Sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn giải các bài toán kỹ thuật điện

Caùc baøi toaùn cô baûn Baøi toaùn ñieän tónh Baøi toaùn ñieän tónh laø baøi toaùn ñöôïc moâ taû trong Tröôøng ñieän töø tónh. Tröôøng ñieän töø tónh laø Tröôøng ñieän töø thoûa caùc ñieàu kieän sau: Caùc ñaïi löôïng ñieän töø nhö , , ,… khoâng thay ñoåi theo thôøi gian. Ñieàu naøy seõ daãn ñeán ñaïo haøm rieâng theo thôøi gian cuûa caùc ñaïi löôïng naøy baèng khoâng. Khoâng coù söï dòch chuyeån cuûa caùc ñieän tích, nghóa laø khoâng coù doøng ñieän, maät ñoä doøng ñieän = 0. Trong baøi toaùn naøy khoâng xeùt ñeán Tröôøng töø maø chæ khaûo saùt Tröôøng ñieän. Tröôøng ñieän ôû ñaây ñöôïc taïo ra baèng nhöõng ñieän tích coù giaù trò khoâng ñoåi theo thôøi gian, vaø ñöôïc phaân boá coá ñònh trong khoâng gian. Ñaây laø baøi toaùn cô baûn trong lónh vöïc chaát caùch ñieän vaø ñieän moâi. Heä phöông trình Maxwell seõ ñöôïc bieán ñoåi vaø ruùt goïn nhö sau: Û Û (1.10) D = ere0 E Caùc ñieàu kieän bieân trong tröôøng ñieän tónh: Theá ñieän voâ höôùng V ñöôïc ñònh nghóa töø ñaïi löôïng vectô cöôøng ñoä ñieän tröôøng nhö sau: maø theo phöông trình thöù nhaát cuûa heä phöông trình (1.10) Þ Töø phöông trình lieân heä giöõa vectô cöôøng ñoä tröôøng ñieän , vectô caûm öùng ñieän , keát hôïp vôùi ñaïi löôïng vöøa ñöôïc tính thay vaøo phöông trình thöù hai cuûa heä phöông trình Maxwell ñôn giaûn (1.10) thu ñöôïc: div (e grad V) + r = 0 (1. 11) Caùc phöông trình (1.10) vaø phöông trình (1.11) laø caùc phöông trình cô baûn duøng ñeå giaûi baøi toaùn ñieän tónh. Giaûi caùc phöông trình naøy ra seõ tìm ñöôïc caùc ñaïi löôïng ñaëc tröng cuûa tröôøng ñieän tónh ñang khaûo saùt, töø ñoù ta tính ñöôïc caùc ñaïi löôïng lieân quan khaùc nhö naêng löôïng ñieän tröôøng, löïc ñieän,… lieân quan ñeán moät baøi toaùn ñieän. Nhaän xeùt: Kyõ thuaät tính toaùn hieän nay coù theå giaûi haàu heát caùc baøi toaùn ñieän tónh. Thaät vaäy, ñieän theá V laø ñaïi löôïng voâ höôùng vaø söï toàn taïi duy nhaát cuûa nghieäm deã daøng tính ñöôïc khi V (hoaëc ñaïo haøm cuûa noù) ñöôïc xaùc ñònh treân caùc bieân (coù theå ño ñaïc thöïc teá deã daøng). Khi ñoä thaåm ñieän e laø haèng soá, phöông trình cuûa baøi toaùn laø tuyeán tính neân coâng vieäc giaûi khaù ñôn giaûn. Tuy nhieân khi ñoä thaåm ñieän thay ñoåi, ta vaãn coù theå giaûi baøi toaùn neáu bieát caùc ñöôøng ñaëc tuyeán cuûa e (phi tuyeán) töông öùng vôùi caùc loaïi vaät lieäu ñöôïc söû duïng. Caùc phöông phaùp tính toaùn phi tuyeán hieän nay coù theå ñöôïc duøng ñeå laäp trình giaûi quyeát caùc baøi toaùn daïng naøy, trong ñoù Newton-Raphson laø phöông phaùp phoå bieán nhaát. Daïng baøi toaùn maø chuùng ta vöøa toùm taét laø moät trong nhöõng baøi toaùn cô baûn cuûa baøi toaùn ñieän. Daïng baøi toaùn thöù hai ñöôïc khaûo saùt tieáp theo laø baøi toaùn ñieän daãn. Baøi toaùn ñieän daãn Baøi toaùn naøy cuõng laø moät daïng cuûa Tröôøng ñieän töø tónh. Ñaây laø tröôøng hôïp khaûo saùt daïng phaân boá cuûa doøng ñieän trong caùc vaät daãn caùch ly ñaët döôùi ñieän aùp khoâng ñoåi. Heä phöông trình Maxwell moâ phoûng tröôøng hôïp naøy: (1. 12) J = s E r = 0 Töø phöông trình , ta chöùng minh ñöôïc söï toàn taïi ñieän theá V thoûa maõn quan heä =– gradV. Thay vaøo phöông trình , keát hôïp vôùi caùc phöông trình lieân heä ta ñöôïc: div (s grad V) = 0 (1.13) Nhaän xeùt: Vaät daãn laø vaät ñaúng theá neân maët vaät daãn cuõng laø maët ñaúng theá. Vì cöôøng ñoä ñieän tröôøng beân trong vaät daãn baèng khoâng chöùng toû ñieän tích chæ phaân boá ngoaøi maët vaät daãn (r = 0). Ñieàu kieän bieân: caùc ñieän theá treân caùc ñaàu cöïc vaø ñaïo haøm phaùp tuyeán baèng khoâng treân caùc maët tieáp giaùp vôùi chaát caùch ñieän (ñieàu kieän Newmann ñoàng nhaát). Ñaây laø moät trong nhöõng baøi toaùn deã nhaát vaø giaûi ñöôïc cho caû 3D, phi tuyeán. Baøi toaùn naøy chæ daønh cho tröôøng hôïp doøng khoâng ñoåi khi khoâng toàn taïi doøng caûm öùng Foucault do caùc doøng xoay chieàu gaây ra söï bieán ñoåi cuûa ñieän trôû treân beà maët. Tieáp theo chuùng ta seõ khaûo saùt moät daïng baøi toaùn ñieän töø khaùc, ñoù laø baøi toaùn töø tónh. Baøi toaùn töø tónh voâ höôùng Tröôøng töø tónh laø tröôøng töø gaây bôûi doøng ñieän khoâng ñoåi theo thôøi gian, caùc ñaïi löôïng ñaëc tröng cho tröôøng nhö khoâng thay ñoåi theo thôøi gian. Trong moâ hình naøy, ngöôøi ta cho doøng ñieän baèng khoâng trong phaàn ñöôïc khaûo saùt. Ñaây laø tröôøng hôïp töø tröôøng taïo ra bôûi caùc töø löïc ngoaïi vi (doøng ñieän moät chieàu) hay caùc nam chaâm ñieän. Heä phöông trình Maxwell ñoái vôùi tröôøng hôïp naøy laø: (1. 14) B = mrm0 H + Br (Br caûm öùng töø dö cuûa nam chaâm) Vì suy ra coù theå bieåu dieãn qua gradient cuûa moät haøm voâ höôùng: jm goïi laø theá töø voâ höôùng. Ñôn vò ño cuûa jm laø Ampere (A). Töông töï nhö caùc baøi toaùn treân ta seõ coù: div (m grad jm) + r = div Br (1. 15) Nhaän xeùt: Tröôøng ñieän töø tónh ôû ñaây ñöôïc goïi laø tröôøng ñieän töø tónh voâ höôùng do theá jm ñöôïc ñònh nghóa ôû laø moät theá voâ höôùng. Phöông trình (1.15) coù daïng gioáng nhö phöông trình (1.13) ôû treân, tuy nhieân vieäc xaùc ñònh caùc ñieàu kieän bieân ôû ñaây khoù giaûi quyeát hôn. Trong thöïc teá caùc giaù trò cuûa töø tröôøng treân bieân phaûi ñöôïc tính tröôùc (bôûi caùc pheùp tính phuï). Vieäc hieän dieän cuûa nam chaâm treân cô baûn khoâng daãn tôùi nhöõng vaán ñeà quaù phöùc taïp keå caû tröôøng hôïp phaûi xeùt tôùi caùc vaät lieäu phi tuyeán. Trong caùc baøi toaùn ba chieàu, söû duïng theá voâ höôùng cho pheùp giaûm haún khoái löôïng tính toaùn so vôùi khi duøng theá vector trình baøy trong phaàn tieáp theo. Caùc baøi toaùn maø chuùng ta vöøa khaûo saùt coù daïng gaàn gioáng nhö nhau, khi giaûi ñöôïc moät trong ba daïng naøy thì coù theå suy ra ñöôïc keát quaû cuûa caùc daïng coøn laïi baèng caùch chuyeån ñoåi caùc ñaïi löôïng töông öùng vôùi nhau: Tröôøng töø tónh – Tröôøng ñieän tónh – Tröôøng ñieän döøng Baøi toaùn khaûo saùt tieáp theo cuõng töông töï nhö moâ hình vöøa khaûo saùt, tuy nhieân theá ôû ñaây laø theá vectô. Baøi toaùn töø tónh vectô Baøi toaùn naøy coù moâ hình töông töï nhö treân, tröôøng ñieän töø ñöôïc taïo ra bôûi nhöõng nguoàn khoâng phuï thuoäc vaøo thôøi gian vaø khoâng coù söï töông taùc ñieän töø. Ñieåm khaùc bieät ôû ñaây laø vieäc khaûo saùt caû nhöõng vaät daãn coù doøng ñieän chaïy qua. ÔÛ mieàn coù doøng ñieän: , neân khoâng theå bieåu dieãn tröôøng töø qua theá voâ höôùng jm. Do ñoù ngöôøi ta thöôøng khaûo saùt tröôøng töø döøng qua moät ñaïi löôïng trung gian khaùc laø theá vectô maø söû duïng ñöôïc ôû mieàn coù doøng ñieän cuõng nhö ôû mieàn khoâng coù doøng ñieän. Heä phöông trình Maxwell ñoái vôùi tröôøng hôïp naøy ñöôïc vieát: (1. 16) B = mrm0 H + Br (Br caûm öùng töø dö cuûa nam chaâm) Töø phöông trình cho pheùp ta ñònh nghóa ñaïi löôïng töø theá vectô : do div rot = 0 Vectô laø khoâng ñôn trò neân ngöôøi ta choïn theá vectô thoûa maõn ñieàu kieän phuï naøo ñoù. Ñeå laø hoaøn toaøn xaùc ñònh, chuùng ta phaûi bieát divergence cuûa noù. Tröôøng hôïp ñôn giaûn nhaát, ñoái vôùi tröôøng töø döøng ngöôøi ta choïn ñieàu kieän: Tuy nhieân heä thöùc naøy (coøn goïi laø ñieàu kieän Coulomb) khoâng haún laø löïa choïn toát nhaát, vieäc bieán ñoåi laø caàn thieát ñeå khaéc phuïc caùc khoù khaên gaëp phaûi trong caùc tính toaùn soá. Vôùi vectô heä phöông trình moâ phoûng coù theå vieát: (1. 17) Nhaän xeùt: Thoâng soá ñaëc tröng cuûa vaät lieäu theå hieän qua heä soá n = 1/m = f(B), laø moät haøm phuï thuoäc vaøo vectô caûm öùng töø . Khi coù hieän töôïng baõo hoøa trong vaät lieäu töø , quan heä giöõa vectô caûm öùng töø vaø vectô cöôøng ñoä töø tröôøng laø quan heä phi tuyeán. Hieän töôïng naøy raát hay xaûy ra. Caùc ñieàu kieän bieân ñöôïc xaùc ñònh treân giaù trò cuûa theá vectô . Taïi caùc bieân “voâ cöïc” (khaù xa ñeå coù theå boû qua naêng löôïng töø tröôøng), ngöôøi ta thöôøng chaáp nhaän thaønh phaàn tieáp tuyeán cuûa noù baèng khoâng. Treân caùc truïc ñoái xöùng = 0, coøn treân caùc maët ñoái xöùng thì ¶/¶n=0, noùi caùch khaùc laø caùc ñöôøng söùc töø vuoâng goùc vôùi caùc maët ñoái xöùng. Ngoaøi ra khi caùc vaät lieäu tieáp giaùp coù ñoä töø thaåm quaù cheânh leäch (m1 > 1000 m2), thaønh phaàn phaùp tuyeán An coù theå coi laø baèng khoâng. ÔÛ baøi toaùn 3 chieàu (3_D) vôùi theá vector daãn ñeán vieäc giaûi caùc heä phöông trình raát ñoà soä (3 aån cho moãi ñieåm). Tuy vaäy coù nhieàu khaû naêng chuyeån baøi toaùn 3_D veà baøi toaùn 2_D treân maët phaúng vôùi chæ moät thaønh phaàn phaùp tuyeán khaùc khoâng. Coù hai tröôøng hôïp cô baûn coù theå chuyeån töø baøi toaùn 3_D thaønh 2_D: tröôøng hôïp thöù nhaát khi ñoái töôïng laø "raát daøi", baøi toaùn ñöôïc giaûi treân maët caét vuoâng goùc 2_D. Ñieàu kieän div = 0 ñöôïc thoûa maõn moät caùch maëc nhieân trong tröôøng hôïp naøy. Baøi toaùn naøy raát phoå bieán vaø ñöôïc nghieân cöùu kyõ cho caû tröôøng hôïp vaät lieäu töø phi tuyeán vaø ngay caû trong caùc baøi toaùn dò höôùng (anisotropy). Tröôøng hôïp coøn laïi laø ñoái töôïng coù daïng ñoái xöùng voøng, vectô chæ coøn moät thaønh phaàn theo truïc q vaø nhö theá ta chæ caàn xeùt baøi toaùn treân nöûa maët phaúng hình chieáu (Or,Oz) vôùi phöông trình: rot (n rot A) = Jq + rot (n Br) Khi baøi toaùn thöïc söï laø ba chieàu, ñieàu kieän div = 0 trôû neân khoù aùp ñaët chuû yeáu vì noù daãn tôùi nhöõng heä phöông trình hoäi tuï raát yeáu. Vieäc keát noái vôùi caùc baøi toaùn maïch qua giaù trò cuûa doøng ñieän hay ñieän aùp döôùi daïng sgrad(V) cuõng ñöôïc ñeà caäp tôùi trong khi nghieân cöùu baøi toaùn veà töø tröôøng tónh hay ñoäng ôû phaàn sau. Baøi toaùn töø ñieän ñoäng Tröôøng ñieän töø ñoäng ñöôïc moâ taû baèng heä phöông trình Maxwell daïng ñaày ñuû: Khi trong ñoái töôïng khaûo saùt coù caùc nguoàn (doøng hay aùp) thay ñoåi theo thôøi gian. Luùc naøy: ¶B/¶t ¹ 0 Seõ coù söï bieán ñoåi naêng löôïng töø tröôøng vaø ñieän tröôøng döôùi daïng caùc doøng caûm öùng Foucault. Ñeå bieåu dieãn tröôøng ñieän töø taïi moãi ñieåm ngöôøi ta phaûi söû duïng cuøng luùc töø theá vector vaø ñieän theá V ñöôïc trình baøy ôû caùc phaàn treân. Moâi tröôøng khaûo saùt Tröôøng ñieän töø ôû ñaây laø moâi tröôøng ñaúng höôùng, ñoàng nhaát vaø tuyeán tính, caùc ñaïi löôïng ñaëc tröng cho moâi tröôøng laø m, e laø caùc haèng soá. Trong khoâng gian Euclide, duøng heä toïa ñoä Ñeà-caùc, theá vectô ñöôïc bieåu dieãn bôûi 3 thaønh phaàn: Theo toaùn giaûi tích vectô: (1. 18) Thay vaøo phöông trình thöù nhaát cuûa heä phöông trình Maxwell ta ñöôïc: (1. 19) Maët khaùc ta coù: (1.20) (1. 21) Phöông trình D’Alembert ñöôïc thieát laäp töø caùc phöông trình 1 vaø 2 cuûa heä phöông trình Maxwell nhö sau: Töø caùc phöông trình lieân heä vaøo ta coù: thay vaø ñöôïc tính trong (1.18) vaø (1.20) vaøo ta ñöôïc: Theo giaûi tích vectô: rot rot = grad div - AÙp duïng cho phöông trình treân: Lôïi duïng tính khoâng ñôn trò cuûa vaø V ngöôøi ta ñöa vaøo ñieàu kieän phuï Lorentz: Phöông trình treân seõ trôû thaønh phöông trình D’Alambert: (1.22) Töông töï nhö theá, ta xaây döïng phöông trình D’Alambert cho theá V: (1.23) Trong tröôøng hôïp tröôøng ñieän töø phaúng ñoàng nhaát caùc vectô vaø chæ coøn thay ñoåi theo höôùng z vaø ta coù theå ñôn giaûn thaønh caùc ñaïi löôïng voâ höôùng: , A = Az = real{A(x,y).ejwt} , J = Jz = real{Js(x,y).ejwt} Nhaän xeùt: Töø caùc phöông trình D’Alambert, ta coù theå thaáy tröôøng ñieän töø ñoäng coù khaû naêng lan truyeàn töø nguoàn ra khoâng gian xung quanh vôùi vaän toác baèng vôùi vaän toác aùnh saùng trong cuøng moâi tröôøng. Caùc theá vectô vaø V laø caùc theá chaäm do aûnh höôûng cuûa ñieän tích taïi moät ñieåm ñeán nhöõng ñieåm khaùc nhau trong khoâng gian cuûa tröôøng ñieän töø khoâng baèng nhau maø chaäm sau moät khoaûng thôøi gian ñeå soùng ñieän töø truyeàn töø ñieän tích ñeán ñieåm khaûo saùt. Caùc phöông trình D’Alambert ñöôïc goïi laø caùc phöông trình soùng, ñaëc tröng cho soùng ñieän töø truyeàn trong khoâng gian tröôøng ñieän töø. Nhö vaäy, chöông naøy trình baøy sô boä ñöôïc 5 daïng baøi toaùn cô baûn cuøng vôùi moâ hình baøi toaùn toång quaùt cuûa moät baøi toaùn ñieän. Trong chöông tieáp theo, chuùng ta seõ xem caùch thöùc söû duïng moät chöông trình moâ phoûng caùc thieát bò ñieän hoaït ñoäng nhö theá naøo.