Tiểu luận Các công thức tích phân cauchy

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY NGUYÊN TIỂU LUẬN MÔN GIẢI TÍCH PHỨC ĐỀ TÀI CÁC CÔNG THỨC TÍCH PHÂN CAUCHY ĐẮK LẮK, NĂM 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY NGUYÊN TIỂU LUẬN MÔN GIẢI TÍCH PHỨC ĐỀ TÀI CÁC CÔNG THỨC TÍCH PHÂN CAUCHY Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. THÁI THUẦN QUANG ĐẮK LẮK, NĂM 2016 DANH SÁCH HỌC VIÊN THỰC HIỆN 1q Huỳnh Đậu Mai Phương 2q Đinh Như Mạnh Hùng 3q Hoàng Văn Phung 4q Nguyễn Hồng Quân 5q Mai Đức Chung 6q Lê Hồ Quang Minh 7q Bùi Nguyễn Luân 8q Trần Kông Long 9q Vi Ánh Mừng i MỤC LỤC Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt iii Mở đầu 1 1 Kiến thức chuẩn bị 2 2 Các công thức tích phân Cauchy 5 Kết Luận 11 ii DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CHỮ VIẾT TẮT N : Tập hợp các số tự nhiên N  t1, 2, . . .u N0 : Tập hợp các số N0  NY t0u E : Đối ngẫu đại số của E E 1 : Đối ngẫu topo của E E 1co : Không gian E 1 với topo compact mở Bpa, rq : Hình cầu mở tâm a bán kính r Bpa, rq : Hình cầu đóng tâm a bán kính r l1 : Không gian Banach các dãy số phức khả tổng tuyệt đối c0 : Không gian Banach các dãy số phức hội tụ về không c0 : Tập các dãy số thực dương hội tụ về không intU : Phần trong của U U : Bao đóng của U XK : Không gian Banach sinh bởi K € X PpE,F q : Không gian các đa thức từ E vào F HbpE,F q : Không gian các hàm chỉnh hình bị chặn trên các tập bị chặn của E giá trị trong F H pUq : Không gian các hàm chỉnh hình trên U giá trị vô hướng H pU, F q : Không gian các hàm chỉnh hình trên U giá trị trong F NpNq : Tập các đa chỉ số tr. : Trang iii Mở đầu Trong tiểu luận này chúng ta sẽ được biết cách xây dựng công thức tích phân Cauchy và một số hệ quả của nó. 1 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Trong chương này chúng ta sẽ trình bày một số kết quả cần thiết, liên quan đến nội dung chính của tiểu luận. Định nghĩa 1.0.1. Giả sử E, F là các không gian Banach còn m P N. Ánh xạ A : Em Ñ F gọi là m- tuyến tính nếu nó tuyến tính theo từng biến. Nghĩa là với mọi a  pa1, a2, ..., amq P E m và mọi 1 ¤ j ¤ m, các ánh xạ Ej Q xj Ñ Apa1, ..., aj
1, xj, aj1, ..., amq là tuyến tính. Kí hiệu: LapmE,F q và LpmE,F q lần lượt là các không gian vectơ các ánh xạ m- tuyến tính và m- tuyến tính liên tục từ Em vào F tương ứng. Với A P LapmE,F q, xác định }A}  sup }Apx1, ..., xmq} : xj P E, }xj} ¤ 1, 1 ¤ j ¤ m và gọi là chuẩn (suy rộng) của A. Khim  1, ta viết Lap1E,F q  LapE,F q và Lp1E,F q  LpE,F q. Khi F  K viết LapmE,Kq  LapmEq và LpmE,Kq  LpmEq. Cuối cùng khi m  1, sẽ viết như thông thường LapEq  E#,LpEq  E. Định nghĩa 1.0.2. Ánh xạ P : E Ñ F gọi là đa thức m-thuần nhất (thuần nhất bậc m)nếu tồn tại A P LapmE,F q sao cho P pxq  Axm @x P E . Kí hiệu: PapmE,F q không gian vec tơ các đa thức m- thuần nhất từ E tới F và PpmE,F q là không gian con gồm các đa thức m- thuần nhất liên tục 2 của PapmE,F q. Đối với mỗi P P PapmE,F q, đặt }P }  sup }P pxq} : x P E, }x} ¤ 1 và gọi là chuẩn ( suy rộng) của P . Khi F  K ta viết PapmE,Kq  PapmEq và PpmE,Kq  PpmEq. Định nghĩa 1.0.3. Chuỗi lũy thừa từ E tới F tại điểm a P E là chuỗi có dạng 8 ° m0 Pmpx
aq, ở đây Pm P PapmE,F q với mọi m P N0. Chú ý rằng chuỗi lũy thừa 8 ° m0 Pmpx
aq có thể viết như 8 ° m0 Ampx
aq m, ở đây Am P LsapmE,F q, pAm  Pm. Định nghĩa 1.0.4. Giả sử U là tập mở trong E. Ánh xạ f : U Ñ F gọi là chỉnh hình hay giải tích nếu với mọi a P U tồn tại trong hình cầu Bpa, rq € U và một dãy các đa thức Pm P PpmE,F q sao cho fpxq  8 ¸ m0 Pmpx
aq hội tụ đều với x P Bpa, rq. Kí hiệu: HpU, F q là không gian véc tơ các ánh xạ chỉnh hình từ U vào F . Khi F  C ta viết HpU,Cq  HpUq. Dãy pPmq trong định nghĩa là được xác định duy nhất bởi f và a, ta kí hiệu Pm  P mfpaq với mọi m P N0. Chuỗi 8 ° m0 Pmfpaqpx
aq như thông thường gọi là chuỗi Taylor của f tại a. Ta kí hiệu Amfpaq là phần tử duy nhất thuộc LspmE,F q thỏa mãn{Amfpaq  Pmfpaq. Định lí 1.0.5. Cho R là một bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa ° 8 m0 Pmpx
aq. khi đó: (a) R xác định bởi công thức Cauchy- Hadamard 1 R  lim mÑ8 sup }Pm} 1 m (b) Chuỗi hội tụ tuyệt đối và đều trên B¯pa; rq khi 0 ¤ r   R. Bổ đề 1.0.6. Cho pcmq 8 m0 là một dãy trong F . Nếu có r ¡ 0 thỏa mản ° 8 m0 cmλ m  0 với mọi λ P K với |λ| ¤ r thì cm  0 với mọi m P N0 3 Mệnh đề 1.0.7. Cho ° 8 m0 Pmpxq  ° 8 m0Amx m là một chuỗi lũy thừa từ E vào F với bán kính hội tụ R ¡ 0. Lấy e1, . . . , en P E với }e1}  . . .  }en}  1, tập hợp cα  m! α! Ame α1 1 . . . e αn n với mỗi α  pα1, . . . , αnq P Nn0 với |α|  m. khi đó ta có 8 ¸ m0 Pmpξ1e1 . . . ξnenq  ¸ α cαξ α1 1 . . . ξ αn n mỗi khi |ξ1| . . . |ξn|   R{e. Cả hai chuỗi hội tụ tuyệt đối và đều với |ξ1| . . . |ξn| ¤ r khi 0 ¤ r   R{e Bổ đề 1.0.8. Cho Cα P F cho mổi bộ α  pα1, . . . , αnq P Nn0 . Nếu có r ¡ 0 thỏa mản chuỗi ° α cαλ α1 1 . . . λ αn n hội tụ tuyệt đối tại không khi |λ1| ¤ r, . . . , |λn|   r, thì cα  0 vơi mọi α Mệnh đề 1.0.9. P pE;F q €H pE;F q Mệnh đề 1.0.10. Cho pfmq là một dãy trong E 1 hội tụ đến không. nếu chúng ta đặt fpxq  8 ¸ m0 pϕmpxqq m với mọi x P E thì f PH pEq Mệnh đề 1.0.11. Cho U là một tập con mở của E và a P E. Với mổi f PH pU ;F q cho fa : U
aÑ F được định nghĩa bằng faptq  fpa tq với mọi t P U
a ta có: (a) fa P H pU
a;F q và Pmfaptq  Pmfpa tq với mọi t P U
a và m P N0 (b) ánh xạ f Ñ fa là một vectơ không gian đẳng cấu giữa H pU ;F q và pU
a;F q Hệ quả 1.0.12. Cho µ là một độ đo Borel hữu hạn trên một không gian Hausdorff compact X. Cho pfnq là một dãy ánh xạ liên tục từ X vào Y mà hội tụ đều trên X đến một ánh xạ f . Khi đó f liên tục và » A fdµ  lim nÑ8 » A fndµ với mổi A P ° 4 Chương 2 Các công thức tích phân Cauchy Định lí 2.0.13. Cho U là tập con mở của E, f PH pU, F q, a P U, t P E và r ¡ 0 sao cho a ζt P U với mọi ζ P 4¯p0, rq khi đó, với mổi λ P 4p0; rq ta có công thức tích phân Cauchy fpa λtq  1 2pii » |ζ|r fpa ζtq ζ
λ dζ Chứng minh. Nếu ψ P F 1 thì hàm gpζq  ψ  fpa ζtq là hàm chỉnh hình trên một lân cận của đỉa đóng 4¯p0; rq. Bằng công thức tích phân Cauchy đối với hàm chỉnh hình một biến phức ta có: ψ  fpa λtq  gpλq  1 2pii » |ζ|r gpζq ζ
λ dζ  1 2pii » |ζ|r ψ  fpa ζtq ζ
λ dζ với mổi λ P 4p0; rq. Vì F 1 tách điểm của F đòi hỏi kết luận sau Hệ quả 2.0.14. Cho U là một tập con mở của E, và cho f P H pU ;F q. Cho a P U, t P E và r ¡ 0 sao cho a ζt P U với mọi ζ P 4¯p0; rq. Với mỗi λ P 4p0; rq ta có khai triển chuổi dạng fpa λtq  8 ¸ m0 cmλ m Ở đây cm  1 2pii » |ζ|r fpa λtq ζm1 dζ Chuỗi này hội tụ tuyệt đối và đều với |λ| ¤ S   r 5 Chứng minh. Với |λ|   |ζ|  r ta có fpa ζtq ζ
λ  fpaζtq ζ ζ
λ ζ  8 ¸ m0 λm fpa ζtq ζm1 và vì f là bị chặn trên ta ζt : |ζ|  ru, chuỗi hội tụ tuyệt đối và đều đối với |ζ|  r và |λ| ¤ s   r. Bằng hệ quả (1.0.12) ta có thể tích phân từng số hạng để nhận được: » |ζ|r fpa ζtq ζ
λ dζ  8 ¸ m0 λm » |ζ|r fpa ζtq ζm1 dζ Chuỗi cuối cùng hội tụ tuyệt đối và đều đối với |λ| ¤ s. Áp dụng định lí (2.0.13) ta có điều phải chứng minh. Hệ quả 2.0.15. Cho U là tập con mở của E, f PH pU ;F q, a P U, t P E và r ¡ 0 sao cho a ζt P U với mọi ζ P 4¯p0; rq. Khi đó với mỗi m P N0 ta có công thức tích phân Cauchy: Pmfpaqptq  1 2pii » |ζ|r fpa ζtq ζm1 dζ Chứng minh. Vì f là chỉnh hình ta có khai triển chuổi dạng fpa λtq  8 ¸ m0 Pmfpaqpλtq  8 ¸ m0 λmPmfpaqptq với |λ| ¤ ,  ¡ 0 đủ nhỏ. Bằng cách so sánh khai triển chuỗi này với khai triển chuỗi có được từ hệ quả (2.0.14) và áp dụng bổ đề (1.0.6) có bất đẳng thức Cauchy. Hệ quả 2.0.16. Cho L là tập con mở của E, f PH pU ;F q, a P U, t P E và r ¡ 0 sao cho a ζt P U với mọi ζ P 4¯p0; rq. Khi đó với mỗi m P N0 ta có bất đẳng thức Cauchy: }Pmfpaqptq} ¤ r
m sup |ζ|r }fpa ζtq} Hệ quả 2.0.17. Nếu P P P pmE;F q thì với a, t P E chúng ta có công thức tích phân P ptq  1 2pii » |ζ|1 P pa ζtq ζm1 dζ 6 Chứng minh. Từ mệnh đề (1.0.9), PmP paqptq  P ptq. Áp dụng hệ quả (2.0.15) ta có điều cần chứng minh Hệ quả 2.0.18. Cho P P P pmE;F q. Nếu P bị chặn bởi c trên một hình cầu mở Bpa; rq thì P đồng thời bị chặn bởi c trên hình cầu Bp0; rq. Bây giờ ta sẽ áp dụng các kết quả trên vào việc nghiên cứu hạn chế của ánh xạ chỉnh hình trên không gian con n- chiều. Trước hết ta đưa vào một số khái niệm sau: Một đa đĩa trong Cn là tích các đĩa trong C. Một đa đĩa mở với tâm a  pa1, . . . , anq và đa bán kính r  pr1, . . . , rnq sẽ được kí hiệu là 4npa; rq. Đa đĩa đóng sẽ được kí hiệu là 4¯npa; rq và được xác định 4npa; rq  tz P Cn : |zj
aj|   rj với j  1, . . . , nu 4¯npa; rq  tz P Cn : |zj
aj| ¤ rj với j  1, . . . , nu nếu a  0  p0, . . . , 0q và r  1  p1, . . . , 1q thì chúng ta viết đơn giản 4np0; 1q  4n và 4¯np0; 1q  4¯n. Tập hợp tz P Cn : |zj
aj|  rj với j  1, . . . , nu thì chứa trong biên B4npa; rq của 4npa; rq và được kí hiệu là Bo4npa; rq và được gọi là biên đóng của đa đĩa 4npa; rq Định lí 2.0.19. Cho U là một tập con mở của E, và cho f PH pU ;F q. cho a P U, t1, . . . , tn P E và r1, . . . , rn ¡ 0 sao cho a ζ1t1 . . . ζntn P U với mọi ζ P 4¯np0; rq. Khi đó với mỗi λ P 4np0; rq ta có công thức tích phân Cauchy fpa λ1t1 . . . λntnq  1 p2piiqn » Bo4np0;rq fpa ζ1t1 . . . ζntnq pζ1
λ1q . . . pζn
λnq dζ1 . . . ζn Chứng minh. Vì đa đĩa 4¯np0; rq là compact, nếu tồn tại R1 ¡ r1, . . . , Rn ¡ rn sao cho a ζ1t1 . . . ζntn P U với mọi ζ P 4np0;Rq. Nếu ψ P F 1 thì hàm số gpζ1, . . . , ζnq  ψ  fpa ζ1t1 . . . ζntnq với ζ P 4np0;Rq là chỉnh hình theo từng biến ζ1, . . . , ζn khi cố định các biến còn lại. Áp dụng liên tiếp công thức tích phân Cauchy cho hàm chỉnh hình của một biến phức ta được công thức 7 ψ  fpa λ1t1 . . . λntnq   1 p2piiqn » |ζ1|r1 dζ1 ζ1
λ1 » |ζ2|r2 dζ2 ζ2
λ2 » |ζn|rn ψ  fpa ζ1t1 . . . ζntnq ζn
λn dζn vơi mổi λ P 4np0; rq. Vì hàm số pζ1, . . . , ζnq Ñ ψ  fpa ζ1t1 . . . ζntnq pζ1
λ1q . . . pζn
λnq là liên tục trên tập compact Bo4npa; rq, định lí Fubini cho phép chúng ta thay thế tích phân lặp bằng một đa tích phân. Và vì F 1 tách điểm, ta có kết quả sau Hệ quả 2.0.20. Cho U là một tập con mở của E, f P H pU ;F q, a P U, t1, . . . , tn P E và r1, . . . , rn ¡ 0 sao cho a ζ1t1 . . . ζntn P U với mọi ζ P 4¯np0; rq. Khi đó với mọi λ P 4np0; rq tồn tại khai triển chuỗi có dạng fpa λ1t1 . . . λntnq  ¸ α cαλ α1 1 . . . λ αn n trong đó cα  1 p2piiqn » Bo4np0;rq fpa ζ1t1 . . . ζntnq ζα111 . . . ζ αn1 n dζ1 . . . dζn chuỗi bội này tụ tuyệt đối và đều với λ P 4¯np0; sq trong đó 0 ¤ sj   rj với mọi j. Chứng minh. Chứng minh tương tự hệ quả (2.0.14). Thật vậy nếu |λj|   |ζj|  rj với j  1, . . . , n thì chúng ta có thể viết fpa λ1t1 . . . λntnq pζ1
λ1q . . . pζn
λnq  ¸ α λα11 . . . λ αn n fpa ζ1t1 . . . ζntnq ζα111 . . . ζ αn1 n và chuỗi bội này hội tụ tuyệt đối và đều với ||ζj|  rj và |λj| ¤ sj   rj. Bằng cách lấy tích phân từng số hạng của chuỗi này, ta có được kết luận sau từ định lí (2.0.19) Định lí 2.0.21. Cho U là một tập con mở của E, F P H pU ;F q, a P U, t1, . . . , tn P E và r1, . . . , rn ¡ 0 sao cho a ζ1t1 . . . ζntn P U với mọi ζ P 4¯np0; rq. Khi đó với mỗi m P No và mỗi đa chỉ số α P Nno với |α|  m chúng ta có công thức tích phân Cauchy Amfpaqtα11 . . . t αn n  α! m!p2piiqn » Bo4np0;rq fpa ζ1t1 . . . ζntnq ζα111 . . . ζ αn1 n dζ1 . . . dζn 8 Chứng minh. Bởi mệnh đề (1.0.7) ta có khai triển chuỗi fpa λ1t1 . . . λntnq  8 ¸ m0 Pmfpaqpλ1t1 . . . λntnq  ¸ α cαλ α1 1 . . . λ αn n trong đó cα  m! α! Amfpaqtα11 . . . t αn n với mổi α P Nn0 với |α|  m. Chuỗi bội này hội tụ tuyệt đối và đều trên một đa đĩa phù hợp 4¯np0; q. Sau đó so sánh chuỗi mở rộng này với chuỗi mở rộng được cho bằng hệ quả (2.0.20), áp dụng của bổ đề (1.0.8) ta có điều cần chứng minh. Hệ quả 2.0.22. Cho A P LSpmE;F q và cho P  A¯ P P pmE;F q.khi đó với mọi a, t1, . . . , tn P E và mọi α P Nn0 với |α|  m chúng ta có công thức phân cực Atα11 . . . t αn n  α! m!p2piiqn » |ζj |1 P pa ζ1t1 . . . ζntnq ζα111 . . . ζ αn1 n dζ1 . . . dζn Chứng minh. Áp dụng hệ quả (2.0.21) với f  P Ta nhắc lại điều sau một tập A trong E có chứa gốc thì gọi là cân nếu ζx P A với mổi x P A và mổi ζ trong mổi đĩa đơn vị đóng 4¯. Nếu a P A thì A gọi là a-cân bằng. Nếu tập A
a là cân bằng Định lí 2.0.23. Cho U là một tập con mở a-cân bằng của E, và cho f P H pU ;F q. khi đó với mọi tập compact K P U tồn tại lân cận V của K trong U sao cho chuỗi Taylor của f tại một hội tụ đến f đều trên V đủ nhỏ. Chứng minh. Cho K là một tập con compact của U . khi đó tập hợp A  ta ζpx
aq : x P K, ζ P 4¯u là chứa trong U , và f hội tụ trên A. Vì K compact nên ta có thể tìm được r ¡ l và một lân cận V của K trong U sao cho tập hợp B  ta ζpx
aq : x P V, ζ P 4¯p0; rqu 9 cũng chứa trong U , và f hội tụ trên B. Vì thế chúng ta có thể viết fra ζpx
aqs ζ
1  8 ¸ m0 fra ζpx
aqs ζm1 và chuỗi này hội tụ tuyệt đối và đều với x P V và |ζ|  r sau khi tích phân qua vòng tròn |ζ|  r và áp dụng công thức tích phân Cauchy (2.0.13) và (2.0.15) ta kết luận fpxq  8 ¸ m0 Pmfpaqpx
aq và chuỗi này là hội tụ tuyệt đối và đều với x P V 10 Kết Luận Như vậy chúng tôi đã trình bày xong công thức tích phân Cauchy và một số hệ quả của nó trong không gian Banach. Tuy nhiên do thời gian có hạn và lượng kiến thức còn tương đối hẹp nên tiểu luận chắc chắn không tránh khỏi thiếu sót, rất mong nhận được sự góp ý từ quý Thầy, Cô và bạn đọc. Cuối cùng chúng em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Thầy, PSG. TS Thái Thuần Quang đã tận tìn chỉ dạy cho chúng em. 11 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] J. Mujica (1986), Complex analysis in Banach spaces, North-Holland Math. Studies, 120. 12