F] = [K]-1 = (cm/kN) (f0 = ) Bước 1: Chọn hàm dẫn (đường đàn hồi) thoả mãn điều kiện biên hình học. Bước 2: Xác định ma trận động. [B] = [F][M] = Bước 3: Xác định chuyển vị cho vòng lặp đầu tiên. Chọn w12 = 1 nên có thể viết: = == (Với a0 = 0.0309*m0f0) Vậy ta có: Ta có: w12 = trong đó k: tọa độ khối lượng mk. Thay số vào ta có: ịw1(1) = (1/s) Khi đã có w1(1) ta lặp lại từ bước 2 và tính được w1(2). Quá trình lặp về nguyên tắc khi sđƠ thì w1(s) đ w1. Tính tới bước lặp thứ 2 ta nhận được: Vậy thay số vào ta có: ịw1(2) = w1 = (1/s) Thay số vào ta có tần số dao động riêng w1 = 8.3177 (1/s) Chu kỳ dao động riêng T1 = 0.7554 (s) Dạng dao động riêng thứ nhất có dạng: 2/ Dạng dao động riêng thứ hai: Bước 1: Xác định ma trận đảm bảo điều kiện trực giao [T1] . [T1] = [E] - Trong đó M1 là khối lượng tổng quát thứ nhất: M1 = Thay các giá trị vào ta tính được M1 = 2m0. [M] = (kNs2/cm) = Vậy ta có [T1] = Bước 2: Ma trận xác định dạng dao động riêng. [B2] = [B][T1] =m0f0 Thực hiện lại các bước chọn hàm dẫn đường đàn hồi thoả mãn điều kiện biên hình học phù hợp với Bước 3: Xác định chuyển vị cho vòng lặp đầu tiên. = (với a0 = 0.0021 m0f0) Tổng quát: Ta có: w22 = trong đó k: tọa độ khối lượng mk. Thay số vào ta có: ịw2(1) = (1/s) Khi đã có w2(1) ta lặp lại từ bước 3 và tính được w2(2). Quá trình lặp về nguyên tắc khi sđƠ thì w2(s) đ w2. Tính tới bước lặp thứ 2 ta nhận được: Vậy thay số vào ta có: ị w2 = (1/s) Thay số vào ta có tần số dao động riêng w2 = 32.2324 (1/s) Chu kỳ dao động riêng T2 = 0.195 (s) Dạng dao động riêng thứ hai có dạng: * Kiểm tra điều kiện trực giao các dạng dao động riêng: Công thức tổng quát kiểm tra điều kiện trực giao các dạng dao động riêng có dạng: Thay các giá trị , ta sẽ nhận được: - Kiểm tra và : = 0 * Vectơ tần số dao động riêng: (1/s) * Ma trận các dạng dao động riêng: Kiểm chứng với cách tính tần số dao động riêng theo chương trình Sap 2000 Version 8.2.3 Program SAP2000 Nonlin/Adv Version 8.2.3 File:sd1.1.LOG B E G I N A N A L Y S I S 2005/03/14 11:11:39 MAXIMUM MEMORY BLOCK SIZE (BYTES) = 7.425 MB E L E M E N T F O R M A T I O N 11:11:39 NUMBER OF JOINT ELEMENTS FORMED = 2 NUMBER OF SPRING ELEMENTS FORMED = 0 NUMBER OF FRAME ELEMENTS FORMED = 3 L I N E A R E Q U A T I O N S O L U T I O N 11:11:40 FORMING STIFFNESS AT ZERO (UNSTRESSED) INITIAL CONDITIONS TOTAL NUMBER OF EQUILIBRIUM EQUATIONS = 9 APPROXIMATE "EFFECTIVE" BAND WIDTH = 3 NUMBER OF EQUATION STORAGE BLOCKS = 1 MAXIMUM BLOCK SIZE (8-BYTE TERMS) = 34 SIZE OF STIFFNESS FILE(S) (BYTES) = 324 B NUMBER OF EQUATIONS TO SOLVE = 9 * * * W A R N I N G * * * ZERO STIFFNESS FOUND DURING ASSEMBLY FOR DOF UX OF JOINT 3 LOCATED AT X = -166.666667, Y = .000000, Z = .000000, STIFFNESS MATRIX DIAGONAL VALUE SET TO 1.00E-10 * * * W A R N I N G * * * ZERO STIFFNESS FOUND DURING ASSEMBLY FOR DOF UX OF JOINT 4 LOCATED AT X = 166.666667, Y = .000000, Z = .000000, STIFFNESS MATRIX DIAGONAL VALUE SET TO 1.00E-10 * * * W A R N I N G * * * ZERO STIFFNESS FOUND DURING ASSEMBLY FOR DOF UX OF JOINT 2 LOCATED AT X = 500.000000, Y = .000000, Z = .000000, STIFFNESS MATRIX DIAGONAL VALUE SET TO 1.00E-10 L I N E A R S T A T I C C A S E S 11:11:40 USING STIFFNESS AT ZERO (UNSTRESSED) INITIAL CONDITIONS TOTAL NUMBER OF CASES TO SOLVE = 1 NUMBER OF CASES TO SOLVE PER BLOCK = 1 LINEAR STATIC CASES TO BE SOLVED: CASE: DEAD E I G E N M O D A L A N A L Y S I S 11:11:40 CASE: MODAL USING STIFFNESS AT ZERO (UNSTRESSED) INITIAL CONDITIONS NUMBER OF STIFFNESS DEGREES OF FREEDOM = 9 NUMBER OF MASS DEGREES OF FREEDOM = 2 MAXIMUM NUMBER OF EIGEN MODES SOUGHT = 12 MINIMUM NUMBER OF EIGEN MODES SOUGHT = 1 NUMBER OF RESIDUAL-MASS MODES SOUGHT = 0 NUMBER OF SUBSPACE VECTORS USED = 2 RELATIVE CONVERGENCE TOLERANCE = 1.00E-07 FREQUENCY SHIFT (CENTER) (CYC/TIME) = .000000 FREQUENCY CUTOFF (RADIUS) (CYC/TIME) = .000000 * * * W A R N I N G * * * NUMBER OF MODES SOUGHT REDUCED TO THE NUMBER OF MASS DEGREES OF FREEDOM NUMBER OF EIGEN MODES FOUND = 2 NUMBER OF ITERATIONS PERFORMED = 1 M O D A L P E R I O D S A N D F R E Q U E N C I E S CASE: MODAL MODE PERIOD FREQUENCY FREQUENCY EIGENVALUE MODAL MODAL (T) (CYC/T) (RAD/T) (RAD/T)^2 STIFFNESS MASS 1 0.754960 1.324574 8.322543 69.264720 69.264720 1.000000 2 0.194930 5.130052 32.233070 1038.971 1038.971 1.000000 M O D A L L O A D P A R T I C I P A T I O N R A T I O S CASE: MODAL LOAD, ACC, OR LINK/DEF STATIC DYNAMIC EFFECTIVE (TYPE) (NAME) (PERCENT) (PERCENT) PERIOD ACC UX 0.0000 0.0000 -INFINITY- ACC UY 0.0000 0.0000 -INFINITY- ACC UZ 100.0000 100.0000 0.754960 ACC RX 0.0000 0.0000 -INFINITY- ACC RY 100.0000 100.0000 0.194930 ACC RZ 0.0000 0.0000 -INFINITY- (*) NOTE: DYNAMIC LOAD PARTICIPATION RATIO EXCLUDES LOAD APPLIED TO NON-MASS DEGREES OF FREEDOM A N A L Y S I S C O M P L E T E 2005/03/14 11:11:41 Bảng so sánh kết quả tần số: Dạng dao động riêng Tần số w (1/s) theo phương pháp lặp năng lượng Tần số w (1/s) theo Sap 2000 So sánh (2) với (3) Tần số w (1/s) theo phương pháp giải tích So sánh (2) với (5) (1) (2) (3) (4) (5) (6) 1 8.3177 8.3225 0.06% 8.3194 0.02% 2 32.2324 32.233 0.002% 32.166 0.02% Ví dụ 2: Tính tần số và dạng dao động riêng của dầm hai nhịp với số liệu: l = 1000 cm m0 = 2kNs2/cm. m1 = m0; m2 = m0; E = 2.1*104 cm4; J = 152700 cm4. l/2 l/2 l/2 1 m 2 m l/2 1 1 1 1 1/ Dạng dao động riêng thứ nhất: Ma trận khối lượng có dạng: [M] = (kNs2/cm) Ma trận độ mềm: [F] = [K]-1 = (cm/kN) (f0 = ) Bước 1: Chọn hàm dẫn (đường đàn hồi) thoả mãn điều kiện biên hình học. Bước 2: Xác định ma trận động. [B] = [F][M] = Bước 3: Xác định chuyển vị cho vòng lặp đầu tiên. Chọn w12 = 1 nên có thể viết: = == (Với a0 = 0.0021*m0f0) Vậy ta có: Ta có: w12 = trong đó k: tọa độ khối lượng mk. Thay số vào ta có: ịw1(1) = (1/s) Khi đã có w1(1) ta lặp lại từ bước 2 và tính được w1(2). Quá trình lặp về nguyên tắc khi sđƠ thì w1(s) đ w1. Tính tới bước lặp thứ 2 ta nhận được: Vậy thay số vào ta có: ịw1(2) = w1 = (1/s) Thay số vào ta có tần số dao động riêng w1 = 8.774 (1/s) Chu kỳ dao động riêng T1 = 0.716 (s) Dạng dao động riêng thứ nhất có dạng: 2/ Dạng dao động riêng thứ hai: Bước 1: Xác định ma trận đảm bảo điều kiện trực giao [T1] . [T1] = [E] - Trong đó M1 là khối lượng tổng quát thứ nhất: M1 = Thay các giá trị vào ta tính được M1 = 2m0. [M] = (kNs2/cm) = Vậy ta có: [T1] = Bước 2: Ma trận xác định dạng dao động riêng. [B2] = [B][T1] =m0f0 Thực hiện lại các bước chọn hàm dẫn đường đàn hồi thoả mãn điều kiện biên hình học phù hợp với Bước 3: Xác định chuyển vị cho vòng lặp đầu tiên. = (với a0 = 0.0091m0f0) Tổng quát: Ta có: w22 = trong đó k: tọa độ khối lượng mk. Thay số vào ta có: ịw2(1) = 10.474 (1/s) Khi đã có w2(1) ta lặp lại từ bước 3 và tính được w2(2). Quá trình lặp về nguyên tắc khi sđƠ thì w2(s) đ w2. Tính tới bước lặp thứ 2 ta nhận được: Vậy thay số vào ta có: ị w2 = 10.474 (1/s) Thay số vào ta có tần số dao động riêng w2 = 13.2629 (1/s) Chu kỳ dao động riêng T2 = 0.47374 (s) Dạng dao động riêng thứ hai có dạng: * Kiểm tra điều kiện trực giao các dạng dao động riêng: Công thức tổng quát kiểm tra điều kiện trực giao các dạng dao động riêng có dạng: Thay các giá trị , ta sẽ nhận được: - Kiểm tra và : = 0 * Vectơ tần số dao động riêng: (1/s) * Ma trận các dạng dao động riêng: Kiểm chứng với cách tính tần số dao động riêng theo chương trình Sap 2000 Version 8.2.3. Program SAP2000 Nonlin/Adv Version 8.2.3 File:sd2.1.LOG B E G I N A N A L Y S I S 2005/03/14 17:28:03 MAXIMUM MEMORY BLOCK SIZE (BYTES) = 7.425 MB E L E M E N T F O R M A T I O N 17:28:03 NUMBER OF JOINT ELEMENTS FORMED = 2 NUMBER OF SPRING ELEMENTS FORMED = 0 NUMBER OF FRAME ELEMENTS FORMED = 4 L I N E A R E Q U A T I O N S O L U T I O N 17:28:04 FORMING STIFFNESS AT ZERO (UNSTRESSED) INITIAL CONDITIONS TOTAL NUMBER OF EQUILIBRIUM EQUATIONS = 11 APPROXIMATE "EFFECTIVE" BAND WIDTH = 3 NUMBER OF EQUATION STORAGE BLOCKS = 1 MAXIMUM BLOCK SIZE (8-BYTE TERMS) = 40 SIZE OF STIFFNESS FILE(S) (BYTES) = 380 B NUMBER OF EQUATIONS TO SOLVE = 11 * * * W A R N I N G * * * ZERO STIFFNESS FOUND DURING ASSEMBLY FOR DOF UX OF JOINT 4 LOCATED AT X = -500.000000, Y = .000000, Z = .000000, STIFFNESS MATRIX DIAGONAL VALUE SET TO 1.00E-10 * * * W A R N I N G * * * ZERO STIFFNESS FOUND DURING ASSEMBLY FOR DOF UX OF JOINT 2 LOCATED AT X = .000000, Y = .000000, Z = .000000, STIFFNESS MATRIX DIAGONAL VALUE SET TO 1.00E-10 * * * W A R N I N G * * * ZERO STIFFNESS FOUND DURING ASSEMBLY FOR DOF UX OF JOINT 5 LOCATED AT X = 500.000000, Y = .000000, Z = .000000, STIFFNESS MATRIX DIAGONAL VALUE SET TO 1.00E-10 * * * W A R N I N G * * * ZERO STIFFNESS FOUND DURING ASSEMBLY FOR DOF UX OF JOINT 3 LOCATED AT X = 1000.000, Y = .000000, Z = .000000, STIFFNESS MATRIX DIAGONAL VALUE SET TO 1.00E-10 L I N E A R S T A T I C C A S E S 17:28:05 USING STIFFNESS AT ZERO (UNSTRESSED) INITIAL CONDITIONS TOTAL NUMBER OF CASES TO SOLVE = 1 NUMBER OF CASES TO SOLVE PER BLOCK = 1 LINEAR STATIC CASES TO BE SOLVED: CASE: DEAD E I G E N M O D A L A N A L Y S I S 17:28:05 CASE: MODAL USING STIFFNESS AT ZERO (UNSTRESSED) INITIAL CONDITIONS NUMBER OF STIFFNESS DEGREES OF FREEDOM = 11 NUMBER OF MASS DEGREES OF FREEDOM = 2 MAXIMUM NUMBER OF EIGEN MODES SOUGHT = 12 MINIMUM NUMBER OF EIGEN MODES SOUGHT = 1 NUMBER OF RESIDUAL-MASS MODES SOUGHT = 0 NUMBER OF SUBSPACE VECTORS USED = 2 RELATIVE CONVERGENCE TOLERANCE = 1.00E-07 FREQUENCY SHIFT (CENTER) (CYC/TIME) = .000000 FREQUENCY CUTOFF (RADIUS) (CYC/TIME) = .000000 * * * W A R N I N G * * * NUMBER OF MODES SOUGHT REDUCED TO THE NUMBER OF MASS DEGREES OF FREEDOM NUMBER OF EIGEN MODES FOUND = 2 NUMBER OF ITERATIONS PERFORMED = 1 M O D A L P E R I O D S A N D F R E Q U E N C I E S CASE: MODAL MODE PERIOD FREQUENCY FREQUENCY EIGENVALUE MODAL MODAL (T) (CYC/T) (RAD/T) (RAD/T)^2 STIFFNESS MASS 1 0.716218 1.396223 8.772730 76.960800 76.960800 1.000000 2 0.473734 2.110891 13.263122 175.910400 175.910400 1.000000 M O D A L L O A D P A R T I C I P A T I O N R A T I O S CASE: MODAL LOAD, ACC, OR LINK/DEF STATIC DYNAMIC EFFECTIVE (TYPE) (NAME) (PERCENT) (PERCENT) PERIOD ACC UX 0.0000 0.0000 -INFINITY- ACC UY 0.0000 0.0000 -INFINITY- ACC UZ 100.0000 100.0000 0.473734 ACC RX 0.0000 0.0000 -INFINITY- ACC RY 100.0000 100.0000 0.716218 ACC RZ 0.0000 0.0000 -INFINITY- (*) NOTE: DYNAMIC LOAD PARTICIPATION RATIO EXCLUDES LOAD APPLIED TO NON-MASS DEGREES OF FREEDOM A N A L Y S I S C O M P L E T E 2005/03/14 17:28:05 Bảng so sánh kết quả tần số: Dạng dao động riêng Tần số w (1/s) theo phương pháp lặp năng lượng Tần số w (1/s) theo Sap 2000 So sánh (2) với (3) Tần số w (1/s) theo phương pháp giải tích So sánh (2) với (5) (1) (2) (3) (4) (5) (6) 1 8.774 8.7727 0.015% 8.7727 0.015% 2 13.2629 13.263 0.008% 13.2634 0.0042% Nhận xét ví dụ 1 và 2: So với kết quả viết bằng chương trình quen thuộc Sap 2000 và kết quả tính theo phương pháp giải tích [1] thì tần số của các dạng dao động riêng thu được nếu tính theo phương pháp lặp năng lượng thay đổi không đáng kể. Do vậy, để thực hiện tính toán tần số các dạng dao động riêng của công trình trong các ví dụ, ta có thể thực hiện theo một trong ba phương pháp trên. Ví dụ 3: Tính tần số và dạng dao động riêng của dầm liên tục hai nhịp với số liệu: l = 1000 cm m0 = 1.5kNs2/cm. m1 = 2m0; m2 = m0; m3 = 3m0; m4 = 2m0; E = 2.1*104 cm4. J = 152700 cm4. (Phương pháp lặp năng lượng đã trình bày trong ví dụ ở phần lý thuyết) m 1 2 m 3 m 4 m l/3 l/3 l/3 l/3 l/3 l/3 Kiểm chứng với cách tính tần số dao động riêng theo chương trình Sap 2000 Version 8.2.3. Program SAP2000 Nonlin/Adv Version 8.2.3 File:sd1.LOG B E G I N A N A L Y S I S 2005/01/27 15:52:54 MAXIMUM MEMORY BLOCK SIZE (BYTES) = 7.425 MB E L E M E N T F O R M A T I O N 15:52:54 NUMBER OF JOINT ELEMENTS FORMED = 4 NUMBER OF SPRING ELEMENTS FORMED = 0 NUMBER OF FRAME ELEMENTS FORMED = 6 L I N E A R E Q U A T I O N S O L U T I O N 15:52:54 FORMING STIFFNESS AT ZERO (UNSTRESSED) INITIAL CONDITIONS TOTAL NUMBER OF EQUILIBRIUM EQUATIONS = 17 APPROXIMATE "EFFECTIVE" BAND WIDTH = 4 NUMBER OF EQUATION STORAGE BLOCKS = 1 MAXIMUM BLOCK SIZE (8-BYTE TERMS) = 70 SIZE OF STIFFNESS FILE(S) (BYTES) = 644 B NUMBER OF EQUATIONS TO SOLVE = 17 * * * W A R N I N G * * * ZERO STIFFNESS FOUND DURING ASSEMBLY FOR DOF UX OF JOINT 4 LOCATED AT X = -666.666667, Y = .000000, Z = .000000, STIFFNESS MATRIX DIAGONAL VALUE SET TO 1.00E-10 * * * W A R N I N G * * * ZERO STIFFNESS FOUND DURING ASSEMBLY FOR DOF UX OF JOINT 5 LOCATED AT X = -333.333333, Y = .000000, Z = .000000, STIFFNESS MATRIX DIAGONAL VALUE SET TO 1.00E-10 * * * W A R N I N G * * * ZERO STIFFNESS FOUND DURING ASSEMBLY FOR DOF UX OF JOINT 2 LOCATED AT X = .000000, Y = .000000, Z = .000000, STIFFNESS MATRIX DIAGONAL VALUE SET TO 1.00E-10 * * * W A R N I N G * * * ZERO STIFFNESS FOUND DURING ASSEMBLY FOR DOF UX OF JOINT 6 LOCATED AT X = 333.333333, Y = .000000, Z = .000000, STIFFNESS MATRIX DIAGONAL VALUE SET TO 1.00E-10 * * * W A R N I N G * * * ZERO STIFFNESS FOUND DURING ASSEMBLY FOR DOF UX OF JOINT 7 LOCATED AT X = 666.666667, Y = .000000, Z = .000000, STIFFNESS MATRIX DIAGONAL VALUE SET TO 1.00E-10 * * * W A R N I N G * * * ZERO STIFFNESS FOUND DURING ASSEMBLY FOR DOF UX OF JOINT 3 LOCATED AT X = 1000.000, Y = .000000, Z = .000000, STIFFNESS MATRIX DIAGONAL VALUE SET TO 1.00E-10 L I N E A R S T A T I C C A S E S 15:52:54 USING STIFFNESS AT ZERO (UNSTRESSED) INITIAL CONDITIONS TOTAL NUMBER OF CASES TO SOLVE = 1 NUMBER OF CASES TO SOLVE PER BLOCK = 1 LINEAR STATIC CASES TO BE SOLVED: CASE: DEAD E I G E N M O D A L A N A L Y S I S 15:52:54 CASE: MODAL USING STIFFNESS AT ZERO (UNSTRESSED) INITIAL CONDITIONS NUMBER OF STIFFNESS DEGREES OF FREEDOM = 17 NUMBER OF MASS DEGREES OF FREEDOM = 4 MAXIMUM NUMBER OF EIGEN MODES SOUGHT = 8 MINIMUM NUMBER OF EIGEN MODES SOUGHT = 1 NUMBER OF RESIDUAL-MASS MODES SOUGHT = 0 NUMBER OF SUBSPACE VECTORS USED = 4 RELATIVE CONVERGENCE TOLERANCE = 1.00E-07 FREQUENCY SHIFT (CENTER) (CYC/TIME) = .000000 FREQUENCY CUTOFF (RADIUS) (CYC/TIME) = .000000 * * * W A R N I N G * * * NUMBER OF MODES SOUGHT REDUCED TO THE NUMBER OF MASS DEGREES OF FREEDOM NUMBER OF EIGEN MODES FOUND = 4 NUMBER OF ITERATIONS PERFORMED = 1 M O D A L P E R I O D S A N D F R E Q U E N C I E S CASE: MODAL MODE PERIOD FREQUENCY FREQUENCY EIGENVALUE MODAL MODAL (T) (CYC/T) (RAD/T) (RAD/T)^2 STIFFNESS MASS 1 1.083902 0.922593 5.796821 33.603137 33.603137 1.000000 2 0.666336 1.500745 9.429461 88.914729 88.914729 1.000000 3 0.288238 3.469353 21.798586 475.178352 475.178352 1.000000 4 0.193698 5.162671 32.438017 1052.225 1052.225 1.000000 M O D A L L O A D P A R T I C I P A T I O N R A T I O S CASE: MODAL LOAD, ACC, OR LINK/DEF STATIC DYNAMIC EFFECTIVE (TYPE) (NAME) (PERCENT) (PERCENT) PERIOD ACC UX 0.0000 0.0000 -INFINITY- ACC UY 0.0000 0.0000 -INFINITY- ACC UZ 100.0000 100.0000 0.814617 ACC RX 0.0000 0.0000 -INFINITY- ACC RY 100.0000 100.0000 1.061481 ACC RZ 0.0000 0.0000 -INFINITY- (*) NOTE: DYNAMIC LOAD PARTICIPATION RATIO EXCLUDES LOAD APPLIED TO NON-MASS DEGREES OF FREEDOM A N A L Y S I S C O M P L E T E 2005/01/27 15:52:55 Bảng so sánh kết quả tần số: Dạng dao động riêng Tần số w (1/s) theo phương pháp lặp năng lượng Tần số w (1/s) theo Sap 2000 So sánh 1 6.2467 6.2467 0% 2 9.75135 9.751 0.002% 3 24.813 24.813 0% 4 31.057 31.057 0% 5 52.6836 52.6834 0.003% 6 59.95 59.95 0% Ví dụ 4: Tính dao động riêng và tần số riêng của dầm liên tục hai nhịp với số liệu: l = 1000 cm m0 = 2kNs2/cm.; m1 = m2 = m3 = m4 = m5 = m6 = m0; E = 2.1*104 cm4; J = 152700 cm4. l/4 l/4 l/4 l/4 m 1 2 m l/4 3 m l/4 m l/4 4 m l/4 6 m 5 0.7071 1 0.7071 0.7071 1 0.7071 0.8453 1 0.8453 0.8453 1 0.8453 1 0.4037 0.9807 0.9807 0.4037 1 1 1 1 1 0.5956 0.9538 1 1 0.9538 0.5956 0.71 1 0.71 0.71 1 0.71 Theo kết quả tính toán ta có: * Vectơ tần số dao động riêng: (1/s) * Ma trận các dạng dao động riêng: Kiểm chứng với cách tính tần số dao động riêng theo chương trình Sap 2000 Version 8.2.3. Program SAP2000 Nonlin/Adv Version 8.2.3 File:sd2.LOG B E G I N A N A L Y S I S 2005/01/28 16:00:44 MAXIMUM MEMORY BLOCK SIZE (BYTES) = 7.425 MB E L E M E N T F O R M A T I O N 16:00:44 NUMBER OF JOINT ELEMENTS FORMED = 8 NUMBER OF SPRING ELEMENTS FORMED = 0 NUMBER OF FRAME ELEMENTS FORMED = 8 L I N E A R E Q U A T I O N S O L U T I O N 16:00:44 FORMING STIFFNESS AT ZERO (UNSTRESSED) INITIAL CONDITIONS TOTAL NUMBER OF EQUILIBRIUM EQUATIONS = 23 APPROXIMATE "EFFECTIVE" BAND WIDTH = 4 NUMBER OF EQUATION STORAGE BLOCKS = 1 MAXIMUM BLOCK SIZE (8-BYTE TERMS) = 100 SIZE OF STIFFNESS FILE(S) (BYTES) = 908 B NUMBER OF EQUATIONS TO SOLVE = 23 * * * W A R N I N G * * * ZERO STIFFNESS FOUND DURING ASSEMBLY FOR DOF UX OF JOINT 4 LOCATED AT X = -750.000000, Y = .000000, Z = .000000, STIFFNESS MATRIX DIAGONAL VALUE SET TO 1.00E-10 * * * W A R N I N G * * * ZERO STIFFNESS FOUND DURING ASSEMBLY FOR DOF UX OF JOINT 5 LOCATED AT X = -500.000000, Y = .000000, Z = .000000, STIFFNESS MATRIX DIAGONAL VALUE SET TO 1.00E-10 * * * W A R N I N G * * * ZERO STIFFNESS FOUND DURING ASSEMBLY FOR DOF UX OF JOINT 6 LOCATED AT X = -250.000000, Y = .000000, Z = .000000, STIFFNESS MATRIX DIAGONAL VALUE SET TO 1.00E-10 * * * W A R N I N G * * * ZERO STIFFNESS FOUND DURING ASSEMBLY FOR DOF UX OF JOINT 2 LOCATED AT X = .000000, Y = .000000, Z = .000000, STIFFNESS MATRIX DIAGONAL VALUE SET TO 1.00E-10 * * * W A R N I N G * * * ZERO STIFFNESS FOUND DURING ASSEMBLY FOR DOF UX OF JOINT 7 LOCATED AT X = 250.000000, Y = .000000, Z = .000000, STIFFNESS MATRIX DIAGONAL VALUE SET TO 1.00E-10 * * * W A R N I N G * * * ZERO STIFFNESS FOUND DURING ASSEMBLY FOR DOF UX OF JOINT 8 LOCATED AT X = 500.000000, Y = .000000, Z = .000000, STIFFNESS MATRIX DIAGONAL VALUE SET TO 1.00E-10 * * * W A R N I N G * * * ZERO STIFFNESS FOUND DURING ASSEMBLY FOR DOF UX OF JOINT 9 LOCATED AT X = 750.000000, Y = .000000, Z = .000000, STIFFNESS MATRIX DIAGONAL VALUE SET TO 1.00E-10 * * * W A R N I N G * * * ZERO STIFFNESS FOUND DURING ASSEMBLY FOR DOF UX OF JOINT 3 LOCATED AT X = 1000.000, Y = .000000, Z = .000000, STIFFNESS MATRIX DIAGONAL VALUE SET TO 1.00E-10 L I N E A R S T A T I C C A S E S 16:00:45 USING STIFFNESS AT ZERO (UNSTRESSED) INITIAL CONDITIONS TOTAL NUMBER OF CASES TO SOLVE = 1 NUMBER OF CASES TO SOLVE PER BLOCK = 1 LINEAR STATIC CASES TO BE SOLVED: CASE: DEAD E I G E N M O D A L A N A L Y S I S 16:00:45 CASE: MODAL USING STIFFNESS AT ZERO (UNSTRESSED) INITIAL CONDITIONS NUMBER OF STIFFNESS DEGREES OF FREEDOM = 23 NUMBER OF MASS DEGREES OF FREEDOM = 6 MAXIMUM NUMBER OF EIGEN MODES SOUGHT = 8 MINIMUM NUMBER OF EIGEN MODES SOUGHT = 1 NUMBER OF RESIDUAL-MASS MODES SOUGHT = 0 NUMBER OF SUBSPACE VECTORS USED = 6 RELATIVE CONVERGENCE TOLERANCE = 1.00E-07 FREQUENCY SHIFT (CENTER) (CYC/TIME) = .000000 FREQUENCY CUTOFF (RADIUS) (CYC/TIME) = .000000 * * * W A R N I N G * * * NUMBER OF MODES SOUGHT REDUCED TO THE NUMBER OF MASS DEGREES OF FREEDOM NUMBER OF EIGEN MODES FOUND = 6 NUMBER OF ITERATIONS PERFORMED = 1 M O D A L P E R I O D S A N D F R E Q U E N C I E S CASE: MODAL MODE PERIOD FREQUENCY FREQUENCY EIGENVALUE MODAL MODAL (T) (CYC/T) (RAD/T) (RAD/T)^2 STIFFNESS MASS 1 1.005839 0.994195 6.246711 39.021396 39.021396 1.000000 2 0.644358 1.551933 9.751085 95.083654 95.083654 1.000000 3 0.253221 3.949116 24.813029 615.686400 615.686400 1.000000 4 0.202311 4.942875 31.057001 964.537293 964.537293 1.000000 5 0.119263 8.384830 52.683441 2775.545 2775.545 1.000000 6 0.108426 9.222871 57.949009 3358.088 3358.088 1.000000 M O D A L L O A D P A R T I C I P A T I O N R A T I O S CASE: MODAL LOAD, ACC, OR LINK/DEF STATIC DYNAMIC EFFECTIVE (TYPE) (NAME) (PERCENT) (PERCENT) PERIOD ACC UX 0.0000 0.0000 -INFINITY- ACC UY 0.0000 0.0000 -INFINITY- ACC UZ 100.0000 100.0000 0.643051 ACC RX 0.0000 0.0000 -INFINITY- ACC RY 100.0000 100.0000 0.993644 ACC RZ 0.0000 0.0000 -INFINITY- (*) NOTE: DYNAMIC LOAD PARTICIPATION RATIO EXCLUDES LOAD APPLIED TO NON-MASS DEGREES OF FREEDOM A N A L Y S I S C O M P L E T E 2005/01/28 16:00:46 Bảng so sánh kết quả tần số: Dạng dao động riêng Tần số w (1/s) theo phương pháp lặp năng lượng Tần số w (1/s) theo Sap 2000 So sánh 1 6.2467 6.2467 0% 2 9.75135 9.751 0.002% 3 24.813 24.813 0% 4 31.057 31.057 0% 5 52.6836 52.6834 0.003% 6 59.95 59.95 0% Ví dụ 5: Tính dao động riêng và tần số riêng của dầm liên tục ba nhịp với số liệu: l = 1000 cm m0 = 2kNs2/cm.; m1 = m2 = m3 = m4 = m5 = m6 = m0; E = 2.1*104 cm4; J = 152700 cm4. m 1 m 5 m 3 m 2 m 4 m 6 l/3 l/3 l/3 l/3 l/3 l/3 l/3 l/3 l/3 1 1 1 1 1 1 1 0.853 0.147 0.147 0.853 1 0.677 0.322 1 1 0.322 0.677 1 1 1 1 1 1 1 1.268 0.268 0.268 1.268 1 0.381 0.619 1 1 0.619 0.381 Theo kết quả tính toán ta có: * Vectơ tần số dao động riêng: (1/s) * Ma trận các dạng dao động riêng: Kiểm chứng với cách tính tần số dao động riêng theo chương trình Sap 2000 Version 8.2.3. Program SAP2000 Nonlin/Adv Version 8.2.3 File:sd3.LOG B E G I N A N A L Y S I S 2005/01/28 20:06:46 MAXIMUM MEMORY BLOCK SIZE (BYTES) = 7.425 MB E L E M E N T F O R M A T I O N 20:06:46 NUMBER OF JOINT ELEMENTS FORMED = 6 NUMBER OF SPRING ELEMENTS FORMED = 0 NUMBER OF FRAME ELEMENTS FORMED = 9 L I N E A R E Q U A T I O N S O L U T I O N 20:06:46 FORMING STIFFNESS AT ZERO (UNSTRESSED) INITIAL CONDITIONS TOTAL NUMBER OF EQUILIBRIUM EQUATIONS = 25 APPROXIMATE "EFFECTIVE" BAND WIDTH = 4 NUMBER OF EQUATION STORAGE BLOCKS = 1 MAXIMUM BLOCK SIZE (8-BYTE TERMS) = 106 SIZE OF STIFFNESS FILE(S) (BYTES) = 964 B NUMBER OF EQUATIONS TO SOLVE = 25 * * * W A R N I N G * * * ZERO STIFFNESS FOUND DURING ASSEMBLY FOR DOF UX OF JOINT 5 LOCATED AT X = -1166.667, Y = .000000, Z = .000000, STIFFNESS MATRIX DIAGONAL VALUE SET TO 1.00E-10 * * * W A R N I N G * * * ZERO STIFFNESS FOUND DURING ASSEMBLY FOR DOF UX OF JOINT 6 LOCATED AT X = -833.333333, Y = .000000, Z = .000000, STIFFNESS MATRIX DIAGONAL VALUE SET TO 1.00E-10 * * * W A R N I N G * * * ZERO STIFFNESS FOUND DURING ASSEMBLY FOR DOF UX OF JOINT 2 LOCATED AT X = -500.000000, Y = .000000, Z = .000000, STIFFNESS MATRIX DIAGONAL VALUE SET TO 1.00E-10 * * * W A R N I N G * * * ZERO STIFFNESS FOUND DURING ASSEMBLY FOR DOF UX OF JOINT 7 LOCATED AT X = -166.666667, Y = .000000, Z = .000000, STIFFNESS MATRIX DIAGONAL VALUE SET TO 1.00E-10 * * * W A R N I N G * * * ZERO STIFFNESS FOUND DURING ASSEMBLY FOR DOF UX OF JOINT 8 LOCATED AT X = 166.666667, Y = .000000, Z = .000000, STIFFNESS MATRIX DIAGONAL VALUE SET TO 1.00E-10 * * * W A R N I N G * * * ZERO STIFFNESS FOUND DURING ASSEMBLY FOR DOF UX OF JOINT 3 LOCATED AT X = 500.000000, Y = .000000, Z = .000000, STIFFNESS MATRIX DIAGONAL VALUE SET TO 1.00E-10 * * * W A R N I N G * * * ZERO STIFFNESS FOUND DURING ASSEMBLY FOR DOF UX OF JOINT 9 LOCATED AT X = 833.333333, Y = .000000, Z = .000000, STIFFNESS MATRIX DIAGONAL VALUE SET TO 1.00E-10 * * * W A R N I N G * * * ZERO STIFFNESS FOUND DURING ASSEMBLY FOR DOF UX OF JOINT 10 LOCATED AT X = 1166.667, Y = .000000, Z = .000000, STIFFNESS MATRIX DIAGONAL VALUE SET TO 1.00E-10 * * * W A R N I N G * * * ZERO STIFFNESS FOUND DURING ASSEMBLY FOR DOF UX OF JOINT 4 LOCATED AT X = 1500.000, Y = .000000, Z = .000000, STIFFNESS MATRIX DIAGONAL VALUE SET TO 1.00E-10 L I N E A R S T A T I C C A S E S 20:06:47 USING STIFFNESS AT ZERO (UNSTRESSED) INITIAL CONDITIONS TOTAL NUMBER OF CASES TO SOLVE = 1 NUMBER OF CASES TO SOLVE PER BLOCK = 1 LINEAR STATIC CASES TO BE SOLVED: CASE: DEAD E I G E N M O D A L A N A L Y S I S 20:06:47 CASE: MODAL USING STIFFNESS AT ZERO (UNSTRESSED) INITIAL CONDITIONS NUMBER OF STIFFNESS DEGREES OF FREEDOM = 25 NUMBER OF MASS DEGREES OF FREEDOM = 6 MAXIMUM NUMBER OF EIGEN MODES SOUGHT = 12 MINIMUM NUMBER OF EIGEN MODES SOUGHT = 1 NUMBER OF RESIDUAL-MASS MODES SOUGHT = 0 NUMBER OF SUBSPACE VECTORS USED = 6 RELATIVE CONVERGENCE TOLERANCE = 1.00E-07 FREQUENCY SHIFT (CENTER) (CYC/TIME) = .000000 FREQUENCY CUTOFF (RADIUS) (CYC/TIME) = .000000 * * * W A R N I N G * * * NUMBER OF MODES SOUGHT REDUCED TO THE NUMBER OF MASS DEGREES OF FREEDOM NUMBER OF EIGEN MODES FOUND = 6 NUMBER OF ITERATIONS PERFORMED = 1 M O D A L P E R I O D S A N D F R E Q U E N C I E S CASE: MODAL MODE PERIOD FREQUENCY FREQUENCY EIGENVALUE MODAL MODAL (T) (CYC/T) (RAD/T) (RAD/T)^2 STIFFNESS MASS 1 0.871752 1.147115 7.207534 51.948540 51.948540 1.000000 2 0.681198 1.468001 9.223724 85.077076 85.077076 1.000000 3 0.469008 2.132161 13.396761 179.473196 179.473196 1.000000 4 0.225086 4.442756 27.914657 779.228100 779.228100 1.000000 5 0.203052 4.924846 30.943719 957.513718 957.513718 1.000000 6 0.177046 5.648259 35.489060 1259.473 1259.473 1.000000 M O D A L L O A D P A R T I C I P A T I O N R A T I O S CASE: MODAL LOAD, ACC, OR LINK/DEF STATIC DYNAMIC EFFECTIVE (TYPE) (NAME) (PERCENT) (PERCENT) PERIOD ACC UX 0.0000 0.0000 -INFINITY- ACC UY 0.0000 0.0000 -INFINITY- ACC UZ 100.0000 100.0000 0.621022 ACC RX 0.0000 0.0000 -INFINITY- ACC RY 100.0000 100.0000 0.679393 ACC RZ 0.0000 0.0000 -INFINITY- (*) NOTE: DYNAMIC LOAD PARTICIPATION RATIO EXCLUDES LOAD APPLIED TO NON-MASS DEGREES OF FREEDOM A N A L Y S I S C O M P L E T E 2005/01/28 20:06:48 Bảng so sánh kết quả tần số: Dạng dao động riêng Tần số w (1/s) theo phương pháp lặp năng lượng Tần số w (1/s) theo Sap 2000 So sánh 1 7.207539 7.207537 0.0015% 2 9.2238 9.22373 0.0008% 3 13.3967 13.39675 0.0004% 4 27.9141 27.9146 0.002% 5 30.9435 30.9435 0% 6 35.4894 35.4889 0.002% Ví dụ 6: Tính dao động riêng và tần số riêng của dầm liên tục ba nhịp với số liệu: l = 1000 cm m0 = 2kNs2/cm.;m1 = m2 = m3 = m4 = m5 = m6 = m7 = m8 = m9 = m0; E = 2.1*104 cm4; J = 152700 cm4. m m 1 2 m m 7 8 m 4 m 5 l/4 m 3 m 6 m 9 l/4 l/4 l/4 l/4 l/4 l/4 l/4 l/4 l/4 l/4 l/4 Kiểm chứng với cách tính tần số dao động riêng theo chương trình Sap 2000 Version 8.2.3. Program SAP2000 Nonlin/Adv Version8.2.3 File:sd3.1.LO B E G I N A N A L Y S I S 2005/03/12 20:27:14 MAXIMUM MEMORY BLOCK SIZE (BYTES) = 7.425 MB E L E M E N T F O R M A T I O N 20:27:14 NUMBER OF JOINT ELEMENTS FORMED = 9 NUMBER OF SPRING ELEMENTS FORMED = 0 NUMBER OF FRAME ELEMENTS FORMED = 12 L I N E A R E Q U A T I O N S O L U T I O N 20:27:14 FORMING STIFFNESS AT ZERO (UNSTRESSED) INITIAL CONDITIONS TOTAL NUMBER OF EQUILIBRIUM EQUATIONS = 34 APPROXIMATE "EFFECTIVE" BAND WIDTH = 4 NUMBER OF EQUATION STORAGE BLOCKS = 1 MAXIMUM BLOCK SIZE (8-BYTE TERMS) = 151 SIZE OF STIFFNESS FILE(S) (BYTES) = 1.328 KB NUMBER OF EQUATIONS TO SOLVE = 34 * * * W A R N I N G * * * ZERO STIFFNESS FOUND DURING ASSEMBLY FOR DOF UX OF JOINT 5 LOCATED AT X = -1250.000, Y = .000000, Z = .000000, STIFFNESS MATRIX DIAGONAL VALUE SET TO 1.00E-10 * * * W A R N I N G * * * ZERO STIFFNESS FOUND DURING ASSEMBLY FOR DOF UX OF JOINT 6 LOCATED AT X = -1000.000, Y = .000000, Z = .000000, STIFFNESS MATRIX DIAGONAL VALUE SET TO 1.00E-10 * * * W A R N I N G * * * ZERO STIFFNESS FOUND DURING ASSEMBLY FOR DOF UX OF JOINT 7 LOCATED AT X = -750.000000, Y = .000000, Z = .000000, STIFFNESS MATRIX DIAGONAL VALUE SET TO 1.00E-10 * * * W A R N I N G * * * ZERO STIFFNESS FOUND DURING ASSEMBLY FOR DOF UX OF JOINT 2 LOCATED AT X = -500.000000, Y = .000000, Z = .000000, STIFFNESS MATRIX DIAGONAL VALUE SET TO 1.00E-10 * * * W A R N I N G * * * ZERO STIFFNESS FOUND DURING ASSEMBLY FOR DOF UX OF JOINT 8 LOCATED AT X = -250.000000, Y = .000000, Z = .000000, STIFFNESS MATRIX DIAGONAL VALUE SET TO 1.00E-10 * * * W A R N I N G * * * ZERO STIFFNESS FOUND DURING ASSEMBLY FOR DOF UX OF JOINT 9 LOCATED AT X = .000000, Y = .000000, Z = .000000, STIFFNESS MATRIX DIAGONAL VALUE SET TO 1.00E-10 * * * W A R N I N G * * * ZERO STIFFNESS FOUND DURING ASSEMBLY FOR DOF UX OF JOINT 10 LOCATED AT X = 250.000000, Y = .000000, Z = .000000, STIFFNESS MATRIX DIAGONAL VALUE SET TO 1.00E-10 * * * W A R N I N G * * * ZERO STIFFNESS FOUND DURING ASSEMBLY FOR DOF UX OF JOINT 3 LOCATED AT X = 500.000000, Y = .000000, Z = .000000, STIFFNESS MATRIX DIAGONAL VALUE SET TO 1.00E-10 * * * W A R N I N G * * * ZERO STIFFNESS FOUND DURING ASSEMBLY FOR DOF UX OF JOINT 11 LOCATED AT X = 750.000000, Y = .000000, Z = .000000, STIFFNESS MATRIX DIAGONAL VALUE SET TO 1.00E-10 * * * W A R N I N G * * * ZERO STIFFNESS FOUND DURING ASSEMBLY FOR DOF UX OF JOINT 12 LOCATED AT X = 1000.000, Y = .000000, Z = .000000, STIFFNESS MATRIX DIAGONAL VALUE SET TO 1.00E-10 * * * W A R N I N G * * * ZERO STIFFNESS FOUND DURING ASSEMBLY FOR DOF UX OF JOINT 13 LOCATED AT X = 1250.000, Y = .000000, Z = .000000, STIFFNESS MATRIX DIAGONAL VALUE SET TO 1.00E-10 * * * W A R N I N G * * * ZERO STIFFNESS FOUND DURING ASSEMBLY FOR DOF UX OF JOINT 4 LOCATED AT X = 1500.000, Y = .000000, Z = .000000, STIFFNESS MATRIX DIAGONAL VALUE SET TO 1.00E-10 L I N E A R S T A T I C C A S E S 20:27:15 USING STIFFNESS AT ZERO (UNSTRESSED) INITIAL CONDITIONS TOTAL NUMBER OF CASES TO SOLVE = 1 NUMBER OF CASES TO SOLVE PER BLOCK = 1 LINEAR STATIC CASES TO BE SOLVED: CASE: DEAD E I G E N M O D A L A N A L Y S I S 20:27:15 CASE: MODAL USING STIFFNESS AT ZERO (UNSTRESSED) INITIAL CONDITIONS NUMBER OF STIFFNESS DEGREES OF FREEDOM = 34 NUMBER OF MASS DEGREES OF FREEDOM = 9 MAXIMUM NUMBER OF EIGEN MODES SOUGHT = 12 MINIMUM NUMBER OF EIGEN MODES SOUGHT = 1 NUMBER OF RESIDUAL-MASS MODES SOUGHT = 0 NUMBER OF SUBSPACE VECTORS USED = 9 RELATIVE CONVERGENCE TOLERANCE = 1.00E-07 FREQUENCY SHIFT (CENTER) (CYC/TIME) = .000000 FREQUENCY CUTOFF (RADIUS) (CYC/TIME) = .000000 * * * W A R N I N G * * * NUMBER OF MODES SOUGHT REDUCED TO THE NUMBER OF MASS DEGREES OF FREEDOM NUMBER OF EIGEN MODES FOUND = 9 NUMBER OF ITERATIONS PERFORMED = 1 M O D A L P E R I O D S A N D F R E Q U E N C I E S CASE: MODAL MODE PERIOD FREQUENCY FREQUENCY EIGENVALUE MODAL MODAL (T) (CYC/T) (RAD/T) (RAD/T)^2 STIFFNESS MASS 1 1.005839 0.994195 6.246711 39.021396 39.021396 1.000000 2 0.785133 1.273670 8.002703 64.043261 64.043261 1.000000 3 0.538302 1.857692 11.672220 136.240727 136.240727 1.000000 4 0.253221 3.949116 24.813029 615.686400 615.686400 1.000000 5 0.223370 4.476871 28.129008 791.241119 791.241119 1.000000 6 0.184576 5.417833 34.041252 1158.807 1158.807 1.000000 7 0.119263 8.384830 52.683441 2775.545 2775.545 1.000000 8 0.112914 8.856264 55.645546 3096.427 3096.427 1.000000 9 0.104870 9.535597 59.913926 3589.678 3589.678 1.000000 M O D A L L O A D P A R T I C I P A T I O N R A T I O S CASE: MODAL LOAD, ACC, OR LINK/DEF STATIC DYNAMIC EFFECTIVE (TYPE) (NAME) (PERCENT) (PERCENT) PERIOD ACC UX 0.0000 0.0000 -INFINITY- ACC UY 0.0000 0.0000 -INFINITY- ACC UZ 100.0000 100.0000 0.720228 ACC RX 0.0000 0.0000 -INFINITY- ACC RY 100.0000 100.0000 0.782104 ACC RZ 0.0000 0.0000 -INFINITY- (*) NOTE: DYNAMIC LOAD PARTICIPATION RATIO EXCLUDES LOAD APPLIED TO NON-MASS DEGREES OF FREEDOM A N A L Y S I S C O M P L E T E 2005/03/12 20:27:17 Bảng so sánh kết quả tần số: Dạng dao động riêng Tần số w (1/s) theo phương pháp lặp năng lượng Tần số w (1/s) theo Sap 2000 So sánh 1 6.24677 6.24671 0.001% 2 8.00273 8.00270 0.0004% 3 11.67227 11.67223 0.0004% 4 24.81413 24.81305 0.005% 5 28.12905 28.12905 0% 6 34.04137 34.04118 0.0006% 7 52.68918 52.68344 0.01% 8 55.64576 55.64576 0% 9 59.91518 59.91404 0.002% Nhận xét kết quả các ví dụ 3, 4, 5, 6: Bằng hai phương pháp khác nhau: Phương pháp lặp năng lượng và chương trình Sap 2000 Version 8.2.3 cho các giá trị tần số của các dạng dao động riêng tương ứng thay đổi không đáng kể. Do vậy, để thực hiện tính toán tần số các dạng dao động riêng của công trình trong các ví dụ ta có thể thực hiện một trong hai phương pháp trên. Phần kết luận kiến nghị - Hướng nghiên cứu tiếp của luận văn Phần kết luận – kiến nghị Sau quá trình nghiên cứu đề tài một cách nghiêm túc, khoa học theo đề cương nghiên cứu đã được thông qua của luận văn tốt nghiệp thạc sĩ, học viên có một số nhận xét và kiến nghị sau: - Tính đồng thời tần số và dạng dao động riêng của công trình chịu tải trọng động là bài toán cơ bản và phức tạp, phụ thuộc nhiều yếu tố. Hiện nay có nhiều cách tính khác nhau. - Sử dụng quá trình lặp biểu diễn ở dạng ma trận như đã trình bày cho phép tính được đồng thời tần số và dạng dao động riêng không chỉ cho dạng dao động thứ nhất mà còn cho các dạng dao động riêng cao hơn, điều đó cho phép xét được các công trình có yêu cầu tính các tần số và dạng dao động riêng ở mode cao. - Sử dụng thuật toán lặp đã làm cho quá trình tính toán tần số và dạng dao động riêng đơn giản hơn nhiều nhờ việc không phụ thuộc vào hàm dạng gỉa thiết ban đầu (với các công trình bất kỳ thì việc xác định hàm dạng giống với dạng thực rất khó khăn, sai số trong giả thiết hàm dạng dẫn đến sai số của kết quả tính toán.), giờ đây với thuật toán lặp mà luận văn nghiên cứu – các hàm dạng ban đầu là bất kỳ, quá trình lặp sẽ điều chỉnh, hội tụ để đưa về dạng cần tính. - Quá trình tính tần số và dạng dao động riêng ở các mode cao của phương pháp lặp nghiên cứu bởi luận văn luôn đảm bảo tính chất trực giao bởi vì nó xuất phát từ điều kiện trực giao để giải quyết bài toán. - Việc sử dụng các phương pháp tính tần số và dạng dao động riêng cần phải nắm vững các yếu tố xây dựng phương pháp từ đó có thể lường trước được các sai số có thể và sử dụng các cách tính tốt hơn. Hướng nghiên cứu tiếp của luận văn Trong khuôn khổ của một luận văn thạc sĩ, thời lượng có hạn, trình độ còn hạn chế, học viên cũng mới chỉ thực hiện được bước đầu trong nghiên cứu. Nếu có điều kiện tiếp tục nghiên cứu, học viên sẽ đi sâu vào giải quyết các vấn đề như: - Nghiên cứu và tự xây dựng chương trình tính tần số và dạng dao động riêng theo phương pháp lặp năng lượng. - Phát triển nghiên cứu với phương pháp lặp không gian con. - Mở rộng phương pháp lặp năng lượng xác định tần số và dạng dao động riêng với các hệ kết cấu khác: hệ tấm, hệ vỏ, hệ không gian… Tài liệu tham khảo [1]. Phạm Đình Ba, Nguyễn Văn Hợi, Giáo trình động lực học công trình, Học viện kỹ thuật quân sự, Hà Nội, 1994. [2]. Phạm Đình Ba, Bài tập động lực học công trình, Học viện kỹ thuật quân sự, Hà Nội, 1995. [3]. Nguyễn Quốc Bảo, Trần Nhất Dũng, Phương pháp phần tử hữu hạn lý thuyết và lập trình, NXB Khoa học và Kỹ thuật, Hà nội, 2002. [4]. Phạm Khắc Hùng, Lê Văn Quý, Lều Thọ Trình, ổn định và động lực học công trình, NXB Đại học và Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội, 1974. [5]. Lê Quỳnh Mai, Tính dao động riêng của kết cấu dạng dầm bằng phương pháp ma trận chuyển tiếp, Luận văn thạc sỹ khoa học kỹ thuật, Đại học giao thông vận tải, 2000. [6]. Nguyễn Xuân Ngọc, Nguyễn Tài Trung, ổn định và động lực học công trình, NXB xây dựng, 1997. [7]. Nguyễn Ngọc Quỳnh, Hồ Thuần, ứng dụng ma trận trong kỹ thuật, NXB Khoa học và Kỹ thuật, 1978. [8]. Nguyễn Văn Tỉnh, Cơ sở tính dao động công trình, NXB xây dựng, 1987. [9]. Bùi Đức Vinh, Phân tích và thiết kế kết cấu bằng phần mềm SAP 2000, NXB Thống kê, 2001. [10]. P.C Muller ( Nguyễn Đông Anh dịch ), Dao động tuyến tính, NXB xây dựng, 1997. [11]. Ray W.Clough, Joseph Penzien, Dynamics of Structures, McGraw-hill Inc, 1993.