Sử dụng phương pháp hàm Lyapunov dạng Razumikhin để nghiên cứu tính ổn định nghiệm của các phương trình vi phân và hệ phương trình có xung

k < N, t ≥ t0 +Tk, ta có V (t,x(t))≤ u(η)+(N− k)a, thì V (t,x(t))≤ u(η)+(N− k−1)a, t ≥ t0 +Tk+1. Thật vậy, giả sử ngược lại: V (t,x(t))≥ u(η)+(N− k−1)a, ∀t ∈ [t0 +Tk− τ, t0 +Tk+1], từ V (t,x(t))≤ u(η)+(N− k)a, t ≥ t0 +Tk− τ,, và θ ∈ [−τ,0], kéo theo p(V (t,x(t))) >V (t,x(t))+a≥ u(η)+(N− k)a≥V (t+θ ,x(t+θ)), theo (1.23) ta có: V˙ (t,x(t))≤−w(||x(t)||)≤−γ, 21 nên V (t,x(t))≤V (t0 +Tk,x(t0 +Tk))− γ(t− t0−Tk)≤ v(δ )− γ(t− t0−Tk) < 0, với t ≥ t0 +Tk+1, điều này trái với giả thiết (1.22). Vậy tồn tại t∗ ∈ [t0 +Tk− τ, t0 +Tk+1), sao cho V (t∗,x(t∗))≤ u(η)+(N− k−1)a và từ (1.23) với mọi t ≥ t∗ ta có: V (t,x(t))≤V (t∗,x(t∗))≤ u(η)+(N− k−1)a. Hay V (t,x(t))≤ u(η)+(N− k−1)a với t ≥ t0 +Tk+1. Vậy (1.24) được chứng minh, với j = N ta có V (t,x(t))≤ u(η),∀t ≥ t0 +Nv(δ )/γ ta có điều phải chứng minh. Ví dụ 1.2.16. Xét phương trình vi phân hàm x˙(t) =−a(t)x(t)−b(t)x(t− r(t)), trong đó a(t),b(t),r(t) liên tục và bị chặn trên R, |b(t)| ≤ a(t), 0≤ r(t)≤ r với mọi t ∈ R. Chọn V (x(t)) = 12x 2(t). Nếu V (x(t− r(t)))≤V (x(t)) thì |x(t− r(t))| ≤ |x(t)|, và ta có: V˙ (x(t)) =−a(t)x2(t)−b(t)x(t)x(t− r(t)) ≤−a(t)x2(t)+ |b(t)|x2(t) ≤−(a(t)−|b(t)|)x2(t)≤ 0. Vậy theo định lý ổn định đều dạng Razumikhin nghiệm tầm thường của hệ là ổn định đều. Với a(t) ≥ δ > 0, tồn tại hằng số k ∈ (0,1) sao cho |b(t)| ≤ kδ . Chọn p(s) = q2s, q > 1, kq < 1 ta có V (x(t− r(t)))≤ p(V (x(t))), khi đó V˙ (x(t))≤−(1−qk)δx2(t). Vậy theo định lý ổn định tiệm cận đều dạng Razumikhin nghiệm tầm thường của hệ là ổn định tiệm cận đều. 22 Chương 2 Phương trình vi phân có xung và ứng dụng 2.1. Khái niệm về hệ phương trình vi phân có xung 2.1.1. Định nghĩa và ví dụ về hệ phương trình vi phân có xung Xét phương trình vi phân có xung (xem[6],[10],[11]):{ x˙ = f (t,x), t 6= tk, ∆x(tk) = Ik(x(t−k )),k = 1,2, ..., (2.1) trong đó, Ω⊂ Rn, Ω là tập mở, x = col(x1,x2, ...,xn) ∈Ω, f : R+×Ω→ Rn. x(t+k ) = limh→0+ x(tk +h) = x(tk), x(t−k ) = limh→0− x(tk−h), ∆x(tk) = x(t+k )− x(t−k ), Ik : Ω→ Rn, t1 < t2 < ... < tk < tk+1 < ..., k = 1,2, .... Ví dụ 2.1.1. 1. Xét phương trình vi phân có xung:x˙ = 0, t 6= k,∆x(k) = 1 x(k−)−1 ,k = 1,2, ..., (2.2) với thời điểm ban đầu là (t0,x0) = (0,1), nghiệm của phương trình vi phân có xung trên đoạn [0,1) là x= 1. Với t > 1, thì ∆x(1)= 1 x(1−)−1 không xác định vì x(1 −)= 1. Tuy nhiên, nghiệm của phương trình vi phân x˙ = 0 là x(t) = 0 xác đinh và liên tục với mọi t. 23 2. Xét phương trình vi phân có xung: x˙ = 1+ x2; t 6= kpi 4 , ∆x(tk) =−1, tk = kpi4 ,k = 1,2..., (2.3) với điều kiện ban đầu x(0) = 0 với t ∈ [t0, t1) = [0, pi4 ) nghiệm của phương trình (2.3) là x(t) = tan t. Với t ∈ [t1, t2) = [pi4 , pi 2 ) ta có: { x(t) = tan(t+ c) x(t+1 ) = x(t − 1 )−1 ⇒ { x(t) = tan(t+ c) x(t+1 ) = 0 ⇒ { x(t) = tan(t− pi 4 ) x(t+1 ) = 0. Vậy với t ∈ [pi 4 , pi 2 ) nghiệm của phương trình (2.3) là x(t) = tan(t− pi 4 ). Tương tự, ta thấy rằng, với t ∈ [kpi 4 , (k+1)pi 4 ) nghiệm của hệ là x(t) = tan(t− kpi 4 ), tuần hoàn với chu kỳ pi/4. Tuy nhiên, nghiệm của phương trình vi phân tương ứng x(t) = tan t tồn tại trong [0, pi 2 ) vì lim t→ pi2 − tan t = ∞. Qua các ví dụ xét ở trên chúng ta có thể xây dựng một mô hình của phương trình vi phân có xung, và đưa ra một ví dụ thực tế: Xét một quá trình tiến hóa được xác định bởi hệ: (i) Phương trình vi phân x˙(t) = f (t,x), (2.4) trong đó, Ω⊂ Rn,Ω là tập mở, x = col(x1,x2, ...,xn) ∈Ω; f : R+×Ω→ Rn, (ii) tập M(t),N(t)⊂ R+×Ω, ∀t ∈ R+. (iii) toán tử A(t) : M(t)→ N(t) với mỗi t ∈ R+. Giả sử Ω là không gian pha của quá trình tiến hóa. Kí hiệu Pt là đồ thị của quá trình tiến hóa tại thời điểm t, đồ thị Pt là cặp (t,x) của không gian hữu hạn n+ 1 chiều. Tập R+×Ω được gọi là là không gian pha mở rộng của quá trình tiến hóa. Giả sử x(t) = x(t, t0,x0) là nghiệm của (2.4) tại thời điểm ban đầu (t0,x0) quá trình tiến hóa như sau: Đồ thị Pt của quá trình tiến hóa bắt đầu tại điểm Pt0 = (t0,x0), di chuyển dọc theo đường cong {(t,x(t)) : t ≥ t0} đến thời điểm t1 > t0, tại t1 đồ thị Pt gặp M(t), toán tử A(t1) lập tức biến điểm Pt−1 = (t1,(x(t − 1 ))) thành Pt+1 = (t1,x + 1 ) ∈ N(t), x+1 = A(t1)x(t−1 ). Sau đó Pt bắt đầu tại Pt1 = x(t1,x + 1 ) di chuyển dọc theo đường cong {(t,x(t)) : t ≥ t0,x(t) = x(t, t1,x+1 ) nghiệm của (2.4)} đến thời điểm t2 > t1, tại t2 đồ thị Pt gặp M(t), một lần nữa Pt−2 = (t2,x(t − 2 )) được dịch chuyển đến điểm Pt+2 = (t2,x+2 ) ∈ N(t), x+2 = A(t2)x(t−2 ), quá trình tiến hóa cứ tiếp tục khi nghiệm của (2.4) tồn tại. 24 Mối quan hệ giữa (i),(ii),(iii) đặc trưng bởi quá trình tiến hóa trên lập thành hệ phương trình vi phân có xung. Đường cong mô tả các điểm Pt là đường cong tích phân và hàm định nghĩa đường cong tích phân là nghiệm của hệ phương trình vi phân với xung. Nghiệm của hệ phương trình vi phân với xung là một hàm: *Liên tục nếu đường cong không có điểm thuộc tập M(t), hoặc các điểm chung của chúng là các điểm bất động của toán tử A(t). *Liên tục từng mảnh với hữu hạn các điểm tại đó gián đoạn loại 1 nếu đường cong tích phân giao với M(t) tại các điểm không là bất động của toán tử A(t). *Liên tục từng mảnh với đếm được các điểm gián đoạn loại 1 nếu đường cong tích phân giao với M(t) tại một số điểm đếm được, tại đó không là bất động của A(t). Thời điểm tk mà tại đó Pt gặp M(t) được gọi là hiệu ứng xung, toán tử A(t) : M(t)→ N(t) gọi là toán tử nhẩy (jump operator). Ví dụ mô hình tương tác vật dữ-con mồi mà Volterra đã đưa ra chưa có xung như sau: 1. Con mồi sinh trưởng không giới hạn khi vật dữ không kiểm soát nó. 2. Vật dữ sống sót nhờ sự có mặt của con mồi làm thức ăn. 3. Tốc độ ăn thịt phụ thuộc vào xác suất con mồi gặp vật dữ. 4. Tốc độ tăng trưởng của quần thể vật dữ tỉ lệ thuận với lượng thức ăn kiếm được. Từ những giả thiết trên, Volterra đã thiết lập phương trình cho mô hình như sau: dx(t) dt = Ax(t)−Bx(t)y(t), dy(t) dt =−Cy(t)+Dx(t)y(t), (2.5) trong đó x(t),y(t) là mật độ quần thể con mồi và vật dữ tại thời điểm t(t ≥ 0), A(A > 0) tốc độ tăng trưởng thực của quần thể con mồi khi không có mặt vật dữ. C(C > 0) là tỉ lệ chết thực của quần thể vật dữ khi không có mặt con mồi. B,D là các hằng số thỏa mãn BD là hiệu suất săn mồi, xy thể hiện xắc suất vật dữ gặp con mồi. Mô hình trên đã bỏ qua rất nhiều yếu tố, vì trong thực tế sự tương tác giữa vật dữ và con mồi là rất phức tạp. Ví dụ tại một thời điểm nào đó diễn ra sự nhập cư và di cư của vật dữ hoặc con mồi, săn bắt hay nuôi thêm vật dữ hoặc con mồi của con người, sự thay đổi thời tiết, thu hoạch mùa vụ, phun hóa chất.... Các yếu tố trên làm ảnh hưởng đến mật độ quần thể của vật dữ và con mồi tại mỗi thời điểm ta gọi là xung. Kết hợp với những yếu tố này với mô hình Volterra ta thu được phương trình vi phân có xung. Ví dụ tại thời điểm t = tk mật độ của vật ăn thịt bị thay đổi, ta có thể giả sử ∆y(tk) = y(t+k )− y(t−k ) = gky(t−k ), (2.6) trong đó y(t−k ),y(t + k ) = y(tk) là mật độ động vật ăn thịt trước và sau khi bị xung, gk ∈ R là đặc trưng cho hiệu ứng xung tại tk. Nếu gk > 0 thì mật độ của vật ăn thịt 25 tăng, gk < 0 thì mật độ của vật ăn thịt giảm. Kết hợp (2.5),và (2.6) ta được hệ phương trình vi phân có xung: dx(t) dt = Ax(t)−Bx(t)y(t), t 6= tk, dy(t) dt =−Cy(t)+Dx(t)y(t), t 6= tk, ∆y(tk) = gky(t−k ), ∆x(tk) = 0, (2.7) trong đó 0 < t1 < t2 < ..., lim k→∞ tk = ∞. Mô hình sinh học (2.7) biểu thị hệ động lực vật dữ-con mồi với hiệu ứng xung tại các thời điểm nhất định.Với cách xây dựng này ta thấy rằng phương trình vi phân có xung có thể mô tả được sự thay đổi tại thời điểm nào đó có tác động bên ngoài. 2.1.2. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình vi phân có xung Xét hệ phương trình vi phân có xung với điều kiện ban đầu: x˙(t) = f (t,x(t)),0≤ t ≤ T, t 6= tk,x ∈ Rn, ∆x(tk) = Ik(x(t−k )),k = 1,2, ..., p,0 < t1 < t2 < ... < tp < T, x(0) = x0, (2.8) trong đó: A.1 ∆x(tk) = x(t+k )− x(t−k ), A.2 f ∈C([0,T ]×Rn,Rn), A.3 Ik ∈C([0,T ]×Rn),k = 1,2, .... Kí hiệu PC([0,T ],Rn) = {x : [0,T ]→ Rn,x(t) liên tục, khả vi với t 6= tk liên tục phải tại tk, giới hạn trái tại tk tồn tại hữu hạn với k = 1,2, ...p}, như vậy, PC([0,T ],Rn) là không gian Banach với chuẩn ||x||PC = sup t∈[0,T ] ||x(t)||. Định nghĩa 2.1.2. Nghiệm của phương trình (2.8) là hàm x(.) ∈ PC([0,T ],Rn)∩C1([0,T ]\{t1, t2, ..., tp},Rn), thỏa mãn (2.8) trên [0,T ]. Với các điều kiện A.1-A.3 thỏa mãn ta có các định lý sau: 26 Định lý 2.1.3. Hàm x(t) ∈ PC([0,T ],Rn) là nghiệm của phương trình (2.8) khi và chỉ khi x(t) = x0 + ∫ t 0 f (s,x(s))ds+ ∑ 0<ti<t Ii(x(ti)). Chứng minh. Ta thấy nếu x(t) là nghiệm của (2.8) thì với t ∈ [t j, t j+1) ta có: ∫ t 0 f (s,x(s))ds = ∫ t 0 x˙(s)ds = ∫ t1 0 x˙(s)ds+ ∫ t2 t1 x˙(s)ds+ ...+ ∫ t t j x˙(s)ds = [x(t−1 )− x(0+)]+ [x(t−2 )− x(t+1 )]+ ...+[x(t−)− x(t+j )] =−x(0)− [x(t+1 )− x(1−)]− [x(t+2 )− x(t−2 )]− ... − [x(t+j )− x(t−j )]+ x(t), do đó: x(t) = x(0)+ ∫ t 0 f (s,x(s))ds +[x(t+1 )− x(t−1 )]+ [x(t+2 )− x(t−2 )]+ ...+[x(t+j )− x(t−j )] = x(0)+ ∫ t 0 f (s,x(s))ds+ ∑ 0<ti<t ∆x(ti) = x0 + ∫ t 0 f (s,x(s))ds+ ∑ 0<ti<t Ii(x(ti)). (2.9) Mặt khác, với x(.) ∈ PC([0,T ],Rn) là hàm thỏa mãn (2.9). Ta thấy t ∈ (t j, t j+1), ∑ 0<ti<t Ii(x(ti)) = j ∑ i=1 Ii(x(ti)) không phụ thuộc vào t, nên ddt ∑ 0<ti<t Ii(x(ti)) = 0 với t 6= ti, i = 1,2, ..., p. Do đó từ (2.9) ta có x˙(t) = f (t,x(t)), t 6= ti,x(0) = x0 và ∆x(ti) = x(t+i )− x(t−i ) = [x(0)+ ∫ ti 0 f (s,x(s))ds+ i ∑ j=1 I j(x(t j))] − [x(0)+ ∫ ti 0 f (s,x(s))ds+ i−1 ∑ j=1 I j(x(t j))] = Ii(x(ti)). Vậy ta có điều phải chứng minh. 27 Định lý 2.1.4. Giả sử tồn tại các hằng số M > 0,hi > 0, i = 1,2, ..., p, sao cho: || f (t,u)− f (t,v)|| ≤M||u− v||, t ∈ [0,T ], u,v ∈ Rn, (2.10) ||Ii(u)− Ii(v)|| ≤ hi||u− v||, u,v ∈ Rn, (2.11) và MT + p ∑ i=1 hi < 1. (2.12) Khi đó phương trình (2.8) có nghiệm duy nhất trên [0,T ], thỏa mãn: x(t) = x0 + ∫ t 0 f (s,x(s))ds+ ∑ 0<ti<t Ii(x(ti)). (2.13) Chứng minh. Xét ánh xạ F : PC([0,T ],Rn)→ PC([0,T ],Rn), được xác định F(x(t)) = x0 + ∫ t 0 f (s,x(s))ds+ ∑ 0<ti<t Ii(x(ti)). Với u,v ∈ PC([0,T ],Rn) ta có: ||F(u(t))−F(v(t))|| ≤ ∫ t 0 || f (s,u(s))− f (s,v(s))||ds + ∑ 0<ti<t ||Ii(u(ti))− Ii(u(ti))|| ≤M ∫ t 0 ||u(s)− v(s)||ds+ ∑ 0<ti<t hi||u(ti)− (v(ti)|| ≤MT ||u(.)− v(.)||PC +( ∑ 0<ti<t hi)||u(.)− v(.)||PC ≤ (MT + p ∑ i=1 hi)||u(.)− v(.)||PC, t ∈ [0,T ], hay ||F(u(t))−F(v(t))|| ≤ (MT + p ∑ i=1 hi)||u(.)− v(.)||PC. Vì MT + p ∑ i=1 hi < 1, nên F là ánh xạ co trên PC([0,T ],Rn). Theo nguyên lý ánh xạ co thì F tồn tại duy nhất một điểm bất động vậy phương trình (2.8) có nghiệm duy nhất trong PC([0,T ],Rn). 28 2.2. Nghiên cứu tính ổn định nghiệm của hệ phương trình vi phân thường có xung Để thuận tiện, cho việc trình bày những kết quả cơ bản về tính ổn định của phương trình vi phân có xung, trước hết chúng tôi xin nhắc lại một số kết quả về phương pháp so sánh nghiệm của phương trình vi phân thường (xem [10], [11]). 2.2.1. Các định lý so sánh nghiệm của hệ phương trình vi phân thường Xét phương trình vi phân với điều kiện ban đầu:{ u˙(t) = g(t,u(t)), u(t0) = u0, t0 ≥ 0, (2.14) trong đó g ∈C[R2+,R] , g(t,u) là hàm không giảm theo u với mỗi t ∈ R+. Định nghĩa 2.2.1. (xem [11] trang 11.) Giả sử r(t) là nghiệm của (2.14) trên [t0, t0+ a). r(t) được gọi là nghiệm cực đại của (2.14) nếu với mọi nghiệm u(t) của (2.14) tồn tại trên [t0, t0 +a), thỏa mãn: u(t)≤ r(t), t ∈ [t0, t0 +a). (2.15) Gọi là nghiệm cực tiểu của (2.14) nếu bất đẳng thức (2.15) đổi chiều. Định lý 2.2.2. (xem [11] trang 11.) Giả sử g ∈C[R0,R], R0 = {(t,u) : t ∈ [t0, t0 + a], |u− u0| ≤ b}, và |g(t,u)| ≤M trên R0. Khi đó tồn tại nghiệm cực đại, cực tiểu của (2.14) trên [t0, t0 +α], α = min{a, b2M+b}. Định lý 2.2.3. (xem [10])Với g ∈C[R2+,R] và r(t) là nghiệm cực đại của (2.14) tồn tại trên [t0,∞). Giả sử m ∈C[R+,R+] và Dm(t)≤ g(t,m(t)), t ≥ t0, ở đó D là đạo hàm Dini (xem [11] trang 7). Nếu m(t0) ≤ u0 thì m(t) ≤ r(t), t ≥ t0. Xét hệ phương trình vi phân với điều kiện ban đầu:{ x˙(t) = f (t,x(t)), x(t0) = x0, t0 ≥ 0, (2.16) trong đó f ∈C[R+×S(ρ),Rn], S(ρ) = {x ∈ Rn : ||x|| < ρ}, giả sử nghiệm x(t) = x(t, t0,x0) của (2.16) tồn tại trên khoảng [t0,∞), liên tục, khả vi. Xét phương trình vi phân với điều kiện ban đầu:{ u˙(t) = g(t,u(t)), u(t0) = u0 ≥ 0, t0 ≥ 0, (2.17) 29 trong đó g ∈C[R2+,R], giả sử nghiệm cực đại r(t) của hệ (2.17) tồn tại trên [t0,∞). Định lý 2.2.4. Giả sử V (t,x) ∈C[R+×S(ρ),R+], là Lipschitz địa phương theo x, thỏa mãn: D+V (t,x)≤ g(t,V (t,x)),(t,x) ∈ R+×S(ρ), (2.18) Nếu x(t) nghiệm của (2.16) tồn tại trên [t0,∞), sao choV (t0,x0)≤ u0, thìV (t,x(t))≤ r(t), t ≥ t0. Chứng minh. Đặt m(t) = V (t,x(t)), x(t) là nghiệm của (2.16) trên [t0,∞) sao cho V (t0,x0)≤ u0. Khi đó m(t) liên tục, và với h > 0 đủ nhỏ ta có: m(t+h)−m(h) =V (t+h,x(t+h)) −V (t+h,x(t)+h f (t,x(t))) +V (t+h,x(t)+h f (t,x(t)))−V (t,x(t)) Do V (t,x) là Lipschitz địa phương theo x và (2.18) ta có: D+m(t)≤ g(t,m(t)),m(t0)≤ u0, theo định lý (2.2.3) ta có: V (t,x(t))≤ r(t),∀t ≥ t0. Vậy ta có điều phải chứng minh. Hệ quả 2.2.5. Khi g(t,u) = 0 với (t,u) ∈ [t0,∞)×R+ thì V (t,x(t)) là hàm không giảm và V (t,x(t))≤V (t0,x(t0))), t ≥ t0 2.2.2. Các định lý so sánh nghiệm của phương trình vi phân có xung Xét hệ phương trình vi phân có xung với điều kiện ban đầu: x˙(t) = f (t,x(t)), t 6= tk, x(tk) = Jk(x(t−k )), k = 1,2, ..., x(t0) = x0, t0 ≥ 0, (2.19) trong đó: (i) t0 < t1 < t2 < ... < tk < tk+1 < ..., tk→ ∞ khi k→ ∞, (ii) f ∈C[R+×S(ρ),Rn], f (t,0) = 0, S(ρ) = {x ∈ Rn : ||x||< ρ}, (iii) Jk ∈C[R+×S(ρ)], Jk(0) = 0,k = 1,2, .... Giả sử nghiệm x(t) = x(t, t0,x0) của (2.19) tồn tại trên khoảng [t0,∞), liên tục, 30 khả vi với t 6= tk, liên tục phải tại tk với mọi k ∈ N. Xét phương trình vi phân có xung với điều kiện ban đầu: u˙(t) = g(t,u(t)), t 6= tk, u(tk) = ψk(u(t−k )), k = 1,2, ..., u(t0) = u0, t0 ≥ 0, (2.20) trong đó g ∈ C[R2+,R],ψk : R+ → R, là hàm không giảm, và t0 < t1 < t2 < ... < tk < tk+1 < ..., tk → ∞ khi k→ ∞, giả sử nghiệm cực đại r(t) của hệ (2.20) tồn tại trên [t0,∞). Định lý 2.2.6. Giả sử g ∈ C[R2+,R],ψk : R+ → R, và ψk(u) là hàm không giảm theo u; m : R+→ R+ liên tục t 6= tk, liên tục phải tại tk và thỏa mãn: Dm(t)≤ g(t,m(t)), t 6= tk, t ≥ t0, m(tk)≤ ψk(m(t−k )), k = 1,2, ..., và m(t0)≤ u0. Khi đó m(t)≤ r(t) với mọi t > t0. Chứng minh. Từ định lý (2.2.3) ta có m(t) ≤ r(t), t ∈ [t0, t1) do đó m(t−1 ) ≤ r(t−1 ). Vì vậy m(t1)≤ ψ1(m(t−1 ))≤ ψ1(r(t−1 )) = r(t1). Tương tự, với t ∈ [tk, tk+1), k = 1,2, ... ta có: m(t)≤ r(t). Vậy m(t)≤ r(t) với mọi t > t0. Định lý 2.2.7. Giả sử V ∈C[R+× S(ρ),R+],V (t,x) là Lipschitz địa phương theo x, g ∈C[R2+,R],ψk là hàm tăng chặt và ψk(0) = 0, thỏa mãn: D+V (t,x)≤ g(t,V (t,x)), t 6= tk,(t,x) ∈ R+×S(ρ), và V (t,Jk(x))≤ ψk(V (t−k ,x)), x ∈ S(ρ). Nếu x(t) nghiệm của (2.19) tồn tại trên [t0,∞), sao choV (t0,x0)≤ u0, thìV (t,x(t))≤ r(t), t ≥ t0. Chứng minh. Đặt m(t) = V (t,x(t)), x(t) là nghiệm của (2.19) trên [t0,∞). Khi đó m(t) liên tục với t 6= tk, liên tục phải tại t = tk với mọi k ∈ N, và thỏa mãn bất đẳng thức D+m(t)≤ g(t,m(t)), t 6= tk,m(t0)≤ u0, 31 và m(tk)≤ ψ(m(t−k )),k = 1,2, ..., theo định lý (2.2.6) ta có: m(t)≤ r(t),∀t ≥ t0. Vậy ta có điều phải chứng minh. Hệ quả 2.2.8. Khi g(t,u) = 0 với (t,u)∈ [t0,∞)×R+ và ψk(u) = u với u∈R+, k= 1,2, ... thì ta có V (t,x(t))≤V (t0,x(t0))), t ≥ t0 Nhận xét 2.2.9. Tương tự xét hệ phương trình vi phân có xung với điều kiện ban đầu:  x˙(t) = f (t,x(t)), t 6= tk, x(t+k ) = Jk(x(tk)), k = 1,2, ..., x(t0) = x0, t0 ≥ 0, (2.21) trong đó: (i) t0 < t1 < t2 < ... < tk < tk+1 < ..., tk→ ∞ khi k→ ∞, (ii) f ∈C[R+×S(ρ),Rn], f (t,0) = 0, S(ρ) = {x ∈ Rn : ||x||< ρ}, (iii) Jk ∈C[R+×S(ρ)], Jk(0) = 0,k = 1,2, .... Giả sử nghiệm x(t) = x(t, t0,x0) của (2.21) tồn tại trên khoảng [t0,∞), liên tục, khả vi với t 6= tk, liên tục trái và tồn tại giới hạn phải tại tk, với mọi k ∈ N. Ta cũng có các kết quả tương tự. Áp dụng: Xét phương trình vi phân có xung với điều kiện ban đầu: u˙(t) = g(t,u(t)), t 6= tk, u(t+k ) = ψk(u(tk)), k = 1,2, ..., u(t0) = u0, t0 ≥ 0, (2.22) trong đó g(t,u) = p(t)g(u) với p(t) > 0 liên tục trên R+, g ∈ K. Giả sử tồn tại c0, sao cho với 0 < c≤ c0,∫ ψ(c) c ds g(s) ≤ ∫ tk tk−1 p(s)ds,k = 1,2, ..., (2.23) khi đó nghiệm tầm thường của phương trình (2.22) ổn định đều. Chứng minh. Giả sử t0 ∈ (t j, t j+1] với j≥ 1 và δ > 0, sao cho ψk(s)< ε , s ∈ [0,δ ). Với 0≤ u0 < δ , tồn tại t∗ ∈ (t0, t j+1], sao cho u(t∗)≥ ε , thì∫ ε ψ j(ε) ds g(s) < ∫ ε δ ds g(s) < ∫ ε u0 ds g(s) ≤ ∫ u(t∗) u0 ds g(s) = ∫ t∗ t0 p(s)ds≤ ∫ t j+1 t j p(s)ds, 32 vậy ∫ t j+1 t j p(s)ds+ ∫ ψ j(ε) ε ds g(s) > 0, mâu thuẫn với (2.23). Do đó u(t) < ε, ∀t ∈ [t0, t j+1]. Lấy i≥ j+2, giả sử u(t) < ε với t ∈ (t j+1, ti], thì với t ∈ (ti, ti+1] ta có:∫ u(t) u(t+i ) ds g(s) ≤ ∫ t ti p(s)ds≤ ∫ ti+1 ti p(s)ds. Từ u(t+i ) = ψi(u(ti)), ∫ u(t+i ) u(ti) ds g(s) = ∫ ψi(u(ti)) u(ti) ds g(s) , do đó từ (2.23), ∫ u(t) u(ti) ds g(s) ≤ ∫ ti+1 ti p(s)ds+ ∫ ψi(u(ti)) u(ti) ds g(s) ≤ 0. Vậy u(t)≤ u(ti) < ε với t ∈ (t j, ti+1], bằng quy nạp ta có: u(t) < ε, với t ≥ t0. Ví dụ 2.2.10. Xét phương trình vi phân có xung :x˙ = x t , t ≥ 1, t 6= i, x(i+) = x(i)+ pix(i), i≥ 2, pi hằng số , |1+ pi| ≤ ii+1 . Lấy V (t,x) = x2, ta có: V˙ (t,x) = 2x˙x nên D+V (t,x) = 2 t V (t,x), t 6= i, V (i,x+ Ii(x))≤ (1+ pi)2V (i,x). Như vậy chọn p(t) = 1 t , g(s) = 2s, ψi(s) = (1+ pi)2s, ta có: ∫ ti+1 ti p(s)ds+ ∫ ψi(c) c ds g(s) = ∫ i+1 i ds s ds+ ∫ (1+pi)2(c) c ds 2s = log[ i+1 i |1+ pi|]≤ 0. Vậy nghiệm tầm thường của hệ ổn định đều. 33 2.2.3. Các định lý về tính ổn định nghiệm của phương trình vi phân có xung Định lý 2.2.11. Giả sử V ∈C[R+×S(ρ),R+],V (t,x) là Lipschitz địa phương theo x thỏa mãn: (1) V (t,x)≥ a(||x||),V (t,0) = 0, a ∈ K,(t,x) ∈ R+×S(ρ), V (tk,x(tk))≤V (t−k ,x(t−k )), (2) V˙ (t,x)≤ 0, t 6= tk. Khi đó nghiệm tầm thường của hệ (2.19) ổn định. Chứng minh. Với ε > 0 theo tính chất của hàm V tồn tại δ = δ (t0,ε) > 0 sao cho x ∈Ω, ||x||< δ thì sup ||x||<δ V (t0,x)< a(ε). Với x(t) = x(t, t0,x0) là nghiệm của (2.19) theo hệ quả (2.2.8) ta có: a(||x||)≤V (t,x(t))≤V (t0,x) < a(ε). Vậy ||x(t)||< ε. Định lý 2.2.12. Giả sử V ∈C[R+×S(ρ),R+],V (t,x) là Lipschitz địa phương theo x thỏa mãn: (1) a(||x||)≤V (t,x)≤ b(||x||),V (t,0) = 0, a,b ∈ K,(t,x) ∈ R+×S(ρ), V (tk,x(tk))≤V (t−k ,x(t−k )), (2) V˙ (t,x)≤ 0, t 6= tk. Khi đó nghiệm tầm thường của hệ (2.19) là ổn định đều. Chứng minh. Với ε > 0 cho trước, chọn δ = δ (ε)> 0 sao cho b(δ )< a(ε), ||x(t0)||< δ , x(t) = x(t, t0,x0) nghiệm của (2.19). Tương tự như chứng minh đinh lý (2.2.11), ta có: a(||x||)≤V (t,x(t))≤V (t0,x) < b(δ ) < a(ε). Vậy ||x(t)||< ε với t ≥ t0. Định lý 2.2.13. Giả sử V ∈C[R+×S(ρ),R+],V (t,x) là Lipschitz địa phương theo x thỏa mãn: a(||x||)≤V (t,x)≤ b(||x||),V (t,0,) = 0 a,b ∈ K,(t,x) ∈ R+×S(ρ), (2.24) V (tk,x(tk))≤V (t−k ,x(t−k )), (2.25) V˙ (t,x)≤−c(||x(t||)), t 6= tk,c ∈ K. (2.26) Khi đó nghiệm tầm thường của hệ (2.19) là ổn định tiệm cận đều. 34 Chứng minh. Theo định lý (2.2.12) thì nghiệm tầm thường của (2.19) là ổn định đều, khi đó tồn tại α > 0 sao cho ||x(t, t0,x0)|| ≤ α,∀t ≥ t0. Ta chứng minh nghiệm tầm thường của nó hút đều toàn cục. Thật vậy với ε > 0 cho trước, chọn η = η(ε)> 0 sao cho b(η) b(α)c(η) .Giả sử với mỗi t ∈ [t0, t0+T ] thì ||x(t, t0,x0)|| ≥ η . Từ (2.26) ta có: V (t,x(t, t0,x0))≤V (t0,x0)− ∫ t t0 c(||x(t, t0,x0)||)ds≤ b(α)− c(η)T < 0, (2.27) trái với (2.24) vậy tồn tại t∗ ∈ [t0, t0 +T ] sao cho ||x(t∗, t0,x0)|| ≤ η . Từ (2.24), (2.25), (2.26) với t ≥ t∗ ta có: a(||x(t, t0,x0)||)≤V (t,x(t, t0,x0))≤V (t∗,x(t∗, t0,x0)) ≤ b(||x(t∗, t0,x0)||) < b(η) < a(ε). Vậy với t ≥ t0 +T ≥ t∗ thì ||x(t, t0,x0)||< ε. Ví dụ 2.2.14. Xét hệ phương trình vi phân có xung: x˙(t) = n(t)y+m(t)x, t 6= tk, t ≥ 0, y˙(t) =−n(t)x+m(t)y, t 6= tk, t ≥ 0, ∆x(tk) = ckx(t−k ),∆y(tk) = dky(t − k ),k = 1,2, ..., x(0) = x0,y(0) = 0, (2.28) trong đó x,y ∈R, các hàm n(t), m(t) liên tục trên R, −1 < ck ≤ 0,−1 < dk ≤ 0,k = 1,2, ...,0 < t1 < t2 < ...., lim k→∞ tk = ∞. Chọn V (t,x,y) = x2 + y2. Với t ≥ 0, t 6= tk, ta có: V˙ (t,x(t),y(t)) = 2m(t)(x(t)2 + y(t)2) = 2m(t)V (t,x(t),y(t)) Với t ≥ 0, t = tk, ta có: V (tk,x(tk),y(tk)) =V (tk,x(t−k )+ ckx(t − k ),y(t − k )+dky(t − k )) = (1+ ck)2x2(t−k )+(1+dk) 2y2(t−k )≤V (t−k ,x(t−k ),y(t−k )),k = 1,2, .... khi đó ta có hệ so sánh:  u˙(t) = 2m(t)u, t 6= tk, t ≥ 0, u(0) = u0 = x2(0)+ y2(0), u(tk) = u(t−k ), (2.29) trong đó u ∈ R+. Hệ (2.29) chính là phương trình vi phân u˙(t) = 2m(t)u(t), t ≥ 0,với điều kiện ban đầu u(0) = u0. Ta thấy ngay rắng nếu m(t) ≤ 0 thì hệ (2.29) ổn định, m(t) < 0 thì hệ (2.29) ổn định tiệm cận. Theo Vậy với m(t)≤ 0 hệ (2.28) ổn định, với m(t) < 0 thì hệ (2.28) ổn định tiệm cận. 35 2.3. Nghiên cứu tính ổn định bộ phận của nghiệm của phương trình vi phân có xung Ổn định bộ phận nghiệm của phương trình vi phân thường được V.V. Rumi- anxev xây dựng. Sau đây chúng tôi xây dựng cho phương trình vi phân có xung. Giả sử f : R+×Ω×Rm→Rn, và g : R+×Ω×Rm→Rm, Ik : Ω×Rm→Rn. Trong đó Ω là miền mở của Rn chứa gốc tọa độ, giả sử f (t,0,0) = 0,g(t,0,0) = 0, Ik(0,0) = 0,k = 1,2, ... với t ∈ R+. Xét hệ phương trình vi phân có xung: x˙ = f (t,x,y), t 6= tk,k = 1,2, ..., y˙ = g(t,x,y), t 6= tk,k = 1,2, ..., ∆(x(tk),y(tk)) = Ik(x(t−k ),y(tk)), t = tk,k = 1,2, ..., (2.30) Định nghĩa 2.3.1. Kí hiệu z(t) = (x(t),y(t)) là nghiệm của hệ (2.30). Ta nói rằng nghiệm z(t) = 0 là ổn định theo quan hệ đối với x, nếu (∀ε > 0)(∀t0 ∈ R+)(∀z0 ∈ Bδ (t0,ε)),(∀t ≥ t0)||x(t, t0,z0)||< ε. Định nghĩa 2.3.2. Kí hiệu z(t) = (x(t),y(t)) là nghiệm của hệ (2.30). Ta nói rằng nghiệm z(t) = 0 là ổn định đều theo quan hệ đối với x, nếu (∀ε > 0)(∀t0 ∈ R+)(∀z0 ∈ Bδ (ε)),(∀t ≥ t0)||x(t, t0,z0)||< ε. Định lý 2.3.3. Giả sử V ∈C[R+×Ω×Rm,R+],V (t,x,y) là Lipschitz địa phương theo (x,y) thỏa mãn: (1) V (t,x,y)≥ a(||x||),V (t,0,0) = 0,(t,x,y) ∈ R+×Ω×Rm, V (tk,x(tk),y(tk))≤V (t−k ,x(t−k ),y(tk)), (2) V˙ (t,x,y)≤ 0, t 6= tk. Khi đó nghiệm tầm thường của (2.30) là ổn định theo quan hệ đối với x. Chứng minh. Với ε > 0 cho trước, do tính liên tục và điều kiện (1) của hàm V , nên tồn tại δ = δ (t0,ε) > 0 sao cho ||z(t0)||< δ với t0 ∈ R+, thì sup ||z(t0)||<δ V (t0,x,y) < a(ε). Với z(t) = (x(t),y(t)) là nghiệm của (2.30), theo hệ quả (2.2.8) ta có: a(||x||)≤V (t,x(t),y(t))≤V (t0,x,y) < a(ε). Vậy ||x(t)||< ε 36 Định lý 2.3.4. Giả sử V ∈C[R+×Ω×Rm,R+],V (t,x,y) là Lipschitz địa phương theo (x,y), với hàm a,b ∈ K và với bất kỳ (t,x,y) ∈ R+×Ω×Rm thỏa mãn: (1) a(||x||)≤V (t,x,y)≤ b(||x||+ ||y||),V (t,0,0) = 0, V (tk,x(tk),y(tk))≤V (t−k ,x(t−k ),y(tk)), (2) V˙ (t,x,y)≤ 0, t 6= tk. Khi đó nghiệm tầm thường của (2.30) là ổn định đều theo quan hệ đối với x. Chứng minh. Với ε > 0 cho trước, chọn δ = δ (ε) > 0 sao cho b(δ ) < a(ε), với ||z(t0)|| < δ/2, t0 ∈ R+ và z(t) = (x(t),y(t)) là nghiệm của (2.30). Tương tự như chứng minh đinh lý (2.3.3), ta có: a(||x||)≤V (t,x(t),y(t))≤V (t0,x,y) ≤ b(||x(t0)||+ ||y(t0)||)≤ b(2||z(t0)||) < b(δ ) < a(ε). vậy ||x(t)||< ε với t ≥ t0. 2.4. Sử dụng phương pháp Razumikhin nghiên cứu tính ổn định nghiệm của phương trình vi phân hàm có xung Để thuận tiện trình bày những kết quả ổn định nghiệm dạng Razumikhin của phương trình vi phân hàm có xung, sau đây chúng tôi đưa ra một số khái niệm cơ bản về phương trình vi phân hàm có xung (xem [13],[14]). Cho t0 ∈ R,τ = const, xét hệ phương trình vi phân hàm có xung:{ x˙(t) = f (t,xt), t 6= tk, x(tk) = Jk(x(t−k )), k = 1,2..., (2.31) trong đó: f : [t0,∞)×PC→Rn, PC = PC([−τ,0],Rn) = {φ : [−τ,0]→Rn,φ(t) liên tục hầu khắp nơi trừ hữu hạn các điểm t˜ tại đó φ(t˜+),φ(t˜−) tồn tại và φ(t˜+) = φ(t˜)}. Jk(x) : S(ρ)→ Rn, k = 1,2..., S(ρ) = {x ∈ Rn : ||x|| ≤ ρ}; t0 < t1 < t2 < ... < tk < tk+1 < ... với tk→+∞ khi k→ ∞. x˙(t) là đạo hàm bên phải của x(t). Với mỗi t ≥ t0, xt ∈ PC ta xác định xt(s) = x(t + s),−τ ≤ s ≤ 0. Với φ ∈ PC, chuẩn của φ được xác định ||φ ||τ = sup −τ≤s≤0 ||φ(s)||. Giả sử ϕ ∈ PC, kí hiệu x(t) = x(t, t0,ϕ) là nghiệm của (2.31) thỏa mãn điều kiện ban đầu { x(t, t0,ϕ) = ϕ(t− t0), t0− τ ≤ t ≤ t0, x(t0, t0,ϕ) = ϕ(0). (2.32) 37 2.4.1. Tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình vi phân hàm với xung Xét các điều kiện: (H1) f : [t0,∞),×PC→ Rn liên tục trên [tk−1, tk)×PC, k = 1,2.... Với ϕ ∈ PC giới hạn lim (t,φ)→(t−k ,ϕ) f (t,φ) = f ((t−k ,ϕ)) tồn tại, k = 1,2.... (H2) f (t,φ) là Lípchitz theo φ với mỗi tập compact trong PC. (H3) Jk(x) ∈C(S(ρ),Rn), k = 1,2.... Tồn tại ρ1 > 0(ρ1 ≤ ρ) sao cho x ∈ S(ρ1) ta có Jk(x) ∈ S(ρ), k = 1,2.... Định lý 2.4.1. Với các điều kiện (H1),(H2),(H3) và (t0,ϕ)∈R×PC, khi đó phương trình (2.31) có nghiệm x(t) = x(t, t0,ϕ) duy nhất. Chứng minh. Với (t0,ϕ) ∈ R× PC và điều kiện (H1),(H3) theo định lý tồn tại nghiệm của phương trình vi phân hàm thì phương trình (2.31) tồn tại nghiệm Φ1(t) với t ≥ t0. Hơn nữa Φ1(t) = ϕ(t − t0), t ∈ [t0− τ, t0], tại t1 là thời điểm đầu tiên của xung, đặt x(t, t0,ϕ) = Φ1(t), t ∈ [t0, t1) khi đó nghiệm x(t) của hệ mở rộng tại t1 là Φ(t1 + 0) = J1(Φ1(t−1 )) = Φ + 1 . Theo định về tồn tại nghiệm của phương trình vi phân hàm sẽ tồn tại nghiệm Φ2(t) = Φ1(t) với t1− τ ≤ t ≤ t1 và Φ2(t1) = Φ+1 , nghiệm x(t) của hệ tồn tại trên [t1, t2) và mở rộng tại t = t2 là Φ(t2 + 0) = J2(Φ1(t−2 )) =Φ + 2 và x(t, t0,ϕ) =Φ2(t) với t1 ≤ t < t2. Chứng minh tương tự ta cóΦk(t) là nghiệm của hệ (2.31) trên đoạn [tk−1, tk) với k=3,4,..., tương ứng với t = tk ta có: Φ(tk +0) = Jk(Φk(t−k )) =Φ + k . Theo định lý về tồn tại nghiệm của phương trình vi phân hàm, tồn tại nghiệm Φk+1(t) trên [tk, tk+1) sao choΦk+1(t) =Φk(t) với tk−τ ≤ t ≤ tk vàΦk+1(tk) =Φ+k . Vậy nghiệm x(t, t0,ϕ) của hệ (2.31) tồn tại và mở rộng tại tk+1, k = 2,3, ... . Hơn nữa nghiệm x(t) = x(t, t0,ϕ) của hệ xác định trên [t0,∞), vì tk → ∞ và [t0, t1)∪ [tk, tk+1), k = 1,2, .... Với các điều kiện (H1)− (H3) theo định lý tồn tại duy nhất của phương trình vi phân hàm, nên với mỗi t ∈ [tk, tk+1) Φk(t),k = 1,2, ... là duy nhất nên nghiệm x(t, t0,ϕ) của hệ (2.31) là duy nhất. * Chú ý: Khi (t0,ϕ) ∈ R×PC, và θ1,θ2, ...,θs là các điểm gián đoạn của ϕ, thỏa mãn liên tục phải và tồn tại giới hạn trái, bằng cách tương tự như trên ta xét tại các điểm xung tk = θl + τ,k = 1,2, ..., l = 1,2, ...,s. Ví dụ 2.4.2. Xét phương trình vi phân hàm có xung:{ x(t) = x(t−1), t 6= tk, t ≥ t0, x(tk) = 2x(t−k ), tk = 2k,k = 1,2.... (2.33) 38 Thỏa mãn thời điểm ban đầu x(t) = t,(0 ≤ t ≤ 1), t0 = 1. Với t1 = 2 là hiệu ứng xung đầu tiên ta có nghiệm x(t) = x(t, t0,ϕ), của hệ (2.33) trên [0,2) là:{ x(t) = ϕ(t0)+ ∫ t t0 x(s−1)ds, t ∈ [1,2), x(t) = ϕ(t), t ∈ [0,1], suy ra { x(t) = 1+ ∫ t 1 x(s−1)ds, t ∈ [1,2), x(t) = t, t ∈ [0,1], hay x(t) = 1+ 1 2 (t−1)2, t ∈ [1,2), x(t) = t, t ∈ [0,1]. Với t2 = 4 ta tìm nghiệm của hệ (2.33) trên đoạn [2,4). Trước tiên ta tìm nghiệm trên đoạn [2,3], ta có x(t1) = 2x(t−1 ) = 3 nênx(t) = x(t1)+ ∫ t t1 x(s−1)ds, t ∈ [2,3], x(t) = 1+ 1 2 (t−1)2, t ∈ [1,2], suy ra x(t) = 3+ ∫ t 2 x(s−1)ds, t ∈ [2,3], x(t) = 1+ 1 2 (t−1)2, t ∈ [1,2], hay  x(t) = 3+(t−2)+ 1 6 (t−2)3, t ∈ [2,3], x(t) = 1+ 1 2 (t−1)2, t ∈ [1,2]. Nghiệm trên [3,4)x(t) = x(3)+ ∫ t 3 x(s−1)ds, t ∈ [3,4), x(t) = 3+(t−2)+ 1 6 (t−2)3, t ∈ [2,3], 39 suy ra  x(t) = 25 6 + ∫ t 3 x(s−1)ds, t ∈ [3,4), x(t) = 3+(t−2)+ 1 6 (t−2)3, t ∈ [2,3], hay  x(t) = 25 6 +3(t−3)+ 1 2 (t−3)2 + 1 24 (t−3)4, t ∈ [3,4), x(t) = 3+(t−2)+ 1 6 (t−2)3, t ∈ [2,3]. Vậy nghiệm của hệ (2.33) phương trình trên [0,4) là: x(t) = t, t ∈ [0,1], x(t) = 1+ 1 2 (t−1)2, t ∈ [1,2), x(t) = 3+(t−2)+ 1 6 (t−2)3, t ∈ [2,3], x(t) = 25 6 +3(t−3)+ 1 2 (t−3)2 + 1 24 (t−3)4, t ∈ [3,4) Tương tự, ta mở rộng nghiệm trên một đoạn hữu hạn tùy ý. 2.4.2. Các định lý kiểu Razumikhin Hàm V (t,x) : [t0;∞)×S(ρ)→ R+ thuộc lớp V0 nếu (A1). V (t,x) liên tục trên các tập [tk−1, tk)× S(ρ), với mọi x ∈ S(ρ), giới hạn lim (t,y)→(t−k ,x) V (t,y) =V (t−k ,x) tồn tại, k = 1,2.... (A2). V (t,x) là Lípschitz theo x ∈ S(ρ), và với mọi t ≥ t0, V (t,0)≡ 0. Cho V ∈V0, với (t,x) ∈ [tk−1, tk)×S(ρ), D+V dọc theo nghiệm x(t) của (2.31) được đinh nghĩa: D+V (t,x(t)) = limsup δ→0+ 1 δ [V (t+δ ,x(t+δ ))−V (t,x(t))]. Với η > 0, đặt PC(η) = {φ ∈ PC : ||φ ||τ < η} Giả sử f (t,0) = 0,Jk(0) = 0, phương trình (2.31) có nghiệm tầm thường . Định nghĩa 2.4.3. Nghiệm tầm thường của (2.31) gọi là: (S1). Ổn định đều nếu với ∀ε > 0, tồn tại η = η(ε) ≥ 0 sao cho ϕ ∈ PC(η), thỏa mãn ||x(t, t0,ϕ)|| ≤ ε với t ≥ t0. (S2). Ổn định tiệm cận đều nếu nó ổn định đều và tồn tại η > 0 với mọi ε > 0 có T = T (ε) > 0, sao cho ϕ ∈ PC(η), ta có ||x(t, t0,ϕ)|| ≤ ε với t ≥ t0 +T. 40 (S3). Ổn định mũ toàn cục nếu với ϕ ∈ PC(η), tồn tại α > 0,M ≥ 1 sao cho ||x(t, t0,ϕ)|| ≤M||ϕ||τe−α(t−t0), với mọi t ≥ t0. Kí hiệu: K = {ω ∈C(R+,R+) : tăng chặt và ω(0) = 0}. Ω1 = {ψ ∈C(R+,R+) : ψ(s)≥ s với s > 0 }. Ω2 = {ψ ∈C(R+,R+) : ψ(s) > s với s > 0 }. Ω3 = {H ∈C(R+,R+) : H(0) = 0,H(s) > 0 với s > 0 }. Định lý 2.4.4. Giả sử tồn tại các hàm V ∈ V0,ω1,ω2 ∈ K,ψk ∈ Ω1,H ∈ Ω3 sao cho: (i) ω1(||x||)≤V (t,x)≤ ω2(||x||), với (t,x) ∈ [t0,∞)×S(ρ), (ii) Với mọi k ∈ N, ψk(s)s là không giảm với s > 0 và V (tk,Jk(x))≤ ψk(V (t−k ,x)), với x ∈ S(ρ1). Tồn tại M ≥ 1 sao cho với a > 0, ∞ ∑ k=1 [ψk(a)−a] a < ∞ và lim k→∞ ψk(ψk−1(...(ψ1(a))))/a≤M. (iii) D+V (t,x(t))≤−H(||x(t)||), với V (t+ s,x(t+ s)) < P(V (t,x(t))),−τ ≤ s≤ 0. Khi đó nghiệm tầm thường của (2.31) là ổn định đều. Chứng minh. Chọn ε > 0 sao cho ε ≤ ρ1, η = η(ε) > 0 thỏa mãn Mω2(η) ≤ ω1(ε). Với ϕ ∈ PC(η) và x(t) = x(t, t0,ϕ) là nghiệm của (2.31). Đặt V(t)=V(t,x(t)), giả sử t ∈ [t0, t1) . Ta chứng minh V (t)≤ ω2(η) t0 ≤ t < t1. (2.34) Giả sử (2.34) không xẩy ra, tức là tồn tại một t˜ ∈ (t0, t1) sao cho V (t˜) ≥ ω2(η) ≥ V (t0). Vậy tồn tại t∗ ∈ (t0, t˜) sao cho V˙ (t∗)> 0 vàV (t∗+ s)≤V (t∗) với−τ ≤ s≤ 0 mâu thuẫn (iii) vậy ta có (2.34). Từ (ii) và (2.34) ta có: V (t1) =V (t1,J1(x(t−1 )))≤ ψ1(V (t−1 ))≤ ψ1(ω2(η)) vì ψk(s) là hàm không giảm với mọi s > 0. Tương tự ta có: V (t)≤ ψ1(ω2(η)), t1 ≤ t < t2,V (t2)≤ ψ2(ψ1(ω2(η))), 41 bằng quy nạp ta có: V (t)≤ ψi+2(ψi+1(...(ψ1(ω2(η))))), ti+1 ≤ t < ti+2. Vậy từ điểu kiện (ii) ta có: ω1(||x(t)||)≤V (t)≤Mω2(η)≤ ω1(ε), t ≥ t0. Vậy nghiệm tầm thường của (2.31) ổn định đều. Định lý 2.4.5. Giả sử tồn tại các hàm V ∈ V0,ω1,ω2 ∈ K,ψk ∈ Ω1,H ∈ Ω3 sao cho: (i) ω1(||x||)≤V (t,x)≤ ω2(||x||), với (t,x) ∈ [t0,∞)×S(ρ), (ii) Với mọi k ∈ N, ψk(s)s là không giảm với s > 0 và V (tk,Jk(x))≤ ψk(V (t−k ,x)), với x ∈ S(ρ1). Tồn tại M ≥ 1 sao cho với a > 0, ∞ ∑ k=1 [ψk(a)−a] a < ∞ và lim k→∞ ψk(ψk−1(...(ψ1(a))))/a≤M. (iii) Tồn tại hàm P(s) liên tục với s≥ 0 và P(s)≥Ms với s > 0, sao cho: D+V (t,x(t))≤−H(||x(t)||), với V (t+ s,x(t+ s)) < P(V (t,x(t))),−τ ≤ s≤ 0. Khi đó nghiệm tầm thường của (2.31) là ổn định tiệm cận đều. Chứng minh. Với ε = ρ1 > 0, chọn η > 0 sao cho Mω2(η) = ω1(ρ1). Từ định lý (2.4.4) với ϕ ∈ PC(η) ta có: ||x(t, t0,ϕ)|| ≤ ρ1, và V (t,x(t, t0,ϕ))≤Mω2(η), t ≥ t0− τ. (2.35) Với ε > 0(ε 0 sao cho P(s)−Ms> d với M−1ω1(ε)≤ s≤Mω2(η). Lấy N = N(ε)> 0 là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho Mω2(η)≤M−1[ω1(ε)+Nd]. Kí hiệu: G(a) = ∞ ∑ k=1 [ ψk(a) a −1],a > 0. γ = in f{H(s) : ω−12 (M−1ω1(ε))≤ s≤ ρ1}. h = max {Mω2(η)[1+G(Mω2(η))] γ ,τ } . 42 Ta chứng minh V (t)≤ ω1(ε)+(N− i)d, t ≥ t0 +(2i+1)h, i = 0,1, ...,N−1. (2.36) Thật vậy, bằng quy nạp với i= 0, (2.36) đúng. Giả sử với i (0≤ i<N ), (2.36) đúng, ta chứng minh với i+1, (2.36) đúng. Kí hiệu Ii = [t0 +2(i+1)h, t0 +(2i+3)h]. Khi đó tồn tại t∗ ∈ Ii sao cho: V (t∗)≤M−1[ω1(ε)+(N− i−1)d]. (2.37) Bằng phản chứng, giả sử (2.37) không xẩy ra tức là với mọi t ∈ Ii, V (t) > M−1[ω1(ε)+(N− i−1)d] thì với t ∈ Ii ta có M−1ω1(ε) <V (t)≤Mω2(η) và P(V (t)) > MV (t)+d > ω1(ε)+(N− i)d ≥V (t+ s), −τ ≤ s≤ 0. Từ (iii) với t ∈ Ii, D+V (t)≤−H(||x(t)||)≤−γ Với t > t0 +2(i+1)h = si, t ∈ Ii, ta có: V (t)≤V (si)− γ(t− si)+ ∑ si<tk≤t [V (tk)−V (t−k )] ≤Mω2(η)− γ(t− si)+ ∑ si<tk≤t V (t−k )[ ψk(V (t−k )) V (t−k ) −1] ≤Mω2(η)− γ(t− si)+ ∞ ∑ k=1 Mω2(η)[ ψk(Mω2(η)) Mω2(η) −1] = Mω2(η)[1+G(Mω2(η))]− γ(s− ti). Vậy với t = t0 +(2i+3)h, thì V (t0 +(2i+3)h)≤Mω2(η)[1+G(Mω2(η))] − γMω2(η)[1+G(Mω2(η))] γ = 0, mâu thuẫn, vậy ta có (2.37). Lấy q = min{k ∈ N : tk > t∗}. Ta chứng minh V (t)≤M−1[ω1(ε)+(N− i−1)d] t∗ ≤ t < tq. (2.38) nếu (2.38) không xẩy ra thì tồn tại t˜ ∈ (t∗, tq) sao cho: V (t˜) > M−1[ω1(ε)+(N− i−1)d]≥V (t∗), 43 khi đó tìm được t˜∗ ∈ (t∗, t˜] sao cho: V˙ (t˜∗) > 0, V (t˜∗)≥M−1[ω1(ε)+(N− i−1)d], V (t˜∗)≥V (u), t∗ ≤ u≤ t˜∗. Chú ý với t˜∗− τ ≤ u≤ t˜∗, V (u)≤ ω1(ε)+(N− i)d = MM−1[ω1(ε)+(N− i−1)d]+d ≤MV (t˜∗)+d < P(V (t˜∗)), vậy V (t˜∗+ s) < P(V (t˜∗)) với−τ ≤ s≤ 0. Từ (iii) chúng ta có V˙ (t˜∗)≤ 0, mâu thuẫn. Vậy ta có (2.38). Từ (ii) và (2.38) ta có: V (tq)≤ ψq(V (t−q ))≤ ψq(M−1[ω1(ε)+(N− i−1)d]). Đặt L = M−1[ω1(ε)+(N− i−1)d)], chứng minh tương tự bằng qui nạp ta có: V (t)≤ ψq+ j+1(ψq+ j(...(ψq(L)))), tq+ j ≤ t ≤q+ j+1, j = 0,1, ..., kết hợp với (ii) ta có: V (t)≤ML = ω1(ε)+(N− i−1)d), t ≥ t∗. Vậy với i+1 ta có (2.36) đúng. Vậy ta có (2.36) đúng với i = 0,1, ...N, chọn i = N ta có: ω1(||x(t)||)≤V (t)≤ ω1(ε), t ≥ t0 +(2N+1)h Lấy T = (2N+1)h thì ||x(t)|| ≤ ε với t ≥ t0 +T. Định lý được chứng minh. Hệ quả 2.4.6. Nếu các điều kiện (i),(ii),(iii) trong định lý (2.4.5) với ψk(s) = (1+ bk)s,bk ≥ 0, ∞ ∑ k=1 bk <∞ và M = ∞ ∏ k=1 (1+bk), thì nghiệm tầm thường của (2.31) là ổn định tiệm cận đều. Ví dụ 2.4.7. Xét hệ phương trình vi phân có xung:{ x˙(t) = f (t,x(t))+g(t,x(t− τ))+ ∫ tt−τ h(t,x(s))ds, t > 0, x(tk) = Jk(x(t−k )) k ∈ N. (2.39) trong đó τ > 0,0 < t1 < t2 < ... < tk < tk+1 < ..., tk→ ∞ khi k→∞, f ,g,h∈C(R+×R), |g(t,x)| ≤α(t)|x|, |h(t,x)| ≤ β (t)|x|, f (t,0)= 0,Jk(x)∈ C(R,R), α,β ∈C(R+,R+). Giả sử 44 (i) |Jk(x)| ≤ |1+ ck|.|x|, và ∞ ∑ k=1 |ck|< ∞, (ii) Với các hằng số q > 1,L > 1 sao cho: f (t,x) x +q √ M[α(t)+ ∫ t t−τ β (s)ds]≤−L 2 , t ≥ 0,x 6= 0, trong đó M = ∞ ∏ k=1 (1+ 2|ck|+ c2k) < ∞. Khi đó nghiệm tầm thường của (2.39) ổn định tiệm cận. Chứng minh. Chọn V (t,x) =V (x) = x2,P(s) = q2Ms, thì V (tk,Jk(x)) = J2k (x)≤ (1+2|ck|+ c2k)x2 = (1+bk)V (x) = ψk(V (t−k ,x)), trong đó ψk(s) = (1+ bk)(s),bk = 2|ck|+ c2k . Với nghiệm x(t) của (2.39), sao cho V (x(t+ s)) < P(V (x(t))),−τ ≤ s≤ 0, ta có |x(t+ s)|< q√M|x(t)|. Do đó: D+V (x(t))≤ 2x(t) f (t,x(t))+2α(t)|x(t)|.|x(t− τ)| +2|x(t)| sup t−τ≤s≤t |x(s)| ∫ t t−τ β (s)ds ≤ 2( f (t,x(t)) x(t) +q √ M[α(t)+ ∫ t t−τ β (s)ds]x2(t))≤−Lx2(t). do hệ quả (2.4.6) nghiệm của (2.39) ổn định tiệm cận đều. Nhận xét 2.4.8. Giả sử phương trình vi phân hàm có xung (2.31) có nghiệm x1(t) = x1(t, t0,ϕ1), thỏa mãn điều kiện ban đầu:{ x1(t, t0,ϕ1) = ϕ1(t− t0), t0− τ ≤ t ≤ t0, x1(t0, t0,ϕ1) = ϕ1(0). (2.40) Định nghĩa 2.4.9. Nghiệm x1(t) của (2.31) gọi là: (S4). Ổn định đều nếu với mỗi t0 ∈ R và ε > 0 tồn tại η = η(ε) ≥ 0 sao cho ∀ϕ ∈ PC, ||ϕ−ϕ1||τ < η , thỏa mãn ||x(t, t0,ϕ)− x1(t, t0,ϕ1)|| ≤ ε với ∀t ≥ t0. (S5). Ổn định tiệm cận đều nếu nó ổn định đều và với mọi ε > 0 tồn tại η = η(ε)> 0, T = T (ε)> 0, sao cho ∀ϕ ∈ PC, ||ϕ−ϕ1||< η ta có ||x(t, t0,ϕ)−x1(t, t0,ϕ1)|| ≤ ε với t ≥ t0 +T . Bằng cách chứng minh tương tự định lý (2.4.5)ta có định lý sau: 45 Định lý 2.4.10. Giả sử tồn tại các hàm V ∈ V0,ω1,ω2 ∈ K,ψk ∈ Ω1,H ∈ Ω3 sao cho: 1. V (t,x1(t)) = 0, t ∈ [t0,∞), ω1(||x− x1(t)||)≤V (t,x)≤ ω2(||x− x1(t)||),(t,x) ∈ [t0,∞)×S(ρ), 2. Với mọi k ∈ N, ψk(s)s là không giảm với s > 0 và V (tk,Jk(x))≤ ψk(V (t−k ,x)), với x ∈ S(ρ1). Tồn tại M ≥ 1 sao cho với a > 0, ∞ ∑ k=1 [ψk(a)−a] a < ∞, lim k→∞ ψk(ψk−1(...(ψ1(a))))/a≤M. 3. Tồn tại hàm P(s) liên tục với s≥ 0 và P(s)≥Ms với s > 0, sao cho D+V (t,x(t))≤−H(||x(t)−x1(t)||), với V (t+s,x(t+s))<P(V (t,x(t))),−τ ≤ s≤ 0. Khi đó nghiệm x1(t) của (2.31) là ổn định tiệm cận đều. Định lý 2.4.11. Giả sử tồn tại hàm V ∈V0, và các hằng số p,c1,c2,λ > 0, α > τ , sao cho các điều kiện sau thỏa mãn: (i). c1||x||p ≤V (t,x)≤ c2||x||p với (t,x) ∈ [t0,∞)×S(ρ). (ii). D+V (t,x(t))≤ 0, với V (t+ s,x(t+ s))≤ qV (t,x(t)), s ∈ [−τ,0], t ∈ [tk−1, tk), k ∈ N, q≥ e2λα . (iii). V (tk,Jk(ϕ))≤ dkV (t−k ,ϕ(0)), trong đó dk > 0,∀k ∈ N là hằng số. (iv). τ ≤ tk− tk−1 ≤ α và ln(dk)+λα <−λ (tk+1− tk). Khi đó nghiệm tầm thường của (2.31) là ổn định mũ toàn cục. Chứng minh. Chọn M>1 sao cho: c2||ϕ||pτ < M||ϕ||pτ e−λ (t1−t0) ≤ qc2||ϕ||pτ . (2.41) Với x(t) = x(t, t0,ϕ) là nghiệm của(2.31), xt0 = ϕ . Đặt v(t) =V (t,x) ta chứng minh v(t)≤M||ϕ||pτ e−λ (tk−t0), t ∈ [tk−1, tk),k ∈ N. (2.42) Thật vậy, bằng phương pháp quy nạp ta có: Với k=1 ta chứng minh v(t)≤M||ϕ||pτ e−λ (t1−t0), t ∈ [t0, t1), (2.43) từ (i) và (2.41) ta có với t ∈ [t0− τ, t0], v(t)≤ c2||x||p ≤ c2||ϕ||pτ ≤M||ϕ||pτ e−λ (t1−t0). Nếu (2.43) không xẩy ra thì tồn tại t˜ ∈ (t0, t1), sao cho: v(t˜) > M||ϕ||pτ e−λ (t1−t0) > c2||ϕ||pτ ≥ v(t0 + s),s ∈ [−τ,0]. (2.44) 46 Do đó, tồn tại t∗ ∈ (t0, t˜) sao cho: v(t∗) = M||ϕ||pτ e−λ (t1−t0) và v(t)≤M||ϕ||pτ e−λ (t1−t0) với t ∈ [t0− τ, t∗], (2.45) và tồn tại t∗∗ ∈ [t0, t∗) sao cho: v(t∗∗) = c2||ϕ||pτ , và v(t)≥ c2||ϕ||pτ , với t ∈ [t∗∗, t∗]; (2.46) khi đó với t ∈ [t∗∗, t∗] v(t+ s)≤M||ϕ||pτ e−λ (t1−t0) ≤ qc2||ϕ||pτ ≤ qv(t),s ∈ [−τ.0]. (2.47) Vậy từ điều kiện (ii) ta có D+v(t) ≤ 0 với t ∈ [t∗∗, t∗] thì v(t∗∗) ≥ v(t∗), tức là c2||ϕ||pτ ≥M||ϕ||pτ e−λ (t1−t0) trái với (2.41). Vậy với k = 1 đúng. Giả sử rằng với k = 1,2, ...m ta có: v(t)≤M||ϕ||pτ e−λ (tk−t0),∀t ∈ [tk−1, tk),k = 1,2, ...m, (2.48) thì v(t)≤M||ϕ||pτ e−λ (tm+1−t0),∀t ∈ [tm, tm+1). (2.49) Bằng phản chứng giả sử (2.49) không xẩy ra, tức là tồn tại t˜ ∈ [tm, tm+1) sao cho v(t˜) > M||ϕ||pτ e−λ (tm+1−t0). Từ v(tm)≤ dmv(t−m ) < e−λαe−λ (tm+1−tm)M||ϕ||pτ e−λ (tm−t0) < M||ϕ||pτ e−λ (tm+1−t0), nên v(tm) < M||ϕ||pτ e−λ (tm+1−t0) < v(t˜). Do đó tồn tại t∗ ∈ (tm, t˜) sao cho: v(t∗) = M||ϕ||pτ e−λ (tm+1−t0) và D+v(t∗) > 0, (2.50) với t∗+ s ∈ [tm−1, t˜), s ∈ [−τ.0], từ τ ≤ tk− tk+1 ≤ α , (2.48), ta có: v(t∗+ s)≤M||ϕ||pτ e−λ (tm−t0) = M||ϕ||pτ e−λ (tm+1−t0)eλ (tm+1−tm) ≤ eλαM||ϕ||pτ e−λ (tm+1−t0) ≤ qv(t∗),s ∈ [−τ.0], từ điều kiện (ii), ta có D∗v(t∗) ≤ 0, mâu thuẫn với (2.50) vậy (2.42) được chứng minh. Vậy v(t)≤M||ϕ||pτ e−λ (t−t0), t ∈ [tk−1, tk), 47 kết hợp với điều kiện (i) ta có: ||x|| ≤M∗||ϕ||τe− λ p (t−t0), t ∈ [tk−1, tk),k ∈ N, với M∗ = max{1, [Mc1 ] 1 p } thì nghiệm tầm thường của hệ (2.31) là ổn định mũ toàn cục. Ví dụ 2.4.12. Xét hệ phương trình vi phân hàm có xung sau: x˙1(t) = x2(t)−0.001x1(t), t ≥ 0, t 6= k, x˙2(t) =−x1(t)−0.001x2(t)+ x23(t), t ≥ 0, t 6= k, x˙3(t) =−(0.005+ x2(t)+ t2 sin2(x1(t))x3(t)+0.001x3(t−0.007), t ≥ 0, t 6= k, x(k) = d 1 2 k x(k −),k ∈ N, (2.51) trong đó x = (x1,x2,x3)T ;dk,τ ≥ 0 sao cho dk thỏa mãn dk ≤ e−(α+1)λ với α,λ là các hằng số dương. Khi đó nghiệm của (2.51) là ổn định mũ. Chứng minh. Chọn V (t,x) = 1 2 x2 thỏa mãn điều khiện (i) của định lý (2.4.11), với c1 = c2 = 1 2 , p = 2. Đạo hàm trên bên phải của V dọc theo (2.51) D+V (t,x(t)) = x1(t)x˙1(t)+ x2(t)x˙2(t)+ x3(t)x˙3(t) =−0.001(|x1(t)|2 + |x2(t)|2 + |x3(t)|2)−0.004|x3(t)|2 − t2 sin2(x1(t))x23(t)+0.001x3(t)x3(t−0.07) ≤−0.001||x(t)||2− t2 sin2(x1(t))x23(t)+0.0005x23(t−0.07). Chọn λ = 0.25,α = 1,q= 2 > e0.5, từ qV (t,ϕ(0))≥V (t+ s,ϕ(s)),s ∈ [−0.5,0] ta có ||x(t+ s)||2 ≤ 2||x(t)||2,s ∈ [−0.07,0], vậy D+V (t,x(t))≤−0.001||x(t)||2− t2 sin2(x1(t))x23(t)+0.001||x(t)||2 =−t2 sin2(x1(t))x23(t)≤ 0, thỏa mãn điều kiện (ii) của định lý. Hơn nữa V (k,x(k)) = dkV (k−,x(k−)), thỏa mãn điều kiện (iii),(iv). Vậy nghiệm của (2.51) là ổn định mũ toàn cục. 48 2.5. Áp dụng cho mô hình quần thể Xét hệ: x˙i(t) = xi(t) [ bi(t)−aii(t)xi(t)− n ∑ j=1 i6= j ai j(t)x j(t− τi j(t)) ] , t 6= tk, xi(tk) = xi(t−k )+ Iik(xi(t − k )), i = 1,2, ...,n,k = 1,2, ..., (2.52) trong đó, n≥ 2, tồn tại hằng số τ sao cho 0≤ τi j(t)≤ τ. Xét các điều kiện: H.1.1. bi ∈C[R+,R], i = 1, ...,n. H.1.2. ai j,τi j ∈C[R+,R+], i, j = 1, ...,n. H.1.3. 0 < t1 < t2 < ...., lim k→∞ tk = ∞. H.1.4. Iik ∈C[R+,R], i = 1, ...,n,k = 1,2, .... H.1.5. xi+ Iik(xi)≥ 0,xi ∈ R+, i = 1,2, ...,n,k = 1,2, ... Với J ∈ R, đặt CB[J,Rn] = {σ ∈C[J,Rn] : σ(t)bị chặn trên J}. Với ϕ ∈CB[[−τ,0],Rn],ϕ = col(ϕ1,ϕ2, ...,ϕn). x(t) = x(t,0,ϕ) = col(x1(t,0,ϕ),x2(t,0,ϕ), ...,xn(t,0,ϕ)) là nghiệm của (2.52), thỏa mãn điều kiện ban đầu:{ xi(t,0,ϕ)) = ϕi(s),s ∈ [−τ,0], xi(0,0,ϕ)) = ϕi(0), i = 1, ...,n. (2.53) Nhận xét 2.5.1. Với các điều kiện H.1.1-H.1.4 theo định lý (tồn tại nghiệm của phương trình vi phân hàm có xung) hệ (2.52) có nghiệm trên [0,∞). Bổ đề 2.5.2. Với các điều kiện H.1.1-H.1.5 và H.1.6. x(t) = x(t,0,ϕ) = col(x1(t,0,ϕ),x2(t,0,ϕ), ...,xn(t,0,ϕ)) là nghiệm của ((2.52),(2.53)), sao cho: xi(s) = ϕi(s)≥ 0,supϕi(s) 0, i = 1, ...n,s ∈ [−τ,0]. Khi đó xi(t) > 0, i = 1, ...n, t ∈ [0,∞). Chứng minh. Thật vậy, do ϕi(0)> 0 và (H.1.5.) nghiệm của hệ phương trình ((2.52), (2.53)) là: xi(t) = ϕi(0)exp {∫ t 0 [ bi(s)−aii(s)xi(s) − n ∑ j=1 i6= j ai j(s)x j(s− τi j(s)) ] ds } , t ∈ [t0, t1), 49 xi(t) = xi(tk)exp {∫ t tk [ bi(s)−aii(s)xi(s) − n ∑ j=1 i 6= j ai j(s)x j(s− τi j(s)) ] ds } , t ∈ [tk, tk+1), xi(tk) = xi(t−k )+ Iik(xi(t − k ))≥ 0, i = 1,2, ...,n,k = 1,2, .... Vây xi(t) > 0, i = 1, ...n, t ∈ [0,∞). Bổ đề 2.5.3. (1) Với các điều kiện H.1.1-H.1.6, và (2) ui(t)≥ 0 là nghiệm cực đại của hệ phương trình:u˙i(t) = ui(t) [ |b∗i |− a¯iiui(t) ] , t 6= tk, ui(tk) = ui(t−k )+ I ∗ ik, i = 1,2, ...,n,k = 1,2, ..., (2.54) trong đó a¯ii = inf 0≤s<∞ aii(s),b∗i = sup 0≤s<∞ bi(s), I∗ik = sup{Iik(xi(tk))}, i = 1,2, ...,n,k = 1,2, ..... (3) vi(t)≥ 0 là nghiệm cực tiểu của hệ phương trình: v˙i(t) = vi(t) [ b¯i−a∗iivi(t)− n ∑ j=1 i6= j a∗i j(t)supt−τ≤s≤t u j(s) ] , t 6= tk, vi(tk) = vi(t−k )+ I¯ik, i = 1,2, ...,n,k = 1,2, ..., (2.55) trong đó a∗ii = sup 0≤s<∞ aii(s),a∗i j = sup 0≤s<∞ ai j(s), b¯i = inf 0≤s<∞ bi(s), I¯ik = inf{Iik(xi(tk))}, i, j = 1,2, ...,n,k = 1,2, .... (4) 0≤ vi(0)≤ ϕi(0)≤ ui(0), i = 1, ...,n. Khi đó vi(t)≤ xi(t)≤ ui(t), i = 1, ...,n, t ∈ [0,∞). Chứng minh. Từ bổ đề (2.5.2) ta thấy rằng nghiệm của ((2.52),(2.53)) thỏa mãn xi > 0, i = 1, ...,n. Từ (2.52) với i = 1, ...n, ta có:x˙i(t)≤ xi(t) [ |b∗i |− a¯iixi(t) ] , t 6= tk, xi(tk)≤ xi(t−k )+ I∗ik,k = 1,2, ..., 50 và  x˙i(t)≥ xi(t) [ b¯i−a∗iixi(t)− n ∑ j=1 i 6= j a∗i j(t) sup t−τ≤s≤t x j(s) ] , t 6= tk, xi(tk)≥ xi(t−k )+ I¯ik,k = 1,2, ... Vậy ta có điều phải chứng minh. Bổ đề 2.5.4. Với các điều kiện H.1.1-H.1.6, và b¯i ≥ n ∑ j=1 j 6=i a∗i jb∗j a¯ii , i, j = 1, ...,n, αi ≤ xi+ Iik(xi)≤ βi,xi ∈ R+, i = 1, ...,n,k = 1,2, ... trong đó αi = b¯i− n ∑ j=1 j 6=i a∗i jb∗j a¯ii a∗ii , βi = |b∗i | a¯ii , i = 1, ...,n. Khi đó αi ≤ xi(t)≤ βi, t ∈ [0,∞), i = 1, ...,n. Chứng minh. Theo bổ đề (2.5.3) ta có: vi(t)≤ xi(t)≤ ui(t), i = 1, ...,n, t ∈ [0,∞). Nên ta chỉ cần chứng minh tồn tại các hằng số dương αi,βi sao cho: αi ≤ vi(t)≤ xi(t)≤ ui(t)≤ βi, i = 1, ...,n, t ∈ [0,∞). Với t = tk,k = 1,2, ... hiển nhiên. Với t ∈ [0, t1)∪ [tk, tk+1),k = 1,2, ... ta chứng minh ui(t)≤ βi, i = 1, ...,n. (2.56) Giả sử (2.56) không xẩy ra, khi đó tồn tại t ∈ [0, t1)∪ [tk, tk+1),k= 1,2, ..., t 6= tk sao cho ui(t) > βi, i = 1, ...,n, thì u˙i(t) < ui(t) [|b∗i |− a¯iiui(t)]< 0. từ đây dẫn đến mâu thuẫn vậy ta có (2.56) với t ∈ [0, t1)∪ [tk, tk+1),k = 1,2, .... Vậy xi(t)≤ ui(t)≤ βi, i = 1, ...,n, t ∈ [0,∞). Tương tự ta có αi ≤ vi(t)≤ xi(t), i = 1, ...,n, t ∈ [0,∞). 51 Hệ quả 2.5.5. Với điều kiện của bổ đề (2.5.4) và m = inf 0≤i≤n αi,M = sup 0≤i≤n βi. Khi đó m≤ xi(t)≤M, t ∈ [0,∞). Với φ ∈CB[[−τ,0],Rn],φ = col(φ1,φ2, ...,φn). x∗(t) = x∗(t,0,φ) = col(x∗1(t,0,φ),x ∗ 2(t,0,φ), ...,x ∗ n(t,0,φ)) là nghiệm của (2.52), thỏa mãn điều kiện ban đầu{ x∗i (t,0,φ)) = φi(s),s ∈ [−τ,0], x∗i (0,0,φ)) = φi(0), i = 1, ...,n. (2.57) sao cho: φi(s)≥ 0, supφi(s) 0, i = 1, ...n. Định lý 2.5.6. Giả sử: (1) Các điều kiện của bổ đề (2.5.4) và hệ quả (2.5.5) thỏa mãn. (2) Tồn tại số thực q > 1 sao cho: a = m min 1≤i≤n ai j(t) > b = qM max 1≤i≤n ( n ∑ j=1 j 6=i ai j(t) ) , t 6= tk,k = 1,2, .... Khi đó nghiệm x∗(t) của hệ (2.52) ổn định tiệm cận đều. Chứng minh. Xét hàm V (t,x(t)) = n ∑ i=1 ∣∣ln xi(t) x∗i (t) ∣∣. Theo định lý giá trị trung bình và hệ quả (2.5.5) trên mỗi [0, t1), [tk, tk+1), k = 1,2, ..., i = 1, ...,n, ta có: 1 M |xi(t)− x∗i (t)| ≤ | lnxi(t)− lnx∗i (t)| ≤ 1 m |xi(t)− x∗i (t)|. (2.58) Từ (2.58) ta có: V (0,x(0)) = n ∑ i=1 | lnxi(0)− lnx∗i (0)| ≤ 1 m n ∑ i=1 |xi(0)− x∗i (0)| ≤ 1 m ||ϕ−φ || 52 Với t > 0, t = tk,k = 1,2, ..., ta có: V (tk,x(tk)) = n ∑ i=1 ∣∣ln xi(tk) x∗i (tk) ∣∣ = n ∑ i=1 ∣∣ln xi(t−k )+ Iik(xi(t−k )) x∗i (t − k )+ Iik(x ∗ i (t − k )) ∣∣≤ n∑ i=1 ∣∣ln M m ∣∣≤ n∑ i=1 ∣∣ln m M ∣∣ ≤ n ∑ i=1 ∣∣ln xi(t−k ) x∗i (t − k ) ∣∣=V (t−k ,x(t−k )). (2.59) Với t ≥ 0, t 6= tk,k = 1,2, ..., ta có: D+V (t,x(t)) = n ∑ i=1 ( x˙i(t) xi(t) − x˙ ∗ i (t) x∗i (t) ) sign(xi(t)− x∗i (t)) ≤ n ∑ i=1 [ −aii(t)|xi(t)− x∗i (t)|+ n ∑ j=1 i 6= j ai j(t)|x j(t− τi j(t))− x∗j(t− τi j(t))| ] ≤ min 1≤i≤n ai j(t) n ∑ i=1 |xi(t)− x∗i (t)| + max 1≤i≤n ( n ∑ j=1 j 6=i ai j(t) ) n ∑ j=1 i 6= j |x j(t− s)− x∗j(t− s)|. Chọn P(s) = qs,s≥ 0 với nghiệm x(t) của (2.52) sao choV (x(t+s)))<P(V (x(t))), −τ ≤ s≤ 0, t ≥ 0, t 6= tk,k = 1,2, ...., ta có: 1 M n ∑ i=1 |xi(t− s)− x∗i (t− s)| ≤V (t+ s,x(t+ s)) < qV (t,x(t))≤ q 1 m n ∑ i=1 |xi(t)− x∗i (t)|,s ∈ [−τ,0], do đó n ∑ i=1 |xi(t− s)− x∗i (t− s)|< q M m n ∑ i=1 |xi(t)− x∗i (t)|,s ∈ [−τ,0]. Ta có: D+V (t,x(t))≤ (b−a) n ∑ i=1 |xi(t)− x∗i (t)|, t ≥ 0, t 6= tk,k = 1,2, .... Theo định lý ((2.4.5)) với ψk(s) = s, nghiệm x∗(t) của hệ (2.52) ổn định tiệm cận đều. 53 Ví dụ 2.5.7. Xét hệ phương trình vi phân có xung: x˙(t) = x(t)[7−12x(t)− y(t− τ12)], t 6= tk, y˙(t) = y(t)[8−2x(t− τ21)− y(t)], t 6= tk, ∆x(tk) =− 35 ( x(tk)− 12 ) ,k = 1,2, ...., ∆x(tk) =− 45 ( x(tk)−1 ) ,k = 1,2, ...., (2.60) trong đó 0 < t1 < t2 < ..., lim k→∞ tk = ∞. Hệ (2.60) có điểm cân bằng (x∗,y∗) = ( 12 ,1) theo định lý (2.5.6) với m = 1 2 ,M = 1,q ∈ (1, 74 ). Do đó (x∗,y∗) = ( 12 ,1) là ổn định tiệm cận đều. 54 KẾT LUẬN Bài toán nghiên cứu tính ổn định nghiệm của phương trình vi phân có xung là một trong những hướng nghiên cứu đang được nhiều người quan tâm, vì có nhiều ứng dụng thực tế. Trong luận văn này ngoài kiến thức chuẩn bị chúng tôi đã trình bày và chứng minh được các kết quả sau: * Đưa ra tiêu chuẩn so sánh nghiệm của hệ phương trình vi phân có xung, từ đó xây dựng hàm Lyapunop cho hệ phương trình vi phân có xung. Chứng minh một số điều kiện đủ của tính ổn định nghiệm, đặc biệt là mở rộng cho trường hợp ổn định bộ phận của hệ phương trình vi phân có xung. Đây là một kết quả quan trọng trong thực tế. *Dựa vào Phương pháp hàm Lyapunop dạng Razumikhin nghiên cứu tính ổn định nghiệm của hệ phương trình vi phân hàm có xung. Trong khuôn khổ luận văn chỉ đưa ra hai định lý về ổn định mũ toàn cục và ổn định tiệm cận đều, cùng với đó là các ví dụ và ứng dụng vào mô hình Lotka-Voltera với trễ hữu hạn. 55 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Thế Hoàn - Phạm Phu, Cơ sở phương trình vi phân và lý thuyết ổn định, NXB Giáo dục, 2003. [2] A.V. Anokhin, On linear impulsive systems for differential equations with in- finite delay, Soviet Math. Dok. 33(1986) 220-223. [3] A.V. Anokhin, L. Berezansky, E. Braveman, Exponential stability of linear delay impulsive differential equations, J. Math. Anal.Appl. 193(1995) 923- 941. [4] A.V. Anokhin, L. Berezansky, E. Braveman, stability of linear delay impulsive differential equations, Dynamic Systems and Applications, 4 (1995) 173-188. [5] R. P. Agarwal, Difference Equations and Inequalities Theory, Methods, and Applications, Marcel Dekker, Inc, New York. Basel, 2000. [6] M. Benchohra, J. Henderson, S. Ntouyas, Impulsive differential equations and inclusions, Hindawi Publishing Corporation, 2006. [7] J.K.Hale, Theory of Functional Differential Equations, Springer-Verlag, New York, 1977. [8] V.V.Kolmanovskii,V.R.Nosov, Stability of Functional Differential Equations, Academic Pree, New York, 1986. [9] Y.Kuang, Delay differential equations with Applications in Population Dy- namics, Academic Pree, Inc, 1993. [10] V. Lakshmikantham, D.D. Bainov, P.S. Simeonov, Theory of impulsive differ- ential equations, World Scientific, Singapore, 1989. [11] V. Lakshmikantham, S. Leela, Differential and Integral Inequalities, Vol. I and II , Academic Pree, New York, 1969. [12] V.Mill’man, A. Myshkis, On the stability of motion in the presence of im- pulses, Siberian Math.J.,1:233-237,1960. [13] J. Shen, J. Yan, Razumikhin type Stability treory for impulsive function differ- ential equations, Pergamon N. Analysis 33(1998) 519-531. [14] M.I. Stamova Stability analysis impulsive of function differential equations, Walter de Gruyter, 2009. 57