Rèn luyện và phát triển năng lực suy luận quy nạp cho học sinh trong dạy học toán ở trường phổ thông

ận thường dùng là: ( tam đoạn luận khẳng định). 1.3. Suy luận quy nạp. Theo từ điển toán học thông dụng (xem [7], tr. 494), phương pháp quy nạp là phương pháp suy luận dựa trên quan sát và thí nghiệm, xuất phát từ những trường hợp riêng lẽ, rồi mở rộng các kết quả có tính chất quy luật ra cho trường hợp tổng quát. Sau đây là các loại suy luận quy nạp. a) Quy nạp toán học Quy nạp toán học là một phương pháp suy luận chặt chẽ, thực chất của nó là suy diễn, nhưng nó chứa yếu tố quy nạp, cụ thể là bước thử trực tiếp mệnh đề đúng với n= 0 (hoặc n = p). Phương pháp quy nạp toán học là một phương pháp chứng minh quan trọng trong toán học, cơ sở của nó là nguyên lí quy nạp toán học. (Phương pháp này được đưa vào chương trình đại số và giải tích 11). b) Quy nạp hoàn toàn Quy nạp hoàn toàn là suy luận trong đó kết luận chung, khái quát được rút ra trên cơ sở nghiên cứu tất cả các đối tượng của lớp đó. Quy nạp hoàn toàn được đặc trưng bởi sự nghiên cứu toàn bộ các đối tượng thuộc phạm vi xem xét để rút ra kết luận chung về chúng. Ta có sơ đồ khái quát như sau: là P là P ... là P _________ S là P. tức là khi mỗi đối tượng của lớp S đều có tính chất P thì cả lớp có tính chất P. Phương pháp này được đưa vào chương trình toán phổ thông ở dạng ẩn tàng. Ví dụ: Chương trình hình học 9, NXBGD 1994, tr.34 trình bày chứng minh định lí: Trong một đường tròn, số đo của một góc nội tiếp bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung. Chương trình hình học 10, sách giáo khoa thí điểm ban KHTN, NXBGD 2003, Đoàn Quỳnh tổng chủ biên, tr.42 trình bày chứng minh định lý sin trong tam giác: với A, B, C là ba đỉnh; a, b, c là ba cạnh và 2R là đường kính của đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC. c) Quy nạp không hoàn toàn. Quy nạp không hoàn toàn là suy luận mà trong đó kết luận khái quát chung về lớp đối tượng nhất định được rút ra trên cơ sở nghiên cứu không đầy đủ các đối tượng của lớp ấy. Thực chất là việc nghiên cứu chỉ tiến hành cho một số đối tượng của lớp song kết luận lại rút ra chung cho cả lớp đó. Chúng ta dự đoán kết quả tổng quát sau khi mới chỉ xem xét một số trường hợp riêng mà thôi. Quy nạp không hoàn toàn không thể xem là một phương pháp chứng minh trong toán học. Nó chỉ là một phương pháp có hiệu lực để phát hiện chân lí mới, có thể đưa đến kết luận đúng. Chẳng hạn, để tìm công thức của tổng n số lẽ đầu tiên, ta xét các trường hợp riêng: ... Các kết quả này cho phép dự đoán , tức là tổng của n số lẻ đầu tiên bằng . Đây là một kết luận đúng và chúng ta có thể chứng minh bằng quy nạp toán học. Bên cạnh đó, phương pháp quy nạp không hoàn toàn cũng có thể đưa đến kết luận sai. Ví dụ xét các số dạng (số Fermat). Cho n các giá trị 1, 2, 3 ta được các số tương ứng là 3, 17, 137 đều là các số nguyên tố. Do đó ta có thể nghĩ rằng tất cả các số Fermat đều là các số nguyên tố. Song kết luận này không đúng. Với n = 4, Euler đã chỉ ra rằng chia hết cho 641. Nói tóm lại, kết quả tìm được bằng phương pháp quy nạp không hoàn toàn chỉ là một giả thuyết, chừng nào nó chưa được chứng minh. Trong toán học, phương pháp quy nạp hoàn toàn nói chung, chỉ được sử dụng một cách có giới hạn vì đa số mệnh đề toán học được bao gồm vô số trường hợp riêng. Do đó nói chung không thể sử dụng phương pháp quy nạp hoàn toàn được. Còn phương pháp quy nạp không hoàn toàn, tuy kết luận của nó có thể sai nhưng lại có ý nghĩa to lớn trong việc tìm tòi, dự đoán, tìm ra tri thức mới. Polya khẳng định: Suy luận quy nạp là một trường hợp riêng của suy luận có lí hay còn được giáo sư Hoàng Chúng gọi là “suy luận nghe có lí”. Trong khoá luận này chỉ dám đề cập đến quy nạp, chủ yếu là quy nạp không hoàn toàn. 2. Mối quan hệ của phương pháp quy nạp với phương pháp suy luận suy diễn trong dạy học toán Mục này được trình bày theo G.Polya (xem [4] ở Lời nói đầu). Phương pháp quy nạp là một trường hợp riêng của suy luận có lí, còn suy luận suy diễn là một trường hợp riêng của suy luận chứng minh. Để làm rõ mối quan hệ của chúng, ta hãy xét mối quan hệ tổng thể của suy luận chứng minh và suy luận có lí. Trong toán học, chúng ta củng cố các kiến thức bằng suy luận chứng minh nhưng viện trợ các giả thuyết bằng các suy luận có lí. Một chứng minh toán học là suy luận chứng minh còn kết luận quy nạp của các nhà vật lí, hoá học hay sinh học, các bằng chứng gián tiếp của các luật sư, những dẫn chứng tài liệu của nhà sử học và kết luận thống kê của nhà kinh tế học,... đều thuộc về các suy luận có lí. 2.1. Hai kiểu suy luận này hết sức khác nhau a) Suy luận chứng minh là suy luận đáng tin cậy, không chối cãi được và dứt khoát, còn suy luận có lí là suy luận bấp bênh, phải tranh cãi và có điều kiện. b) Đối với toán học cũng như các môn khoa học khác, vai trò của suy luận chứng minh là như nhau, tuy nhiên tự nó (cũng như tự bản thân toán học) không có khả năng cung cấp các hiểu biết căn bản mới về thế giới xung quanh. Mọi cái mới mà chúng ta hiểu biết được về thế giới đều có liên hệ với suy luận có lí. c) Suy luận chứng minh có những tiêu chuẩn chặt chẽ được ghi lại thành luật và được giải thích bằng logic (logic hình thức hay logic chứng minh), logic này là thuyết của các suy luận chứng minh. Những tiêu chuẩn của các suy luận có lí rất linh động và không một lí thuyết nào về các suy luận như vậy lại rõ ràng bằng logic chứng minh và có sự nhất quán như logic chứng minh. 2.2. Hai loại suy luận này thống nhất với nhau Mặc dù khác nhau như vậy nhưng hai loại suy luận này không mâu thuẫn mà trái lại bổ sung cho nhau. Trong suy luận chặt chẽ điều chủ yếu là phân biệt chứng minh với dự đoán, chứng minh có căn cứ với dự đoán không có căn cứ. Trong một suy luận có lí điều chủ yếu là phân biệt dự đoán với dự đoán, dự đoán hợp lí hơn với dự đoán ít hợp lí hơn. Trong “toán học và những suy luận có lí” (xem [4] tr.6), Polya nhấn mạnh mối liên hệ chặt chẽ giữa suy luận chứng minh và suy luận quy nạp như sau: “Toán học được xem là một môn khoa học chứng minh. Tuy nhiên đó chỉ là một khía cạnh của nó. Toán học, trình bày dưới hình thức hoàn chỉnh, chỉ bao gồm chứng minh (đó là cách trình bày trong các sách giáo khoa). Nhưng toán học trong quá trình hình thành gợi lại mọi kiến thức khác của nhân loại trong quá trình hình thành. Chúng ta cần phải dự đoán về một định lí toán học trước khi chứng minh nó, phải dự đoán về đường lối và tư tưởng chủ đạo của chứng minh trước khi chứng minh, cần phải đối chiếu các kết quả quan sát được và suy ra những điều tương tự, phải mò mẫm và thử đi thử lại nhiều lần. Kết quả công tác sáng tạo của nhà toán học là suy luận chứng minh, là chứng minh, nhưng người ta tìm ra cách chứng minh nhờ suy luận có lí, nhờ dự đoán. Nếu việc dạy toán phản ánh ở mức độ nào đó việc hình thành toán học như thế nào thì trong việc giảng dạy đó phải dành chổ cho dự đoán, cho suy luận có lí”. Qua đó nhận thấy rằng, tuy phương pháp suy luận quy nạp và phương pháp suy luận suy diễn có những nét trái ngược song chúng lại có mối quan hệ mật thiết với nhau, thống nhất với nhau trong quá trình nhận thức. Chúng là một cặp phương pháp luôn được áp dụng trong một thể thống nhất kế thừa và làm tiền đề của nhau, hỗ trợ cho nhau. Vì nếu diễn dịch là đi từ cái chung đến cái riêng, thì trước đó cần phải có quy nạp (quy nạp không hoàn toàn) để dự đoán ra cái chung đã. Nói cách khác, quy nạp cung cấp nguyên liệu cho diễn dịch, diễn dịch lại đặt ra nhu cầu mới cho quy nạp, khẳng định hay phủ định những dự đoán (giả thuyết) của bước quy nạp. Cứ như thế, mỗi bước quy nạp sau, con người lại đi gần thêm vào bản chất chung của sự vật, hiện tượng, hiểu biết càng nhiều về bản chất chung của thế giới. Trong từ điển toán học thông dụng (xem [7], tr.496) đã khẳng định: “Suy diễn và quy nạp là hai phương pháp suy luận có liên quan mật thiết với nhau, mặc dù bề ngoài chúng có vẻ tương phản. Mọi phép suy diễn đều bao hàm trong nó yếu tố quy nạp, vì bất cứ suy diễn khoa học nào cũng đều bắt nguồn từ sự nghiên cứu các sự vật một cách quy nạp. Ngược lại, phép quy nạp chỉ có giá trị khoa học khi nó dẫn tới sự nhận thức của quy luật chung”. Có thể nói: trong thực tế, quy nạp và diễn dịch bao giờ cũng thống nhất với nhau trong quá trình nhận thức. Ví dụ: Bài toán định lí lớn Fermat: Phương trình (1) không có nghiệm nguyên khác không, với bất kì số nguyên . Ta biết với n = 1: x+y = z có vô số nghiệm nguyên. Với n = 2: . Ta biết rằng nếu a, b, c là các cạnh của một tam giác vuông, với cạnh huyền a thì luôn có . Đây chính là nội dung định lí Pythagore. Với n = 3: là một trường hợp riêng của (1) được Euler chứng minh năm 1770. Với n = 4: cũng là một trường hợp riêng của (1) do chính Fermat chứng minh. Mãi đến năm 1993 - 1994, Andrew Wiles, nhà toán học người Anh, sau gần 350 năm mới chứng minh hoàn toàn định lí này. Lịch sử toán học đã để lại nhiều sự kiện thú vị xoay quanh các giả thuyết có được bằng suy luận quy nạp không hoàn toàn. Có những giả thuyết đã bị bác bỏ, có nhiều giả thuyết đã được chứng minh, có những giả thuyết mà vài trăm năm sau vẫn không được chứng minh hay bác bỏ. Tuy nhiên việc tìm cách chứng minh hay bác bỏ nhiều giả thuyết đã có tác dụng thúc đẩy sự phát triển của toán học. Ví dụ “Một chân trời mới cho giả thuyết Gôn - bac”, (xem Toán học  Tuổi trẻ, số 7/2004). 3. Vai trò và tác dụng của phương pháp quy nạp trong dạy học toán. “Chúng ta cần chú ý rằng toán học có thể xét theo hai phương diện. Nếu chỉ trình bày lại những kết quả toán học đã đạt được thì nó là một khoa học suy diễn và tính logic nổi bật lên. Nhưng nếu nhìn toán học trong quá trình hình thành và phát triển, trong quá trình tìm tòi phát minh thì trong phương pháp của nó vẫn có mò mẫm, dự đoán, vẫn có “thực nghiệm” và quy nạp. Phải chú ý cả hai phương diện đó mới có thể hướng dẫn học sinh hoc toán, mới khai thác được đầy đủ tiềm năng môn toán để thực hiện giáo dục toàn diện.” (Theo Nguyễn Bá Kim, Vũ Dương Thụy ở [9], tr.25). Các tác dụng to lớn của việc rèn luyện và phát triển quy nạp với kết quả học toán của học sinh được thể hiện cụ thể như sau: a) Nhờ quy nạp, ta có thể rèn luyện cho học sinh các thao tác tư duy như phân tích, tổng hợp, so sánh, tương tự, khái quát hoá, đạc biệt hoá, trừu tượng hoá,...không những cần thiết cho việc học toán mà còn cần thiết cho các môn khoa học khác, cho công tác và hoạt động của con người. Ví dụ: Khi dạy học định lí cosin trong tam giác (hình học 10), người ta đi từ tam giác ABC có góc A vuông để đi đến biểu thức nhờ định lí Pythagore, rồi tổng quát lên cho tam giác ABC không phải là tam giác vuông thì và cụ thể sẽ bằng bao nhiêu? Giáo viên có thể hướng dẫn học sinh phân tích, so sánh, tổng hợp và tương tự như sau: - Tam giác ABC vuông nên . Vơí tam giác ABC không vuông thì sẽ bằng thêm bớt một lương nào đó (xem hình vẽ). Vấn đề của ta là tìm xem lượng đó bằng bao nhiêu? - Ta sử dụng công cụ vectơ: + được viết lại thành . + Ta luôn có: . Suy ra , Dựa vào công thức tích vô hướng của hai vectơ ta đưa đến kết quả: (*) - So sánh: khi thì (*) trở thành . Như vậy, định lí Pythagore là một truờng hợp riêng của (*). - Tổng hợp lại ta được: Trong tam giác ABC bất kì ta luôn có: . - Hơn thế nữa, bằng tương tự suy ra: và . Từ đây học sinh có thể tự mình trình bày nội dung định lí và cách chứng minh nó vào vở một cách hoàn chỉnh. b) Nhờ quy nạp, học sinh thấy được nguồn gốc, xuất xứ của khái niệm, định lí, con đường hình thành, chứng minh định lí, tại sao phải có khái niệm, định lí đó,... Học sinh thấy được toán học bắt nguồn từ thực tế và quay về phục vụ thực tế, chẳng hạn trong xây dựng ta cần đo chiều cao của một cái cây mà yêu cầu là không được chặt nó xuống,...việc này người ta không thể đo đạc trực tiếp mà phải mở rộng, nghiên cứu hình học, giải tam giác và sau đó tiến hành đo đạc, tính toán trên thực tế. Đồng thời thấy được toán học bắt nguồn từ nhu cầu phát triển của nội bộ toán học, của các ngành khoa học khác, thấy được mối liên hệ giữa toán học với thực tế và các ngành khoa học như vật lí, hoá học, sinh học, kĩ thuật, kinh tế,... Ví dụ như tri thức về tương quan tỉ lệ thuận biểu thị bởi công thức được sử dụng trong: - Tính diện tích S của một thửa ruộng hình tam giác có một cạnh bằng a với đường cao tương ứng h: . - Tính quãng đường đi được s trong một chuyển động đều với vận tốc v và thời gian t: . - Tính phân tử gam M của một chất khí biết số khối d của chất khí đó đối với không khí: . c) Không những thế, bằng quy nạp, tự bản thân học sinh, với khả năng của mình, có thể phát hiện ra các tri thức mới đối với bản thân, tập luyện “sáng tạo” toán học ở mức độ người học sinh phổ thông. Vừa làm cho học sinh tiếp thu kiến thức một cách chủ động, không còn áp đặt như trước, học sinh vận dụng đúng các kiến thức toán hơn, vừa làm cho học sinh tự tin hơn trong học toán cũng như trong học tập. Từ đó mà khuyến khích học sinh học toán, học tìm tòi và phát hiện - bước đầu tiên để trở thành một nhà toán học, nhà khoa học vĩ đại trong tương lai. Ví dụ: Khi dạy định lí đảo về dấu tam thức bậc hai theo sách giáo khoa thí điểm, ta không đưa ngay nội dung định lí như đối với sách giáo khoa hiện hành (chỉnh lí hợp nhất 2000) mà ta dựa vào định lý dấu tam thức bậc hai với nhận xét trường hợp khi nào? Tam thức bậc hai có hai nghịêm phân biệt x1, x2 () thì với mọi x  ta hướng dẫn học sinh lập mệnh đề đảo: sao cho thì phương trình có hai nghiệm phân biệt và . Nói tóm lại phương pháp quy nạp có ý nghĩa quan trọng trong dạy học toán. Bởi thế mà giáo sư Hoàng Chúng đã nói: “Do ý nghĩa to lớn của suy luận quy nạp, trong dạy học hình học cần khai thác mọi cơ hội để hướng dẫn học sinh tìm tòi, phát hiện, dự đoán các tính chất, các quan hệ. Những bài tập về tìm tòi và dự đoán bằng quy nạp có nhiều tác dụng rèn luyện tư duy và gây hứng thú học tập cho học sinh”. 4. Mục đích của dạy học toán Trong "Phương pháp dạy học môn toán" (xem [9], tr.45-62), GS.TSKH Nguyễn Bá Kim đã nêu nhiệm vụ của dạy học toán ở trường trung học phổ thông là: - Truyền thụ tri thức, kỹ năng toán học và kỹ năng vận dụng toán học vào thực tiễn bởi thông qua bộ môn toán chúng ta có thể cung cấp cho học sinh một hệ thống vững chắc các tri thức, phương pháp, kỹ năng đồng thời rèn luyện khả năng vận dụng những hiểu biết toán học vào các môn học khác, vào đời sống lao động sản xuất. - Phát triển năng lực trí tuệ chung như tư duy trừu tượng, tư duy logic, tư duy biện chứng, rèn luyện các thao tác tư duy như trừu tượng, phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát,...,các phẩm chất tư duy như tính linh hoạt, tính độc lập sáng tạo,... - Giáo dục tư tưởng chính trị, phẩm chất đạo đức và thẩm mỹ. Môn toán góp phần bồi dưỡng cho học sinh thế giới quan duy vật biện chứng, rèn luyện các phẩm chất của người lao động mới trong học tập và sản xuất như tính cẩn thận, chính xác, có mục đích, có kế hoạch, phương pháp, kỷ luật, sáng tạo, có óc thẩm mỹ,... Phương pháp quy nạp có tác dụng to lớn nhằm phục vụ đắc lực cho việc thực hiện các mục đích nêu trên. Cụ thể: - Qua thực hiện phương pháp quy nạp, học sinh tự mình tìm tòi, khám phá, rút ra các tri thức “mới” nên học sinh sẽ hiểu sâu, nhớ lâu các kiến thức dẫn đến vận dụng tốt hơn. - Học sinh sẽ có kĩ năng thành thạo hơn, rèn luyện các thao tác tư duy, đặc biệt là khái quát hóa, trừu tượng hóa, tương tự...dẫn đến sáng tạo. Ngoài ra học sinh còn rèn luyện được các phẩm chất trí tuệ nêu trên, khả năng so sánh, lựa chọn nhằm phát triển năng lực phê phán. - Ngoài ra học sinh sẽ có hứng thú học tập, có niềm tin trong sáng tạo và khám phá. 5. Sơ lược tình hình rèn luyện quy nạp cho học sinh phổ thông 5.1. Sách giáo khoa với việc rèn luyện năng lực quy nạp cho học sinh Rèn luyện và phát triển năng lực lập luận, chứng minh cho học sinh là một việc phải làm thường xuyên của giáo viên trung học nhất là THPT. Vì vậy sách giáo khoa toán ở bậc học này đã trình bày kiến thức theo xu hướng tiên đề hóa nhằm tạo điều kiện cho giáo viên rèn luyện năng lực quan trọng này cho học sinh. Ví dụ như việc yêu cầu học sinh biết chứng minh các tính chất, định lý từ sớm ( ngay từ lớp 7). Nhưng nếu không chú ý đúng mức đến việc rèn luyện phương pháp quy nạp cho học sinh lại là một thiếu sót, như ý kiến của GS. Nguyễn Cảnh Toàn có nêu: “Toán học là một môn học rất thuận lợi trong việc rèn luyện tư duy lôgic, nhưng cách dạy của chúng ta lại chỉ chú ý đến rèn luyện khả năng suy diễn, coi nhẹ khả năng quy nạp”. Ngành Giáo dục và Đào tạo của nước ta trong mấy năm gần đây đã và đang đẩy mạnh đổi mới phương pháp dạy học. Sách giáo khoa cũng đang được chỉnh sửa cho phù hợp với xu hướng này. Sách giáo khoa thí điểm phân ban hiện nay đã thay đổi cách trình bày kiến thức nhằm tạo cơ sở thuận tiện để giáo viên rèn luyện phương pháp quy nạp cho học sinh và thực hiện đổi mới phương pháp dạy và học. Cụ thể như sau: a) Cố gắng giảm bớt tính áp đặt cho học sinh, tổ chức các hoạt động, dẫn dắt để học sinh phát hiện vấn đề, so sánh, nhận xét, khái quát hóa hay trừu tượng hóa. Ví dụ 1: Trong chương trình toán 7, khi dạy định lý “Tổng các góc trong của một tam giác bằng 1800” - Sách giáo khoa cũ đưa ngay định lý và chứng minh. - Sách giáo khoa mới: + Vẽ hai tam giác bất kỳ, và yêu cầu học sinh đo các góc của mỗi tam giác đó, tính tổng số đo của ba góc mỗi tam giác, rồi nhận xét kết quả. + Dùng tấm bìa cắt hình tam giác bất kỳ, cắt rời hai góc rồi đặt nó kề với góc còn lại. Giáo viên yêu cầu học sinh dự đoán kết quả. + Tạo một đường thẳng song song với đáy tam giác tại đỉnh và so sánh góc mới tạo thành với tổng các góc trong của tam giác đó. Ví dụ 2: Khi trình bày định nghĩa hàm số ( Đại số 10) - Sách giáo khoa hiện hành (Chỉnh lý hợp nhất 2000) đưa trực tiếp định nghĩa. - Sách giáo khoa mới (thí điểm): Đưa các ví dụ cụ thể từ hai đại lượng tỷ lệ thuận: Quảng đường s đi được trong thời gian t, hay hai đại lượng tỷ lệ nghịch: thời gian hoàn thành một khối lượng công việc với năng suất thực hiện công việc đó, bảng nhiệt độ trong năm của một tỉnh, thành phố nào đó. Qua đó giáo viên hướng dẫn học sinh phân tích, tổng hợp để nhận biết: ở mỗi trường hợp đều có một đại lượng nhận giá trị trong một tập hợp số và một đại lượng nữa có giá trị tương ứng thuộc một tập hợp số thứ hai Từ đó hướng dẫn học sinh nhận xét để rút ra dấu hiệu bản chất: Với mỗi phần tử x thuộc tập số A đều tương ứng với mỗi phần tử xác định y thuộc tập hợp số B. Sau cùng giáo viên gợi ý để học sinh phát biểu định nghĩa có nội dung như trong sách giáo khoa. Ví dụ 3: Chẳng hạn như khi dạy bài vị trí tương đối của một mặt cầu với đường thẳng và mặt phẳng (Hình học 11): - Trước tiên ta phải làm cho học sinh thấy được vì sao cần phải xét các vị trí tương đối này? Do ở bài trước ta đã biết được vị trí tương đối của một điểm đối với một mặt cầu, mà đối tượng nghiện cứu của hình học không gian là điểm, đường thẳng và mặt phẳng. Ta đã có vị trí tương đối của một điểm với một mặt cầu, giờ cần nghiên cứu vị trí tương đối của hai đối tượng còn lại (đường thẳng và mặt phẳng) với mặt cầu. - Từ kết quả trong mặt phẳng về vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn đã biết, bằng phương pháp tương tự ta xét vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu trong không gian. - Giới thiệu cho học sinh thấy các mô hình trong thực tế, ví dụ như khi bổ một quả cam hay xem xét vị trí tương đối của trái bóng với mặt nước của một chậu nước, cũng có thể giáo viên cho học sinh quan sát hình vẽ các vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu. - Qua đó học sinh có thể rút ra kết luận cuối cùng về các vị trí tương đối của một mặt phẳng với một mặt cầu. Việc đổi mới này nhằm giúp học sinh không thụ động khi nghe giảng, học sinh phải động não và hoạt động theo những mức độ khác nhau để có thể trả lời các câu hỏi, qua đó thực hiện các hoạt động tích cực xây dựng bài học. b) Sách giáo khoa hiện nay cũng đã cố gắng giảm bớt yêu cầu về tính logic của vấn đề mà chú trọng đến tính thực tế. Sách giáo khoa hiện nay đã cố gắng giảm nhẹ phần lý thuyết, chủ yếu là giảm nhẹ các chứng minh của các tính chất hoặc định lí. Các tính chất và định lí này nhiều lúc rất hiển nhiên, hoàn toàn có thể thấy được bằng trực giác, nhưng thực ra chứng minh nó lại không đơn giản và không mang lại lợi ích gì nhiều. Chẳng hạn tính chất duy nhất của vectơ đối (hình học 10). Chúng ta chú trọng hơn đến tính thực tế, tính liên hệ thực tiễn. sự cần thiết phải có chúng trong thực tế. Ví dụ 1: Trong chương trình toán 8, khi dạy về phương trình: - Sách giáo khoa cũ đưa ngay định nghĩa bao gồm cả tập xác định của phương trình. - Sách giáo khoa mới thì ngược lại, không đưa tập xác định vào ngay mà đợi đến khi có vấn đề do không có tập xác định nên dẫn đến sai sót mới đưa vào, điều đó vừa có tác dụng nhấn mạnh cho học sinh, làm cho học sinh nhớ lâu, vừa có tác dụng giải thích lí do, học sinh thấy được sự cần thiết của việc tìm tập xác định của phương trình. Ví dụ 2: Dạy một tính chất của hàm số liên tục trên một đoạn [a,b] (Đại số và giải tích 11). - Sách giáo khoa hiện hành (chỉnh lí hợp nhất 2000), tr.134-136 nêu ngay định lí: f(x) liên tục trên [a, b] và f(a).f(b) 0. Do đó (3) đúng. 0 0. Lúc đó (3) . Bất đẳng thức này đúng vì: nên a-1 > 1- b nên . Cách chứng minh trên đây tuy hơi dài dòng hơn đáp án đã có nhưng rõ ràng là ta đã rèn luyện được cho học sinh các thao tác trên một cách có hiệu quả. 1.2. So sánh 1.2.1. Mô tả So sánh là xác định sự giống nhau và khác nhau giữa các sự vật, hiện tượng. Muốn vậy ta phải phân tích các dấu hiệu thuộc tính của chúng, đối chiếu chúng với nhau rồi tổng hợp lại để xem chỗ giống và khác nhau. 1.2.2. Tác dụng - Hiểu sâu và đúng các đối tượng quan sát. - Thấy được mối liên hệ giữa các đối tượng. - Giúp cho việc tiến hành thao tác tương tự sau này. 1.2.3 Ví dụ minh họa So sánh những sự vật, hiện tượng bề ngoài có vẻ khác nhau nhưng thực chất là giống nhau, thậm chí có khi chỉ là một. Ví dụ 1: . và số 1: . góc và chỉ là một điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác. So sánh các sự vật, hiện tượng theo nhiều khía cạnh khác nhau. Có khi chúng khác nhau ở khía cạnh này nhưng lại giống nhau ở khía cạnh khác. Ví dụ 2: + Hai hàm số và là khác nhau, nhưng khi 0 1 thì chúng cùng đồng biến. + Hai tổng sau đây có dạng khác nhau nhưng lại có cùng một phương pháp giải: và . So sánh các khái niệm, các định lí, quy tắc để thấy cái hay, cái mới, các trường hợp vận dụng. Ví dụ 3: So sánh hai dấu hiệu chứng tỏ hàm số y= f(x) liên tục tại điểm . f(x) xác định tại . + tồn tại Với + tồn tại và + 1.3. Thử nghiệm và nhận xét 1.3.1 Mô tả: Thử nghiệm là xét tính đúng sai của một dự đoán (một giả thuyết) vào một trường hợp đặc biệt để biết dự đoán đó là đúng hay sai. Nếu là đúng thì làm cho niềm tin được cũng cố, còn nếu là sai thì bác bỏ nó đi. Sử dụng các thao tác tư duy trước như phân tích, tổng hợp, so sánh, xét các đối tượng cụ thể hay khái quát hóa các sự vật hiện tượng để rút ra các nhận xét, các mệnh đề,... 1.3.2 Tác dụng - Tập cho học sinh có cái nhìn về các sự vật, hiện tượng dưới nhiều góc độ, nhiều khía cạnh khác nhau, rồi từ đó thử nghiệm, nêu lên các nhận xét về chúng. - Đây là một con đường của phát minh, sáng tạo. 1.3.3 Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Định lí lớn Fermat đã nêu ở trang 7, Việc thử với n = 3 của Euler và n = 4 của Fermat là các thử nghiệm để củng cố niềm tin: “Định lí” Fermat đúng là một định lí, được Andrew Wiles khẳng định là đúng vào năm 1994. Ví dụ 2: Từ bài toán rút gọn và tính giá trị của biểu thức: khi và (Đại số và giải tích 11, Sách giáo khoa chỉnh lí hợp nhất 2000, tr.149) Với cách giải thông thường là thay số vào để tính, hoặc rút gọn rồi mới thay số đều phức tạp và dễ nhầm lẫn dẫn đến sai sót nhưng nếu sau khi rút gọn xong , ta quan sát, thử đánh giá ab. Dể thấy: nên ta có được ngay kết quả A = 1. 2. Tập cho học sinh nêu dự đoán 2.1. Mô tả Từ những gì quan sát được, qua nhận xét, phân tích, tổng hợp, so sánh, tương tự,... học sinh đưa ra các dự đoán, giả thuyết, các kiến thức mới. 2.2. Tác dụng - Góp phần rèn luyện cho học sinh các thao tác tư duy, khả năng suy luận, óc quan sát để tìm ra các dấu hiệu bản chất của sự vật, hiện tượng. - Hình thành và phát triển kĩ năng tìm tòi, phát hiện ra cái mới cho học sinh. - Nó là nguồn gốc của phát minh, sáng tạo. 2.3. Các trường hợp cụ thể. 2.3.1. Tập dự đoán qua khái quát hóa, trừu tượng hóa Khái quát hóa là dùng trí óc tách ra các cái chung trong các đối tượng, hiện tượng, sự kiện, là chuyển từ việc nghiên cứu một tập hợp đối tượng đã cho đến việc nghiên cứu một tập hợp lớn hơn, bao gồm cả tập hợp ban đầu. Muốn khái quát hóa phải so sánh nhiều đối tượng với nhau để rút ra cái chung, nhưng cũng có khi chỉ từ một đối tượng ta cúng có thể khái quát một tính chất, một phương pháp. Đặc biệt hóa là xét một trường hợp cụ thể nằm trong cái chung, là chuyển từ việc nghiên cứu một tập hợp đối tượng đã cho sang việc nghiên cứu một tập hợp nhỏ hơn chứa trong tập hợp đã cho. Chúng có tác dụng giúp chúng ta có cái nhìn bao quát, thấy được cái chung trong nhiều cái riêng lẽ, rút ra cái chung để vận dụng rộng hơn. Đây là một con đường phát minh, sáng tạo và kiểm chứng giả thuyết. Chú ý rằng các giả thuyết rút ra được từ khái quát hóa và đặc biệt hóa có thể đúng và cũng có thể sai. Vì vậy phải chứng minh. Ví dụ 1: Trong sách giáo khoa thường nêu ngay các bài tập, bài toán ở dạng có sẵn, học sinh chỉ việc bắt tay vào giải mà thôi. Nhưng bằng quy nạp ta có thể hướng dẫn, tập cho học sinh tạo ra các hệ thức, các bài toán để tự mình giải_điều này cũng có tác dụng giúp học sinh định hướng được lời giải của bài toán một cách dễ dàng hơn. Chẳng hạn: Từ bài toán cụ thể của Gauss: 1+2+3+...+100 = (100+1).50 ta có thể yêu cầu học sinh đặt bài toán tổng quát lên cho n số tự nhiên liên tiếp đầu tiên với cách giải hoàn toàn tương tự như sau: “Tính tổng: 1+2+3+...+n” hoặc dưới hình thức khác: “Chứng minh rằng: ” (Ví dụ 1, Đại số và giải tích 11, nhà xuất bản giáo dục 2000, tr.80). Từ việc xem xét mệnh đề chứa biến P(n) = “”, ta có thể giúp học sinh đặc biệt hóa, khái quát hóa để rút ra các dự đoán có thể có như sau: n = 0: (đúng). n = 1: (đúng). n = 2: (đúng). n = 3: (đúng). n = 4: (đúng). - Từ đây ta có thể nêu lên giả thuyết: “”. Điều này hoàn toàn đúng nhưng tầm thường. Tuy nhiên chúng ta cũng có thể nêu lên khẳng định thông qua các trường hợp cụ thể trên như sau: “”. Điều này lại sai lầm vì với n = 5 ta có . Và hơn thế nữa, với n = 6, 7, 8,...thì . - Đến đây, ta có kết luận dự đoán tiếp theo: “”. Sau đó nếu với phép thử, cho dù kết luận dự đoán này có nhận được kết quả đúng với n bằng bao nhiêu thì vẫn không thể coi là đã được chứng minh. Nhưng mệnh đề này là một mệnh đề đúng và sẽ được chứng minh bằng quy nạp toán học. Đây cũng là một ví dụ cho phép ta khẳng định, giải thích vì sao trong phép quy nạp toán học cần phải chứng tỏ mệnh đề đúng với n = 0 hay n = p. Như vậy trong các dự đoán, kết luận rút ra chỉ là giả thuyết khi nào nó chưa được chứng minh. Ví dụ 2: Trong hình học chúng ta cũng có thể thực hiện được điều này. Chẳng hạn ở phổ thông cơ sở, ta có bài toán tìm số giao điểm của các trường hợp: - hai đường thẳng cắt nhau, n = 2: có 1 giao điểm - ba đường thẳng đôi một cắt nhau mà không cùng đi qua một điểm, n = 3: có 3 giao điểm. - bốn đường thẳng đôi một cắt nhau mà không có ba đường thẳng nào đồng quy, n=4 : có 6 giao điểm. - năm đường thẳng đôi một cắt nhau mà không có ba đường thẳng nào đồng quy, n=5: có 10 giao điểm. Từ đó tổng quát lên cho bài toán n đường thẳng đôi một cắt nhau, không có ba đường thẳng nào đồng quy, hãy tìm xem có bao nhiêu giao điểm? Ví dụ 3: Từ bài toán tổng quát ta đưa về bài toán cụ thể rồi từ đó hoàn thành lời giải cho bài toán ban đầu. Chẳng hạn: - Có n đường thẳng đôi một cắt nhau nhưng không có bộ ba nào đồng quy. Hỏi n đường thẳng đó chia mặt phẳng ra làm bao nhiêu miền? - Đặc biệt hóa: n = 1: A(1) = 2. n = 2: A(2) = 4 = 2+2 = 2+1+1 =A(1)+1+1. n = 3: A(3) = 7 = A(2)+2+1. .... - Khái quát hóa: A(k+1) = A(k)+k+1. - Chứng minh: Giả sử có k đường thẳng đôi một cắt nhau nhưng không có bộ ba nào đồng quy, k đường thẳng đó sẽ chia mặt phẳng thành A(k) miền. Đường thẳng thứ k+1 cắt k dường thẳng kia tại k điểm nên tạo ra k+1 nửa (đoạn thẳng), mỗi nửa đoạn tạo ra một miền mới. Do đó A(k+1) = A(k)+k+1+1. Ta có thể đi đến kết quả cuối cùng: n điểm khác nhau trên một đường thẳng chia đường thẳng đó ra làm n+1 phần, n đường thẳng, ở vị trí tổng quát, chia mặt phẳng ra phần. Ví dụ 4: Từ hai ví dụ cụ thể thuộc hai lĩnh vực khác nhau, giáo viên hướng dẫn học sinh khái quát định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm. 1) Bài toán tìm vận tốc tức thời: Một chất điểm chuyển động trên trục S’OS. Quãng đường s của chuyển động là một hàm số theo thời gian t: s = f(t). Hãy tìm một đại lượng đặc trưng cho mức độ nhanh chậm của chuyển động tại thời điểm t0? Giải: Trong khoảng thời gian từ t0 đến t chất điểm đi được quãng đường: s- s0= f(t)- f(t0). * Nếu chất điểm chuyển động đều thì tỉ số là một hằng số. Đó chính là vận tốc của chuyển động tại mọi thời điểm. * Nếu chất điểm chuyển động không đều thì tỉ số trên là vận tốc trung bình của chất điểm chuyển động trong khoảng thời gian t- t0. Khi t càng gần t0 tức là | t-t0| càng nhỏ thì vận tốc trung bình càng thể hiện chính xác hơn mức độ nhanh chậm của chất điểm tại thời điểm t0. Từ nhận xét trên, người ta đưa ra định nghĩa sau đây: Giới hạn (nếu có) của được gọi là vận tốc tức thời của chất điểm chuyển động tại thời điểm t0. Đó là đại lượng cần tìm. 2) Bài toán tốc độ phản ứng hóa học tức thời: Trong một phản ứng hóa học có một chất xúc tác tham gia. Nồng độ của chất xúc tác là một hàm số của thời gian t: C = f(t). Tìm một đại lượng đặc trưng cho tốc độ phản ứng hóa học tại thời điểm t0. Giải: Trong khoảng thời gian t- t0, hiệu C- C0= f(t)- f(t0) biểu thị sự biến thiên của nồng độ chất xúc tác. Đại lượng cho biết sự biến thiên trung bình của nồng độ chất xúc tác trong khoảng thời gian t-t0. Người ta gọi tỉ số đó là tốc độ trung bình của phản ứng hóa học đang xét. Nếu | t-t0| càng nhỏ thì tỉ số trên biểu thị càng chính xác tốc độ phản ứng hóa học tại thời điểm t0. Từ đó người ta định nghĩa: Giới hạn ( nếu có) của được gọi là tốc độ tức thời của phản ứng hóa học tại thời điểm t0. Đại lượng đó đặc trưng cho tốc độ phản ứng hóa học tại thời điểm t0. Qua hai bài toán này giáo viên tập cho học sinh so sánh, phân tích để rút ra cấu trúc chung của bài toán tổng quát: ở đây biến số là (sách giáo khoa thí điểm) ta tổng quát lên thành . Ta khái quát từ thành để đưa đến bài toán tìm giới hạn của tỉ số của nhiều vấn đề toán học, vật lí, hóa học, sinh học,... Sau đó đưa ra khái niệm đạo hàm của hàm số tại một điểm. Giáo viên phải làm cho học sinh hiểu rõ bản chất của là tỉ số của hai số gia và (giới hạn của tỉ số này nếu có, gọi là đạo hàm của hàm số y=f(x) tại một điểm x0 nào đó) để sau này học sinh biết rằng có một hàm số có thể không có đạo hàm tại điểm x0, mặc dù tại đó hàm số vẫn liên tục. Ví dụ 5: Trong hình học không gian 11, khi dạy bài mặt cầu ngoại tiếp hình chóp và lăng trụ, ngoài định nghĩa và hai ví dụ đã giải, sách giáo khoa không hề nêu lên phương pháp chung để giải bài toán xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp hay lăng trụ. Nhưng nếu bằng quy nạp, nhờ khái quát hóa và đặc biệt hóa (Từ hai bài toán cụ thể nêu trên) giáo viên có thể giúp học sinh nêu ra phương pháp giải bài toán xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp một cách thuận lợi hơn. 1) Bài toán 1: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, mặt bên hợp với đáy một góc . Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Giải: * Xác định tâm: Gọi O là tâm của tam giác đều ABC. (S.ABC là hình chóp đều) nên SO chính là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của SA. Trong (SAO), đường trung trực SI của MA cắt SO tại I, ta có: Vậy mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC là S(I;R). * Tính bán kính R: Gọi N là trung điểm của BC . . (Hoặc nhận xét tứ giác AMIO nội tiếp trong đường tròn đường kính AI nên SM.SA=SI.SO). + Tính SO: . Tam giác SON có: , (1). + Tính SA: Tam giác SAO vuông tại O nên với . Vậy (2) Từ (1) và (2) ta có Kết luận: Mặt cầu cần tìm là: S (I; ). 2) Bài toán 2: Cho tứ diện SABC có SA, SB, SC vuông góc với nhau đôi một và có độ dài lần lượt là a, b, c. Hãy xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện. Giải: * Tìm tâm: Vì tam giác SAB vuông tại S nên trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB là đường thẳng tại trung điểm M của cạnh huyền AB. Khi đó (cùng vuông góc với (SAB)). Gọi N là trung điểm SC. Trong (SC, Mx) dựng đường trung trực NO của SC cắt Mx tại O. Ta có: Vậy O là tâm mặt cầu ngoại tiếp SABC. * Tính bán kính: Xét tam giác OMB vuông tại M có : (Vì SMON là hình chữ nhật) Kết luận: Mặt cầu cần tìm là Qua hai bài toán ta giúp học sinh nêu lên phương pháp giải. Xác định tâm : Tâm có thể là giao điểm của hai đường thẳng trong một mặt phẳng hoặc giao điểm của một đường thẳng và một mặt phẳng. - Bước 1: Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy, từ đó dựng d là trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy - Bước 2: Có hai khả năng xảy ra + Nếu tồn tại một cạnh bên đồng phẳng với trục đường tròn ngoại tiếp d thì ta dựng đường trung trực của cạnh bên đó và xác định giao điểm của nó với d - giao điểm đó chính là tâm của mặt cầu cần tìm. + Nếu không tồn tại cạnh bên nào đồng phẳng với trục đường tròn ngoại tiếp d thì ta buộc phải dựng mặt phẳng trung trực của của một cạnh bên nào đó. Khi đó giao điểm của với d chính là điểm cần tìm. Tính bán kính: - Tính độ dài từ tâm đến một đỉnh bất kì của hình chóp (hoặc hình lăng trụ). Ngoài ra, nếu dựa vào hình học phẳng, đối với bài toán chứng minh các điểm cùng nằm trên một đường tròn, ta còn có thể tương tự lên để có thêm cách xác định tâm khác là: + Các điểm còn lại nhìn hai điểm dưới một góc vuông. + Tồn tại một mặt cầu đi qua (n-1) điểm và khoảng cách từ điểm còn lại đến tâm mặt cầu đó đúng bằng bán kính của mặt cầu. Ngoài ra, qua bước xác định trục của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy của hình chóp, ta cũng có thể hướng dẫn, gợi ý học sinh rút ra nhận xét: Nếu đa giác đáy của hình chóp không có trục đường tròn ngoại tiếp thì hình chóp đó sẽ không có mặt cầu ngoại tiếp. Ta cũng có thể khái quát hóa chỉ từ một sự kiện, hiện tượng. Ví dụ 6: Từ bài toán: Cho bất phương trình -2x+3>0 a) Giải bất phương trình và biểu diễn hình học tập nghiệm của nó. b) Chỉ ra các khoảng trong đó f(x)= -2x+3 có giá trị: - Trái dấu với a. - Cùng dấu với a. Ta có thể khái quát lên thành định lí dấu nhị thức bậc nhất. Ví dụ 7: Trong bài tập phép dời hình (hình học 10), ở mục khái niệm về hai hình bằng nhau. Từ trường hợp hai tam giác bằng nhau, ta khái quát lên cho hai hình (H) bất kì bằng nhau. 2.3.2. Tập dự đoán qua tương tự Tương tự là một kiểu giống nhau nào đó. Những đối tượng được xem là tương tự với nhau khi chúng phù hợp với nhau trong một quan hệ nào đó. Có thể nói rằng: Hai hệ là tương tự nếu chúng phù hợp với nhau trong một mối quan hệ xác định rõ ràng giữa những bộ phận tương ứng. Bằng tương tự ta có thể tập luyện cho học sinh quan sát, so sánh, nhìn các sự vật hiện tượng dưới nhiều góc độ, nhiều quan điểm khác nhau. Đây là con đường dẫn tới sáng tạo, phát minh. Tuy nhiên cần lưu ý rằng, kết quả của tương tự chưa có gì chắc chắn, chỉ là những dự đoán, giả thuyết. Vì vậy cần phải chứng minh. Ví dụ 1: Tam giác trong mặt phẳng tương tự với tứ diện trong không gian ở chổ chúng được giới hạn bởi số tối thiểu những yếu tố cơ bản (đường trong mặt phẳng và mặt phẳng trong không gian). Từ đó ta xây dựng: + Trung tuyến của một tam giácđược định nghĩa là một đoạn thẳng nối từ một đỉnh bất kỳ của tam giác với trung điểm của cạnh đối diện.+ Trung tuyến của một tứ diện hay còn gọi là trọng tuyến được định nghĩa là một đoạn thẳng nối từ một đỉnh bất kì của tứ diện tới trọng tâm của mặt đối diện với đỉnh đó.+ Các đường trung tuyến của một tam giác đồng quy tại một điểm gọi là trọng tâm của tam giác+ Các đường trọng tuyến đồng quy tại một điểm gọi là trọng tâm của tứ diện. + Trọng tâm của tam giác chia các trung tuyến của nó theo tỷ lệ 2:1+ Trọng tâm của tứ diện chia các trọng tuyến của nó theo tỷ lệ nào? Có cùng tỷ lệ 2:1 hay không? (Kết quả là không. Nó chia các trọng tuyến theo tỷ lệ 3:1).+ Từ các công thức độ dài trung tuyến ta rút ra được công thức: + Liệu có kết quả tương tự như thế trong không gian hay không? Và nếu có thì như thế nào? , với, i = 1,...,6 là độ dài các cạnh của tứ diện. Bằng cách giải và sử dụng định lí trung tuyến trong tam giác, sử dụng phương pháp tương tự cho bài toán trong không gian, đưa về xét các tam giác trong mặt phẳng có đủ yếu tố xác định ta có công thức: + Tam giác vuông trong mặt phẳng+ Tứ diện vuông (Tứ diện có một góc tam diện là vuông) trong không gian+ Trong tam giác vuông có định lí Pythagore: Bình phương cạnh huyền bằng tổng các bình phương cạnh góc vuông. + Trong tứ diện vuông ta cũng có một “định lí” tương tự như sau: “Bình phương diện tích “mặt huyền” bằng tổng các bình phương diện tích các mặt vuông (mặt huyền là mặt đối diện với góc tam diện vuông, mặt vuông là các tam giác còn lại)+ Cho tam giác ABC, gọi r là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác, ha, hb, hc lần lượt là các đường cao tương ứng với các cạnh a, b, c. Chứng minh: + Cho tứ diện ABCD, gọi r là bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện, ha, hb, hc hd, lần lượt là các đường cao tương ứng hạ từ các đỉnh A, B, C, D của tứ diện. Chứng minh: + Trong tam giác vuông ABC có cạnh là a, b, c và đường cao h ta luôn có: + Trong tứ diện vuông OABC có cạnh OA= a, OB= b, OC= c và đường cao h hạo từ O xuống (ABC) ta có: + Từ định lí Thales trong mặt phẳng: “Cho ba đường thẳng a, b, c đôi một song song, đường thẳng d cắt a, b, c, lần lượt tại A, B, C; đường thẳng d’ cắt a, b, c, lần lượt tại A’, B’, C’. Chứng minh rằng: ”+ Định lý Thales trong không gian được phát biểu một cách tương tự như sau: “Cho ba mặt phẳng (P), (Q), (R) đôi một song song, đường thẳng a cắt (P), (Q), (R) lần lượt tại A, B, C; đường thẳng a’ cắt (P), (Q), (R) lần lượt tại A’, B’, C’. Chứng minh rằng: ”... Ví dụ 2: Sử dụng tương tự từ công thức tính khoảng cách giữa hai điểm trong mặt phẳng: ta có công thức tính khoảng cách giữa hai điểm trong không gian ba chiều: và không gian n_chiều 2.3.3. Tập dự đoán qua xét một mệnh đề đảo Ví dụ 1: Khi dạy về định lí đảo về dấu của tam thức bậc hai, sách giáo khoa chỉnh lí hợp nhất 2000 đưa trực tiếp định lí. Nhưng sách giáo khoa thí điểm lại không đưa định lí một cách trực tiếp mà dựa vào định lí dấu tam thức bậc hai nhờ nhận xét trường hợp af(x) 0) (x tuỳ ý) Gv gợi ý học sinh tìm tính chất 2. Từ tính chất 1, , ta có ,(a>0, ) (lấy logarit cơ số a cả hai vế? Nếu và cùng âm thì nên vẫn có nghĩa nhưng và không xác định. Vậy mà thì Bằng quy nạp ta có công thức sau: 3. Củng cố: + Định nghĩa hàm số logarit, BBT và đồ thị của nó. + Các tính chất của logarit. + Nội dung hai định lí 1 và 2. + BTVN: 1_9 (SGK, tr.168-169). () TXĐ: D=R, TGT: Mọi hàm số đồng biến (hay nghịch biến) trên tập xác định của nó đều có hàm số ngược. Có. Vì nó đồng biến hoặc nghịch biến trên R. Hs ghi chép TXĐ: , TGT: T=R. có nghĩa khi x>0 và . TXĐ của hàm số mũ là TGT của hàm số logarit và ngược lại. Với a>1: tăng dần. 01 và nghịch biến hi 01 và nghịch biến khi 01: khi x>1 khi 01 (x>0) ,  Đ2. Hàm số logarit (t1) 1. Định nghĩa: hàm số ngược của hàm số được gọi là hàm số logarit cơ số a và được kí hiệu là (đọc là logarit cơ số a của x). TXĐ:, TGT: T=R Vậy Chú ý: có nghĩa Ví dụ: a) b) c) 2. Sự biến thiên và đồ thị. 3. Tính chất cơ bản của logarit. () a)TXĐ: Đồ thị luôn nằm về phía bên phải Oy. b) TGT: T=R. c) và (). d) Hàm số đồng biến khi a>1 và nghịch biến khi 00) là phép vị tự tâm O tỉ số k và D là phép dời hình. Cho hai điểm M, N sao cho và Hãy thiết lập mối quan hệ giữa MN và M’N’? suy ra điều gì? suy ra điều gì? Từ M’N’=kMN em có nhận xét gì? Vậy phép đồng dạng có được bằng cách nào? Việc thực hiện liên tiếp một phép và một phép D thì kết qủa là phép đồng dạng. Người ta chứng minh được điều ngược lại cũng đúng, tức là nếu có một phép đồng dạng F thì ta tìm được một phép và một phép D mà khi thực hiện liên tiếp và D ta thu được F. đó chính là nội dung định lí sau đây. Như thế nào là hai tam giác đồng dạng? Theo tính chất của phép đồng dạng thì: Người ta cũng chứng minh được nếu ?ABC và ?A’B’C’ đồng dạng với nhau. hoặc Em nào hãy phát biểu tổng quát về hai hình đồng dạng? Gv nêu ví dụ: Quan sát hình vẽ và cho biết hình H và H’ có đồng dạng với nhau không? Vì sao? 4. Củng cố: + định nghĩa phép đồng dạng và các tính chất của nó. + phép đồng dạng tỉ số k là kết quả của việc thực hiện liên tiếp một phép vị tự tâm O tỉ số k và một phép dời hình. + hai hình được gọi là đồng dạng với nhau. + BTVN: làm các bài tập ôn chương III. Cho một điểm O cố định và một số k không đổi, . phép đặt tương ứng mỗi điểm M với điểm M’ sao cho được gọi là phép vị tự tâm O tỉ số k. Tính chất: Nếu phép vị tự tâm O tỉ số k biến hai điểm M, N thành hai điểm M’, N’ thì: + . + và . + biến 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự của chúng. + biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó, biến tia thành tia, góc thành góc bằng nó (có cùng số đo), biến tam giác thành tam giác đồng dạng với nó và tỉ số đồng dạng là |k|. Tìm ảnh của 3 điểm A, B, C qua . , tương tự , Hs đứng tại chổ trả lời. Phép vị tự là phép dời hình có tỉ số đồng dạng lầm lượt là |k| và 1. Đó là tính chất biến 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự của 3 điểm đó. A’B’=kAB, B’C’=kBC, A’C’=kAC. Suy ra: A’B’+B’C’=k(AB+BC) =kAC= A’C’. Suy ra A’, B’, C’ thẳng hàng và B’ ở giữa A’ và C’. Từ đó ta có: Phép đồng dạng biến đường thẳng thành đường thẳng, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng có độ dài bằng k lần độ dài đoạn thẳng ban đầu, biến góc thành góc có số đo bằng nó, biến tam giác thành tam giác đồng dạng với nó. (1) và (2) từ (1) và (2) ta có: M’N’=kMN. Tồn tại một phép đồng dạng tỉ số k biến M, N thành M’, N’. Thực hiện liên tiếp một phép vị tự và một phép dời hình. Hai tam giác được gọi là đồng dạng nếu chúng có các góc tương ứng bằng nhau và các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ. Hs đứng tại chổ nêu định nghĩa. Chúng đồng dạng với nhau vì: (phép dời hình).  Bài toán: Cho tam giác ABC và điểm O cố định. Tìm ?A’B’C’ là ảnh của ?ABC qua , Nhận xét gì về A’B’ và AB, A’C’ và AC, B’C’ và BC ? Đ. Phép đồng dạng. 1. Định nghĩa và tính chất của phép đồng dạng. a. Định nghĩa: Phép đồng dạng là quy tắc để mỗi điểm M xác định được M’ (gọi là điểm tương ứng với điểm M) sao cho nếu M’ và N’ là các điểm tương ứng của M, N thì M’N’=kMN, trong đó k là một số dương không đổi gọi là tỉ số của phép đồng dạng. Ví dụ: + phép dời hình là phép đồng dạng tỉ số 1. + phép vị tự là phép đồng dạng tỉ số |k|. b. Tính chất: Phép đồng dạng biến 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng thanh hàng và không làm thay đổi thứ tự của 3 điểm đó. Chứng minh: A ,B , C thẳng hàng, B ở giữa A, C tức là AB+BC=AC phép đồng dạng tỉ số k biến A, B, C thành A’, B’, C’. Do đó: A’B’=kAB,B’C’=kBC, A’C’=kAC, nên A’B’+B’C’=k(AB+BC) =kAC=A’C’. Suy ra A’, B’, C’ thẳng hàng và B’ ở giữa A’, C’. Hệ quả: Phép đồng dạng tỉ số k biến đường thẳng thành đường thẳng, tia thành tia, đoạn thẳng thành đoạn thẳng có độ dài bằng k lần đoạn thẳng ban đầu, góc thành góc có số đo bằng góc đó, tam giác thành tam giác đồng dạng với nó. (1) (2) từ (1) và (2): M’N’=kMN 2. Dạng chính tắc của phép đồng dạng. Định lí: Mỗi phép đồng dạng tỉ số k đều có thể xem là kết quả của việc thực hiện liên tiếp một phép vị tự tỉ số k và một phép dời hình. Chứng minh: (Sgk). 3. Khái niệm về hai hình đồng dạng: Định nghĩa: hai hình H và H’ gọi là đồng dạng với nhau nếu có một phép đồng dạng biến hình này thành hình kia. Đồng dạng nghĩa là có hình dạng giống nhau (nhưng kích thước có thể khác nhau) Ví dụ: (phép dời hình). Suy ra H và H’ là hai hình đồng dạng với nhau.  Giáo án thực nghiệm số 3 Tên bài: Bài tập phương trình và bất phương trình quy về bậc hai. (tiết 2) Tiết theo phân phối chương trình: Bộ môn: Đại số 10. I. Mục đích yêu cầu: 1. Mục đích: Giúp học sinh nắm được phương pháp giải phương trình và bất phương trình bậc hai, phương trình và bất phương trình chứa ẩn dưới dấu căn thức bậc hai, giải một số bài tập có mở rộng - nâng cao. 2. Yêu cầu: Học sinh nắm được phương pháp, vận dụng đúng và thành thạo vào giải toán. rèn luyện kĩ năng giải phương trình và bất phương trình có chứa ẩn dưới dấu căn. II. Chuẩn bị: 1. Giáo viên: Giáo án, phấn, thước kẻ. Phương pháp giảng dạy: gợi mở - vấn đáp, nêu vấn đề - giải quyết vấn đề. Có sử dung quy nạp không hoàn toàn - suy luận có lí. 2. Học sinh: Học bài cũ, chuẩn bị bài tập ở nhà. III. Nội dung bài dạy: Thời gianHoạt động của giáo viênHoạt động của học sinhGhi bảng2’. 1. Gv ổn định lớp, nắm sĩ số. 2. Vào bài: Tiết trước chúng ta đã làm một số bài tập về phương trình và bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối. Hôm nay chúng ta tiến hành làm một số bài tập về phương trình và bất phương trình chứa ẩn dưới dấu căn thức bậc hai. Gv gọi Hs lên bảng giải bài tập. Giải bài toán này như thế nào? Tổng quát: Với điều kiện thì kéo theo nên có thể bỏ qua đk . Giải bài toán này như thế nào? bình phương hai vế có được hay không? Nhận xét gì về biểu thức dưới dấu căn và vế trái? Ta có thể quy phương trình này về phương trình bậc hai một ẩn được không? Nếu được thì bằng cách nào? Có bao nhiêu cách để giải bài toán này? Bằng cách tương tự giải bài toán sau: Từ bài 1 và 2 , em hãy nêu cách giải phương trình Hãy cho biết lúc nào dùng cách 1, lúc nào dùng cách 2? Làm các bài tập tương tự bài 1 và 2 sau: (gv ghi đề bài tập lên bảng). Giải các phương trình sau: Ta giải được pt (*) dễ dàng bằng cách đặt ẩn phụ . Nếu hay thì ta làm như thế nào? Đây là pt dạng đã nêu cách giải ở trên. Em có nhận xét gì về hai vế của pt này? ngoài ra còn có (2x+3)+(x+1) =3x+4 Tổng quát bài toán: Đặt A(x)=2x+3, B(x)=x+1, ta có: Em nào có thể nêu cách giải bài toán này? có thể biểu diễn theo được không? Gv chú ý học sinh đk của pt và đk của t. Giải các bất phương trình sau: Với đk thì kéo theo nên có thể bỏ qua đk . Tương tự như trên, ở trường hợp cả hai vế của bpt đều không âm, ta có thể bỏ qua đk . Giải bpt sau: Bpt này rơi vào dạng nào? hay Giải theo phương pháp nêu trên là khá phức tạp, tương tự như đối với cách giải pt ở trên, ta có thể giải như thế nào? Nếu thay dấu “” ở bài toán 3 thì cách giải cũng hoàn toàn tương tự. Btập 5c (sgk, tr.127). Vậy em nào hãy nêu tổng quát các cách giải cho bài toán bpt: Gv chú ý Hs cách 1 sử dụng khi biểu thức ngoài dấu căn thức bậc hai là một tam thức bậc hai Mở rộng, giải các bpt sau: 1) 2) Nhận xét gì về hai vế của bpt này? Em nào giải được bpt này? nêu cách giải? Gv chú ý Hs không được rút gọn, chia hai vế cho x+8 hay x+2 vì biểu thức x+8 hay x+2 chưa biết là âm hay dương nên sẽ dẫn đến sai, mất nghiệm. 3. Củng cố: + nắm các phương pháp giải pt và bpt đã nêu. + làm các bài tập đã ra.  Ba học sinh lên bảng giải bài tập. + đặt điều kiện. + bình phương hai vế. Được nhưng phức tạp vì nó tạo thành phương trình bậc 4 đầy đủ khó giải. Có phần chứa ẩn giống nhau, sai khác nhau một hằng số. Được, bằng cách đặt ẩn phụ. Có hai cách : + bình phương hai vế. + lấy biểu thức ra khỏi căn. Hs ghi đề về nhà giải. Cách 1: Cách 2: Đặt ẩn phụ, đưa về phương trình bậc hai. Dùng cách 1 nếu biểu thức ngoài dấu căn thức bậc hai là một nhị thức bậc nhất, một hằng số. Dùng cách 2 nếu biểu thức ngoài dấu căn thức bậc hai là một tam thức bậc hai. Hs ghi đề về nhà làm. Hs về nhà giải cụ thể bài toán. Được. Đặt , lúc đó nên đưa được phương trình đã cho về dạng phương trình bậc hai theo ẩn t. Hs về nhà giải tiếp. Hs về nhà giải tiếp. Đặt ẩn phụ, đưa về pt bậc hai. Hs về nhà giải cụ thể. *) Cách 1: Đặt ẩn phụ. Cách 2: *) Cách 1: Đặt ẩn phụ. Cách 2: Cùng nhân với một lượng x+8 hay x+2. Ta chuyển về một vế, vế kia bằng 0, đặt thừa số chung và xét dấu. Hs về nhà giải cụ thể.  Đ. Bài tập phương trình và bất phương trình quy về bậc hai (t2). 1. Vậy tập nghiệm của phương trình là: T= {6}. 2. Đk: Đặt () phương trình trở thành: (chọn) *) t=1: *) t=3: Vậy tập nghiệm của phương trình là: T={1,,5, } 3. là phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối đã học ở tiết trước. Tập nghiệm của nó là: T={} 3b, 3d (sgk). (*) 4. . Đk: ta có: 5. Đk: Đặt () Khi đó pt trở thành: Kết hợp đk chọn t=5. t=5: 1. Vậy tập nghiêm của bpt là: . 2. 3. đk: Đặt bpt trở thành: *) t3: () 1. 2.  Tài liệu tham khảo [1]. Bộ sách giáo khoa thí điểm, sách chỉnh lí hợp nhất THPT. [2]. Bộ sách giáo khoa cũ và mới THCS. [3]. G. Polya, Giải một bài toán như thế nào, Nhà xuất bản giáo dục 1975. [4]. G. Polya, Toán học và những suy luận có lí, Nhà xuất bản giáo dục 2001. [5]. Hoàng Chúng, Phương pháp dạy học hình học ở trường THCS, Nhà xuất bản giáo dục. [6]. L. I. Golovina- I.M. Yaglom (Khổng Xuân Hiền dịch), Phép quy nạp trong hình học, Nhà xuất bản giáo dục 1997. [7]. Ngô Thúc Lanh (chủ biên), Từ điển toán học thông dụng, Nhà xuất bản giáo dục 2000. [8]. Nguyễn Bá Kim, Phương pháp dạy học môn toán, Nhà xuất bản ĐHSP 2002. [9]. Nguyễn Bá Kim (chủ biên), Vũ Dương Thụy, Phương pháp dạy học môn toán, Nhà xuất bản giáo dục 1992. [10]. Nguyễn Cảnh Toàn, Phương pháp luận duy vật biện chứng với việc học, dạy, nghiên cứu toán học, tập 1. [11]. Nguyễn Đức Tấn, Chuyên đề bất đẳng thức và cực trị hình học phẳng, Nhà xuất bản giáo dục 2002. [12]. Nguyễn Hữu Điển, Những phương pháp điển hình trong giải toán phổ thông, Nhà xuất bản giáo dục 2002. [13]. Phạm Văn Hoàn, Giáo dục học môn Toán, Nhà xuất bản giáo dục. [14]. Tô Duy Hợp, Nguyễn Anh Tuấn, Logic học, Nhà xuất bản giáo dục. [15]. Trần Khánh Hưng, Phương pháp dạy - học toán, Nhà xuất bản giáo dục 2000.